FORMULAÇÃO ALTERNATIVA PARA ANÁLISE DE DOMÍNIOS NÃO-HOMOGÊNEOS E INCLUSÕES ANISOTRÓPICAS VIA MEC

Transcrição

1 CAROS ABRTO CABRA D AZVDO FORMUAÇÃO ATRNATIVA PARA ANÁIS D DOMÍNIOS NÃO-HOMOÊNOS INCUSÕS ANISOTRÓPICAS VIA MC Dissetção pesentd à scol de ngenhi de São Clos, d Univesidde de São Pulo, como pte dos equisitos p obtenção do Título de Meste em ngenhi de stutus. Oientdo: Pof. D. Wilson Ségio Ventuini SÃO CAROS - 7 -

2 Aos meus pis Mnoel e Odil, pel vid que me concedem. Às minhs imãs Pul Fennd e Mi úci e à minh ti Cléli po todo cinho e feto.

3 ARADCIMNTOS ARADCIMNTOS Ao Pof. Wilson Ségio Ventuini, pel oientção, pelo belíssimo conhecimento tnsmitido, bem como pel pciênci dedicd este tblho. Aos demis pofessoes do Deptmento de ngenhi de stutus que tmbém colbom com este tblho. Aos pofessoes do Cento de studo de ngenhi Civil (CSC) d Univesidde Fedel do Pná (UFPR), po teem popociondo meus pimeios pssos n pesquis científic. m especil, os pofessoes Joge uiz Milek, Ségio Schee, Milded Bllin Hecke e Robeto Dlledone. À escol de ngenhi de São Clos, po te me fonecido tod estutu necessái dunte elboção este tblho. Agdeço tmbém todos os funcionáios deste deptmento. À CAPS que, tvés de bols de estudo, possibilitou o desenvolvimento dest dissetção. À Simone Hoefel e os colegs do deptmento, Wilson Wesley e Alexnde Bott, pelo gnde uxílio n elboção deste tblho. Aos meus pis, meus etenos pofessoes. À Ttin Snches, pelo cinho e incentivo necessáio p conclusão deste tblho.

4 O veddeio vlo ds coiss não está no tempo em que dum, ms n intensidde com que contecem. Po isso existem momentos inesquecíveis, coiss inexplicáveis e pessos incompáveis Fenndo Pesso

5 SUMÁRIO SUMÁRIO INTRODUÇÃO..... OS MÉTODOS NUMÉRICOS..... RVISÃO BIBIORÁFICA OBJTIVOS DST TRABAHO..... CONTÚDO DO TRABAHO... FUNDAMNTOS DA TORIA DA ASTICIDAD QUAÇÕS BÁSICAS DA TORIA DA ASTICIDAD...5 Foçs de Supefície...5 quções difeenciis de equilíbio (qução de Nvie)...7 Relções defomção deslocmento...8 quções constitutivs...8 Condições de Contono..... PROBMAS PANOS... stdo plno de tensão (PT)... stdo plno de defomção (PD)... RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR..... ASTICIDAD TRIDIMNSIONA... Mteil nisotópico homogêneo... Coeficientes elásticos de engenhi...6 Relção constitutiv de um mteil nisotópico...8 Relção constitutiv de um mteil ototópico...9 Relção constitutiv de um mteil isotópico tnsvesl... Relção constitutiv de um mteil isotópico..... ASTICIDAD BIDIMNSIONA... Poblem de stdo Plno de Tensão... Poblem de stdo Plno de Defomção...9 QUAÇÕS INTRAIS DO PROBMA ÁSTICO BIDIMNSIONA.... SOUÇÃO FUNDAMNTA D VIN...

6 SUMÁRIO.. QUAÇÃO INTRA D CONTORNO PARA O PROBMA ÁSTICO PANO.6.. QUAÇÃO INTRA PARA PONTOS NO CONTORNO MÉTODO DOS MNTOS D CONTORNO QUAÇÕS AÉBRICAS DO MC FUNÇÃO APROXIMADORA INAR MONTAM DO SISTMA D QUAÇÕS AÉBRICAS PROPRIDADS DA MATRIZ H PONTO D COOCAÇÃO CONDIÇÕS D CONTORNO RSOUÇÃO DO SISTMA D QUAÇÕS DSOCAMNTO TNSÕS M PONTOS INTRNOS INTRAÇÃO ANAÍTICA INTRAÇÃO NUMÉRICA QUADRATURA D AUSS-NDR SUB-MNTAÇÃO MC APICADO A PROBMAS COM CAMPOS INICIAIS RPRSNTAÇÕS INTRAIS COM CAMPOS INICIAIS FUNÇÃO D APROXIMAÇÃO DAS VARIÁVIS NO DOMÍNIO QUAÇÕS AÉBRICAS DO MC PARA PROBMAS COM CAMPO D TNSÕS INICIAIS FORMUAÇÃO ATRNATIVA PARA ANÁIS D DOMÍNIOS NÃO- HOMOÊNOS INCUSÕS D MATRIAIS ANISOTRÓPICOS INTRODUÇÃO MATRIZ D PNAIZAÇÃO D IJ RSOUÇÃO AÉBRICA XMPOS APICAÇÕS XMPO XMPO XMPO XMPO XMPO

7 SUMÁRIO 8.6. XMPO XMPO XMPO CONCUSÃO... NOTAÇÃO INDICIA DFINIÇÃO SOMATÓRIO DIFRNCIAÇÃO...7 DTA D RONCR...8 DTA D DIRAC...9 TORMA DA RCIPROCIDAD D BTTI... INTRAIS ANAÍTICAS SINUARS... INTRAIS ANAÍTICAS NÃO-SINUARS...9 RFRÊNCIAS BIBIORÁFICAS...5

8 VIII ISTA D FIURAS ISTA D FIURAS Figu Foçs de Supefície...6 Figu Foçs de Supefície em um lemento Difeencil Bidimensionl...7 Figu lemento Infinitesiml...8 Figu stdo Plno de Tensão... Figu 5 stdo Plno de Defomção... Figu 6 Singulidde em ponto fonte no contono...9 Figu 7 Clssificção p definição de c (s) WUTZOW ()...5 Figu 8 Discetizção do contono em elementos WUTZOW ()...5 Figu 9 Funções de poximção line...55 Figu Ângulos p o cálculo do sub-elemento...6 Figu Compimento do sub-elemento...65 Figu Compimento do sub-elemento p Ψ mio que 6º...65 Figu Discetizção do domínio em céluls...7 Figu Coodends cilíndics e θ...7 Figu 5 Integção nlític em Figu 6 Posição dos nós de célul intenos...77 Figu 7 Sistem de coodends dimensionis ξ i...77 Figu 8 Tensões iniciis, elástics e eis...8 Figu 9 Composição ds mtizes e vetoes globis...8 Figu Tubo de pede goss. eometi e cegmento (xemplo ).86 Figu Pimei discetizção dotd no exemplo...87 Figu Segund discetizção dotd no exemplo...87 Figu Tecei discetizção dotd no exemplo...88 Figu Tubo de pede goss. eometi e cegmento (xemplo ).9 Figu 5 Tubo de pede goss. eometi e cegmento Figu 6 eometi e cegmento do exemplo...97 Figu 7 Discetizção empegd no exemplo...97 Figu 8 eometi e cegmento do exemplo Figu 9 Pimei discetizção dotd no exemplo

9 ISTA D FIURAS IX Figu Segund discetizção dotd no exemplo Figu eometi e cegmento do exemplo 6... Figu Discetizção dotd no exemplo 6... Figu eometi e cegmento do quddo com inclusão ototópic...5 Figu Discetizção dotd no exemplo Figu 5 Tensões x (xemplo 7)...7 Figu 6 Tensões τ xy (xemplo 7)...7 Figu 7 Tensões y (xemplo 7)...8 Figu 8 eometi e cegmento do exemplo Figu 9 Tensões x (xemplo 8)... Figu Tensões τ xy (xemplo 8)... Figu Tensões y (xemplo 8)... Figu Função Delt de Dic...9 Figu Ponto fonte no pimeio nó do elemento... Figu Ponto fonte no pimeio nó do elemento...5 Figu 5 Ponto fonte no pimeio nó do elemento...7 Figu 6 Ponto fonte não linhdo com o elemento... Figu 7 Ponto fonte linhdo tás do elemento...8 Figu 8 Ponto fonte linhdo à fente do elemento...

10 X ISTA D TABAS ISTA D TABAS Tbel Deslocmentos Rdiis (xemplo )...9 Tbel Deslocmentos Rdiis (xemplo )...9 Tbel Deslocmentos Rdiis (xemplo )...96 Tbel Deslocmentos em y do Ponto A (xemplo )...98 Tbel 5 Deslocmentos veticis n fce infeio (xemplo 5)...

11 ISTA D RÁFICOS XI ISTA D RÁFICOS áfico - Deslocmento Rdil do ponto ns discetizções nlisds.88 áfico Deslocmento Rdil do ponto ns discetizções nlisds 89 áfico Deslocmento Rdil do ponto ns discetizções nlisds 89 áfico Deslocmento Rdil do ponto ns discetizções nlisds 89 áfico 5 Deslocmento Rdil do ponto 5 ns discetizções nlisds 9 áfico 6 Tensões Rdiis no Modelo...9 áfico 7 Tensões Rdiis no Modelo...9 áfico 8 Tensões Rdiis no Modelo...9 áfico 9 Tensões Rdiis (xemplo )...9 áfico Tensões Rdiis (xemplo )...96 áfico Deslocmento veticl o longo d fce infeio d vig... áfico Deslocmento veticl o longo d fce infeio d vig... áfico Foç de supefície o longo do poio engstdo (exemplo 6).. áfico Deslocmentos veticis o longo d fce supeio (exemplo 6) áfico 5 Deslocmentos veticis o longo d fce ltel (exemplo 6)... áfico 6 Deslocmento veticl o longo d fce supeio (xemplo 7)...6 áfico 7 Deslocmento hoizontl o longo d fce ltel (xemplo 7)..6 áfico 8 Deslocmento veticl n fce supeio (xemplo 8)...9 áfico 9 Deslocmento hoizontl n fce ltel (xemplo 8)...

12 XII ISTA D ABRVIATURAS SIAS ISTA D ABRVIATURAS SIAS MDF Método ds Difeençs Finits MF Método dos lementos Finitos MC Método dos lementos de Contono BM Boundy lement Method BIM Boundy Integl qution Method FORTRAN Fomul Tnsltion

13 RSUMO XIII RSUMO AZVDO, C.A.C (7). Fomulção ltentiv p nálise de domínios não-homogêneos e inclusões nisotópics vi MC São Clos. 5p. Dissetção (Mestdo) scol de ngenhi de São Clos, Univesidde de São Pulo. ste tblho tt d nálise de poblems plnos de chp compostos po mteiis nisotópicos, definids em um egião ou no domínio po completo, utilizndo-se o Método dos lementos de Contono. As soluções fundmentis p poblems nisotópicos, embo existentes, mostm-se difíceis de seem utilizds devido à complexidde de su fomulção mtemátic ou d necessidde de se encont ptes d solução numeicmente. Nesse sentido, fomulção ltentiv mostd nesse tblho pemite o estudo de meios nisotópicos utilizndo-se s soluções fundmentis p meios isotópicos ns epesentções integis de poblems plnos com cmpo de tensões iniciis. A egião do domínio com popieddes nisotópics ou difeentes ds popieddes elástics de um meio isotópico usdo como efeênci é discetizd em céluls tingules, enqunto que o contono do poblem é discetizdo em elementos linees. As componentes do tenso de tensões iniciis d egião nisotópic são definids como um coeção ds tensões elástics do mteil isotópico de efeênci tvés de um mtiz de penlizção. ss mtiz, po su vez, é obtid tvés de elções envolvendo s constntes elástics de igidez do meio desejdo e os coeficientes elásticos de flexibilidde do meio isotópico de efeênci. ss técnic é pticulmente dequd p nálise de inclusões nisotópics onde há necessidde de discetiz pens um pte pequen do domínio, umentndo, potnto, pouco o númeo de gus de libedde do sistem. Os esultdos obtidos com fomulção popost são compdos com os esultdos numéicos existentes n litetu. Plvs-chve: Método dos elementos de contono Inclusão Anisotópic Anisotopi

14 ABSTRACT XIV ABSTRACT AZVDO, C.A.C (7). Altentive boundy element fomultion fo multi-egion bodies nd inclusions. São Clos. 5p. Dissetção (Mestdo) scol de ngenhi de São Clos, Univesidde de São Pulo. This wok dels with elstic D poblems chcteized by the pesence of zones with diffeent mteils nd nisotopic inclusions using the boundy element method. The nisotopy cn be ssumed eithe ove the whole domin o defined only ove some pticul inclusions, which is the most usul cse. Fundmentl solutions fo nisotopic domins, lthough well-known, led to moe complex fomultions nd my intoduce difficulties when the nlysis equies moe complex mteil models s fo instnce plstic behvio, finite defomtions, etc. The ltentive fomultion poposed in this wok cn be pplied to nisotopic bodies using the clssicl fundmentl solutions fo D elstic isotopic domins plus coection given by n initil stess field. The domin egion with nisotopic popeties o only with diffeent isotopic elstic pmetes hs to be discetized into cells to llow the equied coections, while the complementy pt of the body equies only boundy discetiztion. The initil stess tenso to be pplied to the nisiotopic egion is defined s the isotopic mteil elstic stess tenso coection by intoducing locl penlty mtix. This mtix is obtined by the diffeence between the elstic pmetes between the efeence vlues nd the nisotopic mteil. This technique is pticully ppopite fo nisotopic inclusion nlysis, in which the domin discetiztion is equied only ove smll egion, theefoe incesing vey little the numbe of degees of feedom of the finl lgebic system. The numeicl esults obtined by using the poposed fomultion hve demonstted to be vey ccute in compison with eithe nlyticl solutions o the othe numeicl vlues. eywods: boundy element method nisotopic inclusions nisotopy

15 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO O começo é pte mis impotnte do tblho. (Pltão) INTRODUÇÃO N engenhi, sempe houve o inteesse em simul os movimentos, s foçs e o fluxo que pecem nos copos d ntuez. Os poblems são, em su gnde mioi, govendos po equções difeenciis. Tis equções devem tende lguns equisitos como s condições de equilíbio, s condições de contono e s condições iniciis imposts p cd poblem. Com feqüênci, estes poblems pesentm gndes dificulddes de seem esolvidos, sej po pesentem um complexidde n geometi do sólido, sej po empegem mteiis com lei constitutiv complex. Assim, muitos poblems não possuem soluções nlítics (exts), ou qundo s possuem, são de difícil obtenção. m vitude dest dificuldde, utiliz-se um modelo mtemático que epesent de fom dequd o el estdo do copo e então, empeg-se lgum método numéico n obtenção ds soluções poximds. Ao longo d histói, divesos métodos numéicos fom fomuldos. Hoje, com o ecuso dos computdoes, os métodos numéicos conseguem lev soluções poximds p poblems que pesentm um lto gu de complexidde.

16 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO.. Os métodos numéicos Com os conhecimentos d mecânic dos sólidos e de seus fenômenos modeldos físic e mtemticmente, desenvolvem-se lguns métodos, que epesentm os meios contínuos po meios discetos simplificdos. m McHNRY (9), HRNIOFF (9) e NWMAR (99) pud ZINIWICZ (977) são feitos os pimeios tblhos neste sentido, comentndo-se que soluções zoáveis p um meio contínuo podem se obtids po substituição em pequens poções do contínuo po njos de simples bs elástics. Dependendo do tipo de epesentção, um método pode se pesent do tipo difeencil ou integl. nte os métodos numéicos existentes conhecidos, podemos cit pimeimente o Método ds Difeençs Finits (MDF) e o Método dos lementos Finitos (MF), sendo mbos do tipo difeencil, isto é, bseds n poximção de um equção difeencil. nte os dois métodos citdos nteiomente, o MDF é o mis ntigo deles. N litetu coente, su oigem está elciond o tblho de SOUTHW (96), ms foi n elidde utilizdo pel pimei vez po C. Runge no início do século pssdo. É empegdo n nálise numéic plicd à esolução de poblems no cmpo d engenhi ds estutus. ste método tnsfom equções difeenciis em equções lgébics válids pens em nós dento do domínio, tvés de poximções ds deivds po difeençs finits. A su sistemtizção foi feit como menciondo po Southwell. Já o MF, geneicmente, bsei-se n divisão do domínio em um séie de subdomínios finitos ou elementos conectdos tvés de seus nós, tis que estes epesentem o cmpo de defomção ou de tensões do domínio po equções simplificds, que stisfçm s condições mecânics e geométics do poblem. O MF teve su divulgção pti dos tblhos de TURNR et lii (956), ARYRIS (96) e COUH (96), pes de te sido COURANT (9) quem pimeio usou o conceito de discetizção d egião se ttd p poblems de toção de Sint-Vennt.

17 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO Tblhos como os de COUH (99), ROBINSON (985) e UPTA & M (996) tzem detlhes sobe histói do MF, que pesentou um gnde cescimento com o vnço tecnológico dos equipmentos computcionis. Atulmente, s plicções com este método são divess, mostndo-se muito eficiente n solução de mioi dos poblems páticos, incluindo-se os poblems que envolvm esposts não-linees. Como exemplo pático, podese cit s nálises de edifícios empegndo elementos eticuldos, denomindo bs, simulndo piles e vigs, e elementos bidimensionis de plc ou de csc, simulndo o pvimento, etc. O MF pesent vntgens sobe o MDF, pois pemite um melho confomidde p geometi do domínio, mio fcilidde n plicção ds condições de contono e constução de mlhs de tmnho viável. sts vntgens têm feito do MF o método numéico mis utilizdo ente os cientists e engenheios. Um ccteístic do MF é que seu equcionmento utiliz um númeo muito gnde de viáveis, consumindo consideável tempo computcionl, e pesent entd e síd de ddos tblhosos especilmente em poblems com contonos complexos. Com o uso de pépocessdoes e pós-pocessdoes, estes poblems podem se contondos. Algums vezes, em poblems complexos, utilizm-se modelos simplificdos e edes pouco efinds p que possm se executdos em computdoes convencionis. Poém, muits vezes, estes modelos não epesentm de fom dequd o el compotmento d estutu. Outo método numéico muito conhecido, o Método dos lementos de Contono (MC), popõe solução tvés d discetizção pens do contono do poblem. st ccteístic ton o MC mis eficiente que o MF p um zoável númeo de poblems. Além disso, segundo COATZ (966), poximção de um equção integl lev sempe um solução mis pecis. m lguns csos específicos, o MC necessit tmbém d discetizção do domínio em céluls p poximção de viáveis definids no domínio e que não fom eliminds n dedução d equção integl. Tmbém há poblems onde combinção dos dois métodos (MC/MF) lev um

18 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO sistem de equções de lto desempenho tnto em pecisão qunto em tempo de pocessmento e pepção (ou geção) de ddos. Com edução d quntidde de nós necessáios, compdo com outos métodos numéicos existentes, o MC lev um edução de um dimensão dos poblems nlisdos. Isto é, pemite um edução n quntidde de ddos de entd, no tempo de pocessmento e n áe uxili p mzenmento ds infomções no pocessmento. No início, o MC e demonstdo pti de poximções de equções integis com o empego de lgum pincípio clássico, como o teoem de BTTI, po exemplo. Um visão mis moden dess técnic clssific-o como mis um método petencente à fmíli dos métodos poximdos. A pti de elções do método dos esíduos pondedos é possível obtenção ds equções integis necessáis à fomulção do método dos elementos de contono. Com bse no conhecimento dquiido espeito do método dos elementos de contono, este, tulmente, já se tonou um ltentiv n solução de divesos poblems de engenhi, sendo empegdo em poblems d elstostátic, poblems de potencil, poblems elstoplásticos, viscoplsticidde, elstodinâmic, nálise de ftu, condução de clo, eletomgnetismo, inteção solo-estutu, inteção estutu-fluido ente outos, desde os csos mis simples té estudos complexos. O MC só pode se plicdo se um solução fundmentl d equção difeencil fo conhecid, de modo gel conhecids como funções de een. Bsicmente existem dois tipos de MC: Dieto e Indieto. No método dieto, s viáveis físics eis do poblem pecem ns equções integis, enqunto que no método indieto s equções integis são expesss completmente em temos de um solução singul unitái d equção oiginl empegndo viáveis fictícis distibuíds no contono e que não pesentm significdo físico.

19 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO 5.. Revisão bibliogáfic Com o cescente inteesse de pesquisdoes ns últims tês décds, o MC tonou-se um podeos fement computcionl. ntetnto, s equções integis, bse do desenvolvimento dess técnic, são conhecids há muito tempo. Segundo IOTT, foi AB, em 8, quem pimeio deduziu um equção integl p o ttmento de um poblem físico, o pêndulo isócono. Posteiomente, em 87, IOUVI tnsfomou um poblem de vlo inicil em um equção integl, esolvendo- po poximções sucessivs. Com o estudo de poblems d teoi do potencil, obtivem-se gndes vnços neste método. m 9, FRDHOM publicou um vesão complet de su teoi, onde s integis pesentvm núcleos definidos e integáveis. Já em 96, FRDHOM public um igooso tblho sobe equções integis linees plicds à solução de poblems de vlo de contono em elstostátic. Até o no de 95, pens poblems de vloes de contono eltivos csos pticules fom estuddos, bsedos sempe ns equções integis linees de Fedholm. A intodução do segundo poblem fundmentl de contono p o cmpo ds nálises elástics é devid UPRADZ (965), que utilizou teoi de Fedholm em equções com integis singules. Os tblhos notáveis de utoes ussos como MUSHISHVII (95), MIHIN (957), SMIRNOV (96), AHOV (966) e IVANOV (976) dem enome contibuição o início de um nov e do uso ds equções integis p esolução de poblems físicos. Os métodos desenvolvidos po TRFFTZ e PRAS em 97 e 98, espectivmente, p esolução de equções integis n mecânic dos fluidos devem se considedos como pecusoes d moden técnic de integção de contono. O método d equção integl como um fement pátic, gel e eficiente começ pece n décd de 6, um peíodo ccteizdo pel difusão do uso dos computdoes, obsevndo-se um consideável expnsão e desenvolvimento do método dunte décd de 7.

20 6 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO O tblho de RIZZO (967) é o pimeio que tt s equções integis como fom de técnic numéic. Cetmente esse tblho é tmbém o pimeio popo fomulção diet p o ttmento ds equções integis do poblem elástico. As fomulções té então pesentds são bseds no pocedimento indieto. Inicilmente o método peceu com o temo BIM (Boundy Integl qution Method) intoduzido po RIZZO (967) já como técnic ltentiv ds equções integis. Outos utoes seguim mesm teminologi como CRUS (969), (97) e (97). CRUS & RIZZO (968) pesentm um fomulção do método ds equções integis de contono, p nálise de poblem elstodinâmico usndo tnsfomds de plce com elção o tempo. RIZZO & SHIPPY (968) utilizm o método ds equções integis de contono, considendo elsticidde line e sugeindo o uso de sub-egiões p o ttmento dos domínios não homogêneos. m 97, CRUS & VANBURN plicm pel pimei vez fomulção um sólido tidimensionl, considendo influênci de um cck, e SWDOW & CRUS (97) pesentm um fomulção p simulção de mteiis elstoplásticos, nisotópicos e compessíveis, considendo ind elção tensão-defomção com encumento. RICCARDA (97), ptindo do tblho de Swedlow & Cuse e empegndo outos citéios, é o pimeio tblho pesent lguns esultdos numéicos p poblems d elstoplsticidde, utilizndo fomulção diet do método. O empego ds equções integis p esolução de poblems potenciis, tmbém de impotânci p ciênci d engenhi, é pesentdo em tblhos nteioes o tigo de RIZZO (967). JASWON (96) e SYMM (96) pesentm um pocesso numéico p esolução d equção integl de contono de Fedholm. O gnde vnço nos chmdos métodos de contono tem su oigem n tese de ACHAT (975), pesentd à Univesidde de Southmptom, ttndo de poblems bi e tidimensionis. sse tblho pesent um eficiente ttmento numéico utilizndo elementos cuvos de segund odem com opções de vição line, qudátic e cúbic p s poximções ds viáveis do poblem. As integis são clculds numeicmente po um

21 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO 7 sofisticdo esquem de integção tvés de fómuls d qudtu gussin. Foi em 978 que BRBBIA usou teminologi BM (Boundy lement Method) que pode se obtid como um cso especil d técnic dos esíduos pondedos, ssim estbelecendo um conexão ente s váis técnics numéics existentes. A pti de 978, com publicção do pimeio livo de BRBBIA (978), ind que bstnte simples, tonou-se o MC mis conhecido e estuddo em divesos centos impotntes de pesquis. Destcm-se, ind, s publicções de BRBBIA (98), AN (99) e PARÍS & CAÑAS (997). A utilizção do método dos elementos de contono n nálise pátic de poblems de engenhi não se estinge pens domínios homogêneos, onde solução fundmentl dotd ssume que s popieddes mteiis não mudm dento do domínio nlisdo. Há muitos exemplos onde est hipótese não vle. Po exemplo, qundo o módulo de elsticidde vi com pofundidde ou qundo existem váis cmds de solos com popieddes difeentes. P lguns tipos de não-homogeneidde é possível dedução ds soluções fundmentis. ntetnto, tis soluções fundmentis são fequentemente complicds e de difícil implementção computcionl. N nálise de poblems que envolvem domínios não-homogêneos, divess técnics numéics podem se empegds. Nesse sentido, técnic ds sub-egiões consiste em conside cd subdomínio individulmente e devidmente copldo os demis tvés de equções de equilíbio e de comptibilidde de deslocmento imposts os nós d intefce. VNTURINI (98) most divess nálises pátics em estutus de fundções, onde egiões não-homogênes são ttds pelo método ds subegiões, mesmo qundo tipos difeentes de não-lineidde físics estão ssocidos cd mteil. Os tblhos de WATSON (979) e de ACHAT e WATSON (976), desenvolvidos pti de ACHAT (975), já indicvm fcilidde com que o método podei nlis domínios compostos. Divesos lgoitmos numéicos p o estudo de combinções de sub-egiões, com o intuito de giliz solução do sistem de equções lgébics do MC, têm sido popostos. Um desses lgoitmos, elbodo po CROTTY (98), bsedo n eliminção dos

22 8 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO blocos de zeos d mtiz pincipl, diminui sensivelmente o tempo de esolução do sistem. VNTURINI (988) popõe um fomulção ltentiv n nálise de poblems de domínio não-homogêneos, ttndo o domínio de fom contínu, sem necessidde de dividi-lo em sub-egiões, pens modificndo s integis de modo levem em cont s difeençs ente s constntes elástics de cd sub-egião. No tblho de WUTZOW (), fomulção line do MC p elsticidde bidimensionl é empegd p o estudo de domínios enecidos. A consideção dos enecedoes é bodd de dus foms, pimei dels pel técnic clássic de sub-egião ou coplmento MC/MC e segund, tmbém pelo mesmo coplmento, ms condensndo-se s viáveis do contono p linh centl do enecedo. st últim popocionou bons esultdos eliminndo petubções em enecedoes finos. Aind no estudo de poblems de domínios não-homogêneos, BR () pesent outo pocedimento de montgem do sistem de equções lgébics, muito simil o dotdo no método dos elementos finitos, pti d constução um mtiz de igidez p cd egião, considendo os coeficientes como fluxos ou foçs de supefície devido à tempetus/deslocmentos unitáios. Tl método é mis eficiente que o método ds sub-egiões n implementção em computção plel e tmbém pode se usdo no coplmento do método dos elementos de contono com o método dos elementos finitos. Além d possibilidde de combinem-se egiões com quisque popieddes mecânics, linees ou não, os poblems páticos exigem combinção ente ptes estutuis de difeentes ntuezs, em muitos csos ttdos po métodos numéicos difeentes. Algoitmos numéicos, que combinm o método dos elementos de contono com outs técnics, já fom popostos po divesos utoes. Os tblhos de ZINIWCZ et lii (977), de SHAW e FABY (977) e de OSIAS et lii (977), pesentdos em 977, fom os pimeios tt sólidos onde um pte é nlisd vi elementos de contono e o estnte do domínio é discetizdo e nlisdo pelo método dos elementos finitos.

23 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO 9 Devido o umento ds plicções industiis dos mteiis, teoi d lsticidde plicd o estudo de meios nisotópicos tem sido motivo de tenções pti d décd de 6, destcndo-se tblhos de HNITSII (96) e HNITSII et lii (968) que bodm os spectos mtemáticos d teoi d lsticidde nisotópic e pesentm soluções nlítics poximds p divesos poblems com nisotopi. RN & ZRNA (95) pesentm um modelo sobe distibuição de tensões num chp ototópic tciond com oifício inteno. sss distibuições o compds com um mteil isotópico e pode-se obsev os difeentes compotmentos mecânicos d chp, dependendo-se d dieção de plicção ds tensões. SIVRMAN (96), estudndo tensões e defomções em chps ototópics submetids cgs polinomiis nomis e tngenciis, desenvolveu um método de solução nlítico poximdo, tvés d utilizção de funções de tensão de Aiy polinomiis de váios gus, empegndo seu método em váios exemplos. HASHIN (967) pesentou um método nlítico de esolução de poblems plnos envolvendo chps nisotópics, submetids cegmentos polinomiis, o qul pemite constução de funções de tensão polinomiis, semelhntes às funções de Aiy, que são soluções de poblems plnos nisotópicos. São pesentds plicções em chps com nisotopi gel. NOAC & ROTH (976) pesentm um nálise mtemátic d teoi d lsticidde p mteiis ototópicos, considendo-se nisotopi etiline e cilíndic. N bodgem de poblems nisotópicos com o MC, o pogesso obtido n nálise desses poblems no decoe dos nos tem sido eltivmente meno compdo o lcnçdo n Mecânic isotópic e ind, n mioi ds vezes, esse pogesso oiginou somente plicções destinds à nálise line de meios ototópicos ou tnsveslmente isotópicos. A pimei fomulção do MC p poblems elásticos linees plnos, não isotópicos, foi desenvolvid po RIZZO & SHIPPY (97). Utilizndo-se d solução fundmentl p nálise de poblems ototópicos popost po RN (9), bsed somente em viáveis eis, plicm bodgem diet de solução p o estudo de tensões em lguns exemplos de sólidos

24 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO ototópicos. Fom utilizdos elementos constntes p poxim s viáveis e geometi do poblem. A pti desse tblho, sugim outos que plicm tmbém mesm solução fundmentl de RIZZO & SHIPPY (97) com finlidde de se estudem sólidos ototópicos plnos, podendo se citdos BNJUMA & SIARSI (97), MAHAJRIN & SIARSI (986), VAB & SIARSI (988) e PADHI et lii (). A nálise de sólidos nisotópicos plnos, possuindo nisotopi gel, tvés do MC teve início com o tblho de CRUS & SWDOW (97) que, utilizndo funções de viáveis complexs e o fomlismo elástico nisotópico de HNITSII (96), popusem um solução fundmentl bidimensionl que tem sido bstnte utilizd ns mis difeentes plicções do MC em nisotopi gel. & MA (99) pesentm um fomulção p o MC, p nálise de meios nisotópicos plnos, onde s equções integis são discetizds num plno complexo, difeencindo-se ssim ds fomulções usuis. As incógnits do poblem são ssumids como funções linees de um viável complex, em cd elemento de contono, e s integções são elizds de fom ext p contonos bitáios sem necessidde de integções numéics, constituindo-se ssim, vntgem do método poposto. BRBBIA & DOMINUZ (989) popusem um solução fundmentl deduzid pti d solução fundmentl isotópic de elvin, evitndo-se, dess mnei, p poblems tidimensionis, integção numéic p se detemin função de een. A técnic consiste em expess s constntes nisotópics como um médi dos vloes ds constntes isotópics mis um esíduo, que po su vez, é tnsfomdo num temo de domínio d equção integl e pode se ttdo, po exemplo, pelo método d ecipocidde dul (MRD). P meios infinitos tnsveslmente isotópicos, PAN & CHOU (976) obtivem um solução fundmentl utilizndo-se de tês funções potenciis de deslocmentos. ss solução foi empegd po PAN & AMADI (996), no estudo de sólidos sujeitos à ção d gvidde e tmbém, po DIN & IAN (999) n nálise de sólidos piezoeléticos tnsveslmente isotópicos.

25 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO No estudo de mteiis compósitos, destc-se o tblho de HOF (6), que empeg solução fundmentl ototópic no estudo de lmindos nisotópicos. A nisotopi, potnto, é obtid dispondo-se s váis cmds ototópics em dieções difeentes ente si... Objetivos deste tblho O objetivo pincipl deste tblho é o desenvolvimento de um pogm computcionl utilizndo o Método dos lementos de Contono n solução de poblems elásticos linees plnos (chp) compostos po domínios nãohomogêneos, deteminndo os deslocmentos/foçs de supefície no contono e s tensões no domínio do copo. A não-homogeneidde estudd neste tblho estinge-se os poblems onde o domínio é composto po váis sub-egiões, cujs popieddes elástics do mteil não vim no inteio de cd sub-egião. A técnic clássic de sub-egiões, popost tvés d comptibilizção dos deslocmentos e foçs de supefície nos nós d intefce, pemite pens o estudo de mteiis isotópicos. No entnto, fomulção popost neste tblho pemite, lém d nálise de poblems com sub-egiões isotópics, nálise de sub-egiões nisotópics. ntid qulidde dos esultdos p os poblems descitos cim, estende-se fomulção n nálise de meios contínuos nisotópicos. Utilizm-se, n fomulção do poblem, s epesentções integis p poblems de cmpos iniciis no domínio. Sendo ssim, fz-se necessáio discetizção do domínio em céluls. No contono são empegdos elementos iso-pméticos linees e s integções são feits nliticmente p tods s situções de posicionmento do ponto fonte. Clculm-se esss integis, inicilmente, em elção eixos ctesinos locis, pocedendo-se posteiomente com otção de eixos p posicionmento globl. No domínio são empegds céluls tingules com poximção line, com s integis sendo obtids segundo pocesso semi-nlítico em coodends globis. N busc po melhoes esultdos, utilizou-se no pogm, técnic de sub-elementção,

26 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO que consiste no efinmento ns integções numéics qundo o ponto fonte encont-se póximo do ponto singul. Com fomulção devidmente elbod pte-se p implementção computcionl, que, p este tblho, foi utilizdo lingugem de pogmção FORTRAN PoweSttion vesão 6. P veific fomulção, compm-se lguns exemplos numéicos mis simples com seus esultdos nlíticos e ind com esultdos encontdos n litetu... Conteúdo do Tblho No cpítulo são pesentdos os fundmentos básicos d teoi d elsticidde, ponto de ptid n elboção deste tblho. Já o cpítulo pofund os conceitos sobe s elções constitutivs (p meios nisotópicos, ototópicos, isotópicos tnsvesis e isotópicos), onde pimeimente é bodd su fom mis mpl (tidimensionl) e posteiomente su fom simplificd (bidimensionl). st últim ind é pesentd p seus dois estdos possíveis, stdo Plno de Tensão (PT) e stdo Plno de Defomção (PD). No cpitulo são pesentds s soluções fundmentis de elvin empegds n fomulção e epesentção integl de um copo elástico, necessái à esolução dos poblems pelo MC. No cpitulo 5, s equções integis são epesentds em equções lgébics linees, utilizndo funções poximdos sobe o contono p epesent os deslocmentos e esfoços. É pesentdo os conceitos de integção nlític e numéic, e técnic de sub-elementção no efinmento d solução. O cpítulo 6 pesent s soluções integis do MC p poblems com cmpos iniciis, su função de poximção ds viáveis no domínio, o conceito de célul e o equcionmento lgébico do MC p esolução de poblems com cmpo de tensões iniciis. No cpítulo 7 é pesentd um mtiz, cuj popiedde consiste n penlizção ds popieddes elástics de um mteil isotópico qulque

27 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO usdo como efeênci, de modo obte s popieddes elástics desejds n egião do domínio discetizdo em céluls. O cpitulo 8 tz os exemplos numéicos vlidos com o uso d fomulção desenvolvid. Pocu-se, n medid do possível, most o potencil d fement desenvolvid pti de compções com os esultdos encontdos n litetu. em seguid, são pesentds s conclusões do pesente tblho de mestdo.

28 CAPÍTUO - INTRODUÇÃO

29 CAPÍTUO FUNDAMNTOS DA TORIA DA ASTICIDAD 5 Temos de fze o melho que pudemos. ss é noss sgd esponsbilidde humn. (Albet instein) FUNDAMNTOS DA TORIA DA ASTICIDAD ste cpítulo desceve sucintmente, em notção indicil, os conceitos básicos sobe teoi d elsticidde... quções básics d teoi d elsticidde As seguintes elções básics d teoi d elsticidde são utilizds neste item: elções defomção-deslocmento, elções constitutivs e condições de equilíbio. São els que pemitem desceve o compotmento de um sólido. As foçs tuntes em um copo são dmitids como sendo de dois tipos: foçs volumétics ( b i ) ou foçs de supefície ( p i ). As foçs volumétics são deteminds po unidde de volume, pois tum sobe o volume do copo (exemplo clássico, gvidde), enqunto s foçs de supefície são deteminds po unidde de áe, pois tum pens sobe supefície. Foçs de Supefície Admitindo-se o equilíbio estático de um tetedo infinitesiml e conhecido tods s componentes de tensão que tum nos tês plnos

30 6 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR ctesinos, pode-se então encont s tensões que tum num plno qulque que psse po este tetedo. sts tensões são conhecids como foçs de supefície (Tctions) e espeitm condição de equilíbio no contono Γ do copo dd pel expessão: p ( i, j,) i η j, (.) onde, p i - Componentes de foçs extens po unidde de supefície (Tction); η j - Componentes (co-seno dieto) do veto noml unitáio, pontndo p fo do domínio. Figu Foçs de Supefície m dus dimensões, visulizmos o elemento infinitesiml confome figu à segui,

31 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR 7 Figu Foçs de Supefície em um lemento Difeencil Bidimensionl quções difeenciis de equilíbio (qução de Nvie) P um ponto qulque de um copo tidimensionl, isotópico, elásticoline e homogêneo, definido po um domínio Ω e contono Γ, o equilíbio de um elemento infinitesiml em fom de plelepípedo (Figu lemento Infinitesiml) em tono deste ponto é epesentdo pel equção difeencil. ( i, j,), (.), j b i onde, são componentes do tenso de tensões (stess tenso); b i são componentes de foçs po unidde de volume (body foces).

32 8 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR Figu lemento Infinitesiml Relções defomção deslocmento O tenso de defomções é expesso po: (u j,i u i, j u k,iu k, j) ( i, j,k,). (.) N pátic, s estutus sofem pequenos deslocmentos e pequens defomções, podendo-se então despez os efeitos de segund odem esultndo n expessão line simplificd bixo: (u j,i u i, j) ( i, j,). (.) quções constitutivs As equções constitutivs popocionm s elções ente tensão e defomção do mteil. nqunto o sólido encont-se com sus defomções

33 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR 9 no egime elástico line, equção constitutiv ecebe o nome pticul de lei de Hooke., (.5) Ckl kl onde, C kl é um tenso de qut odem que ccteiz o mteil, vindo de ponto ponto dento do copo qundo este não fo homogêneo. No cso de dmitid às hipóteses de meio elástico, homogêneo e isótopo, onde não existem mudnçs de tempetu, este tenso tem eduzido sus constntes elástics à pens dois vloes (, υ ) válidos p todos os pontos mteiis, onde, - Módulo de elsticidde tnsvesl ou de cislhmento (she modulus); υ - Coeficiente de Poisson. o tenso, neste cso, é definido po: C kl ( δ δ δ δ ) υ δδkl ik jl il jk. (.6) υ ntão, lei de Hooke pode se escit pens po: υ kkδ, (.7) υ onde, - Tenso de defomções específics de Cuchy. δ - Delt de onecke. o módulo de elsticidde tnsvesl é expesso pel expessão:

34 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR, (.8) ( υ) sendo, - Módulo de elsticidde longitudinl do mteil ou módulo de Young; υ - Coeficiente de Poisson. N fom inves d equção constitutiv, podemos epesent s defomções em função ds tensões no copo como: υ υ kk δ. (.9) Condições de Contono N fomulção do poblem elástico, lém ds equções que devem se stisfeits no domínio, outs condições devem se tendids no contono do sólido. De mnei gel, podem-se te deslocmentos pescitos ou foçs pescits... Poblems Plnos m muitos csos, um poblem elástico pode se considedo, de fom ext ou poximd, com seu estdo de tensão ou defomção independente de um ds sus coodends. Assim, poblems tidimensionis podem se estuddos de fom simplificd em modelos bidimensionis. stdo plno de tensão (PT) O estdo plno de tensão ocoe qundo um chp delgd fo solicitd po um cegmento distibuído unifomemente o longo d su espessu, tundo plelmente o plno d chp. ntão, s componentes

35 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR de tensão z, τ zx e τ zy são nuls em mbs s fces d chp e pode-se supo, em pincípio, que tmbém o são em seu inteio. Conseqüentemente, s componentes de tensão não nuls são tomds como sendo x, y, τ xy. Figu stdo Plno de Tensão As defomções específics no ponto considedo são: ( υ ) x x y, (.) ( υ ) y y x, (.) ( ) υ z x y e (.) τxy γ xy (.) stdo plno de defomção (PD) O estdo plno de defomção ocoe qundo dimensão do sólido n dieção z é muito gnde e é submetido foçs que não vim o longo do compimento. Potnto, dmite-se que tods s seções tnsvesis o longo do compimento estão sob s mesms condições, sendo suficiente p estudo

36 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR dot um fti do sólido situdo ente dus seções que distem de um unidde. m poblems eis d engenhi podemos encont o estdo plno de defomção em muos de imo com pessão ltel, em tubos cilíndicos com pessão inten e túneis. Figu 5 stdo Plno de Defomção Como o deslocmento n coodend longitudinl z é nulo, s componentes de defomção z, γ xz e γ yz tmbém são nuls. A tensão noml z é obtid em função de x e y tvés d lei de Hooke. z ( ) υ. (.) x y

37 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR As soluções, eu já s possuo há muito tempo. Ms ind não sei como cheguei els (Cl Fiedich uss) RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR Um copo elástico eton su fom oiginl qundo se etim s solicitções que o defomm. Um copo diz-se linemente elástico qundo um umento ou diminuição ds solicitções povoc, espectivmente, um umento ou diminuição line ds defomções. O objetivo deste cpítulo é elcion cd componente d tensão com cd componente d defomção intoduzindo s popieddes do mteil. Ou sej, pocu-se lig os tensoes de tensões e de defomções tvés dos coeficientes elásticos de igidez kl e de flexibilidde b kl... lsticidde Tidimensionl Mteil nisotópico homogêneo A ei de Hooke genelizd, como já mostd nteiomente em (.5), plicável à um mteil nisotópico, isto é, sem nenhum plno de simeti mteil, é escit como segue,, (.) kl kl ou, n fom inves,

38 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR, (.) bklkl onde, kl são os coeficientes elásticos de igidez do mteil; b kl são os coeficientes elásticos de flexibilidde do mteil. m vitude ds simetis dos tensoes ds tensões e ds defomções é possível defini densidde de enegi de defomção pel expessão U kl. (.) kl Podendo conclui que, os coeficientes elásticos de igidez e de flexibilidde pesentm s seguintes simetis: b kl kl b jikl jikl b lk lk b kl kl (.) Consequentemente, dos 8 componentes de cd um dos tensoes pens são independentes. No cso do mteil se homogêneo, os vloes de kl e b kl são iguis em todos os pontos. A ei de Hooke genelizd ou elções constitutivs são escits n fom mticil d seguinte fom, (.5)

39 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR 5 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b (.6) m lgums efeêncis elcionds com mteiis denomindos compósitos, s expessões cim são pesentds n fom de pseudo vetoes, ocultndo o cáte tensoil, simplificndo escit, confome é pesentdo bixo, (.7) em notção indicil, [ ],6 j i, j i, (.8) e, b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b (.9)

40 6 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR em notção indicil, [,6] b i, j (.) i j Coeficientes elásticos de engenhi As popieddes elástics necessáis p defini um mteil nisotópico podem se definids medintes zões ente tensões e defomções, ou vice-ves. N pátic, considem-se s seguintes elções: I Módulo de elsticidde longitudinl k n dieção x (,,) k k é elção k kk (.) kk k Conclui-se que x (,, ) k elcion tensão noml que tu n fce noml k com defomção line n mesm dieção. xistem módulos de elsticidde longitudinl. II Módulo de elsticidde tnsvesl ( j) i é definido pel zão ( j) i, (.) que elcion tensão tngencil que tu n fce noml dieção x ( j,, i) j x (,,) i i n, com defomção ngul no plno x ix j. xistem módulos de elsticidde tnsvesl. III - Coeficiente de Poisson υ mn é definido como:

41 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR 7 nn υ mn ( n) mm m (.) Potnto, o coeficiente de Poisson segundo um dieção x n pependicul υ mn elcion defomção line x m com defomção line segundo x m, sendo o estdo de defomção povocdo po um tensão noml n dieção x m. xistem seis coeficientes de Poisson difeentes. IV Outs zões de defomções m mteiis nisotópicos, um tensão noml pode povoc defomções ngules e tensões tngenciis podem povoc defomções linees ou distoções em outos plnos. Assim, podem defini-se s seguintes zões de defomções: - Angul/Angul: γ kl kl ρ kl com ( j) γ i e ( l) k (.) de st expessão elcion um defomção ngul num plno difeente x ix j com defomção ngul no plno x ix j, sendo o estdo de defomção povocdo po um tensão tngencil independentes.. Há seis elções - Angul/ine: γ kl kl ρ kl ρnnkl com ( i j n) nn nn e ( l) k (.5) st expessão elcion um defomção ngul em cd um dos plnos, com defomção line segundo dieção defomção povocdo po um tensão noml elções difeentes. nn x n, sendo o estdo de. Podem defini-se nove

42 8 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR - ine/angul: mm mm ρ kl ρmm com ( j) γ i e ( k l m) (.6) Relcion um defomção line segundo ngul no plno tensão tngencil x m com defomção x ix j, sendo o estdo de defomção povocdo po um. xistem nove zões independentes. Relção constitutiv de um mteil nisotópico υ υ ρ ρ ρ υ υ ρ ρ ρ υ υ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ (.7) Devido à simeti do tenso de constntes elástics de flexibilidde, conclui-se que um mteil nisotópico pesent constntes independentes que podem se obtids expeimentlmente medinte seis ensios (um p cd um ds tensões independentes).

43 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR 9 Relção constitutiv de um mteil ototópico Um mteil ototópico pesent tês plnos de simeti otogonis ente si, x x, x x e x x e su elção constitutiv pesent-se como segue bixo, υ υ υ υ υ υ (.8) Pecebe-se que p tis mteiis, o númeo de coeficientes independentes eduz-se p 9, lém de podemos obsev que: - s defomções ngules são independentes ds tensões nomis; - s defomções linees são independentes ds tensões tngenciis; - cd tensão tngencil só povoc defomção ngul no plno em que tu. As componentes do tenso de coeficientes elásticos de igidez kl, p um mteil ototópico, podem se obtids invetendo-se mtiz cim, esultndo os temos independentes segui:

44 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR ( υυ) ( υ υυ) ( υ υυ) ( υ υυ) ( υυ) ( υ υυ) ( υ υ υ ) ( υ υ υ ) ( υ υ ) (.9) υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ Relção constitutiv de um mteil isotópico tnsvesl Um mteil isotópico tnsvesl constitui-se de um mteil ototópico que pesent isotopi em um dos plnos de simeti, ou sej, pesent s mesms popieddes em tods s dieções neste plno. Supondo o plno de isotopi sendo x x, pode-se esceve elção constitutiv, υ υ υ υ υ υ (.) m vitude d isotopi no plno x x, o módulo de elsticidde tnsvesl neste plno não é independente do módulo de elsticidde longitudinl e do coeficiente de Poisson υ, devendo veific elção:

45 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR b ( b b ) ( υ ) (.) Assim, p estes mteiis, o númeo de coeficientes elásticos independentes eduz-se 5 e, lém ds conclusões discutids p mteiis ototópicos, podemos obsev à pti de (.): - s defomções linees no plno x x povocds pel tensão noml são iguis; - s defomções linees e povocds pel tensão noml é igul às defomções e (espectivmente) povocds po um tensão ; - cd tensão tngencil só povoc defomção ngul no plno em que tu; - defomção ngul γ povocd po um tensão é igul à um defomção ngul γ povocd po um tensão. Ds conclusões nteioes é possível estbelece s elções constitutivs p mteiis isotópicos tnsvesis nos plnos x x e x x, espectivmente: υ υ υ υ υ υ (.)

46 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR com, b ( b b ) ( υ ) (.) no outo plno, υ υ υ υ υ υ (.) com, b ( b b ) ( υ ) (.5) As componentes do tenso de coeficientes elásticos de igidez kl p um mteil isotópico tnsvesl podem se obtids invetendo-se s mtizes B ds equções (.) e (.) cim, p cd um dos csos de isotopi tnsvesl. xplicitmente, p o mteil isotópico tnsvesl em x x temos:

47 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR ( υ ) ( υ υ υ ) ( υ υ υ ) ( υυυ ) ( υ υ ) ( υυυ ) ( υ υ υ ) ( υ υ υ ) ( υ υ ) (.6) υ υ υ υ υ υ Relção constitutiv de um mteil isotópico Um mteil isotópico é quele que pesent infinitos plnos de simeti otogonis ente si. Po isso, pode-se dize que não existem dieções mteiis pefeenciis. Su elção constitutiv pesent-se d seguinte fom: υ υ υ υ υ υ (.7) n fom inves,

48 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR ( υ) υ υ ( υ)( υ) ( υ)( υ) ( υ)( υ) υ ( υ) υ ( υ)( υ) ( υ)( υ) ( υ)( υ) υ υ ( υ) ( υ)( υ) ( υ)( υ) ( υ)( υ) (.8) onde,. (.9) υ ( ) P tis mteiis, o númeo de coeficientes elásticos independentes eduz-se pens. m notção indicil, pode-se esceve elção constitutiv como: υ δimδ jn δδmn mn ( ) ( )( ) υ υ υ. (.).. lsticidde Bidimensionl Poblem de stdo Plno de Tensão Defini-se estdo plno de tensão como quele em que um ds tensões pincipis é nul e dieção pincipl coespondente é igul em todos os pontos do copo. ste estdo de tensão veific-se num copo com um dimensão muito meno do que s demis, pens cegdo no plno pependicul ess dieção.

49 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR 5 Supondo que é que é nul, o tenso ds tensões p um ponto qulque P é:. (.) Conclui-se, então que,. (.) I Relção constitutiv de um mteil nisotópico Impondo condição (.) à expessão (.7), obtém-se: υ υ ρ ρ ρ υ υ ρ ρ ρ υ υ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ (.) Conclui-se que lei constitutiv pode se escit como:

50 6 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR υ ρ υ ρ ρ ρ (.) υ υ ρ ρ ρ ρ (.5) ρ ρ ρ As componentes do tenso de coeficientes elásticos d igidez kl, p um mteil nisotópico, são obtids invetendo-se mtiz B d equção (.) cim. II Relção constitutiv de um mteil ototópico Neste cso, usndo s equções (.) e (.8), pode-se esceve: υ υ (.6) e,

51 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR 7 υ υ (.7) As componentes do tenso de coeficientes elásticos de igidez kl, p um mteil ototópico, são obtids invetendo-se mtiz B d equção (.6) cim. xplicitmente, obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ (.8) III Relção constitutiv de um mteil isotópico tnsvesl Supondo o plno de isotopi x x, encont-se υ υ (.9) υ υ (.)

52 8 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR e, ( υ υ ) ( υ υ ) υ υ ( ) ( ) υ υ υ υ (.) IV Relção constitutiv de um mteil isotópico Neste cso, temos: υ υ (.) υ υ (.) As componentes do tenso de coeficientes elásticos de igidez kl, p um mteil isotópico, são obtids invetendo-se mtiz B d equção (.) cim. xplicitmente, obtemos:

53 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR 9 ( υ ) ( υ ) υ υ ( ) ( ) υ υ (.) Poblem de stdo Plno de Defomção Define-se estdo plno de defomção como quele em que todos os componentes do tenso de defomções eltivos à um dieção, po exemplo x, foem nulos. Isto é, (.5) I Relção constitutiv de um mteil nisotópico Impondo condição (.5) è expessão (.5), obtém-se: (.6) A elção constitutiv do mteil nisotópico em defomção pln é: (.7)

54 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR (.8) As componentes do tenso de coeficientes elásticos de flexibilidde b kl, p um mteil nisotópico, é obtido invetendo-se mtiz A d equção (.7) cim. II Relção constitutiv de um mteil ototópico Neste cso, impondo condição (.5) à lei constitutiv (.9), podemos esceve: ( υυ ) ( υ υυ) ( υ υ υ ) ( υ υ ) (.9) ( υ υ υ ) ( υ υ υ ) (.5) sendo, υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ (.5) As componentes do tenso de coeficientes elásticos de flexibilidde b kl, p um mteil ototópico, é obtido invetendo-se mtiz A d equção (.9) cim.

55 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR III Relção constitutiv de um mteil isotópico tnsvesl Supondo o plno de isotopi x x e impondo condição (.5) à lei constitutiv bsed em (.6), pode-se esceve ( υ ) ( υ υ υ ) ( υ υ υ ) ( υ υ ) (.5) ( υ υ υ ) ( υ υ υ ) (.5) sendo, υ υ υ υ (.5) υ υ As componentes do tenso de coeficientes elásticos de flexibilidde b kl, p um mteil isotópico tnsvesl, é obtido invetendo-se mtiz A d equção (.5) cim. III Relção constitutiv de um mteil isotópico Neste cso, temos: ( υ) υ ( υ)( υ) ( υ)( υ) υ ( υ) ( )( ) ( )( ) υ υ υ υ (.55)

56 CAPÍTUO RAÇÃO CONSTITUTIVA M ASTICIDAD INAR ( )( ) ( )( ) υ υ υ υ υ υ (.56) n fom inves, temos: ( ) ( ) υ υ υ υ υ υ (.57)

57 CAPÍTUO QUAÇÕS INTRAIS DO PROBMA ÁSTICO BIDIMNSIONA "Fç s coiss o mis simples que você pude, poém não se estinj às mis simples." (Albet instein) QUAÇÕS INTRAIS DO PROBMA ÁSTICO BIDIMNSIONA Neste cpítulo seão deduzids s equções integis do poblem elástico pti do teoem d ecipocidde de Betti. O poblem se ttdo consiste em um meio elástico line, onde é plicd um foç unitái no ponto s, tmbém denomindo de ponto fonte (souce point), e mede-se o efeito dest cg unitái em outo ponto qulque q. O domínio do poblem se ttdo é infinito e, ssim como n litetu em gel, seá empegdo um steisco (*) p indic qundo se tt de viáveis ssocids o poblem fundmentl... Solução fundmentl de elvin A solução fundmentl de elvin epesent fisicmente o efeito de um cg unitái concentd tundo em um ponto do domínio infinito. Ptindo-se d equção de equilíbio (.) e substituindo pte efeente às foçs volumétics ( b k ) pel função Delt de Dic (Anexo C), obtém-se, b k ( q) δ( s,q) c ( s) (.) k

58 CAPÍTUO QUAÇÕS INTRAIS DO PROBMA ÁSTICO BIDIMNSIONA com c k (s) epesentndo o co-seno do ângulo ente foç plicd e o eixo x k. Posteiomente, utiliz-se do delt de onecke (Anexo B) p indic foç unitái tundo pens n dieção i. ntão, equção de equilíbio p o poblem fundmentl é escit como: * δ s,q) δ (.) ikj,j ( ik Substituindo n ei de Hooke (p o poblem fundmentl) elção defomção-deslocmento (.) e em seguid deivndo-se com espeito e substituindo-se o esultdo n equção (.), tem-se: x j * * ik,kj uik,jj u υ δ(s,q) δ (.) As soluções dest equção são chmds Soluções Fundmentis. m se ttndo ds soluções de elvin, que coespondem o espço infinito, um possível solução em deslocmento d equção (.) p o stdo Plno de Defomções (PD) é, u * ik [( υ)ln() δ ] (s,q) ik,i,k (.) 8π( υ) p poblems tidimensionis, encontmos: [( υ) δ ] * u ik (s,q) ik,i,k 6π( υ) (.5) P o stdo Plno de Tensões, s soluções fundmentis podem se obtids pti ds elções do stdo Plno de Defomções fzendo-se s seguintes tnsfomções: