FERRAMENTAS DA GEOMETRIA PLANA

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "FERRAMENTAS DA GEOMETRIA PLANA"

Tânia Castelo Sampaio
6 Há anos
Visualizações:

1 RRNTS GTRI LN TRIGNTRI TRIÂNGUL RTÂNGUL () comç, você tm qu s s dfnçõs d sno, cossno tngnt dos ângulos gudos do tângulo tângulo ç go sss dfnçõs mntlmnt (sno é zão nt o ctto) () Lm-s d qu dos ângulos são complmnts s som d sus mdds é gul 90º s ângulos gudos d um tângulo tângulo são complmnts 90o + sn cos () plv cossno, qu sgnfc sno do complmnto, é um lusão o fto d qu o cossno d um ângulo é o sn sno 0 do complmnto dss ângulo o cos70 o cos55 o sn5 o o xmplo,, tc (4) onvém você s fmlz com os vlos d ltu do tângulo quláto d dgonl do quddo, pos, como já s, tgonomt dos ângulos fundmnts, sto é, 0º, 45º 60º, é gd po sss dus fgus () stânc d um ponto um t é mdd do sgmnto qu tm um xtmdd m, out num ponto Q d t tl qu Q é ppndcul à t (4) sstz d um ângulo é smt qu tm ogm no vétc dss ângulo qu o dvd m dos ângulos congunts (5) sstz d um ângulo é o lug gométco dos pontos qüdstnts dos ldos dss ângulo Q mo ldo 0 o ldo ldo 45 o ldo (6) No tângulo sóscls, ltu, sstz mdn ltvs à s concdm num só sgmnto d t ss sgmnto stá contdo n mdtz d s 60 o 45 o mo ldo ldo ltu sstz mdn NGRUÊNI TRIÂNGULS N ul d conguênc d tângulos, psntmos os ctéos d conguênc São os sgunts: LLL LL L L LL RT oém, lém dsso, fcm stlcdos conctos popdds stutus mpotnts d Gomt Vj qus são () dtz d um sgmnto d t é t qu pss plo ponto médo d qu é ppndcul () dtz d um sgmnto d t é o lug gométco dos pontos qüdstnts d mdtz NTS NTÁVIS TRIÂNGUL st ul psntou-l váos conctos popdds É mpscndívl qu você os compnd os tn onfom tmos nsstdo dunt s uls, os conctos consttum o voculáo com qu nos comuncmos s popdds são s ms qu mpgmos p solv os polms L tntmnt s colocçõs sgunts () ç p você msmo, mntlmnt, s dfnçõs d ltu, mdn sstz ntn d um tângulo fn, go, mdtz d um sgmnto d t No cso d sstz d mdtz, lm tmém s popdds d sus pontos

2 svção Vl nsst qu sstz, ltu mdn são sgmntos dstntos, com dfnts funçõs, qu mdtz é um t qu, pncípo, nd tm v com sss sgmntos oém, com lção à s d um tângulo sóscls, como já vmos, ltu, sstz mdn concdm stão contds n mdtz d s (4) o fm, dê spcl tnção o fto d qu, no tângulo quláto, pns nl, os quto pontos notávs concdm R R ltu sstz mdn mdtz () Rlm, go, qus são os pontos notávs do tângulo cnto: nconto ds mdns Incnto: nconto ds sstzs ntns tocnto: nconto ds ts supots ds ltus cuncnto: nconto ds mdtzs dos ldos () sgu, lm s popdds dos pontos notávs RINTR (G) INNTR ( I) QURILÁTRS LÍGNS GRL s um vz você stá dnt d um ul c m conctos popdds tfqu-s d qu você ssmlou s dfnçõs dos pllogmos dos tpézos ssgu-s tmém d qu domnou s popdds so os ângulos dos pllogmos so sus dgons () qudo xo ndc com lt X s popdds ds dgons dos pllogmos pllogmo qulqu R tângulo L losngo Q quddo G N I G G G G GN G RTNTR () nto d ccunfênc nsct IRUNNTR () S IGNIS R L Q RT-S I X X X X SÃ NGRUNTS X X SÃ NIULRS X X SÃ ISSTRIZS X X So os ângulos d um pllogmo qulqu você tm qu s qu: () s ângulos opostos são congunts Sm popdd dstc nto d ccunfênc ccunsct () os ângulos djcnts um msmo ldo são suplmnts + 80o

3 (4) om lção um polígono convxo, você tm qu s clcul o númo d dgons, som dos ângulos ntnos s o vlo d som d sus ângulos xtnos (60º nt dsts fgus n n n n d ( ) S n 80o ( ) S 60o você dv nxg sts mdds: (5) o fm, lm-s d qu o polígono gul, po dfnção, é quláto quângulo omo consqüênc, sus ângulos xtnos são congunts, como som d todos os ângulos xtnos é gul 60º, fc fácl clcul o vlo d cd um 60o n 80o + () ocu gst, não somnt qu o tângulo tângulo é nsctívl num smccunfênc, ms tmém qu mdn ltv à potnus é gul à mtd d potnus ÂNGULS N IRUNRÊNI () N fgu xo, dz-s qu o ângulo d mdd stá nscto n ccunfênc, ou nd, qu l stá nscto no co ocu ncopo sso o su voculáo (4) qu dfnc o qudláto nsctívl num ccunfênc dos dms qudlátos? Sus ângulos opostos são suplmnts 80o + () o dp-s com um ângulo nscto num ccunfênc, do qul s conc mdd, c o áto d clcul mntlmnt não pns mdd do co qu l nxg, ms tmém do co m qu l stá nscto sv tntmnt s stuçõs sgu (5) Todo polígono gul é nsctívl num ccunfênc sná-l pod fclt stnt s soluçõs d polms qu os nvolvm sv o ângulo fomdo po dus ds dgons do nágono gul d fgu snndo-s ccunfênc ccunsct, como n fgu, pssmos t um ângulo xcêntco ntno d mdd fclmnt clculávl

4 fgu fgu Rp qu, m, nss odm, fomm um ogssão tmétc Tom undmntl d Smlnç S dos ldos d um tângulo, ou sus polongmntos, são cotdos po um pll o tco ldo, o novo tângulo fomdo é smlnt o tângulo pmtvo SLNÇ TRIÂNGULS lém d fot psnç nos xms vstuls, smlnç d tângulos consttu um stutu fundmntl p Gomt Sgum lmntos d dstqu dst ul stud-os com tnção () ctéo fundmntl d smlnç d tângulos (ctéo ) é o sgunt: os tângulos são smlnts s dos ângulos d um dls são congunts dos ângulos do outo () sntnç ~ QR pmt conclu qu Q Q R QR R o sso, o scv sntnç ~, coloqu s lts smp m odm d cospondênc () s méd d um tângulo é qulqu sgmnto qu un os pontos médos d dos ldos dss tângulo s méd é smp pll o tco ldo su mdd é mtd d mdd dss ldo N N // N // ~ st é o tom fundmntl d smlnç l s fz psnt m polms qu nvolvm pllogmos (sto é, losngos, tângulos, quddos), nsctos m tângulos, como no cso do tângulo nscto no tângulo d fgu sgunt y θ θ x IRTNT // ~ y x Supon qu dos ldos d um tângulo sjm ntsctdos po um t pll o tco ldo ntão, sss dos ldos tods s cvns ltvs o tco ldo fcm dvddos num msm zão tculmnt, s t pss plos pontos médos dos ldos, pssá plos pontos médos d tods sss cvns θ y x θ ( x) (4) s méd d um tpézo é o sgmnto qu un os pontos médos dos ldos tnsvsos dss tpézo l é smp pll às ss su mdd é méd tmétc ds mdds ds ss N // // R S T Q R S T Q m N + m R S Q 4

5 TRIÂNGUL RTÂNGUL () s lçõs qu nvolvm os ldos do tângulo tângulo, ltu ltv à potnus s pojçõs dos cttos so l são s sgunts c m n c + n c m c m n Tnslção no tpézo Tçdo d os ons ) Rt ccunfênc () fn su voculáo mtmátco, lm-s d qu: + S x, ntão x é méd tmétc nt S x, ntão x é méd gométc nt T t T t () Loclz nt s fómuls cm s qu stão nuncds sgu m todo tângulo tângulo, cd ctto é méd gométc nt potnus su pojção otogonl so l m todo tângulo tângulo, ltu ltv à potnus é méd gométc nt s pojçõs otogons dos cttos so potnus (4) S o ldo d um tângulo qüláto é concdo, é ncssáo qu você tn pontos ltu, o o do cículo nscto o o do cículo ccunscto ss tângulo l ) cunfêncs tngnts s Impotnt s cntos os pontos d tngênc são pontos lndos Not qu, confom tngênc sj xtn ou ntn, dstânc dos cntos é gul à som ou à dfnç dos os, spctvmnt (Vj sts fgus) s R R TÉNIS RSLUÇÃ STRUTURS ULTS IGURS R R + c) cunfêncs scnts té qu, dunt s uls, dscutmos lgums técncs stnt fcnts n solução d polms om tmém dstcds lgums stutus qu s ptm fqüntmnt ns fgus, ocults ns msms, qu, um vz pcds, podm o cmno d solução Vmos dstc lgums dsss técncs stutus 5

6 od d ccunfênc stutu ocult m todo tângulo cd ldo é mno do qu som dos outos dos c c < + c < + c c < + cunfênc tngnt os ldos d um ângulo ) Ângulo qulqu stutu ocult Sgmntos d tngnts S dus ts, conconts num ponto, tngncm um ccunfênc nos pontos, ntão ) Ângulo Rto stutu ocult Rlçõs métcs n ccunfênc fgu, tmos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p fgu, T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fgu fgu RRIS IVRSS V é um quddo Tvmos um ul m qu vás popdds fom psntds Ts popdds não têm sdo xplods ntnsmnt nos vstuls oém, stão nos pogms, potnto, você tm qu sêls São s sgunts sguldds no tângulo m todo tângulo o mo ldo opõm-s o mo ângulo, cpocmnt c c ÁR TRIÂNGUL Vmos dstc lguns lmntos tócos qu são mpscndívs p um s sóld no cálculo d ás () Você tm qu s, com dsnvoltu, s tês fómuls fundmnts p á do tângulo c snâ ómul d ão: S p p p p c ( )( )( ) T 6

7 ê spcl tnção à fómul plc com nom fqüênc c snâ l s s ltu () uts vzs, fómul pmt ntptçõs ápds ns fgus o xmplo Tângulos com ss gus, têm sus ás popocons às ltus ltvs sss ss stutu ocult S S stutu ocult Tângulos com dus ltus gus, têm sus ás popocons às ss cospondnts sss ltus 5 () qu tnto o tângulo quláto Não á ncssdd d s mmoz um fómul p clcul su á, ms é pcso s clcul su á com pdz S S 5 ÁR ÍRUL SUS RTS st ul cscnt pns dus fómuls às qu você já vm utlzndo u sj: π R S ículo π R cunfênc oém, os polms so á do cículo, d sus pts, mpgm váos tns d to studdos nts stqu p os sgunts 60 o sn60 0 S ou S () ltu do tângulo quláto dgonl do quddo (Vj ls í novmnt) d (4) om o xágono gul você tm qu t totl ntmdd Tm qu s qu, lgndo sus vétcs o cnto, l fc dcomposto m 6 tângulos qülátos í, é mdto conclu qu: sus ângulos ntnos mdm 0º cd um; su ldo é gul o o do cículo ccunscto d () Você dv s clcul com dsnvoltu o o do cículo nscto o o do cículo ccunscto no quddo, no tângulo quláto no xágono gul, qundo dls s concm os ldos lcul sss os p os sgunts csos: 0 o 60 o ) Quddo d ldo gul 4 (5) Ns fgus, pocu osv com tnção psnç d sgmntos ppndculs ldos ls podm funcon como ltus d tângulos ocultos 7

8 ) Tângulo quláto d ldo gul 6 LI S SNS LI S SSNS 6 6 L dos snos m todo tângulo os ldos são popocons os snos dos ângulos opostos constnt d popoconldd é gul R, ond R é o o d ccunfênc ccunsct o tângulo c) xágono gul d ldo gul 4 4 (4) Tn smp m mnt s stutus ocults m dtmnds fgus, como s sgunts, qu já fom psntds ntomnt 4 c R sn sn sn L dos cossnos od d ccunfênc stutu ocult m todo tângulo, o quddo d qulqu ldo é gul à som dos quddos dos outos dos ldos, mnos o duplo poduto dsss dos ldos plo cossno do ângulo compnddo nt ls cunfênc tngnt os ldos d um ângulo ) Ângulo qulqu stutu ocult + c c cos Rconcmnto d ntuz d um tângulo Sjm, c os ldos d um tângulo sj o mo dsss ldos co d mdto d l dos cossnos qu: ) Ângulo Rto stutu ocult < + c < 90 + c 90 > + c > 90 o o o Isso pmt qu clssfqumos um tângulo qunto os ângulos qundo dl concmos pns os ldos V é um quddo 8

Documentos relacionados

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Geometria Ficha de Trabalho Nº 02 10º Ano

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Geometria Ficha de Trabalho Nº 02 10º Ano AGUPAMENO DE EOLA DE MOÁGUA Gomti Fih lho Nº 0 0º Ano Osv igu o lo... Ini so istm: ois plnos ppniuls us ts plls um t post um plno um t snt o plno FIH us ts não omplns. s oons os vétis... Qul posição ltiv