CAPITULO 05 CIRCUITOS RL E RC RESPOSTA NATURAL. Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

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1 CAPITUO 5 CICUITOS E C ESPOSTA NATUA Prf. SIVIO OBO ODIGUES

2 5. INTODUÇÃO PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Esudarems nese capíul s crcus mas smples cnend ressres e capacres u ressres e ndures e que nã enham nenhuma fne. Oberems para eses crcus uma equaçã dferencal lnear hmgênea de ª rdem u um ssema de equações de ª rdem para crcus que cnenham mas de um ndur u mas de um capacr dspss de manera al que nã permam uma asscaçã sére u paralela de md dre. Uma sluçã será bda a encnrarms, para a varável dependene, uma expressã que sasfaça a equaçã dferencal e a dsrbuçã de energa ns ndures e capacres num deermnad nsane de emp. A sluçã da equaçã dferencal represena a respsa d crcu. Quand crcu nã é almenad cnnuamene pr uma fne ndependene a respsa é chamada de respsa naural, u ransóra uma vez que ela depende apenas da naureza ds elemens d crcu e desaparece a lng d emp pela dsspaçã da energa armazenada ns capacres u ndures se ransfrmand em calr ns ressres d crcu. 5. CICUITO MAIS SIMPES Cnsderems CKT da fgura 5. n qual a crrene n ndur em é I. - v v - I Fgura 5. - Crcu smples. D crcu ems: d v v d d d (5.) Esa é a equaçã dferencal de ª rdem represenava d crcu. Prfessr Slv b drgues

3 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I I. drea. Devems, ps, ber uma sluçã para que sasfaça esa equaçã e a cndçã ncal Uma sluçã para esa equaçã é bda pel méd de separaçã de varáves e negraçã d d d d I ln I ln ln( I ) ln I e I ln I e e Dnde fnalmene chegams à expressã que represena a respsa naural em erms da crrene em um crcu smples. I e (5.) Ese p de sluçã é um puc lmad uma vez que nem sempre se pdem separar as varáves. O méd mas ulzad, enrean cnsse em se admr uma frma de sluçã e esar a hpóese subsund nas equações e esar as cndções ncas. Vlems a nss exempl. Da equaçã (5.): d I d Admms cm sluçã uma sluçã expnencal: Ae s (5.3) Prfessr Slv b drgues 3

4 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I evand na equaçã dferencal: d s s ( Ae ) Ae d s s Ase Ae s Ase s Tems rês sluções pssíves: A s - u s As duas prmeras nã ns neressam, ps levam a sluções nulas u rvas. g, s A nssa sluçã hpóese fca: (5.4) Ae esa deermnar a cnsane A que é bda pela cndçã ncal I. I Ae g, A I I e A pênca dsspada n ressr é: P ( I) e A energa ransfrmada em calr a lng d emp: ( ) W p d I e d ( ) W I e W I (5.5) Prfessr Slv b drgues 4

5 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I O resulad cncrda cm a energa ncalmene armazenada n ndur. 5.3 POPIEDADES DA ESPOSTA EXPONENCIA Cnsderems gráfc da fgura 5.. I,638 θ ϒ θ (s) Fgura 5. Crrene num CKT (respsa naural). Quand nã se alera, a curva decresce cnsanemene à medda que aumena. A razã ncal d decamen é dada pela dervada em. d I e d Da fgura 5.: (5.6) d I θ θ d γ ' g g Cm θ é suplemen de θ ' g θ g θ γ Prfessr Slv b drgues 5

6 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I g γ (s) E represena emp necessár para que caa de a. I A cnsane γ é chamada de cnsane de emp d crcu. Quand γ : I I e e,368 (5.7) g 36,8%.I Para γ: I e,35 Para 3γ: 3 I e,498 Para 4γ: Para 5γ: 4 I e, 83 5 I e, 67 Cnclu-se que para 5γ a crrene n crcu é pracamene nula ps,67%.i. Em erms da cnsane de emp: I e γ (5.8) Prfessr Slv b drgues 6

7 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 5.4 ESTUDO DE UM CKT MAIS EABOADO Analsems a fgura 5.3 na qual é cnhecda. 3 4 Fgura 5.3 Crcu mas geral. eq 3 4 A cnsane de emp d crcu: γ eq A crrene pde ser escra: e e eq γ (5.9) Se quserms, pr exempl, fazems dvsr de crrene. Enã: e γ (5.) Se nã fr cnhecd e fr cnhecd ( ), pr exempl, erems: Prfessr Slv b drgues 7

8 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I A equaçã (5.) para fca enã: γ ( ) e (5.) (5.) 5.5 CICUITO C MAIS SIMPES Cnsderems a fgura 5.4 na qual v V. C v v v - Fgura 5.4 Crcu C smples. A crrene al dexa nó superr em. dv v C d dv v d C Prfessr Slv b drgues 8

9 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Cmparand cm de pr v e pr. C d d, verfcams que se raa da equaçã dual pela subsuçã A sluçã deve ser pran dual da sluçã para CKT. g: v Ve C Vams supr que selecnams e nã v cm varável para CKT C. v( ) d C (5.3) Dervand: C d d Cm v dv v d C Terems nvamene: v Ve C 5.6 POPIEDADES DA ESPOSTA EXPONENCIA (CKT C) v V,638 θ ϒ θ Fgura 5.5 Tensã num crcu C (respsa naural). Prfessr Slv b drgues 9

10 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Quand nã se alera, a curva decresce cnsanemene à medda que aumena. A razã ncal d C decamen é dada pela dervada em. d v V C e d C C ' g θ g θ γ γ C g γ C (s) (5.4) v E represena emp necessár para que caa de a. V Quand γ : v V e,368 Para γ: v V e,35 Para 3γ: Para 4γ: 3 v V e,498 4 v V e, 83 Para 5γ: 5 v V e, 67 Cnclu-se que a ensã n crcu, para 5γ, é pracamene cula ps v,67%.v. Em erms da cnsane de emp: v Ve γ (5.5) Prfessr Slv b drgues

11 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 5.7 ESTUDO DE UM CKT C MAIS EABOADO Cnsderems CKT da fgura 5.6 em que v V. 3 C v - Fgura 5.6 CKT C mas geral. eq eq Ve v γ eq C 3 3 C Qualquer vlagem u crrene na pare ressva da rede será da frma Ae γ Pr exempl: γ e E ( ) deve ser bd da cndçã ncal dada. Para dvsr de crrene: 3 Mas. Enã, 3 V v V 3 eq v (5.6) Prfessr Slv b drgues

12 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 5.8 CKT E C GEAIS Um crcu cm várs ndures u capacres geralmene nã perme a smplfcaçã para ndur u capacr asscad a uma ressênca equvalene. Tems sempre neses cass mas de uma expnencal negava asscada a crcu. Tas prblemas envlvem a sluçã de um ssema de equações dferencas de ª rdem e crcu erá mas de uma cnsane de emp, asscada a descarga da energa armazenada ns capacres u ndures. Exempl: seja crcu da fgura 5.7 para qual cnhecems e. Seja A e A. H Ω 3H Ω Fgura 5.7 Crcu a ds ndures Exempl de aplcaçã. Tems duas crrenes de laç e cada uma delas será represenada pela sma de duas expnencas e cada expnencal em cm ncógna uma amplude e uma cnsane de emp. Terems 6 ncógnas a deermnar: Escrevend as equações de laç: d d d d d d d d A nssa hpóese de sluçã é: s s Ae Be (3) s s Ce De (4) Prfessr Slv b drgues

13 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Subsund e nas equações dferencas: s s s s s s Ae Be 5As e -3Cs e 5Bs e -3Ds e s s s s s s 3As e 3Bs e 3Cs e 3Ds e Ce De s s ( ) ( ) s s 3As 3Cs C e 3Bs 3Ds D e A sluçã para ese ssema brga que ds s erms enre parêness sejam nuls. A( 5s) 3Cs (5) B( 5s) 3Ds (6) C( 3s) 3As (7) D 3s 3Bs (8) Da equaçã (5): A 3C s 5s evand na equaçã (7): A 5As 3Cs e B 5Bs 3Ds e 6s 3s Dnde s 6, s - Da equaçã (6): s B 3D 5s evand na equaçã (8): 6s 3s Dnde s 6, s - Esclhems para sluçã: s 6 e s - 6 Ae Be 6 Ce De Prfessr Slv b drgues 3

14 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Aplcand as cndções ncas: A B (9) C D Esas duas equações nã sã sufcenes para deermnar A, B, C e D. Ulzams enã duas equações dferencas. Pr exempl as equações (5) e (6): A( 5s) 3Cs B 5s 3Ds Cm s 6, s - A 3C 9B 6D A sluçã das equações (9) a frnece: A 3 B 8 C e D A sluçã fnal frnece: 6 3e 8e 6 e e As cnsanes de emp d crcu sã: γ γ s s γ 6s γ s Prfessr Slv b drgues 4

15 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I A represenaçã gráfca das crrenes sbre s ndures é dada na fgura 5.8. [A] [A] (s) (s) Fgura 5.8 espsa em crrene para CKT a ds ndures. 5.9 EXECÍCIOS ESOVIDOS. A fne ndependene n crcu da fgura abax é 4V para < e V para >. Deermne e v. 7Ω µf Ω v s 4Ω 8Ω 6Ω v - Prfessr Slv b drgues 5

16 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Sluçã: Para < : Para > : 4 A v 49 7 // 4 8 // Ω eq γ 6 4 eqc s 4 v c( ) 4 ( ) 4 V 49 4 ( ) 5 v v e e > c c v c - c 6Ω 4Ω c 6 5 c C 5e 5 c, e A > 5,7e 6 c 5 6,6 e A dv d > c 7, 7 5 e > v v 6,6 e V 5 v 36e V > Prfessr Slv b drgues 6

17 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I. Após esar fechada pr um lng emp, a chave n crcu da fgura que segue é abera em. Deermne v para >. x kω,3v,6ma kω 5µF v - Sluçã: Chamand x a crrene n ressr de KΩ para < ems: x g: x 3 ( x ), 3, 6,3,6,3,mA 3 3 ( ) ( ) 3 v, 6,, 5V v v,5v Para > : v v e 6 ( 5 ) v, 5e V Prfessr Slv b drgues 7

18 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 3. A chave d crcu da fgura que segue fecha-se em. Deermne e para >. 3Ω 6H H 8A 4,5Ω Ω 6Ω Para < : 8 4,5 9A 4,5 3, Para > : 3Ω 6H H Ω 6Ω d 3 6 ( ) d d ( ) d d 5 6 d d 8 d 6 Prfessr Slv b drgues 8

19 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I A nssa sluçã hpóese é: s s Ae Be s s Ce De s s s s s s 5Ae 5Be 6As e 6Bs e Ce De s s s s s s Ae Be Cs e Ds e 8Ce 8De s ( ) ( ) s s e 5A 6As C e 5B 6Bs D s e A Cs 8C e B Ds 8D ( ) 5 6s A C 5 6s B D 8 s C A (3) 8 s D B (4) Cmbnand cm (3): De : 5 6s A C Aplca em (3): s 3s s e - Cmbnand cm (4): De : 5 6s B D Aplca em (4): s 3s s e - Prfessr Slv b drgues 9

20 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Esclhend para sluçã: s e s - Ae Be Ce De Quand : A B 9 (5) 9 C D 4 (6) Esclhend as equações e : 5 6s A C s 5 6s B D s A C (7) B D (8) eslvend ssema das equações (5), (6), (7) e (8): 9 A 9 B 9 C 9 D e e 9 9 e e 4 Prfessr Slv b drgues

21 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I As cnsanes de emp sã: γ s γ s 4. A chave d crcu abax esá em a pr mu emp. Em ela é mvda para b e, em s é mvda para c. Para que nsane, v V? 5kΩ a b c 5V kω v - µf kω Sluçã: Cm a chave em a capacr se carrega e em - : v 5 4V 5 Cm a chave na psçã b, < < : 5 5 C v V e 4e 4e V Em s: v 4e,47V Prfessr Slv b drgues

22 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Cm a chave na psçã c, > : v v e,47e, 47e e,47 ln,47,93s // Assm nsane em que crre v é:,93,93s 5. Cm referênca a crcu msrad a segur sabe-se que v 9V. Deermne para >. 5Ω a 6 Ω 5µF v b - Sluçã: Para se ber a ensã v e precsams d equvalene ressv (Thévenn) lgad a capacr. Assm bém-se equvalene Thévenn vs de ab. 5Ω x a 6 Ω V b Prfessr Slv b drgues

23 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 5 6 ',A x ' x 5 6 x x,, x 5, 6,5 9,5 9, 777A TH 3,6 Ω,777 Assm: 3,6Ω v c 5µF c v 9e 3, ,5 c v 9e V v dv C , 5e 3,6 d c c ,5 5555,5,5e A Prfessr Slv b drgues 3

24 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 6. As duas chaves d crcu que segue sã fechadas em. Deermne, e 3 para >. Ω Ω 4Ω Ω,V v,8h,3v - 3 Sluçã: a) Anes de cm nducr em cur v : 3, v, 3 4 v, 5A, A, 5A b) Após fechamen das chaves ndur fca em paralel cm as ressêncas de Ω e 4Ω e as fnes dexam de almenar ndur. Assm:, 3, A >,8H 4// 8Ω 8,8 I 3 e, 5e, 5e A Prfessr Slv b drgues 4

25 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I c) é bd de pr dvsã de crrene para >. Ω 4Ω,8H 4 4, 8, 5e, 5e A 7. A chave da esquerda n crcu que segue é fechada em. a) Deermnar e para < <,5. b) A chave d lad dre é fechada em,5. Deermne e para >,5. Ω 4Ω 6Ω 4V,5s,6H Sluçã: a) Para < : 4 ( ) A 4 6 Prfessr Slv b drgues 5

26 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Para < <,5 cm a chave da esquerda fechada:,6 6,67 I e e 4 e 6,67 c) Para >,5: 4 A 6,6,667, e e e,888e, 3776e 8. Após er esad fechada pr um lng emp, a chave n crcu abax é abera em. Deermne v para >. kω,3v,6ma kω 5µF v c - Sluçã: Para - capacr esá carregad e em aber: c v, 3 3, 6, 6 (3) Prfessr Slv b drgues 6

27 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I evand (3) em : Para > :, 3, 6, 3 3,,5 3 3, 5 A c 3 c v, 5, 5V v c v v e,5e V c 9. Um capacr de precsã de valr µf em cm delérc (slane enre as placas cnduras) um maeral cm ressvdade mu elevada. O capacr é carregad aé V em e é, enã, deslgad da fne. Observa-se que a vlagem ca a,9v em hras. Deermne a ressênca de slaçã: v C 6 Ve,9 e,9 e ln, ln e 6, s , 468 Ω,5365 Prfessr Slv b drgues 7

28 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I. As vlagens ncas ns capacres, d crcu que segue, sã: v V e v 4V. Para que valr de,? - v µf 3µF v - MΩ MΩ Sluçã: Quand Cm s ressres sã de gual valr a crrene será nula quand v v. 3 v e v 4e e 4e e 4 6 e e, ln e ln 4, 969, 74887s 3 Prfessr Slv b drgues 8