O Método dos Elementos Finitos Aplicado ao Problema de Condução de Calor

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENRO ECNOLÓGICO DEPARAMENO DE ENGENHARIA CIVIL NÚCLEO DE INSRUMENAÇÃO E COMPUAÇÃO APLICADA À ENGENHARIA O Método dos Elmntos Finitos Aplicado ao Problma d Condução d Calor Autor: Prof. Rmo Magalhãs d Souza, M.Sc., Ph.D Blém 05/2003

2 1. Introdução O Método dos Elmntos Finitos (MEF) consist m um método numérico aproximado para anális d divrsos fnômnos físicos qu ocorrm m mios contínuos, qu são dscritos através d quaçõs difrnciais parciais, com dtrminadas condiçõs d contorno (Problmas d Valor d Contorno), possivlmnt com condiçõs iniciais (para problmas variávis no tmpo). O MEF é bastant gnérico, pod sr aplicado na solução d inúmros problmas da ngnharia Idéia básica do Método dos Elmntos Finitos A idéia principal do Método dos Elmntos Finitos consist m s dividir o domínio (mio contínuo) do problma m sub-rgiõs d gomtria simpls (formato triangular, quadrilaral, cúbico, tc.), conform ilustra squmaticamnt a Figura 1.1. Esta idéia é bastant utilizada na ngnharia, ond usalmnt tnta-s rsolvr um problma complxo, subdividindo-o m uma séri d problmas mais simpls. Logo, trata-s d um procdimnto intuitivo para os ngnhiros. pontos nodais lmntos finitos contorno original Figura 1.1 Malha d Elmntos Finitos (para problma plano) 1

3 Dvido ao fato das sub-rgiõs aprsntarm dimnsõs finitas, stas sub-rgiõs são chamadas lmntos finitos, m contrast com os lmntos infinitsimais utilizados no cálculo difrncial intgral. Advém daí, o nom Método dos Elmntos Finitos, stablcido por Ray Clough, na década d 50. Os lmntos finitos utilizados na discrtização (subdivisão) do domínio do problma são conctados ntr si através d dtrminados pontos, dnominados nós ou pontos nodais, conform indica a Figura 1.1. Ao conjunto d lmntos finitos pontos nodais, dá-s, usualmnt o nom d malha d lmntos finitos. Divrsos tipos d lmntos finitos já foram dsnvolvidos. Ests aprsntam formas gométricas divrsas (por xmplo, triangular, quadrilatral, cúbico, tc) m função do tipo da dimnsão do problma (s uni, bi, ou tridimnsional). A Figura 1.2 aprsnta a gomtria d vários tipos d lmntos finitos. Elmnto d barra com dois nós Elmnto triangular com três nós Elmnto triangular com sis nós Elmnto ttraédrico com quatro nós Elmnto d barra com três nós Elmnto quadrilatral com quatro nós Elmnto quadrilatral com nov nós Elmnto hxaédrico com oito nós Figura 1.2 Difrnts tipos d lmntos finitos 2

4 A prcisão do método dpnd da quantidad d nós lmntos, do tamanho tipo dos lmntos prsnts na malha. Um dos aspctos mais importants do MEF diz rspito a sua convrgência. Embora trata-s d um método aproximado, pod-s dmonstrar qu m uma malha consistnt, a mdida qu o tamanho dos lmntos finitos tnd a zro, consqüntmnt, a quantidad d nós tnd a infinito, a solução obtida convrg para a solução xata do problma. Ou sja, quanto mnor for o tamanho maior for o númro d lmntos m uma dtrminada malha, mais prcisos srão os rsultados da anális Campos d aplicação O númro d áras d aplicação para o MEF tm crscido d forma considrávl rcntmnt. Dntr os inúmros campos d aplicação possívis, podm s citar: Indústria da Construção Civil; Indústria automobilística, naval, aronáutica arospacial; Mtalurgia; Minração; Exploração d ptrólo; Stor nrgético; lcomunicaçõs; Forças Armadas; Mio ambint; Rcursos Hídricos; Saúd. As primiras aplicaçõs do MEF foram m problmas d ngnharia strutural, mais spcificamtn, sobr anális d tnsõs. Nst tipo d problma, busca-s dtrminar as tnsõs, dformaçõs dslocamntos m um corpo sólido sujito a dtrminadas açõs tais como cargas (forças aplicadas) rcalqus (dslocamntos impostos). Exmplos d tais aplicaçõs comprndm o studo do comportamnto d struturas civis, tais como difícios, ponts, barragns, túnis, ond os lmntos finitos são utilizados na discrtização d vigas, lajs, trliças, pards, fundaçõs, tc. O studo d anális d tnsõs também é important m outras áras da ngnharia, tais como ngnharia mcânica, naval, aronáutica, arospacial, ond são ncssários análiss das struturas pças mcânicas d máquinas, automóvis, caminhõs, navios, aviõs, spaçonavs, tc. Dntro da ára d mcânica dos sólidos, podm sr ralizadas: anális stática, anális modal (problmas d auto valor auto-vtor, para studo d vibraçõs instabilidad strutural), anális dinâmica. Além da aplicação clássica do MEF na solução d problmas da mcânica dos sólidos, várias outras áras da ngnharia mprgam atualmnt o MEF como uma podrosa frramnta na anális d divrsos fnômnos físicos, no projto anális d divrsos quipamntos, dispositivos, procssos industriais, tc. 3

5 A quantidad d problmas físicos qu podm sr analisados com o MEF é bastant grand. A título d ilustração podm-s citar as sguints áras: ransfrência d calor; Elastostática; Elastodinâmica; Eltrostática; Eltromagntismo; Acústica; Fadiga; Mcânica da fratura; Hidráulica; Hidrodinâmica; Arodinâmica; Biomcânica; Lubrificação; Problmas d intração fluído-strutura; Problmas d propagação d ondas; Disprsão d contaminants; Vários dos fnômnos listados acima podm sr agrupados m uma catgoria spcial d problma físico, dnominado problma d campo (ou, mais particularmnt, problma d potncial). Exmplos comums d problmas d campo são: Condução d calor, Condução létrica; Campos gravitacionais; Campos ltrostáticos; Campos magntostáticos; Fluxo irrotacional d fluidos idais; Prcolação através d um mio poroso; orsão d barras prismáticas; 4

6 Os fnômnos d campo dscritos acima têm m comum o msmo tipo d quação difrncial govrnant, qual sja a quação quasi-harmônica. Casos particulars da quação quasi-harmônica são as conhcidas quaçõs d Poisson, d Laplac. No capítulo 2, aprsnta-s o dsnvolvimnto da quação d Poisson, com aplicação do problma d condução d calor. Entrtanto, o msmo dsnvolvimnto pod sr aplicado a outros problmas d campos com poucas altraçõs O concito d grau d librdad no MEF Além dos concitos d lmntos finitos nós no MEF, um outro concito muito important rfr-s ao concito d grau d librdad (dgr of frdom) ou, gdl (dof). A idéia d grau d librdad tm sua origm na idéia do movimnto d partículas m problmas da Mcânica, ond s considra qu, conform ilustra a Figura 1.3: Um ponto aprsnta, no spaço tridimnsional, três graus d librdad, quais sjam três possívis movimntos d translação. Mais gnricamnt, um corpo rígido aprsnta, no spaço tridimnsional, sis graus d librdad, quais sjam, três possívis movimntos d translação três possívis movimntos d rotação. (a) (b) Figura 1.3 Graus d librdad. a) graus d librdad d um ponto; b) graus d librdad d um corpo rígido. O comportamnto d um lmnto é praticamnt dfinido plo númro posicionamnto dos nós, plo númro d graus d librdad (gdl) por nó. O msmo lmnto finito (com a msma forma msmo númro d nós), como por xmplo, o lmnto triangular d três nós pod sr utilizado com difrnts graus d librdad, dpndndo da dimnsão tipo do problma m qustão. 5

7 Em problmas d mcânica dos sólidos (anális d tnsõs), os graus d librdad dos nós corrspondm aos possívis movimntos qu sts podm sofrr. Por xmplo, o problma d anális d tnsõs m um mio tridimnsional aprsnta três graus d librdad por nó (três translaçõs). No caso plano, xistm dois graus d librdad por nó (duas translaçõs). Ests movimntos ou dslocamntos dos nós são as incógnitas principais da anális plo método tradicional d Elmntos Finitos do problma gral da Mcânica dos sólidos. Por um outro lado, no problma d condução d calor, por xmplo, mbora não s stud o movimnto d partículas, utiliza-s comumnt o trmo grau d librdad para fazr rfrência à incógnita principal do problma, qual sja o valor do campo d tmpratur nos nós da malha. 6

8 2. Problma d condução d calor O problma d condução d calor é studado como motivação inicial para aplicação do MEF. Escolhu-s st problma pla fácil intrprtação física das quaçõs, da sua rlvância prática para divrsos stors da ngnharia. A aprsntação é fita inicialmnt, utilizando-s a forma tradicional das quaçõs difrncias qu govrnam o problma ( forma fort ), por tratar-s d um procdimnto mais simpls. Postriormnt, para possibilitar a aplicação dirta do MEF na solução do problma d condução d calor, aprsnta-s também a forma fraca da quação govrnant Forma fort das quaçõs govrnants do problma Equation Sction (Nxt) Considr um corpo bidimnsional (d spssura constant) com domínio Ω contorno Γ, com rfrência a um sistma d coordnadas cartsianas (x, y) conform ilustra a Figura 2.1. Γ Ω y x Figura corpo bidimnsional com domínio Ω contorno Γ, com rfrência a um sistma d coordnadas cartsianas (x, y). Sja Qxy (, ) a taxa d gração d calor intrna ou font 1 (calor por unidad d volum tmpo) qx ( x, y ) qy ( x, y ) as componnts do vtor fluxo d calor (calor por unidad d ára tmpo) m um ponto (x,y) do corpo Ω 1 Fonts d calor Q são proporcionadas, por xmplo, por rsistência à corrnt létrica raçõs químicas. 7

9 qx( x, y) q= q ( xy, ) = qy ( x, y). (2.1) A quação qu govrna o problma d condução d calor m um mio bidimnsional m quilíbrio (rgim stacionário, sm variação no tmpo) pod sr facilmnt dduzida considrando-s um lmnto difrncial d lados dx dy, com fluxo d calor atravssando o contorno do lmnto, conform ilustra a Figura 2.2 qy qy + dy y q x dy Q q q x x + dx x dx q y Figura 2.2 lmnto difrncial com fluxo d calor atravssandoo contorno do lmnto Considrando, sm prda d gnralidad, qu a spssura do corpo é unitária, a taxa d calor grado no corpo é igual a Qdxdy. S as facs antrior postrior indicadas na figura form isoladas trmicamnt, ntão a sguint condição dv sr satisfita q qy Qdd x y+ q d d ( + x x y+ qy x= qx d)d x y+ ( qy+ d)d y x. (2.2) x y Canclando os trmos rptidos, dividindo a quação rsultant por dxdy chga-s a quação qu govrna o problma stacionário d condução d calor q q x y + Q = 0 x y m Ω, (2.3) ou, d forma mais compacta divq + Q = 0 m Ω, (2.4) ou, ainda 8

10 q + Q = 0 m Ω, (2.5) ond x = y (2.6) dnota o oprador difrncial nabla (ou dl), tal qu q x q q x y q= div x y q = + = q. (2.7) y x y No caso d fluxo unidimnsional, obsrva-s fisicamnt qu o fluxo d calor m uma dirção é proporcional à taxa d variação da tmpratura naqula dirção (Li d Fourir). Assim, ond q x = κ x x, (2.8) κ x é o coficint d condutividad térmica (calor por unidad d comprimnto, tmpo tmpratura). Para o caso mais gral (bi ou tridimnsional), obsrva-s qu o vtor fluxo d calor é função do gradint d tmpratura ond, para o caso bidimnsional, é a matriz d condutividad térmica, Assim, a q. (2.9) pod-sr scrita como q = κ, (2.9) κxx( x, y) κxy ( x, y) κ = κ ( xy, ) = (2.10) κxy ( x, y) κyy ( x, y) x x = = = grad. (2.11) y y 9

11 q x κxx κxy x q = y κxy κyy y, (2.12) ou sja, q q κ + κ x y y x = xx xy κ + κ x y = xy yy (2.13) Substitutindo as qs. (2.13) m (2.3), chga-s a κxx + κxy + κxy + κyy + Q = 0 x x y y x y. (2.14) S as dirçõs cartsianas (x,y) coincidirm com as dirçõs principais do matrial, ntão κ xy = 0. Além disso, no caso particular d um mio isotrópico (com msma condutivida térmica m todas as dirçõs), tm-s qu κxx = κyy = κ. Nst caso, a matriz d condutividad térmica, pod sr scrita como κ κ ( xy, ) = κ ( x, y) = = κ( x, y) = κ( x, y) 0 κ ( xy, ) 0 1 I, (2.15) com I sndo a matriz idntidad d ordm 2. No caso d um mio homogêno, a condutividad térmica não dpnd das coordnadas (x,y), ou sja, κ xx κ xx são constants. q. (2.14) fica Para um mio isotrópico homogêno, tm-s κ xy = 0 κ xx = κyy = κ = ct. Nst caso, a 2 2 κ + + Q = x y (2.16) a qual é conhcida como Equação d Poisson. Esta quação govrna vários dos problmas d campo importants na ngnharia. Pod-s também obtr a q. (2.16) d forma mais dirta compacta, substituindo-s a q. (2.9) na q. (2.5), o qu rsulta m 10

12 κ + Q= 0 (2.17) Considrando-s novamnt um mio isotrópico homogêno (com quação fica κ = κi constant), sta 2 κ + Q= 0 (2.18) ond 2 é o oprador Laplaciano, tal qu x = = = + x y 2 2 x y y (2.19) Para o caso particular m qu Q = 0, ou sja, sm nnhuma font d calor intrna, a q. (2.18), fica 2 = 0 ou a qual é conhcida como Equação d Laplac = x y (2.20) Condiçõs d contorno Em gral, três difrnts tipos d condiçõs d contorno podm sr considrados para o problma d condução d calor, quais sjam: a) Imposição d tmpratura; b) Imposição d fluxo d calor; c) Imposição da rlação ntr tmpratura o fluxo d calor (ocorrndo na part do contorno sujita a convcção). Por simplicidad, srão considradas na discussão a sguir, apnas os tipos d condiçõs d contorno (a) (b). Para isto, considra-s qu o contorno Γ é subdivido m duas subrgiõs, Γ Γ q, conform indica a Figura 2.3, tal qu Γ Γ =Γ q Γ Γ = q (2.21) 11

13 Ω Γ q y x Γ Figura 2.3 subdivisão do contorno do corpo As rgiõs Γ Γ q são dfinidas d acordo com o tipo d condição d contorno considrada, quais sjam: a) Imposição d tmpratura. Est caso corrspond ao tipo mais simpls d condição d contorno, consist basicamnt m s spcificar o valor da tmpratura na rgião Γ do contorno, ou sja ond é a tmpratura conhcida no contorno Γ. = m Γ (2.22) b) Imposição d fluxo d calor. Nst caso, considra-s o quilíbrio d fluxo d calor m um lmnto infinitsimal na rgião Γ q do contorno, conform indica a Figura 2.4.a ˆn y x Ω Γ q q x s cosα α Q s ssnα q n ˆn α Γ q y (a) (b) Figura 2.4 Equilíbrio d fluxo no contorno. a) Corpo com dtalh do lmnto infinitsimal no contorno; b) fluxos d calor no lmnto infinitsimal; 12

14 A Figura 2.4.b mostra um dtalh do lmnto difrncial com as componnts d fluxo d calor qu atuam no contorno do lmnto. Nsta figura, n ˆx cosα n ˆ = nˆ = (2.23) y snα é o vtor normal unitário a suprfíci do contorno, com α sndo o ângulo qu st vtor normal forma com o ixo das abscissas; s é o comprimnto da fac do lmnto triangular rfrnt ao contorno do corpo; q n é o valor conhcido do fluxo normal à suprfíci no contorno D acordo com a Figura 2.4.b, para qu haja quilíbrio d fluxo d calor no contorno, a sguint quação dv sr satisfita Dividindo a quação por Γ q. 1 2 Q s cosαsnα + qx scosα + qy ssnα + qn s= 0. (2.24) 2 s, tm-s 1 Q scosαsnα + qxcosα + qysnα + qn = 0. (2.25) 2 Lvando sta xprssão ao limit quando o lado trmo dsaparc. Assim, a quação fica s tnd a zro, obsrva-s qu o primiro qnˆ qnˆ = q, (2.26) x x y y n ou d forma mais compacta, q n ˆ n m = q Γ (2.27) Rsumo das quaçõs Por convniência, as quaçõs qu govrnam o problma d condução d calor, na forma fort, são rsumidamnt aprsntadas no quadro abaixo: Forma fort da quação qu govrna o problma q ( ) + Q= 0 mω (2.28) 13

15 Rlação constitutiva do mio (Li d Fourir) q( ) = κ mω (2.29) Condiçõs d contorno = m Γ q nˆ = qn m Γq (2.30) O problma d condução d calor consist m s rsolvr a quação difrncial parcial (PDE, Partial Diffrntial Equation) (2.28), considrando a rlação constitutiva (2.29) do matrial, satisfazndo as codiçõs d contorno (2.30). Est tipo d problma é comumnt dnominado problma d valor d contorno (BVP, Boundary Valu Problm) As quaçõs aprsntadas no quadro acima são xprssas na chamada forma fort, o qu significa qu stas quaçõs dvm sr satisfitas pontualmnt, ou sja, a solução do problma consist m satisfazs stas quaçõs, para qualqur ponto (x,y) do mio Forma fraca das quaçõs govrnants do problma A obtnção da forma fraca das quaçõs qu govrnam o problma consist no stablcimnto d quaçõs intgrais sobr o domínio Ω o contorno Γ do corpo, rfrnts à satisfação dstas quaçõs m um sntido médio (ao contrário do sntido rstrito pontual da forma fort). Nos dsnvolvimntos sguints, utiliza-s a notação compacta d difrnciação m rlação as variávis x y, tal qu 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, x =, ϕ, y =, ϕ, xx =, ϕ 2, xy = x y y y x (2.31) A forma fraca das quaçõs govrnants pod sr obtida sguindo-s os sguints passos: 1 o Passo) Multiplica-s a q. (2.28) por uma função arbitrária wxy (, ), dnominada, função tst, tal qu ( ( ) + ) wxy (, ) q Q = 0 (2.32) 14

16 ou sja, ( qxx, qyy, Q) wxy (, ) + = 0 (2.33) 2 o Passo) Intgra-s a quação acima sobr o domínio Ω ( qxx, qyy, Q) wxy (, ) + dω = 0 (2.34) Ω Obsrva-s qu caso s dtrmin o campo d tmpratura ( x, y ) qu rsolva a q. (2.28), ou sja, caso a q. (2.28) sja satisfita, ntão a q. (2.34) também é automaticamnt satisfita para qualqur qu sja a função wxy (, ). Por outro lado, pod-s dmonstrar qu caso s dtrmin um campo d tmpratura ( x, y ) qu satisfaça a q. (2.34) para qualqur qu sja a função wxy (, ), ntão st campo é a solução da quação (2.28). 3 o Passo) Faz-s intgração por parts da quação acima, utilizando-s o torma intgral d Gauss. Para isso, inicialmnt transfr-s as drivadas da função q x q y para a função tst w, utilizandos a rgra d drivada do produto tal qu Ω w wq = ( wq ) w q x, x x, x, x x wq = ( wq ) w q ( qxx, qyy, Q) yy, y, y, y y + dω= ( wqx, x wqy, y w, xqx w, yqy wq) Ω ( ) + ( ) dω (2.35) (2.36) Utiliza-s, ntão, o torma intgral d Gauss, tal qu ( ( wqx), x + ( wqy), y) dω = ( ( wqx) nˆx + ( wqy) nˆy) Ω Γ ( qn x x + qn y y) = w ˆ ˆ dγ Γ = wq nˆ dγ Γ dγ (2.37) 15

17 Assim, substitutindo-s a q. (2.37) m (2.36), chga-s a ( qxx, + qyy, Q) 0= w dω Ω = ( w, xqx w, yqy wq) dω+ wq nˆ dγ Ω Γ (2.38) 4 o Passo) Considra-s as condiçõs d contorno (2.30), tal qu wq nˆdγ = wq nˆdγ+ wq nˆdγ Γ Γ Γq = wq nˆ dγ wq dγ Γ Γq n (2.39) Obsrva-s qu o trmo q n ˆ é igual a q n m rgião do contorno. Porém, o trmo Γ q, sndo portanto prfitamnt conhcido nsta q n ˆ é dsconhcido m Γ. Esta dificuldad pod sr rsolvida liminando-s a incógnita q, através da sguint rstrição na função tst tal qu o trmo wxy (, ) = 0 m Γ (2.40) wq n ˆ ds = 0 (2.41) Γ As funçõs tst wxy (, ) qu satisfazm a condição (2.40) são dnominadas funçõs admissívis. Assim, substituindo-s a q. (2.41) m (2.39), o rsultado m (2.38), sta pod sr rscrita como ou sja, d forma mais compacta ( w, xqx w, yqy wq) dω wqn dγ= 0 (2.42) Ω Γ q ( w) q dω= wq dω+ wq n dγ (2.43) Ω Ω Γ Esta quação consist na forma fraca do problma d condução d calor. Obsrva-s qu sta quação indpnd das propridads do matrial (rlaçõs constitutivas) do mio. q 16

18 Considrando a rlação constitutiva do mio dada pla qs. (2.29) (Li d Fourrir), lvando m conta ainda qu w é uma função scalar ( w= w ), a q. (2.43) pod sr scrita como ( w) κ ( )dω= w QdΩ+ w q n dγ (2.44) Ω Ω Γq Esta quação consist na forma fraca do problma d condução d calor para um matrial obdcndo as rlaçõs constituivas do matrial rfrnts às lis d Fourrir. A solução do problma nsta forma fraca consist m s dtrminar o campo d tmpraturas ( x, y ) satisfazndo a q. (2.44), para toda função tst wxy (, ) admissívl. Uma solução aproximada para st problma pod sr obtida através do método dos Elmntos Finitos, dscrito na próxima sção. 17

19 3. Aplicação do MEF ao problma d Condução d Calor Conform discutido antriormnt, a idéia básica do MEF consist m discrtizar (subdivir) o domínio do problma utilizando-s uma malha d lmntos finitos. Na malha, os lmntos são intrligados através dos nós, conform indica a Figura 1.1. O passo inicial para utilização do MEF consist na tapa d criação da malha d lmntos finitos plo usuário. Para isso, o usuário spcifica a localização dos nós, utilizando-s um sistma d coordnadas cartsianas, m um posicionamnto arbitrário, conform ilustra a Figura ( x, y ) ( x2, y2) 1 ( x, y ) ( x4, y4) y x 8 12 Figura 3.1 Espcificação da posição dos nós da malha. Em gral, o númro d graus d librdad por nó da malha stá rlacionado com o tipo a dimnsão do problma m qustão. No caso d problma d potncial, o objtivo inicial é a dtrminação d um campo scalar corrspondnt à solução do problma. Por xmplo, no problma d condução do calor, objtiva-s dtrminar o campo d tmpraturas, o qual consist m um campo scalar. Nst caso, os lmntos mprgados na anális dvm possui um grau d librdad (gdl) por nó, indpndntmnt da dimnsão do problma (s uni, bi ou tridimnsional). No problma d condução d calor, quando s utiliza o MEF, as incógnitas principais do problma são as tmpraturas nodais, ou sja, são os valors do campo d tmpraturas avaliados nos nós da malha. Essas tmpraturas nodais podm sr armaznadas m um arranjo unidimnsional (vtor) da sguint manira 18

20 1 2 = 3, (2.45) N g ond 1 é a tmpratura corrspondnt ao gdl 1, 2 é a tmpratura corrspondnt ao gdl 2, assim por diant, até o númro d graus d librdad N g da malha. Através do MEF, a quação difrncial qu govrna o problma é transformada m um sistma d quaçõs algébricas do tipo K = F (2.46) Ond K é uma matriz d condutividad do problma, (m gral dnominada matriz d rigidz), d ordm Ng Ng, F é um vtor d coficints (m gral dnominado vtor d forças), d ordm N g 1, é o vtor d incógnitas. No caso do problma d condução d calor, F tm o sntido d fonts concntradas d calor (calor por unidad d tmpo) nos nós da malha F F F F F 1 2 = 3 N g (2.47) ond F 1 é a font d calor corrspondnt ao gdl 1, F 2 é a font corrspondnt ao gdl 2, assim por diant, até o númro d graus d librdad N g da malha. A idéia d font d calor concntrada pod sr insrida no contxto do problma contínuo dsnvolvido antriormnt considrando-s uma função Qxy (, ) taxa d gração d calor, pontual, ou sja, uma função nula m todo o domínio, xcto m um dtrminado ponto P (função singular, ou dlta d Dirac). Utilizando-s sta idéia, tm-s qu (vr q. (2.44)) wxyqxy (, ) (, )d Ω= wx ( P, yp) FcP = wpfcp (2.48) Ω 19

21 ond F c P corrspond a font d calor concntrada no ponto P, w P corrspond à função tst avaliada nst ponto. Como podm havr várias fonts d calor concntras na malha d lmntos finitos, é convnint rscrvr a q. (2.44) como, ( ) w κ( )dω= w QdΩ+ w qndγ+ w F Ω Ω Γq NP P= 1 = w QdΩ+ w qndγ+ w Fc Ω Γq P cp (2.49) ond w é um vtor tal qu wx ( 1, y1) w1 wx ( 2, y2) w 2 wx ( 3, y3) w w = = 3 wx ( g, yg) wg (2.50) F c F F F F c1 c2 = c3 cn g (2.51) é o vtor contndo as fonts d calor concntradas nos nós da malha. Caso não xista font d calor concntrada m um dtrminado nó, ntão a rspctiva componnt no vtor F c é nula Formulação do lmnto finito triângular linar para o problma d condução d calor bidimnsional A aprsntação a sguir utiliza a idéia intuitiva, comum na ngnharia, d s rsolvr um problma complxo, sudvidindo-o m problmas mnors mais simpls. Assim, o dsnvolvimnto a sguir mostra inicialmnt a formulação d um lmnto finito simpls, postriormnt, aprsnta 20

22 como st lmnto é considrado na solução do problma global, considrando toda a malha d lmntos finitos. A partir dos valors das tmpraturas nos nós d um lmnto pod-s dtrminar o valor do campo d tmpratura m um ponto qualqur no intrior do lmnto, ralizando-s uma intrpolação dos valors nodais. Esta intrpolação pod sr linar, quadrática, ou rfrnt a qualqur outra função polinomial, dpndndo do númro d nós do lmnto. Na vrdad, pod-s também utilizar outras funçõs d intrpolação além das funçõs polinomiais, tais como funçõs trigonométricas, xponnciais, tc. Um dos lmntos finitos mais simpls já dsnvolvidos é o lmnto finito triangular com intrpolação linar. Est lmnto aprsnta uma forma triângular, com três nós I, J, K posicionados nos vértics do triângulo, conform indica a Figura 3.2. K( x, y ) K K y I( x, y ) x I I J( x, y ) J J Figura 3.2 Elmnto finito triangular linar, com rfrência ao sistma d ixos cartsianos. Na Figura 3.2 stão indicadas as coordnadas ( xi, y I ), ( xj, y J ) ( xk, y K ), dos nós I, J, K, rspctivamnt, do lmnto triangular. Estas coordnadas são forncidas como dados d ntrada do problma. O lmnto triangular linar, quando utilizado m problmas d condução d calor, possui um grau d librdad por nó, totalizando três graus d librdad, quais sjam os valors I, J, K. Ests graus d librdad corrspondm ao valor do campo d tmpratura avaliado nos nós I, J, K do lmnto. Ests graus d librdad são armaznados no vtor d tmpraturas nodais I = J K do lmnto (2.52) 21

23 A sguir dtrminam-s as funçõs d intpolação do lmnto, as quais prmitm calcular o valor do campo d tmpratura m um ponto ( x, y ) qualqur no intrior dst lmnto Funçõs d forma do lmnto A formulação do lmnto triangular linar basia-s na hipóts d qu, no intrior do lmnto, o campo d tmpratura sja uma função linar das coordnadas ( x, y ). Assim, assum-s o sguint campo d tmpratura ( x, y) = a + a x+ a y (2.53) ond a 1, a 2 a 3 são constants a srm dtrminadas. A q. (2.53) pod sr scrita d forma mais compacta como ( x, y) = x( x, y) a (2.54) ond x = 1 x y (2.55) a1 = a2 a 3 a (2.56) O vtor a, contndo as constants, pod sr dtrminado através da imposição do valor da tmpratura m cada nó, ou sja ( x, y ) = a + a x + a y = I I 1 2 I 3 I I ( x, y ) = a + a x + a y = J J 1 2 J 3 J J ( x, y ) = a + a x + a y = K K 1 2 K 3 K K (2.57) As qs. (2.57) podm sr rscritas na forma matricial como 1 xi yi a1 I 1 xj y J a2 = J 1 xk y K a 3 K (2.58) ou, m forma, mais compacta Ga = (2.59) ond 22

24 1 xi yi G = 1 xj y J (2.60) 1 xk yk é uma matriz contndo as coordnadas dos nós do lmnto. Pod-s dtrminar o vtor d constants a, invrtndo-s a q. (2.59) ond 1 a= G (2.61) ( xj yk xkyj) ( xkyi xiyk) ( xiyj xjyi) 1 1 G = ( yj yk) ( yk yi) ( yi yj) dt( G) ( xk xj) ( xi xk) ( xj xi) (2.62) com dt( G) = ( xj yk + xiyj + xkyi) ( xjyi + xkyj + xiyk) (2.63) Conform aprsntado no Apêndic A, o dtrminant da matriz G corrspond à duas vzs a ára A t do lmnto, ou sja Substituindo a q. (2.61) na q. (2.54), chga-s a 2A t = dt( G ) (2.64) 1 ( x, y) = x( x, y) G (2.65) ou ainda, ond ( x, y) = N( x, y) (2.66) 1 N( xy, ) = x( xy, ) G (2.67) Considrando a q. (2.64), dsnvolvndo o produto dado na quação acima, chga-s a N ( x, y) = N( xy, ) N( xy, ) N( xy, ) (2.68) ond 23

25 1 N1( x, y) = ( xjyk xkyj) + ( yj yk) x+ ( xk xj) y 2At 1 N2( x, y) = (( xkyi xiyk) + ( yk yi) x+ ( xi xk) y) 2At 1 N3( x, y) = (( xiyj xjyi) + ( yi yj) x+ ( xj xi) y) 2At ( ) (2.69) A matriz N ( x, y) é uma matriz contndo funçõs d intrpolação dos graus d librdad nodais, nst caso, das tmpraturas nodais. Esta matriz é usualmnt dnominada matriz d funçõs d forma. Obsrvando a q. (2.66), conclui-s qu a matriz d funçõs d forma prmit dtrminar a tmpratura m um ponto ( x, y ) qualqur do lmnto, a partir dos valors das tmpraturas nodais. Uma intrprtação gométrica dos trmos da matriz d funçõs d forma é aprsntada no Apêndic A Drivadas das funçõs d forma do lmnto Na solução do problma d condução d calor, torna-s ncssário o cálculo d drivadas do campo d tmpratura ( x, y ), conform s obsrva na q. (2.44) ond considra-s o gradint dst campo. As drivadas do campo d tmpratura, na formulação do lmnto finito, pod sr facilmnt calculada a partir da q. (2.66) ond ( x, y) = N( x, y) = B( x, y) (2.70) x B( x, y) = N( xy, ) = N1( xy, ) N2( xy, ) N3( xy, ) y N1( x, y) N2( x, y) N3( x, y) x x x = N1( x, y) N2( x, y) N3( x, y) y y y (2.71) Calculando as drivadas das funçõs d forma m rlação às coordnadas cartsianas (vr qs. (2.68) (2.69)), chga-s a 24

26 1 ( yj yk) ( yk yi) ( yi yj) B = 2A t ( xk xj) ( xi xk) ( xj xi) (2.72) Intrpolação da função tst Analogamnt ao campo d tmpratura ( x, y ), a função tst wxy (, ) no intrior d cada lmnto também pod sr obtida por intrpolação d valors nodais wi w = wj (2.73) w K utilizando-s a msma matriz d funçõs d forma N ( x, y) (vr q. (2.66)). Ou sja, wxy (, ) = N( xy, ) w (2.74) Da msma forma, o gradint d wxy (, ), ncssário na q. (2.44), também pod sr obtido d forma similar ao gradint da tmpratura ( x, y ) (vr q. (2.70)), rsultando m wxy (, ) =B( xy, ) w (2.75) Matriz d condutividad do lmnto A q. (2.49) é válida para um domínio Ω d formato qualqur, também, para qualqur subdomíno dntro do domínio original. Assim, pod-s particularizar sta quação para um subdomínio rfrnt a um lmnto finito, ou sja, ond Ω, ( ) w κ( )dω= w QdΩ+ w q n dγ+ w F c (2.76) q Ω Ω Γ Γ corrspondm, rspctivamnt, ao domínio contorno d um lmnto, F c I F c = Fc J (2.77) Fc K 25

27 é o vtor d fluxos nodais do lmnto. A substituição das qs. (2.70), (2.75), (2.74) m (2.76), lva a Colocando-s o trmo O vtor ou, d forma mais compacta, ond w B κbdω = w N QdΩ+ w N q n dγ+ w F c (2.78) Ω Ω Γ q w m vidência, chga-s a w dω QdΩ q n dγ c = 0 B κb N N F (2.79) Ω Ω Γ q w dv sr compltamnt arbitrário; portanto, conclui-s qu B κbdω = N QdΩ+ N q n dγ+ F c (2.80) q Ω Ω Γ é matriz d condutividad (ou d rigidz) do lmnto, é o vtor d fonts nodais total (ou vtor d forças) do lmnto. K = F (2.81) K = B κb dω (2.82) Ω F = N QdΩ+ N q n dγ+ F c (2.83) Ω Os dois primiros trmos do lado dirito da q. (2.83), corrspondm às parclas d fluxo nodal quivalnts aos fluxos d calor distribuído no domínio (por unidad d volum) no contorno do lmnto (por unidad d suprfíci). Estas parclas podm sr agrupadas m um único vtor, tal qu Γ q F q = N QdΩ+ N qndγ (2.84) Ω Γ q F = Fq + F c (2.85) 26

28 3.2. Montagm da matriz d condutividad do vtor d fonts nodais do modlo A partir das matrizs d condutividad vtors d fonts nodais dos lmntos qu formam a malha d lmntos finitos, pod-s obtr a matriz d condutividad a matriz d fonts nodais do modlo. Para isso, srá utilizado como xmplo uma malha simpls ilustrada na Figura b d 1 c a 2 3 Figura 3.3 Malha simpls d Elmntos Finitos Na discussão sguint, considra-s a conctividad dos lmntos para a malha da Figura 3.3, conform spcificada na abla 3.1. Elmnto Nó I Nó J Nó K a b c d abla 3.1 abla d incidência nodais dos lmntos 27

29 Rlação ntr os vtors d tmpraturas nodais do lmnto do modlo Sja o vtor d tmpraturas nodais da malha rprsntada na Figura = O vtor d tmpraturas nodais do lmnto a é (2.86) a I 2 a a = J = 3 (2.87) a K 1 Obsrva-s qu a quação acima pod sr scrita como o sguint produto matricial 1 a I a a = J = 3 (2.88) a K 4 5 ou ainda, a a = H (2.89) ond a H = (2.90) é dnominada matriz d incidência do lmnto a. Procdndo-s d forma análoga, chga-s as sguints rlaçõs para os outros lmntos b b = H c c = H d d = H (2.91) ond 28

30 H H H b c d = = = (2.92) são as matrizs d incidência dos lmntos b, c d, rspctivamnt. Dv-s notar qu o númro d linhas da matriz d incidência d um lmnto é igual ao númro d graus d librdad do lmnto (nst caso, três, para o lmnto triangular linar), o númro d colunas é igual ao númro d graus d librdad do modlo (nst caso, cinco, para a malha mostrada na Figura 3.3). A matriz d incidência d cada lmnto é facilmnt dtrminada plas sguints rgras simpls: 1) Para a primira linha, tm-s o valor um na coluna corrspondnt ao nó I do lmnto, com as dmais colunas iguais a zro; 2) Para a sgunda linha, tm-s o valor um na coluna corrspondnt ao nó J do lmnto, com as dmais colunas iguais a zro; 3) Para a trcira linha, tm-s o valor um na coluna corrspondnt ao nó K do lmnto, com as dmais colunas iguais a zro; ou sja, d forma mais gral, tm-s para cada linha n, o valor 1 na coluna corrspondnt ao grau d librdad do nó n, com as dmais colunas iguais a zro Rlação ntr os vtors d fonts nodais do lmnto do modlo Sja F o vtor d fonts nodais da malha mostrada na Figura

31 O vtor d fonts nodais do lmnto a é F1 F 2 F3 = F4 F 5 F 6 Analogamnt, para os outros lmntos, têm-s F (2.93) a I a J a K F a F = F (2.94) F b FI c FI d FI b = b FJ c = c FJ d = d FJ b FK c FK d FK F F F (2.95) Uma condição d quilíbrio a sr satisfita, é qu a soma das fonts nodais, rfrnts a um nó comum, d cada lmnto qu stão conctados a st nó comum, dv sr igual à font nodal total aplicada dst nó. Ou sja, para o nó 1, tm-s Analogamnt, têm-s para os dmais nós 1 a b c d K J K I F = F + F + F + F (2.96) a I a J b K c J F = F + F F = F + F F = F + F F = F + F b I c I d K d J (2.97) As qs. (2.96) (2.97) podm sr scritas na sguint forma matricial F a b c F F I F I F I d FI a b c F FJ FJ d = + + FJ FJ F a b c FK FK F d K FK F (2.98) 30

32 Obsrva-s qu as matrizs mostradas na quação acima corrspondm às matrizs transpostas das matrizs d incidência d cada lmnto. Assim, a quação acima pod sr scrita, d forma compacta, como d 4. Assim, ou sja, a a b b c c d d F= H F + H F + H F + H F (2.99) Para scrvr a quação acima na forma d somatório, pod-s dfinir a 1, b 2, c F= H F + H F + H F + H F (2.100) n = = 1 F H F (2.101) ond rprsnta um lmnto gnérico n é o númro d lmntos da malha (nst caso, n = 4 ). Através da q. (2.101), pod-s, portanto, dtrminar o vtor d fonts nodais da malha Obtnção da matriz d condutividad do modlo A q. (2.81) aprsnta a rlação ntr os vtors d tmpraturas fonts nodais d um lmnto gnérico. Assim, para a malha da Figura 3.3, pod-s scrvr ou ainda, a a a b b b c c c d d d F = K F = K F = K F = K (2.102) Substituindo as quaçõs acima na q. (2.99), tm-s a a a b b b c c c d d d F= H K + H K + H K + H K (2.103) Substituindo, agora, as qs. (2.89) (2.91) na quação acima, tm-s a a a b b b c c c d d d F= H K H + H K H + H K H + H K H (2.104) Colocando o vtor d tmpraturas nodais do modlo m vidência, chga-s a a a a b b b c c c d d d F= ( H K H + H K H + H K H + H K H ) (2.105) F= K (2.106) ond 31

33 a a a b b b c c c d d d K = H K H + H K H + H K H + H K H (2.107) é a matriz d condutividad (ou d rigidz) do modlo. Esta quação também pod sr scrita na forma d somatório, sguindo a idéia utilizada na q. (2.101). Assim, m gral, pod-s obtr a matriz d rigidz do modlo, através do sguint somatório n = = 1 K H K H (2.108) Através da q.(2.108), pod-s, portanto, dtrminar a matriz d condutividad da malha. Embora as qs. (2.101) (2.108) tnham sido dduzidas para o malha mostrada na Figura 3.3, stas quaçõs são compltamnt gnéricas, podndo sr utilizadas para qualqur outra malha d lmntos finitos. Para isso, dv-s apnas dtrminar a matriz d incidência associada a cada lmnto para a malha m qustão. Dv-s rssaltar qu mbora as qs. (2.101) (2.108) rprsntm toricamnt a forma d obtnção do vtor d fonts nodais, da matriz d condutividad do modlo, na prática, st procsso torna-s inficint para malhas rfinadas (com muitos lmntos), m função da grand quantidad d zros prsnt nas matrizs d incidência. Assim, na prática, utiliza-s um algoritmo computacional para montagm do vtor d fonts nodais matriz d condutividad da malha, o qual vita a multiplicação dsncssária dos númros zro prsnts nas matrizs d incidência dos lmntos Imposição das condiçõs d contorno solução do sistma d quaçõs Caso as tmpraturas nodais d todos os nós da malha fossm conhcidas, as fonts nodais podriam sr facilmnt dtrminadas através da q. (2.106). Entrtanto, m situaçõs práticas, s conhc a tmpratura nodal d alguns nós, a font nodal dos dmais nós. Para a dtrminação dos valors dsconhcidos das fonts tmpraturas nodais, dv-s numrar os graus d librdad da malha, d tal manira qu os nós com font nodal prscrita (conhcida) sjam numrados primiro, os nós com tmpratura prscrita (conhcida) sjam numrados por último. Por xmplo, considra-s a malha da Figura 3.3. Nst caso, a q. (2.106) pod sr scrita na forma xpandida como 32

34 K K K K K F K21 K22 K23 K24 K 25 2 F 2 K31 K32 K33 K34 K35 3 = F3 K41 K42 K43 K44 K 45 4 F 4 K51 K52 K53 K54 K55 5 F5 (2.109) Considra-s agora, qu as fonts nodais sjam prscritas para os nós 1, 2 3, qu as tmpraturas sjam prscritas para os nós 4 5. Com isso, pod-s particionar o sistma acima, da sguint manira, K11 K12 K13 K14 K15 1 F1 K21 K22 K 23 K24 K 25 2 F2 K31 K32 K33 K34 K35 3 F = 3 K41 K42 K43 K44 K 45 4 F 4 K51 K52 K 53 K54 K 55 5 F5 (2.110) ou d forma mais compacta K00 K01 0 F0 = K10 K11 1 F1 (2.111) ond K11 K12 K13 K14 K15 1 F1 K00 = K21 K22 K K24 K K = 25 0 = 2 F0 = F2 K K K K K F K41 K42 K43 K44 K45 4 F4 K10 = K51 K52 K K = = = 53 K54 K F 55 5 F5 (2.112) Dsta forma, dv-s notar qu os vtors 1 F 0 são conhcidos, ao passo qu os vtors 0 F 1 são dsconhcidos. Dsnvolvndo a q. (2.111), tm-s K + K = F K + K = F (2.113) Com isso, o vtor d tmpraturas nodais 0 pod sr calculado, a partir da primira das quaçõs acima, ( ) 1 0 = K F K (2.114) 33

35 Após a dtrminação d 0, o vtor d fonts nodais F 1, pod sr calculado dirtamnt utilizando-s a sgunda das qs. (2.113) F1 = K100 + K11 1 (2.115) 3.4. Rsumo das tapas d anális plo MEF As tapas d anális plo Método dos lmntos finitos são dscritas rsumidamnt abaixo: 1) Montagm da matriz d condutividad do matrial (q. (2.10)) para cada lmnto κxx( x, y) κxy ( x, y) κ = κ ( xy, ) = (2.116) κxy ( x, y) κyy ( x, y) 2) Montagm da matriz com as drivadas das funçõs d forma (q. (2.72)) para cada lmnto 1 ( yj yk) ( yk yi) ( yi yj) B = 2A t ( xk xj) ( xi xk) ( xj xi) (2.117) 3) Dtrminação da matriz d condutividad para cada lmnto, através da q. (2.82) K = B κb dω (2.118) Ω Para o caso particular do lmnto triangular linar, com matrial homogêno, as matrizs κ B são constants (indpndnts d x y). Assim, a matriz d condutividad do lmnto pod sr obtida como K = B κb At (2.119) 4) Dtrminação do vtor d fonts ou fluxos nodais para cada lmnto, através da q. (2.83) t F = N QdΩ+ N q n dγ+ F c (2.120) Ω Γ q Para o caso particular do lmnto triangular linar, com font Q constant, fluxo normal prscrito no contorno do lmnto q n nulo, o vtor F pod sr obtido como 34

36 5) Dtrminação da matriz d incidência 1 F = 1 QAtt + F c (2.121) 1 H para cada lmnto, conform xplicado na sção ) Montagm da matriz d condutividad do modlo d acordo com a q. (2.108) n = = 1 K H K H (2.122) 7) Montagm do vtor d fonts nodais do modlo d acordo com a q. (2.101) n = = 1 F H F (2.123) Na vrdad, apnas s conhc uma part dst vtor, dnominada F 0, m função das condiçõs d contorno. Após a montagm do vtor F total como mostrado acima, xtrai-s a part F 0 dst vtor, ignora-s a part F 1, a qual srá rcalculada postriormnt. 8) Montagm da part conhcida 1 do vtor d tmpraturas nodais 9) Partição do sistma d quaçõs K = a sção 3.3. F, considrando as condiçõs d contorno, d acordo com K00 K01 0 F0 = K10 K11 1 F1 (2.124) 10) Solução do sistma d quaçõs, d acordo com as qs. (2.114) (2.115) ( ) 1 0 = ) Montagm do vtor d tmpraturas nodais do modlo K F K (2.125) F1 = K100 + K11 1 (2.126) 0 = 1 (2.127) 12) Dtrminação do vtor d tmpraturas nodais d cada lmnto, utilizando-s a matriz d incidência. 35

37 = H (2.128) 13) Dtrminação do gradint d tmpratura no intrior d cada lmnto (q. (2.70) =B (2.129) 14) Dtrminação do fluxo d calor no intrior d cada lmnto (q. (2.9)). q = κ (2.130) Com isto, tm-s a solução do problma d condução d calor por lmntos finitos, utilizandos o lmnto triangular linar. 36

38 A. Intrprtação gométrica das funçõs d forma do lmnto Equation Sction 1 Para possibilitar uma intprtação gométrica dos trmos da matriz d funçõs d forma N ( x, y), dv-s inicialmnt, calcular a ára do lmnto triangular. Isto pod sr fito facilmnt calculando-s a norma do produto vtorial ntr dois vtors r s dfinidos arbitrariamnt por duas arstas do lmnto, conform ilustra a Figura A.1. s K( xk, yk) y I( xi, yi) x r J( xj, yj ) Figura A.1 Vtors dfinidos plas arstas do lmnto, para dtrminação da ára do triângulo. rx xj xi sx xk xi r = ry = yj yi s = sy = yk yi (A.1) r 0 0 z sz A ára A t do lmnto pod sr calculada como Assim, 1 A t = r s (A.2) 2 ˆi ˆj kˆ ˆi ˆj kˆ r s= r r r = ( x x ) ( y y ) 0 x y z J I J I s s s x y z ( x x ) ( y y ) 0 K I K I ( x x y y x x y y ) = 0ˆi + 0 ˆj + ( )( ) ( )( ) kˆ J I K I K I J I (A.3) ond î, ĵ ˆk são os vtors bas unitários (vrsors) do sistma d coordnadas cartsianas ( x, yz, ) conform indica a Figura A.1. 37

39 Substituindo-s a q. (A.3) na q. (A.2), chga-s a 1 1 At = r s = ( xj xi )( yk yi ) ( xk xi )( yj yi ) = ( ( xjyk + xiyj + xkyi ) ( xjyi + xkyj + xiyk ) ) 2 ( ) (A.4) Comparando as quaçõs (2.63) (A.4), conclui-s qu dt( G ) = 2A t (A.5) ou sja, o dtrminant da matriz G corrspond a duas vzs a ára do lmnto. Para intrprtação gométrica dos outros trmos da matriz N ( x, y) considra-s um ponto P d coordnadas ( x, y ) no intrior do lmnto, divid-s o lmnto m três triângulos com vértic m P, conform mostra a Figura A.2. K( xk, yk) y I( xi, yi) x A 2 A 3 A 1 Pxy (, ) J ( xj, yj) Figura A.2 Sub-áras no intrior do lmnto, dfinidas por um ponto P d coordnadas ( x, y ). Dsta forma, o cálculo da ára A 1 do triângulo dfinido plos pontos P, J K pod sr calculada utilizando-s a q. (A.4), com as variávis x y, no lugar d x I y I, rspctivamnt 1 A1 ( x, y) = ( xj yk + xyj + xky) ( xjy+ xkyj + xyk) 2 1 = ( J K K J ) + ( J K ) + ( K J ) 2 ( ) ( x y x y y y x x x y) (A.6) D forma similar, tm-s, para as áras A 2 A3 1 A2 ( x, y) = (( xkyi xiyk) + ( yk yi) x+ ( xi xk) y) (A.7) 2 38

40 1 A3 ( x, y) = (( xiyj xjyi) + ( yi yj) x+ ( xj xi) y) (A.8) 2 Comparando as qs. (A.6), (A.7) (A.8) com os lmntos da matriz N ( x, y) na q. (2.67), considrando ainda a q. (A.5), conclui-s qu a matriz d funçõs d forma pod sr xprssa como N( xy, ) = A1( x, y) A2 ( x, y) A3 ( x, y) At At At (A.9) ou ainda como, N ( x, y) = N1( xy, ) N2( xy, ) N3( xy, ) (A.10) com A ( x, y) A ( x, y) A ( x, y) N x y = N x y = N x y = (A.11) (, ) 2(, ) 3(, ) At At At sndo dnominadas coordnadas naturais do triângulo. É intrssant obsrvar qu a mdida qu o ponto P s aproxima do nó I por xmplo, N1 1, N2 0 N3 0. Quando o ponto P s situa xatamnt sobr o nó I, isto é, quando x = xi y = yi, tm-s qu N1 ( xi, y I ) = 1, 2 ( I, I ) 0 N x y =, N3( xi, y I) = 0. Em gral, sta important propridad das funçõs d forma pod sr xprssa como 1s L= M NL( xm, ym) = 0s L M (A.12) ond considra-s qu a numração dos nós do lmnto é tal qu, I 1, J 2 K 3. 39

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