Tema Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, 15, N. 1 (2014), 73-81

Transcrição

1 Tema Tedêcias em Matemática Aplicada e Computacioal, 15, N. 1 (2014), Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacioal doi: /tema Aálise Espacial Espectral Bidimesioal em Partículas de Material Compósito Al/SiC E.S.B. ARAÚJO 1*,L.S.BATISTA 1 ej.d.scalon 2 Recebido em 28 juho, 2013 / Aceito em 31 março, 2014 RESUMO. Este trabalho ivestiga o padrão da distribuição espacial de partículas de carboeto de silício em uma liga de alumíio (Al/SiC) utilizado aáliseespacialespectralbidimesioal. Esta técica sebaseia a trasformada de Fourier da fução de autocovariâcia amostral. A aálise espectral é uma ferrameta poderosa para ivestigar o padrão espacial de potos, uma vez que ão assume características estruturais dos dados ates da aálise e utiliza-se apeas da fução espectral. As coordeadas dos cetros das partículas foram adquiridas através de tecicas de processameto de imagem. O espectro polar do periodograma e métodos de Mote-Carlo são usados para testar a hipótese de completa aleatoriedade espacial das partículas. Os resultados mostram que as partículas de carboeto de silício apresetam distribuição espacial completamete aleatória a liga de alumíio e que a aálise espacial espectral pode ser uma ferrameta alterativa para ivestigar padrões de cofigurações potuais o espaço. Palavras-chave: espectro polar, processos potuais, propriedade de materiais, distribuição espacial. 1 INTRODUÇÃO Apesar das idéias da aálise espectral serem difudidas e aplicadas em várias áreas do cohecimeto (e.g. processameto de siais), o potecial das mesmas para aálise de cofigurações espaciais de evetos aida é pouco explorado [4]. Bartlett [1] foi o pioeiro em propor o uso da aálise espectral em processos potuais, equato Reshaw & Ford [6] foram os primeiros a mostrarem como a aálise espectral pode ser uma importate ferrameta para a aálise de cofigurações espaciais bidimesioais. A aálise espectral tem sido usada em poucas áreas de cohecimeto para aálise de cofigurações espaciais o plao [4] e, salvo melhor juízo, aida ão foi utilizada a aálise da distribuição espacial de partículas em materiais compósitos. Aalisar processos potuais espaciais tem lugar de destaque em diversas áreas do cohecimeto [3]. Por exemplo, a distribuicão espacial de seguda fase (partículas) é um dos fatores mais *Autor correspodete: Edmary Silveira Barreto Araújo 1 Istituto Federal da Bahia IFBA, Departameto de Matemática, Salvador, BA, Brasil. s: ebarreto@ifba.edu.br; lurimar@ifba.edu.br 2 Uiversidade Federal de Lavras UFLA, Departameto de Ciêcias Exatas DEX, Lavras, MG, Brasil. scalo@dex.ufla.br

2 74 ANÁLISE ESPACIAL ESPECTRAL BIDIMENSIONAL importates das propriedades mecâicas de materiais compósitos. Por exemplo, a teacidade a fratura deste material depede ão só daformaedafracão de volume, mas também sobre a distribuição espacial do reforço de partículas a matriz e, portato, a caracterização de tais distribuições édeprimordialimportâcia a ciêcia dos materiais [2]. A maior parte dos métodos dispoíveis para a aálise de processos potuais o espaço é baseada em técicas focadas o Domíio Espacial o que evolve a aálise da distâcia etre potos [3] e, portato, são essas técicas que, em geral, são utilizadas a aálise da distribuição espacial de partículas em materiais compósitos [7]. No estudo de processos potuais, cada eveto pode ser idealizado como um poto e a distribuição dos evetos em uma região como uma cofiguração espacial de potos o plao. A compoeete estocástica primária éaprópria localização espacial do eveto e, assim, o dado de iteresse éaprópria localização espacial (coordeada) de cada um dos evetos a área de estudo. Um dos pricipais objetivos da aálise é estudar a distribuição espacial destes potos, testado hipótesede completaaleatoriedade espacial do padrão observado cotraas hipóteses alterativas de distribuições que apresetam evetos aglomerados ou regularmete distribuídos [3]. Neste artigo a aálise espectral bidimesioal é utilizada para caracterizar a distribuicão espacial das partículas de carboeto de silício localizadas em uma liga de alumíio, tedo em vista a importâcia dessa caracterização para avaliar as propriedades mecâicas desses materiais. Aaálise é coduzida a partir das coordeadas dos cetros das partículas de carboeto de silício, extraídas através de técicas de processameto de imagem, de uma amostra metalográfica de um material compósito (Al-SiC), produzida pelo Departameto de Egeharia de Materiais, da Uiversidade de Sheffield, Reio Uido. O espectro bidimesioal para o padrão espacial éestimado pelo periodograma que é apresetado como o espectro de potêcias da trasformada de Fourier. Os testes cotra a hipótese de completa aleatoriedade espacial das partículas são realizados usado o espectro polar (fuções R-espectro e θ-espectro) e o método de Mote-Carlo. 2 FUNÇÃO ESPECTRAL BIDIMENSIONAL Supoha que um padrão observado cosiste de N x evetos em uma região retagular de lados l 1 e que l 2 e {(x 1 j, x 2 j ), j = 1,...,N x } deota a localização dos evetos. O espectro bidimesioal para cada padrão é estimado pelo periodograma que esta baseado a trasformada discreta de Fourier (TDF) das coordeadas {x j } [4]. N x F(p, q) = j=1 ( px1 e 2πi j l 1 ode p = 0, ±1, ±2,...e q = 0, ±1, ±2,... + qx 2 j l 2 ) = A(p, q) + ib(p, q), O periodograma, também chamado de fução espectral amostral, pode ser calculado como o espectro de potêcias da trasformada discreta de Fourier das coordeadas ˆ f (w p,w q ) = F(p, q) 2 ={A(p, q)} 2 +{B(p, q)} 2,

3 ARAÚJO, BATISTA e SCALON 75 ( 2π p em que (w p,w q ) = l 1, 2πq l 2 ). Uma ferrameta que a aálise espectral apreseta é avaliar o padrão em meio a escala e direção. Em [4], os autores utilizam o periodograma em coordeadas polares para defiirem dois resumos uidimesioais do periodograma. Cada f ˆ(w p,w q ) pode ser represetado a forma polar usado a otação ĝ(w r,w θ ), em que r = ( ) p 2 + q 2 e θ = ta 1 p q. Os valores médios das ordeadas do periodograma, para valores similares de r, ivestigam a escalas de padrão sob a hipótese de isotropia. O R-espectro, fˆ R (r), é defiido como fˆ R (r) = 1 ĝ(w r,w θ ), r = 1, 2,..., (2.1) r r θ em que a soma total é dividida por r ordeadas do periodograma e r 1 < r r. Os valores médios das ordeadas do periodograma, para valores similares de θ, ivestigam características direcioais de padrão. O θ-espectro, fˆ θ (θ), é defiido como fˆ θ (θ) = 1 ĝ(w r,w θ ), θ = 0 0, 10 0, 20 0,...,170 0, (2.2) θ r θ em que a soma total é dividida por θ coordeadas do periodograma para os quais θ 5 0 <θ θ A aálise espectral também pode ser aplicada a uma rede bidimesioal de dados. As posições aproximadas de evetos de um padrão espacial potual podem ser represetadas pela iterseção de uma malha fia sobreposta a área de estudo. Este método foi proposto pelos autores em [6] e descrito a seguir. A autocovariâcia amostral é defiida como C jk = 1 m m j s=1 t X st X s+ j,t+k, (2.3) em que t ={1,..., k; k 0}, t ={ k + 1,...,; k < 0} e X st (s = 1,...,m; t = 1,...,) é a matriz bidimesioal de observações corrigida para a média. A matriz de autocorrelação é dada por { C jk }, em que s 2 éavariâcia da amostra {X s 2 st }. A matriz completa de autocorrelação espacial correlacioa os dados perfeitamete ete si, ou seja, tem um valor cetral de C 00 s2 = 1, em que C 00 está defiida a Equação 2.4. C 00 = 1 m m s=1 t=1 Xst 2. (2.4) Uma descrição mais compacta do padrão espacial em processos potuais é obtida pelo periodograma ou fução espectral amostral.

4 76 ANÁLISE ESPACIAL ESPECTRAL BIDIMENSIONAL O periodograma é calculado via a autocovariâcia amostral vista a Equação 2.3 e, portato, o periodograma fica defiido por ˆ f (w p,w q ) = m 1 1 j= m+1 k= +1 C jk cos( j w p + kw q ). (2.5) ( 2πp Substituido a Equação 2.5 o valor da frequêcia (w p,w q ) = m, 2πq ),tem-se ( P pq fˆ 2πp m, 2πq ) = m.(a 2 pq + b2 pq ), (2.6) em que a pq é a parte real e b pq é a parte imagiária da Equação 2.7 defiida como a pq + ib pq = 1 m m s=1 t=1 Desevolvedo a Equação 2.7, pode-se ecotrar os valores e a pq = b pq = ( ) 1 m m. s=1 t=1 ( ) 1 m m. s=1 t=1 ( ) X st e 2πi ps m + qt. (2.7) [ ( ps X st cos 2π m + qt )] [ ( ps X st se 2π m + qt )] A ampla gama de frequêcia é sobre p = 0,...,m 1; q = 0,..., 1 mas, devido a relação de simetria, cosiderar-se somete parte do periodograma, ou seja, p = 0,..., m 2 ; q = 2,..., INTERVALO DE CONFIANÇA Para cotrução do itervalo de cofiaça, baseado o método de Mote Carlo, foram gerados valores de R-espectro e θ-espectro a partir das Equações 2.1 e 2.2, respectivamete. A seguir, são gerados cofigurações sobre a hipótese de completa aleatoriedade espacial e para cada uma dessas cofigurações calculam-se o R-espectro e θ-espectro. Em seguida, ordea-se os valores R-espectros para cada escala do meor para o maior e também, ordea-se os valores θ-espectro para cada âgulo. São também gerados os valores de R-espectro e θ-espectro para as cofigurações observadas. Tem-se o limite iferior do itervalo obtido pelo i-ésimo -quatil e o limite superior pelo ( i)- ésimo -quatil com (1 ) de cofiaça. i 100 Todos as aálises foram realizadas utilizado programas desevolvidos o software R [5]. O software livre R é muito utilizado para aálise estatistica e simulação por profissioais da área.

5 ARAÚJO, BATISTA e SCALON 77 4 MATERIAL COMPÓSITO AL/SIC A amostra metalográfica de um material compósito (Al/SiC), carboeto de silício a liga de alumíio, foi produzida pelo Departameto de Egeharia de Materiais, Uiversidade de Sheffield, Iglaterra. As partículas de seguda fase de carboeto de silício tiham uma fração de volume igual a 11%. A área da amostra metalográfica foi aproximadamete μm. A amostra metalógrafa foi colocada em um aalisador de fase óptico do microscópio cotrolado por computador, o que permitiu o ajuste totalmete automático, a focagem, o posicioameto e a digitalização da amostra. A ampliação do microscópio totalutilizadafoi de 600vezes, obtedose um tamaho de pixel de 0,375μm. Assim, uma imagem digital foi gerada com área igual a pixels quadrados. A imagem digital bidimesioal foi aalisada usado técicas de processameto de imagem para extrair as coordeadas (cetros) de cada partícula detro da imagem. A imagem real foi de pixels, dos quais usamos apeas as partículas localizadas em pixels, produzido 419 partículas em amostra S 1. Os images foram trasformadas em uma área quadrada com uma uidade para facilitar a aálise [7]. Os dados da Figura 1 represetam as posições das particulas do material compósito Al/SiC a matriz de alumiio. Figura 1: Imagem ( ) pixels da distribuição espacial das 730 partículas de reforço a liga de alumíio. 5 ANÁLISE ESPACIAL ESPECTRAL BIDIMENSIONAL Uma ferrameta que pode ser útil para a uma primeira aálise exploratória da distribuição espacial das partículas é o diagrama de potos formado pelos cetróides das partículas. Os mapas de potos da amostra apresetados as Figuras 2(a) e 2(b) forecem uma ideia da distribuição espacial das partículas de SiC ao logo da matriz de alumíio etretato, aalisado essas figuras

6 78 ANÁLISE ESPACIAL ESPECTRAL BIDIMENSIONAL ão é possível avaliar claramete qual o padrão espacial da distribuição das partículas, ou seja, aleatório, agrupado ou regular. (a) Cofiguração potual o quadradode pixels. (b) Cofiguração potual o quadrado da uidade. Figura 2: A Distribuição espacial das coordeadas de 419 partículas de reforço da amostra. Para uma aálise mais rigorosa do padrão da distribuição espacial das partículas é ecessário utilizarmétodos estatísticos mais avaçados, como aqueles baseados em distâcias etre evetos [3] ou aálise espectral [4]. Neste trabalho realiza-se a aálise das partículas de carboeto de silício a liga de alumíio usado a teoria da aálise espectral bidimesioal. Os dados do periodograma apresetados a Figura 3, calculados utilizado a Equação 2.6, represetam porções da variâcia da amostra em diferetes frequêcias. A Figura 3 mostra que as estimativas da variâcia estão próximas de zero as diferetes frequêcias, de tal modo que ão observa-se uma frequêcia que domia a forma do periodograma. Assim, a forma do periodograma ão apreseta grades variações, refletido a asusêcia de estrutura espacial a cofiguração observada. As flutuações observadas os valores do periodograma podem ser creditadas iteiramete a variações amostrais. Essas características observadas a Figura 3 forecem idícios de que a distribuição das partículas de SiC é completamete aleatória a base de alumíio. A fução R-espectro apresetada a Figura 4(a) mostra escalas de padrão sob a hipótese de isotropia, equato a fução θ-espectro apresetada a Figura 4(b) mostra características direcioais da cofiguração espacial. A Figura 4(a) e Figura 4(b) mostram que as fuções R-espectro e θ-espectro ecotram-se detro do evelope de completa aleatoriedade espacial com 0,99 de cofiaça e, portato, aceitado a hipótese de que as partículas de carboeto de silício apresetam uma distribuição completamete aleatória a liga de alumíio.

7 ARAÚJO, BATISTA e SCALON 79 Figura 3: Periodograma da distribuição espacial das partículas de SiC a matriz de alumíio. (a) R espectro (b) θ espectro Figura 4: Espectro polar observado da distribuição das partículas o material compósito Al/SiC (liha cotíua) jutamete com os itervalos de cofiaça (lihas tracejadas) costruídos a partir de 99 simulações de Mote Carlo sob a hipótese de completa aleatoriedade espacial. A distribuicão espacial de seguda fase está itimamete relacioada com as propriedades mecâicas observadas em materiais compósitos e, portato, pode ser utilizada como um idicador da qualidade do material. Por exemplo, a teacidade a fratura deste material depede ão somete da forma e da fracão de volume, mas também da distribuição espacial do reforço de partículas a matriz [2]. Sabe-se que um material terá uma maior chace de apresetar fratura em locais com agrupameto de partículas [2]. Assim, ivestigar a distribuição espacial de partículas em materiais compósitos é de primordialimportâcia a ciêcia dos materiais.

8 80 ANÁLISE ESPACIAL ESPECTRAL BIDIMENSIONAL O resultado obtidoeste trabalhoidicaque omaterial compósito, represetado pela amostra metalográfica aalisada, apreseta uma qualidade desejável quato a distribuição espacial aleatória das partículas (aleatoriedade). Etretato, este resultado diverge ligeiramete do resultado obtido por Scalo et al. [7] que mostrou, utilizado aálises baseadas em distâcias etre potos, que as partículas dessa amostra metalográfica apresetam uma distribuição regular. Na verdade, Scalo et al. [7] afirmam que a pequea regularidade detectada o padrão espacial é devida aos tamahos das partículas que ão foram levados em cosideração a aálise baseada os cetros das partículas. Seria prematuro tirar coclusões defiitivas sobre o valor comparativo da técica espectral com outras técicas estatísticas dispoíveis tedo como base apeas uma amostra. Etretato, apesar da aálise espectral ão ser de fácil uso como as aálises baseadas em distâcias etre evetos, a mesma se apreseta como uma ferrameta alterativa e poderosa para ivestigar padrões potuais, uma vez que ão assume qualquer suposição estrutural dos dados ates da aálise, como a isotropia, que édifícil de ser observada em diversas situações práticas como observam algus pesquisadores como [1], [3], [4] e [6]. 6 CONCLUSÃO A aálise espacial espectral mostrou que as partículas de carboeto de silício apresetam distribuição espacial completamete aleatória a liga de alumíio. Os resutados também idicam que aaálise espacial espectral pode ser ferrameta alterativa para ivestigar padrões de cofigurações potuais o espaço. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a Hele Atkiso (Uiversity of Sheffield) pela amostra metalográfica utilizada o artigo e a CAPES pelo apoio fiaceiro. ABSTRACT. This work ivestigates the spatial distributio patter of silico carbide particles i a alumium alloy (Al/SiC) usig two-dimesioal spectral spatial aalysis. This techique is based o the Fourier trasform of the autocovariace fuctio sample. The spectral aalysis is a powerful tool for ivestigatig the spatial distributio of poits, sice it does ot assume structural characteristics of the data before aalysis ad uses oly the spectral fuctio. The coordiates of the ceters of the particles were acquired through image processig techiques. The polar periodogram spectrum ad Mote-Carlo methods are used to test the hypothesis of complete spatial radomess of the particles. The results show both the silico carbide particles have completely radom spatial distributio i the alumium alloy ad the spatial spectral aalysis ca be a alterative tool to ivestigate poit patters i space. Keywords: polar spectrum, poit processes, material properties, spatial distributio.

9 ARAÚJO, BATISTA e SCALON 81 REFERÊNCIAS [1] M.S. Bartlett. The spectral aalysis of two-dimesioal poit processes. Biometrika, 51 (1964), [2] K.K. Chawla. Composite Materials: Sciece ad Egieerig. Spriger, New York, (2012). [3] P.J. Diggle. Statistical Aalysis of Spatial Poit Patters. Academic Press,Lodo, (1983). [4] M.A. Mugglestoe & E. Reshaw. A practical guide to the spectral aalysis of spatial poit processes. Computatioal Statistics ad Data Aalysis, 21 (1996), [5] R Developmet Core Team. R: a laguage ad eviromet for statistical computig. R Foudatio for Statistical Computig, Viea, (2012). [6] E. Reshaw & D. Ford. The descriptios of spatial usig two-dimesioal spectral aalysis. Vegetatio, 56 (1984), [7] J.D. Scalo, N.R.J. Fieller, E.C. Stillma & H.V. Atkiso. Spatial patter aalysis of secod-phase particles i composite materials. Materials Sciece ad Egieerig, A356 (2003),