3 Na fase inicial da decolagem, um jato parte do repouso com. 4 No instante t 0. Resolução: a) v = v 0

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1 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 31 Tópico 3 1 É dada a seguine função horária da velocidade escalar de uma parícula em movimeno uniformemene variado: v = 1 + (SI) Deermine: a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar da parícula; b) a velocidade escalar no insane 4 s; c) o insane em que a velocidade escalar vale 1 m/s. v = v a) + α v = 1 + b) v = v = 9 m/s c) 1 = 1 + = 1 s v = 1 m/s e α = m/s Resposa: a) 1 m/s e m/s respecivamene; b) 9 m/s; c) 1 s s abelas (1) e () referem-se a dois movimenos uniformemene variados. 4 x y x y 1 Deermine a aceleração escalar e os valores de x e y referenes às abelas (1) e (). v = v + α Tabela I: α = 4 m/s v = + 4 = 4 Tabela II: α = 6m/s v = 3 6 x = 4 x = 8 m/s y = 4 y = m/s x = 3 6 x = 18 m/s y = 3 6 y = Resposas: Tabela I: α = 4 m/s ; x = 8 m/s; y = m/s Tabela II: α = 6m/s ; x = 18 m/s; y = (1) () 3 Na fase inicial da decolagem, um jao pare do repouso com aceleração escalar consane, aingindo a velocidade escalar de 64,8 km/h em s. Calcule essa aceleração. 64,8 km/h = 18 m/s α = Δv Δ = 18 Resposa: 3,6 m/s α = 3,6 m/s 4 No insane =, um auomóvel a m/s passa a frear com aceleração escalar consane igual a m/s. Deermine: a) a função horária de sua velocidade escalar; b) o insane em que sua velocidade escalar se anula. a) v = v + α v = (SI) b) = = 1 s Resposa: a) v = (SI); b) 1 s Um auomóvel pare do repouso, animado de aceleração escalar consane e igual a 3 m/s. Calcule a velocidade escalar do auomóvel 1 s após a parida. v = + 3 v = 3 v = 3 1 v = 3 m/s Resposa: 3 m/s 6 E.R. Um auomóvel esá a 3 m/s quando seus freios são acionados, garanindo-lhe uma aceleração de reardameno de módulo m/s, suposa consane. Deermine quano empo decorre aé o auomóvel parar. Vamos represenar o auomóvel numa rajeória suposamene orienada, como na f igura: = v = 3 m/s =? v = Durane odo o movimeno, a velocidade escalar do auomóvel é posiiva, uma vez que ele se move no senido da rajeória. Como o movimeno é reardado, a aceleração escalar deve er sinal oposo ao da velocidade escalar. ssim, a aceleração escalar é negaiva e vale: α = m/s Como v = v + α, vem: v = 3 Fazendo v =, calculamos : = 3 = 6 s s

2 3 PRTE I CINEMÁTIC 7 Um móvel inicia, em deerminado insane, um processo de freagem em que lhe é comunicada uma aceleração escalar de módulo consane e igual a 4 m/s. Sabendo que o móvel pára s após a aplicação dos freios, deermine sua velocidade escalar no insane correspondene ao início da freagem. v = v + α = v 4 v = 8 m/s Resposa: 8 m/s 8 velocidade escalar de um móvel variou com o empo conforme o gráf ico a seguir. Calcule a velocidade escalar desse móvel no insane = 3, s.,, v =, m/s; α =,,, v = v + α v =, 3, 3, Resposa: 9, m/s α = 3, m/s, v = 9, m/s 9 Trace o gráf ico da aceleração escalar em função do empo, correspondene ao gráf ico v dado a seguir: 1 1 aceleração escalar de um auomóvel em função do empo esá represenada a seguir: α (m/s ) 4,1, (min) 4 Sabendo que a velocidade escalar do auomóvel era nula em =, deermine: a) a velocidade escalar em =,1 min; b) o gráf ico da velocidade escalar em função do empo no inervalo de = α =, min. a),1 min = 6 s área = v 6 v 6 4 = v 6 v v 6 = 4 m/s b), min = 1 s área = v 1 v 6 6 ( 4) = v 1 4 v 1 = Ver gráf ico nas resposas Resposas: a) 4 m/s b) 4,1, (min) 11 E.R. O gráf ico a seguir mosra como a velocidade escalar insanânea de um corpo em movimeno uniformemene variado compora-se em relação ao empo num inervalo de 1 s: De a s : α = (consane) 1 De s a 3 s : α = α = m/s (consane) 3 1 De 3 s a 4 s : α = α = 1 m/s (consane) 4 3 Resposa: α (m/s ) Deermine: a) a função horária da velocidade escalar; b) os inervalos de empo em que o corpo se moveu no senido da rajeória e em senido oposo ao dela; c) os inervalos de empo em que o movimeno foi acelerado e reardado. a) velocidade inicial é lida direamene no gráf ico: v = 6 m/s Devemos calcular a aceleração escalar (que é consane) usando, por exemplo, o inervalo de a 6 s:

3 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 33 Em = : v = 6 m/s; Em = 6 s: v =. Enão: α = v v = ( 6) α = 1 m/s 6 ssim: v = v + α v = (SI) b) No inervalo de empo dado por < 6 s, o corpo moveu-se em senido oposo ao da rajeória, pois sua velocidade escalar foi negaiva (movimeno rerógrado). Enreano, no inervalo dado por 6 s < 1 s, o movimeno deu-se no mesmo senido da rajeória, pois a velocidade escalar foi posiiva (movimeno progressivo). Observe que = 6 s é o insane em que o corpo para e invere o senido do movimeno. c) No inervalo dado por < 6 s, o movimeno foi reardado, porque o módulo da velocidade escalar insanânea diminuiu com o empo, ou porque a velocidade escalar e a aceleração escalar iveram sinais conrários (velocidade negaiva e aceleração posiiva). Já no inervalo dado por 6 s < 1 s, o movimeno foi acelerado, porque o módulo da velocidade escalar insanânea cresceu com o empo, ou porque a velocidade escalar e a aceleração escalar iveram sinais iguais (ambas foram posiivas). 1 Uma parícula move-se numa rajeória orienada, endo sua velocidade escalar variando com o empo conforme a função: v = 4 (SI) Essa função é def inida para. Deermine: a) para que valores de a parícula move-se no senido da rajeória (movimeno progressivo); b) para que valores de a parícula move-se em senido oposo ao da rajeória (movimeno rerógrado); c) para que valores de o movimeno da parícula é acelerado; d) para que valores de o movimeno da parícula é reardado. a) 4 > 4 < < s b) 4 < 4 > > s c) v e α com mesmo sinal: α < v < > s d) v e α com sinais conrários: α < v > < s v I II III IV V VII VI Resposas: I Progressivo e acelerado; II Progressivo e uniforme; III Progressivo e reardado; IV Repouso; V Rerógrado e acelerado; VI Rerógrado e uniforme; VII Rerógrado e reardado. 14 E.R. velocidade escalar de um móvel variou com o empo conforme o gráf ico seguine: 3 1 Calcule: a) a disância percorrida pelo móvel no inervalo de empo de a s; b) a velocidade escalar média do móvel no mesmo inervalo de empo. a) Como a velocidade escalar insanânea foi posiiva durane odo o inervalo de empo considerado, concluímos que a disância percorrida (d) é igual à variação de espaço (Δs), que é dada pela área enre o gráf ico e o eixo dos empos ( área de um rapézio). ssim: d = área = (3 + 1) d = 1 m b) plicando a fórmula da velocidade escalar média, emos: v m = Δs Δ = 1 v = m/s m Noe que v m é a média ariméica enre as velocidades nos insanes e s: v m = v + v = v m = m/s 1 velocidade escalar de um corpo varia com o empo, conforme o gráf ico seguine: 1 Resposas: a) s; b) s; c) s; d) s 13 velocidade escalar de um corpo varia em função do empo, como esá represenado no gráf ico a seguir. Em cada um dos rechos de I a VII, classif ique o movimeno em: progressivo ou rerógrado; acelerado, reardado ou uniforme. Caso o corpo não eseja em movimeno, classif ique-o em repouso. No inervalo de empo de a s, deermine: a) a aceleração escalar da parícula; b) a disância percorrida por ela; c) a velocidade escalar média.

4 34 PRTE I CINEMÁTIC a) α = 1 α = m/s b) Δs = área = 1 Δs = m = d c) v m = v m = m/s Resposas: a) m/s ; b) m; c) m/s 16 (UFP) Como medida de segurança, várias ransporadoras esão usando sisemas de comunicação via saélie para rasrear o movimeno de seus caminhões. Considere um sisema que ransmie, a cada insane, a velocidade do caminhão para uma esação de moniorameno. f igura abaixo mosra o gráf ico da velocidade em função do empo, em unidades arbirárias, para um caminhão que se desloca enre duas cidades. Consideramos que, C, CD, DE e EF são inervalos de empo enre os insanes respecivos assinalados no gráf ico. Velocidade b) d = Δs = área d = 1 + d = 17 m ( + 1) + Resposas: a) α I = ; α II = m/s e α III = 4 m/s ; b) 17 m 18 Um moociclisa enra em um únel a 1 m/s. parir desse insane, acelera uniformemene a m/s, chegando ao f inal do únel com velocidade de 6 m/s. a) Trace o gráf ico da velocidade escalar do moociclisa em função do empo desde o insane = (enrada no únel) aé o insane de saída ( ). b) Calcule o comprimeno do únel. a) v = v + α 6 = 1 + = 8 s 6 C D E F Tempo Com base no gráf ico, analise as seguines af irmaivas: I. Em, o caminhão em aceleração posiiva. II. O caminhão ainge a menor velocidade em C. III. O caminhão ainge a maior velocidade no inervalo DE. IV. O caminhão percorre uma disância maior no inervalo DE que no inervalo EF. V. O caminhão sofre uma desaceleração no inervalo CD. Indique a alernaiva que coném apenas af irmaivas correas: a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) IV e V. e) II e V. Resposa: c 17 velocidade escalar de um corpo é dada em função do empo pelo gráf ico a seguir: 1 I II III b) Δs = 1 (6 + 1) 8 Resposas: a) b) 144 m Δs = 144 m 19 velocidade escalar de um corpo variou de acordo com o gráf i- co a seguir. Dessa maneira, ele percorreu uma deerminada disância d. Que velocidade escalar consane esse corpo deveria maner no mesmo inervalo de empo de 6 s para percorrer a mesma disância d? a) Calcule a aceleração escalar do corpo em cada recho (α I, α II e α III ). b) Calcule a disância percorrida nos 1 segundos. a) α I = (movimeno uniforme) α II = α III = 1 1 α II = m/s 1 1 α III = 4 m/s 4 6 Velocidade escalar consane que o corpo deveria er para percorrer a mesma disância no mesmo inervalo de empo é oura maneira de conceiuar a velocidade escalar média. Resposa: m/s

5 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 3 (Cesgranrio-RJ) velocidade de uma parícula varia com o passar do empo conforme o gráf ico abaixo. Ver gráf ico nas Resposas. Resposa: a) b) Não O seu deslocameno do insane s aé o insane 1 s foi de 1, m. Por meio da observação do gráf ico, diga qual é o deslocameno enre os insanes s e 3 s. d d d 1 d d d d d d d 3 Resposa: 3, m Área = Δs 3d = 1, m d =, m Δs = área = 7d = 7, m Δs = 3, m 1 Sabe-se que no insane = a velocidade escalar de uma parícula era de 1 m/s e que sua aceleração escalar variou conforme o gráf ico: α (m/s ) 4 (Mack-SP) Gusavo, esudando o movimeno reilíneo de um pequeno corpo, a parir do repouso, verif ica que a aceleração escalar varia com o empo de acordo com o gráf ico dado. O espaço efeivamene percorrido pelo móvel nos primeiros 1 s de movimeno é: a (m/s ) a) 4 m. c) 7 m. e) 1 m. b) 48 m. d) 96 m. v = De a 4 s : Δv = área v 4 v = 4 v 4 = 8 m/s v 6 = v 4 = 8 m/s De 6 s a 1 s : Δv = área v 1 v 6 = 4 ( 4) v 1 8 = 16 v 1 = 8 m/s a) Trace o gráf ico da velocidade escalar em função do empo, de = a = 1 s. b) É correo af irmar que sempre que a aceleração escalar de uma parícula diminui sua velocidade escalar ambém diminui? 8 Δv = área ; v = 1 m/s v v = v 1 = v = 3 m/s disância percorrida = 1 + = disância percorrida = 48 m (8 + ) = 48 v 1 v = 1 v 1 3 = 1 v 1 = v 1 = 4 m/s v 1 = 4 m/s Resposa: b

6 36 PRTE I CINEMÁTIC 3 Um móvel em velocidade escalar variável com o empo, conforme o gráf ico ao lado. O espaço percorrido enre os insanes = e = s é de 1, m. 1 (Fuves-SP) Um carro se desloca numa rajeória reilínea e sua velocidade em função do empo, a parir do insane = 1 s, esá represenada no gráf ico. Se o carro pariu do repouso e maneve uma aceleração consane aé = 1 s, a disância percorrida, desde sua parida aé aingir a velocidade de 6 m/s, vale: v 1 Deermine: a) a velocidade escalar inicial v ; b) a velocidade escalar de um auomóvel em movimeno uniforme que percorresse a mesma disância no mesmo inervalo de empo. a) Δs = área = v =,4 m/s (1 + v ) 1 + (1 1) = 1, b) Ese é o signif icado da velocidade escalar média: v m = Δs Δ = 1, v m =,6 m/s Resposas: a),4 m/s; b),6 m/s 4 O gráf ico fornece a velocidade escalar de um pono maerial em função do empo a) 1, m. c) 4, m. e) 84, m. b) 18, m. d) 38, m C E D Deermine: a) o máximo afasameno do pono maerial em relação à posição inicial, no inervalo de a s; b) a disância percorrida de = aé = s. Δ s = área = Δ s = 18 m (13 7) 6 a) De = a = 1 s, o pono desloca-se Δ s1 no senido da rajeória (velocidade escalar posiiva): (1 + 6) Δ s1 = área = 1 Δ s1 = 8 m De = 1 s a = s, o pono desloca-se Δ s em senido oposo ao da rajeória (velocidade escalar negaiva): Δ s = área = = 1 ( 1) Δ s = m 8 m = s m O máximo afasameno é 8. b) Disância percorrida = 8 m + m = 13 m Resposas: a) 8 m; b) 13 m = 1 s s Resposa: b 6 Um auomóvel enconra-se em repouso diane de um semáforo fechado. ssim que o semáforo abre, esá enrando em movimeno e ouro auomóvel esá passando por ele. O gráf ico mosra as velocidades escalares de e em função do empo: 7 a) Em que insane os auomóveis volam a se enconrar? b) Qual foi a máxima disância enre eles no inervalo de empo de a?

7 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 37 a) Em =, os auomóveis esão lado a lado. Para que iso vole a ocorrer, devemos er Δs = Δs : 8 (Unesp-SP) Um veículo passa por um poso policial a uma velocidade consane acima do permiido no local. Pouco empo depois, um policial em um veículo pare em perseguição do veículo. Os movimenos dos veículos são descrios nos gráf icos da f igura Em T = 14 s, as áreas do riângulo (Δs ) e do reângulo (Δs ) são iguais. b) disância enre e aumena enquano é mais veloz que, aingindo valor máximo quando as velocidades se igualam ( = 7 s). diferença enre as áreas calculadas de a 7 s é igual a 7 m, ou seja, 7 m. Resposas: a) 14 s; b) 7 m 7 (Fuves-SP) Na f igura, esão represenadas as velocidades, em função do empo, desenvolvidas por um alea, em dois reinos e, para uma corrida de 1 m rasos Com relação aos empos gasos pelo alea para percorrer os 1 m, podemos af irmar que, aproximadamene: a) no levou,4 s a menos que no. b) no levou,4 s a menos que no. c) no levou 1, s a menos que no. d) no levou 1, s a menos que no. e) no e no levou o mesmo empo. Treino : duração De a 4 s: Δs 1 = área = 4 11 Δs 1 = m De 4 s a : Δs = 1 m m = 78 m Δs = área = ( 4) 11 = 78 = 11,1 s Tomando o poso policial como referência para esabelecer as posições dos veículos e uilizando as informações do gráf ico, calcule: a) a disância que separa o veículo do no insane = 1, s; b) o insane em que o veículo alcança o. a) 4 3 d = = d = m 1 () () b) parir de = 1 s, Δs deve ser dado por: Δs = Δs + v Δ = v Δ + 4 Δ = 3 Δ + Δ = s Enão, o insane e em que alcança é: e = 1 s + s Resposas: a) m; b) 4 s e = 4 s 9 (Mack-SP mod.) Em cero insane passam pela origem de uma rajeória reilínea os móveis, em movimeno uniforme, e, em movimeno uniformemene variado. parir desse insane, consrói-se o diagrama abaixo. Em que insane o móvel esá 3 m à frene de? Treino : duração De a 3 s: Δs 1 = área = 3 1 Δs 1 = 1 m De 3 s a : Δs = 1 m 1 m = 8 m Δs = área = ( 3) 1 = 8 = 11, s Porano, no reino o alea gasou,4 s a menos que no. 1 6 Resposa: b

8 38 PRTE I CINEMÁTIC α = Δv Δ = 1 6 α = m/s Seja o insane procurado. Nesse insane : v = Δs = Δs + 3 [(6 + ) + 6] = = 8 s Resposa: 8 s 3 (UFC-CE) Um veículo esá parado ao lado do marco que indica km (o marco km f ica em Foraleza, no bairro erolândia) da rodovia R 116, que liga Foraleza ao Sul do rasil. No insane =, o veículo começa a se mover, afasando-se de Foraleza. O gráf ico abaixo mosra como varia sua velocidade escalar em função do empo. o lado de que marco esará o veículo após se mover durane 6 segundos? a) Temos que: s = 14 m v = m/s α = m/s Como se raa de um MUV, a função horária dos espaços é do ipo: s = s + v + α Subsiuindo os valores de s, v e α nessa expressão, obemos: s = (SI) Na origem dos espaços, emos s =. Enão: = = 81 donde: = s ou = 7 s Isso signif ica que a parícula passa pela origem dos espaços no insane = s, iso é, segundos após o insane adoado como origem dos empos, e no insane = 7 s, iso é, 7 segundos anes do insane adoado como origem. b) Temos que v = v + α. ssim: v = + Em = s v = + () Em = 7 s v = + ( 7) v = 9 m/s v = 9 m/s Velocidade (m/s) Tempo (s) Para cálculo da área, o gráf ico dado equivale a: 4 3 O esquema seguine mosra quaro posições ocupadas por uma parícula em movimeno uniformemene variado. Sabe-se que, em =, a parícula pare do repouso animada de aceleração escalar de m/s. Essa aceleração é manida consane mesmo após o insane = 3 s. = = 1 s = s = 3 s a) Deermine o espaço e a velocidade escalar da parícula no insane = s. b) O movimeno é acelerado ou reardado? Resposas: a) 3 m e 1 m/s respecivamene; b) celerado Δs = (6 + 4) 4 Resposa: km s 6 Δs = m = km km 31 E.R. No insane adoado como origem dos empos, o espaço de uma parícula vale 14 m e sua velocidade escalar é igual a m/s. Sua aceleração escalar é consane e igual a m/s para qualquer insane. Deermine: a) o insane em que a parícula passa pela origem dos espaços; b) a velocidade escalar da parícula ao passar pela origem dos espaços. 33 No esquema seguine, observa-se uma parícula em quaro insanes sucessivos de seu movimeno uniformemene reardado. Sabe-se que no insane = a velocidade escalar da parícula vale 8 m/s. = = 1 s = s = 3 s Sendo m/s o módulo da aceleração escalar da parícula, deermine: a) o insane em que ela pára; b) a disância percorrida pela parícula desde = aé parar. Resposas: a) 4 s; b) 16 m

9 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado Um móvel pare do repouso e desce por uma rampa plana com aceleração escalar consane. o f im de segundos, o móvel já percorreu 6 m. Deermine: a) a aceleração escalar do móvel; b) a velocidade escalar do móvel ao f im de segundos de movimeno. a) Δs = α 6 = α α = 3 m/s b) v = α = 3 v = 6 m/s Noa: Frequenemene os alunos comeem o seguine erro: Fazem: v = Δs Δ = 6 m v = 3 m/s s Depois, fazem: α = Δv Δ = 3 α = 1, m/s (errado) É preciso alerá-los de que Δv é igual a (v f inal v inicial ) e que aquela velocidade calculada no início não é a velocidade f inal, mas a velocidade média no inervalo de s. Resposas: a) 3 m/s ; b) 6 m/s = = s e = 8 s Resposas: s e 8 s 38 Os espaços de um móvel variam com o empo, conforme a seguine função horária: s = em que os espaços (s) são medidos em cenímeros e os empos (), em segundos. Deermine : a) o(s) insane(s) em que o móvel passa pela origem dos espaços; b) o insane e a posição do móvel quando ocorre a inversão do senido do movimeno. a) = (não em raízes reais) b) v = = = s s = s = 8 m Resposas: a) O móvel não passa pela origem dos espaços; b) s e 8 m respecivamene 3 Um caça a jao, voando em linha rea com velocidade escalar igual a 7 km/h, acelera uniformemene, com aceleração de, m/s, durane 1 s. Calcule: a) a velocidade escalar do avião ao f im desses 1 s, em km/h; b) a disância percorrida pelo avião durane esses 1 s, em km. a) v = v + α = +, 1 v = m/s v = 9 km/h b) Δs = v + α = 1 +, 1 Δs = m Δs = d =, km Resposas: a) 9 km/h; b), km 36 Um auomóvel move-se a 18 km/h quando seu moorisa pisa severamene no freio, de modo a parar o veículo em 3 s. Calcule a disância percorrida pelo auomóvel nesses 3 s. v = 18 km/h = 3 m/s v = v + α = 3 + α 3 α = 1 m/s Δs = v + α ( 1) = Δs = 4 m Resposa: 4 m 37 função horária dos espaços de um corpo é: s = (SI) Deermine o(s) insane(s) em que o corpo passa pela origem dos espaços. 39 Duas parículas e deslocam-se ao longo de uma mesma rajeória. Suas funções horárias, def inidas a parir do mesmo referencial, são dadas por: S = 4 3 S = 4 com S em meros e em segundos. Deermine: a) para que valores de as parículas se enconram; b) as posições em que os enconros ocorrem. a) 4 = e e 4 3 e = e e = 1 s e = 3 s b) S = S = S = 1 m S = S = S = 33 m Resposas: a) 1 s e 3 s; b) 1 m e 33 m 4 (UFP) Um auomóvel, parindo do repouso com aceleração consane, percorre 1 mero em 1 segundo em rajeória reilínea. Indique a alernaiva que coném os valores da aceleração e da velocidade f inal, respecivamene, em m/s e m/s. a) e b) 4 e c) 1 e 1 d) e 4 e) 1 e 4 Δs = α 1 = α 1 α = m/s v = α = 1 Resposa: a v = m/s

10 4 PRTE I CINEMÁTIC 41 E.R. Um auomóvel enra em movimeno com aceleração escalar consane e igual a 3 m/s no mesmo insane em que passa por ele ouro auomóvel, com velocidade escalar consane e igual a 3 m/s. Os dois veículos percorrem a mesma esrada, no mesmo senido. a) Considerando = quando pariu, deermine o insane em que alcança. b) Calcule a velocidade de nesse insane. a) Desde o insane da parida de ( = ) aé o insane, em que alcança, suas variações de espaço (Δs) são iguais. O movimeno de é uniformemene variado. ssim, para esse movimeno, emos: s = s + v + α ou Δs = v + α Δs = + 3 = 1, (SI) Como o movimeno de é uniforme, emos: s = s + v ou Δs = v Δs = 3 (SI) Igualamos, enão, Δs com Δs : 1, = 3 1 = = s Evidenemene, o insane que procuramos é poserior a =. Porano, a resposa é: = s b) Para o movimeno de, podemos escrever: v = v + α v = + 3 v = 6 m/s Noa: Ese exercício (e muios ouros) pode ser resolvido mais facilmene a parir do gráf ico v, como foi feio no exercício 6. 4 (Olimpíada rasileira de Física) Em uma esrada de pisa única, uma moo de, m de comprimeno, cuja velocidade em módulo igual a, m/s, quer ulrapassar um caminhão longo de 3, m, que esá com velocidade consane de módulo igual a 1, m/s. Supondose que a moo faça a ulrapassagem com uma aceleração de módulo igual a 4, m/s, calcule o empo que ela leva para ulrapassar o caminhão e a disância percorrida durane a ulrapassagem. Tomando o caminhão como referencial, emos, para a moo: v =, m/s 1, m/s = 1, m/s α = 4, m/s Δs = 3 m = Moo Caminhão 3, m s = 3, m, m Δs = v + α 3, = 1, +, =, s Em relação ao solo, emos: Δs = v + α Δs =,, +,, Resposas: a), s; b), m Δs =, m 43 E.R. Uma parícula em movimeno uniformemene variado obedece à seguine função horária dos espaços, com s em meros e em segundos: s = a) Represene graf icamene o espaço em função do empo no inervalo de a 8 s. b) Marque as posições da parícula numa rajeória suposa reilínea, nos insanes, 1 s, s, 3 s, 4 s, s, 6 s, 7 s e 8 s. a) Calculamos os espaços nos seguines insanes: = s = 1 8() + () s = 1 m = 1 s s = 1 8(1) + (1) s = m = s s = 1 8() + () s = = 3 s s = 1 8(3) + (3) s = 3 m = 4 s s = 1 8(4) + (4) s = 4 m = s s = 1 8() + () s = 3 m = 6 s s = 1 8(6) + (6) s = = 7 s s = 1 8(7) + (7) s = m = 8 s s = 1 8(8) + (8) s = 1 m Organizamos os resulados numa abela e, em seguida, fazemos a represenação gráf ica: Observe que o gráf ico obido é um arco de parábola com a concavidade volada para cima, o que sempre aconece quando a aceleração escalar é posiiva. b) Numa rajeória reilínea, as posições da parícula são dadas por: = 4 s = s = 3 s = 6 s = s 4 = 7 s = 1 s = 8 s =

11 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 41 De = a = 4 s, a parícula moveu-se em senido oposo ao da rajeória. Em = 4 s, que é o insane correspondene ao vérice da parábola no gráf ico s, ocorre a inversão do senido do movimeno. De = 4 s a = 8 s, a parícula moveu-se no mesmo senido da rajeória. De = a = 4 s, o movimeno foi reardado, pois a parícula percorreu, por segundo, uma disância cada vez menor. De = 4 s a = 8 s, o movimeno foi acelerado, pois a disância percorrida, por segundo, foi cada vez maior. Observe que a parícula passou pela origem dos espaços duas vezes: em = s e em = 6 s. Noe ambém que a forma do gráf ico s nada em a ver com a da rajeória. Noas: O movimeno uniformemene variado apresena uma fase de ida e uma fase de vola, ambas descrias pelas mesmas equações. Só não apresena duas fases quando o movimeno é incompleo, como a decolagem de um avião e a freagem de um auomóvel, por exemplo. O empo para a parícula se deslocar enre dois ponos deerminados é o mesmo na ida e na vola. Se você calcular, na ida e na vola, as velocidades escalares da parícula numa mesma posição (s = m, por exemplo), poderá verif icar que elas êm o mesmo valor absoluo. 4 função horária do espaço para o movimeno de um pono maerial é: s = 4 (SI) Deermine, para esse pono maerial: a) os insanes em que ele esá na origem dos espaços; b) o insane e a posição correspondenes à inversão do senido do movimeno; c) o gráf ico do espaço em função do empo. a) + 4 = = e = s b) v = v + α = 4 4 = 1 s s = s = m c) Ver gráf ico nas Resposas. Resposa: a) e s; b) 1 s e m; c) 1 44 O espaço (s) em função do empo () para um objeo em movimeno uniformemene variado é dado pela expressão: s = 1 + (SI) Deermine: a) o insane em que a velocidade se anula; b) os gráf icos do espaço, da velocidade escalar e da aceleração escalar em função do empo. a) v = 1 + = 1 + = s b) Ver gráf icos nas Resposas. Resposa: a) s b) 46 Com relação a um movimeno uniformemene variado, com as eapas de ida e vola, podemos af irmar que: a) a rajeória da parícula é um arco de parábola; b) anes do insane correspondene ao vérice da parábola do gráf ico do espaço s em função do empo o movimeno é acelerado; c) a parícula não pode passar por um mesmo pono duas vezes; d) no insane correspondene ao vérice da parábola no gráf ico s, ocorre a inversão do senido do movimeno; e) no insane da inversão do senido do movimeno, ano a velocidade como a aceleração escalar são nulas. Resposa: d 47 No lixo de uma sala de aula de primeira série do Ensino Médio, foi enconrado um pedaço de papel em que esava raçado um gráf ico referene a um movimeno. Só era possível ler Movimeno unif : Pedaço de papel 1 α (m/s ) Pode-se af irmar que esse gráf ico corresponde a um movimeno: a) ceramene uniforme; b) ceramene uniformemene variado; c) ceramene reilíneo; d) uniforme ou uniformemene variado; e) acelerado com cereza.

12 4 PRTE I CINEMÁTIC O movimeno é uniforme se a grandeza represenada no eixo das ordenadas é a posição (s) ou uniformemene variado se essa grandeza é a velocidade escalar (v). Resposa: d 48 O gráf ico ao lado corresponde ao movimeno uniformemene variado de uma parícula: a) Supondo que a rajeória da parícula seja a represenada a seguir, copie-a, indicando a posição da parícula nos insanes, 1 s, s, 3 s, 4 s e s b) O movimeno é acelerado ou reardado para < < s? E para > s? Resposas: a) = = 4 s 4 3 = s = 3 s = 1 s = s b) Reardado para s e acelerado para s. 1 s (m) velocidade se anula nos insanes de inversão do senido do movimeno. Resposa: e O gráf ico a seguir, do espaço s em função do empo, refere-se a um movimeno uniformemene variado: 9 Deermine: a) a velocidade escalar do móvel no insane = ; b) a aceleração escalar do móvel. De = a = s, emos: a) v m = Δv Δ = 9 v m = v + v v m = m/s = v + b) α = Δv Δ = v + v = 4 Resposas: a) 4 m/s; b) m/s v = 4 m/s α = m/s 1 São dados a seguir os gráf icos referenes aos movimenos de dois veículos e. O gráf ico de é um arco de parábola com vérice em = (Vunesp-SP) O gráf ico na f igura mosra a posição x de um objeo em movimeno sobre uma rajeória reilínea, em função do empo. x (m) parir desse gráf ico, é possível concluir que a velocidade insanânea do objeo anulou-se somene: a) no insane segundo; b) nos insanes 9 e 14 segundos; c) nos insanes e 7 segundos; d) nos insanes e 11 segundos; e) nos insanes,, 7 e 11 segundos. Calcule a velocidade escalar de em = s. De a s, emos: v m = v m v = v + v v = 1 m/s Resposa: 1 m/s 6 = + v No insane =, dois moociclisas e esão em uma mesma posição de uma esrada. Considerando essa posição como origem dos espaços e sabendo que suas velocidades escalares comporam-se em relação ao empo conforme o diagrama abaixo, race, num mesmo par de eixos, os gráf icos do espaço em função do empo para e, indicando o insane e a posição em que volam a se enconrar.

13 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado São dados, a seguir, os gráf icos do espaço (s) e da velocidade escalar (v) em função do empo () para cinco parículas: I rco de s parábola v 1 1 Em e = 1 s: s = s = 1 s m/s = m Para, a função s é crescene, do primeiro grau em, com s =. Para, a função s ambém é crescene, com s =. É um arco de parábola com vérice em =, pois v =, apresenando concavidade volada para cima, já que α >. Veja os gráf icos nas Resposas. II s 1 1 v 1 1 Resposa: Posição do enconro 3 1 Insane de enconro 1 1 III s IV s rco de parábola 1 rco de parábola C v D v 1 3 (Olimpíada Paulisa de Física) Uma aça de forma esférica, como mosra a f igura abaixo, esá sendo cheia com água a uma axa consane. 1 V s E v alura do líquido, y, em função do empo,, pode ser represenada graf icamene por: a) y d) y Esabeleça a correspondência enre os gráf icos do espaço e da velocidade escalar. 1 b) y e) y v I) MUV > v 1 = C c) y II) De a 1 : MU com v > E De 1 em diane: MU com v < No início, em iguais inervalos de empo, o nível da água sobe cada vez menos porque a área da seção ransversal da aça vai aumenando. parir do insane em que o nível da água ainge a seção ransversal de área máxima, ele passa a subir cada vez mais, em iguais inervalos de empo, porque a área da seção ransversal passa a diminuir. Resposa: a III) De a 1 : repouso (v = ) De 1 em diane: MUV, com v 1 = e α > IV) MUV v > v 1 = V) MU: v > D Resposas: I-C; II-E; III-; IV-; V-D

14 44 PRTE I CINEMÁTIC E.R. Uma esfera de aço é abandonada numa rampa inclinada na qual esá colocada uma f ia mérica graduada em cenímeros, como represena a f igura. v = v + αδs = 1 + α 1 α = 1 m/s Resposa: 1 m/s v = Deslocando-se com velocidade escalar igual a 3 m/s, um vagão ferroviário é desacelerado aé o repouso com aceleração consane. O vagão percorre 1 meros aé parar. Qual a aceleração escalar do vagão? v =? Sabendo que a aceleração escalar da esfera é praicamene consane e igual a m/s, calcule sua velocidade escalar v no f inal da rampa. v = v + αδs = 3 + α 1 α = 4, m/s Resposa: 4, m/s Temos: s = cm =, m s = 18 cm = 1,8 m v = e α = m/s Enão: v = v + α(s s ) v = + (1,8,) v = 4 m/s 6 Um auomóvel esá a 7 km/h quando seus freios são acionados, imprimindo-lhe uma aceleração escalar consane de módulo igual a m/s. Calcule a disância que ele percorre desde o insane em que inicia a freada aé parar e a duração desse percurso. v = v + αδs = + ( ) Δs Δs = 4 m 6 No ubo de imagem de um elevisor, um eléron, liberado com velocidade nula por um f ilameno quene, é acelerado uniformemene por um campo elérico, aingindo a velocidade de m/s após percorrer 1,8 cm. Calcule a aceleração escalar desse eléron. v = ; v = m/s; Δs = 1,8 1 m v = v + αδs = α 1,8 1 α = m/s Resposa: m/s 7 Um foguee pare do repouso de uma plaaforma de lançameno, com aceleração escalar de 44 m/s, suposa consane, que é manida nos primeiros 19,8 m da subida. Calcule: a) a velocidade escalar do foguee no f inal desse deslocameno; b) o empo decorrido para essa velocidade ser aingida. a) v = v + αδs v = 44 19,8 = 1744 b) v = v + α 13 = 44 =,3 s Resposas: a) 13 m/s; b),3 s v = 13 m/s 8 Enquano uma parícula percorre 1 m, sua velocidade escalar insanânea varia de 1 m/s a m/s. Deermine sua aceleração escalar, suposa consane. v = v + α = = 4 s Resposa: 4 m e 4 s respecivamene 61 (Fuves-SP) velocidade máxima permiida em uma auoesrada é de 11 km/h (aproximadamene 3 m/s) e um carro, nessa velocidade, leva 6 s para parar compleamene. Diane de um poso rodoviário, os veículos devem rafegar no máximo a 36 km/h (1 m/s). ssim, para que os carros em velocidade máxima consigam obedecer ao limie permiido ao passar em frene do poso, a placa referene à redução de velocidade deverá ser colocada anes do poso a uma disância de, pelo menos: a) 4 m. b) 6 m. c) 8 m. d) 9 m. e) 1 m. Supondo consane a aceleração escalar do carro durane a freada, emos: v = v + α = 3 + α 6 α = m/s v = v + αδs 1 = 3 + ( ) Δs Δs = 8 m Resposa: c 6 Um auomóvel movia-se numa avenida quando seu moorisa percebeu que o semáforo do cruzameno logo adiane esava fechado. O moorisa freou, mas não conseguiu parar anes do cruzameno, aingindo ouro veículo. Com base nos danos causados nos veículos, écnicos da polícia esimaram que o auomóvel do moorisa infraor esava a 36 km/h no momeno da colisão. m do acidene, foi

15 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 4 enconrada uma marca no asfalo, que corresponde ao local em que o moorisa pisou desesperadamene no freio. Sabendo que os freios do veículo conseguem produzir uma aceleração escalar praicamene consane, de módulo igual a 8 m/s, calcule sua velocidade, em km/h, imediaamene anes de o moorisa pisar no freio. v = 1 m/s; Δs = m; α = 8 m/s v = v + αδs 1 = v + ( 8) v = 3 m/s v = 18 km/h Resposa: v = 18 km/h 63 O empo de reação de um moorisa é de aproximadamene,7 s (inervalo de empo decorrido enre a percepção de um sinal para parar e a efeiva aplicação dos freios). Se os freios de um auomóvel podem garanir um reardameno de m/s, calcule a disância percorrida por ele aé parar, supondo que sua velocidade era de 7 km/h ao perceber o sinal para parar (faça o cálculo uilizando equações). MU ( s 1 ) MUV ( s ) v = m/s v = m/s v = Δ =,7 s α = m/s Δs 1 =? Δs =? Δs 1 = v + Δ =,7 Δs 1 = 14 m v = v + αδs = + ( ) Δs Δs = 4 m Δs oal = Δs 1 + Δs Resposa: Δs oal = 4 m Δs oal = 4 m 64 Com relação à quesão anerior: a) race o gráf ico da velocidade escalar (v) desde o insane em que o moorisa percebeu o sinal para parar aé o insane em que ele parou; b) calcule a disância percorrida nesse inervalo de empo, por meio do gráf ico v. a) s b) Δs oal = (4,7 +,7) Resposa: a) b) 4 m Δs oal = 4 m,7 4,7 6 (UFPI) disância percorrida por um auomóvel que viaja a 4 km/h, após a ação dos freios, aé que pare, é de 8 meros, admiindo-se consane sua aceleração devido à freada. Com a velocidade do auomóvel igual a 8 km/h, e supondo as mesmas condições aneriores, o espaço percorrido pelo auomóvel após a freada será de: a) 8 m. b) 16 m. c) 4 m. d) 3 m. e) 4 m. v = v + αδs = v + αδs Δs = v α Dobrando v, de 4 km para 8 km/h, Δs quadruplica. Porano, a disância percorrida será 4 8 m, ou seja, 3 m. Resposa: d 66 (Mack-SP) Um alea, ao dispuar os 1 meros rasos, consegue cumprir o percurso em 1, s. Considerando que o movimeno é reilíneo uniformemene acelerado, a parir do repouso e da origem dos espaços, o gráf ico que melhor represena a velocidade escalar do alea em função do espaço percorrido é: a) d) 1 1 b) e) 1 c) α = Δv Δ,7 T = T,7 T = 4,7 s Δs = α 1 = α 1, α =, m/s v = α Δs = 4, S : o gráf ico de v em função de S em o aspeco daqueles das alernaivas a e d. Para S 1 m : v = 4, 1 v = m/s Resposa: a

16 46 PRTE I CINEMÁTIC 67 (FCC-SP) Um pouco de ina foi colocada na banda de rodagem do pneu de um carro. Quando o carro se movimena, a mancha de ina deixa marcas no chão igualmene espaçadas e com onalidades cada vez mais fracas O que se pode concluir sobre a velocidade e a aceleração escalares do carro? a) velocidade é consane e a aceleração é nula. b) velocidade é crescene e a aceleração é consane. c) velocidade é decrescene e a aceleração é consane. d) velocidade e a aceleração são variáveis. e) Nada se pode concluir, porque os dados são insuf icienes. Não havendo escorregameno do pneu, as marcas deixadas no chão sempre esarão igualmene espaçadas, independenemene do ipo de movimeno desse carro. ssim, não se pode concluir nada. Resposa: e 68 Uma locomoiva pare de uma esação e pára em uma esação, disane 1 m de. O máximo módulo da aceleração que ela consegue maner é de 3 m/s, ano na fase de aceleração como na de reardameno. Sabendo que é proibido rafegar nessa região com velocidade superior a 3 m/s, calcule o mínimo inervalo de empo possível para ir de a, sem problemas com a f iscalização. Sugesão: Resolva essa quesão uilizando o gráf ico da velocidade escalar em função do empo. 3 = Δv 3 = v v = 3y Δ y (y) (3y) = 1 3y = 1 y = s Δ mín = y + y Δ mín = 4 s Resposa: 4 s 7 Numa corrida de 1 m rasos, a velocidade escalar de um alea variou com o empo, aproximadamene, conforme o gráf ico: V, 1, Sabendo que esse alea concluiu a prova em 1, s, faça uma esimaiva (cálculo aproximado) de sua velocidade máxima V. Façamos uma aproximação uilizando dois segmenos de rea, de modo que se manenha quase a mesma área do gráf ico original: V 3,, 1, 1 m α = Δv 3 = 3 Δ Δ Δ = 1 s área = Δs = 1 m 3 x = 9 x = 3 s Δ mín = 1 s + 3 s + 1 s Resposa: s 9 m 1 m 1 s x 1 s Δ mín = s 69 Releia a quesão anerior. gora, resolva-a supondo que não haja limiação para a velocidade. v = 3y Δs = área 1 = V 11 m/s Resposa: 11 m/s (1, + 8,) V 71 (Uerj) cidade de São Paulo em cerca de 3 km de raio. Em cera madrugada, pare-se de carro, inicialmene em repouso, de um pono qualquer de uma das avenidas marginais que circundam a cidade. Durane os primeiros segundos, o movimeno ocorre com aceleração consane de 1, m/s. o f inal desse período, a aceleração orna-se nula e o movimeno prossegue manendo-se a velocidade adquirida. Considerando que o movimeno foi circular, deermine: a) a disância percorrida pelo carro durane os primeiros segundos; b) o empo gaso para que fosse alcançado o pono diameralmene oposo à posição inicial, ou seja, o exremo oposo da cidade. a) Nos primeiros s, emos: v =, α = 1, m/s e = s Enão: Δs = α = 1, Δs = m y y b) Velocidade adquirida em s: v = α = 1, v = m/s = 7 km/h

17 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 47 Lembrando que o comprimeno de uma circunferência de raio r é igual a π r, emos: 73 (Vunesp-SP) f igura represena o gráf ico velocidade empo do movimeno reilíneo de um móvel. Δs = m =, km Δ = s (MUV) Δs = π r Δs v = 7 km/h Δ =? (MU) 3 Pono de parida Exremo oposo 1 r = 3 km v = Δs Δ = π r Δs 7 = Δ Δ = 1, h Δ oal = Δ + Δ = s + 1, h Δ oal 1, h 3,14 3, Δ Resposas: a) m; b) 1, h aproximadamene 7 Os espaços de um móvel variam com o empo, conforme o gráf ico a seguir, que é um arco de parábola cujo vérice esá localizado no eixo s: 7 48 a) Qual o deslocameno oal desse móvel? b) Esboce o gráf ico posição empo correspondene, supondo que o móvel pariu da origem dos espaços. a) Δs = área = 3 Δs = 7 m b) De a 3 s: MUV com: α arco de parábola com concavidade para cima. v = arco de parábola com vérice no eixo s. s 3 = área = 3 3 s 3 = 4 m De 3 s a s: MUV com: α arco de parábola com concavidade para baixo. v = vérice do arco de parábola em = s. Resposas: a) 7 m b) 7 1 Deermine: a) o espaço em = ; b) a aceleração escalar; c) a velocidade escalar em = 3 s. 4 3 Vérice do arco de parábola no eixo s v =. Usando s = s + v + α, emos: Para = 1 s, s = 48 m: 48 = s + α 1 s + α = 96 (I) Para = s, s = 7 m: 7 = s + α s + α = 7 (II) De (I) e (II), obemos: s = 4 m e α = 6 m/s Como v = v + α : v 3 = v 3 = 18 m/s Resposas: a) 4 m; b) 6 m/s ; c) 18 m/s 74 O espaço (s) de uma parícula variou com o empo () conforme indica o gráf ico a seguir: s s 1 D C Nesse gráf ico, os rechos e CD são arcos de parábola com vérices nos ponos e D, ao passo que o recho C é um segmeno de rea. Deermine: a) o espaço inicial (s ) da parícula; b) a aceleração escalar no recho CD; c) o espaço (s 1 ) da parícula em = 1 s.

18 48 PRTE I CINEMÁTIC a) De a C o movimeno é uniforme: v = Δs = 16 1 v = v Δ 7 = v C = 3 m/s v = v + α 3 = + α α =,6 m/s v = v + α Δs 3 = +,6 (1 s ) s =, m b) v D = v C + α = 3 + α 3 α = 1 m/s c) v D = v C + α Δs = 3 + ( 1) (s 1 16) s 1 =, m Resposas: a), m; b) 1 m/s ; c), m 7 (Olimpíada rasileira de Física) Dois carros movem-se no mesmo senido em uma esrada reilínea com velocidades v = 18 km/h e v = 7 km/h respecivamene. Quando a frene do carro esá a uma disância de 1 m arás da raseira do carro, o moorisa do carro freia, causando uma desaceleração a = m/s. a) Calcule a disância percorrida pelo carro aé que ele colida com o carro. b) Repia o cálculo do iem anerior, mas agora supondo que a velocidade inicial do carro seja de 9 km/h. Inerpree seu resulado. 76 (Vunesp-SP) Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma auoesrada recomenda que os moorisas que nela rafegam manenham seus veículos separados por uma disância de, segundos. a) Qual é essa disância, expressa adequadamene em meros, para veículos que percorrem a esrada com velocidade consane de 9 km/h? b) Suponha que, nessas condições, um moorisa freie bruscamene seu veículo aé parar, com aceleração consane de módulo, m/s, e o moorisa de rás só reaja, freando seu veículo, depois de, s. Qual deve ser o mínimo módulo da aceleração do veículo de rás para não colidir com o da frene? a) 9 km/h = m/s disância = v = disância = m b) No insane =, começa a frear. Em =, s, após percorrer 1, m (Δs = v = m/s, s = = 1, m), passa a frear seu veículo. lgum empo depois, pára. No caso críico, para não haver colisão, deve parar colado em : v = m/s m v = m/s v = m/s v < m/s Δs = =, s s a) v = 3 m/s e v = m/s 1, m 37, m Δs 1 v = v = s = 3 s = 1 + s = 3 b) v = m/s s = s = e e = 1 + = s e e s = m e e = e e e + = Cálculo de Δs : v = v + α Δs = + ( ) Δs Δs = 6, m Cálculo de α mínimo: Para parar, não precisa frear ano quano, já que dispõe de uma disância maior para fazer isso. De fao, de =, s aé parar: Δs = 37, m + Δs = 37, m + 6, m Δs = 1 m v = v + α Δs = + α 1 α = 3,1 m/s α mín = 3,1 m/s Δ Não haverá colisão. Resposas: a) m; b) Não haverá colisão. Noa: e não param no mesmo insane. Vamos deerminar, em relação à origem de empo ( = ) usada na resolução, os insanes em que e param.

19 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 49 : v = v + α = P P =, s : v = v + α = 3,1 P P = 8, s e = v ± v 16 v 8 Para e exisir, devemos impor: v 16 v v 16 m/s v mín = 16 m/s Como começou a frear em =, s: P = 8, s Resposa: 16 m/s 79 (FEI-SP) Na f igura, esão represenados os diagramas de velocidade de dois móveis em função do empo. Esses móveis parem de um mesmo pono, a parir do repouso, e percorrem a mesma rajeória reilínea. Em que insane (s) eles se enconram? () (1), 8, Calculando as áreas nesses gráf icos, podemos conferir os deslocamenos de e desde = aé o insane em que param: Δs oal = Δs oal = 6, m 3 4 Δs oal = (8, +,) Δs oal = 11, m Resposas: a) m; b) 3,1 m/s () 77 O gráf ico mosra como varia o quadrado da velocidade escalar de uma parícula em função de sua abscissa s: V (1) v (m s ) s 1 = s = v 1 = v = 1 Deermine a aceleração escalar da parícula. v = em s = v = v + αδs 1 = α 1 α = m/s α = Δv Δ α 1 = V 4 = V 4 α = V 4 3 = V Tempo de movimeno do móvel 1 Resposa: m/s 78 (FEI-SP) Um móvel pare de cero pono com um movimeno que obedece à lei horária S = 4, válida no SI. S é a abscissa do móvel e é o empo. Um segundo depois, pare ouro móvel do mesmo pono do primeiro, com movimeno uniforme e seguindo a mesma rajeória. Qual a menor velocidade que deverá er esse segundo móvel a f im de enconrar o primeiro? S = 4... MUV S = v ( 1)... MU No enconro: S = S 4 e = v ( e 1) 4 e v e + v = s = s + v + α s 1 = V 4 s = V ( 3) Tempo de movimeno do móvel s = s 1 : V ( 3) = V = 6 s 8 raiz = s não serve porque nesse insane o móvel ainda não inha parido. Resposas: = 6 s ; raiz = s não serve porque nesse insane o móvel ainda não inha parido.

20 PRTE I CINEMÁTIC 8 f igura a seguir ilusra a represenação gráf ica de uma função do ipo y = k x n, em que k é uma consane e n é um ineiro posiivo. y b y (m) x (m) área da região desacada é dada por: a x Porano, o comprimeno da rajeória é 4 m. b) Nula. c) Duas vezes: em =, s e em = 7, s Área = a b n + 1 Resposas: a) 4 m; b) Nula; c) Duas velocidade escalar de uma parícula varia com o empo, segundo a função v = 3 4 (SI). Calcule a disância percorrida pela parícula enre = e = s. b = 48 8 Dado que a aceleração escalar de um corpo é nula em deerminado insane, pode-se af irmar que ele: a) esá no pono mais alo aingido após ser lançado vericalmene para cima; b) esá em movimeno uniforme; c) esá num movimeno uniformemene variado qualquer; d) esá em movimeno reilíneo; e) pode esar em movimeno variado não-uniformemene. Δs a = O enunciado informou que a aceleração escalar é nula em deerminado insane. Porano, não sabemos se ela ambém é nula nos demais insanes. Por isso, a alernaiva correa é e. Δs = a b n + 1 = = 96 Resposa: 19, m Δs = 19, m Exemplo: v 81 Uma parícula move-se num plano deerminado por dois eixos caresianos orogonais x e y e suas coordenadas de posição x e y variam com o empo, conforme os gráf icos a seguir. x (m) y (m) 1 O T Nesse movimeno variado não-uniformemene, a aceleração escalar é nula apenas no insane T. Resposa: e 1 83 Dois corpos e, ambos em movimeno uniformemene variado ao longo de um eixo x, se cruzam duas vezes: no insane 1 e no insane. Suas velocidades escalares são respecivamene iguais a v e v, no insane 1, e v e v, no insane : a) Qual o comprimeno da rajeória descria pela parícula no inervalo de empo de a 1 s? b) Qual a disância enre as posições da parícula nos insanes = e = 1 s? c) Quanas vezes a parícula parou de a 1 s? 1 v v x a) Como x é consane e igual a 4 m e y varia enre 3 m e 7 m, a rajeória descria no plano Oxy é o segmeno de rea raçado na f igura: v Deermine a razão v v v v. v

21 Tópico 3 Movimeno uniformemene variado 1 Enre 1 e, Δx e Δ são iguais para e. Porano: v m = v m. Lembrando que, num MUV, v m é a média ariméica das velocidades inicial e f inal, emos: v m = v m Porano: Resposa: 1 v v = v v v v v v = 1 v v = (v v ) 84 Um corpo, inicialmene em repouso, enra em movimeno com aceleração escalar consane α, no insane =. a) Mosre que as diferenças enre as disâncias percorridas em inervalos de empo consecuivos e iguais a 1 unidade de empo são sempre as mesmas e êm o mesmo valor numérico de α. b) Deermine a disância percorrida durane a enésima unidade de empo. Verif ique que ela é um múliplo ímpar da disância percorrida na primeira unidade de empo. 8 Na f igura esá represenada graf icamene a função horária s = (SI). Calcule a velocidade escalar em = s: a) por meio da função horária da velocidade; b) por meio do gráf ico dado. a) s = v = + Em = s: v = + v = m/s b) Usando o riângulo reângulo desacado na f igura, emos, em = s: v = Δs Δ = 3 3, v = m/s Resposas: a) m/s; b) m/s 86 (UFMG) Um carro esá andando ao longo de uma esrada rea e plana. Sua posição em função do empo esá represenada nese gráf ico: Posição Q Rea angene v α n α (n 1) v = α P R α ( + ) α ( + 1) α α 1 Δs Δs n 1 n a) Seja um insane qualquer. diferença enre Δs e Δs é igual à área do reângulo desacado em laranja: Δs Δs = [( + ) ( + 1)] [α ( + 1) α ] base alura Δs Δs = α b) Na n-ésima unidade de empo: α (n 1) + α n Δs n = 1 Δs n = α n α Tempo Sejam v p, v Q e v R os módulos das velocidades do carro, respecivamene, nos ponos P, Q e R indicados nesse gráf ico. Com base nessas informações, é correo af irmar que: a) v Q < v P < v R. c) v Q < v R < v P. b) v P < v R < v Q. d) v P < v Q < v R. O coef iciene angular da rea angene à curva em cada insane fornece a velocidade escalar nesse insane. Porano: v R, v P, v Q = e v R v P v Q v R v P Resposa: c 87 Dois veículos e percorrem uma mesma rodovia. Suas posições variam com o empo, como mosra o diagrama a seguir: s Δs n = (n 1) α Na primeira unidade de empo: Δs 1 = 1 α = α Como n é par, emos que (n 1) é ímpar: Porano: Δs n é um múliplo ímpar de Δs 1. Resposas: a) Demonsração; b) Δs n = (n 1) α 1 Indique a alernaiva incorrea: a) velocidade escalar de é consane. b) No insane 1, o movimeno de deixa de ser acelerado para ornar-se reardado. c) velocidade escalar de igualou-se à de em duas ocasiões. d) velocidade escalar de nunca foi negaiva. e) e nunca iveram velocidades escalares iguais.

22 PRTE I CINEMÁTIC O móvel em velocidade escalar igual à de no insane em que a rea angene ao gráf ico de for paralela ao gráf ico de. Isso ocorre duas vezes. 89 O gráf ico espaço empo a seguir esá conido em um quaro de circunferência. Deermine o insane em que a velocidade v do móvel em quesão é igual a 1 m/s. 1 Resposa: e 1 88 (IT-SP) Duas parículas e deslocam-se ao longo do eixo Ox com velocidades dadas pelo gráf ico a seguir, sendo que no insane = ambas esão na origem do sisema de coordenadas. No insane = s, e esão, respecivamene, nos ponos de abscissas x 1 e x, com acelerações a 1 e a. Compare x 1 com x e a 1 com a. Comparando as áreas de a s, concluímos que: x 1 x Como a unidade de empo e a de espaço foram represenadas por segmenos de mesmo comprimeno, o insane em que v é igual a 1 m/s é aquele em que a rea angene à curva forma 4º com o eixo : 1 4 a T a 1 No riângulo reângulo desacado, emos: 1 = a + a a = s Rea angene Enão: T = 1 a = 1 T 3 s Resposa: 3 s Em = s, o coef iciene angular da rea angene ao gráf ico de é maior que em. Enão: a a 1 Resposas: x 1 > x e a > a 1