Diogo Batista de Oliveira ANÁLISE DO AQUECIMENTO POR MICROONDAS EM UMA CAVIDADE MONOMODO UTILIZANDO UMA TÉCNICA SEMI-ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Diogo Batista d Olivira ANÁLISE DO AQUECIMENTO POR MICROONDAS EM UMA CAVIDADE MONOMODO UTILIZANDO UMA TÉCNICA SEMI-ANALÍTICA Dissrtação submtida ao Programa d Pós- Graduação m Engnharia Elétrica da Univrsidad Fdral d Minas Grais como part intgrant dos rquisitos ncssários para obtnção do título d Mstr m Engnharia Elétrica. Orintador: Prof. Dr. Élson José da Silva. BELO HORIZONTE MAIO DE 007

2 ii Aos mus pais a Dus

3 AGRADECIMENTOS Primiramnt agradço ao mu Dus plo sustnto pla força m mais um passo na minha vida. Agradço a atnção a orintação do Prof. Élson. Agradço a paciência nsss quatro anos d trabalho. Agradço à minha família. À minha mã. Plo carinho consolo das horas difícis. Plas ligaçõs qu smpr m ncontravam prcisando d apoio. A sua amizad ntrga no momnto difícil da donça... Muito obrigado Mã. Ao mu pai. Mu incntivador nos studos, xmplo d qu todo ss sforço valia a pna. Obrigado plas palavras d ncorajamnto firmza. Obrigado por smpr acrditar m mim Pai... A você minha irmã. Por sustntar a nossa família, ddicando a sua vida m favor d todos nós... Você fará falta! A você mu amor. Tnho muito qu t agradcr... Plo su carinho, amor ddicação; pla paciência m m sprar todo ss tmpo por m fazr comprndr qu a vida ia além dos campos aqui studados. Enfim amor, por tr sido mu sustnto m tantos momntos difícis... Aos mus amigos. Ao pssoal do GOU. Pla amizad conforto. Ao pssoal da Rpública. Plos momntos d dscontração pla disponibilidad. Aos colgas do CPDEE do GOPAC. Ao CNPq plo financiamnto dst trabalho. iii

4 RESUMO Nst trabalho o aqucimnto d um matrial crâmico (mulita) dntro d uma cavidad monomodo é studado. São obtidas as soluçõs do problma ltromagnético térmico dntro da cavidad para três difrnts gomtrias da crâmica. Para rsolvr o problma ltromagnético, um método smi-analítico é utilizado. Ess método procura contornar as dificuldads d convrgência na solução do sistma matricial ncontradas na aplicação dirta do Método dos Elmntos Finitos (MEF) à cavidad. O método smi-analítico é basado na toria da matriz d spalhamnto m uma técnica numérica ond nst trabalho foi utilizado o MEF. Já a solução do problma térmico é obtida utilizando xclusivamnt a formulação scalar do MEF no domínio do tmpo. É dsnvolvida também nst trabalho uma técnica para a sintonia da cavidad monomodo. Na sintonia são ajustados a abrtura da íris o comprimnto da cavidad para qu a impdância da cavidad stja casada com a do sistma d aqucimnto. A técnica d sintonia dscrita mostrou-s ficaz, pois para cada gomtria da crâmica analisada não houv rflxão d potência. Por fim, é ralizada uma caractrização da cavidad monomodo qu consist m uma anális da snsibilidad da sintonia m rlação à variação d alguns parâmtros. Embora a sintonia tnha sido ficaz o rsultado da caractrização da cavidad mostrou qu a snsibilidad analisada foi muito grand com rlação aos parâmtros obsrvados. iv

5 ABSTRACT In this work th lctromagntic and th thrmal problms insid a singlmod cavity ar solvd. A sampl of cramic matrial is hatd insid th cavity. To solv th lctromagntic problm a smi-analytical mthod is usd. It is basd on th scattring matrix thory and a numrical tchniqu. This mthod liminats th convrgnc problms prsntd by th Finit Elmnt Mthod (FEM) in solving th matrix quation. Th thrmal problm uss tim-domain nodal finit lmnt mthod. An analytical tchniqu to tuning a singl-mod cavity is prsntd. In this tchniqu th iris aprtur and th cavity lngth ar adjustd. Finally, th singl-mod cavity is charactrizd. This charactrization consists in valuating th snsibility of th tuning by changing som cavity paramtrs. v

6 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO OBJETIVO DA DISSERTAÇÃO ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO CAPÍTULO DESCRIÇÃO DOS FENÔMENOS ELETROMAGNÉTICOS E TÉRMICOS NA CAVIDADE MONOMODO INTERAÇÃO DA MICROONDA COM UM MATERIAL DIELÉTRICO EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR DESCRIÇÃO DE UM SISTEMA DE AQUECIMENTO....4 CAVIDADE MONOMODO Casamnto d Impdância ou Sintonia Modlo d Circuitos... 9 CAPÍTULO 3 MODELAGEM DO PROBLEMA ELETROMAGNÉTICO E TÉRMICO UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS PROBLEMA ELETROMAGNÉTICO Forma Fort Forma Fraca Ddução das constants da condição d contorno do 3 tipo Discrtização Espacial PROBLEMA TÉRMICO Forma Fort Forma Fraca Discrtização Espacial Discrtização Tmporal CAPÍTULO 4 MÉTODO SEMI-ANALÍTICO PARA CÁLCULO DE CAMPO NUMA CAVIDADE MONOMODO MÉTODO SEMI-ANALÍTICO Motivação Idéia Básica do Método Smi-Analítico Formulação vi

7 4. SINTONIA DA CAVIDADE... 5 CAPÍTULO 5 RESULTADOS PROPRIEDADES FÍSICAS DA MULITA PROBLEMA ELETROMAGNÉTICO E TÉRMICO DA CAVIDADE MONOMODO Mulita m forma d barra Mulita m forma d post rtangular Mulita m forma d post cilíndrico CARACTERIZAÇÃO DA CAVIDADE MONOMODO Variação do Comprimnto da Cavidad da Abrtura da Íris Efito do Fator d Prdas da Mulita Variação da Frqüência da Font COMPARAÇÃO COM A SOLUÇÃO DO PROBLEMA COMPLETO CAPÍTULO 6 CONCLUSÃO TRABALHOS FUTUROS APÊNDICE I DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE COEFICIENTES DE REFLEXÃO E DE TRANSMISSÃO DE UM OBSTÁCULO NUM GUIA RETANGULAR A.1.1 FORMULAÇÃO A.1. OBSTÁCULOS SEM PERDAS... 8 APÊNDICE II ESTIMATIVA DO ALCANCE DOS MODOS EVANESCENTES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS vii

8 LISTA DE FIGURAS Figura.1 Esquma básico d um sistma d aqucimnto: (1)Font d Microondas, ()Sistma d Transmissão/Condicionamnto da Microonda (3)Aplicador... Figura. Cavidad monomodo... 4 Figura.3 Cavidad multimodo... 5 Figura.4 Casamnto d impdâncias no sistma d aqucimnto... 6 Figura.5 Tipos d íris: (a) indutiva, (b) capacitiva (c-d) rssonant... 7 Figura.6 Obstáculo situado num guia d onda rtangular... 9 Figura.7 Modlamnto d um problma d microondas com uma LT Figura.8 Circuito T quivalnt do obstáculo... 3 Figura.9 Circuito quivalnt para a cavidad monomodo Figura 3.1 Guia d onda rtangular com um obstáculo no su intrior Figura 3. (a) Guia d onda curto circuitado. (b) Cavidad monomodo Figura 3.3 Gomtria do dilétrico qu é aqucido na cavidad monomodo, (a) barra,(b) post rtangular (c) post cilíndrico Figura 4.1 Dscrição dos modos propagants na cavidad Figura 4. Subdomínio da cavidad monomodo Figura 4.3 Dscrição mais dtalhada dos modos propagants na cavidad... 5 Figura 5.1 Dscrição das dimnsõs da barra Figura 5. Módulo da componnt ŷ do campo létrico: (a) ao longo da coordnada z, (b) no plano xz da cavidad Figura 5.3 Distribuição da tmpratura na suprfíci xtrna da barra nos tmpos, t=10, 50, min Figura 5.4 Distribuição volumétrica d tmpratura na barra Figura 5.5 Distribuição d tmpratura ao longo da dirção xˆ na barra Figura 5.6 Influência da potência absorvida na volução da tmpratura Figura 5.7 Influência do parâmtro h na volução da tmpratura. A potência absorvida é d 50 W Figura 5.8 Dscrição das dimnsõs do post rtangular... 6 Figura 5.9 Módulo da componnt ŷ do campo létrico: (a) ao longo da coordnada z (b) no plano xz da cavidad Figura 5.10 Linhas d contorno do campo létrico para o post rtangular Figura 5.11 Distribuição suprficial d tmpratura viii

9 Figura 5.1 Distribuição volumétrica d tmpratura Figura 5.13 Distribuição d tmpratura ao longo da dirção xˆ Figura 5.14 Evolução da tmpratura no ponto cntral do post rtangular Figura 5.15 Dimnsõs para o post cilíndrico Figura 5.16 Módulo da componnt ŷ do campo létrico: (a) ao longo da coordnada z, (b) no plano xz da cavidad Figura 5.17 Linhas d contorno do campo létrico para o post cilíndrico Figura 5.18 Distribuição d tmpratura m um plano concêntrico Figura 5.19 Distribuição d tmpratura ao longo do ixo cntral do post cilíndrico Figura 5.0 Evolução da tmpratura no ponto cntral do post cilíndrico Figura 5.1 Sintonia da cavidad variando, L d, para as três gomtrias: (a-b) barra, (c-d) post rtangular (-f) post cilíndrico Figura 5. Anális da prda d sintonia da cavidad considrando a variação na prda da mulita... 7 Figura 5.3 Prda da sintonia da cavidad dvido a variação d frqüência do magntron Figura 5.4 Solução do problma ltromagnético da cavidad monomodo com o MEF o Método Smi-Analítico Figura 5.5 Comparação da qualidad da malha do problma rsolvido por (a) método smi-analítico (b) plo MEF Figura A.1.1 Vista suprior do guia a dscrição dos modos propagants... 8 ix

10 LISTA DE TABELAS Tabla 5.1 Parâmtros térmicos létricos da mulita [31-3] Tabla 5. Parâmtros do problma térmico Tabla 5.3 Valors da sintonia da cavidad as dimnsõs da barra Tabla 5.4 Valors da sintonia da cavidad as dimnsõs do post rtangular... 6 Tabla 5.5 Valors da sintonia da cavidad as dimnsõs do post cilíndrico Tabla 5.6 Avaliação da variação da posição do curto da abrtura da íris para a prda da sintonia da cavidad m 70% Tabla 5.7 Avaliação da variação da frqüência para a prda da sintonia da Cavidad Tabla 5.8 Anális da ficiência computacional do método smi-analítico Tabla A..1 Avaliação da part imaginária da constant d propagação dos modos TE mn TM mn x

11 GLOSSÁRIO α z mn part imaginária da constant d propagação k z mn. β z mn part ral da constant d propagação k z mn. δ, χ parâmtros da condição d contorno do trciro tipo. ε ε c ' ε c prmissividad létrica. prmissividad ftiva. part ral da prmissividad ftiva. " ε c part imaginária da prmissividad ftiva. ε c r prmissividad ftiva rlativa. γ coficint d rflxão do domínio z z zl 1. κ λ g condutividad térmica. comprimnto d onda guiado. λ g mn comprimnto d onda guiado associado a um modo d índic mn. θ ρ σ ω Ω a A i b c p parâmtro do método d solução d Crank-Nicolson. dnsidad volumétrica. condutividad létrica. frqüência angular. domínio d solução do Método dos Elmntos Finitos. largura do guia d onda rtangular. módulo dos modos na dtrminação do circuito quivalnt. altura do guia d onda rtangular. calor spcífico. xi

12 C i d E g h I i k o constant na dfinição dos parâmtros do circuito quivalnt. abrtura da íris. campo létrico. vtor d incógnitas do Método dos Elmntos Finitos. coficint d transfrência d calor por convcção. corrnt no circuito quivalnt. constant d propagação do vácuo. k z mn constant d propagação d um modo d índic mn. L tamanho da cavidad. m, n índics dos modos TE TM. nˆ vtor normal unitário qu aponta para fora do domínio Ω. nˆ d vtor normal unitário à suprfíci S d. p c p d p f q q' Q r c t c r 1 t 1 S k S d S ij dnsidad volumétrica d potência convrtida por condução iônica. dnsidad volumétrica d potência convrtida por rorintação dipolar. dnsidad volumétrica total d potência convrtida. taxa líquida d transfrência d calor pla frontira m um sólido. taxa d calor dissipada por fito da microonda. fator d qualidad da cavidad. coficint d rflxão d um obstáculo num guia rtangular. coficint d transmissão d um obstáculo num guia rtangular. coficint d rflxão da íris num guia rtangular. coficint d transmissão da íris num guia rtangular. suprfíci dfinida para condição d contorno. suprfíci d intrfac ar-dilétrico na cavidad. lmnto da matriz d spalhamnto. xii

13 T U v v V i tmpratura. nrgia intrna. função d tst scalar. função d tst vtorial. tnsão no circuito quivalnt. Z TE mn impdância d onda d um modo d índic mn. Z ij lmnto da matriz d impdância. xiii

14 Capítulo 1 Introdução. 14 Capítulo 1 Introdução O uso da nrgia ltromagnética m procssos d aqucimnto por microondas tm provado sr bastant ftivo m divrsos ramos do conhcimnto [1-3], tais como: na ngnharia química, na ngnharia d alimntos, na mdicina, no mio ambint, ntr outras. Dntr as aplicaçõs dstacam-s: a dsidratação o aqucimnto d alimntos [4], scagm (tcido, madira, papl), fabricação d biodisl, tratamnto d lixos hospitalars, procssos químicos (sintrização d crâmicas [5], cura d polímros [6], raçõs d sínts), tratamnto d donças. Nos procssos térmicos convncionais, a nrgia é transfrida ao matrial através dos procssos d convcção, condução radiação do calor a partir da suprfíci do matrial. Em contrast, a nrgia da microonda é ntrgu dirtamnt ao matrial através da intração molcular com o campo ltromagnético. Enquanto no aqucimnto convncional a troca d calor s dá pla transfrência d nrgia dvido a gradints térmicos, no aqucimnto por microonda, a nrgia térmica é rsultado da convrsão d nrgia ltromagnética. Como as microondas podm pntrar os matriais dilétricos, o calor é grado através do volum do matrial. Consqüntmnt, por não dpndr da difusão d calor a partir da suprfíci, é possívl consguir aqucimnto mais rápido uniform. Além do carátr volumétrico, a transfrência a nívl molcular proporciona outras vantagns. Por xmplo, as microondas podm sr utilizadas para aqucimnto sltivo d matriais. Como a strutura molcular afta a capacidad da microonda transfrir nrgia, quando matriais m contato possuírm difrnts propridads dilétricas, a microonda irá sltivamnt acoplar com o matrial d acordo com o fator d prdas (propridad dilétrica).

15 Capítulo 1 Introdução. 15 Outra vantagm da microonda é o fato dla sr uma nrgia limpa. Difrntmnt d outros procssos d aqucimnto, o aqucimnto por microondas não mit gass polunts, contribuindo assim para a prsrvação do mio ambint. Entrtanto, obstáculos técnicos impdm a obtnção complta dssas vantagns m implmntaçõs práticas. A distribuição d nrgia ltromagnética no dilétrico implica na sua distribuição d tmpratura. E ssa distribuição d nrgia ltromagnética é influnciada por divrsos fators, tais como a gomtria do objto o tipo aplicador, as propridads létricas do matrial, a forma d introduzir as microondas no aplicador. Dvido aos fators mncionados, o aqucimnto sltivo uniform, é d difícil obtnção. A dpndência da prmissividad com a tmpratura é também rsponsávl plas variaçõs d campo no aplicador, consqüntmnt, pla quantidad d calor qu é convrtida dntro do matrial durant o procssamnto. Ess fato também limita o control prciso da distribuição d nrgia dntro do matrial. Para a otimização dos procssos nvolvndo aqucimnto por microondas, um ntndimnto da gração, propagação intração dos matriais com a microonda é fundamntal. Essa comprnsão passa fundamntalmnt plo ntndimnto dos componnts físicos qu formam o sistma d aqucimnto. O objto d studo dst trabalho é a anális d um tipo spcífico d aplicador, o monomodo, também conhcido como cavidad monomodo. A cavidad monomodo, dvido às suas caractrísticas físicas, é muito utilizada m procssamnto d matriais com pouca prda d pquna dimnsão. Com ssa dscrição xistm algumas aplicaçõs qu s ncaixam prfitamnt, como por xmplo, a soldagm d pqunas pças a sintrização d crâmicas. Essa cavidad também é muito utilizada m laboratórios d psquisa na invstigação do comportamnto d matriais aqucidos com microonda. Uma prática ncssária nas cavidads monomodo é a ralização da sua sintonia, ou sja, do casamnto d sua impdância com a do rstant do sistma d aqucimnto. Essa prática é important para qu a nrgia da font do sistma d aqucimnto possa sr convrtida m calor no matrial a sr procssado na cavidad. O dsnvolvimnto d um modlo numérico para sistmas d aqucimnto por microonda é muito válido. Esss modlos prmitm, num spaço curto d tmpo, prvr o comportamnto da distribuição d campo ltromagnético da tmpratura.

16 Capítulo 1 Introdução. 16 O conhcimnto da distribuição dos campos é muito important para projto otimização d sistmas d aqucimnto. A cavidad monomodo possui algumas caractrísticas qu dificultam a sua modlagm numérica. A rfrência [7] discut algumas dssas dificuldads utilizando a FDTD (Finit Diffrnc Tim Domain) o MEF (Método dos Elmntos Finitos). Para o caso do MEF, ssas dificuldads são ncontradas na convrgência da solução do sistma matricial. As razõs do problma d convrgência são a prsnça da íris o carátr rssonant da cavidad. Isso acarrta m um norm tmpo d cálculo da distribuição do campo ltromagnético nssa cavidad. Est trabalho aprsnta um método smi-analítico qu busca contornar as dificuldads d convrgência citadas acima. O método foi proposto por Krigsmann [7] utiliza a toria da matriz d spalhamnto uma técnica numérica. Nos rsultados obtidos utilizando o método smi-analítico s consguiu uma rdução no tmpo d cálculo da solução do problma ltromagnético da cavidad d aproximadamnt 3 vzs. 1.1 Objtivo da Dissrtação Est trabalho tm por objtivo a invstigação do procsso d aqucimnto por microondas m um matrial crâmico (mulita) dntro d uma cavidad monomodo. Para isso é analisado tanto o problma ltromagnético quanto o problma térmico dntro da cavidad. No problma ltromagnético, é utilizado o método smianalítico comntado acima para o cálculo da distribuição d campo létrico. E, no problma térmico, é aplicado o MEF para calcular a distribuição a volução d tmpratura no matrial. Ants, porém, da obtnção da distribuição dos campos, é ralizada a sintonia da cavidad. A sintonia fornc a abrtura da íris o comprimnto da cavidad, parâmtros sss qu prmitm o mlhor acoplamnto possívl ntr a font d microondas o matrial a sr procssado na cavidad. Outro objtivo do trabalho é invstigar a snsibilidad da sintonia m rlação à alguns parâmtros da cavidad. Essa invstigação vai prmitir conhcr, d forma qualitativa, algumas caractrísticas da cavidad monomodo.

17 Capítulo 1 Introdução. 17 Toda a anális acima vai sr fita considrando três difrnts gomtrias para o matrial procssado dntro da cavidad monomodo. Algumas intrlaçõs são obsrvadas ntr a gomtria do matrial os parâmtros qu sintonizam a cavidad. 1. Estrutura da Dissrtação O primiro capítulo (1) aprsnta o problma d aqucimnto por microondas na cavidad monomodo num cnário amplo. Faz uma introdução ao tma da dissrtação xpõ sus objtivos. No sgundo capítulo (), o qual é dividido m quatro sçõs, é ralizada uma dscrição dos fnômnos físicos do procsso d aqucimnto na cavidad é aprsntada uma visão gral d um sistma d aqucimnto ral. Em sua primira sção (.1), o capítulo trata dos fnômnos d convrsão da nrgia ltromagnética da microonda m nrgia térmica no matrial a sr aqucido na cavidad. São aprsntadas as xprssõs matmáticas qu modlam ss fnômno. A sgunda sção (.) quaciona a transfrência d calor por condução num lmnto infinitsimal d um matrial aqucido por microondas. Em.3, é aprsntada uma visão gral d um sistma d aqucimnto por microondas. Essa visão é muito important para s conhcr a intrlação dos componnts qu formam o sistma. Finalmnt m.4, raliza-s uma anális ltromagnética da cavidad monomodo. O trciro capítulo (3) aprsnta a formulação matmática dos problmas numéricos ncontrados nst trabalho. Mostra-s a formulação utilizada plo MEF para a solução dos problmas ltromagnéticos, m 3.1, a formulação utilizada plo MEF para a solução do problma térmico do aqucimnto na cavidad, m 3.. O capítulo quarto (4) s rfr, m sua primira sção (4.1), à dscrição do método smi-analítico para o cálculo da solução do problma ltromagnético da cavidad monomodo. Já 4. trata da aprsntação d uma técnica d sintonia para a cavidad monomodo. No capítulo d númro cinco são rvlados os rsultados do aqucimnto da crâmica na cavidad. São mostrados o campo ltromagnético a distribuição d tmpratura utilizando a mtodologia xposta nos capítulos antriors para difrnts gomtrias da crâmica. As conclusõs dst trabalho stão no sxto capítulo.

18 Capítulo 1 Introdução. 18 A dissrtação ainda contém dois apêndics. O Apêndic I dsnvolv duas técnicas d cálculo d coficints d rflxão transmissão d obstáculos situados num guia d onda rtangular. Esss coficints são importants para a mtodologia utilizada nst trabalho. O Apêndic II stima o alcanc d propagação d alguns modos vanscnts xcitados no guia rtangular utilizado nst studo.

19 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 19 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo Est capítulo tm o objtivo d analisar alguns fnômnos físicos ncontrados na cavidad monomodo. São dscritos tanto os fnômnos ltromagnéticos quanto os fnômnos térmicos. O capítulo é struturado da sguint forma: a primira sção (.1) trata da convrsão da nrgia da microonda m nrgia térmica no matrial a sr aqucido na cavidad; m. é ralizado o modlamnto matmático do problma térmico; na sção três são aprsntados, d uma manira gral, os componnts do sistma ral d aqucimnto são dscritas suas funcionalidads; finalmnt m.4 é ralizada uma anális ltromagnética da cavidad monomodo. As duas primiras sçõs são importants no objtivo cntral dst trabalho. A formulação matmática do problma térmico da cavidad monomodo dsnvolvida no Capítulo 3 é basada na toria xposta nssas sçõs. A trcira part do capítulo é important na mdida m qu possibilita um ntndimnto global d um procsso d aqucimnto por microondas. Isso é d fato rlvant, pois mudanças qu ocorrm numa part do sistma d aqucimnto podm trazr consqüências m outros lugars do sistma, inclusiv no aqucimnto do matrial qu acontc dntro cavidad. E a sção quatro analisa do ponto d vista ltromagnético o objto cntral da dissrtação: a cavidad monomodo. A anális s faz d grand valor uma vz qu dscrv alguns fnômnos ltromagnéticos ocorrnts dntro da cavidad assim como cita algumas caractrísticas dssa cavidad.

20 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 0.1 Intração da Microonda com um Matrial Dilétrico No aqucimnto por microondas o objtivo é a convrsão da nrgia ltromagnética contida nos campos da microonda m calor no matrial dilétrico qu vai sr aqucido. Na faixa d frqüência ISM (Instrumntal, Scintific and Mdical), 400 MHz a 5.8 GHz, ncontra-s part da faixa d frqüência associada à microonda. Na faixa d frqüência ISM xistm dois mcanismos físicos prpondrants qu possibilitam a convrsão da nrgia da microonda m nrgia térmica [,8]. A condutividad létrica é rsponsávl por um dsss mcanismos. A convrsão da nrgia pla condutividad é mais significativa m frqüências mais baixas da microonda (abaixo d 896 MHz). A convrsão é dvido à prsnça d corrnts condutivas qu flum dntro do matrial qu por fito Joul gram calor. Essa corrnt é formada dvido aos íons constituints do matrial (ou alguma carga livr prsnt) a prsnça do campo létrico da microonda. A dnsidad d potência associada é: p c = 1 σ E, (.1) ond σ é a condutividad létrica do matrial dilétrico, E é o módulo do campo létrico da microonda. Em frqüências mais lvadas, ncontra-s a sgunda forma d convrsão da nrgia. A convrsão é dvido à rorintação d dipolos létricos prsnts no matrial. Esss intragm com o campo ltromagnético da microonda possibilitam a convrsão da nrgia. Os dipolos aparcm dvido à strutura molcular do matrial. Esss dipolos, quando na prsnça d um campo létrico, sofrm uma força capaz d fazê-los rorintar suas posiçõs. O consqünt movimnto dos dipolos é qu causa a convrsão d nrgia. A dnsidad d potência qu quantifica ssa convrsão d nrgia é: p d = 1 ωε, " E (.) ond ω é a frqüência angular ε é a part imaginária da prmissividad.

21 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 1 O mais prático é dfinir a prmissividad létrica ftiva. Fazndo ssa dfinição, podm-s tratar mios dilétricos condutors da msma forma o fito da condutividad da prmissividad são tratados com uma única xprssão. A xprssão é basada na dfinição da prmissividad ftiva mostrada abaixo: ' " ε ε ε ε c = o r j o ε r + " " σ εc = ε r +, r ε ω 0 σ ε, ω 0 (.3) ond o subscrito r indica qu a prmissividad é rlativa. Agora as Equaçõs.1. podm sr substituídas pla xprssão: p 1 " = ωε. 0 E (.4) r f ε c. Equação d Transfrência d Calor nrgia é: Num matrial irradiado com microondas, a xprssão d consrvação da ' du q + q =, (.5) dt ond q é a taxa líquida d transfrência d calor através das frontiras do matrial, q ' é a taxa d calor produzido no intrior do matrial (dvido à convrsão d nrgia da microonda) U é a nrgia intrna do matrial. A Equação.5 pod sr scrita na forma difrncial na sguint manira: 1 T κ 0 c p r (.6) t " ( T) + ωε ε E = ρc, ond κ é a condutividad térmica, ρ é a dnsidad volumétrica c p o calor spcífico do matrial. A Equação.6 é xprssa considrando qu: (i) a taxa líquida d transfrência d calor por condução através das facs d um lmnto infinitsimal é dada pla li d Fourir; (ii) qu a taxa d variação da nrgia intrna do lmnto é igual ao produto da dnsidad volumétrica do matrial, plo calor spcífico pla taxa d aumnto da tmpratura; (iii) a taxa d calor grado dntro do lmnto é dada pla dnsidad d potência ltromagnética xprssa pla Equação.4.

22 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. No matrial qu vai sr aqucido por microondas, a troca d calor ntr a sua suprfíci xtrna o ambint é fita por convcção. A dnsidad suprficial d potência qu é trocada com o mio é xprssa por: p conv = h( T T ), (.7) ond h é o coficint d transmissão d calor por convcção T é a tmpratura ambint..3 Dscrição d um Sistma d Aqucimnto Esta sção aprsnta o squma d um sistma d aqucimnto por microondas ral. É dscrito o funcionamnto as caractrísticas d cada componnt qu forma o sistma a rlação ntr ls. Essa dscrição srá important, pois prmit ntndr a função qu cada componnt dsmpnha no procsso d aqucimnto qu acontc dntro da cavidad. Os sistmas d aqucimnto por microondas podm sr analisados m três parts principais: (1) a font d microondas; () o sistma d transmissão condicionamnto da microonda (3) a carga. Nst trabalho, o trmo carga rfr-s à cavidad juntamnt com o matrial a sr procssado. A Figura.1 mostra o squma d um sistma d aqucimnto por microondas. E a sguir uma dscrição dos componnts básicos dss sistma é aprsntada. Grador d Microondas As frqüências acitas comrcialmnt para aplicaçõs d aqucimnto por microondas são 896 MHz (Inglatrra) ou 915 MHz (EUA).45 GHz (mundialmnt) [9]. As microondas são gradas plos magntrons. Em um sistma, o magntron ncontra-s dntro d uma strutura contndo outros componnts ltrônicos um guia qu prmit a conxão com a part d transmissão. O magntron rqur uma font potência para aqucimnto do filamnto, tnsão do anôdo campo magnético (m alguns casos). Para vitar problmas d compatibilidad confiabilidad, o forncdor do magntron também fornc a font d alimntação. Assim, o qu chamamos d grador d microondas inclui também uma font d alimntação, um guia o magntron.

23 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 3 1 Magntron Font Alta Tnsão guia d onda flangs isolador carga artificial acoplador mdidors sintonizador íris 3 cavidad Figura.1 Esquma básico d um sistma d aqucimnto: (1) Font d Microondas, () Sistma d Transmissão/Condicionamnto da Microonda (3) Aplicador. Circuladors Isoladors O circulador é um lmnto passivo, não rcíproco, com três ou mais portas, usado para transmitir a nrgia da microonda numa dirção spcífica. O circulador pod sr usado como lmnto d protção vitando qu a potência rfltida rtorn ao magntron danificando-o. Um isolador é um circulador no qual uma carga, usada para dissipar a nrgia rfltida, é ligada a uma das suas portas. Sintonizador Manual ou Automático O sintonizador é usado para casar a impdância d carga com a impdância da font. Assim, o sintonizador minimiza a quantidad d potência rfltida, o qu rsulta num acoplamnto mais ficint da font com a carga. O sintonizador automático utiliza diais motorizados controlados ltronicamnt por um microprocssador para casar a impdância da carga. Os sintonizadors automáticos

24 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 4 são muito útis m aplicaçõs ond a impdância d carga varia significativamnt durant o procsso d aqucimnto. Essa variação acontc por vários motivos, como por xmplo, a mudança das propridads físicas do matrial procssado na cavidad com a tmpratura. Uma variação d impdância também pod ocorrr na font. Um motivo comum da variação é o dsvio do ponto d funcionamnto do magntron dvido ao aqucimnto proporcionado pla potência rfltida pla carga (instabilidad d acoplamnto). Ess fnômno justifica a prsnça do isolador no sistma d aqucimnto. Acoplador É um componnt utilizado para mdição da potência incidnt/rfltida na carga. Existm acopladors dircionais qu prmitm sparar as mdiçõs da potência incidnt rfltida os não-dircionais qu não prmitm ralizar ssa distinção. Existm também os analisadors d rd. Esss são acopladors dircionais qu prmitm dtctar a fas a amplitud dos campos ltromagnéticos incidnts rfltidos. Essas mdiçõs são útis para o cálculo dos lmntos da matriz d spalhamnto d um componnt do sistma d aqucimnto. Íris Tm a msma função do sintonizador, buscando auxiliar no casamnto das impdâncias da carga com o sistma d transmissão do dispositivo. Ela faz part do aplicador. Aplicador O aplicador é a part final do sistma d aqucimnto ond s localiza o matrial a sr procssado. Ess studo tm o objtivo d analisar uma cavidad do tipo monomodo ou também conhcido como aplicador monomodo. A cavidad monomodo tm uma pard condutora létrica móvl na sua xtrmidad conhcida como curto. A mobilidad do curto também auxilia na ralização do casamnto d impdâncias..4 Cavidad Monomodo A sção antrior procurou dar uma visão gral sobr o sistma d aqucimnto. Srviu para prcbr a intrlação ntr as parts do sistma dfinir o objtivo d cada uma dssas parts. Porém, o objtivo dst trabalho é studar com dtalhs a cavidad monomodo.

25 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 5 curto xˆ ŷ ẑ íris matrial Figura. Cavidad monomodo. A Figura. é uma rprsntação dtalhada da cavidad monomodo, a qual é constituída por uma íris plo curto. A cavidad monomodo é utilizada normalmnt m aplicaçõs ond o tamanho a prda do matrial procssado são pqunos. Dvido a ssas limitaçõs, o uso da cavidad monomodo na indústria é rstrito. Mas xistm aplicaçõs ond o uso da cavidad é intrssant. Entr algumas dssas aplicaçõs é possívl citar a soldagm d pqunas pças a sintrização d crâmicas. Val abrir um pquno spaço aqui citar algumas caractrísticas d outro tipo d cavidad largamnt utilizada no procsso d aqucimnto por microondas: a cavidad multimodo [10]. Um squma básico dssa cavidad é mostrado na Figura.3. A cavidad multimodo, pla sua capacidad d procssar maior quantidad d matrial, é mais ncontrada m procssos industriais qu a monomodo. Entr algumas d suas vantagns, stá a possibilidad d s consguir um aqucimnto mais uniform. Isso pod sr alcançado fazndo o acoplamnto da nrgia na cavidad por divrsos locais (várias fonts d nrgia). A difrnça básica ntr as cavidads monomodo multimodo stá no aparcimnto d modos dntro dssas cavidads. Na cavidad multimodo, dvido as suas dimnsõs, podrão aparcr m su domínio a prsnça d muitos modos numa pquna faixa d frqüências. Já na

26 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 6 cavidad monomodo acontc o contrário. Dvido à scolha das dimnsõs da cavidad monomodo irá aparcr m su intrior prpondrantmnt um único modo, o dominant. Isso facilita uma anális rápida dssa cavidad, pois s pod d antmão tr uma stimativa do campo ltromagnético m su intrior. Figura.3 Cavidad multimodo. Juntando a isso, val dizr também qu dvido à prsnça da íris do matrial a sr procssado irão aparcr na cavidad monomodo alguns modos vanscnts nas vizinhanças dsss lmntos. Esss modos irão grar pqunas prturbaçõs sobrpostas ao campo do modo dominant. Quanto mnor for a dimnsão do matrial " ' pquna for o valor da sua prda ( ε c r tndndo para zro ε c r tndndo para a unidad), mnor srá ssa prturbação. Outra caractrística da cavidad monomodo é qu, dvido à pouca prda do matrial procssado na cavidad, um alto valor d campo ltromagnético tm d sr obtido dntro dssa cavidad. Isso s faz ncssário para qu haja uma boa quantidad d nrgia absorvida plo matrial (Equação.4). Então, para qu ssa cavidad funcion d manira satisfatória, la dv possuir um alto fator d qualidad. A xprssão do fator d qualidad d uma cavidad é: nrgia armaznada Q= ω, (.8) potência dissipada ond o numrador da xprssão acima é a nrgia armaznada no campo dntro da cavidad o dnominador é a potência dissipada no matrial.

27 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 7 Outra caractrística qu aparc na cavidad monomodo, qu val sr rssaltada, é a rssonância. Plo fato da cavidad tr um alto fator d qualidad, la vai possuir uma banda d passagm bm strita, caractrizando, assim, a cavidad monomodo como rssonant. O valor lvado d campo ltromagnético dntro da cavidad monomodo vai sr obtido dvido à sintonia da cavidad. Ess procsso d sintonia busca fazr com qu o máximo d nrgia sja absorvido plo matrial qu vai sr aqucido através do casamnto d impdâncias. No Capítulo 4 srá dsnvolvida uma técnica para a sintonia da cavidad monomodo..4.1 Casamnto d Impdância ou Sintonia Em sistmas d microondas, o casamnto d impdância é smpr um dos objtivos do projto. O propósito do casamnto d impdância, nos sistma d aqucimnto, é fazr com qu toda a nrgia disponibilizada plo magntron sja ntrgu ao matrial a sr procssado. Para isso é ncssário qu a impdância do sistma d transmissão da microonda sja igual àqula da carga. Quando rlacionado com cavidads, o procsso d casamnto d impdâncias é também conhcido como sintonia. Nst studo, um sistma constituído por um guia d onda dirtamnt acoplado a uma cavidad monomodo é considrado. Para qu o casamnto d impdância sja ralizado, é algumas vzs ncssária a introdução d um componnt adicional ntr a carga o sistma d transmissão. Ess componnt é aqui dnominado d rd d casamnto d impdância, Figura.4. guia Rd d Casamnto d Impdância. Carga. Figura.4 Casamnto d impdâncias no sistma d aqucimnto.

28 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 8 A scolha prática d uma rd d casamnto d impdância é fita lvando-s m conta alguns pontos importants. Entr sts, val dstacar a possibilidad d s fazr um ajust fino. Isso é important, pois m algumas aplicaçõs a impdância da carga é variávl, o qu xig um rajust da impdância da rd para qu o dispositivo continu sintonizado. Outras caractrísticas importants na scolha d uma rd d casamnto d impdância são: simplicidad, banda d passagm, facilidad d implmntação baixas prdas. No sistma d aqucimnto aprsntado nst trabalho, a rd d casamnto d impdância é uma íris. Na Figura.5, são aprsntados alguns tipos d íris utilizadas na prática para sintonia dos sistmas d aqucimnto. Conform a prdominância dos modos qu as íris xcitam las podm sr dnominadas indutiva, capacitiva ou rssonant. (a) (b) (c) (d) Figura.5 Tipos d íris: (a) indutiva, (b) capacitiva (c-d) rssonant. Quando um modo TE 10 é incidnt sobr a íris do tipo (a) modos vanscnts TE n0 são xcitados nas vizinhanças dssa íris para qu as condiçõs d contorno possam sr satisfitas. Esss modos não propagants xcitados armaznam prdominantmnt nrgia magnética por isso o nom dado d íris indutiva. Já na íris do tipo capacitiva acontc difrnt, pois os modos vanscnts xcitados por la têm mais nrgia létrica do qu magnética daí o nom d capacitiva. E no caso das íris rssonants os modos vanscnts possum tanto nrgia létrica quanto nrgia magnética, não havndo prdominância. A caractrização por isso s dá pla nrgia létrica magnética dos modos vanscnts xcitados plas íris. Nst trabalho foi utilizada uma íris do tipo indutiva. Essa scolha foi fita dvido à capacidad d ajust na sua abrtura. Ess ajust é important, pois como nst trabalho são procssados matriais com difrnts gomtrias, vão sr xigidas difrnts condiçõs d sintonia para a cavidad.

29 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 9 Como dito antriormnt, a função da íris é ralizar a sintonia da cavidad. No procsso d aqucimnto com cavidads monomodo, a prda dos matriais procssados é pquna. Assim, sintonizar a cavidad significa, simultanamnt, ralizar o casamnto das impdâncias do guia com a da cavidad também obtr um lvado padrão d campo ltromagnético nssa cavidad. Os fnômnos d rflxão qu aparcm dntro da cavidad, dvido à prsnça da íris do curto, possibilitam o surgimnto d um padrão d onda stacionária qu lva ao aparcimnto d campos lvados dntro da cavidad. Ess padrão d campo lvado dntro da cavidad é uma das caractrísticas spcíficas da cavidad monomodo. Dss modo, no Capítulo 4 é dsnvolvida uma técnica d sintonia qu busca maximizar o campo dntro da cavidad. A técnica utiliza a possibilidad d ajust na abrtura da íris na posição do curto..4. Modlo d Circuitos Existm situaçõs m qu é possívl convnint o uso d circuito quivalnt m problmas d microondas [11]. Quando a anális do problma xig conhcr valors pontuais dos campos ltromagnéticos, o uso do concito d circuito quivalnt não s aplica, nss caso, as quaçõs d Maxwll para o problma dvm sr rsolvidas. Por outro lado, quando a anális não xig conhcr os dtalhs do problma d microondas, mas sim m obtr valors trminais, o uso do circuito quivalnt é intrssant. Um xmplo ond o uso das técnicas d circuitos é intrssant é na anális d sistmas com lmntos ligados m cascata. Em projto d sistmas como sss s faz ncssário a anális d várias configuraçõs para a scolha daqula qu tm mlhor dsmpnho. Nsss casos, o uso das técnicas d circuitos traz facilidad rapidz na anális Circuito d Duas Portas d uma Rd d Microondas A Figura.6 mostra um guia d onda com um obstáculo posicionado m su intrior, z=0. O obstáculo divid o guia m duas rgiõs: a rgião 1, z<0, a, z>0. As dimnsõs do guia são tais qu somnt o modo TE 10 propaga.

30 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 30 dirção O obstáculo é iluminado por dois campos, um na dirção + ẑ outro na ẑ. Esss campos incidnts são spalhados plo obstáculo m dois campos também nas dirçõs + ẑ ẑ. Para uma distância tal qu s possa dsprzar a influência dos modos vanscnts xcitados plo obstáculo, dfinm-s os campos nas rgiõs 1 da sguint forma rgião1: E H y1 x1 + jk z z jk z 10 + z10 ( A + A ), π x = sn 1 1 a 1 π x + jk z z + jk z 10 z10 = sn ( A1 A1 ), Z a TE10 (.9) rgião : E H y x + jk z z jk z 10 + z10 ( A + A ), π x = sn a 1 π x + jk z z + jk z 10 z10 = sn ( A A ), Z a TE10 (.10) ond a é a largura do guia, Z TE 10 é a impdância d onda do modo TE 10, kz 10 é a constant d propagação do modo TE 10, A 1 A são as amplituds dos modos. x a 1 z Figura.6 Obstáculo situado num guia d onda rtangular. As quaçõs acima podm sr rscritas como

31 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 31 E H yi xi π x sn a = C 1 + jk z z jk z 10 + z10 ( Vi + Vi ) π x sn a + jk z z jk z 10 + z10 = ( Ii Ii ). Z C TE10, (.11) ond i = 1, rprsnta os mios 1, V i I i são dfinidos a partir do campo létrico do magnético, rspctivamnt. As duas condiçõs para dtrminar os parâmtros C 1 C são: A impdância d onda do problma original dv sr igual à impdância caractrística do circuito quivalnt dduzido. A potência calculada no circuito quivalnt, na forma d 1 VI P= *, dv 1 * H ds. sr igual à potência qu propaga no guia, P= E Para os modos TE 10 s S ab C1 =, 1 C = Z TE10 ab. (.1) Com as dfiniçõs acima a Equação.11, a rprsntação dos campos, nas rgiõs 1, pod sr fita considrando somnt a dpndência com a coordnada z V = V I 1 I = I 1 V = V = I + + jk z z 10 jk z z 10 jk z z 10 jk z z 10 + V + I V + I + jk z z 10 + jk z z 10 + jk z z 10, + jk z z 10.,, (.13) Essas rlaçõs satisfazm a conhcida quação das linhas d transmissão (LT) aprsntada abaixo d V dz d I dz ( z) i ( z) i + k + k z10 z10 V I i i ( z) = 0, ( z) = 0. (.14) Val colocar aqui também as rlaçõs útis:

32 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 3 V I + i + i V = I i i P= 1 V i = Z + TE10, + * ab A ( I ) =. i 4Z TE10 (.15) Portanto, as rgiõs 1 podm sr rprsntadas como LT s (circuitos quivalnts) como o dmonstrado abaixo 1 Z TE 10 Z TE 10 Figura.7 Modlamnto d um problma d microondas com uma LT. Em rds d microondas usa-s muito a modlagm através das matrizs d impdância d spalhamnto para rprsntar circuitos quivalnts. Um obstáculo num guia rtangular é modlado por uma matriz d impdância da sguint forma V1 Z = V Z 11 1 Z Z 1 I I 1, [ ] [ Z][ I], V = (.16) ond [Z] é a matriz d impdância é dtrminada plas propridads do obstáculo. A Figura.8 mostra um circuito quivalnt da matriz d impdância.

33 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 33 obstáculo I 1 I Z 11-Z 1 Z -Z 1 V 1 Z 1 V Z TE 10 Z TE10 Figura.8 Circuito T quivalnt do obstáculo. sistma abaixo A modlagm do obstáculo fita pla matriz d spalhamnto rsulta no V V 1 S = S 11 1 S S 1 V V + 1 +, [ ] [ ][ = S V + ], V (.17) ond [S] é a matriz d spalhamnto. S a rd é rcíproca, ntão, as matrizs [Z] [S] são simétricas. A rlação ntr os lmntos d [Z] [S] são da sguint forma Z Z Z 11 1 = Z S = = Z = Z TE10 TE10 TE10 ( 1+ S )( 1 S ) S S, ( 1 S )( 1+ S ) ( 1 S )( 1 S ) S S S 1 + S 1 + S 1,, (.18).4.. Circuito Equivalnt para a Cavidad Monomodo A anális antrior, fita para um obstáculo situado no guia, pod sr stndida para qualqur rd d microondas d duas portas. Todo ss dsnvolvimnto srá aplicado também para a íris. A matriz d spalhamnto é obtida calculando-s os coficints d rflxão d transmissão dos obstáculos. Com os lmntos da matriz d spalhamnto, a matriz d impdância é calculada, como dmonstrado na Equação.18. Coficints d rflxão d transmissão para obstáculos como aqul mostrado na Figura.6 podm sr calculados d várias formas. No Apêndic I são

34 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 34 discutidas duas técnicas d cálculo numérico dsss coficints. Na rfrência [1] outra técnica difrnt é aprsntada utilizando o casamnto d modos também rlaçõs intgrais. O inconvnint dssa técnica é qu la foi dsnvolvida apnas para obstáculos rtangulars cilíndricos. Já coficints d rflxão transmissão d obstáculos do tipo da íris possum soluçõs analíticas. Essas soluçõs são clássicas aprsntadas m várias rfrências [11, 13-15]. Os coficints d rflxão transmissão podm também sr obtidos d manira prática através dos acopladors (analisadors d rd) dscritos na Sção 3 dss capítulo. Dssa manira, o único lmnto da cavidad qu falta a dscrição por um circuito quivalnt é o curto. Como no caso do guia, a sua rprsntação no circuito quivalnt também é através d um curto no circuito. A Figura.9 mostra a forma complta do circuito quivalnt da cavidad. Os dois obstáculos do aplicador, a íris o matrial procssado, são rprsntados por suas impdâncias concntradas. As distâncias tanto ntr a íris o matrial procssado quando ntr o matrial procssado o curto são mostradas na Figura.9. Essas distâncias são aqulas prcorridas plas ondas d tnsão corrnt numa LT quivalnt (ou as distâncias prcorridas plo campo létrico plo magnético no dispositivo). íris matrial procssado L 1 L z Figura.9 Circuito quivalnt para a cavidad monomodo. Muitas informaçõs a rspito d componnts d um sistma d aqucimnto são forncidas basadas nas impdâncias quivalnts, como por xmplo os

35 Capítulo Dscrição dos Fnômnos Eltromagnéticos Térmicos na Cavidad Monomodo. 35 coficints d rflxão d transmissão. Por isso toda a mtodologia dsnvolvida nssa sção é important. No próximo capítulo srá dsnvolvida toda a formulação matmática ncssária aos métodos numéricos qu irão rsolvr o problma ltromagnético o térmico da cavidad monomodo.

36 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 36 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o Método d Elmntos Finitos Nst capítulo, o MEF é aplicado na discrtização do problma ltromagnético térmico dntro d uma cavidad monomodo parcialmnt prnchida com um matrial dilétrico. No problma ltromagnético, a formulação vtorial é usada no domínio da frqüência com lmntos d arsta d primira ordm [16-17]. No problma térmico, é utilizada a formulação scalar no domínio do tmpo com lmntos nodais d primira ordm [18]. No domínio do tmpo, a discrtização spacial do problma térmico rsulta m um sistma d quaçõs difrnciais ordinárias d primira ordm. Ess sistma é rsolvido com a discrtização tmporal fita com método d Crank- Nicolson. Est capítulo stá dividido m duas sçõs. A primira dscrv a formulação do MEF para a solução do problma ltromagnético a sgunda dscrv a formulação para a solução do problma térmico. 3.1 Problma Eltromagnético A solução do problma ltromagnético da cavidad monomodo, utilizando o MEF, aprsnta algumas dificuldads d convrgência na solução do sistma matricial comntadas no Capítulo 1. Para contornar ssas dificuldads, é aprsntado no Capítulo 4 um método smi-analítico. Mdiant algumas simplificaçõs, ss método consgu rsolvr numricamnt um problma ltromagnético mais simpls do qu aqul qu o MEF rsolv para a cavidad monomodo. O rfrido método ncssita, m sua formulação, do cálculo dos coficints d rflxão d transmissão do matrial a sr procssado situado num guia infinito. Técnicas qu calculam os coficints são aprsntadas no Apêndic I. No ntanto,

37 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 37 ssas técnicas utilizam a solução numérica do problma ltromagnético d um guia rtangular carrgado com o matrial. Plo dscrito acima, visto qu st trabalho s propõ m rsolvr o problma ltromagnético da cavidad monomodo utilizando o método smianalítico, xistm três problmas ltromagnéticos difrnts qu são rsolvidos nst trabalho utilizando o MEF; ls são: (i) aqul rsolvido na part numérica do método smi-analítico, (ii) aqul rsolvido para o cálculo dos coficints d rflxão d transmissão (iii) aqul da cavidad monomodo propriamnt dito. O rsultado d (iii) é important para avaliar a ficiência computacional do método smi-analítico. Nsta sção, é dsnvolvida a formulação do MEF para o problma ltromagnético ncontrado no Apêndic I, qu é o problma utilizado no cálculo dos coficints d rflxão transmissão do matrial m um guia rtangular. Isso srá fito, pois as formulaçõs utilizadas nos outros dois problmas podm sr facilmnt dduzidas a partir dssa formulação Forma Fort A Figura 3.1 mostra um guia d onda rtangular infinito com um obstáculo no su intrior. O obstáculo é assumido sr um dilétrico com prdas prmabilidad rlativa unitária. O guia é alimntado por uma font d nrgia qu gra os modos propagants. A quação difrncial parcial qu govrna a distribuição d campo létrico no intrior do guia é E koε E = 0, (3.1) cr ond k o = ω ε oµ o é a constant d propagação no spaço livr ε c r é a prmissidad ftiva rlativa. A suprfíci latral do guia, S 1, é considrada condutora létrica prfita, portanto, nla a condição d contorno d Dirichlt é homogêna n ˆ E = 0, (3.) sndo nˆ é o vtor unitário normal qu aponta para fora do guia.

38 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 38 S 3 S xˆ ŷ ẑ Figura 3.1 Guia d onda rtangular com um obstáculo no su intrior. Na frontira ar-obstáculo, S d, a dscontinuidad aprsntada m εc r introduz a sguint condição d intrfac ond ( E ) = nˆ ( ), + nˆ d E d (3.3) nˆ d é o vtor normal à S d. Os sobrscritos (+) (-) indicam valors d campo tomados dntro fora do obstáculo, rspctivamnt. Como o domínio d solução do MEF dv sr limitado, o guia é truncado através d duas suprfícis, S S 3, mostradas na Figura 3.1. Nss sntido, o domínio d solução é a união do dilétrico com a rgião d ar, limitado pla suprfíci S = S1 S S3. Ω =Ω Ω, As suprfícis S S 3 são modladas através d condiçõs d contorno qu rfltm a física do problma. Assim, a suprfíci S 3 dv sr transparnt para as ondas incidnts nla. Por outro lado, S dv tanto prmitir a ntrada da onda grada pla font quanto sr transparnt para as ondas rfltidas plo obstáculo. A xprssão matmática para as condiçõs d contorno impostas nssas suprfícis é dada abaixo: ar d

39 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 39 ( E) + δ nˆ ( nˆ ) = χ. n ˆ E (3.4) Essa é uma condição d contorno do trciro tipo. Os parâmtros δ χ são constants spcíficas para cada suprfíci. A ddução dssas constants stá na Sção Forma Fraca O primiro passo na obtnção da forma fraca é ralizar a intgração, sobr o domínio Ω, do rsíduo da Equação 3.1 pondrado por uma função d tst v Ω v ( E k E) dω= 0, d modo qu v dv sr tal qu n ˆ v = 0 sobr S 1. Ω Fazndo a intgração por parts da Equação 3.5, tm-s oε (3.5) [( v) ( E) k ] oε v E dω+ v [ nˆ c ( E) ] ds + v [ n ( n E) ] ds+ r 1 χ δ ˆ ˆ S1 S, S3 + v ( E E ) nˆ dsd = 0. Sd c r (3.6) A primira intgral d suprfíci sobr S 1 é smpr nula, pois v tm as componnts tangnciais nulas sobr ssa suprfíci. A trcira intgral d suprfíci também é nula pla imposição da condição d intrfac. Portanto, dtrminar o campo vtorial E, cuja componnt tangncial é nula sobr S 1, rqur rsolvr a sguint forma fraca ( v) ( E) k ) Ω= ( ˆ ( ˆ o c v E d v χ δ n n E ) ds. r ε (3.7) Ω S, S Ddução das constants da condição d contorno do 3 tipo Os valors das constants χ δ são dpndnts da suprfíci ond é aplicada a condição d contorno do trciro tipo [19]. Nsta sção, as rfridas constants são dduzidas para as suprfícis S S 3 da Figura 3.1. Para o problma ltromagnético analisado, as dimnsõs do guia d onda são considradas tais qu somnt o modo TE 10 propaga na frqüência d trabalho.

40 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 40 As suprfícis S S 3 são posicionadas a uma distância do obstáculo tal qu a influência dos modos vanscnts, xcitados plo obstáculo, possa sr dsprzada. Assim, somnt o modo TE 10 xist nssas suprfícis. Na suprfíci S xistm dois modos TE 10. Um dls é o incidnt produzido pla font o outro é o rfltido plo obstáculo. Esss modos são dados plas xprssõs abaixo. E total = E inc + E rf πx = Eosn a πx a jk z z + jk z 10 z10 Rsn y + ˆ. (3.8) à incidência d Na suprfíci S 3, xist apnas o modo TE 10 transmitido plo obstáculo dvido E inc. Ess modo é dado por E trans πx = Tsn a jk z z 10 y ˆ. (3.9) Aplicando a Equação 3.4 m S com os campos da Equação 3.8 tm-s ( tot) z ( inc rf) z ( tot inc) zˆ E = jk E E =+ jk E E, (3.10) o qu fornc δ = jk z χ = jk 10 z 10 Einc. D manira smlhant m S 3, só qu considrando o campo da Equação 3.9, obtém-s ( E ) = zˆ ( E ) jk E, n ˆ = (3.11) trans trans z 10 trans o qu fornc δ = χ = 0. jk z10 Substituindo as Equaçõs na Equação 3.7, chga-s à quação abaixo " ( v) ( E) k ε ). 0 c v E dω+ jkz10 v E ds+ jkz10 v E ds3 = jkz v E 10 inc ds r Ω S (3.1) A Figura 3. (a) (b) mostra duas variaçõs do problma discutido, sndo qu tais variaçõs também são rsolvidas nsta dissrtação. Na Figura 3. (a), o guia d onda é trminado com um curto. Dss modo, a suprfíci S 3 s torna condutora létrica prfita com condição d contorno d Dirichlt homogêna. Ess é o problma ltromagnético rsolvido no método smi-analítico. S3 S

41 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 41 Já o outro problma, Figura 3. (b), rprsnta a cavidad monomodo propriamnt dita. Nss caso, a suprfíci S 3 também s torna condutora létrica prfita juntamnt com as pards qu formam a íris. No ntanto, os modos vanscnts xcitados pla íris dslocam a suprfíci S acarrtando um aumnto do domínio computacional. A solução do problma mostrado na Figura 3. (b) usando dirtamnt a formulação do MEF aprsnta algumas dificuldads d convrgência na solução do sistma matricial. Srá dscrito um método smi-analítico qu procura liminar ssas dificuldads obtém a solução do problma ltromagnético da cavidad monomodo d uma manira mais ficint computacionalmnt, no capítulo sguint. S 3 S 3 S S 3 S (a) (b) Figura 3. (a) Guia d onda curto circuitado. (b) Cavidad monomodo Discrtização Espacial O MEF implmntado nst trabalho utiliza funçõs d forma dfinidas na arsta d primira ordm para intrpolar o campo létrico numa malha d ttradros. A discrtização da Equação 3.1 rsulta m um somatório d intgrais ralizadas nos lmntos ttraédricos da sguint forma:

42 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 4 k ij f i = ( Ni ) ( N j) Ω = jk z10 S N i E inc ds dω rsultando no sistma matricial:, k ε 0 cr Ω N i N j dω + jk N z10 i S, S3 N j ds, (3.13) ond Ω K g = F, (3.14) S i rprsntam, rspctivamnt, o domínio d cada ttradro a ára d alguma fac do ttradro coincidnt com a suprfíci d contorno S i. A função d bas associada à arsta i é rprsntada por coficints k ij N i tm domínio m Ω. Os f i são contribuiçõs d cada arsta à matriz rigidz, K, ao vtor força, F. O vtor g é o vtor d incógnitas, circulação do campo létrico nas arstas da malha. 3. Problma Térmico O problma térmico modlado nst capítulo é o aqucimnto d um dilétrico dntro da cavidad monomodo. A solução dss problma é fita utilizando a formulação scalar do MEF no domínio do tmpo Forma Fort O domínio d solução do problma térmico, 3 Ωd R, é o intrior do matrial a sr procssado na cavidad. Na Figura 3.3, são aprsntadas algumas gomtrias típicas dos matriais a srm procssados na cavidad. (a) (b) (c) Figura 3.3 Gomtria do dilétrico qu é aqucido na cavidad monomodo, (a) barra, (b) post rtangular (c) post cilíndrico.

43 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 43 A quação difrncial parcial a sr rsolvida m Ω d para o problma térmico é a quação qu govrna a transfrência d calor por condução qu é mostrada abaixo: O domínio T ρ c p = ( k T) + q'. (3.15) t Ω d é limitado pla suprfíci S d, ond é aplicada a condição d contorno qu dscrv o fluxo d calor por convcção, dada pla sguint rlação: 3.1. Forma Fraca ( T) nˆ = h( T T ). k (3.16) A obtnção da forma fraca sgu o msmo procdimnto do problma ltromagnético. Porém, a função d tst é scalar. Ω d T v ρ cp ( k T) q' dωd = 0. (3.17) t Fazndo a intgração por parts substituindo a xprssão da condição d contorno sobr S d obtém-s a sguint forma fraca Ω d T ρ cpv + k v T dωd + vh( T T ) dsd = v q' dωd. (3.18) t Sd Ω d O trmo font do problma térmico, q ', provém do campo létrico da microonda, qu é solução do problma ltromagnético. Nas simulaçõs aprsntadas nss trabalho, não srão considradas as variaçõs nas propridads létricas térmicas do matrial qu, m gral, são funçõs da tmpratura. Por isso, o trmo font fica constant durant toda a simulação. As rfrências [0-1] aprsntam um modlo mais ralista do acoplamnto ntr o problma ltromagnético o térmico. A rfrência [0] dsnvolv um modlo unidimnsional para um matrial smi-infinito incidido por uma onda plana qu prmit tratar a variação da prmissividad létrica com a tmpratura. O cálculo do campo ltromagnético nss caso é fito analiticamnt. Já a rfrência [1] traz um modlo mais complto qu prmit não somnt considrar a variação da prmissividad com a tmpratura, mas também com a frqüência. Essa rfrência calcula a distribuição d tmpratura num matrial procssado numa cavidad multimodo. Nss caso, o cálculo do campo foi fito utilizando a FDTD.

44 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF Discrtização Espacial O MEF implmntado para o problma térmico utiliza funçõs d forma nodais d primira ordm para intrpolar a tmpratura numa malha d ttradros. A discrtização da Equação 3.18 rsulta m um somatório d intgrais ralizadas dntro dos lmntos ttraédricos da sguint forma m k ij ij f i = ρc = κ = Ω Ω p Ω N i N i i N j N N q' dω dω, j + h dω S N + h T i S N ds i, N j ds, (3.19) rsultando m um sistma d quaçõs difrnciais ordinárias qu pod sr rprsntado plo sistma matricial a sguir ond m ij, dg M + K g = F, (3.0) dt N i é a função d bas associada ao nó i com domínio m k ij Ω. Os coficints f i são as contribuiçõs d cada nó à matriz massa, M, à matriz rigidz, K, ao vtor força, F, rspctivamnt. O vtor g é o vtor d incógnitas, tmpratura m cada instant, do MEF Discrtização Tmporal O problma térmico analisado nss capítulo é um problma no domínio do tmpo. É intrssant para st trabalho analisar o rgim transitório da distribuição d tmpratura no matrial a sr procssado na cavidad monomodo. O sistma d quaçõs difrnciais do MEF da Equação 3.0 é rsolvido num intrvalo d tmpo, tmporal. 0 t t max, para tanto é usado um método d discrtização O método d discrtização utilizado é o d Crank-Nicolson. A volução no tmpo a avaliação da drivada do vtor g são fitas da sguint forma nss método n+ 1= gn + t gn+ θ g & ( θ) g& θ g&, n+ = 1 n + n+ 1, g & θ (3.1)

45 Capítulo 3 Modlagm do Problma Eltromagnético Térmico Utilizando o MEF. 45 ond θ=0.5, dvido ao método d discrtização scolhido, no tmpo n t g& n é a drivada dss vtor avaliada no tmpo n t. g n é o vtor d incógnitas Val rssaltar qu o método d Crank-Nicolson é convrgnt, stávl tm ordm d prcisão dois (rro por passo d tmpo) [18].

46 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 46 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo Plo qu foi dito nos capítulos antriors, a aplicação dirta do MEF na solução do problma ltromagnético da cavidad monomodo aprsnta dificuldads na convrgência da solução do sistma matricial. Para tntar liminar ssas dificuldads d convrgência, é aprsntado nst capítulo um método smi-analítico. Ess método é assim chamado por sr basado m técnicas analíticas (toria da matriz d spalhamnto) numéricas (MEF). Também é aprsntada nst capítulo uma técnica para a sintonia da cavidad monomodo. Como comntado no Capítulo, o objtivo da sintonia é tornar o sistma d aqucimnto mais ficint. A técnica também utiliza a toria da matriz d spalhamnto busca a maximização do campo ltromagnético dntro da cavidad. Est capítulo é dividido m duas sçõs. A primira aprsnta a formulação do método smi-analítico. A sgunda sção aprsnta a técnica d sintonia para a cavidad monomodo. 4.1 Método Smi-Analítico Motivação A aplicação dirta do MEF à cavidad monomodo, conform aprsntado no Capítulo 3, é ralizávl (Figura 3. (b)). Porém, a prsnça da íris o carátr rssonant da cavidad tornam o uso dirto do MEF inficint dvido à dificuldad d solução do sistma matricial através d métodos itrativos. A prsnça da íris na cavidad, como obsrvado no Capítulo, xcita modos vanscnts na sua vizinhança. Dvido à prsnça dsss modos srá ncssário um

47 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 47 maior grau d rfinamnto da malha do MEF na vizinhança da íris para s tr uma mlhor dscrição do campo nssa rgião. Ess maior rfinamnto na vizinhança da íris traz uma não homognidad na malha rsultant d toda a cavidad, o qu torna a matriz do MEF mal-condicionada. Outra caractrística da cavidad qu torna a matriz do MEF mal-condicionada é a rssonância [7,]. Na rfrência [], Dibbn Mtaxas justificam o malcondicionamnto da matriz afirmando qu pqunas variaçõs na frqüência da font causam grands mudanças na distribuição d campo létrico na cavidad. Os autors rforçam qu ssa instabilidad faz com qu o conjunto d quaçõs drivadas do MEF s torn mal-condicionado. Uma mdida da rssonância é fita avaliando o fator d qualidad da cavidad. Então, o aumnto da dimnsão da matriz do MEF (dvido a íris) o malcondicionamnto dssa matriz (dvido a rssonância não homognidad da malha) é qu trazm as dificuldads na convrgência da solução do sistma matricial na aplicação dirta do MEF à cavidad monomodo. Nss sntido, uma técnica capaz d contornar ssas dificuldads é rlvant. Por isso, nsta dissrtação um método smi-analítico proposto por [7] é utilizado. A idéia básica do método é liminar a íris do modlo numérico. Isso é fito aplicando a toria da matriz d spalhamnto para lvar m conta o fito da íris na cavidad Idéia Básica do Método Smi-Analítico Krigsmann Hil [7] utilizam uma combinação d técnica analítica numérica para s rsolvr o problma ltromagnético d uma cavidad monomodo. Nst trabalho, ssa abordagm stá sndo chamada d método smi-analítico. A part analítica do método aplica a toria da matriz d spalhamnto para lvar m conta o fito da íris na cavidad. A part numérica do método smianalítico fornc a distribuição d campo ltromagnético dntro da cavidad incluindo o matrial a sr procssado. Em [7], os autors utilizam o FDTD como método numérico. Nsta dissrtação, o MEF é utilizado. E como aplicação o procsso d aqucimnto na cavidad é invstigado. O método smi-analítico também aprsnta um carátr assintótico, isto é, os modos vanscnts xcitados tanto plo matrial a sr procssado quanto pla íris não intragm. Isso é garantido avaliando a distância d alcanc dsss modos para

48 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 48 uma dada atnuação. No Apêndic II, uma stimativa dss alcanc é calculada. Assim, a rigor, o método smi-analítico não s aplica às cavidads d comprimnto muito pquno Formulação Como considrado no Capítulo, as dimnsõs do guia d onda são tais qu somnt o modo TE 10 propaga. x E o T R E 1 -z z=0 z 1 z c z L z Figura 4.1 Dscrição dos modos propagants na cavidad. A Figura 4.1 mostra a cavidad os campos létricos rsultants, lvando-s m conta as hipótss antriors. No plano z 1 (dsprzando a prsnça d modos vanscnts), considram-s dois modos propagants (TE 10 ): um na dirção outro na dirção ẑ. Os campos létricos dsss modos podm sr scritos como + ẑ π x T = T sn a π x E a jk z z 10 yˆ, + jk z z 10 1= E1 sn y ˆ. (4.1) Da msma forma, no plano -z (ond também pod dsconsidrar a prsnça d modos vanscnts), outros dois modos propagants (TE 10 ) são considrados. O primiro, na dirção + ẑ, é o modo font, E o, grado pla font d nrgia do sistma d aqucimnto, também chamado d incidnt. O sgundo, na dirção ẑ, é o modo

49 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 49 rfltido pla cavidad, R. A nrgia dss modo não é utilizada no procsso d aqucimnto, portanto, dv sr a mnor possívl. O campo létrico d cada um dsss modos é π x Eo = Eo sn a π x R = R sn a jk z z 10 + jk z z 10 yˆ. yˆ, (4.) Os modos R, T E 1 são rsultants das intrfrências causadas plos infinitos fnômnos d rflxão transmissão dvido à prsnça da íris, do matrial a sr procssado do curto. O próximo passo é aplicar a toria da matriz d spalhamnto para rprsntar a íris. Rlmbrando, a idéia é rtirar a íris do problma numérico sm dixar d lvar m conta a sua influência no procsso d aqucimnto. Para isso, considra-s a íris posicionada m z=0. Sguindo a notação das Equaçõs , a matriz d spalhamnto da íris tm a sguint forma R r1 = T t1 t1 Eo, r1 E1 (4.3) ond r 1 t 1 são os coficints d rflxão transmissão da íris, rspctivamnt. O problma d dtrminar os coficints d rflxão d transmissão da íris é um problma clássico xistm várias rfrências qu abordam o assunto [11, 13-15]. Nst trabalho, foram adotadas as sguints xprssõs obtidas d [7]: ond π S = tan kz a 10 js r1 =, 1 js t = 1+, 1 1 r π d a 4 π d 3δ sn a, π d 1 δ cos a

50 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 50 δ = ω a c 1 9π, (4.4) sndo qu d é a abrtura da íris c é a vlocidad da luz no vácuo. A rfrência [3] utiliza o MEF para calcular sss coficints. Avaliar os coficints d forma numérica não foi fito nst trabalho, pois é dsjado avaliar sss coficints para difrnts valors da abrtura da íris. Rtornando a Figura 4.1, spcificamnt obsrvando o lado dirito do plano z 1, pod-s sparar o domínio z 1 z z l como um problma a part d toda a cavidad, Figura 4.. Obsrva-s qu o modo T incid sobr o matrial, nquanto o modo E 1 é rfltido. Dss modo, pod-s dfinir um coficint d rflxão, γ, qu lva m conta o matrial o curto. Utilizando ss novo coficint a xprssão (4.1- b) pod sr rscrita como π x + jk z 10 E1 = γ T sn z yˆ. (4.5) a O coficint γ é dpndnt da distância L (tamanho da cavidad, z L ), da gomtria das propridads létricas do matrial. As propridads létricas do matrial a sua gomtria são lvadas m conta nos coficints d rflxão transmissão do msmo, aqui dnotados por r c t c, rspctivamnt. Então, pod-s γ r t. c c scrvr = f ( L,, ) Substituindo 4.5 m 4.3 obtém-s T t1eo =, (4.6) rγ 1 1 t1γ Eo R= r1 Eo +. (4.7) rγ 1 1 Plas xprssõs acima, fica xplícita a dpndência dos coficints T R com as caractrísticas létricas do matrial, a abrtura da íris o tamanho da cavidad. A distribuição d campo dv sr conhcida no domínio z z z 1 L, ond s ncontra o objto a sr aqucido. Para isso, basta conhcr o valor d T utilizar a

51 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 51 formulação do MEF aprsntada no Capítulo 3, (Figura 3. (a)). Isso pod sr fito já qu o subdomínio da cavidad aprsntado na Figura 4. consist apnas d um guia m curto (carrgado) ond é incidido um modo TE 10 d módulo T. Entrtanto, a xprssão para avaliação d T, Equação 4.6, rqur o cálculo d γ. Na próxima sção, uma xprssão analítica é dsnvolvida para a avaliação dss coficint. T E 1 z 1 z c z L Figura 4. Subdomínio da cavidad monomodo. Agora focando a atnção sobr o domínio z z, o campo nssa rgião é dscrito analiticamnt pla suprposição dos modos E 0 R E π x a π x a jk z z + jk 10 z z 10 ( z< z ) = E sn + R sn ˆ. 0 y (4.8) Portanto, com o método smi-analítico é possívl obtr o campo na cavidad monomodo nos subdomínios z z z1 z zl. A única rgião ond o método não fornc o campo é na vizinhança da íris, z z z1. A rfrência [4] dscrv a distribuição d campo ltromagnético d uma íris incidida por um modo TE m0 num guia rtangular. Essa solução pod sr combinada com o método smianalítico para calcular o campo m todo o domínio da cavidad. Isso não srá ralizado nst trabalho, uma vz qu o intrss stá na avaliação do procsso d aqucimnto dntro da cavidad. Para isso, basta o conhcimnto do campo no domínio z z z 1 L, ond s ncontram os matriais a srm aqucidos.

52 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 5 Considrando tudo o qu foi aprsntado, pod-s rsumir o método smianalítico nos sguints passos. Primiramnt, avalia-s γ analiticamnt através da xprssão aprsntada na próxima sção. Em sguida, são calculados os valors dos coficints T R. Com sss valors, o campo m z z é dscrito analiticamnt o campo m z z z 1 L é dscrito numricamnt através do MEF. Calculando o campo ltromagnético na cavidad monomodo com o método smi-analítico, as dificuldads d convrgência na solução do sistma matricial do MEF ficam amnizadas. Com o uso da matriz d spalhamnto, consgu-s rtirar matmaticamnt a íris do problma numérico, rtirando, assim, as dificuldads qu a prsnça dla traz à solução do sistma matricial. A rtirada da íris também diminui o domínio computacional d solução. A rssonância da cavidad, qu também introduz dificuldads d convrgência na solução do sistma matricial, tm sus fitos diminuidos com o uso do método smi-analítico. O problma numérico rsolvido no método smi-analítico possui um carátr mnos rssonant qu o do problma ltromagnético da cavidad monomodo m sua forma complta. O método smi-analítico aprsntado é simpls possui boa xatidão. Entrtanto a xatidão é muito dpndnt da obtnção do coficint γ. 4. Sintonia da Cavidad A cavidad monomodo, para funcionar d forma ficint, prcisa sr ajustada com muita xatidão. O ajust é ncssário para qu a potência forncida pla font acopl no matrial a sr procssado dntro da cavidad. Com ss objtivo, sta sção aprsnta uma técnica para sintonia d uma cavidad monomodo. A técnica aprsntada nst trabalho para sintonizar a cavidad utiliza a toria da matriz d spalhamnto a possibilidad no ajust da abrtura da íris do tamanho da cavidad. Essa técnica foi basada no studo fito por [5]. Já as rfrências [6-8] utilizam técnicas d otimização, control d fas control d frqüência, rspctivamnt, para consguir o mlhor acoplamnto possívl ntr a font o matrial a sr aqucido. Para qu o rtorno d potência para a font sja o mnor possívl, uma grand quantidad d nrgia prcisa sr dissipada no matrial procssado. Para isso, o

53 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 53 campo létrico dntro da cavidad tm d sr lvado, Equação.4. Então, no procsso d sintonia dscrito nsta sção busca-s a maximização do módulo d T, qu é o modo incidnt no matrial dntro da cavidad. Foi prcbido nos rsultados invstigados qu a maximização do módulo d T corrspond a minimização do módulo d R. A sguir, uma forma analítica d maximizar T variando os parâmtros d L é discutida. Para a avaliação analítica d T, é ncssário dscrvr m mais dtalhs o campo létrico na cavidad. Na Figura 4.3, há a prsnça d dois novos modos no plano z=z 3. x E o T R 3 R E 1 E 3 z z= 0 z 1 z c = L/ z 3 z L = L z Figura 4.3 Dscrição mais dtalhada dos modos propagants na cavidad. O campo létrico dsss modos é dscrito como π x R3 = R3 sn a π x E3 = E3 sn a jk z z 10 + jk z z 10 yˆ, yˆ. (4.9) Nst ponto, a ddução da matriz d spalhamnto do matrial é ncssária. D acordo com a Figura 4.3

54 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 54 E1 rc = R3 t jk z L 10 c r t c + jk z L 10 c T, E3 (4.10) ond r c t c são, rspctivamnt, os coficints d rflxão d transmissão do matrial, situado num guia infinito posicionado simtricamnt na origm z=0. Esss coficints são obtidos d forma numérica a forma d obtê-los é tratada no Apêndic I. Para a avaliação d T, m função dos parâmtros ajustávis da cavidad, a rlação ntr os modos rprsntados por E 3 R 3 é ncssária. Os módulos dsss modos stão rlacionados plo coficint d rflxão d um guia homogêno smiinfinito com um curto m z=l. Ess coficint d rflxão é dado por ntão, jk z L 10, 3 jk z L 10 R. 3 E = (4.11) Rarranjando as xprssõs 4.5, , considrando qu o matrial stá posicionado m z L c =, pod-s avaliar γ d forma analítica da sguint forma jk z L 10 ( rc tc ) jk z L 10. rc + γ = (4.1) jk z L 10 1 rc + Substituindo o rsultado acima na Equação 4.6, avalia-s T m função dos parâmtros ajustávis da cavidad da sguint manira t1( d) Eo 1 r1( d) γ( L), T = (4.13) assim, sintonizar a cavidad significa obtr os valors d d d L qu maximizm o coficint T acima. Por fim, val rlmbrar qu a xprssão analítica, para avaliação d γ, também é usada no método smi-analítico da sção antrior. Dv-s tomar cuidado ao utilizar ssa xprssão, pois, como já dito, a xatidão do método smi-analítico é muito dpndnt da obtnção dss coficint. Como γ é função d r c t c, a xatidão do método smi-analítico é dpndnt da avaliação dsss coficints. No capítulo sguint é aprsntada a solução do problma ltromagnético térmico da cavidad monomodo. Na solução do problma ltromagnético é utilizado o método smi-analítico aqui aprsntado.

55 Capítulo 4 Método Smi-Analítico para Cálculo d Campo numa Cavidad Monomodo. 55 E na última sção do próximo capítulo, também s ncontra a solução do problma ltromagnético da cavidad monomodo aplicando dirtamnt o MEF. Ess rsultado comprovará a boa xatidão a ficiência computacional do método smi-analítico.

56 Capítulo 5 Rsultados. 56 Capítulo 5 Rsultados Nst capítulo, a mtodologia aprsntada nos capítulos antriors é aplicada na solução do problma ltromagnético térmico dntro d uma cavidad monomodo. O aqucimnto um matrial crâmico, a mulita, é invstigado para três gomtrias difrnts (barra, post rtangular post cilíndrico). A caractrização da cavidad monomodo é fita mostrando como a sintonia é snsívl à variação d alguns parâmtros: o tamanho da cavidad, a abrtura da íris, a frqüência da font o fator d prdas da mulita. A validação do método smi-analítico é fita comparando sua solução com a obtida rsolvndo o problma ltromagnético da cavidad monomodo dirtamnt com o MEF. 5.1 Propridads Físicas da Mulita A mulita é o nom comrcial d uma crâmica cuja fórmula química é dada por 3Al O 3 -SiO. Ela é o produto d um procsso d sintrização ond o aqucimnto por microondas pod sr utilizado com grands vantagns. Essa crâmica é um bom matrial rfratário d baixo custo. Algumas d suas propridads útis na ngnharia são: boa rsistência a choqu térmico, baixa condutividad térmica, rsistência a alta tmpratura, rsistência a ataqu químico também boa rsistência a tnsão mcânica baixa condutividad létrica. As principais aplicaçõs ond s utilizam a mulita são: formas para fundição, construção d fornos [30], incinradors, componnts d turbina, componnts ltrônicos, isoladors létricos. Na Tabla 5.1 são mostrados os valors dos parâmtros térmicos létrico da mulita à tmpratura ambint na frqüência d.45 GHz.

57 Capítulo 5 Rsultados. 57 Calor spcífico (c p ) 700 J/Kg.K Condutividad térmica (κ) 0.5 W/m.K Prmissividad létrica ftiva 10. j 0.01 Tmpratura d trabalho 1800º C Tmpratura d fusão 050º C Tabla 5.1 Parâmtros térmicos létricos da mulita [31-3]. 5. Problma Eltromagnético Térmico da Cavidad Monomodo Nsta sção, srá rsolvido o problma ltromagnético o térmico dntro d uma cavidad monomodo para três gomtrias difrnts da mulita: barra, post rtangular post cilíndrico. Além dos dados da Tabla 5.1, na solução do problma térmico, dv sr forncido: o tmpo total d aqucimnto, o passo d tmpo o coficint d transfrência d calor por convcção, h. A Tabla 5. mostra os valors considrados para as três gomtrias studadas nst trabalho. t final t h 108 min s 5 W/m K Tabla 5. Parâmtros do problma térmico. O valor do parâmtro h foi scolhido considrando o fato do fluido qu troca calor com o objto aqucido na cavidad sr o ar. Frisa-s ainda qu ss ncontra-s m movimnto natural. Uma rprsntação ral dss parâmtro é bastant difícil na prática. El é fortmnt dpndnt das condiçõs do ar qu circunda o objto bm como da suprfíci d contato. O guia d onda utilizado nas simulaçõs é tal qu na frqüência d aqucimnto utilizada,.45 GHz, somnt o modo TE 10 propaga, como xigido nas mtodologias aprsntadas nos capítulos antriors nos apêndics. Por causa disso, também dvido às dimnsõs dos objtos aqucidos na cavidad, scolhu-s o guia WR-430 (10.9cm x 5.461cm). A cavidad é iluminada com 50 W d potência para as três gomtrias analisadas.

58 Capítulo 5 Rsultados Mulita m forma d barra Na mtodologia aprsntada, o primiro passo é obtr os parâmtros d sintonia da cavidad, L d. Na Tabla 5.3, sss parâmtros são aprsntados para a mulita m forma d barra. As dimnsõs da barra são aprsntadas na Figura 5.1. d [cm].03 L [cm] Tabla 5.3 Valors da sintonia da cavidad as dimnsõs da barra cm 10.9 cm cm xˆ ŷ ẑ Figura 5.1 Dscrição das dimnsõs da barra. O comprimnto L quival a g10 λ. Existm vários pars d valors ótimos, para a abrtura da íris o tamanho da cavidad, qu ralizam a sintonia. Foi scolhido o par qu possui mnor valor d L, rspitando a distância d dsacoplamnto dos modos vanscnts criados pla íris pla barra, condição ncssária para o uso do método smi-analítico. Ess critério vai sr utilizado nas outras gomtrias, já qu nlas também aparcm vários pars d valors ótimos para o comprimnto da cavidad a abrtura da íris. Para a solução do problma ltromagnético, utilizou-s o método smianalítico aprsntado no capítulo antrior. É mostrada somnt a distribuição d campo létrico calculada numricamnt, no domínio z 1 z zl, Figura 4.. Nss domínio, é aprsntado o valor do módulo da componnt ŷ do campo létrico. A Figura 5. (a) (b) mostra o campo. Na Figura 5. (a), o campo é mostrado ao longo do ixo z normalizado plo tamanho da cavidad, L. A barra ncontra-s posicionada m z Já na Figura 5. (b), o campo létrico é mostrado no plano xz da cavidad. As coordnadas x z stão normalizadas pla largura plo tamanho da cavidad, rspctivamnt. Essas normalizaçõs srão utilizadas nos rsultados ao longo dst capítulo.

59 Capítulo 5 Rsultados. 59 O módulo do campo incidnt no matrial dntro da cavidad (T ) é sis vzs maior qu aqul incidnt na cavidad ( E 0 ). dirção Existm dois modos incidnts na barra, um na dirção + ẑ, T, outro na ẑ, E 3. Esss modos gram um padrão d onda stacionária dntro da barra. Vai xistir, nas facs da barra parallas ao plano xy, um campo intnso qu diminui à mdida qu s caminha para o intrior da barra. Figura 5. Módulo da componnt ŷ do campo létrico: (a) ao longo da coordnada z, (b) no plano xz da cavidad. Para a solução do problma térmico, a formulação do MEF dsnvolvida no Capítulo 3 é aplicada à barra. A Figura 5.3 mostra a volução da tmpratura na suprfíci da barra. Essa distribuição d tmpratura é aprsntada para 10, 50, minutos d aqucimnto. Nssa figura, prcb-s a prsnça d uma rgião, localizada no cntro da barra, d tmpratura mais lvada. O calor ao longo do procsso d aqucimnto continua muito concntrado no cntro da barra como ainda s pod obsrvar na Figura 5.3. Isso s dv a baixa condutividad térmica da mulita qu impd qu ss calor difunda para o rstant da barra. Ess procsso d aqucimnto é um xmplo d como s pod alcançar um aqucimnto localizado numa cavidad monomodo. A Figura 5.4 mostra a distribuição volumétrica d tmpratura na barra após 108 minutos d aqucimnto. Prcb-s nssa figura qu o aqucimnto localizado no cntro da barra, qu ra prcbido na Figura 5.3 somnt na suprfíci xtrior,

60 Capítulo 5 Rsultados. 60 também s mantém no intrior da barra. O maior valor d tmpratura obtida foi d 5º C. ẑ ŷ xˆ Figura 5.3 Distribuição da tmpratura na suprfíci xtrna da barra nos tmpos, t=10, 50, min. Figura 5.4 Distribuição volumétrica d tmpratura na barra. O carátr localizado do aqucimnto é também ilustrado na Figura 5.5, ond a distribuição d tmpratura na barra é mostrada ao longo da dirção xˆ. Prcb-s qu ssa distribuição aprsnta um valor lvado d tmpratura no cntro (rgião d campo létrico intnso) qu l dcai à mdida qu s afasta do cntro (rgião d