ANÁLISE NÃO-LINEAR DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO

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1 ANÁLISE NÃO-LINEAR DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO RIVELLI DA SILVA PINTO Tese apesentada à Escola de Engenhaia de São Calos, da Univesidade de São Paulo, como pate do dos equisitos paa obtenção do título de Douto em Engenhaia de Estutuas. Oientado : Pof. Associado Macio Antonio Ramalho São Calos Maio

2 Amaás ao Senho teu Deus de todo o teu coação, de toda a tua alma e de todo o teu entendimento....amaás ao teu póximo como a ti mesmo. (Mt, 37.39)

3 À minha esposa Fabiana, minha filha Rebeca e ao filho que vai chega, com amo.

4 AGRADECIMENTOS Ao único Deus, o Deus de Abãao, Isaac e Jacó, Pai de Jesus Cisto e nosso Pai. À minha esposa Fabiana, cuja ajuda e compeensão possibilitaam a ealização deste tabalho. Ao meu pai e à minha imã pelo apoio sempe manifestados, e à minha mãe, in memoiam, de quem o exemplo, a dedicação e o amo jamais esqueceei. Ao Pof. Macio Antonio Ramalho pelo tabalho de oientação. À minha sócia Suzana Campana Peleteio po segua as pontas nos momentos em que pecisei me ausenta do escitóio paa ealiza este tabalho. À Andéa e Luis Lisei pelo empéstimo do TQS. Aos imãos das Comunidades Neocatecumenais que me ajudaam nos momentos difíceis. Aos meus sogos e cunhadas pela ajuda efetiva nos finais de semana em que pecisei estuda. Aos funcionáios do Depatamento de Estutuas da EESC-USP pelo apoio codial sempe manifestados. À CAPES pela de bolsa de estudos concedida nos dois pimeios anos deste tabalho. A todas as pessoas que dieta ou indietamente contibuíam paa a ealização desta pesquisa.

5 SUMÁRIO LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS...i LISTA DE SÍMBOLOS...ii RESUMO...viii ABSTRACT...ix CAPÍTULO INTRODUÇÃO..... ASPECTOS GERAIS DA ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ESTRUTURAS..... OBJETIVOS E JUSTIFICATIVAS ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO...4 CAPÍTULO ANÁLISE NÃO-LINEAR SIMPLIFICADA: PRESCRIÇÕES NORMATIVAS INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS... CAPÍTULO 3 ANÁLISE NÃO-LINEAR RIGOROSA: IMPLEMENTAÇÃO VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ANÁLISE NÃO-LINEAR VIA M.E.F Definições geométicas da fomulação cootacional Campos de defomação e de deslocamento do elemento Deteminação dos esfoços intenos atavés do pincípio dos tabalhos vituais (PTV) Deteminação da matiz de igidez tangente Modelos constitutivos dos mateiais Solução do poblema estutual EXEMPLOS Análise não-linea geomética : viga em balanço...5

6 3.4.. Pótico de conceto amado com lance Pótico de conceto amado com lances CONCLUSÕES...58 CAPÍTULO 4 - ANÁLISE NÃO-LINEAR PARAMÉTRICA DE PÓRTICOS PLANOS INTRODUÇÃO EXEMPLOS ANALISADOS Póticos com lance de pilaes Póticos com 6 lances de pilaes CONCLUSÕES...88 CAPÍTULO 5 - ANÁLISE NÃO-LINEAR DE PÓRTICOS PLANOS PERTENCENTES A ESTRUTURAS USUAIS INTRODUÇÃO EXEMPLOS ANALISADOS Edifício com 6 pavimentos Edifício com 8 pavimentos Edifício com 3 pavimentos CONCLUSÕES...7 CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E CONTRIBUIÇÕES ASPECTOS GERAIS ANÁLISE NÃO-LINEAR SIMPLIFICADA DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO EM CONCRETO ARMADO SUGESTÕES PARA TRABALHOS POSTERIORES...43 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...45 APÊNDICE A - Detalhamento dos póticos com seis lances de pilaes...56 APÊNDICE B - Detalhamento dos póticos com oito lances de pilaes...69 APÊNDICE C - Detalhamento dos póticos com teze lances de pilaes...76 ANEXO A Simplificações da liteatua paa obtenção das matizes Q, H e D na fomulação cootacional...83

7 i LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ABNT - Associação Basileia de Nomas Técnicas ACI - Ameican Concete Institute CEB - Comité Euopeén du Béton FIP - Fédéation Intenationale de lo Pécontainte MC - Model Code NB - Noma Basileia NLF - Não-Lineaidade Física NLG - Não-Lineaidade Geomética

8 ii LISTA DE SÍMBOLOS a Flecha no topo da edificação a d - Flecha elástico-l;inea no topo da edificação obtida com valoes de cálculo A g - Áea da seção buta de conceto a k - Flecha em elástico-l;inea no topo da edificação obtida com valoes caacteísticos A s - Áea de amadua da seção tansvesal A s Áea da seção tansvesal do estibo b - Lagua da seção tansvesal b f - Lagua da flange da seção T B Matiz instantânea de mudança de coodenadas B Foma local de B b e d Lagua e altua dos estibos b < d b f - Lagua da flange tacionada d - Altua útil da seção tansvesal d - Cobimento da seção tansvesal ds c Compimento de uma fiba genéica situada a uma distância y do eixo do elemento difeencial na configuação defomada d s c Compimento de uma fiba no eixo do elemento difeencial na configuação defomada ds Compimento de uma fiba genéica situada a uma distância y do eixo do elemento difeencial na configuação de efeência d s Compimento de uma fiba no eixo do elemento difeencial na configuação de efeência dx Compimento do elemento difeencial na configuação de efeência D αβ - Matiz de igidez constitutiva em coodenadas cootacionais e a Excenticidade acidental nos pilaes e - Excenticidade de a odem nos pilaes e i - Excenticidade inicial nos pilaes E - Módulo de elasticidade longitudinal E s - Módulo de elasticidade longitudinal do aço após o escoamento

9 iii E c - Módulo de elasticidade longitudinal secante do conceto E c I g - Poduto de igidez à flexão da seção buta de conceto E ctg - Módulo de elasticidade longitudinal tangente do conceto EI - Poduto de igidez à flexão EI ef - Poduto de igidez à flexão efetivo EI eq - Poduto de igidez equivalente a uma coluna pismática engastada na base ou elação ente a igidez lateal não-linea e a igidez lateal elástico-linea E s - Módulo de elasticidade do aço (E s = MPa); E s - Módulo de elasticidade longitudinal do aço E s - Módulo de elasticidade do aço após o escoamento (EI eq ) d - poduto de igidez equivalente no estado limite último, (EI eq ) k - poduto de igidez equivalente caacteístico. f c - Máxima tensão de compessão no conceto f c - Tensão de compessão máxima do conceto f cd - Resistência a compessão de cálculo do conceto f ck - Resistência a compessão caacteística do conceto f cm - Resistência média à compessão do conceto f ctm - Resistência média à tação do conceto F Hid - Foça hoizontal de cálculo aplicada ao nível do pavimento i f t - Máxima tensão de tação no conceto F v - Caga vetical caacteística no pila f ys - Tensão de escoamento do aço G Resultante do caegamento vetical na estutua G j Resultante do caegamento vetical no pavimento i h - Altua da seção tansvesal h f - Altua da flange da seção T H - Altua total do pila ou caegamento hoizontal aplicado ao nível do pav. Tipo H c - Caegamento hoizontal aplicado ao nível da cobetua H i Caegamento hoizontal coespondente ao estágio de caegamento i H αβ - Matiz de igidez geomética em coodenadas cootacionais I - Momento de inécia da seção tansvesal I c - Momento de inécia da seção fissuada de conceto I g - Momento de inécia da seção buta de conceto

10 iv I se - Momento de inécia das baas de aço em elação ao centóide da seção tansvesal k g Matiz de igidez geomética do elemento de coodenadas catesianas k ij Matiz de igidez tangente no sistema de coodenadas catesianas k m Matiz de igidez constitutiva do elemento de coodenadas catesianas * k αβ Matiz de igidez tangente no sistema de coodenadas cootacionais l c Compimento da coda que une as extemidades do elemento na configuação atual l Compimento da coda que une as extemidades do elemento na configuação de efeência M Momento fleto na seção tansvesal M d - momento atuante na estutua indeslocada M d - Momento fleto de cálculo M n - Momento nominal esistido pela peça N Foça nomal na seção tansvesal n - Númeo de pavimentos da edificação N d - Esfoço nomal de cálculo P - Caga concentada nos pilaes do pavimento tipo ou estado de caegamento da estutua P c - Caga concentada nos pilaes da cobetua P - Estado de caegamento último da estutua da estutua p - Caegamento gavitacional unifomemente distibuído ou deslocamentos nodais do elemento nas coodenadas locais p * - Deslocamentos nodais da estutua nas coodenadas globais P i - Caga total caacteística do pavimento P id - Caga total de cálculo do pavimento p i=...6 = Coodenadas deslocamento no sistema global X,Y P i=...6 = Veto dos esfoços nodais intenos do elemento no sistema global X,Y P id - Caga total de cálculo do pavimento q - Ação hoizontal devida ao vento unifomemente distibuída ao longo da edificação ou caegamento acidental q d - Ação hoizontal unifomemente distibuída de cálculo q α=...3 = Coodenadas deslocamento no sistema cootacional x c, y c

11 v Q α=...3 = Veto dos esfoços nodais intenos do elemento no sistema cootacional x c, y c R Veto dos esfoços nodais extenos aplicados à estutua RL i Rigidez lateal equivalente ao estágio de caegamento i s Espaçamento ente os estibos S Veto de foças intenas da estutua T Matiz de mudanças de coodenadas catesianas u, v Deslocamentos no sistema catesiano global u c, v c Deslocamentos no sistema cootacional w Caegamento unifomemente distibuído no pavimento tipo w c Caegamento unifomemente distibuído na cobetua x - Pofundidade da linha neuta da seção tansvesal x id Deslocamento hoizontal coespondente ao pavimento i X, Y Sistema catesiano global x c, y c Sistema catesiano cootacional na configuação atual x, y Sistema catesiano cootacional na configuação de efeência y id - Altua coespondente ao pavimento i Z inclinação do techo descendente do diagama diagama σxε do conceto compimido confinado po estibos α - Paâmeto de instabilidade global; fato de edução da tensão de tação no tension stiffening ou otação das seções tansvesais α Cuvatua da seção tansvesal do elemento α lim - Valo limite do paâmeto de instabilidade global α β - Matiz de incidência cinemática β - Fato de equivalência de bloco etangula definido no ACI β d - quociente ente a pacela pemanente do caegamento total e o caegamento total aplicado δ d - Deslocamento hoizontal do ponto de aplicação da esultante das cagas veticais com valo de cálculo δ k - Deslocamento hoizontal do ponto de aplicação da esultante das cagas veticais com valo caacteístico δ G - Deslocamento hoizontal do ponto de aplicação da esultante das cagas veticais

12 vi δ Gi - Deslocamento hoizontal do ponto de aplicação da esultante das cagas veticais coespondente ao estágio de caegamento i δ j - Deslocamento hoizontal do ponto de aplicação da esultante das cagas veticais no pavimento j M d - acéscimos de momentos devido ao deslocamento hoizontal da estutua ε - Defomação de uma fiba genéica localizada a uma distância y do eixo ε - Defomação específica no conceto coespondente à máxima tensão de compessão ε c - Defomação coespondente à, f c no techo descendente do diagama σxε do conceto compimido confinado po estibos ε 5h - Defomação coespondente à,5 f c no techo descendente do diagama σxε do conceto compimido confinado po estibos ε 5u - Defomação coespondente à,5 f c no techo descendente do diagama σxε do conceto compimido não confinado po estibos ε c - Defomação específica no conceto ε m - Defomação específica máxima no conceto tacionado ε t - Defomação específica no conceto coespondente à máxima tensão de tação ε ys - Defomação específica no aço coespondente à tensão de escoamento ε yu - Defomação específica última no aço (ε yu =,) ε -Defomação de uma fiba genéica localizada no eixo γ f - Coeficiente de seguança paa as ações γ f, γ f, γ f3 - Coeficientes paciais de seguança γ fh - Coeficiente de seguança paa o caegamento hoizontal γ fv - Coeficiente de seguança paa o caegamento vetical γ z - Paâmeto majoado de esfoços η - Relação ente o momento de engastamento e o momento nominal ϕ c Ângulo fomado pelo o sistema cootacional na configuação atualizada e o sistema catesiano global ϕ Ângulo fomado pelo o sistema cootacional na configuação de efeência e o sistema catesiano global λ - Estiamento da fiba µ - Relação ente o momento na extemidade e o momento nominal µ d - Momento fleto adimensional de cálculo ν d - Esfoço nomal adimensional de cálculo

13 vii θ - Rotações no sistema catesiano global σ - Tensão no conceto coespondente à defomação ε ρ - taxa de amadua da seção tansvesal ω - taxa de amadua adimensional ψ - Paâmeto de foma da linha elástica e veto dos esíduos

14 viii Resumo PINTO, R, S. Análise não-linea das estutuas de contaventamento de edifícios em conceto amado, 89p. Tese (Doutoado) Escola de Engenhaia de São Calos, Univesidade de São Paulo. Neste tabalho são discutidos os aspectos ineentes à análise não-linea física (NLF) e geomética (NLG) das estutuas de contaventamento em conceto amado. O estudo poposto tem como base a análise estutual de póticos planos de conceto amado, desenvolvendo-se uma feamenta igoosa capaz de analisa essas estutuas de foma elaboada e consistente. Com essa feamenta seão avaliadas as eduções de inécia que ocoem em póticos planos de conceto amado, submetidos a difeentes condições de caegamento e a difeentes taxas de amadua, contibuindo paa o estabelecimento de estimativas confiáveis dos efeitos da NLF nessas estutuas. Estes esultados, combinados com os paâmetos de estabilidade α e γ z - capazes de estima com bastante pecisão os efeitos devidos à NLG pemitem o estabelecimento de métodos simplificados paa a análise não-linea física e geomética das estutuas de contaventamento de edifícios em conceto amado, de gande utilidade paa os pojetistas. Palavas-chave: Edifícios altos, não-lineaidade física, não-lineaidade geomética, conceto amado, plasticidade.

15 ix Abstact PINTO, R, S. Non-linea analysis of einfoced concete buildings bacing stuctues, 89p. Thesis (Doctoate) Escola de Engenhaia de São Calos, Univesidade de São Paulo. In this wok the inheent aspects to the physical nonlinea analysis (PNL) and geometic nonlinea analysis (GNL) of einfoced concete bacing stuctues ae agued. The consideed study is based in the stuctual analysis of in einfoced concete plane fames, developing a igoous tool capable to analyze these stuctues of elaboated and consistent fom. Using this tool, inetia eductions that occus in einfoced concete plane fames, submitted the diffeent loading conditions and the diffeent levels of einfocement will be evaluated, contibuting fo the establishment of tustwothy estimates to the effects of PNL in these stuctues. These esults, matched with the stability paametes α e γ z - capable to estimate with sufficient accuacy the effects of GNL - allow the establishment of simplified methods fo physical and geometical non-linea analysis of einfoced concete buildings bacing stuctues, of geat utility fo the designes. Key-wods: Tall buildings, physical non-lineaity, geometical non-lineaity, einfoced concete, plasticity.

16 CAPÍTULO INTRODUÇÃO.. ASPECTOS GERAIS DA ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ESTRUTURAS A análise de edifícios de conceto amado, com o desenvolvimento dos micocomputadoes, tem sofido uma tansfomação sensível em sua metodologia. Os modelos de cálculo elásticos e lineaes estão sendo substituídos po modelos mais completos, que contemplem de maneia mais fiel o compotamento da nãolinea da estutua e do mateial. Apesa dos avanços alcançados na análise não-linea de estutuas, a maio pate dos pofissionais da áea acaba utilizando, como altenativa à ealização de análises não-lineaes igoosas, métodos simplificados que foneçam esultados satisfatóios dento dos seus espectivos campos de atuação. Paa esses pofissionais não é vantajosa a análise não-linea de estutuas com feamentas muito elaboadas, pois implicaia em gasto excessivo de tempo sem gandes benefícios no esultado final. Desse modo, é impotante o constante apimoamento desses pocessos simplificados que, conhecidas suas limitações, possuem gande utilidade pática. Além disso, o acesso dos pofissionais de engenhaia às feamentas de análise não-linea, tanto às mais simplificadas quanto às mais igoosas, deve se cada vez mais facilitado, bem como paa as instituições de ensino de engenhaia, de foma que estas possam ofeece conceitos e métodos mais modenos paa seus alunos. No tabalho poposto, petende-se contibui de foma efetiva à análise nãolinea das estutuas de contaventamento em conceto amado, estabelecendo-se

17 feamentas e métodos paa análise não-linea física e geomética de foma igoosa e consistente. Petende-se, ainda, contibui com o apefeiçoamento dos pocessos paa a ealização simplificada desse tipo de análise, estudando-se de modo sistemático as feamentas utilizadas paa a estimativa dos efeitos não-lineaes em estutuas de contaventamento em conceto amado... OBJETIVOS E JUSTIFICATIVAS A esposta das estutuas de conceto amado, submetidas a caegamentos divesos, tem sido objeto de estudos desde que o conceto começou a se amplamente utilizado como mateial na engenhaia. No pojeto estutual dos edifícios altos é extemamente impotante uma coeta avaliação da esposta estutual, consideando-se os efeitos não-lineaes da geometia da estutua e da eologia do mateial na análise estutual. De fato, os deslocamentos e esfoços da estutua são deteminados pelo caegamento, pelos os efeitos decoentes da mudança de posição da estutua no espaço não-lineaidade geomética e pelos compotamento não-linea do conceto amado nãolineaidade física. No pojeto de edifícios altos a igidez lateal das estutuas exece, de modo especial, gande impotância estutual e nomativa. Desta dependem a deteminação dos estados limites de utilização, a avaliação da estabilidade global das estutuas e ainda a deteminação dos paâmetos paa o pojeto de estutuas submetidas à ações sísmicas e de vento. Obseva-se que a coeta avaliação do compotamento estutual implica na utilização de feamentas de análise capazes de desceve os efeitos decoentes da não-lineaidade geomética (NLG) e da não-lineaidade física (NLF). Nos últimos anos, com o avanço dos computadoes pessoais, os conceitos não-lineaes começam e se intoduzidos no meio técnico de foma gadativa. No entanto, o empego da análise não-linea não eque apenas o desenvolvimento de feamentas mas, pincipalmente, a fomação de pofissionais capazes de empega com seguança esse tipo de análise. Esta não é a ealidade atual do

18 3 meio técnico de modo geal, pois a maio pate das Escolas de Engenhaia não apesenta os conceitos não-lineaes duante os cusos de gaduação. Po isso, ainda nos dias de hoje, a foma mais feqüente de se analisa uma estutua é atavés da análise elástica e linea, baseada na lei de Hooke e no equilíbio da estutua indefomada, estimando-se os efeitos não-lineaes da estutua atavés de pocedimentos simplificados. Isso acontece poque os modelos lineaes são de mais fácil compeensão, é válida a supeposição de efeitos, além do fato de que os pocedimentos paa tatamento dos esultados, dimensionamento e veificação são amplamente conhecidos. Nesse contexto, o pesente tabalho apesenta como objetivos básicos o de contibui paa a análise não-linea igoosa das estutuas de edifícios em conceto amado, consideando-se a não-lineaidade física do mateial e a não-lineaidade geomética da estutua, atavés da implementação uma fomulação paa análise não-linea de póticos planos capaz de desceve o compotamento estutual de foma eficiente e pecisa. Petende-se, ainda, contibui paa o estabelecimento de pocedimentos simplificados seguos paa a avaliação dos efeitos não-lineaes nas estutuas de conceto amado. De modo específico, contibui paa o estabelecimento do valoes do poduto de inécia (EI) que devem se empegados na análise das estutuas de contaventamento paa simula a peda de igidez devida à NLF. Paa atingi os objetivos popostos seá ealizado um estudo baseado na análise estutual de póticos planos, desenvolvendo-se uma feamenta igoosa capaz de analisa as estutuas planas de conceto amado de foma elaboada e consistente. Com essa feamenta seão obtidas infomações aceca das igidez lateal dos póticos de conceto amado, o que possibilitaá a afeição das eduções de inécia a seem utilizadas nos pojetos usuais de edifícios. Esse estudo das eduções de inécia é uma continuação do tabalho de mestado do auto, PINTO 997, onde foam obsevados muitos aspectos a seem esclaecidos neste assunto, que é de inteesse tanto paa os pojetistas de conceto amado, quanto paa o meio científico empenhado na nomalização dos pocessos simplificados paa análise não-linea. De modo sistemático, os objetivos do tabalho poposto ficam estabelecidos do seguinte modo: a) Desenvolvimento de uma feamenta paa análise não-linea de estutuas planas de contaventamento em conceto amado;

19 4 b) Estudo da inécia efetiva paa vigas e pilaes que devem se utilizadas em pocedimentos simplificados paa a consideação da NLF nos póticos planos em conceto amado; c) Reuni os esultados efeentes os pocedimentos paa consideação simplificada da NLG, confome PINTO 997, com aqueles efeentes à NLF, obtidos no pesente tabalho, em uma poposta conceta paa a ealização de uma análise estutual simplificada..3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO No capítulo são apesentadas e comentadas as difeentes popostas existentes na liteatua paa a consideação simplificada da NLF e da NLG. No capítulo 3 é apesentada uma fomulação paa análise não-linea física e geomética de póticos planos em conceto amado. Esta fomulação, implementada em um pogama de computado, é afeida com esultados da liteatua afim de se utilizada no decoe do tabalho. No capítulo 4 ealiza-se um estudo paamético analisando-se as estutuas de nove póticos com um pavimento e nove póticos com seis pavimentos. Os esultados obtidos com o pocessamento não-linea dos póticos, consideando-se taxas de amaduas que vão desde o mínimo estabelecido em noma até o máximo, são compaados com os pocedimentos simplificados popostos na liteatua. Assim, pode-se avalia as vaiáveis que mais influem na peda de igidez lateal das estutuas, avaliando-se qualitativa e quantitativamente o fenômeno. No capítulo 5 ealiza-se um estudo de póticos com dimensões e caegamentos mais póximos dos usualmente pojetados. São analisados tês póticos com um seis pavimentos, tês póticos com oito pavimentos e tês póticos com teze pavimentos. Compaando-se os esultados obtidos do pocessamento não-linea destes póticos, com aqueles obtidos atavés dos pocedimentos simplificados da liteatua, pode-se avalia quais pocedimentos melho descevem as estutuas usuais de edifícios. Po fim, no capítulo 6, são apesentadas as conclusões geais e as sugestões paa o desenvolvimento de tabalhos futuos.

20 5 CAPÍTULO ANÁLISE NÃO-LINEAR SIMPLIFICADA : PRESCRIÇÕES NORMATIVAS.. INTRODUÇÃO No cálculo estutual de edifícios altos em conceto amado deve-se esta atento ao compotamento não-linea da estutua. Isso poque a mudança de posição da estutua no espaço e o compotamento não-linea do conceto e do aço fazem com que as estutuas ofeeçam uma esposta bem difeente daquela obtida segundo um pocessamento elástico-linea. Os efeitos não-lineaes se dividem, segundo a sua natueza, em efeitos devidos à mudança de posição da estutua no espaço, conhecidos po nãolineaidade geomética (NLG), e aqueles efeentes ao compotamento não-linea do mateial, conhecidos po não-lineaidade física (NLF). A deteminação dos efeitos não-lineaes nas estutuas de contaventamento eque o empego de feamentas mais elaboadas de análise estutual que consideem os efeitos da NLG e da NLF. Esse tipo de análise, nomalmente, implica em um gasto de tempo muito maio que aquele necessáio paa ealização de uma análise elástico-linea, apesa do desenvolvimento dos micocomputadoes. Além disso, paa utilização dos pogamas e análise dos esultados não-lineaes, deve-se conta com engenheios familiaizados com a análise não-linea. Estes aspectos tonam a análise não-linea dispendiosa paa se utilizada pelos escitóios de pojeto. Apesa das estutuas de contaventamento em conceto amado sempe apesentaem uma esposta não-linea quando solicitadas, nem sempe é necessáia a ealização de análises que contemplem os efeitos da NLF e NLG. De

21 6 fato, paa as estutuas muito ígidas os acéscimos nos esfoços e nos deslocamentos devidos aos efeitos não-lineaes geométicos, podem se despezados. Segundo o CEB-FIP/MC 9 (item ) um edifício pode se consideado de nós fixos se os efeitos devidos à deslocabilidade hoizontal da estutua esultam em acéscimos infeioes a % nos momentos fletoes elevantes, obtidos de uma análise elástico-linea. Esse citéio, conhecido como condição de imobilidade dos nós, é amplamente aceito no meio técnico em vitude das incetezas que existem quanto às ações de vento atuantes na estutua e em elação a outos paâmetos impotantes. Deve-se essalta que a deslocabilidade hoizontal das estutuas de contaventamento em conceto amado está intimamente elacionada com os efeitos não-lineaes devidos à NLF e NLG. Paa avalia a sensibilidade da estutua aos efeitos não-lineaes geométicos, têm-se pesquisado paâmetos capazes de estabelece a impotância desses efeitos na modelagem das estutuas de edifícios, indicando a necessidade ou não de se ealiza uma análise não-linea. Alguns desses paâmetos, além de indica a sensibilidade da estutua aos efeitos não-lineaes geométicos, podem até mesmo se empegados, em conjunto com as devidas eduções na inécia da estutua, paa estima, com boa pecisão, os esultados obtidos em uma análise não-linea, a pati daqueles obtidos na análise elástico-linea. Este tipo de análise, onde os efeitos não-lineaes são estimados a pati dos esultados elástico-lineaes, majoando-se os esfoços e minoando-se a igidez da estutua, seão doavante denominados de Análise Não-linea Simplificada. Estes pocessos simplificados paa análise não-linea, conhecendo-se seus espectivos campos de aplicação e sua pecisão, são de extema utilidade pática paa o pojeto de edifícios em conceto amado, uma vez que agilizam o desenvolvimento do pojeto estutual sem peda significativa na pecisão dos esultados. Neste capítulo seão abodados os métodos paa avaliação da estabilidade global das estutuas, bem como os instumentos disponíveis paa a estimativa dos efeitos não-lineaes físicos e geométicos das estutuas de contaventamento de edifícios em conceto amado.

22 7.. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A busca de se estabelece feamentas destinadas a ealização de uma análise não-linea simplificada das estutuas de contaventamento em conceto amado tem sido objeto de estudo no mundo inteio. Pode-se, conceitualmente, dividi estes estudos em dois amos que se complementam: O estudo de paâmetos paa estimativa dos efeitos devidos ao deslocamento hoizontal da estutua (NLG) e estudo paa estimativa das inécias efetivas dos elementos estutuais (NLF). No tocante às consideações simplificadas paa a consideação da NLG, tem-se pesquisado citéios seguos e de fácil implementação pática que pemitam classificá-las quando ao gau de mobilidade: estutuas de nós móveis ou de nós fixos. BECK & KÖNIG (966) popõem o paâmeto α, como uma gandeza capaz de avalia a sensibilidade da estutua em elação aos efeitos da NLG. O modelo poposto considea um pila engastado na base, com uma caga vetical distibuída ao longo de toda a sua altua, supondo-se paa o mesmo um compotamento elástico-linea. O paâmeto fica, então, definido do seguinte modo: α = H F v (.) EI onde: H = altua total do pila F v = caga vetical caacteística no pila EI= poduto de igidez Segundo a teoia desenvolvida po BECK, paa α supeio a,6 tona-se necessáia a consideação dos efeitos devidos à NLG no pila. Posteiomente, este conceito foi estendido po FRANCO (985a) paa o caso de edifícios altos, uma vez que pode-se associa um edifício alto a uma coluna engastada na base, com os pavimentos tipo confeindo às cagas veticais o caáte de caegamento unifomemente distibuído (figua.).

23 8 n i Pi = caga total do pav. H n P d = Pi n i= Figua. - Analogia ente um edifício alto e uma coluna engastada na base Adaptada de CARMO (995) Paa que se possa efetua esta analogia, no entanto, deve-se estende às estutuas dos edifícios altos os conceitos de poduto de igidez equivalente (EI eq ) e paâmeto de foma da linha elástica (ψ). Considee-se uma estutua submetida a uma ação hoizontal unifomemente distibuída q d e seja a d o deslocamento hoizontal do topo (figua.). O poduto de igidez EI eq é aquele equivalente a uma estutua pismática engastada na base, de módulo de igidez E constante ao longo de sua altua H, que sob a ação de q d apesenta o mesmo deslocamento a d no topo. Recoendo-se então à expessão da linha elástica coespondente a um pila engastado na base com uma ação lateal unifomemente distibuída, tem-se: EI eq 4 qd H = 8 a d (.) a d EI eq a d x i δ d q d H P d =Σ P id Figua. - Poduto de igidez equivalente paa uma estutua qualque Adaptada de FRANCO (985a)

24 9 Na estimativa do EI eq devem se computados todos os elementos que contibuem paa a estabilidade da estutua. Potanto, além da consideação de elementos isolados, pincipalmente núcleos e pilaes paedes, deve-se também considea os póticos planos constituintes da estutua, pois estes contibuem paa um contaventamento eficiente. Seja δ d o deslocamento hoizontal, efeente à análise elástico-linea, do ponto de aplicação da esultante das cagas veticais de intensidade P d. Define-se o paâmeto de foma da linha elástica como sendo: δ δ ψ = a a d k = (.3) d k Esse paâmeto pode se facilmente calculado paa estutuas egulaes em casos paticulaes impotantes (figua.3). Pila Paede Associação Pótico a d a d a d Pa. do Pa. do Pa.do 4º gau 3º gau ºgau (a) (b) (c) Figua.3 - Casos paticulaes impotantes de ψ paa estutuas egulaes Adaptada de FRANCO (985a) FRANCO (985a) apesenta os seguintes esultados na avaliação do ψ: estutuas com contaventamento em pila paede ψ=,4, estutuas com contaventamento misto ψ=,5 e estutuas com contaventamento em pótico ψ=,67. O paâmeto de foma pemite que se possa conhece melho o compotamento global da estutua, indicando o modo como se desloca hoizontalmente segundo o tipo de contaventamento pedominante na mesma. Alguns valoes de α lim, paa edifícios de váios pavimentos, foam popostos po alguns pesquisadoes de foma a viabiliza a sua utilização. De acodo com o CEB (977), paa edifícios de váios pavimentos, tem-se:

25 α lim, +,n; paa n 3 α lim,6 paa n 4 onde n é o númeo de pavimentos do edifício. Esta definição de α lim pessupõe que o contaventamento seja constituído exclusivamente po pilaes-paede, visto que se despeza a influência das vigas, além disso, o valo α lim =,6 foi obtido consideando-se γ f =,5. FRANCO (985a) demonsta que paa γ f =,4 tem-se α lim =,7, consideando-se a seguinte edução de inécia paa a estutua: ( EIeq ), 7( EIeq ) k d = (.4) onde: (EI eq ) d = poduto de igidez equivalente no estado limite último, (EI eq ) k = poduto de igidez equivalente caacteístico. Ainda no mesmo tabalho, apesenta valoes limites do paâmeto α dependentes do tipo de contaventamento pedominante na estutua. Esses valoes limites são obtidos atavés da condição genealizada de imobilidade dos nós, definida po FRANCO (985a) como: αlim (.5) ψ Patido-se do paâmeto de foma da linha elástica pode-se estabelece valoes limites de α em função do tipo de contaventamento pedominante na estutua. Os esultados obtidos paa estutuas egulaes, são: α lim,7; contaventamento em pilaes-paede; α lim,6; contaventamento misto (pilaes-paede + póticos ou associações de pilaes paede).

26 α lim,5; contaventamento em pótico; Deve-se essalta que todos esses valoes limites de α foam obtidos consideando-se, paa simula o efeito da peda de igidez da estutua devida à NLF, como válida a elação (.4). VASCONCELOS (987) sugee uma vaiação de α lim em função do númeo de pavimentos n, dada po (paa n ):,44n (,88,44 ) lim = α (.6), Na análise de edifícios altos, o paâmeto α seve como um indicado da necessidade ou não de se leva em conta o efeito da NLG paa o pojeto da estutua. Assim, pode-se despeza o efeito da NLG quando o valo calculado de α fo meno que α lim. Isso equivale a dize que os esfoços totais não-lineaes não ultapassam em % aqueles efeentes à análise elástico-linea (condição de imobilidade dos nós). FRANCO & VASCONCELOS (99) popõem, em substituição ao paâmeto α, o paâmeto γ z como um coeficiente majoado dos esfoços obtidos em uma análise elástico-linea paa a obtenção dos esfoços finais na estutua. O paâmeto γ z é definido como se segue: γ z = M M d d (.7) onde: M d = acéscimos de momentos devido ao deslocamento hoizontal da estutua M d = momento atuante na estutua indeslocada CARMO (995) estabeleceu a seguinte elação empíica ente os paâmetos α e γ z, após a análise de 3 estutuas coentes: γ z =, 9 +, 5α, 6α +, 46α 3 (.8)

27 GRAZIANO (998) encontou uma expessão analítica elacionando α e γ z : α γ z = γ γ z fv ou γ z = (.9) γ α fv onde γ fv é o coeficiente de seguança aplicado ao caegamento vetical da estutua, devidamente analisado po FRANCO & VASCONCELOS (99) e PINTO (997). CARMO (995) estudou, ainda, uma amosta contendo sete pédios, nos quais se compaou os esultados de análises com a consideação da NLG, com os obtidos pelo pocesso P- e pelo método simplificado (utilizando-se o coeficiente γ z ). Essa compaação envolveu, pincipalmente, o deslocamento no topo do edifício e os esfoços ao longo da estutua. Como conclusão de seu tabalho, CARMO (995) considea a utilização do coeficiente γ z satisfatóia dento de cetos limites, confome indicam FRANCO & VASCONCELOS (99). No entanto, paa o univeso das estutuas analisadas em seu tabalho, pecebe-se uma tendência a se avança na utilização desse pocesso paa além do limite,, poposto po FRANCO & VASCONCELOS (99). Além disso, veificou-se que o valo do coeficiente γ z pode, paa os níveis supeioes do edifício, indica acéscimos de esfoços supeioes aos obtidos pelo pocesso igooso e pelo pocesso P-. PINTO (997), analisou 5 edifícios de conceto amado atavés do pocesso simplificado, onde os esfoços da análise elástico-linea são majoados pelo γ z, e um pocesso mais igooso, no qual a NLG é consideada atavés de alteações incementais na matiz de igidez. Em ambos os pocedimentos, a NLF foi consideada atavés de eduções na inécia dos elementos estutuais. Os esfoços obtidos atavés desses dois pocedimentos de análise não-linea geomética foam compaados paa a estutua como um todo e paa 5 faixas ao longo da altua, afeindo-se, assim, a acuidade do pocesso simplificado. Os esultados obtidos indicam que: ) Paa os esfoços nomais, consideando-se a estutua global, os acéscimos devidos aos efeitos não-lineaes mostam-se póximos ao γ z, mesmo paa valoes elevados desses acéscimos.

28 3 ) Os acéscimos de momentos fletoes nos pilaes se mostam, consideando-se a estutua como um todo, póximos ao γ z até paa valoes elevados do paâmeto. Paa valoes de γ z ente,5 e, começam a apaece difeenças da odem de 3% conta a seguança. Acima de,, as difeenças tendem aumenta paa valoes acima de 5%, sendo que a maioia destas se mosta conta a seguança. 3) Consideando-se o compotamento ao longo da altua, os acéscimos de momentos fletoes se apesentam menoes que o γ z paa techos de pilaes póximos à base. Paa os techos intemediáios, os acéscimos são maioes que os pevistos pelo γ z, voltando a se menoes nos techos póximos ao topo. 4) Os esfoços nas vigas, esfoços cotantes e momentos fletoes, apesentam compotamentos semelhantes ente si. Analisando-se a estutua globalmente, as difeenças são da odem de apenas 3% conta a seguança, mesmo paa valoes de γ z acima de,5. 5) Consideando-se o compotamento ao longo da altua, esses esfoços apesentam-se oa a favo oa conta a seguança paa as peças póximas à base. Sendo que somente paa γ z acima de,3 apaecem difeenças conta a seguança da odem de 7% nessa egião. Paa as peças situadas nas egiões intemediáias, a estimativa do γ z mosta-se conta a seguança, com difeenças acima de 5% paa γ z maio que,3. Finalmente, paa peças póximas ao topo a estimativa atavés do γ z volta a esta a favo da seguança. De todos os esultados obtidos, pode-se conclui que a utilização do paâmeto γ z é satisfatóia dento de cetos limites, sendo que o valo de,, estabelecido po FRANCO & VASCONCELOS (99), paece se ealmente o mais adequado. O estabelecimento de um limite supeio a, deve se evitado, levando-se em conta o fato de que nas faixas intemediáias, onde os valoes dos esfoços devidos à ação hoizontal são maioes, a estimativa se mosta conta a seguança. Nessas faixas, deve-se considea ainda que os acéscimos de esfoços apesentam maio dispesão em tono da média, o que concoe paa a diminuição da seguança. Deve-se essalta que a utilização dos paâmetos α e γ z eque a aplicação de coeficientes que simulem a peda de igidez da estutua devida ao compotamento não-linea dos mateiais (NLF).

29 4 As pesquisas efeentes à consideação simplificada da NLF têm buscado enconta valoes mais ealistas paa o poduto de inécia (EI) dos elementos constituintes da estutua, no luga de se considea a seção buta ou a seção fissuada paa os elementos estutuais. MACGREGOR (993) popõe a existência de dois conjuntos de valoes paa o poduto de inécia efetivo (EI ef ): um paa a ealização de uma análise global da estutua e outo paa a análise de membos isolados. Isso é azoável, consideando-se que as deflexões lateais na análise de uma estutua são afetadas pela igidez de todos os seus membos, os valoes de EI ef devem se apoxima do valo médio epesentativo desses elementos estutuais. Po outo lado, quando se lida com a estabilidade de um membo individual, o valo de EI ef utilizado deve se um limite infeio seguo paa o elemento. Na tentativa de se estabelece valoes de EI ef paa a análise global da estutua, KORDINA e HAGE apud MACGREGOR (993) estudaam a vaiação de igidez paa váios membos de póticos sujeitos a momentos devidos a caegamentos gavitacionais, caegamentos lateais e uma combinação dessas duas ações. As figuas.4a,.4b e.4c, adaptadas de HAGE apud MACGREGOR (993), mostam a vaiação no valo de EI ef paa vigas T a medida que se incementa o caegamento. A figua.4a considea momentos devidos a caegamentos gavitacionais (p). O temo η é o quociente ente o momento de engastamento pefeito e o momento nominal esistido pela viga (M n ): η = pl M n (.) Pode-se obseva que, paa pequenos caegamentos, o EI ef excede um pouco o valo do poduto de inécia da seção buta de conceto (E c I g ), devido à pesença da amadua. À medida que o valo de η aumenta, devido ao apaecimento de fissuas, o EI ef se apoxima de,4 E c I g. A figua.a foi obtida KORDINA, Kal, "Cacking and Cack Contol". Planning and Design of Tall Buildings, Poceedings of 97 ASCE-IABSE Intenational Confeence, V. III, 97, pp HAGE, Sven E., e MCGREGOR, James G., "Second ode Analysis of Reinfoced Concete Fames", Stuctual Engineeing Repot No. 9, Depatment of Civil Engineeing, Univesity of Albeta, Edmonton, Oct. 974, 33 pp.

30 5 paa uma seção tansvesal paticula. No entanto, os autoes afimam que se mantém a mesma tendência paa outos tipos de seções tansvesais, inclusive seções etangulaes. Figua.4a - Vaiação de igidez paa vigas T submetidas a momentos devidos a caegamentos gavitacionais. Adaptada de Hage apud MacGego A figua.4b ilusta o compotamento da viga quando submetida a momentos devidos a caegamentos lateais. O temo µ é o quociente ente o momento na extemidade devido ao caegamento lateal e o momento nominal esistido pela viga. Novamente o EI ef se apoxima de,4 E c I g, à medida que µ se apoxima de,, A figua.4c mosta combinações de η e µ. Figua.4b - Vaiação de igidez paa vigas T submetidas a momentos devidos a caegamentos lateais. Adaptada de Hage apud MacGego

31 6 Figua.4c - Vaiação de igidez paa vigas T submetidas a momentos devidos a caegamentos gavitacionais em combinação com caegamentos lateais. Adaptada de Hage apud MacGego Gáficos semelhantes aos anteioes foam obtidos paa outas seções tansvesais, incluindo seções etangulaes. Uma vez estabelecido o valo do EI ef paa vigas, HAGE obteve o valo do EI ef paa colunas, ecalculando póticos de conceto amado cujas deflexões lateais haviam sido deteminadas em ensaios de laboatóio. Obteve como esultado um valo de EI ef póximo de,8 E c I g. Baseados nesses estudos MACGREGOR & HAGE 3 apud MACGREGOR (993) popõem que se considee paa as vigas EI ef =,4 E c I g e paa os pilaes EI ef =,8 E c I g. FURLONG 4 apud MACGREGOR (993) popôs que o EI ef de vigas T seja tomado como o EI total da alma, mas não menos que metade da inécia coespondente à da seção T. Paa colunas localizadas nos níveis infeioes, ele sugeiu EI ef =,6 E c I g, enquanto que paa colunas dos níveis supeioes popôs EI ef =,3 E c I g. DIXON 5 apud MACGREGOR (993) ecalculou 3 póticos que haviam sido testados expeimentalmente, utilizando um pogama que pemitia uma análise não linea. Baseado nos esultados de HAGE assumiu EI ef =,5 E c I g paa as vigas. Utilizando essa igidez paa as vigas, a igidez das colunas que conduziu à melho estimativa dos deslocamentos lateais medidos, de modo consevativo, foi EI ef =,5 E c I g. 3 MCGREGOR, James G., e HAGE, Seven E., "Stability and Design of Concete Fames". Jounal of Stuctual Division, ASCE, v. 3, No. ST, Oct 977, pp FURLONG, Richad W., "Fames with Slende Colums-Lateal Loads Analysis". CRSI Pofessional membes Stuctual Bulletin No. 6, Ma. 98, pp. 5 DIXON, D. G., "Second-Ode Analysis of Reinfoced Concete Sway Fames". M.A.Sc. Thesis, Depatment of Civil Engineeing, Univesity of Wateloo, Ontaio, 985, 3pp.

32 7 MCDONALD 6 apud MACGREGOR (993) poduziu elações momento nas extemidades x otação paa vigas T, lajes amadas em uma dieção e colunas. Paa vigas T, com, % de amadua, o coeficiente de edução do E c I g vaiou de,37 a,44. Paa lajes amadas em uma única dieção, com,5 % de amadua, esse coeficiente vaiou de,6 a,. Paa colunas, o coeficiente de edução vaiou de,66 a,89. Baseado nesses esultados, MCDONALD popôs valoes de coeficientes de edução iguais a,4,, e,7 paa vigas T, lajes amadas em uma única dieção e pilaes, espectivamente. Obseva-se um ceto gau de vaiabilidade nos valoes de EI ef indicados paa pojeto pelos autoes anteiomente citados. MACGREGOR (993) popõe ainda a adoção de um fato de edução paa os valoes de EI ef dado po ϕ =,875. Essa edução pemite leva em conta a vaiabilidade nas deflexões lateais, esultante de simplificações na modelagem das estutuas e da inceteza quanto aos valoes eais de E c e da inécia efetiva (I ef ). FRANCO (995) considea que essa edução só faz sentido paa a fomulação geal do ACI 38/89 e indica os valoes de I ef consideados paa a póxima edição da Noma Basileia (NB-). O texto povisóio da NB- pesceve que paa as vigas com amadua nas duas faces da seção tansvesal, deve-se adota I ef =,5 I g ; paa vigas amadas em apenas uma face I ef =,4 I g ; paa os pilaes I ef =,8 I g ; e paa as lajes I ef =,3 I g. FRANCO & VASCONCELOS (99) popõem ainda, como altenativa, a adoção de um valo único de I ef =,7 I g paa vigas e pilaes. PINTO (997) estudou vigas com difeentes taxas de amadua, pocessadas no LUSAS 7 atavés de modelos planos. Paa as vigas obteve-se uma vaiação nos valoes de EI ef ente,4 E c I g e,64 E c I g, sendo que os valoes mais baixos coespondem a vigas com amaduas em uma única face, e os maioes às vigas com amadua nas duas faces. Em confomidade, potanto, com a indicação do texto base da NB-. Foam estudados também, alguns pilaes cutos, onde se pudesse despeza os efeitos devidos à NLG. Paa estes, obteve-se uma vaiação nos valoes de EI ef de,7 E c I g a,6 E c I g, confome sejam maioes ou menoes os valoes momentos fletoes a que estão submetidos. 6 MCDONALD, Bian E., "Second Ode effects in Reinfoced Concete Fames". M.A.Sc. Thesis, Depatment of Civil Engineeing, Univesity of Wateloo, Ontaio, 986, 57pp. 7 Softwae poduzido na Inglatea pela FEA (Finite Element Analysis Ltd), capaz de ealiza análises não-lineaes atavés do método dos elementos finitos.

33 8 Po fim, analisou-se um pótico plano com o mesmo modelo plano utilizado na análise dos pilaes e das vigas. O esultado indica que dente os valoes popostos na liteatua, os que mais se apoximam dos esultados obtidos no modelo plano pocessado no LUSAS, são aqueles popostos no texto base da NB-. Entetanto, tata-se de um único exemplo analisado consideando-se somente a NLF, devendo esse esultado se avaliado com cautela. SHURAIN (997) avaliou a igidez lateal de 9 póticos compostos po tês membos: dois pilaes e uma viga. Neste tabalho é apesentada a gande vaiação que ocoe no EI ef dos membos constituintes da estutua. De fato, quando um pótico atinge a uptua, somente as seções cíticas atingem o colapso. A maioia delas pemanecem pouco fissuadas apesentando EI ef maio que o E c I g. Duas indicações paa edução de inécia são analisadas: ) EI ef =,5 E c I g paa as vigas e EI ef = E c I g paa os pilaes; ) EI ef = E c I c paa as vigas e EI ef =,4 E c I g paa os pilaes; sendo I c a inécia da seção fissuada. SHURAIN (997) indica que a utilização de EI ef =,5 E c I g paa as vigas e EI ef = E c I g paa os pilaes, esulta em bons esultados em seviço. A utilização de EI ef = E c I c paa as vigas e EI ef =,4 E c I g apesenta bons esultados somente paa o colapso de póticos com baixas taxas de amadua. No tocante à inécia efetiva paa a análise de membos isolados, têm-se pesquisado expessões que pemitam uma estimativa simples e segua do EI ef desses elementos. Esses valoes são utilizados, em geal, em métodos apoximados paa o dimensionamento dos elementos. É o caso, po exemplo, da apoximação adotada pelo ACI Building Code paa o dimensionamento de pilaes esbeltos. Este método utiliza o caegamento axial obtido de uma análise elásticolinea e um momento majoado, que inclui os efeitos efeentes à NLG devidos ao deslocamento hoizontal da coluna. A eficácia do pocesso está dietamente ligada a uma coeta pevisão do EI ef paa o elemento. Esta deteminação pode se feita segundo as expessões do ACI Building Code (ACI eq. - e -) : ou EI ef = (. EI cg+ EI sse) + β d ACI eq. (-)

34 9 EI ef 4. EI = + β cg d ACI eq. (-) onde: β d = quociente ente a pacela pemanente do caegamento total e o caegamento total aplicado; E c = Módulo de elasticidade do conceto; I g = momento de inécia da seção buta de conceto amado em elação ao centóide da seção tansvesal, I se = momento de inécia da s baas de aço em elação ao centóide da seção tansvesal; E s = Módulo de elasticidade longitudinal do aço. MIRZA (99) analisou ceca de 95 colunas etangulaes modeladas teoicamente. Estes esultados foneceam dados que pemitiam a deteminação de expessões paa cálculo de EI ef. Ainda no mesmo tabalho, Miza compaou os esultados teóicos com os obtidos atavés das expessões do ACI Obseva-se nesta compaação que, em média, os valoes do ACI estão em acodo com os valoes teóicos. Entetanto, paa um númeo significativo de colunas estes valoes divegiam substancialmente desses esultados. Conclui-se ainda que os valoes dados pelo ACI estão, em geal, ceca de duas vezes maioes que os popostos po Miza. MIRZA (99) popõe as seguintes expessões : onde EI ef αe cig + E I = + β d s se [.7 +.3( L / h).3( e / )] = h (.) α (.) ou altenativamente [.3.3( e / )] α (.3) = h sendo L = altua não contaventada da coluna, h = altua da seção tansvesal, e = a maio excenticidade nas extemidades, β d, E c, I g, E s, I se são os mesmos das equações - e -. Com o objetivo veifica a validade das expessões - e - do ACI paa colunas com seção cicula, SIGMON & AHMAD (99) desenvolveam um modelo paa análise em computado deste tipo de coluna. O

35 esultado deste estudo foneceu expessões paametizadas paa deteminação do EI ef de colunas ciculaes na fissuação, e no estado limite último de defomação.3 no conceto. Obsevou-se ainda, que na maioia dos casos as expessões do ACI supeestimam os valoes teóicos de EI ef. As expessões deteminadas paa colunas ciculaes são : Fissuação : P/P.6 ( ) EIef EcIg = 6. ω 4. P P (.4) Defomação.3 no conceto : P/P <.6 ( ) EIef EcIg =. 53 ω. 54 P P +. 5 (.5) 3 onde: ω = ρf y /f c, ρ = A st /A g, P/P = quociente ente o caegamento aplicado e a máxima capacidade esistente, P =.8 f c A c + f y A st, f c = esistência à compessão do conceto, f y = tensão de escoamento do aço, A g = áea buta da seção tansvesal, A st = áea de aço, A c = A g -A st. ZENG at all (99) desenvolveam expessões paa o cálculo do EI ef de membos individuais, baseados nas elações momento x cuvatua. Foam efetuadas compaações de esultados obtidos em testes de laboatóio, com as expessões do ACI e com as desenvolvidas po MIRZA (99). O esultado destas compaações mosta que as elações popostas neste tabalho, paa colunas etangulaes, se adaptam melho aos esultados expeimentais que as equações do ACI, tanto paa caegamento último quanto paa caegamento de seviço. As equações desenvolvidas são : EI ( 3 )( P e ) ( ) = +. γ αφ (.6) ef n y sendo : ( ) Φ y d = f y E s.. ξ (.7) ( b b) h ( bd ) γ = (.8) f f

36 ( P P n ). ( e h) α = (.9) ξ = β xd (.) onde: e = excenticidade da foça aplicada em elação à amadua menos compimida, e = excenticidade da foça aplicada em elação ao CG da seção tansvesal, b = lagua da seção, b f = lagua da flange tacionada, β = fato de equivalência de bloco etangula definido no ACI 38-89, x = pofundidade da zona compimida da seção, d = distância ente a fiba mais compimida e o centóide da amadua tacionada, P/P n = quociente ente o caegamento aplicado e a máxima capacidade esistente, h f = altua da flange tacionada, f y = tensão de escoamento do aço, E s = Módulo de elasticidade do aço. Obseva-se uma gande quantidade de tabalhos publicados efeentes ao estudo de feamentas simplificadas paa a análise não-linea das estutuas de edifícios em conceto amado. No entanto, ainda existe uma caência de tabalhos efeentes à deteminação dos valoes de EI ef paa a análise global da estutua. A maio pate dos tabalhos se efee ao estudo de membos isolados (vigas e pilaes), havendo poucos tabalhos que consideem os póticos planos constituintes da estutua. A lacuna existente fica evidenciada pela gande vaiabilidade nos valoes de EI ef popostos na liteatua.

37 .3. CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS A deteminação de paâmetos paa avaliação dos efeitos não lineaes nas estutuas de edifícios em conceto amado tem sido objeto de váios estudos desde a década de 6. Estes estudos se dividem, segundo a natueza dos efeitos não-lineaes, em: consideação simplificada da NLG e consideação simplificada da NLF. Paa consideação simplificada da NLG são popostos dois paâmetos: o paâmeto α e paâmeto γ z. O paâmeto α é um paâmeto que indica a necessidade ou não da ealização de uma análise não-linea, confome supee ou não o valo limite estabelecido paa cada tipo de estutua, não apesentando infomações sobe a magnitude dos acéscimos de esfoços devidos aos efeitos não-lineaes. O paâmeto γ z apesenta uma gande vantagem sobe o paâmeto α, pois pemite uma estimativa confiável dos acéscimos de esfoços obtidos em função da NLG, dento de deteminados limites. PINTO (997) analisou a eficiência do paâmeto γ z, indicando sua utilização com seguança até o limite de,, em confomidade com FRANCO & VASCONCELOS (99). A consideação da NLF no paâmeto α já está embutida na fomulação, na qual se considea uma edução de 3% no poduto de igidez caacteístico, estando essa edução já incopoada aos valoes limites de α. Paa o paâmeto γ z a NLF não está incopoada ao valo do paâmeto, sendo consideada atavés de eduções na inécia das vigas e dos pilaes da estutua. Assim, os deslocamentos da estutua, utilizados paa a deteminação dos acéscimos nos momentos fletoes, seão obtidos consideando-se uma peda de igidez devida à NLF. Obseva-se que os coeficientes de edução de inécia possuem esteita ligação com os paâmetos α e γ z, dependendo dos coeficientes utilizados a coeta avaliação dos efeitos não-lineaes nas estutuas. A consideação simplificada da NLF tem sido objeto de estudo de váios pesquisadoes em todo o mundo, buscando-se uma foma de se considea a NLF de foma simplificada e coeta. Estes estudos efeentes à consideação simplificada da NLF também se dividem, basicamente, em dois amos: o estabelecimento de EI ef paa a ealização de uma análise global da estutua, e o estabelecimento de EI ef paa a análise de membos isolados.