PESQUISA OPERACIO AL

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1 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Sinopse Históric PESQUISA OPERACIO AL "Existem dus mneirs de umentr eficiênci de um loj, empres, ou indústri. Um dels requer melhori tecnológic, isto é, tulizção dos equipmentos, mudnç no processo tecnológico, descobert de novos e melhores tipos de mtéri prim. A outr mneir, té hoje muito menos utilizd, envolve melhoris n orgnizção do plnejmento e d produção. Isto é, melhoris no processo de distribuição do trblho entre s máquins d empres, distribuição de mtéri prim, combustível, entre outros ftores. (Kntrovich, 99 in Dntzig, 96) pud Andrde et l. (5) Durnte Segund Guerr Mundil, um grupo de cientists foi convocdo n Inglterr pr estudr problems de estrtégi e de tátic ssocidos com defes do pís. O objetivo er decidir sobre utilizção mis eficz de recursos militres limitdos. A convocção deste grupo mrcou primeir tividde forml d Pesquis Opercionl (PO) Montevechi () Lisbo (). Aind segundo Lisbo (), pesr de ser creditd à Inglterr origem d PO, su propgção deve-se principlmente à equipe de cientists liderd por George B. Dntzig, dos Estdos Unidos, convocd durnte Segund Guerr Mundil. O resultdo deste esforço de pesquis, concluído em 947, foi obtenção do Método Simplex. De cordo com Bouyssou (), em 95 foi lnçd primeir edição de estudos de PO no mundo, publicção trimestrl denomind Jornl d Sociedde de Pesquis Opercionl. O primeiro contto entre universidde e empres pr plicção d PO foi o d PUC-RJ com s empress SOCIL e Anhnguer, pr o desenvolvimento de progrms de minimizção de custo de rções pr nimis, trvés de Progrmção Liner. Ms, os principis setores empregr ess técnic form os de siderurgi (CSN, Ci. Vle do Rio Doce), eletricidde (Ci Ncionl de Energi Elétric), trnsportes (FRONAPE), petróleo (PETROBRÁS, ESSO) e telecomunicções, lém de grndes projetos e obrs esttis. Em função disso, foi crid, em 968, Sociedde Brsileir de Pesquis Opercionl (SOBRAPO) Agosti (). A Pesquis Opercionl Há váris definições de PO. Andrde () destc que é um metodologi dministrtiv que greg, em su teori, economi, mtemátic, esttístic e informátic. Pode ter plicbilidde n áre gerencil, n obtenção de um solução ótim por um visão sistêmic, por intermédio de métodos esttísticos e mtemáticos e n construção de modelos e lgoritmos computcionis. De cordo com Montevechi (), PO é preprção científic ds decisões, visndo modificção do binômio "Experiênci - Intuição" pel "Informção - Rcionlidde". Destcndose o termo decisão, Agosti () consider-o como um curso de ção, escolhido como o meio mis efetivo pr obtenção dos objetivos procurdos, ou sej, pr resolver o problem detectdo. A PO plic outrs disciplins científics n concepção, no plnejmento ou n operção de modelos pr tingir os seus objetivos. El insere objetividde e rcionlidde os processos de tomd de decisão, sem desconsiderr s questões subjetivs que crcterizm os problems reis. Utiliz técnics relcionds os cmpos d progrmção mtemátic, d teori dos grfos e dos conceitos, modelos e técnics probbilístics. de

2 de Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / As principis áres d PO são: Progrmção Mtemátic (Progrmção: Plnejmento de Atividdes Mtemátic: representção por modelo mtemático): o Liner; o Não-liner; o Inteir. Modelos de Redes: o Trnsportes; o Designção; o Redes. Sistems Inteligentes (Inteligênci Artificil): o Redes Neuris; o Lógic Fuzzy; o Sistems Especilists. Teori ds Fils; Modelos de Simulção; Progrmção Dinâmic. Em um estudo de PO ocorrem, normlmente, s seguintes fses (Montevechi, ):. Formulção (ou definição) do problem: consiste em estudr o sistem e estbelecer, de um mneir, bem definid o problem ser considerdo. Pr isto, vários elementos devem ser determindos: os objetivos tingir, s restrições que devem ser considerds, o interrelcionmento entre o setor ser estuddo e outros, s possíveis linhs de ção lterntivs etc.;. Construção do modelo mtemático: um modelo deve especificr s expressões quntittivs pr o objetivo e s restrições do problem em termos de sus vriáveis de decisão. Existem vários tipos básicos de modelo que serão vistos mis dinte. Antes d construção de um modelo mtemático deve-se responder 4 pergunts: ) Qul é medid de efetividde do objetivo? Isto é, como será express solução do problem (em reis economizdos, uniddes vendids, itens produzidos etc.) ) Quis são os ftores sob controle (vriáveis controlds ou de decisão)? Vriáveis controlds: são vriáveis que estão sob o controle d dministrção. Por exemplo, num progrmção de produção, vriável de decisão é quntidde ser produzid num período. ) Quis são os ftores não controldos (s vriáveis não controlds)? Vriáveis não controlds: são vriáveis que têm seus vlores tribuídos por sistem for do controle d dministrção. Por exemplo, o custo de produção, demnd de produtos e o preço de mercdo. 4) Quis são s relções entre estes ftores e os objetivos? Isto é, est relção pode ser express em form de relções mtemátics que constituirão um modelo do problem?. Obtenção de um solução prtir do modelo: pr modelos mtemáticos é dito que Solução Ótim. Pr modelos de simulção ou heurísticos obtém-se soluções proximds do sistem. 4. Teste do modelo e vlição d solução obtid: o critério indicdo pr julgr vlidde de um modelo deve predizer, ou não, os efeitos reltivos às lterntivs, com suficiente precisão, de mneir permitir um stisftóri decisão. 5. Estbelecimento de controle sobre solução: sempre que um solução e estrtégi pr um ção futur são plicds repetidmente, est solução deve ser mntid sob controle. Isto é feito

3 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / identificndo-se os prâmetros críticos, determinndo-se esttisticmente s vrições relevntes nesses prâmetros e finlmente justndo solução, e conseqüente, linh de ção, sempre que um vrição é observd. 6. Implntção d solução: deve-se ssegurr que solução é corretmente trnsformd em um procedimento opercionl, como tmbém, necessit-se corrigir qulquer imperfeição descobert n solução. Goldbrg et l.() destcm que o processo de modelgem depende do espírito crítico do nlist, ms resumem que ess modelgem serve pr determinr locção de recursos limitdos (ou restritos) e que podem ser disputdos por tividdes (ou eventos) lterntivs. Eles sugerem ind que, mesmo que qulidde d nálise depend d visão do nlist, propõe-se, como form de uxílio seguinte seqüênci pr modelgem de problems de progrmção mtemátic: ) Trdução ds condições do problem:.) definição ds vriáveis controláveis (de decisão ou controle) e não-controláveis (extern ou de estdo);.) elborção d função-objetivo e do critério de otimizção;.)formlizção ds restrições do modelo. b) Construção do modelo: b.) elborção d estrutur de entrd e síd de informções; b.) determinção ds fórmuls de inter-relção; b.) entendimento dos horizontes de tempo. c) Análise: c.) nálise d sensibilidde d solução; c.) levntmento d precisão dos ddos; c.) vlição d estbilidde computcionl; c.4) levntmento de outrs especificções pr o modelo. d) Implementção dos resultdos. Problems de Decisão Hoje em di os gestores deprm-se, todo o momento, com problems que, n grnde miori ds vezes, necessitm ser resolvidos o mis rápido possível. Neste mbiente competitivo, esses problems reis devem ser nlisdos bsendo-se em metodologis que permitm vislumbrr s vntgens, desvntgens, ou sej, s sus crcterístics essenciis, de form que o tomdor d decisão poss comprr s lterntivs e decidir pel opção que julgr mis dequd. Gomes et l. () slient que plvr decisão é formd por de, que em ltim signific prr, extrir, interromper, que se ntepõe à plvr cedere, que represent o verbo cortr. Considerndo o conjunto, decisão refere-se prr de cortr ou deixr fluir. O mesmo utor destc que decidir pode ser definido como o processo de colher informções, tribuir importânci els, posteriormente buscr possíveis lterntivs de solução e, depois, fzer escolh entr s opções disponíveis. Existem pelo menos dois tores envolvidos no processo decisório: o nlist e o tomdor d decisão. O primeiro é o responsável pel nálise do problem, estruturndo-o e identificndo tods de

4 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / s interfces com o sistem problemático. O segundo é o responsável pelo processo decisório, ssumindo s responsbiliddes pel lterntiv escolhid. Cbe, neste momento, definirem lgums questões concernentes sistems. Segundo Honigbum (99) um sistem é um conjunto de componentes interligdos, com vists relizr um fim comum. Já definição do Prof. Chinol pud Honigbum (99) resslt importânci d nálise ds influêncis entre os componentes de um sistem: um sistem é um conjunto de elementos dotdos de um orgnizção e sujeitos, por ess rzão, interções mútus. Pereir (4) unific em um definição de sistem os conceitos importntes de outros utores e inclui necessidde d nálise conjunt dos controles dos componentes: sistem é um conjunto determindo de elementos ou componentes discretos, interconectdos ou em interção dinâmic, orgnizdos e gencidos em função de um objetivo, fzendo o referido conjunto, objeto de um controle. Um sistem pode ser entendido tmbém como um conjunto de elementos interdependentes e intergentes inseridos em um mbiente; um grupo de uniddes combinds que formm um todo orgnizdo e cujo resultdo é mior do que o resultdo que s uniddes poderim ter se funcionssem independentemente. Pontes (99) destc que pode hver definições de sistem de cordo com áre de nálise. Ele cit Pereir (988) que define sistem no cmpo d engenhri como um sistem técnico: lgum cois cpz de pôr em execução um processo opercionl, onde lgum cois é operd pr produzir lgum cois. Consider-se mbiente ou meio mbiente tudo que não está incorpordo à estrutur intrínsec do sistem. A figur seguir expõe resumidmente, como é constituído um sistem, os seus componentes e como está inserido no meio mbiente. Ligção entre componentes ou interfce de constrngimento θ θ Limite do Sistem Meio Ambiente θ θ θ Componente θ θ Figur - Representção simbólic de um sistem. Fonte: Sucen et l. (5). Agosti () slient que os elementos de um problem de decisão são: ) As lterntivs: São s possíveis soluções do problem. b) Os estdos d nturez: São s ocorrêncis futurs que podem influir sobre s lterntivs, fzendo com que els possm presentr mis de um resultdo. c) Os resultdos: São s conseqüêncis ds lterntivs. Um lterntiv pode ter mis de um resultdo. É preciso selecionr os resultdos relevntes pr o problem em questão. 4 de

5 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / As lterntivs disponíveis pr o tomdor de decisão são resultdo d vlição de ftos que compõem um problem, que por intermédio de métodos de orgnizção, trnsformm-se em informções. Esses pssos, qundo executdos em seqüênci lógic, redundrão em conhecimento, que qundo cumuldos em um bse de ddos, servirão pr subsidir outrs decisões no futuro. A figur present cd etp dess seqüênci té obtenção do potencil competitivo empresril. DADOS I FORMAÇÕES ALTER ATIVAS POTE CIAL COMPETITIVO CO HECIME TO DECISÃO Figur Pssos pr obtenção do potencil competitivo em um orgnizção Lchtermcher (4) relt que no processo de tomd de decisão deve-se considerr, em conjunto, intuição do decisor e s informções que determinrão s lterntivs disponíveis pr solução do problem. Ests informções são resultdo do trtmento de ddos que representm um mini mundo ou mundo simbólico. A nálise do mini-mundo uxili construção de um modelo que represent um problem rel existente, como meio de nlisá-lo e compreendê-lo, objetivndo presentr o desempenho que se desej. Um problem rel é um conjunto complexo de vriáveis que dit o comportmento deste e que pode ser modeldo, pr efeito de nálise, por um estrutur simplificd Andrde (). Aind de cordo com o utor, esss vriáveis podem ser ctegorizds d seguinte form: De decisão: definids pelo nlist como fornecedors ds informções que ssistem à decisão; Controlável ou endógen: é o resultdo do processmento do modelo; Não-controláveis ou exógens: são vlores externos o modelo que representm s hipóteses ssumids ou s condições que devm ser respeitds pelo modelo. O processo de solução de um problem pss pel construção do modelo que o represente. Lchtermcher (4) expõe este processo com cinco etps: identificção do problem, formulção do modelo, nálise dos cenários, interpretção dos resultdos e implementção e monitorção. Cd um ds etps se lig à subseqüente. A posterior retroliment nterior pr revlição d fse executd. A experiênci do nlist se encix os ddos envidos n retrolimentção, promovendo melhori do modelo. Este digrm pode ser mis bem entendido observndo-se figur. Identificção do Problem Formulção do Modelo Análise dos Cenários Interpret. dos Resultdos Implement. e Monitorção Experiênci do Anlist - Avlição d etp Figur Etps pr solução de problems. Fonte: Adptdo de Lchtermcher (4). 5 de

6 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / De cordo com Andrde (), fse identificção do problem pss por três spectos principis: Descrição dos objetivos do estudo que uxilirá solução do problem; Crcterizção ds lterntivs disponíveis que blizrão decisão; Identificção ds limitções, restrições e exigêncis que influencim o problem. N fse formulção do modelo é o momento d escolh d técnic mis proprid pr descrever mtemticmente o problem. Tmbém ness fse o nlist procur entender como é o problem rel pr poder trduzir relidde. A confibilidde do modelo depende d qulidde d descrição do problem, obtid n primeir etp, e d percepção do nlist qunto os quesitos e tores envolvidos. As fses nálise dos cenários e interpretção dos resultdos servem pr vlidr o modelo, ou sej, verific-se se o comportmento do modelo represent o problem rel, considerndo inextidão do processo. Gerlmente fz-se isso se utilizndo ddos reis pr verificr-se se há vercidde n reprodução do comportmento do problem. A implementção e monitorção do modelo é o momento d su utilizção opercionl, isto é, n prátic do di--di. Necessit-se então que o nlist poss compnhr implementção e s síds obtids pós o processmento, pr que sejm justds s vriáveis que estejm degrdndo os resultdos. 4 Tipos de Modelo Um estudo de PO serve pr representr um situção físic por intermédio de um modelo. Um modelo de PO pode ser definido como um representção idelizd de um sistem orgnizcionl. Este sistem pode já ser existente ou pode ind ser um idei esper de execução. Montevechi () De cordo com Ackoff (974) e Goldbrg et l. (), existem três tipos de modelos que são utilizdos n PO: Icônicos: representm-se s proprieddes dos objetos reis em escls diferentes. Exemplos: modelos expostos nos plnetários do sistem solr (escl reduzid) e modelo de átomo em escl mplid. Anlógicos: usm um conjunto de proprieddes pr representr outro conjunto de proprieddes. Exemplo: curvs de nível num mp nálogo às elevções reis e representção de um sistem elétrico por um hidráulico. Simbólicos: utilizm letrs, números ou outros tipos de símbolos pr representr s vriáveis e s sus relções. Consider-se esse modelo como bstrto. Eles podem ser representdos por relções mtemátics que refletem estrutur do sistem rel. Andrde () destc que dependendo d form de bordgem do nlist e d nturez d decisão, os modelos podem ser clssificdos como: Conceituis: estruturm s informções e s fses do problem de form seqüencil e lógic; Heurísticos : são utilizdos qundo complexidde do problem não possibilit utilizção de relções mtemátics; Heurístic: Método de solução de problems indutivo bsedo em regrs derivds do senso comum ou d experiênci de um modelo teórico d mtemátic. Fornece um bse gerl pr solução de problems, contrstndo com bordgens estritmente lgorítmics, que nunc vrim. 6 de

7 7 de Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Simbólicos ou Mtemáticos: prte do pressuposto que s vriáveis do problem podem ser quntificáveis. Lchtermcher (4) distingue três tipos básicos de modelos: Físicos: são modelos que presentm s crcterístics físics do fenômeno ou objeto; Análogos: são representções, gerlmente gráfics, que representm um fenômeno, tl como mps e escl de medidores; Mtemáticos ou simbólicos: onde s grndezs do fenômeno, e s sus relções, são representds por vriáveis de decisão, que n miori ds vezes são quntittivs. Lisbo () destc que em um modelo mtemático são incluídos três conjuntos principis de elementos: As vriáveis de decisão e prâmetros: vriáveis de decisão são s incógnits serem determinds pel solução do modelo. Prâmetros são vlores fixos no problem; As restrições: considerções sobre s limitções do sistem, o modelo deve incluir restrições que limitm s vriáveis de decisão seus vlores possíveis (ou viáveis); A função-objetivo: é um função mtemátic que define qulidde d solução em função ds vriáveis de decisão. Andrde () destc que é mis comum solução de problems bsendo-se n PO utilizrem modelos mtemáticos, que podem ser divididos em modelos de simulção e de otimizção (solução nlític). 4. Exemplos de Modelgem Exemplo : Um empres que produz jnels e ports de polietileno, de lt qulidde, utiliz três seções n su linh de produção: ) Serrlhri: produz estruturs de lumínio; ) Crpintri: produz estruturs de mdeir; ) Montgem: mont s ports e jnels. Devido à redução drástic dos seus lucros, o diretor de produção decidiu reorgnizr o seu sistem fbril, propondo produzir, somente, dois produtos que têm melhor ceitção entre os clientes. São eles: Produto : port de polietileno com estrutur de lumínio. Produto : jnel grnde de polietileno com estrutur de mdeir. A áre de mrketing concluiu que empres poderá vender qulquer dos dois produtos, considerndo cpcidde de produção disponível. Como mbos os produtos prtilhm seção de montgem, o gerente solicitou o Deprtmento de Plnejmento e Controle d Produção solução deste problem. O PCP pr vlir o problem, procurou os seguintes ddos: A) Qul é cpcidde de produção, por minuto, de cd seção ser utilizd n produção de mbos os produtos? B) Qul é cpcidde de produção, por minuto, de cd seção ser utilizd pr produzir um unidde de cd produto? C) Quis são os lucros unitários de cd produto? Os resultdos desses questionmentos estão resumidos n tbel seguir.

8 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Seção Produto (port) Produto (jnel) Cpcidde disponível Serrlheri 4 Crpintri Montgem 8 Lucro unitário (R$), 5, Modelgem: Quntidde do produto se fbricr. Quntidde do produto se fbricr. Lucro Serrlheri Crpintri Montgem Mximizr L = + 5 Função-objetivo sujeito 4 Restrições de Produção + 8, Restrições Nturis (Produção não-negtiv) Exemplo : (Adptdo de Nogueir, 7) Um indústri produz dois tipos de produtos, sendo que cd um consome um cert quntidde de hors pr ser produzido em três máquins. Os tempos estão expostos n tbel seguir. Produto / Tempo n Máquin (h) A B C 4 O tempo máximo semnl de uso ds máquins é: O lucro obtido por cd produto é: Máquin Tempo por Semn (h) A 6 B C 8 Produto Lucro (R$),,5 Qunto se deve fbricr de cd produto, de modo que sej obedecid cpcidde opertiv ds máquins, com o mior lucro possível? 8 de

9 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Modelgem: Quntidde do produto se fbricr. Y Quntidde do produto se fbricr. Função-objetivo (máximo lucro): MA R = +,5Y Sujeito + Y 6 Restrição de Tempo n Máq.A + Y Restrição de Tempo n Máq.B 4 + Y 8 Restrição de Tempo n Máq.C, Y Restrições Nturis (Produção não-negtiv) Exemplo : (Adptdo de Nogueir, 7) Suponh que pr construir um cs populr por mês, um construtor necessite de pedreiros e 4 serventes. Pr construir um prtmento no mesmo intervlo de tempo, mesm construtor necessit de pedreiros e 8 serventes. A construtor possui um efetivo totl de pedreiros e 7 serventes contrtdos. A construtor obtém um lucro de R$., n vend de cd cs populr e de R$ 5., n vend de cd prtmento e tod "produção" d construtor é vendid. Qul é quntidde ótim de css populres e prtmentos que construtor deve construir pr que está obtenh lucro máximo. Lucro de cd edificção: Disponibilidde d mão-de-obr: Modelgem: Qtd. de Funcionários / Tipo de Edificção Cs Aprt. Pedreiro Servente 4 8 Q quntidde de css populres construíds; Q quntidde de prtmentos construídos. Cs Aprt. Lucro (R$)., 5., Disponibilidde Pedreiro Servente 7 MA M =.Q + 5.Q Restrições: Q + Q Restrição de Pedreiros 4Q + 8Q 7 Restrição de Serventes Q, Q Restrições Nturis (Produção não-negtiv) 9 de

10 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / 4. - Modelos de Otimizção n Progrmção Mtemátic de Conceito intuitivo de Otimizr, segundo Lim Jr. et l. (4): Fiz o melhor que pude... melhor diz respeito à Função-objetivo; que pude refere-se às Restrições à otimizção. Os métodos de otimizção, neste cso, são: ) Progrmção Liner É um cso prticulr dos modelos de progrmção mtemátic, pois s vriáveis são contínus e representm o comportmento do modelo (função-objetivo e restrições) de form liner. Os problems de progrmção liner não presentm s seguintes expressões: n (pr n ), log () (pr qulquer bse ) e (pr qulquer vlor de ). b) Progrmção não-liner Se existe lgum tipo de não-lineridde, tnto n função-objetivo qunto ns restrições. Existem s progrmções mtemátics Côncv, Convex e Qudrátic. É possível trnsformr os problems de progrmção não-liner pr liner, melhorndo qulidde do resultdo devido à eficiênci desses lgoritmos. c) Progrmção inteir Se lgum vriável não puder ssumir vlores contínuos, ficndo restrit vlores discretos. 5 Progrmção Liner É um técnic d Pesquis Opercionl utilizd pr resolver determind clsse de problems em que se procur locr recursos limitdos tividdes ou decisões diverss, de mneir ótim (solução ótim). Este tipo de problem prece freqüentemente nos setores de plnejmento e operções de indústris, empress de trnsporte, órgãos governmentis etc.. Entende-se por solução ótim àquel, dentre tods s soluções viáveis, que produz o melhor (menor ou mior, dependendo do problem) vlor d função-objetivo. Os três principis grupos de problems que podem ser resolvidos por Progrmção Liner são os seguintes: ) Misturs de ingredientes com composição e preços conhecidos, pr tender determinds especificções (de composição ou de estoque), custo mínimo ou lucro máximo. Utilizd pr blncer rções pr nimis, refeições, bstecimento de comuniddes ou trops, utilizção prceld de combustíveis, lubrificntes, fertilizntes e corretivos, defensivos grícols, perfumes e cosméticos, ligs metálics, no uxílio pr s indústris de limentos etc. b) Trnsporte, distribuição ou locção, em que se procur determinr s quntiddes trnsportr, segundo s vis lterntivs possíveis, freqüênci ou períodos de trnsporte e s especificções qunto operção levndo em cont os custos (fretes, riscos cpitl emptdo, prêmios e mults, emblgem, rmzenmento, cpcidde dos meios etc.). Entre s áres de utilizção citm-se: bstecimento, distribuição de produtos, trnsporte de crgs ou pessos etc.. c) Progrms de Produção ou limitção de recursos nos setores grícols, industriis ou de serviços, como o seguinte modelo típico: um empres oferece váris lterntivs de serviços ou pode fbricr ou produzir vários bens; conhecem-se s quntiddes de insumos necessários pr

11 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / produção de um unidde do bem ou serviço; conhecem-se s restrições do mercdo qunto os limites inferiores e superiores de produção ou demnd do bem ou serviço; conhecem-se s disponibiliddes dos insumos por prte d empres; conhece-se o vlor ou lucro unitário dos bens ou serviços serem produzidos; desej-se obter o melhor progrm de produção que pode ser: mximizr os lucros, mximizr o volume de produção, mximizr ou minimizr o emprego de determindo insumo, minimizr o tempo ocioso de pessos ou equipmentos etc.. A representção mtemátic de um problem de Progrmção Liner (PL) tem seguinte form: Otimizr função-objetivo (mximizr ou minimizr): Z = f Sujeito (restrições do problem) ( n x, x, L, x ) g( x, x, L, xn ) g ( x, x, L, xn ) = KKKKKK g m ( x, x, L, xn ) Sendo: x j : vriáveis de decisão pr j=,,...n; b j : quntidde disponível de um determindo recurso pr j=,,...m; n: quntidde de vriáveis de decisão do modelo de PL; m: quntidde de restrições do modelo de PL; f(x, x,...,x n ): função-objetivo do modelo de PL; g j (x, x,...,x n ): restrições do modelo de PL pr j=,,...m. b b K bm Conforme citdo nteriormente, o termo "liner" signific que tods s funções definids no modelo mtemático que descreve o problem devem ser lineres, isto é, se f( x,x, L,xn ) e cd um ds gi ( x, x, L, xn ), pr i de té m, forem funções lineres. Considerndo-se f ( x, x,..., xn) = cx + cx cnxn e g i ( x, x,..., xn) = i x + ix inxn cheg-se seguinte representção mtemátic, utilizndo-se s restrições, por exemplo, como equções: ======================================================================= Min ou Mx Z = c x + c x c x n n Sujeito às restrições M m m Considerndo que i pr i =,,..., n. ======================================================================= De cordo com Cintr (7), um problem de progrmção liner, n form mtricil, tem o seguinte formto: n n mn n n = b n = b = b m, Min z = cx s.. Ax = b x... A =... m... m n n mn b b b =... b m c c c =... c n x x x =... x n de

12 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / A mtriz A contém os coeficientes ds restrições e é denomind mtriz de restrições, o vetor b contém os coeficientes dos recursos (termos independentes), o vetor c é formdo pelos coeficientes d função-objetivo e x é o vetor com s vriáveis de controle ou decisão. O modelo do exemplo pode ser representdo, n form mtricil, como se segue: Mximizr L = + 5 s , A = 4 x b = c = x = 8 5 x Exercício: Escrever os exemplos de modelgem e n form de mtriz. Um problem de progrmção liner pode ser escrito tmbém n form Pdrão seguindo-se estrutur seguir: Min ou Mx Z = c x + c x c x n n, Sujeito às restrições M m + + Considerndo que, b pr i =,,..., n e j =,,..., m. Pode-se tmbém escrever um problem de PL n form Cnônic: + m n n mn i n n = b = b n = b m j, Min Z = c x + c x c x n Sujeito às restrições M m n m n n Considerndo que i pr i =,,..., n. mn, n n b n b b m, Mx Z = c x + c x c x n Sujeito às restrições M m n m Considerndo que i pr i =,,..., n. n, n mn n n b n b b m, Nesss expressões, mn, b m e c n são números reis, x i (i=,,..., n) são s vriáveis de decisão do problem, n é o número de vriáveis de decisão, m é o número de restrições. A Progrmção Liner procur os vlores de x i, qundo esses vlores existirem, de modo se tingir o máximo ou o mínimo d função-objetivo. de

13 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / As restrições indicm s limitções de um mneir gerl, sejm els físics, de recursos humnos, monetáris, sócio-econômics etc.. As constntes b, b,..., b m devem ser positivs e representm o nível máximo que se pode tingir pr cd um dos recursos Operções pr Adequção do Modelo de PL Após modelgem de um problem utilizndo-se progrmção liner, pode-se obter um estrutur que não estej dequd. Sendo ssim, é viável sber como dequá-l sem perder s proprieddes mtemátics do modelo originl. As regrs pr dequção são: A) Modificção do Critério de Otimizção: Min Z = -Mx(-Z), ou sej, deve-se mximizr -Z e, o finl, tomr o vlor ótimo com o sinl trocdo. Exemplo: Min Z = c + c cnn pr Mx -Z = Mx Z = - c - c cnn B) Eliminção ds Vriáveis Livres: pr vriáveis de decisão sem restrição de não-negtividde (vriáveis irrestrits ou livres), como por exemplo, pode-se introduzir dus novs vriáveis nãonegtivs e e relizr substituição de vriáveis: =. Exemplo: Mx W = + 4 Sujeito 5 5 e livre não prece n restrição nturl ou de não negtividde, e por isso, é considerd um vriável livre. Fz-se o seguinte: = - Reescrevendo o modelo de PL tem-se: Mx W = Sujeito 5 5 -,, Obs.: Se existirem dus ou mis vriáveis livres podem-se substituí-ls utilizndo-se um únic vriável uxilir. Exemplo: Mx W = Sujeito 5 5 de

14 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / e, livres = v e = - v Mx W = + 4 ( v) + 5 ( v) Sujeito 5 5 ( v) ( v),,, v e, livres C) Restrições em Iguldde: Um iguldde pode ser convertid em dus inequções d seguinte mneir: Exemplo: + = b pr + b e + b D) Restrições do Tipo : podem ser convertids em restrições do tipo multiplicndo-se inequção por -. Exemplo: + b pr - - -b E) Eliminndo um Restrição tipo Inequção (uso dos sinis >,, < ou ): Pr < ou : + b insere-se um vriável uxilir (neste cso de folg), ficndo + + A b, sendo que F. Pr > ou : + b insere-se um vriável uxilir (neste cso de excesso), ficndo + - A b, sendo que E. Exemplo: Min Z = Sujeito + = 5 A) Mx Z = -Z = 4-5 B) Eliminção d vriável livre: = Substituindo no modelo mtemático: Mx Z = -Z = Sujeito + - = + 5,, 4 de

15 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / C) Trnsformndo ª restrição de iguldde em dus inequções. Mx Z = -Z = Sujeito ,, D) Trnsformndo s restrições de pr : Mx Z = -Z = Sujeito ,, 5. - Solução Gráfic A solução gráfic é utilizd pr solução de problems de PL simples com dus vriáveis de decisão. Inicilmente cbe relembrr como é representção de um inequção. Um desiguldde pode ser representd em um plno crtesino por um semi-plno, conforme figur seguir que expõe inequção x + y 6 (Souz et l., s/d). Exemplo (Adptdo de Souz et l., s/d): Mx Z = + 4 Sujeito, , 5 de

16 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / ª Restrição:,5 + = pr =, = /,5 = 8 pr =, = Ret 8 ª Restrição: + = pr =, = / = pr =, = Ret b ª Restrição: + = 6 pr =, = 6 pr =, = 6/ = 8 8 Ret c 6 Como s restrições deste problem de PL são dds em form de desigulddes, então solução gráfic do conjunto de restrições será um polígono convexo (não necessrimente fechdo) que recebe o nome de Região de Soluções Viáveis (R.S.V.). A solução ótim do problem de progrmção liner será um dos vértices desse polígono. Um polígono é convexo se, por intermédio de um segmento de ret formdo por dois pontos quisquer dento do conjunto convexo (R ), todos os seus infinitos pontos fzem prte deste conjunto. Exemplos: Pr este cso de mximizção, deve-se encontrr o ponto ótimo. Começ-se trçndo ret que nul função-objetivo, ou sej, ret que pss pel origem ( =, = e Z = ) e que corresponde Z =, representndo situção mis desfvorável; em seguid procur-se o vértice do polígono pelo qul pss ret prlel à ret trçd nteriormente, ponto esse que deve ser o mis fstdo possível (visto que o problem é de mximizção). 6 de

17 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / As equções de ret que represent Z = e s prlels que se destinm o vértice mis fstdo do polígono convexo são tmbém conhecids como equções equipotenciis. A solução complet pode ser observd n próxim figur. Z = Z máximo Exemplo d Modelgem (Adptdo de Souz et l., s/d): Lucro Serrlheri Crpintri Montgem Mximizr Z = + 5 sujeito 4 + 8, ) Identificr os vlores de (, ) que stisfçm tods s restrições (região de soluções viáveis). ), (restrição nturl) solução está no º Qudrnte. ) 4 (ª restrição) solução está à esquerd ou sobre ret = 4. 4) (ª restrição) 6 solução está bixo ou sobre ret = 6. 5) + 8 (ª restrição) solução está bixo ou sobre ret + =8. 6) Trçr ret + 5 = e cminhr com outrs, em prlelo, té tingir o último ponto (solução ótim) d RSV. A próxim figur expõe, de form grfic, os pssos nteriores. 7 de

18 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / x 8 x + x = 8 x = 4 6 (,6) é solução x = 6 4 R.S.V. Z =6= x + 5x = x + 5x 4 6 x = x + 5x O objetivo d Progrmção Liner é determinr, entre s soluções viáveis, que sej melhor considerndo o resultdo d função-objetivo. Se for um problem de minimizção, melhor represent o menor vlor d função-objetivo; se o problem for de mximizção, procur-se o mior vlor. Todo problem de Progrmção Liner prte de lgum hipótese que são ssumids qundo se tent resolvê-los. Quis são (Lchtermcher, 4): Proporcionlidde: o vlor d função-objetivo é diretmente proporcionl o nível de tividde de cd vriável de decisão; Aditividde: consider s tividdes, representds pels vriáveis de decisão, do modelo como entiddes totlmente independentes, não permitindo que hj interdependênci entre s mesms, isto é, não permitindo existênci de termos cruzdos, tnto n função-objetivo como ns restrições; Divisibilidde: ssume que tods s uniddes de tividde possm ser dividids em qulquer nível frcionl, isto é, qulquer vriável de decisão pode ssumir qulquer vlor frcionário; Certez: ssume que todos os prâmetros do modelo são constntes conhecids. Em problems reis, certez quse nunc é stisfeit, provocndo necessidde de nálise de sensibilidde dos resultdos. 8 de

19 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Soluções Possíveis ) Solução ótim únic e finit: se solução ótim é finit e únic então solução está em um dos extremos do polígono convexo. (, ) ótimo Z Z ) Não há Solução Viável: qundo não se consegue definir um áre que tend tods s restrições o mesmo tempo; ) Solução Ótim Ilimitd: qundo função-objetivo pode crescer indefinidmente, isto é, não há nenhum restrição que limite o seu crescimento; Z 9 de

20 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / 4) Múltipls Soluções: qundo função-objetivo reci sobre um rest do espço de solução, isto é, é prlel com um restrição limitnte. Z Infinitos (, ) ótimos Z Infinitos (, ) ótimos Notr que às vezes um ou mis restrições não prticipm d determinção do conjunto de soluções viáveis. Els são clssificds como redundntes, ou sej, qundo há su exclusão do conjunto de restrições em um problem de PL, o conjunto ds soluções viáveis não se lter. Existem lguns teorems que sustentm os estudos sobre progrmção liner. São eles: O conjunto de tods s soluções viáveis de um modelo de PL é um conjunto convexo. - Tod solução comptível básic do sistem liner de um modelo de PL é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis. Se função-objetivo possui um único ponto ótimo finito, então este é extremo do conjunto convexo de soluções viáveis. 4 Se função-objetivo ssume vlor ótimo em mis de um ponto do conjunto de soluções viáveis, então el ssume este vlor pr pelo menos dois pontos extremos do conjunto convexo e pr qulquer combinção convex desses pontos extremos Método Simplex Problems de Mximizção (bsedo em Lisbo, ) O nome simplex" está relciondo com o conjunto de restrições lineres que representm geometricmente um figur chmd simplexo, que é o equivlente os poliedros no espço e os polígonos no plno como citdo nteriormente. Esse método pesquis os vértices do poliedro de restrições. O método Simplex está fundmentdo nos seguintes teorems: O conjunto de tods s soluções viáveis de um modelo de Progrmção Liner form um conjunto convexo. Tod solução comptível básic do sistem de equções lineres de um modelo de Progrmção Liner é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções. Se função-objetivo possui um ótimo finito, então pelo menos um solução ótim é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções viáveis. Se função-objetivo ssume o ótimo em mis de um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, então el tom o mesmo vlor pr qulquer ponto do segmento d ret que une esses pontos extremos. Z de

21 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Resumidmente, o método Simplex é um lgoritmo que permite resolver problems de Progrmção Liner. A idei básic do método Simplex consiste em resolver repetids vezes um sistem de equções lineres pr obter um sucessão de Soluções Básics Admissíveis, cd um "melhor" do que nterior, té se chegr um ótim. Est rotin está representd n figur seguir. Determinr um solução inicil Viável É solução ótim? não Verificr um solução melhor. sim Encontrou solução ótim. Solução Básic: considerndo-se um conjunto de m equções linermente independentes e n incógnits, onde n > m, se define como solução básic solução pr o conjunto de equções em que (n m) vriáveis são feits iguis e s restntes são obtids d resolução do sistem de equções. (dos Sntos, ) Exemplo (dos Sntos, ): x + x + x x 4 + x 5 = 6 x + x + x x 4 + x 5 = m = e n = 5. Cd solução básic terá (5 ) = vriáveis iguis que são denominds vriáveis não-básics. Por exemplo, x,x 4 e x 5. As outrs, ou sej, diferentes de zero, são clssificds como vriáveis básics. Qundo em um solução básic, pelo menos um ds vriáveis básics é igul, entende-se que ess solução é degenerd. Est vriável é chmd de vriável básic degenerd. A quntidde de soluções básics em um sistem liner é obtid pel seguinte expressão: n n! = m m!( n m)! Exemplo de solução por tenttivs de vlições ds soluções básics (dos Sntos, ): de Mx Z = x + 6x s.. 7x + 7x 49 9x + 5x 45 x 8 x 8 x,x As 5 soluções básics possíveis estão exposts seguir: 6! = 5 4!! soluções básics

22 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Como o objetivo é mximizção d função objetivo, verific-se que solução básic proporcion o mior vlor de Z e é, portnto, solução ótim. Este tipo de solução, dependendo do tmnho do modelo, torn-se imprticável. Por isso, utilizção do lgoritmo Simplex fcilit nálise pel form nlític qunto possibilidde de implementção em progrm de computdor, utomtizndo-se o processo. Sendo ssim, entende-se que: (dos Sntos, ) Se um modelo de Progrmção liner possui um únic solução ótim, então el é um solução básic do sistem de equções lineres formdo pels restrições do modelo crescids ds sus respectivs vriáveis de folg. No cso de termos mis de um solução ótim, teremos sempre um quntidde infinit de soluções ótims, pois serão ótimos todos os pontos que unem vértices (pontos extremos) djcentes, ou sej, todos os pontos de um dos ldos do espço solução. Pr se trblhr diretmente com o método Simplex, representção mtemátic de um problem de Progrmção Liner deve ser express n form pdrão, ou sej, pr um problem de mximizção tem-se: Tods s restrições devem ser equções; B j sendo j =,,..., m ; Tods s vriáveis de decisão devem ser não-negtivs. O Simplex está clcdo n seguinte propriedde: Se um solução básic é melhor que s sus djcentes, então el é solução ótim. Por isso, resumidmente, s etps do método Simplex são os expostos seguir: de

23 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Etp : Obter um solução básic prticável inicil. Est solução é obtid fzendo-se s vriáveis de decisão como vriáveis não-básics, ou sej, iguis. As vriáveis básics serão s vriáveis de folg ssocids às restrições. Etp : Dd um solução básic, testr se el é melhor que sus djcentes. Se for, el será solução ótim. Etp : Se não for, ir pr melhor solução básic djcente e voltr etp. de Simplex Tbulr Pr utilizção do método Simplex tbulr (mximizção), seguem-se os seguintes pssos detlhdos (dptdo de Andrde, ): Psso : Introduzir s vriáveis de folg, um pr cd desiguldde, trnsformndo-s em igulddes, ou sej, em equções lineres. Observr que esss inequções são do tipo UTILIZAÇÃO DO RECURSO DISPONIBILIDADE. A inserção d vriável de folg de RECURSO mud ess inequção pr um equção do tipo UTILIZAÇÃO + FOLGA = DISPONIBILIDADE Psso : Montr um qudro pr os cálculos, colocndo os coeficientes de tods s vriáveis com os respectivos sinis e, n últim linh, incluir os coeficientes d função-objetivo trnsformd. Psso : Estbelecer um solução básic inicil, usulmente tribuindo vlor zero às vriáveis originis (Vriáveis não-básics) e chndo vlores positivos pr s vriáveis de folg (com Z, formm o conjunto ds vriáveis básics). Psso 4: Como próxim vriável entrr n colun bse, escolher não-básic que oferece, n últim linh ( linh Z), mior contribuição pr o umento d função-objetivo (ou sej, tem o mior vlor negtivo). Se tods s vriáveis que estão for d colun bse tiverem coeficientes nulos ou positivos nest linh, solução tul é ótim. Se lgum desss vriáveis tiver coeficiente nulo, isto signific que el pode ser introduzid n solução sem umentr o vlor d função-objetivo. Isso quer dizer que temos um solução ótim, com o mesmo vlor d função-objetivo. Psso 5: Pr escolher vriável que deve deixr colun bse, deve-se relizr o seguinte procedimento: ) Dividir os elementos d últim colun (termo independente) pelos correspondentes elementos positivos d colun d vriável que vi entrr n colun bse. Cso não hj elemento lgum positivo nest colun, o processo deve prr, já que solução seri ilimitd. b) O menor quociente indic equção cuj respectiv vriável básic deverá ser nuld, tornndo-se vriável não-básic. Psso 6: Usndo operções válids com s linhs d mtriz, trnsformr o qudro de cálculos, em um novo, de form encontrr nov solução básic. A colun d nov vriável básic deverá se tornr um vetor identidde, onde o elemento prece n linh correspondente à vriável que está sendo nuld e ns demis. Pr isso, deve-se plicr o Método de Guss-Jordm (pivotmento) como se segue: ) O elemento pivô deve ser trnsformdo em vlor unitário: todos os elementos d tul linh pivô (linh d vriável que deixou bse) são divididos pelo vlor do pivô. O resultdo dos cálculos form primeir linh d nov tbel. b) As demis linhs devem ser obtids seguindo-se expressão seguir: Novo vlor = [linh pivô n tbel nov (coef. d colun pivô n tbel ntig -)] + linh ntig mudr

24 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Psso 7: Verificr se solução obtid n iterção é ótim. Se for, deve-se prr o processo de nálise, senão deve-se retornr o psso 4 pr inicir outr iterção. Exemplo (dptdo de Lisbo, ): Mx Z = 4x + x Sujeito x + x x + x x x, 8 Psso : Introdução ds vriáveis de folg. x + x + f = x + x + f = x, x, f, f Psso : Montgem do qudro Simplex. Função-objetivo Trnsformd: 8 Z = 4x + x + f + f pr Z Vriáveis de folg 4x x f f = Termos Independentes Bse x x f f b 8 Z -4 - Psso : Solução Inicil Básic. Coeficientes ds Vriáveis d Função-objetivo Encontr-se Solução Inicil Básic pr montgem do º qudro Simplex ssumindo-se s vriáveis não-básics (vriáveis de decisão) como zero (x = x = ), chegndo-se f = ; f = 8 e Z =. Vriáveis não-básics: x e x (=) Vriáveis Básics: f e f ( ) Vriáveis de folg Termos Independentes Bse x x f f b f f 8 Z -4 - Verific-se que o resultdo de Z não é o mis otimizdo (Z = ), e sendo ssim, necessit-se encontrr um solução ótim. Lembrndo então, pr rtificr se ess é solução ótim, observ-se o qudro, especificmente s vriáveis não-básics (for d bse) n linh Z: 4 de

25 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / ) Se todos os vlores forem positivos ou nulos, solução é ótim e únic; ) Se precerem vlores positivos e lguns nulos, solução é ótim, ms não únic, pois s vriáveis com vlores nulos indicm que els podem ser introduzids n bse sem umentr o vlor d função-objetivo; resumindo, indic que existe outr solução ótim com o mesmo vlor d função-objetivo; ) Se precer lgum vlor negtivo solução não é ótim, devendo-se pssr pr o próximo psso. Psso 4: Encontrr vriável não-básic se tornr positiv. El entrrá n colun bse. Qul vriável que, sindo d colun bse, umentri mis rpidmente o vlor d funçãoobjetivo? Qunto à vriável não-básic se tornr positiv (que respond pergunt nterior), deverá ser nquel solução: ) igul zero; ) ter coeficiente menor ou igul zero n linh Z; ) possuir n su colun pelo menos um coeficiente positivo. Sendo ssim, escolhe-se vriável não-básic que contém o coeficiente mis negtivo n linh Z. Neste cso, x. Psso 5: Encontrr vriável básic que será nuld. Sirá d colun bse. Pr se definir à vriável básic (f ou f ) ser nuld, deve-se clculr o quociente entre o seu termo independente e o vlor d colun d vriável que entrou (x ), escolhendo que tiver menor vlor não negtivo. Neste cso, escolhe-se f. Psso 6: Trnsformção do qudro. Pr f : / = 6 Pr f : 8 / = 4 A linh de f deve refletir gor o vlor de x Psso 4 Colun Pivô Bse x x f f b f f 8 Z -4 - Psso 5 Pivô Linh Pivô No novo qudro cd elemento d linh pivô deve ser dividido pelo pivô. Bse x x f f b f x / = / / 8/ = 4 Z -4 - Pr nulr o coeficiente d linh pivô, trnsformndo-se colun pivô em um vetor identidde, devem-se nulr os elementos dest colun. Fz-se: 5 de

26 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Novo vlor = [linh pivô n tbel nov (coef. d colun pivô n tbel ntig -)] + linh ntig mudr Ou sej: Novo vlor = [nov linh x (ntig colun x n linh mudr -)] + ntig linh f Pr ª linh (f ), multiplic-se nov linh (x ) por - (verificr que o coeficiente se nulr é ) e somndo-se à linh ntig (f ), resultndo n seguinte tbel: Bse x x f f b f [ (-)] + = [/ (-)] + = [ (-)] + = [/ (-)] + = - [4 (-)] + = 4 x / / 4 Z -4 - Pr últim linh (Z), deve-se proceder d mesm form, ou sej, multiplicndo-se nov linh (x ) por 4 (verificr que o coeficiente se nulr é -4) e somndo-se à linh ntig (Z), resultndo n seguinte tbel: Bse x x f f b f - 4 x / / 4 Z [ (4)] + (-4) = A tbel resultnte dest etp é: [/ (4)] + (-) = [ (4)] + = [/ (4)] + = [4 (4)] + = 6 Bse x x F f b f - 4 x / / 4 Z 6 Psso 7: Verificr se nov solução é ótim. Pr verificr se ess solução é ótim, observm-se s vriáveis não-básics (x e x ) n linh Z: 4) Se todos os vlores forem positivos, solução é ótim e únic. 5) Se precerem vlores positivos e lguns nulos, solução é ótim ms não únic. 6) Se precer lgum vlor negtivo solução não é ótim, devendo-se pssr pr o próximo psso. Bse x x f f b f - 4 x / / 4 Z 6 Sendo ssim, x = 4; f = 4; x = ; f = ; e Z = 6. A próxim figur mostr implementção (direit) e o resultdo (esquerd) expost pelo progrm Lindo ( 6 de

27 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / RESULTADO Exemplo (dptdo de Lisbo, ): IMPLEMENTAÇÃO Mximizr Z = x + x sujeito : x + 4 x 5 x + x x, x Psso : Introdução ds vriáveis de folg. Mximizr Z = x + x + f + f sujeito : x + 4 x + f 5 x + x + f x, x, f, f Psso : Montgem do qudro Simplex. Bse x x f f b f 4 f 5 Z - - Observr se prece lgum vlor negtivo como coeficiente d linh Z. Se sim, solução não é ótim, devendo-se pssr pr o próximo psso. Pssos, 4 e 5: Primeir Iterção. ) Vriável entrr n bse: x (colun com mior vlor negtivo n últim linh * - *). b) Vriável sir d bse: f (entre os quocientes / e /4, o último é o menor). c) Dividir linh pivô pelo pivô (4). 7 de

28 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / d) Fzer: Novo vlor = [linh pivô. (coef. colun pivô. -)] + coeficiente tul d linh mudr Bse x x f f b f 4 f 5 Z - - Bse x x f f B x /4 4/4= /4 /4= /4=5 f [/4 (-)] + 5 [ (-)] + [/4 (-)] + [ (-)] + [5 (-)] + Z [/4 ()] - [ ()] - [/4 ()] + [ ()] + [5 ()] + Nov tbel pós primeir iterção: Bse x x f f b x /4 /4 5 f 9/ -/ 5 Z -8 Observr se prece lgum vlor negtivo como coeficiente d linh Z. Se sim, solução não é ótim, devendo-se pssr pr o próximo psso. Pssos, 4 e 5: Segund Iterção. ) Vriável entrr n bse: x (colun com mior vlor negtivo n últim linh * -8 *). b) Vriável sir d bse: f (entre os quocientes 5/(/4) e 5/(9/), o último é o menor). c) Dividir linh pivô pelo pivô (9/). d) Fzer: Novo vlor = [linh pivô. (coef. colun pivô. -)] + coeficiente tul d linh mudr Bse x x f f b x /4 /4 5 f 9/ -/ 5 Z -8 Bse x x f f b x [.(-/4)] + /4 = [.(-/4)] + = [-/9.(-/4)] + /4 = 5/8 [/9.(-/4)] + = -/6 [5/9.(-/4)] + 5 = /9 x (9/)/(9/) = /(9/) = -//(9/) = -/9 /(9/) = /9 5/(9/) = 5/9 Z [. (+8)] - 8 = [. (+8)] + = [-/9. (+8)] + = 9/9 [/9. (+8)] + = 6/9 [5/9. (+8)] + = 67/9 8 de

29 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Nov tbel pós segund iterção: Bse x x f f b x 5/8 -/6 /9 x -/9 /9 5/9 Z 9/9 6/9 67/9 Sendo ssim, x = 5/9 = 5555,56; f = ; x = /9 =,; f = ; e Z = 67/9 = 74444,44. Observr se prece lgum vlor negtivo como coeficiente d linh Z: não, e sendo ssim, como precerem vlores nulos, solução é ótim. A próxim figur mostr implementção (direit) e o resultdo (esquerd) expost pelo progrm Lindo ( RESULTADO Exemplo Aplicção com vriável livre. IMPLEMENTAÇÃO Mximizr : z = x + x + x Sujeito x + x + x x + x com x e x não negtivs e x livre Como se tem um vriável livre ( condição de não negtividde não contece com tods s vriáveis), ntes de se incluir vriáveis de folg, de excesso e rtificiis, deve-se substituir vriável livre pel subtrção de dus novs vriáveis não negtivs. Deve-se substituir, então, x por x4 x5. Reescrevendo o problem, temos: 9 de

30 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Mximizr Z = x + x + x4 x x + x + x x 4 5 x + x4 x5 com tods s vriáveis não negtivs 5 A su form normlizd é: Mximizr Z = x + x + x4 x5 + f6 + f x + x + x x + f = x + x4 x5 + f7 = com tods s vriáveis não negtivs onde f 6 e f7 são s vriáveis de folg dicionds. O qudro inicil do simplex será, portnto, o seguinte: x x x x f f f f 6 7 Z 4 Aplicndo-se o método simplex este qudro, colun d vriável x4 deverá ser colun de trblho, já que - é vlor mis negtivo d últim linh. O pivô será o vlor d segund linh de números por presentr um mior quociente que o vlor d primeir linh (/ contr /). Relizndo-se então s operções elementres, o próximo qudro do simplex será: x x x x f f f x 6 4 Z Aind há um vlor negtivo n últim linh e, portnto, os pssos do simplex devem ser plicdos novmente esse novo qudro. Nest situção, colun d vriável x deverá ser colun de trblho, já que - é o único vlor negtivo n últim linh e o pivô será o vlor d primeir linh de números por ser o único vlor positivo. Relizndo-se então s operções elementres, o próximo qudro do simplex será: x x x x f f x x 4 Z 4 5 Como não há vlores negtivos n últim linh, obtemos o resultdo ótimo com x =, x =, x4 =, x5 = e f6 =, e z = 5. Como no problem originl, s vriáveis erm x, x e x, podemos reescrever solução ótim como x =, x =, x, 5 =, f6 = e f7 = x, e. z = = A próxim figur mostr implementção (direit) e o resultdo (esquerd) expost pelo progrm Lindo ( 7 de

31 Prof. Mrcelo Sucen UNESA - Pesquis Opercionl / Exercício: Fzer pelo método Simplex os exercícios de modelgem e de solução gráfic. de