Universidde Federl do Vle do São Frncisco Colegido de Engenhri Elétric Pro. Pedro Mcário de Mour Pedro.mmour@univs.edu.br List : Introdução o Estudo de Limites 09.0.05 Prte I Introdução Problem 0 Ftore os polinômios: 5 b 4 9 c 4 8 d 4 9 e b b 64 y 80 y 5 g h i b 6 b 5 5 6 4 4b b j b 8 k y y y l 9 m n bc b c bc o Determinr o ite pr qul tende rção deciml 0,... Problem 0 Os biólogos descobrirm que velocidde do sngue em um rtéri é unção d distânci entre o sngue e o eio centrl d rtéri. De cordo com lei de Poiseluille, velocidde em centímetros por segundo do sngue que estr centímetros do eio centrl de um rtéri e ddo pel unção onde é um constnte e R o rio d rtéri. Suponh que, pr um cert rtéri,. Determine velocidde do sngue no eio centrl d rtéri. e Problem 0 Em lgums espécies de nimis, ingestão de entos é etd pelo gru de vigilânci que o niml precis mnter enqunto está comendo. Em outrs plvrs, é diícil de entr dequdmente se você tem que estr em gurd o tempo todo pr não ser comido por um preddor. Em um modelo proposto recentemente por A.W.Willius e C.Fitzgibbon, se o niml se ent de plnts que permite um mordid de tmnho, ingestão de entos é dd por um unção d orm. Onde e são constntes positivs. O que contece com ingestão indeinidmente? Interprete o resultdo se o tmnho d mordid umentr Problem 04 A unção represent potênci de um processdor de computdor em unção do tempo. Clcule e interprete isicmente o resultdo Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes
Problem 05 A mss do corção de um mmíero é proporcionl à mss de seu corpo. Ou sej. Um ser humno com 70 quilos tem um corção de quilos. Use ess inormção pr encontrr constnte de proporcionlidde, encontrd constnte de proporcionlidde estime mss do corção de um cvlo cuj mss é de 650 quilos. Problem 06 A áre de superície de um mmíero stisz equção, onde é mss do corpo e constnte de proporcionlidde depende d orm do corpo do mmíero. Um humno com mss de 70 quilos tem um áre de superície de 8.600. Encontre constnte de proporcionlidde pr os humnos. Encontre áre de superície de um humno com 60 quilos. Problem 07 Sej c velocidde d luz proimdmente Pel teori de Einstein, órmul de contrção de Lorentz m/s, o u 00.00km/s., especiic relção entre o comprimento de um objeto que se move um velocidde com respeito um observdor e seu comprimento em repouso. A órmul implic que o comprimento do objeto medido pelo observdor é menor qundo o objeto está em movimento do que qundo está em repouso. Determine e interprete. E eplique por que é necessário um ite lterl esquerdo. Problem 08 O custo em dólres pr remover p% dos poluentes d águ de um pequeno lgo é ddo por em que c é o custo e p é porcentgem de poluentes. Determine o custo pr remover 50% dos poluentes. b Qul porcentgem de poluentes que pode ser removid por $ 00.000? c Clcule e eplique su conclusão. Problem 09 A t de produção n otossíntese e ligd à intensidde I d luz pel unção, onde e são constntes positivs. Clcule e esboce o gráico se. Problem 0 Encontre s ssíntots verticis e horizontis d unção e esboce o seu gráico. Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes
Problem A Mrcenri Mcmbir bric um linh de mess pr eecutivos. Estimse que o custo totl d bricção de mess de certo modelo é de reis por no. Determine o custo médio qundo. Problem Suponh que um peie ndndo um distânci metro um velocidde m/s contr corrente de m/s tem um gsto totl de energi de onde é medido em metros/libr e é constnte. Clcule e interprete cd resultdo Problem Um gás tl como vpor d águ ou oigênio é mntido tempertur constnte no pistão d igur o ldo. À medid que o gás é comprimido, o volume decresce té que tinj um cert pressão crític. Além dess pressão, o gás ssume orm líquid. Use o gráico pr chr e interpretr. Problem 4 N teori d reltividde, mss de um prtícul com velocidde é Onde é mss d prtícul no repouso e c é velocidde d luz. O que contece se Problem 5 Pr estudr o prendizdo em nimis, um estudnte de psicologi relizou um eperimento no qul um rto teve que percorrer váris vezes o mesmo lbirinto. Suponh que o tempo que o rto levou pr trvessr o lbirinto n enésim tenttiv tenh sido d ordem de, minutos. O que contece com esse tempo qundo o número de tenttivs umentr indeinidmente? Interprete este o resultdo. Problem 6 O custo por disco em reis que Quijub grvções têm o bricr DVD é ddo pel unção custo totl, clcule o custo médio qundo tende o ininito e interprete o resultdo. Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes
Problem 7 Se um cultur é plntd em um solo cujo teor de nitrogênio é, produtividde pode ser modeld pel unção de Michelis-Menten Onde e são constntes positivs. O que contece com produtividde se o teor de nitrogênio umentr indeinidmente? Noção Intuitiv de Limite Sej unção. Vmos dr vlores que se proimem de, pel su direit vlores miores que e pel esquerd vlores menores que e clculr o vlor correspondente de y: y = +,5 4,,6,,,05,,0,04,0,0 y = + 0,5 0,7,4 0,9,8 0,95,9 0,98,96 0,99,98 Notmos que à medid que se proim de, y se proim de, ou sej, qundo tende pr,, y tende pr, y, ou sej: Observmos que qundo tende pr, y tende pr e o ite d unção é. Esse é o estudo do comportmento de qundo tende pr,. Nem é preciso que ssum o vlor. Se tende pr,, dizemos que o ite de qundo é, embor possm ocorrer csos em que pr = o vlor de não sej. Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes 4
De orm gerl, escrevemos: Deinição orml de ite Eemplo: Sej. Como ² + - = - +, temos: Podemos notr que qundo se proim de,, se proim de, embor pr = tenhmos =. o que ocorre é que procurmos o comportmento de y qundo. E, no cso, y. Logo, o ite de é. Escrevemos: Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes 5
Se g: IR IR e g = +, g = + = + =, embor g em =. No entnto, mbs têm o mesmo ite. Limites Lteris Proprieddes opertóris dos ites ª Propriedde: Limite de um unção constnte k, = k Eemplo: = 5, 5 5 ª Propriedde: Limite de um som ou dierenç lgébric g g b c 4 4 Eemplo: 6 4 8 ª Propriedde: Limite de um produto. g. g b. c 4 Eemplo: 4. 4. 8 Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes 6
Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes 7 4ª Propriedde: Limite de um quociente c b g g s Eemplo: 5ª Propriedde: Limite de um potênci n n n b Eemplo: 9 6ª Propriedde: Limite de um rdicl n n n b Eemplo: 5 7ª Propriedde: Limite de um logrítmo b c c c log log log Eemplo: 6 log log log 8ª Propriedde: Limite de um unção polinomil Eemplo: 8 8 FORMAS INDETERMINADAS As sete orms clássics de indeterminção são: 0 0,, 0, 0,,, 0 0
Continuidde Dizemos que um unção é contínu num ponto do seu domínio se s seguintes condições são stiseits: Propriedde ds Funções contínus Se e gsão contínus em =, então: g é contínu em ;. g é contínu em ; é contínu em. Limites envolvendo ininito Conorme sbemos, epressão tende pr ininito signiic que ssume vlores superiores qulquer número rel e tende pr menos ininitos, d mesm orm, indic que ssume vlores menores que qulquer número rel. Eemplo:, ou sej, à medid que ument, y tende pr zero e o ite é zero. b, ou sej, à medid que diminui, y tende pr zero e o ite é zero. c, ou sej, qundo se proim de zero pel direit de zero ou por vlores miores que zero, y tende pr o ininito e o ite é ininito. d, ou sej, qundo tende pr zero pel esquerd ou por vlores menores que zero, y tende pr menos ininito Prte II Prticndo Problem 8 Determine os seguintes ites, se possível. Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes 8
Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes 9
66. 75. 5 Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes 0
0. 0. 5 6 0. 04. Dri tudo que sei pel metde do que ignoro. René Descrtes
Problem 9 Clcule o ite: h h 0 h Pr cd um dos csos bio: b c d 5 e 5 Problem 0 Determine o vlor d constnte pr que o ite seguir eist. Prte III Gráicos Problem A igur.7 mostr quntidde de nicotin em miligrms, no luo snguíneo de um pesso em unção do tempo, em hors, desde o instnte em que ess pesso terminou de umr um cigrro. Estime e interprete esse vlor em termos de nicotin b Se ess pesso não voltr umr mis o que contece com. Interprete o resultdo. Problem Esboce o gráico d unção e determine se eiste ou não os ites. Problem Dd um unção, deinid por, Determine os vlores de e pr que unção sej contínu pr todo Problem 4 Clcule o Se Problem 5 Sej.Determine pr que sej contínu em. Não me sinto obrigdo creditr que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, rzão e intelecto, pretend que não os utilizemos.glileu
Problem 6 No gráico bio está esboçdo o gráico de um unção s igulddes e respond às questões: Complete Determine se eistirem s ssíntots verticis e horizontis. b Pr que vlores de é descontínu? Problem 7 Sej. Encontre: e Problem 8 Esboce o gráico d unção e clcule os ites se eiste.. Problem 9 Sej veriique se é continu em Problem 0 Clculr: Problem Determine constnte tl que seguinte unção sej contínu: Não me sinto obrigdo creditr que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, rzão e intelecto, pretend que não os utilizemos.glileu
Problem Determine os seguintes ites, se eiste ou su tendênci. Sej, veriicr se é continu em Problem Esboce o gráico d unção e clcule os ites se eiste. b Prte IV Revr Problem 4 Clcule os ites k. : /4 b l. : 08/7 c d Resp: /0 e Resp: -6 m. -/48 n. Resp: -/6 o. Resp: 7 Resp: -/4 p. Resp: 4/ g : 7 q. Resp: 5/ h r. Resp: 4 i Resp: 0 s. Problem 7 j. Resp: Não me sinto obrigdo creditr que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, rzão e intelecto, pretend que não os utilizemos.glileu 4
t. u. não eiste ite Problem 5 Clcule e justiique os ites bio. Prte V Limite pel Deinição Problem 6 Determine um número pr o ddo tl que L < sempre que 0 < <. 4 0; = 0,0 b 4 5 ; = 0, 00 c 4 7 ; = 0,0d d 5 8 ; = 0, 00 e 9 ; = 0, 005 Não me sinto obrigdo creditr que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, rzão e intelecto, pretend que não os utilizemos.glileu 5
UNIVASF Problem 7 Usndo deinição, isto é, pr qulquer > 0 encontre um > 0 tl que L < sempre que 0 < <. 5 b 7 c d 0 5 Problem 8 Clcule: = b = c = d = 4 e = = g log h log 0 7 i log 0 = j log 0 = k = Sej bem vindo o curso! Bom estudo! BIBLIOGRAFIA BÁSICA. ANTON, Howrd, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol., 0ª ed. Porto Alegre: Bookmn, 04.. GUIDORIZZI, Hmilton Luiz. Um Curso de Cálculo, Vol. 0. 5ª ed. [Reimp.]. Rio de Jneiro: LTC, 0.. STEWART, Jmes. Cálculo, Vol.. 7ª ed. São Pulo: Cengge Lerning, 0. 4. THOMAS, George Brinton, [et l]. Cálculo, Vol.. ª ed. São Pulo: Person Eduction do Brsil, 0. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR. BOULOS, Pulo. Clculo Dierencil e Integrl, Vol.. São Pulo: Person Mkron Books, 999.. FLEMMING, Div Mríli e GONÇALVES, Mirin Buss. Cálculo A: Funções, Limite, Derivção, Integrção. Vol., 6ª ed. São Pulo: Person, 006.. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometri Anlític, Vol.. ª ed. São Pulo: Hrbr, 994. 4. ROGAWSKI, Jon. Cálculo vol.. Porto Alegre: Bookmn, 009. Não me sinto obrigdo creditr que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, rzão e intelecto, pretend que não os utilizemos.glileu 6