Universidade Federal de Viçosa

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1 1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Lista de Taxas Relacionadas - MAT Ímpares entre 9 e Uma pessoa que solta um papagaio(uma pipa) segura a corda a 1,5m do solo. A corda é liberada a razão de 0.6 m/s na medida em que o papagaio(a pipa) se move horizontalmente a uma altura de 33,5m. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa na qual o papagaio(a pipa) está se movendo no instante em que foram liberados 38m de corda. Resolução: Vamos inicialmente identificar os dados do problema (essa é a primeira coisa a se fazer em exercícios de taxas relacionadas). Foram dados a distância entre o início da corda (na mão da pessoa) e o chão que é de 1,5m. A distância entre a pipa e o chão que é de 33,5m e também a variação no tempo com que a corda é liberada da mao da pessoa, que é 0,6m/s e se pede a variação do movimento horizontal da pipa, no tempo. Como vimos, a segunda parte em resolver problemas de taxas consiste em modelar o problema geometricamente a partir dos dados informados. O modelo geométrico aqui, é compatível com um triângulo retângulo. Vamos denotar por z a função que nos dá a cada tempo t o tamanho de corda entre a mao da pessoa e a pipa (seria a hipotenusa do nosso triângulo) e desse modo a frase A corda é liberada a razão de 0.6 m/s é descrita como dz = 0, 6m/s. Por x a função que nos dá a cada tempo t a distância entre a pessoa e a projeção vertical da pipa no chão (será o cateto adjacente do nosso triaângulo) Perceba que ao movimentar-se horizontalmente, estamos variando o x no tempo t, logo estamos interessados em calcular dx, quando z = 38 O cateto oposto do nosso triângulo será (33,5-1,5)m = 32m. Agora, a pergunta chave para a resolução: a derivação implicita será feita em qual igualdade envolvendo as funções x e z?

2 2 Por Pitágoras segue que z 2 = x 2 + y 2. É aqui que vamos derivar em relação ao tempo t, observando que estamos supondo apenas as variações de z e x no tempo t enquanto que y que é a altura da pipa está constante. Logo, = 0. Derivando a igualdade z 2 = x 2 + y 2 (implicitamente) em termos de t, temos: 2z dz = 2xdx + 2y.0 = 2xdx Quando z = 38m devemos saber quanto vale x. Temos, 38 2 = x x = = Assim, podemos substituir os valores de dz = 0, 6m/s, z = 38m e x = na equação 2z dz = 2xdx, donde dz = 2 210m 38.(0, 6)m 2 /s = m/s Considere um avião em voo horizontal, a uma altura h em relação ao solo, com velocidade constante v afastando-se de um observador A que se encontra em terra firme. Seja θ a elevação angular do avião, em relação ao solo, a partir do observador. Determine em função de θ a taxa de variacao de θ em relação ao tempo. Resolução: Inicialmente, quais são os dados do problema? Temos a altura h do avião que voa horizontalmente com velocidade constante (lembre-se que velocidade é a variação de espaço no tempo) e também o ângulo θ que é a elevação angular do avião em relação ao solo, a partir do observador. Vamos modelar o problema. Novamente, o problema sugere um modelo triangular, onde o cateto oposto ao ângulo θ é h e podemos definir como x a distancia entre a projeção vertical do avião e o observador. Vamos orientar nossa positividade para a direita e para cima. Nesses moldes, os dados são reescritos como: h, dx = v (pois como no nosso desenho, o avião está indo para a esquerda do observador, que é o sentido negativo do nosso referencial) e queremos encontrar dθ em termos de θ.

3 3 A pergunta chave: a derivação implicita será feita em qual igualdade envolvendo as funções dependentes do tempo t (θ(t) e x(t))? Podemos usar que tan(θ) = h x e derivando implicitamente, temos sec 2 (θ) dθ = h dx x 2 Observe que na derivação acima, foi usado que o h é constante pois não estamos variando a altura do avião, apenas seu movimento horizontal e angular em relação ao observador. Então substituindo dx = v, segue que sec 2 (θ) dθ = h dx x 2 = vh x 2. Mas x = h tan(θ). Substituindo esse x em sec2 (θ) dθ = vh x e passando o 2 sec2 (θ) dividindo para o lado direito, se tem que dθ = vh 1 x 2 sec 2 (θ) = tan2 (θ)v hsec 2 (θ).

4 Num instante de tempo dado o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é de 10m e esta aumentando a uma razão de 1m/s, enquanto o outro cateto tem comprimento de 12m,e diminui a razão de 2m/s. Determine a taxa de variação em relacão ao tempo do ângulo oposto ao cateto que nesse instante mede 12m. Resolução: Foram dados os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo num determinado momento de tempo t e bem como as variações de crescimento ou descrescimento no tempo de cada um. Modelando como na figura, e orientando a positividadoe no nosso referencial para a direita e para cima, nossos dados se tornam: 12m de cateto oposto a um ângulo θ (ângulo este que varia com o tempo t), 10m de cateto adjacente e sendo y e x as funções que nos dão os valores dos catetos oposto e adjacente respectivamente, conforme o tempo t vai passando, temos dx = 1m/s e = 2m/s. Podemos usar a equação tan(θ) = y para modelar nosso problema. Derivando implicitamente, x temos sec 2 (θ) dθ x. = y.dx x 2 Como sec 2 (θ) = 1 + tan 2 (θ) = 1 + y2 x = x2 + y 2. Daí, substituindo sec 2 (θ) em 2 x 2 Temos, ( dθ x. = y.dx x 2 ) 1 sec 2 (θ) ( )( dθ x 2 x. = y.dx x 2 + y 2 x 2 E agora, jogando os dados x = 10m,y = 12m, dx = 1m/s e ) = 2m/s é possivel calcular o que queríamos que era dθ rad/s [Lembre-se que usamos rad/s para unidade de medida angular.] 15 - Um cabo de 48m de comprimento passa por uma polia que esta a 23m do chão. Num dos extremos é fixado um corpo, o outro extremo é mantido a 5m do chão por um homem que se afasta da vertical da polia a 5m/s. Qual a rapidez de elevação do corpo quando o homem se encontra a 24m da vertical que contém a polia. Resolução: Foram dados o comprimento da corda(48m), a altura da polia(23m), a distância da corda na mão do homem até o solo (5m) e a velocidade (lembre-se, velocidade é espaço por tempo(t) percorrido) com que o homem se movimenta (5m/s).

5 5 Nosso modelo tem um triângulo retângulo como caracterização geometrica. Seja y descrevendo a altura do corpo, x o movimento horizontal do homem. Desse modo,a velocidade com que o homem se movimenta é dada por dx = 5m/s enquanto que o que queremos encontrar(a rapidez de elevação do corpo quando o homem se encontra a 24m da vertical que contém a polia) é dado por. Seja z referente a hipotenusa desse triângulo. Observe que há dois movimentos acontecendo, o horizontal(em x) do homem e o vertical(em y) do corpo. Não há movimento em z, ou seja, o

6 6 homem não está parado, puxando a cabo. Logo dz = 0 Por Pítagoras, segue que z 2 = x 2 + y 2 e derivando em termos de t, temos 2z dz = 2xdx + 2y 0 = 2xdx + 2y = x dx y Como y = 18m e x = 24m, resulta que = 24m 5m/s = 20 18m 3 m/s 17 - Uma roda gira de tal modo que o ângulo de giro é proporcional ao quadrado do tempo. A primeira volta foi feita em 8s. Determinar a velocidade angular ω depois de 32s de iniciado o movimento Resolução: Seja θ o ângulo de giro. Inicialmente perceba que θ varia conforme o tempo t, sendo assim podemos escrever θ como uma função, ou seja, θ(t). Ser proporcional ao quadrado do tempo, significa que existe um número k, de modo que θ(t) = kt 2, onde t denota o tempo. Se para dar uma volta completa (2πrad) foram gastos 8 segundos, então a constante k pode ser determinada da seguinte forma: θ(8s) = k(8s) 2 k = π 32 rad/s2 Queremos saber a velocidade ângular ω. Lembremos que a velocidade ângular é dada por ω = dθ. Derivando a equação θ(t) = kt2 em termos de t temos: dθ = k2t.

7 7 Substituindo os valores de t = 32s e k = π 32 rad/s2 segue que: dθ = π s.rad/s2 dθ = 2πrad/s 19 - As arestas de um tetraedro regular medem 10 cm e crescem a uma razão de 0,1cm/min. Qual a taxa de variação do seu volume? Resolução: Foram dados a medida dos lados do tretradédro regular que é de 10cm (o tetraedro regular tem 6 arestas congruentes e 4 faces congruentes, logo, todas suas arestas tem o mesmo valor) e a taxa de variação que elas crescem, que é de 0,1cm/min. Seja x denominando o crescimento de cada aresta no tempo t. O volume de um tetraedro é dado por V tetraedroregular = a3 2 12, onde a é denota as arestas deste tetraedro. Perceba que o volume depende do tempo, assim como o próprio x. Derivando-a, temos dv tetraedroregular = 3x2 2 dx 12 Substituindo os valores dados, temos dv tetraedroregular = 3(10cm) , 1cm/min = cm 2 cm/s = 10 2 cm 3 /s 4

8 A um reservatório semiesférico de raio 10m está sendo bombeada água a uma taxa constante de 4,3 m 3 /min. Qual a velocidade com a qual o nível da água sobe quando a profundidade é de 5m? Resolução:Esse exercício é bem parecido com o que veremos a seguir, o de número 23. Foram nos informado o formato do reservatório, o raio da tampa do reservatório(ele é semiesférico, ou seja, metade de um esfera) que é de 10m, o nível de água suposto que é de 5m e que diminui a uma taxa constante de 4,3 m 3 /min. Isso nada mais é do que uma variação de volume no tempo. Ou seja, dv = 4, 3m3 /min. É justamente o volume V que vamos usar para encontrar a equação que precisamos para derivar implicitamente em termos do tempo t. Seja y a altura da água dentro do reservatório. Estamos querendo saber quanto é, quando y é 5m. Por se tratar de uma figura geometrica semiesférica vamos usar na modelagem a metade do volume de uma esfera. Ou seja, V = πr3 = 2 3 πr3. Mas a princípio não sabemos como podemos escrever esse raio r em função de y. Por semelhançade de triângulos temos: 10/y = 10/r. Donde y = r. Substituindo no lugar de r, o y da altura, temos:. dv = dv = 2πy2 Ao substituir agora os valores dados, dv = 4, 3m3 /min e y = 5m. Tem-se, 4, 3m 3 /min = dv = dv. = 2πy2 = 2π(5m)2 = 4, 3m3 /min 50πm 2 = 4, 3 50π m/min

9 Um reservatório esférico de raio 10m esta sendo esvaziado. Se nível da água do reservatório está em 5m e está diminuindo a uma taxa constante de 3m 3 /s, como diminui o raio da superfície da água? Resolução: Como já fizemos anteriormente, vamos reunir informações sobre a situção. Sabemos que por se tratar de uma figura geométrica esférica (formato do reservatório), devemos saber informações sobre tal sólido, em particular, nesse caso devemos saber seu volume, que é dado por V esfera = V = 4 3 πr3, onde r é o raio da esfera. Perceba que ao esvaziar a esfera, o raio da superficie circular de água contida na esfera, varia. Ou seja, para cada tempo t, temos um raio r diferente. Foram dados o raio da esfera r = 10m, o nível de água que é de 5m e foi dada também a variação de volume que diminui no tempo que é de 3m 3 /s, ou seja, dv = 3m3 /s(o sinal de negativo é advindo do fato do volume estar diminuindo). Queremos saber a que taxa diminui o raio da supericie no tempo. Ou seja, encontrar dr. Já falamos que as taxas relacionadas são aplicações das derivadas implicitas. Nesse caso, nossa variável implicita é o tempo t, e ao derivar a função volume, temos: dv = dv dr Falta saber quem é esse dv dv. Basta derivar a função volume em termos de r. Ou seja, dr dr = ( ) 4 3 πr3 = 4πr 2. Vamos querer justamente saber o que acontece com dr, quando esse r é 5m. Segue que, 3m 3 /s = dv = dv dr dr dr = 4πr2 = 4π(5m)2 dr Donde, dr. dr = 3m3 /s 4π25m 2 = 3 100π m/s