CAPITULO 04 CAPACITORES E INDUTORES. Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

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1 APITUO 4 APAITORES E INDUTORES Prof. SIVIO OBO RODRIGUES

2 4. INTRODUÇÃO PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU Desin-se o presene cpíulo presenr o compormeno dos induores e cpciores como elemenos essenciis d grnde miori dos circuios eléricos e elerônicos. Procurremos dr um ordgem quliiv desses elemenos ordndo os principis specos relivos o rmzenmeno de energi pr em seguid presenr s principis relções memáics que definem o compormeno desses elemenos e sus proprieddes. Veremos ind o conceio de dulidde, oenção de circuios duis, oenção ds equções ínegro-diferenciis, de mlh e de nó dos circuios conendo induores. 4. O INDUTOR O induor é um elemeno pssivo cpz de rmzenr e fornecer quniddes finis de energi. Ao conrário de um fone idel, eles não podem fornecer quniddes ilimids de energi ou mner o fornecimeno de um deermind poênci médi. Vmos definir induor e induânci esrimene do pono de vis de circuios, por su relção ensão-correne. Qundo correne que rvess um conduor vri, o fluxo mgnéico que o envolve mém vri. Es vrição de fluxo mgnéico ocsion indução de um volgem num circuio próximo o conduor. Es volgem induzid é proporcionl à rzão de vrição d correne gerdor do cmpo mgnéico com o empo. Ess consne de proporcionlidde é chmd induânci e é simolizd pel ler. A relção é, porno: di() v() (4.) d A unidde de induânci é Henry (H). i() v() - Figur 4. O induor idel. O induor cuj induânci é definid pel expressão (4.), é um modelo memáico; é um elemeno idel que pode ser usdo pr proximr o compormeno de um disposiivo rel. Fisicmene, um induor pode ser consruído enrolndo-se um pedço de fio n form de oin. Um induor, ou oin, com form de hélice de psso muio pequeno, possui um induânci, em Henry (H) dd por, Professor Silvio oo Rodrigues

3 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU Onde, µ l NA A áre d seção re; N número de espirs; l comprimeno d hélice; µ permeilidde mgnéic do meril que esá denro d hélice. (4.) Pr o r µ µ 4π x -7 H/m. A equção (4.) nos mosr que ensão no induor só exise se houver vrição d correne rvés do induor. De modo mis ojeivo el nos mosr que não há ensão num induor em que exis pens um correne consne, independenemene d mgniude dess correne. ogo o induor é um curo-circuio pr correne conínu. Um ouro fo, evidencido pel equção (4.), é relciondo um vrição infini d correne no induor, como, por exemplo, correne vrindo ruscmene de um vlor ouro. A es desconinuidde de correne deve esr ssocid um volgem infini. Em ours plvrs, se desejrmos produzir um vrição rusc n correne de um induor, devemos plicr um volgem infini. omo um volgem infini de excição não pode ser gerd por um disposiivo físico rel, não é possível vrir ruscmene correne num induor. A equção (4.) mém pode ser inerpred por méodos gráficos. Pel figur 4. podemos verificr ensão resulne sore o induor de 3H qundo é plicdo sore o mesmo correne i() dd pelos gráficos: i() (A) ) v() (V) 3-3 (s) - 3 (s) -3 i() (A) v() (V) 3 ) -,, (s) -,, (s) -3 Professor Silvio oo Rodrigues 3

4 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU i() (A) c) v() (V) (s) -, (s) - Figur 4. Efeio de vrição d correne sore um induor de 3H. 4.3 REAÇÃO PARA ORRENTE E ENERGIA NO INDUTOR D equção de definição do induor podemos escrever: l di v() d Fzendo inegrção de : i () l di v() d i ( ) l i() i( ) v() d Pr - : l i() i( ) v() d (4.3) A equção (4.3) nos fornece correne em função d volgem e i( - ) pode ser considerd como correne exisene no induor em - nes d plicção d volgem v(). Pr um prolem rel, seleção de - ssegur não exisênci de correne ou energi inicil no induor. Assim se i( ) i(- ), enão: l v d () () i (4.4) O fluxo mgnéico num induor rvessdo por um correne i() é ddo por: () () φ i W (4.5) Vmos deer noss enção pr poênci e energi. A poênci sorvid é dd pelo produo ensão-correne. () di p() v() i() i() W d (4.6) Professor Silvio oo Rodrigues 4

5 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU A energi ω receid pel induânci é rmzend pelo cmpo mgnéico no inervlo de empo desejdo. di i() p d i d i di d i( ) ogo, ω () ω ( ) i() i( ) J (4.7) onsiderndo que em energi sej zero: ω () () i J (4.8) Vmos gor fzer um lis ds principis crcerísics de um induor e que resulm d su equção de definição.. A volgem num induor é zero se correne que pss rvés dele for independene do empo. Um induânci é, porno, um curo-circuio pr correne conínu.. Um qunidde fini de energi pode ser rmzend num induor, mesmo que volgem n induânci sej zero, cso em que correne é consne. 3. É impossível lerr insnnemene, de um vlor finio correne num induor, pois iso requer um vlor infinio de volgem. 4. Um induor idel nunc dissip energi, pens rmzen. Exemplo: 3, > Deermine correne em um induor de 5H se ensão for de v()., < Deermine mém, energi rmzend em < < 5s. Solução: omo i v() d i( ) e 5H, i 3.d 6 A A poênci é p v.i 6 5 e energi rmzend é, porno, w p.d 6.d 6 56, 5kJ 6 Professor Silvio oo Rodrigues 5

6 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU Alernivmene, podemos oer energi rmzend uilizndo Equção (4.7), dispondo 5 3 w.i ( 5).i ( ) ( 5)( 5 ) 56, 5kJ como oido neriormene. 4.4 O APAITOR O cpcior é mém um elemeno pssivo cpz de rmzenr e fornecer quniddes finis de energi. Arvés d relção correne-ensão podemos definir cpcior e cpciânci como sendo: () i dv d (4.9) i() v() - Figur 4.3 O cpcior idel. O cpcior, cuj cpciânci é definid pel equção (4.9) é, novmene, o modelo memáico de um disposiivo rel. A consrução do elemeno físico é sugerid pelo símolo do cpcior do mesmo modo que o símolo em hélice usdo pr o induor represen o fio enroldo desse elemeno de circuio. Fisicmene um cpcior consise de dus superfícies conduors em que crgs podem ser rmzends e esss superfícies são seprds por um resisividde sne elevd. Um cpcior consruído com dus plcs conduors em prlelo, com áre A, seprds por um disânci d, possui um cpciânci: ε A d (4.) onde: ε permissividde ou consne de isolção do meril enre s plcs. Professor Silvio oo Rodrigues 6

7 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU Pr o r ou vácuo: 9 F F εε 8, 85 m 36π m Váris crcerísics impornes do cpcior podem ser nlisds rvés d su equção de definição. Um volgem consne rvés de um cpcior requer que um correne nul psse por ele, logo o cpcior é um circuio ero pr correne conínu. É mém evidene que um mudnç rusc de ensão implic num correne infini. omo não exise disposiivo físico rel que forneç um correne infini, o cpcior não permie um mudnç insnâne d ensão sore ele plicd. Es resrição será reird qundo dmiirmos exisênci de correnes impulsivs. 4.5 REAÇÕES PARA TENSÃO E ENERGIA NO APAITOR A volgem num cpcior pode ser oid rvés d equção (4.9). dv() i() d Inegrndo de : v() i() d v( ) Qundo - : v() v( ) i() d (4.) onsiderndo o cpcior descrregdo em -, iso é, v( - ) e como inegrl d correne é crg rmzend sore s plcs do cpcior: q() v() ogo: () v() q (4.) A similridde enre s váris equções inegris inroduzids nes seção e s que precem n discussão sore induânci é enorme e sugere que dulidde pode ser plicd enre induâncis e cpciâncis. onsidere o exemplo d figur 4.4 em que um ensão v() é plicd sore um cpcior de 5µF e oserve correne resulne. Professor Silvio oo Rodrigues 7

8 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU 8 v() (V) i()(ma) (ms) 3 4 (ms) Figur 4.4 Efeio de vrição d ensão sore um cpcior de 5µF. Pr deerminção d energi rmzend num cpcior o qul é ligd um fone de ensão, consideremos poênci enregue o cpcior. A energi é inegrl d poênci. () dv p() v() i() v() d () () () () ( ) v() v( ) dv () () () d ( ) () ( ) v p d v d v dv v v v ω ω Se energi rmzend é nul em : ω () v() Vmos fzer gor um lis ds principis crcerísics de um cpcior. (4.3). Se volgem num cpcior não vri com o empo, enão correne será nul. Um cpcior é circuio ero pr correne conínu.. Um qunidde fini de energi pode ser rmzend num cpcior, mesmo qundo correne rvés do cpcior é nul. 3. É impossível lerr, insnnemene, volgem em um cpcior, pois requer um correne infini. 4. Um cpcior nunc dissip energi, pens rmzen. Emor iso sej verddeiro pr um modelo memáico, não é verddeiro pr um cpcior rel. Professor Silvio oo Rodrigues 8

9 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU Exemplo: Oenh energi rmzend em cd cpcior do circuio () ixo em condições cc. mf v - kω kω 6mA 3kΩ 5kΩ 4mF 4kΩ 6mA 3kΩ 5kΩ v - 4kΩ Solução: Em condições cc, susiuímos cd cpcior por um circuio ero, como mosrdo no circuio (). A correne rvés d cominção série dos resisores de kω e 4kΩ é oid pel divisão de correne. 3 i ( 6mA) ma 3 4 ogo, s ensões v e v dos cpciores são: v i 4V v 4i 8V As energis rmzends são: 3 w v ( )( 4) 6mJ 3 w v ( 4 )( 8) 8mJ Professor Silvio oo Rodrigues 9

10 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU 4.6 ASSOIAÇÃO DE INDUTÂNIAS E APAITÂNIAS Vários induores em série são somdos diremene dndo como resuldo um induor equivlene. i v - v -... i v s v N - N v s eq ( ) vs... N d Figur 4.5 Associção de induores em série. di di di vs v v... vn...n d d d di di v ;... d s eq eq N (4.4) Induores em prlelo são ssocidos pr formr um induor equivlene d mesm form que resisêncis em prlelo. N i i N i s v N i s v eq - - Figur 4.6 Associção de induores em prlelo. Professor Silvio oo Rodrigues

11 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU eq... N (4.5) Pr dois induores em prlelo: eq (4.6) pciores em série são ssocidos pr formr um cpcior equivlene de mneir similr induores em prlelo. v - v -... v s N v s eq Figur 4.7 Associção de cpciores em série. eq... N (4.7) pciores em prlelo são ssocidos pr formr um cpcior equivlene somndo-se diremene os vlores dos cpciores.... i s v - i i i N N v eq i s - Figur 4.8 Associção de cpciores em prlelo. Professor Silvio oo Rodrigues

12 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU... eq N (4.8) Exemplos: lcule induânci equivlene pr o circuio induivo em escd d figur ixo. mh mh 4mH eq 5mH 4mH 3mH mh Respos: 5mH lcule cpciânci equivlene vis nos erminis do circuio d figur ixo. 5µF 6µF eq 7µF µf µf Respos: 4µF Professor Silvio oo Rodrigues

13 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU 4.7 EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENIAIS PARA IRUITOS OM INDUTORES E APAITORES Vmos escrever s equções nodis pr o circuio d figur 4.9. v R v s v v s i s Figur 4.9 Um rede R com nós e volgens idenificds. Pr o nó cenrl: ( ) ( ) v v d i s R d Pr o nó d direi: v v dv ( ) d v vs v v is d R Reescrevendo s dus equções: v dv v R d R v v dv dvs is R R d d ( ) v d v sd i Ess são s equções ínegro-diferenciis pr o exemplo d figur 4.9. Professor Silvio oo Rodrigues 3

14 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU 4.8 DUAIDADE Definiremos em ermos de equções de circuios. Dois circuios são duis se equção de mlhs que crceriz um deles em mesm form memáic que equção nodl que crceriz o ouro. Eles serão chmdos duis exos se cd equção de mlh de um for numericmene idênic à correspondene equção nodl do ouro. Pr o circuio d figur 4. vmos oer s equções de mlh e depois escrever s duis e enr oer o circuio dul. 3Ω 8F v c - cos 6 V i 4H i 5Ω Figur 4. Exemplo pr oenção do dul. c ( ) v V di di 3i 4 4 cos 6 d d di di d d id 5i As equções duis são oids susiuindo-se s correnes por ensões. dv dv 3v 4 4 cos 6 d d dv dv d d vd 5v Professor Silvio oo Rodrigues 4

15 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU Pr oenção do circuio dul us-se o méodo descrio pel seguine seqüênci de procedimenos: ) Trç-se um linh de referênci em vol do circuio que se desej oer o dul; ) Numerm-se s mlhs colocndo-se um pono no cenro ds mesms; c) Oêm-se os elemenos duis desenhndo-se eses elemenos sore o circuio originl, prir dos ponos locdos no cenro ds mlhs. Um fone de ensão é susiuíd por um fone de correne de mesmo vlor; um induor por um cpcior, um resisênci por um conduânci e ssim por dine. 3Ω 3 8F 8H cos 6 V 4H 5Ω 5 cos 6 A 4F REF. Figur 4. O dul do circuio d figur 4. é consruído diremene prir do digrm do circuio. 4F 3 cos 6 A 8H 5 Figur 4. O dul exo. Professor Silvio oo Rodrigues 5

16 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU 4. EXERÍIOS DE APIAÇÃO. A um induor perfeio sem energi rmzend plic-se em um ensão conínu de V. Se-se que o fim de µs energi rmzend é de,5µj. Qul o vlor d induânci? Solução: p() v().i() v() v() d omo v() V Vols V V p() d V w() p() d.d 6 w().d 6,5 4 H 6. O circuio d figur que segue começou operr em, qundo correne er nul e o cpcior inh um crg de 5. Sendo-se que o vlor máximo de correne é igul 3A, deerminr induânci. i(),5f i( ) Professor Silvio oo Rodrigues 6

17 Solução: PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU A ensão inicil no cpcior: v q 5 V,5 A correne será máxim no insne em que energi rmzend no cpcior for olmene rnsferid o induor..i.v.v, 5 4 i 9,H 3. Pr o circuio que segue deermine o dul e escrev s equções ínegro-diferenciis de mlh do circuio resulne. kω -3 cos 4 A i x k 3mF v x 3mH,µF 3 -,µh -3 i x -3 v x -3 cos 4 V ( ) ( ) i A v V i i X Professor Silvio oo Rodrigues 7

18 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU i x 3mF,µH k -3 cos 4 V i -3 i i x i i cos( ) i.d, i i di i d Os dois cpciores do KT que segue são crregdos por um ligção momenâne dos dois erminis A e B um fone de ensão consne de 5V. Os erminis A e B, enão, reunidos, depois de reird fone. Qul crg finl em cd cpcior? A µf 4µF B Solução: A crg ol fornecid cd um dos cpciores em série é: q q.v T T 4 8 3, 33 µ F q q 3, , 67 µ Após serem ligdos os erminis A e B os cpciores ficm em prlelo e pós lgum empo ensão sore os cpciores é mesm. q q v v Professor Silvio oo Rodrigues 8

19 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU A crg ol com os cpciores em prlelo: q q q 333, 34 µ q q q q q 666, 67 4 q 444, 33 µ q 6 ( ) 888, 67 µ i 6cos 36 ma 4 5. A correne rvés de um cpcior de,µf é () ( ) ensão médi no cpcior é zero. pr odo. A ) Qul o vlor máximo de energi rmzendo no cpcior? ) Qul é o primeiro insne, não negivo, em que energi máxim é rmznd? Solução: i c 4 () ( ), µ F i 6cos 36 ma π T período 4 Professor Silvio oo Rodrigues 9

20 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU w.v() v() v( ) i().d v v 5 6cos 36.d () ( ) ( ) 4 () ( ) ( ) v v 3sen 36 V omo ensão médi deve ser zero. π 4 4 Vméd v ( ) 3.sen( 36 ) d T ( ) ( ) v cos 36 π π 4 π 3 π 3 v cos 36 cos v cos cos 36 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π ( ) 4 () ( ) v V v 3sen 36 V ) A energi máxim é oid pr v () 3V. ( ) máx 6 6 W, µ J ) O insne em que ensão é máxim corresponde o rco em que 4, 683rd, 578rd 94, 3 µ s 4 36 π. Professor Silvio oo Rodrigues

21 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU 6. Enconre induânci oferecid nos erminis do circuio que segue qundo os erminis x x esão: ) em ero. ) em curo. H 4H H x x' 3H 6H 9H H H Solução: ) om x x em ero. H 5H 6H H H H H H 8H 6,48H Professor Silvio oo Rodrigues

22 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU ) om x x em curo. 5H H 5H 5H H 5H 5 H 5 6 H 7 3,333H 8,53H,8H 7. d cpcior no circuio que segue e de µf. Enconre cpciânci equivlene se: ) - e -3 esão curo circuids; ) - e -3 esão ers; c) - eros e -3 curo circuids; d) - em curo e -3 eros; 3 Professor Silvio oo Rodrigues

23 Solução: PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU ) µf µf,,3 µf µf eq µf 3µF,75µF eq ) om - e -3 eros,5µf µf µf µf µf,5µf µf µf µf Professor Silvio oo Rodrigues 3

24 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU µf µf µf,5µf,5µf,6µf c) om - eros e -3 em curo. µf,5µf µf µf µf µf,4µf µf,4µf eq,76µf d) om - em curo e -3 ero. µf µf µf µf µf µf µf,5µf Professor Silvio oo Rodrigues 4

25 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU µf,5µf eq,6µf 3 8. Sej is 4( e ) A pr > e c ( ) vlores de energi. ) Armzendos no induor; ) Armzendos no cpcior; c) Dissipdos no resisor desde. v V no circuio que segue. Em,5s, enconre os 5Ω H i s F 9 - v c Solução: ) W,5 i,5 ( ) ( ) ( ) i di 3 v () 4( 3e ) > d di 3 v () 4( e ) > d i() i( ) v() d,5,5 ( ) 3 3 i, 5 4e d 4e 4[, 3 ] 3,7A W (, 5) 3,7 9, 66J Professor Silvio oo Rodrigues 5

26 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU Solução lerniv: W () i() 3 6 W () 6( e e ) W,5 6,3,5 ( ) ( ) ( ) W,5 9,66J,5 ) Wc () v() v( ) v() vc ( ) i() d,5 3 ( ) ( ) v,5 9 4 e d v(, 5) 36 e 3 3 v(, 5) 36, 5, 3, 333 8, 689V 3 Wc (, 5) ( 8, 689) 3, 5J 9,5 c) R R,5 3 ( ) ( ),5 3 6 ( ) ( ) W,5 5 4 e d W,5 8 e e d ( ) 3 6 WR, 5 8 e e R R 3 6,5 WR (,5) 8,5, W, 5 8, 5,49, 8, 666,66 ( ) ( ) ( ) W, 5 8,4, 8J,5 Professor Silvio oo Rodrigues 6

27 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU i,e A com i, 3A : 4 9. Pr o circuio que segue fç () ( ) ) Enconre v() pr odo ; ) Enconre i () pr odo ; c) Enconre i () pr odo. s Ω i i Ω i s mh 8mH v() - i s eq4,8mh v - ) di d v 4, 8,e d d s 3 4 () eq ( ) 3 4 () ( ) v 4, 8 4e V () 4 v,9e V ) 3 4 i() i( ) v() d,3 (,9e ) d 8,9 4 4 i (), 3 5 e, 3, 6e, 6 4 () 4 i, 9, 6e A c) () () () () 4 () i i i s i,e, 9, 6e 4 i, 9, 4e A 4 Professor Silvio oo Rodrigues 7

28 PONTIFÍIA UNIVERSIDADE ATÓIA DO RIO GRANDE DO SU. Pr o circuio ixo se-se que: v 5V, v 6V, v 7V, i 8A e i 8A. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c3 onsru o dul e exo e indique os vlores iniciis dos induores e cpciores resulnes. Ω,H i,4h,4f i,5h,5f 4sen V >,F v c -,H,F v c - 3,3H v c3-4sen A Solução: i i 3,H,H i 3 4 sen A > v c,4f,3h v c,5f - - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i 5A i 6A i 7A 3 v 8V v 8V Professor Silvio oo Rodrigues 8