Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial ESTUDO DO FLUXO DE ENERGIA VIBRATÓRIA EM VIGAS E PLACAS. Hernâni Miguel Reis Lopes

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1 FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Dpartamnto d Engnharia Mcânica Gstão Industrial ESTUDO DO FLUXO DE ENERGIA VIBRATÓRIA EM VIGAS E PLACAS Hrnâni Migul Ris Lops Licnciado m Engnharia Mcânica Pla Faculdad d Engnharia da Univrsidad do Porto Dissrtação para Mstrado Aprsntado à Faculdad d Engnharia da Univrsidad do Porto Dpartamnto d Engnharia Mcânica Gstão Industrial Dissrtação ralizada sob suprvisão do Profssor Doutor José Frnando Dias Rodrigus, no Dpartamnto d Engnharia Mcânica da Faculdad d Engnharia da Univrsidad do Porto Porto, Stmbro d

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3 AGRADECIMENTOS Constitui st trabalho uma articulação ntr um modlo tórico na ára da dinâmica strutural um conjunto d procdimntos xprimntal. Ao laborar st tma, ocorru ao autor agradcr m primiro lugar ao su orintador, Profssor Doutor José Frnando Dias Rodrigus plo su instimávl apoio cintífico prsistência na solução do dsnvolvimnto das técnicas d intnsidad strutural, trabalho qu s rvlou bastant laborioso, dado o scasso contributo para sta ára xistnt na nossa comunidad cintífica. Tndo ralizado a part xprimntal da ts d mstrado no LOME, Laboratório d Óptica Mcânica, o autor agradc ao Profssor Doutor Mário Pirs Vaz ao Profssor Doutor Francisco Quirós d Mlo, plo apoio qu facultaram na ralização dsta ts. Por último, o autor qur rfrir o su grand aprço a toda a sua família qu smpr o apoiou ajudando-o a ultrapassar as mais divrsas dificuldads. Porto, DEMEGI/FEUP, Stmbro d

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5 Rsumo Nst trabalho d dissrtação aprsnta-s um studo da intnsidad strutural, tndo sido stablcida uma formulação consistnt para a intnsidad strutural m vigas placas m vibração stacionária harmónica. A formulação é stablcida m trmos dos campos d dslocamnto /ou vlocidad dos rspctivos sforços intrnos dinâmicos. Através d modlos analíticos, modlos numéricos modlos xprimntais comprovou-s a aplicabilidad da formulação stablcida na dtrminação do fluxo d potência na localização das fonts dissipadors d nrgia m rgim stacionário harmónico. Para a rsolução analítica do modlo, m casos particulars d condiçõs d frontira, adoptou-s a anális modal para xprimir os campos d rsposta dos sforços intrnos dinâmicos. Os rsultados obtidos vidnciam a ncssidad da inclusão d uma bas modal d banda larga. Na rsolução numérica do modlo stablcido por rcurso ao método dos lmntos finitos adoptou-s um procdimnto d dtrminação dircta do campo d rsposta a partir do modlo spacial, com bas no qual s dtrminam os sforços intrnos ao nívl dos lmntos. O método rvlou-s muito prciso na dtrminação da intnsidad strutural do su divrgnt. Quanto à dtrminação da intnsidad strutural por via xprimntal, foram utilizados dois algoritmos para drivação spacial dos campos d dslocamnto /ou vlocidad mdidos. Um dos algoritmos é basado no ajustamnto polinomial o outro no método das difrnças finitas, ao qual s lh associa uma pré-filtragm no domínio do númro d onda. Os rsultados obtidos m nsaios com vigas prmitiram idntificar a distribuição da intnsidad strutural a localização da font do dissipador d nrgia vibratória, tndo-s vrificado uma boa concordância ntr os rsultados xprimntais os prvistos analiticamnt, qur ao nívl da potência injctada no sistma da rspctiva distribuição do fluxo d potência, qur ao nívl da localização da font do dissipador d nrgia. Ests rsultados rvlam, igualmnt, uma grand snsibilidad vidnciada pla intnsidad strutural com a fas da rsposta. Em sínts, a ralização dst trabalho dmonstra o intrss da intnsidad strutural na caractrização da trajctória do fluxo d nrgia vibratória numa strutura na localização das fonts dos dissipadors d nrgia através do su divrgnt.

6 Résumé Dans c travail on présnt un étud sur l intnsité structurll. On établit un formulation consistnt pour l intnsité structurll dans ls poutrs t ls plaqus n vibration stationnair harmoniqu. La formulation st basé sur l champ du déplacmnt ou d la vitss t ds rspctifs fforts intrns dynamiqus. À l aid ds modèls analytiqus, numériqus t xpérimntaux on prouv l applicabilité d la formulation établi dans la détrmination du flux d puissanc t dans la localization ds sourcs t ds dissipaturs d l énrgi vibratoir. Pour la résolution analytiqu du modèl, dans ds cas particulirs d conditions aux frontièrs, ls champs ds déplacmnts t ds fforts intrns sont xprimés par suprposition modal. Ls résultats obtnus montrnt qu il st nécssair d inclur un bas modal à larg band. Pour la résolution numériqu basé sur la méthod ds élémnts finis, on a adopté un procédur d détrmination dirct d la répons stationnair à partir du modèl spatial. Pour la suit, avc la répons on calcul ls fforts intrns au nivau ds élémnts finis t la distribution d l intnsité structurll. La méthod a été validé par ls solutions analytiqus t s st montré très précis pour la détrmination d l intnsité structurll t d sa divrganc. Par rapport à la détrmination d l intnsité structurll par voi xpérimntal on a utilisé dux algorithms pour la dérivation spatial du champ mésuré ds déplacmnts ou ds vitsss. L un ds algorithms st basé dans an ajustmnt par ds polynôms t l autr dans la métod ds différncs finis avc un filtrag dans l domain ds nombrs d ond d l information mésuré. Ls résultats ds ssais avc ds poutrs ont prmis la détrmination d l intnsité structurll t l idntification d la position d la sourc t du dissipatur d l énrgi vibratoir. En outr, cs résultats xpérimntaux mttnt n évidnc ls difficultés avc l procédé d dérivation spatial t un grand snsibilité d l intnsité structurll avc la phas mésuré pour la répons. En résumé, avc ls résultats d c travail on démontr l intérêt d l intnsité structurll pour la caractérisation d la trajctoir du flux d l énrgi vibratoir dans un structur t pour la localization ds sourcs t ds dissipaturs d l énrgi.

7 Abstract This dissrtation work prsnts a structural intnsity study and stablishs a consistnt formulation for th structural intnsity in bams and plats undr stationary harmonic vibration. Th formulation is st in trms of displacmnt and/or vlocity filds and rspctiv intrnal dynamic strsss. Th formulation applicability to powr flow dtrmination and to sourcs and sinkrs location is furthr vrifid through analytical, numrical and xprimntal modling in a stationary harmonic vibration. Th modal analysis suprposition has bn adoptd to xprss both displacmnt and vlocity output filds, as wll as dynamic intrnal strsss, in particular cass of boundary conditions, whn solving th analytical modl. Th rsults obtaind thrin rval th ncssity to includ a larg bandwidth modal basis. For th numrical solution achivd by a finit lmnt mthod analysis, a dirct displacmnt and vlocity output filds dtrmination procdur is adoptd starting with th spatial modl, in ordr to dtrmin intrnal strsss at th lmnt lvl. Th mthod has provd itslf vry prcis in th dtrmination of structural intnsity and its divrgnc. Two algorithms wr usd to diffrntiat displacmnt and/or vlocity filds obtaind xprimntally. Of ths, on is basd on a polynomial curv-fitting mthod and th othr on th finit diffrncs mthod with a pr-filtr on th wav numbr domain. Th obtaind rsults with bams tsting allowd th structural intnsity idntification as wll as th vibrating nrgy sourc and sinkr location. Th agrmnt btwn xprimntal rsults and analytical forcasts was duly vrifid, both at th injctd powr lvl and rspctiv powr flow distribution, and th nrgy sourc and sinkr location. Ths rsults rval a grat snsibility of th structural intnsity with th masurd phas. In summary, th work clarly dmonstrats th intrst in structural intnsity studis on both th charactrization of vibrating nrgy flow in structurs and nrgy sourc and sinkrs location through its divrgnc.

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9 Índic Índic Lista d figuras... xiii Nomnclatura... xix Capítulo - Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural. Introdução Formulação gral da intnsidad strutural Intnsidad strutural m vigas placas Cálculo da intnsidad strutural plo método da sobrposição modal Objctivos Organização da dissrtação Capítulo - Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar. Introdução Sistma com um grau d librdad Rsposta a uma solicitação harmónica Amplitud fas da rsposta stacionária Potência no sistma mcânico Analogias léctricas Capítulo 3- Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos 3. Introdução Vibração latral d vigas Rsposta da viga m rgim livr Viga simplsmnt apoiada m rgim livr não amortcido Viga bi-ncastrada m rgim livr não amortcido Estudo da viga m rgim forçado Rsposta a uma carga harmónica pontual Amortcimnto intrno Amortcimnto xtrno Viga simplsmnt apoiada Viga bi-ncastrada Vibração latral d placas Equação difrncial do movimnto Vibração m rgim livr Rgim harmónico forçado Placa rctangular simplsmnt apoiada ix

10 Índic Capítulo 4- Intnsidad Estrutural 4. Introdução Intnsidad strutural Intnsidad strutural m notação complxa Intnsidad strutural m vigas Intnsidad strutural m placas Cálculo da intnsidad strutural do divrgnt m vigas Viga simplsmnt apoiada Viga bi-ncastrada Cálculo da intnsidad strutural do divrgnt m placas Placa simplsmnt apoiada Discussão d rsultados... 3 Capítulo 5- Intnsidad Estrutural m Vigas plo Método dos Elmntos Finitos 5. Introdução Discrtização m lmntos finitos Formulação do lmnto finito d viga Formulação global Rsposta a uma solicitação harmónica Intnsidad strutural Viga simplsmnt apoiada Viga bi-ncastrada... 4 Capítulo 6- Dtrminação da Intnsidad Estrutural por Via Exprimntal 6. Introdução Mtodologia d cálculo da intnsidad strutural Método das difrnças finitas modificado Aproximação polinomial Montagm xprimntal Apoios Excitação Transdutors analisador dinâmico d sinal Anális modal xprimntal Viga simplsmnt apoiada Viga bi-ncastrada... 6 x

11 Índic 6.5 Dtrminação xprimntal da intnsidad strutural Amortcdors Viga simplsmnt apoiada Ensaio I Anális discussão d rsultados Ensaio II Anális discussão d rsultados Ensaio III - Configuração Anális discussão d rsultados Viga bi-ncastrada Ensaio a 5 Hz Método da aproximação polinomial Método das difrnças finitas modificado Anális discussão d rsultados Ensaios a 5 a 6 Hz Anális discussão d rsultados Comntários Capítulo 7 - Conclusão 7. Conclusão Proposta d trabalhos futuros... Rfrências... 3 Anxo A - Dscrição do transdutor Lasr Vibromtr... 9 Anxo B - Dimnsionamnto dos suports... 5 Anxo C - Estudo dos métodos d drivação... 3 Anxo D - Campos d sforços d rotação dos nsaios xprimntais... 9 xi

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13 Lista d figuras Lista d figuras Capítulo Fig.. - Rprsntação das posiçõs d colocação dos transdutors para o cálculo da intnsidad strutural m placas plo método das difrnças finitas Fig.. - Diagrama para o cálculo da vlocidad a partir d duas duplas xposiçõs [7]... 3 Fig.. 3 a) Intnsidad strutural (scala logarítmica); b) Divrgnt [7] Capítulo Fig.. - Sistma mcânico Fig.. - Rprsntação no plano complxo dos fasors da força, dslocamnto, vlocidad aclração Fig.. 3 Factor d amplificação dinâmica m função da razão d frquências Fig.. 4 Variação da fas da rsposta stacionária m função da razão d frquências Fig Rprsntação dos squmas quivalnts ntr o sistma vibratório mcânico o sistma léctrico. 46 Fig Rprsntação no plano complxo das impdâncias para um circuito léctrico Fig Rprsntação no plano complxo das impdâncias para o sistma mcânico Fig Rprsntação no plano complxo das potências activa, ractiva total num sistma léctrico Fig Rprsntação no plano complxo da potência total, activa ractiva do sistma mcânico Fig.. - Variação da potência activa ractiva m função da razão d frquência Capítulo 3 Fig.3. Rprsntação do caso gnérico da viga Fig.3. Rprsntação dos sforços num lmnto infinitsimal d viga Fig Rprsntação da viga simplsmnt apoiada Fig Rprsntação das primiras formas naturais da viga simplsmnt apoiada... 6 Fig Esquma da viga bi-ncastrada Fig.3. 6 Rprsntação das primiras formas naturais da viga bi-ncastrada Fig.3. 7 Viga simplsmnt apoiada com uma carga harmónica pontual com amortcimnto xtrno localizado Fig Campo d dslocamntos da viga simplsmnt apoiada com uma carga harmónica pontual com amortcimnto xtrno localizado Fig.3. 9 Contribuição modal para o campo d dslocamntos Fig.3. - Campo d vlocidads da viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno Fig.3. - Campo d rotação na viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno Fig.3. - Campo da vlocidad d rotação na viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno xiii

14 Lista d figuras Fig Momnto flctor na viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno Fig Esforço d cort na viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno Fig Amplitud da função mobilidad na viga simplsmnt apoiada (valor d rfrência: m/s) Fig Rprsntação da viga bi-ncastrada submtida a uma carga harmónica pontual com amortcimnto xtrno localizado Fig Campo d dslocamntos na viga bi-ncastrada com uma carga pontual harmónica amortcdor xtrno Fig Campo d rotação na viga bi-ncastrada com uma carga pontual harmónica amortcdor xtrno.. 79 Fig Campo do momnto flctor na viga bi-ncastrada com carga pontual harmónica amortcdor xtrno Fig.3. - Campo d sforço d cort na viga bi-ncastrada com carga harmónica pontual amortcdor xtrno Fig.3. - Rprsntação d uma placa sujita a uma carga gnérica transvrsal variávl no tmpo Fig.3. - Rprsntação dos sforços no plano médio dum lmnto infinitsimal d placa Fig Rprsntação da placa simplsmnt apoiada Fig.3. 4 Rprsntação d quatro das formas naturais d vibração da placa simplsmnt apoiada Fig Placa simplsmnt apoiada submtida a uma xcitação harmónica com amortcimnto xtrno Fig.3. 6 Rprsntação do campo d dslocamnto d uma placa simplsmnt apoiada, submtida a uma carga harmónica a amortcimnto xtrno Fig Rprsntação do campo d rotação θ x (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica com amortcimnto xtrno Fig Rprsntação do campo d rotação θ y (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica com amortcimnto xtrno Fig Rprsntação do campo d momnto flctor M x (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno Fig Rprsntação do campo d momnto flctor M y (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno Fig Rprsntação do campo d momnto torsor M xy (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno Fig Rprsntação do campo d sforço d cort Q x (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno Fig Rprsntação do campo d sforço d cort Q y (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno Fig Rprsntação da contribuição modal para a rsposta global da placa simplsmnt apoiada Fig Rprsntação da participação modal do sforço d cort Q y (x,y) da placa simplsmnt apoiada xiv

15 Lista d figuras Capítulo 4 Fig.4. - Rprsntação das componnts da tnsão, vlocidad intnsidad strutural para um lmnto infinitsimal.... Fig.4. - Rprsntação da intnsidad strutural instantâna ao longo d dois ciclos d vibração.... Fig Rprsntação do campo d tnsõs na scção transvrsal d uma viga: a) normais; b) cort Fig Rprsntação das tnsõs normais tnsõs d cort num lmnto infinitsimal d placa... 6 Fig Rprsntação dos sforços, dslocamntos rotaçõs no plano médio d uma placa Fig Esquma da viga simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcdor xtrno.... Fig Rprsntação do fluxo d potência da viga simplsmnt apoiada com a xcitação harmónica a.3 m com amortcimnto xtrno a.9 m.... Fig Rprsntação das contribuiçõs do momnto flctor do sforço d cort para o fluxo d potência. Fig Rprsntação do divrgnt do fluxo d potência na viga simplsmnt apoiada.... Fig.4. - Rprsntação da potência activa ractiva da FRF m função da frquência para a viga simplsmnt apoiada... 3 Fig.4. - Rprsntação da potência activa ractiva do factor d potência a partir da amplitud da força aplicada Fig.4. - Influência do amortcimnto xtrno na potência activa ractiva Fig Rprsntação da distribuição do fluxo d potência activa ao longo da viga para difrnts valors d amortcimnto xtrno... 5 Fig Rprsntação da intnsidad activa para difrnts valors do coficint d amortcimnto histrético Fig Fluxo d potência para difrnts valors do coficint d amortcimnto intrno (coficint d amortcimnto xtrno viscoso C xt =5 Ns/m) Fig Rprsntação da viga bi-ncastrada m rgim forçado harmónico Fig Fluxo d potência na viga bi-ncastrada: font a.36 m o amortcdor a.7 m Fig Rprsntação do divrgnt do fluxo d potência activa na viga bi-ncastrada: font d xcitação a.36 m o amortcdor a.7 m Fig.4. 9 Contribuição do sforço d cort do momnto flctor para o fluxo d potência Fig.4. - Rprsntação da potência activa ractiva na viga bi-ncastrada m função do amortcimnto xtrno Fig.4. Placa simplsmnt apoiada submtida a uma xcitação harmónica com amortcimnto xtrno.9 Fig.4. Módulo do fluxo d potência para uma placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos: x, 4x4, 8x8 x.... Fig Fluxo d potência divrgnt para a placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos x.... Fig Fluxo d potência divrgnt para a placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos 4x4.... Fig Fluxo d potência divrgnt para a placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos 8x8.... xv

16 Lista d figuras Fig Fluxo d potência divrgnt para a placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos x Capítulo 5 Fig.5. Discrtização m lmntos finitos Fig.5. Elmnto finito d viga d Eulr-Brnoulli Fig.5. 3 Rprsntação da viga simplsmnt apoiada submtida a uma carga harmónica com amortcimnto xtrno localizado Fig.5. 4 Fluxo d potência na viga simplsmnt apoiada: solução analítica método dos lmntos finitos.. 39 Fig.5. 5 Divrgnt do fluxo d potência na viga simplsmnt apoiada: solução analítica método dos lmntos finitos Fig.5. 6 Rprsntação da viga bi-ncastrada submtida a uma xcitação xtrior harmónica com amortcimnto xtrno Fig.5. 7 Fluxo d potência na viga bi-ncastrada: solução analítica método dos lmntos finitos Fig.5. 8 Divrgnt do fluxo d potência na viga bi-ncastrada: solução analítica método dos lmntos finitos Capítulo 6 Fig. 6. Fluxo d potência: solução analítica dtrminação plo método das difrnças finitas modificado. 48 Fig. 6. Componnts do fluxo d potência: solução analítica dtrminação plo método das difrnças finitas modificado Fig. 6.3 Divrgnt do fluxo d potência: solução analítica dtrminação plo método das difrnças finitas modificado Fig. 6.4 Fluxo d potência: solução analítica dtrminação plo método da aproximação polinomial... 5 Fig. 6.5 Componnts do fluxo d potência: solução analítica dtrminação plo método da aproximação polinomial... 5 Fig. 6.6 Divrgnt do fluxo d potência: solução analítica dtrminação plo método da aproximação polinomial Fig Eixos dos apoios utilizados na implmntação da viga simplsmnt apoiada... 5 Fig Apoios para a viga simplsmnt apoiada: a) duplo ; b) simpls Fig Suport para ncastramnto Fig Montagm para comparação da rsposta mdida com o aclrómtro o transdutor lasr Fig Razão da rsposta do transdutor lasr do aclrómtro Fig. 6. Montagm xprimntal da viga simplsmnt apoiada da xcitação Fig Rprsntação d cinco funçõs d mobilidad mdidas na viga simplsmnt apoiada Fig Função mobilidad (dircta) tórica xprimntal da viga simplsmnt apoiada Fig Idntificação modal: procdimnto d slcção dos pólos Fig Formas naturais d vibração da viga simplsmnt apoiada por anális modal xprimntal Fig Função d rsposta m frquência mdida sinttizada da viga simplsmnt apoiada (ponto 8)... 6 xvi

17 Lista d figuras Fig Rprsntação d quatro funçõs d mobilidad mdidas na viga bi-ncastrada Fig Formas naturais d vibração da viga bi-ncastrada por anális modal xprimntal Fig. 6. Função d rsposta m frquência mdida sinttizada da viga bi-ncastrada (ponto d xcitação) Fig Rprsntação dos dois modlos d amortcdor Fig. 6. Sistma com um grau d librdad para a calibração dos amortcdors Fig Força d amortcimnto vrsus vlocidad dos amortcdors para quatro frquências difrnts.. 66 Fig Coficint d amortcimnto dos difrnts modlos d amortcdors m função da frquência Fig Montagm da viga simplsmnt apoiada Fig Campo d dslocamntos com o amortcdor modlo Airpot 35A Fig Campo d intnsidad activa na viga simplsmnt apoiada com o amortcdor modlo Airpot 35A Fig Campo d dslocamntos na viga simplsmnt apoiada com o amortcdor modlo Airpot 6A Fig Campo d intnsidad activa na viga simplsmnt apoiada com o amortcdor modlo Airpot 6A Fig Viga simplsmnt apoiada instrumntada com xtnsómtros Fig Extnsómtro léctrico colocado na viga sua ligação léctrica Fig Esquma léctrico da pont d Whatston com a ligação num quarto d pont por três fios Fig Intrfac do programa d aquisição tratamnto dos dados d xtnsomtria Fig Distribuição do momnto flctor na viga simplsmnt apoiada Fig Campo d momntos flctors na viga simplsmnt apoiada Fig Intnsidad activa da viga simplsmnt apoiada por difrnças finitas Fig Divrgnt da intnsidad activa da viga simplsmnt apoiada por difrnças finitas Fig Componnts da intnsidad activa da viga simplsmnt apoiada por difrnças finitas Fig Intnsidad activa da viga simplsmnt apoiada por aproximação polinomial Fig Divrgnt da intnsidad activa da viga simplsmnt apoiada por aproximação polinomial Fig Componnts da intnsidad activa da viga simplsmnt apoiada por aproximação polinomial Fig Montagm da viga bi-ncastrada Fig Amplitud fas do campo d vlocidads mdido na viga bi-ncastrada (5 Hz) Fig Campo d dslocamntos mdido ajustado por um polinómio d grau Fig Amplitud fas do campo d rotação plo método da aproximação polinomial (grau ) Fig Campo d momnto flctor plo método da aproximação polinomial(grau ) Fig Campo do sforço d cort plo método da aproximação polinomial (grau ) Fig Intnsidad activa plo método da aproximação polinomial (grau ) Fig Divrgnt do campo d intnsidad activa da viga bi-ncastrada por aproximação polinomial (grau ) Fig Rprsntação no domínio do númro d onda do campo d dslocamntos mdido Fig Amplitud fas do campo d dslocamnto ants após filtragm xvii

18 Lista d figuras Fig Campo d rotação da viga bi-ncastrada plo método das difrnças finitas modificado Fig Campo do momnto flctor da viga bi-ncastrada plo método das difrnças finitas modificado.. 85 Fig Campo d sforço d cort da viga bi-ncastrada plo método das difrnças finitas modificado.. 86 Fig Distribuição da intnsidad activa da viga bi-ncastrada plo método das difrnças finitas modificado Fig Campo d dslocamntos tórico xprimntal Fig Campo d rotação do modlo tórico do modlo xprimntal Fig Campo d momnto flctor do modlo tórico do modlo xprimntal Fig Campo do sforço d cort do modlo tórico do modlo xprimntal Fig Campo d intnsidad activa plo modlo tórico plo modlo xprimntal Fig Campo d intnsidad activa da viga bi-ncastrada nos nsaios a 5 Hz (método da aproximação polinomial) Fig Campo d intnsidad activa da viga bi-ncastrada para os nsaios a 5 Hz (método das difrnças finitas modificado) Fig Campo d intnsidad activa da viga bi-ncastrada para os nsaios a 6 Hz (método da aproximação polinomial) Fig Campo d intnsidad activa da viga bi-ncastrada para os nsaios a 6 Hz (método das difrnças finitas modificado) Fig Espctro no domínio do númro d onda do campo d vlocidads a 5 a 6 Hz Fig Campo d dslocamntos analítico mdido no domínio do númro d onda Fig Campo d rotação no domínio do númro d onda Fig Campo d momnto flctor no domínio do númro d onda Fig Campo d sforço d cort no domínio do númro d onda Capítulo 7 Fig.7. - Rprsntação do sistma d mdição automático d vibraçõs numa suprfíci.... xviii

19 Nomnclatura Nomnclatura Símbolo a A b c Significado Largura da placa Ára da Scção da viga Comprimnto da placa Constant d amortcimnto viscoso c c Constant d amortcimnto crítico viscoso [C] D E f(t) F Matriz d amortcimnto Factor d Rigidz à flxão d uma placa Módulo d Young Forças xtriors aplicados ao sistma Força F c Força no amortcdor F k Força na mola F m Força d inércia g (t) Componnt da força no tmpo h H & I i(t) Espssura da viga ou placa Função mobilidad Momnto d inércia duma viga ou placa Intnsidad d corrnt léctrica. Corrnt léctrica variávl com o tmpo j Constant complxa xix

20 Nomnclatura Símbolo K [K] Significado Constant d rigidz Matriz d rigidz global [K ] Matriz d rigidz do lmnto finito L l Indutância Comprimnto da viga m M [M] Ordm do harmónico Constant d massa Matriz d massa global [M ] Matriz d massa do lmnto finito { M f } Vctor do momnto flctor n p(t) P Ordm do harmónico Potência no tmpo Força d xcitação P A Potência activa P R Potência ractiva P T Potência total P média Potência média p(x,t) Q R Força concntrada variávl com o tmpo Esforço d cort Força d ractiva no amortcdor Rsistência léctrica. xx

21 Nomnclatura Símbolo t Tmpo Significado U u(t) x X Tnsão léctrica Corrnt léctrica variávl com o tmpo Coordnada Amplitud d dslocamnto x p Coordnada da xcitação x c Coordnada do amortcdor x p Coordnada da força d xcitação x& (t) Vlocidad d um sistma com GL & x&(t) Aclração d um sistma com GL V(x) v(x,t) {v(t)} w(x,y,t) Amplitud do dslocamnto transvrsal na viga Dslocamnto transvrsal da viga Vctor d dslocamntos transvrsais na viga Dslocamnto transvrsal numa placa y c Coordnada do amortcdor y p Coordnada da força d xcitação α β Ângulo d fas Razão d frquências ε ξ Dformação Razão d amortcimnto xxi

22 Nomnclatura Símbolo η Significado Coordnada natural ou modal ϕ Ângulo d fas θ λ Ângulo d fas Comprimnto d onda µ Coficint d amortcimnto histrérico ν ρ Coficint d Poisson Massa spcífica σ φ Tnsão mcânica Ângulo d Fas ω Frquência angular (rad/s) ω n Frquência natural (rad/s) Opraçõs Símbolo Significado ( ) d ( ) dt d ( ) ( ) dt xxii

23 Nomnclatura Abrviaturas CCD ESPI FFT FRF HBM HP LASER MEF Charg Coupld Dvic Elctronic Spckl Pattrn Intrfromtry Fast Fourir Transform Função d Rsposta m Frquência Hottingr Baldwin Msstchnik Hwltt Packard Light Amplification by Stimulatd Emission of Radiation Método dos Elmntos Finitos xxiii

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25 CAPÍTULO Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural

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27 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural. Introdução O studo do fluxo da nrgia vibratória tv início no final da década d sssnta com o aparcimnto do trabalho publicado por Noisux []. A formulação aprsntada dsignada d intnsidad strutural é originária da ára da acústica, ond é utilizada para idntificar as fonts o fluxo d potência acústica. D forma análoga, o concito d intnsidad strutural é aplicado às struturas para idntificar o prcurso da potência vibratória ntr as fonts os dissipadors d nrgia. Além disto, através do cálculo do su gradint prmit idntificar a localização das fonts dos dissipadors. É nst contxto qu a intnsidad strutural pod dsmpnhar um papl primordial na anális dinâmica d struturas, caractrizando o fluxo da nrgia a sua trajctória idntificando as fonts os dissipadors numa strutura m vibração. O su conhcimnto rvst-s d grand importância, pois prmit actuar d modo ficaz sobr a distribuição do fluxo d nrgia numa strutura m vibração, qur altrando a sua trajctória ou através da sua dissipação por tratamntos suprficiais passivos. Assim, por xmplo, podm dsnvolvr-s soluçõs d isolamnto d vibraçõs por aplicação d dissipadors m rgiõs próximas das fonts d nrgia idntificadas d acordo com o trajcto da nrgia vibratória. Em consquência, vários trabalhos sobr st tma têm surgido na litratura [, 3, 4 5]. O studo da intnsidad strutural tm incidido, fundamntalmnt, sobr a sua formulação m vigas placas finas. No ntanto, xistm, também, trabalhos publicados sobr a flxão d tubos cascas cilíndricas [3, 4, 4]. Contudo, a maioria dsts trabalhos rstringm-s à anális analítica /ou numérica à aprsntação d mtodologias d dtrminação xprimntal. Com fito, são ainda poucos os rsultados disponívis obtidos por via xprimntal [7, 9].. Formulação gral da intnsidad strutural A intnsidad strutural, qu é uma quantidad vctorial, rprsnta o fluxo d potência vibratória por unidad d ára qu prcorr uma strutura m vibração por propagação d ondas lásticas d tnsão. O vctor da intnsidad strutural instantâna dfin-s como o produto ntr o tnsor das tnsõs o vctor vlocidad. Assim, as componnts i k,k = x, y,z são dadas pla xprssão: Pág. 7

28 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural ond ( t) i k (t) σ (t) v& l (t) = l x, y,z; k = x, y, z kl = [ / m ] W (.) σ kl dsigna a componnt da tnsão na dircção l para a propagação na dircção k v& l dsigna a componnt d vlocidad na dircção l. O vctor intnsidad strutural média é obtido após intgração no tmpo das componnts instantânas da intnsidad strutural, T I k = ik ( t) dt k = x, y, z (.) T A intnsidad strutural média é uma quantidad vctorial indpndnt do tmpo. Em rgim stacionário harmónico, cada componnt I k,k = x, y, z da intnsidad strutural pod dfinir-s como a part ral do produto intrno ntr a rspctiva componnt complxa do tnsor o complxo conjugado do vctor vlocidad []: m qu * [ σ & ] I k = R ~ kl ~ v l l = x, y,z; k = x, y, z (.3) ~σ kl rprsnta a componnt complxa do tnsor conjugado do vctor vlocidad. * v~& l a componnt do complxo Para a dtrminação da potência W forncida à strutura, foi proposta por J.C.Pascal [7] uma forma d cálculo através da intgração da intnsidad strutural qu atravssa um contorno fchado Ω dlimitando a font d nrgia, qu é, também, igual ao intgral d suprfíci do gradint da intnsidad strutural cujo domínio é dlimitado plo msmo contorno: W = Ω r r I. n dω = S r.i ds m qu n r é um vctor unitário normal ao contorno. (.4).. Intnsidad strutural m vigas placas Nos trabalhos [, 5, 8, 4], a formulação analítica da intnsidad strutural para vigas placas tm por bas a rspctiva toria d Eulr-Brnoulli Kirchhoff. No caso particular d struturas d scção constant, a formulação da intnsidad strutural pod basar-s nos Pág. 8

29 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural sforços intrnos d flxão, torsão cort. Est aspcto conduz a uma simplificação do formalismo. Na viga, os sforços intrnos são do tipo flxão cort. A substituição das componnts do tnsor das tnsõs plos sforços intrnos conduz a uma xprssão para a intnsidad strutural qu s idntifica com o fluxo d potência da scção transvrsal da viga. Dsta forma, a intnsidad strutural I x ( x) ou fluxo d potência dfin-s como sndo a componnt ral do produto ntr o sforço intrno o conjugado da vlocidad do movimnto corrspondnt, I x 3 EI v~ (x) = R v~ 3 x v~ v~ & x x & * * [ W ] (.5) ond v ~& dsigna a vlocidad transvrsal da scção da viga, E o módulo d lasticidad I o momnto d ª ordm da scção rcta. Para as placas, a intnsidad strutural ou fluxo d potência é obtida plo msmo princípio, dfinindo-s como a componnt ral do produto ntr o sforço intrno o conjugado da vlocidad do movimnto corrspondnt. Como a placa é uma strutura bidimnsional, as componnts da intnsidad strutural nas duas dircçõs ortogonais x y vêm dadas plas sguints xprssõs: I I x y D (x, y) = R x D (x, y) = R y ( v~ ) ( v~ ) v~ v~ v~ & + ν x y x v~ v~ & ( ν) x y y * * * v~ & [ W ] (.6) v~ v~ v~ & + ν y dx y v~ v~ & ( ν) x y x * * * v~ & [ W ] (.7) sndo D o factor d rigidz à flxão da placa, ν o coficint d Poisson, v ~& a vlocidad transvrsal,, x y rprsnta o oprador nabla. Nas xprssõs acima, a intnsidad strutural é composta por três parclas. A primira corrspond ao contributo do sforço d cort, a sgunda ao momnto flctor a trcira ao momnto torsor. As duas componnts I x ( x, y) ( x, y) I y da intnsidad strutural podm scrvr-s d uma forma mais concisa, agrupando-as numa única xprssão por aplicação do oprador nabla: Pág. 9

30 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural I D ( ) = ( ~ ) ~ * x, y R v v ~ v ~ v& * ( ~ v ~ v& ) & ν (.8) A dtrminação da intnsidad strutural por via xprimntal com bas nsta formulação rigorosa abrangnt conduz a algumas dificuldads, m particular no qu diz rspito ao cálculo da trcira drivada spacial do dslocamnto ou da vlocidad corrspondnt ao sforço d cort. Na tntativa d solucionar sta dificuldad, foi proposta por X. Carnil J.C.Pascal [9] uma simplificação à formulação antrior. Apsar dsta nova formulação não sr rprsntativa da intnsidad strutural m rgiõs próximas das fonts d nrgia d dissipação na prsnça d dscontinuidads, prmit, no ntanto, obtr uma boa aproximação para as rstants rgiõs afastadas. A formulação simplificada consist na aplicação da rlação v~ = kf ~ v, m qu k f 4 ω m / D = é o númro d onda à flxão da placa m é a massa por unidad d ára da placa. Com sta simplificação, a intnsidad strutural m campo livr d placas é dada pla sguint xprssão: I ( x, y) ω Dm R[ v~ v~* & ] (.9) Esta xprssão aproximada para a intnsidad strutural é idêntica à proposta por Noisux [] para as rgiõs ond o sforço d cort não é rlvant. Na flxão d vigas placas, a dtrminação da intnsidad strutural por via xprimntal é fctuada a partir da litura do campo d dslocamnto, d vlocidad ou d aclração normal à suprfíci. Através do cálculo das drivadas spaciais do campo d dslocamnto obtêm-s os sforços intrnos. D acordo com as xprssõs.5.8, o campo d rsposta mdido os sforços intrnos dtrminados por drivação spacial conduzm à dtrminação da intnsidad strutural ou fluxo d potência. A maior dificuldad dsta mtodologia stá associada com a drivação spacial do campo d rsposta mdido. A prsnça d ruído nas mdiçõs é um aspcto qu pod prturbar fortmnt os rsultados, sobrtudo ao nívl da drivação spacial para dtrminação dos sforços intrnos. As duas técnicas propostas na litratura para a drivação spacial têm sido o método das difrnças finitas o método da drivada no domínio do númro d onda (Transformada d Fourir spacial). Pág. 3

31 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural O método das difrnças finitas foi o primiro método proposto no cálculo xprimntal da intnsidad strutural m vigas placas, aprsntado m 97 por Noisux []. Est é um método aproximado basado na mdição discrta da rsposta na suprfíci. Com sta técnica, no caso das vigas, a mdição dircta da intnsidad strutural num ponto rqur a mdição simultâna m cinco pontos adjacnts igualmnt spaçados. No caso das placas, é ncssária a mdição numa grlha d trz pontos conform s rprsnta na Fig.. para a dtrminação da intnsidad strutural no ponto i. x i y Fig.. - Rprsntação das posiçõs d colocação dos transdutors para o cálculo da intnsidad strutural m placas plo método das difrnças finitas. Esta técnica é d difícil implmntação dvido ao lvado númro d aclrómtros rquridos qu, inclusivamnt, até podm causar intrfrência na strutura a analisar. Para contornar sta dificuldad, G.Pavić [5] aprsnta uma rformulação dsta técnica m qu, basicamnt, a mdição nalguns pontos é substituída plo valor médio da mdição m pontos adjacnts. Com sta aproximação, a técnica proposta rqur, no caso das vigas, d quatro pontos d mdição, no caso das placas são ncssários oito. Os rsultados aprsntados rvlam qu a técnica é válida m campo livr, rqurndo, no ntanto, um rduzido spaçamnto ntr os transdutors. Na década d 8, com o aparcimnto dos procssadors vulgarizou-s a rprsntação a anális da vibração no domínio da frquência. Em consquência, G. Pavić 98 [6] propõ uma técnica no domínio da frquência para a dtrminação da intnsidad strutural m vigas. A técnica assnta na dnsidad spctral cruzada da rsposta d dois aclrómtros posicionados próximo um do outro, qu prmitm dtrminar a rotação forncida pla primira drivada. A sgunda drivada para o momnto flctor é calculada plo método da drivada no domínio do númro d onda, a partir da primira drivada. Porém, sta técnica apnas considra a flxão só é válida m zonas afastadas da font do dissipador d nrgia, isto é, m campo livr. A principal vantagm rsid no facto dsta técnica sr mais vrsátil. Para a dtrminação m campo próximo, G. Pavić 98 [6] sugr a msma técnica utilizando quatro aclrómtros. Pág. 3

32 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural No ntanto, apsar dstas mlhorias introduzidas ao nívl da rdução do númro d transdutors, o procsso continua a sr bastant moroso pod criar distorçõs na mdição, spcialmnt m struturas ligiras ou d pquna dimnsão. Mais tard, com a aplicação d técnicas ópticas à mdição d vibraçõs consguiu-s ultrapassar stas dificuldads. Uma xtnsão das técnicas ópticas d mdição pontual é a intrfromtria holográfica, considrada como técnica d campo d mdição contínua por prmitir, d modo simultâno, ralizar a mdição numa suprfíci contínua. A holografia digital (ESPI) substitui o holograma por uma câmara CCD qu prmit quantificar, m cada instant d forma global, o campo d dslocamntos numa suprfíci. A utilização dsta técnica para a mdição da vlocidad rspctiva fas numa suprfíci é aprsntada por J.C.Pascal m 99 [7] num studo da intnsidad strutural m placas. Nst studo, o autor faz uso d um lasr pulsado para, através da intrfrência d duas xposiçõs m dois instants difrnts do msmo ciclo, obtr o campo d vlocidad a rspctiva fas. O sistma d mdição aprsntado é algo complxo por xigir um sincronismo quas prfito ntr uma font lasr d lvada potência o movimnto oscilatório da placa. Na Fig.. pod obsrvar-s o diagrama ond stão indicados os instants m qu s fctuaram as mdiçõs para obtnção do campo d vlocidad rspctiva fas. ξ(t ) t t t ξ(t ) Fig.. - Diagrama para o cálculo da vlocidad a partir d duas duplas xposiçõs [7]. Para as drivadas spaciais, o autor utiliza a técnica da drivação no domínio do númro d onda rcorrndo à transformada d Fourir spacial. A partir do campo d vlocidad mdido do procssamnto no domínio do númro d onda, o autor obtv, para uma placa quadrada d alumínio, o campo da intnsidad strutural o rspctivo divrgnt conform s rprsnta na Fig.. 3. Pág. 3

33 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural Font (.8m;. m) Absorsor (.55m;.57m) a) b) Fig.. 3 a) Intnsidad strutural (scala logarítmica); b) Divrgnt [7]..3 Cálculo da intnsidad strutural plo método da sobrposição modal Em 997, L.Gavric [9] aprsnta uma mtodologia d dtrminação da intnsidad strutural basada na técnica da sobrposição modal como um bom compromisso ntr uma formulação tórica rigorosa um procdimnto d mdição simplificado. Esta mtodologia prmitiu ao autor obtr a intnsidad strutural m duas placas d difrnt spssura coladas nas xtrmidads [9, 4]. No procdimnto do cálculo, o autor sugr a introdução dos modos naturais mais rlvants para a rsposta, sndo o contributo dos rstants modos d ordm mais lvada introduzido na forma d um trmo dsignado d solução quas-stática. É d salintar, quanto à slcção do númro d modos naturais, qu a bas modal considrada dv incluir a frquência d vibração. A xprssão proposta por L.Gavric [9] para a intnsidad strutural dfinida plos parâmtros modais toma a sguint forma: ~ ~ * jωα α j ~ * ωα ~ k = k µν k ν + µ ν ν µ ν { I } R { I } + R ν { J }... (.) m qu os vctors { k } µν ~ I { J k } ν são dtrminados através do produto ntr as formas naturais { Φ l} µ o corrspondnt campo d tnsõs { kl} µ { } { ψ kl Φ } µν ψ, I µν = { } { } k l Jk ν = klφl ν (.) ~ ond { S kl } rprsnta o campo d tnsõs da solução quas-stática. ~ S ~ Pág. 33

34 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural Em sínts, a intnsidad strutural dfinida plos parâmtros modais é dtrminada a partir das três sguints quantidads: o vctor intnsidad intrmodal { I k } µν obtido através dos modos naturais { } ν ψ kl Φ l das corrspondnts tnsõs { } µ ; o produto ntr os difrnts factors d amplificação α ~ / o trmo qu rprsnta os modos d ordm α mais lvada ( ν ){ k } ν * ~ / J. ~ * µ α ν.4 Objctivos O objctivo fundamntal dst trabalho consist no stablcimnto d uma formulação consistnt para a dtrminação da intnsidad strutural m vigas placas m vibração stacionária harmónica por via analítica /ou numérica xprimntal. No contxto dst objctivo fundamntal, prtnd-s ainda ralizar um trabalho d sínts d vários trabalhos publicados nsta ára conducnt a um aprofundamnto da comprnsão da fnomnologia da propagação da nrgia vibratória m struturas do tipo viga placa. Em particular, srá colocada ênfas nos concitos d intnsidad strutural activa ractiva. Com bas no formalismo stablcido, srá igualmnt um objctivo dst trabalho o dsnvolvimnto d soluçõs analíticas para a intnsidad strutural para o su divrgnt para casos particulars d condiçõs d frontira m vigas placas m rgim stacionário harmónico. Os campos d rsposta m trmos d dslocamnto /ou vlocidad dos sforços intrnos são stablcidos plo método da sobrposição modal considrando um amortcimnto intrno distribuído um amortcimnto xtrno localizado. Estas soluçõs analíticas srvirão d suport à anális da influência d alguns parâmtros sobr a intnsidad strutural m rgim stacionário harmónico. Na prspctiva d caractrizar a intnsidad strutural m struturas do tipo viga d gomtria dscontínua ou m struturas rticuladas, implmntar-s-á uma mtodologia numérica d dtrminação da intnsidad strutural do su divrgnt basada na formulação stablcida no método dos lmntos finitos. É também objctivo dsta dissrtação o dsnvolvimnto implmntação d uma mtodologia d dtrminação da intnsidad strutural do su divrgnt m vigas m rgim stacionário por via xprimntal. Nst contxto, dsnvolvr-s-á uma mtodologia Pág. 34

35 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural basada no método das difrnças finitas no ajustamnto polinomial para procssamnto drivação spacial dos campos d vlocidad /ou aclração mdidos. A aplicação do método das difrnças finitas srá prcdida d uma filtragm no domínio do númro d onda no sntido d liminar o ruído prsnt nas mdiçõs. A validação da técnica srá fctuada através da anális xprimntal d duas vigas com difrnts condiçõs d frontira. As fonts d injcção d dissipação d nrgia são simuladas, rspctivamnt, por um xcitador lctro-magnético por um amortcdor localizado. A implmntação m computador das mtodologias dsnvolvidas ralizar-s-á m ambint MATLAB..5 Organização da dissrtação Esta dissrtação ncontra-s struturada m st capítulos cujo contúdo s sinttiza m sguida. Capítulo - No prsnt capítulo aprsnta-s uma introdução ao tma da intnsidad strutural numa prspctiva global acompanhada d uma sínts bibliográfica. Os objctivos da dissrtação são dfinidos uma dscrição sumária d cada capítulo é aprsntada. Capítulo - Introdução d concitos fundamntais à comprnsão studo da intnsidad strutural. É aprsntado um studo sobr o sistma vibratório lmntar, rcorrndo às analogias léctricas, são dfinidos discutidos os concitos d potência activa, potência ractiva factor d potência num sistma mcânico. Capítulo 3- Establcimnto studo da rsposta stacionária para a vibração transvrsal d vigas placas m trmos dos campos d dslocamnto, vlocidad aclração dos sforços intrnos. O amortcimnto intrno distribuído o amortcimnto xtrno localizado são considrados. As condiçõs d solicitação dinâmica são smlhants àqulas qu srão obsrvadas na postrior implmntação xprimntal. Capítulo 4- Nst capítulo é fctuado um studo aprofundado sobr a formulação aspctos do cálculo da intnsidad strutural m vigas placas com amortcimnto intrno xtrno localizado. O cálculo da intnsidad strutural do su divrgnt é concrtizado para as vigas para a placa m studo com bas na rsposta Pág. 35

36 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural stacionária stablcida no capítulo 3. Nst âmbito, procd-s igualmnt à anális da influência d vários parâmtros intrvnints na intnsidad strutural. Capítulo 5- Implmntação d uma mtodologia d cálculo da intnsidad strutural m vigas plo método dos lmntos finitos. A formulação clássica do lmnto finito d viga é aprsntada. Com bas na rsposta m frquência obtida d forma dircta a partir do modlo spacial, é dsnvolvido um algoritmo d dtrminação dos sforços intrnos nos lmntos da intnsidad strutural do su divrgnt. Como aplicação validação da mtodologia é aprsntado o studo da viga simplsmnt apoiada da viga bi-ncastrada. Capítulo 6- Nst capítulo dscrv-s o procdimnto d dtrminação da intnsidad strutural por via xprimntal aprsntam-s os rsultados obtidos para vigas. São dsnvolvidos dois algoritmos distintos para procssamnto drivação spacial dos campos d dslocamnto /ou vlocidad mdidos. Um dos algoritmos é basado no ajustamnto polinomial o outro no método das difrnças finitas, ao qual s lh associa uma pré-filtragm no domínio do númro d onda. As montagns xprimntais são aprsntadas as vigas utilizadas no studo são caractrizadas por anális modal xprimntal. Os rsultados da anális xprimntal, constituídos pla rsposta m trmos d vlocidad ou aclração para difrnts condiçõs d nsaio são aprsntados discutidos. Com bas nsts rsultados, é dtrminada a distribuição da intnsidad strutural do su divrgnt. Um studo comparativo uma discussão dos rsultados ncrra o capítulo. Capítulo 7- São aprsntadas as conclusõs grais dst trabalho d dissrtação, na squência das quais são propostas linhas d dsnvolvimnto d invstigação futura. Pág. 36

37 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural Índic. Introdução Formulação gral da intnsidad strutural Intnsidad strutural m vigas placas Cálculo da intnsidad strutural plo método da sobrposição modal Objctivos Organização da dissrtação Pág.

38 Capítulo Introdução ao Estudo da Intnsidad Estrutural Lista d figuras Fig.. - Rprsntação das posiçõs d colocação dos transdutors para o cálculo da intnsidad strutural m placas plo método das difrnças finitas Fig.. - Diagrama para o cálculo da vlocidad a partir d duas duplas xposiçõs [7]... 3 Fig.. 3 a) Intnsidad strutural (scala logarítmica); b) Divrgnt [7] Pág.

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40 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar. Introdução Nst capítulo são introduzidos alguns concitos fundamntais para o studo comprnsão do fluxo d potência num sistma vibratório com bas no sistma vibratório lmntar. O studo assnta na anális da rsposta stacionária num sistma vibratório lmntar, a partir da qual são introduzidos os concitos d potência activa, potência ractiva factor d potência. Para mlhor comprndr o significado físico dsts concitos, por st sr um assunto amplamnt studado nos sistmas léctricos, srá rtomado o studo das analogias léctricas ntr o sistma mcânico o sistma léctrico... Sistma com um grau d librdad O sistma vibratório lmntar é constituído por três lmntos discrtos: uma massa, uma mola um amortcdor. A massa a mola formam o sistma consrvativo d nrgia, nquanto qu o amortcdor constitui o lmnto dissipativo d nrgia. A massa, lmnto d inércia, tm a capacidad d armaznar rstituir nrgia sob a forma d nrgia cinética. A mola, através do su alongamnto, armazna rstitui nrgia sob a forma d nrgia potncial lástica. O amortcdor, d tipo viscoso produz uma força qu é proporcional à vlocidad do movimnto. O trabalho dssa força é quivalnt à nrgia dissipada no sistma. O sistma mcânico rprsntado na Fig.. é constituído plos lmntos: massa d quantidad m, mola d rigidz k o amortcdor viscoso com um coficint d amortcimnto viscoso c. Est sistma stá submtido a uma solicitação xtrior variávl no tmpo f(t). m f(t) k c sistma. Fig.. - Sistma mcânico. A quação difrncial d movimnto é stablcida a partir do quilíbrio d forças no Pág. 39

41 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar F + F + F + f(t) (.) m c k = m qu as forças nos difrnts lmntos são dfinidas plas sguints xprssõs: F m = m& x(t) F c = c x(t) & (.) F k = kx (t) Após a substituição na quação. obtmos a quação difrncial d movimnto, dfinida a partir das quantidads d massa, rigidz amortcimnto. m d x ( dt t ) dx ( t ) + c + k x ( t ) = f ( t ) (.3) dt.. Rsposta a uma solicitação harmónica Considr-s a solicitação f ( t) Fcos( ωt) =, m qu F rprsnta a amplitud d xcitação ω a frquência d xcitação. Para st caso, a rsposta prmannt ou stacionária vm dfinida na forma d uma função harmónica com a msma frquência da xcitação, mas stá dsfasada no tmpo d um ângulo ϕ, x ( t ) = X cos( ω t ϕ ) (.4) m qu X rprsnta a amplitud d dslocamnto ϕ é o ângulo d fas formado ntr o vctor dslocamnto o vctor força. O conjunto [4]. A sua rprsntação no plano complxo é aprsntada na Fig... X ϕ forma o fasor d dslocamnto & x& Im x& ϕ x F R Pág. 4 Fig.. - Rprsntação no plano complxo dos fasors da força, dslocamnto, vlocidad aclração.

42 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar No prsnt caso, o vctor dslocamnto stá m atraso m rlação ao vctor força, nquanto qu os vctors vlocidad aclração stão, rspctivamnt, m quadratura d avanço m oposição m rlação ao vctor dslocamnto. Ests vctors são dfinidos da sguint forma: dx π x& (t) = = ω Xsin ( ω t ϕ) ω X ϕ (.5) dt d x& d x & x & ( t ) = = = ω X cos( ω t ϕ ) ω X π ϕ (.6) dt dt Após substituir stas xprssõs na quação.3, obtmos: ω mx cos( ωt ϕ) ωcxsin ( ωt ϕ) + kx cos( ωt ϕ) = F cos( ωt) (.7) Rsolvndo a xprssão acima obtém-s a amplitud X da rsposta stacionária do sistma o rspctivo ângulo d fas: X F = (.8) ( k ω m) + ( ωc) ωc ϕ = arctg k ω m A sguir introduzimos dois novos parâmtros, frquência natural d vibração razão d amortcimnto ξ, os quais s dfinm da sguint forma: (.9) ω n ω n = k m c c ξ = = (.) cc m ωn Dpois d substituir sts parâmtros na amplitud da rsposta stacionária, a xprssão da rsposta stacionário no tmpo é dada por: x ( t ) F = cos( ω t ϕ ) (.) k [( β ) + ( ξβ ) ] Pág. 4

43 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar m qu β rprsnta a razão d frquência dfinida por ω ω ϕ o ângulo d fas ntr a n força d xcitação a rsposta m dslocamnto.... Amplitud fas da rsposta stacionária A amplitud a fas da rsposta stacionária são caractrísticas importants para a dscrição da rsposta dinâmica d um sistma. Estas podm scrvr-s na forma: F X( β, ξ) = (.) k ( β ) + (ξβ) ξβ ϕ( β, ξ) = arctg (.3) β O factor d amplificação dinâmica µ é um parâmtro qu rlaciona a amplitud d dslocamnto da rsposta stacionária X( β, ξ) com o dslocamnto provocado por uma solicitação quivalnt aplicada d forma stática: µ = (.4) ( β ) + (ξβ) O factor d amplificação dinâmica prmit caractrizar a amplitud da rsposta dinâmica, indpndntmnt da força d xcitação, m função da frquência d xcitação da razão d amortcimnto. Na Fig.. 3 stá rprsntada a variação do factor d amplificação dinâmica m função da razão d frquências da razão d amortcimnto. µ ξ= ξ=. ξ=.5 ξ= ξ=.5 ξ= ξ=5.5 Pág β Fig.. 3 Factor d amplificação dinâmica m função da razão d frquências.

44 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar O valor máximo do factor d amplificação dinâmica vrifica-s m β = ξ para valors da razão d amortcimnto infrior a razão d frquência β =., caso contrário, o máximo ocorr para a Rlativamnt ao ângulo d fas, st aprsnta valors qu oscilam ntr π. Nsta gama d valors podmos assinalar duas rgiõs rlvants. Na primira rgião, a frquência d xcitação é infrior à frquência natural d vibração. O ângulo da rsposta m dslocamnto ncontra-s ntr π m rlação à força d xcitação. Quando a frquência d xcitação é nula, solicitação stática, a rsposta a solicitação stão m fas. Na sgunda rgião, a frquência d xcitação é suprior à frquência natural d vibração. O ângulo da rsposta m dslocamnto rlativamnt à xcitação varia ntr π π. Quando a frquência d xcitação tnd para infinito, o ângulo d fas convrg para o valor d π. No caso particular m qu frquência d xcitação é idêntica à frquência natural d vibração não amortcida, a rsposta m dslocamnto é indpndnt da razão d amortcimnto a fas stá m quadratura d avanço m rlação à xcitação do sistma. Na Fig.. 4 stá ilustrada a variação do ângulo d fas m função da razão d frquência para difrnts valors da razão d amortcimnto. ϕ ξ= ξ=. ξ=.5 ξ= ξ=.5 ξ= ξ= β Fig.. 4 Variação da fas da rsposta stacionária m função da razão d frquências...3 Potência no sistma mcânico Após caractrizar o comportamnto dinâmico do sistma mcânico, o studo prossgu com um assunto d maior intrss no âmbito do tma tratado nst trabalho. São os casos da Pág. 43

45 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar potência da nrgia no sistma mcânico, m particular a potência activa, a potência ractiva o factor d potência. Por dfinição, a potência instantâna no sistma mcânico é obtida plo produto scalar ntr a força a vlocidad da rsposta do sistma. p (t) = f (t). x& (t) (.5) O valor médio da potência instantâna, conhcida por potência média, é uma função indpndnt do tmpo. Esta rsulta da intgração no tmpo da potência instantâna, ao longo d um ciclo d vibração, a dividir plo su príodo T. T FωX π P média = p(t)dt = cos ϕ (.6) T Utilizando a notação complxa, a potência média é igual ao produto dos valors ficazs do fasor da força o conjugado do fasor da vlocidad. π j ϕ F j ωx P ( ω) = média (.7) O dsnvolvimnto da xprssão antrior prmit chgar à sguint dfinição d potência média, na forma d uma adição d duas parclas, uma ral outra imaginária, P média FωX FωX ( ω ) = sin( ϕ) j cos( ϕ) (.8) Poucos são os autors qu dfinm o significado físico d cada uma das parclas da xprssão acima dfinida. Porém, aquls qu o fazm, atribum uma maior rlvância à componnt ral. Existm outros qu tratam o assunto sob o ponto d vista puramnt matmático, sm s procuparm m xplicar dvidamnt o su significado físico [8,]. Com o objctivo d clarificar st ponto, aprsnta-s a sguir um studo ond s procura dar rsposta ao significado físico das componnts ral imaginária da potência média. Plo grau d complxidad qu nvolv st assunto, é aprsntada uma abordagm difrnt, rcorrndo às analogias ntr os sistmas léctricos os sistmas mcânicos, por sr st um concito claramnt dfinido nos sistmas léctricos. Pág. 44

46 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar..3. Analogias léctricas Aprsnta-s inicialmnt o studo do circuito léctrico lmntar. Da anális do su funcionamnto por quaçõs d quilíbrio d potncial léctrico far-s-á uma analogia para sistmas mcânicos. Esta analogia ra utilizada para o studo dos sistmas vibratórios mcânicos quando as mdiçõs ram uma tarfa impraticávl por falta d quipamnto. Os sistmas mcânicos m anális ram substituídos por circuitos léctricos quivalnts, dos quais ra fácil obtr a rsposta ao studo do su comportamnto. Porém, com o aparcimnto d novos quipamntos d mdição st procdimnto foi posto d part. À smlhança d um sistma vibratório mcânico lmntar, um sistma léctrico dvrá sr constituído por três lmntos distintos: uma rsistência, um condnsador uma bobina d auto-indução. A rlação ntr os lmntos dos dois sistmas assnta no comportamnto d cada um dos lmntos. Há duas formas distintas d ralizar sta analogia: Força-Tnsão Eléctrica ou Força-Corrnt Eléctrica. Ambas as analogias assumm rlaçõs distintas, tndo m comum a rlação amortcdor-rsistência, por srm os únicos lmntos d ambos os sistmas capazs d dissipar nrgia. As rlaçõs corrspondnts podm sr analisadas m maior dtalh na tabla.. Tabla. - Analogias ntr o sistma mcânico o sistma léctrico[7]. Sistma Mcânico Força Tnsão Eléctrica Sistma Eléctrico Força Corrnt Eléctrica m Massa k Vlocidad Corrnt Eléctrica L Bobina auto-indução /cap Vlocidad Tnsão Eléctrica /cap Condnsador L Mola c Amortcdor Condnsador R Rsistência Bobina auto-indução R Rsistência A partir da analogia Força Tnsão Eléctrica, aprsntam-s na Fig.. 5 os squmas quivalnts para os sistmas mcânico léctrico. Pág. 45

47 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar k m c f (t),x(t) u(t),i(t) R /cap L Fig Rprsntação dos squmas quivalnts ntr o sistma vibratório mcânico o sistma léctrico. A quação d funcionamnto do circuito léctrico é obtida por aplicação da li d Kirchhoff para a tnsão léctrica. Esta diz qu o somatório d todos os potnciais léctricos ao longo d uma malha fchada dv sr nulo. Assim, conhcidas as quaçõs qu traduzm a quda d potncial léctrico m cada lmnto, U R sistência = Ri (t) di(t) U Bobina = L (.9) dt U Condnsado r = i(t) dt cap a quação difrncial qu rg o funcionamnto do circuito léctrico, m qu a tnsão léctrica aplicada é do tipo sinusoidal u(t)=ucos(ωt), vm dada por: di(t) L + R i(t) + i(t) dt = Ucos( ωt) dt cap (.) A quação da corrnt léctrica é do msmo tipo qu a da tnsão léctrica aplicada. Porém, surg dsfasada no tmpo d um ângulo γ, i(t) = Icos( ωt γ). Como rsultado da rlação d intgração drivada no tmpo d uma função harmónica, obtém-s a quação stacionária da corrnt léctrica no tmpo, sndo π γ = + ϕ ϕ = arctg ωr. cap ω L Pág. 46

48 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar ωu i(t) = sin( ωt ϕ) (.) ω L + ( ωr ) cap Esta quação para corrnt léctrica é análoga àqula dfinida para o sistma mcânico. Através das analogias F U, m L, k cap c R vrifica-s qu a xprssão antrior é quivalnt à quação da rsposta m vlocidad do sistma mcânico dfinida m.5. ωf x(t) & = sin( ωt ϕ) (.) ( k ω m) + ( ωc) O dnominador da quação. é conhcido como impdância do circuito léctrico é constituída por três componnts, rspctivamnt, a ractância indutiva, a rsistência a ractância capacitiva, dfinidas da sguint forma: Z indutiva = ωl Z R sistência = R (.3) Z Capacitiva = ωcap Na Fig..6 stão rprsntadas no plano complxo as impdâncias do circuito léctrico, π assim como a tnsão a corrnt léctrica qu stão dsfasas do ângulo ϕ. Im ωl I π ϕ U R R ω cap Fig Rprsntação no plano complxo das impdâncias para um circuito léctrico. Procdndo à anális das impdâncias no plano complxo, pod dizr-s qu a rsistência stá m fas com a tnsão léctrica, nquanto qu a ractância indutiva stá m Pág. 47

49 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar quadratura d avanço a ractância capacitiva stá m quadratura d atraso. A partir das analogias atrás dfinidas é fctuada uma rprsntação análoga para o sistma mcânico. D acordo com a xprssão., a amplitud d vlocidad da rsposta prmannt scrv-s: F ω X = (.4) k + ωm + c ω O sistma mcânico, à smlhança do sistma léctrico, srá analisado do ponto d vista das impdâncias d massa, rigidz amortcimnto. Estas stão rprsntadas no plano complxo na Fig.. 7. Tomando como rfrência a força d xcitação, vrifica-s qu, a impdância d amortcimnto stá m fas, nquanto qu a impdância d massa stá m quadratura d avanço a impdância d rigidz m quadratura d atraso. Im ωm π ϕ ωx F c R k ω Fig Rprsntação no plano complxo das impdâncias para o sistma mcânico. A amplitud máxima do dslocamnto ocorr para a situação m qu a impdância é mínima. Esta vrifica-s para uma frquência d xcitação m qu a impdância d massa s anula com a impdância d rigidz. A impdância do sistma fica rduzida à impdância d amortcimnto. Est é um caso particular d funcionamnto do sistma mcânico, ond os vctors força vlocidad stão m fas. D acordo com sta igualdad ntr impdâncias, a frquência d xcitação dvrá sr idêntica à frquência natural d vibração do sistma. k k ω m = ω = (.5) ω m A potência produzida num sistma léctrico é dtrminada a partir da dfinição d potência média, a qual rsulta do produto ntr o valor ficaz da tnsão da corrnt léctrica. O dsnvolvimnto dst produto, a partir da li d Ohm, prmit xprssar a potência m função das suas impdâncias. Pág. 48

50 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar I P = Uficaz Ificaz = ZIficaz = Z (.6) A partir da rprsntação antrior das impdâncias léctricas no plano complxo, obtém-s uma rprsntação quivalnt para a potência total, activa ractiva. Im I P R A = R Fig Rprsntação no plano complxo das potências activa, ractiva total num sistma léctrico. A potência activa, componnt ral da potência, corrspond à potência dissipada na rsistência, nquanto qu a potência ractiva, componnt imaginária da potência, rsulta do dsquilíbrio ntr a ractância indutiva a ractância capacitiva. Apsar d não sr consumida plo circuito, a potência ractiva é ssncial para o funcionamnto do sistma. Na avaliação da ficiência do circuito é utilizado o factor d potência, dfinido como o cosno do ângulo ntr a potência activa a potência total, Fig.. 8. Est toma valors ntr, sndo a ficiência máxima. P T I = R + ωl ω π φ= ϕ cap Potência Activa Potência Ractiva P R = ωl I cap ω F Potência P P A A = cos( φ) = = (.7) P T PA + PR Com bas nas analogias dfinidas, vamos agora transfrir st studo para o sistma mcânico. Nst caso, a potência total, activa ractiva stão rprsntadas na Fig.. 9. Pág. 49

51 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar Im P T = ( ωx) c π φ= ϕ k + ωm ω Potência Activa ( ωx) PA = c Fig Rprsntação no plano complxo da potência total, activa ractiva do sistma mcânico. Potência Ractiva P R k = ωm ω R ( ωx) A potência total é a soma vctorial da potência activa da potência ractiva, a qual dvrá sr idêntica à xprssão.8, como s dmonstra a sguir: P T FωX FωX = PA + jpr = sin( ϕ) j cos( ϕ) (.8) Admitindo qu tudo o qu foi rfrido para o sistma léctrico também é válido para o sistma mcânico, conclui-s, portanto, qu a potência ractiva é utilizada para a manutnção do sistma m vibração à frquência ω. Introduzindo o valor da amplitud X d dslocamnto, a potência activa ractiva podm sr dfinidas plas sguints xprssõs: P ωf = sin k ( β ) + (ξβ) ( ϕ) Activa (.9) ωf PR activa = cos( ϕ) (.3) k ( β ) + (ξβ) Na Fig.. stá rprsntada a variação da potência activa ractiva m função da razão d frquências. Pág. 5

52 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar 6 4 Potência Activa Potência Ractiva β Fig.. - Variação da potência activa ractiva m função da razão d frquência. Para frquências d xcitação supriors à frquência natural d vibração, a impdância d massa é suprior à impdância d rigidz a potência ractiva é positiva. No caso da frquência d xcitação sr infrior à frquência natural d vibração, a impdância d rigidz é suprior à impdância d massa a potência ractiva é ngativa. No caso particular da frquência d xcitação coincidir com a frquência natural d vibração, a potência ractiva é nula a potência activa é máxima. k ω > ωn ωm > PR > (.3) ω k ω < ωn ωm < PR < (.3) ω k ω = ωn ωm = PR = P A é máxima (.33) ω À smlhança do sistma léctrico, a potência ractiva surg plo facto d xistir um dsquilíbrio ntr a potência armaznada na massa a potência armaznada na mola. Para prcbr mlhor sts concitos, vamos analisar o qu acontc à transfrência d nrgia durant o ciclo d vibração. Durant o ciclo d vibração procssa-s a convrsão da nrgia cinética m potncial lástica vic-vrsa. No ntanto, a capacidad d armaznamnto d nrgia na massa sob a forma d nrgia cinética na mola sob a forma d nrgia potncial lástica varia com a frquência, como podmos constatar pla dfinição d impdância d massa d rigidz. Pág. 5

53 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar Para frquências supriors à frquência natural d vibração, a impdância d massa é suprior à impdância d rigidz, o qu significa qu a nrgia cinética é suprior à nrgia potncial lástica. Daqui rsulta qu, durant um príodo do ciclo d vibração, só uma part da nrgia cinética é convrtida m nrgia potncial lástica. Como não xist forma d armaznar o xcdnt da nrgia cinética, sta é rnviada para a font d nrgia. Durant o msmo ciclo ocorr o procsso invrso, mas, nst caso, não xist nrgia potncial lástica suficint para rstituir a nrgia cinética, plo qu é ncssário forncê-la a partir da font. Esta convrsão ocorr duas vzs no msmo ciclo d vibração a nrgia ractiva anula-s smpr qu as trocas d nrgia compltam um ciclo. É por sta razão qu a nrgia ractiva ao fim d cada ciclo d vibração é nula não é dissipada no sistma. O msmo s passa para as frquências d xcitação infriors à frquência natural. Mas, para st caso, é a nrgia potncial lástica qu é suprior à nrgia cinética. No caso particular d não havr trocas d nrgia com o xtrior, o sistma tndria a abrandar ou aclrar consoant os casos, até atingir uma posição d quilíbrio nrgético. Est ocorr quando a nrgia cinética armaznada na massa é idêntica à nrgia potncial lástica da mola. Esta é a razão pla qual o sistma tnd smpr para a frquência natural d vibração m rgim livr. Pág. 5

54 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar Índic. Introdução Sistma com um grau d librdad Rsposta a uma solicitação harmónica Amplitud fas da rsposta stacionária Potência no sistma mcânico Analogias léctricas Pág.

55 Capítulo Estudo da Potência no Sistma Vibratório Elmntar Lista d figuras Fig.. - Sistma mcânico Fig.. - Rprsntação no plano complxo dos fasors da força, dslocamnto, vlocidad aclração Fig.. 3 Factor d amplificação dinâmica m função da razão d frquências Fig.. 4 Variação da fas da rsposta stacionária m função da razão d frquências Fig Rprsntação dos squmas quivalnts ntr o sistma vibratório mcânico o sistma léctrico. 46 Fig Rprsntação no plano complxo das impdâncias para um circuito léctrico Fig Rprsntação no plano complxo das impdâncias para o sistma mcânico Fig Rprsntação no plano complxo das potências activa, ractiva total num sistma léctrico Fig Rprsntação no plano complxo da potência total, activa ractiva do sistma mcânico Fig.. - Variação da potência activa ractiva m função da razão d frquência Pág.

56 CAPÍTULO 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos

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58 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos 3. Introdução A intnsidad strutural prmit caractrizar o fluxo d potência m struturas m rgim stacionário. No âmbito dst capítulo é aprsntado o studo da rsposta stacionária d vigas d placas finas tndo por bas, rspctivamnt, a toria d Eulr-Brnoulli d Kirchhoff. A rsposta dinâmica srá stablcida com bas no método da sobrposição modal. Nst studo são abordadas duas configuraçõs particulars d viga, a viga simplsmnt apoiada a viga bi-ncastrada, análogas àqulas qu vão sr analisadas por via xprimntal. A anális contmpla, igualmnt, o cálculo dos sforços struturais ncssários para a dtrminação do fluxo d potência. Est studo trá continuidad nos capítulos sguints com o cálculo da intnsidad strutural por via analítica, numérica xprimntal. 3. Vibração latral d vigas No studo da vibração latral das vigas comça-s por analisar a situação gnérica d uma viga m flxão submtida a uma solicitação xtrior f(x,t), dsignando v(x,t) o dslocamnto latral x a abcissa. y f(x,t) v(x,t) x l x Fig.3. Rprsntação do caso gnérico da viga. A quação d movimnto é obtida plo quilíbrio d sforços na sua scção transvrsal. Para isso considr-s um lmnto infinitsimal d viga d dimnsão dx, m qu ρ é massa spcífica A(x) é a ára da sua scção transvrsal. Pág. 55

59 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos f(x,t) M(x,t) v(x,t) Q(x,t) O O ρ dx M(x,t)+ M(x,t) Q(x,t)+ Q(x,t) x Fig.3. Rprsntação dos sforços num lmnto infinitsimal d viga. Com bas na toria d Eulr-Brnoulli das vigas após ralizado o quilíbrio d sforços actuants, m qu M( x,t) scrv-s: v(x, t) = EI(x), a quação difrncial d movimnto x x EI(x) v(x, t) + ρa(x) x v(x, t) = f (x,t) t x l (3.) ond E rprsnta o módulo d lasticidad, ρ é a massa spcífica I(x) é o momnto d ª ordm à flxão da scção rcta da viga. Numa viga d scção uniform, A(x)=A I(x)=I, a quação difrncial d movimnto aprsnta-s na sguint forma: EI 4 v(x, t) + ρa 4 x v(x, t) = f (x, t) t x l (3.) A quação antrior rfr-s ao comportamnto dinâmico d uma viga m rgim forçado, o qual srá tratado mais adiant no âmbito dst capítulo. D imdiato, vamos analisar o caso do rgim livr qu corrspond a ausência d xcitação xtrior. 3.. Rsposta da viga m rgim livr A vibração m rgim livr é caractrizada f(x,t)=. A quação difrncial d movimnto da viga uniform scrv-s: EI 4 v(x, t) + ρa 4 x v(x, t) = t x l (3.3) Admitindo um movimnto síncrono para a viga, a solução da quação 3.3 pod xprimir-s sob a forma d um produto d duas funçõs indpndnts no spaço no tmpo: Pág. 56

60 v(x, t) Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos = φ(x)g(t) (3.4) ond φ(x) rprsnta a configuração gnérica da viga só dpndnt da variávl spacial x, g(t) indica o tipo d movimnto qu a configuração gnérica raliza no tmpo. Introduzindo sta solução na quação difrncial 3.3 sparando variávis, sta dsdobra-s nas duas sguints quaçõs difrnciais ordinárias homogénas [5]: 4 d φ(x) 4 β φ(x) = 4 dx x l (3.5) d g(t) + ω g(t) = t (3.6) dt ond 4 Aω β = ρ EI (3.7) A solução gral da quação difrncial homogéna 3.6 pod scrvr-s na forma: ( t) B cosωt + B sin t g = ω (3.8) sndo as constants B B dtrminadas a partir das condiçõs iniciais d dslocamnto d vlocidad. Para a solução da quação 3.5 pod assumir-s: sx φ ( x ) = C (3.9) ond C s são constants. Substituindo sta solução na quação 3.5 driva-s a quação auxiliar: 4 4 s β = (3.) cujas raízs s i,i =, K, 4, valm: s, = ±β s 3, 4 = ± jβ (3.) Assim, a solução da quação 3.5 é dada pla xprssão: βx βx + jβx jβx ( x) = C + C + C + C φ 3 4 (3.) Após manipulação algébrica, a solução 3. pod ainda scrvr-s na forma: ( ) = A coshβx + A sinhβx + A cosβx + A sin x φ x 3 4 β (3.3) Pág. 57

61 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos sndo as constants A,A,A3 A4 dtrminadas a partir das condiçõs d frontira. A introdução das condiçõs d frontira para dtrminação das constants conduz a um problma homogéno ao qual stá associada uma quação caractrística cujas raízs β n,n =,, K, s rlacionam com as frquências naturais d acordo com a xprssão 3.7, 4 EI ω n = βn n =,, K, (3.4) ρa A cada raiz β,n =,, K,, qu corrspond a uma frquência natural d vibração, stá n associada uma solução φ ( x),n =,,, n K qu s dsigna por forma natural d vibração. D sguida vai procdr-s à anális d dois casos m concrto, a viga simplsmnt apoiada a viga bi-ncastrada, pois são stas as duas configuraçõs d viga adoptadas na ralização da anális xprimntal Viga simplsmnt apoiada m rgim livr não amortcido Considr-s a viga m aço-inox AISI 34, na condição d simplsmnt apoiada, qu s squmatiza na Fig y l h x b Fig Rprsntação da viga simplsmnt apoiada. As caractrísticas gométricas d matrial são as sguints: l =.6 m b = 3x - m h = 5x -3 m A= b x h= 5x -5 m E = x Pa ρ = 79 kg/m 3 3 b x h I 4 z = = 3.5 x m Conform xposto na scção antrior, as frquências as formas naturais d vibração da viga são obtidas pla rsolução d um sistma d quatro quaçõs homogénas, corrspondnts às quatro condiçõs d frontira: φ () ( ) = () ( ) = φ l (3.5) φ ( x ) (3) = x x = φ(x) (4) = x x=l (3.6) Pág. 58 A rsolução do sistma d quaçõs conduz à quação caractrística do problma qu toma a forma :

62 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos sin βl = (3.7) cujas raízs são do tipo: xprssão, nπ βn = n =,, K, (3.8) l Assim, as frquências naturais d vibração da viga simplsmnt apoiada são dadas pla ω n nπ = l EI ρa n =,, K, (3.9) Para as difrnts raízs da quação caractrística, a rsolução do sistma d quaçõs homogénas conduz à sguint solução para as constants: forma: A n 4 A n = An = A3n = n =,, K, (3.) As formas naturais d vibração da viga simplsmnt apoiada xprimm-s ntão na nπ φ n ( x) = A4n sin x (3.) l As funçõs caractrísticas das formas naturais d vibração possum propridads d ortogonalidad m rlação à rigidz à massa [5]. Normalizando as formas naturais d vibração para massas modais unitárias dtrmina-s o valor da constant naturais d vibração scrvm-s: A 4n, as formas n n (x) π φ = sin x n =,, K, (3.) ρal l Na squência dsta rsolução aprsnta-s m sguida o cálculo das primiras quatro frquências formas naturais d vibração para a viga simplsmnt apoiada m studo. Os valors calculados para as frquências naturais stão aprsntados na tabla 3.. Tabla 3. Frquências naturais da viga simplsmnt apoiada. ω ω ω 3 ω 4 [rad/s] [Hz] Pág. 59

63 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos As rspctivas formas naturais d vibração ncontram-s rprsntadas na Fig modo fundamntal º modo natural φ (x).5 φ (x) x [m] 3º modo natural x [m] 4º modo natural φ 3 (x) φ 4 (x) x [m] x [m] príodo Fig Rprsntação das primiras formas naturais da viga simplsmnt apoiada. A primira forma natural d vibração, forma fundamntal, é uma função sno d l, cuja amplitud máxima ocorr a mio vão para x=.58 m. Para sta forma natural, o movimnto latral d todas as scçõs rctas da viga é fctuado m fas. A sgunda forma natural d vibração tm príodo l. Esta aprsnta um ponto stacionário ou nodo a mio vão da viga qu funciona d charnira ao movimnto oscilatório m oposição das duas mtads. Nstas, a amplitud máxima ocorr para os pontos 3l x =. 4 A trcira forma d vibração aprsnta um par d nodos nas posiçõs Em consquência, xistm três scçõs com amplitud máxima, l x =, 6 l x = 3 l x = l x = 4 l x =. 3 5l x =. 6 Assim, para a trcira forma natural, a viga aprsnta três tramos com movimnto oscilatório, stando os dois tramos xtrmos m fas ntr si m oposição com o trciro tramo intrmédio. Pág. 6

64 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos l Para a quarta forma natural, qu é uma onda sno d príodo igual a, os nodos l l 3l situam-s nas scçõs x =, x = x =, nquanto qu a amplitud máxima ocorr nas 4 4 l 3l 5l 7l scçõs x =, x =, x = x = Viga bi-ncastrada m rgim livr não amortcido D sguida, analisa-s a msma viga na condição d ncastrada m ambas xtrmidads. y l x b h Fig Esquma da viga bi-ncastrada. O cálculo das frquências rspctivas formas naturais na viga bi-ncastrada sgum um procdimnto análogo ao antrior, fctuadas as dvidas adaptaçõs às condiçõs d frontira qu, no prsnt caso, corrspondm a duas condiçõs d dslocamnto nulo duas condiçõs d rotação nula nas xtrmidads. () φ ( ) = () φ( l ) = (3.3) φ(x) (3) = x x= φ(x) (4) = x x=l (3.4) Com a introdução das condiçõs d frontira na solução 3.3, obtém-s para a viga bi-ncastrada a quação caractrística: cos( β l )cosh( β l) (3.5) n n = As primiras cinco raízs da quação caractrística 3.5 podm sr obtidas por via numérica as rstants aproximadas a uma função do tipo n + π, ond n rprsnta a ordm da raiz. Para uma ordm n > 5 as raízs sgum uma progrssão aritmética d valor π. As raízs da quação caractrística stão aprsntadas na tabla 3.. Pág. 6

65 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Tabla 3.- Soluçõs da quação caractrística para a viga bi-ncastrada. β l β l β 3 l β 4 l β 5 l β n l n > n + π Através da rlação 3.4 obtêm-s as frquências naturais d vibração da viga bi-ncastrada aprsntadas na tabla 3.3. Tabla 3.3 Valors das frquências naturais d vibração para a viga bi-ncastrada. ω ω ω 3 ω 4 ω 5 ω n n>5 [rad/s] [Hz] π nπ π n π+ π Em rlação à viga simplsmnt apoiada, vrifica-s qu as frquências naturais d vibração são supriors, dvido ao facto dos ncastramntos introduzirm maior rigidz à strutura, o qu produz um aumnto das frquências naturais. As formas naturais, qu corrspondm às soluçõs do sistma d quaçõs homogénas para cada uma das frquências naturais são dadas pla xprssão: [ sinβx sinhβ x α (coshβ x cosβ x) ] φ n ( x) = An n n n n (3.6) ond o parâmtro α n é dfinido por: cosβnl cosh βnl α n = (3.7) sinh β l + sin β l n n Normalizando as formas naturais d vibração para massas modais unitárias, dtrmina-s a constant A n cujos valors são aprsntados na tabla 3.4: Tabla 3.4- Constant d normalização das formas naturais para massa modal unitária. A A A 3 A 4 A A n n>5 α n A n β( ρa) ( β l) n ( βnl) ( ) + cos ( β l) 4sin( β l) + β l n n n Pág. 6

66 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos As primiras quatro formas naturais d vibração stão rprsntadas na Fig Nst caso, vrifica-s qu as formas naturais dixaram d sr dfinidas por uma função sno, como na viga simplsmnt apoiada, passando a sr dfinidas por uma combinação algébrica d funçõs trigonométricas..5 modo fundamntal º modo natural φ (x).5 φ (x) x [m] 3º modo natural x [m] 4º modo natural φ 3 (x) φ 4 (x) x [m] x [m] Fig.3. 6 Rprsntação das primiras formas naturais da viga bi-ncastrada. A primira forma natural d vibração tm uma amplitud máxima situada a mio vão possui rotação nula nas xtrmidads. A sgunda forma natural aprsnta um nodo d vibração a mio da viga qu srv d charnira à vibração altrnada dos dois tramos. A posição das amplituds máximas é obtida a partir dos zros da função rotação dsta forma natural d vibração, qu tm por xprssão: dφ (x) β = cosh l β l β l β l x cos x,9993(sinh x + sin x) dx l l l l = (3.8) Da rsolução da xprssão antrior obtêm-s ntão as posiçõs das scçõs a qu s vrificam as amplituds máximas, qu são: x =.94l x =.7958l (3.9) Pág. 63

67 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos A trcira forma natural aprsnta duas scçõs nodais três scçõs ond a amplitud é máxima. A posição das scçõs nodais dtrmina-s a partir dos zros da forma natural d vibração: β sinh 3l β x sin 3l β x.34 cosh 3l β x cos 3l + + x = l l l l (3.3) A rsolução dsta quação prmit obtr a localização dos dois sguints nodos: x =.35839l x =.648l (3.3) As abcissas das scçõs d amplitud máxima são obtidas por um procsso análogo àqul qu foi usado atrás, isto é, a partir dos zros da função d rotação associada a st modo qu tm por xprssão: φ3(x) β cosh 3l β x cos 3l β x.34 sinh 3l β l = x + sin x = dx l l l l d 3 (3.3) A rsolução numérica da quação acima conduz aos sguints valors: x =.773l, x =.5l x =.797l (3.33) Na Fig.3. 6 pod obsrvar-s a trcira forma natural ond a viga aprsnta os dois tramos xtrmos qu stão m fas ntr si m oposição d fas com o trciro tramo intrmédio. A quarta forma natural d vibração aprsnta três scçõs stacionárias cujas abcissas são dfinidas plos zros da sguint xprssão: β ( x) sinh 4l β x sin 4l β x cosh 4l β x cos 4l φ4 = + + x = l l l l (3.34) cujas raízs valm, x =.787l, x =.5l x =.79l (3.35) Em consquência, a viga aprsnta quatro scçõs d amplitud máxima cujas posiçõs são obtidas a partir dos zros da drivada da função caractrística da forma natural qu corrspond à função rotação dsta forma natural. Assim, obtém-s: φ4 (x) β cosh 4l β x cos 4l β x sinh 4l β l = x + sin x = dx l l l l d 4 (3.36) assumindo as rspctivas raízs os sguints valors, Pág. 64

68 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos x =.655l, x =.3894l, x =.686l x =.8389l (3.37) 3.. Estudo da viga m rgim forçado Rtomando a quação difrncial 3. do movimnto da viga m rgim forçado, aprsnta-s agora o studo para o rgim forçado harmónico. Admitindo uma solicitação harmónica, a função xcitação pod scrvr-s na forma do produto d duas funçõs d variávis indpndnts x t, ( x,t) p( x) g( t) scrv-s ntão: 4 v(x, t) v(x, t) EI + ρa = p 4 x t f =. A quação difrncial do movimnto ( x) g( t) ond p ( x) corrspond à amplitud da força aplicada na viga ( t) tmpo, qu nst caso é do tipo harmónico. x l (3.38) g é a li d variação no A rsposta do sistma pod sr obtida por anális modal. O método basia-s no torma d xpansão, sndo a rsposta xprssa como uma sobrposição das difrnts funçõs caractrísticas das formas naturais d vibração do sistma multiplicadas plas corrspondnts coordnadas naturais m função do tmpo. Assim, o campo d dslocamntos v ( x,t) vm dfinido por: n= v (x, t) = φn (x) ηn (t) (3.39) m qu φ n (x) rprsnta as funçõs caractrísticas das formas naturais d vibração η n (t) a corrspondnt solução no tmpo m coordnadas naturais. Introduzindo a solução v ( x,t) xprssa na forma 3.39 na quação difrncial 3.38 tndo m conta as propridads d ortogonalidad das formas naturais, projcta-s a quação difrncial do movimnto na bas modal, conduzindo a um conjunto d quaçõs difrnciais indpndnts cuja forma canónica é: ond η& & t) + ω η (t) = λ g(t) n =,, K, (3.4) n ( n n n ω n corrspond à frquência natural d vibração normalizada à massa modal, λ n a força projctada na bas modal Pág. 65

69 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos λ n l φ = n (x)p(x)dx m n (3.4) l sndo m n = ρaφn (x) φn (x) dx Rsposta a uma carga harmónica pontual No caso d uma solicitação harmónica, jωt g(t) = m qu ω é a frquência d xcitação, cada uma das n quaçõs na bas modal ou natural scrv-s: jωt η& & n (t) + ωnηn (t) = λn (3.4) A rsposta prmannt ou stacionária m cada uma das coordnadas modais é uma função harmónica do tipo: jωt η n (t) = Xn (3.43) Dpois d substituída na quação 3.4, a solução para a coordnada natural η n (t) vm dfinida por: jωt η n (t) = λn (3.44) ( ω n ω ) A solução global v(x,t) do problma rsulta da combinação linar das várias formas naturais d vibração d acordo com a xprssão Após substituição da rsposta 3.44 para as coordnadas naturais na xprssão 3.39, obtém-s: jωt v(x, t) = φn (x) λ n (3.45) n= ( n ) ω ω Para uma força d xcitação aplicada d forma concntrada na scção d coordnada x p, d amplitud P, a xprssão da rsposta vm dada por: Pφn (x p ) jωt v (x, t) = φn (x) (3.46) n = mn ( ωn ω ) A xprssão stablcida para a rsposta mostra qu a participação d cada modo natural na rsposta é dada plo produto ntr a forma natural d vibração φ n (x) o trmo Pág. 66

70 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos dfinido ntr parêntss rctos, qu rprsnta a rsposta na rspctiva coordnada modal ou natural, qu vamos dsignar d contribuição modal. Est factor dfin a contribuição modal dos difrnts modos d vibração para a rsposta global Amortcimnto intrno Numa solicitação do tipo harmónico, o amortcimnto condiciona d forma dtrminant a amplitud a fas da rsposta do sistma. O amortcimnto intrno é provocado plo movimnto d fricção ntr as difrnts camadas intrnas do matrial. Os modlos mais corrnts para modlizar o amortcimnto intrno são o modlo viscoso o modlo histrético. Nst trabalho adopta-s o modlo histrético por st sr considrado um modlo mais ralista do amortcimnto intrno do matrial [7]. O amortcimnto histrético pod sr modlado através do módulo d lasticidad complxo, ( jµ ) Ê = E + (3.47) sndo µ o factor d amortcimnto. Substituindo o módulo d lasticidad complxo na quação difrncial do movimnto 3.38, as quaçõs 3.4 projctadas na bas modal ou natural tomam a forma: η& & n ( t) + ωn ( + jµ n ) ηn (t) = λng(t) (3.48) A rsposta stacionária das coordnadas naturais à solicitação harmónica g(t) = jωt rscrv-s como: jωt η n (t) = λn (3.49) ωn ( + jµ n ) ω A solução global v ( x,t) para a carga concntrada d amplitud P aplicada no ponto d coordnada x p, d frquência ω, scrv-s agora: P n (x p ) jωt v (x, t) = φn (x) (3.5) n = mn ( ωn ω ) + jµωn φ Pág. 67

71 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Amortcimnto xtrno Para o amortcimnto xtrno assum-s, nst trabalho, um modlo viscoso plo facto d nas montagns xprimntais implmntadas s utilizarm amortcdors concntrados cujo comportamnto é do tipo viscoso m qu a força d amortcimnto dsnvolvida é proporcional à vlocidad. Esta rlação d proporcionalidad é dfinida plo coficint d amortcimnto viscoso. Para um amortcimnto xtrno distribuído ao longo da viga, caractrizado plo coficint d amortcimnto c xt, a força por l produzida é dada pla sguint xprssão: R(x, t) = c v(x, t) (3.5) xt & A inclusão do amortcimnto xtrno viscoso na quação difrncial do movimnto 3.38 conduz às quaçõs modais da forma: xt Cn η & n ( t) + η& n (t) + ( + jµ ) ωnηn (t) = λng(t) (3.5) m n Considrando d novo a solicitação harmónica d amplitud P na coordnada x p frquência ω, a rsposta prmannt ou stacionária vm dada por: Pφn (xp ) jωt v (x, t) = φn (x) (3.53) n= m xt n C ( + jµ ) ω + ω n n j ω mn No caso d o domínio do amortcimnto xtrno s rstringir a uma scção da viga d coordnada x c, ou sja, amortcimnto xtrno concntrado, a xprssão da rsposta prmannt da viga nssa scção é obtida a partir da xprssão antrior tm a sguint forma: P n (x p ) j t v(xc, t) n (xc ) φ ω = φ (3.54) n = mn c ( ) xtφn (xc ) ω + + jµ ωn + jω mn Esta xprssão fornc a rsposta na scção ond s ncontra aplicado o amortcimnto xtrno concntrado. O comportamnto m qualqur outra scção da viga é obtido substituindo o amortcimnto xtrno por uma força quivalnt, dsignada por força Pág. 68

72 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos quivalnt do amortcimnto xtrno. Esta surg como racção ao movimnto da viga d sntido oposto ao da vlocidad. A partir da dfinição d amortcimnto viscoso, a força dsnvolvida no amortcdor viscoso concntrado é dada por: R(x c,t) Pφ (x ) n p jωt = jωcxt (xc) φn (xc) (3.55) n= mn c ( ) xtφn (xc) + jµ ωn ω + jω mn A rsposta stacionária m qualqur scção pod agora sr dtrminada substituindo o amortcimnto xtrno na quação difrncial d movimnto pla força quivalnt R do amortcimnto. Após alguma manipulação algébrica obtém-s a xprssão sguint para a rsposta m dslocamnto v(x,t) ao longo da viga: v(x, t) Pφ (x ) + Rφ (x ) n p n c jωt = φn (x) (3.56) n = mn (( + jµ ) ωn ω ) Tndo como bas a xprssão da rsposta stacionária da viga m dslocamnto, podm dtrminar-s, igualmnt, os campos d vlocidad v& (x,t) d aclração & v&(x,t ). Ests são obtidos através da drivada do campo d dslocamnto v(x,t) m rlação à variávl tmpo. Assim, para o campo d vlocidads vm, v(x, t) v(x, & t) = = jωv(x, t) t Pφn (xp ) + Rφn (xc ) = jω φn (x) n= mn (( + jµ ) ωn ω ) Para o campo d aclraçõs obtém-s: jωt (3.57) & v&(x,t) v(x, t) = = ω v(x, t) t Pφ + φ = ω φ n (xp ) R n (xc ) n (x) n= mn (( + jµ ) ωn ω ) jωt (3.58) Em rlação aos campos d rotação d vlocidad d rotação da scção rcta da viga, sts são dados, rspctivamnt, pla drivada do campo d dslocamntos do campo d Pág. 69

73 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos vlocidads m rlação à variávl spacial x. Então, o campo d rotação θ z (x, t) da scção rcta val, v(x, t) θz (x, t) = x φ φ + φ = n (x) P n (xp ) R n (xc ) n= dx mn ( + jµ ) ωn ω ) o campo d vlocidad d rotação θ & z (x, t), jωt (3.59) θ& z (x,t) v(x, & t) = x φn (x) Pφn (xp ) + Rφn (xc) = jω x n= mn (( + jµ ) ωn ω ) jωt (3.6) Os sforços rcorrnts da dformação da viga, momnto flctor sforço d cort, podm agora sr calculados com bas na toria d Eulr-Brnoulli na toria da lasticidad. Assim, o momnto flctor é dado pla xprssão: v(x, t) Mz (x, t) = EI x d n (x) Pφn (x p ) + Rφn (xc ) EI φ = n= dx mn (( + jµ ) ωn ω ) o sforço d cort, jωt (3.6) 3 M(x, t) v(x, t) Qy (x,t) = = EI x 3 x 3 d n (x) Pφn (xp ) + Rφn (xc ) jωt EI 3 n= dx mn (( j ) n ) φ = + µ ω ω (3.6) ond EI rprsnta o factor d rigidz à flxão. D sguida vamos aplicar as xprssõs atrás stablcidas às configuraçõs d viga simplsmnt apoiada viga bi-ncastrada qu, como já foi rfrido, são as configuraçõs adoptadas na anális xprimntal. Pág. 7

74 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Viga simplsmnt apoiada Para a viga simplsmnt apoiada, cuja gomtria propridads já foram aprsntadas, dtrmina-s agora a rsposta a uma solicitação harmónica pontual com um amortcdor xtrno viscoso concntrado, conform s rprsnta na Fig y P cos(ωt) xp c xt x x c? l Fig.3. 7 Viga simplsmnt apoiada com uma carga harmónica pontual com amortcimnto xtrno localizado. As caractrísticas a localização da carga do amortcdor são as sguints: P= 3 N Frq.=5Hz µ=.5 c xt (x c ) = 5 Ns/m x p =.3 m x c =.9 m A rsposta stacionária da viga é obtida pla xprssão 3.56 por substituição das frquências formas naturais d vibração dtrminadas no studo da viga m rgim livr. Assim, a rsposta stacionária da viga é dada pla xprssão: nπ nπ Psin xp R sin xc n + jωt v(x, t) = π sin x ρa l l l n= l ( + jµ ) ωn ω (3.63) A força dsnvolvida no amortcdor é obtida a partir da xprssão 3.55 val: nπ nπ sin xc sin x p l l n= ( + jµ ) ωn ω R(xc, t) = jωcxtp nπ sin xc A ρ l + jωc l xt n = ( + jµ ) ωn ω jωt (3.64) Considrando os quinz primiros trmos da xprssão antrior, obtém-s o sguint rsultado para ( x,t) R R c : jωt ( x.9 m,t) = ( j) [ N] c = (3.65) Pág. 7

75 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Na Fig.3. 8 rprsnta-s, sob a forma d amplitud fas, part ral part imaginária, o campo d dslocamntos da viga considrando os quinz primiros modos naturais d vibração, sndo sta slcção justificada pla anális dos factors d participação modal qu s aprsnta d sguida. Campo d dslocamntos v(x) 3 x -4 x -4 Amplitud [m] Part Ral [m] - - Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [m] x -4 x [m] x [m] Fig Campo d dslocamntos da viga simplsmnt apoiada com uma carga harmónica pontual com amortcimnto xtrno localizado. A composição do campo d dslocamntos da viga rsulta da sobrposição dos vários modos naturais d vibração. Na Fig.3. 9 stão rprsntados os factors d participação dos primiros trinta dois modos naturais d vibração para o campo d dslocamntos. - Contribuição modal Númro do modo natural Fig.3. 9 Contribuição modal para o campo d dslocamntos. Pág. 7

76 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Nsta rprsntação da contribuição modal para a rsposta global do campo d dslocamntos vrifica-s qu são os primiros modos aquls qu maior contributo têm para a rsposta, qu a contribuição vai diminuindo d importância m função da ordm. Daqui pod concluir-s qu um númro rduzido d trmos é suficint para obtr uma boa aproximação do campo d dslocamntos. Porém, sta opração da scolha do númro d trmos dv sr ralizada com o máximo d cuidado, para qu o rro comtido sja acitávl ao liminar trmos d ordm suprior. Por isso, sta slcção dvrá sr ralizada com pondração tndo como rfrência a frquência d xcitação. Quanto ao campo d dslocamntos calculado, st aprsnta na sua amplitud uma configuração assimétrica como rsultado da contribuição da amplitud da fas dos difrnts modos considrados. Para o campo d vlocidads dfinido pla xprssão 3.57, após substituição das formas naturais obtém-s: nπ nπ Psin x p R sin xc n + ω π jωt v(x, t) j sin x l l & = (3.66) ρal n = l ( + jµ ) ωn ω Na Fig.3. pod obsrvar-s o campo d vlocidads na forma d amplitud fas, part ral part imaginária. Pág. 73

77 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos.6 Campo d vlocidads v& (x).4 Amplitud [m/s].4. Part Ral [m/s]. Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [m/s] x [m] x [m] Fig.3. - Campo d vlocidads da viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno. A xprssão do campo d rotação da scção rcta da viga rsulta da drivada spacial do campo d dslocamntos toma a forma: nπ nπ Psin xp R sin xc n n + π π jωt z (x,t) cos x l l θ = ρal n= l l ( + jµ ) ωn ω (3.67) Por sua vz, a vlocidad d rotação da scção rcta da viga é obtida por drivação m ordm ao tmpo do campo d rotação ou por drivação spacial do campo d vlocidads, sndo dada pla sguint xprssão: nπ Psin x nπ + R sin x p c ω nπ nπ jωt θ& z (x,t) j cos x l l = (3.68) ρal n= l l ( + jµ ) ωn ω Na dtrminação do campo d rotação vlocidad d rotação houv a ncssidad d utilizar no cálculo um númro d modos suprior m rlação ao utilizado no campo d dslocamntos. Com fito, a drivação spacial do campo d dslocamnto vlocidad, para obtnção, rspctivamnt, do campo d rotação d vlocidad d rotação da scção rcta, introduz um maior pso à contribuição dos modos naturais d ordm mais lvada. Nas Pág. 74

78 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos figuras Fig.3. Fig.3. podm obsrvar-s os campos d rotação d vlocidad d rotação da scção rcta, na forma d amplitud fas, part ral part imaginária..5 x -3 Campo d rotação θ Z (x) x -3 Amplitud [rad].5 Part Ral [rad] Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [rad] x -3 x [m] x [m] Fig.3. - Campo d rotação na viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno. Campo da vlocidad d rotação θ & Z (x).4. Amplitud [rad/s].3.. Part Ral [rad/s]. -. Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [rad/s] x [m] x [m] Fig.3. - Campo da vlocidad d rotação na viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno. Pág. 75

79 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos O movimnto oscilatório da viga origina os sforços intrnos momnto flctor sforço d cort. A partir das xprssõs , após a substituição das formas naturais para a viga simplsmnt apoiada, obtém-s para o momnto flctor: nπ nπ Psin xp R sin xc EI n n + π π jωt Mz (x,t) sin x l l = ρal n= l l ( + jµ ) ωn ω (3.69) para o sforço d cort: nπ nπ 3 Psin xp R sin xc EI n n + π π jωt Qy (x,t) cos x l l = ρal n= l l ( + jµ ) ωn ω (3.7) Nas duas figuras sguints, Fig.3. 3 Fig.3. 4, rprsnta-s o campo d momnto flctor d sforço d cort. Na squência do qu foi rfrido para a rotação vlocidad d rotação da scção rcta, como a dtrminação dos sforços rsulta da aplicação da sgunda da trcira drivada spacial do campo d dslocamntos, é ncssário utilizar no su cálculo um númro d modos suprior ao considrado para o campo d dslocamntos..8 Campo d momnto flctor M z (x).4 Amplitud [Nm].6.4. Part Ral [Nm]. -. Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [Nm] x [m] x [m] Fig Momnto flctor na viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno. Pág. 76

80 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos 3 Campo d sforço d cort Q y (x) Amplitud [N] Part Ral [N] - Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [N] x [m] x [m] Fig Esforço d cort na viga simplsmnt apoiada com uma carga pontual harmónica com amortcimnto xtrno. Na rprsntação do momnto flctor pod obsrvar-s qu os valors máximos ocorrm para as posiçõs da força d xcitação do amortcimnto xtrno. Na rprsntação do sforço d cort, como rsultado da drivada spacial do momnto flctor, a posição das forças d xcitação d amortcimnto manifsta-s com a prsnça d dscontinuidads na amplitud. A partir do modlo matmático stablcido podmos também rprsntar a rsposta sob a forma d função d rsposta m frquência. A título d xmplo, a função d mobilidad dircta dfinida no ponto d xcitação é dada pla xprssão: nπ R nπ + ω π ω = sin.3 sin.9 n P H& l l x,x ( ) j sin.3 (3.7) p p ρal ( + µ ) ω ω n= l j n Esta função d rsposta m frquência stá rprsntada na Fig.3. 5 para a banda d frquências ntr 8 Hz, ond s pod obsrvar, igualmnt, a influência do amortcimnto xtrno. Na banda d frquência considrada obsrva-s qu a prsnça d amortcimnto xtrno provoca uma diminuição da amplitud nas rssonâncias um aumnto nas anti-rssonâncias. Pág. 77

81 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Amplitud [db] ª ª 3ª 4ª 5ª 6ª H & Sm amortcimnto xtrno x, p x p H & Com amortcimnto xtrno x, p x p 9ª 7ª 8ª Frquência [Hz] Fig Amplitud da função mobilidad na viga simplsmnt apoiada (valor d rfrência: m/s) Viga bi-ncastrada Nst studo da viga bi-ncastrada vai procdr-s d modo análogo ao antrior. A viga é submtida a uma solicitação harmónica pontual a um amortcimnto xtrno localizado conform s rprsnta na Fig y Pcosωt xp xc l x Fig Rprsntação da viga bi-ncastrada submtida a uma carga harmónica pontual com amortcimnto xtrno localizado. As caractrísticas da xcitação d amortcimnto são as sguints: P=3 N Frq.=5Hz µ=.5 C xt (x c )=6 Ns/m x P =.36 m x c =.7 m Nst caso, dvido à maior complxidad algébrica das funçõs caractrísticas das formas naturais d vibração, aprsntam-s somnt os rsultados. Assim, a partir das rlaçõs antriormnt dfinidas utilizando os primiros modos naturais d vibração da viga bi-ncastrada, obtêm-s os campos d dslocamnto d rotação da scção rcta, assim como os campos d momnto flctor d sforço d cort qu s rprsntam nas figuras sguints, rspctivamnt Fig.3. 7, Fig.3. 8, Fig.3. 9 Fig.3.. Pág. 78

82 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Campo d dslocamntos v(x) 3 x -4 5 x -5 Amplitud [m] Part Ral [m] x [m] x -4 x [m] Fas [º] x [m] Part Imaginária [m] x [m] Fig Campo d dslocamntos na viga bi-ncastrada com uma carga pontual harmónica amortcdor xtrno. Campo d rotação θ z (x) 8 x -4 x -3 Amplitud [rad] 6 4 Part Ral [rad] Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [rad] x -3 x [m] x [m] Fig Campo d rotação na viga bi-ncastrada com uma carga pontual harmónica amortcdor xtrno. Rfira-s qu qur o dslocamnto qur a rotação são nulos nas xtrmidads ncastradas. Pág. 79

83 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos.8 Campo d momnto flctor M z (x).4 Amplitud [Nm].6.4. Part Ral [Nm]. -. Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [Nm] x [m] x [m] Fig Campo do momnto flctor na viga bi-ncastrada com carga pontual harmónica amortcdor xtrno. Para a distribuição do momnto flctor vrifica-s qu os valors máximos ocorrm no ncastramnto. Na rprsntação da componnt ral do campo d momnto flctor pod obsrvar-s qu, nas posiçõs da força d xcitação do amortcdor, aprsnta, rspctivamnt, um valor mínimo um valor máximo. 3 Campo d sforço d cort Q y (x) Amplitud [N] Part Ral [N] - Fas [º] x [m] x [m] Part Imaginária [N] x [m] x [m] Fig.3. - Campo d sforço d cort na viga bi-ncastrada com carga harmónica pontual amortcdor xtrno. Pág. 8

84 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Na distribuição do sforço d cort, Fig.3., surgm dscontinuidads dvidas à prsnça da força d xcitação da força d amortcimnto. Porém, na rprsntação da componnt imaginária do sforço d cort, a força d xcitação não é idntificada plo facto d, nsta anális, s considrar a força d xcitação como rfrência d fas. 3.3 Vibração latral d placas O studo das placas é basado na toria d Kirchhoff para placas finas. A abordagm ao studo da dinâmica d placas é similar à qu foi sguida nas vigas. Porém, a anális d placas aprsnta uma sgunda dimnsão spacial. Aprsnta-s a sguir o caso gnérico da vibração latral d uma placa submtida a uma carga dinâmica f(x,y,t) ao longo do su plano. f(x,y,t) z y h x Fig.3. - Rprsntação d uma placa sujita a uma carga gnérica transvrsal variávl no tmpo. Os sforços prsnts no plano médio d um lmnto infinitsimal d placa stão rprsntados na figura sguint: z y x M y M x Q M M f(x,y,t ) ) M dx Q x M x + y Q dy y Q y + dy y dy Q x M M Q + x x xy y dx M + y M yx xy M y + dx x dy M + x yx dx Fig.3. - Rprsntação dos sforços no plano médio dum lmnto infinitsimal d placa. Pág. 8

85 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos 3.3. Equação difrncial do movimnto A partir do quilíbrio dos sforços no lmnto infinitsimal d placa, aplicada a toria d Kirchhoff, obtém-s a quação difrncial d movimnto não amortcido para uma placa homogéna qu s scrv [6, 6, 8]: 4 w(x, y,t) D w(x, y,t) + ρh = f (x, y,t) (3.7) t ond w w w + + w(x, y,t) w =, ρ rprsnta a massa spcífica, 4 4 x x y y t aclração transvrsal da placa D é o factor d rigidz à flxão da placa dfinido como: é a 3 Eh = (3.73) ( ν ) D sndo E o módulo d Young ν o coficint d Poisson do matrial da placa. Sgu-s a discussão da solução gral da quação difrncial 3.7 para uma placa simplsmnt apoiada m rgim livr Vibração m rgim livr No caso da vibração m rgim livr, a força xtrna é nula, isto é, f(x,y,t)=, a quação difrncial rduz-s à sguint xprssão: ( x, y,t) 4 w D w( x, y,t) + ρh = (3.74) dt A discussão da solução gral da quação difrncial 3.74 passa por admitir qu o movimnto vibratório ( x, y, t) solução para ( x, y, t) w é síncrono, o qu m trmos matmáticos significa qu a w pod xprimir-s sob a forma do produto d duas funçõs indpndnts, rspctivamnt do spaço do tmpo, ( x, y,t) W( x, y) g( t) w = (3.75) A introdução dsta solução na quação difrncial 3.74 conduz ao dsdobramnto dsta m duas quaçõs difrnciais contndo as variávis spaciais a variávl tmpo [6]. A solução gral para a função ( x, y) W scrv-s [8]: Pág. 8

86 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos W(x, y) = A sin( αx)sin( γy) + A + A + A 4 7 cos( αx) cos( γy) + A cosh( α x)sinh( γ sin( αx) cos( γy) + A 5 y) + A sinh( α 8 x)sinh( γ cosh( α 3 y) + A x) cosh( γ cos( αx)sin( γy) 6 y) sinh( α x) cosh( γ y) (3.76) m qu os parâmtros α, α, γ γ vrificam a sguint rlação: ω D α + γ = α + γ = β = (3.77) ρh O procdimnto d dtrminação das constants A, K, 8 dos parâmtros α γ é totalmnt análogo ao aprsntado para as vigas, passa pla rsolução d um problma d valors caractrísticos funçõs caractrísticas após introdução das condiçõs d frontira do problma. D sguida, aprsnta-s a aplicação para uma placa fina m aço, simplsmnt apoiada m todos os bordos, cujas propridads gométricas matriais stão indicadas na Fig y h z b a x a= 3 m b=.7 m h=. m ρ= 785 kg/m 3 E=.x Pa ν=.3 Fig Rprsntação da placa simplsmnt apoiada. Nst caso, as oito condiçõs d frontira são as sguints: () W (x,) = () W (, y) = (3) W (x,b) = (3.78) W(x, y) (4) W (a, y) = (5) = x x= W(x, y) (7) = x y= W(x, y) (6) = x x= a W(x, y) (8) = y y= b (3.79) (3.8) Após a introdução dstas condiçõs d frontira alguma manipulação algébrica [6] obtém-s a quação caractrística [8]: A sin( α a)sin( γ b) = (3.8) Pág. 83

87 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos A quação antrior admit um conjunto d raízs para α γ, corrspondndo às duas dircçõs ortogonais x y, do tipo: nπ α n = a n =,,3,... (3.8) mπ γ m = b m =,,3,... (3.83) Tndo m conta a rlação 3.77, o conjunto infinito d raízs para α γ conduz às sguints frquências naturais d vibração da placa simplsmnt apoiada: n π m π Da b ω n,m = + a b M n,m =,,3... (3.84) ond M=ρhab rprsnta a massa da placa. As formas naturais d vibração ( x, y) φ rsultam da substituição das raízs para α γ na xprssão 3.76 são dadas pla xprssão [6]: nπ mπ φn,m (x, y) = A n,m sin x sin y n,m =,,3,... (3.85) a b A constant d normalização A n,m das formas naturais d vibração pod sr dtrminada impondo massas modais unitárias, m =, dfinidas pla xprssão: a b n, m m n,m = φn,m (x, y)hρφn,m (x, y)dxdy = n,m =,,3,... (3.86) A rsolução da quação antrior conduz ao valor da constant A n,m qu é idêntica para todos os modos, A = A, qu val: n, m A = (3.87) M Para a placa m studo, as quatro primiras frquências naturais possum os valors aprsntados na Tabla 3.5. Pág. 84

88 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Tabla 3.5 Frquências naturais da placa simplsmnt apoiada. ω, ω, ω, ω, [rad/s] [Hz] Na Fig.3. 4 rprsntam-s as corrspondnts formas naturais d vibração. A primira forma natural d vibração φ, não aprsnta qualqur linha nodal o dslocamnto latral máximo vrifica-s no cntro da placa. Em rlação à forma natural d vibração d φ,, sta aprsnta uma linha nodal situada prpndicularmnt a mio da maior dimnsão da placa, nquanto qu a forma natural φ, aprsnta igualmnt uma linha modal situada a mio mas normal à mnor dimnsão da placa. A forma natural d vibração φ, aprsnta duas linhas modais sgundo as mdiatrizs da placa. Fig.3. 4 Rprsntação d quatro das formas naturais d vibração da placa simplsmnt apoiada. Em sínts, as formas naturais d vibração volum d complxidad d acordo com o númro d ordm nxm, aprsntando (m-xn-) linhas nodais igualmnt spaçadas prpndiculars a cada um dos ixos. Pág. 85

89 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Rgim harmónico forçado Em situação d rgim forçado harmónico a quação difrncial do movimnto aprsnta o sgundo mmbro não nulo é do tipo, 4 w(x, y,t) jωt D w(x, y,t) + ρh = F(x, y) (3.88) t ond ω é a frquência da xcitação ( x, y) F a amplitud. À smlhança do procdimnto xposto para as vigas rcorrndo ao torma da xpansão, basado nas propridads d ortogonalidad das funçõs caractrísticas das formas naturais d vibração [6], a rsposta ( x, y, t) w da placa a uma solicitação stacionária do tipo harmónico é rprsntada por uma combinação linar das formas naturais d vibração scrv-s: w(x, y, t) = φ n,m (x, y) ηn, m (t) n = m= ond as coordnadas naturais ( t) (3.89) η n,m rprsntam a participação das difrnts formas modais para a rsposta do sistma são dadas pla solução d um conjunto d quaçõs difrnciais ordinárias na bas modal ou natural. Para uma solicitação harmónica pontual aplicada nas coordnadas x = xp y = yp d jω t jωt amplitud P, F( x, y ) = P xprssão: p p jωt ( x, y ) n, m, a rsposta m coordnadas modais é dada pla η n,m (t) = Pφn,m p p n,m =,,3,... (3.9) ( ω ω ) jωt ond ( ) Pφ n,m xp, yp rprsnta a projcção da carga nas coordnadas modais. Após introdução das soluçõs 3.9 na xprssão da rsposta 3.89, a rsposta stacionária da placa não amortcida submtida a uma solicitação harmónica pontual é dada pla xprssão: Pφn,m (xp, yp ) jωt w(x, y,t) = φn,m (x, y) (3.9) n= m= ( ω n, m ω ) Pág. 86

90 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos A solução é análoga àqula qu foi obtida para as vigas, m qu as formas naturais d vibração ( x, y) φ n,m vêm multiplicadas plo rspctivo factor d participação modal, dfinido na quação 3.9 plo trmo ntr parêntsis rctos. O amortcimnto intrno do tipo histrético pod sr incorporado através do módulo d lasticidad complxo [7]. Nst caso, a xprssão 3.9 da rsposta rscrv-s na forma: w(x, y, t) Pφn,m (xp, yp ) jωt n,m (x, y) n= m= n, m ( j ) φ ω + µ ω = (3.9) ond µ rprsnta o factor d amortcimnto histrético. Rlativamnt ao amortcimnto xtrno localizado do tipo viscoso, st pod sr introduzido através d uma força d amortcimnto quivalnt, à smlhança da mtodologia sguida para as vigas. Assim, a força d racção produzida plo amortcdor viscoso posicionado nas coordnadas R(t) x = xc y = yc vm dfinida da sguint forma: = Cxt w(x & c, yc, t) = jωcxt w(xc, yc, t) (3.93) ond C xt rprsnta a constant d amortcimnto viscoso w(xc, yc,t) a rsposta do sistma no ponto d aplicação do amortcdor qu val: Pφ(x p, yp ) jωt w(xc, yc,t) = φn,m (xc, yc ) (3.94) n= m= ω n, m ( + jµ ) ω + jωc xt φ n, m (xc, yc ) Dst modo, a rsposta stacionária harmónica do sistma dada pla xprssão 3.9 rscrv-s na forma: w(x, y, t) Pφn,m (xp, yp ) + Rφn,m (xc, yc ) jωt = φn,m (x, y) (3.95) n= m= ω n, m ( + jµ ) ω ond P rprsnta a amplitud da carga harmónica pontual R a força ractiva quivalnt do amortcdor viscoso xtrno concntrado. Para concrtizar o studo atrás xposto da rsposta d uma placa a uma solicitação harmónica localizada, rtoma-s o caso da placa rctangular simplsmnt apoiada, introduzindo um amortcimnto intrno do tipo histrético um amortcimnto xtrno localizado do tipo viscoso. Pág. 87

91 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Placa rctangular simplsmnt apoiada Na Fig.3. 5 sguint rprsnta-s a placa rctangular simplsmnt apoiada à qual são aplicados uma força harmónica xtrior um amortcdor viscoso com as rspctivas caractrísticas. y x c C xt z x p Fcos(ωt) y c y p a= 3m b=.7 m h=. m E=.x Pa ρ=785kg/m 3 ν=.3 µ=.5 F=N C xt = Ns/m Frq.=5Hz x p =.6m y p =.4m x c =.m y c =.m Fig Placa simplsmnt apoiada submtida a uma xcitação harmónica com amortcimnto xtrno. Ao substituir na xprssão 3.95 por um númro finito N d frquências formas naturais d vibração da placa, prviamnt dtrminadas, obtém-s a xprssão da rsposta stacionária da placa: w(x, y, t) nπ mπ nπ mπ Psin x sin y R sin x sin y N N n m p p + c c a b a b π π sin x sin y (3.96) = cos( ωt) a b n= m= Dab n m π π Mω + ( jµ ) 4 a b 4 sndo a força d racção R produzida no amortcdor dada plas xprssõs Após as rspctivas substituiçõs, sta força R val: x N N R(t) = jωpcxt n= m = Dab n π 4 a nπ mπ nπ mπ sin xc sin yc sin x p sin yp a b a b (3.97) cos( ωt) m π Mω nπ mπ + ( + jµ ) + jcxt sin xc sin y c b 4 a b Com as caractrísticas aprsntadas na Fig.3. 5, o cálculo com bas numa matriz d x modos naturais d vibração rsulta no campo d dslocamntos qu s rprsnta na Fig.3. 6 na forma d amplitud fas, componnt ral imaginária. Mais adiant Pág. 88

92 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos comntar-s-á a influência do númro d modos considrados na prcisão da rsposta. Para a força dsnvolvida no amortcdor obtém-s: R(t) ( i ) cos( ωt) [ N] = (3.98) Fig.3. 6 Rprsntação do campo d dslocamnto d uma placa simplsmnt apoiada, submtida a uma carga harmónica a amortcimnto xtrno. A variação do campo d dslocamntos w(x,y,t) sgundo as dircçõs y x conduz, na toria das placas finas, rspctivamnt aos campos d rotaçõs θ x (x,y,t) θ y (x,y,t) dados plas sguints xprssõs: N N w(x, y,t) mπ nπ mπ θx ( x, y, t) = = sin x cos y Ψn, m cos( ωt) y b a b n= m = N N w(x, y,t) nπ nπ mπ θy ( x, y, t) = = cos x sin y Ψn, m cos( ωt) x a a b n= m = (3.99) (3.) ond Ψ rprsnta o factor d participação modal dado pla xprssão: nπ mπ nπ mπ Psin xp sin yp + R sin xc sin yc a b a b Ψ n,m = (3.) Dab n m π π Mω + ( + jµ ) 4 a b 4 Pág. 89

93 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Nas figuras sguints, Fig.3. 7 Fig.3. 8, rprsntam-s, sob a forma d amplitud fas, part ral imaginária, os campos d rotação θ ( x, y) ( x, y) m anális. x θ y da placa rctangular Fig Rprsntação do campo d rotação θ x (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica com amortcimnto xtrno. Fig Rprsntação do campo d rotação θ y (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica com amortcimnto xtrno. Pág. 9

94 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Em rlação ao studo dos sforços intrnos a qu a placa stá sujita, ncssários para a dtrminação da intnsidad strutural, sts são obtidos pla drivada spacial do campo d dslocamntos, conform a toria d Kirchhoff para placas finas. Assim, para os campos d momntos flctors Mx(x,y,t) My(x,y,t) obtém-s: M M x y (x, y,t) D = = D (x, y,t) D = = D N w ( x, y,t) w( x, y,t) x N n = m= N w + ν mπ b y nπ + ν a ( x, y,t) w( x, y,t) y N n = m= + ν nπ a x mπ + ν b nπ mπ sin x sin y Ψ a b nπ mπ sin x sin y Ψ a b n,m n,m cosωt cosωt (3.) (3.3) Ests campos d momnto flctor stão rprsntados nas figuras Fig.3. 9 Fig Fig Rprsntação do campo d momnto flctor M x (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno. Pág. 9

95 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Fig Rprsntação do campo d momnto flctor M y (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno. Para o campo do momnto torsor M xy (x,y,t) a qu a placa stá sujita vm: M yx (x, y, t) = M xy (x, = D( ν) y, t) N n= m = = D N ( ν) ( x, y,t) w x y nπ mπ nπ mπ cos cos Ψ a b a b n,m cosωt (3.4) Na Fig.3. 3 rprsnta-s o momnto torsor na forma d amplitud fas, part ral part imaginária. Pág. 9

96 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Fig Rprsntação do campo d momnto torsor M xy (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno. xprssõs: Finalmnt, o campo d sforço d cort para as dircçõs x y da placa é dado plas 3 ( x, y, t) w( x, y,t) 3 w Q (x, y,t) D y = + 3 x x y (3.5) N N mπ n m n mπ D π π π = + sin x cos y Ψn,m cosωt b a b a b n= m = 3 w Q (x, y,t) D x = 3 y 3 ( x, y,t) w( x, y, t) + x y N N nπ n m n m D π π π π = + cos x sin y Ψn,m cosωt a a b a b n= m = (3.6) Para a placa m studo, o sforço d cort Q x (x,y,t) Qy(x,y,t) stá rprsntado, rspctivamnt, nas figuras Fig.3. 3 Fig Pág. 93

97 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos Fig Rprsntação do campo d sforço d cort Q x (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno. Fig Rprsntação do campo d sforço d cort Q y (x,y) na placa simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcimnto xtrno. Na rprsntação do campo d momntos flctors é possívl idntificar a localização da força d xcitação do amortcimnto xtrno. Porém, o campo do sforço d cort vidncia a prsnça d forças xtriors através d dscontinuidads na sua rprsntação. Assim, a localização da xcitação do amortcimnto xtrno torna-s mais vidnt na rprsntação do sforço d cort nas figuras Fig.3. 3 Fig.3. 33, rspctivamnt através das componnts ral imaginária. É aprsntado a sguir o studo da convrgência da solução global para a placa simplsmnt apoiada m função do númro d modos considrados no procsso d Pág. 94

98 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos sobrposição modal. Na Fig rprsntam-s os factors d participação modal, para o campo d dslocamnto transvrsal da placa, corrspondnts a 4 ([x]) modos naturais d vibração. Nsta rprsntação pod obsrvar-s qu, conform o xpctávl, o maior contributo corrspond aos modos cuja frquência stá mais próxima da frquência d xcitação ( f = 5 Hz). Contribuição modal para a rsposta m dslocamnto Participação modal -5-3 Frq. natural [Hz] Fig Rprsntação da contribuição modal para a rsposta global da placa simplsmnt apoiada. Em gral, o factor d participação modal diminui com o aumnto da frquência natural. Para o modo n= m=, d frquência igual a 498. Hz, o factor d participação modal stá na razão d /5 m rlação à maior contribuição qu corrspond ao modo n= m= d frquência igual a 44.9 Hz. Em consquência, para a dtrminação do campo d dslocamnto sria suficint a inclusão dos modos naturais d baixa frquência cujo spctro dv, no ntanto, ir além da frquência d xcitação. Quanto à convrgência do campo d sforço d cort vrifica-s uma maior uniformização na contribuição das formas naturais d vibração rlativamnt ao caso do campo d dslocamnto. Para comparação, para o modo n= m=, d frquência igual a 498. Hz, o factor d participação modal stá na razão d /45 m rlação à maior contribuição qu corrspond ao modo n= m= d frquência igual a 44.9 Hz. Assim, vrifica-s qu para o sforço d cort a contribuição dos modos d ordm mais lvada é ainda rlvant a sua dtrminação rqur a inclusão d um maior númro d modos. Em consquência, as sucssivas drivadas spaciais do campo d dslocamnto ralçam a contribuição dos modos d frquência mais lvada. Por isso, o númro d modos a considrar na rprsntação das sucssivas drivadas spaciais do campo d dslocamntos dv sr progrssivamnt suprior. Nst contxto, o sforço d cort é a situação mais Pág. 95

99 Capítulo 3 Estudo da Rsposta Dinâmica m Sistmas Contínuos dsfavorávl, pois corrspond à trcira drivada spacial do campo d dslocamntos. Est aspcto assum uma importância crucial no âmbito da dtrminação dos sforços dinâmicos intrnos da intnsidad strutural. Contribuição modal para o campo do sforço d cort Participação modal -5-3 Frq. natural [Hz] Fig Rprsntação da participação modal do sforço d cort Q y (x,y) da placa simplsmnt apoiada. Pág. 96

100 CAPÍTULO 4 Intnsidad Estrutural

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102 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural 4. Introdução A nrgia d vibração tm sido, dsd há longo tmpo, motivo d studo na anális dinâmica das struturas, tndo surgido o concito d intnsidad strutural para caractrizar o fluxo d potência numa strutura m vibração. O su conhcimnto rvla-s d grand importância para a rdução do nívl d vibração nas struturas [,3]. Os primiros rsultados rmontam ao final da década d 6, com a aprsntação dos primiros studos tóricos sobr a intnsidad strutural m vigas placas. Ests surgiram na squência d studos antriors sobr a intnsidad acústica. No ntanto, vrificavam-s grands dificuldads na sua mdição xprimntal, dvido às limitaçõs do quipamnto d mdição, o qu conduzia a soluçõs complxas d difícil implmntação. Só no início da década d 8 é qu surgiram os primiros rsultados xprimntais sobr o fluxo d potência m vigas placas [6]. Dsd ntão, tm-s assistido a uma prmannt volução ao nívl da xprimntação, impulsionada plas novas técnicas d mdição sm contacto, como são os casos da vibromtria lasr para a mdição pontual da holografia digital para as mdiçõs d campo. Est capítulo tm por objctivo introduzir os concitos rlacionados com a intnsidad strutural, a partir dos quais é aprsntado o dsnvolvimnto da formulação analítica para a intnsidad strutural m vigas d Eulr-Brnoulli placas d Kirchhoff. O cálculo da intnsidad strutural do su divrgnt é aprsntado concrtizado rtomando os casos da viga da placa aprsntados no capítulo antrior. Esta anális culmina com um studo da influência d alguns parâmtros intrvnints no cálculo da intnsidad strutural. 4. Intnsidad strutural A intnsidad strutural é uma quantidad vctorial qu rprsnta a distribuição do fluxo d potência transfrida ntr a font o absorsor através d um mio condutor. No caso das struturas, o fluxo d potência ocorr por propagação d ondas lásticas. A intnsidad strutural instantâna é uma quantidad vctorial dpndnt do tmpo, usada para idntificar o fluxo d potência numa strutura, através da sua dircção, do su sntido da sua intnsidad. O vctor da intnsidad strutural instantâna dfin-s plo produto ntr o tnsor das tnsõs o vctor vlocidad d acordo com a xprssão [5, ]: Pág. 99

103 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural i (t) = τ (t)v& (t) com i,j=x,y,z [W/m ]=[N/m ].[m/s] (4.) i i,j j Na Fig.4. pod obsrvar-s, para um lmnto infinitsimal d matrial isotrópico lástico, as componnts do tnsor, do vctor vlocidad do vctor da intnsidad strutural, as quais, d acordo com a xprssão 4., stão orintadas no sntido positivo. z σzz z v& z z iz τzx τ xz τzy τyz σ yy v & y iy x σ xx τxy τyx z y x v& x y x ix y Fig.4. - Rprsntação das componnts da tnsão, vlocidad intnsidad strutural para um lmnto infinitsimal. Em rgim stacionário para a solicitação harmónica d frquência ω, o tnsor o vctor vlocidad vêm dfinidos da sguint forma: τ t) = σ cos( ωt ϕ) (4.) i,j( i, j v& (t) = V & cos( ωt γ) (4.3) j j ond σ i,j rprsnta o módulo das componnts do tnsor do vctor vlocidad. Pág. V & j é o módulo das componnts Assim, a intnsidad strutural instantâna para uma solicitação stacionária harmónica d frquência ω é dfinida como: i (t) = σ i i,j ond s considra θ=ϕ γ. σ V& i,j j σ V& i,j j cos( ωt ϕ).v& j cos( ωt γ) = cos( θ) cos(ωt + θ) (4.4) A intnsidad strutural instantâna vm dfinida pla contribuição d um trmo médio σ,j V & i j σ,j V & i j cos( θ), ao qual s adiciona um trmo sinusoidal cos(ωt + θ), cuja frquência é o dobro da frquência d xcitação. Na Fig.4. pod analisar-s o contributo d cada trmo para o cálculo da intnsidad strutural, m qu o ângulo d fas utilizado ntr o tnsor a vlocidad é d θ=.

104 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural & σ i, j V j Intnsidad strutural instantâna σ V& σ V& i,j j σ V& i,j j i, j j i imédio = ii (t) = cos(ωt) σ i, j V j σ, & i jv & j 3σ V& i, j j π / ω 4π / ω t [s] Fig.4. - Rprsntação da intnsidad strutural instantâna ao longo d dois ciclos d vibração. A intnsidad strutural média (no tmpo), rprsnta o valor médio da potência transmitida ao longo d um ciclo d vibração por unidad d ára da strutura. Esta é dfinida plo intgral da intnsidad strutural instantâna ao longo d um ciclo d vibração a dividir plo príodo d tmpo: I i = T T i (t)dt = i ω π π ω σi,jv& j cos( θ)dt ω π π ω σi,jv& j cos(ωt + θ) dt (4.5) Da quação antrior rsulta qu a sgunda parcla é nula. Dst modo, a intnsidad média vm dfinida da sguint forma: I i σ V& i,j j = cos( θ) (4.6) A intnsidad strutural média é uma função indpndnt do tmpo. Como tal pod sr rlacionada dirctamnt com o fluxo d nrgia. A intnsidad strutural média rprsnta o fluxo d potência média por unidad d ára. O fluxo d nrgia é, pois, o produto da intnsidad strutural média pla ára A da scção durant o intrvalo d tmpo t: Ε = I i A t (4.7) i O divrgnt da função intnsidad strutural prmit idntificar a localização das fonts absorsors d nrgia através dos máximos dos mínimos da função, Pág.

105 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural rspctivamnt. Gnricamnt, o divrgnt da intnsidad strutural é dfinido pla sguint xprssão: r r I r Iy r I divi I x r = = i + j + z k (4.8) x y z 4.. Intnsidad strutural m notação complxa Uma outra forma d abordar o studo da intnsidad strutural é através da sua rprsntação no domínio da frquência rcorrndo à notação complxa. A partir da dfinição d intnsidad strutural média aplicando a forma fasorial d amplitud fas, obtém-s: ~ jϕ j Π ~ i ( ω) = σi, j( ω) V( & φ ω) = σ ( )v ~ * i, j ω & ( ) j ω (4.9) ond o símbolo ~ dsigna uma quantidad complxa, nquanto qu o símbolo * rprsnta o complxo conjugado. A intnsidad complxa pod xprimir-s plas suas componnts ral imaginária: ~ Π i ( ω) = Ii ( ω) + jji ( ω) (4.) A part ral I i (ω) rprsnta o fluxo d potência activa por unidad d ára, a qual é dsignada por intnsidad activa. Por sua vz, a part imaginária J i (ω) rprsnta a potência ractiva por unidad d ára é dsignada d intnsidad ractiva. A intnsidad activa rprsnta a potência média absorvida plo sistma. Graficamnt, pod sr rprsntada na forma d um mapa d vctors. Por sua vz, a intnsidad ractiva não tm mrcido idêntica atnção por part dos invstigadors, talvz dvido ao facto d ainda não havr rsultados conclusivos sobr o su significado físico [8,], conform já foi rfrido. No ntanto, plo studo aprsntado no capítulo, sta pod sr xplicada como rsultado do dsquilíbrio nrgético xistnt ntr a nrgia lástica a nrgia cinética. Por st facto, a intnsidad ractiva rprsnta a potência qu circula ntr a strutura a font, não sndo consumida plo movimnto vibratório. Conform já foi rfrido, a intnsidad activa é a componnt ral da intnsidad strutural média dfinida na xprssão 4., nquanto qu a intnsidad ractiva é a componnt imaginária, sndo ambas grandzas vctoriais, Pág.

106 [ ~ )v ~ * σ ( ω ( ω) ] Capítulo 4 Intnsidad Estrutural Ii ( ω ) = R & i, j j (4.) [ )v ~ * σ ( ω ( ω) ] J ( ) Im ~ i ω = & i,j j (4.) Fisicamnt, a intnsidad activa caractriza o fluxo d potência. Por rcurso à intnsidad ractiva vamos introduzir um parâmtro caractrístico na dinâmica d struturas qu vamos dsignar por factor d potência, à smlhança do qu foi xposto para os sistmas léctricos para o sistma mcânico com um grau d librdad aprsntados no capítulo. O factor d potência rprsnta a ficiência do sistma na transmissão d potência m rlação à potência forncida pla font dfin-s como: F Potência Ii ( ω) = cos( φ) = (4.3) I ( ω) + J ( ω) i i A ficiência do sistma é máxima para um factor d potência igual a um. Após a aprsntação dos concitos rlacionados com a intnsidad strutural, vamos m sguida concrtizar a sua aplicação à formulação da intnsidad strutural m vigas placas finas. 4.3 Intnsidad strutural m vigas No caso das vigas, qu são struturas unidimnsionais, considra-s uma única dircção d propagação d nrgia, a dircção axial. A formulação aprsntada rfr-s unicamnt às vigas finas, cujo comportamnto assnta na toria d Eulr-Brnoulli, submtidas a uma solicitação stacionária d frquência ω. A partir da dfinição da intnsidad strutural, vrificamos sr ncssário conhcr a distribuição das tnsõs da vlocidad m cada scção rcta ao longo da viga. Quando submtida a um movimnto transvrsal, surgm na scção rcta da viga tnsõs normais d cort, rprsntadas na Fig Pág. 3

107 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural y y σ xx τ yz l x l a) b) Fig Rprsntação do campo d tnsõs na scção transvrsal d uma viga: a) normais; b) cort. Porém, o cálculo do fluxo d potência é simplificado s, na xprssão da intnsidad strutural substituirmos as tnsõs normais d cort plos sforços corrspondnts, rspctivamnt momnto flctor sforço d cort. Esta simplificação advém do facto dos sforços rsultarm da intgração das tnsõs ao longo da scção transvrsal. Ora, como a intnsidad strutural é o fluxo d potência por unidad d scção, sta intgração torna-a indpndnt da scção transvrsal, plo qu obtmos d forma dircta o fluxo d potência. A partir da toria da lasticidad obtmos as sguints rlaçõs para o momnto flctor o sforço d cort: x M ~ (x) σ ~ (x) yda (4.4) z = A xx Q ~ τ y (x) ~ yz (x) da (4.5) = A ~ Ao momnto flctor stá associada a vlocidad d rotação da scção rcta, θ & (x), nquanto qu ao sforço d cort stá associada à vlocidad d dslocamnto transvrsal v~& (x), qu, m rgim harmónico, podm scrvr-s na forma: ~ ~ θ & (x) = jω (x) v~ & (x) = jωv~ (x ) (4.6) z θ z ~ ond θ (x) é a rotação da scção rcta da viga v~ (x) o dslocamnto transvrsal. z D acordo com a convnção adoptada, os sforços são considrados positivos quando produzm tnsõs d comprssão acima da linha nutra. A intnsidad strutural na viga é o rsultado da contribuição da intnsidad strutural produzida por cada um dos dois tipos d sforços, momnto flctor sforço d cort, aos z Pág. 4

108 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural quais stão associados, rspctivamnt, o movimnto d rotação d translação da scção rcta. Como rsultado obtém-s a sguint xprssão para a intnsidad strutural m vigas: (x) = M ~ ~ & (x) θ (x) Q ~ * z ~ (x)v ~ & (x) = M ~ (x) θ (x) + Q ~ * & * z z ~ * Π x z y y (x)v ~ & (x) (4.7) m qu v~* & ~ (x ) θ & *z (x) são, rspctivamnt, o complxo conjugado da vlocidad transvrsal o complxo conjugado da vlocidad d rotação da scção. No ntanto, para um movimnto harmónico d frquência ω, a intnsidad strutural pod também xprimir-s m trmos dos campos d dslocamnto transvrsal d rotação da scção rcta. Com fito, introduzindo m 4.7 as rlaçõs 4.6 obtém-s: ~ [ M ~ Q ~ * (x) θ (x) (x)v ~ (x)] ~ jω * Π x (x) = z z + y [W] (4.8) Como a intnsidad activa ractiva vêm dfinidas, rspctivamnt, pla componnt ral imaginária da intnsidad strutural, a intnsidad activa é dfinida pla sguint xprssão: ~ [ ( M ~ Q ~ * (x) (x) (x)v ~ * jω θ (x))] I x (x) = R z z + y [W] (4.9) a intnsidad ractiva por: J ~ [ ( M ~ Q ~ * (x) (x) (x)v ~ * ω θ (x))] (x) = Im j z z y [W] (4.) x + Mas como a multiplicação por j = corrspond a uma rotação d π/ no plano complxo, as xprssõs da intnsidad activa ractiva podm ainda scrvr-s como: ~ [ Q ~ * (x) (x)v ~ * (x) θ (x)] ω I (x) Im M ~ x = z z + y [W] (4.) J ~ [ M ~ Q ~ * (x) (x) (x)v ~ * θ (x)] ω (x) = R z z y [W] (4.) x + D acordo com as rlaçõs da lasticidad da toria d Eulr-Brnoulli das vigas, stablcidas no capítulo 3, os sforços M ~ z (x) Q ~ ~ y (x) a rotação θ (x) da scção podm xprimir-s a partir do dslocamnto transvrsal da scção rcta da viga. Assim, após a rspctiva substituição, podmos rscrvr as xprssõs da intnsidad strutural m função z Pág. 5

109 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural do campo d dslocamnto v~ (x) das suas drivadas spaciais, da frquência d vibração ω da rigidz à flxão da viga EI na sguint forma: ω v~ (x) dv ~ * 3 EI d (x) v~ (x) * I x (x) = Im v~ (x) (4.3) 3 dx dx x ω v~ (x) dv ~ * 3 EI d (x) d v~ (x) * J x (x) = R v~ (x) (4.4) 3 dx dx dx 4.4 Intnsidad strutural m placas As placas caractrizam-s, basicamnt, por aprsntarm uma das dimnsõs, a spssura, muito infrior m rlação às outras duas, sndo através dstas qu s vai propagar a nrgia d vibração. Conform rfrido no capítulo 3, o modlo d placa adoptado é o modlo d Kirchhoff, o qual não tm m linha d conta a distorção da scção após a dformação. No ntanto, é uma boa aproximação para placas qu aprsntam uma rlação infrior a / ntr a spssura a mnor das outras dimnsõs. A abordagm ao studo da intnsidad strutural m placas é, m tudo, similar ao studo antrior para as vigas. Contudo, nas placas dvr-s-á tr m conta qu o fluxo d potência ocorr nas duas dircçõs ortogonais x y do plano da placa. As tnsõs numa placa m flxão são d dois tipos, tnsõs normais tnsõs d cort. Na Fig.4. 4 stá rprsntada a distribuição das tnsõs nas scçõs d uma placa [, ]. Tnsõs normais z Tnsõs d cort z y y x Pág. 6 σ xx σ yy Fig Rprsntação das tnsõs normais tnsõs d cort num lmnto infinitsimal d placa. x A formulação do fluxo d potência é simplificada s for ralizada a partir dos sforços actuants m cada scção. Ests rlacionam-s com as tnsõs nas duas dircçõs ortogonais através da toria da lasticidad gnralizada, aprsntando-s a sguir as suas rlaçõs: τ xy τ xz τ yz τ yx

110 M ~ x σ ~ = A yy zda Capítulo 4 Intnsidad Estrutural M ~ y = xx zda A~ σ M xy M yx = ~ τ xyzda (4.5) = A Q ~ x ~ τ xzda = A Q ~ ~ τ y yzda (4.6) = A Na Fig.4. 5 stão rprsntados, para o plano médio da placa, os sforços os dslocamntos, os quais dvm sr adoptados como positivos. z θ x w θ y Q y y Q x M x M xy x M y M yx Fig Rprsntação dos sforços, dslocamntos rotaçõs no plano médio d uma placa. A intnsidad strutural na placa é o rsultado da contribuição dos vários sforços actuants. Ests são divididos sgundo cada uma das dircçõs x y conform a acção por ls produzida. Assim, para cada uma das dircçõs x y, a intnsidad strutural na placa vm dfinida por: ~ ~ [ M ~ * M ~ * (x, y) θ (x, y) + (x, y) θ (x, y) Q ~ (x, y)w ~ (x, y) ] ~ jω Π x (x, y) = y y xy y + x * (4.7) ~ ~ [ M ~ * M ~ * (x, y) θ (x, y) + (x, y) θ (x, y) Q ~ (x, y)w ~ (x, y) ] ~ jω Π y (x, y) = x x yx x + y * (4.8) A intnsidad activa é dada, por dfinição, pla componnt ral da intnsidad strutural para cada uma das dircçõs: ~ ~ [ M ~ Q ~ * M ~ * (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)w ~ * θ + θ (x, y) ] ω Ix (x, y) = Im y y xy y + x (4.9) ~ [ Q ~ * ~ M ~ * (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)w ~ * (x, y) θ + θ (x, y) ] ω I (x, y) Im M ~ y = x x yx x + y (4.3) Por outro lado, os vctors da intnsidad ractiva são obtidos a partir da componnt imaginária da intnsidad strutural, os quais vêm dfinidos por: J ~ ~ [ M ~ * M ~ * (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) Q ~ (x, y)w ~ * θ + θ (x, y) ] ω (x, y) = R y y xy y x (4.3) x + Pág. 7

111 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural J ~ * ~ [ M ~ * (x, y) (x, y) (x, y) Q ~ (x, y)w ~ * (x, y) θ + θ (x, y) ] ω (x, y) = R M ~ x x yx x y (4.3) y + D acordo com as rlaçõs stablcidas no capítulo 3, podmos dfinir os sforços através do campo d dslocamntos. Assim, dpois d fctuada a rspctiva substituição nos vctors da intnsidad activa sgundo x y, obtêm-s, rspctivamnt, as sguints xprssõs: ω w ~ w ~ w ~ * w ~ w ~ * D (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) Ix (x, y) = Im + ν ( ν) x dy dx x y y w ~ (x, y) w ~ (x, y) + w ~ 3 x x y * (x, y) (4.33) ωd w ~ (x, y) Iy (x, y) = Im y + ν w ~ w ~ * w ~ w ~ * (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) ( ν) x y x y x w ~ (x, y) w ~ (x, y) + w ~ 3 y x y * (x, y) (4.34) ond ν é o coficint d Poisson, D o factor d rigidz à flxão da placa ω a frquência d xcitação. Estas duas xprssõs podm sr aprsntadas numa forma mais concisa, utilizando o oprador nabla dfinido para duas dimnsõs x y, =,. x y Após a combinação rarranjo das componnts I x (x,y) I y (x,y), o vctor intnsidad activa pod scrvr-s: Pág. 8

112 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural I(I x, I y ωd ) = Im x ( ν) x ( ν) + + ( ν) x, x x x, y,, y y, y, w ~ x y x, w ~ x y, y w ~ (x, y), w ~ x y, w ~ (x, y) y * * w ~ (x, y) w ~ (x, y) (x, y) *, w ~ x y * (x, y) (x, y) * (x, y) (4.35) Introduzindo o oprador na xprssão antrior, o vctor ( x, y) vm ntão: I(x, y) J(x, y) I da intnsidad activa ( w ~ w ~ * ) y) (x, y) + ( w ~ (x, y))w ~ * (x, (x, y) ωd ν = w ~ w ~ * Im (x, y) (x, y) (4.36) Procssando d forma idêntica para a intnsidad ractiva J ( x, y) ωd = R ν w(x, y) w * (x, y), obtém-s para sta: ( w ~ (x, y) w ~ * (x, y) ) + ( w ~ (x, y))w ~ * (x, y) (4.37) Rfira-s qu, d acordo com as xprssõs ou , a intnsidad strutural xprim-s m função do campo d dslocamntos w ~ (x, y) das suas drivadas spaciais. 4.5 Cálculo da intnsidad strutural do divrgnt m vigas Dpois d aprsntada a formulação da intnsidad strutural, vamos nsta fas passar à sua dtrminação prática rtomando a anális da viga simplsmnt apoiada bi-ncastrada, da placa simplsmnt apoiada, aprsntadas no capítulo antrior. A anális qu s sgu tm por objctivo quantificar o fluxo d potência transmitida através da strutura, a partir dst, localizar a font o absorsor d nrgia. Em simultâno vai studar-s a influência dos divrsos parâmtros no cálculo da intnsidad strutural. Pág. 9

113 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural 4.5. Viga simplsmnt apoiada Na Fig.4. 6 aprsnta-s a configuração da viga simplsmnt apoiada, caractrizada no capítulo 3, com a indicação do posicionamnto da solicitação do amortcimnto xtrno sujita a uma carga harmónica. Pcos(ωt).3 m.9 m.6 m P= 3 N Frq.=5Hz C xt = 5 Ns/m Fig Esquma da viga simplsmnt apoiada com xcitação harmónica amortcdor xtrno. Para sta configuração d viga, a substituição m 4.3 do campo d dslocamntos das suas drivadas spaciais (até à trcira ordm) plas rspctivas xprssõs stablcidas no capítulo 3, conduz à sguint xprssão da intnsidad activa para uma viga simplsmnt apoiada: C xt I x (x) ωei Im ρal N nπ nπ sin x Γ l l ( + jµ ) ω ω N nπ nπ cos x Γ l l ( jµ ) ω ω nπ nπ cos x Γ l l ( + jµ ) ω ω = n= n n= n n= n n= N 3 N nπ sin x Γ l ( jµ ) ω ω n (4.38) ond nπ Γ = Psin x l p nπ + Rsin x l c (4.39) Na Fig.4. 7 pod obsrvar-s a rprsntação do fluxo d potência na viga simplsmnt apoiada, truncando a sobrposição modal aos, 6 primiros modos naturais d vibração. Graficamnt, vrifica-s sr ncssário um númro lvado d modos naturais d vibração para uma corrcta rprsntação do fluxo d potência. Pág.

114 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural Fluxo d Potência [W] Localização da xcitação do amortcdor modos 6 modos modos x [m] Fig Rprsntação do fluxo d potência da viga simplsmnt apoiada com a xcitação harmónica a.3 m com amortcimnto xtrno a.9 m. A distribuição obtida para o fluxo d potência mostra uma volução constant d valor igual a.45 W dsd o ponto d xcitação até ao amortcdor rvlando qu a nrgia forncida é basicamnt dissipada no amortcdor. Na formulação da intnsidad strutural, foi rfrido qu sta possui uma componnt dvido ao momnto flctor outra dvido ao sforço d cort. Na Fig.4. 8 pod obsrvar-s a contribuição d cada uma dstas duas componnts, utilizando os primiros modos. Conform s vrifica, o maior contributo é dado pla componnt do sforço d cort, corrspondndo a 68% do fluxo d potência total. Assim, vrifica-s, pois, qu na transmissão do fluxo d potência prdomina a contribuição do sforço d cort..4 Fluxo d Potência [W] x [m] Trmo d sforço d cort Trmo do momnto flctor sforço d cort Fig Rprsntação das contribuiçõs do momnto flctor do sforço d cort para o fluxo d potência. Na viga, o fluxo d potência propaga-s ao longo das scçõs, sgundo a dircção x. Assim, o divrgnt do fluxo d potência rsum-s à dircção x é dfinido pla sguint xprssão: Pág.

115 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural dix (x) dx 3 4 nπ nπ nπ nπ nπ nπ nπ nπ Γ Γ Γ Γ ω N cos x N sin x N sin x N cos x EI l l l l l l l l Im + ρal n= ( + jµ ) ωn ω n= ( + jµ ) ωn ω n= ( + jµ ) ωn ω n= ( + jµ ) ωn ω = (4.4) Na Fig.4. 9 pod obsrvar-s a distribuição do divrgnt do fluxo d potência, m cuja dtrminação foram utilizados os primiros modos. O máximo o mínimo corrspondm, rspctivamnt, à localização da font do amortcdor..3. Localização da xcitação do amortcdor Divrgnt x [m] Fig Rprsntação do divrgnt do fluxo d potência na viga simplsmnt apoiada. A rprsntação obtida para o divrgnt rvla claramnt a posição da font d xcitação do amortcdor na viga. Através da força d xcitação da vlocidad no ponto d xcitação pod quantificar-s a potência activa ractiva introduzida no sistma. Por dfinição, a potência total é calculada plo produto ntr os valors ficazs do complxo da força plo complxo conjugado da vlocidad: P( ).v ~ & * ω = P (x p ) [W] (4.4) A partir dsta xprssão aprsnta-s a sguir o rsultado do cálculo da potência activa introduzida no sistma. (.v ~ ) = R[ 3x( i) ].45W P Activa = R P & = (4.4) Vrifica-s qu st valor é idêntico ao valor do fluxo d potência obtido antriormnt na rgião da viga comprndida ntr a font d xcitação o amortcdor. A partir da msma xprssão 4.4 procdndo d forma análoga, a potência ractiva é igual a : Pág.

116 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural P Ractiva ( ) =.W = Im P.v ~ & (4.43) A ficiência do sistma mcânico é caractrizada plo factor d potência, cujo valor é obtido pla razão ntr a potência activa a potência total. F potência PActiva = cos( φ) = (4.44) P Total Nst caso, a ficiência do sistma é lvada, o qu significa qu toda a potência forncida pla font é conduzida até ao amortcdor ond é dissipada. A intnsidad strutural dpnd d vários parâmtros, os quais contribum para a sua caractrização global. Na anális fctuada a sguir prtnd caractrizar-s sparadamnt a influência d alguns dsts parâmtros. Est studo inicia-s com a caractrização da potência activa ractiva para a viga simplsmnt apoiada, na banda d anális d a 4 Hz. À smlhança do qu s vrificava para o sistma vibratório lmntar, aprsntado no capítulo, obsrvamos na Fig.4. qu a potência activa aprsnta um valor máximo nas frquências naturais, nquanto qu a potência ractiva aprsnta uma invrsão no sntido, qu passa d ngativo para positivo. Apsar da similaridad ntr as duas rprsntaçõs, a potência ractiva nm smpr toma o valor nulo para a frquência natural, como podmos vrificar na rprsntação da Fig Potência Activa Potência Ractiva FRF Xp,Xp Frquência [Hz] Fig.4. - Rprsntação da potência activa ractiva da FRF m função da frquência para a viga simplsmnt apoiada Pág. 3

117 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural Em rlação à influência da força aplicada, através da rprsntação na Fig.4. vrifica-s qu sta afcta d modo idêntico a potência activa a potência ractiva. Em ambos os casos vrifica-s um crscimnto proporcional m módulo, dond rsulta qu o factor d potência possui um valor constant próximo d um, como s obsrva Fig.4... Potência [W] Potência activa Potência ractiva Factor d potência Amplitud da força d xcitação [N] Fig.4. - Rprsntação da potência activa ractiva do factor d potência a partir da amplitud da força aplicada. Na continuação dsta anális xamina-s agora a influência do amortcimnto xtrno na potência activa na potência ractiva. Esta influência stá rprsntada na Fig.4. para difrnts valors do coficint d amortcimnto xtrno...8 Potência [W] Potência Activa Potência Ractiva Coficint d amortcimnto xtrno C [Ns/m] Fig.4. - Influência do amortcimnto xtrno na potência activa ractiva. A potência activa aprsnta um comportamnto crscnt até atingir um máximo, a partir do qual é dcrscnt. Esta volução dv-s à rlação ntr os sforços intrnos a amplitud d vlocidad. A potência ractiva volui d forma crscnt, porém a uma taxa variada cujo valor máximo ocorr para a situação d potência activa máxima. Nsta Pág. 4

118 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural rprsntação dstacam-s três situaçõs distintas. A primira rfr-s à potência ractiva nula qu s vrifica para um coficint d amortcimnto xtrno d 67 Ns/m. Nst caso, a ficiência do sistma é máxima, ou sja, o factor d potência é igual à unidad, o qu corrspond à dissipação na totalidad da potência forncida. A sgunda situação corrspond ao valor máximo da potência activa qu ocorr para um coficint d amortcimnto xtrno d 37 Ns/m. Por fim, tmos a trcira situação m qu as linhas da potência activa ractiva s intrsctam para um amortcimnto xtrno d 96 Ns/m, a qual corrspond a uma ficiência d 5 %. Na figura 4. rprsnta-s a distribuição ao longo da viga fluxo d potência activo para difrnts valors d amortcimnto xtrno.8 Intnsidad activa [W].6.4. C xt =5Ns/m C xt =5Ns/m C xt =5Ns/m C xt =35Ns/m x [m] Fig Rprsntação da distribuição do fluxo d potência activa ao longo da viga para difrnts valors d amortcimnto xtrno. Na Fig. 4.3 vrifica-s qu a distribuição do fluxo d potência sgu um valor constant ntr a font o amortcdor, valor st qu varia d acordo com a rprsntação da potência activa na Fig. 4.. Dst modo, constata-s qu, dos difrnts valors scolhidos para o amortcimnto xtrno, o valor d 5 Ns/m é aqul qu conduz à maior nrgia dissipada no amortcdor. Rfira-s qu o máximo ocorr para um amortcimnto d 37 Ns/m. Em rlação ao amortcimnto intrno qu introduz na viga uma dissipação d nrgia distribuída, a sua influência na intnsidad activa pod obsrvar-s na Fig.4. 4 para difrnts valors do factor d amortcimnto. Nsta rprsntação idntifica-s a localização da font d xcitação a dissipação distribuída da nrgia ao longo da viga a partir da font d xcitação. A dissipação aprsnta uma taxa ngativa qu aumnta com o valor do factor d amortcimnto intrno. Pág. 5

119 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural.. µ=.5 µ=.5 µ=. µ= Fluxo d Potência [W] x [m] Fig Rprsntação da intnsidad activa para difrnts valors do coficint d amortcimnto histrético. Na figura 4.5 rprsnta-s o fluxo d potência ao longo da viga combinando difrnts valors do amortcimnto intrno com um amortcimnto xtrno constant igual a C xt =5 Ns/m. Intnsidad activa [W] x [m] Fig Fluxo d potência para difrnts valors do coficint d amortcimnto intrno (coficint d amortcimnto xtrno viscoso C xt =5 Ns/m). A combinação do amortcimnto intrno com o amortcimnto xtrno prmit vrificar uma dissipação distribuída da potência introduzida um fluxo d potência activa dcrscnt ntr a font o amortcdor, cuja taxa d diminuição aumnta com o valor do coficint intrno d amortcimnto. Vrifica-s, igualmnt, qu, à mdida qu o coficint d amortcimnto intrno aumnta, st mcanismo d dissipação torna-s, praticamnt, no único mcanismo d dissipação da potência injctada. Pág. 6

120 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural 4.5. Viga bi-ncastrada Na Fig.4.6 rprsnta-s a viga bi-ncastrada caractrizada no capítulo antrior, para a qual são calculados a intnsidad strutural o rspctivo divrgnt m situação d rgim forçado harmónico. y P.cos( ω t) x p C xt x x c.6 m P=3 N Frq.=5Hz C xt =6 Ns/m x P =.36 m x C =.7 m Fig Rprsntação da viga bi-ncastrada m rgim forçado harmónico. Com bas na xprssão 4.3, utilizando, 6 modos naturais d vibração, obtém-s a distribuição do fluxo d potência ntr a font d xcitação o amortcdor qu s rprsnta na Fig O valor da potência activa é d.457 W, corrspondndo a uma ficiência do sistma próxima d %. O fluxo d potência ocorr ntr a font d xcitação o amortcdor com um valor praticamnt constant para o cálculo com modos naturais d vibração. O cálculo com um númro d modos infrior aprsnta oscilaçõs m torno do valor toricamnt constant igual a.457 W. Est aspcto indicia, também nst caso, a importância da contribuição do sforço d cort para o fluxo d potência. Fluxo d Potência [W] modos 6 modos modos x [m] Fig Fluxo d potência na viga bi-ncastrada: font a.36 m o amortcdor a.7 m. O divrgnt, qu nst caso dgnra na drivada do fluxo d potência m rlação à variávl spacial x, prmit idntificar d forma corrcta as posiçõs d ntrada saída da Pág. 7

121 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural potência activa, através d um máximo d um mínimo rspctivamnt, conform s pod obsrvar na Fig Divrgnt modos 6 modos modos x [m] Fig Rprsntação do divrgnt do fluxo d potência activa na viga bi-ncastrada: font d xcitação a.36 m o amortcdor a.7 m. O divrgnt aprsnta também uma distribuição mais próxima da toricamnt prvisívl considrando um númro lvado d modos naturais no su cálculo. Nst caso vrifica-s qu, à smlhança da viga simplsmnt apoiada, é também a componnt do sforço d cort aqula qu maior contributo aprsnta para a intnsidad strutural activa, corrspondndo a crca d 7% do fluxo d potência total, conform s obsrva na Fig Esforço d cort Momnto flctor Fluxo d potência [W] x [m] Fig.4. 9 Contribuição do sforço d cort do momnto flctor para o fluxo d potência. Pág. 8

122 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural Nst caso da viga bi-ncastrada, a influência do coficint d amortcimnto xtrno na potência activa ractiva dnota um comportamnto, Fig. 4., similar ao obtido na viga simplsmnt apoiada. Porém, a potência ractiva aprsnta uma volução dcrscnt, ao contrário do qu s vrificou na viga simplsmnt apoiada Potência Activa Potência Ractiva Potência [W] Coficint d amortcimnto xtrno C [Ns/m] Fig.4. - Rprsntação da potência activa ractiva na viga bi-ncastrada m função do amortcimnto xtrno. 4.6 Cálculo da intnsidad strutural do divrgnt m placas 4.6. Placa simplsmnt apoiada O cálculo do fluxo d potência do su divrgnt numa placa foi ralizado rtomando o studo da placa simplsmnt apoiada, aprsntada no capítulo 3, submtida a um rgim forçado harmónico conform s squmatiza na figura sguint. y x c C xt z x p Fcos(ωt) y c y p P=N C xt = Ns/m Frq.=5Hz x p =.6m y p =.4m x c =.m y c =.m Fig.4. Placa simplsmnt apoiada submtida a uma xcitação harmónica com amortcimnto xtrno. Para avaliar a influência da sobrposição modal na dtrminação da intnsidad strutural, rprsnta-s na Fig.4. o módulo do fluxo d potência calculado com as malhas x Pág. 9

123 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural d modos naturais x, 4x4, 8x8 x. O cálculo foi fctuado com bas nas xprssõs x 4x4 8x8 x Fig.4. Módulo do fluxo d potência para uma placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos: x, 4x4, 8x8 x. Analisando a rprsntação para as malhas considradas, vrifica-s qu o caminho tomado plo fluxo d potência ntr a font d xcitação o amortcdor comça a star dfinido a partir d um númro d modos naturais 4x4. No ntanto, a localização fctiva da font do amortcdor só surg para um númro d modos x. Quanto à potência activa forncida, sta convrg para o valor final d.59 W nquanto qu a ractiva convrg para o valor d W, conduzindo a uma ficiência do sistma muito baixa, sndo o factor d potência d.74. Isto significa qu só 7.4 % da nrgia forncida é dissipada pla strutura, sndo a rstant utilizada para mantr a placa m vibração. Na tabla 4. stão indicados os valors da potência activa, potência ractiva factor d potência para os 4 casos considrados. Pág.

124 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural Tabla 4.- Convrgência da potência activa, ractiva factor d potência com o númro d modos naturais da placa simplsmnt apoiada. Númro d modos Potência activa (W) Potência ractiva (W) Factor d potência x x x x A anális dsts rsultados rvla qu a potência activa convrg muito mais rapidamnt do qu a potência ractiva. Com fito, para um númro d modos d 4x4, o rro comtido m rlação ao rsultado d rfrência, para x modos, é d,5% para a potência activa 8% para a potência ractiva. O divrgnt da potência activa é usado para localizar a font o absorsor d nrgia através do su máximo do su mínimo. Nst caso, o cálculo do divrgnt é rduzido às duas dimnsõs x y, I r I r x y divi = i + j (4.45) x y Uma rprsntação vctorial da intnsidad strutural torna mais prcptívl a trajctória sguida plo fluxo d potência ntr a font o amortcdor. Nas figuras Fig.4. 3 a Fig.4. 6 aprsnta-s a rprsntação vctorial do fluxo d potência activa na placa o rspctivo divrgnt para os 4 casos considrados. Nstas, vrifica-s qu para um númro rduzido d modos, (x), já é visívl o sntido do fluxo d potência. Rlativamnt à localização da font do amortcdor, só comça a star dfinida para um númro d modos d 8x8, apsar d ainda não dfinirm a posição corrcta, o qu só s vrifica para um númro d modos d x. Rlativamnt ao prcurso do fluxo d potência, st raliza-s prfrncialmnt pla rgião infrior da placa só dpois é qu convrg para a posição do amortcdor. Pág.

125 Capítulo 4 Intnsidad Estrutural Fig Fluxo d potência divrgnt para a placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos x. Fig Fluxo d potência divrgnt para a placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos 4x4. Fig Fluxo d potência divrgnt para a placa simplsmnt apoiada com a xcitação a (.6m ;.4m) o amortcdor a (.m ;.m) para o númro d modos 8x8. Pág.