RESOLUÇÃO DO PLANO DE ESTIVA INTEGRADO À PROGRAMAÇÃO DE GUINDASTES PORTUÁRIOS VIA REPRESENTAÇÃO POR REGRAS

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1 RESOLUÇÃO DO PLANO DE ESTIVA INTEGRADO À PROGRAMAÇÃO DE GUINDASTES PORTUÁRIOS VIA REPRESENTAÇÃO POR REGRAS Anibal Tavare de Aevedo UNICAMP Lui Leduino de Salle Neto UNIFESP Antônio Auguto Chave UNIFESP Antônio Carlo Moretti UNIFESP RESUMO A eficiência de um terminal portuário depende um planeamento apropriado da movimentação de contêinere, também chamado de plano de etiva. A partir do plano de etiva é poível etimar o tempo, e aim também o cuto, para realiar o proceo de carregamento e decarregamento de contêinere de um navio. Para tanto, ete artigo propõe uma nova abordagem para reolver o problema de planeamento de etiva 3D integrado ao problema de programação ou cheduling de guindate portuário. Ambo o problema ão NP-Hard e demanda grande número de variávei binária para repreentar uma olução em uma formulação inteira. A alternativa empregada nete trabalho é a aplicação uceiva da repreentação por regra para o problema de etiva e o programação de guindate portuário com um algoritmo genético. Soluçõe para problema de grande porte que demandam aproxidamente 44 milhõe de retriçõe e 42 milhõe de variávei ão obtida em meno de 5 minuto. PALAVARAS-CHAVE: Plano de etiva, Programação de Guindate Portuário, Repreentação por Regra, Algoritmo Genético.

2 . Introdução De acordo com (Guan et al. 203; Steenken et al. 2004), a operaçõe em um terminal portuário de contêinere podem er vida em cinco problema principai: () Alocação de berço: a aída dete problema é a programação de qual navio erá atendo em qual berço de modo que uma tância mínima de egurança ea repeitada entre doi navio, e doi navio não podem compartilhar o memo berço no memo período de tempo; (2) Plano de etiva: ete problema conite em determinar como organiar o contêinere em um navio de modo a minimiar o número de movimento de carregamento e decarregamento; (3) Deignação de Guindate no Cai: o tempo que o navio porta-contêiner leva para carregar ou decarregar depende da programação de guindate portuário alocado para cada eção do navio. O guindate não podem ultraapar un ao outro por terem eu movimento limitado a um trilho comum. Além o, uma tância de egurança entre ele também deve er obervada; (4) Tranporte do Cai: é neceário determinar que máquina erão empregada e quai erão ua traetória ligando o navio ao pátio do porto e vice-vera; (5) Tranporte do Pátio: A organiação de pilha no pátio do porto depende de como realiar operaçõe eficiente para empilhar e deempilhar o contêinere que ão traido ou levado por caminhõe e tren. Ete trabalho irá abordar a reolução conunta do problema (2) e (3). Para a reolução do problema (2) é neceário definir um plano de etiva que é fortemente relacionado com a etrutura epecial do navio porta-contêiner como dado na Figura. Figura : Etrutura de um navio porta-contêiner (Source: Wilon and Roach 2000). O pao eguinte ao plano de etiva, é a definição da programação de guindate portuário tal como dado na Figura 2.

3 Figura 2: Problema de programação de guindate portuário (Source: Lee et al. 2008). Para evidenciar a complexidade de realiar a otimiação conunta de tai problema, na literatura ão encontrada ou abordagen que tratam do problema de etiva (Ambroino et al., 2006 e 200; Avriel et al., 993, 998; Botter e Brinati, 99; Dubrovky et al., 2002; Fan et al., 200, Imai et al., 2006; Wilon e Roach, 2000) ou do problema de programação de guindate portuário (Guan et al., 203; Homayouni et al., 20; Javanhir e Gani, 200; Lee et al, 2008; Legato et al., 2008; Mak e Sun, 2009). A otimiação conunta dee doi problema é a contribuição original dete artigo. 2. Modelo Matemático O memo modelo adotado para o plano de etiva em (Aevedo et al. 202) erá empregado nete artigo de modo que apena a decrição do que a retriçõe repreentam erá apreentada aqui. A eguinte conideraçõe foram adotada: (a) O navio porta-contêiner poui um formato rectangular e pode er repreentado por uma matri com linha (r, 2,, R), coluna (c, 2,, C) e baia (d, 2,, D) totaliando uma capacidade máxima de R x C x D contêinere; (b) Todo o contêinere pouem o memo peo e tamanho; (c) Todo o navio começam a er carregado no porto e em nenhuma carga inicial; ( O navio viita o porto 2, 3,, N tal que o navio etará vaio no último porto, poi é coniderado que o memo realia uma rota circular onde o porto N, na verdade, repreenta o porto ; (e) Em cada porto i, 2,, N, o navio deve er carregado com contêinere cuo detino ão porto i+,, N. (f) O navio porta-contêinere pode empre carregar todo o contêinere ponívei em cada porto e ito não irá exceder ua capacidade máxima. A formulação matemática correpondente à retriçõe (a)-(f) etão decrita no modelo matemático dado pela Eq ()-(8).

4 f ( x) ( x) + 2( y) Min.a: R C D x i R C D iv ki v i+ r c d k r c d x T i () i,, N, i +, N; (2) N x kv k i+ v i+ y i i,, N, r, R; c, C; d, D (3) yi yi ( r +, 0 i,, N, r, R ; c, C; d, D (4) N x + N p ip ipv i p i p + v + x ( r +, i 2,, N, r, R ; c, C; d, D (5) x iv 0 ou ; y i 0 ou i, v,, N, r, R; (6) c, C; d, D onde: a variável binária x iv é definida de forma que aume o valor e exitir um contêiner no compartimento (r, que foi ocupado no porto i e tem como detino final o porto e movido no porto v; cao contrário aume valor ero. Por compartimento (r, entende-e a linha r, a coluna c e a baia d no compartimento de carga do navio. É neceário alientar que a numeração da linha é feita de baixo para cima, aim a linha de número 5 etá acima da linha de número 4, a numeração da coluna é feita da equerda para a reita e a profundade é iniciada da popa até a proa. Similarmente, a variável y i poui valor e aindo do porto i o compartimento (r, for ocupado por um contêiner; cao contrário aume valor 0. A retrição (2) é a retrição de conervação de fluxo, onde T i é o elemento da matri de tranporte que repreenta o número de contêinere que embarcam no porto i com detino ao porto. A retrição (3) garante que cada egmento de rota tem pelo meno um único contêiner. A retrição (4) é neceária para garantir que exitem contêinere embaixo do contêiner que ocupa o compartimento (r, c). A retrição (5) é reponável por definir a movimentação do contêinere: e um contêiner que ocupa a poição (r, é decarregado no porto então, ou não exitem contêinere acima dele, ou o ínce v do contêiner que ocupa o compartimento (r+, não é maior que. A função obetivo da Eq. () poui é uma compoição de doi ferente critério: o primeiro depende da movimentação do contêinere, ( x ), e o egundo depende poição ocupada pelo contêinere em cada porto, 2( y ). O doi critério podem er combinado atravé de valore ecalare fornecido para o peo e dentro de um modelo de otimiação bi-obetivo.

5 O termo ( x ) relativo ao cuto total de movimentação do contêinere (aumindo que a movimentação de um contêiner poui um cuto unitário e igual para todo o porto) em todo o porto é dado pela Eq. (7). N N R C D ( x) x iv i i+ v i+ r c d (7) O termo 2 ( y) é relativo à etabilidade do navio de acordo com a poição do contêinere (aumindo que cada contêiner poui um peo unitário e igual para todo o porto) em todo o porto no cenário e é dado pela Eq. (8). 2 ( y) N D D 2 ( xcm ) + ( cm ) i d d 2 (8) onde: cm cm R / 2, xcm xcm C / 2 e cm R C R C ( y ( r 0.5) ) y i r c r c i xcm C R R C ( y ( c 0.5) ) y i c r r c i Oberve na Eq. (8), que em cada cenário para e calcular a oma do devio xcm e cm entre a coordenada do centro de maa ( xcm d, cm d ) e a coordenada do centro geométrico (R/2,C/2) de cada baia d, é neceário calcular a coordenada do centro de maa xcm e cm, relativa repectivamente ao eixo da coluna c e linha r de cada baia d. Para a programação do guindate portuário o modelo decrito em (Lee et al. 2008) foi adotado e a eguinte conideraçõe foram realiada ob a forma de retriçõe e função obetivo: (a) Ao invé de e coniderar o navio vido em eçõe como em (Lee et al. 2008), foi coniderada cada baia do navio. Dea forma, é poível tranformar a informação de movimentação de contêinere fornecida pelo plano de etiva ob a forma do total de eforço neceário por baia; (b) Foi aumido que o eforço total equivale ao número de contêinere que devem er movido e que cada container demanda uma unidade de tempo para er carregado ou decarregado; (c) Cada baia no navio ó pode ter um único guindate em um dado período de tempo;

6 ( Uma ve que um guindate começou o erviço (carregamento ou decarregamento) em uma baia, o memo ó irá parar quando não houver mai erviço para realiar; (e) Quando um guindate troca ua operação de uma baia para outra, ele leva um tempo contante e igual a trê unidade de tempo para mover um contêiner; (f) Uma tância minima entre o guindate deve er obervada. Ito ignifica que, à vee, um guindate não pode er movido e não pode começar o eu erviço até que um egundo guindate termine o eu trabalho e mova-e para uma nova poição que garanta a tância mínima entre o guindate; (g) Um guindate não deve ultrapaar outro, poi ele compartilham o memo trilho; (h) Todo o guindate pouem a mema e contant taxa de erviço de movimentação de uma unidade de trabalho por unidade de tempo. O modelo matemático em termo de programação linear com variávei binária para o problema de programação de Guindate Portuário propoto por (Lee et al. 2008) é dado pela Eq. (9)-(2). Min (9) tx t,,...,s; t,..., T (0) w t Mx t 0,,...,S; t,..., T () t, t w t y w t,,...,s; t 2,..., T (2) t, t + t, t + t, t + + b,,...,s; t (3) t, t t, t t, t t, t + t, t + t, t +, +, + 0,,...,S; t 2,..., T- (4) t, t t, t t, t t, t +, +, +,...,S; t T (5) S S t T + (6) t, t b,, t, t t, t t, t, +, t, t t, t, t, t t, t 0 t, t t, t + + x t y,...,s; t 2,..., T (7),...,S; t 2,..., T (8) y,...,s; t 2,..., T (9) y,...,s; t 2,..., T- (20) t, t + t, t + w t 0 with w W, x t, y, ' [ 0,]., ',...,S; t,..., T- (2) Onde: M é um valor grande, t é o ínce relativo ao período de tempo, T é o horionte de tempo que pode er qualquer valor maior que o Makepan é uma ponderação acerca da carga de trabalho em uma dada eção no período t, b e um guindate etá originalmente localiado na eção e 0 cao contrário, W é a carga inicial de trabalho na eção. Para o modelo dado pela Eq (9)-(2) a eguinte variávei de decião foram coniderada: (i) Uma variável binária x t tem valor, e ainda exitir carga de trabalho na baia no início do período t e 0, cao contrário; (ii) A variável inteira w t repreenta a carga de trabalho remanecente na baia no início do período de tempo t;

7 t, t+ (iii) A variável inteira repreenta o número de guindate que e movem da baia para a ' baia durante o período de tempo t; t, t+ (iv) A variável inteira y repreenta o número de guindate na baia durante o período de tempo t. A função obetivo conite na minimiação do tempo neceário para terminar o erviço no navio, incluindo movimento de carregamento e decarregamento, e mudança de poição do guindate. Aim, a função obetivo é a minimiação do makepan. A retrição (0) determina que o tempo de término da última unidade de trabalho, i.e., o makepan. A retrição () etabelece a exitência ou não da carga de trabalho retante na eção no tempo t. A retrição (2) repreenta o balanceamento do fluxo de carga de trabalho da eguinte forma: para cada eção exite uma carga inicial de trabalho w W. Para cada período de tempo ecolhido, a carga de trabalho remanecente erá reduida em unidade ante de atingir ero, e houver um guindate portuário operando durante o período de tempo elecionado. A retriçõe (3) até (6) ão relativa a conervação do fluxo de guindate. A retrição (7) inca que para cada unidade de tempo, cada eção pode comportar no máximo um único guindate. A retrição (8) inca que um guindate não pode cruar outro. A retrição (9) inca que o guindate que um guindate pode permanecer inativo em uma eção durante um período t. Finalmente, a retrição (20) repreenta retriçõe de não-preempção, ito é, um guindate não pode começar uma nova tarefa até que a tarefa atual para qual foi alocado etea terminada. Deve er detacado que o modelo matemático ão apreentado para ilutrar a complexidade e o modo com o doi problema podem er acoplado. Nete entido, pela primeira ve na literatura, o doi modelo decrito anteriormente foram acoplado ao e utiliar baia ao invé de eçõe no problema do guindate. Dea forma, foi poível empregar a obervação de que o reultado do problema de etiva (P), o número de movimento por baia, pode er tranformado na entrada do problema de operação de guindate (O), o eforço total por baia, tal como dado na Fig. 3. Figura 3: Acoplando o plano de etiva (P) com a operação de guindate (O). É importante obervar que ao realiar o acoplamento entre o plano de etiva (P) e a operação de guindate (O), a reolução do problema (P) dependerá, em cada porto, da reolução do problema de guindate (O). Aim, uma intância que conidere um problema conunto de (P) e (O) com um horionte de 30 porto deverá reolver não ó o problema (P) dado pela Eq. ()- (8), ma, também, 60 ub-problema (O) dado pela Eq. (9)-(2). Ito e deve ao fato de que, no problema conunto, a operaçõe de carregamento e decarregamento em cada porto devem er realiada atravé da programação e operação de guindate portuário.

8 3. Método de Solução Como demontrado em (Avriel e Penn 2000), o modelo matemático com variávei binária para o problema de etiva (P) não é adequado para problema de grande porte. Cao a repreentação por variávei binária ea empregada, memo com a adoção de meta-heurítica, o número de variávei a erem empregada crece de forma proibitiva. No artigo (Aevedo et al. 202, 204), ao invé de empregar uma meta-heurítica que ua variávei binária, é empregada uma repreentação alternativa na reolução do problema de etiva (P) atravé integrada do doi problema atravé da repreentação por regra. Nete artigo, além de empregar a repreentação por regra, pela primeira ve, também para o problema de operação de guindate (O), eta foram combinada à regra do problema de etiva (P) para permitir a reolução integrada de ambo o problema. A combinação entre a regra para carregamento e decarregamento de navio decrita em (Aevedo et al. 202, 204) com quatro regra de operaçõe de guindate tal como dado na Tabela. RG Q RC C C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 RD D D2 D D2 D D2 D D2 D D2 D D2 D D2 D D2 R Tabela : Regra produida pela combinação da regra de carregamento, decarregamento e movimentação de guindate portuário. Na Tabela, RG repreentam a regra de alocação de guindate, RC a regra de carregamento, RD a regra de decarregamento e R a regra finai que ão combinaçõe da demai. A Tabela motra apena a primeira 6 combinaçõe da 64 poívei de regra finai, poi foram utiliada 4 regra de programação de guindate. A Fig. 4 ilutra o pao-a-pao do funcionamento de uma da regra de operação de doi guindate portuário. (A) Programação inicial de doi guindate. (B) Manter tância mínima de egurança. (C) Movimento incroniada entre o doi guindate. (D)A regra de movimentação é tal que repeita a retrição de tância mínima de egurança.

9 (E) Fim de erviço no guindate 2, ma não no. (F) Tempo total é a operação do doi guindate. Figura 4: Decrição detalhada do funcionamento da regra de operação de doi guindate portuário. Apear do uo da repreentação por regra reduir conideravelmente a complexidade do problema a er reolvido, a decião de qual regra, da que etão decrita natabela, deve er aplicada em cada porto reulta em um problema combinatório. Para um problema que conidera um horionte de 30 porto, exitem 64 30, ou ea, aproximadamente,54 x 0 54, poívei oluçõe. Aim, emprega-e um algoritmo genético para reolver o problema combinatório reultante. A etrutura do algoritmo genético empregado nete trabalho é imilar a decrita em (Aevedo et al., 204), com a única ferença em relação à coficação que mapeia a oluçõe e o invíduo da população. Uma repreentação compacta da olução pode er realiada atravé de um vetor S cuo elemento [] de valor igual a k inca qual regra (daquela fornecida na Tabela ) foi utiliada para o porto tal como dado na Figura 3. Então, no exemplo da Figura 5, tem-e que no porto, foi utiliada a regra 4, no porto 2 a regra 3 e aim uceivamente. P 4 P2 3 P3 2 Figura 5: Coficação do algoritmo genético para relacionar invíduo e oluçõe. A ferença entre a coficação apreentada em (Aevedo et al., 204) e a dete artigo é que agora a regra não ó definem a poição do contêinere no navio, ma, também, como deverá er realiada a operação do guindate portuário, tal como ilutrado na Figura Reultado Computacionai Foram obtido reultado para intância com até cerca de 44 milhõe de retriçõe e 42 milhõe de variávei binária utiliando um programa criado em Matlab 7.0, e uma máquina com um proceador.66 GH Core Duo Intel Proceor, memória RAM memory de 2 GB e itema operacional Window Vita Operational Sytem com Service Pack 2.Dua funçõe obetivo foram tetada: uma que buca minimiar o tempo total de operação (Fig. 6) e outra que buca minimiar a intabilidade do arrano do contêinere no navio (Fig. 7) para uma intância que conidera a movimentação de carga para um número de porto igual a 30. Sem perda de generalidade foi upoto que o tempo de delocamento do guindate de uma baia para outra e o tempo de movimentação de uma carga ea para carga ou decarga no navio ão iguai. Também foi upoto que o peo e a menõe de todo o contêinere ão iguai. Além o, tanto o problema de etiva (Fig. 6(A), (C); Fig. 7(A), (C)) quanto o problema de alocação de guindate (Fig. 6(B), (D); Fig. 7(B), (D)) foram reolvido de forma integrada, ito é, a reolução do problema de etiva (P) oberva o impacto da aplicação da regra em termo do problema de alocação de guindate (O). A oluçõe motrada na Figura 6 e 7 correpondem ao melhore valore de função obetivo obtido para a minimiação do número de movimento e a minimiação da intabilidade da baia do navio, repectivamente.

10 (A) Minimiando movimento. (B) Operação reultante de (A) no porto 2. (C) Minimiando movimento. (D) Operação reultante de (C) no porto 3. Figura 6: Solução em termo plano de etiva e operação de guindate para ( )(, 0) na Eq. () de modo a minimiar o número de movimento. (A) Minimiando intabilidade. (B) Operação reultante de (C) no porto. (C) Minimiando intabilidade. (D) Operação reultante de (C) no porto. Figura 7: Solução em termo plano de etiva e operação de guindate para ( )(0, ) na Eq. () de modo a minimiar a intabilidade. Para o problema com maior número de porto, ito é trinta, foi poível reolver o problema de modo a obter oluçõe factívei, bem como melhorar ua qualidade, em meno de 5 minuto, memo que o problema reultante tenha menão de 44 milhõe de retriçõe e 42 milhõe de variávei apena para o problema de etiva.

11 5. Concluõe e perpectiva futura Nete trabalho, foi apreentado pela primeira ve, a reolução conunta do problema de etiva e de alocação de guindate, ito é, determinar o arrano do contêinere em um navio, ma de modo a obervar o correpondente impacto em termo de tempo de operação do guindate. Para tanto, a repreentação por regra foi extenda para er aplicada não ó no problema do plano de etiva, ma também para determinar a programação de guindate em um terminal portuário de contêinere. A metodologia propota coneguiu obter oluçõe para problema cuo modelo matemático correpondente poui cerca de 44 milhõe de retriçõe e 42 milhõe de variávei em meno de 5 minuto. Diante da velocidade computacional para obter oluçõe factívei e de boa qualidade para problema complexo integrado, uma perpectiva futura é ampliar a utiliação da repreentação por regra de modo a incluir outra operaçõe portuária tai como a movimentação de contêinere no pátio do porto, bem como coniderar ferente tipo de contêinere em termo de peo, menõe e conteúdo (carga tóxica, refrigerada, dentre outro). Agradecimento à FAPESP pelo apoio financeiro atravé do proceo 200/ e 204/ Referência Ambroino, D., Schiomachen, A., Tanfani, E., (2006). A decompoition heuritic for the container hip towage problem, Journal of Heuritic 2, pp Ambroino, D., Anghinolfi, D., Paolucci, M., Sciomachen, A. (200). An Experimental Comparion of Different Heuritic for the Mater Bay Plan Problem, Lecture Note in Computer Science 6049, pp Avriel, M., Penn, M., (993). Container hip towage problem, Computer and Indutrial Engineering, 5, pp Avriel, M., Penn, M., Shpirer, N., Wittenboon, S. (998). Stowage planning for container hip to reduce the number of hift, Annal of Operation Reearch 76, pp Avriel, M., Penn, M., Shpirer, N. (2000). Container hip towage problem: complexity and connection to the coloring of circle graph, Dicrete Applied Mathematic 03, pp Aevedo, A., Ribeiro, C., Sena, G., Chave, A., Salle, L., Moretti, A. (202). Solving the 3D Container Ship Loang Planning Problem by Repreentation by Rule and Beam Search, in ICORES 2, pp Aevedo, A., Ribeiro, C., Sena, G., Chave, A., Salle, L., Moretti, A. (204). Solving the 3D Container Ship Loang Planning Problem by Repreentation by Rule and Meta-heuriti International Journal of Data Analyi Technique and Strategie Special iue on: 'Optimiation and Simulation Real-life Scenario', Vol. 6, no. 3, pp Botter, R., Brinati, M., (99). Stowage Container Planning: a model for get-ting optimal olution. In: International Conference of Computer Application in the Automation of Shipyard Operation and Ship Deign, Rio de Janeiro, pp Dubrovky, O.; Levitin, G., Penn, M. (2002). A Genetic Algorithm with a Compact Solution Encong for the Containerhip Stowage Problem, Journal of Heuritic 8, pp Fan, L., Low, M., Ying, H., Jing, H., Min, Z., Aye, W. (200). Stowage Planning of Large Containerhip with tradeoff between Crane Workload Balance and Ship Stability, Proceeng of the International MultiConference of Engineer and Computer Scientit III, pp. -7. Guan, Y., Yang, K-H., Zhou, Z. (203). The Crane Scheduling: model and olution approache, Annal of Operation Reearch 203, p

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