MODELAGEM NEURO-FUZZY COM APOIO DO MATLAB LUIZ CARLOS BENINI E MESSIAS MENEGUETTE JUNIOR

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1 MODELGEM NEO-FZZY COM POIO DO MTL LIZ CLOS ENINI E MESSIS MENEGETTE JNIO Presdete Prudete mao de 008

2 SMÁIO Pága. Itrodução Cocetos e fudametos sobre coutos e lógca fuzz Operadores e operações dos coutos fuzz elações fuzz Composção de relações fuzz Varáves lgüístcas Operações com varáves lgüístcas elações de mplcações Iferêca de regras fuzz Sstema de ferêca fuzz gregação Modelo de Mamda Modelo de Takag-Sugeo Defuzzfcação Método do cetro de área cetróde Método da méda dos mámos Sstema de Iferêca Fuzz Neuro daptatatvo NFIS rqutetura do modelo NFIS lgortmo de apredzagem da estrutura NFIS eferêcas blográfcas... 5

3 3. INTODÇÃO reprodução de característcas telgetes em máquas costruídas pelo homem é um dos obetvos mas persegudos pela comudade cetífca e tecológca á há muto tempo. Desde etão mutos paradgmas smbólcos de apredzagem surgram e mutos se desevolveram como métodos computacoas poderosos cludo aqusção dutva de cocetos sstemas classfcadores e apredzagem baseada em eplcações. Lógca Fuzz pode ser aceta como a melhor ferrameta para modelar o racocío humao que é apromado e parcal em sua essêca. teora dos coutos fuzz e a lógca fuzz obetvam modelar os modos de represetação e racocío mprecsos que têm um papel essecal a tomada de decsões racoas em ambetes de mprecsão e certeza. lém dsso a dversfcação de tecologas advdas da lógca fuzz tem também permtdo sua aplcação em dversas áreas do cohecmeto. Téccas de sstemas fuzz são especalmete utlzadas os casos ode ão estem modelos matemátcos capazes de descrever precsamete o processo estudado. Estas téccas forecem uma estrutura poderosa para mapular formações apromadas. ssm o processo aalsado pode ser cotrolado a partr de um couto de regras fuzzs do tpo se... etão capaz de tratar cohecmetos completos certos ou mesmo cofltates. teora de modelagem e detfcação fuzz trata do relacoameto etre etradas e saídas agregado város parâmetros de processo e de cotrole. Os sstemas resultates proporcoam resultados mas precsos além de um desempeho estável e robusto. dvda do coceto de coutos fuzz a lógca fuzz costtu a base para o desevolvmeto de métodos e algortmos de modelagem e cotrole de processos permtdo a redução da compledade de proeto e mplemetação torado-se a solução para problemas de detfcação até etão tratáves por téccas clásscas. Nas teoras de detfcação clássca e modera o passo cal para mplemetar a detfcação de um processo é defr o modelo matemátco que o descreve. Esta metodologa requer que se coheça detalhadamete o processo a ser detfcado o que em sempre é factível se o processo é muto complcado ou as stuações ode um volume cosderável de formações essecas só é cohecdo a pror de forma qualtatva ou ada quado crtéros

4 4 de desempeho só estão dspoíves em termos lgüístcos. Este paorama leva a mprecsões e falta de eatdão que vablzam a maora das téccas tradcoas. modelagem fuzz por outro lado são téccas para se mausear formações qualtatvas de uma maera rgorosa. Tas téccas cosderam o modo como a falta de eatdão e a certeza são descrtas e por sso toram-se sufcetemete poderosas para mapular de forma coveete o cohecmeto. sua utlzação em sstemas que operam em tempo real em computadores ou mcro-cotroladores é também das mas coveetes pos geralmete ão evolvem ehum problema computacoal séro. Para epressar cocetos ou ações fuzzs é muto comum o uso de elemetos qualtatvos ao vés de valores quattatvos. Elemetos típcos cluem termos alto médo pequeo mas ou meos em toro de etc. Estas déas são capturadas pela defção de varável lgüístca. ma varável lgüístca tem por característca assumr valores detro de um couto de termos lgüístcos ou sea palavras ou frases. ssm ao vés de assumr stâcas umércas uma varável lgüístca assume stâcas lgüístcas. Como eemplo uma varável lgüístca Temperatura poderá assumr como valor um dos membros do couto de termos {muto baa baa méda alta muto alta}. Para se atrbur um sgfcado aos termos lgüístcos é assocado cada um destes a um couto fuzz defdo sobre um uverso de dscurso comum que forece a faa de varação da varável lgüístca. ma das formas mas comum de epressar este cohecmeto é por meo de regras do tpo codção-ação ode um couto de codções descrevedo uma parcela observável das saídas do processo é assocado com uma ação de cotrole que rá mater ou levar o processo às codções de operação deseadas. Normalmete uma codção é uma proposção lgüístca evolvedo varáves lgüístcas sobre os valores de algumas das varáves de etrada; e uma ação é smplesmete uma descrção lgüístca. ssm todo o cohecmeto é represetado por meo de um couto de regras as quas as codções são dadas a partr de um couto de termos lgüístcos assocados às varáves de saída/etrada do processo. s respostas do sstema de cotrole ou as saídas fuzzs são epressas de modo smlar para cada varável de cotrole saída.

5 5 pós o processo de ferêca da ação fuzz a determação da ação de estmação ão-fuzz que melhor represete a decsão fuzz é calculada e evada efetvamete ao sstema de detfcação.. CONCEITOS E FNDMENTOS SOE CONJNTOS E LÓGIC FZZY Na teora de coutos clássca segudo algum crtéro um elemeto pertece ou ão a um dado couto estado a pertêca do elemeto baseado a fução característca dada pela defção; Defção. Fução característca Sea um couto uverso de dscurso um subcouto de e um elemeto partcular de. Defe-se a fução característca como sedo uma fução : { 0 com } se 0 se Pode-se observar que a fução característca assm defda é um mapeameto do couto uverso para os elemetos do couto { 0 } assumdo deste modo apeas valores dscretos e dvddo o couto uverso em duas partes com froteras bem defdas. teora dos coutos fuzz troduzda por Zadeh 965 surgu como um meo de represetação e mapulação de dados mprecsos e são coutos que ão possuem froteras bem defdas como a teora usual de coutos. Estes foram propostos pelo fato dos coutos clásscos apresetarem lmtações para ldar com problemas ode trasções passagem de pertêca para a ão pertêca de uma classe para outra acotecem de forma leta e gradual. Zadeh 973 propôs uma caracterzação mas ampla geeralzado a fução característca de maera que esta pudesse assumr um úmero fto de valores o tervalo [0] sugerdo que algus elemetos são mas membros de um couto do que outros. Neste caso o grau de pertêca pode assumr qualquer valor o tervalo fechado [0 ] sedo o valor 0 usado para represetar ão-pertêca completa o valor usado para represetar

6 6 pertêca completa e os valores etre 0 e usados para represetar os graus termedáros de pertêca do subcouto. Esta geeralzação faz com que a fução característca passa a ser cotíua o seu domío aumetado o poder de epressão da fução característca. Na teora dos coutos fuzz a déa da fução da clusão é fleblzada a qual dca que um determado elemeto pertece mas ao couto do que outros elemetos pertecetes ao mesmo couto ou sea os elemetos podem pertecer parcalmete ao couto. fução que defe o grau de pertêca de um determado elemeto em um couto fuzz levado em cosderação o seu uverso de dscurso é defda como fução de pertêca. Formalmete temos a segute defção: Defção. Fução de pertêca Zadeh 965 Sea um couto uverso ão vazo φ. m couto fuzz em é caracterzado por sua fução de pertêca : [ 0 ] a sedo terpretado como o grau de pertêca do elemeto o couto fuzz para cada. Pode ser observado da defção que um couto fuzz em um couto uverso é um couto de pares ordeados de um elemeto geérco e seu respectvo grau de pertêca e este é completamete determado pelo couto de -uplas { } 3 famíla de todos os coutos fuzz em é deotado por Y. Subcoutos fuzz da reta real são chamados de varáves fuzz. termologa usada para deotar um couto fuzz pode ser feta das segutes formas para o caso quado se tem coutos fuzz dscretos ou cotíuos: a Coutos Fuzz Dscretos Sea um couto fuzz dscreto e fto tedo elemetos defdo o uverso de dscurso fto { } K. Neste caso o couto fuzz com suporte em pode

7 7 ser determado eumerado os seus elemetos utamete com os seus graus de pertêcas e deotado por: N / + / + + N / N / L 4 sedo que a somatóra se refere a operação uão e o termo /... N sgfca que é o grau de pertêca de em. b Coutos Fuzz Cotíuos Sea um couto fuzz cotíuo tedo elemetos defdos o uverso de dscurso. No caso cotíuo o couto fuzz é represetado por: / 5 ode o sal da tegral se refere à uão de coutos utáros fuzz. Quato ao formato das fuções de pertêcas este é restrto a certa classe de fuções represetadas por algus parâmetros específcos. Os formatos mas comus são: lear por partes tragular trapezodal gaussaa sgmóde e sgleto coutos utáros.. Fução Tragular: Parâmetros amb com a m b 0 ; se a a ; se [ a m ] m a 6 b ; se [ m b ] b m 0 ; se b a m b ode a b m e pertecem ao couto uverso de dscurso. Fgura. Fução de pertêca tragular

8 8. Fução Trapezodal: Parâmetros amb com a m b e m [ ] [ ] [ ] > < b b b b m m a a m a a se ; 0 se ; se ; se ; se ; 0 7 Fgura. Fução de pertêca trapezodal ode a b m e pertecem ao couto uverso de dscurso. 3. Fução Gaussaa: m k e ; 8 > k Fgura 3. Fução de pertêca gaussaa 4. Fução Sgmóde [ ] [ ] b m b a b b a m a b a a se ; se ; se ; se ; 0 9 Fgura 4. Fução de pertêca sgmóde ode b a m + a m b 0 0 m a b 0 m

9 9 5. Couto táro Fução sgleto: Parâmetros mh h se m 0 caso cotráro h 0 m Fgura 5. Couto utáro escolha do formato da fução de pertêca mas adequada em sempre é óbva podedo clusve ão estar ao alcace do cohecmeto para uma determada aplcação DELGDO 00. No etato estem sstemas fuzz cuos parâmetros das fuções de pertêcas podem ser completamete defdos por especalstas. Nestes casos a escolha de fuções tragulares e trapezodas é mas comum pos a déa de se defr regões de pertêcas total méda e ula é mas tutva do que a especfcação do valor médo e de dspersão cocetos estes lgados às fuções gaussaas. Outro coceto mportate a teora de coutos fuzz é o de couto suporte de um couto fuzz. O couto suporte de um couto fuzz é o subcouto dos potos de tal que a fução de pertêca sea postva sto é > 0. Formalmete tem-se a segute defção: Defção 3. Couto Suporte Sea um couto uverso ão vazo φ e um subcouto de. O suporte Sup do couto fuzz é o couto de todos os elemetos fução de pertêca tem valor maor que zero ou sea Defção 4. Couto utáro fuzz { 0} tal que a Sup >. Sea um couto uverso ão vazo φ e um subcouto de etão um couto fuzz cuo couto suporte Sup é um úco poto de com é chamado de couto utáro fuzz.

10 0 Da defção 4 observa-se que o couto é um couto utáro e equvale a um couto utáro covecoal e ada por esta defção os coutos clásscos passam a ser um caso específco a teora dos coutos fuzz. Defção 5. Igualdade de coutos fuzz Seam e subcoutos fuzz de um couto clássco. Os coutos fuzz e são guas e deotados se somete se para todo. Defção 6. Couto fuzz vazo m couto fuzz de um uverso de dscurso é defdo um couto vazo se para cada 0 Defção 7. Couto uversal Φ O maor subcouto fuzz o uverso de dscurso chamado de couto fuzz uversal em deotado por é defdo por para todo. Defção 8. Cetro de um couto fuzz Sea um couto uverso ão vazo φ e um subcouto de. O cetro de um couto fuzz é defdo como o couto de elemetos alcaça seu valor mámo. Defção 9: ltura de um Couto Fuzz os quas Sea um couto uverso ão vazo φ e um subcouto de. altura de um couto fuzz correspode ao maor grau de pertêca assumdo por um de seus elemetos ou sea smbolcamete lt ma... 0 Fgura 6. ltura de um couto fuzz

11 Defção 0: Couto Fuzz Normalzado Sea um couto uverso ão vazo φ e um subcouto de. m couto fuzz é ormalzado se pelo meos um de seus elemetos possur grau de pertêca gual a ou sea com. 0 Normalzado 0 Não-Normalzado Fgura 7. Couto fuzz ormalzado e ão ormalzado 3. OPEDOES E OPEÇÕES DOS CONJNTOS FZZY Para os sstemas que utlzam a lógca fuzz o processameto de formações fuzz é ormalmete cosstdo de operações que são realzadas sobre os seus coutos fuzz. Como a lógca clássca algumas propredades foram defdas por Zadeh 965 a respeto dos operadores de coutos fuzz. Seam e dos coutos fuzz defdos em um uverso de dscurso com fuções de pertêcas e uão tersecção e complemeto são defdas por Zadeh 965: Defção : Couto ão respectvamete. s operações fuzz báscas de uão etre dos coutos fuzz e pertecetes a um mesmo uverso de dscurso é formado por todos os valores mámos etre e todo. Formalmete tem-se: ma para

12 0 0 a b Fgura 8. a Dagrama dos coutos e b Dagrama da uão Defção. Couto Itersecção tersecção etre dos coutos fuzz e pertecetes a um mesmo uverso de dscurso é formado por todos os valores mímos etre e para todo ou sea m 3 0 a 0 b Fgura 9. a Dagrama dos coutos e b Dagrama da tersecção

13 3 Defção 3. Couto Complemeto O complemeto de um couto fuzz pertecete a um uverso de dscurso é formado pela subtração de do valor utáro ou sea &&& ;. 4 0 Fgura 0. Dagrama do complemeto do couto De modo geral uma coleção de coutos fuzz todos defdos em um mesmo uverso de dscurso tem as segutes operações: ão Total: m ma K m 5 Itersecção Total: m I m K m 6 Como a teora de coutos clássca também se defe propredades para coutos fuzz como segue: Propredade Comutatva: 7 8

14 4 Propredade ssocatva C C C C 9 C C C C 0 Propredade Dstrbutva C C C C C C C C v Idempotêca 3 4 v Idetdade Φ 5 Φ Φ v Le de Morga 9 30 ma coseqüêca da defção de couto fuzz em cotraste com os coutos clásscos é a Le do Meo Ecluído e a Le da Cotradção OTEG 003. Na teora de

15 5 coutos clássca os coutos usuas satsfazem: e Φ. Na teora de coutos fuzz sto ão é satsfeto devdo à fleblzação da fução característca como pode ser vsto as propredades abao: v Cotradção: v Meo ecluído: Φ lém das operações mostradas outras podem ser usadas para defr operações para uão e tersecção de coutos fuzz. Para estas classes de operações foram cradas duas famílas de operadores deomadas ormas tragulares ou T-ormas e Co-ormas tragulares ou S-ormas formalmete defdas a segur FLLÉ 995. Defção 4 Norma tragular m operador T: [0 ] [0 ] [0 ] é chamado um operador Norma Tragular Torma se e somete se T é um operador comutatvo assocatvo ão-decrescete em cada um dos seus potos e T para todo [ 0 ]. Em outras palavras da defção 4 tem-se que qualquer T-orma satsfaz as propredades: T T comutatvdade T T z TT z assocatvdade T Tz w se z e w mootocdade T para todo [ 0 ] detdade De maera smlar um operador Co-orma Tragular é defdo como segue: Defção 5 Co-orma tragular m operador S: [0 ] [0 ] [0 ] é chamado um operador Co-orma Tragular T-coorma se S é comutatvo assocatvo ão-decrescete poto a poto em cada argumeto e S 0 para todo [ 0 ].

16 6 Em outras palavras qualquer T-coorma S deve satsfazer as segutes propredades: S S comutatvdade S S z SS z assocatvdade S Szw se z e w mootocdade S 0 para todo [ 0 ] detdade Defção 6. T-orma baseada a tersecção Sea T uma T-orma. T-tersecção de dos coutos fuzz e em um couto de dscurso é defda como: para todo. T m 3 operação uão pode ser defda por meo do operador co-orma tragular: Defção 7 T-coorma baseada a uão Sea S uma T-coora. S-uão de dos coutos fuzz e em um couto de dscurso é defda como: para todo. S ma 3 Em geral a le do meo ecluído e o prcípo da cotradção ão satsfazem as propredades de T-orma e T-coorma defdas as operações de tersecção e a uão como descrtas a segur: T Φ m e portato Φ S ma e portato O emprego do operador mímo represetado a T-orma e do operador mámo represetado a S-orma foram propostos por Zadeh 965 destarte estem outras T-ormas

17 7 tas como: mímo produto algébrco produto lmtado produto drástco e S-coormas tas como: mámo soma algébrca soma lmtada soma drástca que podem ser empregadas a defção dos sstemas fuzz PEDYCZ; GOMIDE ELÇÕES FZZY s relações fuzz são geeralzações das relações usuas utlzadas a teora clássca dos coutos e por serem mas geras do que fuções estas permtem que as depedêcas etre as varáves evolvdas seam capturadas sem que ehuma caracterzação drecoal partcular sea fada ou sea ão há domío e cotradomío PEDYCZ; GOMIDE 998. elações fuzz etre coutos fuzz podem ser costruídas a partr do produto cartesao dos mesmos sedo o produto cartesao fuzz a tersecção etre coutos fuzz de uversos de dscurso dferetes SHW; SIMÕES999. Defção 8 Produto cartesao de coutos fuzz Seam e V dos uversos de dscurso. O produto cartesao de dos coutos fuzz Y e Y V é defdo FLLÉ 995 por: com V { } m 33 Pela defção observa-se que o produto cartesao de dos coutos fuzz Y e Y V é uma relação fuzz bára em V ou sea Y V. Seam e V dos uversos de dscursos quasquer. ma relação fuzz defda em um espaço bdmesoal é qualquer couto fuzz do uverso de dscurso defdo o produto cartesao V que assoca cada elemeto em V um grau de pertêca deotado por defdo o tervalo utáro ou sea : V [ 0 ]. Neste caso a fução característca é defda como se 34 0 caso cotráro

18 8 e a relação fuzz é vsta como uma geeralzação do produto cartesao clássco V { 0} e é dada por: { V } 35 Geeralzado as relações bdmesoas fuzz podem ser obtdas relações multdmesoas fuzz deomadas de relações fuzz -ára dadas por: L : sedo... coutos uversos de dscurso. De acordo com Lee 990 uma relação -ára é um couto fuzz em L sedo dado por: [ 0] { K K } K K K elemetos dos coutos os uversos de dscurso. Se os valores K são dscretos a relação fuzz defda em 35 pode ser epressa em forma matrcal relacoado os elemetos pertecetes aos dferetes coutos fuzz. Como eemplo supoha que se quera epressar a relação fuzz de um sstema de coceto ambete cofortável em termos de temperaturas e umdades. Cosdere o uverso de dscurso para temperatura dado por: { 3} { 8 0 } para os graus de umdade dado por: V { } { } 3 e o uverso de dscurso. Pode-se estabelecer o grau de relação etre cada valor de temperatura com cada valor da umdade e desta forma o coceto de ambete cofortável pode ser represetado pelas fuções de pertêcas: e deste modo podedo ser elaborada uma matrz de relação fuzz ode as coluas são as umdades as lhas são as temperaturas cosderadas e os valores são os graus com que as temperaturas se relacoam com as umdades dada por:

19 Como o caso de coutos fuzz as relações fuzz podem ser combadas e defdas as operações de uão tersecção e complemeto como dadas as defções a segur. Estas operações são mportates porque elas podem descrever terações estetes etre as varáves. Seam e S duas relações fuzz báras em V dadas por { V} { V} S S Defção 9 Itersecção de relações fuzz é defda por: Seam e S duas relações fuzz báras V S m{ S }. tersecção das relações fuzz e S V. Defção 0. ão de relações fuzz defda por: Seam e S duas relações fuzz báras V S ma{ S }. uão das relações fuzz e S é V. Defção. Complemeto de relações fuzz Seam e S duas relações fuzz báras V. O complemeto de uma relação fuzz é defdo por: V.

20 0 5. COMPOSIÇÃO DE ELÇÕES FZZY s relações fuzz defdas em dferetes coutos de dscurso podem ser combadas utlzado-se de dferetes operadores de composção sedo a composção mas cohecda dada como a defção a segur: Defção. Composção de elações Fuzz Seam V e W três uversos de dscurso. Sea uma relação fuzz em uma relação fuzz em represetada por V e S V W. composção das relações e S é uma relação fuzz sup-t o S defda como: { T z }/ z o S sup. 36 W V S s composções mas usadas defdas sobre as relações fuzz são aquelas que utlzam o operador mímo e mámo sedo respectvamete deomadas composção sup-m e sup-ma que combam relações fuzz de produtos de espaços dferetes. Fazedo a otação: { T z } o S z sup S 37 V a fução de pertêca da composção de relações fuzz o caso dscreto a composção supm é deomada ma-m podedo esta ser represetada em forma matrcal sedo cada um dos termos da matrz z dado por: os { m } o S z ma S z 38 e portato a composção ma-m etre e S é o segute couto fuzz: V o S zma{m[ S z]} V z W. 39 V Pelo que fo vsto se e S são duas relações fuzz em V e V W com K } V K } e W z z K z } respectvamete coutos { { m { t

21 fuzz ftos a forma matrcal da relação o S cosderado a composção ma-m é obtda como a multplcação de matrzes usual substtudo a operação produto pelo mímo e a operação soma pelo mámo. Deste modo se é uma relação fuzz em V e S é uma relação fuzz em V W etão e S podem ser represetadas respectvamete por: r r r r m m r r L r e M M L L L r m r m S M m s s s z M m s s s z m L L L L s s s z t t t mt e portato usado a defção a relação fuzz Q o S dada pela composção ma-m tem a forma matrcal ode q Q z q q M M q z q q q L L L L z q q q t t t t o S ma{m[ k S k z ]} ma{m rk s } k k De modo aálogo pode ser defda uma composção f-s de relações fuzz e S com os elemetos da composção defda como: o S { S } z f z V que para o caso dscreto com a utlzação do operador mámo tem-se a composção mma epressa como: S o S zm{ma[ S z]} V z W V

22 Como eemplo de composção de relações fuzz seam e S duas relações fuzz dscretas dadas por: ; S Para melhor compreeder a composção de relações fuzz é costruído um grafo eplctado a composção das varáves z 3 com correspodedo aos valores da seguda colua em e os valores de z 3 correspodetes à tercera colua em S e para os demas pares de varáves o racocío é aálogo. V W z z z 3 Fgura. Composção das varáves z 3 Cosderado o operador mímo m como T-ora a composção varáves z 3 tora-se: o S para as o S 3 { m } z ma S z V ma{ m03;09;m0;05;m08;00;m0;0 } V { 03;05;00;0 } 0 5 ma V

23 3 Para todos os outros pares de varáves evolvdas de modo aálogo tem-se a matrz de composção dada por: o S o VIÁVEIS LINGÜÍSTICS s varáves lgüístcas são varáves que permtem a descrção de formações que estão ormalmete dspoblzadas de forma qualtatva ou sea são varáves cuos possíves valores são palavras ou frases ao vés de úmeros PEDYCZ; GOMIDE 998 podedo ser represetadas medate um couto fuzz. Estas são epressas qualtatvamete através de termos lgüístcos forecedo um coceto à varável e quattatvamete por uma fução de pertêca. Cada varável lgüístca tem um couto de termos fuzz assocados deomados termos prmáros que é o couto de valores que a varável fuzz pode tomar. Por eemplo a varável fuzz compactação do solo pode ter o couto de termos prmáros {baa méda alta} sedo que cada termo prmáro represeta um couto fuzz específco. Zadeh 975 defu formalmete a varável lgüístca fuzz através da quítupla: < X TX X G M > com X represetado o ome da varável lgüístca rótulo assocado a uma varável lgüístca; TX represeta o couto de termos lgüístcos com cada elemeto de TX represetado um rótulo l tamaho da base dos termos que a varável X pode assumr; X é o uverso de dscurso da varável lgüístca X ; G represeta a gramátca para a geração dos termos ou rótulos; M é a regra que assoca a cada rótulo l um couto fuzz o uverso X represetado o seu sgfcado Ml. Como eemplo cosdere como varável lgüístca a resstêca do solo à peetração P. dmtdo valores lgüístcos: baa méda e alta para a varável resstêca do solo à peetração cada um destes valores lgüístco admte valores umércos um tervalo [0 P ma ] e assm podedo proetar os valores lgüístcos sobre o tervalo [0 P ma ] através

24 4 de fuções de pertêcas. À atrbução de um sgfcado para os termos lgüístcos é assocado a cada um destes termos um couto fuzz defdo sobre um uverso de dscurso comum. ssm desde que uma varável lgüístca tem por característca assumr valores detro de um couto de termos lgüístcos cada termo da varável resstêca do solo à peetração cada valor fuzz da resstêca do solo à peetração que são elemetos de TP é caracterzado por um couto fuzz dgamos; baa: [00 5] méda: [6 50] e alta: [5 50] em um uverso de dscurso por eemplo [00 50]. Na Fgura é mostrado como os elemetos da varável fuzz resstêca do solo à peetração podem ser dspostos pela quítupla < X TX X G M >. esstêca do solo à peetração Varável Fuzz aa Méda lta Valores Fuzz Graus de Pertêcas verso de dscurso Fgura. Varável lgüístca resstêca do solo à peetração e um couto fuzz de valores dscretos Pela Fgura pode-se ctar a varável lgüístca com rótulo X resstêca do solo à peetração com couto de termos Tresstêca do solo à peetração {baa méda alta} uverso de dscurso [00 50] e um dos valores MX escrto como: M baa { [00 MPa 50 MPa]}. baa

25 5 Na Fgura 3 são lustrados três possíves termos lgüístcos para a varável represetado a resstêca do solo à peetração. p IX MÉDI LT P MPa Fgura 3. epresetação da varável lgüístca resstêca do solo à peetração. Supodo uma medda do uverso de dscurso e tedo em cota que foram defdas três fuções: duas retagulares baa e alta e uma tragular méda que qualquer valor da resstêca à peetração por eemplo MPa tem um úco grau de pertêca a cada valor: baa méda alta e pode ser observado sobre o eo P a fuzzfcação da medda ou sea a coversão da medda de valor MPa do uverso de dscurso em valores compreesíves para fuzz é dada por: MPa 06 baa + 04 méda + 00 alta. 7. OPEÇÕES COM VIÁVEIS LINGÜÍSTICS s prcpas operações etre varáves lgüístcas são realzadas por meo da utlzação dos coectvos e ou e ão e por meo desses coectvos podem ser realzadas composções lógcas etre os termos das varáves lgüístcas. ssm dados dos

26 6 termos e de uma determada varável lgüístca as operações compostas e e ou são defdas respectvamete em fução de seus graus de pertêcas por: e e ou ou m ma Para a operação de complemeto ão de uma varável lgüístca tem-se a epressão: ão 8. ELÇÕES DE IMPLICÇÕES em Seam e dos coutos fuzz com suas fuções de pertêcas e V respectvamete. mplcação fuzz etre os coutos fuzz e é um ovo couto fuzz C represetado por C se defe como um tpo especal de relação fuzz em V defda medate a fução de pertêca : V [ 0 ] tal que I V 40 ode I : [ 0] [ 0] [ 0 ] propredades para 0 : [ ] se etão I I I 0 I é um operador de mplcação obedecedo as segutes ma terpretação smples cosste em defr a mplcação fuzz através de uma fução de pertêca partcular medate o operador mímo m represetado a mplcação fuzz pela fução de pertêca: m{ }.

27 7 9. INFEÊNCI DE EGS FZZY O processo de ferêca fuzz ou racocío apromado permte que sstemas fuzz seam elaborados por um couto de regras fuzz através de proposções codcoas do tpo se codção... etão ação baseadas as varáves lgüístcas para eecutar um processo de tomada de decsão. s regras fuzz descrevem stuações específcas que podem ser submetdas à aálse de especalstas e cua ferêca coduz a algum resultado deseado OTEG 00. ferêca baseada em regras fuzz pode ser compreedda como um fucoal que mapea um couto de uma ou mas varáves de etrada assocadas a um couto fuzz deomadas premssa ou atecedetes para um couto de uma ou mas varáves de saída também assocadas a coutos fuzz deomadas coseqüetes ou coclusão de um dado sstema. Segudo Lee 990 e Ortega 00 cada regra fuzz é composta por uma parte atecedete ou premssa parte se e uma parte coseqüete ou coclusão parte etão resultado em uma estrutura do tpo: Se < proposção fuzz atecedete > Etão < proposção fuzz coseqüete >. ma proposção fuzz smples represetada por é ode um valor do domío e uma varável lgüístca estabelece uma relação etre um valor do domío e o espaço fuzz COX 99. Dessa maera modelos fuzz represetam um sstema através de um couto do tpo: Se é Etão é sedo a proposção é o atecedete e a proposção é o coseqüete da regra fuzz. s proposções podem também ser estabelecdas através de composção de proposções smples deomadas proposções fuzz compostas utlzado coectvos lógcos e ou e ão represetado respectvamete a tersecção uão e complemeto fuzz. ssm se e são varáves lgüístcas os uversos de dscurso e V e e são coutos fuzz respectvamete em e V tem-se: a proposção fuzz composta dada por: é e é

28 8 é uma relação fuzz em V defda por seu grau de pertêca: m t com t : [ 0] [ 0] [ 0 ] uma T-orma; é uma relação fuzz a proposção fuzz composta dada por: é ou é em V defda por seu grau de pertêca ma s com s : [ 0] [ 0] [ 0 ] uma S-orma; a proposção fuzz composta dada por: é ão é uma relação fuzz em defda por seu grau de pertêca. s varáves de etrada são coectadas etre s por termédo dos operadores lógcos fuzz e estas se assocam a valores lgüístcos coutos fuzz em todo uverso de dscurso por meo de fuções de pertêcas. Na utlzação de regras composcoas de ferêca é possível defr procedmetos para se obter uma coclusão fuzz a partr de uma ou mas regras represetadas por uma relação fuzz e de um fato fuzz DELGDO 00. ssm se e são varáves lgüístcas compostas respectvamete por um couto de termos {... } e {...} etão o problema básco do processo de ferêca é ecotrar uma fução de pertêca que represete a coseqüêca da aplcação smultâea de regras da forma se... etão. Formalmete dado um fato observável é o qual é represetado por um couto fuzz e uma base de regras dada por uma relação fuzz um couto fuzz duzdo pelo fato é e pela regra é dado por:

29 9 Fato: é egra : se é etão é ; egra : se é etão é M M M egra : se é etão é Coseqüêca: é O processo de ferêca fuzz aplcado as regras acma em geral é baseado a regra modus poes geeralzada eplctada por: Fato: é egra: se é etão é Coseqüêca: é ode e são coutos fuzz assocados aos valores das varáves lgüístcas e. Smbolcamete: Fato: egra: _ Coclusão: o Isto sgfca que a regra modus poes geeralzada permte ferr o valor fuzz dado um valor de etrada e uma relação de mplcação relacoado ambas varáves. O valor ferdo é calculado através da composção do valor com a relação de mplcação : o o 4 com fução de pertêca rould e Tao995 dada por: ode I : [ 0] [ 0] [ 0 ] é o operador mplcação. { m[ ; I ]} sup 4

30 30 Como um eemplo da regra modus poes dado um fato observável desdade é muto alta e uma base de regras se desdade é alta etão solo é compactado um couto fuzz duzdo pelo fato e pela regra é dado por: Fato: desdade é muto alta egra: se desdade é alta etão solo é compactado Coseqüêca: solo é muto compactado Város tpos de ferêca fuzz podem ser utlzados para relacoar as etradas e saídas de um couto fto de regras e estas ferêcas dferem pelo tpo de operador e pelos tpos de proposções atecedetes e coseqüetes utlzados. O método de ferêca determa a forma operacoal do modelo fuzz e este é um mapeameto que defe uma trasformação do valor fuzz de etrada em um valor de saída. s bases de regras fuzz podem ser costtuídas de váras formas de acordo com o úmero de varáves lgüístcas apresetadas a etrada e a saída dos sstemas determado e classfcado os modelos lgüístcos como: modelo SISO Sgle- Iput/Sgle-Output modelo MISO Mulple-Iput/Sgle-Output e modelo MIMO Mulple-Iput/Multple-Output. O modelo SISO Sgle-Iput/Sgle-Output apreseta regras costtuídas por uma úca etrada e uma úca saída. Neste caso o cohecmeto é epresso por meo de um couto de regras possudo a segute estrutura: egra : Se é Etão é ; ou egra : Se é Etão é ; ou... ou egra : Se é Etão é ode é a varável lgüístcas de etrada atecedetes é a varável lgüístcas de saída coseqüetes e e são valores fuzz subcoutos fuzz dos coutos e V uversos

31 3 de dscurso das varáves das etradas e saídas em geral os coutos fuzz e estão assocados a algum termo lgüístco tas como pequeo médo muto alto bao rápdo. O modelo MISO Mulple-Iput/Sgle-Output caracterza-se por sstemas que cosstem de múltplas etradas e uma úca saída LEE990. ma base de regras para o modelo MISO com m regras e varáves fuzz de etradas e uma varável fuzz de saída tem a segute forma: egra : Se é e é e... e é Etão é ; ou egra : Se é e é e... e é Etão é ; ou... ou egra m: Se é m e é m e... e é m Etão é m ode... são as varáves lgüístcas de etrada e é a varável de saída e m e m subcoutos de um uverso de dscurso e V respectvamete os valores fuzz de etrada e saída do modelo. m eemplo para a base de regras possudo a estrutura MISO é dado como: egra : Se desdade do solo é alta e tetura é arglosa e resstêca à peetração é méda Etão solo é muto compactado; ou egra : Se desdade do solo é baa e tetura é sltosa e resstêca à peetração é baa Etão solo é compactado s regra e regra formam um modelo fuzz com três varáves e dos valores lgüístcos para cada varável tedo etão regras para se chegar à coclusão do tpo de compactação que o solo pode ter a partr dos atrbutos que são as varáves lgüístcas de etrada desdade do solo alta/baa tetura do solo arglosa/areosa e resstêca à

32 3 peetração méda/alta. s varáves de saída muto compactado e compactado represetam os coutos fuzz da parte coseqüete do sstema de regras de dos tpos de compactação de solo segudo uma classfcação fuzz adotada. O modelo MIMO Mulple-Iput/Multple-Output apreseta múltplas varáves fuzz de etrada e múltplas varáves fuzz de saída com as regras possudo a segute forma: egra : Se é e é e... e é ou Etão é é... s é s egra : Se é e é e... e é ou... ou Etão é é... s é s egra m: Se é m e é m e... e é m Etão é m é m... s é sm ode as varáves de etrada... e os termos lgüístcos com... e...m são defdos como o modelo MISO... s são as varáves de saída e com......m são subcoutos fuzz defdos o uverso de dscurso V V...V m das varáves de saída. 0. SISTEM DE INFEÊNCI FZZY Os sstemas de ferêca fuzz são sstemas que mapeam as etradas advdas de um couto de dados resultate de medções ou observações epermetas em saídas precsas f ode é etrada e a saída do sstema de ferêca fuzz e f uma represetação quattatva do mapeameto. estrutura de um sstema de ferêca é baseada em um couto de regras fuzz cludo quatro compoetes báscos prcpas JNG et al.997 apud DELGDO00: um fuzzfcador que traduz a formação de etrada em coutos fuzz. cada varável de etrada são atrbuídos termos lgüístcos que são os estados da varável e

33 33 cada termo lgüístco é assocado a um couto fuzz traduzdo por uma fução de pertêca; uma base de cohecmeto que cosste de um couto de regras fuzz e de uma base de dados. No couto de regras fuzz cohecdo como base de regras estão as declarações lgüístcas do tpo se...etão defdas por especalstas ou retradas de um couto de dados umércos. Na base de dados estão as varáves lgüístcas as defções dos respectvos uversos de dscursos e o couto de fuções de pertêcas; um método de ferêca que aplca um racocío fuzz para obter uma saída fuzz; um defuzzfcador que traduz a saída por um valor umérco. s relações etre as varáves de etrada e saída em um sstema fuzz é como á vsto represetado através da forma geral: se < atecedete > etão < coseqüete > e depededo da forma da parte etão parte coseqüete estem dos tpos de sstema de ferêca fuzz: sstema de ferêca fuzz Mamda ode as proposções do atecedete e do coseqüete são proposções fuzz e sstema de ferêca fuzz Takag-Sugeo ode o atecedete é uma proposção fuzz e o coseqüete uma epressão fucoal das varáves lgüístcas defdas o atecedete.. GEGÇÃO Em uma base de regras quado mas de uma regra é acoada as cotrbuções das dversas regras após a ferêca são combadas pelo operador de agregação. Para uma úca regra : o processo de ferêca de a partr do fato e da regra fuzz é dado por : o o. No caso em que o operador lógco é a coução fuzz a relação : é um poto fuzz. Quado são apresetadas mas de duas regras o racocío fuzz é realzado sobre um couto de m regras fuzz a forma: egra : Se é etão é...m

34 34 Cada regra dvdual...m é duzda por uma relação fuzz dferete. ssm o couto de regras por sua vez resulta uma relação fuzz obtda pela agregação de todas as relações dvduas através da operação uão: m m o. tlzado a regra de ferêca composcoal de Zadeh ZDEH973 para uma relação do tpo ode e V e dado um couto fuzz de deotado por e um couto fuzz de V a ferêca é dada pela fução de pertêca através do operador ma-m por: { m } ma ; V 43 Em geral o operador agregação represetado pelo símbolo é caracterzado por uma S-orma podedo ada ser utlzado as T-ormas. m eemplo de fução para o operador agregação é o operador uão ou sea a agregação do couto de regras é realzada através do operador uão sobre todas as relações dvduas Ortega00. Por eemplo supodo K todos os resultados dervados das dversas regras acoadas todos relacoados a uma mesma varável lgüístca o resultado da mplcação de todas as regras é dada por: m ode o símbolo represeta o operador agregação. Para a agregação do couto de regras város métodos podem ser utlzados a maora dos casos o atecedete parte se é formado por proposções lgüístcas e a dstção etre os modelos se dá o coseqüete parte etão das regras fuzz. Etre os modelos mas cohecdos podem ser destacados: modelo de Mamda MMDNI; SSILIN 975 apud DELGDO 00: utlza coutos fuzz tato o atecedete como o coseqüete das regras fuzz. saída fal é represetada por um couto fuzz resultate da agregação da saída ferda de

35 35 cada regra. Para se obter uma saída fal ão fuzz adota-se um dos métodos de trasformação da saída fuzz em ão-fuzz descrtos a desfuzzfcação dos dados. modelo de Takag-Sugeo TKGI ; SGENO 983 apud DELGDO 00: o qual o atecedete é uma proposção fuzz e o coseqüete é represetado por uma fução das varáves de etrada. saída fal é obtda pela méda poderada das saídas ferdas de cada regra. Os coefcetes da poderação são dados pelos graus de atvação das respectvas regras. segur serão detalhados os dos modelos mas comus: Mamda e Takag-Sugeo.. MODELO DE MMDNI No modelo de Mamda as saídas são costruídas pela superposção dos coseqüetes das regras dvduas do tpo: egra : Se é etão é ode... é o umero de regras é a varável lgüístca de etrada é a varável lgüístca de saída e e são subcoutos fuzz respectvamete dos uversos de dscursos e V. Cada uma das regras acma pode ser epressa através de uma relação fuzz terpretada como o produto cartesao dos coutos fuzz e ou sea a relação é um subcouto de V com fução de pertêca dada por: m ode m operador mímo é o operador de coução fuzz. agregação dos coutos de regras é realzada através do operador uão sobre todas as relações dvduas e desta maera deotado por a uão de todas estas relações temse: e a fução de pertêca da relação fuzz é dada por { m } ma 44 ode ma operador mámo é um operador de dsução fuzz.

36 36 Dessa forma dado um couto fuzz de etrada o couto fuzz de saída é etão obtda através da regra de ferêca ma-m o ode é um operador de composção cua fução de pertêca é dada por o { } ode o símbolo represeta o operador agregação e é o operador T-orma. Em resumo o modelo de Mamda de ferêca fuzz é baseado em composção ma-m e dado pela defção a segur. Defção 3 Seam e coutos fuzz em e V respectvamete. Supodo a mplcação fuzz epressa pela relação fuzz sobre etão o couto fuzz duzdo por é e pela regra fuzz se é etão é é defdo por: V o o com fução de pertêca dada por { } { } m ma ode é o operador S-orma e é o operador T-orma. Sem perda de geeraldade podem ser cosderadas bases com múltplas regras fuzz com múltplos atecedetes da forma: egra : Se é e é e... e é etão é...m ode m é o úmero de regras... são varáves lgüístcas e... são coutos fuzz respectvamete os uversos de dscursos... e são subcoutos de um uverso de dscurso V de valores fuzz de saída do modelo.

37 37 Fgura 4 lustra o processo de ferêca ma m quado estem duas regras e é o fato de etrada represetado como um couto fuzz. V gregação V V Fgura 4. Mecasmo de ferêca fuzz de Mamda Cada uma destas regras é terpretada através de uma mplcação fuzz: egra : L...m ode deota uma T-orma L é uma relação fuzz das etradas lgüístcas etre s sobre o uverso de dscurso L e é a saída defda sobre o uverso de dscurso V. Neste caso cada uma das regras é epressa por uma relação fuzz como o produto cartesao dos coutos fuzz... e L ou sea a relação é um subcouto de L V com fução de pertêca dada por: K K. O couto de todas estas mplcações correspode a uma úca relação fuzz em L V obtda pelo operador uão fuzz mámo ma sobre todas as relações dvduas da forma:

38 38 L K e a fução de pertêca K da relação fuzz é dada por: m K K m K com o símbolo deotado uma S-orma. Dessa forma para um dado couto de varáves de etrada fuzz... o couto fuzz de saída é etão obtda através da regra de ferêca ma-m : K o K ode é um operador de composção o símbolo represeta o operador agregação o é o operador T-orma e a fução de pertêca dada por: K K Nesta epressão tem-se represetado um sstema de ferêca fuzz de Mamda para um sstema MISO podedo esta ser estedda para um sstema MIMO com m saídas para um couto de bases de sub-regras MISO agrupadas Serra 005 da segute forma: MIMO K o K ode é um vetor [ ] Τ L e m MIMO K K com o operador uão represetado a coleção de todas as relações fuzz de um sstema MISO assocadas a cada uma das saídas m...m.

39 39 3. MODELO DE TKGI-SGENO O sstema de ferêca fuzz Takag-Sugeo represeta um sstema dâmco ou um cotrole que assoca um couto de regras lgüístcas o atecedete parte se com proposções fuzz e o coseqüete parte etão são apresetadas epressões fucoas do tpo f das varáves lgüístcas do atecedete ao vés de coutos fuzz como usados o modelo de Mamda. base de regras fuzz para o modelo de Takag-Sugeo é da forma: egra : Se é e é e... e é etão f...m ode m é o úmero de regras... são as varáves de etrada.. são coutos fuzz o atecedete das regras de um sstema MISO os uversos de dscursos... respectvamete e f...m são fuções leares ou ão-leares das varáves umércas de etrada. No caso em que Τ [ L ] é um vetor de dmesão as regras fuzz para o modelo de Takag-Sugeo podem ser escrtos a forma: egra : Se é e é e... e é etão f......m ode os coutos fuzz... do atecedete da regra...m formam uma regão L o espaço de etrada de... respectvamete deomada de superfíce fuzz etrada-saída. saída do modelo de Takag-Sugeo OTEG00 é defda como a soma poderada dos coseqüetes...m de cada subsstema lear de forma aáloga à realzada o modelo de Mamda dada por: ode m τ 45 h τ m 46 h

40 40 é o grau de atvação ormalzado para a regra...m com o grau de atvação h para a regra dada por: h K...m 47 ode é um poto do uverso de dscurso... Fgura 5 lustra o processo de ferêca de Takag-Sugeo quado estem duas regras defdas por: egra : Se é e é etão f egra : Se é e é etão f ode f p + q + r. m w p + q + r V w p + q + r V Méda poderada w w + + w w Fgura 5. Mecasmo de ferêca fuzz de Takag-Sugeo 4. DEFZZYFICÇÃO ação de cotrole cosste da uão de todas as fuções fuzz atvadas. O valor fal ou sea aquele que será apresetado pelas saídas do sstema fuzz será determado pelo processo de defuzzfcação. defuzzfcação cosste em determar o valor da estmação ão-fuzz ou sea obter a melhor represetação para o couto de saída fuzz aplcado um método de

41 4 defuzzfcação o couto saída m resultate da agregação de todos os coutos fuzz da...m. Desta forma defuzzfcacão cosste em coverter os dados fuzz em valores umércos precsos utlzado város métodos para ecotrar a saída do sstema sedo os prcpas: método do cetro de área cetróde método do mámo e o método da méda dos mámos. No método cetróde procura-se ecotrar o poto de domío assocado ao cetro de massa da regão de saída. No método do mámo a saída é o poto o domío com o maor grau de pertêca. E o método do cetro dos mámos calcula a méda das saídas com alto grau de pertêca. 5. MÉTODO DO CENTO DE ÁE O método do cetro de área CD ou método cetróde é a técca de defuzzfcação mas comumete usada KLI YN995; YEN LNGI999 apud OTEG00. Neste caso o valor de saída é aquele que dvde ao meo a área da fução de pertêca gerada pela combação das coseqüetes das regras. da o método do cetro de área pode ser compreeddo como uma méda poderada ode fucoa como o peso do valor. defuzzfcação da coclusão fuzz é dada por: ; se é dscreto CD 48 d ; se é cotíuo d 6. MÉTODO D MÉDI DOS MÁXIMOS O método de defuzzfcação da méda dos mámos MM calcula a méda de todos os valores de saída que teham os maores graus de pertêcas. Supodo que é é uma

42 4 coclusão fuzz que deve ser defuzfcada o método de defuzfcação pode ser epresso como: MM M ode são os valores do uverso de dscurso de que cotém graus de pertêcas mámos e m é a quatdade deles. m m SISTEM DE INFEÊNCI FZZY NEO DPTTIVO NFIS Os sstemas de ferêca fuzz permtem que sstemas fuzz seam elaborados por um couto de regras fuzz através de proposções codcoas do tpo se... etão baseadas as varáves lgüístcas para eecutar um processo de tomada de decsão. Takag e Sugeo 985 estão etre os pesqusadores poeros a proporem estruturas de sstemas de ferêca fuzz própro à agregação ou sea sstemas de ferêca fuzz baseada em um couto de padrões de auste para a sua defção. da segudo os mesmos autores o sstema fuzz paramétrco se basea o espaço das varáves de etradas ode é realzada uma partção fuzz e em cada subespaço fuzz que correspode a uma regra se estabelece uma relação lear etre a varável de etrada e a varável de saída. Sstemas de ferêca fuzz tem sdo utlzados para modelar processos compleos ão leares e vagos com base em um couto regras do tpo se... etão que represetam as etradas e saídas do modelo que combadas com métodos de redes euras artfcas dão orgem a um ovo método classfcado como híbrdo. Deste modo os sstemas euro-fuzz combam a capacdade de apredzado das redes euras artfcas através de dados de treameto com o poder de terpretação lgüístco dos sstemas de ferêca fuzz. Neste caso uma rede adaptatva baseada em um sstema de ferêca fuzz mplemeta um sstema de ferêca fuzz do tpo Takag-Sugeo e redes euras. ma rede eural adaptatva se caracterza por um grafo formado por ós e coeões ode os ós represetam etradas e saídas e cada um destes ós represeta uma udade de processameto tedo assocado a ele uma fução. Cada arco do grafo dca uma relação etre os ós coectados. O couto de ós pode ser dvddo em dos subcoutos: os ós

43 43 adaptatvos cuas saídas depedem ão só de suas etradas mas também de parâmetros modfcáves teros ao modelo; e em caso cotráro os ós cua fução depede somete das etradas deomados ão adaptatvos. Em geral para se represetar as redes euras adaptatvas são utlzados retâgulos para os ós adaptatvos e círculos para os ós ão adaptatvos. Detre as abordages que usam métodos híbrdos destaca-se o sstema de ferêca fuzz euro adaptatvo NFIS do glês daptve-network-based Fuzz Iferece Sstem proposto por Jag 993. O modelo NFIS fucoa de modo equvalete aos sstemas de ferêca fuzz e suas capacdades adaptatvas as fazem aplcáves a uma grade quatdade de áreas de estudos como por eemplo em classfcação de dados e etração de característcas a partr de modelos. ma propredade do modelo NFIS é que o couto de parâmetros pode ser decomposto para utlzar uma regra de apredzagem híbrda mas efcete que os mecasmos tradcoas ecotrados a lteratura. O modelo NFIS é uma ferrameta dspoível o etoro técco do programa MTL que suporta apeas sstema de Takag-Sugeo de ordem zero ou um e permte váras varáves de etrada porém com somete uma varável saída que o faz ser detfcado como um modelo MISO e os pesos etre as regras são guas à udade. 8. QITET DO MODELO NFIS Dferetes sstemas de ferêca fuzz proporcoam dferetes arquteturas para o modelo NFIS. O sstema de ferêca fuzz costruído é do tpo Takag-Sugeo defdo por um couto de regras da forma: se é e é etão z f ode e são varáves fuzz e são coutos fuzz e f é uma fução de e que aproma o valor de z. sualmete a fução f é uma combação lear das varáves de etradas cuos coefcetes são estmados usado mímos quadrados. fucoaldade do modelo euro-fuzz com base o modelo do tpo de Takag- Sugeo de prmera ordem combações leares das etradas e o algortmo NFIS cosderado por eemplo um sstema de ferêca fuzz de duas etradas e uma saída f e composto por duas regras fuzz:

44 44 egra : Se é egra : Se é e é etão f p + q + r e é etão f p + q + r pode ser represetada pela Fgura 6. Π w N w p ;q ;r w f Σ f Π w N w p ;q ;r w f camada camada camada 3 camada 4 camada 5 Fgura 6. rqutetura típca de um modelo NFIS arqutetura do NFIS é composta por 5 camadas os ós da camada e 4 são adaptatvos sedo seus valores os parâmetros das partes atecedetes e coseqüetes da regra respectvamete. Fgura 6 apreseta a arqutetura NFIS equvalete ao mecasmo do racocío utlzado para o modelo do tpo de Takag-Sugeo ode os ós stuados a mesma camada desempeham tarefas smlares. Cada camada da rede eural realza um processo específco a ferêca da saída do sstema com os ós das camadas adacetes coectadas etre s coforme descrto a segur: Camada : Os ós desta camada são represetados por: O 50 ode é o úmero de varáves e é o úmero regras. Os ós são costtuídos pelos coutos fuzz assocados às varáves de etrada. saída de

45 45 cada ó é o grau de pertêca do valor ao couto fuzz. Todos os ós são adaptatvos possuem parâmetros que podem ser austados e as fuções de pertêcas podem ser defdas de váras maeras; tragulares trapezodas gaussaas sgmódes e outras com a restrção de que estas fuções devem ser dferecáves. fução de pertêca do tpo gaussaa possu formato do tpo de so com magem o tervalo [0] defda por: c ep σ e c σ 5 ode é o úmero de varáves e é o úmero regras é a varável de etrada e c e σ são os parâmetros austáves das fuções de pertêcas e deomados parâmetros atecedetes os quas são coefcetes ão leares e correspodem ao cetro e a varabldade da fução de pertêca. Camada : Cada ó desta camada é ão adaptatvo ão tem parâmetros para serem austados e tem como saída w o produto dos sas de etrada de suas etradas: w O w. 5 Cada saída w correspode à tesdade de dsparo de uma regra ou sea calcula com que grau de pertêca o coseqüete da regra está sedo ateddo. Os eurôos desta camada smbolzam a operação de T-orma e em geral se pode utlzar outro operador em lugar do produto. Para regras que empregam o coectvo e os operados mas usados são o produto e o operador mímo dado por: O w m ;. 53 Camada 3: Os ós desta camada ão são adaptatvos. saída deste ó é defda por w como a razão etre a tesdade de dsparo da -ésma regra e a soma dos w

46 46 dsparos de todas as outras regras deomada de tesdade de dsparo ormalzado dada por: 3 O w w w w w + w ;. 54 ormalzação é utlzada como um pré-processameto para a defuzzfcação do sstema. Camada 4: Cada ó desta camada é adaptatvo e seus parâmetros p q e r correspodem à parte do coseqüete de cada regra do modelo. s saídas são calculadas pelo produto etre os íves de dsparos ormalzados e o valor do coseqüete da regra. ssm a saída f f w p q r correspode à saída parcal da -ésma regra dada por: 4 O f w p + q r + 55 ode w é a saída da camada 3 e { p q r } é o couto de parâmetros do coseqüete de cada regra ou sea os valores p q e r correspodem aos coseqüetes sgletos ou aos coseqüetes do modelo de Takag-Sugeo de prmera ordem combações leares das etradas. Camada 5: Esta camada é costtuída por um úco ó ão adaptatvo. O ó desta últma camada da arqutetura calcula a saída do sstema e utamete com os ós das camadas 3 e 4 promove a defuzzfcação do sstema. sua saída f f f que é a saída global do f modelo é defda como a soma de todas as saídas parcas f : O f f apredzagem do sstema NFIS tem dos coutos de parâmetros que devem ser treados: os parâmetros do atecedete que são as costates que caracterzam as fuções de pertêcas e os parâmetros do coseqüete que são os parâmetros leares da saída do modelo de ferêca. apredzagem do modelo NFIS emprega algortmos do gradete descedete para otmzar os parâmetros do atecedete e o algortmo de mímos quadrados