FÍSICA. Curso de. Cinemática. Capítulo Movimento Ponto material ou partícula Referencial

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1 Cinemáica Curso de FÍSIC Capíulo 1 É a pare da mecânica que esuda o movimeno sem se preocupar com as suas causas. 1. Conceios fundamenais 1.1. Pono maerial ou parícula É odo corpo cujas dimensões não inerferem no esudo de deerminado fenômeno. Se o corpo não puder ser considerado pono maerial, ele será chamado corpo exenso. Exemplo: Considere um caminhão manobrando para enrar na garagem e o mesmo caminhão viajando por uma longa esrada. Na primeira siuação, consideremos o caminhão como corpo exenso; na segunda siuação, como pono maerial Movimeno Um corpo esá em movimeno em relação a um referencial quando a sua posição varia com o empo em relação a esse referencial Repouso Um corpo esá em repouso em relação a um referencial quando a sua posição permanece consane em relação a esse referencial. 1.. Referencial É um corpo (ou conjuno de corpos) em relação ao qual são definidas as posições de ouros corpos. Exemplo: Na figura a seguir, precisamos localizar o carro. Usando como objeo de referência a árvore, podemos dizer que o carro esá, por exemplo a 1 m da árvore. No exemplo acima, esamos localizando o carro apenas no eixo x. Para uma localização mais exaa, como o pono P da figura a seguir precisaríamos da rinca xyz. y x P (x,y,z) z Na figura, emos um rem que pare de uma esação e se dirige a oura localidade. Em relação a um observador fixo na esação, uma lâmpada presa ao eo do rem esá em movimeno, porque a sua posição varia com o empo. Porém, para um observador no inerior do rem, a lâmpada esá em repouso Trajeória Um pono maerial que se move em relação a um deerminado referencial ocupa sucessivamene diversas posições, descrevendo uma curva que recebe o nome de rajeória. Se esse pono maerial esiver em repouso em relação a um referencial, sua rajeória se reduz a um pono geomérico. Exemplo: Um avião voa horizonalmene com velocidade consane, conforme a figura a seguir. No insane indicado na figura, o piloo aciona um disposiivo e deixa cair um pacoe. Desprezando a resisência do ar, observe que a rajeória do pacoe para o piloo () é uma rea verical e, para um observador no solo (B), a rajeória é uma parábola. 1

2 () que raduz a rapidez de movimeno num dado insane, ou seja, numa dada posição da rajeória. Ese valor é denominado velocidade escalar insanânea. Em um auomóvel, a indicação de seu velocímero raduz o valor absoluo da velocidade insanânea. (B). Variação de espaço ou deslocameno escalar Observe na figura a seguir uma parícula que se desloca do insane 1, em que o espaço vale S 1, aé o insane, em que o espaço vale S. variação de espaço enre 1 e é dada por: 1 S1 S S + Unidades S.I. CGS m/s cm/s.. celeração escalar média É a grandeza que indica de quano varia a velocidade escalar num dado inervalo de empo. a m = Dv D Unidades DS = S S 1 ou DS = S (final) S (inicial) Noa: Não se deve confundir variação de espaço com disância efeivamene percorrida. disância percorrida é uma grandeza de uilidade práica que informa o quano a parícula efeivamene percorreu enre dois insanes, devendo ser calculada sempre em valor absoluo. Exemplo: Um carro sai do marco km, vai para o marco 1 km e reorna para o marco 4 km. Deermine a variação de espaço e a disância percorrida. S.I. m/s CGS cm/s 3. Classificação dos movimenos 3.1. Quano ao senido Movimeno progressivo É aquele em que o móvel se desloca a favor da orienação posiiva da rajeória, ou seja, seus espaços crescem no decurso do empo e sua velocidade escalar é posiiva. km () 4 km (C) 1 km (B) Variação de espaço: (DS) Nesse caso, só ineressam o pono de saída () e o pono de chegada (C). DS = S C S DS = 4 = km Disância percorrida: d = DS B + DS BC d = S B S + S C S B d = d = d = = 18 km.1. Velocidade escalar média É a razão enre a variação do espaço ocorrida em um dado inervalo de empo e o respecivo inervalo de empo. V m = DS D Noa: Velocidade insanânea: a velocidade escalar média raduz a rapidez com que o móvel se movimena num dado inervalo de empo. Se o inervalo de empo considerado (Δ) diminuir indefiniivamene, endendo para zero (Δ ), a velocidade escalar média ende para um valor DS > O V > Movimeno rerógrado É aquele em que o móvel se desloca conra a orienação posiiva da rajeória, ou seja, seus espaços decrescem no decurso do empo e sua velocidade escalar é negaiva. DS < O V < Noa: Durane viagem por uma rodovia, você pode, em cada insane, localizar a posição do carro, iso é, seu espaço, por meio dos marcos quiloméricos colocados no acosameno da pisa ou esrada.

3 s indicações dos marcos quiloméricos podem aumenar com o passar do empo (por exemplo, km 1, km 11, km 1,...) se você esiver viajando no senido dos espaços crescenes, ou podem diminuir (km 1 km, 11, km 1...) se você esiver se movimenando no senido conrário ao dos espaços crescenes. No primeiro caso, o movimeno é progressivo e, no segundo caso, o movimeno é rerógrado. 3.. Quano ao sinal da velocidade e da aceleração celerado É aquele em que o módulo da velocidade aumena no decurso do empo, ou seja, velocidade e aceleração êm o mesmo sinal (mesmo senido). celeração horas, percorrendo mais km e chegando ao seu desino. Deermine a velocidade escalar média desse ônibus na viagem. a) 88,9 km/h. b) 8 km/h. c) 85 km/h. d) 9 km/h. e) 1 km/h. 3. Um carro percorre uma pisa que em o formao de um quadrado com 5 km de lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade escalar média de 15 km/h; o segundo e o erceiro, a km/h, e o quaro, a 1 km/h. velocidade escalar média do carro, ao percorrer o perímero do quadrado, é igual a: a) 15 km/h. b) 16 km/h. c) 15 km/h. d) 16 km/h. e) km/h Reardado É aquele em que o módulo da velocidade diminui no decurso do empo, ou seja, velocidade e aceleração êm sinais oposos (senidos oposos). Desaceleração 4. Do pono, vérice do quadrado BCD, pariram simulaneamene duas parículas. Uma delas, P 1, seguiu a rajeória BCD com velocidade escalar consane V 1, enquano a oura, P, percorreu a diagonal C, ida e vola, manendo consane o módulo da velocidade escalar V. mbas reornaram ao vérice no mesmo insane. Qual a razão (V 1 /V )? a) b) / c) d) e) 4 EXERCÍCIOS 1. Considere uma viagem qualquer na qual um corpo se movimena com cera velocidade escalar média. Se a mesma viagem fosse feia com uma velocidade escalar média de 5% maior que a anerior, a economia de empo esaria na faixa de aproximadamene: a) 5%. b) 33%. c) 5%. d) 1%. e) 1%.. Um ônibus inicia uma viagem às 8 h em pono. pós percorrer uma disância de km, chega a um poso às 1 h 3 min e faz uma parada de 3 minuos, para descanso dos passageiros. o reomar a viagem, roda mais 5. Em uma rua escura, esá acesa uma única lâmpada a uma alura H do solo horizonal. Uma pessoa de alura h caminha em rajeória reilínea com velocidade consane de módulo V em relação ao solo. Seja S a sombra de sua cabeça projeada no solo. velocidade de S, em relação ao solo, em módulo: a) Variável. b) Igual a V. c) Igual a. d) Igual a. e) Igual a. 6. Um airador ouve o ruído da bala aingindo o alvo s após dispará-la com velocidade de módulo 85 m/s. Supondo-se que a velocidade do som no ar seja consane e enha módulo igual a 34 m/s, qual a disância enre o airador e o alvo? a) 136 m. b) 14 m. c) 19 m. d) m. e) m. 3

4 7. Para mular moorisas com velocidade superior a 9 km/h, um guarda rodoviário aciona seu cronômero quando avisa o auomóvel passando pelo marco e faz a leiura no cronômero quando vê o veículo passar pelo marco B, siuado a 1 5 m de. Um moorisa passa por, a 144 km/h e maném essa velocidade durane 1 s, quando percebe a presença do guarda. Que velocidade média ele deverá maner em seguida para não ser mulado? a) b) c) d) e) V 79, km/h. V 78, km/h. V 77, km/h. V 76, km/h. V 75, km/h. km b) km 3 c) km 4 d) km 5 e) km 6 d) 15 minuos. e) 3 minuos. 1. Um avião pare de uma cidade rumo a oura B com velocidade consane e igual a 5 km/h. Na meade do percurso, é obrigado a diminuir a velocidade para km/h e chega à cidade B com um araso de 15 minuos. Qual a disância enre as duas cidades, em km? d) 6 km. e) 7 km. 4. Movimeno Uniforme (MU) Nesa aula, é feia a análise dos movimenos em que a velocidade escalar permanece consane no decorrer do empo. Em ais movimenos, o móvel percorre disâncias iguais em inervalos de empo iguais, como o carro indicado na figura abaixo. No movimeno uniforme, a velocidade escalar insanânea é consane e coincide com a velocidade escalar média, qualquer que seja o inervalo de empo. 4 1m m 3s 4s 3m 4m 5s 5m Função horária: S = f ( ) Considere um carro que no início da conagem dos empos ( = s) enconra-se na posição S e que depois de um empo qualquer enconra-se na posição S. equação horária que rege seu movimeno será dado por: S S DS D Como no MU, a velocidade média coincide com a velocidade insanânea, enão, Vm = V= S S S = S + V. a) 3 km. b) 4 km. c) 5 km. pos.= m s S S = V. 9. Dirigindo-se a uma cidade próxima, por uma auoesrada plana, um moorisa esima seu empo de viagem, considerando que consiga maner uma velocidade média de 9 km/h. o ser surpreendido pela chuva, decide reduzir sua velocidade média para 6 km/h, permanecendo assim aé a chuva parar, quinze minuos mais arde, quando reoma sua velocidade média inicial. Essa redução emporária aumena seu empo de viagem em relação à esimaiva inicial em: a) 5 minuos. b) 7,5 minuos. c) 1 minuos. 1s 8. Mara e Pedro combinaram enconro em um cero pono de uma auoesrada plana, para seguirem viagem junos. Mara, ao passar pelo marco zero da esrada, consaou que, manendo uma velocidade média de 8 km/h, chegaria na hora cera ao pono de enconro combinado. No enano, quando ela já esava no marco do quilômero 1, ficou sabendo que Pedro inha se arasado e, só enão, esava passando pelo marco zero, preendendo coninuar sua viagem a uma velocidade média de 1 km/h. Manendo essas velocidades, seria previsível que os dois amigos se enconrassem próximos a um marco da esrada com indicação de: a) = s EXERCÍCIOS 11. Uma parícula descreve um movimeno uniforme cuja função horária é S = + 5, para S medido em mero e, em segundo. Nese caso, podemos afirmar que a velocidade escalar da parícula é: a) b) c) d) e) m/s e o movimeno é rerógrado. m/s e o movimeno é progressivo. 5 m/s e o movimeno é progressivo. 5 m/s e o movimeno é rerógrado.,5 m/s e o movimeno é rerógrado. 1. Um móvel em por equação horária S = 4 +, com S em mero e em segundo. O movimeno é: a) b) c) d) e) Reilíneo e uniforme. Uniforme. Uniformemene acelerado. Uniformemene reardado. Rerógrado. 13. Dois móveis, e B, percorrem uma mesma rajeória e suas posições são dadas, a parir da mesma origem dos espaços, por S = e SB = 1 1 (S em mero e em segundo). Os insanes e a posição de enconro são iguais, respecivamene, a: a) 1 s e m. b) s e 1 m. c) 3 s e 4 m. d) 4 s e m. e) 5 s e 6 m.

5 Noa: Velocidade relaiva (v rel ) quano empo o áxi alcança o ônibus. a) 1 minuos. b) minuos. c) 3 minuos. d) 4 minuos. e) 5 minuos. N S B vb V,B = V V B S v B V B V S,B Imagine que no insane a posição do carro, medido pelo observador N, é S e que a posição co carro B, medido pelo mesmo observador, seja S B. No enano, a posição de em relação a B será DS,B. nalisando a figura, podemos relacionar essas posições aravés da relação: DS,B = S S B Dividindo-se membro a membro do, eremos: DS,B = S S B ou V,B = V V B Supondo o módulo das velocidades consanes. Conclusão: O conceio de velocidade relaiva é úil na resolução de problemas em que ocorrem aproximação, ulrapassagens e afasamenos enre móveis com movimenos uniformes. EXERCÍCIOS 14. Um auomóvel de comprimeno 3 m e ouro de comprimeno 5 m percorrem a mesma esrada em M.U. com velocidades escalares respecivamene iguais a X e Y, com (X > Y). Quando esão no mesmo senido, a ulrapassagem demora s e, quando esão em senidos conrários, demora,4 s. Quano vale Y, em m/s? a) 4 b) 6 c) 8 d) 1 e) Um passageiro pega um áxi para alcançar um ônibus que saiu da rodoviária a 15 minuos. Sabendo que a velocidade do ônibus é consane e igual a 6 km/h e que a velocidade do áxi é consane e igual a 9 km/h, calcule depois de 16. Dois moociclisas, e B, parem de um mesmo pono de uma esrada reilínea e horizonal, com velocidades consanes e iguais a 36 km/h e 18 km/h, respecivamene. Sabendo que se movem no mesmo senido e que o moorisa B pare 3 s após a parida de, deermine o insane no qual os dois moociclisas se enconram após a parida de. a) 1,5 s. b),5 s. c) 3,5 s. d) 4,5 s. e) 5,5 s. 17. Dois rens rafegam em senidos conrários com movimenos uniformes, com o primeiro a 18 km/h e o segundo a 4 km/h. Um viajane acomodado no primeiro observa que o segundo rem leva 13 segundos para passar por ele. Qual o comprimeno do segundo? a) 145 m. b) 15 m. c) 166 m. d) 178 m. e) m. 18. Um caminhão, de comprimeno igual a m, e um homem percorrem, em movimeno uniforme, um recho de uma esrada reilínea no mesmo senido. Se a velocidade do homem é 5 vezes maior que a do caminhão, a disância percorrida pelo caminhão desde o insane em que alcança o homem aé o momeno em que o ulrapassa é, em meros, igual a: a) b) 5 c) 3 d) 3 e) Movimeno Uniformemene Variado (MUV) Na aula anerior, vimos um movimeno de velocidade escalar consane: o Movimeno Uniforme. Sua aceleração escalar é consane e igual a zero. No enano, sabemos da exisência de ouros movimenos, cuja aceleração escalar é não nula: são os movimenos de velocidade escalar variável. Denre esses, esudaremos, paricularmene, o uniformemene variado. Movimeno Uniformemene Variado é aquele que possui aceleração escalar consane e não-nula., m/s 15,m/s 1, m/s 5, m/s, m/s,s 1,s,s 3,s 4,s No Movimeno Uniformemene Variado (MUV), a velocidade escalar média, enre dois insanes,é a média ariméica das velocidades escalares nos insanes considerados, ou seja: V m = V + V 5

6 5.1. Equação horária da velocidade Considere que o carro da figura acima em velocidade V no insane = e velocidade V no insane. Sendo o módulo da aceleração consane, enão: 6 a = Dv D a = V V - V - V = a. V = V + a. 5.. Equação do espaço Para que sua descrição seja complea, devemos ambém conhecer sua função horária, iso é, como os espaços S variam no decurso do empo. Por definição, a velocidade média é dada por: V m = DS V + V, como no MUV, V m =, enão: D DS V + V =. Como D = = e V = V + a. D Enão eremos: DS = (V + a.) + V ou DS V = + a. V. + a. ou DS = De onde se conclui que: a DS = V + ou S = S + V + a 5.3. Equação de Torricelli Já relacionamos S com e V com. Busquemos agora uma expressão que forneça a velocidade escalar V de uma parícula em movimeno uniformemene variado em função do espaço S. Para isso, basa isolar na equação da velocidade e subsiuí-lo na equação do espaço, que chegaremos à seguine relação: (1) V = V + a ou = V V a () DS D = V + V Subsiuindo (1) em (): DS = V + V ou DS = V + V. V V a ads = (V + V ). (V V ) ads = V V ou V = V + ads. EXERCÍCIOS 19. De um pono para um pono B, pare do repouso e em rajeória reilínea um auomóvel com aceleração consane a = m/s. Se a disância enre os ponos B é 4 m, qual a velocidade média no recho B, em m/s? a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5. Uma composição de merô pare de uma esação e percorre 1 m com aceleração consane, aingindo a velocidade de m/s. Qual a duração do processo? a) 1 s. b) 15 s. c) s. d) 5 s. e) 3 s. 1. O empo de reação (inervalo de empo enre o insane em que uma pessoa recebe a informação e o insane em que reage) de cero moorisa é,7 s, e os freios podem reduzir a velocidade de seu veículo à razão de 5 m/s a cada segundo. Supondo que ele eseja dirigindo à velocidade consane de 1 m/s, qual a disância percorrida enre o insane em que avisa algo inesperado, que leva a acionar os freios aé o insane em que o veículo para? a) 11 m. b) 13 m. c) 15 m. d) 17 m. e) 19 m.. Dois móveis, e B, parem simulaneamene de um mesmo pono, com direções perpendiculares enre si. O móvel em velocidade consane igual a 1 m/s e o móvel B, movimeno uniformemene acelerado, parindo do repouso com aceleração de 4 m/s. Deermine, aproximadamene, a disância enre os dois móveis após 5 s de movimeno. a) 5 m. b) 6 m. c) 7 m. d) 8 m. e) 9 m. 3. Um ciclisa inicia uma corrida a parir do repouso, acelerando,5 m/s. Nesse insane, passa por ele ouro ciclisa, B, com velocidade consane de 5, m/s e no mesmo senido que o ciclisa. Depois de quano empo após a largada o ciclisa alcança o ciclisa B? a) 1 s. b) s. c) 3 s. d) 4 s. e) 5 s. 4. Dois carros e B, ambos em movimeno uniformemene variado ao longo de um eixo X, se cruzam duas vezes: no insane 1 e no insane. Suas velocidades escalares são respecivamene iguais a V e V B, no insane 1, e V ` e V B`, no insane. Quano vale a razão (V -V B )/(V `-V B`)? a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5

7 5. Um móvel desloca-se sobre uma rea segundo a função horária S = 15 + (no SI). Quano vale, respecivamene, o insane em que o móvel muda o senido do movimeno e o insane em que o móvel passa pela origem das posições? a) 1 s e 3 s. b) 1 s e 5 s. c) 1 s e 1 s. d) 1 s e,5 s. e) s e 3 s. 6. Movimeno verical no vácuo 6.1. queda livre dos corpos Exemplo: Considere um barco que sai perpendicularmene às margens de um rio e é arrasado pela correneza, aingindo a margem oposa num pono siuado rio abaixo. O empo gaso pelo barco na ravessia é o mesmo que ele gasaria sem correneza. O movimeno de arrasameno rio abaixo é simulâneo ao movimeno próprio do barco, mas independe dele. Os dois movimenos ocorrem ao mesmo empo, mas um não inerfere na realização do ouro Lançameno horizonal no vácuo Quando um corpo é lançado horizonalmene no vácuo, nas proximidades da superfície erresre, ele descreve, em relação à Terra, uma rajeória parabólica. Esse movimeno pode ser considerado, de acordo com o princípio da simulaneidade, como resulado da composição de dois movimenos simulâneos e independenes: queda livre e movimeno horizonal. V V V y 1 V H V y Na direção verical: O movimeno é reilíneo uniformemene acelerado, ou seja, a velocidade aumena uniformemene com o empo. Considerando-se a orienação do eixo caresiano a seguir, na direção y eremos: Cona-se que, por vola de 159, Galileu Galilei realizou uma experiência que o ornou famoso. Subiu ao alo da Torre de Pisa e de lá abandonou, simulaneamene, duas esferas de pesos diferenes; elas chegaram junas ao solo. Galileu concluiu, enão, que elas foram igualmene aceleradas, embora, seus pesos fossem diferenes. Na realidade, hoje sabemos que o resulado obido por Galileu será rigorosamene verdadeiro somene se abandonarmos os corpos em queda livre, iso é, no vácuo ou num local onde se possa desprezar a resisência do ar. Concluímos, porano, que odo corpo em queda livre, próximo à superfície da Terra, em aceleração denominada aceleração da gravidade, cujo módulo é represenado por g. Seu valor é variável para cada pono da Terra, ano com a aliude como com a laiude. No enano, para uma pequena região limiada, como, por exemplo, o inerior de uma sala de aula, podemos considerar a aceleração da gravidade aproximadamene consane. O valor da aceleração da gravidade a uma laiude de 45 e ao nível do mar é chamado aceleração normal da gravidade e vale g = 9,8 m/s. Galileu nasceu em 15 de fevereiro de 1564 na cidade de Pisa, na Iália, onde se dedicou aos esudos de Medicina, Filosofia e Maemáica, desacando-se nesa úlima. No enano, foi nos campos da Física e da sronomia que Galileu se aperfeiçoou. alura da famosa orre inclinada de Pisa mede, aproximadamene, 45 m. Cona-se que, do alo dessa orre, Galileu realizou sua célebre experiência sobre a queda dos corpos. 6.. Princípio da independência dos movimenos simulâneos (Galileu) Esudando os problemas relaivos a um movimeno composo, iso é, resulane da composição de dois movimenos, Galileu propôs o princípio da simulaneidade ou princípio da independência dos movimenos simulâneos: Se um corpo apresena um movimeno composo, cada um dos movimenos componenes se realiza como se os demais não exisissem e no mesmo inervalo de empo. H V g y = y = h V y = a = g (o sinal negaivo significa que g esá em senido conrário a orienação de y). Como Y = Y + V y + a = H + + ( g) Enão,. Na direção horizonal: O movimeno é reilíneo e uniforme, ou seja, a velocidade é consane e não-nula (V ). No MU, a função horária é do ipo X = X + V. Em relação à figura, emos = V., en- Isolando o empo em = V e subsiuindo em conramos: 7

8 EXERCÍCIOS 6. Um objeo é abandonado de uma cera alura H em relação ao solo. Desprezando a resisência do ar e adoando g, o módulo da aceleração da gravidade, qual das expressões abaixo represena o empo da queda? a) b) c) d) e) 7. Do alo de um edifício, deixa-se cair uma pedra que leva 4 s para aingir o solo. Desprezando a resisência do ar e considerando g = 1 m/s, qual a alura do edifício e a velocidade da pedra ao aingir o solo, respecivamene? a) 4 m e 8 m/s. b) 8 m e 4 m/s. c) 8 m e 8 m/s. d) 4 m e 4 m/s. e) m e 4 m/s. 8. Um asronaua levou para a Lua uma bolinha de chumbo. bolinha foi abandonada, a parir do repouso, de uma alura de 3, m e gasou, s para aingir o solo lunar. Qual o módulo da aceleração da gravidade lunar, em m/s? a) 1, b) 1,4 c) 1,6 d) 1,8 e) 9. Uma orneira mal fechada pinga a inervalos de empo iguais. figura a seguir mosra a siuação no insane em que uma das goas esá se solando. Supondo que cada pingo abandone a orneira com velocidade nula e desprezando a resisência do ar, pode-se afirmar que a razão /B enre a disância e B mosrada na figura (fora de escala) vale: 3. Um objeo cai, a parir do repouso, de uma alura de 7 m no local onde g = 1 m/s. Dividindo essa alura em rês pares, que devem ser percorridas em inervalos de empos iguais, o valor da erceira pare, conado de cima para baixo seria: a) 3 m. b) 5 m. c) 7 m. d) 9 m. e) 15 m. 31. Dois rifles são disparados com os canos na horizonal, paralelos ao plano do solo e ambos à mesma alura acima do solo. À saída dos canos, a velocidade da bala do rifle é rês vezes maior que a velocidade da bala do rifle B. pós inervalos de empo e B, as balas aingem o solo a, respecivamene, disâncias d e d B das saídas dos respecivos canos. Desprezando-se a resisência do ar, pode-se afirmar que: a) = B, d = d B b) = B /3, d = d B c) = B/3, d = 3d B d) = B, d = 3d B e) = 3 B, d = 3d B 3. Um projéil é airado horizonalmene de uma orre de 8 m de alura com uma velocidade inicial de 3 m/s. Desprezando a resisência do ar, Quano empo o projéil leva para aingir o solo? a) 1 segundo. b) segundos. c) 3 segundos. d) 4 segundos. e) 5 segundos. 33. Com relação à quesão anerior, qual o alcance aingido pelo objeo? a) 1 m. b) 14 m. c) 16 m. d) 18 m. e) m. 34. Um avião, em voo horizonal a km de alura, deve solar uma bomba sobre um alvo móvel. velocidade do avião é de 43 km/h e a do alvo é de 36 km/h, ambas consanes e de mesmo senido. Para o alvo ser aingido, o avião deverá solar a bomba a uma disância D. Qual o valor de D? B a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8 a) 1,1 km. b), km. c) 3,3 km. d) 4,4 km. e) 5,5 km.

9 35. Uma bolinha de ênis se movimena no paamar de uma escadaria com velocidade de 3 m/s. Cada degrau em cm de alura e cm de largura. Que degrau a bolinha aingirá primeiro? Considere g = 1 m/s. a) 5 o. b) 7 o. c) 9 o Regra de Galileu d) 1 o. e) 19 o. Considere que uma pedra cai em queda livre de uma alura H. Vamos dividir essa alura em rês pares para que sejam percorridas em empos iguais. H 1 H Conclusão: Quando dividimos a alura oal em pares que sejam percorridas em empos iguais, as pares obedecem a seguine relação: 1 : 3 : 5 : 7 :... n os ímpares Exemplo: Uma pedra cai em queda livre de uma alura de 18 m. Divida essa alura em 3 pares, que sejam percorridas em empo iguais. x + 3x + 5x = 18 x 9x = 18 x = m 3x 5x 18 m s pares são: x = m 3x = 3. = 6 m 5x = 5. = 1 m H H 3 Considere que um objeo seja lançado horizonalmene, conforme a figura a seguir. 1 3 Vimos que, na queda livre, a alura percorrida é proporcional ao quadrado do empo, ou seja: 5 Enão: h = g h 1 = g h 1 + h = g() h 1 h 1 + h = 4 g h 1 + h = 4h 1 h = 3h 1 Consequenemene: h 1 + 3h 1 + h 3 = 9 g 4h 1 + h 3 = 9h 1 h 1 + h + h 3 = g(3) h 1 h 3 = 5h 1 Enão, a figura ficaria assim: h 1 3h 1 5h TT Como na verical emos um movimeno de queda livre, enão, pela regra de Galileu, em inervalos de empo iguais, as aluras são proporcionais aos números ímpares, iso é: 1 reângulo, 3 reângulos, 5 reângulos... TTComo na horizonal o movimeno é uniforme, o objeo percorre espaços iguais em empos iguais. É imporane ressalar que udo o que foi dio acima só vale se desprezarmos a resisência do ar. 7. Lançameno verical Na aula passada, vimos que Galileu Galilei ( ) demonsrara que qualquer corpo nas proximidades da Terra é araído por esa e que a aceleração adquirida por esse corpo, qualquer que seja a sua massa m, será sempre a mesma, desde que a resisência do ar seja desprezada. Essa aceleração, de mesmo valor para odos os corpos, é denominada aceleração da gravidade g e seu valor esá em orno de 9,8 m/s. Esse valor, como vimos, não é o mesmo em qualquer local da Terra, variando em função da laiude e da aliude. O movimeno de queda livre corresponde ao movimeno de um corpo abandonado nas proximidades da superfície da Terra (velocidade inicial nula); já no lançameno verical, devemos imprimir ao corpo uma cera velocidade inicial (v ), no senido ascendene ou descendene. Em ambos os casos (queda livre e lançameno verical),esaremos raando de movimenos que se dão com aceleração consane (g = consane). Serão analisados, porano, como casos pariculares de movimeno uniformemene variado e, dessa maneira, esudados a parir das mesmas equações. Devemos omar cuidado no momeno em que formos aribuir sinais às grandezas envolvidas (S, V e a), pois dependerão apenas do senido que fixarmos para a rajeória. 9

10 Exemplo: Consideremos um corpo lançado vericalmene para cima, com velocidade inicial V. Duas orienações para a rajeória serão possíveis: a) 1 m. b) m. c) 3 m. d) 4 m. e) 6 m. 39. Do opo de um edifício de 6 m de alura, aira-se uma pedra vericalmene para cima com velocidade inicial de m/s. Desprezando a resisência do ar e adoando g = 1m/s, deermine o insane em que a pedra oca o solo. a) 4 s. b) 5 s. c) 6 s. d) 7 s. e) 8 s. Esse ipo de movimeno apresena as seguines propriedades: TT velocidade do corpo no pono mais alo da rajeória (alura máxima) é nula; TTO empo de subida é igual ao de descida (desde que ele saia de um pono e reorne ao mesmo pono); TT velocidade, num dado pono da rajeória, em os mesmos valores, em módulo, na subida e na descida. EXERCÍCIOS 36. Um corpo é lançado vericalmene para cima, a parir do solo, com uma velocidade inicial de 4 m/s. Desprezando a resisência do ar e adoando g = 1m/s, deermine: a) alura máxima aingida; b) O empo gaso na subida; c) duração do movimeno; d) Quano empo após o lançameno esará a 6 m do solo; e) Sua velocidade ao passar por esse pono; f) Sua velocidade ao reornar ao solo. 37. Duas pedras e B são lançadas vericalmene para cima, com mesma velocidade inicial de 15 m/s, do mesmo pono. pedra B é lançada s após o lançameno de. que alura as pedras vão se enconrar? Despreze a resisência do ar. a) 5,65 m. b) 6,5 m. c) 6,67 m. d) 7 m. e) 7,8 m. 38. Uma pedra é lançada vericalmene para cima a parir do solo, com velocidade de 4 m/s. Simulaneamene, na mesma verical, oura pedra B é abandonada a parir do repouso do alo de um edifício com 8 m de alura. Desprezando a resisência do ar e adoando g = 1m/s, deermine a alura, relaivamene ao solo, em que ocorre a colisão. 4. De um helicópero que sobe vericalmene, é abandonada uma pedra quando ele se enconra a 75 m do solo. pedra leva 5 s para aingir o solo. doe g = 1m/s e despreze os efeios do ar. Qual a velocidade de subida do helicópero no momeno em que a pedra foi abandonada? a) 6 m/s. b) 9 m/s. c) 1 m/s. d) 15 m/s. e) m/s. 41. DESFIO: Um méodo possível para medir a aceleração da gravidade consise em lançar uma bolinha para cima num ubo onde se faz vácuo e medir com precisão os insanes e T de passagem (na subida e na descida, respecivamene) por uma alura h conhecida, a parir do insane do lançameno. Mosre que g é igual a: a) h/t b) h/t c) h/t d) h/(+t) e) h/(+t) 8. Lançameno oblíquo Esudaremos o movimeno de um corpo lançado com velocidade V nas proximidades da superfície da Terra, numa direção que forma com a horizonal um ângulo θ. Desprezada a resisência do ar, o projéil fica sob a ação exclusiva da aceleração da gravidade g. Nesse caso, a rajeória descria, em relação à Terra, é parabólica. Vamos decompor o movimeno em dois ouros: um na verical e ouro na horizonal Movimeno Verical (MUV) Consideremos um eixo Y com origem no pono de lançameno e orienada para cima. Nesse caso: a = g e V y >. Sob a ação da gravidade, a velocidade verical V y diminui à medida que o corpo sobe, anula-se no pono mais alo da rajeória e aumena à medida que o corpo desce. 1

11 Enão, a relação se reduz a: Vy = Vy = Hmáx Propriedades do lançameno oblíquo TTPara uma dada velocidade inicial V, o máximo alcance é obido para um ângulo e lançameno de 45. TTPara uma dada velocidade inicial V, para ângulos de lançamenos complemenares (ângulos que somados dão 9 ), eremos alcances de mesmo valor. θ velocidade inicial nessa direção é dada por: V y = V. senθ. Como o movimeno na direção verical é uniformemene variado, valem as relações: Y = V y V y =V y gy (equação 3) (equação 1), V y = V y g (equação ) e alura máxima pode ser calculada uilizando-se a (equação 3) V y = e y = H máx. Enão, eremos: O empo gaso para aingir a alura máxima pode ser calculado uilizando-se a (equação ) V y =. Enão, eremos: 8.. Movimeno Horizonal (MU) Consideremos um eixo X com origem no pono de lançameno e orienado no senido da velocidade horizonal V x. Como a aceleração é nula nesa direção, enão V x permanece consane. O módulo da velocidade horizonal é dado por: V x = V cosθ EXERCÍCIOS 4. Um projéil de massa 1 g é lançado obliquamene a parir do solo, para o alo, numa direção que forma 6 com a horizonal com velocidade de 1 m/s, primeiro na Terra e, poseriormene, na Lua. Considerando a aceleração da gravidade da Terra, o sêxuplo da gravidade lunar, e desprezíveis odos os arios nos dois experimenos, analise as proposições a seguir: I. alura máxima aingida pelo projéil é maior na Lua que na Terra. II. velocidade do projéil, no pono mais alo da rajeória será a mesma na Lua e na Terra. III. O alcance horizonal máximo será maior na Lua. IV. velocidade com que o projéil oca o solo é a mesma na Lua e na Terra. Esá correa ou esão correas: a) penas III e IV. b) penas II. c) penas III. d) Todas. e) Nenhuma delas. 43. Um projéil é lançado numa direção que forma um ângulo de 45º com a horizonal. No pono de alura máxima, o módulo da velocidade desse projéil é 1 m/s. Considerando-se que a resisência do ar é desprezível, pode-se concluir que o módulo da velocidade de lançameno é, em m/s, igual a: a),5 b) 5 c) 1 d) 1 e) θ 44. Um bombeiro deseja apagar um incêndio em um edifício. O fogo esá a 1 m do chão. velocidade da água é v = 3 m/s e o bombeiro segura a mangueira com um ângulo de 3º em relação ao solo. Chamamos de alcance a grandeza correspondene ao deslocameno horizonal do projéil, desde o insane de parida aé o insane em que reorna ao nível horizonal de lançameno. Usando a equação horária do MU: X = X + V ox, onde é o empo de voo (como o empo de subida é igual ao empo de descida, o empo de voo é dado por =. máx, X = e X = e subsiuindo na equação eremos: OBS: Desprezar a alura da mangueira ao solo. Qual é a disância máxima enre o bombeiro e o edifício? = V X. = V cosq.. máx = V cosq.., onde. senq. cosq é uma idenidade rigonomérica conhecida como seno do arco duplo que corresponde a sen (q). a) x = 1 m b) x = 3 m c) x = 1 m d) x = 3 m e) x = 3 m 11

12 45. (dapada) Suponha que Pedro, para vencer a disância que o separa da oura margem e livrar-se da ira de Paulo, enha conseguido que sua velocidade de lançameno, de valor 1 m/s, fizesse com a horizonal um ângulo a, cujo sena =,6 e cosa =,8. Desprezando-se a resisência do ar, o inervalo de empo decorrido enre o insane em que Pedro sala e o insane em que ainge o alcance máximo do ouro lado é: bola é lançada com uma velocidade de 1 m/s e, ao cair na cesa, sua componene horizonal vale 6, m/s. Despreze a resisência do ar e considere g = 1 m/s. Pode-se afirmar que a disância horizonal (x) percorrida pela bola desde o lançameno aé cair na cesa, em meros, vale: a) 3, b) 3,6 c) 4,8 d) 6, Noa: Considere que um objeo seja lançado obliquamene, segundo um ângulo q com a horizonal, conforme mosra a figura. Desprezando a resisência do ar, deermine a razão enre o alcance e a alura máxima. V 15m q Vimos que: H máx = V.senq g e = V.senq g a), s. b) 1,8 s. c) 1,6 s. d) 1, s. e),8 s. 46. Um projéil é lançado segundo um ângulo de 3 com a horizonal, com uma velocidade de m/s. Supondo a aceleração da gravidade igual e 1 m/s e desprezando a resisência do ar, o inervalo de empo enre as passagens do projéil pelos ponos de alura 48 m acima do pono de lançameno, em segundos, é: Dados: sen 3 =,5/ cos 3 =,87 Enão: Logo: plicações: H máx = H máx V.senq. senq g V.senq. cosq g = gq 4 = senq cosq = gq 4 I. Um objeo é lançado obliquamene em um pono horizonal, conforme a figura. Desprezando a resisência do ar, qual a razão enre a alura máxima e o alcance máximo? a), b) 4, c) 6, d) 8, e) 1 H máx 47. (F) Uma bola de basquee descreve a rajeória mosrada na figura após ser arremessada por um jovem alea que ena baer um recorde de arremesso. máx Resolução: Vimos que o alcance é máximo quando q = 45. Enão: H máx = gq 4 H máx máx = g45 4 H máx máx = 1 4 II. Um objeo é lançado do solo horizonal, com ângulo de lançameno de 6, conforme a figura. Se a alura máxima aingida pelo objeo foi de 15 m, qual o valor do alcance? Despreze a resisência do ar. 1

13 6 Resolução: 15 H máx = gq 4 = g = m m, enão = 3 m 9. Movimeno Circular Uniforme (MCU) figura mosra uma parícula em MCU. Enre os insanes 1 e, ela percorre uma linha (arco) de comprimeno Δs e nesse mesmo inervalo de empo a linha que une a parícula e o cenro (raio) varre um ângulo cenral θ, que é o deslocameno angular. Da geomeria sabemos que: linha (Δs) esá ligada ao ângulo (θ) aravés do raio (R), maemaicamene: DS = θ. R Onde θ é dado em radianos (rad). Para ransformarmos de grau para radiano, uilizamos a seguine relação de conversão: 18º = p rad Se a velocidade linear (V) é a linha (ΔS) dividida pelo inervalo de empo (Δ), enão a velocidade angular (ω) é o ângulo dividido pelo empo (Δ), ou seja: e Unidade no SI: m/s Unidade no SI: rad/s 9.. Período e frequência O período (T) é o empo gaso para a parícula efeuar uma vola complea e a frequência (f) é o número de volas na unidade do empo. Relacionando-se T e f, eremos: Uma parícula esá se movendo em movimeno circular e uniforme (MCU) quando descreve uma rajeória circular, percorrendo arcos de comprimenos (Δs) iguais em inervalos de empo (Δ) iguais. figura acima represena uma parícula em MCU. Nessa figura, o inervalo de empo enre duas posições consecuivas é sempre o mesmo. Noa: Na figura a seguir, emos um movimeno circular; em cada pono, a velocidade é angene à rajeória e, porano, perpendicular ao raio. No caso do MCU, emos que V = V B = V C, ou seja, o módulo da velocidade é consane, mas a cada insane a direção e o senido variam. V Nº de volas Tempo 1 T f 1 Por meio de uma regra de rês simples e direa, eremos: f. T = 1 \, ou seja: frequência é o inverso do período. Unidades no SI T segundo (s) f 1/s = s 1 = herz (Hz) Noas: III. Da própria definição de frequência, podemos concluir que: V c V B V = V B = V C Observe com aenção: velocidade (veorial) é variável, pois muda a direção da velocidade, embora o módulo fique consane Grandezas angulares e lineares R Onde N é o número de volas e Δ é o inervalo de empo. IV. Na práica, é muio comum medir a frequência em roações por minuo (rpm). Para fazer a conversão enre as unidades rpm e Hz, podemos uilizar a seguine relação em um exemplo: O eixo de um moor realiza 1 rpm. Qual o valor desa frequência em Hz? Ou seja: 6 rpm Hz x

14 Observe aenamene o quadro: Velocidade linear (V) ou Para uma vola complea, emos: DS = pr e D = T, Enão: ou V = prf Velocidade angular (w) Para uma vola complea, emos: q = prad e D = T, Enão: ou w = pf Relação enre V, ω, R: Como a linha esá ligada ao ângulo aravés do raio, enão: a velocidade linear (v) esá ligada a velocidade angular (w) aravés do raio (R), ou seja: V = ω. R 9.3. Disco e hase em roação uniforme a cp = V R Em que V é o módulo da velocidade e R é o raio da rajeória. direção da aceleração cenrípea é sempre radial (em sempre a direção do raio) e sempre dirigida para o cenro da rajeória. Noe ambém que a aceleração cenrípea e a velocidade são perpendiculares enre si. Como V = wr, enão: a cp = V R = (wr) R = w.r R a cp = w. R EXERCÍCIOS S S B B 48. No acoplameno de polias da figura, a polia gira com frequência igual a 1 rpm, acionadas por um moor. Não havendo escorregameno enre a correia e as polias, deermine a frequência da polia B. Correia R B R S B S B R = 5 cm R B = 1 cm a) Hz. b) 6 Hz. c) 8 Hz. d) 1 Hz e) 11 Hz. DS B > DS \ V B > V q = q B \ w = w B Neses exemplos, odos os ponos que giram êm a mesma velocidade ω. De fao, num deerminado inervalo de empo, odos esses ponos sofrem o mesmo deslocameno angular θ celeração cenrípea Para que exisa aceleração, é necessário que a velocidade varie. No enano, a velocidade pode variar de dois modos: em módulo ou em direção e senido. Se a velocidade varia em módulo, a aceleração que surge é a aceleração escalar (angencial). No enano, quando a velocidade varia em direção e senido, a aceleração que surge é a aceleração cenrípea. Como no movimeno circular uniforme o módulo da velocidade é consane, a aceleração escalar é nula e, porano, só exise aceleração cenrípea. 49. Resolva: 9 cm Diâmero da coroa maior = 3 cm Diâmero da coroa maior = 1 cm Quando se dá uma pedalada na biciclea represenada na figura, qual é a disância aproximada percorrida pela biciclea? Considere p 3. a cp a cp a cp V 5. Numa biciclea de marchas, a maior das coroas em raio de 1 cm e a menor em raio de 6 cm. caraca maior em raio de 5 cm e a menor, de cm. Seja ω1 a velocidade angular da coroa acionada pelos pedais e ω a velocidade angular da caraca acoplada à roda raseira. Deermine a relação ω/ω1 no caso em que a biciclea esá se deslocando numa marcha de: Pode-se demonsrar que o módulo da aceleração cenrípea é dado por: a) Maior velocidade; b) Menor velocidade. 14

15 51. Um pono maerial descreve uma circunferência horizonal com velocidade consane em módulo. O raio do círculo é de 15 cm e o móvel complea uma vola a cada 1 s. Calcule: a) O período e a frequência; b) velocidade angular; c) velocidade escalar; d) Módulo da aceleração cenrípea. 5. Um carro percorre uma circunferência de raio 5 m com velocidade escalar consane de m/s. Qual o ângulo que o carro descreve em 4 s? a) 1,6 rad. b) 1,8 rad. c) rad. d),5 rad. e) 3 rad. 53. Um auomóvel percorre uma pisa circular de 1 km de raio, com velocidade de 36 km/h. Em quano empo o auomóvel percorre um arco de circunferência de 3? 58. Sobre uma circunferência com 6 cm de raio, dois ponos animados de movimeno uniforme se enconram a cada 3 s quando se movem no mesmo senido, e a cada 1 s quando se movem em senidos oposos. Deerminar seus períodos. 1. Gráficos Para deerminarmos o comprimeno de uma circunferência, uilizamos a seguine relação: C = pr. Dizemos nese caso que C é função de R, ou, C = f(r). Dizemos que y é uma função de x se a cada valor de x corresponde a um único valor de y. Denoaremos: y = f(x), onde: TTy é função de x. TTx: variável independene. TTy: variável dependene de x Gráficos de algumas funções pariculares TTFunção consane: seu gráfico é uma rea paralela ao eixo x. y a) 3 s. b) 4 s. c) 5 s. d) 6 s. e) 8 s. 54. Um pono maerial descreve uma rajeória circular de raio igual a m, com velocidade escalar consane igual a 4p m/s. Use p = 1. Deermine: a) velocidade angular da parícula; b) O módulo da aceleração cenrípea; c) O número de volas efeuadas pelo pono maerial a cada segundo. Exemplo: y = 5 5 y y = K, onde K é uma consane x 55. Uma parícula execua um MCU de raio 1 m com aceleração,5 m/s. Qual é o período do movimeno? a) ps. b) ps. c) 3ps. d) 4ps. e) 5ps. 56. Para deerminarmos a velocidade média dos projéeis expelidos pelo cano de uma meralhadora, uilizamos um disco que gira a uma frequência consane de,5 Hz. s marcas produzidas no disco por dois disparos consecuivos deerminam um arco de 7. Considerando-se que a arma esá a 1 m do disco, deermine a velocidade do projéil. 57. Dois ciclisas parem de um mesmo pono de uma pisa circular de raio igual a 1 m, no mesmo insane e em senidos conrários. Suas velocidades escalares lineares valem p m/s e 3p m/s. pós quano empo eles se enconrarão pela primeira vez? x Função afim ou do 1 o grau: seu gráfico é uma rea e em a forma: y = ax + b, onde: TTa: é denominado coeficiene angular, ele é responsável pela declividade da rea. TTb: é o coeficiene linear. É o pono do eixo y em que a rea cora. Noa: Se a >, a rea é crescene Se a <, a rea é decrescene Exemplo: Consrua o gráfico das funções: I) y = x + 3 II) y = -5x + Vamos iniciar por y = x + 3. a =, como a >, a rea é crescene. b = 3, a rea cora o eixo y no pono y = 3. y 3 a) 1 s. b) s. c) 3 s. d) 4 s. e) 5 s. x 15

16 gora consruiremos o gráfico de y = -5x +. TTa = 5, como a <, a rea é decrescene. TTb =, a rea cora o eixo y no pono y =. y y a q,4 x Noa: Se ivermos b =, a função se ornará y = ax, e será chamada de função linear. Vamos analisar novamene o gráfico da função y = x + 3. y x Vamos achar a ga para depois enconrar gq, uma vez que gq = ga. Demonsração: sen (18 - q) ga = g (18 - q) = cos (18 -q) = Vamos lá: y sen q -cos q = -gq 3 q a,4 x x ga =,4 = 5 Vamos aribuir mais um pono. Se fizermos, por exemplo, x = 4, enão y = a y = 11. Logo, o gráfico ficaria assim: gq = - ga = -5 Coeficiene angular y 11 3 q 4 x TTFunção quadráica: idenificamos uma função do segundo grau quando o maior expoene que acompanha a variável x é. Uma função quadráica em a forma: y = ax + bx + c e seu gráfico é uma parábola. O sinal de a deermina a concavidade da parábola: Se a >, a parábola é côncava para cima: Se a <, a parábola é côncava para baixo: Vejamos agora qual o significado da gq. gq = q 4-= 4 caeo oposo caeo adjacene = 8 4 = 11-3= 8 Observe que é o coeficiene angular, ou seja: a = gq Vejamos agora a função y = 5x + Em alguns casos, precisaremos resolver a equação do segundo grau ax + bx + c =, e para isso usaremos a equação de Bhaskara: x = -b D a, onde D = b 4ac 11. Gráficos do Movimeno Uniforme Gráficos da velocidade x empo Como no MU a velocidade escalar é consane, enão o seu gráfico é uma rea paralela ao eixo dos empos. V y V > x Observe que nese pono y =. Enão: y = -5x + V = 5x + 5x = x =,4 v < 16

17 11.. Gráficos do espaço x empo Sabemos que, no movimeno uniforme, a função horária do espaço é uma função do primeiro grau (função afim). Logo, o gráfico dessa função é uma rea oblíqua ao eixo dos empos. S Coeficiene linear: S Noa: Como já vimos aneriormene no movimeno uniforme, no gráfico S x T, a angene da inclinação da rea nos fornece a velocidade. S S q Coeficiene angular: V > V = N gq q V N = gq S Coeficiene linear: S mesma propriedade vale para o gráfico do espaço no movimeno variado. S S Coeficiene angular: V < gq = -ga N = V P a q Noa: Uma propriedade do gráfico Velocidade X Tempo. V Se quisermos a velocidade no pono P, devemos raçar uma rea angene a esse pono. S V 1 D Embora se enha uilizado o gráfico da velocidade do movimeno uniforme, essa propriedade é geral, qualquer gráfico velocidade x empo, a área sob o gráfico é numericamene igual ao espaço percorrido. = b.h = D. V = D. DS D N = DS Gráficos do Movimeno Uniformemene Variado TTGráfico da aceleração x empo: como no MUV, a aceleração escalar é consane, enão o seu gráfico é uma rea paralela ao eixo dos empos. a a > a a < TTGráfico do espaço x empo: como no MUV, a função horária do espaço é uma função do segundo grau, seu gráfico será uma parábola, cuja concavidade vai depender do sinal de quem esá juno de nesse caso, a aceleração. TT S = S + V + a Pono do eixo S onde a parábola cora a >, a <, q P V N = gq Exemplo: O gráfico abaixo mosra como varia a posição de um móvel que descreve um MUV, o que aconece com a velocidade do móvel de 1 para. S B 1 Resolução: Trace uma rea angene nos ponos e B. S B q 1 < q q 1 q 1 gq 1 < gq V < V B TTGráfico da velocidade x empo: sabemos que no MUV a função horária é uma função do primeiro grau. Logo, seu gráfico é uma rea oblíqua ao eixo dos empos. V = V + a. V : coeficiene linear a: coeficiene angular 17

18 V EXERCÍCIOS V q a > a N = gq 59. (UPE) Em um reino de corrida, a velocidade de um alea foi regisrada em função do empo, conforme ilusra a figura a seguir. V V a q a < gq = -ga N = a Noa: No gráfico de aceleração x empo, a área sob o gráfico é numericamene igual a variação da velocidade. v(m/s) (s) disância oal percorrida pelo corredor, em meros, durane o período de empo em que ele possuía aceleração diferene de zero, é: a a a) 4 b) 7 c) 8 d) 14 e) 6. (Uern/adapada) O gráfico represena a variação da velocidade de um auomóvel ao frear. 1 D = b. h = D. a a = D. DS D N = DV Considere o gráfico a seguir. Se nos 4 s da frenagem o auomóvel deslocou 4 m, enão a velocidade em que se enconrava no insane em que começou a desacelerar era de S a > a) 7 km/h. b) 8 km/h. c) 9 km/h. d) 18 km/h. e) 1 km/h. V < 1 V > V = 61. (Unesp) Os dois primeiros colocados de uma prova de 1 meros rasos de um campeonao de aleismo foram, respecivamene, os corredores e B. O gráfico represena as velocidades escalares desses dois corredores em função do empo, desde o insane da largada ( = ) aé os insanes em que eles cruzaram a linha de chegada. TTNo insane 1 (vérice da parábola), ocorre a inversão do movimeno, ou seja, o móvel freou, parou e depois acelerou. Enão, nese pono, V =. TTnes da inversão, o movimeno era reardado, uma vez que ele freou. Como no movimeno reardado velocidade e aceleração êm sinais oposos, enão a velocidade é negaiva, já que a aceleração é posiiva (parábola côncava para cima). TTDepois da inversão do movimeno, o mesmo é acelerado, uma vez que, se a aceleração é posiiva (parábola côncava para cima) a velocidade deve ser posiiva, já que no movimeno acelerado, velocidade e aceleração êm o mesmo sinal. nalisando as informações do gráfico, é correo afirmar que, no insane em que o corredor cruzou a linha de chegada, falava ainda para o corredor B complear a prova, uma disância, em mero, igual a: a) 5 b) 5 c) 15 d) e) 1 18

19 6. (Udesc) Uma pessoa do alo de um prédio sola uma bola e mede o módulo da posição da bola em função do empo. figura a seguir mosra o esboço do gráfico da posição em relação ao empo. c) o deslocameno do carro ocorreu com aceleração variável nos rechos I e III, permanecendo consane no recho II. d) a aceleração do carro aumenou no recho I, permaneceu consane no recho II e diminuiu no recho III. e) o movimeno do carro foi progressivo e acelerado no recho I, progressivo e uniforme no recho II, mas foi rerógrado e reardado no recho III. 64. (Uern/adapada) O gráfico a seguir represena a variação da velocidade de um móvel em função do empo. V(m/s) ssinale a alernaiva que represena o esboço dos gráficos em relação à velocidade x empo e à aceleração x empo, respecivamene. V a) 6 1 (s) b) c) Se o deslocameno efeuado pelo móvel nos 1 s do movimeno é igual a 4 m, enão a velocidade inicial V é igual a a) 4 m/s. b) 5 m/s. c) 6 m/s. d) 7 m/s. e) 8 m/s 65. (Epcar/adapada) Um bloco se movimena reilineamene do pono ao pono C, conforme a figura: d) Sua velocidade v em função do empo, ao longo da rajeória, é descria pelo seguine diagrama: e) 63. (FGV) Um carro deslocou-se por uma rajeória reilínea e o gráfico qualiaivo de sua velocidade (v), em função do empo (), esá represenado na figura. Considerando que o bloco passa pelos ponos e B nos insanes e 1, respecivamene, e para no pono C no insane, a razão enre as disâncias percorridas pelo bloco nos rechos BC e B vale: a) b) ( 1 + ) c) d) + 1. nalisando o gráfico, conclui-se que a) o carro se deslocou em movimeno uniforme nos rechos I e III, permanecendo em repouso no recho II. b) o carro deslocou-se em movimeno uniformemene variado nos rechos I e III e em movimeno uniforme no recho II. e)

20 EXERCÍCIOS enem MOVIMENTO UNIFORME 1. (Enem) Em apresenações musicais realizadas em espaços onde o público fica longe do palco, é necessária a insalação de alo-falanes adicionais a grandes disâncias, além daqueles localizados no palco. Como a velocidade com que o som se propaga no ar (Vsom= 3,4x1 m/s ) é muio menor do que a velocidade com que o sinal elérico se propaga nos cabos (Vsinal=,6x1 8 m/s), é necessário arasar o sinal elérico de modo que ese chegue pelo cabo ao alo-falane no mesmo insane em que o som vindo do palco chega pelo ar. Para enar conornar esse problema, um écnico de som pensou em simplesmene insalar um cabo elérico com comprimeno suficiene para o sinal elérico chegar ao mesmo empo que o som, em um alo-falane que esá a uma disância de 68 meros do palco. solução é inviável, pois seria necessário um cabo elérico de comprimeno mais próximo de a) 1,1 x 1 3 km. b) 8,9 x 1 4 km. c) 1,3 x 1 5 km. d) 5, x 1 5 km. e) 6, x 1 13 km MOVIMENTO UNIFORME VRIDO. (Enem) Um moorisa que aende a uma chamada de celular é levado à desaenção, aumenando a possibilidade de acidenes ocorrerem em razão do aumeno de seu empo de reação. Considere dois moorisas, o primeiro aeno e o segundo uilizando o celular enquano dirige. Eles aceleram seus carros inicialmene a 1, m/s. Em resposa a uma emergência, freiam com uma desaceleração igual a 5, m/s. O moorisa aeno aciona o freio à velocidade de 14, m/s, enquano o desaeno, em siuação análoga, leva 1, segundo a mais para iniciar a frenagem. Que disância o moorisa desaeno percorre a mais do que o moorisa aeno, aé a parada oal dos carros? a),9 m. b) 14, m. c) 14,5 m. d) 15, m. e) 17,4 m. 3. (Enem) O rem de passageiros da Esrada de Ferro Viória-Minas (EFVM), que circula diariamene enre a cidade de Cariacica, na Grande Viória, e a capial mineira Belo Horizone, esá uilizando uma nova ecnologia de frenagem elerônica. Com a ecnologia anerior, era preciso iniciar a frenagem cerca de 4 meros anes da esação. ualmene, essa disância caiu para 5 meros, o que proporciona redução no empo de viagem. Considerando uma velocidade de 7 km/h, qual o módulo da diferença enre as acelerações de frenagem depois e anes da adoção dessa ecnologia? a),8 m/s. b),3 m/s. c) 1,1 m/s. d) 1,6 m/s. e) 3,9 m/s. MOVIMENTO CIRCULR UNIFORME 4. (Enem) invenção e o acoplameno enre engrenagens revolucionaram a ciência na época e propiciaram a invenção de várias ecnologias, como os relógios. o consruir um pequeno cronômero, um relojoeiro usa o sisema de engrenagens mosrado. De acordo com a figura, um moor é ligado ao eixo e movimena as engrenagens fazendo o poneiro girar. frequência do moor é de 18 rpm e o número de denes das engrenagens esá apresenado no quadro. Poneiro Engrenagem D Engrenagem Denes 4 B 7 C 36 D 18 Engrenagem B Engrenagem C Engrenagem frequência de giro do poneiro, em rpm, é: a) 1 b) c) 4 d) 81 e) 16 Eixo do moor 5. (Enem) Um professor uiliza essa hisória em quadrinhos para discuir com os esudanes o movimeno de saélies. Nesse senido, pede a eles que analisem o movimeno do coelhinho, considerando o módulo da velocidade consane.

21 Desprezando a exisência de forças dissipaivas, o veor aceleração angencial do coelhinho, no erceiro quadrinho, é a) nulo. b) paralelo à sua velocidade linear e no mesmo senido. c) paralelo à sua velocidade linear e no senido oposo. d) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido para o cenro da Terra. e) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido para fora da superfície da Terra. 6. (Enem) Para serrar ossos e carnes congeladas, um açougueiro uiliza uma serra de fia que possui rês polias e um moor. O equipameno pode ser monado de duas formas diferenes, P e Q. Por quesão de segurança, é necessário que a serra possua menor velocidade linear. O número de volas dadas pela roda raseira a cada pedalada depende do amanho relaivo desas coroas. 7. (Enem) Em que opção a seguir a roda raseira dá o maior número de volas por pedalada? a) Monagem P Serra de fia Polia 3 Moor Polia Polia 1 Correia b) Monagem Q Serra de fia Polia 3 Moor Polia Polia 1 c) Correia Por qual monagem o açougueiro deve opar e qual a jusificaiva desa opção? a) Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais em ponos periféricos e a que iver maior raio erá menor frequência. b) Q, pois as polias 1 e 3 giram com frequências iguais e a que iver maior raio erá menor velocidade linear em um pono periférico. c) P, pois as polias e 3 giram com frequências diferenes e a que iver maior raio erá menor velocidade linear em um pono periférico. d) P, pois as polias 1 e giram com diferenes velocidades lineares em ponos periféricos e a que iver menor raio erá maior frequência. e) Q, pois as polias e 3 giram com diferenes velocidades lineares em ponos periféricos e a que iver maior raio erá menor frequência. Texo para as próximas 3 quesões s bicicleas possuem uma correne que liga uma coroa denada dianeira, movimenada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda raseira, como mosra a figura. d) e) 1

22 8. (Enem) Com relação ao funcionameno de uma biciclea de marchas, onde cada marcha é uma combinação de uma das coroas dianeiras com uma das coroas raseiras, são formuladas as seguines afirmaivas: I. Numa biciclea que enha duas coroas dianeiras e cinco raseiras, emos um oal de dez marchas possíveis, onde cada marcha represena a associação de uma das coroas dianeiras com uma das raseiras. II. Em ala velocidade, convém acionar a coroa dianeira de maior raio com a coroa raseira de maior raio ambém. III. Em uma subida íngreme, convém acionar a coroa dianeira de menor raio e a coroa raseira de maior raio. Enre as afirmações aneriores, esão correas: a) I e III apenas. b) I, II e III apenas. c) I e II apenas. d) II apenas. e) III apenas. 9. (Enem) 8 cm 1 cm 3 cm Quando se dá uma pedalada em uma biciclea como a da figura acima (iso é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma vola complea), qual é a disância aproximada percorrida pela biciclea, sabendo-se que o comprimeno de um círculo de raio R é igual a pr, onde p = 3? a) 1, m. b),4 m. c) 7, m. d) 14,4 m. e) 48, m. 1. (Enem cancelado) LNÇMENTO VERTICL O Super-homem e as leis do movimeno Uma das razões para pensar sobre física dos super-heróis é, acima de udo, uma forma diverida de explorar muios fenômenos físicos ineressanes, desde fenômenos corriqueiros aé evenos considerados fanásicos. figura seguine mosra o Super-homem lançando-se no espaço para chegar ao opo de um prédio de alura H. Seria possível admiir que com seus superpoderes ele esaria voando com propulsão própria, mas considere que ele enha dado um fore salo. Nesse caso, sua velocidade final no pono mais alo do salo deve ser zero, caso conrário ele coninuaria subindo. Sendo g a aceleração da gravidade, a relação enre a velocidade inicial do Super- -homem e a alura aingida é dada por: V = gh. alura que o Super-homem alcança em seu salo depende do quadrado de sua velocidade inicial porque a) a alura do seu pulo é proporcional à sua velocidade média muliplicada pelo empo que ele permanece no ar ao quadrado. b) o empo que ele permanece no ar é direamene proporcional à aceleração da gravidade e esa é direamene proporcional à velocidade. c) o empo que ele permanece no ar é inversamene proporcional à aceleração da gravidade e esa é inversamene proporcional à velocidade média. d) a aceleração do movimeno deve ser elevada ao quadrado, pois exisem duas acelerações envolvidas: a aceleração da gravidade e a aceleração do salo. e) a alura do seu pulo é proporcional à sua velocidade média muliplicada pelo empo que ele permanece no ar, e esse empo ambém depende da sua velocidade inicial. LNÇMENTO HORIZONTL 11. (Enem ª aplicação) Para um salo no Grand Canyon usando moos, dois paraquedisas vão uilizar uma moo cada, sendo que uma delas possui massa rês vezes maior. Foram consruídas duas pisas idênicas aé a beira do precipício, de forma que, no momeno do salo, as moos deixem a pisa horizonalmene e ao mesmo empo. No insane em que salam, os paraquedisas abandonam suas moos e elas caem praicamene sem resisência do ar. s moos aingem o solo simulaneamene porque a) possuem a mesma inércia. b) esão sujeias à mesma força resulane. c) êm a mesma quanidade de movimeno inicial. d) adquirem a mesma aceleração durane a queda. e) são lançadas com a mesma velocidade horizonal.