Métodos de Análise das Incertezas na Verificação da Segurança Estrutural em Engenharia Civil

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1 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl José Mguel Gomes Costa Vega Dssertação apresentada à Faculdade de Engenhara da Unversdade do Porto para obtenção do grau de Doutor em Cêncas de Engenhara Projecto co-fnancado pelo fundo Socal Europeu no âmbto do concurso Públco /5.3/PRODEP/003, peddo de fnancamento nº 0.0, da medda 5/acção 5.3 Formação Avançada de Docentes do Ensno Superor submetdo pela Escola Superor de Tecnologa e Gestão do Insttuto Poltécnco de Vana do Castelo. Julho de 008

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3 Resumo A avalação do comportamento de sstemas estruturas mplca uma análse dos rscos e ncertezas a eles assocados. Para avalar com maor precsão os rscos assocados à segurança estrutural têm vndo a ser aplcados nos últmos anos, cada vez com maor frequênca, métodos probablístcos de fabldade. As dfculdades encontradas na aplcação mas generalzada destes métodos estão sobretudo assocadas à pouca efcênca em resolver problemas estruturas de elevada dmensão. As técncas que utlzam processos de smulação, como o método de Monte Carlo, têm grandes custos computaconas para sstemas estruturas mas complexos mesmo quando a mplementação computaconal nclu técncas de redução da varânca. As técncas de fabldade correntes, como os métodos FORM e SORM, são hoje geralmente acetes sendo as suas aplcações bastante smples quando exste uma formulação explícta do problema estrutural. No entanto, quando não há relações explíctas entre as varáves, como por exemplo no método dos elementos fntos, a aplcação destas técncas de fabldade para avalar a ncerteza da resposta estrutural torna-se mas exgente e pouco efcente. Neste trabalho apresenta-se um método efcente para avalar a ncerteza da resposta estrutural que conjuga técncas de perturbação com os métodos de elementos fntos. Esta metodologa permte, com uma únca análse estrutural, avalar o valor médo e o desvo padrão da resposta estrutural, em termos de deslocamentos ou forças, defnndo a pror as dstrbuções de probabldade das varáves aleatóras báscas do problema. Consequentemente é realzada uma análse muto mas rápda quando comparada com os métodos mas frequentemente utlzados baseados nas técncas correntes de fabldade. As varáves aleatóras báscas são defndas através dos seus valores médos, desvos padrão e coefcentes de correlação. Os resultados obtdos são exactos quando a função da resposta estrutural é lnear e as dstrbuções das varáves aleatóras báscas são normas ou aproxmadamente normas. Os resultados permanecem aproprados se forem utlzadas aproxmações adequadas. Descrevem-se os procedmentos necessáros para mplementar estas técncas num programa de elementos fntos para város tpos de dstrbuções de probabldade. Este programa pode ser utlzado com métodos de fabldade de prmera ordem e com o método de smulação de Monte Carlo. Além dsso, está preparado para varáves aleatóras correlaconadas e/ou com dstrbução não normal. Também se apresentam aplcações da metodologa desenvolvda assm como comparações com outros métodos.

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5 Abstract The assessment of behavour of structural systems nvolves rsk and uncertanty evaluaton. To evaluate more accurately the rsk assocated to structural safety, probablstc and relablty technques have been appled ncreasngly n the last years. The generalzed applcaton of these technques has been delayed by the neffcency to solve complex or large problems. Technques employng smulaton procedures, such as crude Monte Carlo method, have hgh computatonal cost n large structural systems even f the computatonal effcency s mplemented wth varance reducton technques. Current relablty technques, such as FORM and SORM, are wdely acceptable and ther applcaton s rather smple when an explct formulaton of the structural problem exsts. However, when there are not explct relatons between varables, such as the fnte element method, the applcaton of these relablty technques to evaluate the uncertanty of structural response s more dffcult and less effcent. In ths work s presented an effcent method to evaluate structural uncertanty that couples perturbaton technques wth the fnte element method. Ths methodology allows, n only one structural analyss, to evaluate the mean value and the standard devaton of the structural response, n terms of dsplacements or forces, by defnng prevously the probablty dstrbuton of problem basc random varables. Consequently a much faster analyss s performed, when compared wth the current methods based on relablty technques. The structural random varables are descrbed by ther mean values, standard devaton and correlaton coeffcents. The results obtaned are exact when structural response functon s lnear and normal or quas-normal dstrbutons of random varables are guaranteed. The results reman accurate f approprate approxmatons are employed. The necessary procedures to mplement these technques n a fnte element program for some probablty dstrbutons are descrbed. Ths program can be used wth frst order relablty methods and Monte Carlo smulaton method. Furthermore, t allows correlated random varables and/or non normal dstrbutons. Applcatons of the developed methodology and ther comparson wth other methods are also presented. v

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7 Résumé L'évaluaton du comportement de systèmes structurels mplque une analyse des rsques et des ncerttudes à elles assocées. Pour évaluer avec plus précson les rsques assocés à la sécurté structurelle ls sont venus à être applqués ces dernères années, plus fréquemment, méthodes probablstes de fablté. Les dffcultés trouvées dans l'applcaton généralsée de ces méthodes sont surtout assocés au peu effcace de résoluton de problèmes de grand dmenson. Les technques qu utlse smulaton, comme la méthode de Monte Carlo, ont de grands coûts nformatques pour des systèmes structurels plus complexes, même quand la mse en oeuvre nformatque nclut des technques de réducton de la varance. Les technques de fablté, comme les méthodes FORM et SORM, sont en règle acceptés en étant leurs applcatons suffsamment smples quand exste une formulaton explcte du problème structurel. Quand l n'y a pas relatons explctes entre les varables, comme par exemple la méthode des éléments fns, l'applcaton des technques courantes de fablté pour évaluer l'ncerttude de la réponse structurelle se rend plus exgeant et peu effcace. Dans ce traval se présente une méthode de fablté structurelle effcace pour évaluer l'ncerttude de la réponse structurelle qu conjugue des technques de perturbaton avec les méthodes d'éléments fns. Cette méthodologe permet, avec une seule analyse structurelle, évaluer la valeur moyenne et l écart-type de la réponse structurelle, défne par dsloquements ou forces, en défnssant a pror les dstrbutons de probablté des varables aléatores basques du problème. En conséquence est réalsée une analyse plus rapde quand comparée avec les méthodes courantes basées dans les technques de fablté. Les varables aléatores basques sont défnes à travers de leurs valeurs moyennes, écarttypes et coeffcents de corrélaton. Les résultats sont exacts quand la foncton de réponse structurelle est lnéare et les dstrbutons des varables aléatores basques sont normaux ou approxmatvement normaux. Les résultats restent approprés se soent utlsés des approches approprées. Ils se décrvent les procédures nécessares pour mettre en oeuvre ces technques dans un programme d'éléments fns pour pluseurs types de dstrbutons de probablté. Ce programme peut être utlsé avec des méthodes de fablté de premère classe et avec la méthode de smulaton de Monte Carlo. Il est préparé pour des varables aléatores corrélées et/ou avec de la dstrbuton non normale. Auss ls s présente des applcatons de la méthodologe développée ans que des comparasons avec autres méthodes. v

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9 PALAVRAS-CHAVE Estruturas de betão Fabldade estrutural Formatos de segurança Elementos fntos Método de Monte Carlo Método de perturbação Análse de ncertezas KEYWORDS MOTS CLÉ Concrete structures Structural relablty Safety formats Fnte elements Monte Carlo method Perturbaton method Uncertanty analyss Structures en béton Fablté structural Formats de sécurté Elements fns Méthode de Monte Carlo Méthode de perturbaton Analyse d ncertan x

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11 Agradecmentos Relatvamente a esta tese de Doutoramento não posso dexar de expressar os meus agradecmentos a todos os que de uma forma drecta ou ndrecta colaboraram na sua realzação. Agradeço prmero a mnha esposa pelo constante apoo e encorajamento que sempre me deu, pelo acompanhamento e ncentvos durante todo este trabalho. As suas sugestões, comentáros e as mutas horas de trocas de opnão foram muto útes e enrquecedoras para o desempenho de todo este trabalho. Agradeço também pelo flho que tvemos e que é uma fonte de motvação, nspração e alegra. Um agradecmento muto especal ao meu orentador Eng. Abel Henrques e co-orentador Eng. Jorge Delgado, não apenas por me terem dado a oportundade de dedcar a esta área de pesqusa, como também pela dsponbldade demonstrada para assumrem a orentação e co-orentação desta tese, pela dedcação, boa vontade e nível de exgênca durante o desenvolvmento deste trabalho. O conhecmento e empenho demonstrado por ambos durante todo o percurso, assm como nas sessões de esclarecmento sobre as dversas dúvdas que me foram surgndo ao longo de todo o trabalho, servram como constante fonte de nspração. A meus pas e mnha ta, sempre presentes, pelo suporte e ncentvo que me têm dado em todos os momentos da vda, e da felcdade de tê-los como pas e ta madrnha. A mnha rmã pela amzade, apoo e compreensão. Saber que também terá sempre o meu apoo. A toda a mnha restante famíla, prmos, prmas, sogra, sobrnho, sobrnhas, cunhadas e cunhados, que sempre me apoaram. x

12 Aos meus amgos que drecta ou ndrectamente contrbuíram para a fnalzação deste trabalho. Ao Rafael e Paula, Olvera, Carlos, Ru e Paula. A todos os meus amgos de Évora, Lsboa e que fz na Escola de Valença que apesar da dstânca é como se estvéssemos sempre juntos. Mnha gratdão a todos os que contrbuíram para a formação da mnha pessoa. x

13 Índce Capítulo Introdução. Objectvos,. Enquadramento do trabalho,.3 Organzação da dssertação, 6 Capítulo Avalação das Incertezas e Verfcação da Segurança Estrutural 9. Introdução, 9. Incertezas na avalação da segurança estrutural,.3 Varáves báscas,.4 Estados lmte,.5 Função de estado lmte, 4.6 Verfcação da segurança aos estados lmte, 4.7 Probabldade de rotura. Caso fundamental, 5 x

14 .8 Índce de fabldade, 7.8. Formulação base do índce de fabldade, 7.8. Generalzação do cálculo do índce de fabldade, 9.9 Métodos de fabldade de prmera e segunda ordem,.9. Métodos FOSM ou MVFOSM,.9. Métodos AFOSM ou FORM para varáves aleatóras normas (Método de Hasofer-Lnd), Métodos AFOSM para varáves aleatóras não normas, Métodos de fabldade de segunda ordem - SORM, 34.0 Funções de estado lmte mplíctas, Métodos de superfíce de resposta, Métodos probablístcos de elementos fntos, Métodos para dscretzação de campos aleatóros, Métodos de dscretzação pontual, Métodos de dscretzação méda, Métodos de expansão em séres, Métodos de perturbação, Redes neuronas artfcas, Redes neuronas perceptrão de múltplas camadas, Redes neuronas de base radal, Redes neuronas artfcas conjugadas com métodos de análse de fabldade, 0 Capítulo 3 Métodos de Transformação Introdução, 05 xv

15 3. Método de Cholesky, Método de elmnação de Gauss, Decomposção de Cholesky, Transformações de varáves aleatóras normas e correlaconadas, Transformações de varáves aleatóras não normas e ndependentes, Transformação: mesmo valor médo e percentl P, 3.4. Transformação de caudas normas, Transformações de varáves aleatóras não normas e correlaconadas, Transformação de Rosenblatt, Transformação de Morgenstern, Transformação de Nataf, Exemplo de aplcação, 4 Capítulo 4 Métodos de Smulação 9 4. Introdução, 9 4. Método de smulação de Monte Carlo, Geração de números aleatóros, Geração de números aleatóros para varáves aleatóras contínuas, Dstrbução Unforme, Dstrbuções de valores extremos, Dstrbução Raylegh, Dstrbução Normal, Dstrbução Lognormal, Geração de números aleatóros para varáves aleatóras dscretas, 48 xv

16 4.3 Métodos de smulação pura, Técncas de redução da varânca, Amostragem por mportânca, Amostragem estratfcada, Smulação de varáves aleatóras correlaconadas, Smulação de varáves aleatóras normas correlaconadas, Smulação de varáves aleatóras não normas correlaconadas, 58 Capítulo 5 Método de Perturbação para a Avalação das Incertezas em Sstemas Estruturas Introdução, Metodologa proposta, Incertezas em função de forças, Incertezas em função de deslocamentos, Um caso de carga, Város casos de carga, Exemplos de aplcação, Vga sujeta a uma carga, Vga sujeta a duas cargas, Métodos de transformação, Exemplo: Dstrbuções Tpo I, Exemplo: Dstrbuções Lognormas, Implementação computaconal, 97 xv

17 Capítulo 6 Aplcações 0 6. Introdução, 0 6. Pórtco sujeto a dferentes cargas, Sstema com quatro molas submetdo a duas forças, Pórtco de aço sujeto a acções permanentes e sobrecargas, Pórtco de três vãos e doze andares sujeto a forças nodas horzontas, 6.6 Trelça metálca, Estrutura metálca com dez barras sujeta a duas forças, 6.8 Pórtco de dos vãos e vnte andares sujeto a forças horzontas e vertcas, Pórtco de três vãos e cnco andares sujeto a forças horzontas, Conclusões, 33 Capítulo 7 Conclusões e Sugestões para Investgações Futuras 35 Anexos Anexo Software Desenvolvdo 4 A. Algortmo, 4 A. Fchero de dados, 46 A.. Defnção das varáves assocadas ao dmensonamento, 46 A.. Estrutura do fchero de dados, 48 xv

18 Anexo Factores de Conversão entre Váras Undades de Medda 53 A. Tabela de Conversão, 53 Referêncas Bblográfcas 55 xv

19 Capítulo Introdução. Objectvos A aplcação de técncas probablístcas na avalação da segurança estrutural tem sofrdo um enorme desenvolvmento nos últmos anos. As técncas de fabldade estrutural e os métodos de smulação são hoje nstrumentos ndspensáves na avalação da ntegrdade das estruturas e no desenvolvmento de novos formatos de segurança. Neste contexto, pretende desenvolver-se um estudo que permte contrbur para o desenvolvmento, ou melhoramento, de modelos de verfcação de segurança estrutural. Uma das prncpas dfculdades na ntrodução destas técncas é a morosdade na aplcação dos métodos mas utlzados, como os processos de smulação baseados no método de Monte Carlo, onde mesmo utlzando técncas de redução do número de amostras, como sejam por exemplo a amostragem por mportânca, estratfcada ou mesmo uma sua varante - o hpercubo latno; a aplcação em casos de alguma complexdade pode ser extraordnaramente morosa (Haldar e Mahadevan, 000). A aplcação de métodos de fabldade mas efcentes é o prncpal tema de nvestgação. Nomeadamente têm sdo, recentemente, desenvolvdos métodos de fabldade que conjugam processos de optmzação com o método dos elementos fntos. A utlzação destes métodos basea-se no cálculo da stuação de rotura mas provável e da respectva probabldade de ocorrênca. As suas análses permtem entrar em consderação com a

20 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl varabldade dos dversos parâmetros que nfluencam o comportamento da estrutura, resultando no cálculo do índce de fabldade. É assm possível analsar a segurança de uma estrutura de uma forma sgnfcatvamente mas rápda do que o necessáro para uma análse usando o método de Monte-Carlo. Assm, o objectvo deste trabalho é desenvolver um método de análse da fabldade de um sstema estrutural que nclua modelos de análse de estruturas e que combnada com o método probablístco de elementos fntos permta obter a probabldade de rotura. Para desenvolver e aplcar este método construu-se um programa de análse de fabldade que ncluísse as váras ncertezas, traduzdas por dferentes varáves aleatóras báscas, e que cumprsse os objectvos propostos.. Enquadramento do trabalho A análse de fabldade está relaconada com o tratamento das váras ncertezas que envolvem os problemas de engenhara. Essas ncertezas surgem da aleatordade dos város parâmetros que envolvem os problemas estruturas, problemas na escolha dos modelos, parâmetros físcos, varações devdas à acção do homem, etc. As prmeras abordagens smplfcavam os problemas consderando os parâmetros relaconados com as ncertezas como constantes, através dos chamados coefcentes de segurança que se baseavam em experêncas passadas. Para avalar de forma raconal a dspersão assocada a um sstema estrutural sujeto a váras ncertezas traduzdas por dferentes varáves aleatóras báscas há que utlzar uma análse probablístca. Os prmeros estudos realzados sobre este tema foram efectuados por Freudenthal (945, 956) que aplcou métodos probablístcos para avalar a segurança de estruturas consttuídas por dferentes materas, apresentando os prncípos báscos da teora da fabldade estrutural. Na década de sessenta este assunto começou a ser tratado de uma forma mas aprofundada e consstente, como por exemplo nos trabalhos realzados por Freudenthal et al. (966) e Bolotn (965). Desde aí que a teora sobre a análse da fabldade estrutural e suas aplcações tem vndo a ser dscutda e desenvolvda por dversos autores. A quantdade de textos e lteratura exstente sobre este tema tem vndo a aumentar consderavelmente nos últmos anos. Alguns dos lvros mas relevantes sobre o assunto foram apresentados por Ang e Tang (975), Dtlevsen (98a), Elshakoff (999), August, Baratta e Cascat (984), Yao (985), Thoft-Chrstensen e

21 Capítulo - Introdução Murotsu (986), Melchers (999), Haldar e Mahadevan (000), Haldar e Mahadevan (000a), Dtlevsen e Madsen (005) ou Madsen et al. (006). A análse estrutural que combna o método dos elementos fntos com a teora das probabldades começou a desenvolver-se nos anos setenta. Estes métodos são os chamados métodos probablístcos de elementos fntos que, bascamente, se podem dvdr nos métodos de smulação, nos métodos de perturbação e nos métodos de fabldade (Lu e Kureghan, 989). O termo método estocástco, ou probablístco, de elementos fntos (do nglês SFEM ou PFEM) é utlzado para referr um método de elementos fntos que tem em conta as ncertezas na geometra e/ou propredades dos materas de uma estrutura, assm como das cargas aplcadas. Normalmente, essas ncertezas são dstrbuídas espacalmente ao longo da estrutura e devem ser modeladas como campos aleatóros. Estes métodos tomam em consderação o efeto aleatóro exstente na matrz de rgdez e no vector das cargas. Além dsso, há que ter em atenção à forma como se organzam no computador estruturas complexas com mutos graus de lberdade e mutas varáves aleatóras pos daí podem advr problemas em termos de memóra de computador. O nteresse nesta área aumentou a partr do momento em que se percebeu que em algumas estruturas a resposta é bastante sensível às propredades dos materas e que mesmo pequenas ncertezas podem afectar fortemente a fabldade estrutural. Nos últmos trnta anos o método probablístco de elementos fntos tem sdo muto utlzado em todos os campos estruturas. Os desenvolvmentos nesta área têm vndo a ser dscutdos, de entre outros, por Vanmarcke et al. (986), Nakagr et al. (987), Der Kureghan e Ke (988), Brenner (99), Ghanem e Spanos (99, 003), Matthes et al. (997), Kleber e Hen (99), Sudret e Kureghan (000, 00). O método de smulação de Monte Carlo fo utlzado neste trabalho como método de referênca. Esta é uma poderosa ferramenta que pode ser adaptada para a análse probablístca de ncertezas em todo o tpo de problemas e os resultados podem ser obtdos com a precsão desejada. Neste método são realzadas análses repetdas com os valores obtdos através das varáves aleatóras báscas, os quas são gerados a partr das dstrbuções de probabldade das respectvas varáves. Desta forma, as estatístcas de resposta são obtdas a partr das amostras que vão sendo geradas. Este método pode ser aplcado a qualquer tpo de problema estrutural, sendo os resultados obtdos com uma precsão que rá depender do número de smulações efectuadas. À medda que o número de 3

22 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl smulações aumenta a probabldade de rotura obtda pelo método de Monte Carlo fca cada vez mas próxma do valor exacto. No entanto, para sstemas estruturas mas complexos o número de smulações necessta de ser bastante elevado, o que torna este método um pouco moroso e logo pouco efcente. Esta é uma das prncpas razões porque hoje em da mutos autores consderam este método nadequado para aplcações prátcas. No entanto, na actualdade, ele anda é muto utlzado tendo nclusvamente outros autores desenvolvdo algumas técncas de redução da varânca como forma de ultrapassar esse problema [Rubnsten (98), Bucher (988), Melchers (999), Dtlevsen e Madsen (005), Mahadevan e Raghothamachar (000), Olsson et al. (003), Schueller (00)]. Apesar dos problemas que podem surgr na sua aplcação, este método anda se deve consderar bastante váldo como uma ferramenta de verfcação no desenvolvmento de métodos mas refnados como os métodos de fabldade e perturbação. Os métodos de perturbação envolvem expansões em séres de Taylor, de prmera ou segunda ordem, numa vznhança dos valores médos das varáves aleatóras báscas, relatvamente às equações que defnem o comportamento da estrutura. A varação da resposta estrutural é então obtda resolvendo um conjunto de equações determnístcas. Igualando os termos da mesma ordem, as médas e covarâncas da varável resposta podem ser determnadas em função das médas e covarâncas das varáves aleatóras báscas. Se utlzarmos apenas expansões em séres de Taylor de prmera ordem, a resposta méda é calculada como a solução das equações de ordem zero. Neste método as varáves aleatóras báscas são caracterzadas apenas pelas suas médas e covarâncas não sendo necessáro ter qualquer nformação sobre as suas dstrbuções. O objectvo é calcular os dos prmeros momentos da varável resposta. A nclusão dos termos de segunda ordem, além de aumentarem consderavelmente os cálculos, estes têm um efeto apenas sobre os valores médos da varável resposta sendo normalmente consderados de pouca mportânca comparados com os termos de ordem zero (Tegen et al., 99a). Há que ter algum cudado na aplcação dos métodos de perturbação pos a probabldade de rotura é um pouco sensível às caudas das dstrbuções de probabldade pos como estes métodos desenvolvem a equação de equlíbro, entre as forças nternas e externas, em torno dos valores médos das varáves aleatóras báscas, o erro na estmação da probabldade de rotura pode ser sgnfcatvo (Lu e Kureghan, 989). Os métodos de perturbação foram utlzados por mutos autores nos últmos anos. Por exemplo, Baecher e Ingra (98) 4

23 Capítulo - Introdução e Rghett e Harrop-Wllams (988) aplcaram este método a problemas geotécncos; Handa e Anderson (98) aplcaram-no a uma vga e a uma estrutura para estmar os dos prmeros momentos dos deslocamentos estruturas e forças; Hsada e Nakagr (98) aplcaram-nos a problemas lneares e não lneares; Grasa et al. (006) utlzaram este método conjuntamente com uma extensão do método dos elementos fntos para estudar as ncertezas relaconadas com falhas em problemas mecâncos. Os métodos de fabldade de prmera ordem (do nglês FORM) e de segunda ordem (do nglês SORM) têm sdo muto utlzados para estmar a probabldade de rotura de sstemas estruturas. Nos últmos anos, o desenvolvmento da tecnologa permtu o aparecmento de computadores cada vez mas rápdos e efcazes o que veo mpulsonar e nfluencar de forma sgnfcatva os desenvolvmentos nesta área. Os trabalhos mas recentes ncluem, entre mutos, os de Wen (990), Nowak e Collns (000) e Ranganathan (999). Shnozuka (983) apresentou um trabalho sobre váras defnções e cálculos de índces de fabldade. Ao longo dos tempos város têm sdo os autores a fazer algumas abordagens crítcas sobre métodos para calcular a probabldade de rotura, como por exemplo, Dolnsk (983), Dtlevsen e Bjerager (986), Schueller e Stx (987), Rackwtz (00). Kureghan (996) faz uma revsão sobre os métodos de avalação da fabldade estrutural sob o ponto de vsta da avalação da segurança na presença de ssmos. Já Cheng e Yang (993) e Schueller (997) apresentam um conjunto de trabalhos relaconados com aspectos teórcos e computaconas de mecânca estrutural. Também os métodos de smulação de campos aleatóros têm sdo estudados e desenvolvdos por mutos autores, como por exemplo, Shnozuka e Deodats (99, 996) e Spanos e Zeldn (998). Num determnado número de artgos, Elshakoff (995a, 995b, 998, 000) analsou aspectos báscos relaconados com a modelação probablístca de ncertezas estruturas e explorou alternatvas para modelar essas ncertezas. Também Yao (985) e Melchers (00) apresentaram os desenvolvmentos obtdos na análse de fabldade de estruturas exstentes e apontaram a necessdade de contnuar a aprofundar a nvestgação nesta área. Cascat et al. (997) apresentam uma revsão sobre problemas dnâmcos e algortmos dentro dos sstemas de fabldade estrutural. Problemas de fabldade relaconados com a varação no tempo e a aplcação de técncas com combnação de cargas foram revstos por Rackwtz (998). Outros factores que contrbuíram para o crescmento de outras áreas são a dsponbldade cada vez maor de dados sobre fenómenos naturas, como por exemplo 5

24 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl ssmos, e os recentes desenvolvmentos da tecnologa de sensores, como por exemplo a montorzação que já se utlza em dversas cêncas..3 Organzação da dssertação Ao elaborar esta tese de Doutoramento teve-se em mente que ela consttuísse gualmente um texto de apoo para todos aqueles que trabalham com o tratamento das váras ncertezas que envolvem os problemas de engenhara, mas concretamente na área da segurança estrutural. O objectvo fo o de apresentar e dscutr alguns métodos e técncas que se aplcam na área da segurança e fabldade estrutural. Este trabalho desenvolve-se ao longo de sete capítulos. Em seguda faz-se uma descrção sumára de cada um dos capítulos: Capítulo Neste capítulo apresenta-se a nformação base relaconada com o objectvo/motvação deste trabalho. Começam por se referr os objectvos a que este trabalho se propõe, fazendo de seguda uma pequena abordagem relatvamente à evolução que a análse de fabldade teve ao longo dos tempos até à actualdade, referndo alguns dos trabalhos mas sgnfcatvos dentro dessa área. Mencona-se a estrutura da tese organzada nos sete capítulos que a consttuem. Capítulo Apresentam-se alguns concetos báscos da análse de fabldade. Começa por referr-se quas as ncertezas que poderão surgr na avalação da segurança estrutural. Em seguda defnem-se alguns concetos relaconados com o tema como: varáves aleatóras báscas, estados lmte, função de estado lmte e probabldade de rotura. Para conclur, são revstos e dscutdos alguns dos métodos de fabldade mas utlzados hoje em da, expondo a evolução que estes tveram ao longo do tempo. Capítulo 3 Os métodos de fabldade desenvolvdos com base no pressuposto de varáves aleatóras ndependentes com dstrbução normal têm o seu campo de aplcação lmtado. Daí que 6

25 Capítulo - Introdução neste capítulo se apresentem alguns métodos de transformação que podem ser útes para casos em que as varáves aleatóras báscas não têm dstrbuções normas e/ou nos casos de exstrem correlações entre essas varáves. Assm, apresentam-se métodos para transformar varáves aleatóras normas correlaconadas em varáves aleatóras equvalentes com dstrbução normal e ndependentes. Da mesma forma, também se descrevem algumas das prncpas transformações para varáves aleatóras não normas ndependentes, assm como transformações para varáves aleatóras não normas correlaconadas. Capítulo 4 Descrevem-se alguns dos métodos de smulação mas utlzados para o tratamento das váras ncertezas que envolvem os problemas de engenhara, mas concretamente na área da segurança estrutural. Descreve-se o método de smulação de Monte Carlo, assm como duas técncas de redução da varânca. Além dsso, apresenta-se a forma de gerar números aleatóros para varáves aleatóras contínuas e dscretas, assm como a smulação de varáves aleatóras normas, e não normas, correlaconadas. Capítulo 5 Descreve-se a metodologa proposta que permte obter um índce de fabldade para a avalação da segurança estrutural. Neste capítulo apresenta-se o desenvolvmento de um método de fabldade estrutural efcente que conjuga técncas de perturbação com o método dos elementos fntos. Este método permte obter, com uma únca análse estrutural, a resposta méda e a sua dspersão em função das dstrbuções dos parâmetros báscos do problema, caracterzados por varáves aleatóras. Desta forma obtém-se um procedmento de análse probablístca da segurança estrutural sgnfcatvamente mas rápdo do que os métodos frequentemente utlzados. Consderando que o sstema estrutural em estudo, com n vgas e colunas, se encontra submetdo a um carregamento caracterzado por F Φ = F [Φ, Φ,, Φ n ]; onde F representa a ntensdade do carregamento e [Φ, Φ,, Φ n ] o vector da dstrbução desse carregamento ao longo da estrutura. Aplcando o método dos elementos fntos, o equlíbro do sstema é traduzdo pela segunte equação: K(u) U = F Φ ; onde K(u) representa a matrz de rgdez tangente da estrutura, defnda em função dos deslocamentos 7

26 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl nodas U, F Φ corresponde ao vector das forças nodas representatvas das acções exterores (nclu acções permanentes, sobrecargas, vento, etc.). Aplcando técncas de perturbação a esta equação fo possível quantfcar o valor médo e a dspersão da resposta estrutural, quer em termos de deslocamentos quer de forças. Além dsso, são apresentados alguns detalhes relaconados com a mplementação do software do modelo proposto. Capítulo 6 Neste capítulo apresentam-se alguns exemplos comparatvos entre os resultados obtdos por esta técnca e por outros métodos probablístcos, permtndo avalar as potencaldades da metodologa proposta. Capítulo 7 Por fm, neste capítulo, apresentam-se as conclusões do trabalho desenvolvdo assm como perspectvas de desenvolvmentos futuros. 8

27 Equaton Chapter Secton Capítulo Avalação das Incertezas e Verfcação da Segurança Estrutural. Introdução Ao longo dos tempos a avalação da segurança de estruturas era efectuada de uma forma empírca, mutas das decsões dependam da experênca pessoal, da ntução e julgamento. Nos últmos anos, para avalar com maor precsão os rscos assocados à segurança estrutural têm vndo a ser aplcados, cada vez com maor frequênca, métodos probablístcos de fabldade. Estes métodos procuram avalar as probabldades de rotura de sstemas estruturas. Mutos trabalhos de nvestgação têm sdo realzados dentro deste tema assm como têm surgdo mutas publcações nteressantes. Algumas noções, estudos e aplcações sobre a teora da fabldade estrutural podem ser encontrados, por exemplo, em Madsen et al. (006), Melchers (999), Dtlevsen e Madsen (005) e Haldar e Mahadevan (000, 000a). No entanto, a sua aplcação generalzada tem vndo a ser atrasada devdo à pouca efcênca em resolver problemas de maor complexdade (Ima e Frangopol, 000; Kharmanda et al., 00; Yu et al., 997). Os crtéros de rotura estrutural estão relaconados com as funções de estado lmte, que defnem as superfíces que separam a regão de segurança da regão de rotura. A determnação do índce de fabldade de sstemas estruturas é um problema de optmzação no espaço normal padronzado (Hasofer e Lnd, 974; Shnozuka, 983). 9

28 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl Exstem dos métodos elementares para estmar a fabldade estrutural: o método de fabldade de prmera ordem (do nglês FORM) e o de segunda ordem (do nglês SORM). Os métodos de fabldade de prmera ordem foram utlzados por mutos autores para város tpos de análses, como por exemplo, Kureghan e Ke (988) que os usaram para uma análse determnístca de estruturas lneares com propredades aleatóras. Este método envolve uma transformação das varáves aleatóras para o espaço normal padronzado e aproxma a função de estado lmte através de uma superfíce lnear (um hperplano). O método de segunda ordem é semelhante ao de prmera ordem excepto que neste caso a função de estado lmte é aproxmada através de uma superfíce de segunda ordem (um parabolóde). Se a superfíce de estado lmte não é lnear uma aproxmação de segunda ordem produzrá resultados mas fáves mas também será mas morosa e complcada. Caso contráro os dos métodos produzrão pratcamente os mesmos resultados (Der Kureghan et al., 987; Lu e Kureghan, 989). As técncas que utlzam processos de smulação, como o método de Monte Carlo, têm grandes custos computaconas para sstemas estruturas mas complexos mesmo quando a mplementação computaconal nclu técncas de redução da varânca (Mahadevan e Raghothamachar, 000; Olsson et al., 003; Schueller, 00). As técncas de fabldade correntes, como os métodos FORM e SORM, são hoje geralmente acetes sendo as suas aplcações bastante smples quando exste uma formulação explícta do problema estrutural. No entanto, quando não há relações explíctas entre as varáves, como por exemplo no método dos elementos fntos, a aplcação destas técncas de fabldade para avalar a ncerteza da resposta estrutural torna-se mas exgente e pouco efcente (Ghanem e Spanos, 003; Haldar e Mahadevan, 000a; Schenk e Schueller, 005). Para mutos sstemas estruturas utlza-se o método dos elementos fntos como ferramenta de análse de forma a obter resultados mas rgorosos. Esta é uma das razões pela qual a análse de fabldade de elementos fntos tem tdo grandes desenvolvmentos nos últmos tempos. Neste capítulo começam por apresentar-se alguns concetos báscos da teora da fabldade estrutural necessáros para a compreensão do funconamento dos város métodos desenvolvdos e também como ntrodução ao tema em questão. 0

29 Capítulo Avalação das Incertezas e Verfcação da Segurança Estrutural. Incertezas na avalação da segurança estrutural Um sstema estrutural pode consderar-se como contendo ncertezas quando não temos completo conhecmento sobre alguns aspectos que descrevem esse sstema e o seu comportamento, seja o modelo utlzado ou os valores dos seus parâmetros. Devdo ao crescmento da complexdade dos sstemas estruturas, os parâmetros desconhecdos neles envolvdos tendem a aumentar em número e a ser cada vez mas correlaconados. Em seguda apresentam-se as prncpas fontes de ncerteza que surgem na análse de fabldade e condconam a avalação do comportamento de uma estrutura. A nfluênca de dversos factores, como por exemplo, a mpossbldade de prever as condções de carga futuras, não saber com precsão as propredades dos materas, as lmtações dos város métodos que se podem aplcar, a utlzação de hpóteses smplstas para prever o comportamento estrutural face às acções actuantes; leva a que a segurança absoluta de uma estrutura nunca possa ser garantda. Verfca-se assm a exstênca de mensas fontes de ncerteza na análse de fabldade que condconam a avalação do comportamento de uma estrutura. Essas ncertezas que surgem, prncpalmente, devdo a erros de estmação nos modelos teórcos utlzados nas análses, a mperfeções geométrcas e à varabldade dos materas, das acções e ntervenção humana, têm sdo dscutdas e analsadas por dversos autores, como por exemplo Matthes et al. (997), Ayyub (998), Henrques (998), Delgado (00), Faber e Stewart (003), Gayton et al. (004), no sentdo de sstematzar e entender os parâmetros que mas nfluencam a probabldade de rotura de uma estrutura. De uma forma geral as fontes de ncerteza em problemas de engenhara estrutural podem ser agrupadas da segunte forma (Der Kureghan, 989; Menezes e Schueller, 996): Devdo à acção do homem (ex. a resstênca do betão usada nos modelos é dferente daquela que se obtém na obra pos os processos de fabrcação, aplcação e cura estão sujetos a mutas ncertezas, tas como, a dosagem utlzada, a forma como é transportado, as condções clmatércas quando é aplcado na obra, etc.). São consequênca das suas falhas durante as váras fases da realzação de uma determnada estrutura (documentação, dmensonamento, construção, etc.) resultantes, por exemplo da falta de conhecmento, omssões, erros, mprecsões, etc.

30 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl Físcas, onde o homem não tem nfluênca (ex. sobrecargas, vento, ssmos, etc.). Resultam da mpossbldade de prever a varabldade e smultanedade das acções que actuam numa estrutura assm como da natureza ncerta das propredades dos materas, da geometra dos elementos, etc. Para tentar controlar e estmar este tpo de ncertezas há que obter o maor número possível de nformação sobre as varáves ou então recorrer a experêncas anterores. Dos modelos. Resultam da utlzação de modelos que descrevem de forma aproxmada o comportamento dos materas e das smplfcações na ntrodução das acções bem como dos seus efetos. A dferença entre os valores observados na estrutura e os estmados pelo modelo pode ser consderada como uma medda desta ncerteza. Estatístcas (ex. n.º lmtado de observações nfluenca a estmação dos parâmetros estatístcos méda, desvo padrão, etc.). O número reduzdo de dados dsponíves ntroduz ncertezas nas estmatvas dos parâmetros que caracterzam os modelos probablístcos que podem ser mnmzadas obtendo um maor número de nformações e utlzando técncas de nferênca estatístca..3 Varáves báscas São varáves que representam quantdades físcas e que caracterzam acções, propredades dos materas e dos solos e parâmetros geométrcos. São as varáves fundamentas que defnem e caracterzam o comportamento e a segurança de uma estrutura, ou seja, são elas que representam toda a nformação de nput que é ntroduzda num modelo. Cada varável básca é defnda através de um determnado número de parâmetros tas como a méda, o desvo padrão, etc..4 Estados lmte Uma estrutura está sujeta a város tpos de cargas ao longo do seu tempo de vda. A resposta estrutural a essas cargas pode ser encontrada sob a forma de deslocamentos, deformações, tensões ou esforços. O desempenho de uma estrutura é meddo para

31 Capítulo Avalação das Incertezas e Verfcação da Segurança Estrutural dferentes stuações que podem ocorrer durante o seu período de funconamento. Os danos ou a ruína podem surgr sempre que as acções aplcadas à estrutura excederem os valores da sua capacdade de resstr aos esforços desenvolvdos. Um estado lmte corresponde a uma representação dscreta da resposta estrutural sob condções extremas de solctação, à qual se pode assocar um determnado nível de danos ou perdas (CEB, 988). A volação de um estado lmte pode resultar de um únco acontecmento ou de uma acumulação de danos, como por exemplo a rotura por fadga. Pode anda ser reversível e nesse caso o dano exstente na estrutura apenas permanecerá enquanto a causa que o provocou esteja presente; ou rreversível e nesse caso o dano provocado permanecerá até que a estrutura seja reparada. De acordo com as normas actuas de dmensonamento de estruturas, os estados lmtes dvdem-se em duas categoras (RSA, 984): Estados lmte últmos, de onde resultam prejuízos muto severos e que normalmente estão assocados a uma capacdade de carga máxma da estrutura, ou parte dela, colocando em causa a segurança de pessoas e/ou equpamentos. Estados lmte de utlzação, de onde resultam prejuízos pouco severos e aos quas estão assocados os crtéros que regulam as funções relaconadas com a normal utlzação de uma estrutura, ou parte dela. Estes estados lmte são anda dvddos em classes, normalmente assocadas às durações de referênca: Muto curta poucas horas de vda da estrutura Curta durações da ordem dos 5% da vda da estrutura Longa durações da ordem dos 50% da vda da estrutura A escolha dos estados lmte a que uma estrutura deve obedecer depende dos materas utlzados e do tempo de vda pretenddo para a estrutura em causa. Esta sstematzação do conceto de estado lmte permtu o estabelecmento de crtéros de dmensonamento e verfcação de segurança. 3

32 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl.5 Função de estado lmte Para cada estado lmte devem dentfcar-se as varáves aleatóras báscas que o nfluencam. Os modelos que descrevem o comportamento de uma estrutura devem ser defndos para cada estado lmte. Os parâmetros desses modelos devem ser tratados como varáves aleatóras báscas. O estado lmte pode ser descrto através de uma função das varáves aleatóras báscas, X = X, X, : ( ) ( ) Z = G X,X, (.) onde G ( ) representa a relação entre os elementos do vector X (Freudenthal, 956; Freudenthal et al., 966; Madsen et al., 006). Os elementos do vector X geralmente são ncertezas, como por exemplo, parâmetros geométrcos e materas, cargas, etc. Além dsso, estas quantdades podem estar correlaconadas. Sendo Z a margem de segurança então G( X ) = 0 é a função de estado lmte. Consdera-se que a estrutura está em segurança se G( X ) > 0, sendo a regão de rotura dada por G( X ) < 0. Uma função de estado lmte pode ser uma função explícta ou mplícta das varáves aleatóras báscas..6 Verfcação da segurança aos estados lmte Os crtéros de verfcação da segurança podem classfcar-se em quatro níves (Henrques, 998; Delgado, 00; Laranja, 003): Nível 0 As análses são puramente determnístcas, como por exemplo o método das tensões admssíves. As varáves têm valores estrtamente determnístcos sendo as ncertezas englobadas nos coefcentes globas de segurança que normalmente são estmados através de experêncas passadas, da ntução do engenhero ou do seu julgamento face ao problema em estudo. 4

33 Capítulo Avalação das Incertezas e Verfcação da Segurança Estrutural Nível As análses baseam-se no formato sem-probablístco de verfcação de segurança que é actualmente o mas utlzado na regulamentação nternaconal para defnr regras no dmensonamento estrutural. Para quantfcar a varabldade das acções e das resstêncas recorrem a valores representatvos (nomnas ou característcos) afectados de coefcentes parcas de segurança. Os valores representatvos são utlzados na regulamentação de estruturas sendo defndos a partr do estudo estatístco da dstrbução das varáves báscas (normalmente, valores médos e desvos padrão). Os coefcentes parcas de segurança são aferdos por métodos probablístcos de nível superor. Nível Inclu os métodos probablístcos onde as varáves báscas são defndas através de meddas estatístcas que descrevem a tendênca central e a dspersão (normalmente, o valor médo e a varânca). Procura-se determnar a probabldade de ser atngdo um determnado estado lmte sendo a avalação da segurança efectuada por técncas numércas aproxmadas. A medda de segurança utlzada é o chamado índce de fabldade β que está drectamente relaconado com a probabldade de rotura p f. Nível 3 Inclu métodos puramente probablístcos onde se utlza a dstrbução conjunta das varáves báscas. A probabldade de ser atngdo um determnado estado lmte é calculada analtcamente (de dfícl aplcação, vável apenas para casos muto smples) ou recorrendo a métodos de smulação. Actualmente, embora estes métodos tenham grande aplcação em dversas áreas, em problemas com mutas varáves, onde a complexdade dos algortmos de análse não lnear exge muto tempo de computação, a sua aplcação fca um pouco lmtada..7 Probabldade de rotura. Caso fundamental A formulação do problema básco da fabldade estrutural envolve apenas a resstênca, R, e a solctação, S, descrtas pelas respectvas funções densdade de probabldade ƒ R e ƒ S. A função de estado lmte pode ser defnda por: Z = G( R,S) = R S (.) 5

34 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl Desta forma, a superfíce que separa o domíno da segurança do domíno da rotura da estrutura será dada por: Z = G( R,S) = R S = 0 (.3) De uma forma geral, a rotura de uma estrutura dá-se se a resstênca do sstema estrutural, R, é menor do que as cargas actuantes, S. Nesta perspectva, a probabldade de rotura pode ser determnada ntegrando a função densdade de probabldade conjunta das varáves aleatóras R e S, R,S { 0} ƒ, dentro do domíno de falha D R,S :G( R,S) = : R p ƒ= P = P( R - S 0 ) = ( ) ƒr,s r,s dr ds S D (.4) Como normalmente se assume que as varáves aleatóras relaconadas com a resstênca são estatstcamente ndependentes das que estão relaconadas com as acções, a função densdade de probabldade conjunta em (.4) pode ser substtuída pelo produto das respectvas funções de densdade de probabldade margnas: Consderando R + S>R ( ) ( ) = ( ) ( ) (.5) p = ƒ r.ƒ s dr ds ƒ r.ƒ s dr ds ƒ R S R S - - D F como a função dstrbução da resstênca, ntegrando f ( ) R r obtém-se: + ( ) ( ) (.6) p = F x.ƒ x dx ƒ R S - Este ntegral é conhecdo como o ntegral de convolução e representa todos os casos para os quas a resstênca não excede as solctações. Para a maor parte dos problemas a resolução analítca do ntegral da equação (.6) é dfícl. Normalmente calculam-se aproxmações ao seu valor através de técncas de ntegração numérca ou de procedmentos e meddas ndrectas (Da, 99). 6

35 Capítulo Avalação das Incertezas e Verfcação da Segurança Estrutural.8 Índce de fabldade A dfculdade em resolver o ntegral da equação (.6) fez com que se desenvolvessem metodologas que permtssem avalar a segurança de uma estrutura com base na sua probabldade de rotura. Esta dfculdade levou a que nas últmas décadas se tenham vndo a desenvolver váras metodologas dentro da teora da fabldade estrutural. Com o tempo foram surgndo város métodos para determnar índces de fabldade que foram sendo estudados e apresentados por dversos autores, como por exemplo, Hasofer e Lnd (974), Rackwtz e Fessler (978), Chen e Lnd (983), Wu e Wrschng (987), Lu e Der Kureghan (99a), Dtlevsen e Madsen (005). Os trabalhos apresentados na década de sessenta por Freudenthal et al. (966) foram as prmeras referêncas sobre o tema. Cornell (969) apresenta o prmero método de fabldade estrutural desgnado método do segundo momento de prmera ordem (do nglês FOSM). Com ele Cornell ntroduzu o conceto de índce de fabldade β que permte a obtenção da probabldade de rotura e logo da segurança de uma estrutura. No entanto, rapdamente fcou claro que este método apresentava duas grandes lmtações, o índce de fabldade não é constante para formulações equvalentes da função de estado lmte e não ncluía nformação sobre as dstrbuções das varáves aleatóras báscas, o que susctou o aparecmento de novos métodos (Dtlevsen, 973; Venezano, 974). Hasofer e Lnd (974) propõem um método que resolveu o problema da não nvarânca. Surgem assm os métodos FORM e SORM..8. Formulação base do índce de fabldade Para alguns casos especas a equação (.6) pode ser calculada com facldade sem ter de se resolver o ntegral. Consdere-se novamente uma formulação do problema básco da fabldade estrutural que envolve apenas a resstênca, R, e a solctação, S. Se R e S são duas varáves aleatóras estatstcamente ndependentes (o que é razoável assumr) com dstrbução normal então R N ( μ, σ ) e S N ( μ, σ ) R R S S. Desta forma, a função de estado lmte defnda por Z = R S = 0, que defne a margem de segurança, também é uma varável aleatóra normal com Z N ( μ μ, σ σ R S R S ) probabldade de rotura é dada por (Cornell, 969): +. Assm, a 7

36 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl p f μ μ R S μ μ R S = P Z < 0 =Φ = Φ σ σ + σ σ R S + R S 0 ( ) ( ) (.7) onde () Φ é a função dstrbução da dstrbução normal padronzada. A equação (.7) pode ser escrta da segunte forma: μ = μ + β σ + σ (.8) R S R S onde β ( p f ) =Φ representa o índce de fabldade. Assm, p pode representar-se da f segunte forma: p f ( ) μ μ μ ( β ) R S Z = Φ =Φ =Φ σ σ σ + R S Z (.9) Quanto maor for o índce de fabldade, β, menor será a probabldade de rotura, p, ou f seja, o rsco assocado nesse caso será menor. Na fgura. representa-se o sgnfcado de β (Ferry-Borges e Castanheta, 985). f(z) β.σ Z Z<0 Rotura Z>0 Segurança Probabldade de rotura, p f 0 μ Z Z=R-S Fgura. Função densdade de probabldade de Z = R-S e índce de fabldade β. Se R e S são duas varáves aleatóras estatstcamente ndependentes com dstrbução lognormal então Z = ln( R S ) = ln R ln S é uma varável aleatóra normal com probabldade de rotura dada por: 8

37 Capítulo Avalação das Incertezas e Verfcação da Segurança Estrutural p f μ + V R S ln μ + V S R = Φ ln ( + V )( + V R S ) (.0) onde V = σ μ é o coefcente de varação de R e V = σ μ o coefcente de varação R R R S S S de S. Se V R e V S não têm valores muto elevados ( 030. smplfcada (Haldar e Mahadevan, 000): ) a equação (.0) pode ser p f ln μ ln μ R S Φ V + V R S (.).8. Generalzação do cálculo do índce de fabldade Em geral a resstênca R é função das propredades dos materas e/ou das dmensões dos elementos que consttuem um sstema estrutural enquanto a solctação S é função das acções, exstndo assm váras varáves aleatóras a nfluencar uma estrutura. Desta forma, normalmente, a função de estado lmte ( ) G depende de váras varáves aleatóras que defnem e caracterzam o comportamento e a segurança de uma estrutura ( ) X = X, X,, Xn, sendo expressa por: ( ) Z = G X,X,,X n = (.) 0 Esta equação estabelece a frontera que dvde o domíno numa regão de segurança, G( X ) > 0, e noutra de rotura, G( X ) < 0. Se as varáves aleatóras báscas forem ndependentes e normalmente dstrbuídas e a função de estado lmte for lnear, do tpo: n G( X) = a + a X + + a X = a + a X 0 n n 0 (.3) = então o índce de fabldade pode ser obtdo por (Hasofer e Lnd, 974): 9

38 Métodos de Análse das Incertezas na Verfcação da Segurança Estrutural em Engenhara Cvl n a + 0 = β = n n = j= aμ ( aac j j) (.4) onde μ é o vector das médas e C a matrz de covarâncas de X. No entanto, em mutos casos, algumas das varáves aleatóras báscas não têm dstrbuções normas e a função de estado lmte não é lnear. Dessa forma, não são váldas as propredades adtvas da le normal pelo que se torna mas dfícl calcular o valor médo e o desvo padrão de () G, pos não se podem usar as expressões anterores. Além dsso, a resposta estrutural também pode não ser normal. A probabldade de rotura, p f, será então obtda através da generalzação de (.4) aplcando uma ntegração múltpla a todas as varáves aleatóras báscas: onde f ( x,x,,x) X n ( ) p = f x, x,, x dx dx dx (.5) ƒ X n n G( X) 0 é a função densdade de probabldade conjunta das varáves aleatóras báscas ( X X X ). Em geral f ( x,x,,x),,, n X n é pratcamente mpossível de obter e mesmo se essa nformação estver dsponível o ntegral múltplo dado em (.5) é de dfícl resolução. Inclusvamente as varáves aleatóras báscas podem nem aparecer de forma explícta. Por estes motvos, para resolver o ntegral dado pela equação (.5), normalmente recorrem-se a smplfcações, a métodos numércos ou mesmo a ambos. Estes métodos podem enquadrar-se em dos tpos de abordagens (Grgoru, 983): Aproxmações numércas por meo de smulações como por exemplo o método de Monte Carlo. Utlzação de processos que permtam obter soluções aproxmadas que sejam mas smples de calcular. Estes métodos podem ser agrupados em dos tpos: os métodos de fabldade de prmera ordem (do nglês FORM) e os de segunda ordem (do nglês SORM). Estes baseam-se, respectvamente, em aproxmações lneares (FORM) e quadrátcas (SORM) à superfíce de estado lmte no ponto mas provável de rotura do espaço normal padronzado. 0