A MODELAGEM MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO DE TELHADOS COM DIFERENTES TIPOS DE TELHAS

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1 A MODELAGEM MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO DE TELADOS COM DIFERENTES TIOS DE TELAS Angéli Cervi, Rosne Bins, Til Deckert e edro A.. Borges 4. Resumo A modelgem mtemátic é um método de investigção que utiliz ssocição ds estruturs mtemátics às vriáveis e prâmetros de problems dos quis se necessit conhecer soluções com reltiv precisão. O tem escolhido pr este estudo, foi construção civil, e os modelos mtemáticos deste trblho form bsedos em um telhdo plno em dus águs, pr css de 6 0 metros de lrgur, com utilizção de telhs cerâmics (frnces e colonil pulist) e chps ondulds de cimento-minto. Iremos nos ter pens os cálculos reltivos às tesours (treliçs isostátics) que servem pr sustentção d cobertur.. As coberturs executds em chps ondulds de cimento-minto, presentm vntgem econômic, pois necessitm de menor inclinção do telhdo.. Descrição do roblem Com os modelos mtemáticos que iremos desenvolver seguir, procurmos sber qul quntidde de mdeir e o respectivo custo pr construção de um tesour simples, utilizd em css residenciis, cuj lrgur vri de 6 0 metros. L Figur tesour howe, com simbologi utilizd no cálculo de su ltur.. Resolução do roblem Em primeiro lugr, utilizmos um modelo de cálculo d ltur d tesour () em função d inclinção do telhdo (I) e d lrgur d cs, já crescid do beirl (L). Lembrmos que inclinção desejd vri de cordo com o tipo de telh utilizr. Acdêmic do Curso de Mtemátic Licencitur d Universidde Regionl do Noroeste do Estdo do Rio Grnde do Sul UNIJUÍ. E-mil: Acdêmic do Curso de Mtemátic Licencitur d UNIJUÍ. E-mil: Acdêmic do Curso de Mtemátic Licencitur d UNIJUÍ. E-mil: 4 rofessor orientdor d disciplin de Modelgem Mtemátic I, do Deprtmento de Físic, Esttístic e Mtemátic d UNIJUÍ. E-mil:

2 ltur lrgur (bse) Aplicndo regr de três:. = I. = I. () onde: = lrgur dividid por, ou sej: L/ I = inclinção do telhdo (em decimis) = ltur d tesour Em seguid, utilizmos um modelo pr cálculo do ângulo de inclinção do telhdo α ( ) Figur 4 cálculo do ângulo de inclinção Aplicndo noções de trigonometri, temos: tg α = onde = I. tgα = tg α = I O próximo psso é utilizção de um modelo de cálculo do comprimento do bnzo superior (B) d tesour. I. α = rctg(i) Figur 5 cálculo do Bnzo superior Aplicndo o Teorem de itágors: B = + B = + α α B ( I ) B = +. B = + I. ( ) B = + I B = + I ()

3 () onde: B = comprimento do bnzo superior. Feito isso, pssmos clculr o comprimento ds verticis e digonis d tesour, procedendo d seguinte form: Figur 6 prte d tesour, com simbologi utilizd nos cálculos. A seguir, presentmos um modelo de cálculo de um vão entre s verticis d tesour somdo à lrgur ds verticis nterior e posterior o vão ( ): = = onde: = lrgur d gui de mdeir. 5 + = 5 = + (4) 6 ssmos, gor, o modelo do cálculo d ltur d primeir verticl (v ), com utilizção de conceitos de trigonometri: v tg ( α ) = ( α ). v tg = + 5 v = tg( α ). (5) 6 r que possmos clculr segund verticl, procurmos primeirmente, um modelo de cálculo d lrgur do vão somd à lrgur d gui ( já encontrdo), gor, multiplicdo por ( ): = + 5 = = d v v d

4 + 5 = + = ( +) = (6) Modelo de cálculo d ltur d segund verticl (v ), tmbém plicndo conceitos trigonométricos: v tg ( α ) = ( α ). v tg = ( +) v = tg( α ). (7) N seqüênci, utilizmos um modelo de cálculo d primeir digonl (d ) em relção à ltur d primeir verticl (v ) e à lrgur do vão entre s verticis ( ). Aplicmos, neste cso, novmente o Teorem de itágors: = v d + v d = + (8) Necessitmos, ind, de um modelo de cálculo pr segund digonl (d ), em relção à ltur d segund verticl (v ) e à lrgur do vão entre s verticis ( ), tmbém pelo Teorem de itágors: = v d + v d = + (9) Enfim, pr clculr metrgem totl de mdeir (M) necessári pr construção de um tesour, bst somr bse com ltur, o bnzo superior, s verticis e s digonis encontrds nteriormente: M = + ( + B + v + v + d + d ) (0) Tentremos, gor, resumir um pouco mis s fórmuls encontrds, em um novo modelo mtemático que englob todos os outros já citdos. onde: M = I I + v v v v

5 I = inclinção (em decimis); = L, sendo que L = lrgur d cs crescid do beirl. = lrgur d gui; 5 = + 6 α = rctg (I); v =. tg( α) ( +) v = tg( α ). Multiplicndo-se metrgem encontrd pelo preço do metro de gui (R), obteremos o Custo d Mdeir de um tesour (C). C = M. R () r fcilitr n simulção do modelo mtemático, prtir de ddos numéricos, permitindo comprtivos entre lguns tipos de telhs empregdos ns construções residenciis, e sus respectivs vrições de inclinção, utilizmos o plictivo MATLAB, e pr isso, crimos um orgnogrm que presentmos seguir: INCÍCIO Ddos de entrd,, L, R Tipos de telhs Colonil Frnces Cimento-minto I = 0,40 I = 0,6 I = 0,68

6 = I. α = rctg(i) B = + 5 = + v = tg( α). ( ) =. v = tg( α). = v d + = v d + ( + B + v + v + d ) M = + + d C = M. R Síd de Ddos M, C Figur 7 Orgnogrm pr cálculo do modelo no plictivo MATLAB. Com o uxílio desse progrm, fizemos, então, lgums simulções. Qunto à inclinção idel pr cd tipo de telh, vimos que existem muits discrepâncis, especilmente nos ddos fornecidos por fbricntes de telhs. Optmos em considerr em nossos cálculos, inclinção mínim sugerid por Moliterno (999), e presentmos, seguir, lguns ddos obtidos.

7 Lrgur d Cs 6m 8m 0m Tipo de Telh Metrgem Custo Metrgem Custo Metrgem Custo Colonil,47 69,6 8,40 9,7 5, 4,0 Frnces,87 7,86 0,4 97,67 7,6,49 Cimento Aminto 9,59 6,7 5,9 8,69, 04, Tbel Comprtivo dos vlores qunto o tipo de telh O gráfico bixo, nos fornece um visão de que o tipo de telh e conseqüente inclinção do telhdo têm influênci no custo de fbricção de um tesour, e que s telhs de cimento-minto presentm vntgem econômic, pois necessitm de menor inclinção. Custo d mdeir pr um tesour de 0m Telh Colonil Telh Frnces Telh Cim. Aminto Gráfico comprtivo dos vlores qunto o tipo de telh. Simulmos, ind, o comportmento do custo em relção às inclinções dos telhdos, e, conforme gráfico bixo, vimos que ess vrição é prticmente liner. Vrição do custo X inclinção do telhdo 40 Custo d mdeir pr 0m Inclinção do telhdo (%) Gráfico custo de um tesour vrição qunto à inclinção do telhdo. 4 Conclusão Os modelos mtemáticos form utilizdos de tl form que, com exceção ds digonis d tesour (d e d ), s prtes possm ser clculds com os ddos iniciis referente o comprimento d tesour (), inclinção desejd (I) e lrgur ds guis ( ). Já no progrm que fizemos utilizndo o MATLAB, usmos um seqüênci, onde cd fórmul utiliz resultdos d nterior, pr simplificr digitção. r que os cálculos com utilizção dos modelos resultssem em um proximção confiável, considermos ns medições sempre o ldo extremo d peç ser clculd,

8 considerndo, inclusive, que s peçs poderão ficr sobreposts o serem pregds ums às outrs, como podemos ver n figur 6. elos resultdos obtidos, podemos observr que inclinção do telhdo implic n quntidde de mdeir ser utilizd pr construção ds tesours, bem como respectivo custo. Cd tipo de telh ser escolhido, em função de su crcterístic, tem um recomendção específic no que diz respeito à declividde d estrutur. Esses procedimentos de investigção d modelgem mtemátic podem, tmbém, servir como um possibilidde metodológic pr o ensino de mtemátic, pois levm em cont os interesses e necessiddes prátics d comunidde, e pode ser um cminho pr despertr nos lunos o interesse por tópicos mtemáticos que ind desconhecem, lém de prenderem rte de modelr, mtemticmente, porém é necessário ter o cuiddo pr que isso não sej pens um tividde que procure firmr conceitos mtemáticos. Esse método conduz, tmbém, um trblho de nturez interdisciplinr, o qul requer diálogo constnte com outrs áres do conhecimento. Esse trblho foi de grnde proveito pr nós, pois nos deu um idéi de como podemos explorr plicbilidde d mtemátic ns situções do di--di. Foi fscinnte ver como, trvés de um tem comum como construção civil, e ind mis, utilizndo pens um pequen prte d cs, que é tesour do telhdo, podemos utilizr vários conhecimentos mtemáticos, como regr de três, teorem de itágors, rdicição, trigonometri, geometri, e outros mis. or outro ldo, tivemos oportunidde de explorr um pouco mis os recursos tecnológicos que temos, como por exemplo, os softwres Mtlb e Excel. Entendemos que existe um cmpo muito mplo pr ser explordo em relção esse ssunto. Seri importnte podermos dr continuidde neste trblho em outros momentos, onde poderímos desenvolver outros modelos mtemáticos que fossem úteis ns demis etps d construção civil. Outros pesquisdores poderão, tmbém, se profundr mis, descobrindo novos modelos mis precisos pr purção dos vlores. 5 Referêncis Bibliográfics BARBOSA, Jonêi Cerqeir. O que pensm os professores sobre Modelgem Mtemátic? Zetetiké CEMEM FE/UNICAM. v.7, n.. Jn/Jun, 999. BIEMBENGUT, Mri Slett. Modelgem Mtemátic e Implicção no Ensino e Aprendizgem de Mtemátic. Blumenu: FURB, 999.4p. MOLITERNO, Antonio. Cderno de projetos de telhdos em estruturs de mdeir. São ulo: Edgrd Blücher, ed., p.

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