UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

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1 UNVERSDADE FEDERAL DE GOÁS ESCOLA DE ENGENHARA ELÉTRCA E DE COMPUTAÇÃO Cálculo d potências aparnt, ativa, não ativa indicadors d distorção dsbalanço, fator d potência sgundo Buchholz-Goodhu EEE Standard 459- ANTÔNO CÉSAR BALEERO ALVES EULER BUENO DOS SANTOS GOÂNA, NOVEMBRO DE

2 ÍNDCE APRESENTAÇÃO... DEFNÇÕES DE POTÊNCA E FATOR DE POTÊNCA PARA CRCUTOS TRFÁSCOS DESBALANCEADOS ntrodução...4. Tnsõs corrnts...4. Potência aparnt ftiva Carga dsbalancada a quatro fios Carga dsbalancada a três fios...8. Potência ativa Potência ativa não fundamntal Potências fundamntais d squências positiva, ngativa zro....5 Potência aparnt ftiva a rlação com os indicadors d distorção....6 Potência aparnt fundamntal d dsbalanço Fator d potência...5 EXEMPLO NUMÉRCO DE CÁLCULO DE POTÊNCA E FATOR DE POTÊNCA EM UMA CARGA TRFÁSCA DESBALANCEADA COM DSTORÇÕES HARMÔNCAS ntrodução...8. Dados...8. Cálculos...9 EXEMPLO NUMÉRCO DE CÁLCULO DE POTÊNCA E FATOR DE POTÊNCA EM UMA CARGA TRFÁSCA BALANCEADA SEM DSTORÇÕES HARMÔNCAS.... ntrodução.... Dados.... Cálculos... BBLOGRAFA... 5

3 APRESENTAÇÃO Est txto aprsnta a dfinição da potência aparnt ftiva proposta por F. Buchholz m 9 dsnvolvida na década subsqunt por W. Goodhu. São stablcidas as xprssõs d cálculo d potências a partir dos valors ficazs ângulos d fas d tnsão corrnt obtidos dos sus contúdos spctrais. São também aprsntados indicadors globais d distorção harmônica d tnsão d corrnt, bm como os fators d dsbalanço da carga d tnsõs as xprssõs d dfinição d fators d potência. Ao final, são rsolvidos xmplos numéricos d aplicação das xprssõs partindo d dados das grandzas létricas obtidas por mio d mdiçõs ou xtraídas da bibliografia. Est trabalho é um subproduto do projto d psquisa intitulado Projto Anális d Dsmpnho d Filtros para Trciro Harmônico m nstalaçõs Supridas plo Sistma Scundário d Distribuição dsnvolvido plos profssors supracitados para a CELG Distribuição S/A no intrvalo d tmpo comprndido d novmbro d 7 a novmbro d.

4 4 DEFNÇÕES DE POTÊNCA E FATOR DE POTÊNCA PARA CRCUTOS TRFÁSCOS DESBALANCEADOS. ntrodução As dfiniçõs das grandzas létricas aqui aprsntadas são aplicávis a um sistma létrico trifásico dsbalancado qu possui carga não linar, podndo sr particularizado a um sistma trifásico balancado com ou sm carga não linar. Na anális d sistmas dsbalancados com distorçõs harmônicas, a dfinição para a potência aparnt foi proposta por F. Buchholz m 9 dsnvolvida por W. Goodhu m 9. Nsss trabalhos foi proposta a dfinição d potência aparnt ftiva (ou quivalnt), dsignada por S. Essas dfiniçõs também s aplicam a cargas trifásicas balancadas sm harmônicos. Até hoj é a dfinição d potência mais acita.. Tnsõs corrnts As tnsõs das fass a, b c ( v a ( t ), v b ( t ) ( t )) as corrnts d linha v c ( i a ( t ), i b ( t ) ( t ) i c ) instantânas são dfinidas através das séris trigonométricas, d acordo com as xprssõs (..) (..). b v ( t) a v ( t) v ( t) c V a sn( ω t α a) Vahsn( hωt α ah ), h π π V b sn( ω t αb ) Vbh sn( hωt αbh h), (..) h π π V c sn( ω t α c ) Vchsn( hωt α ch h), h ond: b i ( t) a i ( t) i ( t) c sn( ω t β a) ahsn( hωt β ah ), a h π π sn( ω t βb ) bhsn( hωt βbh h), (..) b h π π c sn( ω t βc ) chsn( hωt βch h), h

5 5 h: ordm harmônica (múltiplo intiro da frquência fundamntal); a, b V a, b c: valors ficazs das componnts fundamntais da corrnt (A); V V c: valors ficazs das componnts fundamntais da tnsão (V); ah, bh ch : valors ficazs das componnts harmônicas da corrnt (A); V ah, V bh V ch : valors ficazs das componnts harmônicas da tnsão (V); f : frquência da componnt fundamntal (6hrtz); ω πf ; ω : frquência angular fundamntal (rad/s), t : variávl tmporal (s); β a, b β β c : ângulos d fas das componnts fundamntais da corrnt (rad); α ah, α bh, α ch, β ah, β bh β ch : ângulos d fas das componnts harmônicas da tnsão da corrnt (rad), rspctivamnt.. Potência aparnt ftiva A dfinição d potência aparnt ftiva ( S ) tm por bas uma carga trifásica quivalnt rsistiva balancada fictícia qu aprsnta xatamnt as msmas prdas m potência d uma carga trifásica ral. A carga quivalnt é ajustada para prmitir qu a transfrência d potência sja máxima, sndo suprida por um alimntador idêntico ao da carga original. No caso gral, a carga trifásica ral é dsbalancada a quatro fios é suprida com tnsõs linha-nutro, V a, V b, V c, tnsõs linha-linha, V ab, V bc, V ca, absorv corrnts d linha, a, b, c a corrnt d nutro, n. A partir dsss valors ficazs, são dfinidas a tnsão ftiva linha-nutro a corrnt ftiva d linha, V, rspctivamnt, qu são grandzas d squência positiva. A potência aparnt ftiva m VA (volt-ampr) é dfinida por mio da xprssão (..): S V. (..)

6 6 A corrnt ftiva ( ) é rlacionada ao valor ficaz da componnt fundamntal ( ) ao valor ficaz qu comprnd todas as componnts harmônicas ( H ):. (..) H D modo análogo, o valor ficaz da tnsão ftiva ( V ) pod sr scrito conform (..): V V V. (..) H As xprssõs para a corrnt ftiva para a tnsão ftiva, aplicávis a cargas trifásicas rais a quatro a três fios, dcorrm das condiçõs spcificadas para o sistma trifásico quivalnt balancado para stablcr a dfinição d potência aparnt ftiva... Carga dsbalancada a quatro fios A corrnt ftiva é dada pla xprssão (...): a b c n, (...) ond, a, b, c n são os valors ficazs das corrnts das linhas a, b, c o valor ficaz da corrnt no condutor nutro, rspctivamnt, calculados como a sguir: a b c n ; ; a ah b bh ah ah h bh bh h ch ch h nh nh h ; ; ; ; c ch ;. n nh

7 7 Os valors ficazs da componnt fundamntal das harmônicas da corrnt são: a b c n, (...) H A tnsão ftiva é dada pla xprssão (...4): ah bh ch nh. (...) V ( Va Vb Vc ) Vab Vbc Vca, (...4) 8 ond, V a, V b, V c V ab, V bc, V ca são os valors ficazs das tnsõs linha-nutro os valors ficazs das tnsõs linha-linha, rspctivamnt, calculados como a sguir: V a V b V c V ab V bc V ca Para a fas a, V V V ; a ah b VbH c VcH ab VabH bc VbcH ca VcaH V ; V ; V ; V ; V. ah V ah h as tnsõs linha-linha., analogamnt para as dmais fass também para Os valors ficazs da componnt fundamntal das harmônicas da tnsão: V V H ( Va Vb Vc ) Vab Vbc Vca, (...5) 8 ( VaH VbH VcH ) VabH VbcH VcaH. (...6) 8

8 8.. Carga dsbalancada a três fios A corrnt ftiva é dada pla xprssão (...): a b c. (...) Os valors ficazs da componnt fundamntal das harmônicas da corrnt ftiva são: H a b c, (...) ah bh ch. (...) A tnsão ftiva é dada pla xprssão (...4), V ( Va Vb Vc ) Vab Vbc Vca. (...4) 8 Os valors ficazs da componnt fundamntal das harmônicas da tnsão ftiva são: V ( Va Vb Vc ) Vab Vbc Vca, (...5) 8 V H ( VaH VbH VcH ) VabH VbcH VcaH. (...6) 8. Potência ativa Para cargas trifásicas dsbalancadas, a potência ativa é obtida pla soma das potências ativas das fass, conform dfinida a sguir. ond: P P P P, (..) a b c

9 9 P P a b Va a cos( α a β a) Vah ah cos( α ah β ah ), h Vb b cos( α b βb ) Vbh bh cos( αbh βbh ), h Pc Vc c cos( α c βc ) Vch ch cos( α ch βch ). h No cálculo da potência ativa d cada uma das fass a, b c, é utilizada a dfinição d potência média, conform mostram as xprssõs (..) a (..4) m qu as tnsõs v a (t), v b (t), v c (t), as corrnts i a (t), i b (t), i c (t) são aqulas aprsntadas m (..) (..), rspctivamnt. T Pa T v a t) ia ( t ) T Pb T v T v ( dt, (..) ( t) ib ( t dt, (..) ( t) i ( t dt, (..4) ) b P ) c T c c ond, T é o príodo da componnt fundamntal da tnsão... Potência ativa não fundamntal Ao computar a potência ativa são lvadas m conta as contribuiçõs das componnts fundamntais da tnsão da corrnt, bm como as contribuiçõs das harmônicas d tnsão corrnt, conform é possívl visualizar na xprssão (..). Entrtanto, para crtas análiss pod sr d intrss sparar a potência ftivamnt consumida pla carga da potência ativa qu dcorr da poluição harmônica. Assim, é dfinida a potência ativa fundamntal, simbolizada por P, através da xprssão (...). P V cos( α β ) V cos( α β ) V cos( α β ) (...) a a a a b b b b c c c c A potência ativa não fundamntal, simbolizada por P H, é a difrnça ntr a potência ativa P a potência ativa fundamntal P, conform stablc a xprssão (...).

10 P H P. (...) P S a potência ativa fundamntal tm o sntido do su fluxo originando no sistma d suprimnto d 6hrtz com dstino na carga, a potência ativa não fundamntal a partir do su sinal pod indicar m um conjunto d cargas não linars d qual carga originou uma ou mais harmônicas d frquências spcificadas..4 Potências fundamntais d squências positiva, ngativa zro O objtivo dsta sção é aprsntar as dfiniçõs xprssõs d cálculo das sguints potências: P : P : P : potência ativa fundamntal d squência positiva; potência ativa fundamntal d squência ngativa; potência ativa fundamntal d squência zro; Q : Q : Q : S : S : S : potência rativa fundamntal d squência positiva; potência rativa fundamntal d squência ngativa; potência rativa fundamntal d squência zro; potência aparnt fundamntal d squência positiva; potência aparnt fundamntal d squência ngativa. potência aparnt fundamntal d squência zro. Ants d calcular as potências rlacionadas é ncssário dtrminar as tnsõs as corrnts d squência positiva, d squência ngativa d squência zro a partir das tnsõs corrnts fundamntais m suas formas fasoriais. Sjam V ˆa, V ˆb ˆc V as tnsõs fundamntais m módulo fas, das fass a, b c, rspctivamnt, sjam ˆa, ˆb ˆc as corrnts m módulo fas, na frquência fundamntal, para as fass a, b c, rspctivamnt.

11 As xprssõs (.4.) a (.4.) são utilizadas para obtr as tnsõs d squência: ˆ V ( Vˆ avˆ a Vˆ a b c ˆ ( ˆ V V a Vˆ avˆ a b c ), (.4.) ), (.4.) ˆ V ( Vˆ Vˆ Vˆ ). (.4.) a b c As xprssõs (.4.4) a (.4.6) são utilizadas para obtr as corrnts d squência: ond: ˆ ( ˆ aˆ a ˆ a b c ˆ ( ˆ a ˆ aˆ a b c ), (.4.4) ), (.4.5) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ), (.4.6) a b c a cos( ) jsn( ) j ; a cos( ) jsn ( ) j ; j : é a unidad imaginária. As tnsõs as corrnts d squência, obtidas da aplicação das xprssõs (.4.) a (.4.) (.4.4) a (.4.6), são simbolizadas a sguir, m módulo fas: V ˆ : V ˆ : ˆ V : Î : Î : Î : tnsão d squência positiva com módulo V fas V ˆ ; tnsão d squência ngativa com módulo V fas V ˆ ; tnsão d squência zro com módulo V fas Vˆ ; corrnt d squência positiva com módulo corrnt d squência ngativa com módulo corrnt d squência zro com módulo fas fas fas Î ; Î ; Î. A partir das tnsõs das corrnts d squência, calculam-s as potências d squência:

12 cos( ˆ ˆ P V V ), (.4.7) ( ˆ ˆ Q V sn V ), (.4.8) cos( ˆ ˆ P V V ), (.4.9) ( ˆ ˆ Q V sn V ), (.4.) P cos( ˆ ˆ V V ), (.4.) Q ( ˆ ˆ V sn V ). (.4.) As potências aparnts d squência positiva, d squência ngativa d squência zro, na frquência fundamntal, podm sr scritas m trmos das potências ativa rativa d squência corrspondnt, como a sguir: S, (.4.) V ( P ) ( Q ) S, (.4.4) V ( P ) ( Q ) S. (.4.5) V ( P ) ( Q ) É oportuno salintar qu a potência ativa fundamntal (vid (...)) do circuito trifásico ou da carga considrada é igual à soma das potências ativas fundamntais d squência, conform (.4.6). P P P P. (.4.6) Analogamnt, para a potência rativa fundamntal, val a xprssão (.4.7). Q Q Q Q. (.4.7)

13 Consquntmnt, a potência aparnt fundamntal pod sr calculada com a xprssão (.4.8). S. (.4.8) ( P ) ( Q ).5 Potência aparnt ftiva a rlação com os indicadors d distorção As distorçõs harmônicas totais da tnsão da corrnt ftivas são dfinidas nsta sção através d procdimntos análogos àquls fitos para sistmas monofásicos. Também é mostrada a rlação das componnts d potências aparnts com sss indicadors. Combinando as xprssõs (..), (..) (..) é possívl mostrar qu a potência aparnt ftiva pod sr xprssa m trmos da potência aparnt ftiva fundamntal ( S ) da potência aparnt ftiva não fundamntal ( S N ). ond: S V ; S S S, (.5.) N ( V H ) (V H ) (V H H ), ou sja, N D DV SH. S S N As componnts da potência aparnt ftiva não fundamntal ( dsignadas como a sguir: S N ) são D V V : é a potência d distorção d corrnt; H D : é a potência d distorção d tnsão; H V H S V : é a potência aparnt harmônica. H H Nas xprssõs mostradas antriormnt, os valors ficazs das corrnts quivalnts (ou ftivas), H, são calculados plas xprssõs (...) (...), rspctivamnt. Analogamnt, os valors ficazs das tnsõs

14 4 quivalnts, V V H, são calculados plas xprssõs (...5) (...6), rspctivamnt. As distorçõs harmônicas totais d tnsão d corrnt são dfinidas como a sguir: distorção harmônica ftiva total d tnsão: V H DTT, (.5.) V distorção harmônica ftiva total d corrnt: H DT. (.5.) Partindo da xprssão (.5.), a potência aparnt ftiva não fundamntal é calculada a partir dos indicadors globais d distorção: sndo qu, S S N D S ( DT ); D S ( DTT ); V S S ( DTT )( DT ). H DTT DT [( DTT )( DT )], (.5.4) A rlação (.5.4) é intrssant porqu, por mio da razão d duas potências aparnts, S N S, la ngloba m um msmo indicador as distorçõs harmônicas da tnsão da corrnt, conform é rscrita a sguir. S S N DTT DT [( DTT )( DT )]. (.5.5)

15 5 S, m porcntagm, tm-s DTT 5% DT 4%, a sguint aproximação no cálculo da potência aparnt ftiva não fundamntal é admitida: S S ( DT ). (.5.6) N.6 Potência aparnt fundamntal d dsbalanço Para avaliar o dsbalanço da carga, é dfinida a potência aparnt fundamntal d dsbalanço, dsignada plo símbolo S U. ond, S é a potência aparnt ftiva fundamntal fundamntal d squência positiva (vid (.4..)). S U S ( S ), (.6.) S é a potência aparnt O fator d dsbalanço da carga para a frquência fundamntal é dado pla rlação (.6.): FDC S U. (.6.) S Val rssaltar qu a potência aparnt fundamntal d dsbalanço prmit avaliar o dsbalanço da carga, nquanto qu o dsbalanço das tnsõs para a frquência fundamntal é dtrminado pla razão ntr tnsõs d squência ngativa d squência positiva, conform a xprssão (.6.). V FDT. (.6.) V.7 Fator d potência Para cargas trifásicas dsbalancadas com ou sm distorçõs harmônicas, o fator d potência ftivo é dfinido conform a xprssão (.7.).

16 6 ond: P FP, (.7.) S P : potência ativa xprssa m W, tal qu P Pa Pb Pc ; S : potência aparnt ftiva m VA, tal qu S V. Val rssaltar qu o fator d potência dfinido por (.7.) rprsnta o índic d utilização do circuito d transmissão considrando tanto o dsbalanço da carga quanto as distorçõs harmônicas. É dfinido, também, para cargas trifásicas dsbalancadas, o fator d potência fundamntal d squência positiva, conform a xprssão (.7.). ond: P FP, (.7.) S P : potência ativa fundamntal d squência positiva xprssa m W, dfinida m (.4.7); S : potência aparnt fundamntal d squência positiva, xprssa m VA, dfinida m (.4.). A tabla.7. aprsnta um sumário das potências dos indicadors para sistmas trifásicos dsbalancados com ondas snoidais com distorçõs harmônicas.

17 7 Tabla.7.: Sumário das potências indicadors para sistmas trifásicos Quantidad ou indicador Unidad Combinada Fundamntal (6hrtz) Não fundamntal Potência aparnt VA S S S S S S U S N S H Potência ativa W P P P P P P H Potência não ativa var Q Q Q D D V Utilização da linha FP P/S FP P S Poluição harmônica DTT DT S N /S Dsbalanço da carga FDC SU S Dsbalanço das FDT V V tnsõs

18 8 EXEMPLO NUMÉRCO DE CÁLCULO DE POTÊNCA E FATOR DE POTÊNCA EM UMA CARGA TRFÁSCA DESBALANCEADA COM DSTORÇÕES HARMÔNCAS. ntrodução O objtivo dst xmplo é mostrar a aplicação das dfiniçõs stablcidas no capítulo prcdnt a um sistma trifásico dsbalancado com ondas d tnsão corrnt com distorçõs harmônicas.. Dados Os dados são praticamnt os msmos publicados na vrsão-tntativa d da EEE Std 459, qu são similars aos qu sriam coltados por mdição s foss mprgado um analisador d qualidad d nrgia létrica nos trminais d uma carga trifásica suprida por um sistma a quatro fios. Esss dados são mostrados na tabla.. Tabla.: Tnsõs corrnts nos trminais d uma carga trifásica não linar Grandza h V ah (V) 9,,5,78 6, 8,9 fas (grau),74 6,76 4, 46,7 47,4 V bh (V) 8,86,6,68 8,79 4, fas (grau), 6,8 67,4 5, 49,9 V ch (V) 7, 9, 9,4 4,4 8, fas (grau), 9,7 57,7 6,5 47,5 ah (A) 99,98 68,8 4,89 7,84 5,9 fas (grau), 75, 65, 48, bh (A) 9,49 79,75 4,9 45,8 4,58 fas (grau),8 99,49 65,9 67,9 4,89 ch (A) fas (grau) nh (A) 78,8, 6,7 67,86 65,74 V abh (V) 88,9,57 5,4 6,99 5, V bch (V) 89,7 4,,6 5,45 6, V cah (V) 9,49,66,98,,9

19 9. Cálculos A solução é a sguint. Calculam-s primiramnt as corrnts ftivas pla aplicação das xprssõs (...), (...) (...), obtndo-s: 65,8 A; 9,68A; H,A. As tnsõs ftivas são obtidas aplicando-s as xprssõs (...4), (...5) (...6): V 6,49V; V 5,V; V H 5,6V. A potência aparnt ftiva é calculada com o mprgo da xprssão (..): S,66kVA. As xprssõs d cálculo das potências ativas das fass stão m função dos ângulos α β qu são aprsntados na tabla. obtidos a partir dos dados da tabla. d acordo com a notação stablcida m (..) (..). Tabla.: Ângulos α ah, α bh, α ch β ah, β bh, β ch rfrnts às tnsõs às corrnts h Ângulos α ah (grau),74 6,76 4, 46,7 47,4 α bh (grau), 6,8 47,4 4,8 49,9 α ch (grau), 9,7 8, 6,5 47,5 β ah (grau),, 75, 65, 48, β bh (grau),8 99,49 54,9 47,9 4,89 β ch (grau) As potências ativas das fass a total são obtidas com a aplicação d (..): P a,kw; P b,5kw; P c,kw;

20 P 4,7kW. A potência ativa fundamntal P é igual a 4,8kW a potência ativa não fundamntal PH é igual a,kw, calculadas com as xprssõs (...) (...). Para calcular a tnsão fundamntal d squência positiva a corrnt fundamntal d squência positiva srá ncssário lidar com os fasors das grandzas tnsão corrnt na frquência fundamntal, os quais stão mostrados na coluna h da tabla.. Tabla.: Tnsõs corrnts xprssas na forma fasorial Fasor Vˆ ah (V) Vˆ bh (V) Vˆ ch (V) Î ah (A) Î bh (A) h ,,74,5 6,76,78 4, 6, 46,7 8,9 47,4 8,86,,6 6,8,68 67,4 8,79 5, 4, 49,9 7,, 9, 9,7 9,4 57,7 4,4 6,5 8 47,5 99,98 68,8 4, , ,9 48 9,49,8 79,75 99,49 4,9 65,9 45,8 67,9 4,58 4,89 A tnsão fundamntal d squência positiva é obtida com o mprgo d (.4.): ( 9,,74 ( )8,86, ( )7,, ) Vˆ ˆ V 4,99, V. A corrnt fundamntal d squência positiva é obtida usando (.4.4): ˆ ( 99,98 ( )9,49,8 ( ) ) ˆ 76 6,9, A. A difrnça d fas ntr Vˆ Î é V ˆ ˆ,55. Utilizando-s dos fasors tnsão corrnt calculados antriormnt, a potência ativa fundamntal d squência positiva a potência rativa fundamntal d squência positiva são obtidas com as xprssõs (.4.7) (.4.8), rspctivamnt:,

21 P 4,9 kw. Q 8,57 kvar. A partir dos valors ficazs da tnsão da corrnt calculados antriormnt, obtém-s com a xprssão (.4.) a potência aparnt fundamntal d squência positiva: S 4,79 kva. A potência aparnt ftiva fundamntal (xprssão (.5.)) val S 87,55kVA. A potência ftiva não fundamntal rsulta m S N 7,9kVA as potências d distorção D D V aparnt harmônica é S H 7,94kVA. A rlação porcntagm é 8,99%. As distorçõs harmônicas totais,, rsultam m 69,76kvar 9,97kvar. A potência DTT S N S é igual a,899. Em DT, m porcntagm são iguais a,9% 79,7%, rspctivamnt (xprssõs (.5.) (.5.)). Através da xprssão (.6.) é possívl calcular a potência aparnt fundamntal d dsbalanço, SU 76, 8 kva. O cálculo da rlação a,78, indica um considrávl dsbalanço da carga. S U S, qu rsulta igual O fator d potência ftivo é obtido com o uso d (.7.) rsulta m: FP,7. O fator d potência fundamntal d squência positiva é calculado usando a xprssão (.7.): FP,98. Obsrva-s, por comparação dos rsultados dos fators d potência FP FP, qu as distorçõs harmônicas o dsbalanço têm influência dcisiva nos valors dsss parâmtros.

22 EXEMPLO NUMÉRCO DE CÁLCULO DE POTÊNCA E FATOR DE POTÊNCA EM UMA CARGA TRFÁSCA BALANCEADA SEM DSTORÇÕES HARMÔNCAS. ntrodução O objtivo dst xmplo é mostrar qu as dfiniçõs stablcidas no capítulo intitulado Dfiniçõs d Potência Fator d Potência para Circuitos Trifásicos Dsbalancados também s aplicam a sistmas trifásicos balancados com ondas d tnsão corrnt livr d distorçõs harmônicas.. Dados Os dados são similars aos qu sriam obtidos a partir d mdiçõs ralizadas através d um analisador d qualidad d nrgia létrica nos trminais d uma carga trifásica linar. Os dados são mostrados na tabla.. Tabla.: Tnsõs corrnts da carga obtidas com o mprgo d um analisador d qualidad d nrgia létrica Grandza h V ah (V) 9, fas (grau) V bh (V) 9, fas (grau) V ch (V) 9, fas (grau) ah (A) 99,98 fas (grau) bh (A) 99,98 fas (grau) 4 ch (A) 99,98 fas (grau) 98 nh (A) V abh (V) 79,7 V bch (V) 79,7 V cah (V) 79,7

23 . Cálculos A solução é a sguint. Calculam-s primiramnt as corrnts ftivas pla aplicação das xprssõs (...), (...) (...), obtndo-s: 99,98 A; 99,98A; H A. As tnsõs ftivas são obtidas aplicando-s as xprssõs (...4), (...5) (...6): V 9,V; V 9,V; V H V. A potência aparnt ftiva é calculada com o mprgo da xprssão (..): S 65,7kVA. As potências ativas das fass a total são obtidas com a aplicação d (..): P a,kw; P b,kw; P c,kw; P 6,9kW. A tnsão fundamntal d squência positiva é obtida com o mprgo d (.4.): Vˆ 9, V fas o. A corrnt fundamntal d squência positiva é obtida com o mprgo d (.4.): ˆ 99,98 A fas o. Utilizando-s dos valors ficazs da tnsão da corrnt calculadas antriormnt, obtém-s com a xprssão (.4.) a potência aparnt fundamntal d squência positiva: S 65,7 kva.

24 4 A potência ativa fundamntal d squência positiva é obtida com a xprssão (.4.7): P 6,9 kw. A potência rativa fundamntal d squência positiva é obtida com a xprssão (.4.8): Q 4,6kvar. A potência aparnt ftiva fundamntal (xprssão (.5.)), S, corrspond, nst xmplo, à potência aparnt ftiva, S S 65, 696 VA. A potência ftiva não fundamntal, S N, as potências d distorção D a potência aparnt harmônica, S H, são nulas. Obviamnt, as distorçõs harmônicas totais, DTT D V, bm como DT, são nulas uma vz qu, nst xmplo, as ondas d tnsão corrnt são snoidais livr d distorçõs harmônicas. Através da xprssão (.6.) é possívl constatar qu a potência aparnt fundamntal d dsbalanço é nula. O fator d potência ftivo é obtido com o uso d (.7.) rsulta m: FP,97. O msmo valor obtido para o fator d potência ftivo é também calculado para o fator d potência fundamntal d squência positiva através d (.7.): FP,97. Ao concluir st xmplo m qu a carga trifásica é linar balancada é possívl afirmar qu os rsultados para as grandzas létricas potência, fator d potência tc. obtidos com a utilização das dfiniçõs d potência fator d potência para o caso gnralizado são idênticos aos qu sriam obtidos mprgando-s xprssõs usuais da toria convncional d circuitos létricos.

25 5 BBLOGRAFA EEE Th nstitut of Elctrical and Elctronics Enginrs, Standard Dfinitions for th Masurmnt of Elctric Powr Quantitis undr Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balancd, or Unbalancd Conditions Std Nw York, March 9,. WALD, G. M.; EL-HAWARY, M.E. Rformulating Thr-Phas Powr Componnts Dfinitions Containd in th EEE Standard 459- Using Discrt Wavlt Transform. EEE Transactions on Powr Dlivry, Vol., No., pp , 7. EMANUEL, A. E. Som Challngs for th EEE Standard 459. EEE. 5. WLLEMS, J.L.; GHJSELEN, J.A.; EMANUEL, A.E. Th Apparnt Powr Concpt and th EEE Standard EEE Transactions on Powr Dlivry, Vol., No., pp , April 5. WLLEMS, J.L.; GHJSELEN, J.A.; EMANUEL, A.E. Addndum to th Apparnt Powr Concpt and th EEE Standard EEE Transactions on Powr Dlivry, Vol., No., pp , April 5. EMANUEL, A. E. EEE Standard 459: Qustions and Futur Dirction Quo Vadis? EEE, pp. 8-86,. EMANUEL, A. E. ntroduction to EEE Trial-Us Standard EEE Transactions on Powr Dlivry, pp ,.

26 6 EEE Th nstitut of Elctrical and Elctronics Enginrs, EEE Trial-us Standard Dfinitions for th Masurmnt of Elctric Powr Quantitis undr Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balancd, or Unbalancd Conditions Std Nw York, January,. EMANUEL, A. E. Apparnt Powr Dfinitions for Thr-Phas Systms. EEE Transactions on Powr Dlivry, 999. EMANUEL, A. E. Apparnt Powr: A Practical Approach to its Rsolution. Worcstr Polytchnic nstitut, MA 69. EEE, pp. -6, 998a. EMANUEL, A. E. Apparnt Powr: Componnts and Physical ntrprtation. Worcstr Polytchnic nstitut, MA 69. EEE, pp. -, 998b. EMANUEL, A. E. Th Buchholz-Goodhu Apparnt Powr Dfinition: Th Practical Approach for Nonsinusoidal and Unbalancd Systms. EEE Transactions on Powr Dlivry, Vol., No., pp. 44-5, April 998. EMANUEL, A. E. On th Assssmnt of Harmonic Pollution. EEE Transactions on Powr Dlivry, Vol., No., pp , July 995.

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