O Método dos Elementos Finitos Aplicado ao Problema de Condução de Calor
|
|
- Fábio Palhares Aragão
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENRO ECNOLÓGICO DEPARAMENO DE ENGENHARIA CIVIL NÚCLEO DE INSRUMENAÇÃO E COMPUAÇÃO APLICADA À ENGENHARIA O Método dos Elmntos Finitos Aplicado ao Problma d Condução d Calor Autor: Prof. Rmo Magalhãs d Souza, M.Sc., Ph.D Blém 05/2003
2 1. Introdução O Método dos Elmntos Finitos (MEF) consist m um método numérico aproximado para anális d divrsos fnômnos físicos qu ocorrm m mios contínuos, qu são dscritos através d quaçõs difrnciais parciais, com dtrminadas condiçõs d contorno (Problmas d Valor d Contorno), possivlmnt com condiçõs iniciais (para problmas variávis no tmpo). O MEF é bastant gnérico, pod sr aplicado na solução d inúmros problmas da ngnharia Idéia básica do Método dos Elmntos Finitos A idéia principal do Método dos Elmntos Finitos consist m s dividir o domínio (mio contínuo) do problma m sub-rgiõs d gomtria simpls (formato triangular, quadrilaral, cúbico, tc.), conform ilustra squmaticamnt a Figura 1.1. Esta idéia é bastant utilizada na ngnharia, ond usalmnt tnta-s rsolvr um problma complxo, subdividindo-o m uma séri d problmas mais simpls. Logo, trata-s d um procdimnto intuitivo para os ngnhiros. pontos nodais lmntos finitos contorno original Figura 1.1 Malha d Elmntos Finitos (para problma plano) 1
3 Dvido ao fato das sub-rgiõs aprsntarm dimnsõs finitas, stas sub-rgiõs são chamadas lmntos finitos, m contrast com os lmntos infinitsimais utilizados no cálculo difrncial intgral. Advém daí, o nom Método dos Elmntos Finitos, stablcido por Ray Clough, na década d 50. Os lmntos finitos utilizados na discrtização (subdivisão) do domínio do problma são conctados ntr si através d dtrminados pontos, dnominados nós ou pontos nodais, conform indica a Figura 1.1. Ao conjunto d lmntos finitos pontos nodais, dá-s, usualmnt o nom d malha d lmntos finitos. Divrsos tipos d lmntos finitos já foram dsnvolvidos. Ests aprsntam formas gométricas divrsas (por xmplo, triangular, quadrilatral, cúbico, tc) m função do tipo da dimnsão do problma (s uni, bi, ou tridimnsional). A Figura 1.2 aprsnta a gomtria d vários tipos d lmntos finitos. Elmnto d barra com dois nós Elmnto triangular com três nós Elmnto triangular com sis nós Elmnto ttraédrico com quatro nós Elmnto d barra com três nós Elmnto quadrilatral com quatro nós Elmnto quadrilatral com nov nós Elmnto hxaédrico com oito nós Figura 1.2 Difrnts tipos d lmntos finitos 2
4 A prcisão do método dpnd da quantidad d nós lmntos, do tamanho tipo dos lmntos prsnts na malha. Um dos aspctos mais importants do MEF diz rspito a sua convrgência. Embora trata-s d um método aproximado, pod-s dmonstrar qu m uma malha consistnt, a mdida qu o tamanho dos lmntos finitos tnd a zro, consqüntmnt, a quantidad d nós tnd a infinito, a solução obtida convrg para a solução xata do problma. Ou sja, quanto mnor for o tamanho maior for o númro d lmntos m uma dtrminada malha, mais prcisos srão os rsultados da anális Campos d aplicação O númro d áras d aplicação para o MEF tm crscido d forma considrávl rcntmnt. Dntr os inúmros campos d aplicação possívis, podm s citar: Indústria da Construção Civil; Indústria automobilística, naval, aronáutica arospacial; Mtalurgia; Minração; Exploração d ptrólo; Stor nrgético; lcomunicaçõs; Forças Armadas; Mio ambint; Rcursos Hídricos; Saúd. As primiras aplicaçõs do MEF foram m problmas d ngnharia strutural, mais spcificamtn, sobr anális d tnsõs. Nst tipo d problma, busca-s dtrminar as tnsõs, dformaçõs dslocamntos m um corpo sólido sujito a dtrminadas açõs tais como cargas (forças aplicadas) rcalqus (dslocamntos impostos). Exmplos d tais aplicaçõs comprndm o studo do comportamnto d struturas civis, tais como difícios, ponts, barragns, túnis, ond os lmntos finitos são utilizados na discrtização d vigas, lajs, trliças, pards, fundaçõs, tc. O studo d anális d tnsõs também é important m outras áras da ngnharia, tais como ngnharia mcânica, naval, aronáutica, arospacial, ond são ncssários análiss das struturas pças mcânicas d máquinas, automóvis, caminhõs, navios, aviõs, spaçonavs, tc. Dntro da ára d mcânica dos sólidos, podm sr ralizadas: anális stática, anális modal (problmas d auto valor auto-vtor, para studo d vibraçõs instabilidad strutural), anális dinâmica. Além da aplicação clássica do MEF na solução d problmas da mcânica dos sólidos, várias outras áras da ngnharia mprgam atualmnt o MEF como uma podrosa frramnta na anális d divrsos fnômnos físicos, no projto anális d divrsos quipamntos, dispositivos, procssos industriais, tc. 3
5 A quantidad d problmas físicos qu podm sr analisados com o MEF é bastant grand. A título d ilustração podm-s citar as sguints áras: ransfrência d calor; Elastostática; Elastodinâmica; Eltrostática; Eltromagntismo; Acústica; Fadiga; Mcânica da fratura; Hidráulica; Hidrodinâmica; Arodinâmica; Biomcânica; Lubrificação; Problmas d intração fluído-strutura; Problmas d propagação d ondas; Disprsão d contaminants; Vários dos fnômnos listados acima podm sr agrupados m uma catgoria spcial d problma físico, dnominado problma d campo (ou, mais particularmnt, problma d potncial). Exmplos comums d problmas d campo são: Condução d calor, Condução létrica; Campos gravitacionais; Campos ltrostáticos; Campos magntostáticos; Fluxo irrotacional d fluidos idais; Prcolação através d um mio poroso; orsão d barras prismáticas; 4
6 Os fnômnos d campo dscritos acima têm m comum o msmo tipo d quação difrncial govrnant, qual sja a quação quasi-harmônica. Casos particulars da quação quasi-harmônica são as conhcidas quaçõs d Poisson, d Laplac. No capítulo 2, aprsnta-s o dsnvolvimnto da quação d Poisson, com aplicação do problma d condução d calor. Entrtanto, o msmo dsnvolvimnto pod sr aplicado a outros problmas d campos com poucas altraçõs O concito d grau d librdad no MEF Além dos concitos d lmntos finitos nós no MEF, um outro concito muito important rfr-s ao concito d grau d librdad (dgr of frdom) ou, gdl (dof). A idéia d grau d librdad tm sua origm na idéia do movimnto d partículas m problmas da Mcânica, ond s considra qu, conform ilustra a Figura 1.3: Um ponto aprsnta, no spaço tridimnsional, três graus d librdad, quais sjam três possívis movimntos d translação. Mais gnricamnt, um corpo rígido aprsnta, no spaço tridimnsional, sis graus d librdad, quais sjam, três possívis movimntos d translação três possívis movimntos d rotação. (a) (b) Figura 1.3 Graus d librdad. a) graus d librdad d um ponto; b) graus d librdad d um corpo rígido. O comportamnto d um lmnto é praticamnt dfinido plo númro posicionamnto dos nós, plo númro d graus d librdad (gdl) por nó. O msmo lmnto finito (com a msma forma msmo númro d nós), como por xmplo, o lmnto triangular d três nós pod sr utilizado com difrnts graus d librdad, dpndndo da dimnsão tipo do problma m qustão. 5
7 Em problmas d mcânica dos sólidos (anális d tnsõs), os graus d librdad dos nós corrspondm aos possívis movimntos qu sts podm sofrr. Por xmplo, o problma d anális d tnsõs m um mio tridimnsional aprsnta três graus d librdad por nó (três translaçõs). No caso plano, xistm dois graus d librdad por nó (duas translaçõs). Ests movimntos ou dslocamntos dos nós são as incógnitas principais da anális plo método tradicional d Elmntos Finitos do problma gral da Mcânica dos sólidos. Por um outro lado, no problma d condução d calor, por xmplo, mbora não s stud o movimnto d partículas, utiliza-s comumnt o trmo grau d librdad para fazr rfrência à incógnita principal do problma, qual sja o valor do campo d tmpratur nos nós da malha. 6
8 2. Problma d condução d calor O problma d condução d calor é studado como motivação inicial para aplicação do MEF. Escolhu-s st problma pla fácil intrprtação física das quaçõs, da sua rlvância prática para divrsos stors da ngnharia. A aprsntação é fita inicialmnt, utilizando-s a forma tradicional das quaçõs difrncias qu govrnam o problma ( forma fort ), por tratar-s d um procdimnto mais simpls. Postriormnt, para possibilitar a aplicação dirta do MEF na solução do problma d condução d calor, aprsnta-s também a forma fraca da quação govrnant Forma fort das quaçõs govrnants do problma Equation Sction (Nxt) Considr um corpo bidimnsional (d spssura constant) com domínio Ω contorno Γ, com rfrência a um sistma d coordnadas cartsianas (x, y) conform ilustra a Figura 2.1. Γ Ω y x Figura corpo bidimnsional com domínio Ω contorno Γ, com rfrência a um sistma d coordnadas cartsianas (x, y). Sja Qxy (, ) a taxa d gração d calor intrna ou font 1 (calor por unidad d volum tmpo) qx ( x, y ) qy ( x, y ) as componnts do vtor fluxo d calor (calor por unidad d ára tmpo) m um ponto (x,y) do corpo Ω 1 Fonts d calor Q são proporcionadas, por xmplo, por rsistência à corrnt létrica raçõs químicas. 7
9 qx( x, y) q= q ( xy, ) = qy ( x, y). (2.1) A quação qu govrna o problma d condução d calor m um mio bidimnsional m quilíbrio (rgim stacionário, sm variação no tmpo) pod sr facilmnt dduzida considrando-s um lmnto difrncial d lados dx dy, com fluxo d calor atravssando o contorno do lmnto, conform ilustra a Figura 2.2 qy qy + dy y q x dy Q q q x x + dx x dx q y Figura 2.2 lmnto difrncial com fluxo d calor atravssandoo contorno do lmnto Considrando, sm prda d gnralidad, qu a spssura do corpo é unitária, a taxa d calor grado no corpo é igual a Qdxdy. S as facs antrior postrior indicadas na figura form isoladas trmicamnt, ntão a sguint condição dv sr satisfita q qy Qdd x y+ q d d ( + x x y+ qy x= qx d)d x y+ ( qy+ d)d y x. (2.2) x y Canclando os trmos rptidos, dividindo a quação rsultant por dxdy chga-s a quação qu govrna o problma stacionário d condução d calor q q x y + Q = 0 x y m Ω, (2.3) ou, d forma mais compacta divq + Q = 0 m Ω, (2.4) ou, ainda 8
10 q + Q = 0 m Ω, (2.5) ond x = y (2.6) dnota o oprador difrncial nabla (ou dl), tal qu q x q q x y q= div x y q = + = q. (2.7) y x y No caso d fluxo unidimnsional, obsrva-s fisicamnt qu o fluxo d calor m uma dirção é proporcional à taxa d variação da tmpratura naqula dirção (Li d Fourir). Assim, ond q x = κ x x, (2.8) κ x é o coficint d condutividad térmica (calor por unidad d comprimnto, tmpo tmpratura). Para o caso mais gral (bi ou tridimnsional), obsrva-s qu o vtor fluxo d calor é função do gradint d tmpratura ond, para o caso bidimnsional, é a matriz d condutividad térmica, Assim, a q. (2.9) pod-sr scrita como q = κ, (2.9) κxx( x, y) κxy ( x, y) κ = κ ( xy, ) = (2.10) κxy ( x, y) κyy ( x, y) x x = = = grad. (2.11) y y 9
11 q x κxx κxy x q = y κxy κyy y, (2.12) ou sja, q q κ + κ x y y x = xx xy κ + κ x y = xy yy (2.13) Substitutindo as qs. (2.13) m (2.3), chga-s a κxx + κxy + κxy + κyy + Q = 0 x x y y x y. (2.14) S as dirçõs cartsianas (x,y) coincidirm com as dirçõs principais do matrial, ntão κ xy = 0. Além disso, no caso particular d um mio isotrópico (com msma condutivida térmica m todas as dirçõs), tm-s qu κxx = κyy = κ. Nst caso, a matriz d condutividad térmica, pod sr scrita como κ κ ( xy, ) = κ ( x, y) = = κ( x, y) = κ( x, y) 0 κ ( xy, ) 0 1 I, (2.15) com I sndo a matriz idntidad d ordm 2. No caso d um mio homogêno, a condutividad térmica não dpnd das coordnadas (x,y), ou sja, κ xx κ xx são constants. q. (2.14) fica Para um mio isotrópico homogêno, tm-s κ xy = 0 κ xx = κyy = κ = ct. Nst caso, a 2 2 κ + + Q = x y (2.16) a qual é conhcida como Equação d Poisson. Esta quação govrna vários dos problmas d campo importants na ngnharia. Pod-s também obtr a q. (2.16) d forma mais dirta compacta, substituindo-s a q. (2.9) na q. (2.5), o qu rsulta m 10
12 κ + Q= 0 (2.17) Considrando-s novamnt um mio isotrópico homogêno (com quação fica κ = κi constant), sta 2 κ + Q= 0 (2.18) ond 2 é o oprador Laplaciano, tal qu x = = = + x y 2 2 x y y (2.19) Para o caso particular m qu Q = 0, ou sja, sm nnhuma font d calor intrna, a q. (2.18), fica 2 = 0 ou a qual é conhcida como Equação d Laplac = x y (2.20) Condiçõs d contorno Em gral, três difrnts tipos d condiçõs d contorno podm sr considrados para o problma d condução d calor, quais sjam: a) Imposição d tmpratura; b) Imposição d fluxo d calor; c) Imposição da rlação ntr tmpratura o fluxo d calor (ocorrndo na part do contorno sujita a convcção). Por simplicidad, srão considradas na discussão a sguir, apnas os tipos d condiçõs d contorno (a) (b). Para isto, considra-s qu o contorno Γ é subdivido m duas subrgiõs, Γ Γ q, conform indica a Figura 2.3, tal qu Γ Γ =Γ q Γ Γ = q (2.21) 11
13 Ω Γ q y x Γ Figura 2.3 subdivisão do contorno do corpo As rgiõs Γ Γ q são dfinidas d acordo com o tipo d condição d contorno considrada, quais sjam: a) Imposição d tmpratura. Est caso corrspond ao tipo mais simpls d condição d contorno, consist basicamnt m s spcificar o valor da tmpratura na rgião Γ do contorno, ou sja ond é a tmpratura conhcida no contorno Γ. = m Γ (2.22) b) Imposição d fluxo d calor. Nst caso, considra-s o quilíbrio d fluxo d calor m um lmnto infinitsimal na rgião Γ q do contorno, conform indica a Figura 2.4.a ˆn y x Ω Γ q q x s cosα α Q s ssnα q n ˆn α Γ q y (a) (b) Figura 2.4 Equilíbrio d fluxo no contorno. a) Corpo com dtalh do lmnto infinitsimal no contorno; b) fluxos d calor no lmnto infinitsimal; 12
14 A Figura 2.4.b mostra um dtalh do lmnto difrncial com as componnts d fluxo d calor qu atuam no contorno do lmnto. Nsta figura, n ˆx cosα n ˆ = nˆ = (2.23) y snα é o vtor normal unitário a suprfíci do contorno, com α sndo o ângulo qu st vtor normal forma com o ixo das abscissas; s é o comprimnto da fac do lmnto triangular rfrnt ao contorno do corpo; q n é o valor conhcido do fluxo normal à suprfíci no contorno D acordo com a Figura 2.4.b, para qu haja quilíbrio d fluxo d calor no contorno, a sguint quação dv sr satisfita Dividindo a quação por Γ q. 1 2 Q s cosαsnα + qx scosα + qy ssnα + qn s= 0. (2.24) 2 s, tm-s 1 Q scosαsnα + qxcosα + qysnα + qn = 0. (2.25) 2 Lvando sta xprssão ao limit quando o lado trmo dsaparc. Assim, a quação fica s tnd a zro, obsrva-s qu o primiro qnˆ qnˆ = q, (2.26) x x y y n ou d forma mais compacta, q n ˆ n m = q Γ (2.27) Rsumo das quaçõs Por convniência, as quaçõs qu govrnam o problma d condução d calor, na forma fort, são rsumidamnt aprsntadas no quadro abaixo: Forma fort da quação qu govrna o problma q ( ) + Q= 0 mω (2.28) 13
15 Rlação constitutiva do mio (Li d Fourir) q( ) = κ mω (2.29) Condiçõs d contorno = m Γ q nˆ = qn m Γq (2.30) O problma d condução d calor consist m s rsolvr a quação difrncial parcial (PDE, Partial Diffrntial Equation) (2.28), considrando a rlação constitutiva (2.29) do matrial, satisfazndo as codiçõs d contorno (2.30). Est tipo d problma é comumnt dnominado problma d valor d contorno (BVP, Boundary Valu Problm) As quaçõs aprsntadas no quadro acima são xprssas na chamada forma fort, o qu significa qu stas quaçõs dvm sr satisfitas pontualmnt, ou sja, a solução do problma consist m satisfazs stas quaçõs, para qualqur ponto (x,y) do mio Forma fraca das quaçõs govrnants do problma A obtnção da forma fraca das quaçõs qu govrnam o problma consist no stablcimnto d quaçõs intgrais sobr o domínio Ω o contorno Γ do corpo, rfrnts à satisfação dstas quaçõs m um sntido médio (ao contrário do sntido rstrito pontual da forma fort). Nos dsnvolvimntos sguints, utiliza-s a notação compacta d difrnciação m rlação as variávis x y, tal qu 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, x =, ϕ, y =, ϕ, xx =, ϕ 2, xy = x y y y x (2.31) A forma fraca das quaçõs govrnants pod sr obtida sguindo-s os sguints passos: 1 o Passo) Multiplica-s a q. (2.28) por uma função arbitrária wxy (, ), dnominada, função tst, tal qu ( ( ) + ) wxy (, ) q Q = 0 (2.32) 14
16 ou sja, ( qxx, qyy, Q) wxy (, ) + = 0 (2.33) 2 o Passo) Intgra-s a quação acima sobr o domínio Ω ( qxx, qyy, Q) wxy (, ) + dω = 0 (2.34) Ω Obsrva-s qu caso s dtrmin o campo d tmpratura ( x, y ) qu rsolva a q. (2.28), ou sja, caso a q. (2.28) sja satisfita, ntão a q. (2.34) também é automaticamnt satisfita para qualqur qu sja a função wxy (, ). Por outro lado, pod-s dmonstrar qu caso s dtrmin um campo d tmpratura ( x, y ) qu satisfaça a q. (2.34) para qualqur qu sja a função wxy (, ), ntão st campo é a solução da quação (2.28). 3 o Passo) Faz-s intgração por parts da quação acima, utilizando-s o torma intgral d Gauss. Para isso, inicialmnt transfr-s as drivadas da função q x q y para a função tst w, utilizandos a rgra d drivada do produto tal qu Ω w wq = ( wq ) w q x, x x, x, x x wq = ( wq ) w q ( qxx, qyy, Q) yy, y, y, y y + dω= ( wqx, x wqy, y w, xqx w, yqy wq) Ω ( ) + ( ) dω (2.35) (2.36) Utiliza-s, ntão, o torma intgral d Gauss, tal qu ( ( wqx), x + ( wqy), y) dω = ( ( wqx) nˆx + ( wqy) nˆy) Ω Γ ( qn x x + qn y y) = w ˆ ˆ dγ Γ = wq nˆ dγ Γ dγ (2.37) 15
17 Assim, substitutindo-s a q. (2.37) m (2.36), chga-s a ( qxx, + qyy, Q) 0= w dω Ω = ( w, xqx w, yqy wq) dω+ wq nˆ dγ Ω Γ (2.38) 4 o Passo) Considra-s as condiçõs d contorno (2.30), tal qu wq nˆdγ = wq nˆdγ+ wq nˆdγ Γ Γ Γq = wq nˆ dγ wq dγ Γ Γq n (2.39) Obsrva-s qu o trmo q n ˆ é igual a q n m rgião do contorno. Porém, o trmo Γ q, sndo portanto prfitamnt conhcido nsta q n ˆ é dsconhcido m Γ. Esta dificuldad pod sr rsolvida liminando-s a incógnita q, através da sguint rstrição na função tst tal qu o trmo wxy (, ) = 0 m Γ (2.40) wq n ˆ ds = 0 (2.41) Γ As funçõs tst wxy (, ) qu satisfazm a condição (2.40) são dnominadas funçõs admissívis. Assim, substituindo-s a q. (2.41) m (2.39), o rsultado m (2.38), sta pod sr rscrita como ou sja, d forma mais compacta ( w, xqx w, yqy wq) dω wqn dγ= 0 (2.42) Ω Γ q ( w) q dω= wq dω+ wq n dγ (2.43) Ω Ω Γ Esta quação consist na forma fraca do problma d condução d calor. Obsrva-s qu sta quação indpnd das propridads do matrial (rlaçõs constitutivas) do mio. q 16
18 Considrando a rlação constitutiva do mio dada pla qs. (2.29) (Li d Fourrir), lvando m conta ainda qu w é uma função scalar ( w= w ), a q. (2.43) pod sr scrita como ( w) κ ( )dω= w QdΩ+ w q n dγ (2.44) Ω Ω Γq Esta quação consist na forma fraca do problma d condução d calor para um matrial obdcndo as rlaçõs constituivas do matrial rfrnts às lis d Fourrir. A solução do problma nsta forma fraca consist m s dtrminar o campo d tmpraturas ( x, y ) satisfazndo a q. (2.44), para toda função tst wxy (, ) admissívl. Uma solução aproximada para st problma pod sr obtida através do método dos Elmntos Finitos, dscrito na próxima sção. 17
19 3. Aplicação do MEF ao problma d Condução d Calor Conform discutido antriormnt, a idéia básica do MEF consist m discrtizar (subdivir) o domínio do problma utilizando-s uma malha d lmntos finitos. Na malha, os lmntos são intrligados através dos nós, conform indica a Figura 1.1. O passo inicial para utilização do MEF consist na tapa d criação da malha d lmntos finitos plo usuário. Para isso, o usuário spcifica a localização dos nós, utilizando-s um sistma d coordnadas cartsianas, m um posicionamnto arbitrário, conform ilustra a Figura ( x, y ) ( x2, y2) 1 ( x, y ) ( x4, y4) y x 8 12 Figura 3.1 Espcificação da posição dos nós da malha. Em gral, o númro d graus d librdad por nó da malha stá rlacionado com o tipo a dimnsão do problma m qustão. No caso d problma d potncial, o objtivo inicial é a dtrminação d um campo scalar corrspondnt à solução do problma. Por xmplo, no problma d condução do calor, objtiva-s dtrminar o campo d tmpraturas, o qual consist m um campo scalar. Nst caso, os lmntos mprgados na anális dvm possui um grau d librdad (gdl) por nó, indpndntmnt da dimnsão do problma (s uni, bi ou tridimnsional). No problma d condução d calor, quando s utiliza o MEF, as incógnitas principais do problma são as tmpraturas nodais, ou sja, são os valors do campo d tmpraturas avaliados nos nós da malha. Essas tmpraturas nodais podm sr armaznadas m um arranjo unidimnsional (vtor) da sguint manira 18
20 1 2 = 3, (2.45) N g ond 1 é a tmpratura corrspondnt ao gdl 1, 2 é a tmpratura corrspondnt ao gdl 2, assim por diant, até o númro d graus d librdad N g da malha. Através do MEF, a quação difrncial qu govrna o problma é transformada m um sistma d quaçõs algébricas do tipo K = F (2.46) Ond K é uma matriz d condutividad do problma, (m gral dnominada matriz d rigidz), d ordm Ng Ng, F é um vtor d coficints (m gral dnominado vtor d forças), d ordm N g 1, é o vtor d incógnitas. No caso do problma d condução d calor, F tm o sntido d fonts concntradas d calor (calor por unidad d tmpo) nos nós da malha F F F F F 1 2 = 3 N g (2.47) ond F 1 é a font d calor corrspondnt ao gdl 1, F 2 é a font corrspondnt ao gdl 2, assim por diant, até o númro d graus d librdad N g da malha. A idéia d font d calor concntrada pod sr insrida no contxto do problma contínuo dsnvolvido antriormnt considrando-s uma função Qxy (, ) taxa d gração d calor, pontual, ou sja, uma função nula m todo o domínio, xcto m um dtrminado ponto P (função singular, ou dlta d Dirac). Utilizando-s sta idéia, tm-s qu (vr q. (2.44)) wxyqxy (, ) (, )d Ω= wx ( P, yp) FcP = wpfcp (2.48) Ω 19
21 ond F c P corrspond a font d calor concntrada no ponto P, w P corrspond à função tst avaliada nst ponto. Como podm havr várias fonts d calor concntras na malha d lmntos finitos, é convnint rscrvr a q. (2.44) como, ( ) w κ( )dω= w QdΩ+ w qndγ+ w F Ω Ω Γq NP P= 1 = w QdΩ+ w qndγ+ w Fc Ω Γq P cp (2.49) ond w é um vtor tal qu wx ( 1, y1) w1 wx ( 2, y2) w 2 wx ( 3, y3) w w = = 3 wx ( g, yg) wg (2.50) F c F F F F c1 c2 = c3 cn g (2.51) é o vtor contndo as fonts d calor concntradas nos nós da malha. Caso não xista font d calor concntrada m um dtrminado nó, ntão a rspctiva componnt no vtor F c é nula Formulação do lmnto finito triângular linar para o problma d condução d calor bidimnsional A aprsntação a sguir utiliza a idéia intuitiva, comum na ngnharia, d s rsolvr um problma complxo, sudvidindo-o m problmas mnors mais simpls. Assim, o dsnvolvimnto a sguir mostra inicialmnt a formulação d um lmnto finito simpls, postriormnt, aprsnta 20
22 como st lmnto é considrado na solução do problma global, considrando toda a malha d lmntos finitos. A partir dos valors das tmpraturas nos nós d um lmnto pod-s dtrminar o valor do campo d tmpratura m um ponto qualqur no intrior do lmnto, ralizando-s uma intrpolação dos valors nodais. Esta intrpolação pod sr linar, quadrática, ou rfrnt a qualqur outra função polinomial, dpndndo do númro d nós do lmnto. Na vrdad, pod-s também utilizar outras funçõs d intrpolação além das funçõs polinomiais, tais como funçõs trigonométricas, xponnciais, tc. Um dos lmntos finitos mais simpls já dsnvolvidos é o lmnto finito triangular com intrpolação linar. Est lmnto aprsnta uma forma triângular, com três nós I, J, K posicionados nos vértics do triângulo, conform indica a Figura 3.2. K( x, y ) K K y I( x, y ) x I I J( x, y ) J J Figura 3.2 Elmnto finito triangular linar, com rfrência ao sistma d ixos cartsianos. Na Figura 3.2 stão indicadas as coordnadas ( xi, y I ), ( xj, y J ) ( xk, y K ), dos nós I, J, K, rspctivamnt, do lmnto triangular. Estas coordnadas são forncidas como dados d ntrada do problma. O lmnto triangular linar, quando utilizado m problmas d condução d calor, possui um grau d librdad por nó, totalizando três graus d librdad, quais sjam os valors I, J, K. Ests graus d librdad corrspondm ao valor do campo d tmpratura avaliado nos nós I, J, K do lmnto. Ests graus d librdad são armaznados no vtor d tmpraturas nodais I = J K do lmnto (2.52) 21
23 A sguir dtrminam-s as funçõs d intpolação do lmnto, as quais prmitm calcular o valor do campo d tmpratura m um ponto ( x, y ) qualqur no intrior dst lmnto Funçõs d forma do lmnto A formulação do lmnto triangular linar basia-s na hipóts d qu, no intrior do lmnto, o campo d tmpratura sja uma função linar das coordnadas ( x, y ). Assim, assum-s o sguint campo d tmpratura ( x, y) = a + a x+ a y (2.53) ond a 1, a 2 a 3 são constants a srm dtrminadas. A q. (2.53) pod sr scrita d forma mais compacta como ( x, y) = x( x, y) a (2.54) ond x = 1 x y (2.55) a1 = a2 a 3 a (2.56) O vtor a, contndo as constants, pod sr dtrminado através da imposição do valor da tmpratura m cada nó, ou sja ( x, y ) = a + a x + a y = I I 1 2 I 3 I I ( x, y ) = a + a x + a y = J J 1 2 J 3 J J ( x, y ) = a + a x + a y = K K 1 2 K 3 K K (2.57) As qs. (2.57) podm sr rscritas na forma matricial como 1 xi yi a1 I 1 xj y J a2 = J 1 xk y K a 3 K (2.58) ou, m forma, mais compacta Ga = (2.59) ond 22
24 1 xi yi G = 1 xj y J (2.60) 1 xk yk é uma matriz contndo as coordnadas dos nós do lmnto. Pod-s dtrminar o vtor d constants a, invrtndo-s a q. (2.59) ond 1 a= G (2.61) ( xj yk xkyj) ( xkyi xiyk) ( xiyj xjyi) 1 1 G = ( yj yk) ( yk yi) ( yi yj) dt( G) ( xk xj) ( xi xk) ( xj xi) (2.62) com dt( G) = ( xj yk + xiyj + xkyi) ( xjyi + xkyj + xiyk) (2.63) Conform aprsntado no Apêndic A, o dtrminant da matriz G corrspond à duas vzs a ára A t do lmnto, ou sja Substituindo a q. (2.61) na q. (2.54), chga-s a 2A t = dt( G ) (2.64) 1 ( x, y) = x( x, y) G (2.65) ou ainda, ond ( x, y) = N( x, y) (2.66) 1 N( xy, ) = x( xy, ) G (2.67) Considrando a q. (2.64), dsnvolvndo o produto dado na quação acima, chga-s a N ( x, y) = N( xy, ) N( xy, ) N( xy, ) (2.68) ond 23
25 1 N1( x, y) = ( xjyk xkyj) + ( yj yk) x+ ( xk xj) y 2At 1 N2( x, y) = (( xkyi xiyk) + ( yk yi) x+ ( xi xk) y) 2At 1 N3( x, y) = (( xiyj xjyi) + ( yi yj) x+ ( xj xi) y) 2At ( ) (2.69) A matriz N ( x, y) é uma matriz contndo funçõs d intrpolação dos graus d librdad nodais, nst caso, das tmpraturas nodais. Esta matriz é usualmnt dnominada matriz d funçõs d forma. Obsrvando a q. (2.66), conclui-s qu a matriz d funçõs d forma prmit dtrminar a tmpratura m um ponto ( x, y ) qualqur do lmnto, a partir dos valors das tmpraturas nodais. Uma intrprtação gométrica dos trmos da matriz d funçõs d forma é aprsntada no Apêndic A Drivadas das funçõs d forma do lmnto Na solução do problma d condução d calor, torna-s ncssário o cálculo d drivadas do campo d tmpratura ( x, y ), conform s obsrva na q. (2.44) ond considra-s o gradint dst campo. As drivadas do campo d tmpratura, na formulação do lmnto finito, pod sr facilmnt calculada a partir da q. (2.66) ond ( x, y) = N( x, y) = B( x, y) (2.70) x B( x, y) = N( xy, ) = N1( xy, ) N2( xy, ) N3( xy, ) y N1( x, y) N2( x, y) N3( x, y) x x x = N1( x, y) N2( x, y) N3( x, y) y y y (2.71) Calculando as drivadas das funçõs d forma m rlação às coordnadas cartsianas (vr qs. (2.68) (2.69)), chga-s a 24
26 1 ( yj yk) ( yk yi) ( yi yj) B = 2A t ( xk xj) ( xi xk) ( xj xi) (2.72) Intrpolação da função tst Analogamnt ao campo d tmpratura ( x, y ), a função tst wxy (, ) no intrior d cada lmnto também pod sr obtida por intrpolação d valors nodais wi w = wj (2.73) w K utilizando-s a msma matriz d funçõs d forma N ( x, y) (vr q. (2.66)). Ou sja, wxy (, ) = N( xy, ) w (2.74) Da msma forma, o gradint d wxy (, ), ncssário na q. (2.44), também pod sr obtido d forma similar ao gradint da tmpratura ( x, y ) (vr q. (2.70)), rsultando m wxy (, ) =B( xy, ) w (2.75) Matriz d condutividad do lmnto A q. (2.49) é válida para um domínio Ω d formato qualqur, também, para qualqur subdomíno dntro do domínio original. Assim, pod-s particularizar sta quação para um subdomínio rfrnt a um lmnto finito, ou sja, ond Ω, ( ) w κ( )dω= w QdΩ+ w q n dγ+ w F c (2.76) q Ω Ω Γ Γ corrspondm, rspctivamnt, ao domínio contorno d um lmnto, F c I F c = Fc J (2.77) Fc K 25
27 é o vtor d fluxos nodais do lmnto. A substituição das qs. (2.70), (2.75), (2.74) m (2.76), lva a Colocando-s o trmo O vtor ou, d forma mais compacta, ond w B κbdω = w N QdΩ+ w N q n dγ+ w F c (2.78) Ω Ω Γ q w m vidência, chga-s a w dω QdΩ q n dγ c = 0 B κb N N F (2.79) Ω Ω Γ q w dv sr compltamnt arbitrário; portanto, conclui-s qu B κbdω = N QdΩ+ N q n dγ+ F c (2.80) q Ω Ω Γ é matriz d condutividad (ou d rigidz) do lmnto, é o vtor d fonts nodais total (ou vtor d forças) do lmnto. K = F (2.81) K = B κb dω (2.82) Ω F = N QdΩ+ N q n dγ+ F c (2.83) Ω Os dois primiros trmos do lado dirito da q. (2.83), corrspondm às parclas d fluxo nodal quivalnts aos fluxos d calor distribuído no domínio (por unidad d volum) no contorno do lmnto (por unidad d suprfíci). Estas parclas podm sr agrupadas m um único vtor, tal qu Γ q F q = N QdΩ+ N qndγ (2.84) Ω Γ q F = Fq + F c (2.85) 26
28 3.2. Montagm da matriz d condutividad do vtor d fonts nodais do modlo A partir das matrizs d condutividad vtors d fonts nodais dos lmntos qu formam a malha d lmntos finitos, pod-s obtr a matriz d condutividad a matriz d fonts nodais do modlo. Para isso, srá utilizado como xmplo uma malha simpls ilustrada na Figura b d 1 c a 2 3 Figura 3.3 Malha simpls d Elmntos Finitos Na discussão sguint, considra-s a conctividad dos lmntos para a malha da Figura 3.3, conform spcificada na abla 3.1. Elmnto Nó I Nó J Nó K a b c d abla 3.1 abla d incidência nodais dos lmntos 27
29 Rlação ntr os vtors d tmpraturas nodais do lmnto do modlo Sja o vtor d tmpraturas nodais da malha rprsntada na Figura = O vtor d tmpraturas nodais do lmnto a é (2.86) a I 2 a a = J = 3 (2.87) a K 1 Obsrva-s qu a quação acima pod sr scrita como o sguint produto matricial 1 a I a a = J = 3 (2.88) a K 4 5 ou ainda, a a = H (2.89) ond a H = (2.90) é dnominada matriz d incidência do lmnto a. Procdndo-s d forma análoga, chga-s as sguints rlaçõs para os outros lmntos b b = H c c = H d d = H (2.91) ond 28
30 H H H b c d = = = (2.92) são as matrizs d incidência dos lmntos b, c d, rspctivamnt. Dv-s notar qu o númro d linhas da matriz d incidência d um lmnto é igual ao númro d graus d librdad do lmnto (nst caso, três, para o lmnto triangular linar), o númro d colunas é igual ao númro d graus d librdad do modlo (nst caso, cinco, para a malha mostrada na Figura 3.3). A matriz d incidência d cada lmnto é facilmnt dtrminada plas sguints rgras simpls: 1) Para a primira linha, tm-s o valor um na coluna corrspondnt ao nó I do lmnto, com as dmais colunas iguais a zro; 2) Para a sgunda linha, tm-s o valor um na coluna corrspondnt ao nó J do lmnto, com as dmais colunas iguais a zro; 3) Para a trcira linha, tm-s o valor um na coluna corrspondnt ao nó K do lmnto, com as dmais colunas iguais a zro; ou sja, d forma mais gral, tm-s para cada linha n, o valor 1 na coluna corrspondnt ao grau d librdad do nó n, com as dmais colunas iguais a zro Rlação ntr os vtors d fonts nodais do lmnto do modlo Sja F o vtor d fonts nodais da malha mostrada na Figura
31 O vtor d fonts nodais do lmnto a é F1 F 2 F3 = F4 F 5 F 6 Analogamnt, para os outros lmntos, têm-s F (2.93) a I a J a K F a F = F (2.94) F b FI c FI d FI b = b FJ c = c FJ d = d FJ b FK c FK d FK F F F (2.95) Uma condição d quilíbrio a sr satisfita, é qu a soma das fonts nodais, rfrnts a um nó comum, d cada lmnto qu stão conctados a st nó comum, dv sr igual à font nodal total aplicada dst nó. Ou sja, para o nó 1, tm-s Analogamnt, têm-s para os dmais nós 1 a b c d K J K I F = F + F + F + F (2.96) a I a J b K c J F = F + F F = F + F F = F + F F = F + F b I c I d K d J (2.97) As qs. (2.96) (2.97) podm sr scritas na sguint forma matricial F a b c F F I F I F I d FI a b c F FJ FJ d = + + FJ FJ F a b c FK FK F d K FK F (2.98) 30
32 Obsrva-s qu as matrizs mostradas na quação acima corrspondm às matrizs transpostas das matrizs d incidência d cada lmnto. Assim, a quação acima pod sr scrita, d forma compacta, como d 4. Assim, ou sja, a a b b c c d d F= H F + H F + H F + H F (2.99) Para scrvr a quação acima na forma d somatório, pod-s dfinir a 1, b 2, c F= H F + H F + H F + H F (2.100) n = = 1 F H F (2.101) ond rprsnta um lmnto gnérico n é o númro d lmntos da malha (nst caso, n = 4 ). Através da q. (2.101), pod-s, portanto, dtrminar o vtor d fonts nodais da malha Obtnção da matriz d condutividad do modlo A q. (2.81) aprsnta a rlação ntr os vtors d tmpraturas fonts nodais d um lmnto gnérico. Assim, para a malha da Figura 3.3, pod-s scrvr ou ainda, a a a b b b c c c d d d F = K F = K F = K F = K (2.102) Substituindo as quaçõs acima na q. (2.99), tm-s a a a b b b c c c d d d F= H K + H K + H K + H K (2.103) Substituindo, agora, as qs. (2.89) (2.91) na quação acima, tm-s a a a b b b c c c d d d F= H K H + H K H + H K H + H K H (2.104) Colocando o vtor d tmpraturas nodais do modlo m vidência, chga-s a a a a b b b c c c d d d F= ( H K H + H K H + H K H + H K H ) (2.105) F= K (2.106) ond 31
33 a a a b b b c c c d d d K = H K H + H K H + H K H + H K H (2.107) é a matriz d condutividad (ou d rigidz) do modlo. Esta quação também pod sr scrita na forma d somatório, sguindo a idéia utilizada na q. (2.101). Assim, m gral, pod-s obtr a matriz d rigidz do modlo, através do sguint somatório n = = 1 K H K H (2.108) Através da q.(2.108), pod-s, portanto, dtrminar a matriz d condutividad da malha. Embora as qs. (2.101) (2.108) tnham sido dduzidas para o malha mostrada na Figura 3.3, stas quaçõs são compltamnt gnéricas, podndo sr utilizadas para qualqur outra malha d lmntos finitos. Para isso, dv-s apnas dtrminar a matriz d incidência associada a cada lmnto para a malha m qustão. Dv-s rssaltar qu mbora as qs. (2.101) (2.108) rprsntm toricamnt a forma d obtnção do vtor d fonts nodais, da matriz d condutividad do modlo, na prática, st procsso torna-s inficint para malhas rfinadas (com muitos lmntos), m função da grand quantidad d zros prsnt nas matrizs d incidência. Assim, na prática, utiliza-s um algoritmo computacional para montagm do vtor d fonts nodais matriz d condutividad da malha, o qual vita a multiplicação dsncssária dos númros zro prsnts nas matrizs d incidência dos lmntos Imposição das condiçõs d contorno solução do sistma d quaçõs Caso as tmpraturas nodais d todos os nós da malha fossm conhcidas, as fonts nodais podriam sr facilmnt dtrminadas através da q. (2.106). Entrtanto, m situaçõs práticas, s conhc a tmpratura nodal d alguns nós, a font nodal dos dmais nós. Para a dtrminação dos valors dsconhcidos das fonts tmpraturas nodais, dv-s numrar os graus d librdad da malha, d tal manira qu os nós com font nodal prscrita (conhcida) sjam numrados primiro, os nós com tmpratura prscrita (conhcida) sjam numrados por último. Por xmplo, considra-s a malha da Figura 3.3. Nst caso, a q. (2.106) pod sr scrita na forma xpandida como 32
34 K K K K K F K21 K22 K23 K24 K 25 2 F 2 K31 K32 K33 K34 K35 3 = F3 K41 K42 K43 K44 K 45 4 F 4 K51 K52 K53 K54 K55 5 F5 (2.109) Considra-s agora, qu as fonts nodais sjam prscritas para os nós 1, 2 3, qu as tmpraturas sjam prscritas para os nós 4 5. Com isso, pod-s particionar o sistma acima, da sguint manira, K11 K12 K13 K14 K15 1 F1 K21 K22 K 23 K24 K 25 2 F2 K31 K32 K33 K34 K35 3 F = 3 K41 K42 K43 K44 K 45 4 F 4 K51 K52 K 53 K54 K 55 5 F5 (2.110) ou d forma mais compacta K00 K01 0 F0 = K10 K11 1 F1 (2.111) ond K11 K12 K13 K14 K15 1 F1 K00 = K21 K22 K K24 K K = 25 0 = 2 F0 = F2 K K K K K F K41 K42 K43 K44 K45 4 F4 K10 = K51 K52 K K = = = 53 K54 K F 55 5 F5 (2.112) Dsta forma, dv-s notar qu os vtors 1 F 0 são conhcidos, ao passo qu os vtors 0 F 1 são dsconhcidos. Dsnvolvndo a q. (2.111), tm-s K + K = F K + K = F (2.113) Com isso, o vtor d tmpraturas nodais 0 pod sr calculado, a partir da primira das quaçõs acima, ( ) 1 0 = K F K (2.114) 33
35 Após a dtrminação d 0, o vtor d fonts nodais F 1, pod sr calculado dirtamnt utilizando-s a sgunda das qs. (2.113) F1 = K100 + K11 1 (2.115) 3.4. Rsumo das tapas d anális plo MEF As tapas d anális plo Método dos lmntos finitos são dscritas rsumidamnt abaixo: 1) Montagm da matriz d condutividad do matrial (q. (2.10)) para cada lmnto κxx( x, y) κxy ( x, y) κ = κ ( xy, ) = (2.116) κxy ( x, y) κyy ( x, y) 2) Montagm da matriz com as drivadas das funçõs d forma (q. (2.72)) para cada lmnto 1 ( yj yk) ( yk yi) ( yi yj) B = 2A t ( xk xj) ( xi xk) ( xj xi) (2.117) 3) Dtrminação da matriz d condutividad para cada lmnto, através da q. (2.82) K = B κb dω (2.118) Ω Para o caso particular do lmnto triangular linar, com matrial homogêno, as matrizs κ B são constants (indpndnts d x y). Assim, a matriz d condutividad do lmnto pod sr obtida como K = B κb At (2.119) 4) Dtrminação do vtor d fonts ou fluxos nodais para cada lmnto, através da q. (2.83) t F = N QdΩ+ N q n dγ+ F c (2.120) Ω Γ q Para o caso particular do lmnto triangular linar, com font Q constant, fluxo normal prscrito no contorno do lmnto q n nulo, o vtor F pod sr obtido como 34
36 5) Dtrminação da matriz d incidência 1 F = 1 QAtt + F c (2.121) 1 H para cada lmnto, conform xplicado na sção ) Montagm da matriz d condutividad do modlo d acordo com a q. (2.108) n = = 1 K H K H (2.122) 7) Montagm do vtor d fonts nodais do modlo d acordo com a q. (2.101) n = = 1 F H F (2.123) Na vrdad, apnas s conhc uma part dst vtor, dnominada F 0, m função das condiçõs d contorno. Após a montagm do vtor F total como mostrado acima, xtrai-s a part F 0 dst vtor, ignora-s a part F 1, a qual srá rcalculada postriormnt. 8) Montagm da part conhcida 1 do vtor d tmpraturas nodais 9) Partição do sistma d quaçõs K = a sção 3.3. F, considrando as condiçõs d contorno, d acordo com K00 K01 0 F0 = K10 K11 1 F1 (2.124) 10) Solução do sistma d quaçõs, d acordo com as qs. (2.114) (2.115) ( ) 1 0 = ) Montagm do vtor d tmpraturas nodais do modlo K F K (2.125) F1 = K100 + K11 1 (2.126) 0 = 1 (2.127) 12) Dtrminação do vtor d tmpraturas nodais d cada lmnto, utilizando-s a matriz d incidência. 35
37 = H (2.128) 13) Dtrminação do gradint d tmpratura no intrior d cada lmnto (q. (2.70) =B (2.129) 14) Dtrminação do fluxo d calor no intrior d cada lmnto (q. (2.9)). q = κ (2.130) Com isto, tm-s a solução do problma d condução d calor por lmntos finitos, utilizandos o lmnto triangular linar. 36
38 A. Intrprtação gométrica das funçõs d forma do lmnto Equation Sction 1 Para possibilitar uma intprtação gométrica dos trmos da matriz d funçõs d forma N ( x, y), dv-s inicialmnt, calcular a ára do lmnto triangular. Isto pod sr fito facilmnt calculando-s a norma do produto vtorial ntr dois vtors r s dfinidos arbitrariamnt por duas arstas do lmnto, conform ilustra a Figura A.1. s K( xk, yk) y I( xi, yi) x r J( xj, yj ) Figura A.1 Vtors dfinidos plas arstas do lmnto, para dtrminação da ára do triângulo. rx xj xi sx xk xi r = ry = yj yi s = sy = yk yi (A.1) r 0 0 z sz A ára A t do lmnto pod sr calculada como Assim, 1 A t = r s (A.2) 2 ˆi ˆj kˆ ˆi ˆj kˆ r s= r r r = ( x x ) ( y y ) 0 x y z J I J I s s s x y z ( x x ) ( y y ) 0 K I K I ( x x y y x x y y ) = 0ˆi + 0 ˆj + ( )( ) ( )( ) kˆ J I K I K I J I (A.3) ond î, ĵ ˆk são os vtors bas unitários (vrsors) do sistma d coordnadas cartsianas ( x, yz, ) conform indica a Figura A.1. 37
39 Substituindo-s a q. (A.3) na q. (A.2), chga-s a 1 1 At = r s = ( xj xi )( yk yi ) ( xk xi )( yj yi ) = ( ( xjyk + xiyj + xkyi ) ( xjyi + xkyj + xiyk ) ) 2 ( ) (A.4) Comparando as quaçõs (2.63) (A.4), conclui-s qu dt( G ) = 2A t (A.5) ou sja, o dtrminant da matriz G corrspond a duas vzs a ára do lmnto. Para intrprtação gométrica dos outros trmos da matriz N ( x, y) considra-s um ponto P d coordnadas ( x, y ) no intrior do lmnto, divid-s o lmnto m três triângulos com vértic m P, conform mostra a Figura A.2. K( xk, yk) y I( xi, yi) x A 2 A 3 A 1 Pxy (, ) J ( xj, yj) Figura A.2 Sub-áras no intrior do lmnto, dfinidas por um ponto P d coordnadas ( x, y ). Dsta forma, o cálculo da ára A 1 do triângulo dfinido plos pontos P, J K pod sr calculada utilizando-s a q. (A.4), com as variávis x y, no lugar d x I y I, rspctivamnt 1 A1 ( x, y) = ( xj yk + xyj + xky) ( xjy+ xkyj + xyk) 2 1 = ( J K K J ) + ( J K ) + ( K J ) 2 ( ) ( x y x y y y x x x y) (A.6) D forma similar, tm-s, para as áras A 2 A3 1 A2 ( x, y) = (( xkyi xiyk) + ( yk yi) x+ ( xi xk) y) (A.7) 2 38
40 1 A3 ( x, y) = (( xiyj xjyi) + ( yi yj) x+ ( xj xi) y) (A.8) 2 Comparando as qs. (A.6), (A.7) (A.8) com os lmntos da matriz N ( x, y) na q. (2.67), considrando ainda a q. (A.5), conclui-s qu a matriz d funçõs d forma pod sr xprssa como N( xy, ) = A1( x, y) A2 ( x, y) A3 ( x, y) At At At (A.9) ou ainda como, N ( x, y) = N1( xy, ) N2( xy, ) N3( xy, ) (A.10) com A ( x, y) A ( x, y) A ( x, y) N x y = N x y = N x y = (A.11) (, ) 2(, ) 3(, ) At At At sndo dnominadas coordnadas naturais do triângulo. É intrssant obsrvar qu a mdida qu o ponto P s aproxima do nó I por xmplo, N1 1, N2 0 N3 0. Quando o ponto P s situa xatamnt sobr o nó I, isto é, quando x = xi y = yi, tm-s qu N1 ( xi, y I ) = 1, 2 ( I, I ) 0 N x y =, N3( xi, y I) = 0. Em gral, sta important propridad das funçõs d forma pod sr xprssa como 1s L= M NL( xm, ym) = 0s L M (A.12) ond considra-s qu a numração dos nós do lmnto é tal qu, I 1, J 2 K 3. 39
SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE
Lógica Matmática Computacional - Sistma d Ponto Flutuant SISTEM DE PONTO FLUTUNTE s máquinas utilizam a sguint normalização para rprsntação dos númros: 1d dn * B ± 0d L ond 0 di (B 1), para i = 1,,, n,
Leia maisDinâmica Longitudinal do Veículo
Dinâmica Longitudinal do Vículo 1. Introdução A dinâmica longitudinal do vículo aborda a aclração frnagm do vículo, movndo-s m linha rta. Srão aqui usados os sistmas d coordnadas indicados na figura 1.
Leia maisDesta maneira um relacionamento é mostrado em forma de um diagrama vetorial na Figura 1 (b). Ou poderia ser escrito matematicamente como:
ASSOCIAÇÃO EDUCACIONA DOM BOSCO FACUDADE DE ENGENHAIA DE ESENDE ENGENHAIA EÉICA EEÔNICA Disciplina: aboratório d Circuitos Elétricos Circuitos m Corrnt Altrnada EXPEIMENO 9 IMPEDÂNCIA DE CICUIOS SÉIE E
Leia maisEm cada ciclo, o sistema retorna ao estado inicial: U = 0. Então, quantidade de energia W, cedida, por trabalho, à vizinhança, pode ser escrita:
Máquinas Térmicas Para qu um dado sistma raliz um procsso cíclico no qual rtira crta quantidad d nrgia, por calor, d um rsrvatório térmico cd, por trabalho, outra quantidad d nrgia à vizinhança, são ncssários
Leia maisAUTO CENTRAGEM DA PLACA DE RETENÇÃO DE UMA MÁQUINA DE PISTÕES AXIAIS TIPO SWASHPLATE. azevedoglauco@unifei.edu.br
AUTO CENTRAGEM DA PLACA DE RETENÇÃO DE UMA MÁQUINA DE PISTÕES AXIAIS TIPO SWASHPLATE Glauco José Rodrigus d Azvdo 1, João Zangrandi Filho 1 Univrsidad Fdral d Itajubá/Mcânica, Av. BPS, 1303 Itajubá-MG,
Leia maisCoordenadas polares. a = d2 r dt 2. Em coordenadas cartesianas, o vetor posição é simplesmente escrito como
Coordnadas polars Sja o vtor posição d uma partícula d massa m rprsntado por r. S a partícula s mov, ntão su vtor posição dpnd do tmpo, isto é, r = r t), ond rprsntamos a coordnada tmporal pla variávl
Leia mais4.1 Método das Aproximações Sucessivas ou Método de Iteração Linear (MIL)
4. Método das Aproimaçõs Sucssivas ou Método d Itração Linar MIL O método da itração linar é um procsso itrativo qu aprsnta vantagns dsvantagns m rlação ao método da bisscção. Sja uma função f contínua
Leia maisDesse modo, podemos dizer que as forças que atuam sobre a partícula que forma o pêndulo simples são P 1, P 2 e T.
Pêndulo Simpls Um corpo suspnso por um fio, afastado da posição d quilíbrio sobr a linha vrtical qu passa plo ponto d suspnsão, abandonado, oscila. O corpo o fio formam o objto qu chamamos d pêndulo. Vamos
Leia mais03/04/2014. Força central. 3 O problema das forças centrais TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA. Redução a problema de um corpo. A importância do problema
Força cntral 3 O problma das forças cntrais TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA Uma força cntralé uma força (atrativa ou rpulsiva) cuja magnitud dpnd somnt da distância rdo objto à origm é dirigida ao longo
Leia maisDefinição de Termos Técnicos
Dfinição d Trmos Técnicos Eng. Adriano Luiz pada Attack do Brasil - THD - (Total Harmonic Distortion Distorção Harmônica Total) É a rlação ntr a potência da frqüência fundamntal mdida na saída d um sistma
Leia maisNOTA SOBRE INDETERMINAÇÕES
NOTA SOBRE INDETERMINAÇÕES HÉLIO BERNARDO LOPES Rsumo. Em domínios divrsos da Matmática, como por igual nas suas aplicaçõs, surgm com alguma frquência indtrminaçõs, d tipos divrsos, no cálculo d its, sja
Leia maisMódulo II Resistores, Capacitores e Circuitos
Módulo laudia gina ampos d arvalho Módulo sistors, apacitors ircuitos sistência Elétrica () sistors: sistor é o condutor qu transforma nrgia létrica m calor. omo o rsistor é um condutor d létrons, xistm
Leia maisCONTINUIDADE A idéia de uma Função Contínua
CONTINUIDADE A idéia d uma Função Contínua Grosso modo, uma função contínua é uma função qu não aprsnta intrrupção ou sja, uma função qu tm um gráfico qu pod sr dsnhado sm tirar o lápis do papl. Assim,
Leia maisExperiência n 2 1. Levantamento da Curva Característica da Bomba Centrífuga Radial HERO
8 Expriência n 1 Lvantamnto da Curva Caractrística da Bomba Cntrífuga Radial HERO 1. Objtivo: A prsnt xpriência tm por objtivo a familiarização do aluno com o lvantamnto d uma CCB (Curva Caractrística
Leia maisANÁLISE TÉRMICA TRANSIENTE E TRIDIMENSIONAL EM ROCHAS SEDIMENTARES. Vanessa Pereira Spear King
ANÁLISE TÉRMICA TRANSIENTE E TRIDIMENSIONAL EM ROCHAS SEDIMENTARES Vanssa Prira Spar King TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL
Leia maisEC1 - LAB - CIRCÚITOS INTEGRADORES E DIFERENCIADORES
- - EC - LB - CIRCÚIO INEGRDORE E DIFERENCIDORE Prof: MIMO RGENO CONIDERÇÕE EÓRIC INICII: Imaginmos um circuito composto por uma séri R-C, alimntado por uma tnsão do tipo:. H(t), ainda considrmos qu no
Leia maisPSI-2432: Projeto e Implementação de Filtros Digitais Projeto Proposto: Conversor de taxas de amostragem
PSI-2432: Projto Implmntação d Filtros Digitais Projto Proposto: Convrsor d taxas d amostragm Migul Arjona Ramírz 3 d novmbro d 2005 Est projto consist m implmntar no MATLAB um sistma para troca d taxa
Leia maisAII. ANEXO II COEFICIENTE DE CONDUTIBILIDADE TÉRMICA IN-SITU
ANEXO II Coficint d Condutibilidad Térmica In-Situ AII. ANEXO II COEFICIENTE DE CONDUTIBILIDADE TÉRMICA IN-SITU AII.1. JUSTIFICAÇÃO O conhcimnto da rsistência térmica ral dos componnts da nvolvnt do difício
Leia maisProcedimento em duas etapas para o agrupamento de dados de expressão gênica temporal
Procdimnto m duas tapas para o agrupamnto d dados d xprssão gênica tmporal Moysés Nascimnto Fabyano Fonsca Silva Thlma Sáfadi Ana Carolina Campana Nascimnto Introdução Uma das abordagns mais importants
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MÉTODO DE GALERKIN LIVRE DE ELEMENTOS APLICADO A PLACAS DE MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS Dissrtação submtida à UNIVERSIDADE
Leia maisApêndice Matemático. Se este resultado for inserido na expansão inicial (A1.2), resulta
A Séris Intgrais d Fourir Uma função priódica, d príodo 2, = + 2 pod sr xpandida m séri d Fourir no intrvalo <
Leia maisAnálise Modal. Mecânica Estrutural (10391/1411) 2018 Pedro V. Gamboa. Departamento de Ciências Aeroespaciais
Anális Modal Mcânica Estrutural (1091/1411) 018 1. Introdução Um problma d valors próprios é dfinido como sndo um problma m qu dsjamos obtr os valors do parâmtro l d forma qu a quação A( u) lb( u) é satisfita
Leia mais66 (5,99%) 103 (9,35%) Análise Combinatória 35 (3,18%)
Distribuição das 0 Qustõs do I T A 9 (8,6%) 66 (,99%) Equaçõs Irracionais 09 (0,8%) Equaçõs Exponnciais (,09%) Conjuntos 9 (,6%) Binômio d Nwton (,9%) 0 (9,%) Anális Combinatória (,8%) Go. Analítica Funçõs
Leia mais5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1
5 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 5 Introdução: Considrmos os sguints nunciados: Quais são as dimnsõs d uma caia rtangular sm tampa com volum v com a mnor ára d supríci possívl? A tmpratura
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV A =
Instituto uprior Técnico Dpartamnto d Matmática cção d Álgbra Anális ANÁLIE MATEMÁTICA IV FICHA 5 ITEMA DE EQUAÇÕE LINEARE E EQUAÇÕE DE ORDEM UPERIOR À PRIMEIRA () Considr a matriz A 3 3 (a) Quais são
Leia maisCAPÍTULO 06 ESTUDOS DE FILAS EM INTERSEÇÕES NÃO SEMAFORIZADAS
APÍTULO 06 ESTUDOS DE FILAS EM INTERSEÇÕES NÃO SEMAFORIZADAS As filas m intrsçõs não smaforizadas ocorrm dvido aos movimntos não prioritários. O tmpo ncssário para ralização da manobra dpnd d inúmros fators,
Leia maisAula Expressão do produto misto em coordenadas
Aula 15 Nsta aula vamos xprssar o produto misto m trmos d coordnadas, analisar as propridads dcorrnts dssa xprssão fazr algumas aplicaçõs intrssants dos produtos vtorial misto. 1. Exprssão do produto misto
Leia maisCálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços Seja o operador linear tal que. Por definição,, com e. Considere o operador identidade tal que.
AUTOVALORES E AUTOVETORES Dfiniçõs Sja um oprador linar Um vtor, é dito autovtor, vtor próprio ou vtor caractrístico do oprador T, s xistir tal qu O scalar é dnominado autovalor, valor próprio ou valor
Leia maisUMA INTRODUÇÃO A TOPOLOGIA
Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 0 a 3 d outubro, 014 0 UMA INTRODUÇÃO A TOPOLOGIA TÍTULO DO TRABALHO EM INGLES Mário Márcio dos Santos Palhars 1, Antonio Carlos Tamarozzi² Univrsidad
Leia maisDISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE VALORES EXTREMOS DA PRECIPITAÇÃO MÁXIMA DE 24 HORAS DE BELÉM DO PARÁ
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE VALORES ETREMOS DA MÁIMA DE 24 HORAS DE BELÉM DO PARÁ Mauro Mndonça da Silva Mstrando UFAL Mació - AL -mail: mmds@ccn.ufal.br Ant Rika Tshima Gonçalvs UFPA Blém-PA -mail:
Leia maisResolução. Admitindo x = x. I) Ax = b
Considr uma população d igual númro d homns mulhrs, m qu sjam daltônicos % dos homns 0,% das mulhrs. Indiqu a probabilidad d qu sja mulhr uma pssoa daltônica slcionada ao acaso nssa população. a) b) c)
Leia maisPSICROMETRIA 1. É a quantificação do vapor d água no ar de um ambiente, aberto ou fechado.
PSICROMETRIA 1 1. O QUE É? É a quantificação do vapor d água no ar d um ambint, abrto ou fchado. 2. PARA QUE SERVE? A importância da quantificação da umidad atmosférica pod sr prcbida quando s qur, dntr
Leia mais2 Mbps (2.048 kbps) Telepac/Sapo, Clixgest/Novis e TV Cabo; 512 kbps Cabovisão e OniTelecom. 128 kbps Telepac/Sapo, TV Cabo, Cabovisão e OniTelecom.
4 CONCLUSÕES Os Indicadors d Rndimnto avaliados nst studo, têm como objctivo a mdição d parâmtros numa situação d acsso a uma qualqur ára na Intrnt. A anális dsts indicadors, nomadamnt Vlocidads d Download
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR A =
Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Álgbra Anális ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Formas canónicas d Jordan () Para cada uma das matrizs A
Leia maisuma estrutura convencional. Desta forma, o desempenho de um sistema estrutural está diretamente relacionado com o desempenho de suas ligações.
ISSN 1809-5860 ESTUDO DE UMA LIGAÇÃO VIGA-PILAR UTILIZADA EM GALPÕES DE CONCRETO PRÉ- MOLDADO Anamaria Malachini Miotto 1 & Mounir Khalil El Dbs 2 Rsumo Em gral, as ligaçõs ntr lmntos pré-moldados d concrto
Leia maisAugusto Massashi Horiguti. Doutor em Ciências pelo IFUSP Professor do CEFET-SP. Palavras-chave: Período; pêndulo simples; ângulos pequenos.
DETERMNAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DO PERÍODO DO PÊNDULO SMPLES Doutor m Ciências plo FUSP Profssor do CEFET-SP Est trabalho aprsnta uma rvisão do problma do pêndulo simpls com a dmonstração da quação do príodo
Leia maisDiogo Batista de Oliveira ANÁLISE DO AQUECIMENTO POR MICROONDAS EM UMA CAVIDADE MONOMODO UTILIZANDO UMA TÉCNICA SEMI-ANALÍTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Diogo Batista d Olivira ANÁLISE DO AQUECIMENTO POR MICROONDAS EM UMA CAVIDADE MONOMODO UTILIZANDO
Leia maisEmerson Marcos Furtado
Emrson Marcos Furtado Mstr m Métodos Numéricos pla Univrsidad Fdral do Paraná (UFPR). Graduado m Matmática pla UFPR. Profssor do Ensino Médio nos stados do Paraná Santa Catarina dsd 1992. Profssor do Curso
Leia maisPrograma de Pós-Graduação Processo de Seleção 2 0 Semestre 2008 Exame de Conhecimento em Física
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIAS INSTITUTO DE FÍSICA C.P. 131, CEP 74001-970, Goiânia - Goiás - Brazil. Fon/Fax: +55 62 521-1029 Programa d Pós-Graduação Procsso d Slção 2 0 Smstr 2008 Exam d Conhcimnto m
Leia maisConsidere o problema da determinação da deformada de uma viga, encastrada nas duas extremidades, e sujeita ao carregamento esquematizado na figura:
roblma I (6 val.) ágina I. Considr o problma da dtrminação da dformada d uma viga, ncastrada nas duas xtrmidads, sujita ao carrgamnto squmatizado na figura: q L/ L/ L/ As quaçõs difrnciais qu govrnam a
Leia maisLEITURA 1: CAMPO ELÁSTICO PRÓXIMO À PONTA DA TRINCA
Fadiga dos Matriais Mtálicos Prof. Carlos Baptista Cap. 4 PROPAGAÇÃO DE TRINCAS POR FADIGA LEITURA 1: CAMPO ELÁSTICO PRÓXIMO À PONTA DA TRINCA Qualqur solução do campo d tnsõs para um dado problma m lasticidad
Leia maisTÓPICOS. ordem; grau; curvas integrais; condições iniciais e fronteira. 1. Equações Diferenciais. Conceitos Gerais.
Not bm, a litura dsts apontamntos não dispnsa d modo algum a litura atnta da bibliografia principal da cadira hama-s à atnção para a importância do trabalho pssoal a ralizar plo aluno rsolvndo os problmas
Leia mais3. Geometria Analítica Plana
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA PROF VINICIUS 3 Gomtria Analítica Plana 31 Vtors no plano Intuitivamnt,
Leia maisDepartamento de Engenharia Elétrica CONTROLE DIGITAL
Dpartamnto d Engnharia Elétrica CONTROLE DIGITAL PROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃO Univrsidad Estadual Paulista UNESP Faculdad d Engnharia d Ilha Soltira FEIS Dpartamnto d Engnharia Elétrica DEE -03- Sumário
Leia maisCalor Específico. Q t
Calor Espcífico O cocint da quantidad d nrgia () forncida por calor a um corpo plo corrspondnt acréscimo d tmpratura ( t) é chamado capacidad térmica dst corpo: C t Para caractrizar não o corpo, mas a
Leia maisMAURICIO EDGAR STIVANELLO DESENVOLVIMENTO DE UMA BIBLIOTECA PARA SISTEMAS DE VISÃO ESTEREOSCÓPICA PARA ROBÓTICA MÓVEL
MAURICIO EDGAR STIVANELLO DESENVOLVIMENTO DE UMA BIBLIOTECA PARA SISTEMAS DE VISÃO ESTEREOSCÓPICA PARA ROBÓTICA MÓVEL FLORIANÓPOLIS 2008 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
Leia maisFlorianópolis, 09 de abril de 1998. PORTARIA Nº 0173/GR/98.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA GABINETE DO REITOR PORTARIAS Florianópolis, 09 d abril d 1998 PORTARIA Nº 0173/GR/98 O Ritor da Univrsidad Fdral d Santa Catarina, no uso d suas atribuiçõs statutárias
Leia maisestados. Os estados são influenciados por seus próprios valores passados x
3 Filtro d Kalman Criado por Rudolph E. Kalman [BROWN97] m 1960, o filtro d Kalman (FK) foi dsnvolvido inicialmnt como uma solução rcursiva para filtragm linar d dados discrtos. Para isto, utiliza quaçõs
Leia maisPRODUTOS GERDAU PARA PAREDES DE CONCRETO
PRODUTOS GERDAU PARA PAREDES DE CONCRETO SISTEMA CONSTRUTIVO PAREDES DE CONCRETO NBR60 PAREDES DE CONCRETO Sistma construtivo m qu as lajs as pards são moldadas m conjunto, formando um lmnto monolítico.
Leia mais/ :;7 1 6 < =>6? < 7 A 7 B 5 = CED? = DE:F= 6 < 5 G? DIHJ? KLD M 7FD? :>? A 6? D P
26 a Aula 20065 AMIV 26 Exponncial d matrizs smlhants Proposição 26 S A SJS ntão Dmonstração Tmos A SJS A % SJS SJS SJ % S ond A, S J são matrizs n n ", (com dt S 0), # S $ S, dond ; A & SJ % S SJS SJ
Leia mais3º) Equação do tipo = f ( y) dx Solução: 2. dy dx. 2 =. Integrando ambos os membros, dx. dx dx dy dx dy. vem: Ex: Resolva a equação 6x + 7 = 0.
0 d º) Equação do tipo: f ) d Solução: d d d d f ) f ) d f ) d. Intgrando ambos os mmbros d d d d vm: d d f ) d C d [ f ) d C ]d [ f ) d C] d C d E: Rsolva a quação 6 7 0 d d d º) Equação do tipo f ) :
Leia maisSistemas de coordenadas em movimento
Sistmas d coordnadas m movimnto Na suprfíci da Trra stamos m movimnto d translação m torno do Sol rotação m torno do ixo trrstr, além, é claro, do movimnto qu o sistma solar intiro tm pla nossa galáxia.
Leia maisFUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA Ettor A. d Barros 1. INTRODUÇÃO Sja s um númro complxo qualqur prtncnt a um conjunto S d númros complxos. Dizmos qu s é uma variávl complxa. S, para cada valor d s, o valor
Leia maisIntrodução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 6
Introdução ao Soluçõs dos Exrcícios Propostos Capítulo 6 1. Dadas as squências x[n] abaixo com sus rspctivos comprimntos, ncontr as transformadas discrtas d Fourir: a x[n] = n, para n < 4 X[] = 6 X[1]
Leia maisSolução da equação de Poisson 1D com coordenada generalizada
Solução da quação d Poisson 1D com coordnada gnralizada Guilhrm Brtoldo 8 d Agosto d 2012 1 Introdução Ao s rsolvr a quação d Poisson unidimnsional d 2 T = fx), 0 x 1, 1) dx2 sujita às condiçõs d contorno
Leia maisProposta de Resolução do Exame Nacional de Física e Química A 11.º ano, 2011, 1.ª fase, versão 1
Proposta d Rsolução do Exam Nacional d ísica Química A 11.º ano, 011, 1.ª fas, vrsão 1 Socidad Portugusa d ísica, Divisão d Educação, 8 d Junho d 011, http://d.spf.pt/moodl/ 1. Movimnto rctilíno uniform
Leia maisPlanificação :: TIC - 7.º Ano :: 15/16
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE SÃO PEDRO DA COVA Escola Básica d São Pdro da Cova Planificação :: TIC - 7.º Ano :: 15/16 1.- A Informação, o conhcimnto o mundo das tcnologias A volução das tcnologias d informação
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Matemática
Univrsidad Fdral do Rio d Janiro Instituto d Matmática Dpartamnto d Matmática Gabarito da Prova Final d Cálculo Difrncial Intgral II - 07-I (MAC 8 - IQN+IFN+Mto, 6/06/07 Qustão : (.5 pontos Rsolva { xy.
Leia maisIsomeria. Isomeria Ocorre quando dois ou mais compostos apresentam a mesma fórmula molecular e diferentes fórmulas estruturais.
SEI Ensina - MILITAR Química Isomria Isomria corr quando dois ou mais compostos aprsntam a msma fórmula molcular difrnts fórmulas struturais. Isomria Plana É quando os isômros difrm m sua strutura plana.
Leia maisRepresentação de Números no Computador e Erros
Rprsntação d Númros no Computador Erros Anális Numérica Patrícia Ribiro Artur igul Cruz Escola Suprior d Tcnologia Instituto Politécnico d Stúbal 2015/2016 1 1 vrsão 23 d Fvriro d 2017 Contúdo 1 Introdução...................................
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA APLICADA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia
PROVA DE MATEMÁTICA APLICADA VESTIBULAR 013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO Profa. Maria Antônia C. Gouvia 1. A Editora Progrsso dcidiu promovr o lançamnto do livro Dscobrindo o Pantanal m uma Fira Intrnacional
Leia maisCurso de Engenharia Mecânica Disciplina: Física 2 Nota: Rubrica. Coordenador Professor: Rudson R Alves Aluno:
Curso d Engnharia Mcânica Disciplina: Física 2 Nota: Rubrica Coordnador Profssor: Rudson R Alvs Aluno: Turma: EA3N Smstr: 1 sm/2017 Data: 20/04/2017 Avaliação: 1 a Prova Valor: 10,0 p tos INSTRUÇÕES DA
Leia maisDISCIPLINA. PEF 3528 Ferramentas Computacionais na Mecânica das Estruturas Criação e Concepção. Aula 02
DSCPNA PF 358 Frramntas Computacionais na Mcânica das struturas Criação Concpção Aula Valério S Almida - 8 valrioalmida@uspbr MÉTODO DOS MNTOS FNTOS (MF) Prmit rsolvr problmas d difícil gomtria com rlativa
Leia maisMÓDULO 4 4.8.1 - PROCEDIMENTOS DE TESTES DE ESTANQUEIDADE PARA LINHAS DE ÁGUA, ESGOTO E OUTROS LÍQUIDOS
MÓDULO 4 4.8.1 - PROCEDIMENTOS DE TESTES DE ESTANQUEIDADE PARA LINHAS DE ÁGUA, ESGOTO E OUTROS LÍQUIDOS Normas Aplicávis - NBR 15.950 Sistmas para Distribuição d Água Esgoto sob prssão Tubos d politilno
Leia mais2 x. ydydx. dydx 1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO. , sendo R a região que. Exemplo 5. Calcule integral dupla. xda, no retângulo
Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio )INTEGAIS DUPLAS: ESUMO Emplo Emplo Calcul 6 Calcul 6 dd dd O fato das intgrais rsolvidas nos mplos srm iguais Não é
Leia maisASSUNTO Nº 4 POLARIDADE INSTANTÂNEA DE TRANSFORMADORES
ASSUNTO Nº 4 POLARIDADE INSTANTÂNEA DE TRANSFORMADORES 17 As associaçõs d pilhas ou batrias m séri ou parallo xigm o domínio d suas rspctivas polaridads, tnsõs corrnts. ALGUMAS SITUAÇÕES CLÁSSICAS (pilhas
Leia mais1 a Prova de F-128 Turmas do Noturno Segundo semestre de /10/2004
1 a Prova d F-18 Turmas do Noturno Sgundo smstr d 004 18/10/004 1) Um carro s dsloca m uma avnida sgundo a quação x(t) = 0t - 5t, ond x é dado m m t m s. a) Calcul a vlocidad instantâna do carro para os
Leia maisCapítulo 4 Resposta em frequência
Capítulo 4 Rsposta m frquência 4. Noção do domínio da frquência 4.2 Séris d Fourir propridads 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs 4.4 Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência 4.5 Transformadas
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA PARA AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA AVALIA BH 1º, 2º E 3º CICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
MATRIZ DE REFERÊNCIA PARA EM MATEMÁTICA AVALIA BH 1º, 2º E 3º CICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL Na ralização d uma avaliação ducacional m larga scala, é ncssário qu os objtivos da avaliação as habilidads comptências
Leia maisUNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS. SET 410 Estruturas de concreto armado II
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS SET 40 Estruturas d concrto armado II Turma - 008 Concrto armado: projto d pilars d acordo com a NBR
Leia maisEscola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações
Escola Politécnica da Univrsidad d São Paulo Dpartamnto d Engnharia d Estruturas Fundaçõs Laboratório d Estruturas Matriais Estruturais Extnsomtria létrica III Notas d aula Dr. Pdro Afonso d Olivira Almida
Leia maisEQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ª ORDEM
Caítulo II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ª ORDEM Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Caítulo II Até agora já conhcmos uma séri d quaçõs difrnciais linars d rimira ordm Dfinirmos considrarmos
Leia maisASPECTOS DE FUNCIONAMENTO E FABRICAÇÃO DO GIROSCÓPIO A ONDAS ACUSTICAS DE SUPERFÍCIE
ASPECTOS DE FUNCIONAMENTO E FABRICAÇÃO DO GIROSCÓPIO A ONDAS ACUSTICAS DE SUPERFÍCIE Gilson J. Da Silva Jr gilsonjr@gmail.com Laboratório d Dispositivos Nanostruturas Dpartamnto d Eltrônica Sistmas Univrsidad
Leia maisArmaduras de Pele para Blocos de Concreto Armado
Armaduras d Pl para Blocos d Conto Armado José Milton d Araújo 1 Rsumo Os grands blocos d fundação dos difícios das ponts podm aprsntar fissuras suprficiais já nas primiras horas após a contagm. Em virtud
Leia maisCatálogo de Perfis Padronizados
Extrusão Gral Catálogo d Prfis P Shaping a lightr futur Frramntaria Estoqu d tarugos rfis Introdução SP no Mundo Fundada m 1963 na Suécia, a Sapa iniciou suas atividads a partir do zro s transformou, m
Leia maisPROJETO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO
UNIVERSIDDE FEDERL DO RIO GRNDE DO SUL ESCOL DE ENGENHRI DEPRTMENTO DE ENGENHRI CIVIL PROJETO DE PILRES DE CONCRETO RMDO MÉRICO CMPOS FILHO 014 SUMÁRIO 1 Dimnsõs... 1 1.1 Dimnsõs mínimas das sçõs transvrsais
Leia maisO que são dados categóricos?
Objtivos: Dscrição d dados catgóricos por tablas gráficos Tst qui-quadrado d adrência Tst qui-quadrado d indpndência Tst qui-quadrado d homognidad O qu são dados catgóricos? São dados dcorrnts da obsrvação
Leia maisCAPÍTULO 14. Exemplo : Mostre que y = g(x) = 1 x 2, x 1 está dado de forma implícita na equação x 2 + y 2 1 = 0.
CAPÍTULO 4 TEOREMA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 4 Introdução No studo d funçõs da rta na rta dfinimos qu uma função y = gx x Domg stá dada implicitamnt numa quação nvolvndo as variávis x y s para todo x Domg o
Leia maisENGENHARIA DE MANUTENÇÃO. Marcelo Sucena
ENGENHARIA DE MANUTENÇÃO Marclo Sucna http://www.sucna.ng.br msucna@cntral.rj.gov.br / marclo@sucna.ng.br ABR/2008 MÓDULO 1 A VISÃO SISTÊMICA DO TRANSPORTE s A anális dos subsistmas sus componnts é tão
Leia maisAnálise Matemática IV
Anális Matmática IV Problmas para as Aulas Práticas Smana 7 1. Dtrmin a solução da quação difrncial d y d t = t2 + 3y 2 2ty, t > 0 qu vrifica a condição inicial y(1) = 1 indiqu o intrvalo máximo d dfinição
Leia maisUma característica importante dos núcleos é a razão N/Z. Para o núcleo de
Dsintgração Radioativa Os núclos, m sua grand maioria, são instávis, ou sja, as rspctivas combinaçõs d prótons nêutrons não originam configuraçõs nuclars stávis. Esss núclos, chamados radioativos, s transformam
Leia maisA trajetória sob a ação de uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância
A trajtória sob a ação d uma força cntral invrsamnt proporcional ao quadrado da distância A força gravitacional a força ltrostática são cntrais proporcionais ao invrso do quadrado da distância ao cntro
Leia maisEdital de seleção de candidatos para o Doutorado em Matemática para o Período 2015.2
] Univrsidad Fdral da Paraíba Cntro d Ciências Exatas da Naturza Dpartamnto d Matmática Univrsidad Fdral d Campina Grand Cntro d Ciências Tcnologia Unidad Acadêmica d Matmática Programa Associado d Pós-Graduação
Leia maisANÁLISE DE ROTORES FLEXÍVEIS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS E CILÍNDRICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE DE ROTORES FLEXÍVEIS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS E CILÍNDRICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 2. < arg z < π}.
Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Álgbra Anális ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR LOGARITMOS E INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES COMPLEXAS Logaritmos () Para cada um dos sguints conjuntos
Leia maisAlgoritmo de integração numérica - Euler: Considerando a seguinte equação diferencial:
Lista B Aulas Práticas d Scilab Equaçõs difrnciais Introdução: Considr um corpo d massa m fito d um matrial cujo calor spcífico à prssão constant sja c p. Est corpo stá inicialmnt a uma tmpratura T 0,
Leia maisModelo de Oferta e Demanda Agregada (OA-DA)
Modlo d Ofrta Dmanda Agrgada (OA-DA) Lops Vasconcllos (2008), capítulo 7 Dornbusch, Fischr Startz (2008), capítulos 5 6 Blanchard (2004), capítulo 7 O modlo OA-DA xamina as condiçõs d quilíbrio dos mrcados
Leia maisTÓPICOS. EDO de variáveis separadas. EDO de variáveis separáveis. EDO homogénea. 2. Equações Diferenciais de 1ª Ordem.
ot bm a litura dsts apontamntos não dispnsa d modo algum a litura atnta da bibliograia principal da cadira Cama-s à atnção para a importância do trabalo pssoal a ralizar plo aluno rsolvndo os problmas
Leia mais3 Modelagem de motores de passo
31 3 odlagm d motors d passo Nst capítulo é studado um modlo d motor d passo híbrido. O modlo dsnolido é implmntado no ambint computacional Simulink/TL. Est modlo pod sr utilizado m motors d imã prmannt,
Leia mais03-05-2015. Sumário. Campo e potencial elétrico. Energia potencial elétrica
Sumáio Unidad II Elticidad Magntismo 1- - Engia potncial lética. - Potncial lético. - Supfícis quipotnciais. Movimnto d cagas léticas num campo lético unifom. PS 22 Engia potncial lética potncial lético.
Leia maisNR-35 TRABALHO EM ALTURA
Sgurança Saúd do Trabalho ao su alcanc! NR-35 TRABALHO EM ALTURA PREVENÇÃO Esta é a palavra do dia. TODOS OS DIAS! PRECAUÇÃO: Ato ou fito d prvnir ou d s prvnir; A ação d vitar ou diminuir os riscos através
Leia maisMatemática C Extensivo V. 7
Matmática C Extnsivo V 7 Exrcícios 0) 0 0) D 0 Falsa B A 4 0 6 0 4 6 4 6 0 Vrdadira A + B 0 0 + 4 6 7 04 Vrdadira A B 0 0 4 6 6 4 08 Vrdadira dt ( A) dt (A) 9 ( ) 9 dt (B) 9 0 6 Vrdadira A A 0 0 0 0 0
Leia maisAdmite-se a possibilidade da espessura da parede variar ao longo do comprimento da linha média. Eduardo Nobre Lages CTEC/UFAL
Univrsidad Fdral d Alagoas Cntro d cnologia Curso d Engnharia Civil Disciplina: Mcânica dos Sólidos Código: ECIV030 Profssor: Eduardo Nobr Lags orção m Barras d Sção ransvrsal Dlgada Fchada Mació/AL Sção
Leia maisPGF MECÂNICA QUÂNTICA I (2010) Resolução Comentada da Lista de Problemas 1 Eduardo T. D. Matsushita
PGF500 - MECÂNICA QUÂNTICA I 00 Rsolução Comntada da Lista d Problmas Eduardo T. D. Matsushita. a Qurmos dtrminar os autovalors os autostados do oprador Ŝ n para uma partícula d spin /, ond a dirção n
Leia mais2 Mecânica da Fratura Linear Elástica
5 Mcânica da Fratura Linar lástica A Mcânica da Fratura aprsnta difrnts ramos, tndo o tamanho da zona plástica m frnt à ponta da trinca como fator dtrminant para a scolha do ramo mais adquado. Dsta forma,
Leia maisMatemática IME-2007/ a QUESTÃO. 2 a QUESTÃO COMENTA
Matmática a QUESTÃO IME-007/008 Considrando qu podmos tr csto sm bola, o númro d maniras d distribuir as bolas nos três cstos é igual ao númro d soluçõs intiras não-ngativas da quação: x + y + z = n, na
Leia maisPara verificar a atualização desta norma, como revogações ou alterações, acesse o Visalegis.
18/05/12 Anvisa - Lgislação - Portarias Lgislação Para vrificar a atualização dsta norma, como rvogaçõs ou altraçõs, acss o Visalgis. Portaria n º 27, d 13 d janiro d 1998 A Scrtária d Vigilância Sanitária,
Leia maisProjeto de Magnéticos
rojto d Magnéticos rojto d circuitos magnéticos ltrônicos rojto d Magnéticos 1. ntrodução s caractrísticas idais d um componnt magnético são: rsistência nula, capacitância parasita nula, dnsidad d campo
Leia maisINEC ESPECIALIZAÇÃO EM : GERÊNCIA CONTÁBIL, FINANCEIRA E AUDITORIA TURMA III. Lins - SP - 2012 2º Dia : 20 de Outubro.
INEC AUDITRIA Prof. CLAUDECIR PATN ESPECIALIZAÇÃ EM : GERÊNCIA CNTÁBIL, FINANCEIRA E AUDITRIA TURMA III 1 Lins - SP - 2012 2º Dia : 20 utubro. CNTRLE - Concitos; - Auditoria Control Intrno; - Importância
Leia maisANÁLISE DA NORMA NBR 7117 BASEADO NA ESTRATIFICAÇÃO OTIMIZADA DO SOLO A PARTIR DO ALGORITMO DE SUNDE E ALGORITMOS GENÉTICOS
AÁLISE DA ORMA BR 77 BASEADO A ESTRATIFICAÇÃO OTIMIZADA DO SOLO A PARTIR DO ALGORITMO DE SUDE E ALGORITMOS GEÉTICOS ROOEY RIBEIRO A. COELHO RICARDO SILA THÉ POTES.. Univrsidad Fdral do Cará Cntro d Tcnologia
Leia mais