ANÁLISE TÉRMICA TRANSIENTE E TRIDIMENSIONAL EM ROCHAS SEDIMENTARES. Vanessa Pereira Spear King

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1 ANÁLISE TÉRMICA TRANSIENTE E TRIDIMENSIONAL EM ROCHAS SEDIMENTARES Vanssa Prira Spar King TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Luiz Landau, D.Sc. Prof. José Luis Drummond Alvs, D.Sc. Dr. Marcos André Duart Martins, D.Sc. Dr. Hnriqu Luiz d Barros Pntado, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL JANEIRO DE 23

2 KING, VANESSA PEREIRA SPEAR Anális Térmica Transint Tridimnsional m Rochas Sdimntars [Rio d Janiro] 23 XIII, 73 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M. Sc., Engnharia Civil, 22) Ts Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE 1. Método dos Elmntos Finitos 2. Transint Térmico 3. Rochas Sdimntars 4. Modlagm d Bacias I. COPPE/UFRJ II. Título (séri) ii

3 Ao mu qurido Ptr, aos nossos filhos Phil Stphani iii

4 Agradcimntos Ao profssor Luiz Landau pla orintação, amizad confiança qu m foi dpositada ao longo dsss anos d convivência. Ao profssor José Luis Drummond Alvs pla orintação, prstatividad amizad adquirida ao longo do dsnvolvimnto dss trabalho. Ao Dr. Marcos André Duart Martins pla constant disponibilidad d rpassar sus conhcimntos, bm como as incansávis rvisõs orintaçõs sobr o programa. Ao Gólogo João Cláudio d Jsus Concição do Cnps/Ptrobrás plo apoio motivação inicial m dsnvolvr st tma. À Agência Nacional do Ptrólo (ANP) plo apoio financiro através da bolsa d studos concdida, indispnsávl à ralização dst trabalho. Ao profssor Ricardo Bdrgal pla orintação na ára d gologia. Aos funcionários do LAMCE, m spcial à Mônica Caruso Stoqu, pla amizad, ajuda apoio durant todo st príodo. iv

5 Aos amigos Guilhrm, Arão, Dnis, Lucia, Josias, Eldus, Jolma, Magda, Rosnil, Carlos Luiz, Luiz Frnando, Ricardo, Bth, Jaci, Alssandro, Paulo d Tarso ntr outros pla convivência amizad dmonstrada durant st príodo. Aos mus pais irmãs pla confiança, apoio incntivo ssncial ao mu trabalho. v

6 Rsumo da Ts aprsntada à COPPE/UFRJ como part dos rquisitos ncssários para a obtnção do grau d Mstr m Ciências (M. Sc.) ANÁLISE TÉRMICA TRANSIENTE E TRIDIMENSIONAL EM ROCHAS SEDIMENTARES Vanssa Prira Spar King Janiro/23 Orintadors: Luiz Landau José Luis Drummond Alvs Programa: Engnharia Civil Nst trabalho aprsnta-s uma implmntação d anális térmica transint tridimnsional através d um programa computacional basado no método dos lmntos finitos utilizando malhas não-struturadas compostas por lmntos ttraédricos. Tal anális prmit avaliar a história da tmpratura d rochas sdimntars, colaborando d forma significativa na prdição dos procssos d gração migração d hidrocarbontos. A viabilidad dst tipo d studo, qu nvolv um grand númro d quaçõs rsultant d discrtizaçõs, é obtida através do conjunto d uma strutura d dados basada m arstas o método itrativo para a solução do sistma d quaçõs. Esta combinação proporciona a abordagm d problmas d grands dimnsõs dtalhamnto, aspctos fundamntais na anális m scala d bacias. Palavras-chav: Método dos Elmntos Finitos, Transint Térmico, Rochas Sdimntars, Modlagm d Bacias. vi

7 Abstract of Thsis prsntd to COPPE/UFRJ as a partial fulfillmnt of th rquirmnts for th dgr of Mastr of Scinc (M.Sc.) TRIDIMENSIONAL AND THERMAL TRANSIENT ANALYSIS OF SEDIMENTARY ROCKS Vanssa Prira Spar King January/23 Advisors: Luiz Landau José Luis Drummond Alvs Dpartmnt: Civil Enginring This work prsnts th implmntation of a finit lmnt cod for th thrmal transint analysis of sdimntary rocks. This analysis provids mans to assss th thrmal history in sdimntary rocks, assisting th studis of hydrocarbon gnration and migration procsss. Th unstructurd 3D msh of ttrahdral lmnts provids th discrt modl. An itrativ drivr using an dg-by-dg data structur solvs th rsulting systm of quations at ach tim stp. This stratgy provids considrabl improvmnts in trms of CPU tim and mmory dmand. This combination nabls th study of complx 3D problms, a ky issu to basin analysis. Ky words: Finit Elmnt Mthod, Thrmal Transint, Sdimntary Rocks, Basin Modlling. vii

8 Índic Capítulo 1 Introdução 1.1 Motivação Objtivos Rvisão bibliográfica Ambint d dsnvolvimnto Organização do txto... 7 Capítulo 2 O problma d Condução d Calor 2.1 Introdução Li d Fourir Equação da condução d calor Cálculo da condutividad térmica na anális da distribuição da tmpratura m bacias sdimntars Capítulo 3 Discrtização spacial tmporal da quação d Condução d calor 3.1 Introdução Dscrição spacial via MEF viii

9 3.2.1 Dsnvolvimnto das Matrizs do Elmnto Ttraédrico Discrtização Tmporal utilizando o Método das Difrnças Finitas Solução do Sistma d Equaçõs Capítulo 4 - Método dos Elmntos Finitos Utilizando Estrutura d Dados Basada nas Arstas dos Elmntos 4.1 Introdução Estrutura d dados basada nas arstas do lmnto ttraédrico Matriz d condutividad térmica Matriz d massa Matriz d massa ftiva Multiplicação matriz-vtor Multiplicação matriz-vtor (arsta simpls) Multiplicação matriz-vtor (suprdg3) Multiplicação matriz-vtor (suprdg6) Capítulo 5 Exmplos Numéricos 5.1 Introdução Exmplos d Validação Exmplo Unidimnsional Exmplo bidimnsional Exmplos Tridimnsionais Bloco com 4 matriais Bacia Sdimntar com 2 matriais Capítulo 6 Conclusõs Rfrências Bibliográficas...65 Apêndic A...69 ix

10 Índic d Figuras Figura (1.1) Gomtria d um domo d sal Figura (1.2) Isotrmas qu dstacam o fito chaminé no domo d sal Figura (2.1) Mcanismos d transfrência d calor Figura (2.2) Transfrência unidimnsional d calor por condução Figura (2.3) Volum d control difrncial, dxdydz, para a anális da condução d calor m coordnadas cartsianas Figura (3.1) Elmnto ttraédrico - incidência nodal: ijmp Figura (4.1) Matriz da arsta ij, qu possui n lmntos m comum, para n= Figura (4.2) Matriz das arstas a partir da matriz do lmnto ttraédrico Figura (4.3) Agrupamnto d suprdgs Figura (4.4) Disposição dos agrupamntos suprdgs para um cubo discrtizado por ttradros, sgundo [22] Figura (4.5) Arsta Simpls Figura (4.6) Grupo d 3 arstas Figura (4.7) Grupo d 6 arstas Figura (5.1) Esquma d figura unidimnsional part da malha Figura (5.2) Solução m x =,236m x

11 Figura (5.3) Malha utilizada plo programa bidimnsional, com 274 nós 496 lmntos Figura (5.4) Distribuição d tmpratura obtida plo programa bidimnsional Figura (5.5) Esquma das camadas Figura (5.6) Malha computacional, com 6421 nós 274 lmntos Figura (5.7) Vista da malha computacional Figura (5.8) Squência d instantânos da distribuição d tmpratura para a anális térmica transint do xmplo bidimnsional Figura (5.9) Isotrmas do xmplo analisado Figura (5.1) Protótipo do bloco tridimnsional Figura (5.11) Malha do bloco tridimnsional Figura (5.12) Squência d instantânos da distribuição d tmpratura para a anális térmica transint do bloco tridimnsional Figura (5.13) Protótipo d uma Bacia Sdimntar com 2 matrias Figura (5.14) Malha da Bacia com 5257 nós 251 lmntos Figura (5.15) Squência d instantânos da distribuição d tmpratura para a anális térmica transint da bacia sdimntar com 2 matriais Figura (A.1) Malha utilizada plo programa bidimnsional Figura (A.2) Esquma das camadas Figura (A.3) Esquma dos principais pontos Figura (A.4) Malha computacional m 3 dimnsõs Figura (A.5) Vista da malha computacional tridimnsional xi

12 Índic d Tablas Tabla (5.1) Propridad dos matriais (xmplo bidimnsional) Tabla (5.2) Propridad dos matriais (bloco com 4 matriais) Tabla (5.3) Propridad dos matriais (bacia sdimntar com 2 matriais) Tabla (A.1) Coordnadas dos principais pontos xii

13 Índic d Quadros Quadro (3.1) Esquma do Método dos Gradints Conjug. Pré-condicionado...31 Quadro (4.1) Multiplicação matriz-vtor arsta por arsta, totalizando 6 opraçõs d ndrçamnto indirto (/i) 8 opraçõs d ponto flutuant (flops) Quadro (4.2) Multiplicação matriz-vtor para grupo d 3 arstas, totalizando 9 opraçõs d ndrçamnto indirto (/i) 21 opraçõs d ponto flutuant (flops) Quadro (4.3) Multiplicação matriz-vtor para grupo d 6 arstas, totalizando 12 opraçõs d ndrçamnto indirto (/i) 4 opraçõs d ponto flutuant (flops) xiii

14 Capítulo 1 Introdução 1.1 Motivação Motivaçõs para s ralizar uma Anális Térmica: Atualmnt na indústria do ptrólo xist uma grand procupação m otimizar o sforço xploratório visando minimizar os riscos, tais como danos ambintais prjuízos financiros, a l inrnts. Sndo assim, para s obtr tal otimização, torna-s ncssário um studo mais aprofundado da quantificação dos procssos d gração, migração acumulação d ptrólo. A anális obtida a partir d programas computacionais, qu avaliam a história da tmpratura m rochas sdimntars, é um dos studos qu colaboram nssa otimização. Tais studos gram importants informaçõs qu influnciam na prdição dos procssos d gração migração d ptrólo, procssos sss, ssnciais para a xistência d um sistma ptrolífro, m uma bacia sdimntar. Um sistma ptrolífro é aqul qu rún os lmntos procssos ssnciais para a formação d uma acumulação d ptrólo [2]. Os lmntos inclum as rochas gradoras, rsrvatório slant, a trapa, nquanto os procssos 1

15 comprndm a formação da trapa, a gração, migração acumulação do ptrólo. A simpls xistência dos lmntos atuação dos procssos, ntrtanto, não garant a formação d uma acumulação do ptrólo. Também são importants uma rlação spacial tmporal adquada ntr gradors trapa, bm como um balanço d massas positivo ntr o volum d ptrólo grado o volum d ptrólo prdido durant a migração. A partir d tstmunhos obtidos durant a prfuração d poços, podm sr ralizadas análiss das variaçõs dos parâmtros d maturação das rochas gradoras. A partir dstas análiss, tm-s indicação positiva ou ngativa do procsso d gração /ou migração d hidrocarbontos, dntr las a tmpratura máxima (Tmáx) alcançada plas rochas gradoras. Um dos métodos mais comuns d s mdir o grau d maturação tmpratura máxima alcançados pla rocha gradora é o da anális da rflctância d vitrinita [2]. O Índic d Altração Térmica [24] Anális da Tmáx (obtida através da técnica d pirólis) [12] são métodos utilizados para s dtrminar o grau d maturação térmica alcançada plas rochas gradoras. Através do programa computacional qu faz a anális transint da tmpratura com os rsultados obtidos a partir d tstmunhos obtidos durant a prfuração d poços é possívl s fazr a calibração da tmpratura do fluxo d calor ao longo da sção modlada. Existm fnômnos gológicos tais como domos d sal, diqus soliras d diabásio, qu causam anomalias térmicas m bacias sdimntars, proporcionando um aumnto d tmpratura m dtrminadas rgiõs. É intrssant fazr a anális transint da tmpratura nssas rgiõs, podndo-s ntão obtr rgiõs propícias à gração xpulsão d ptrólo. A anomalia térmica associada aos domos d sal tm uma significativa participação na modificação da tmpratura da strutura d uma bacia sdimntar [4]. Dois fators são rsponsávis por ssa anomalia térmica: a difrnça ntr a condutividad térmica do sal das rochas adjacnts, a gomtria dos domos d sal. Na figura (1.1) a sguir, tm-s a gomtria d um domo d sal. 2

16 Fig (1.1) Gomtria d um domo d sal. Foi obsrvado, por causa da alta condutividad térmica do sal, qu o gradint gotérmico aumnta na part suprior do domo d sal diminui na part infrior, grando assim o fito chaminé, como mostra a figura (1.2) abaixo: Rgião aqucida Rgião rsfriada Fig (1.2) Isotrmas qu dstacam o fito chaminé no domo d sal. Em studos antriormnt ralizados [1], foi dsnvolvida uma solução analítica para calcular a tmpratura ao rdor dos domos d sal, sugrindo ntão qu as anomalias térmicas associadas às massas d sal causariam uma grand influência na história da maturação da matéria orgânica. Os domos d sal possum um papl muito important na formação d trapas para ólo gás m muitas bacias sdimntars. Em conjunto com a função d trapa, ls também possum o important papl d prsrvar, m trmos d maturação, a matéria orgânica situada m grands profundidads. Essa matéria orgânica, por star 3

17 m grands profundidads, sria supraqucida, tornando-s inadquada para a indústria do ptrólo. Ao xistir um domo d sal acima dssa matéria orgânica, o msmo proporcionará um fito dissipador do calor, vitando a sua maturação. A intrusão d rochas ígnas é um outro fnômno gológico qu ocorr frqüntmnt m bacias sdimntars [26]. Dois tipos d corpos ígnos são mais comuns m bacias sdimntars: os diqus, qu são intrusõs prpndiculars ou inclinadas à camada sdimntar qu possum uma razão ntr comprimnto spssura pquna, as soliras, qu são intrusõs parallas à camada sdimntar qu possum normalmnt uma grand razão ntr comprimnto spssura. Tndo como xmplo um diqu d diabásio intrudindo numa sqüência sdimntar, xist uma prfrência da dirção do transport d calor através do diqu, proporcionando o fito chaminé, como foi visto no domo d sal. A difrnça ntr ls é qu o sal, por tr uma grand condutividad térmica, transfr rapidamnt o calor d sua bas ao su topo, funcionando como um dissipador d calor, as rochas intrusivas, por possuírm uma alta capacidad térmica, vão aqucndo a matéria orgânica qu xist m toda sua volta, podndo causar a maturação. Rlvância da Anális Transint: Quando as quaçõs difrnciais qu rgm a física do problma a sr analisado não dpndrm do tmpo, tal problma é dito stacionário ou prmannt (stady-stat), ao contrário, l é classificado como transint. Pod-s prcbr qu na naturza, os fnômnos xistnts são transints, mas m crtos casos uma anális prmannt podria rprsntá-los d uma forma ficaz. Em muitos problmas rlacionados à indústria do ptrólo, é ncssário uma anális transint no caso do studo da tmpratura, tal anális proporciona um histórico da influência do fluxo térmico d vntos térmicos nas divrsas camadas qu compõm a bacia, até chgar ao stado stacionário. Rlvância da Anális Tridimnsional: Como as struturas gológicas possum gomtria condiçõs d contorno bastant complxas, além d litologias com propridads muito difrnts umas das outras, o studo tridimnsional é a mlhor forma d s obtr uma anális mais consistnt do problma. Por outro lado, a solução analítica para problmas 4

18 tridimnsionais com tal grau d complxibilidad é difícil às vzs até impossívl d s obtr, dvndo-s ntão utilizar métodos numéricos para s obtr uma solução aproximada do problma. Anális Térmica + Transint + Tridimnsional: Sndo assim, o dsnvolvimnto d um simulador qu contmpl a anális térmica transint tridimnsional d uma bacia sdimntar contribuirá d manira significativa nos trabalhos dos gólogos nas suas funçõs d dtrminar os procssos d gração, migração acumulação d ptrólo. 1.2 Objtivos Est trabalho tm como objtivo o studo, dsnvolvimnto implmntação d um simulador tridimnsional, capaz d tratar a anális térmica transint m rochas sdimntars, utilizando a strutura d dados por arsta aliada à solução itrativa d sistmas d quaçõs, oriundas da discrtização d malhas não struturadas, compostas por ttradros, via método dos lmntos finitos. 1.3 Rvisão bibliográfica Constatou-s qu muitos conhcimntos frramntas ncssários para a dtrminar a tmpratura já xistam na litratura. Tais conhcimntos frramntas são ncontrados na maioria das vzs d manira isolada, ou contmplando somnt dtrminadas struturas, formaçõs ou vntos spcíficos, na maioria das vzs m 1 ou 2 dimnsõs. Procurou-s nst trabalho fazr uma anális térmica transint m 3 dimnsõs qu tivss uma aplicação gral para os casos d transfrência d calor por condução, rsolvndo d uma forma mais gral muitos dos problmas citados antriormnt, com a grand vantagm d solucionar problmas d grand port. Tais modlos complxos d grand port ram analisados até ntão, d forma simplificada. 5

19 A dfinição da strutura térmica d uma bacia, além d intrss acadêmico, possui um grand intrss conômico, tndo m vista a sua influência na diagêns das rochas sdimntars, na migração d fluidos na maturação d hidrocarbontos. Existm programas comrciais qu ralizam a anális térmica transint tridimnsional. Contudo, tais programas possum uma grand dificuldad na part do pré-procssamnto, ond as malhas das bacias sdimntars são criadas. Essas malhas, como já foi dito, possum caractrísticas gométricas condiçõs d contorno muito complxas. Os modlos studadas nos xmplos d grand port dst trabalho, dvido à complxidad da modlagm d uma bacia/rsrvatório, principalmnt m três dimnsõs, foram obtidas através do programa comrcial Gocad [13]. Tal programa raliza a construção dos modlos a srm analisados no programa d anális térmica tridimnsional. O programa Gocad [13] contém um módulo para modlagm d bacias/ rsrvatórios. A construção do modlo comprnd a dfinição da gomtria da litologia d suas propridads físicas. Parts da strutura gológica podm sr facilmnt manipuladas, o qu significa uma grand flxibilidad para incorporação d novas caractrísticas ao modlo. Na tapa da construção das malhas, a partir dos modlos obtidos antriormnt, foi utilizado o programa multimsh [8]. Essa class d problmas gra uma grand dmanda d mmória um xcssivo númro d opraçõs d ponto flutuant, quando s utiliza método dirto para s rsolvr o sistma d quaçõs d malhas discrtizadas via método dos lmntos finitos. Na tapa d procssamnto, ou sja, na solução do sistma d quaçõs, optou-s pla utilização do tratamnto da strutura d dados por arstas, como utilizado por Martins [21], m conjunto com um método itrativo. Tal combinação viabilizou a anális d problmas tridimnsionais complxos d grand scala, tal como a anális d bacias sdimntars. 6

20 1.4 Ambint d dsnvolvimnto A implmntação da técnica para tratamnto transint térmico dos problmas d lmntos finitos através da strutura d dados basada nas arstas dos lmntos ttraédricos foi ralizada tndo como bas o código já xistnt m linguagm FORTRAN, dsnvolvido por Martins [22]. Est código foi scrito para tratar problmas d lmntos finitos utilizando a strutura d dados por arstas no lugar da tradicional strutura d dados por lmntos. As análiss foram ralizadas num PC Pntium 4, com 2 GHz d procssamnto KB d mmória RAM com sistma opracional Windows 2. Foram utilizados também os programas Gocad [13], Multimsh [8] Ansys para gração d malhas os programas Ensight Viw 3D para visualização dos rsultados. 1.5 Organização do txto No capítulo 2 tm-s uma introdução sobr as formas d transfrência d calor. Raliza-s uma rvisão da toria da condução d calor m três dimnsõs, mostram-s os cálculos iniciais qu são fitos a partir das propridads das difrnts litologias qu compõm as bacias sdimntars. No capítulo 3 é aprsntada a mtodologia aplicada, a formulação discrta do Método dos Elmntos Finitos, a implmntação da anális transint da condução d calor usando o Método Trapzoidal, além do método itrativo utilizado para rsolvr o sistma d quaçõs. No capítulo 4 é aprsntado a aplicação da strutura d dados basada nas arstas dos lmntos a dscrição da montagm das matrizs d massa, condutividad térmica massa ftiva, bm como as vantagns dssa técnica. No capítulo 5 são discutidos xmplos unidimnsionais bidimnsionais d validação da mtodologia implmntação, m sguida xmplos tridimnsionais, incluindo bacias sdimntars. Finalmnt, no capítulo 6 são aprsntadas as conclusõs obtidas. 7

21 Capítulo 2 O Problma d Condução d Calor 2.1 Introdução A nrgia transfrida plo fluxo d calor não pod sr dirtamnt mdida, mas stá rlacionada a uma quantidad chamada tmpratura, qu pod sr mdida [17]. Quando xistir uma difrnça d tmpratura num sistma xistirá um fluxo d calor da rgião d maior tmpratura para a rgião d mnor tmpratura. Isso significa qu ao xistir um gradint d tmpratura no sistma, o conhcimnto da distribuição da tmpratura nst sistma é bastant important nos studos da transfrência d calor. Existm três tipos d transfrência d calor, como mostra a figura (2.1). São ls: condução, convcção radiação. Na ralidad, a distribuição da tmpratura é a combinação do fito dsss três tipos d transfrência d calor. Entrtanto, para simplificar a anális, considra-s, por xmplo, a transfrência d calor somnt por condução quando as transfrências por convcção por radiação form dsprzívis. Condução é o tipo d transfrência d calor ond a troca d nrgia ocorr a partir da rgião d maior tmpratura m dirção à rgião d mnor tmpratura, através da propagação da vibração das moléculas, m um mio sólido ou líquido. 8

22 A convcção ocorr quando um fluido stá m movimnto sobr um corpo sólido ou dntro d um canal nquanto as tmpraturas do sólido do fluido form difrnts. Todos os corpos mitm continuamnt nrgia por causa da sua tmpratura, ssa nrgia mitida por ls é chamada d radiação térmica. A nrgia d radiação mitida por um corpo é transfrida no spaço m forma d ondas ltromagnéticas, d acordo com a toria clássica d Maxwll d ondas ltromagnéticas, ou m forma d fótons discrtos d acordo com a hipóts d Planck. Na invstigação d transfrência d calor radioativo ambos concitos são utilizados. Condução através d um sólido ou fluido stacionário Convcção d uma suprfíci para um fluido m movimnto Transfrência d calor líquida por radiação ntr duas suprfícis T 1 T 1 > T 2 T 2 T sup > T f Fluido m movimnto, T f Suprfíci T 1 q q q 1 q 2 T sup Suprfíci T 2 Fig (2.1) Mcanismos d transfrência d calor, sgundo [17]. 2.2 Li d Fourir Transfrência d calor é a nrgia m trânsito dvido a uma difrnça d tmpratura [17]. Smpr qu xistir uma difrnça d tmpratura m um mio ou ntr mios difrnts havrá uma transfrência d calor ntr ls. É possívl quantificar os procssos d transfrência d calor m trmos d quaçõs d taxas d transfrência d calor. Essas quaçõs são usadas para calcular a quantidad d nrgia transfrida por unidad d tmpo. Para a condução d calor, a quação da taxa d transfrência d calor é conhcida pla Li d Fourir. 9

23 Para um objto unidimnsional, qu aprsnta uma distribuição d tmpratura T(x), a quação do fluxo d calor é dada por: q x dt = k x (2.1) dx O fluxo d nrgia q x é a taxa d transfrência d calor na dirção x por unidad d ára prpndicular à dirção da transfrência, sndo proporcional ao gradint d tmpratura, dt dx, nsta dirção. A constant d proporcionalidad k é uma propridad d transport, qu é uma caractrística do matrial do objto, conhcida como condutividad térmica, na dirção x. O sinal ngativo é uma consqüência do fato do calor sr transfrido no sntido da diminuição da tmpratura. Na figura (2.2), sob condiçõs stacionárias, a distribuição d tmpratura é linar o gradint d tmpratura pod sr xprsso como: dt T2 T1 = (2.2) dx L E o fluxo d calor é, portanto: q x T2 T1 = k x (2.3) L A quação (2.3) pod sr rscrita como: q x = k x T 2 T L 1 = k x T L (2.4) T q x T 1 T(x) T 2 x L Figura (2.2) Transfrência unidimnsional d calor por condução, sgundo [17]. 1

24 A Li d Fourir, conform dscrita pla quação (2.1), dixa implícito qu o fluxo térmico é uma grandza dircional. A dirção do fluxo térmico srá smpr normal a uma suprfíci com tmpratura constant, conhcida como suprfíci isotérmica. Sndo assim, tm-s a sguint quação, já m 3 dimnsõs, para a Li d Fourir: T T T q = k T = k x + k y + k z (2.5) x y z ond é o oprador vtorial gradint, T(x, y, z) rprsnta m coordnadas cartsianas o campo scalar d tmpratura, k é um tnsor 3x Equação da condução d calor O principal objtivo nsta anális d condução d calor é dtrminar a distribuição da tmpratura m um mio, rsultant da imposição das condiçõs d contorno. Dfinindo-s ntão um volum d control difrncial, como mostra a figura (2.3), idntificam-s os procssos d transfrência d nrgia qu são rlvants substitum-s as quaçõs das taxas d transfrência d calor apropriadas. O rsultado é uma quação difrncial cuja solução, para um dado conjunto d condiçõs d contorno, fornc a distribuição da tmpratura no mio. Considr um mio homogêno no intrior do qual não xist movimnto ond a distribuição da tmpratura T(x, y, z) stá rprsntada m coordnadas cartsianas. Inicialmnt dfinimos um volum d control infinitsimalmnt pquno dxdydz, conform mostrado na figura (2.3). 11

25 T(x,y,z) q z + dz q y + dy dz q x E & g q x + dx z y x q y dx E & ac dy q z Figura (2.3) Volum d control infinitsimal, dxdydz, para a anális da condução d calor m coordnadas cartsianas, sgundo [17]. S xistirm gradints d tmpratura, a transfrência d calor por condução irá ocorrr através d cada uma das suprfícis d control. Os fluxos d calor por condução prpndicular a cada uma das suprfícis d control nos pontos com coordnadas x, y z são indicadas plos trmos q x, q y q z, rspctivamnt. As taxas d transfrência d calor por condução nas suprfícis opostas podm ntão sr xprssas através d uma xpansão m séri d Taylor ond, dsprzando-s os trmos d ordm suprior, têm-s: q x qx+ dx = qx + dx (2.6a) x q y q y+ dy = q y + dy (2.6b) y q z qz+ dz = qz + dz (2.6c) z No intrior do mio pod havr também um trmo para rprsntar uma font d nrgia, qu stá associada à taxa d gração d nrgia térmica no volum d control. Essa taxa é rprsntada por: 12

26 & = qdxdydz & (2.7) E g ond q& é a taxa na qual a nrgia é grada por unidad d volum do mio. Além disso, também podm ocorrr variaçõs na quantidad d nrgia intrna térmica acumulada pla matéria no intrior do volum d control. Supõ-s qu não há mudança d fas, o trmo rfrnt à taxa d acumulo d nrgia, considrando ρ c constants, pod sr scrito da sguint forma: & T = ρc dxdydz (2.8) t E ac ond ρ c são rspctivamnt a dnsidad o calor spcífico do matrial. A taxa ρc T t é a taxa d variação com o tmpo da nrgia térmica do mio, por unidad d volum. Com bas nas taxas mostradas acima, a forma da consrvação da nrgia é: E & + E& E& = E& (2.9) g s ac Assumindo qu a taxa d condução d calor corrspondnt à ntrada d nrgia é E & a qu corrspond à saída d nrgia é E &, substituindo as quaçõs (2.7) (2.8) na quação (2.9), obtém-s: s q x q + q T + qdxdydz & qx+ dx q y+ dy qz dz = ρc dxdydz (2.1) t + y z + Substituindo as quaçõs (2.6) na quação (2.1), obtém-s: q x x q y dx y q z dy z T dz + qdxdydz & = ρc dxdydz (2.11) t condução: Utilizando a Li d Fourir, têm-s para as taxas d transfrência d calor por 13

27 x T dydz k q x x = (2.12a) y T dxdz k q y y = (2.12b) z T dxdy k q z z = (2.12c) Substituindo as quaçõs (2.12) na quação (2.11) sndo o volum d control (dxdydz) arbitrário, obtém-s: t T c q z T k z y T k y x T k x z y x = ρ & (2.13) A quação (2.13), ao sr scrita d uma forma compacta, fica da sguint forma: t T c q T = + ρ & k (2.14) Tm-s ntão um problma d valor inicial d contorno. A partir da dfinição da quação difrncial qu govrna o problma d condução d calor m um domínio Ω R³, com contorno Γ, m um intrvalo d tmpo [, t f ], é ncssário stablcr as condiçõs iniciais d contorno apropriadas. A condição inicial spcifica a distribuição da tmpratura na origm da coordnada tmpo, ou sja, m t =. As condiçõs d contorno spcificam a condição térmica na suprfíci d contorno Γ. Por xmplo, m uma dada suprfíci do contorno a distribuição da tmpratura pod sr prscrita, ou a distribuição d um fluxo d calor pod sr spcificada. 14

28 1º Tipo d condição d contorno: Tmpratura Prscrita Existm muitas aplicaçõs m qu a tmpratura na suprfíci d contorno Γ g é prscrita. Nos xmplos d anális d bacia, qu srão mostrados no capítulo 5, considra- s a tmpratura no topo da bacia (y=l) prscrita. No caso d bacias offshor, a tmpratura prscrita no topo é igual à tmpratura no fundo do mar, no caso d bacias on-shor, a tmpratura prscrita no topo é a tmpratura atmosférica. Tomando-s como xmplo uma tmpratura d fundo do mar d 4 C uma tmpratura d suprfíci d 2 C, ssa condição d contorno é scrita da sguint forma: T ( x, y, z, t) T ( x, L, z, t) = T1 y = L m Γ g (2.15) T T 1 1 = = 4 C 2 C ou Em casos mais grais, a distribuição da tmpratura na suprfíci do contorno é spcificada como função da posição do tmpo. No xmplo d bacias sdimntars, no capítulo 5, a tmpratura prscrita é constant m rlação ao tmpo. 2º Tipo d condição d contorno: Fluxo d Calor Prscrito Em algumas situaçõs, o fluxo d calor (q) numa suprfíci do contorno Γ h é prscrito. No xmplo d anális d bacia, do capítulo 5, é prscrito um fluxo d calor na bas da bacia (y=). Essa condição d contorno é scrita da sguint forma: T k y y = = q m Γ h (2.16) Essa distribuição do fluxo térmico na suprfíci do contorno também é spcificada como função da posição do tmpo. No caso da anális da bacia, considrou-s constant m rlação ao tmpo. O tnsor k dfin as propridads d condutividad térmica do matrial. 15

29 k xx k xy k xz k = k yx k yy k yz (2.17) k zx k zy k zz D forma mais simplificada, foi adotada aqui a hipóts d matriais isotrópicos, ou sja, k xx = k yy = k zz, os trmos fora da diagonal principal iguais a zro. Tm-s ntão um tnsor da sguint forma: k k = k (2.18) k Tm-s ainda o vtor f, qu é a font d calor distribuída no domínio. Rscrvndo a quação (2.14) com uma notação mais usual na litratura d lmntos finitos, qu srá o tma do próximo capítulo, ond a incógnita (tmpratura) T passa a s chamar u, tm-s: u k u + f = ρc (2.19) t 2.4 Cálculo da condutividad térmica na anális da distribuição da tmpratura m bacias sdimntars Ao s analisar a distribuição da tmpratura m uma bacia sdimntar, é prciso lvar m conta os difrnts tipos d litologias qu compõm a bacia. As propridads dssas litologias rlvants para a anális da distribuição da tmpratura são as sguints: condutividad térmica da fração sólida, porosidad inicial, constant d dcaimnto, dnsidad do grão, calor spcífico, condutividad térmica da água, dnsidad da água profundidad média da camada sdimntar. A partir das propridads acima são fitos os sguints cálculos: 16

30 Cálculo da porosidad: A rlação d proporcionalidad invrsa ntr condutividad térmica porosidad dos sdimntos lva a importância da anális d porosidad compactação para os studos das variaçõs térmicas m uma bacia sdimntar. A porosidad do sdimnto na época d sua dposição dpnd d fators como tamanho dos grãos, uniformidad do tamanho da forma, do arranjo d mpacotamnto dos grãos [27]. Durant o sotrramnto, outros fators adicionais dtrminam sua porosidad sndo qu os principais são o rarranjo dos grãos, grau d fraturamnto, granulomtria, rcristalização, crscimnto scundário, cimntação dissolução [27, 28]. A compactação pod sr dfinida como tndência d rdução d volum dos sdimntos sob a aplicação d prssão, sja latral ou vrtical, com progrssiva prda d fluidos (água) por todas as litologias, xcto o sal. Analisando os valors da porosidad dos sdimntos m função da profundidad m inúmros poços d difrnts bacias [27], foi dfinida uma rlação xponncial ntr a porosidad a profundidad rprsntada pla fórmula, d Athy (193): () z c z φ φ (2.2) = sndo: z = profundidad (m) φ = porosidad (%) c = constant d dcaimnto (1/m) φ = porosidad na suprfíci (%) 17

31 Cálculo da condutividad térmica: A condutividad térmica das rochas sdimntars é função da condutividad do grão qu compõ sta rocha (k r ) da condutividad do fluido intrgranular (k w ), qu gralmnt é a água. A condutividad térmica d uma unidad sdimntar pod sr calculada pla sguint rlação mpírica, sgundo [3]: k( z) = ( 1 φ ( z) ) φ (z) k r k w (2.21) ond: z = profundidad (m) φ = porosidad (%) Cálculo da dnsidad: A dnsidad do matrial é calculada lvando m considração o valor da porosidad, da dnsidad da água da dnsidad do grão d acordo com a xprssão abaixo: ρ () z = φ ( z) ( 1 φ ( z) ) ρ ρ w g (2.22) ond: ρ w = dnsidad da água ρ g = dnsidad do grão z = profundidad (m) 18

32 φ = porosidad (%) 19

33 Capítulo 3 Discrtização spacial tmporal da quação d Condução d Calor 3.1 Introdução Nst capítulo, inicialmnt é aprsntada a discrtização spacial via Método dos Elmntos Finitos (MEF) da quação qu rg o transport d calor por condução. O MEF é um método numérico muito flxívl, pois pod sr usado na solução d praticamnt qualqur problma matmaticamnt xprsso através d uma quação difrncial. Além disso, tm a possibilidad d simular objtos d forma d contorno variados, dvido à sua facilidad m tratar malhas bastant rfinadas nãostruturadas. Entnd-s aqui por malhas não struturadas como aqulas qu não possum uma li d formação, concorrndo m cada nó um númro arbitrário d lmntos. A aplicação do MEF na solução das quaçõs difrnciais tais como as qu rgm dformaçõs d sólidos, transfrência d calor, fluxo d fluidos problmas létricos, é ampla na ngnharia, nquanto qu, na gologia, ssas aplicaçõs não são tão comuns. 2

34 No caso d anális tridimnsional m bacias sdimntars, torna-s ncssário o uso d um método numérico, pois uma solução analítica para o problma matmático pod sr muito difícil, às vzs até inviávl, d sr obtida, pois a anális d struturas gológicas possui condiçõs d contorno gomtria muito complxas. Além disso, as fiçõs gológicas a srm modladas possum matriais com propridads não tão uniforms quanto na ngnharia. Essa não-uniformidad nas propridads dos matriais é um dos aspctos mais importants para s fazr uma anális m 3 dimnsõs. Uma das causas d não s utilizar o MEF na gologia com muita frquência stá no fato dos objtos gológicos srm htrogênos, implicando m malhas com grand númro d lmntos, o qu lva por sua vz o consumo d mmória o tmpo d CPU utilizado. Esta dificuldad foi rsolvida com a utilização da strutura d dados por arstas, qu srá mostrada no capítulo sguint, m conjunto com um método itrativo para rsolvr o sistma d quaçõs [21]. Ao final dst capítulo são aprsntados a discrtização no tmpo, por difrnças finitas, utilizando-s o método implícito trapzoidal, o método itrativo dos gradints conjugados pré-condicionado, mprgado para rsolvr o sistma d quaçõs linars rsultants. 3.2 Discrtização Espacial Via MEF Nst trabalho, a discrtização spacial foi fita adotando o MEF, ond as variávis contínuas são substituídas por variávis discrtas, dfinidas nos nós d uma malha d lmntos finitos. Existm duas formas d s obtr a solução aproximada para o problma d valor d contorno: a forma fraca (ou variacional) a forma fort. O problma matmático xprsso pla quação (2.19) ncontra-s na sua forma fort. Para s obtr a solução aproximada para o problma d condução d calor, utilizando o MEF, dv-s obtr a forma fraca do problma. Para s obtr a forma fraca do problma, torna-s ncssário qu s dfinam duas classs d funçõs. A primira class são as funçõs tst u, qu dvm 21

35 satisfazr às condiçõs d contorno do problma tr suas drivadas ao quadrado intgrávis, ou sja: Ω ( ) dω u 2 u H 1 (3.1) O conjunto das funçõs tst é chamado d S, é dfinido como: S = { u u H 1, u = g m Γ } (3.2) A sgunda class d funçõs é chamada d funçõs pso w. O conjunto dssas funçõs, chamado d V, dv contr todas as funçõs pso qu satisfaçam às condiçõs d srm nulas no contorno também prtncrm a H 1. O conjunto das funçõs pso V é dfinido como: V = { w w H 1, w = m Γ } (3.3) A formulação variacional, ou sja, a forma fraca, pod sr obtida multiplicandos a forma fort por uma função pso w V intgrando-s, chgando ntão na quação abaixo: Ω u w ρ c k u f dω = (3.4) t Sndo a intgração por parts do trmo difusivo xprssa por: w udω = wk undγ k 2 Ω Γ Ω wk udω (3.5) Na formulação clássica do MEF, originada na anális strutural, utiliza-s o método dos rsíduos pondrados d Galrkin [14], para s obtr a discrtização spacial do problma. Dv-s ntão, ao s utilizar o método d Galrkin, construir aproximaçõs d dimnsõs finitas para S V, dnominadas d S h V h, ond S h S V h V. O índic h s rfr à associação a uma malha d lmntos finitos d tamanho h, utilizada para discrtizar o domínio Ω. Pod-s também dfinir as funçõs tst u h funçõs pso w h, discrtas tal qu: 22

36 S u h S h ntão u h S (3.6) S w h V h ntão w h V (3.7) S a função pso adotada for intrpolada igual à função tst, pod-s dizr qu a quação stá na sua forma fraca d Galrkin. Sndo assim, após dfinir as funçõs aproximadas u h w h, pod-s rscrvr a quação (3.4), como: h ( ) h w L u dω = Ω (3.8) ond h h u h ( ) = c k u f L u ρ (3.9) t Discrtizando o domínio Ω m lmntos introduzindo-s funçõs d intrpolação linars dfinidas sobr cada lmnto, a tmpratura é aproximada por: u h = n i= 1 N u i i = Nu (3.1) ond h u rprsnta a aproximação d lmntos finitos para a tmpratura, ui é o valor da tmpratura m cada nó, n é o númro d nós. N i rprsnta as funçõs d intrpolação u h = {u 1,..., u n } as tmpraturas nodais. Dst modo, substituindo-s a aproximação d lmntos finitos da quação (3.9) na quação (3.1), obtém-s a formulação smi-discrta abaixo: M u& + Ku = f (3.11) A matriz M é a matriz d capacidad térmica, chamada daqui m diant d matriz d massa, a matriz K é a matriz d condutividad térmica f é o vtor d trmos indpndnts. 23

37 As matrizs M K prsnts na quação acima são matrizs globais construídas através das matrizs locais d todos os lmntos da malha d lmntos finitos, sndo A o oprador qu faz ssa construção [14]. O msmo acontc com o vtor f. M = nl ( m ) (3.12) A = 1 nl A ( = 1 ) ) K = k (3.13) nl A ( = 1 f = f (3.14) ond nl é o númro d lmntos da malha Dsnvolvimnto das Matrizs do Elmnto Ttraédrico Como s stá analisando um problma tridimnsional, foi adotado implmntado o lmnto ttradro linar [22]. Tal lmnto foi scolhido por sr um lmnto vrsátil na construção d malhas não struturadas, dscrvndo bm gomtrias complxas. Discrtizando o domínio Ω m lmntos ttraédricos, conform a figura abaixo: p(4) i(1) m(3) j(2) Figura Elmnto ttraédrico - incidência nodal: ijmp [ N N N ] N = (3.15) N 4 24

38 Matriz d massa consistnt d Galrkin (simétrica) A matriz d massa utilizada foi a d forma consistnt d Galrkin. T m = ρ c N NdΩ (3.16) Ω ρc6v M = (3.17) sndo ρ dnsidad, c calor spcífico V volum. Matriz d condutividad térmica A matriz K, d condutividad térmica, é qu a matriz d difusão d Galrkin, qu possui a forma simétrica. Ω T k Nk NdΩ (3.18) = Sndo B, o oprador difrncial discrto, dado por: N x N B = N = (3.19) y N z Tm-s ntão: Ω T k B kbdω (3.2) = Pod-s ntão rscrvr a quação (3.13) como: 25

39 + + = V j i z j i y j i x z N z N k y N y N k x N x N k k (3.21) ond N i é a função d intrpolação nodal linar para cada lmnto, dada por: i i i i i V z d y c x b a N = (3.22) com p p p m m m j j j i z y x z y x z y x a = p p m m j j i z y z y z y b = (3.23) p p m m j j i z x z x z x c = p p m m j j i y x y x y x d = com os outros coficints obtidos através da prmutação cíclica dos subscritos na ordm p, i, j, m. O volum do lmnto V é calculado por: p p p m m m j j j i i i z y x z y x z y x z y x V = (3.24) Aplicando-s as quaçõs (3.22) (3.23) na quação (3.21), obtém-s a matriz d condutividad térmica para o ttradro, conform: 26

40 + + = p p p m m m p j m j j j p i m i j i i i y p p p m m m p j m j j j p i m i j i i i x c c sim c c c c c c c c c c c c c c c c c c V k b b sim b b b b b b b b b b b b b b b b b b V k k (3.25) + p p p m m m p j m j j j p i m i j i i z d d sim d d d d d d d d d d d d d d d d d d V k Discrtização Tmporal utilizando o Método das Difrnças Finitas Os algoritmos para discrtização tmporal são classificados como xplícitos ou implícitos [14, 16, 25]. Os métodos xplícitos são chamados d condicionalmnt stávis, pois ncssitam d um passo d tmpo mnor qu um crto passo d tmpo crítico para qu o algoritmo volua corrtamnt sm divrgir. Nss método é ncssário qu s rsolva um sistma d quaçõs trivial, m cada passo d tmpo, utilizando somnt a solução do passo antrior para calcular a solução corrnt. Os métodos implícitos são ditos incondicionalmnt stávis. Nls pod-s utilizar passos d tmpo maiors qu os utilizados nos métodos xplícitos. Apsar d s ralizar uma anális mais rápida, no qu diz rspito a passos d tmpo, s comparada a um método xplícito, para s obtr a solução do passo d tmpo corrnt s ncssita da solução do passo d tmpo antrior do atual, havndo a ncssidad também d s solucionar um sistma d quaçõs m cada passo d tmpo. Nst trabalho stá sndo utilizado o método implícito, qu irá ofrcr vantagns computacionais a viabilidad d s fazr uma anális m scala d bacia, 27

41 ao sr usado m conjunto com uma strutura d dados por arstas, qu srá mostrada no próximo capítulo. Dntr os métodos implícitos conhcidos, o qu mais s adapta para rsolvr quaçõs da forma abaixo é o método trapzoidal [14]. M u& + Ku = F (3.26) ond u é o vtor tmpratura u & é a drivada da tmpratura no tmpo (t). ( 1 ) t & u ~ (3.27) = u + α u 1 1 ( M + α tk) ( F K ) u & ~ (3.28) = u 1 1 Mf = M + α tk α = 1/2 (3.29a) u = u + α tu F Ku 1 = F ~ (3.29b) ~ & (3.3) O valor inicial u é dado o valor u & é calculado através da quação (3.27), como mostra a quação abaixo: u& = F Ku (3.31) M 3.4 Solução do Sistma d Equaçõs Sja o sistma d quaçõs abaixo, smlhant ao sistma d quaçõs (3.28): Ax = b (3.32) ond A é uma matriz sparsa, simétrica, positiva dfinida, x é o vtor d incógnitas nodais b é o vtor d trmos indpndnts. 28

42 Ess tipo d sistma normalmnt é rsolvido por um método dirto d solução, como por xmplo, o método d Gauss. Entrtanto, as stratégias adotadas m soluçõs dirtas podm s tornar inviávis para a anális d problmas qu nvolvm um grand númro d quaçõs dvido ao norm sforço computacional dmanda d mmória [21]. Foi scolhido ntão o Método dos Gradints Conjugados com o précondicionador d Jacobi [5, 15], para rsolvr o sistma d quaçõs. Est método, combinado com a strutura d dados por arsta, qu srá mostrada no capítulo sguint, ofrc vantagns computacionais bastant rlvants, quando s possui uma malha com um grand númro d lmntos. O Método dos Gradints Conjugados xplora o fato d qu a solução do sistma d quaçõs (3.32) quival à minimização do funcional quadrático ou funcional d nrgia 1 Q = x 2 T Ax x T b (3.33) A convrgência do Método dos Gradints Conjugados é proporcional à razão ntr o mnor o maior autovalor do spctro d A, λ n λ 1 rspctivamnt. Ou sja, a grandza ( ) λ n k A = (3.34) λ 1 é dnominada razão spctral ou númro d condicionamnto spctral, md a ficiência do método numérico. Quando ( A) 1 k o método é ficint. Caso contrário, quando a razão spctral s aprsnta muito maior qu a unidad, torna-s ncssário a utilização d uma técnica d pré-condicionamnto. Esta técnica tm como fito rduzir o númro do condicionamnto spctral, com isso rduzir o númro d itraçõs para obtnção da solução. Portanto, com o objtivo d atingir uma convrgência mais rápida, o Método dos Gradints Conjugados pod sr aplicado a um sistma quivalnt ao original qu 29

43 tnha sido pré-condicionado. Pré-multiplicando-s a quação original do sistma pla matriz não singular B, B 1 1 Ax = B b (3.35) aplicando-s o Método dos Gradints Conjugados ao sistma pré-condicionado acima, obtém-s o algoritmo dos Gradints Conjugados Pré-condicionado, cujos passos são aprsntados no quadro a sguir: 3

44 Passo 1: Inicializar k = x o = dado (usualmnt x = ) r = b - Ax p = z = B -1 r Passo 2: Atualizar solução rsíduo k = k + 1 = t t t α r z p Ap k k 1 k 1 k 1 k x α 1 = x + p k k 1 k k 1 r α = r Ap k k 1 k k 1 Passo 3: Atualizar a dirção conjugada z k = B -1 r k β p k k = t t r z r z k k k 1 k = z + β p k k k 1 1 Passo 4: Vrificação da convrgência S t r k z k 1 2 tolrância 1 2 r t z ntão Snão fim s 1 2 t S r k k r tolrância vá para o passo 2 fim s vá para o passo r t r ntão Quadro (3.1): Esquma do Método dos Gradints Conjugados Pré-condicionado. 31

45 Capítulo 4 Método dos Elmntos Finitos utilizando Estrutura d Dados basada nas Arstas dos Elmntos 4.1 Introdução O método itrativo dos Gradints Conjugados pré-condicionados, conform dscrito no final do capítulo antrior, faz o uso rptidas vzs da multiplicação matrizvtor A.p. O rarranjo da strutura d dados por arsta [9, 22] proporciona uma aclração dssas opraçõs matriz-vtor. Apsar d trmos um númro d arstas maior qu o númro d lmntos, na ordm d 1,5 vzs para malhas d ttradros, ainda tr qu s montar ssa strutura intrnamnt, como pré-procssamnto, o ganho nas opraçõs matriz-vtor rdução d mmória são significativos [22, 25]. Para fazr ssa transição ntr a strutura d dados por lmntos para a strutura d dados por arstas, utilizam-s funçõs d spalhamnto [18, 1] para montar as arstas d manira ficint, podndo-s ntão montar agrupamntos d suprarstas [19] finalmnt blocos d arstas para agrupamntos d suprarstas, conform srá mostrado ao longo dst capítulo. 32

46 Essa nova organização ofrc um aumnto do dsmpnho computacional, pois rduz o total d opraçõs d ponto flutuant (floating point oprations flops) ndrçamnto indirto (/i). Com isso, as opraçõs d avaliação do rsíduo qu são ralizadas, ao utilizar um método itrativo para rsolvr o sistma d quaçõs, são otimizadas. 4.2 Estrutura d dados basada nas arstas do lmnto ttraédrico A matriz das arstas é calculada a partir da matriz dos lmntos, da sguint forma: acumulam-s as contribuiçõs dos lmntos para cada arsta, através dos coficints dos lmntos qu têm aqula arsta m comum [7]. A figura abaixo mostra, d forma simplificada para um lmnto triangular, a contribuição d 2 lmntos difrnts para uma msma arsta. i p E2 E1 j = + m Arsta ij Elm 1 Elm 2 Figura 4.1 Matriz da arsta ij, qu possui n lmntos m comum, para n=2: Sndo assim, a matriz ma d uma arsta ij, é o somatório das contribuiçõs das matrizs m dos lmntos qu possum ssa arsta m comum (nlar), sndo calculada sgundo: nlar nlar mii mij ma = ij nlar nlar (4.1) m ji m jj arstas. A figura a sguir mostra o dsmmbramnto do lmnto ttraédrico nas suas 6 33

47 p i m j + + = Elmnto Arsta1 Arsta2 Arsta Arsta 4 Arsta 5 Arsta 6 Figura 4.2 Matriz das arstas a partir da matriz do lmnto ttraédrico No caso stático, ou sja, m rgim prmannt, a dficiência d posto obsrvada nos opradors discrtos prmit qu sjam armaznados apnas um coficint por arsta, aquls fora da diagonal. No caso transint, a dficiência d posto não s vrifica após a discrtização tmporal. Dsta forma, para a corrta rprsntação da matriz d massa ftiva do sistma é ncssário o armaznamnto d dois coficints por arstas. A gração da strutura d dados por arstas a partir da strutura d dados por lmntos, como studado por Martins [21], consist m prcorrr toda a malha plos sus lmntos, para cada um psquisar as incidências d suas arstas. Para isso sr fito sm s tr um grand sforço computacional, é utilizada uma tabla d spalhamnto (hash tabl), qu é uma técnica d ndrçamnto indirto, na qual o 34

48 ndrço da posição do rgistro no arranjo é calculado através d uma função matmática [18], obtndo assim acsso dirto ao vtor d arstas. Como o Método dos Elmntos Finitos é um método basado m malhas não struturadas, consqüntmnt, xig struturas d dados calcadas m ndrçamntos indirtos. Para ssa troca d strutura sr ralmnt vantajosa, é ncssário qu s agrupm as arstas qu possum nós m comum, rduzindo assim rptiçõs d /i, ou sja, utilizando-s ao máximo os dados buscados na mmória. Conform foi dito, tmos um númro d arstas, na ordm d 1,5 vzs, maior qu o númro d lmntos para malhas d ttradros. Ou sja, os valors para ndrçamnto dirto flops para uma arsta dv sr multiplicados por st coficint, considrando-s toda a malha. Esta multiplicação acarrta à igualdad da quantidad d ndrçamnto indirto mas, ainda, grand vantagm na quantidad d flops para o squma arsta, comparativamnt ao squma por lmntos. A rdução das opraçõs d ndrçamnto indirto s dá na mdida m qu, por xmplo, agrupando-s duas arstas qu possum nó m comum, m vz d 4 opraçõs d ndrçamnto indirto, têm-s 3. O objtivo do agrupamnto ntão é o d promovr uma rdução d acssos à mmória, frnt ao volum d opraçõs d ponto flutuant ncssárias. Três tipos d agrupamntos dnominados stars (strlas), chains (cadias) suprdgs (suprarstas) foram propostos por Löhnr [19]. Nst trabalho, o agrupamnto utilizado foi o d suprarstas (suprdgs). Tal agrupamnto sugr a formação d polígonos ou polidros, havndo um maior númro d nós comuns às difrnts arstas, rsultando m uma rdução d /i. O agrupamnto d suprarstas para ttradros, conform a figura (4.3), pod sr fito por três grupos distintos, dnominados por Martins [21] d: grupos d 6 arstas (suprdg 6), grupos d 3 arstas (suprdg 3) ou arstas simpls. 35

49 Arsta simpls suprdg 3 suprdg 6 Figura 4.3 Agrupamnto d suprdgs Em uma malha não struturada é quas impossívl qu não haja arstas d algum dos três grupos acima citados,, quanto mais arstas for possívl s tr no grupo d suprdg 6, sguido do suprdg 3 por fim do grupo das arstas simpls, mais ficint srá a xcução do programa. A montagm das arstas m agrupamntos d suprdgs é fita rordnando a lista d arstas. Para isso é ncssário dsmmbrar os lmntos m suas arstas, para assim grar uma incidência d lmntos por arstas. Para montar os agrupamntos, vrifica-s primiramnt s as arstas dos lmntos formam algum agrupamnto para ntão acrscntá-las ao agrupamnto d suprdg 6, tntando dsta forma montar o máximo númro possívl d agrupamntos d suprdg 6. Em sguida, vrifica-s s as arstas do lmnto já prtncm a algum agrupamnto para ntão acrsntá-las ao agrupamnto d suprdg 3, snão acrscntá-las à lista d arstas simpls. Na figura (4.4) a sguir tm-s a disposição d agrupamntos d suprdg 6, suprdg 3 arstas simpls, d um cubo discrtizado por ttradros. 36

50 (a) facs dos ttradros prtncnts ao contorno da malha do cubo (b) agrupamnto d suprdg6 (c) agrupamnto d suprdg3 (d) agrupamnto d arstas simpls Figura 4.4 Disposição dos agrupamntos suprdgs para um cubo discrtizado por ttradros, sgundo [21]. Os algoritmos qu ralizam as opraçõs d multiplicação matriz vtor, muito utilizada no método itrativo dscrito no capítulo antrior, aprsntam um inibidor natural d vtorização, qu é a opração d spalhamnto. Uma vz qu divrsos lmntos podm concorrr no msmo nó, introduz-s uma dpndência rcursiva nos dados. Para isso sr vitado, dv-s xcutar outra blocagm, dsta vz montando os blocos dos agrupamntos suprdgs d arstas disjuntos plos nós. Para fazr tal blocagm, utiliza-s para cada um dos três agupamntos d suprdgs a técnica da rordnação das arstas m blocos intrnamnt disjuntos, para qu nnhum bloco d arstas simpls, d suprdg 3 ou suprdg 6 possua nós m comum. O bloco das arstas para cada agrupamnto são montados d manira smlhant ao dos lmntos. 37

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