Imaginem um solenoide infinitamente comprido de raio R com uma densidade de I t = α t,

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1 8.7 Novas simtrias (para studo complmntar) Imaginm um solnoid infinitamnt comprido d raio R com uma dnsidad d I t = α t, spiras n uma corrnt I qu crsc d manira uniform com o tmpo: ( ) com α = const.. rmos o campo magnético B t ( ) zˆ µ n αt para r R = para r > R (8.7.1) Nsta fórmula, r é a coordnada radial d um sistma d coordnadas cilíndricas com o ixo z no cntro do solnoid. A tarfa d calcular o campo létrico grado por st campo magnético variávl no tmpo parc sr idêntica à tarfa d calcular o campo magnético grado por uma dnsidad d corrnt qu é constant dntro d um cilindro infinitamnt comprido d raio R. odmos fazr a troca B zˆ µ nα para r R zˆ j para r R = j = t para r > R para r > R (8.7.2) B E dl = ds B d = µ j ds t l S S S S Mas sta analogia tm um dfito. Na hora d aplicar a li d Ampèr para dtrminar o campo magnético grado pla dnsidad d corrnt no condutor cilíndrico, usamos a simtria spcular com splhos qu contêm o ixo z. or outro lado, o campo B não possui sta simtria! Numa rflxão nst tipo d splho, o campo B sofr uma mudança d sinal, pois B é psudovtor. odmos ntndr isto também olhando o qu acontc com a corrnt qu circula m volta do cilindro gra st campo. Quando rfltimos tudo num splho qu contém o ixo z, sta corrnt circulará no sntido contrário. Como podmos salvar a analogia (8.7.2)? Há uma manira d fazr isto: tmos qu gnralizar nosso concito d simtria. or nquanto considramos apnas opraçõs spaciais qu consrvam distâncias mantêm uma dada configuração física inaltrada. Mas podríamos também prmitir outras altraçõs num sistma físico qu não corrspondam a uma troca d lugars no spaço. Mas, para podrmos gnralizar o concito d simtria d um dtrminado arranjo, prcisamos introduzir primiramnt um outro concito: o concito d simtria da toria, ou no caso, simtria do ltromagntismo. Uma simtria da toria é alguma prscrição qu substitui todos os objtos por outros inclusiv os instrumntos d mdida (incluindo o próprio xprimntador) d tal forma qu todos os rsultados xprimntais prmancm iguais, ou sja, tal qu o xprimntador não notará nnhuma difrnça. Vjamos um xmplo. Imagin uma xpriência qualqur. S transladarmos absolutamnt tudo um mtro para o lado inclusiv os instrumntos d mdida o próprio obsrvador, st não notaria nnhuma difrnça. Então s trata d uma simtria da toria. Mas a translação não é ncssariamnt um lmnto d simtria d um dado objto. Isto sria somnt o caso, s a translação do objto sm a translação dos mdidors do xprimntador não rsultar m altraçõs das obsrvaçõs. ara dfinir um lmnto d simtria d um objto vamos smpr partir d uma simtria da toria. Então um objto possui uma dada simtria s todos os rsultados ficarm inaltrados s 44

2 submtrmos somnt o objto a sta substituição sm submtr os instrumntos d mdida a sta substituição. or xmplo, vimos qu translaçõs são simtrias da toria. Mas uma translação não é lmnto d simtria d uma sfra. S transladarmos a sfra sm transladar os instrumntos d mdida, o xprimntador notará a altração. or outro lado, s transladarmos uma barra uniform infinitamnt comprida na dirção do ixo, o xprimntador não notará sta altração, msmo com os mdidors no antigo lugar. Então sta translação é lmnto d simtria da barra. Com st novo concito d simtria da toria podmos agora pnsar m outras opraçõs qu não são d carátr gométrico. odríamos trocar, por xmplo, todas as cargas positivas por cargas ngativas todas as ngativas por cargas positivas. Isto inclui também as cargas qu um obsrvador usaria para mdir os campos. Imagin algum arranjo matrial na sua frnt. S pudéssmos substituir todos os átomos dst arranjo por outros cujos prótons tivssm carga ngativa cujos létrons tivssm carga positiva s fizéssmos a msma troca com todos os instrumntos d mdida, o xprimntador nunca notaria uma altração dos rsultados xprimntais. odas as aclraçõs provocadas plas forças létricas sriam as msmas. Isto val para qualqur arranjo xprimntal podmos dizr qu sta troca é uma opração d simtria do ltromagntismo. Esta opração é chamada d conjugação d carga é abrviada com a ltra C. Quando s aplica sta opração, os campos E B sofrm altraçõs, mas as aclraçõs mdidas com cargas tsts qu também foram submtidos à opração C não sofrm nada. As altraçõs sofridas na opração C são as sguints: ( r, C ( r, = ( r, j ( r, jc ( r, = j ( r, (8.7.3) E ( r, EC ( r, = E ( r, B r, t B r, t = B r, t S os campos, j, E B obdcm às quaçõs d Maxwll, os novos campos C, j C, E C B C também satisfazm stas quaçõs. A dnsidad d força f = E + j B (8.7.4) obviamnt não sofr nnhuma altração quando substituímos os antigos campos plos campos conjugados. A opração C é uma simtria do ltromagntismo. Substituir prótons por prótons ngativos létrons por létrons positivos parc sr uma pura fantasia. Mas hoj sabmos qu stas partículas com o sinal d carga trocado ralmnt xistm. Estas partículas são chamadas d antipartículas matéria composta dstas antipartículas é chamada d antimatéria. Em princípio podr-s-ia substituir algum arranjo xprimntal por um montado com antimatéria. Na prática isto não é tcnicamnt viávl para objtos macroscópicos. Mas para um átomo ou para uma pquna molécula para uma partícula tst usada como instrumnto d mdida, isto é d fato possívl. S combinamos a tomada d imagm spcular com ixo z no plano d splho com a opração d conjugação d carga, obtmos uma simtria do problma posto com a C 441

3 fórmula (8.7.1) 1. A rflxão no splho troca o sinal do campo B a conjugação d carga consrta st dfito. Com sta combinação d opraçõs podmos prossguir da manira usual para dtrminar o campo létrico grado. O litor pod laborar sts dtalhs (xrcício E 8.7.1). O xmplo do solnoid com corrnt variávl motivou a dfinição do concito d simtria da toria. ranslaçõs, giros, rflxõs m splhos a conjugação d carga são simtrias do ltromagntismo. Vrmos quais são as outras simtrias do ltromagntismo. A invrsão tmporal é uma simtria do ltromagntismo. Esta opração invrt todos os acontcimntos como s tivéssmos olhando tudo num cinma com a fita do film posta no projtor com a ordm invrsa dos quadros. Nst tipo d troca, as vlocidads das partículas mudam d sinal. Consquntmnt dnsidads d corrnt mudarão d sinal o campo magnético grado por stas corrnts dvrão mudar d sinal também. As altraçõs sofridas nsta opração são as sguints: ( r, ( r, = ( r, j ( r, j ( r, = j ( r, (8.7.5). E ( r, E ( r, = E ( r, ) B r, t B r, t = B r, ara a dnsidad d força val f r, t f r, t = f r, O litor pod vrificar qu os campos, j, E (8.7.6). B satisfazm as quaçõs d Maxwll s os campos, j, E B satisfizrm stas quaçõs (xrcício E 8.7.2). Há uma trcira simtria muito famosa do ltromagntismo chamada d paridad,. Mas na vrdad la não é nova. Já a usamos divrsas vzs sm rparar no fato. Esta opração é do tipo puramnt spacial consist na invrsão na origm d coordnadas: ( r, ( r, = ( r, j ( r, j ( r, = j ( r, (8.7.7) E ( r, E ( r, = E ( r, B ( r, B ( r, = + B( r, Nsta opração a dnsidad d força sofr uma altração corrspondnt f r, t f r, t = f r, t (8.7.8) 1 A qustão s uma opração é simtria d um objto dpnd naturalmnt do conjunto d possívis xpriências qu admitimos. No caso do solnoid a combinação da rflxão com a opração C é uma simtria do solnoid nquanto farmos somnt mdidas d campo com a carga tst. Mas xist um fito quântico qu mostra qu sta combinação não é simtria. Imagin o solnoid splhado fito d antimatéria a carga tst continua um létron comum. Enquanto mdimos somnt as forças xrcidas sobr a partícula tst não notamos nnhuma difrnça, ou sja, as forças são os do arranho original. Mas s prmitirmos qu o létron ntr no matrial do solnoid notaríamos uma difrnça: ao ncontrar os antiltrons no solnoid, o létron sria aniquilado grando duas partículas γ. Como aqui qurmos somnt informação sobr os campos st fito não prturba nossa argumntação. 442

4 Mas todos os movimntos dos corpos tsts sriam igualmnt invrtidos na origm s invrtmos o próprio obsrvador, l nunca notaria uma altração. O litor pod mostrar qu os campos, j, E B satisfazm as quaçõs d Maxwll s os campos, j, E B satisfizrm stas quaçõs (xrcício E 8.7.3). Usamos sta simtria divrsas vzs? Sim. O litor pod mostrar qu uma rflxão num splho pod sr obtida combinando a opração com um giro d 18 o. (xrcício E 8.7.4). Fali qu a simtria é famosa. No início do século vint crtamnt todos os físicos triam jurado qu qualqur li fundamntal da naturza ncssariamnt tria qu tr a opração como um lmnto d simtria. No ntanto m 1956 os tóricos sung Dao L 2 C.N. Yang argumntaram qu não havia comprovação xprimntal dsta simtria para a intração qu provoca crtas raçõs nuclars qu rsultam na missão d létrons do núclo. Esta intração é chamada d intração fraca. Os dois convncram a física xprimntal Chin-Shiung Wu 3 a tstar sta qustão xprimntalmnt. Madam Wu usou núclos d Cobalto 6 para fazr st tst. Ests núclos são instávis dcam m Níqul com a missão d um létron, d uma outra partícula nutra chamada d antinutrino d dois raios γ. A ração é a sguint: Co Ni + + ν + 2γ (8.7.9) Acontc qu sts núclos d Cobalto são pqunos ímãs qu num ambint d muito baixa tmpratura (para minimizar a prturbação por agitação térmica) podm sr orintados num fort campo magnético. Vamos tntar ntndr a idia dsta xpriência. Imagin um núclo d Cobalto na origm d coordnadas orintado por um fort campo magnético qu aponta na dirção z; B = zˆ B com B >. Isto significa qu o polo nort dst mini-ímã aponta para o lado + ẑ o polo sul para o lado ẑ. O qu staria no lugar dst núclo numa xpriência qu s obtém dsta pla aplicação da opração? Exatamnt o msmo núclo, porqu o campo magnético B ( ) qu orintou o núclo foi substituído plo B ( ) qu tm o msmo valor; B ( ) = B ( ). Mas um létron qu sai no dcaimnto dst núclo numa dirção û dvria sair na xpriência qu foi submtida à opração na dirção û, pois o momnto linar d uma partícula é vtor não um psudovtor. Nsts procssos quânticos não contam os rsultados d um único dcaimnto, mas tm-s qu avaliar a probabilidad das ocorrências. A simtria nst caso significa qu as dirçõs û û dvriam tr a msma probabilidad. Mas na xpriência s constata qu os létrons são mitidos somnt na dirção contrária ao dipolo magnético do núclo. ostriormnt muitas outras xpriências mostraram qu a intração fraca ralmnt não possui a opração como lmnto d simtria; d fato la não tm nm a simtria C nm a. Mas a combinação dstas três opraçõs é d fato uma simtria, a simtria C. Dpois dst passio pla física d partículas lmntars voltamos ao ltromagntismo. Já qu considramos mudanças tmporais com a opração, podmos também admitir opraçõs qu transladam uma xpriência no tmpo. O ltromagntismo possui stas translaçõs como lmnto d simtria. 2 sung Dao L nascu m Em 1957 l rcbu o prmio Nobl junto com Franklin C.N. Yang pla dscobrta da violação da paridad. C.N. Yang nascu m Injustamnt Chin-Shiung Wu ( ) não rcbu o prmio Nobl junto com L Yang. Ela stava ntr os psquisadors mais importants na física nuclar xprimntal. Ela rcbu o aplido d Qun of Nuclar Rsarch. 443

5 Há ainda um outro tipo d simtria sumamnt important. Formulamos todas as lis dfinimos todos os campos no spaço qu foi construído a partir d pontos marcados nas pards do laboratório. Mas podr-s-ia usar o spaço físico construído a partir d pontos marcados m algum bloco rígido qu s mov m rlação ao nosso laboratório sm rotação com vlocidad constant. Qualqur xpriência qu montamos no laboratório podr-s-ia rmontar analogamnt nst outro rfrncial. Um obsrvador qu s ncontra m rpouso m rlação a st outro rfrncial iria obtr xatamnt os msmos rsultados da xpriência original. Esta simtria, chamada d simtria d Lorntz, tm consquências xtraordinárias qu srão xploradas mais tard no studo da toria da rlatividad. Esta toria mostrou qu os concitos a rspito d spaço tmpo qu a humanidad laborou durant séculos tinham gravs quívocos. Então mais uma vz a toria do ltromagntismo contribuiu para uma dscobrta fundamntal do nosso mundo. Exrcícios: E 8.7.1: Calcul o campo létrico grado plo campo magnético variávl da fórmula (8.7.1). E 8.7.2: Mostr qu os campos, j, E s os campos, j, E B satisfizrm stas quaçõs. E 8.7.3: Mostr qu os campos, j, E os campos, j, E B satisfizrm stas quaçõs. B satisfazm as quaçõs d Maxwll B satisfazm as quaçõs d Maxwll s E 8.7.4: Mostr qu uma rflxão num splho pod sr obtida combinando a opração com um giro d 18 o. 444