VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE ESCOAMENTOS REATIVOS EM MOTORES-FOGUETE

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1 LUCIANO KIYOSHI ARAKI VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE ESCOAMENTOS REATIVOS EM MOTORES-FOGUETE Ts prsntd como rqisito prcil pr obtnção do gr d Dotor m Ciêncis no Crso d ós-grdção m Métodos Nméricos m Engnhri d Univrsidd Fdrl do rná. Orintdor: rof. Dr. Crlos Hnriq Mrchi. CURITIBA 007

2 Arki, Lcino Kiyoshi Vrificção d solçõs nmérics d scomntos rtivos m motors-fogt / Lcino Kiyoshi Arki. Critib, 007. f. : il., grfs., tbs. Orintdor: Crlos Hnriq Mrchi Ts (Dotordo) Stor d Tcnologi, Univrsidd Fdrl do rná, Crso d ós-grdção m Métodos Nméricos m Engnhri. Incli Bibliogrfi. 1. Dinâmic dos flidos.. Método dos volms finitos. 3. Anális d rros (Mtmátic). 4. Escomnto. I. Mrchi, Crlos Hnriq. II. Títlo. III. Univrsidd Fdrl do rná. CDD 53.05

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4 A Ds, por tdo. Aos ms pis, irmã, otros fmilirs migos.

5 RESUMO O nfoq dst trblho é dtrminção d stimtivs d rros nméricos m simlçõs d scomnto ni bidimnsionl rtivo (o não) no intrior d tbirs, mprgndo-s como pr proplnt oxigênio hidrogênio (LOX/LH ). Cinco difrnts modlos físicos são stddos: dois nvolvndo scomnto monospéci (com propridds constnts com propridds vriávis) três modlos d scomnto mltispéci rtivo (scomnto congldo, m qilíbrio qímico locl dsqilíbrio qímico). Difrnts modlos d rçõs qímics são considrdos pr os csos d scomnto mltispéci, prsntndo dsd o cso idl (com pns três spécis qímics sm rçõs d dissocição) té modlos d oito spécis qímics (com dzoito rçõs d dissocição). São fits náliss d rros, obtndo-s ordm prnt stimtiv d rro bsd no stimdor GCI, qndo possívl, tmbém ordm ftiv o rro nmérico vrddiro. Apsr d srm problms d grnd intrss prático, não xistm mitos trblhos q nvolvm nális d rros pr problms do tipo hiprbólico, m spcil qndo são stddos scomntos rtivos. Como rsltdo principl, form obtids solçõs d rfrênci, inclindo ss rspctivs incrtzs nmérics, pr scomntos ni bidimnsionis rtivos (o não) m motors-fogt. Vrifico-s q os modlos d sis spécis são os mis dqdos à tilizção m modlos d scomnto rtivo, por prsntrm mnor tmpo d CU rsltdos qivlnts modlos qímicos mis complxos. Obsrvo-s, otrossim, q não são ncssáris mlhs mito rfinds, pr q ordm d grndz d incrtz nméric sj qivlnt à incrtz xprimntl. Dst form, m plicçõs prátics, cjo foco não sj o stdo d rros nméricos /o implmntção d novos modlos mtmáticos, pod-s tilizr mlhs rltivmnt grossirs, com bons rsltdos. lvrs-chv: Dinâmic dos Flidos Comptcionl, Método dos Volms Finitos, Motors-Fogt, Escomntos Rtivos, Estimtivs d Erro Nmérico.

6 ABSTRACT This work is focsd on th dtrmintion of nmricl ncrtintis of on- nd twodimnsionl (non-) rctiv flows simltions in rockt ngins, sing s propllnts th pir liqid oxygn nd liqid hydrogn (LOX/LH ). Fiv diffrnt physicl modls r stdid: two involving on-spcis flow (with constnt proprtis nd with vribl proprtis) nd th othr thr for rctiv mlti-spcis flow (frozn, locl qilibrim nd non-qilibrim flows). Diffrnt chmicl rction schms r considrd for th mlti-spcis flow css, prsnting from th idl cs (with only thr chmicl spcis nd withot dissocition rctions) to ight spcis modls (with ightn dissocition rctions). Error nlyss r md, obtining th pprnt ordr nd th nmricl ncrtinty bsd on GCI stimtor; whn it ws possibl, lso th ffctiv ordr nd th tr nmricl rror wr clcltd. Dspit th importnc in prcticl pplictions, thr r only fw works whr th rror nlyss r md for hyprbolic problms, spcilly for rctiv flows. Rfrnc soltions, inclding thir rspctiv nmricl ncrtintis, for on- nd two-dimnsionl (non-) rctiv flows in rockt ngins wr obtind s th min rslt. It ws vrifid tht th six spcis modls wr th most dqt for th s on rctiv flow modls, bcs of thir highr prformnc on CU tim nd th qivlnc btwn thir rslts nd th othr ons obtind with mor complx chmicl modls. It ws lso obsrvd tht it is not ncssry vry rfind grids to th nmricl ncrtintis chiv th sm mgnitd of xprimntl ons. Bsd on this, for prcticl pplictions, whos focs is not th nmricl rror stdy nd/or nw mthmticl modls implmnttion, not so rfind grids cn b sd, with good rslts. Kywords: Compttionl Flid Dynmics, Finit Volms Mthod, Rockt Engins, Rctiv Flows, Nmricl Error Estimts.

7 AGRADECIMENTOS Agrdço m orintdor, profssor Crlos Hnriq Mrchi, por s pciênci orintção nst ts, bm como por todo o conhcimnto por l m trnsmitido. Agrdço, tmbém, ms fmilirs migos, m spcil àqls do Ln, stndo ls fisicmnt próximos o não, ms q m póim, colborm com st trblho /o jdm-m nfrntr st jornd. Ms sincros grdcimntos, tmbém, todos ms profssors, pois não sri possívl rlizr st mprndimnto sm os conhcimntos por ls m forncidos. Gostri, tmbém, d grdcr à Mristl, por s mpnho n scrtri do crso d pósgrdção por s mpnho, smpr q lgo m foi ncssário. Gostri d grdcr, tmbém, à Coordnção d Aprfiçomnto d ssol d Nívl Sprior (CAES) à Agênci Espcil Brsilir (AEB) plo sport finnciro, sj n form d bols, sj n form d qipmntos. E tmbém à Univrsidd Fdrl do rná (UFR), trvés do Dprtmnto d Engnhri Mcânic (DEMEC) do rogrm d ós-grdção m Métodos Nméricos m Engnhri (GMNE), pl disponibilidd d spço físico qipmntos fins. or último, ms não mnos importnt, grdço os mmbros d bnc, Dr. José Nivldo Hinckl, Dr. António Fábio Crvlho d Silv, Dr. Mrcos Crvlho Cmpos Dr. Hmbrto Vidl, por todo o tmpo dispndido, sgstõs crítics pontds pr st trblho.

8 LISTA DE FIGURAS Figr.1: Tipos d tbirs: () cônico, com smi-ânglo d 15º; (b) tipo sino; (c) tipo sino modificdo (prbólico) [dptdo d Stton Biblrz (001)]...34 Figr.: Tbirs do tipo cônico do tipo sino (modificdo) [dptdo d Stton Biblrz (001)]...35 Figr 3.1: Condiçõs d contorno pr o scomnto 1D n tbir Figr 3.: Condiçõs d contorno plicds à tbir D Figr 4.1: râmtros gométricos do motor-fogt. Font: Mrchi t l. (000; 004) Figr 4.: Mlh nidimnsionl com 80 volms d control (gomtri cossnoidl) Figr 4.3: Comportmnto do coficint d dscrg x númro d itrçõs pr mlhs d: () 10 (b) 180 volms d control Figr 4.4: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr o coficint d dscrg...94 Figr 4.5: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr o mpxo dinâmico dimnsionl Figr 4.6: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr prssão n síd d tbir Figr 4.7: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr tmprtr n síd d tbir Figr 4.8: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr vlocidd n síd d tbir Figr 4.9: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr o númro d Mch n síd d tbir...95 Figr 4.10: Eftividd pr o coficint d dscrg (C d ) Figr 4.11: Eftividd pr o mpxo dinâmico dimnsionl (F*)...97 Figr 4.1: Eftividd pr prssão n síd d tbir ( x ) Figr 4.13: Eftividd pr tmprtr n síd d tbir (T x ) Figr 4.14: Eftividd pr vlocidd n síd d tbir ( x ) Figr 4.15: Eftividd pr o númro d Mch n síd d tbir (M x )...99 Figr 4.16: Comprção ntr os logritmos dcimis do rro vrddiro (E) ds stimtivs d rro (U) pr o coficint d dscrg (C d ) Figr 4.17: Comprção ntr os logritmos dcimis do rro vrddiro (E) ds stimtivs d rro (U) pr tmprtr n síd d tbir (T x ) Figr 4.18: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr C d ), pr m mlh d 80 volms d control

9 Figr 4.19: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr F*), pr m mlh d 80 volms d control Figr 4.0: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr m mlh d 80 volms d control Figr 4.1: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr T x ), pr m mlh d 80 volms d control Figr 4.: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr m mlh d 80 volms d control Figr 4.3: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr M x ), pr m mlh d 80 volms d control...11 Figr 4.4: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr C d ), pr mlh d 80 volms d control Figr 4.5: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr F*), pr mlh d 80 volms d control Figr 4.6: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr mlh d 80 volms d control Figr 4.7: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr T x ), pr mlh d 80 volms d control...10 Figr 4.8: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr mlh d 80 volms d control...10 Figr 4.9: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr M x ), pr mlhs d 80 volms d control...11 Figr 4.30: Comportmnto do coficint d dscrg x númro d itrçõs (mlh d 80 volms)...13 Figr 5.1: rfil d m tbir tilizd ns simlçõs D [Font: Bck t l. (1965)] Figr 5.: rfil d m tbir prbólic, tilizd ns simlçõs D Figr 5.3: Mlh mprgd n discrtizção d tbir prbólic (mlh d 0x6 volms d control) Figr 5.4: Distribição d prssão o longo d prd do motor-fogt tbir d Bck t l. (1965), mlh d 70x80 volms d control Figr 5.5: Distribição d prssão o longo d prd do motor-fogt (modlos monospéci) tbir d Bck t l. (1965), mlh d 70x80 volms d control...145

10 Figr 5.6: Estimtivs d incrtz nméric (modlo qímico 4), m módlo, pr tmprtr n síd d tbir prbólic (linh d simtri) Figr 5.7: Estimtivs d incrtz nméric (modlo qímico 4), m módlo, pr o mpxo no váco (tbir prbólic)...15 Figr 5.8: Cmpo d tmprtrs no intrior d tbir prbólic (mlh d 80x4 volms d control, modlo qímico 4, scomnto congldo) Figr 5.9: Cmpo d prssão no intrior d tbir prbólic (mlh d 80x4 volms d control, modlo qímico 4, scomnto congldo) Figr 5.10: Isolinhs pr númros d Mch no intrior d tbir prbólic (mlh d 80x4 volms d control, modlo qímico 4, scomnto congldo) Figr 5.11: Vtors d vlocidd númros d Mch no intrior d tbir prbólic (mlh d 80x4 volms d control, modlo qímico 4, scomnto congldo) Figr 5.1: Comportmnto d ordm prnt pr o coficint d dscrg, o mpxo no váco o implso spcífico (modlo qímico 4), mprgndo-s tbir prbólic fnçõs d intrpolção: () UDS; (b) CDS Figr 5.13: Comportmnto d ordm prnt pr prssão, tmprtr vlocidd xil n síd d tbir (ixo d simtri, modlo qímico 4), mprgndo-s tbir prbólic fnçõs d intrpolção: () UDS; (b) CDS Figr 5.14: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr C d ), pr mlh d 80x4 volms d control Figr 5.15: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr F), pr mlh d 80x4 volms d control Figr 5.16: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr I sp ), pr mlh d 80x4 volms d control Figr 5.17: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr mlh d 80x4 volms d control Figr 5.18: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr T x ), pr mlh d 80x4 volms d control Figr 5.19: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr mlh d 80x4 volms d control Figr 5.0: Cmpo d tmprtrs o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms)...165

11 Figr 5.1: Cmpo d prssõs o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms d control) Figr 5.: Cmpo d frçõs mássics d H O o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms) Figr 5.3: Isolinhs d númros d Mch o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms) Figr 5.4: Vtors d vlocidd distribição d númros d Mch o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms d control) Figr 5.5: Comportmnto d ordm prnt pr divrss vriávis d intrss (tbir prbólic, modlo qímico 31, fnção d intrpolção UDS)...169

12 LISTA DE TABELAS Tbl.1: Modlos qímicos dotdos nos códigos ni bidimnsionis implmntdos (pr os scomntos congldo m qilíbrio qímico locl) Tbl 3.1: Modlos d rçõs qímics implmntds no progrm Mch1D 5.0, pr scomnto m dsqilíbrio qímico Tbl 3.: Vlors dos coficints pr qção trnsformd grl Tbl 4.1: râmtros gométricos, prâmtros físicos microcomptdor tilizdos nos stdos ftdos...88 Tbl 4.: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d scomnto monospéci com propridds constnts...90 Tbl 4.3: Solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [solção nlític: 1,0] Tbl 4.4: Solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [solção nlític: 1, x10 3 K] Tbl 4.5: Ordns prátics d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [ p L ]....9 Tbl 4.6: Ordns prátics d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [ p L ]...93 Tbl 4.7: Eftividd pr o coficint d dscrg (C d )...96 Tbl 4.8: Eftividd pr tmprtr n síd d tbir (T x )...96 Tbl 4.9: Rsltdos nméricos ss rros stimdos (com stimdor GCI) pr s vriávis d intrss Tbl 4.10: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d scomnto monospéci com propridds vriávis...10 Tbl 4.11: Ordns prátics d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [p L : ] stimtiv U GCI, tilizndo R 461,53 J/kgK Tbl 4.1: Ordns prátics d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [p L : ] stimtiv U GCI, tilizndo R 461,53 J/kgK Tbl 4.13: Rsltdos ss rspctivs incrtzs nmérics pr s vriávis d intrss (mlh d 80 volms) Tbl 4.14: Rsltdos ss rspctivs incrtzs nmérics pr s vriávis d intrss (mlh d 560 volms)...104

13 Tbl 4.15: Rsltdos ss rspctivs incrtzs nmérics pr s vriávis d intrss (mlh d 1040 volms) Tbl 4.16: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d scomnto congldo Tbl 4.17: Rsltdos d convrgênci pr o scomnto congldo Tbl 4.18: Composição qímic pr os divrsos modlos qímicos do scomnto congldo (rsltdos do código CEA tilizdos como rfrênci) Tbl 4.19: Ordns prátics d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [p L : ] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 5) Tbl 4.0: Ordns prátics d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [p L : ] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 5) Tbl 4.1: Modlos físicos prsntdos ns Figrs Tbl 4.: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d scomnto m qilíbrio qímico locl Tbl 4.3: Rsltdos gris d convrgênci (modlos 0, 1 ) Tbl 4.4: Rsltdos gris d convrgênci (modlos 3, 4, 5, 7, 9 10) Tbl 4.5: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [p L : 1] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 3) Tbl 4.6: Ordm prnt d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [p L : 1] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 3) Tbl 4.7: Modlos físicos prsntdos ns Figrs Tbl 4.8: Ddos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d dsqilíbrio qímico...1 Tbl 4.9: Ddos gris d convrgênci (modlos 31 3) Tbl 4.30: Ddos gris d convrgênci (modlos 5, 7 10) Tbl 4.31: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [p L : 1] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 31)...15 Tbl 4.3: Ordm prnt d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [p L : 1] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 31) Tbl 4.33: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr o coficint d dscrg, mpxo dinâmico dimnsionl prssão n síd d tbir, inclindo rros nméricos stimdos (mlhs d 80 volms)...16

14 Tbl 4.34: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr tmprtr, vlocidd o númro d Mch (todos n síd d tbir), inclindo rros nméricos stimdos (mlh d 80 volms)...17 Tbl 4.35: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr o coficint d dscrg, mpxo dinâmico dimnsionl prssão n síd d tbir, inclindo rros nméricos stimdos (mlhs d 560 volms)...18 Tbl 4.36: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr tmprtr, vlocidd o númro d Mch (todos n síd d tbir), inclindo rros nméricos stimdos (mlh d 560 volms)...19 Tbl 4.37: Comprção ntr tmpos d CU pr divrsos modlos físicos, mprgndo-s difrnts mlhs Tbl 5.1: râmtros gométricos, físicos nméricos microcomptdor tilizdos nos stdos mprgndo-s tbir d Bck t l. (1965) Tbl 5.: râmtros gométricos, físicos microcomptdor tilizdos nos stdos mprgndo-s gomtri prbólic Tbl 5.3: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds pr o scomnto D monospéci (r) com propridds constnts tbir d Bck t l. (1965) tolrânci d pr o rsído Tbl 5.4: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds pr o scomnto D monospéci (H O) com propridds constnts - tbir prbólic Tbl 5.5: Solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [solção nlític: 9, x10-1 ] - tbir prbólic Tbl 5.6: Ordns prátics d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) tbir prbólic Tbl 5.7: Eftividd pr o coficint d dscrg (C d ) tbir prbólic Tbl 5.8: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico (I sp ), stimtiv U GCI (scomnto monospéci com propridds constnts) tbir prbólic...14 Tbl 5.9: Rsltdos nméricos ss rros stimdos (com stimdor GCI) pr s vriávis d intrss tbir prbólic Tbl 5.10: Rsltdos gris ds simlçõs com o modlo d scomnto D monospéci (H O) com propridds vriávis tbir prbólic

15 Tbl 5.11: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds pr o scomnto D monospéci (r) com propridds vriávis tbir d Bck t l. (1965) tolrânci d pr o rsído Tbl 5.1: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico tbir prbólic Tbl 5.13: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico no váco (I sp ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico tbir prbólic Tbl 5.14: Rsltdos nméricos ss rros stimdos (com stimdor GCI) pr s vriávis d intrss (scomnto monospéci com propridds vriávis) tbir prbólic Tbl 5.15: Rsltdos gris ds simlçõs com o modlo d scomnto congldo D mprgndo-s gomtri prbólic Tbl 5.16: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo qímico 4) tbir prbólic Tbl 5.17: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico no váco (I sp ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo qímico 4) tbir prbólic Tbl 5.18: Rsltdos rspctivs incrtzs nmérics pr o coficint d dscrg, o mpxo no váco o implso spcífico (no váco), pr mlh d 30x96 volms tbir prbólic Tbl 5.19: Rsltdos rspctivs incrtzs nmérics pr prssão, tmprtr, vlocidd xil frção mássic d H O n síd d tbir (linh d simtri), pr mlh d 30x96 volms tbir prbólic Tbl 5.0: Rsltdos gris ds simlçõs com o modlo d scomnto m qilíbrio qímico locl D mprgndo-s gomtri prbólic Tbl 5.1: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo qímico 4) tbir prbólic Tbl 5.: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico no váco (I sp ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo qímico 4) tbir prbólic Tbl 5.3: Rsltdos rspctivs incrtzs nmérics pr o coficint d dscrg, o mpxo no váco o implso spcífico, pr mlh d 30x96 volms tbir prbólic

16 Tbl 5.4: Rsltdos rspctivs incrtzs nmérics pr prssão, tmprtr, vlocidd xil frção mássic d H O n síd d tbir (linh d simtri), pr mlh d 30x96 volms tbir prbólic Tbl 5.5: Modlos físicos prsntdos ns Figrs Tbl 5.6: Rsltdos gris ds simlçõs com o modlo d scomnto com tx finit d rção D mprgndo-s gomtri prbólic Tbl 5.7: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (sqm UDS) tbir prbólic Tbl 5.8: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico no váco (I sp ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (sqm UDS) tbir prbólic Tbl 5.9: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr o scomnto D - vriávis d intrss globis, inclindo incrtz nméric (mlh d 80x4 volms) tbir prbólic Tbl 5.30: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr o scomnto D - vriávis d intrss locis (síd d tbir, sobr linh d simtri d msm), inclindo incrtz nméric (mlh d 80x4 volms) tbir prbólic...171

17 SUMÁRIO RESUMO...3 ABSTRACT...4 LISTA DE FIGURAS...6 LISTA DE TABELAS...10 LISTA DE SÍMBOLOS INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO DO ROBLEMA MOTIVAÇÃO OBJETIVOS ORGANIZAÇÃO DA TESE RESUMO DO CAÍTULO FOGUETES GENERALIDADES ANORAMA HISTÓRICO Gomtri Modlos nidimnsionis Métodos nlíticos Exprimntção Códigos comptcionis ARÂMETROS DE INTERESSE REAÇÕES QUÍMICAS RESUMO DO CAÍTULO MODELAGEM COMUTACIONAL E ESTIMATIVA DE ERROS MODELOS UNIDIMENSIONAIS Modlos físicos Modlo mtmático...66

18 Modlo nmérico Condiçõs d contorno Algoritmo do código Mch1D MODELOS BIDIMENSIONAIS Modlos físicos Modlo mtmático Modlo nmérico Condiçõs d contorno Algoritmo do código MchD ESTIMATIVA DE ERROS Gnrlidds Estimdors d rro RESUMO DO CAÍTULO RESULTADOS NUMÉRICOS UNIDIMENSIONAIS ARÂMETROS GERAIS ESCOAMENTO MONOESÉCIE COM RORIEDADES CONSTANTES ESCOAMENTO MONOESÉCIE COM RORIEDADES VARIÁVEIS ESCOAMENTO CONGELADO ESCOAMENTO EM EQUILÍBRIO QUÍMICO LOCAL ESCOAMENTO EM DESEQUILÍBRIO QUÍMICO RESUMO DO CAÍTULO RESULTADOS NUMÉRICOS BIDIMENSIONAIS ARÂMETROS GERAIS D ESCOAMENTO D MONOESÉCIE COM RORIEDADES CONSTANTES ESCOAMENTO D MONOESÉCIE COM RORIEDADES VARIÁVEIS ESCOAMENTO D CONGELADO ESCOAMENTO D EM EQUILÍBRIO QUÍMICO LOCAL ESCOAMENTO D EM DESEQUILÍBRIO QUÍMICO RESUMO DO CAÍTULO CONCLUSÃO CONSTATAÇÕES GERAIS CONTRIBUIÇÕES...176

19 6.3 TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS ANEXO A. Coficints ( ki ) sdos pr dtrminção d propridds trmoqímics ds spécis qímics (c pi, h i g i ) AÊNDICE A. Coficints do modlo nidimnsionl ESCOAMENTO MONOESÉCIE COM RORIEDADES CONSTANTES Eqção d consrvção d qntidd d movimnto linr Cálclo ds vlocidds ns fcs Eqção d nrgi térmic Eqção d mss globl Cálclo d mss spcífic nodl ns fcs Eqçõs d corrção com ESCOAMENTO MONOESÉCIE COM RORIEDADES VARIÁVEIS...19 Eqção d qntidd d movimnto linr...19 Cálclo d vlocidd ns fcs...19 Eqção d nrgi térmic Eqção d mss globl Cálclo d mss spcífic nodl ns fcs Eqçõs d corrção com ' ESCOAMENTO CONGELADO ESCOAMENTO EM EQUILÍBRIO QUÍMICO LOCAL ESCOAMENTO EM DESEQUILÍBRIO QUÍMICO Eqção d nrgi térmic Eqção d mss pr cd spéci AÊNDICE B. Coficints do modlo bidimnsionl COEFICIENTES GERAIS CONDIÇÕES DE CONTORNO...0 Contorno sl (linh d simtri)...03 Contorno nort (prd):...03 Contorno lst (síd):...04 Contorno ost (ntrd):...05

20 AÊNDICE C. Otros rsltdos pr scomnto bidimnsionl...06 ESCOAMENTO MONOESÉCIE COM RORIEDADES CONSTANTES...06 ESCOAMENTO MONOESÉCIE COM RORIEDADES VARIÁVEIS...08 ESCOAMENTO CONGELADO...10 ESCOAMENTO EM EQUILÍBRIO QUÍMICO LOCAL...15 ESCOAMENTO EM DESEQUILÍBRIO QUÍMICO...0

21 LISTA DE SÍMBOLOS Ltrs romns A símbolo d spéci qímic ki coficints pr stimtiv d propridds trmodinâmics pr spéci qímic i C* vlocidd crctrístic [m/s] coficint d dscrg [dimnsionl] C d c p clor spcífico prssão constnt [J/kg K] ( c p ) f clor spcífico congldo prssão constnt [J/kg K] CDS Cntrl Diffrncing Schm D diâmtro [m] E rro nmérico vrddiro ER rzão d xpnsão [dimnsionl] F mpxo dinâmico [N] F* mpxo dinâmico dimnsionl [dimnsionl] F ' forç viscos cislhnt [N] g o clrção d grvidd (o nívl do mr qivl 9,8066 m/s ) h métric d mlh [m] h i ntlpi d spéci qímic i [J/mol o J/kg] i númro d itrçõs I s I sp J k K K C L LH LOX m& M implso spcífico (m nidds SI) [N s/kg, o simplsmnt, m/s] implso spcífico (m nidds sis) [s] jcobino condtividd térmic [W/m K] constnt d qilíbrio bsd ns prssõs prciis constnt d qilíbrio bsd ns concntrçõs molrs númro totl d rçõs qímics hidrogênio molclr líqido oxigênio molclr líqido vzão mássic [kg/s] númro d Mch [dimnsionl]

22 n númro d mols n 0 N OF p númro d mols n rção sm dissocição númro totl d spécis qímics rzão d mistr [dimnsionl] prssão prcil [] prssão totl [] corrção d prssão [] p E p L p U r r c R R R ordm ftiv do rro ordm ssintótic do rro ordm prnt do rro rio [m] rio d crvtr d grgnt [m] constnt do gás (o mistr d gss) m considrção [J/kg K] númro d Rynolds [dimnsionl] constnt nivrsl dos gss (8, J/mol K) S ár d sção trnsvrsl d scomnto [m ] T tmprtr [K] t tmpo [s] t q U UDS X i Y i tmpo d qim [s] vlocidd xil [m/s] incrtz nméric Upstrm Diffrncing Schm frção molr d spéci qímic i frção mássic d spéci qímic i Ltrs grgs β ftor d mistr ntr sqms d intrpolção G j vrição d nrgi livr d Gibbs [J] ε j gr d rção d dissocição j γ rzão ntr clors spcíficos [dimnsionl] ρ mss spcífic (dnsidd) [kg/m 3 ] ν i coficint stqiométrico d spéci i nos rgnts [mols]

23 ν i coficint stqiométrico d spéci i nos prodtos [mols] φ Φ θ ω& i solção nméric d vriávl d intrss solção nlític xt d vriávl d intrss ftividd tx d grção d mss pr spéci qímic i [kg/m 3 s] Sbíndics 0 propridds d stgnção 1 mlh fin mlh gross 3 mlh sprgross w prd dibátic b rção invrs propridd n fc dirit (fc lst) E propridd no volm à dirit (volm lst) x propridds n síd d tbir f rção dirt g propridd dos gss d combstão GCI stimdor GCI ( Grid Convrgnc Indx ) i spéci qímic j rção qímic n propridd n fc sprior (fc nort) N propridd no volm sprior (volm nort) o oxidnt propridd no volm tl (volm ) Ri stimdor d Richrdson s propridd n fc infrior (fc sl) S propridd no volm infrior (volm sl) w propridd n fc sqrd (fc ost) wll propridd n prd W propridd no volm à sqrd (volm ost)

24 Spríndics * indic propridd n sção crític (grgnt) i indic itrção

25 3 1 INTRODUÇÃO Nst cpítlo introdtório é prsntdo o problm trtdo nst trblho, q s constiti n vrificção d rros nméricos pr scomntos rtivos m tbirs. São prsntdos, tmbém, motivção, os objtivos o dlinmnto dst docmnto, bm como m rsmo do cpítlo. 1.1 DEFINIÇÃO DO ROBLEMA A proplsão, m m sntido mplo, é o to d modificr condição d movimnto d m corpo. Mcnismos d proplsão, otrossim, forncm m forç cpz d movr corpos inicilmnt m rposo, mdr m vlocidd otror constnt, o ind, provr forçs contráris o movimnto do corpo, dsclrndo-o (SUTTON BIBLARZ, 001). Três lmntos s fzm ssnciis m m mcnismo d proplsão: m font nrgétic, m dispositivo convrsor d nrgi m mss d jção (normlmnt rprsntd por m gás o por m mistr d gss). Fogts são mcnismos o dispositivos q convrtm nrgi rmznd sob m form convnint, dnomind proplnt (corrspondnt m grl à nrgi qímic) m nrgi cinétic, pssndo por m fs intrmdiári d nrgi térmic. Dntr s divrss fonts nrgétics tilizds n proplsão d fogts, dstcm-s três: proplsão qímic, proplsão nclr proplsão solr. Dntr s três fonts sprcitds, d mis long dt conhcid tilizd é qímic (SUTTON BIBLARZ, 001). Nst sistm, nrgi provnint d rção d combstão dos proplnts qímicos prmit o qcimnto dos gss rsltnts tmprtrs lvds ( K). Esss gss sprqcidos são, ntão, xpndidos trvés d m bocl clrdos lts vlocidds, originndo qntidd d movimnto ncssári pr implsionr o fogt. Os proplnts podm prsntr composição qímic divrs ncontrr-s m difrnts stdos físicos. Dst distinção, srgm difrnts concpçõs projtos, cd ql

26 4 dqd m finlidd. Um clssificção normlmnt dotd pr fogts proplsão qímic é d proplnts sólidos líqidos. Os primiros fogts proplnt sólido form cridos plos chinss há mis d 700 nos. Foi, contdo, prtir do séclo XIX q ár d fogts gnho implso, com os trblhos d Konstntin Edrdovich Tsiolkowski, o primiro obsrvr q conqist spcil só sri possívl trvés do dsnvolvimnto d fogts. Dispositivos d proplnts sólidos prsntm m complxidd d projto mdin, lém d lvdos vlors d mpxo implso spcífico; não são pssívis, contdo, d igniçõs múltipls, o q os torn dqdos pr os stágios iniciis d fogts (BROWN, 1996). Otrossim, por srm os combstívis sólidos pssívis d stocgm, são dqdos pr finlidds militrs. Os fogts proplnts líqidos, por s vz, prsntm mior complxidd d projto, dss form, tmbém miors cstos. ossm, porém, cpcidd d igniçõs múltipls, importnt pr corrçõs d órbit m víclos spciis stélits. Além disso, s prformnc é lvd qndo comprd otros sistms d proplsão qímic (BROWN, 1996). Isto os torn trnts m divrsos projtos, inclindo o proplsor principl prsnt nos ônibs spciis difrnts stágios d fogts, como os ds séris Jpitr, Strn Arin (HUZEL HUANG, 199). Dntr os divrsos prs d proplnts líqidos, dstq é ddo o pr hidrogênio/oxigênio, tilizdo m víclos d séri Strn, bm como no stágio sprior do víclo Cntr no motor principl do Ônibs Espcil (BROWN, 1996; SUTTON BIBLARZ, 001). Dvido o lvdo implso spcífico, bm como o fto d os gss d xstão srm tóxicos o hidrogênio prsntr bos propridds como flido rfrigrnt, tl pr proplnt é m dos mis tilizdos n proplsão líqid. Difrnts modlos físicos qímicos podm sr tilizdos pr modlgm do scomnto rtivo dos gss d combstão o longo d tbir (o motor-fogt), provnints d rção ntr hidrogênio oxigênio. A dtrminção d solçõs nmérics ni bidimnsionis pr tis modlos físicos qímicos, bm como s vrificção, é o scopo dst trblho. A vrificção nméric s fz importnt m vz q simpls obtnção d m solção nméric é insficint pr grntir s confibilidd: dv-s, pr tnto, stimr o rro nmérico ssocido tl solção, q é chmdo d incrtz por Mth (1996). Em grl, obtnção dss incrtz é fit trvés d métodos bsdos n xtrpolção d Richrdson (ROACHE, 1994), tilizndo-s os stimdors d rro. r st trblho, são

27 5 tilizdos os stimdors d Richrdson GCI, Grid Convrgnc Indx (ROACHE, 1994), plicndo-os às vriávis d intrss (locis, como vlocidd tmprtr n síd d tbir, o globis, como o coficint d dscrg). 1. MOTIVAÇÃO Os sistms d proplsão líqid são os principis sistms d proplsão spciis, prmitindo conqist do spço dsd décd d Ss principis vntgns são o lto dsmpnho o fto d q ls são bstnt controlávis m trmos d modlção d mpxo (HABIBALLAH t l., 1998; SUTTON BIBLARZ, 001). Dntr os divrsos fogts qipdos com proplsão líqid, citm-s os fogts stdnidnss Rdston, Jpitr, Thor, Dlt, Atls, Strn o SSME motor principl dos Ônibs Espciis (HUZEL HUANG, 199). Não dvm sr sqcidos, porém, os stágios spriors d fogts dsnvolvidos no Jpão, n Rússi, n Erop n Chin (SUTTON BIBLARZ, 001). D tod nrgi grd no procsso d combstão dos proplnts ( scomnto rtivo d mistr d gss rsltnt), pns d 0,5 5% do totl são trnsfridos às prds d tbir (SUTTON BIBLARZ, 001). Tl qntidd d nrgi, contdo, é sficint pr qcr s strtr, possibilitndo ocorrênci d flhs. Assim, do ponto d vist d projto, prvisão ds crctrístics d trnsfrênci d clor m m câmr-fogt com rfrigrção rgnrtiv é o spcto mis importnt o mis dsfidor do trblho, pr m fogt d lt prformnc (FRÖHLICH t l., 1993). Isto, pois, m sbstimtiv ds tmprtrs lcnçds ns prds d strtr pod diminir significtivmnt vid útil d câmr d tbir. A modlgm dos fnômnos ocorrndo no intrior d câmr d combstão, contdo, não lcnço m nívl stisftório cpz d ssgrr rsltdos qntittivos confiávis (SCHLEY t l., 1996). Além disso, xist m crênci m ddos xprimntis, m spcil qnto os prâmtros tilizdos, pr q sjm rlizds comprçõs com rsltdos xistnts n litrtr, sjm ls xprimntis o nméricos (MARCHI t l., 004). Dst form, pr o projto d m motor-fogt, dv-s primirmnt stdr o scomnto rtivo d mistr d gss d combstão. Nst cso, psr d modlos bi tridimnsionis srm commnt tilizdos, os modlos nidimnsionis ind são

28 6 mprgdos no projto d tbirs, sndo corrigids por coficints mpíricos (FRÖHLICH t l., 1993; SUTTON BIBLARZ, 001). Dst modo, não pns o stdo d modlos bi o tridimnsionis, ms tmbém dos nidimnsionis ind s mostr válido. r qlqr q sj o modlo dotdo (ni, bi o tridimnsionl), dv-s, no ntnto, bscr confibilidd nos rsltdos nméricos, obtndo-s, ntão, crtz d q tis rsltdos rprsntm rlidd. Como frrmnts pr dqirir tl confibilidd, mprgm-s vrificção vlidção (ROY, 005). Como vlidção ntnd-s o procsso d dtrminr o gr com q m dtrmindo modlo é m rprsntção crd do fnômno físico rl (METHA, 1996; ROACHE, 1998; AIAA, 1998). or otro ldo, vrificção consist n qntificção do rro nmérico (METHA, 1996; ROACHE, 1998; AIAA, 1998; FORTUNA, 000), rro st obtido d difrnç ntr solção nlític xt s solção nméric (FERZIGER ERIĆ, 001). Ess qntificção é obtid trvés d tilizção dos stimdors d rro, q são divididos m ds ctgoris: métodos priori postriori (SZABÓ BABUSKA, 1991). A stimtiv d rro priori vis obtnção d ordm do rro d discrtizção, nqnto stimtiv postriori é tilizd ftivmnt pr vlir mgnitd dss rro. Obsrv-s, contdo, q fndmntção tóric sobr nális d rros priori postriori pr problms não-linrs hiprbólicos é mito qém d stisftóri. A stimtiv d rros m problms hiprbólicos tm rcbido m mior tnção pns rcntmnt, psr d s importânci m plicçõs prátics (ZHANG t l., 001), como é o cso ds qçõs q rgm o scomnto sprsônico m m tbir. A prátic d nális d rros pr scomntos m rgim sprsônico, no ntnto, é ind poco difndid: pocos são os trblhos q s procpm m prsntr os rsltdos nméricos crscidos d ss rspctivs stimtivs d rros. Msmo trblhos rcnts, como o d Wng (006) m q fitos trblntos rtivos (no scomnto), lém d fitos rditivos (n trnsfrênci d clor ntr os gss d combstão tbir), pr modlos bi tridimnsionis, são stddos não prsntm stimtivs d rros ssocids os rsltdos obtidos. Dint dst qdro do dsjo d Agênci Espcil Brsilir m cpcitr o pís n ár d proplsão líqid, xprsso no rogrm Ncionl d Atividds Espciis (NAE) ritrdo no 1º Simpósio Brsiliro sobr roplsão Líqid, obsrv-s q proplsão líqid é m cmpo ind bstnt mplo pr stdos.

29 7 1.3 OBJETIVOS Est trblho tm como objtivo principl solcionr nmricmnt o scomnto rtivo o não m tbirs, prsntndo, tmbém, s stimtivs d rros nméricos postriori ssocids tis solçõs. r tnto, são mprgds fnçõs d intrpolção d primir ordm, UDS-1 ( Upstrm Diffrncing Schm, rfrncido nst trblho pns por UDS), d sgnd ordm, CDS ( Cntrl Diffrncing Schm ), com corrção did pr os trmos dvctivos CDS pro pr os trmos difsivos d prssão (TANNEHILL t l., 1997), rfrncido pns como CDS com corrção did. Além ds fnçõs d intrpolção, difrnts modlos físicos qímicos tmbém são mprgdos. Cinco modlos físicos distintos são stddos: dois modlos monospéci (com propridds constnts com propridds vriávis) três modlos mltispéci pr mistr d gss rtivos (scomnto congldo, scomnto m qilíbrio qímico locl scomnto m dsqilíbrio qímico). Rlciondos os modlos físicos d scomnto congldo m qilíbrio qímico locl, nov modlos qímicos divrsos são stddos (com númro d spécis qímics vrindo ntr três oito com totl d rçõs d dissocição ntr nnhm dzoito). No cso do scomnto com tx finit d rção (dsqilíbrio qímico), somnt modlos com sis com oito spécis form considrdos, prfzndo m númro totl d sis. Msmo sndo o nfoq dst trblho vrificção nméric, dv-s notr q pocos trblhos forncm rsltdos pr scomntos m dsqilíbrio qímico, d modo q st ts procr, otrossim, sprir tl ncssidd. Rsslt-s, ind, q n formlção dos modlos nméricos foi mprgd m formlção dqd qlqr rgim d vlocidds (MARCHI MALISKA, 1994), d modo q o cmpo d vlocidds é obtido pr todo o scomnto ( não somnt pr rgião sprsônic). Obsrv-s, tmbém, q qção d nrgi é bsd n tmprtr não n ntlpi, como commnt é ncontrdo m otros trblhos, como m LAROCA (000). Not-s, otrossim, q foi tilizdo o método d volms finitos, mprgndo-s m rrnjo co-loclizdo d vriávis. r todos os stdos, stimtiv d rro nméric postriori é obtid mprgndo-s os stimdors d rro d Richrdson /o o stimdor GCI, Grid Convrgnc Indx (ROACHE, 1994). r tnto, pr cd modlo físico /o qímico stddo, o mnos três difrnts mlhs tivrm q sr considrds. Conform já comntdo, pocos trblhos prsntm stimtivs d rros pr qçõs do tipo

30 hiprbólics, não sndo ncontrdo nnhm contribição n litrtr m q tis stimtivs fossm rlizds pr scomntos sprsônicos rtivos ORGANIZAÇÃO DA TESE Est trblho é constitído por sis cpítlos, cjo contúdo é brvmnt dscrito n sqüênci: O Cpítlo 1 prsnto brvmnt dfinição do problm, motivção pl scolh do tm os objtivos principis dst trblho. No Cpítlo são prsntds gnrlidds sobr fogts, m brv pnorm histórico do stdo projto d motors-fogt (inclindo s gomtri, modlos nidimnsionis, tsts státicos códigos comptcionis), bm como s mtodologis mprgds pr obtnção d composição qímic nos csos d qilíbrio d dsqilíbrio qímico. No Cpítlo 3 são borddos spctos fndmntis d dinâmic d flidos comptcionl plicdos nst trblho. São xpostos os modlos físico, mtmático nmérico dos modlos ni bidimnsionis stddos, ssim como os lgoritmos implmntdos nos códigos Mch1D MchD, rspctivmnt. É prsntd, tmbém, tori sobr s stimtivs d rros nméricos mprgds nst trblho. No Cpítlo 4 são xpostos os rsltdos nméricos pr o scomnto nidimnsionl, bm como s rspctivs stimtivs d rros. O Cpítlo 5 é dstindo à prsntção d solção nméric do scomnto rtivo bidimnsionl xissimétrico, jntmnt com s rspctivs stimtivs d rros nméricos. As conclsõs gris dst trblho são prsntds no Cpítlo 6, bm como sgstõs pr trblhos ftros. 1.5 RESUMO DO CAÍTULO 1 Nst cpítlo foi prsntdo brvmnt o problm borddo nst trblho. O stdo d scomntos rtivos m tbirs, lido à stimtiv d rros nméricos ssocido

31 9 os rsltdos obtidos é o objtivo principl dst docmnto. D m modo grl, vridos stdos tm sido rlizdos n litrtr tndo-s o scomnto rtivo m motor-fogt como foco; not-s, porém, q não s lcnço ind m nívl stisftório cpz d ssgrr rsltdos qntittivos confiávis (SCHLEY t l., 1996), nm xistm ddos (xprimntis /o nméricos) sficints pr comprçõs com modlos comptcionis (MARCHI t l., 004). Obsrv-s, ind, q pocos trblhos s procpm m dtrminr os rros nméricos ssocidos os rsltdos obtidos, m spcil pr scomntos sprsônicos.

32 30 FOGUETES O crscnt intrss dos píss plo dsnvolvimnto prodção d fogts pod sr obsrvdo trvés do mnto no númro d nçõs dtntors d projtos n ár rospcil: d m grpo rstrito d três m 1945, somm-s gor o mnos 35 píss com mbiçõs spciis. Dsd 1957 (no m q foi lnçdo, plos soviéticos, o primiro stélit m órbit trrstr), m númro sprior 4000 lnçmntos d fogts foi rlizdo, obtndo-s scsso n grnd miori dos csos (SUTTON BIBLARZ, 001). Apsr d cd m dsss lnçmntos prsntr m objtivo spcífico, sj militr (como stélits d rconhcimnto), não-militr (como stélits climáticos), d xplorção spcil (missõs plntáris) o comrcil (stélits d comnicção), os princípios básicos d fncionmnto dos fogts são os msmos, sndo borddos brvmnt nst cpítlo..1 GENERALIDADES Fogts míssis prsntm crctrístics d projto bstnt similrs, difrindo, pns, com rlção à crg útil por ls trnsportd. Enqnto fogts crrgm, m grl, stélits xprimntos cintíficos, os míssis prsntm crctrístics nicmnt bélics, trnsportndo como crg útil rtftos xplosivos. Um fogt pod sr dfinido como m víclo q implsion si msmo pr frnt (o pr o lto) trvés d prodção d mpxo. Difrntmnt d otros víclos, o sistm d proplsão d m fogt tiliz somnt o proplnt nl contido, sndo possívl s oprção m mbints d váco (NASA, 007). Sistms d proplsão d fogts podm sr clssificdos d cordo com divrsos prâmtros, ntr os qis s citm: font nrgétic, fnção primordil, o tipo d víclo, o tmnho, o proplnt, constrção o o númro d nidds proplsors tilizds m m ddo víclo (SUTTON BIBLARZ, 001). Utilizndo-s como critério d clssificção font nrgétic, os fogts podm sr divididos ns sgints clsss: proplsão qímic, proplsão nclr, proplsão létric, lém d novos concitos d proplsão (como

33 31 tilizção dirt d rdição solr pr qcr m flido d trblho o tilizção d rfltors d fótons solrs). No cso d proplsão nclr, três concitos básicos são possívis: o primiro bsdo m rçõs d fissão nclr, o sgndo corrspond m font rditiv por dcimnto d isótopos, o trciro trt d fsão nclr. D m modo grl, nrgi térmic obtid d rção nclr é trnsmitid m flido d trblho (como o hidrogênio), q é mntido, m grl, m sprdo do combstívl nclr, sndo tl flido o rsponsávl plo forncimnto do mpxo o víclo. Os riscos d m cidnt com consqünt contminção d xtnss árs com rsídos nclrs dirm os tsts com protótipos, d modo q nnhm fogt proplsão nclr s ncontr complmnt dsnvolvido. Rsslt-s, porém, q drnt s décds d , NASA condzi stdos sobr vibilidd d tilizção d proplsão nclr, rlizndo lgns xprimntos com protótipos, trvés do projto NERVA ( Nclr Engin for Rockt Vhicl Appliction ), dstivdo m 1973 (NASA, 007b). Obsrv-s, otrossim, m crscnt intrss no dsnvolvimnto dst form d proplsão, m spcil pr vigns plntáris, como m possívl vigm Mrt (SUTTON BIBLARZ, 001; NASA, 007c). N proplsão létric, m font d nrgi létric é tilizd pr qcr /o jtr dirtmnt m proplnt, sndo tilizd m font nrgétic indpndnt do proplnt proprimnt dito. Tl tipo d proplsão é crctrizdo plo bixo mpxo (tipicmnt ntr 0,005 1 N), d modo q, pr q o víclo tinj vlocidd dqd, o proplsor dv fncionr inintrrptmnt por smns o mss. Dntr s possívis plicçõs pr st tipo d proplsão, citm-s os controldors d titd d stélits missõs intrplntáris. A proplsão qímic pod sr sbdividid m ds grnds ctgoris, dpndndo do stdo físico dos proplnts: sólid líqid. A proplsão qímic proplnt sólido s dstc por prsntr projto mis simpls, com fcilidds d oprção cpcidd d stocgm por príodos q vrim d 5 5 nos. Como dsvntgns, citm-s o grnd prigo d ignição /o xplosão, ncssidd d sistm d ignição impossibilidd d srm tstdos ntriormnt o so. Os fogts proplsão líqid possm s fvor m mior implso spcífico, possibilidd d igniçõs múltipls d modificção ns condiçõs d oprção drnt mnobrs (como form d prvnir possívis flhs). Tis fogts, no ntnto, prsntm m mior complxidd d projto, dificldds n stocgm d proplnts (m spcil

34 3 os criogênicos) ncssidd d mcnismos spciis no cso d ignição m mbint d grvidd zro. Apsr ds divrss modlidds d fonts nrgétics tlmnt disponívis pr os sistms d proplsão, grnd miori dos projtos d fogts é bsd n proplsão qímic (SUTTON BIBLARZ, 001). Em divrsos víclos spciis, como o cso do Ônibs Espcil, mbos os sistms d proplsão qímic (sólid líqid) são tilizdos concomitntmnt. Dstq, contdo, é ddo à proplsão líqid, q prmiti conqist do spço ns últims décds (HABIBALLAH t l., 1998). E dntr os divrsos prs proplnts líqidos, sobrssi-s o pr oxigênio/hidrogênio q, dvido o s lvdo implso spcífico, é tilizdo pr mntr prformnc d fogts-lnçdors.tl pr proplnt provvlmnt, continrá sr o prfrido drnt s próxims décds (HAIDN HABIBALLAH, 003), mbor sj crscnt tilizção d motors-fogt q tilizm otros prs proplnts, como o pr qrosn-oxigênio.. ANORAMA HISTÓRICO or mito tmpo, o dsnvolvimnto dos fogts s confndi o dsnvolvimnto bélico. ovos do Extrmo Orint (chinss mongóis) Orint Médio (árbs) tilizvm prcrsors dos tis fogts, com fins militrs, ind nos idos do séclo XII (NASA, 007). Em 179, drnt btlh d Sringptm, s forçs indins tilizrm míssis contr s trops britânics com tl ficiênci q o solddo Willim Congrv projto m vrsão bstnt mlhord pr so pls forçs britânics (BROWN, 1996). Em 1903, o profssor d mtmátic rsso Konstntin Edrdovich Tsiolkowski (o Ziolkowsky) pblico m rtigo dscrvndo m dtlhs como m vôo spcil podri sr ftdo trvés d fogts. Cb l dscrição dos fogts mltistágios prov mtmátic d q pr xplorção spcil hvri ncssidd d tis fogts. Tsiolkowski, lém disso, dvogo o pr oxigênio líqido (LOX) hidrogênio líqido (LH) como pr proplnt (BROWN, 1996). Nos Estdos Unidos, o profssor Dr. Robrt Htchings Goddrd foi pioniro no projto, constrção vôo d m fogt proplnt líqido, fito q ncssito d mis d 00 ptnts. S fogt voo m 6 d mrço d 196, drnt,5 s, tingindo m ltitd d 1,5 m (41 ft), tingi m vlocidd d 101,4 km/h (63 mph) (BROWN, 1996).

35 33 Er, contdo, n Rússi n Almnh ond o ntsismo com Astronátic s mostrv mis vigoroso. Em Mniq, no no d 193, o Dr. Hrmnn Obrth pblico s livro Di Rkt z dn lntnrämn, q dsprto o intrss pr formção d divrsos grpos d stdos sobr fogts o rdor do mndo (GLENN LEARNING TECHNOLOGIES ROJECT, 006). Um dsss grpos, chmdo Vrin für Rmschiffhrt, foi o rsponsávl plo projto do míssl V-, disprdos contr Londrs drnt Sgnd Grr Mndil. Dntr os prticipnts dss grpo, dstc-s o cintist Wrnhr von Brn, cj qip, pós Sgnd Grr Mndil, foi rsponsávl por m implso no dsnvolvimnto no cmpo d proplsão nos Estdos Unidos. A prtir d ntão, divrsos são os trblhos xistnts n litrtr q bordm spctos ligdos stdos tóricos, xprimntis nméricos n ár d Astronátic (mis spcificmnt no projto dsnvolvimnto d fogts), bordndo linhs como scomnto rtivo d gss d combstão, injtors d proplnts, gomtri ótim pr tbirs sistms d rfrigrção...1. Gomtri Inicilmnt, gomtri dotd pr os bocis convrgnts-divrgnts, tilizdos como tbirs, prsntvm qs q xclsivmnt form cônic (Figr.1). Dntr s vntgns dss gomtri pod-s citr fcilidd d mnftr flxibilidd n convrsão d m projto xistnt m m novo projto, com mior o mnor rzão d xpnsão. or cs d ss bons rsltdos m rlção o pso, comprimnto prformnc, o bocl d 15º d smi-ânglo divrgnt torno-s, prticmnt, m gomtri pdrão por m longo príodo d tmpo (HUZEL HUANG, 199). Tl gomtri ind hoj é tilizd, sobrtdo m tbirs d pqn dimnsão (SUTTON BIBLARZ, 001). N bsc por m mior dsmpnho mnor comprimnto foi dsnvolvid tbir com prfil m form d sino (Figr.1b). El mprg m rápid xpnsão n sção inicil do divrgnt, sgid por m grdl rdção do ânglo intrno, d modo q n síd d tbir o smi-ânglo do divrgnt é pqno, normlmnt mnor q 10º (HUZEL HUANG, 199; SUTTON BIBLARZ, 001). A obtnção d tl prfil foi prsntd originlmnt por Ro (1958, 1961), tilizndo o método ds crctrístics plicdo pqns tbirs. r tnto, ssm-s m scomnto isntrópico invíscido, d gás idl, o longo d tbir. Como condiçõs govrnnts ns imdiçõs d grgnt, são

36 34 considrdos o comprimnto d tbir, prssão mbint s condiçõs do scomnto. Dv-s, ntão, solcionr o problm vricionl ssocido tis condiçõs, d modo mximizr o mpxo. Figr.1: Tipos d tbirs: () cônico, com smi-ânglo d 15º; (b) tipo sino; (c) tipo sino modificdo (prbólico) [dptdo d Stton Biblrz (001)]. O prfil sino é provvlmnt o mis tilizdo pr tbirs tlmnt (SUTTON BIBLARZ, 001). Como n obtnção d tl prfil, porém, são dsconsidrdos os fitos viscosos do scomnto, pr pqns tbirs (ns qis os fitos d cmd limit tornm-s importnts) comprção ntr os rsltdos dos prfis do tipo sino cônico prsntv mbigüidds. Isto lvo Arrington t l. (1996) rlizr xprimntos com pqns tbirs, d 110 N d mpxo, comprndo os rsltdos ds tbirs d prfil sino cônico. Os tsts form rlizdos m m câmr cj prssão simlv à d tmosfr m ltitd d 36,6 km. As tbirs form fbricds m cobr, com sistm d rfrigrção rgnrtiv (com ág como rfrigrnt), sndo tilizdos como proplnts hidrogênio oxigênio. Um film líqido d hidrogênio tmbém r tilizdo pr xilir n rfrigrção do motor-fogt. Como rsltdo xprimntl, obsrvo-s q vlocidd crctrístic m mbs s tbirs r idêntic crctrizndo igl dsmpnho dos injtors d câmr d combstão pr mbs s gomtris. Os rsltdos obtidos pr o implso spcífico do coficint d mpxo, no ntnto, indicrm q o prfil sino, otimizdo trvés d técnic d Ro (1958, 1961), prsnt m mlhor dsmpnho q o prfil cônico. Obsrv-s, contdo, q m divrsos csos prfr-s tilizr m tbir do tipo sino dptd (Figr.1c), com m comprimnto mnor q àql sprdo pr o prfil sino trdicionl como nos trblhos d Kcynski t l. (1987), Smith t l. (1987) vli t l. (1987). Nst cso, xist lgm prd d dsmpnho dvido o fto d o scomnto,

37 35 n síd d tbir, prsntr m componnt d vlocidd não prfitmnt linhdo com o ixo xil d tbir. Ess prd, contdo, é compnsd plo fto d o pso totl do víclo sr rdzido trvés d diminição do comprimnto totl do motor-fogt. A Figr. prsnt m sqm d dois prfis do tipo sino modificdos (m corrspondnt 60% o otro, 80%, do tmnho do tipo sino originl, conhcido como prfil prbólico), bm como o prfil cônico. Figr.: Tbirs do tipo cônico do tipo sino (modificdo) [dptdo d Stton Biblrz (001)]. Dnt os prfis do tipo sino modificdo, o mis mprgdo é ql cjo comprimnto totl é d 80% do comprimnto do prfil sino trdicionl. Tl prfil é conhcido como prfil prbólico, pois o prfil divrgnt d tbir, o invés d sr obtido trvés do método ds crctrístics, é proximdo trvés d m fnção do tipo prbólic.... Modlos nidimnsionis Embor modlos bi tridimnsionis sjm tilizdos no stdo do scomnto rtivo m motors-fogt, como é fito por Wng (006), ind hoj é citávl prátic d s tilizr prâmtros d tbir idl, modificds propridmnt por corrçõs postriors

38 36 (SUTTON BIBLARZ, 001). Um tbir idl é ql m q s sgints hipótss são válids: A composição dos gss d combstão é homogên invrint o longo do scomnto. Os gss d combstão sgm li dos gss prfitos (idis). Não xist trito ns prds d tbir, portnto, não há cmd limit. Não ocorr trnsfrênci d clor trvés ds prds d tbir. O scomnto é prmnnt constnt. Todos os gss dixm tbir xilmnt. A vlocidd dos gss, prssão dnsidd são niforms m qlqr sção trnsvrsl do ixo d tbir. O qilíbrio qímico é lcnçdo no intrior d câmr d combstão não s modific o longo d tbir (scomnto congldo). Tods s spécis qímics m scomnto são gsoss. As forçs d corpo tnts sobr o scomnto são dsprzívis. Utilizndo-s s hipótss, têm-s s condiçõs d scomnto idl, o sj, m scomnto isntrópico nidimnsionl, q prsnt s sgints rlçõs pr s propridds d stgnção: 0 γ 1 1 M γ ( γ 1), (.1) T 0 T γ 1 1 M, (.) ρ 0 γ 1 1 ρ ( γ 1) 1 M, (.3) sndo q o índic 0 rprsnt propridd d stgnção; corrspond à prssão []; ρ, à mss spcífic [kg/m 3 ]; T, à tmprtr do gás [K]; γ, à rzão ntr os clors spcíficos prssão volm constnts; M é o númro d Mch, dfinido trvés d sgint xprssão:

39 37 M, (.4) c m q é vlocidd d scomnto do flido [m/s] c é vlocidd locl do som [m/s]. A dtrminção do númro d Mch locl pod sr fit dsd q sj conhcid gomtri d tbir, q s constiti m m bocl do tipo convrgnt-divrgnt. A rgião d ár mínim m m tbir é grgnt: ss ár convnciono-s chmr d ár crític. A prtir d qção d consrvção d mss, pod-s chgr à sgint xprssão (EMANUEL, 1986; KUNDU, 1990): S S 1 M γ γ 1 1 M * 1 ( γ 1) [ ( γ 1) ], (.5) sndo S * ár crític [m ]. Dst form, conhcndo-s gomtri d tbir, pod-s obtr o númro d Mch locl rsolvndo-s Eq. (.5) obtr s propridds d stdo do flido m scomnto trvés ds Eqs. (.1), (.) (.3). Embor s trt d m modlo simplificdo, o scomnto invíscido nidimnsionl é m frrmnt importnt n vlidção d códigos comptcionis, m vz q s torn possívl vlir o rro nmérico vrddiro comtido prtir d solção nlític conhcid. A fcilidd rpidz d implmntção d códigos comptcionis nidimnsionis, msmo os gnrlizdos (q lvm m considrção fitos viscosos d trnsfrênci d clor) fz com q Bms (199) incntivss s tilizção, não m dtrimnto dos códigos mltidimnsionis, ms como m frrmnt bstnt útil pr o projto d tbirs como m instrmnto xilir n qisição d xplicçõs físics pr rsltdos obtidos. Nss trblho, Bms (199) implmnto m progrm nidimnsionl gnrlizdo, rlizndo lgms simlçõs nvolvndo scomntos viscosos, com troc térmic m tbirs d difrnts prfis (cônico, sino trompt). Os rsltdos, no ntnto, não form comprdos otros (xprimntis o nméricos), nm foi rlizd m nális d rros sobr tis rsltdos. Dst form, pns rsltdos qlittivos form prdos, como o fto d o númro d Mch não mntr monotonicmnt sm m slção dqd do ânglo do divrgnt d tbir o fto d q o mpxo pod sr mximizdo pl corrt slção do prfil d tbir.

40 Métodos nlíticos O scomnto nidimnsionl isntrópico s constiti no único modlo m q os cmpos d prssão, vlocidd, tmprtr mss spcífic (lém d grndzs dls drivds) podm sr ncontrdos. Kligl Lvin (1969), contdo, dsnvolvrm m xprssão pr obtnção do coficint d mpxo dimnsionl (C d ), válid pr tbirs cjo rio d crvtr (r c ) normlizdo com rlção o rio d grgnt (r t ) é infrior à nidd, sjits m scomnto d gás prfito com propridds constnts. Est qção s constiti m m primormnto dql obtid ntriormnt por Hll (196), m vz q é obtid tilizndo-s coordnds toroidis, não cilíndrics, prmitindo-lhs q s condiçõs d contorno fossm plicds m coordnds constnts, o q não é possívl m coordnds cilíndrics. Tl xprssão é prsntd n sqüênci, sndo r* rzão ntr o rio d crvtr o rio d grgnt γ rzão ntr os clors spcíficos: C d 1 γ 1 ( 1 r *) 1 96 ( 8 γ 7) 754 γ 757 γ 3633 ( ) ( ) 1 r * r * 304, (.6) é válid pr scomntos invíscidos d gss prfitos. Além d xprssão pr o mpxo dimnsionl, Kligl Lvin (1969) tmbém prsntm xprssõs pr vlocidd xil n linh d simtri jnto às prds d tbir, bm como xprssõs pr s distâncis ntr o cntro gométrico d grgnt (loclizdo sobr o ixo d simtri d tbir) : () o ponto sônico loclizdo sobr o ixo d simtri, (b) o ponto sônico n dirção rdil, loclizdo n sção trnsvrsl q pss trvés d grgnt do motor-fogt. A comprção ntr os rsltdos tóricos, prtir ds qçõs d Kligl Lvin (1969), rsltdos xprimntis foi ftd por Cffl t l. (1969). r tnto, foi tilizd m tbir cônic, com ânglos igis 45º no ldo convrgnt 15º no divrgnt m rzão (r*) ntr rio d crvtr o rio d grgnt igl 0,65. Os xprimntos form fitos tilizndo-s r m prssão m tmprtr d stgnção d 70 psi (4,863x10 5 ) 300 K, rspctivmnt. Confrontndo-s o rsltdo tórico, obtido trvés d qção d Kligl Lvin (1969), o xprimntl, obtido por Cffl t l. (1969), obtivrm-s os vlors d 0,98 0,985, rspctivmnt, o q mostr bo concordânci ntr mbos os vlors; rsltdos smlhnts form obsrvdos comprndo-

41 s os vlors obtidos trvés ds dmis xprssõs prsntds por Kligl Lvin (1969) os rsltdos xprimntis Exprimntção vli t l. (1987), Smith t l. (1987) Kcynski t l. (1987) rlizrm, no Lwis Rsrch Cntr Clvlnd (Ohio), xprimntos tilizndo ds tbirs com prfil d Ro modificdo, diâmtro d grgnt d 1 polgd (5,4 mm) rzão d xpnsão (ER) igl O prto xprimntl prmiti, tmbém, q s tbirs fossm tstds pr rzão d xpnsão d 48,5, consistindo m m spéci d trncmnto ds tbirs originis. Como proplnts, form tilizdos oxigênio hidrogênio, pr divrss rzõs d mistr (OF), sbmtidos m prssão nominl n câmr d combstão d 350 psi (,413 M). Tis trblhos form propostos m virtd d dificldd d s ncontrr rsltdos xprimntis o nméricos pr tbirs com rzão d xpnsão lvd pocos trblhos hvim sido fitos com tbirs com rzão d xpnsão sprior 100 nnhm prsntv rsltdos pr rzão d xpnsão cim d 400. O trblho d vli t l. (1987) bordo o mpxo obtido pr tis tbirs, prsntndo os vlors obtidos pr o coficint d mpxo pr divrss rzõs d mistr. r tnto, form condzidos tsts à prssão tmosféric, com o intito d crctrizr o injtor dtrminr s prds rltivs o procsso d combstão. Obsrvrm-s, otrossim, s ocorrêncis d distribiçõs circnfrnciis rdiis d prssão, não prmitindo q mdiçõs discrts dss propridd fossm xtrpolds pr tod câmr d combstão. Complmntr o trblho d vli t l. (1987), Kcynski t l. (1987) prsntm os rsltdos xprimntis pr tmprtr os flxos d clor obtidos jnto à prd d tbir, bm como m stdo sobr cmd-limit o longo do motor-fogt. A prtir dos ddos d tmprtr n prd xtrn d tbir, form obtidos os flxos d clor (trvés ds prds) s tmprtrs no intrior do motor-fogt. Tmbém form clclds s txs d trnsfrênci d clor pr posiçõs xiis dtrminds, tilizndo-s os flxos. Comprndo-s os vlors dtrmindos xprimntlmnt àqls prvistos prtir d náliss comptcionis, tilizndo o código TDK ( Two-Dimnsionl Kintics, dsnvolvido pl NASA), obsrvo-s q, pr náliss d cmd-limit trblnt, os flxos d clor prvistos prsntrm vlors 10% spriors os xprimntis. N prvisão pr cmd-limit lminr, s difrnçs ntr os vlors xprimntis

42 40 nméricos ficrm m torno d 15%. A prtir d tis ddos, Kcynski t l. (1987) conclírm q, pr tbir nlisd, o scomnto prsntv cmd-limit lminr (rsltnt do fnômno d lminrizção d cmd-limit), sstntd pl clrção do scomnto trvés d tbir ssocid bixos númros d Rynolds n cmd-limit flidodinâmic. O código TDK tiliz o método ds crctrístics n solção do problm rtivo, sndo composto por m módlo principl cinco módlos ssocidos. Tis módlos prmitm simlçõs ni o bidimnsionis. No cso d scomnto nidimnsionl, é possívl obtr-s rsltdos rfrnts os scomntos congldo, m qilíbrio qímico locl (módlo ODE, on-dimnsionl qilibrim ) /o m dsqilíbrio qímico, pr flido invíscido (módlo ODK, on-dimnsionl kintics ). Um trciro módlo, o TRAN ( trnsonic flow ) tiliz os rsltdos do módlo OKD pr cálclos d rgião trnsônic (rgião d grgnt) d tbir, d modo prmitir inicilizção dos cálclos plo método ds crctrístics, q s constiti no qrto módlo (MOC). Est qrto módlo constrói m mlh m difrnçs finits, tilizndo s linhs d corrnt s sprfícis crctrístics, é cpz d stimr s prds d prformnc d tbir ocsionds plos fitos rdiis do scomnto. O último módlo, dnomindo BLM ( bondry-lyr modl ) dstin-s o cálclo ds cmds-limit lminr /o trblnt jnto às prds do motor-fogt, pr gomtris xissimétrics (KACYNSKI t l., 1987; SMITH t l., 1987). Um trciro trblho complmntr os otros dois já prsntdos é o d Smith t l. (1987), no ql os rsltdos xprimntis são comprdos os nméricos obtidos tilizndo-s o código TDK, d modo clibrá-lo. Conform prsntdo por Kcynski t l. (1987), comprção ntr os modlos nméricos d cmd-limit lminr trblnt mostro q o modlo d cmd-limit lminr prsntv mlhors rsltdos, sndo portnto tilizdo por Smith t l. (1987) m s stdo. Os rsltdos nméricos pr o implso spcífico no váco prsntrm discrpâncis ntr 0,1 1,9%, nqnto o coficint d mpxo prsnto vrição d ± 1,3%, m rlção os rsltdos xprimntis. Com rlção à prssão státic n prd d tbir, os rsltdos nméricos os rsltdos xprimntis difrirm m ± 5%, xcto no cso ds rgiõs d mior d mnor xpnsão d ár (rgiõs m q ER vl proximdmnt , rspctivmnt), ns qis s prvisõs nmérics form 15% mnors q os rsltdos xprimntis.

43 41 Apsr d os três trblhos rlizdos por psqisdors do Lwis Rsrch Cntr s constitírm m importnts rfrêncis nos âmbitos xprimntl nmérico pr tbirs d lvd rzão d xpnsão, obsrv-s q não form forncids s incrtzs xprimntis pr nnhm dos rsltdos. Tmbém não form prsntds s mlhs mprgds plo código TDK n solção do scomnto rtivo, nm qlqr nális d rros nméricos. Com isso, não s pod firmr, com crtz, q s difrnçs obsrvds n comprção ntr rsltdos nméricos rsltdos xprimntis é significtiv o não. Obsrv-s, ind, q o s tilizr o código TDK, todo o scomnto montnt d grgnt, q corrspond à rgião sbsônic, é solciond tilizndo-s somnt mlhs nidimnsionis, msmo q o modlo bidimnsionl sj tilizdo no trcho divrgnt d tbir. O fnômno d lminrizção d m cmd limit trblnt m tbirs foi ntriormnt stddo por Boldmn t l. (1968), tmbém prtncnt o Lwis Rsrch Cntr. Est trblho foi motivdo plo fto d q, o s comprr os rsltdos xprimntis dos flxos d clor xistnts trvés d prd d m tbir, n rgião d grgnt, d m dto com igl diâmtro vzão mássic, os rsltdos xprimntis pr primir gomtri prsntm vlors infriors os d sgnd. Msmo nos csos m q o scomnto n rgião sbsônic d tbir prsntv crctrístics trblnts, obsrvo-s m qd n mgnitd do flxo d clor n rgião d grgnt do motorfogt, tribíd à rdção d trblênci q ocorr m scomntos trblntos xtrmmnt clrdos. Boldmn t l. (1968) rlizrm ss stdos tilizndo tbirs cônics d smi-ânglo convrgnt igl 30º 60º, oprndo com r m tmprtr d stgnção d 970ºR (539 K) m fix d prssõs d stgnção ntr,0 0,4 tm (,03x10 5 0,67x10 5 ). Atrvés do lvntmnto dos prfis d cmds-limit flidodinâmico térmico dos flxos d clor trvés ds prds, form obtids vidêncis d lminrizção do scomnto inicilmnt trblnto...5. Códigos comptcionis Embor os concitos básicos d proplsão líqid tnhm sido stblcidos ind no início do séclo XX, mito sforço foi ncssário pr tingir mtridd tcnológic ncssári o s so prático. A fs d dsnvolvimnto mis intnso inicio-s n décd d 1950, bsndo-s, principlmnt, m rsltdos xprimntis, proximçõs frrmnts

44 4 rdimntrs d nális não no dsnvolvimnto lógico, combinndo proximçõs tórics xprimntis cornts. Dsd ntão, m grnd progrsso foi obsrvdo nos métodos d dignóstico, n cpcidd d procssmnto n Dinâmic d Flidos Comptcionl (CFD, do inglês, Compttionl Flid Dynmics ) (HABIBALLAH t l., 1998). Fröhlich t l. (1993) prsntm m rsmo dos principis sforços d qip d DASA ( Dtsch Arospc ) n bsc pl mlhori contín pl vlidção d códigos nméricos, tilizndo, pr tnto, informçõs disponívis d tsts xprimntis progrms ntriormnt dsnvolvidos. r todos os progrms prsntdos, o pr proplnt modldo é o hidrogênio/oxigênio, difrindo pns rzão d mistr tilizd pr cd stdo. O primiro progrm citdo é o Bord I ( ), cj finlidd r d prvr o flxo d clor trvés ds prds d m tbir. Os rsltdos form comprdos rsltdos xprimntis, obsrvndo-s m difrnç significtiv dos prfis dos flxos, m rlção à rzão d mistr oxidnt/combstívl (OF). Isto lvo qip d dsnvolvimnto à conclsão d q o flxo d clor não pod sr corrtmnt modldo por m qção bsd pns no númro d Nsslt. O sgndo progrm prsntdo por Fröhlich t l. (1993) é o HM7 (197-77), cjos rsltdos novmnt prsntm dsvios significtivos m rlção os rsltdos xprimntis. O flxo d clor n grgnt d tbir nlisd, contdo, foi dqdmnt prvisto tilizndo-s o código comptcionl. Drnt décd d 1980 início d d 1990, os códigos comptcionis form primordos, sndo tilizdos principlmnt pr stdos do motor Vlcin, proplsor do víclo spcil Arin, d Agênci Espcil Eropéi. Nos novos códigos, obsrvo-s m mlhori significtiv n comprção ntr os rsltdos xprimntis nméricos, bsd n xpriênci obtid com os primiros progrms comptcionis. Tis códigos prmitm vlição d difrnts fitos sobr o scomnto no intrior d câmr d combstão sobr o scomnto do rfrigrnt (sistm d rfrigrção rgnrtiv). Os rsltdos prsntdos, contdo, não dtrminm s fixs d rro, sjm xprimntis, sjm nmérics, como grnd miori dos trblhos q trtm d scomntos m fogts. As prds d tbirs com rfrigrção rgnrtiv, como é o cso do motor Vlcin, stão sjits lvdos grdints d tmprtr, ocsiondo pl difrnç d tmprtrs xistnt ntr os gss d combstão o flido rfrigrnt. Isto gr m lvdo flxo d clor q, lido os fitos d cmd-limit, ocsionm tnsõs térmics mcânics sobr strtr do motor-fogt, o q pod condzi-l à flh. Dst form, Khl t l. (1998) promovrm m stdo copldo d intrção flido-strtr, tilizndo

45 43 m modlgm m lmntos finitos, m q tnto o scomnto do rfrigrnt qnto condção d clor trvés ds prds dformção plástic ds msms são prsntds. Em s código, Khl t l. (1998) obtêm inicilmnt o cmpo d vlocidds do rfrigrnt, solcionndo, n sqüênci, os cmpos d tmprtr do flido d prd d tbir pr ntão dtrminr o cmpo d dformçõs d strtr. Efitos d trblênci no scomnto rfrigrnt form modldos tilizndo-s o modlo k-ε, d modo simplificr s náliss, o scomnto rtivo dos gss d combstão não foi stddo. Form fits simlçõs pr m modlo qlittivo d tbir, com gomtri smlhnt à do motor Vlcin, prmitindo os tors dmonstrr plicbilidd d strtégi prsntd. Obsrv-s, contdo, q nst cso tmbém nm rsltdos xprimntis, nm rsltdos d náliss d rros form forncidos plos tors. Enfoq no scomnto rtivo m dsqilíbrio qímico é ddo por Brros (1993). Nst trblho, são prsntdos dois modlos d scomnto: o primiro, nidimnsionl, tiliz o método d Mltivlors d GEAR pr intgrção ds qçõs difrnciis q modlm o scomnto; o sgndo modlo, bidimnsionl, rqr o so do método ds crctrístics pr o cálclo d rgião sprsônic. Em mbos os modlos, fitos viscosos form dsconsidrdos. Com finlidd d vlidr os códigos, dois sistms rtivos form mprgdos: o primiro bsdo m rçõs ntr H F, comprdo os rsltdos d Zcrow Hoffmn (1977), o sgndo bsdo m rçõs ntr H O, com rsltdos confrontdos os d Kcynski t l. (1987), vli t l. (1987) Smith t l. (1987). No cso do pr proplnt H /O, m sqm com oito rçõs qímics sis spécis (H, O, H O, H, O OH) foi mprgdo. Em tods s comprçõs, obsrvo-s bo concordânci com os rsltdos xprimntis, com m vrição d 0,3% no vlor do implso spcífico pr o modlo bidimnsionl. Brros (1993) obsrvo, otrossim, q os métodos d intgrção xplícitos não são dqdos pr plicçõs nvolvndo rçõs d cinétic qímic, m trmos d prcisão dsmpnho comptcionl. Com rlção o procsso d cálclo n rgião trnsônic d tbir, no modlo nidimnsionl, vrifico-s q o procsso d ortogonlizção d Grm- Schmidt prsnto os mlhors rsltdos. r o modlo bidimnsionl, noto-s q séri trnsônic d Kligl-Lvin, propost originlmnt por Kligl Lvin (1969), foi o procdimnto q rslto m mlhors condiçõs d inicilizção do scomnto sprsônico (ncssáris pr tilizção do método ds crctrístics). Apsr d os rsltdos obtidos por Brros (1993) prsntrm bo concordânci com rsltdos xprimntis, rsslt-s novmnt q não form ftds náliss d rro

46 44 pr s solçõs. Obsrv-s, iglmnt, q no cso do modlo bidimnsionl, o scomnto não é solciondo d modo bidimnsionl n prt sbsônic d tbir, m vz q foi tilizdo o método ds crctrístics. Lroc (000) prsnto m modlo qs-nidimnsionl invíscido dstindo o stdo d scomntos congldo m qilíbrio qímico locl pr o pr proplnt H /F. Nst trblho foi mprgdo o método dos volms finitos com rrnjo dsncontrdo d vriávis, tilizndo m formlção dqd qlqr rgim d vlocidds fnçõs d intrpolção d sgnd ordm, plicds com corrção did. Os rsltdos obtidos form comprdos os do código NASA S-73, tilizdo como rfrênci, prsntndo bo concordânci. Rsslt-s q o código implmntdo por Lroc (000) não incli fitos viscosos o d trnsfrênci d clor, mbor o msmo procdimnto pdss sr plicdo d modo contmplr tis fnômnos. Not-s, ind, q nst trblho não form rlizds náliss d rros nméricos. A tilizção d volms finitos pr o stdo d scomntos sprsônicos, nvolvndo trocs térmics, foi rlizd por Mrchi t l. (004). Nst trblho tilizo-s otrossim m formlção dqd qlqr rgim d vlocidd, com fnçõs d intrpolção d sgnd ordm plicds com corrção did; rsslt-s q, no ntnto, com rlção às mlhs, foi mprgdo m rrnjo co-loclizdo, n ql tods s propridds são rmznds m m msm mlh. Nss trblho, mistr d gss d combstão é modld trvés d m gás trmicmnt prfito, monospéci, sndo mprgdo m modlo qs-nidimnsionl pr s scomnto. Um sistm d rfrigrção rgnrtivo tmbém é modldo, mprgndo-s, pr tnto, m modlo nidimnsionl pr os cnis d rfrigrção. Mrchi t l. (004) mprgm s código n solção do scomnto com rfrigrção rgnrtiv d m tbir hipotétic, d sção longitdinl cossnoidl. Dois csos form stddos: o primiro pr m gás, monospéci, com propridds constnts o sgndo pr m gás, monospéci, com propridds vriávis. Em mbos os csos form mprgds divrss mlhs (prsntndo dsd 10 té 180 volms, com rzão d rfinmnto igl ), com o intito d s rlizr m nális d rros, bsd no stimdor GCI. Obsrvo-s, ssim, q m mlh d 80 volms d control ofrci rros nméricos comprávis os rros xprimntis. Vrifico-s, tmbém, q pr dtrminção do mpxo d tbir podr-s-i tilizr o modlo d scomnto com propridds constnts, nqnto pr dtrminção d máxim tmprtr n prd d tbir é convnint o so do modlo d gás monospéci com propridds vriávis. Apsr d não contmplr

47 45 mistrs d gss ( scomntos rtivos), mtodologi prsntd por Mrchi t l. (004) pod sr stndid pr contmplr tis fitos, iglmnt, sr tilizd pr modlos bidimnsionis. O trblho d Wng (006), por s vz, nfoco o scomnto rtivo bi tridimnsionl m motor-fogt proplsão líqid (H /O ) com rfrigrção rgnrtiv, lvndo m considrção fitos d trblênci (modlo k-ε) trocs térmics por convcção rdição. r tnto, form mprgdos o método d volms finitos, com mlhs strtrds o não-strtrds (no intrior n rgião à jsnt d síd d tbir) m sqm d nov rçõs qímics, contmplndo sis spécis qímics provnints d rção H /O (H, O, H O, H, O OH), lém d N, q no cso do scomnto m motorfogt é inxistnt. Comprçõs ntr os rsltdos mprgndo mlhs strtrds não-strtrds indicrm q s primirs s mostrm mis dqds à prvisão d lmntos do scomnto, como onds d choq. Os rsltdos nméricos prsntrm bo concordânci com os rsltdos xprimntis rsltdos ntriors (WANG CHEN, 1993), sndo q o modlo d dsqilíbrio qímico s mostro mis crdo q o d qilíbrio qímico locl. Obsrv-s q, msmo st sndo m trblho bstnt rcnt complto do ponto d vist fnomnológico, tmbém nst cso não form ftds náliss d rros..3 ARÂMETROS DE INTERESSE A dfinição d crtos prâmtros (físicos, gométricos, d dsmpnho) é importnt n crctrizção d m fogt, sndo prsntdos sgir os mis rlvnts tilizdos nst trblho. Miors dtlhs otros prâmtros commnt prsnts n vlição d fogts podm sr ncontrdos m Hzl Hng (199), Brown (1996) Stton Biblrz (001). Rzão d mistr (OF) [dimnsionl] No cso d sistms biproplnts, rzão d mistr (OF) é m importnt prâmtro d proplsão. N condição d rzão d mistr idl, s proporçõs d oxidnt

48 d combstívl são tis q rção libr máxim qntidd d nrgi, prodzindo m implso spcífico máximo. Tl prâmtro é dfinido como 46 OF m& o, (.7) m& f sndo: m& o vzão mássic d oxidnt [kg/s] m& f vzão mássic d combstívl [kg/s]. Rzão d xpnsão (ER) [dimnsionl] A rzão d xpnsão é o qocint ntr ár d síd d tbir (S x ) ár d grgnt (S *), o sj, Sx ER. (.8) S * D tori d bocis convrgnts-divrgnts, sb-s q xpnsão é considrd ótim qndo prssão d síd do bocl qivl à prssão mbint. r fogts, contdo, tm-s m inconvnint: prssão mbint vri d cordo com ltitd lcnçd. Assim, não xist m prfil d bocl ótimo pr tods s ltitds (lgo ssim só sri obtido cso o próprio prfil do bocl mdss o longo d trjtóri do fogt). Dvs tntr, tmbém, n xistênci d choqs, tnto os dvidos o dscolmnto d cmdlimit no intrior d tbir, qnto àqls obsrvdos pl bix prssão n síd d msm. Empxo dinâmico (F) [N] O mpxo dinâmico é forç prodzid por m sistm d proplsão tnt sobr todo o fogt. D m modo simplificdo, é rção xprimntd pl strtr do víclo dvido à jção d mtéri lt vlocidd. Dst modo, o mpxo no váco pod sr clcldo trvés d sgint xprssão

49 47 ds F ρ p ds, (.9) S x S x sndo: ρ mss spcífic d mistr d gss d combstão [kg/m 3 ], é componnt xil d vlocidd d síd dos gss d combstão [m/s] p prssão dos gss n síd d tbir []. Nst trblho, é tmbém tilizdo m otro prâmtro, rsltnt d dimnsionlizção do mpxo dinâmico por isso dnomindo mpxo dinâmico dimnsionl (F*), q corrspond o qocint ntr o mpxo rl (o clcldo) o mpxo idl, o sj, Frl / clcldo F*. (.10) F idl Implso spcífico (I s ) [m SI, N s/kg] o (I sp ) [m nidds sis, s]: Dfinido como rzão ntr o implso totl mss totl d proplnts, prsnt como nidd N s/kg (o, simplsmnt, m/s), sndo obtido trvés d sgint xprssão: I s t 0 tq 0 q F dt m& dt p, (.11) ond t q corrspond o tmpo d qim do(s) proplnt(s) [s] m& p é vzão mássic d proplnt [kg/s]. Obsrv-s, contdo, q o implso spcífico é normlmnt xprsso como rzão do implso totl o pso totl do(s) proplnt(s), sndo grgd à xprssão cim clrção d grvidd (q o nívl do mr qivl 9,8066 m/s ). Dst modo, obtém-s m grndz xprss m sgndos [s]: I sp g tq 0 tq o 0 F dt m& p dt. (.11b)

50 48 Coficint d dscrg (C d ) [dimnsionl] O coficint d dscrg (C d ) é o rsltdo do qocint ntr vzão mássic rl (o clcld) n síd d tbir vzão mássic idl dos gss d combstão, sndo obtid trvés d sgint xprssão: C d & rl / clcldo m, (.1) m& idl sndo, dst form, m prâmtro d dsmpnho globl (o sj, do motor-fogt). Tnto o coficint d dscrg (C d ) qnto o mpxo dinâmico dimnsionl (F*) indicm o qão distnt o cso rl (o clcldo) s ncontr do cso idl (scomnto isntrópico nidimnsionl)..4 REAÇÕES QUÍMICAS A combstão é mis ntig tcnologi d hmnidd, tilizd há mis d m milhão d nos. Crc d 90% d nrgi consmid no mndo (m víclos tomotors, grção d nrgi létric qcimnto, por xmplo) são forncidos por procssos d combstão (WARNATZ, 001). O projto, dsnvolvimnto oprção d fogts proplsão líqid rqrm m qim stávl dos proplnts grção d m mistr d gss niform, lts tmprtrs (SUTTON BIBLARZ, 001). O princípio básico d combstão é rção qímic xotérmic. Nst procsso, m grl, ds o mis sbstâncis iniciis ntrm m contto, trvés d colisõs molclrs, há troc d átomos rrrnjo molclr, com librção d nrgi. Um rção qímic rbitrári pod sr scrit n sgint form: N i 1 v A i i N i 1 v A i i, (.13) sndo: i spéci qímic, N o númro totl d spécis qímics, v v, nst ordm, os coficints stqiométricos d spéci qímic i nos rgnts nos prodtos A o símbolo

51 49 d cd spéci qímic. No cso d Eq. (.13), vrific-s xistênci d m st nidircionl: nst cso, tm-s q rção ocorr somnt no sntido dos rgnts pr os prodtos, o q é m bo proximção pr miori ds rçõs bixs tmprtrs. Dv-s notr, no ntnto, q pr lts tmprtrs s rçõs pssm ocorrr m mbos os sntidos, o sj, n dirção dos rgnts pr os prodtos dos prodtos pr os rgnts. Nst cso, pr m sistm d rçõs qímics m qilíbrio ocorrndo concomitntmnt, Eq. (.13) dv sr gnrlizd pr (KUO, 1986): N i 1 kf N vij Ai vij Ai kb i 1 ( j 1,, K L), (.14) sndo: j rção qímic, L o númro totl d rçõs qímics nvolvids, kf kb, nst ordm, s constnts d rção dirt invrs (q são ncssáris n dtrminção d composição qímic m modlos d dsqilíbrio qímico). A cd rção qímic stá rlciond m constnt d qilíbrio (K), ql mostr como s rçõs dirt invrs stão rlcionds pr m dd tmprtr. El pod sr clcld prtir ds prssõs prciis (p) d cd spéci qímic i xistnt m m mistr gsos, prtir d sgint rlção (KUO, 1986): K j N i 1 p ( vij vij ) i. (.15) Há, contdo, m otr form d obtnção dst constnt d qilíbrio, ql é bsd n vrição d nrgi livr d Gibbs pr rção ( trvés d G j ), cjo cálclo pod sr fito G j N i 1 v g ij i N i 1 v g ij i, (.16) ond g i corrspond à nrgi livr d Gibbs d spéci i. Est vlor pod sr clcldo trvés d mtodologi prsntd por McBrid t l. (1993), n ql os vlors do clor spcífico prssão constnt (c p ), ntlpi (h) nrgi livr d Gibbs (g), nst ordm, à prssão d 1 tm (101,35 k), podm sr obtidos trvés d

52 50 ( ) T T T T R c i i i i i pi, (.17) T T T T T R T h i i i i i i i i , (.18) ( ) i i i i i i i i i T T T T T T T R g ln 1, (.19) sndo: ki os coficints dos polinômios intrpoldors pr cd spéci qímic (prsntdos no Anxo A) i R constnt nivrsl dos gss prfitos (8, J/mol K). Dst modo, constnt d qilíbrio pod sr dtrmind trvés d sgint rlção: T R G K j j xp. (.0) O númro d mols d cd spéci qímic (n i ) dv sr obtido trvés d consrvção d mss pr cd spéci. r tnto, é considrd qção globl d rção (isto é, qção q prsnt os rgnts todos os prodtos considrdos no modlo) o gr d rção d cd m ds qçõs d dissocição ( j ε ). Est mtodologi é proprid pr obtnção d condição d qilíbrio qímico qlqr conjnto d rçõs, nst trblho, é mprgd pr divrsos modlos d rçõs pr o pr hidrogênio/oxigênio (H /O ), conform indicdo n Tbl.1, prsntd n sqüênci. A sgir, é mostrdo m xmplo d mtodologi ntriormnt prsntd, mprgndo-s o modlo qímico 3, q contbiliz sis spécis (H O, O, H, OH, O, H) cj qção globl é: H n O n OH n H n O n O H n O H , (.1) sjit às sgints rçõs d dissocição:

53 51 rção 1: rção : rção 3 : rção 4 : H O OH H O H D D D D 3 H H O OH O D D D D , (.) sndo D 3 m trciro corpo, cj inflênci é vrificd pns no modlo d dsqilíbrio qímico (no cso d obtnção do qilíbrio qímico, os trciros corpos podm sr dsconsidrdos). Tbl.1: Modlos qímicos dotdos nos códigos ni bidimnsionis implmntdos (pr os scomntos congldo m qilíbrio qímico locl). Modlo L N Espécis nvolvids Obsrvçõs H O, O, H modlo idl H O, O, H H O, O, H, OH H O, O, H, OH, O, H 4 rçõs com 3º corpo d Brros t l. (1990) Smith t l. (1987) H O, O, H, OH, O, H modlo d Svhl (1964) H O, O, H, OH, O, H modlo d Brros t l. (1990) H O, O, H, OH, O, H modlo d Smith t l. (1987) H O, O, H, OH, O, H, HO, H O H O, O, H, OH, O, H, HO, H O 4 rçõs do modlo 3 do modlo d K t l. (1990) modlo d K t l. (1990) Do mprgo ds rçõs qímics ntriormnt citds, obtém-s o sistm d qçõs pr dtrminção do númro d mols: n n n n n n n b ε n d ε f ε ε ε 4 ε ε 4 ε ε ε ε ε ε ε 4 3 4, (.3)

54 5 sndo: n i o númro d mols d cd spéci qímic, j ε os grs d dissocição d cd rção qímic considrd (totlizndo 4 pr st modlo) b, d f dtrmindos prtir do blnço d mss d sgint rção (sm dissocição): H f O d O H b O H, (.4) tntndo-s q f d b n 0 (.5) é o númro totl d mols n rção sm dissocição. r o modlo 3 plicção d Eq. (.16) à Eq. (.) rslt m g g g G g g G g g G g g g G. (.6) Aplicndo-s Eq. (.15) o modlo 3, bm como o concito d frção molr d m spéci qímic (X i ), p p n n X i i i, (.7) obtém-s o sgint sistm d qçõs: n n n n p K n n n p K n n n p K n n n n p K (.8)

55 53 Dst form, prtir d dtrminção dos grs d dissocição pr cd m ds rçõs considrds, pod-s, ntão, obtr o númro d mols d cd spéci qímic, tmbém, o númro totl d mols. Est mtodologi é mprgd pr os modlos físicos d scomnto congldo d qilíbrio qímico locl, q s constitm nos csos limits do mcnismo rl d rçõs qímics. O lgoritmo grl pr obtnção d composição qímic m qilíbrio é prsntdo n sqüênci: 1. Dfinir os ddos: númro do modlo rtivo, tmprtr (T), prssão totl (p), rzão mássic oxidnt/combstívl (OF), prâmtros nméricos (númros d itrçõs tolrâncis).. Lr os coficints trmodinâmicos ( ki ) ds Eqs. (.17) (.19). 3. Clclr os coficints d Eq. (.4): é obtido prtir d sgint xprssão: M 3 OF, (.9) M ond M 3 M são rspctivmnt mss molclr do hidrogênio molclr (H ) do oxigênio molclr (O ). Os coficints b, d f d Eq. (.4) são obtidos d consrvção d mss ds spécis tômics nvolvids, hidrogênio oxigênio tômicos, rsltndo m três csos: Cso 1: composição stqiométric: ½, b 1, d f 0 (.30) Cso : mistr ric m oxidnt (O ): > ½, b 1, d ½, f 0 (.31) Cso 3: mistr ric m combstívl (H ): < ½, b, d 0, f 1 (.3)

56 4. Inicilizr os grs d rção (ε j ), d cd rção d dissocição, com o vlor zro. 5. Clclr o númro inicil d mols d cd spéci (n i ) do modlo rtivo o númro totl d mols (n) com bs ns vriávis dos itns Clclr nrgi livr d Gibbs pr cd spéci (g i ), vrição d nrgi livr d Gibbs d cd rção j ( G j 54 ) constnt d qilíbrio d cd rção j bsd n prssão prcil (K j ) trvés d Eq. (.0). 7. Itrtivmnt, trvés do método d Nwton-Rphson, té q sj tingido o númro máximo d itrçõs (itimx) o q tolrânci (tol_) sj stisfit, clclr o gr d rção (ε j ) d cd rção d dissocição. 8. Com os ε j obtidos no itm 7, tlizr o númro d mols d cd spéci (n i ) do modlo rtivo o númro totl d mols (n). 9. Clclr vrição do númro totl d mols ( n). Voltr o itm 7 té q sj tingido o númro máximo d itrçõs (itmx) o nqnto n for mior do q tolrânci (tol_n). 10. Clclr s propridds d mistr (mss molclr médi, frçõs molr mássic d cd spéci qímic, constnt d mistr d gss, mss spcífic totl d mistr, rzão d clors spcíficos, concntrção d cd spéci qímic, concntrção totl d mistr ntlpi totl). No cso dos modlos d dsqilíbrio qímico, fz-s ncssári tilizção d m otr mtodologi, lvndo-s m considrção s constnts d rção dirt indirt (kf kb, rspctivmnt) prsnts n Eq. (.14). Dst form, tx grl d vrição d m spéci i dvido às rçõs qímics m q tl spéci prticip, é dd por dc dt i vij ( ) vij v v kf C kb C ij ij i i i i, (.33) sndo C i concntrção molr d spéci qímic i n mistr. No qilíbrio qímico, drivd xistnt no ldo sqrdo d qção s nl, d modo q Eq. (.33) pod sr scrit como kf j Kc j, (.34) kb j

57 55 q é válid pr m rção j, sndo Kc constnt d qilíbrio qímico bsd ns concntrçõs molrs. As constnts d qilíbrio bsds n concntrção molr ns prssõs prciis s rlcionm ntr si trvés d sgint qção Kc j v j ( R T ) K j (.35) sndo v j vrição do númro d mols d rção j, obtid por v j N ( vij vij ) i 1, (.36) m q v ij v ij são, rspctivmnt, os númros d mols d spéci i, n rção j, prsnts nos prodtos nos rgnts. Com finlidd d s obtrm s txs d grção d mss pr s divrss spécis prsnts n rção ntr hidrogênio oxigênio líqidos, srão sgir dfinids lgms vriávis, como tx d progrssão d j-ésim rção, q é dd pl difrnç ntr s txs d rção dirt invrs é prsntd sgir: γ j N N vij kf j Ci kb j C i 1 i 1 vij i. (.37) Mltiplicndo-s Eq. (.37) pl concntrção ftiv do trciro corpo n j-ésim rção, tm-s tx d grção d spécis (m mols), dd por θ λ γ, (.38) j j j m q λ j é dfinid como λ j N i 1 α ij C i (.39)

58 56 α ij é ficiênci d spéci i n rção d dissocição. Vrific-s, contdo, m crt dificldd n obtnção d ddos xprimntis sobr ficiênci d spécis qímics sobr m rção d dissocição. Nst cso, m solção commnt dotd é considrr ficiênci d tods s spécis qímics igl à nidd, d modo q concntrção do trciro corpo é igl à concntrção totl d molécls xistnts (BARROS t l., 1990). A obtnção ds txs d grção d mss pr s divrss spécis, m nidds mássics pr tods s rçõs, é ntão fit mltiplicndo-s Eq. (.38) pl mss molclr d cd spéci qímic nvolvid; tm-s ssim sgint xprssão: L ( vij θ j ) ω& M, (.40) i i j 1 m q M i é mss molclr d spéci qímic X i, L é o númro totl d rçõs v ij é ddo por v v v, (.41) ij ij ij rprsnt difrnç ntr o númro d mols formdo consmido m m dd rção j. Est mtodologi pod sr mprgd pr qlqr sistm rtivo, sndo nst trblho tilizd pr o sistm H /O. Os modlos qímicos dotdos são os msmos listdos n Tbl.1, obsrvndo-s, contdo, q somnt os modlos com sis o oito spécis form considrdos. Rsslt-s, ind, q o modlo qímico 4 não foi mprgdo pr condição d dsqilíbrio qímico q o modlo 3 foi dividido m dois: modlos qímicos 31 3, cj difrnç rsid ns txs d rção dirt nqnto pr o modlo 31 tilizrm-s os ddos provnints do trblho d Brros t l. (1990), pr o modlo 3 o trblho d rfrênci foi o d Smith t l. (1987). A sgir, é mostrdo m xmplo d mtodologi ntriormnt prsntd, mprgndo-s o modlo qímico 31, drivdo do modlo qímico 3, cj qção grl rçõs qímics são rprsntds pls Eqs. (.1) (.). r st modlo, s txs d rção dirt (kf i ) são dfinids como:

59 kf kf kf kf ,66x10 / T 17 7,50x10 / T. (.4) 18 3,66x10 / T 3,66x10 18 / T r obtnção ds txs d rção indirt, os vlors prsntdos n Eq. (.4) são plicdos à Eq. (.34). Vrific-s, contdo, ncssidd do conhcimnto prévio d constnt d qilíbrio qímico bsdo ns concntrçõs molrs (K C ). r tnto, é tilizd Eq. (.35), q rlcion K C à constnt d qilíbrio qímico bsdo ns prssõs prciis (K j ), q pod sr obtido tnto xprimntlmnt tilizndo-s, ntão, m qção como d Arrhnis pr corrlção dos ddos qnto nmricmnt trvés d vrição d nrgi livr d Gibbs. Sndo conhcids s txs d rção ds rçõs dirts invrss, pod-s, ntão, clclr s txs d progrssão ds rçõs, trvés d Eq. (.37): rção 1: rção : rção 3 : rção 4 : γ γ γ γ kf 1 kf kf kf 3 4 C 4 C C C C 6 C 6 kb kb kb 3 1 C kb C 4 C 3 1 C 4 (.43) Do trblho d Brros t l. (1990) tmbém form obtidos os ddos rltivos à ficiênci ds spécis qímics ns rçõs. Tis ddos são prsntdos sgir: α 1, pr tods s spécis m tods s rçõs. (.44) ij Com os vlors ds ficiêncis ds spécis qímics ds txs d progrssão ds rçõs, tilizndo-s s Eqs. (.39) (.38), torn-s possívl clclr s txs d grção ds spécis nvolvids, m mols, m cd rção: rção 1: rção : rção 3 : rção 4 : θ θ θ θ C γ C γ C γ C γ (.45)

60 58 or último, tilizndo-s Eq. (.40) os ddos ds txs d grção d spécis (m mols), clclm-s s txs d grção d mss: [H [O [H O] ] ] [OH] [O] [H] & ω M & ω M & ω M 3 & ω M & ω M θ 4 & ω M 6 1 θ θ 3 ( θ4 θ1) 5 ( θ3 θ4 ) ( θ θ θ ) 6 4. (.46) O lgoritmo grl pr obtnção d composição qímic d mistr d gss m dsqilíbrio qímico é prsntdo sgir: 1. Dfinir os ddos: númro do modlo rtivo, tmprtr (T) prssão totl (p).. Lr os coficints trmodinâmicos ( ki ) ds Eqs. (.17) (.19). 3. Inicilizr s frçõs mássics (Y i ). Cálclo inicil ds concntrçõs mássics (C i ) ds spécis d concntrção totl (C), com s rlçõs: C ρi Yi ρ M M i i i p i R T, (.47) N C C i1 i p R T, (.48) sndo ρ mss spcífic d mistr d gss ρ i mss spcífic d spéci i. 4. Clclr nrgi livr d Gibbs pr cd spéci (g i ) com Eq. (.19), vrição d nrgi livr d Gibbs d cd rção j ( G j ), com Eq. (.16) constnt d qilíbrio d cd rção j bsd n prssão prcil (K j ), com Eq. (.15). 5. Clclr constnt d qilíbrio d rção invrs (kb j ), pr cd m ds L rçõs d dissocição. r tnto, são tilizds: s constnts d rção dirts (kf j ) dpndnts do modlo dotdo; s constnts d qilíbrio bsd n concntrção (Kc j ) q são obtids ds constnts d qilíbrio bsds ns prssõs prciis trvés d Eq. (.35); Eq. (.34). 6. Obtr s txs d progrssão ds rçõs (γ j ), tilizndo Eq. (.37).

61 7. r cd m dos modlos, são forncidos os vlors ds txs d ficiênci ds spécis (α ij ), com os qis são clcldos os vlors d λ j com Eq. (.39) o dirtmnt os vlors d λ j. Clclr, ntão, os vlors ds txs d grção d spécis, m mols (θ j ), com Eq. (.38). 8. Clclr s txs d grção d mss ( ω& i ) pr cd m ds spécis do modlo, tilizndo Eq. (.40). 9. Rptir os pssos 4 8 té q sj tingido o númro máximo d itrçõs RESUMO DO CAÍTULO A conqist do spço ns últims décds dv-s, sobrtdo, à tilizção d fogts proplsão líqid (HABIBALLAH t l., 1998), sobrssindo-s tilizção do pr hidrogênio/oxigênio como pr proplnt, q dv continr sr m dos prs prfridos pls próxims décds (HAIDN HABIBALLAH, 003), o ldo d novos prs proplnts, como o qrosn o oxigênio. O início do dsnvolvimnto dos fogts s confnd o dsnvolvimnto bélico, dtndo os primiros rtftos o séclo XII. O implso no dsnvolvimnto d fogts ( d Astronátic como m todo) ocorr, contdo, drnt o séclo XX, spcilmnt prtir d décd d Estdos sobr gomtri idl pr tbirs, modlos nidimnsionis, tsts státicos m bncds códigos comptcionis form ftdos drnt s últims décds, bscndo smpr o primormnto do conhcimnto sobr fnomnologi do scomnto rtivos m motors-fogt. Utilizms, tlmnt, códigos comptcionis dotdos d modlos bi tridimnsionis, cpzs d modlr scomntos trblntos fitos d trocs térmics ntr os gss d combstão strtr d tbir; obsrv-s, contdo, q m pocos trblhos é fit m nális dos rros nméricos ssocidos às simlçõs ftds, como form d mntr confibilidd do rsltdo nmérico obtido. Nst cpítlo foi prsntdo, brvmnt, m pnorm histórico do stdo d fogts, bm como os prâmtros d intrss mprgdos nst trblho (como mpxo, rzão d mistr implso spcífico). Tmbém foi dscrit mtodologi mprgd n dtrminção d composição m condiçõs d qilíbrio d dsqilíbrio qímicos. r dtrminção ds condiçõs d qilíbrio qímico é tilizd mtodologi bsd ns constnts d qilíbrio, conform pod sr ncontrd m Ko (1986). r

62 60 tnto, são tilizdos polinômios intrpoldors pr dtrminção ds propridds trmofísics ds spécis qímics nvolvids n rção, obtidos d McBrid t l. (1993). N dtrminção ds condiçõs d qilíbrio, nov difrnts modlos pr o pr proplnt H /O form tilizdos, com m númro totl d spécis vrindo ntr três oito contndo d nnhm 18 rçõs d dissocição. A mtodologi mprgd pr dtrminção ds condiçõs d dsqilíbrio qímico tmbém foi prsntd, sndo q, pr st cso, pns modlos qímicos d sis d oito spécis form considrds. Rsslt-s q mbs s mtodologis são gris, podndo sr mprgds pr qisqr modlos qímicos d rçõs.

63 3 MODELAGEM COMUTACIONAL E ESTIMATIVA DE ERROS 61 A rápid volção d cpcidd d procssmnto dos comptdors tm possibilitdo tilizção d técnics nmérics n solção d qçõs difrnciis prciis q modlm divrsos problms, mitos dls complxos, ns árs d ngnhri d físic (MALISKA, 1995; ROACHE, 1998; ZHANG t l., 001). Tl volção, ssocid à tilizção d técnics comptcionis, como o procssmnto prllo, rflt-s positivmnt no csto rltivo d xprimntção nméric (simlçõs), q vm s rdzindo m comprção à xprimntção convncionl. Obsrv-s, contdo, q mbor simlção não sbstit (nm sbstitirá) xprimntção convncionl, tilizção d modlos nméricos dsmpnh m fnção importnt no projto, n nális n otimizção d sistms d ngnhri (ROY, 005). Um xmplo d tilizção conjnt d xprimntção convncionl d métodos nméricos pod sr visto drnt concpção do roporto d Knsi (Jpão), cjo projto d r condiciondo foi rlizdo tilizndo-s divrss simlçõs nmérics, sgids por nsios m m modlo rdzido, constrído com o intito d complmntr o stdo nmérico (FORTUNA, 000). Tmbém no projto d viõs o so d técnics nmérics é bstnt difndido, visndo à rdção do trblho d lbortório; como xmplo, cit-s o cso do Boing , cj tl configrção só foi possívl grçs inúmros xprimntos nméricos (MALISKA, 1995). r q simlção nméric lcnc s plno potncil, ntrtnto, é ncssário q s obtnh pln confinç d q os rsltdos nméricos obtidos sjm m crd rprsntção d rlidd. Isto pod sr lcnçdo tilizndo-s frrmnts como vlidção vrificção nmérics (ROY, 005). Nst cpítlo srão prsntdos os modlos físicos, mtmáticos nméricos tilizdos pr implmntção dos códigos Mch1D, vrsão 5.0, MchD, vrsão 6.0. São borddos, otrossim, spctos fndmntis d Dinâmic dos Flidos Comptcionl (commnt brvido como CFD, d trminologi ingls Compttionl Flid Dynmics ) mprgdos pr obtnção dos modlos nméricos. Nst cpítlo srão disctids, iglmnt, s frrmnts d stimtiv d rros nméricos tilizds no dcorrr dst trblho.

64 6 3.1 MODELOS UNIDIMENSIONAIS Em m tbir rl, mistr d gss d combstão prsnt m comportmnto tridimnsionl, dvido vriçõs zimtis, tmporis /o oscilçõs rsltnts d intrçõs ntr combstão, vporção mistr d proplnts. Not-s, contdo, q por divrss vzs, tl comportmnto é idlizdo por mio d m modlo bidimnsionl xissimétrico. Nst cso, obsrv-s q o longo d m sção trnsvrsl o scomnto, os cmpos d tmprtr d vlocidd vrim pns o longo do rio do ixo xil d tbir. Nst cso, m m dd sção trnsvrsl o ixo xil do motor-fogt, obsrvms vlors mis lvdos pr tmprtr vlocidd n rgião cntrl mis bixos n rgião priféric do scomnto. Atnt-s, contdo, q msmo q o so d modlos mltidimnsionis tnh s difndido no projto d novos fogts, é citávl tilizção d modlos nidimnsionis, modificds propridmnt por corrçõs postriors, com finlidd d prvr o scomnto rtivo m motors-fogt (SUTTON BIBLARZ, 001). Obsrv-s, tmbém, q modlos nidimnsionis podm sr tilizdos como frrmnts xilirs n comprnsão d fnômnos físicos, podndo sr s implmntção ncrd como tp inicil pr o dsnvolvimnto d frrmnts bi tridimnsionis. Dst modo, foi rlizd implmntção d m código nidimnsionl, cpz d solcionr o scomnto rtivo (o não) d m mistr d gss (o gás monospéci) o longo d m tbir: o código Mch1D, vrsão 5.0. Tl código, scrito m linggm Fortrn 95 ( compildo com o Compq Visl Fortrn 6.6), rsolv cinco modlos físicos ( mtmáticos) distintos: 1. solção nméric d scomnto monospéci, com propridds constnts;. solção nméric d scomnto monospéci, com propridds vriávis; 3. solção nméric d scomnto congldo; 4. solção nméric d scomnto m qilíbrio qímico locl; 5. solção nméric d scomnto com tx finit d rção. A solção nlític (isntrópic) é clcld qlqr q sj o modlo físico dotdo. Isto s dv o fto d q ss rsltdos são tilizdos como stimtiv inicil pr os dmis modlos físicos. Nos dois primiros modlos físicos, por s trtrm d scomntos d monospéci, não são tilizdos qisqr modlos d rçõs qímics. A prsnç dsss modlos só é obsrvd pr os modlos q trtm d mistrs d gss,

65 63 m vz q pr tis modlos há ncssidd do conhcimnto d composição qímic d mistr gsos pr dtrminção d ss propridds trmodinâmics. A combstão, pr os modlos mltispécis, é simld trvés d m modlo idl, não s lvndo m considrção fnômnos como mdnç d fs (líqido-vpor) d mistr combstívl-oxidnt, o prâmtros como o tmnho ds gots d combstívl. Considr-s, otrossim, q todos os prodtos do procsso d combstão s prsntm m s fs gsos, ltricmnt ntros, constitindo-s m m mistr prfitmnt homogên Modlos físicos N concpção do código Mch1D, vrsão 5.0, cinco difrnts modlos físicos form dotdos: dois modlos monospéci (o primiro prsntndo propridds constnts o sgndo possindo propridds vriávis) três modlos pr mistrs d gss (corrspondnts os scomntos congldo, m qilíbrio qímico locl m dsqilíbrio qímico). r cd m dos modlos citdos, lgms considrçõs form mprgds, sndo prsntds n sqüênci. Escomnto monospéci com propridds constnts: r st modlo é tilizdo m gás monospéci comprssívl com propridds constnts, sndo sts informds plo sário do código. Os fitos viscosos sobr o scomnto podm sr dsprzdos o não, critério d nális ftd; isto é válido tmbém pr os fitos d troc d clor bm como os fitos d dissipção viscos. Com rlção o scomnto, dmit-s m scomnto intrno, não-rtivo, qsnidimnsionl, m rgim prmnnt. ropridds, como o ftor d trito d Drcy (f), o ftor d rcprção (rc), cj dfinição é forncid n sção 3.1., o coficint d convcção ntr o gás prd (h g ), são considrds constnts. A tbir possi m sção trnsvrsl circlr, d ár vriávl, dotd d prds dibátics (o não). Os fitos d rdição térmic podm (o não) sr dsprzdos propridds como missividd médi ntr prd o gás (ε ) tmprtr d prd (T wll ) são tomds como constnts.

66 64 Escomnto monospéci com propridds vriávis Est modlo s difrnci do ntrior plo fto d o flido (nst trblho, vpor d ág) prsntr lgms propridds vriávis: clor spcífico prssão constnt (c p ), rzão ntr clors spcíficos (γ), viscosidd bsolt (µ) condtividd térmic (k), todos clcldos dirt o indirtmnt trvés d polinômios intrpoldors obtidos d McBrid t l. (1993). Escomnto congldo S vlocidd o longo do scomnto for mito lvd m rlção à vlocidd ds rçõs qímics, o tmpo d prmnênci dos gss no intrior do motor-fogt é mito pqno; nst cso, prticmnt não s vrificm modificçõs n composição qímic d mistr d gss no intrior d tbir. Spõ-s, ssim, q composição qímic dos gss d combstão sj msm, dsd câmr d combstão té xstão d tbir, sndo st condição conhcid como modlo d scomnto congldo (ANDERSON JR., 1990). Nst cso, composição qímic é clcld m únic vz, n dtrminção d mistr homogên dos gss drnt o procsso d combstão. A difrncição ntr os modlos físicos d scomnto monospéci com propridds vriávis o scomnto congldo rsid, fndmntlmnt, plo fto d q st último contmpl m mistr d gss, com té oito spécis do sistm H /O (conform Tbl.1, prsntd n sção.4). Dst form, são obtids s propridds trmofísics pr cd spéci q compõ mistr, sndo ntão vlids s propridds d mistr, tilizndo-s, pr tnto, s frçõs mássics d cd spéci. Escomnto m qilíbrio qímico locl Qndo vlocidd ds rçõs qímics é xtrmmnt lvd, pod-s considrr q mistr d gss ting o qilíbrio qímico m todos os pontos do scomnto. Tm-s, ntão, m sgndo cso d idlizção do modlo físico rl, conhcido como scomnto m qilíbrio qímico locl (ANDERSON Jr, 1990). Assim, dtrminção d composição qímic dv sr ftd pr cd m dos volms finitos, nos qis o domínio é dividido, sndo st difrnç fndmntl ntr os modlos d scomnto congldo m qilíbrio qímico locl. Os modlos d scomnto congldo

67 65 d scomnto m qilíbrio qímico locl s constitm nos dois csos-limit: o primiro corrspondnt o modlo d vlocidd d rção nl o sgndo o d vlocidd d rção infinit m rlção à vlocidd d scomnto. Escomnto m dsqilíbrio qímico locl (o com tx finit d rção) Similrmnt à condição d qilíbrio qímico locl, no scomnto com tx finit d rção obsrv-s vrição d composição qímic d mistr d gss d combstão pr cd sção trnsvrsl o longo do scomnto. Contdo, n tx finit, por s trtr d m condição d não-qilíbrio, dvm sr stimds s txs d grção d mss d cd spéci qímic prsnt no scomnto, difrntmnt do obsrvdo no modlo d qilíbrio qímico locl. Os modlos qímicos dotdos pr o scomnto com tx finit d rção form scolhidos ntr os d sis d oito spécis qímics tilizdos pr os scomntos congldo m qilíbrio qímico locl. Obsrv-s, ntrtnto, sênci do modlo qímico 4 divisão do modlo qímico 3 m dois, conform pod sr visto n Tbl 3.1. Tbl 3.1: Modlos d rçõs qímics implmntds no progrm Mch1D 5.0, pr scomnto m dsqilíbrio qímico. Modlo L N Espécis nvolvids Obsrvçõs H O, O, H, OH, O, H H O, O, H, OH, O, H H O, O, H, OH, O, H H O, O, H, OH, O, H rçõs com 3º corpo d Brros t l. (1990) 4 rçõs com 3º corpo d Smith t l. (1987) 8 rçõs, sndo 4 com 3º corpo; modlo d Brros t l. (1990) 8 rçõs, sndo 4 com 3º corpo; modlo d Smith t l. (1987) H O, O, H, OH, O, H, HO, H O 6 rçõs com 3º corpo, sndo 4 modlo 31 do modlo d K t l. (1990) H O, O, H, OH, O, H, HO, H O 18 rçõs, sndo 5 com 3º corpo; modlo d K t l. (1990)

68 Modlo mtmático O modlo mtmático dotdo pr cd m dos cinco modlos físicos é bstnt similr, sndo bsdo ns qçõs d consrvção d mss, d consrvção d qntidd d movimnto linr, d consrvção d nrgi térmic n d stdo dos gss prfitos, dds nst ordm, por (pr hipóts d rgim prmnnt) (KUNDU, 1990; MALISKA, 1995): d ( ρ S ) 0, (3.1) dx d dx d ρ S, (3.) dx ( S ) d d ( c p ) ( S T ) S Sq / tf f ρ, (3.3) dx dx ρ R T, (3.4) sndo: ρ,, T s qtro vriávis dpndnts, rprsntndo mss spcífic, vlocidd, prssão tmprtr, nst ordm; x rprsnt coordnd xil d tbir; S ár d sção trnsvrsl o longo do ixo longitdinl d tbir; R constnt d mistr d gss no intrior d tbir (c p ) f o clor spcífico congldo, prssão constnt, d tl mistr. A prcl S q/tf constiti-s m m trmo-font d qção d nrgi, Eq. (3.3), cjo vlor é nlo no cso d scomntos monospéci congldo dv sr vlido trvés d sgint xprssão (KUO, 1986): S N d q / tf hi ( S Yi ), i 1 dx ρ (3.5) no cso d scomnto m qilíbrio qímico locl; por (KUO, 1986):

69 S N q / tf S hi wi, i 1 67 & (3.6) no cso d scomnto m dsqilíbrio qímico locl, obsrvndo-s q: N é o númro totl d spécis qímics; Y i, h i w& i, nss ordm, rprsntm frção mássic, ntlpi tx d grção d m spéci qímic i. É importnt obsrvr, tmbém, q no cso dos scomntos m qilíbrio qímico locl m dsqilíbrio qímico, o clor spcífico congldo prssão constnt (c p ) f rzão ntr os clors spcíficos (γ) são vriávis d cordo com posição n tbir. Nst cso, tis propridds dvm sr stimds trvés d xprssõs spciis, prsntds sgir (KUO, 1986): N ( c ) p Yi ( c p ) f i 1 f i, (3.7) p ) f i sndo ( c o clor spcífico pr cd spéci qímic i, m cd volm d control (dmitid composição qímic constnt pr ss volm), obtido trvés d Eq. (.17), ( c p ) f ( c ) R 1 γ, (3.8) N X i p 1 M f i M i1 T sndo X i frção molr d spéci i constnt d mistr d gss obtid por (KUO, 1986) R N i 1 Y i R i. (3.9) No cso do scomnto m dsqilíbrio qímico, fz-s ncssário tilizr m qint rlção, lém ds Eqs. (3.1) (3.4): qção d consrvção d mss pr cd spéci qímic i isoldmnt (KUO, 1986; KEE t l., 1990), d dx ( S Yi ) S w& i ρ, (3.10)

70 68 sndo (KEE t l., 1990): L ( ν ij θ j ) w& i M i, (3.11) j 1 n ql:, clcldo por ν ij ν ij ν ij, rprsnt difrnç ntr o númro d mols ν ij formdos consmidos drnt rção j; θ j é tx d grção d spécis rlciond à rção j; L é o númro totl d rçõs qímics Modlo nmérico Os coficints trmos-fonts ds qçõs discrtizds são prsntdos no Apêndic A, sndo fitos nst sção comntários gris sobr s obtnção. As qçõs q modlm mtmticmnt o scomnto no intrior d tbir são discrtizds trvés do método d volms finitos. A tbir é dividid m Nvol volms d control, n dirção xil (x), sndo fit intgrção d cd m ds qçõs difrnciis Eqs. (3.1) (3.3) m m dos volms. A mlh, constitíd plos volms d control, pod sr niform o não, sndo tilizdo o sqm d volms d fcs cntrds. É tilizd, tmbém, m formlção dqd qlqr rgim d vlocidds (MARCHI MALISKA, 1994), com rrnjo co-loclizdo d vriávis (MALISKA, 1995) fnçõs d intrpolção d primir ordm (UDS) o d sgnd ordm (CDS) com corrção did (FERZIGER ERIĆ, 001). A scolh por m o otr fnção d intrpolção é fit trvés d m ftor β (β 0, sqm UDS; β 1, sqm CDS), q prmit otrossim m fnção d intrpolção mist, no cso d 0 < β < 1. Do procsso d discrtizção, rslt m sistm lgébrico d qçõs linrs, cj solção é lcnçd tilizndo-s o método TDMA (VERSTEEG MALALASEKERA,1995; TANNEHILL t l., 1997; FERZIGER ERIĆ, 001). Dv-s tntr q, plo fto d sr tilizd m formlção dqd qlqr vlocidd, é obtido o prfil d vlocidds pr todo o scomnto não somnt pr rgião sprsônic, como é commnt prsntdo tilizndo-s o método ds crctrístics (SMITH t l., 1987; BARROS, 1993). D qção d consrvção d qntidd d movimnto, Eq. (3.), obtém-s m sistm d qçõs pr dtrminção d vlocidd nodl ( ). Com rlção à qção d consrvção d mss, Eq. (3.1), é tilizdo o Método SIMLEC (VAN DOORMAAL

71 RAITHBY, 1984) pr o coplmnto prssão-vlocidd, trnsformndo tl qção m m rlção pr obtnção d m corrção d prssão ( ). Em fnção d ncssidd d q s vlocidds ns fcs do volm d control fossm vlids, tiliz-s qção d consrvção d qntidd d movimnto linr discrtizd pr m volm d control s vizinho jsnt E. Combinndo-s mbs s qçõs, conform proposto por Mrchi Mlisk (1994), obtêm-s xprssõs pr s fcs montnt (ost, w ) jsnt (lst, ) do volm d control. A tmprtr no volm d control é obtid dirtmnt d discrtizção d qção d nrgi, Eq. (3.3), difrntmnt d otros trblhos m q tl qção é formld m fnção d ntlpi (BARROS, 1993; LAROCA, 000). or último, mss spcífic (ρ) é dtrmind prtir ds dmis propridds trmodinâmics, tilizndo-s pr tnto qção d stdo, Eq. (3.4) Condiçõs d contorno As condiçõs d contorno mprgds n modlgm nidimnsionl stão rprsntds n Figr 3.1, sndo sgir dfinids: Condiçõs d ntrd: A tmprtr (T) prssão() d mistr d gss d combstão são tomds como fnçõs ds propridds d stgnção; composição qímic (frçõs mássics - Y i ) ds spécis qímics é dfinid prtir d tmprtr prssão locis; vlocidd () n ntrd é xtrpold linrmnt d vlocidd no intrior d câmr-tbir. T f ( T 0 ); Y i f ( T, ); f ( ) 0 d 0 dx (3.1) Condiçõs n síd d tbir: A solção do scomnto m tbirs não rqr condiçõs d contorno n síd qndo o scomnto é sprsônico nss rgião. Contdo, pr implmntção d m modlo nmérico, há ncssidd d spcificção ds condiçõs d contorno pr tl rgião. Sndo ssim, s condiçõs d contorno n síd d tbir pr tmprtr (T), prssão (), vlocidd ()

72 frçõs mássics (Y i ) são tomds como xtrpolçõs linrs dsss propridds pr os vlors ncontrdos no intrior d câmr-tbir. 70 d T dx d dx 0; 0; d d dx Yi dx 0 0 (3.13) Figr 3.1: Condiçõs d contorno pr o scomnto 1D n tbir Algoritmo do código Mch1D 5.0 É prsntdo, n sqüênci, o lgoritmo básico pr solção do scomnto rtivo (o não) d mistr d gss (o gás monospéci) no intrior d m tbir. Tl lgoritmo foi implmntdo no código Mch1D, vrsão 5.0, tilizndo-s como linggm d progrmção Fortrn 95 compildor Compq Inicilizção dos cmpos d prssão (), tmprtr (T), vlocidd () mss spcífic (ρ), no instnt d tmpo t, tilizndo solção nlític pr scomnto isntrópico d gás prfito.. Estimtiv dos cmpos pr o instnt d tmpo t t ( intgrção d tods s qçõs é bsd m m formlção totlmnt implícit, sndo o tmpo tilizdo

73 71 pns como prâmtro d rlxção, m vz q s solcion m scomnto m rgim prmnnt). 3. Dtrminção d propridds trmofísics, como clor spcífico prssão constnt (c p ), rzão ntr clors spcíficos (γ) constnt do gás o d mistr d gss (R). 4. Estimtiv d prssão d vlocidd d ntrd n tbir. 5. Cálclo dos coficints orindos d discrtizção d qção d qntidd d movimnto linr consqünt solção do sistm lgébrico d qçõs, trvés do método TDMA, obtndo-s o cmpo d vlocidds. 6. Cálclo dos coficints do método SIMLEC. 7. Cálclo d vlocidd ns fcs. 8. Estimtiv d tmprtr n ntrd d tbir. 9. Cálclo dos coficints orindos d discrtizção d qção d nrgi postrior solção do sistm lgébrico d qçõs, trvés do método TDMA, obtndo-s o cmpo d tmprtrs T. 10. Cálclo d mss spcífic pr o intrior s fcs dos volms d control. 11. Cálclo dos coficints orindos d discrtizção d qção d consrvção d mss postrior solção do sistm lgébrico d qçõs, trvés do método TDMA, obtndo-s o cmpo d corrção d prssão. 1. Corrção d prssão nodl, d mss spcífic ns fcs no intrior dos volms d control d vlocidd nodis ns fcs dos volms, tilizndo. 13. Cso s trt d modlo d scomnto com tx finit d rção, cálclo dos coficints, trmos-fonts condiçõs d contorno pr s frçõs mássics Y i, solcionndo o sistm grdo trvés do método TDMA. 14. Rtornr o itm, té tingir o númro dsjdo d itrçõs. 15. ós-procssmnto. 3. MODELOS BIDIMENSIONAIS Os modlos nidimnsionis tilizdos n nális d scomntos rtivos m tbirs forncm, d m modo grl, stimtivs stisftóris pr s divrss propridds do msmo, como tmprtr, prssão, vlocidd xil /o o númro d Mch (SUTTON BIBLARZ, 001). Em crts sitçõs, porém, os modlos nidimnsionis não prsntm

74 7 rsltdos citávis,como m stdos d choqs oblíqos. Atnt-s, otrossim, o fto d q o scomnto rl n tbir prsnt m comportmnto bidimnsionl, m q os cmpos ds propridds vrim não pns xilmnt o longo d linh d simtri do motor-fogt, ms tmbém rdilmnt. or ss motivo, divrsos modlos mltidimnsionis têm sido lbordos implmntdos, como qls propostos por Brros (1993) Wng (006). Nst sção são prsntdos os modlos físicos, mtmático nmérico inrnts o código MchD 6.0, dstindo à solção d scomnto rtivo (o não) d m mistr d gss (o d m gás monospéci) m motors-fogts. Tl código foi implmntdo m linggm Fortrn 95, tilizndo-s compildor Compq Visl 6.6. Emprgo-s o Método dos Volms Finitos n discrtizção ds qçõs difrnciis, tilizndo-s volms fictícios pr plicção ds condiçõs d contorno. A combstão, ssim como no código Mch1D, foi idlizd, não s lvndo m considrção fnômnos como mdnç d fs d mistr combstívl-oxidnt o prâmtros como o tmnho ds gots do combstívl Modlos físicos Os modlos físicos implmntdos no código bidimnsionl são bsicmnt os msmos ntriormnt prsntdos pr o código nidimnsionl: scomnto monospéci com propridds constnts, monospéci com propridds vriávis, scomnto congldo, m qilíbrio qímico locl m dsqilíbrio qímico. Not-s, contdo, q lgms hipótss não inclíds no modlo nidimnsionl form dotds no cso do scomnto bidimnsionl: sênci d fitos viscosos; sênci d trnsfrênci d clor do flido pr prd Modlo mtmático O modlo mtmático é bsdo ns qçõs d consrvção d mss, d consrvção d qntidd movimnto linr ns dirçõs xil rdil (Eqçõs d Elr), qção d nrgi qção d stdo, prsntds nst ordm, considrndo-s m scomnto m rgim prmnnt (KUNDU, 1990):

75 z ( ) ( r ρ v) ρ, (3.14) r r ( ρ ) 1 ( r ρ v ), (3.15) z r r z ( ρ v) 1 ( r ρ v v), (3.16) z r r r ( c ) p f r r [ ( V ) V ] Sq / tf 1 1 ( ρ T ) ( r ρ v T ), (3.17) z r r ρ R T, (3.18) sndo: ρ,, v, T s cinco vriávis dpndnts, rprsntndo mss spcífic, vlocidd xil, vlocidd rdil, prssão tmprtr, nst ordm; z r, s dirçõs xil rdil, rspctivmnt; ( c o clor spcífico congldo prssão constnt; R, ) f p constnt d mistr d gss no intrior d tbir; V r, o vtor vlocidd; S q/tf, o trmofont qímico, ddo por (KUO, 1986): S q / tf N N 1 1 ( ) ( ) ( ) hi ρ Yi hi r ρ v Yi, (3.19) c p i 1 z i 1 r r f pr o modlo d scomnto m qilíbrio qímico locl; (KUO, 1986) S q / tf 1 N ( ) c p f i 1 h w&, (3.0) i i no cso do modlo d scomnto com tx finit d rção, sndo N o númro totl d spécis, Y i, h i w& i, nst ordm, frção mássic, ntlpi tx d grção d mss d spéci qímic i. r os dmis modlos físicos (scomntos monospéci congldo), tl trmo-font é nlo. Dv-s tntr, ind, q no cso do modlo d scomnto com

76 tx finit d rção, há ncssidd d solção d m últim qção pr consrvção mássic d cd spéci qímic i, dd por: 74 1 ( ρ Yi ) ( r ρ v Yi ) w& i, (3.1) z r r sndo w& i obtid tilizndo-s Eq. (3.11). No cso dos scomntos m qilíbrio qímico locl m dsqilíbrio qímico, o vlor do clor spcífico (c p ), mprgdo n qção d nrgi, dv sr obtido pr cd volm d control. r tnto, é tilizd Eq. (3.7) Modlo nmérico O primiro psso pr obtnção do modlo nmérico é trnsformção do sistm d coordnds xissimétrico (z-r) pr m sistm d coordnds gnrlizdo (ξ-η) (MALISKA, 1995). As qçõs trnsformds podm sr scrits d sgint form grl, Eq. (3.), cjos coficints são prsntdos n Tbl 3.. sndo: 1 1 J r ξ 1 1 J r η Φ ( r ρ U Φ) ( r ρ V Φ) ˆ Φ Sˆ, (3.) U V r v, (3.3) η z η v z. (3.4) ξ r ξ O Jcobino (J) é obtido trvés ds fnçõs trnsformds, podndo sr clcldo trvés d sgint xprssão: J z r ξ η 1 r ξ z η. (3.5)

77 75 Tbl 3.: Vlors dos coficints pr qção trnsformd grl. Eqção d consrvção Φ Φ ˆ Mss Qntidd d rη rξ movimnto xil ξ η 0 Qntidd d v zξ zη movimnto rdil η ξ 0 1 r r Enrgi T 0 [ ( V ) V ] Sq / tf Espécis Y i 0 J c p Φ Ŝ w& i J r discrtizção ds qçõs, foi tilizdo o Método dos Volms Finitos, ssocido m formlção dqd pr qlqr vlocidd (MARCHI MALISKA, 1994), rrnjo co-loclizdo d vriávis (MALISKA, 1995) fnçõs d intrpolção d primir ordm (UDS) o d sgnd ordm (CDS) com corrção did (FERZIGER ERIĆ, 001). As condiçõs d contorno form plicds mdint o so d volms fictícios. Do procsso d discrtizção, rslt m sistm lgébrico d qçõs linrs, cj solção é obtid tilizndo-s o método MSI, Modifid Strong Implicit, (SCHNEIDER ZEDAN, 1981). Rsslt-s q por sr tilizdo m formlção dqd qlqr rgim d vlocidds, obtém-s m prfil pr todo o scomnto, dsd ntrd d tbir (rgim sbsônico) té s síd (rgim sprsônico), difrntmnt dos rsltdos commnt prsntdos, bsdos no método ds crctrístics. Ds qçõs d consrvção d qntidd d movimnto linr são obtids xprssõs pr dtrminção ds vlocidds nodis ns dirçõs xil rdil. A qção d consrvção d mss é tilizd pr dtrminção d m corrção d prssão, obtid trvés do coplmnto prssão-vlocidd, mprgndo-s o Método SIMLEC (VAN DOORMALL RAITHBY, 1984). No código MchD tmbém s mostr ncssário vlir s vlocidds ns fcs do volm d control, o q é fito mprgndo-s m procdimnto nálogo prsntdo pr o código Mch1D, mprgndo-s s qçõs d consrvção d qntidd d movimnto linr os volms d control ss vizinhos jsnt (E) sprior (N).

78 76 A obtnção d tmprtr no código MchD é fit dirtmnt prtir d qção d nrgi, m procdimnto nálogo o mprgdo no código Mch1D. E qção d stdo é mprgd pr obtnção d mss spcífic, sndo conhcids s dmis propridds trmodinâmics d mistr d gss (o do gás monospéci). Os coficints trmos-fonts provnints d discrtizção do modlo bidimnsionl são prsntdos no Apêndic B Condiçõs d contorno As condiçõs d contorno, mostrds n Figr 3., são dfinids como s sg: Condiçõs d ntrd: A tmprtr (T) prssão() d mistr d gss d combstão são tomds como fnçõs ds propridds d stgnção; composição (frçõs mássics - Y i ) ds spécis qímics é dfinid prtir d tmprtr prssão locis; vlocidd xil () n ntrd é xtrpold linrmnt d vlocidd no intrior d câmr-tbir, nqnto vlocidd rdil (v) é nl. Y i T f ( T ); 0 f ( T, ); f ( ); 0. (3.6) d 0; v 0 dz Condiçõs n prd d tbir: rd dibátic, imprmávl. Condiçõs no cntro d tbir (linh d simtri): Condiçõs d simtri (imprmávl, diátic). Condiçõs n síd d tbir: A solção do scomnto m tbirs não rqr condiçõs d contorno n síd qndo o scomnto é sprsônico nss rgião. Contdo, pr implmntção d m modlo nmérico, há ncssidd d spcificção ds condiçõs d contorno pr tl rgião. Sndo ssim, s condiçõs d contorno n síd d tbir pr tmprtr (T), prssão (), vlocidds xil () rdil (v) frçõs mássics (Y i ) são tomds como xtrpolçõs linrs dsss propridds pr os vlors ncontrdos no intrior d câmr-tbir.

79 77 d Yi dz d dz T 0; 0; d dz d dz 0; 0; d dz v 0. (3. 7) Figr 3.: Condiçõs d contorno plicds à tbir D Algoritmo do código MchD 6.0 N sqüênci é prsntdo o lgoritmo pr solção do scomnto bidimnsionl dos gss d combstão no intrior d tbir. r tnto, form tilizds s qçõs d consrvção d qntidd d movimnto ns dirçõs xil rdil, d consrvção d nrgi d consrvção d mss (já discrtizds), bm como qção d stdo. 1. Litr dos ddos.. Grção d mlh. 3. Cálclo ds métrics ( z ξ, zη, rξ, rη ). 4. Estimtiv inicil pr o momnto t t. 5. Cálclo d prssão d tmprtr n ntrd d tbir com bs n vlocidd d ntrd. 6. Cálclo do clor spcífico prssão constnt.

80 7. Cálclo dos coficints, trmos-fonts condiçõs d contorno pr vlocidd, solcionndo o sistm grdo trvés do método MSI. 8. Cálclo dos coficints, trmos-fonts condiçõs d contorno pr vlocidd v, solcionndo o sistm grdo trvés do método MSI. 9. Cálclo dos coficints, trmos-fonts condiçõs d contorno pr tmprtr T, solcionndo o sistm grdo trvés do método MSI. 10. Cálclo d ρ d ρ, trvés d qção d stdo. 11. Cálclo dos coficints do método SIMLEC. 1. Cálclo d U d V n (vlocidd contrvrint n fc lst vlocidd contrvrint n fc nort do volm d control). 13. Cálclo dos coficints, trmos-fonts condiçõs d contorno pr corrção d prssão, solcionndo o sistm grdo trvés do método MSI. 14. Corrção ds vriávis tilizndo-s corrção d prssão. 15. Rtornr o itm 13 té tingir o númro máximo d itrçõs do ciclo d mss. 16. Cso s trt d modlo d scomnto com tx finit d rção, cálclo dos coficints, trmos-fonts condiçõs d contorno pr s frçõs mássics Y i, solcionndo o sistm grdo trvés do método MSI. 17. Rtornr o itm 4, té tingir o númro máximo d itrçõs o stisfzr m critério d convrgênci. 18. ós-procssmnto ESTIMATIVA DE ERROS Dvido à crscnt cpcidd d procssmnto dos comptdors vnços n comptção prll, o csto d simlção nméric tm diminído m rlção à xprimntção trdicionl, tornndo- m importnt frrmnt no projto, nális otimizção d sistms m ngnhri. Obsrv-s, no ntnto, q os rsltdos ds solçõs nmérics dvm sr m rprsntção crd d rlidd, ssgrndo confibilidd ncssári o progrmdor /o sário do código (ROY, 005). Tl confibilidd tmbém s fz ncssári m pblicçõs cintífics, como tstm s polítics d pblicção d rvists como Jornl of Flids Enginring, Jornl of Ht Trnsfr Jornl of Spccrft nd Rockts, ntr otrs (ROACHE, 1998).

81 79 Com o intito d s obtr confibilidd ns solçõs nmérics, rcorr-s slmnt ds frrmnts: vlidção vrificção (ROY, 005). A vlidção rlcion-s com o gr d fidlidd q m dtrmindo modlo prsnt o rprsntr m crto fnômno físico. Rliz-s st nális, m grl, comprndo-s sistmticmnt os vlors obtidos com rsltdos xprimntis (METHA, 1996; AIAA, 1998; ROACHE, 1998; FORTUNA, 000; ROY, 005). A vrificção, por s vz, rlcion-s com o gr d corrção d m modlo implmntdo, isto é, dv-s confirmr q implmntção d m modlo (rprsntd por qçõs, prâmtros métodos nméricos dotdos) rprsnt s dscrição concitl (METHA, 1996; AIAA, 1998; ROACHE, 1998; FORTUNA, 000). Existm dois spctos fndmntis ligdos à vrificção: vrificção do código vrificção d solção. A vrificção do código constiti-s n ssrção, tnto qnto possívl, d q não xistm rros o inconsistêncis no lgoritmo implmntdo. A vrificção d solção, por otro ldo, consist no procsso d qntificção dos rros (nméricos) dcorrnts d tod qlqr simlção nméric. Atnt-s q, nqnto vrificção do código é rlizd normlmnt m únic vz, vrificção d solção dv sr rlizd smpr q m simlção é significtivmnt difrnt dqls ntriormnt rlizds (ROY, 005). Nst contxto, é imprscindívl o stdo d rros nméricos, o q é fito brvmnt nst sção Gnrlidds A solção nméric d problms d scomnto d flidos ( d trnsfrênci d clor) origin, somnt, solçõs proximds. Dst form, srg m difrnç ntr solção nméric (φ ) nlític xt ( Φ ), pr qlqr vriávl d intrss, sndo tl difrnç dnomind d rro d solção nméric o, simplsmnt, rro nmérico E ( φ) (FERZIGER ERIĆ, 001): ( φ) Φ φ E. (3.8) Est rro pod sr ocsiondo por divrss fonts, sndo clssificdo m (MARCHI, 001): rros d trncmnto (E T ), rros d itrção (E n ), rros d rrdondmnto (E π ) rros d progrmção (E p ), o sj,

82 ( ) E( E E, E E ) T, n π p 80 E φ,. (3.9) Erros d trncmnto são originários do procsso d discrtizção d m modlo mtmático (TANNEHILL t l., 1997). Ao rro d trncmnto stá rlciondo o concito d consistênci d m método nmérico. r q m método sj consistnt, é ncssário q o rro d trncmnto torn-s nlo pr mlhs nmérics bstnt rfinds, o sj, qção discrtizd dv tndr à qção originl, qndo mlh tnd zro (MALISKA, 1995). A consistênci, contdo, não grnt q solção do problm discrtizdo sj solção xt pr mlhs xtrmmnt rfinds; pr tnto, é ncssário q hj stbilidd do método. A stbilidd m m método nmérico é obtid qndo os rros não crsçm m mgnitd n sqüênci dos procdimntos nméricos pr obtnção d solção (TANNEHILL t l., 1997). Consistênci stbilidd são condiçõs ncssáris sficints pr convrgênci. A solção nméric é convrgnt qndo é stávl tnd pr solção ds qçõs difrnciis qndo mlh é rfind (MALISKA, 1995). Erros d itrção stão ssocidos à tilizção d métodos itrtivos n solção dos sistms d qçõs lgébrics obtids do procsso d discrtizção ds qçõs difrnciis govrnnts do fnômno físico stddo. Considrndo-s q solção do sistm d qçõs sj únic, dfin-s o rro d itrção como sndo difrnç ntr solção xt solção do sistm d qçõs m m dd itrção (FERZIGER ERIĆ, 001). Ess rro pod sr origindo por difrnts ftors (MARTINS, 00), como: o mprgo d métodos itrtivos pr solção ds qçõs discrtizds, o so d métodos sgrgdos n obtnção d solção d modlos constitídos por váris qçõs difrnciis, o ind pl xistênci d não-linridds no modlo mtmático. Erros d rrdondmnto stão rlciondos à cpcidd finit d rprsntção d m crto númro por m comptdor. Dst form, os númros são rmzndos lvndo-s m considrção m númro limitdo d dígitos, q vri d cordo com linggm d progrmção, o tipo d vriávl tilizdo o procssdor mprgdo (MARTINS, 00). Erros d progrmção, por s vz, são inrnts o progrmdor à tilizção do código implmntdo, inclindo bsicmnt (ROACHE, 1998): os rros rsltnts do so incorrto d m modlo nmérico n proximção d m modlo mtmático, os rros grdos n implmntção do modlo nmérico m m código comptcionl, os rros comtidos no so do código drnt solção nméric qisqr otrs fonts d rro.

83 A mgnitd citávl pr o rro nmérico dpnd, ntr otros ftors, d finlidd d solção nméric, dos rcrsos finnciros nvolvidos, do tmpo prmitido pr rlizr s simlçõs dos rcrsos comptcionis disponívis. Sbndo-s q s solçõs nmérics contêm rros, é importnt stimá-los plos sgints motivos (MARCHI, 001): qndo o rro é mior q o citávl, compromt-s confibilidd do so d solção nméric; qndo o rro é mnor q o ncssário, há dsprdício d rcrsos comptcionis (tmpo d procssmnto qntidd d mmóri); pr vlidr dsnvolvr modlos mtmáticos q vism xplicr modlos físicoqímicos ind não modldos dqdmnt cjs solçõs nlítics são dsconhcids (como xmplo, cit-s modlgm d scomntos trblntos); pr otimizr o so d mlh, isto é, dptá-l visndo homognizr o nívl d rro no domínio d cálclo; pr vitr intrprtçõs qivocds. O rro nmérico indpnd dos rsltdos xprimntis, sndo vlido, ntrtnto, somnt qndo solção nlític do problm é conhcid. Dst modo, pr grnd miori dos problms práticos, cj solção nlític é dsconhcid, o rro nmérico não pod sr obtido. Dv-s, ntão, stimr o vlor d solção nlític, clclndo-s, nss cso, m rro stimdo, tmbém dnomindo incrtz (U) d solção nméric (METHA, 1996) o stimtiv do rro, conform convnção dotd nst trblho. Dst form, incrtz d solção nméric d m vriávl d intrss qlqr é vlid trvés d difrnç ntr s solção nlític stimd ( φ ) própri solção nméric, o sj, 81 ( φ) φ φ U. (3.30) A incrtz d m solção nméric é clcld tilizndo-s stimdors d rro, como os stimdors d Richrdson GCI (ROACHE, 1998), prsntdos n sção Estimdors d rro No cso m q os rros d progrmção, d rrdondmnto d itrção são controldos ponto d srm dsprzívis, obsrv-s q o rro d solção nméric obtid

84 é csdo plos rros d trncmnto. Nst cso, o rro nmérico rcb dnominção d rro d discrtizção (FERZIGER ERIĆ, 001), podndo sr xprsso como: 8 pl p p3 ( ) b h b h b h... E φ, (3.31) 1 3 conhcid como qção grl do rro d trncmnto (o d discrtizção), n ql: os b i são coficints indpndnts do tmnho d mlh (h), ms q podm sr fnçõs d vriávl dpndnt; os p v (isto é, p L, p, p 3...) são s ordns vrddirs do rro. or dfinição, s ordns vrddirs (p v ) corrspondm os xponts d h dos trmos não-nlos. O mnor dos xponts d h n qção grl do rro d trncmnto é dnomindo ordm ssintótic (p L ), q dv sr m númro intiro positivo, stisfzndo condição: p 1. As stimtivs d rro d discrtizção podm sr clssificds m dois grpos básicos (SZÁBO BABUSKA, 1991): stimtivs priori stimtivs postriori. Enqnto s stimtivs d rro priori são tilizds pr stimr ordm do rro d discrtizção (trvés d stimtiv do rro d trncmnto vi séri d Tylor), s stimtivs d rro postriori são sds ftivmnt pr vlir mgnitd do rro d discrtizção. As stimtivs d rro postriori podm sr dividids m dois grnds grpos (MARCHI, 001): o primiro, n ql stimtiv d rro é vlid prtir d solção nméric m m únic mlh (slmnt tilizd pr o método d lmntos finitos); o sgndo, n ql s stimtivs d rros são fits tilizndo-s rsltdos d váris mlhs (normlmnt tilizdo pr os métodos d difrnçs d volms finitos). A qlidd d m stimtiv d rro pod sr vlid trvés d s ftividd (θ), dfinid como rzão ntr incrtz (U) o rro (E) (ZHU ZIENKIEWICZ, 1990): L U θ. (3.3) E Um stimtiv d rro é considrd idl qndo s ftividd é igl à nidd (θ 1), o q signific q stimtiv é igl o rro. Nst cso, diz-s q stimtiv é confiávl prsnt máxim cráci possívl. Um stimtiv é considrd confiávl qndo mgnitd d incrtz é sprior à mgnitd do rro d itrção, prsntndo mbs o msmo sinl (MARCHI, 001; MARTINS, 00), o sj, qndo θ 1. S mgnitd d incrtz é próxim d mgnitd do rro d itrção (o q implic m θ 1), diz-s q stimtiv d rro é crd (CHARA CANALE, 1994).

85 83 Obsrv-s, contdo, q pocos são os trblhos q possm náliss d rros pr problms hiprbólicos (como é o cso do scomnto sprsônico). Somnt nos últimos nos stimtiv d rros s control têm rcbido m mior tnção, psr d importânci dss clss d problms m plicçõs prátics (ZHANG t l., 001). Msmo trblhos rcnts, como o d Wng (006) bstnt complto do ponto d vist físico por s stdr o scomnto tridimnsionl rtivo, lvndo-s m considrção fitos rditivos d trnsfrênci d clor trblênci, pcm por não prsntr s stimtivs d rros nméricos ssocidos à solção obtid. Estimdor d Richrdson Utilizndo-s o stimdor d Richrdson (RICHARDSON GAUNT, 197; BLOTTNER, 1990), incrtz (U Ri ) d solção nméric (φ ), pr qlqr vriávl d intrss, é obtid trvés d sgint xprssão: U φ φ, (3.33) Ri sndo φ stimtiv do vlor d solção nlític, obtid trvés d xtrpolção d Richrdson gnrlizd (ROACHE, 1994): 1 ( φ φ ) 1 p ( r L 1) 1 φ φ, (3.34) sndo φ 1 φ s solçõs nmérics obtids m m mlh fin m mlh grossir, rspctivmnt; r 1 rzão d rfino d mlh, dfinid como o qocint ntr o tmnho dos lmntos d m mlh grossir (h ) m mlh fin (h 1 ), o sj, h r 1. (3.35) h 1 r m bo nális d solção nméric, é rcomndávl tilizção d r 1 igl. Dst form, obtém-s sgint xprssão pr o stimdor d Richrdson, bsd n ordm ssintótic do rro:

86 U Ri (, p ) 1 ( φ φ ) 1 p ( r L 1) 1 84 φ, (3.36) L O stimdor d Richrdson tmbém pod sr obtido tilizndo-s ordm prnt do rro (p U ), o invés d ordm ssintótic, rsltdo n sgint xprssão: U Ri (, p ) 1 ( φ φ ) 1 p ( r U 1) 1 φ, (3.37) U sndo ordm prnt (p U ) do rro stimdo n mlh fin dfinid como (pr r 3 r 1 ): p U φ φ3 log φ1 φ, log ( r ) 1 (3.38) ond φ 3 é solção nméric m m mlh sprgross, cjo tmnho dos lmntos é h 3. Além ds ordns ssintótic prnt do rro, m lgns csos pod-s, ind, obtr ordm ftiv (p E ) do rro vrddiro n mlh fin (h 1 ), q é dfinid como: sndo: E ( φ 1 ) ( φ ) p E ( h 1 E log E ) log ( φ ) ( φ ) ( r ) 1 1, (3.39) E o rro vrddiro ds solçõs nmérics φ 1 φ, m ds mlhs difrnts, h 1 (fin) h (grossir), rspctivmnt. As ordns prnt ftiv do rro prmitm vrificr postriori s solçõs nmérics s ordm ssintótic dos rros d discrtizção são tingidos, m vz q st s trt d m rsltdo tórico, clcldo priori ds solçõs nmérics. Estimdor GCI A stimtiv d rro nmérico, tilizndo o stimdor GCI ( Grid Convrgnc Indx ) é fit tilizndo-s sgint xprssão (ROACHE, 1998):

87 U GCI (, p ) 1 p ( r L 1) 1 85 φ 1 φ φ F, (3.40) L S sndo F S m ftor d sgrnç, q slmnt prsnt vlor igl 3. A Eq. (3.40) pod sr gnrlizd pr m ordm d rro p, dndo origm à sgint xprssão: U GCI φ 1 φ φ F, (3.41) (, p) 1 S p ( r 1) sndo p o mnor vlor ntr p U p L, o sj, p min(, ) 1 p U p L, dsd q p U > 0. r o stimdor GCI, solção nméric obtid rprsntd n form: φ φ 1 ±U GCI, (3.4) sndo φ 1 solção nméric obtid n mlh mis rfind U stimtiv do rro (incrtz nméric). No cso dos stimdors d Richrdson, o sinl d incrtz nméric é forncido trvés d própri formlção, sndo solção nméric rprsntd trvés d sgint xprssão: φ φ 1 U Ri. (3.43) 3.4 RESUMO DO CAÍTULO 3 Nst cpítlo form prsntdos os modlos ni bidimnsionis stddos nst trblho, q drm origm os códigos comptcionis Mch1D, vrsão 5.0, MchD, vrsão 6.0. Ambos os códigos form implmntdos tilizndo-s o Método d Volms Finitos, com rrnjo co-loclizdo d mlhs (MALISKA, 1995), método SIMLEC (VAN DOORMAAL RAITHBY, 1984) pr coplmnto prssão-vlocidd, mtodologi dqd qlqr rgim d vlocidds (MARCHI MALISKA, 1994) condiçõs d contorno plicds sndo volms fictícios. Como linggm d progrmção, tilizo-s o

88 86 Fortrn 95, com compildor Visl Compq 6.6. No cso do código MchD form mprgds, otrossim, mlhs não-ortogonis. Em mbos os códigos form implmntdos os msmos modlos físicos: scomnto monospéci com propridds constnts com propridds vriávis scomntos mltispécis (rtivos) congldo, m qilíbrio qímico locl m dsqilíbrio qímico. r os scomntos mltispécis, difrnts modlos qímicos form dotdos, com númro d spécis vrindo ntr três oito númro d rçõs d dissocição ntr nnhm dzoito. Nst cpítlo foi xpost brvmnt, tmbém, trminologi lgms dfiniçõs prtinnts à stimtiv d rros, como clssificção dos rros nméricos s dfiniçõs d cráci confibilidd. Form borddos, otrossim, os stimdors d rro d Richrdson (RICHARDSON GAUNT, 197; BLOTTNER, 1990) GCI (ROACHE, 1998), tilizdos o longo dos próximos cpítlos.

89 87 4 RESULTADOS NUMÉRICOS UNIDIMENSIONAIS Nst cpítlo são prsntdos os rsltdos obtidos com o código Mch1D, vrsão 5.0, dstindo à solção nméric d scomntos rtivos (o não) d mistr d gss (o d scomnto monospéci), o longo d m motor-fogt. Est código, implmntdo m linggm Fortrn 95, com strtr modlr, foi prsntdo n sção 3.1 (modlos físico, mtmático nmérico, bm como o lgoritmo), sndo tilizdo o compildor Compq Visl Fortrn 6.6, pr m projto do tipo Fortrn Stndrd Grphics or QickWin Appliction ritmétic d dpl prcisão. Form fits náliss d rro pr todos os modlos físicos nlisdos, tilizndo-s os stimdors xpostos n sção ARÂMETROS GERAIS r todos os stdos qi prsntdos, foi tilizd m câmr-tbir hipotétic, mprgd nos trblhos d Mrchi t l. (000; 004), sndo compost por m câmr d combstão cilíndric (d rio r in comprimnto Lc) copld m bocl convrgntdivrgnt, d formto cossnoidl (com comprimnto Ln). Tl prfil é mostrdo trvés d Figr 4.1, nqnto gomtri discrtizd, pr m mlh d 80 volms d control, é prsntd n Figr 4.. O rio r d tbir n rgião cossnoidl (x Lc) pod sr obtido trvés d sgint xprssão: r r g ( rin rg ) ( x Lc) 1 cos π Ln, (4.1) cjos vlors são prsntdos n Tbl 4.1. O rio d crvtr (r c ), mostrdo n Figr 4.1, é obtido trvés d sgint xprssão (sndo s vlor tmbém prsntdo n Tbl 4.1): r c π Ln ( r r ) in g. (4.)

90 88 Figr 4.1: râmtros gométricos do motor-fogt. Font: Mrchi t l. (000; 004) osição rdil [m] osição xil [m] Figr 4.: Mlh nidimnsionl com 80 volms d control (gomtri cossnoidl). Tbl 4.1: râmtros gométricos, prâmtros físicos microcomptdor tilizdos nos stdos ftdos. râmtros gométricos (câmr tbir) râmtros físicos Microcomptdor Comprimnto d câmr (Lc) 0,100 m Comprimnto d tbir (Ln) 0,400 m Comprimnto totl (L T ) 0,500 m Rio n câmr / ntrd d tbir (r in ) 0,300 m Rio n grgnt d tbir (r g ) 0,100 m Rio d crvtr (r c ) 0,173 m Rzão r c /r g 1,73 Tmprtr d stgnção (T 0 ) 340,33 K rssão d stgnção ( 0 ),0x10 6 Rzão ntr clors spcíficos (γ) 1 1,1956 Constnt do gás (R) 1 56,97 J/kg K Rzão m mss oxidnt/combstívl (OF) 7, rocssdor ntim IV,,40 GHz / (ntim IV, 3,40 GHz) Mmóri RAM 1 GB / (4 GB) Sistm oprcionl Windows 000 / (Windows X) 1 Vriávl com vlor rbitrdo pns nos modlos monospéci. Utilizdo m simlçõs tilizndo o modlo d qilíbrio qímico locl dsqilíbrio qímico.

91 89 Rsslt-s q no intrior d câmr d combstão não são modldos fnômnos típicos, como mdnç d fs o mistr ntr gots d combstívl d oxidnt. O procsso d combstão é stddo d modo simplificdo, rsltndo pns n composição qímic ns propridds trmoqímics d mistr d gss d combstão isto pr os modlos d scomnto congldo, m qilíbrio qímico d tx finit d rção, m vz q no cso d monospéci, não há ncssidd d modlos d rçõs qímics. Sndo ssim, câmr d combstão srv pns como dto cilíndrico, conctdo à tbir (bocl convrgnt-divrgnt), no ql ocorr o scomnto monospéci (o mistr d gss) provnint do procsso d combstão. Obsrv-s, otrossim, q psr d sr stddo m scomnto m rgim prmnnt, n discrtizção do modlo mtmático mprgo-s m psso d tmpo, o ql pod sr ncrdo como prâmtro d rlxção. 4. ESCOAMENTO MONOESÉCIE COM RORIEDADES CONSTANTES r obtnção d solção nméric dst modlo físico (bm como pr os dmis modlos) é tilizdo o código Mch1D, vrsão 5.0, mprgndo-s s sgints opçõs d otimizção: Cod gnrtion : ntim IV (comptívl com o microcomptdor tilizdo); Mth Librry: fst. Optimiztions : Mximm optimiztions rocssor: ntim 4. Gnrl : Dbgging lvl: Non. Not-s q o srm dsconsidrdos os fitos viscosos s trocs térmics, o modlo d scomnto monospéci com propridds constnts é qivlnt o scomnto isntrópico, cj solção nlític é conhcid ( foi prsntd n sção..). Tm-s, ssim, oportnidd d clclr-s o rro vrddiro d solção nméric, comprndo-s s difrnts ordns do rro (ssintótic, ftiv prnt), bm como vlir s stimtivs d rro nmérico m rlção o rro vrddiro. r s simlçõs, form tilizds mlhs niforms com totl d volms vrindo ntr 10 ( mis grossir) 1040 ( mis rfind), mntndo-s smpr rzão d rfino igl dois, conform pod sr obsrvdo n Tbl 4.. Em tods s simlçõs, tilizo-s m númro d itrçõs sficint pr q foss tingido o rro d máqin (dfinido n sqüênci), obtndo-s m númro totl d lgrismos significtivos ntr 11 15, pr cd

92 90 vriávl d intrss stdd. Ests podm sr clssificds m dois grpos: vriávis globis (coficint d dscrg mpxo dinâmico dimnsionl) locis (vlocidd, tmprtr, prssão númro d Mch, tods n síd d tbir). As Tbls , mostrds n sqüênci, prsntm os rsltdos nméricos ss rspctivos rros vrddiros, ns difrnts mlhs mprgds, pr ds ds vriávis d intrss. Tbl 4.: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d scomnto monospéci com propridds constnts. Mlh (volms) Tmnho dos volms (h) t Itrçõs xtrns ftds Itrçõs ncssáris à convrgênci Tmpo d CU Algrismos significtivos 10 5, x10-1,00x ,6 s 15 0, x10-1,00x ,578 s , x10-1,00x ,0 s , x10-3 1,00x ,08 s , x10-3,00x ,30 s , x10-3 5,00x ,73 s , x10-4,00x ,8 s , x10-4 1,00x ,6 s , x10-4 5,00x ,07 min , x10-5,00x ,8 min ,888150x10-5 1,00x ,9 min 11 Tbl 4.3: Solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [solção nlític: 1,0]. Mlh (volms) Solção nméric [dimnsionl] Erro nmérico vrddiro [dimnsionl] 10 1, ,06x , ,35x , ,704x , ,495x , x10-1 3,03x , x10-1 1,604x , x10-1 5,069x , x10-1 1,400x , x10-1 3,664x , x10-1 9,368x , x10-1,368x10-8

93 Tbl 4.4: Solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [solção nlític: 1, x10 3 K]. 91 Mlh (volms) Solção nméric [K] Erro nmérico vrddiro [K] 10 1, x10 3 1,99x10 0 1, x10 3,991x , x10 3 8, , x10 3, , x10 3 5,97x , x10 3 1,515x , x10 3 3,830x , x10 3 9,69x , x10 3,414x , x10 3 6,043x , x10 3 1,51x10-4 A dtrminção do rro d máqin foi ftd comprndo-s os rsltdos ntr últim itrção (itrção N) s itrçõs ntriors. Isto é prsntdo n Figr 4.3. Obsrv-s q, pós m dtrmindo númro d itrçõs, solção nméric obtid s stbiliz m m dtrmindo ptmr: no cso d mlh d 10 volms d control, são ncssáris crc d 550 itrçõs (pr o coficint d dscrg), nqnto no cso d mlh d 180 volms, crc d 4000 itrçõs form ncssáris (pr msm vriávl d intrss). Difrnç C d (i) - C d (N) 1.0x x x10-1.0x x x x x x x x x x x x x x10 x10 3x10 4x10 5x10 6x10 7x10 8x10 9x10 1x10 3 Itrçõs (i) () Difrnç C d (i) - C d (N) 1.0x x x x x x x x x x x x x x x10 4 x10 4 3x10 4 4x10 4 5x10 4 6x10 4 7x10 4 8x10 4 Itrçõs (i) Figr 4.3: Comportmnto do coficint d dscrg x númro d itrçõs pr mlhs d: () 10 (b) 180 volms d control. (b)

94 Dv-s rssltr, tmbém, q no cso d mlh d 10 volms d control, pr m totl d itrçõs sprior 550 (tndo-s como vriávl d intrss o coficint d dscrg), solção nméric stbiliz-s m m dtrmindo vlor, d modo q difrnç ntr os vlors d C d n 1000ª o 5000ª itrção n últim itrção (10.000) é nl. Isto não ocorr no cso d mlh d 180 volms, pr ql solção nméric oscil m m dtrmind fix d vlors. Tl comportmnto s dv o mnto do rro d rrdondmnto, dvido o mior númro d vriávis sr rsolvido pr mlhs mis rfinds. Tis mlhs rsltm m sistms lgébricos com mior númro d incógnits, d modo q os fitos do rrdondmnto dos númros nvolvidos nos cálclos (plo númro finito d lgrismos q o procssdor consg rmznr) s propgm, crrtndo ns oscilçõs típics obsrvds n Figr 4.3b.Slint-s, contdo, q o rfinmnto d mlhs condz rros d trncmnto d mnor mgnitd, conform pod sr obsrvdo trvés d Tbl 4.3, m vz q o fito rlciondo os trmos dsprzdos do procsso d discrtizção do modlo mtmático é minimizdo com o rfinmnto d mlh. Rsltdos rfrnts às ordns ftiv prnt do rro são mostrds ns Tbls , pr o coficint d dscrg (C d ) tmprtr n síd d tbir (T x ). r lgms mlhs, não foi possívl dtrminr os vlors ds ordns ftiv /o prnt: isto s dv m vrição do sinl do rro vrddiro, impossibilitndo dtrminção d p U p E. Nsts csos, são prsntdos trços (---) nos rspctivos vlors ds tbls dscontinidds nos gráficos corrspondnts. 9 Tbl 4.5: Ordns prátics d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [ p L ]. Mlh (volms) Ordm ftiv (p E ) Ordm prnt (p U ) 10 não s plic não s plic 0,358 não s plic 40 3,10,1 80 4,177 3, , ,181x ,66 3,790x ,857 1, ,933 1, ,968 1, ,973 1,96

95 93 Tbl 4.6: Ordns prátics d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [ p ]. L Mlh (volms) Ordm ftiv (p E ) Ordm prnt (p U ) 10 não s plic não s plic 0,118 não s plic 40 1,846, ,876 1, ,936 1, ,968 1, ,984 1, ,99 1, ,996 1, ,998 1, ,988 1,998 Dntr os critérios sgridos pr ssgrr vrificção d m código nmérico, citm-s, m ordm crscnt d rigor (ROY, 005): o jlgmnto d spcilists; qntificção do rro; critérios d consistênci d convrgênci; ordm d cráci. A qntificção do rro vrddiro foi rlizd trvés d comprção ntr os rsltdos nméricos solção nlític, sndo tis rsltdos mostrdos ns Tbls (pr ds ds vriávis d intrss). Dss stdo tm-s m indício d q o código Mch1D fornc rsltdos confiávis pr o fnômno modldo. Otro critério pod sr vlido lvndo-s m considrção os rsltdos prsntdos ns Tbls ns Figrs , mostrds n sqüênci: ordm d cráci. Obsrv-s, prtir dos rsltdos obtidos, q à mdid q mlh é rfind, mbs s ordns (ftiv prnt) s proximm do vlor d ordm ssintótic (q é igl pr tods s vriávis d intrss, m vz q são tilizds fnçõs d intrpolção CDS n discrtizção d tods s qçõs). Dst form, pod-s firmr q s solçõs nmérics forncids plo código Mch1D rsolvm corrtmnt o modlo mtmático nl implmntdo, m vz q ordm d cráci é o critério mis dificilmnt stisfito o mis snsívl rros no código (ROY, 005).

96 94 4 Aprnt ( U ) Eftiv ( E ) Assintótic ( L ) Ordm do rro log(h) Figr 4.4: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr o coficint d dscrg..8.6 Aprnt ( U ) Eftiv ( E ) Assintótic ( L ) Ordm do rro Figr 4.5: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr o mpxo dinâmico dimnsionl. log(h) Ordm do rro Aprnt ( U ) Eftiv ( E ) Assintótic ( L ) log(h) Figr 4.6: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr prssão n síd d tbir.

97 Ordm do rro Aprnt ( U ) Eftiv ( E ) Assintótic ( L ) log(h) Figr 4.7: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr tmprtr n síd d tbir Ordm do rro Aprnt ( U ) 1.85 Eftiv ( E ) Assintótic ( L ) log(h) Figr 4.8: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr vlocidd n síd d tbir Aprnt ( U ) Eftiv ( E ) Assintótic ( L ).15 Ordm do rro log(h) Figr 4.9: Ordns ssintótic, prnt ftiv pr o númro d Mch n síd d tbir.

98 or último, form rlizds stimtivs do rro nmérico: ds tilizndo o stimdor d Richrdson (mprgndo-s s ordns ssintótic prnt) o stimdor GCI. Como o rro vrddiro é conhcido, pod-s clclr ftividd pr cd m ds vriávis d intrss, conform pod sr visto ns Tbls ns Figrs Obsrv-s q à mdid q mlh é rfind, os stimdors d Richrdson, bsdos ns ordns ssintótic prnt, prsntm rsltdos crdos ( θ 1), contdo, nm smpr confiávis ( θ 1). 96 Tbl 4.7: Eftividd pr o coficint d dscrg (C d ). Mlh (volms) Erro vrddiro (E) URi( φ 1,pL )/E U ( 1,pU )/E Ri φ U ( φ 1,p) / E GCI 10-1, x10-1 não s plic não s plic não s plic 0 -, x10-1,375 não s plic não s plic 40 -, x10-3,565,101 7, , x10-4 5,696,391 1,709x , x ,977-4,49x10-1 5, , x10-5,965x , x10-6 7,17x10-1 7,05,16x , x10-6 8,740x10-1 1,317 3, , x10-7 9,398x10-1 1,105 3, , x10-8 9,706x10-1 1,044 3, , x10-8 9,854x10-1 1,01 3,06 Tbl 4.8: Eftividd pr tmprtr n síd d tbir (T x ). Mlh (volms) Erro vrddiro (E) URi( φ 1,pL )/E U ( 1,pU )/E Ri φ U ( φ 1,p) / E GCI 10 1, x10 não s plic não s plic não s plic 0, x10 1 1,114 não s plic não s plic 40 8, ,651x10-1 7,151x10-1,595 80, ,898x10-1 1,040 3, , x10-1 9,417x10-1 1,081 3,4 30 1, x10-1 9,707x10-1 1,04 3, , x10-9,853x10-1 1,00 3, , x10-3 9,96x10-1 1,010 3, , x10-3 9,963x10-1 1,005 3, , x10-4 9,98x10-1 1,00 3, , x10-4 9,991x10-1 1,001 3,004

99 97 A tilizção do stimdor GCI, por s vz, prsnt smpr rsltdos confiávis, pr os csos m q l é plicávl, xcção fit pr prssão n síd d tbir, tilizndo-s m mlh d 40 volms d control. A plicbilidd dss stimdor foi condiciond à possibilidd d obtnção d ordm prnt do rro, conform já xposto n sção U Ri (φ,p L )/E U Ri (φ,p )/E U GCI (φ,p)/e θ 1 6 Eftividd ,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5 log(h) Figr 4.10: Eftividd pr o coficint d dscrg (C d ). 5 4 Eftividd 3 U Ri (φ,p L )/E U Ri (φ,p )/E U GCI (φ,p)/e θ 1 1-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5 log(h) Figr 4.11: Eftividd pr o mpxo dinâmico dimnsionl (F*)

100 U Ri (φ,p L )/E U Ri (φ,p )/E U GCI (φ,p)/e θ 1 Eftividd ,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5 log(h) Figr 4.1: Eftividd pr prssão n síd d tbir ( x ). 3,3 3, 3,1 Eftividd 3,0,9 1, 1,1 1,0 U Ri (φ,p L )/E U Ri (φ,p )/E U GCI (φ,p)/e θ 1 0,9 0,8 0,7-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5 log(h) Figr 4.13: Eftividd pr tmprtr n síd d tbir (T x ). 3,3 3, 3,1 Eftividd 3,0,9 1, 1,1 U Ri (φ,p L )/E U Ri (φ,p )/E U GCI (φ,p)/e θ 1 1,0 0,9 0,8 0,7-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5 log(h) Figr 4.14: Eftividd pr vlocidd n síd d tbir ( x ).

101 99 3, 3,1 Eftividd 3,0,9 1, 1,1 1,0 U Ri (φ,p L )/E U Ri (φ,p )/E U GCI (φ,p)/e θ 1 0,9 0,8 0,7-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5 log(h) Figr 4.15: Eftividd pr o númro d Mch n síd d tbir (M x ). A prtir dos rsltdos obtidos, vrific-s q tilizção d m mlh d 80 volms d control é sficint pr prodzir rsltdos cjos rros nméricos ssocidos (obtidos trvés dos stimdors d Richrdson GCI) prsntm ordm d grndz smlhnt àql obsrvd à incrtz xprimntl. Est consttção foi obtid primirmnt por Mrchi t l. (000; 004), sndo corrobord trvés d nális dos rsltdos obtidos nst trblho, prsntdos trvés d Tbl 4.9 ds Figrs Em tis figrs, são xpostos os logritmos dcimis do rro nmérico vrddiro ds incrtzs nmérics clclds. Vrific-s q, o mnos pr s mlhs mis rfinds, s stimtivs d rro, bsds no stimdor d Richrdson, são prticmnt coincidnts com o rro nmérico vrddiro (conform sprdo, m vz q ftividd pr tis stimtivs é próxim à nidd). Torn-s mis clro, tmbém, q o mprgo do ftor d sgrnç igl três no stimdor GCI lh confr m stimtiv d rro mis consrvdor, o q lh grnt mprgbilidd m prticmnt todos os csos. A possibilidd d tilizção d m mlh mis grossir, como é d 80 volms, grnt m mior rpidz pr obtnção d rsltdos nméricos confiávis crdos. Comprndo-s os tmpos d CU dmnddos pr ds simlçõs (d 80 d 1040 volms d control), not-s q nqnto pr mlh mis grossir form ncssários poco mis d 3 s d simlção (3,08 s), pr mlh mis rfind foi prciso m tmpo mis d 1000 vzs sprior (56,9 min). Dst form, pr finlidds d ngnhri rcomnd-s tilizção d mlhs d 80 volms d control (cj incrtz nméric é qivlnt à incrtz xprimntl). A tilizção d mlhs mis rfinds, contdo,

102 100 mostro-s importnt pr dtrminção d vlidd dos stimdors d rro mprgdos, prsntndo confibilidd cráci ncssáris pr obtnção d própri incrtz nméric. Um vz q o stimdor GCI s mostro prticmnt smpr confiávl, mior prt ds stimtivs prsntds nst trblho é bsd nss stimdor. Tbl 4.9: Rsltdos nméricos ss rros stimdos (com stimdor GCI) pr s vriávis d intrss. Vriávis d intrss 80 volms 560 volms 1040 volms coficint d dscrg (C d ) mpxo dinâmico dimnsionl (F*) prssão státic n síd d tbir ( x ) tmprtr n síd d tbir (T x ) vlocidd n síd d tbir ( x ) númro d Mch n síd d tbir (M x ) 1,000 ± 3x10-3 [dim.] 1,001± 4x10-3 [dim.] 1, ± 1x10-6 [dim.] 1, ± 1x10-6 [dim.] 910 ± 8x10 1 [] ,3 ± x10-1 [] 1710 ± 7 [K] 3319 ± 7 [m/s] 3,0 ± 1x10 - [dim.] 171,739 ± 7x10-3 [K] 3316,717 ± 7x10-3 [m/s] 3,1984 ± 1x10-5 [dim.] 0, ± 7x10-8 [dim.] 1, ± 6x10-8 [dim.] 9173,41 ± 1x10 - [] 171,7408 ± 5x10-4 [K] 3316,715 ± 4x10-4 [m/s] 3, ± 8x10-7 [dim.] log(e,u) log(h) E U Ri (φ,p L ) U Ri (φ,p U ) U GCI (φ,p) Figr 4.16: Comprção ntr os logritmos dcimis do rro vrddiro (E) ds stimtivs d rro (U) pr o coficint d dscrg (C d ). 3 Estimtiv d rro tilizndo-s o stimdor GCI pr ordm ssintótic.

103 log(e,u) E U Ri (φ,p L ) U Ri (φ,p U ) U GCI (φ,p) log(h) Figr 4.17: Comprção ntr os logritmos dcimis do rro vrddiro (E) ds stimtivs d rro (U) pr tmprtr n síd d tbir (T x ). 4.3 ESCOAMENTO MONOESÉCIE COM RORIEDADES VARIÁVEIS O psso ntrior à obtnção d solção nméric do scomnto rtivo m motorsfogt é qisição d rsltdos nméricos pr o scomnto monospéci com propridds vriávis. r tnto, foi considrdo o scomnto d vpor d ág, cjs propridds trmofísics form obtids mprgndo-s polinômios intrpoldors prsntdos no trblho d McBrid t l. (1993). As simlçõs, cjs mlhs são s msms tilizds no stdo do scomnto monospéci com propridds constnts, bm como ddos gris ds simlçõs rlizds, são prsntds n Tbl O scomnto monospéci com propridds vriávis, difrntmnt do scomnto com propridds constnts, não prsnt solção nlític conhcid. Dst modo, torn-s impossívl obtnção do rro nmérico vrddiro, bm como d ordm ftiv do rro. Consqüntmnt pns ordm prnt do rro foi clcld, ssim como incrtz nméric bsd m tl ordm, sndo ss rsltdos prsntdos ns Tbls , pr o coficint d dscrg tmprtr n síd d tbir. D nális dos rsltdos obtidos, vrific-s q ordm prnt proxim-s do vlor d ordm ssintótic, ssim como obsrvdo no cso do scomnto monospéci com propridds constnts. Como já prsntdo, st é o critério mis dificilmnt tndido n vrificção d m código nmérico. Dst form, firm-s q o código Mch1D prsnt solçõs corrts do modlo mtmático implmntdo.

104 Tbl 4.10: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d scomnto monospéci com propridds vriávis. 10 Mlh (volms) Tmnho dos volms (h) t Itrçõs xtrns ftds Itrçõs ncssáris à convrgênci Tmpo d CU Algrismos significtivos 10 5, x10-1,00x ,66 s 13 0, x10-1,00x ,38 s , x10-1,00x ,469 s , x10-3 1,00x ,750 s , x10-3,00x ,53 s , x10-3 5,00x ,67 s , x10-4,00x ,8 s , x10-4 1,00x ,3 s , x10-4 5,00x ,0 min , x10-5,00x ,9 min ,888150x10-5 1,00x h 39 min 11 Ao srm obtids s stimtivs d rro nmérico, constt-s novmnt q s incrtzs obtids pr mlh d 80 volms d control prsntm msm ordm d grndz vrificd pr os rsltdos xprimntis (MARCHI t l., 000; 004), conform pod sr obsrvdo ns Tbls r dois csos prsntdos n Tbl 4.11, ordm prnt prsnt vlor ngtivo o indfinido, sndo tilizd ordm ssintótic com finlidd d clclr stimtiv d rro GCI. Tis csos são idntificdos com dois striscos (**) à dirit dos vlors nméricos prsntdos. Tbl 4.11: Ordns prátics d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [p L : ] stimtiv U GCI, tilizndo R 461,53 J/kgK. Mlh (volms) Ordm prnt (p U ) U GCI ( φ 1,p) 10 não s plic não s plic 0 não s plic não s plic 40,191,70x10-80,979,879x ,630,35x ,913x10-6 ** 640-8,91x10-1 9,113x10-6 ** 180 1,481 5,463x ,797 1,138x ,908,76x ,956 6,715x10-8

105 103 Tbl 4.1: Ordns prátics d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [p L : ] stimtiv U GCI, tilizndo R 461,53 J/kgK. Mlh (volms) Ordm prnt (p U ) U GCI ( φ 1,p) 10 não s plic não s plic 0 não s plic não s plic 40,31,183x ,84 7, ,845 1, ,90 4,88x ,961 1,08x ,980 3,005x ,990 7,494x ,995 1,871x ,998 4,676x10-4 A comprção ntr os rsltdos dos modlos d scomnto monospéci com propridds constnts o vriávis é fit trvés ds Tbls Obsrv-s q, como difrnç ntr mbos os rsltdos é sprior à stimtiv d rro nmérico, s vriçõs ntr os rsltdos obtidos (mbor pqns) são dvids à doção d difrnts modlos físicos comprovção st q não sri possívl obtr cso não fossm clclds s incrtzs nmérics. Tbl 4.13: Rsltdos ss rspctivs incrtzs nmérics pr s vriávis d intrss (mlh d 80 volms). Vriávis d intrss Nmérico constnt Nmérico vriávl (R J/kgK) Vrição 4 C d 1,000 ± 3x10-3 [dim.] 1,060 ± 3x10-3 [dim.] 6,0 % F* 1,001 ± 4x10-3 [dim.] 1,004 ± 4x10-3 [dim.] 0,3 % x,91x10 4 ± 8x10 1 [] 5 3, ± 7x10 1 [],9 % T x 1710 ± 7 [K] 1800 ± 7 [K] 5,3 % x 3319 ± 7 [m/s] 314 ± 6 [m/s] -5,3 % M x 3,0 ± 1x10 - [dim.] 3,15 ± 1x10 - [dim.] -1,6 % nmérico vriávl - nmérico constnt vrição 100. nmérico constnt 4 Clcld trvés d sgint xprssão: 5 Estimtiv d rro tilizndo-s stimdor GCI pr ordm ssintótic.

106 104 Tbl 4.14: Rsltdos ss rspctivs incrtzs nmérics pr s vriávis d intrss (mlh d 560 volms). Vriávis d intrss Nmérico constnt Nmérico vriávl (R J/kgK) Vrição 4 C d 1, ± 1x10-6 [dim.] 1, ± 1x10-6 [dim.] 5,97 % F* 1, ± 1x10-6 [dim.] 1,0034 ± 1x10-6 [dim.] 0,3 % x 9.173,3 ± x10-1 [] ,3 ± x10-1 [] 3,17 % T x 171,739 ± 7x10-3 [K] 180,338 ± 7x10-3 [K] 5,3 % x 3316,717 ± 7x10-3 [m/s] 3139,835 ± 7x10-3 [m/s] -5,33 % M x 3,1984 ± 1x10-5 [dim.] 3,1444 ± 1x10-5 [dim.] -1,5 % Tbl 4.15: Rsltdos ss rspctivs incrtzs nmérics pr s vriávis d intrss (mlh d 1040 volms). Vriávis d intrss Nmérico constnt Nmérico vriávl (R J/kgK) Vrição 4 C d 0, ± 7x10-8 [dim.] 1, ± 7x10-8 [dim.] 5,97 % F* 1, ± 6x10-8 [dim.] 1,00336 ± 7x10-8 [dim.] 0,3 % x 9173,41 ± 1x10 - [] 30098,38 ± 1x10 - [] 3,17 % T x 171,7408 ± 5x10-4 [K] 180,3406 ± 5x10-4 [K] 5,3 % x 3316,715 ±4x10-4 [m/s] 3139,836 ± 4x10-4 [m/s] -5,33 % M x 3, ± 8x10-7 [dim.] 3, ± 8x10-7 [dim.] -1,5 % 4.4 ESCOAMENTO CONGELADO Est s próxims ds sçõs dst cpítlo são ddicds à obtnção d solçõs nmérics m scomntos rtivos, concomitntmnt à stimtiv d incrtz nméric ssocid. Rsslt-s, novmnt, q pocos trblhos prsntm stimtivs d rros pr problms do tipo hiprbólico (ZHANG, 001), não tndo sido ncontrdos rsltdos pr scomntos sprsônicos rtivos, como o q ocorr m tbirs. Difrnts modlos qímicos form mprgdos, com o intito d dfinir ql (o qis) prsnt(m) mlhor(s) dsmpnho comptcionl. Os rsltdos nméricos obtidos mprgndo-s o código Mch1D são comprdos àqls provnints d tilizção do código CEA (GLENN RESEARCH CENTER/NASA, 005), tomdo como rfrênci, pr nov spécis qímics difrnts (H O, O, H, OH, O, H, HO, H O O 3 ; st último snt d todos os modlos implmntdos no código Mch1D).

107 105 Todos os nov modlos qímicos implmntdos no código Mch1D ( listdos n Tbl.1) form mprgdos ns simlçõs, pr mlhs vrindo ntr volms (com rzão d rfino d mlh smpr igl ). Ddos rsltdos gris ds simlçõs ftds são prsntdos ns Tbls , mostrds sgir. Tbl 4.16: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d scomnto congldo. Modlo rtivo Mlh (volms) Tmnho dos volms (h) t Itrçõs xtrns Tmpo d CU 10 5, x10-1,00x ,500 s 0, x10-1,00x ,53 s 40 1, x10-1,00x ,67 s 80 6, x10-3 1,00x ,984 s 160 3, x10-3,00x ,30 s 30 1, x10-3 5,00x ,16 s 640 7, x10-4,00x ,4 s , x10-4 1,00x ,7 s.560 1, x10-4 5,00x ,79 min , x10-5,00x ,7 min ,888150x10-5 1,00x ,57 h 10 5, x10-1,00x ,484 s 0, x10-1,00x ,469 s 40 1, x10-1,00x ,65 s 80 6, x10-3 1,00x ,9 s 160 3, x10-3,00x ,3 s 30 1, x10-3 5,00x ,0 s 640 7, x10-4,00x ,3 s , x10-4 1,00x ,7 s.560 1, x10-4 5,00x ,7 min , x10-5,00x ,4 min ,888150x10-5 1,00x ,56 h 10 5, x10-1,00x ,485 s 0, x10-1,00x ,516 s 40 1, x10-1,00x ,67 s 80 6, x10-3 1,00x ,984 s 160 3, x10-3,00x ,33 s 30 1, x10-3 5,00x ,14 s 640 7, x10-4,00x ,4 s , x10-4 1,00x ,4 s.560 1, x10-4 5,00x ,54 min , x10-5,00x ,5 min ,888150x10-5 1,00x ,50 h 10 5, x10-1,00x ,484 s 0, x10-1,00x ,453 s 40 1, x10-1,00x ,594 s 80 6, x10-3 1,00x ,969 s 160 3, x10-3,00x ,8 s 30 1, x10-3 5,00x ,08 s 640 7, x10-4,00x ,3 s , x10-4 1,00x ,5 s.560 1, x10-4 5,00x ,66 min , x10-5,00x ,1 min ,888150x10-5 1,00x ,49 h

108 106 (continção Tbl 4.16) Modlo rtivo Mlh (volms) Tmnho dos volms (h) t Itrçõs xtrns Tmpo d CU 10 5, x10-1,00x ,469 s 0, x10-1,00x ,469 s 40 1, x10-1,00x ,609 s 80 6, x10-3 1,00x ,953 s 160 3, x10-3,00x ,5 s 30 1, x10-3 5,00x ,09 s 640 7, x10-4,00x ,4 s , x10-4 1,00x ,6 s.560 1, x10-4 5,00x ,63 min , x10-5,00x ,5 min ,888150x10-5 1,00x ,64 h 10 5, x10-1,00x ,484 s 0, x10-1,00x ,17 s** 40 1, x10-1,00x ,609 s 80 6, x10-3 1,00x ,938 s 160 3, x10-3,00x ,5 s 30 1, x10-3 5,00x ,03 s 640 7, x10-4,00x ,3 s , x10-4 1,00x ,5 s.560 1, x10-4 5,00x ,48 min , x10-5,00x ,3 min ,888150x10-5 1,00x ,57 h 10 5, x10-1,00x ,500 s 0, x10-1,00x ,65 s 40 1, x10-1,00x ,735 s 80 6, x10-3 1,00x ,968 s 160 3, x10-3,00x ,81 s 30 1, x10-3 5,00x ,08 s 640 7, x10-4,00x ,4 s , x10-4 1,00x ,6 s.560 1, x10-4 5,00x ,65 min , x10-5,00x ,5 min ,888150x10-5 1,00x ,56 h 10 5, x10-1,00x ,469 s 0, x10-1,00x ,468 s 40 1, x10-1,00x ,594 s 80 6, x10-3 1,00x ,9 s 160 3, x10-3,00x ,7 s 30 1, x10-3 5,00x ,0 s 640 7, x10-4,00x ,3 s , x10-4 1,00x ,5 s.560 1, x10-4 5,00x ,83 min , x10-5,00x ,1 min ,888150x10-5 1,00x ,47 h 10 5, x10-1,00x ,485 s 0, x10-1,00x ,453 s 40 1, x10-1,00x ,594 s 80 6, x10-3 1,00x ,953 s 160 3, x10-3,00x ,7 s 30 1, x10-3 5,00x ,06 s 640 7, x10-4,00x ,3 s , x10-4 1,00x ,7 s.560 1, x10-4 5,00x ,51 min , x10-5,00x ,7 min ,888150x10-5 1,00x ,49 h ** Solção obtid tilizndo-s m microcomptdor ntim IV, 3400 MHz, 4GB d mmóri RAM.

109 107 Tbl 4.17: Rsltdos d convrgênci pr o scomnto congldo. Mlh (volms) Algrismos significtivos Itrçõs pr convrgênci r tods s simlçõs form ftds itrçõs xtrns m númro sficint pr s tingir o rro d máqin. A Tbl 4.18 prsnt composição qímic obtid tilizndo-s os códigos Mch1D CEA. Not-s q os modlos d 6 d 8 spécis (modlos 5 9, rspctivmnt) são os q prsntm rsltdos mis próximos os d rfrênci. Tbl 4.18: Composição qímic pr os divrsos modlos qímicos do scomnto congldo (rsltdos do código CEA tilizdos como rfrênci). Modlo H O O H OH O H HO H O O 3 0 1, , ,3x ,8744 0, , ,804 0, , , Erro do modlo -,4x ,9x ,1x10-4 6,1x10-3 1,8x10 -,5x10-3,7x10-4 4,0x , , , ,1076 0, , Erro do modlo 5-3,8x10-3 -,4x10-3 5,0x10-5 6,x ,9x ,0x10-5,7x10-4 4,0x CEA (congldo) 0, , , , , ,0046 0,0007 0,00004 <0, , , , ,107 0, ,0047 0,0007 0, Erro do modlo 9-3,7x10-3 -,3x10-3 5,0x10-5 6,3x ,8x ,0x

110 108 Como já obsrvdo nos modlos d scomnto monospéci, tmbém nst modlo s ordns prnts d tods s vriávis tndm o vlor ssintótico, conform pod sr obsrvdo ns Tbls pr ds vriávis d intrss, tilizndo-s o modlo qímico 5. Atnt-s q os vlors q prsntm (**) à s dirit, no cso d incrtz nméric, form obtidos tilizndo-s ordm ssintótic do rro. Tbl 4.19: Ordns prátics d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [p L : ] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 5). Mlh (volms) Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) 10 não s plic não s plic 0 não s plic não s plic 40, , x , , x , , x , x10-5 ** 640 5, x10-1 7, x , , x , , x , , x , , x10-8 Tbl 4.0: Ordns prátics d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [p L : ] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 5). Mlh (volms) Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) 10 não s plic não s plic 0 não s plic não s plic 40, , x , , , , , , x , , x , , x , , x , , x , , x10-4

111 109 Nst ponto, torn-s possívl rlizr m comprção gráfic ( nméric) dos rsltdos nméricos obtidos mprgndo-s o código Mch1D, pr três difrnts modlos físicos ( modlos qímicos divrsos, no cso do scomnto congldo). A Tbl 4.1 xpõ os difrnts modlos físicos mprgdos mostrdos ns Figrs , inclindo s rspctivs stimtivs d rro, pr m mlh d 80 volms d control. Tbl 4.1: Modlos físicos prsntdos ns Figrs Solção Modlos 1 Modlo com propridds constnts (R 56,97 J/kg K) Modlo com propridds vriávis (R 56,97 J/kg K) 3 Modlo com propridds vriávis (R 461,53 J/kg K) 4 Modlo congldo modlo qímico 0 5 Modlo congldo modlo qímico 1 6 Modlo congldo modlo qímico 7 8 Modlo congldo modlo qímico 5 (rsltdos idênticos os modlos qímicos 3, 4 7) Modlo congldo modlo qímico 9 (rsltdos idênticos o modlo qímico 10) Três difrnts modlos físicos form mprgdos: o modlo monospéci com propridds constnts; o modlo monospéci com propridds vriávis o modlo d scomnto congldo d mistr d gss. r o modlo d scomnto monospéci com propridds vriávis form mprgdos dois vlors difrnts pr constnt do gás: o primiro, d 56,97 J/kg K, q corrspond o vlor tilizdo nos stdos pr propridds constnts o sgndo, d proximdmnt 461,53 J/kg K, cjo vlor foi obtido pr o cso d scomnto d vpor d ág, pr comprçõs com o modlo qímico 0 (sm rçõs d dissocição), do scomnto congldo. Ao s mprgr o modlo d scomnto congldo, cinco difrnts modlos qímicos form considrdos: dois modlos prsntndo três spécis (modlos 0 1), m com qtro spécis (modlo ), m com sis (modlo 5) otro com oito (modlo 9). Os dmis modlos não são mostrdos ns Figrs pois prsntm solçõs nmérics coincidnts às obtids pr os modlos 5 9, constnts ds figrs. A scolh

112 110 por m o otro modlo qímico pr s simlçõs nmérics, nvolvndo os modlos qímicos d 6 d 8 spécis, não rslt m vriçõs considrávis m rlção às vriávis d intrss stdds. Est comportmnto foi obsrvdo o s confrontr os rsltdos nméricos obtidos com o xílio d difrnts modlos d rçõs qímics implmntdos, clclndo-s, postriormnt, s rspctivs incrtzs nmérics. Figr 4.18: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr C d ), pr m mlh d 80 volms d control. Figr 4.19: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr F*), pr m mlh d 80 volms d control.

113 111 Figr 4.0: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr m mlh d 80 volms d control. Figr 4.1: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr T x ), pr m mlh d 80 volms d control. Figr 4.: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr m mlh d 80 volms d control.

114 11 Figr 4.3: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr M x ), pr m mlh d 80 volms d control. Confrontndo-s os vlors nméricos obtidos mostrdos trvés ds Figrs , vrific-s q os rsltdos pr modlos d 6 d 8 spécis, do código Mch1D, corrspondm os obtidos tilizndo-s o código CEA, considrndo-s incrtz nméric ssocid às simlçõs. od-s obsrvr, otrossim, q lgms difrnçs ntr rsltdos nméricos pod sr tribíd o mprgo d difrnts modlos físicos /o qímicos não às incrtzs nmérics. 4.5 ESCOAMENTO EM EQUILÍBRIO QUÍMICO LOCAL O scomnto m qilíbrio qímico locl s constiti (o ldo do scomnto congldo) m m dos csos-limit o idlizçõs d m scomnto rtivo rl. Nst modlo considr-s q vlocidd d rçõs qímics é infinit (o grnd o sficint pr q composição qímic tinj condiçõs d qilíbrio m tod sção trnsvrsl o scomnto). Anlogmnt o scomnto congldo, os rsltdos nméricos obtidos pr o scomnto m qilíbrio qímico locl com o código Mch1D form comprdos os provnints do código CEA (GLENN RESEARCH CENTER/NASA, 005). Form ftds simlçõs nmérics tilizndo-s os nov modlos qímicos implmntdos no código Mch1D. Obsrv-s, contdo, q pr cd modlo qímico, difrnts nívis d rfinmnto d mlh form mprgdos: pr os modlos qímicos 0, 1, tilizrm-s mlhs tão rfinds qnto 1040 volms d control; pr os modlos

115 113 qímicos 3, 4 10, mlh mis rfind possí 560 volms; pr os modlos 5, 7 9, mis rfind ds mlhs continh 160 volms. Dv-s obsrvr, no ntnto, q m todos os csos mlh mis grossir xibi 10 volms d control, sndo mprgd m rzão d rfino igl. A mlh mis rfind mprgd pr cd modlo qímico foi dtrmind d modo q simlção l rlciond não prsntss m drção sprior 60 hors (o,50 dis). A Tbl 4. prsnt os principis ddos rsltdos sobr s simlçõs ftds mprgndo-s os difrnts modlos qímicos pr condição d scomnto m qilíbrio qímico locl. Vrific-s q, difrntmnt do obsrvdo pr o scomnto congldo, scolh do modlo qímico implic m m grnd vrição no tmpo d CU (mbor solção nméric sj qivlnt pr modlos com igl númro d spécis): nqnto o modlo 4 ncssit mnos d 10 mintos pr m mlh d 160 volms d control ( itrçõs), os modlos 5 7 ncssitm mis d 0 hors pr rlizr msm simlção. Isto tmbém é vrificdo no cso dos modlos d oito spécis: pr msm mlh d 160 volms d control, nqnto o modlo 10 dmnd mnos d 15 mintos pr q simlção sj conclíd, pr o modlo 9 são ncssáris 0 hors pr s xctr o msmo númro d itrçõs. Tbl 4.: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d scomnto m qilíbrio qímico locl. Modlo Mlh (volms) Tmnho dos volms (h) t Itrçõs xtrns ftds Tmpo d CU , x10-1,00x ,047 s 0, x10-1,00x ,047 s 40 1,500000x10-1,00x ,109 s 80 6,500000x10-3 1,00x ,953 s 160 3,150000x10-3,00x ,88 s 30 1,565000x10-3 5,00x ,67 s 640 7,815000x10-4,00x ,4 s ,906500x10-4 1,00x ,6 min.560 1,953150x10-4 5,00x ,36 min ,765650x10-5,00x , min ,88815x10-5 1,00x ,73 h 10 5, x10-1,00x ,063 s 0, x10-1,00x ,109 s 40 1,500000x10-1,00x ,188 s 80 6,500000x10-3 1,00x ,70 s 160 3,150000x10-3,00x ,16 s 30 1,565000x10-3 5,00x ,16 s

116 114 (continção d Tbl 4.) Modlo Mlh (volms) Tmnho dos volms (h) t Itrçõs xtrns ftds Tmpo d CU ,815000x10-4,00x ,1 s ,906500x10-4 1,00x ,10 min.560 1,953150x10-4 5,00x ,39 min ,765650x10-5,00x ,0 min ,88815x10-5 1,00x ,5 h 10 5, x10-1,00x ,50 s 0, x10-5,00x ,391 s 40 1,500000x10 -,00x ,67 s 80 6,500000x10-3 1,00x ,45 s 160 3,150000x10-3,00x ,1 s 30 1,565000x10-3 1,00x ,46 min 640 7,815000x10-4 5,00x ,1 min ,906500x10-4,00x ,5 min.560 1,953150x10-4 1,00x ,4 h ,765650x10-5 5,00x ,83 h ,88815x10-5,00x ,9 di 10 5, x10-1,00x ,73 s 0, x10-1,00x ,3 s 40 1,500000x10-5,00x ,5 s 80 6,500000x10-3,00x ,34 min 160 3,150000x10-3 1,00x ,3 min 30 1,565000x10-3 5,00x ,3 min 640 7,815000x10-4,00x ,63 h ,906500x10-4 1,00x ,4 h.560 1,953150x10-4 5,00x ,98 di 10 5, x10-1,00x ,03 s 0, x10-1,00x ,81 s 40 1,500000x10-5,00x ,1 s 80 6,500000x10-3,00x ,61 min 160 3,150000x10-3 1,00x ,16 min 30 1,565000x10-3 5,00x ,9 min 640 7,815000x10-4,00x ,18 h ,906500x10-4 1,00x ,8 h.560 1,953150x10-4 5,00x ,41 di 10 5, x10-1,00x ,01 min 0, x10-1,00x ,58 min* 40 1,500000x10-5,00x ,88 h 80 6,500000x10-3,00x ,96 h 160 3,150000x10-3 1,00x ,6 di 10 5, x10-1,00x ,8 min 0, x10-1,00x ,5 min 40 1,500000x10-5,00x ,61 h 80 6,500000x10-3,00x ,3 h 160 3,150000x10-3 1,00x ,00 dis 10 5, x10-1,00x ,4 min 0, x10-1,00x ,4 min 40 1,500000x10-5,00x ,30 h**

117 115 (continção d Tbl 4.) Modlo 9 10 Mlh (volms) Tmnho dos volms (h) t Itrçõs xtrns ftds Tmpo d CU 80 6,500000x10-3,00x ,01 h 160 3,150000x10-3 1,00x ,0 h 10 5, x10-1,00x ,0 s 0, x10-1,00x ,3 s 40 1,500000x10-5,00x ,4 s 80 6,500000x10-3,00x ,95 min 160 3,150000x10-3 1,00x ,5 min 30 1,565000x10-3 5,00x ,4 min 640 7,815000x10-4,00x ,08 h ,906500x10-4 1,00x ,8 h.560 1,953150x10-4 5,00x ,4 dis * Simlção inicid com 0 itrçõs tilizndo-s o modlo 3. ** Simlção ftd m m microcomptdor ntim IV,,4 MHz, com 1,0 GB d mmóri RAM, inicid com 0 itrçõs do modlo 10. Rsslt-s, tmbém, q o númro d itrçõs ncssáris pr convrgênci, bm como o númro totl d lgrismos significtivos, dpnd do modlo qímico dotdo, conform pod sr obsrvdo trvés ds Tbls , prsntds n sqüênci. Tbl 4.3: Rsltdos gris d convrgênci (modlos 0, 1 ). Mlh (volms) Algrismos significtivos Modlo 0 Modlo 1 Modlo Itrçõs pr convrgênci Algrismos significtivos Itrçõs pr convrgênci Algrismos significtivos Itrçõs pr convrgênci

118 116 Tbl 4.4: Rsltdos gris d convrgênci (modlos 3, 4, 5, 7, 9 10). Mlh (volms) Modlos 3 4 Modlos 5 7 Modlo 10 Modlo 9 Algrismos significtivos Itrçõs pr convrgênci Algrismos significtivos Itrçõs pr convrgênci Algrismos significtivos Itrçõs pr convrgênci Algrismos significtivos Itrçõs pr convrgênci D m modo grl, o mnto do númro d spécis nvolvids m m simlção crrt m incrmnto no númro d itrçõs ncssáris à convrgênci do modlo rsltndo, otrossim, m m créscimo no tmpo d CU. Como xmplo, cit-s mlh d 160 volms d control, pr ql são ncssáris itrçõs, pr s solção, mprgndo-s os modlos 0 1; m totl d itrçõs dv sr fito com o modlo ; o mnos itrçõs dvm sr sds no cso dos modlos 3 4; m mínimo d itrçõs é dmnddo pr o modlo 10. Vrific-s, contdo, q não pns o númro d itrçõs é dpndnt do modlo qímico mprgdo, ms tmbém o totl d lgrismos significtivos lcnçdos m m simlção. Atrvés d Tbl 4.4, obsrv-s q o sr tilizd m mlh d 160 volms d control, obtém-s 11 lgrismos significtivos o srm tilizdos os modlos qímicos 3 /o 4, o 8 lgrismos, s for mprgdo os modlos 5 /o 7. Alindo-s st consttção o tmpo d CU dmnddo (Tbl 4.), concli-s q o mior númro d rçõs qímics inrnts os modlos 5 7 (pr sis spécis) modlo 9 (pr oito spécis) rslt m m mnto no rro d rrdondmnto (dvido à mior qntidd d cálclos sr ftd), ocsionndo m m mnor númro d lgrismos significtivos. Atnt-s, ind, à xigênci d m mior sforço comptcionl ( consqüntmnt m mior tmpo d CU) pr obtnção d solção nméric por prt dos modlos qímicos 5, 7 9 (q prsntm m mior númro d rçõs qímics). Dst mnir, o mnos pr o modlo d scomnto m qilíbrio qímico locl, é rcomndávl tilizção d modlos qímicos q prsntm o mnor númro possívl d rçõs qímics (pr m

119 117 dtrmindo númro d spécis considrds). Est rcomndção não s fz ncssári o scomnto congldo, m vz q composição qímic é dtrmind m únic vz, d modo q inflênci do modlo qímico scolhido sobr o tmpo d CU é rdzid. Como ftdo pr os dmis modlos físicos d scomnto, tmbém pr o scomnto m qilíbrio qímico locl form obtids ordm prnt do rro nmérico incrtz nméric bsd no stimdor GCI, sndo lgns rsltdos prsntdos ns Tbls Obsrv-s, ntrtnto, q ordm ssintótic do rro pr st modlo é igl 1. Isto s dv o fto d m trmo d qção d nrgi, Eq. (3.3), sr discrtizdo tilizndo-s fnçõs d intrpolção d primir ordm (UDS). Dv-s rssltr q tl procdimnto só foi rlizdo pl impossibilidd d discrtizr todos os trmos d qção mprgndo-s fnçõs d intrpolção CDS: tods s tnttivs d s mprgr fnçõs d proximção d sgnd ordm rsltrm m divrgênci do modlo nmérico, não s obtndo solção nméric. Com isso, opto-s plo mprgo d fnçõs d intrpolção d primir ordm, msmo q isto pdss ocsionr m rdção d ordm prnt d todo o modlo nmérico. Assim, psr d mior prt ds qçõs do modlo mtmático sr discrtizd mprgndo-s fnçõs d intrpolção d sgnd ordm, o fto d m trmo d qção prsntr ordm nitári é sficint pr q convrgênci d todo o sistm sj ftd. Tbl 4.5: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [p L : 1] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 3). Mlh (volms) Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) 10 não s plic não s plic 0 não s plic não s plic 40 1, , x10-80, , x10-160, , x , , x , , x , , x , x10-1 1, x10-4

120 118 Tbl 4.6: Ordm prnt d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [p L : 1] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 3). Mlh (volms) Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) 10 não s plic não s plic 0 não s plic não s plic 40 3, , , x10-1 ** 160 -, , x10-1 ** 30, x10-1 5, , x10-1 1, , x10-1 5, x , x10-1, x10-1 Dv-s tntr, tmbém, q ns Tbls , qndo não é possívl obtr o vlor d ordm prnt, o rspctivo vlor é indicdo trvés d trços (---). Rsslt-s, ind, q o não sr possívl stimr incrtz nméric bsd n ordm prnt, mprg-s ordm ssintótic, sndo tis csos idntificdos trvés d striscos (**) à dirit dos vlors prsntdos. A prtir dos ddos mostrdos ns Tbls , obsrv-s q à mdid q mlh é rfind, ordm prnt s proxim d ordm ssintótic, como sprdo vrificdo pr os dmis modlos físicos implmntdos no código Mch1D. or s trtr do critério mis dificilmnt tndido n vrificção d m código nmérico, firm-s q o código Mch1D prsnt solçõs corrts do modlo mtmático implmntdo. Obsrv-s q, mbor incrtz nméric sj mior pr mlh d 80 volms d control, mprgndo-s o modlo d qilíbrio qímico locl, ind ssim l é comptívl à ordm d grndz dos rros xprimntis. Obtids s stimtivs d rro, são prsntdos, sgir, os rsltdos nméricos mprgndo-s o código Mch1D, comprndo-os com os rsltdos nlítico provnints do código CEA (pr scomntos congldo m qilíbrio qímico locl), trvés ds Figrs , pr m mlh d 80 volms d control.

121 119 Tbl 4.7: Modlos físicos prsntdos ns Figrs Solção Modlos 1 Modlo com propridds constnts (R 56,97 J/kg K) Modlo com propridds vriávis (R 56,97 J/kg K) 3 Modlo com propridds vriávis (R 461,53 J/kg K) 4 Modlo congldo modlo qímico 5 5 Modlo congldo modlo qímico 9 6 Modlo qilíbrio qímico locl modlo qímico 0 7 Modlo qilíbrio qímico locl modlo qímico 1 8 Modlo qilíbrio qímico locl modlo qímico 9 Modlo qilíbrio qímico locl modlo qímico 3 10 Modlo qilíbrio qímico locl modlo qímico Coficint d dscrg CEA (cong.): 1, CEA (q.): 0,97737 Anlítico: 1, Solção Figr 4.4: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr C d ), pr mlh d 80 volms d control Empxo dimnsionl CEA (q.): 1, CEA (cong.): 0,99899 Anlítico: 1, Solção Figr 4.5: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr F*), pr mlh d 80 volms d control.

122 10 3.7x10 4 CEA (q.): 3,6178 x x x x10 4 rssão [] 3.3x x x x10 4.9x10 4 Anlítico:,91734 x x10 4.7x10 4 CEA (cong.):,7448 x Solção Figr 4.6: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr mlh d 80 volms d control CEA (q.): 46,41 K Tmprtr [K] Anlítico: 171,7409 K CEA (cong.): 1607,91 K Solção Figr 4.7: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr T x ), pr mlh d 80 volms d control CEA (q.): 343,7056 m/s Vlocidd [m/s] CEA (cong.): 3311,4519 m/s Anlítico: 3316,7150 m/s Solção Figr 4.8: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr mlh d 80 volms d control.

123 Númro d Mch CEA (cong.): 3,31 Anlítico: 3, CEA (q.):, Solção Figr 4.9: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr M x ), pr mlhs d 80 volms d control. A prtir ds Figrs , not-s q, d m modo grl, os únicos modlos prsntrm bo concordânci (pr tods s sis vriávis d intrss) com os rsltdos obtidos com o progrm CEA (congldo) form os modlos congldos com sis oito spécis (modlos qímicos 5 9). No cso do scomnto m qilíbrio qímico locl, otrossim form os modlos d sis oito spécis (modlos 3 10) os q mis s proximrm dos rsltdos obtidos com o progrm CEA (qilíbrio); rsslt-s, contdo, q os modlos 3 10 sbstimrm o númro d Mch n síd d tbir, qndo comprdos os rsltdos do CEA. Vrific-s, ind, q os modlos nméricos vriávis (pr R d 56,97 461,53 J/kg K) o modlo m qilíbrio (com modlo qímico 0) possm rsltdos qivlnts pr grnd miori ds vriávis d intrss, com xcção d vlocidd d síd d tbir (m q pns os modlos nmérico vriávl com R d 461,53 J/kg K o modlo qímico 0 são coincidnts). or último, pod-s firmr q s difrnçs ntr os rsltdos nméricos são dvids os modlos físicos /o qímicos tilizdos, m vz q tis difrnçs sprm s incrtzs nmérics ssocids os vlors obtidos. 4.6 ESCOAMENTO EM DESEQUILÍBRIO QUÍMICO O último modlo físico stddo dntr os csos nidimnsionis é o scomnto m dsqilíbrio qímico. or s sitr ntr os scomntos congldo m qilíbrio qímico

124 1 locl, st modlo dv prsntr rsltdos mis próximos os d sitção rl d fncionmnto d m motor-fogt. Obsrv-s, contdo, q ncssidd do cálclo ds txs d grção d spécis pr cd modlo qímico torn st modlo mis complxo q os ntriors, sndo ncssário grgr qção d consrvção d mss pr cd spéci qímic o modlo mtmático. Ddos rsltdos gris ds simlçõs nvolvndo st modlo físico stão rlcionds n Tbl 4.8. Tbl 4.8: Ddos gris ds simlçõs rlizds com o modlo d dsqilíbrio qímico. Modlo rtivo Mlh (volms) Tmnho dos volms (h) t Itrçõs xtrns Tmpo d CU 10 5, x10-4,00x10-8 1,50x ,8 s 0, x10-4,00x10-8,00x10 6,04 min 40 1, x10-4,00x10-8 4,00x10 6 6,19 min 80 6, x10-3 4,00x10-8 5,00x ,0 min 160 3, x10-3 4,00x10-8 1,00x10 7 1,09 h 30 1, x10-3 4,00x10-8 5,00x10 6 1,04 h 640 7, x10-4 4,00x10-8 3,00x10 6 1,4 h 180 3, x10-4 4,00x10-8,00x10 6 1,63 h 560 1, x10-4 4,00x10-8 1,00x10 6 1,66 h 10 5, x10-3,00x10-8 1,50x10 6 1,01 min 0, x10-3,00x10-8 3,00x10 6 3,13 min 40 1, x10-3,00x10-8 4,50x10 6 8,0 min 80 6, x10-3 3,00x10-8 8,00x10 6 7,3 min 160 3, x10-3 3,00x10-8 1,50x10 7 1,71 h 30 1, x10-3 3,00x10-8 7,50x10 6 1,6 h 640 7, x10-4 3,00x10-8 5,00x10 6,14 h 180 3, x10-4 3,00x10-8 3,00x10 6,57 h 560 1, x10-4 3,00x10-8 1,50x10 6,61 h 0, x10-9,00x ,00x10 7 1,85 h 40 1, x10-9,00x ,0x10 8 5,01 h* 80 6, x10-3 9,00x10-10,00x ,6 h 0, x10-9,00x ,00x10 7 1,30 h , x10-9,00x ,00x10 8 3,83 h 80 6, x10-3 9,00x10-10,00x ,3 h , x10-3 3,00x ,00x10 9 pós 5,35 dis não convrgi 1,00x10 9 itrçõs 10 5, x10 -,00x ,00x10 8 6,13 h 10 0, x10 -,00x ,00x10 8 7,97 h 40 1, x10 -,00x ,50x10 8,9 h 80 6, x10-3,00x ,0x10 9 3,30 dis

125 13 Apns modlos qímicos d sis d oito spécis form considrdos pr stdos m dsqilíbrio qímico, conform prsntdo n Tbl 3.1. Ddos gris ds simlçõs ftds são prsntdos n Tbl 4.8. Obsrv-s, novmnt, q o rfinmnto ds mlhs foi dpndnt do modlo qímico dotdo: nqnto pr os modlos 31 3 form ftdos stdos com mlhs d té 560 volms, pr os modlos 5, 7 10 os stdos nvolvrm mlhs d té 80 volms. Além disso, o modlo 9 não pôd sr mprgdo dvido o tmpo d CU dmnddo: não s obtv convrgênci pr mlh d 80 volms nm pós 1,0 bilhão d itrçõs ( mis d cinco dis d simlção). Isto pod sr obsrvdo mis clrmnt trvés d Figr 4.30: os rsltdos do coficint d dscrg não s stbilizm m m dtrmindo vlor o ptmr (conform sprdo obsrvdo n Figr 4.3). 1.0x10 0 Difrnç C d (i) - C d (N) 1.0x x10-1.0x x x x x x10 9 Itrçõs (i) Figr 4.30: Comportmnto do coficint d dscrg x númro d itrçõs (mlh d 80 volms). Noto-s, tmbém, q scolh por dtrmindo modlo qímico pr m dd mlh, fto considrvlmnt o númro totl d lgrismos significtivos obtidos n solção nméric. Isto pod sr visto trvés ds Tbls , mostrds sgir. D m form grl, obsrvo-s m mnor númro d lgrismos significtivos ssocidos os modlos qímicos q prsntm mior númro d rçõs d dissocição. Est fto pod sr rlciondo o mior númro d oprçõs ncssáris por tis modlos pr s obtr solção nméric, implicndo m nívis mis lvdos d rros d rrdondmnto.

126 14 Tbl 4.9: Ddos gris d convrgênci (modlos 31 3). Mlh (volms) Algrismos significtivos Modlo 31 Modlo 3 Itrçõs pr Algrismos convrgênci significtivos Itrçõs pr convrgênci ,14x ,49x ,9x ,37x ,85x ,00x ,85x ,8x ,18x ,11x ,05x ,6x ,10x ,60x ,10x ,40x ,60x ,5x10 6 Ao s clclr s ordns prnts do rro nmérico pr o modlo d scomnto m dsqilíbrio qímico (Tbls ), obsrvo-s q tis ordns não prsntm m tndênci clr: possivlmnt, ordm prnt tnd à nidd, o invés d tndr m vlor igl dois. Est rsltdo pod str ssocido à solção d qção d consrvção d nrgi, dvido o fto q msm prsntr m trmo-font cj discrtizção é fit mprgndo-s fnçõs d intrpolção d primir ordm (UDS), similrmnt o ocorrido pr o modlo d scomnto m qilíbrio qímico locl. Tmbém nst cso form fits simlçõs mprgndo-s fnçõs d intrpolção d sgnd ordm, sm scsso (divrgênci m todos os cso), o q motivo tilizção d fnçõs do tipo UDS. Obsrvs, ind, q ns Tbls , qndo não foi possívl tilizr o stimdor GCI bsdo n ordm prnt do rro, mprgo-s ordm ssintótic do msmo, idntificndo tis rsltdos por striscos (**) à dirit do vlor xibido. Tbl 4.30: Ddos gris d convrgênci (modlos 5, 7 10). Mlh (volms) Algrismos significtivos Modlo 5 Modlo 7 Modlo 10 Itrçõs pr Algrismos Itrçõs pr Algrismos convrgênci significtivos convrgênci significtivos Itrçõs pr convrgênci ,84x ,10x ,30x ,9x ,15x ,80x ,05x ,87x ,80x ,30x10 8

127 Tbl 4.31: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [p L : 1] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 31). Mlh (volms) Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) 10 não s plic não s plic 0 não s plic não s plic 40,109 7,010x10-80,844 9,764x ,194 1,067x ,441 9,8x ,0 1,067x ,031 5,1x ,577x10-1 6,43x10-6 ** 15 Tbl 4.3: Ordm prnt d solção nméric pr tmprtr n síd d tbir (T x ) [p L : 1] stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo 31). Mlh (volms) Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) 10 não s plic não s plic 0 não s plic não s plic 40,74 9,385x ,858,588x ,863 7, ,896 1, ,865 5,46x ,76 1,547x ,351 6,066x10 - As incrtzs nmérics obtids pr cd modlo qímico no scomnto m dsqilíbrio qímico prsntm msm ordm d grndz ds stimtivs d rro (pr tods s vriávis d intrss stdds) pr os dmis modlos físicos implmntdos no código Mch1D. Dst form, msmo q o vlor d ordm prnt sj difrnt do sprdo, há indícios d q o código rsolv corrtmnt o modlo mtmático mprgdo. Est hipóts é rforçd plo fto d os rsltdos nméricos obtidos s ncontrrm ntr os rsltdos dos scomntos congldo m qilíbrio qímico locl, conform sprdo. Tndo-s os rsltdos nméricos s rspctivs stimtivs d rro GCI, é fit comprção ntr os divrsos modlos qímicos xistnts pr o scomnto m dsqilíbrio qímico, bm como com os rsltdos obtidos com os modlos físicos ntriors com o progrm CEA. Tl comprção é prsntd ns Tbls , sndo considrd m mlh d 80 volms pr todos os modlos.

128 16 Tbl 4.33: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr o coficint d dscrg, mpxo dinâmico dimnsionl prssão n síd d tbir, inclindo rros nméricos stimdos (mlhs d 80 volms). Modlo C d [dim.] F* [dim.] x [] Anlítico(R1) 1,0 1,0,91734x10 4 Nmérico constnt (R1) 1,000 ± 3x10-3 1,001 ± 4x10-3,91x10 4 ± 8x10 1 Nmérico vriávl (R1) 0,99 ± 3x10-3 1,004 ± 4x10-3 3,005x10 4 ± 7x10 1 Nmérico vriávl (R) 1,060 ± 3x10-3 1,004 ± 4x10-3 3,005x10 4 ± 7x10 1 Congldo mod. 0 1,060 ± 3x10-3 1,004 ± 4x10-3 3,005x10 4 ± 7x10 1 Congldo mod. 1 1,03 ± 3x10-3 1,00 ± 4x10-3,886x10 4 ± 9x10 1 Congldo mod. 1,018 ± 3x10-3 1,001 ± 4x10-3,81x10 4 ± 1x10 Congldo mod. 3, 4, 5 7 1,001 ± 3x10-3 1,000 ± 4x10-3,74x10 4 ± 1x10 Congldo mod ,001 ± 3x10-3 1,000 ± 4x10-3,74x10 4 ± 1x10 CEA (congldo) 1, ,99899,7448x10 4 Eqilíbrio mod. 0 1,060 ± 9x10-3 1,00 ± 1x10-3,005x10 4 ± 7x10 1 Eqilíbrio mod. 1 1,0 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,37x10 4 ± 3x10 Eqilíbrio mod. 1,00 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,54x10 4 ± 5x10 Eqilíbrio mod ,98 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,63x10 4 ± 5x10 Eqilíbrio mod. 10 0,98 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,63x10 4 ± 5x10 CEA (qilíbrio) 0, , ,6178x10 4 Tx finit mod. 31 1,01 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,18x10 4 ± x10 Tx finit mod. 3 1,01 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,5x10 4 ± x10 Tx finit mod. 5 1,01 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,36x10 4 ± x10 Tx finit mod. 7 1,01 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,433x10 4 ± 9x10 1 Tx finit mod. 10 1,01 ± 1x10-1,01 ± 1x10-3,18x10 4 ± x10 (R1): R 56,97 J/kg K; (R): R 461,53 J/kg K Comprndo-s os rsltdos obtidos ss rspctivs incrtzs nmérics, prtir ds Tbls , pod-s vlir os fitos dos difrnts modlos físicos /o qímicos sobr s solçõs nmérics: pr mits ds vriávis, s difrnçs ntr os rsltdos pod sr tribído à tilizção d modlos difrnts ( não o rro nmérico ssocido à simlção). D m modo grl, tmbém, não há vntgns m s tilizr m modlo qímico com mis d sis spécis, m vz q incrtz nméric é sprior à difrnç ntr os rsltdos obtidos. Rsslt-s, contdo, q tilizção d modlos qímicos com númro d spécis infrior qtro tmbém não é rcomndávl, m virtd do lvdo rro d modlgm comtido o srm dsprzds spécis qímics com importnt ppl no qdro grl d rçõs, como o oxigênio o hidrogênio monotômicos.

129 Tbl 4.34: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr tmprtr, vlocidd o númro d Mch (todos n síd d tbir), inclindo rros nméricos stimdos (mlh d 80 volms). 17 Modlo T x [K] x [m/s] M x [dim.] Anlítico(R1) 1.71, ,7150 3, Nmérico constnt (R1) ± ± 7 3,0 ± 1x10 - Nmérico vriávl (R1) ± ± 7 3,15 ± 1x10 - Nmérico vriávl (R) ± ± 6 3,15 ± 1x10 - Congldo mod ± ± 6 3,15 ± 1x10 - Congldo mod ± ± 7 3,19 ± 1x10 - Congldo mod ± ± 7 3,1 ± 1x10 - Congldo mod. 3, 4, ± ± 7 3,4 ± 1x10 - Congldo mod ± ± 7 3,4 ± 1x10 - CEA (congldo) 1.607, ,4519 3,31 Eqilíbrio mod ± x ± x10 3,15 ± 3x10 - Eqilíbrio mod ± ± 3,998 ± 6x10-3 Eqilíbrio mod..345,9 ± 7x ,3 ± 1x10-1,9357 ± 3x10-4 Eqilíbrio mod , ± 3x ±,911 ± x10-3 Eqilíbrio mod ,4 ± 3x ±,911 ± x10-3 CEA (qilíbrio).46, ,7056,986 Tx finit mod ± 3x ± 1x10 1 3,05 ± 3x10 - Tx finit mod ± 3x ± 1x10 1 3,0 ± 3x10 - Tx finit mod ± x ± 1x10 1,98 ± 3x10 - Tx finit mod ± x ± 1x10 1,96 ± x10 - Tx finit mod ± 3x ± 1x10 1 3,05 ± 3x10 - (R1): R 56,97 J/kg K; (R): R 461,53 J/kg K Ao s comprr os rsltdos obtidos ns Tbls , obsrv-s q s rçõs qímics mprgds nos modlos d qilíbrio qímico locl são do tipo xotérmics: há m notávl mnto d tmprtr n síd d tbir dcorrnt d librção d nrgi intrn ocsiondo pls rçõs qímics ntr s divrss spécis m scomnto. Est librção d nrgi é ocsiond plo fto d q s crts spécis xistnts no scomnto (como o oxigênio o hidrogênio monotômicos) tndm s rgrpr formndo vpor d ág, nm procsso invrso o d dissocição (q ocorr lts tmprtrs, trvés d rçõs do tipo ndotérmics). O mnto d tmprtr d mistr d gss m scomnto é notdo, otrossim, n vlocidd d scomnto, m vz q xist m mior qntidd d nrgi térmic disponívl pr sr convrtid m nrgi cinétic. Obsrv-s, dss mnir, m mnto d vlocidd n síd d tbir, q chg crc d 10 m/s. A incrtz nméric ds solçõs foi obtid, otrossim, pr mlhs mis rfinds, como d 560 volms, conform pod sr visto ns Tbls A sênci d rsltdos pr os modlos qímicos 5, 7, 9 10, pr o scomnto m dsqilíbrio

130 qímico locl, s dv rstriçõs d tmpo comptcionl (tis modlos dmndrim m tmpo por dmis lvdo pr q s simlçõs fossm rlizds). 18 Tbl 4.35: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr o coficint d dscrg, mpxo dinâmico dimnsionl prssão n síd d tbir, inclindo rros nméricos stimdos (mlhs d 560 volms). Modlo C d [dim.] F* [dim.] x [] Anlítico(R1) 1,0 1, ,4 Nmérico constnt (R1) 1, ± 1x10-6 1, ± 1x ,3 ± x10-1 Nmérico vriávl (R1) 0, ± 1x10-6 1,0034 ± 1x ,3 ± x10-1 Nmérico vriávl (R) 1, ± 1x10-6 1,0034 ± 1x ,3 ± x10-1 Congldo mod. 0 1, ± 1x10-6 1,0034 ± 1x ,6 ± x10-1 Congldo mod. 1 1, ± 1x10-6 1, ± 1x ,0 ± x10-1 Congldo mod. 1, ± 1x10-6 1, ± 1x ,0 ± x10-1 Congldo mod. 3, 4, 5 7 1, ± 1x10-6 0, ± 1x ,1 ± x10-1 Congldo mod , ± 1x10-6 0,99898 ± 1x ,7 ± x10-1 CEA (congldo) 1, , Eqilíbrio mod. 0 1, ± 3x10-6 1,0034 ± 4x ,6 ± 6x10-1 Eqilíbrio mod. 1 1,0190 ± 1x10-4 1,00884 ± 1x ± 1x10 1 Eqilíbrio mod. 0,9986 ± 1x10-4 1, ± 8x ± 1x10 1 Eqilíbrio mod ,978 ± 1x10-4 1,01158 ± 8x ± x10 1 Eqilíbrio mod. 10 0,978 ± 1x10-4 1, ± 8x ± x10 1 CEA (qilíbrio) 0, , Tx finit mod. 31 1, ± 6x10-6 1, ± 4x ,9 ± 9x10-1 Tx finit mod. 3 1,0068 ± 1x10-5 ** 1,01647 ± 4x ± 1 (R1): R 56,97 J/kg K; (R): R 461,53 J/kg K Comprndo-s os rsltdos nméricos obtidos pr mlh d 80 volms d control (Tbls ) d 560 volms (Tbls ), obsrv-s q, à xcção d tmprtr d síd (no cso d scomnto m qilíbrio qímico), o rfinmnto d mlh provê rsltdos (do código Mch1D) mis próximos os prsntdos plo progrm CEA. Enqnto pr mlh d 80 volms d control, difrnç ntr os rsltdos do progrm Mch1D (pr o númro d Mch n síd d tbir) é d 0,8% pr o scomnto congldo,51% pr o scomnto m qilíbrio qímico, pr mlh d 560 volms tl difrnç s rdz 0,08% pr o scomnto congldo,39% pr o qilíbrio qímico.

131 Tbl 4.36: Qdro comprtivo d modlos dotdos pr tmprtr, vlocidd o númro d Mch (todos n síd d tbir), inclindo rros nméricos stimdos (mlh d 560 volms). 19 Modl T x [K] x [m/s] M x [dim.] Anlítico(R1) 1.71, ,7150 3, Nmérico constnt (R1) 1.71,739 ± 7x ,717 ± 7x10-3 3,1984 ± 1x10-5 Nmérico vriávl (R1) 1.80,338 ± 7x ,07 ± 7x10-3 3,1444 ± 1x10-5 Nmérico vriávl (R) 1.80,338 ± 7x ,835 ± 7x10-3 3,1444 ± 1x10-5 Congldo mod ,450 ± 7x ,90 ± 7x10-3 3,1444 ± 1x10-5 Congldo mod ,090 ± 8x ,531 ± 7x10-3 3,18174 ± 1x10-5 Congldo mod. 1.66,98 ± 9x ,770 ± 7x10-3 3,0535 ± 1x10-5 Congldo mod. 3, 4, ,141 ± 9x ,743 ± 7x10-3 3,3078 ± x10-5 Congldo mod ,185 ± 9x ,70 ± 7x10-3 3,3076 ± x10-5 CEA (congldo) 1.607, ,4519 3,31 Eqilíbrio mod ,45 ± x ,9 ± x10-3,1444 ± 4x10-5 Eqilíbrio mod ,9 ± 3x ,5 ± 4x10-1 3,0009 ± 6x10-4 Eqilíbrio mod..344,3 ± 3x ,9 ± 5x10-1,939 ± 6x10-4 Eqilíbrio mod ,8 ± x ,8 ± 5x10-1,9147 ± 6x10-4 Eqilíbrio mod ,0 ± x ,8 ± 5x10-1,9146 ± 6x10-4 CEA (qilíbrio).46, ,7056,986 Tx finit mod ,0 ± 6x ,958 ± 9x10-3 3,0489 ± 5x10-5 Tx finit mod ,9 ± 1x ,89 ± 3x10-3,01833 ± 6x10-5 (R1): R 56,97 J/kg K; (R): R 461,53 J/kg K Tl rdção, no ntnto, é bstnt pqn frnt o mnto do tmpo comptcionl, conform pod sr obsrvdo n Tbl 4.37: o tmpo comptcionl ncssário pr o scomnto congldo é mis d 150 vzs sprior pr mlh mis rfind, nqnto pr o scomnto m qilíbrio qímico locl, o tmpo dmnddo é mis d 100 vzs sprior (pr o modlo qímico 3). Dst modo, pr projtos m grl, cjo foco não sj o stdo d rros nméricos /o novos modlos mtmáticos, é rcomndávl tilizção d mlhs d 80 volms d control, cj incrtz nméric é qivlnt à incrtz xprimntl. Tbl 4.37: Comprção ntr tmpos d CU pr divrsos modlos físicos, mprgndo-s difrnts mlhs. Mlh Escomnto monospéci ropridds constnts ropridds vriávis Escomnto congldo (modlo 3) Eqilíbrio qímico locl (modlo 3) Tx finit d rção Modlo 31 Modlo 3 80 volms 3,08 s 0,750 s 0,969 s,34 min 17,0 min 7,3 min 560 volms,07 min 3,0 min,66 min 1,98 di 1,66 h,61 h 1040 volms 56,9 min 1,65 h 1,49 h

132 RESUMO DO CAÍTULO 4 Form prsntds, nst cpítlo, s solçõs nmérics ( ss rspctivs náliss d rros) rfrnts o código comptcionl Mch1D, vrsão 5.0. N sção 4.1 foi prsntd gomtri tilizd pr s simlçõs: m tbir compost por m câmr d combstão cilíndric m bocl convrgnt-divrgnt (o d Lvl), com prfil cossnoidl. Form mostrds, otrossim, s hipótss dmitids pr s simlçõs ftds, os prâmtros físicos gométricos os rcrsos comptcionis mprgdos. N sção 4. foi prsntd solção nméric pr scomnto monospéci com propridds constnts. r s condiçõs d solção spcificds, solção dst modlo é qivlnt o scomnto isntrópico m bocl convrgnt-divrgnt, cj solção nlític é conhcid. Dst form, foi possívl comprr os rsltdos nméricos do código Mch1D os nlíticos, rlizndo-s m nális profndd sobr rros nméricos. Obsrvo-s q, pr st modlo, s ordns ftiv prnt d incrtz nméric tndim à ordm ssintótic à mdid q mlh é rfind. Foi possívl, tmbém, vrificr os critérios d cráci confibilidd pr três stimdors d rro: dois bsdos no stimdor d Richrdson (pr ordm prnt pr ordm ssintótic), lém do stimdor GCI (pr ordm prnt o ssintótic). D cordo com os rsltdos obtidos, opto-s por tilizr o stimdor GCI pr s dmis simlçõs, m vz q st s mostro confiávl pr prticmnt todos os csos m q pôd sr mprgdo. Foi vrificdo, otrossim, q incrtz nméric pr mlhs d 80 volms d control prsnt ordm d grndz qivlnt à d rsltdos xprimntis, conform já mnciondo por Mrchi t l. (004). A sção 4.3 foi ddicd o scomnto monospéci com propridds vriávis. r st modlo, bm como pr os dmis prsntdos nst cpítlo, pns obtnção d ordm prnt foi possívl, m vz q não xist solção nlític conhcid pr st cso. Obsrvo-s, no ntnto, q à mdid q mlh r rfind, tmbém nst modlo ordm prnt s proximv d ssintótic, conform sprdo. Isto prmit firmr q o código Mch1D, tilizdo ns simlçõs, fornc rsltdos corrtos do modlo mtmático implmntdo, m vz q st critério é o mis dificilmnt tndido n vrificção nméric (ROY, 005). O scomnto congldo (mltispéci) foi o foco d sção 4.4. Difrnts modlos qímicos form tstdos, tilizndo-s mlhs d té 1040 volms d control (q tmbém

133 131 form mprgds pr os csos d scomnto monospéci). Os rsltdos obtidos form comprdos os do código CEA (GLENN RESEARCH CENTER/NASA, 005) prsntndo bo concordânci. Obsrvo-s q inflênci do modlo qímico tilizdo é lvd qndo s tilizm 3 o 4 spécis; tl fito, contdo, é mito tndo qndo mprgdos modlos d 6 /o d 8 spécis: pr tis modlos, incrtz nméric é sprior à difrnç ntr os rsltdos obtidos. Isto s dv o fto d q os modlos com 3 o 4 spécis não lvm m considrção spécis monotômics, cj prticipção é importnt pr dfinição ds propridds d mistr d gss. N sção 4.5 foi stddo o scomnto m qilíbrio qímico locl. Tmbém pr st modlo físico, difrnts mlhs modlos qímicos form dotdos. Difrntmnt do cso do scomnto congldo, m q scolh por dtrmindo modlo qímico não ftv m mito o tmpo d CU dmnddo o númro d lgrismos significtivos d solção nméric, obsrvo-s pr o scomnto m qilíbrio qímico q o númro d rçõs qímics é m prâmtro q dv sr considrdo. Msmo obtndo-s solçõs nmérics qivlnts o s mprgr modlos com difrnts rçõs qímics (ms msms spécis), vrifico-s q os modlos q prsntvm mior númro d rçõs dmndrm mior tmpo d CU possím mnor númro d lgrismos significtivos. Isto s dv, provvlmnt, o mior númro d qçõs sr solciondo, o q implic m m mior qntidd d itrçõs sr ftd m mnto no rro d rrdondmnto comtido. A condição d dsqilíbrio qímico foi o nfoq d sção 4.6. Apsr d ordm prnt não tndr clrmnt à ssintótic pr st modlo, obsrvo-s q incrtz nméric clcld é comptívl à ds dmis simlçõs. Noto-s, tmbém, q s solçõs obtids prtncm o intrvlo ntr s solçõs do scomnto congldo m qilíbrio qímico locl. Dst form, têm-s indícios pr firmr q tmbém nst cso o código Mch1D rsolv o modlo mtmático corrtmnt. D comprção ntr todos os rsltdos s incrtzs nmérics ls ssocids, rcomnd-s tilizção d modlos qímicos com 6 spécis pr solção nméric d scomntos rtivos. Isto s dv o fto d: (1) modlos com mnor númro d spécis dsprzm spécis importnts, como o oxigênio o hidrogênio monotômicos; () incrtz nméric é sprior à difrnç ntr os rsltdos d 6 d 8 spécis, não prmitindo q s firm q tl difrnç s dv à tilizção d m modlo qímico mlhor. Com rlção às mlhs, rcomnd-s o mprgo d mlhs com 80 volms d control pr plicçõs gris (xctndo-s nális d rros nméricos /o novos modlos

134 13 mtmáticos), m vz q incrtz nméric ssocid tl mlh é qivlnt os rros xprimntis. Rsslt-s, finlmnt, q pocos trblhos plicm nális d rros m problms do tipo hiprbólico (ZHANG t l., 001), m spcil pr modlos rtivos, como fito nst ts.

135 133 5 RESULTADOS NUMÉRICOS BIDIMENSIONAIS São prsntdos nst cpítlo os rsltdos obtidos mprgndo-s o código MchD, vrsão 6.0, cj finlidd é solção d scomntos bidimnsionis rtivos (o não) d mistr d gss (o d scomnto monospéci) o longo d m motor-fogt d simtri xil. Est código, ssim como o Mch1D, foi scrito m linggm Fortrn 95, com strtr modlr dpl prcisão, mprgndo-s o método d volms finitos, formlção dqd qlqr rgim d vlocidds mlhs co-loclizds, não-ortogonis. Form ftds náliss d rro nmérico pr cd m dos modlos stddos, tilizndo-s os stimdors d rro prvimnt prsntdos n sção ARÂMETROS GERAIS D A primir gomtri d câmr-tbir tilizd ns simlçõs pr o scomnto bidimnsionl é msm prsntd no trblho d Bck t l. (1965), cjo prfil é prsntdo n Figr 5.1 cjos prâmtros gris são prsntdos n Tbl 5.1. Bck t l. (1965) prsntrm rsltdos xprimntis pr o scomnto d r, q nst trblho srão rprodzidos, mprgndo-s o código MchD, modlndo-s o r como m gás prfito monospéci. Rio [m] osição [m] Figr 5.1: rfil d m tbir tilizd ns simlçõs D [Font: Bck t l. (1965)].

136 Tbl 5.1: râmtros gométricos, físicos nméricos microcomptdor tilizdos nos stdos mprgndo-s tbir d Bck t l. (1965). 134 râmtros gométricos Rio d ntrd 0,06348 m râmtros físicos (modlo monospéci: r) Rio n grgnt 0,0030 m Rio d crvtr n grgnt 0,01700 m Rio n síd 0,053 m Rzão d xpnsão d árs 6,63 Comprimnto totl 0, m osição d grgnt 0,06487 m Tmprtr d stgnção (T 0 ) 833,33 K rssão d stgnção ( 0 ) 1,75068x10 6 Rzão ntr clors spcíficos (γ) 1,35 Constnt do gás (R) 87,0 J/kg K râmtro nmérico Bt (ftor d mistr ntr sqms: 1,0 UDS, β 0; CDS, β 1) Microcomptdor rocssdor ntim IV, 3,40 GHz Mmóri RAM 4 GB Sistm oprcionl Windows X Emprgo-s, otrossim, m sgnd gomtri-tst pr s simlçõs: trt-s d m prfil prfitmnt prbólico, prsntdo n Figr 5.. Est tbir s difrnci d tbir prbólic trdicionl pois msm prsnt m prfil convxo (visto do intrior do motor-fogt), nqnto o prfil prbólico (sino modificdo) prsnt m formto convxo (visto do intrior do motor-fogt). Dv-s notr, contdo, q o prfil mprgdo nst trblho é m prfil didático, smlhnt o prsntdo por Fox McDonld (1998) no stdo d scomntos sprsônicos Rio [m] osição xil [m] Figr 5.: rfil d m tbir prbólic, tilizd ns simlçõs D.

137 135 Tl prfil pod sr obtido trvés d sgint xprssão: r 0,1 0,48x 0,96x, (5.1) sndo r o rio d tbir x posição xil. A Tbl 5. prsnt os principis prâmtros mprgdos ns simlçõs ftds mprgndo-s tl gomtri, nqnto m xmplo d mlh mprgd n discrtizção do domínio é prsntd n Figr osição rdil [m] osição xil [m] Figr 5.3: Mlh mprgd n discrtizção d tbir prbólic (mlh d 0x6 volms d control). Tbl 5.: râmtros gométricos, físicos microcomptdor tilizdos nos stdos mprgndo-s gomtri prbólic. râmtros gométricos Rio d ntrd 0,100 m Rio n grgnt 0,040 m Rio n síd 0,100 m Rzão d xpnsão d árs 6,5 Comprimnto totl 0,500 m osição d grgnt 0,50 m râmtros físicos (modlo monospéci: H O) Tmprtr d stgnção (T 0 ) 340,33 K rssão d stgnção ( 0 ),0x10 6 Rzão ntr clors spcíficos (γ) 1,1956 Constnt do gás (R) 56,97 J/kg K râmtro nmérico Bt (ftor d mistr ntr sqms: UDS, β 0; CDS, β 1) 1,0 (xcto no modlo d dsqilíbrio qímico: β 0 ) Microcomptdor rocssdor ntim IV, 3,40 GHz Mmóri RAM 4 GB Sistm oprcionl Windows X

138 136 r mbs s gomtris form tilizds mlhs não-ortogonis, obtids trvés d trnsformção ds qçõs gris, conform prsntdo por Mlisk (1995). Dv-s tntr, otrossim, q discrtizção ds mlhs foi ftd d tl modo q msm s prsntss niform (o prticmnt niform) n dirção xil, com rzão d rfino igl m mbs s dirçõs (xil rdil). D msm form q pr os modlos nidimnsionis, rsslt-s q não form modldos fnômnos típicos d combstão (pr os modlos d scomnto mltispéci), como o procsso d formção d gots mdnç d fs do combstívl /o do oxidnt. Novmnt o procsso d combstão é stddo d modo simplificdo, rsltndo pns n composição qímic ns propridds trmoqímics d mistr dos gss d combstão. É ncssário obsrvr, tmbém, q por srm tilizds s qçõs d Elr bidimnsionis n modlgm mtmátic do código MchD, não são considrdos fitos viscosos o d trocs térmics. or último, obsrv-s q o psso d tmpo foi mprgdo como prâmtro d rlxção pr todos os modlos stddos, m vz q form nlisdos pns scomntos m rgim prmnnt. 5. ESCOAMENTO D MONOESÉCIE COM RORIEDADES CONSTANTES r st modlo físico, form ftds ds náliss difrnts: primir, nvolvndo scomnto d r, pr comprção com rsltdos xprimntis provnints do trblho d Bck t l. (1965); sgnd, nvolvndo scomnto d vpor d ág, pr postrior comprção com rsltdos pr scomntos rtivos nvolvndo o pr proplnt H /O, mprgndo-s tbir do tipo prbólic. or s trtr d scomntos d gás monospéci prfito com propridds constnts, solção nméric pr o coficint d mpxo dimnsionl (C d ) pod sr comprd dirtmnt à solção nlític, forncid por Kligl Lvin (1969), xprss trvés d Eq. (.6), m vz q sss form s hipótss d scomnto fits pr obtnção d tl xprssão. Rsslt-s, no ntnto, q pr gomtri d Bck t l. (1965) form ftds itrçõs sficints pr q o rsído tinj m tolrânci d 10-10, bsdo n norm L1. Tl norm pod sr obtid mprgndo-s sgint xprssão (BURDEN FAIRES, 003):

139 Φ 1 N i 1 Φ i 137, (5.1) sndo: Φ norm L1 do vtor d solçõs Φ, i o sbíndic dos lmntos Φ 1 i q compõm o vtor Φ; N o númro totl d lmntos d Φ. Dv-s obsrvr q, nst trblho, m q s qçõs q rgm o fnômno físico form discrtizds n form: Φ Φ Φ Φ Φ b, (5.) w W E s S n N Φ norm L1 pod sr obtid trvés d sgint xprssão: Φ 1 N Φ [ b ( Φ wφw Φ E s Φ S nφ N )] i 1 i (5.3) ond os sbíndics, N, S, E W indicm, rspctivmnt, o volm d control ss vizinhos sprior, infrior, à dirit à sqrd; os coficints p, n, s, w, bm como o trmo-font b p pod sr ncontrdo no Apêndic B. lo fto d q pr gomtri d Bck t l. (1965) o critério d prd mprgdo foi o d norm L1, foi possívl mprgr-s stimtivs d rros pns pr gomtri prbólic, m vz q pr tl gomtri form fits itrçõs sficints pr s tingir o rro d máqin. Assim, os rsltdos nméricos pr tbir d Bck t l. (1965) form pns confrontdos os rsltdos xprimntis. A Tbl 5.3 prsnt os rsltdos gris pr s simlçõs mprgndo-s tbir d Bck t l. (1965). Form tilizds qtro difrnts mlhs, com totl d volms vrindo ntr 900 (90 n dirção xil 10 n dirção rdil) (70 n dirção xil 80 n rdil). Emprgrm-s, tmbém, fnçõs d intrpolção d primir (UDS) d sgnd (CDS) ordns, mntndo-s, porém, smpr tolrânci m Obsrv-s, prtir d Figr 5.4 q os rsltdos nméricos são prticmnt coincidnts os xprimntis, msmo considrndo-s o r como m gás monospéci prfito com propridds constnts. Est s constiti m m indício d q o código MchD rsolv corrtmnt o modlo mtmático o rro d modlgm é rltivmnt pqno.

140 138 Tbl 5.3: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds pr o scomnto D monospéci (r) com propridds constnts tbir d Bck t l. (1965) tolrânci d pr o rsído. Númro d volms Dirção Axil Dirção Rdil t Itrçõs xtrns Tmpo d CU Fnçõs d intrpolção UDS ,0x ,55 s ,0x ,3 s ,0x ,04 min ,0x ,7 min Fnçõs d intrpolção CDS ,0x ,1 s ,0x ,8 s ,0x ,08 min ,0x ,0 min 10 6 Solção nlític 1D CDS - prop. constnts UDS - prop. constnts Bck t l.(1965) prfil rssão [] osição xil [m] Figr 5.4: Distribição d prssão o longo d prd do motor-fogt tbir d Bck t l. (1965), mlh d 70x80 volms d control. Além ds simlçõs pr tbir d Bck t l. (1965), form rlizdos stdos nvolvndo o motor-fogt d gomtri prbólic, cjos ddos rsltdos gris são mostrdos n Tbl 5.4. r tl tbir, tilizrm-s mlhs contndo dsd 30 volms (10 n dirção xil 3 n rdil) té volms (640 n dirção xil 19 n rdil). r tis simlçõs tingi-s o rro d máqin, com o intito d rdzir inflênci d otrs fonts d rro nmérico à xcção do rro d discrtizção. Um nális mis complt sobr incrtz nméric pôd sr ftd pr o coficint d dscrg, m vz q o msmo possi solção nlític prsntd por Kligl Lvin (1969), obtid pr

141 139 scomntos monospéci, com propridds constnts, m tbirs cjo qocint ntr o rio d crvtr o rio d grgnt sj infrior à nidd. Dst modo, obtv-s o rro nmérico vrddiro, bm como s ordns prnt ftiv, mostrds trvés ds Tbls , rspctivmnt. Tbl 5.4: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds pr o scomnto D monospéci (H O) com propridds constnts - tbir prbólic. Númro d volms Dirção Axil Dirção Rdil t Itrçõs xtrns ftds Itrçõs ncssáris à convrgênci Tmpo d CU Algrismos significtivos Fnção d intrpolção UDS ,0x ,80 s ,0x ,810 s ,0x ,98 s ,0x , s ,0x ,48 min ,0x ,3 min ,0x ,18 h 14 Fnção d intrpolção CDS ,0x ,80 s ,0x ,800 s ,0x ,81 s ,0x ,3 s ,0x ,35 min ,0x ,3 min ,0x ,36 h 14 Atrvés d nális dos rsltdos prsntdos n Tbl 5.4, obsrv-s q o númro d lgrismos significtivos mprgndo-s fnçõs d intrpolção UDS (primir ordm) é qivlnt os csos m q são tilizds fnçõs d intrpolção CDS (sgnd ordm). Vrifico-s, otrossim, q pr mlhs mis rfinds, os modlos mprgndo fnçõs d intrpolção CDS ncssitrm m mior tmpo d CU frnt àqls m q o sqm UDS foi tilizdo: nqnto pr mlh d 640x19 volms os modlos tilizndo sqm d intrpolção UDS ncssitrm 0,655 sgndo por itrção, qndo mprgdo o sqm CDS o tmpo ncssário foi d 0,755 sgndo por itrção. Not-s, contdo, prtir d Tbl 5.5 q mgnitd do rro nmérico é bstnt sprior qndo são tilizds fnçõs d primir ordm: pr mlh mis rfind (640x19 volms d control), o rro nmérico vrddiro é proximdmnt 4 ordns d grndz mior q o rro obsrvdo pr fnçõs d intrpolção CDS.

142 140 Tbl 5.5: Solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) [solção nlític: 9, x10-1 ] - tbir prbólic. Númro d volms Solção nméric Erro vrddiro Dirção Axil Dirção Rdil Fnção d intrpolção UDS , , x , , x , , x , , x , , x , , x , , x10-3 Fnção d intrpolção CDS , , x , , x , , x , x , x , x , x , x10-1 1, x , x , x10-7 A prtir dos rsltdos prsntdos n Tbl 5.6, vrific-s q qndo mprgds fnçõs d intrpolção CDS (sgnd ordm), não é possívl dfinir clrmnt q s ordns prnt ftiv s proximm d ordm ssintótic (como foi obsrvdo no código Mch1D). Isto pod sr dcorrnt d pqn qntidd d simlçõs ftds (7 difrnts mlhs no cso bidimnsionl, nqnto 11 form nlisds com o código Mch1D), m vz q pr o modlo nidimnsionl pns prtir d mlh contndo 560 volms pôd-s notr tndênci ds ordns ftiv prnt s proximrm d ordm ssintótic. Not-s, contdo, q o srm mprgds fnçõs d intrpolção d primir ordm (UDS), mbs s ordns (prnt ftiv) s proximm d ordm ssintótic, como sprdo. Dst modo, pod-s firmr q s solçõs nmérics forncids plo código MchD, pr o sqm UDS, rsolvm corrtmnt o modlo mtmático implmntdo, m vz q ordm d cráci é o critério mis dificilmnt stisfito n vrificção nméric (ROY, 005).

143 Tbl 5.6: Ordns prátics d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) tbir prbólic. 141 Númro d volms Dirção Axil Dirção Rdil Ordm ftiv (p E ) Ordm prnt (p U ) Fnção d intrpolção UDS [ p L 1] 10 3 não s plic não s plic 0 6 1,09 não s plic ,861x10-1 1, ,875x10-1 9,847x ,918x10-1 9,831x ,958x10-1 9,877x ,97x10-1 9,944x10-1 Fnção d intrpolção CDS [ p L ] 10 3 não s plic não s plic 0 6,913 não s plic 40 1,916, ,006, ,057, , Form ftds, tmbém, stimtivs d incrtz nméric, bsds nos stimdors d Richrdson GCI. A Tbl 5.7 prsnt os rsltdos pr ftividd ds solçõs nmérics pr o coficint d dscrg, pr s difrnts mlhs stdds. Tbl 5.7: Eftividd pr o coficint d dscrg (C d ) tbir prbólic. Númro d volms Dirção Axil Dirção Rdil Erro vrddiro URi( φ 1,pL )/E U ( 1,pU )/E Fnção d intrpolção UDS Ri φ U ( φ 1,p) / E , x10-1 não s plic não s plic não s plic 0 6-9, x10-1,041 não s plic não s plic , x10-9,808x10-1 8,903x10-1, , x10-9,87x10-1 1,004 3, , x10-9,886x10-1 1,01 3, , x10-3 9,94x10-1 1,011 3, , x10-3 9,961x10-1 1,004 3,011 Fnção d intrpolção CDS , x10 - não s plic não s plic não s plic 0 6 -, x10-3,176 não s plic não s plic , x10-4,183 1,003 6, , x10-5,345 1,086 7, , x10-7 1,077x10 1 5,166 3,30x , x ,55x ,33x10-1 1, , x ,667x GCI

144 Obsrv-s q não s pod firmr, o mnos pr s mlhs stdds, q s incrtzs nmérics obtids mprgndo-s os stimdors d Richrdson sjm crds /o confiávis pr os csos m q form tilizds fnçõs d intrpolção d sgnd ordm. Tl comportmnto foi vrificdo, otrossim, pr mlhs mnos rfinds (d té 30 volms d control) no cso do scomnto nidimnsionl, conform pod sr visto n Tbl 4.7. Noto-s, contdo, q pr s msms mlhs, mprgndo-s fnçõs d intrpolção d primir ordm (UDS), s stimtivs d rro s mostrrm crds ( θ 1), mbor somnt os rsltdos bsdos no stimdor d Richrdson mprgndo-s ordm do rro prnt o stimdor GCI s mostrrm confiávis ( θ 1). No cso ds dmis vriávis d intrss, pôd-s pns clclr ordm prnt do rro nmérico incrtz nméric bsd no stimdor GCI scolh por tl stimdor s dv o fto do msmo prsntr rsltdos confiávis pr os csos m q é plicávl. D m modo grl, obsrvo-s q s ordns prnts tndm à ordm ssintótic pr tods s vriávis. Vrifico-s, otrossim, q o mprgo d m mlh d 80x4 volms d control, com fnçõs d intrpolção CDS, é sficint pr q mgnitd d incrtz nméric sj qivlnt à dos rros xprimntis, conform rsltdos pr o implso spcífico prsntdos n Tbl Tbl 5.8: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico (I sp ), stimtiv U GCI (scomnto monospéci com propridds constnts) tbir prbólic. Númro d volms Dirção Axil Solção nméric [s] Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) Fnção d intrpolção UDS [ p L 1] 10x3 3, x10 não s plic não s plic 0x6 3, x10 não s plic não s plic 40x1 3, x10 4,388x10-1 7,09x x4 3, x10 7,485x10-1,188x x48 3, x10 8,789x10-1 9,641 30x96 3, x10 9,409x10-1 4,58 640x19 3, x10 9,665x10-1,60 Fnção d intrpolção CDS [ p L ] 10x3 3, x10 não s plic não s plic 0x6 3, x10 não s plic não s plic 40x1 3, x10,53 6,111x x4 3, x10,149 1,378x x48 3, x10,055 3,317x10-30x96 3, x10,055 7,981x x19 3, x10 1,857,5x10-3

145 143 N Tbl 5.9 são prsntdos os rsltdos obtidos mprgndo-s o código MchD, ssocidos ss rspctivs incrtzs nmérics, pr o scomnto monospéci com propridds constnts n tbir prbólic. od-s obsrvr clrmnt inflênci ds fnçõs d intrpolçõs scolhids pr obtnção d solção: m grl, s incrtzs nmérics ssocids às fnçõs d intrpolção UDS são plo mnos ds ordns d grndz spriors às rlcionds às fnçõs d intrpolção CDS. Vrific-s, no ntnto, q nm smpr s incrtzs nmérics diminm com o rfinmnto d mlh (por xmplo, pr tmprtr prssão n linh d simtri). Isto s dv o fto d q nm tods s vriávis prsntm ordm prnt tndndo à ssintótic, pr s mlhs stdds. Est comportmnto foi obsrvdo tmbém pr os modlos nidimnsionis, mprgndo-s mlhs com 30 o 640 volms d control, sndo tndo pr mlhs mis rfinds. Obsrv-s, contdo, q ordm d grndz d incrtz nméric pr mlh d 80x4 volms ( fnçõs d intrpolção CDS) é qivlnt à incrtz xprimntl, similrmnt à mlh d 80 volms d control no modlo nidimnsionl. Tbl 5.9: Rsltdos nméricos ss rros stimdos (com stimdor GCI) pr s vriávis d intrss tbir prbólic. Vriávis d intrss Fnção d intrpolção UDS Fnção d intrpolção CDS 80x4 volms 30x96 volms 80x4 volms 30x96 volms coficint d dscrg (C d ) mpxo no váco (F) 1,0 ± 7x10 - [dim.] ± 4x10 [N] 1,01 ± x10 - [dim.] ± 8x10 1 [N] implso spcífico (I sp ) 340 ± x10 1 [s] 345 ± 5 [s] implso spcífico (I s ) prssão státic n síd d tbir linh d simtri ( x ) tmprtr n síd d tbir linh d simtri (T x ) vlocidd xil n síd d tbir linh d simtri ( x ) 3300 ± x10 [N s/kg] 3380 ± 5x10 1 [N s/kg] ± 4x ± 7x10 [] 6 [] ± 7x10 [K] ± 4x10 1 [K] 3000 ± 3x10 [m/s] 3030 ± 5x10 1 [m/s] 3 0,99991 ± 4x10-5 [dim.] ± 1x10 1 [N] 341,8 ± 1x10-1 [s] 335 ± 1 [N s/kg] 0, ± x10-6 [dim.] 16.51,6 ± 4x10-1 [N] 341,743 ± 8x10-3 [s] 3351,34 ± 8x10 - [N s/kg] ± 1x ± 1x10 [] 6 [] ,5 ± x10 [K] ,4 ± x10 - [m/s] 1980 ± 1x10 1 [K] 3040 ± x10 1 [m/s] 6 Estimtiv d rro tilizndo-s o stimdor GCI pr ordm ssintótic.

146 ESCOAMENTO D MONOESÉCIE COM RORIEDADES VARIÁVEIS Nst sção são prsntdos os rsltdos nméricos pr scomnto monospéci, pr r vpor d ág, mprgndo-s propridds vriávis. As propridds do vpor d ág são obtids trvés d polinômios intrpoldors prsnts no trblho d McBrid t l. (1993), conform já rlizdo pr o modlo d scomnto nidimnsionl; s propridds do r form obtids trvés d intrpolção polinomil dos vlors prsntdos pr s msms m Incropr DWitt (1998). Form mprgds s msms mlhs sds no stdo do scomnto monospéci com propridds constnts, conform pod sr visto ns Tbls Tbl 5.10: Rsltdos gris ds simlçõs com o modlo d scomnto D monospéci (H O) com propridds vriávis tbir prbólic. Númro d volms Dirção Axil Dirção Rdil t Itrçõs xtrns ftds Fnção d intrpolção UDS Itrçõs ncssáris à convrgênci Tmpo d CU Algrismos significtivos ,0x , ,0x , ,0x , ,0x , ,0x ,46 min ,0x ,6 min ,0x ,95 h 13 Fnção d intrpolção CDS ,0x ,690 s ,0x ,19 s ,0x ,30 s ,0x ,8 s ,0x ,48 min ,0x ,9 min ,0x ,13 h 13 D modo nálogo o scomnto bidimnsionl d gás monospéci com propridds constnts, pns pr gomtri prbólic form rlizds stimtivs d incrtz nméric. r otr gomtri, os rsltdos nméricos obtidos form confrontdos dirtmnt àqls prsntdos por Bck t l.(1965), trvés d Figr 5.5. Obsrv-s q, mbor os rsltdos pr o modlo monospéci com propridds constnts tnhm

147 145 mostrdo bo concordânci os rsltdos xprimntis, os modlos monospéci com propridds vriávis prsntrm mlhor concordânci, m spcil ns rgiõs mis próxims à síd d tbir. Tbl 5.11: Rsltdos gris ds simlçõs rlizds pr o scomnto D monospéci (r) com propridds vriávis tbir d Bck t l. (1965) tolrânci d pr o rsído. Númro d volms Itrçõs Dirção t Dirção Rdil xtrns Axil Fnçõs d intrpolção UDS Tmpo d CU ,0x ,58 s ,0x ,8 s ,0x ,97 min ,0x ,6 min Fnçõs d intrpolção CDS ,0x ,0 s ,0x ,6 s ,0x ,99 min ,0x ,5 min 10 6 rssão [] 10 5 Solção nlític 1D CDS - prop. constnts UDS - prop. constnts CDS - prop. vriávis UDS - prop. vriávis Bck t l.(1965) prfil osição xil [m] Figr 5.5: Distribição d prssão o longo d prd do motor-fogt (modlos monospéci) tbir d Bck t l. (1965), mlh d 70x80 volms d control.

148 146 Um vz q o scomnto monospéci com propridds vriávis não prsnt solção nlític conhcid (pr nnhm ds vriávis d intrss), não é possívl o cálclo do rro nmérico vrddiro o d ordm ftiv. Dst form, pr nális d incrtz nméric, são obtids pns ordm prnt stimtiv do rro nmérico (bsd no stimdor GCI), conform prsntdo ns Tbls pr ds ds vriávis d intrss (coficint d dscrg implso spcífico). Not-s q, qndo não foi possívl dtrminção d incrtz nméric bsd n ordm prnt (por st prsntr vlor ngtivo o indfinido), opto-s por mprgr o stimdor GCI bsdo n ordm ssintótic, idntificndo tis csos com dois striscos (**) à dirit do vlor prsntdo. Tbl 5.1: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico tbir prbólic. Mlh Solção nméric [dim.] Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) Fnção d intrpolção UDS [ p L 1] 10x3 1, não s plic não s plic 0x6 1, não s plic não s plic 40x1 1, ,074 1,37x x4 1, ,875x10-1 7,04x10-160x48 1, ,850x10-1 3,570x10-30x96 9, x10-1 9,888x10-1 1,790x10-640x19 9, x10-1 9,949x10-1 8,903x10-3 Fnção d intrpolção CDS [ p L ] 10x3 1, não s plic não s plic 0x6 9, x10-1 não s plic não s plic 40x1 9, x10-1,879 1,817x x4 9, x10-1,846,57x x48 9, x10-1,744 3,77x x96 9, x10-1 3,41 3,5x x19 9, x ,64x10-6 ** Similrmnt o ocorrido pr o modlo d scomnto bidimnsionl monospéci com propridds constnts, obsrv-s trvés dos rsltdos d Tbl 5.1 q o s mprgr fnçõs d intrpolção CDS não s obtém m tndênci clr d ordm prnt m s iglr à ordm ssintótic pr o coficint d dscrg. Isto é obsrvdo tmbém pr otrs vriávis, como tmprtr prssão n síd d tbir (mbs sobr linh

149 147 d simtri do motor-fogt). Vrific-s, ntrtnto, q pr lgms propridds, como o implso spcífico, prsntdo n Tbl 5.13, tl tndênci é confirmd, d modo q s spr, pr mlhs mis rfinds, q ordm prnt s proxim d ssintótic pr tods s vriávis d intrss. Lvndo-s m considrção os rsltdos pr fnçõs d intrpolção d primir ordm (UDS) concordânci ntr os rsltdos nméricos os xprimntis prsntdos por Bck t l. (1965), tm-s indícios d q o código MchD rsolv corrtmnt o modlo mtmático nl implmntdo pr o scomnto monospéci com propridds vriávis. Tbl 5.13: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico no váco (I sp ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico tbir prbólic. Mlh Solção nméric [s] Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) Fnção d intrpolção UDS [ p L 1] 10x3 3, x10 não s plic não s plic 0x6 3, x10 não s plic não s plic 40x1 3, x10 4,46x10-1 7,14x x4 3, x10 7,497x10-1,38x x48 3, x10 8,788x10-1 9,886 30x96 3, x10 9,406x10-1 4, x19 3, x10 9,667x10-1,317 Fnção d intrpolção CDS [ p L ] 10x3 3, x10 não s plic não s plic 0x6 3, x10 não s plic não s plic 40x1 3, x10,64 6,133x x4 3, x10,150 1,381x x48 3, x10,057 3,319x10-30x96 3, x10,060 7,961x x19 3, x10 1,857,516x10-3 N Tbl 5.14 são prsntdos os rsltdos obtidos mprgndo-s o código MchD pr o cso d scomnto monospéci com propridds vriávis. Comprndos os rsltdos ds Tbls , pr o sqm CDS, obsrv-s q difrnç ntr os rsltdos obtidos pr os dois modlos físicos, psr d pqn, é sprior à incrtz nméric ssocid os rsltdos. od-s firmr, ssim, q tl difrnç é dcorrnt do modlo físico dotdo.

150 Tbl 5.14: Rsltdos nméricos ss rros stimdos (com stimdor GCI) pr s vriávis d intrss (scomnto monospéci com propridds vriávis) tbir prbólic. 148 Vriávis d intrss Fnção d intrpolção UDS Fnção d intrpolção CDS 80x4 volms 30x96 volms 80x4 volms 30x96 volms coficint d dscrg (C d ) 1,0 ± 7x10 - [dim.] mpxo no váco (F) ± 4x10 [N] implso spcífico (I sp ) 340 ± x10 implso spcífico (I s ) prssão státic n síd d tbir linh d simtri ( x ) tmprtr n síd d tbir linh d simtri (T x ) vlocidd xil n síd d tbir linh d simtri ( x ) 3300 ± x10 [N s/kg] 1,00 ± x10 - [dim.] ± 8x10 1 [N] 0,9917 ± 3x10-4 [dim.] ± 1x10 1 [N] 0, ± 4x10-6 [dim.] 16.34,4 ± 8x10 - [N] 1 [s] 345 ± 5 [s] 346, ± 1x10-1 [s] 346,111 ± 3x10-3 [s] 3380 ± 5x10 1 [N s/kg] ± 4x ± 1x10 [] 7 [] ± 6x ± 4x10 [K] 7 [K] 3000 ± 3x10 [m/s] ± 6x10 1 [m/s] ± 1 [N s/kg] 3394,17 ± 3x10 - [N s/kg] ± x10 [] ± 9x10 [] 083,73 ± 5x10 [K] ,96 ± x10 - [m/s] ± 7 [K] 3070 ± 1x10 1 [m/s] 5.4 ESCOAMENTO D CONGELADO A prtir dst sção são bordds s solçõs nmérics pr scomntos rtivos, concomitntmnt à stimtiv d incrtz nméric ssocid. Embor os msmos modlos qímicos do código Mch1D stivssm implmntdos no código MchD, prfri-s tilizr pns os modlos qímicos 4 10 (prsntndo sis oito spécis, rspctivmnt), por ss mnors rros d modlgm. Nst ( ns próxims sçõs) srão mostrdos rsltdos nméricos pr gomtri do tipo prbólic, ssocidos ss rspctivs stimtivs d rros, obtids trvés do stimdor GCI. Slint-s, novmnt, q pocos são os trblhos q prsntm o stdo d incrtzs nmérics pr problms do tipo hiprbólico (ZHANG, 001), m spcil nvolvndo scomntos rtivos. A Tbl 5.15 mostr ddos rsltdos gris ds simlçõs tilizndo-s o modlo d scomnto congldo D. 7 Estimtiv d rro tilizndo-s o stimdor GCI pr ordm ssintótic.

151 Tbl 5.15: Rsltdos gris ds simlçõs com o modlo d scomnto congldo D mprgndo-s gomtri prbólic. 149 Númro d volms Dirção Axil Dirção Rdil t Itrçõs xtrns ftds Itrçõs ncssáris à convrgênci Tmpo d CU Algrismos significtivos Fnção d intrpolção UDS modlo ,0x ,80 s ,0x ,830 s ,0x ,14 s ,0x ,8 s ,0x ,98 min ,0x ,4 min ,0x ,49 h 14 Fnção d intrpolção CDS modlo ,0x ,690 s ,0x ,06 s ,0x ,4 s ,0x ,5 s ,0x ,80 min ,0x ,6 min ,0x ,30 h 14 Fnção d intrpolção UDS modlo ,0x ,80 s ,0x ,810 s ,0x ,94 s ,0x ,9 s ,0x ,39 min ,0x ,3 min ,0x ,97 h 14 Fnção d intrpolção CDS modlo ,0x ,53 s ,0x ,03 s ,0x ,08 s ,0x , s ,0x ,34 min ,0x ,1 min ,0x ,7 h 14 Obsrv-s, prtir dos rsltdos prsntdos ns Tbls , q novmnt ordm prnt d incrtz nméric tnd à ssintótic no cso d tilizção d fnçõs d intrpolção UDS; no cso do sqm d intrpolção CDS, ss tndênci é obsrvd pr lgns prâmtros, como o implso spcífico no váco. As Tbls mostrm, otrossim, s stimtivs d rro nmérico pr ds ds vriávis d intrss. Dv-s notr q, pr os csos m q ordm prnt é ngtiv o indfinid, tiliz-s ordm ssintótic pr o cálclo d incrtz nméric, indicndo-s tis vlors com striscos (**) à dirit do vlor nmérico.

152 Tbl 5.16: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo qímico 4) tbir prbólic. 150 Mlh Solção nméric [dim.] Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) Fnção d intrpolção UDS [ p L 1] 10x3 1, não s plic não s plic 0x6 1, não s plic não s plic 40x1 1, ,070 1,38x x4 1, ,847x10-1 7,134x10-160x48 1, ,84x10-1 3,6x10-30x96 1, ,880x10-1 1,81x10-640x19 1, ,944x10-1 9,014x10-3 Fnção d intrpolção CDS [ p L ] 10x3 1, não s plic não s plic 0x6 1, não s plic não s plic 40x1 1, ,95 1,716x x4 1, ,9,63x x48 1, ,88 3,070x x96 1, ,061 1,840x x19 1, ,669x10-6 ** Tbl 5.17: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico no váco (I sp ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo qímico 4) tbir prbólic. Mlh Solção nméric [s] Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) Fnção d intrpolção UDS [ p L 1] 10x3 3, x10 não s plic não s plic 0x6 3, x10 não s plic não s plic 40x1 3, x10 4,41x10-1 6,911x x4 3, x10 7,480x10-1,167x x48 3, x10 8,769x10-1 9,583 30x96 3, x10 9,411x10-1 4, x19 3, x10 9,649x10-1,47 Fnção d intrpolção CDS [ p L ] 10x3 3, x10 não s plic não s plic 0x6 3, x10 não s plic não s plic 40x1 3, x10,33 6,386x x4 3, x10,141 1,448x x48 3, x10,053 3,489x10-30x96 3, x10,045 8,453x x19 3, x10 1,848,711x10-3

153 151 Rsslt-s, novmnt, q psr d tilizção do sqm d intrpolção dotdo inflncir poco n qntidd d lgrismos significtivos, conform pod sr visto n Tbl 5.15, incrtz nméric é três ordns d grndz mnor (pr mlh d 640x19 volms) no cso do sqm CDS. Ess comportmnto pod sr obsrvdo pr otrs vriávis d intrss, como tmprtr n síd d tbir (linh d simtri), conform mostrdo n Figr 5.6, mbor difrnç ntr s incrtzs nmérics pr mbos os sqms poss sr mnor. Not-s, m tl figr, lém d incrtz nméric obtid mprgndo-s o stimdor GCI, s stimtivs d rro nmérico bsds no stimdor d Richrdson, mprgndo-s s ordns ssintótic prnt. As dscontinidds vrificds pr os stimdors bsdos n ordm prnt corrspondm às mlhs m q tl ordm é indfinid Estimtiv d rro 10 0 U GCI (p U ) - UDS U GCI (p U ) - CDS Dimnsão xil do volm d control [m] Figr 5.6: Estimtivs d incrtz nméric (modlo qímico 4), m módlo, pr tmprtr n síd d tbir prbólic (linh d simtri). Estimtivs d incrtz nméric form obtids tmbém pr s dmis vriávis d intrss, como é o cso do mpxo no váco, mostrdo n Figr 5.7. Obsrv-s q pr st propridd não s vrifico prsnç d dscontinidds (como no cso d tmprtr n síd d tbir). Ao s comprr os stimdors d incrtz nméric trvés ds Figrs , not-s (como já disctido n sção 4.) q o ftor d sgrnç igl três mprgdo no stimdor GCI lh confr m stimtiv d incrtz nméric mis consrvdor, fto q o lvo sr mprgdo tmbém ns simlçõs d scomnto bidimnsionl.

154 Estimtiv d rro [N] U GCI (p U ) - UDS U GCI (p U ) - CDS Tmnho do volm n dirção xil [m] Figr 5.7: Estimtivs d incrtz nméric (modlo qímico 4), m módlo, pr o mpxo no váco (tbir prbólic). Apsr d ordm prnt não prsntr clr tndênci à ordm ssintótic no cso d tods s vriávis d intrss (pr o sqm d intrpolção CDS), pod-s ind firmr q o código MchD solcion corrtmnt o modlo mtmático implmntdo. Est firmção s bsi no comportmnto d incrtz nméric clcld, bm como n tndênci d ordm prnt no cso ds fnçõs d intrpolção UDS. As Tbls , mostrds sgir, prsntm os rsltdos nméricos pr os difrnts modlos físicos já prsntdos, inclindo s rspctivs incrtzs nmérics clclds. Obsrv-s, d m modo grl, q s difrnçs ntr os modlos físicos, mbor pqn, pod sr tribíd o modlo físico dotdo, m vz q tl difrnç é sprior à incrtz nméric. Rsslt-s, contdo, q o fito d scolh plo modlo físico d scomnto congldo rslt m vriçõs bstnt rdzids sobr s vriávis d intrss (comprndo-s os rsltdos obtidos pr o scomnto monospéci com propridds constnts), m spcil pr s globis: pns 0,11% no cso do coficint d dscrg, 0,40% pr o mpxo no váco 0,51% no cso do implso spcífico. r s vriávis locis, tl difrnç é mior, contdo não ting os 5%. Ao s comprr os rsltdos ni bidimnsionis pr msm gomtri, not-s q os fitos bidimnsionis são rltivmnt lvdos, tingindo crc d 5,5% no cso do mpxo do implso spcífico no váco (pr o modlo monospéci com propridds constnts). Como vrição obsrvd pr s vriávis d intrss nst cso tmbém é sprior o rro nmérico stimdo, pod-s firmr q tl vrição pod sr tribíd os fitos bidimnsionis do scomnto.

155 Tbl 5.18: Rsltdos rspctivs incrtzs nmérics pr o coficint d dscrg, o mpxo no váco o implso spcífico (no váco), pr mlh d 30x96 volms tbir prbólic. 153 Modlo C d [dim.] F [N] I sp [s] I s [N s/kg] Monospéci, prop. constnts Monospéci, prop. vriávis UDS 1,01 ± x10-1,68x10 4 ± 8x10 1 3,45x10 ± 5 3,38x10 3 ± 5x10 1 1,00 ± x10-1,635x10 4 ± 8x10 1 3,45x10 ± 5 3,38x10 3 ± 5x10 1 Esc. congldo mod. 4 1,01 ± x10-1,61x10 4 ± 9x10 1 3,39x10 ± 5 3,3x10 3 ± 5x10 1 Esc. congldo mod. 10 1,01 ± x10-1,61x10 4 ± 8x10 1 3,39x10 ± 5 3,3x10 3 ± 5x10 1 Monospéci, prop. constnts Monospéci, prop. vriávis CDS com corrção did 0, ± x10-6 1,6516x10 4 ± 4x10-1 3,41743x10 ± 8x10-3 3,35134x10 3 ± 8x10-0, ± 4x10-6 1,6344x10 4 ± 8x10-3,46111x10 ± 3x10-3 3,39417x10 3 ± 3x10 - Esc. congldo mod. 4 1,00096 ± x10-6 1,61859x10 4 ± 4x10-1 3,39993x10 ± 8x10-3 3,33418x10 3 ± 8x10 - Esc. congldo mod. 10 1, ± x10-6 1,61860x10 4 ± 4x10-1 3,39991x10 ± 8x10-3 3,33416x10 3 ± 8x10 - Solção nlític D d Kligl Lvin (1969) Monospéci, prop. constnts 0, CDS com corrção did 1D (mlh d 30 volms) 1,00000 ± 3x10-5 1,54007x10 4 ± 3x10-1 3,381x10 ± 1x10-3,1755x10 3 ± 1x10-1 Monospéci, prop. vriávis 0,99178 ± 5x10-5 1,547x10 4 ± 3x10-1 3,7055x10 ± 9x10-3 3,0730x10 3 ± 9x10 - Esc. congldo mod. 4 1,00108 ± 3x10-5 1,53993x10 4 ± 3x10-1 3,343x10 ± 1x10-3,1717x10 3 ± 1x10-1 Esc. congldo mod. 10 1,00109 ± 3x10-5 1,53993x10 4 ± 3x10-1 3,343x10 ± 1x10-3,1717x10 3 ± 1x10-1 Tbl 5.19: Rsltdos rspctivs incrtzs nmérics pr prssão, tmprtr, vlocidd xil frção mássic d H O n síd d tbir (linh d simtri), pr mlh d 30x96 volms tbir prbólic. Modlo x [] T x [K] x [m/s] Y(H O) x [dim.] UDS D Monospéci, prop. constnts 7,x10 4 ± 7x10 3 1,99x10 3 ± 4x10 1 3,03x10 3 ± 5x Monospéci, prop. vriávis 7x10 4 ± 1x10 4,09x10 3 ± 4x10 1 3,06x10 3 ± 6x Esc. congldo mod. 4 6,9x10 4 ± 3x10 3 1,9x10 3 ± 3x10 1 3,03x10 3 ± 5x10 1 0, Esc. congldo mod. 10 6,9x10 4 ± x10 3 1,9x10 3 ± 3x10 1 3,03x10 3 ± 4x10 1 0, CDS com corrção did D Monospéci, prop. constnts 7,14x10 4 ± 9x10 1,98x10 3 ± 1x10 1 3,04x10 3 ± x Monospéci, prop. vriávis 7,34x10 4 ± 9x10,083x10 3 ± 7 3,07x10 3 ± 1x Esc. congldo mod. 4 6,90x10 4 ± 9x10 1,91x10 3 ± x10 1 3,04x10 3 ± 5x10 1 0, Esc. congldo mod. 10 6,90x10 4 ± 9x10 1,91x10 3 ± x10 1 3,04x10 3 ± 5x10 1 0, CDS com corrção did 1D (mlh d 30 volms) Monospéci, prop. constnts 4,754x10 4 ± 3 1,85506x10 3 ± 9x10-3,17550x10 3 ± 9x Monospéci, prop. vriávis 4,917x10 4 ± 3 1,9587x10 3 ± 8x10-3,0731x10 3 ± 9x Esc. congldo mod. 4 4,5413x10 4 ± 3 1,7710x10 3 ± 1x10-1 3,1718x10 3 ± 1x10-1 0, Esc. congldo mod. 10 4,5414x10 4 ± 3 1,7710x10 3 ± 1x10-1 3,1718x10 3 ± 1x10-1 0,783539

156 154 N sqüênci, ns Figrs , são xpostos os cmpos d tmprtr prssão, bm como isolinhs pr númros d Mch os vtors d vlocidds obtidos mprgndo-s código MchD pr condição d scomnto congldo, com o modlo qímico 4, pr mlh d 80x4 volms d control. Atrvés d tis figrs, é possívl vrificr vrição rdil ds propridds trmofísics d mistr d gss m scomnto, spcilmnt n rgião divrgnt d tbir. od-s obsrvr, otrossim, trvés d Figr 5.10, q linh sônic não crz linh d simtri d tbir xtmnt n grgnt do motor-fogt. Tl fnômno s dv os fitos bidimnsionis do scomnto, q ftm tnto os cmpos d vlocidd, qnto os d prssão, inflncindo ssim o comportmnto d linh sônic. Figr 5.8: Cmpo d tmprtrs no intrior d tbir prbólic (mlh d 80x4 volms d control, modlo qímico 4, scomnto congldo). Figr 5.9: Cmpo d prssão no intrior d tbir prbólic (mlh d 80x4 volms d control, modlo qímico 4, scomnto congldo).

157 155 Figr 5.10: Isolinhs pr númros d Mch no intrior d tbir prbólic (mlh d 80x4 volms d control, modlo qímico 4, scomnto congldo). Figr 5.11: Vtors d vlocidd númros d Mch no intrior d tbir prbólic (mlh d 80x4 volms d control, modlo qímico 4, scomnto congldo). 5.5 ESCOAMENTO D EM EQUILÍBRIO QUÍMICO LOCAL Anlogmnt o scomnto congldo D, pr o scomnto m qilíbrio qímico locl form nlisdos pns os modlos qímicos 4 10 (prsntndo, rspctivmnt, 6 8 spécis). Tis modlos qímicos form scolhidos m vz q o rro d modlgm ls ssocidos é mnor m rlção os modlos com mnor númro d spécis. Obsrv-s, contdo, q mlh mis rfind pr ql form fits simlçõs s constiti d 30x96 volms d control. A mlh mis rfind foi dtrmind d modo

158 q s simlçõs prsntssm drção infrior 4 hors (1 di). Ddos rsltdos gris ds simlçõs rlizds são prsntdos n Tbl Tbl 5.0: Rsltdos gris ds simlçõs com o modlo d scomnto m qilíbrio qímico locl D mprgndo-s gomtri prbólic. Númro d volms Dirção Axil Dirção Rdil t Itrçõs xtrns ftds Itrçõs ncssáris à convrgênci Tmpo d CU Algrismos significtivos Fnção d intrpolção UDS modlo ,0x ,5 s ,0x ,0 s ,0x ,0 min ,0x ,0 min ,0x ,0 h ,0x ,9 h 1 Fnção d intrpolção CDS modlo ,0x ,8 s ,0x ,8 s ,0x ,06 min ,0x , min ,0x ,4 h ,0x ,6 h 11 Fnção d intrpolção UDS modlo ,0x ,5 min ,0x ,93 min ,0x ,5 min ,0x ,06 h ,0x ,4 h 13 Fnção d intrpolção CDS modlo ,0x ,9 s ,0x ,5 min ,0x ,81 min ,0x , min ,0x ,98 h ,0x ,3 h 1 r tods s simlçõs ftds, foi clcld ordm prnt d solção obtid, bm como stimtiv d incrtz nméric, bsd no stimdor GCI, sndo lgns rsltdos prsntdos ns Tbls Rsslt-s q, difrntmnt do obsrvdo pr os modlos físicos ntriormnt stddos, msmo o s mprgr fnçõs d intrpolção d sgnd ordm (CDS), ordm ssintótic s mntém igl à nidd. Isto s dv o fto d o trmo-font d qção d nrgi térmic, Eq. (3.9), sr discrtizdo tilizndo-s fnçõs d intrpolção d primir ordm. Tl procdimnto foi dotdo pois,

159 157 o srm mprgds fnçõs d intrpolção d sgnd ordm, não s obtv convrgênci m nnhm dos modlos, fto q ocsiono opção pls fnçõs d intrpolção do tipo UDS, nlogmnt o ocorrido n implmntção do código Mch1D pr scomnto m qilíbrio qímico locl. Assim, psr d mior prt ds qçõs do modlo mtmático prsntrm discrtizção mprgndo-s fnçõs d sgnd ordm, inclsão d m único trmo d m qção discrtizd tilizndo-s fnçõs d intrpolção d primir ordm é sficint pr q convrgênci d todo o modlo sj ftd. Tbl 5.1: Ordm prnt d solção nméric pr o coficint d dscrg (C d ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo qímico 4) tbir prbólic. Mlh Solção nméric [dim.] Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) Fnção d intrpolção UDS [ p 1] L 10x3 1, não s plic não s plic 0x6 1, não s plic não s plic 40x1 1, ,085 1,345x x4 1, ,956x10-1 6,786x10-160x48 9, x10-1 9,880x10-1 3,458x10-30x96 9, x10-1 9,917x10-1 1,730x10 - Fnção d intrpolção CDS [ p L 1] 10x3 1, não s plic não s plic 0x6 9, x10-1 não s plic não s plic 40x1 9, x10-1,308 1,015x10-80x4 9, x10-1 1,796,91x x48 9, x10-1 1,38 1,11x x96 9, x10-1 1,137 5,098x10-4 A rdção d ordm d convrgênci é clrmnt vist tnto pr o coficint d dscrg qnto pr o implso spcífico ( dmis vriávis d intrss). Not-s, contdo, q msmo prsntndo msm tndênci à ordm ssintótic nitári, s stimtivs d rro mprgndo-s fnçõs d intrpolção CDS prsntm, m grl, mnor ordm d grndz frnt os rsltdos nméricos pr o sqm d intrpolção UDS. Est difrnç m fvor d tilizção do sqm CDS (msmo q o sistm d qçõs prsnt ordm ssintótic nitári) pod sr xplicd plo fto d grnd prt dos trmos ds qçõs prsntr fnçõs d intrpolção d ordm. Dst form, solção nméric obtid possi m mnor incrtz nméric, msmo q ordm d convrgênci s dgnr pr nidd.

160 158 Tbl 5.: Ordm prnt d solção nméric pr o implso spcífico no váco (I sp ) stimtiv U GCI pr o rro nmérico (modlo qímico 4) tbir prbólic. Mlh Solção nméric [s] Ordm prnt (p U ) UGCI ( φ 1,p ) Fnção d intrpolção UDS [ p L 1] 10x3 3, x10 não s plic não s plic 0x6 3,364785x10 não s plic não s plic 40x1 3,456449x10 4,514x10-1 7,58x x4 3, x10 7,379x10-1,484x x48 3, x10 8,99x10-1 1,08x x96 3, x10 9,419x10-1 5,06 Fnção d intrpolção CDS [ p L 1] 10x3 3, x10 não s plic não s plic 0x6 3,571014x10 não s plic não s plic 40x1 3, x10 3,961 3,530x x4 3, x ,157x10 - ** 160x48 3, x10 3,837x10-1 6,909x x96 3,570784x10 6,893x10-1,131x10-1 O comportmnto d ordm prnt com o rfinmnto d mlh pod sr obsrvdo, otrossim, trvés ds Figrs , mostrds sgir. Ordm prnt C 0.7 d F 0.6 I Sssintótico Tmnho do volm n dirção xil [m] Ordm prnt C d F I Sssintótico Tmnho do volm n dirção xil [m] () Figr 5.1: Comportmnto d ordm prnt pr o coficint d dscrg, o mpxo no váco o implso spcífico (modlo qímico 4), mprgndo-s tbir prbólic fnçõs d intrpolção: () UDS; (b) CDS. (b)

161 159 Ordm prnt x x T x ssintótico Tmnho d mlh n dirção xil [m] Ordm prnt Tmnho d mlh n dirção xil [m] x x T x ssintótico () (b) Figr 5.13: Comportmnto d ordm prnt pr prssão, tmprtr vlocidd xil n síd d tbir (ixo d simtri, modlo qímico 4), mprgndos tbir prbólic fnçõs d intrpolção: () UDS; (b) CDS. D m modo grl, not-s q tndênci d proximção m rlção à ordm ssintótic é mis rápid pr s vriávis d intrss globis (como o mpxo o coficint d dscrg). Solçõs nmérics s rspctivs incrtzs são mostrds ns Tbls , prsntds n sqüênci. Nls stão rlcionds s vriávis d intrss nlisds nst trblho, pr m mlh d 30x96 volms d control. A prtir ds Tbls , vrific-s q os modlos 4 10 (rspctivmnt, com 6 8 spécis) prsntm rsltdos nméricos qivlnts, similrmnt o ocorrido nos modlos nidimnsionis. Ao s comprr o tmpo d CU dmnddo por cd m dos modlos, contdo, not-s q scolh por m o por otro modlo qímico é importnt, m spcil pr o modlo d qilíbrio qímico locl: nqnto pr o modlo 4 o tmpo d CU dmnddo foi d 13,6 hors pr xctr-s itrçõs, o msmo númro d itrçõs ncssito 1,3 hors (57,6% mis) o sr tilizdo o modlo qímico 10, com rsltdos qivlnts. Rcomnd-s, ssim, tilizção do modlo qímico d sis spécis, m dtrimnto do d oito spécis, mis complxo com mior tmpo d comptção. Comprndo-s os rsltdos obtidos com os códigos Mch1D MchD pr gomtri prbólic, obsrv-s q, no cso do scomnto m qilíbrio qímico vrição ntr os rsltdos nméricos pr o mpxo o implso spcífico (mbos no váco) ting 7,4%. Como tl vrição é sprior o rro nmérico stimdo, tmbém nst cso tribi-s tl vrição os fitos bidimnsionis do scomnto, conform já obsrvdo

162 160 pr os scomntos congldo monospéci. No ntnto, o s comprr os rsltdos pr o coficint d dscrg, obsrv-s q vrição é mito pqn, no cso do scomnto m qilíbrio qímico locl, os rsltdos dos modlos ni bidimnsionis são qivlnts. Tbl 5.3: Rsltdos rspctivs incrtzs nmérics pr o coficint d dscrg, o mpxo no váco o implso spcífico, pr mlh d 30x96 volms tbir prbólic. Modlo C d [dim.] F [N] I sp [s] I s [N s/kg] UDS 1D Monospéci, prop. constnts 1,01 ± x10-1,68x10 4 ± 8x10 1 3,45x10 ± 5 3,38x10 3 ± 5x10 1 Monospéci, prop. vriávis 1,00 ± x10-1,635x10 4 ± 8x10 1 3,45x10 ± 5 3,38x10 3 ± 5x10 1 Esc. congldo mod. 4 1,01 ± x10-1,61x10 4 ± 9x10 1 3,39x10 ± 5 3,3x10 3 ± 5x10 1 Esc. congldo mod. 10 1,01 ± x10-1,61x10 4 ± 8x10 1 3,39x10 ± 5 3,3x10 3 ± 5x10 1 Esc. m qilíbrio qímico mod. 4 0,98 ± 1x10-1,665x10 4 ± 7x10 1 3,56x10 ± 5 3,49x10 3 ± 5x10 1 Esc. m qilíbrio qímico mod. 10 0,98 ± x10-1,665x10 4 ± 7x10 1 3,56x10 ± 5 3,49x10 3 ± 5x10 1 CDS com corrção did D Monospéci, prop. 0, ± x10-6 1,6516x10 4 ± 4x10-1 3,41743x10 ± 8x10-3 3,35134x10 3 ± constnts 8x10 - Monospéci, prop. 0, ± 4x10-6 1,6344x10 4 ± 8x10-3,46111x10 ± 3x10-3 3,39417x10 3 ± vriávis 3x10 - Escomnto congldo 1,00096 ± x10-6 1,61859x10 4 ± 4x10-1 3,39993x10 ± 8x10-3 3,33418x10 3 ± mod. 4 8x10 - Escomnto congldo 1, ± x10-6 1,61860x10 4 ± 4x10-1 3,39991x10 ± 8x10-3 3,33416x10 3 ± mod. 10 8x10 - Esc. m qilíbrio qímico mod. 4 0,9785 ± 4x10-4 1,665x10 4 ± 1 3,57x10 ± x10-1 3,503x10 3 ± Esc. m qilíbrio qímico mod. 10 0,9785 ± 4x10-4 1,665x10 4 ± 1 3,57x10 ± x10-1 3,503x10 3 ± Solção nlític D d Kligl Lvin (1969) 0, CDS com corrção did 1D (mlh d 30 volms) Monospéci, prop. constnts Monospéci, prop. vriávis Escomnto congldo mod. 4 Escomnto congldo mod. 10 Escomnto m qilíbrio qímico mod. 4 Escomnto m qilíbrio qímico mod. 10 1,00000 ± 3x10-5 1,54007x10 4 ± 3x10-1 3,381x10 ± 1x10-3,1755x10 3 ± 1x10-1 0,99178 ± 5x10-5 1,547x10 4 ± 3x10-1 3,7055x10 ± 9x10-3 3,0730x10 3 ± 9x10-1,00108 ± 3x10-5 1,53993x10 4 ± 3x10-1 3,343x10 ± 1x10-3,1717x10 3 ± 1x10-1 1,00109 ± 3x10-5 1,53993x10 4 ± 3x10-1 3,343x10 ± 1x10-3,1717x10 3 ± 1x10-1 0,9786 ± 5x10-4 1,5478x10 4 ± 1 3,357x10 ± x10-1 3,614x10 3 ± 0,9785 ± 5x10-4 1,5478x10 4 ± 1 3,358x10 ± x10-1 3,615x10 3 ±

163 161 Tbl 5.4: Rsltdos rspctivs incrtzs nmérics pr prssão, tmprtr, vlocidd xil frção mássic d H O n síd d tbir (linh d simtri), pr mlh d 30x96 volms tbir prbólic. Modlo x [] T x [K] x [m/s] Y(H O) x [dim.] UDS D Monospéci, prop. constnts 7,x10 4 ± 7x10 3 1,99x10 3 ± 4x10 1 3,03x10 3 ± 5x Monospéci, prop. vriávis 7x10 4 ± 1x10 4,09x10 3 ± 4x10 1 3,06x10 3 ± 6x Esc. congldo mod. 4 6,9x10 4 ± 3x10 3 1,9x10 3 ± 3x10 1 3,03x10 3 ± 5x10 1 0, Esc. congldo mod. 10 6,9x10 4 ± x10 3 1,9x10 3 ± 3x10 1 3,03x10 3 ± 4x10 1 0, Esc. m qilíbrio qímico mod. 4 8,3x10 4 ± 3x10 3,64x10 3 ± 1x10 1 3,10x10 3 ± 5x10 1 0,90 ± x10-3 Escomnto m qilíbrio qímico mod. 10 8,3x10 4 ± x10 3,64x10 3 ± 1x10 1 3,10x10 3 ± 5x10 1 0,90 ± x10-3 CDS com corrção did D Monospéci, prop. constnts 7,14x10 4 ± 9x10 1,98x10 3 ± 1x10 1 3,04x10 3 ± x Monospéci, prop. vriávis 7,34x10 4 ± 9x10,083x10 3 ± 7 3,07x10 3 ± 1x Escomnto congldo mod. 4 6,90x10 4 ± 9x10 1,91x10 3 ± x10 1 3,04x10 3 ± 5x10 1 0, Escomnto congldo mod. 10 6,90x10 4 ± 9x10 1,91x10 3 ± x10 1 3,04x10 3 ± 5x10 1 0, Escomnto m qilíbrio qímico mod. 4 8,31x10 4 ± 8x10,6345x10 3 ± 1x10-1 3,113x10 3 ± 5 0,908 ± 7x10-4 Escomnto m qilíbrio qímico mod. 10 8,31x10 4 ± 8x10,6347x10 3 ± 1x10-1 3,113x10 3 ± 5 0,907 ± 9x10-4 CDS com corrção did 1D (mlh d 30 volms) Monospéci, prop. constnts 4,754x10 4 ± 3 1,85506x10 3 ± 9x10-3,17550x10 3 ± 9x Monospéci, prop. vriávis 4,917x10 4 ± 3 1,9587x10 3 ± 8x10-3,0731x10 3 ± 9x Escomnto congldo mod. 4 4,5413x10 4 ± 3 1,7710x10 3 ± 1x10-1 3,1718x10 3 ± 1x10-1 0, Escomnto congldo mod. 10 4,5414x10 4 ± 3 1,7710x10 3 ± 1x10-1 3,1718x10 3 ± 1x10-1 0, Escomnto m qilíbrio qímico mod. 4 5,741x10 4 ± 1x10 1,557x10 3 ± 1 3,61x10 3 ± 0,9136 ± 5x10-4 Escomnto m qilíbrio qímico mod. 10 5,74x10 4 ± 1x10 1,557x10 3 ± 1 3,61x10 3 ± 0,9136 ± 5x10-4 Obsrv-s, tmbém, q mbor o modlo físico dotdo inflnci n solção nméric (m vz q difrnç ntr os rsltdos nméricos é sprior à incrtz clcld), tl inflênci é pqn: crc,3% no cso do coficint d dscrg,,7% no mpxo 5,1% no implso spcífico. A vrição ntr os rsltdos pr os difrnts modlos físicos é mis prciávl qndo comprds lgms vriávis locis, como

164 16 tmprtr prssão, mbs n síd d tbir sobr linh d simtri d msm: s difrnçs ntr os rsltdos nméricos dos difrnts modlos físicos tingm 37,9% 0,4%, rspctivmnt. Not-s, contdo, q pr otrs vriávis, como vlocidd xil n síd d tbir (sobr linh d simtri d msm), o fito do modlo físico scolhido sobr solção nméric é pqno: pns,4% o s comprr os csos-xtrmos. Isto pod sr obsrvdo mis clrmnt trvés ds Figrs , cjos modlos físicos stão rlciondos n Tbl 5.5. Tbl 5.5: Modlos físicos prsntdos ns Figrs Solção Modlos 1 Modlo com propridds constnts Modlo com propridds vriávis 3 Modlo congldo modlo qímico 4 4 Modlo congldo modlo qímico 10 5 Modlo qilíbrio qímico locl modlo qímico 4 6 Modlo qilíbrio qímico locl modlo qímico 10 1,005 1,000 Anlítico (Kligl Lvin, 1969): 0, Coficint d dscrg 0,995 0,990 0,985 0,980 0, Solção Figr 5.14: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr C d ), pr mlh d 80x4 volms d control.

165 163 1,67x10 4 1,66x10 4 1,65x10 4 Empxo [N] 1,64x10 4 1,63x10 4 1,6x Solção Figr 5.15: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr F), pr mlh d 80x4 volms d control Implso spcífico [s] Solção Figr 5.16: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr I sp ), pr mlh d 80x4 volms d control. 8,5x10 4 8,4x10 4 8,3x10 4 7,4x10 4 rssão [] 7,3x10 4 7,x10 4 7,1x10 4 7,0x10 4 6,9x Solção Figr 5.17: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr mlh d 80x4 volms d control.

166 Tmprtr [K] Solção Figr 5.18: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr T x ), pr mlh d 80x4 volms d control Vlocidd xil [m/s] Solção Figr 5.19: Comprção ntr rsltdos nméricos pr divrsos modlos físicos (pr x ), pr mlh d 80x4 volms d control. Um últim obsrvção sr rlizd sobr os rsltdos prsntdos n Tbl 5.3 é m rlção o coficint d dscrg: not-s q, pr mbs s fnçõs d intrpolção mprgds (UDS CDS), solção pr scomnto monospéci com propridds constnts (com s rspctiv fix d incrtz nméric) nglob solção nlític prsntd por Kligl Lvin (1969). Est s constiti m mis m indício d q o código MchD solcion corrtmnt o modlo mtmático nl implmntdo. As Figrs , mostrds sgir, prsntm os cmpos d tmprtr, prssão, frção mássic d vpor d ág, lém d isolinhs pr númros d Mch vtors d vlocidd o longo d tbir prbólic. Atrvés d tis figrs, pod-s vrificr

167 165 vrição rdil ds propridds trmofísics d mistr d gss m scomnto, spcilmnt n rgião divrgnt d tbir. Dst form, ssim como obsrvdo no cso do modlo d scomnto congldo, not-s q no scomnto m qilíbrio qímico locl ocorr rgião d vlocidd sônic s ncontr já pós grgnt, n rgião divrgnt d tbir, conform Figr 5.3. Obsrv-s, otrossim, trvés ds Figrs , q rgião m q ocorr mior concntrção d vpor d ág (H O) o longo d tbir corrspond à s síd, n rgião próxim à prd, ond são ncontrds s mnors tmprtrs do scomnto. Figr 5.0: Cmpo d tmprtrs o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms). Figr 5.1: Cmpo d prssõs o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms d control).

168 166 Figr 5.: Cmpo d frçõs mássics d H O o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms). Figr 5.3: Isolinhs d númros d Mch o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms). Figr 5.4: Vtors d vlocidd distribição d númros d Mch o longo d tbir prbólic (scomnto m qilíbrio qímico locl, modlo qímico 4, mlh d 80x4 volms d control).