Prezados Estudantes, Professores de Matemática e Diretores de Escola,

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1 Prezdos Estudntes, Professores de Mtemátic e Diretores de Escol, Os Problems Semnis são um incentivo mis pr que os estudntes possm se divertir estudndo Mtemátic, o mesmo tempo em que se preprm pr s Competições Mtemátics. Por fvor, deixem os problems em locl onde todos os estudntes d Escol possm tomr conhecimento, se sintm desfidos resolvê-los e divirtm-se com s soluções. Problems semnis de nos nteriores podem ser encontrdos no endereço: Identificndo os estudntes que resolverm os problems, incentive-os envir sus soluções pr serem publicds n noss págin n internet. Encminhe s soluções pr: ou ou ou iesus Por fvor, divulguem os problems! DA LISTA SEMANAL No Dt 08/05/014 NÍVEL I O di primeiro de jneiro de 014 ocorrerá num qurt-feir. Qunts qurts-feir teremos em 014? Num no, existem 5 semns e 1 di, menos que o no sej bissexto, que não é cso de 014. Cd semn possui um únic qurt-feir. Como 365 = , em 014 existem 5 semns (contndo de qurt té terç) e mis um di, que é precismente qurt-feir. Portnto, em 014 teremos 53 qurts-feir. NÍVEL II Mri estv fzendo um colr com conts brncs e prets seguindo um certo modelo. Durnte seu trblho prte ds conts cirm dentro d cix, vej figur seguir. 1

2 Qunts conts estão dentro n cix?. O modelo pelo qul s conts estão sendo rrumds é definido como: 1 cont brnc, 1 cont pret, 1 cont brnc, conts prets, 1 cont brnc, 3 conts prets, 1 cont brnc, e ssim por dinte. Isto é, o número de conts prets n sequênci cresce de 1 cont por vez. N últim prte visível do futuro colr, ntes ds conts serem colocds dentro d cix, é um sequênci de 4 conts prets e 1 cont brnc. O primeiro conjunto de conts prets consecutivs que podemos ver é um coleção de 8 conts. Portnto, o número de conts que estão dentro d cix é igul NÍVEL III 5 (prets) + 1 (brnc) + 6 (prets) + 1 (brnc) + (7 ) (prets) = 18. Num tbuleiro n n escreve-se ou 1 ou 1 em cd um ds css do tbuleiro, de tl modo que existem extmente n css escrits com o mesmo número. Sej M o vlor bsoluto mínimo ds soms dos números escritos em cd linh e cd colun do tbuleiro. Determine o mior vlor possível pr o número M. Sepre o tbuleiro em qutro sub-tbuleiros menores de tmnho n n. Preenche-se o sub-tbuleiro do cnto superior esquerdo superior com 1 s e o sub-tbuleiro inferior direito com 1 s. Em cd um dos dois sub-tbuleiros restntes o preenchimento ds css será feito lterndmente por 1 e 1 Existem dois csos considerr: (i) se n é pr; (ii) se n é ímpr. Se n é pr, os dois sub-tbuleiros restntes vão ter mesm quntidde de 1 s e de 1 s, vej figur ilustrtiv seguir pr o cso n = 4.

3 Isto signific que em cd linh e cd colun do tbuleiro v o existir ou n nu meros 1 ou 3n nu meros 1, ou vice-vers. Neste cso, o vlor m ximo de M e M = 3n n = n. Se n e ı mpr, um dos sub-tbuleiros restntes conte m mis 10 s do que 10 s, e o outro mis 10 s do que 10 s, vej figur ilustrtiv seguir pr o cso n = 3. Neste cso, cd linh e colun do tbuleiro conte m ou 1 ou (n+1) nu meros 1 e (3n 1) nu meros 1. Assim, neste cso, M = n 1. (n 1) nu meros 1 e (3n+1) nu meros Vmos mostrr gor que M n o pode ser mior do que os vlores encontrdos. Se existe um linh ou colun que possui tntos 10 s qunto 10 s, ent o M = 0. Cso contr rio, sepre o conjuto ds 4n linhs e coluns em dois subconjuntos: quele que conte m mis 10 s do que 10 s e o outro que conte m mis 10 s do que 10 s. Um destes conjuntos tem de conter n elementos. Sem perd de generlidde, suponh que existem n linhs e coluns (sendo k linhs e l coluns que conte m mis 10 s do que 10 s. Em cd um desss linhs e coluns existem no mı nimo n + M nu meros 1 e no m ximo n M nu meros 1. O nu mero totl de 10 s em tods esss linhs e coluns e portnto no mı nimo igul (k + l)(n + 3 M ) kl

4 onde o último termo ocorre pr qyueles 1 s que são contdos dus vezes (em linh e colun). Portnto, temos e então pr r = k + l, temos n (k + l)(n + M ) kl (k + l)(n + M ) 1 (k + l) 4 M n +r 4 rn r = 4n r + r (r n(4n r) n = n r n pois, por hipótese n r 4n. Portnto, temos M n, o que complet prov pr o cso de n ser pr. Se n é ímpr, M = n é impossível, pois som de todos os números ns linhs e som de todos os números ns coluns tem de ser pr, como som de um número pr de impres. Logo, M n 1. Concluímos então que o mior vlor possível pr M é n se n é pr e n 1 se n é ímpr. NÍVEL UNIVERSITÁRIO Encontre tods s funções f : N R tis que f(km) + f(kn) f(k)f(mn) 1 pr todo k, m, n N, onde N é o conjunto dos números inteiros positivos. N desiguldde dd, tomndo k = n = m = 1, obtemos f(1.1) + f(1.1) f(1).f(1.1) = f(1) f(1) 1, que é o mesmo que f(1) f(1) + 1 = [f(1) 1] 0, o que implic f(1) = 1. N desiguldde dd, colocndo k = 1 e m = n, obtemos f(n) + f(n) f(1)f(n ) 1, que é o mesmo que f(n) - f(n) 1 ( ) Agor, n desiguldde dd, fzendo k = n e m = 1, obtemos f(n) + f(n ) f(1)f(n)f(n) 1, que é o mesmo que f(n ) + f(n) [f(n)] 1 ( ) Somndo membro membro s desigulddes (*) e (**), obtemos [f(n)] + 3f(n), que é o mesmo que [f(n)] 3f(n) + 0, ou ind (f(n) 1)(f(n) ) 0. Isto signific que 1 f(n), pr todo n N. 4

5 Agor, suponh que existe um número inteiro positivo n pr o qul f(n) = > 1 A função g(x) = x +1 = x + 1 é crescente em (1, ), pr x > y > 1. Logo, x x g(x) g(y) = x + 1 x y 1 y = x y + 1 x 1 y Logo, pr qulquer x, temos x + 1 > +1 x x + 1 > +1.x x = +1.x De (*), com f(n) =, temos f(n ) f(n) Como b = +1 = 1 + ( 1) > 1, temos que.x, o que implic f(n ) bf(n) ( ) = (x y)(1 1 xy ) > 0.f(n) Em (***), substituindo n por n, obtemos: f(n 4 bf(n b[bf(n)] = b f() Do mesmo modo, substituindo em (***) n por n 4, obtemos f(n 8 ) b 4 f(n) = b 4. E ssim, indutivmente, temos f(n k ) b k. Como > 1 e b > 1, segue que f(n k ) >, pr k suficientemente grnde, o que contrdiz desiguldde 1 f(n k ), obtid nteriormente. Assim, não existe n tl que f(n) > 1. Portnto, f(n) = 1, pr todo n N, é únic solução e é fcil ver que est função stisfz s condições do problem. 5

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