Seleção de Pontos de Superfícies B-Splines para Manipulação Direta em Modelagem

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1 Seleção de Poto de Supefíe B-Sple p Mpulção Det em Modelgem Ledo MV Cuz, luo d Letu em Mtemát, lemo@popomb Lu A Rve Eb, oetdo, ve@uefb Lu H Gullemo Felpe, oetdo, gullem@uefb Lbotóo de Cê Mtemát -LCMAT Uvedde Etdul do Note Flumee Dy Rbeo UENF Reumo Ete tblho peet peto elodo à modelgem e mpulção de upefíe B-ple úb e peód, de fom pemt mpulção det de egmeto de upefíe p obte modelo teete de objeto P o, é eeáo detet o poto eleodo o egmeto e defomdo tdo o poto om o moue Como pme ção, detet-e o egmeto d upefíe ode pot do moue etá potdo Depo, omputm-e o pâmeto do poto eleodo upefíe P l e o poto petee um detemdo egmeto otuímo um x oetd evolvedo o egmeto Se o poto etá deto d x, etão lulmo o pâmeto do poto obe upefíe udo o modelo de Newto; ltetvmete, p poxm poção do poto, umo ptção quteá do epço do domío Ete modelo e peetm omo femet p modelgem de objeto e, potto omplexo, e defomçõe lo upefíe dete objeto Itodução Epef um objeto gáfo gf def geomet e topolog do upote geométo, e tmbém u fução de tbuto É eeáo elz epeetção de tl objeto p que ele po e mpuldo o omputdo A áe que tt d deção, d epefção e d epeetção do upote geométo é modelgem geomét Ete tblho toduz lgu oeto báo p modelgem de objeto gáfo Pozou-e modelgem de uv e upefíe Há dveo método de e model um objeto gáfo Podemo t omo mpotte método em modelgem geomét epeetção de um objeto em Wefme, ou ej, um mlh de egmeto que o epeete Um outo método é epeetção CSG, que utlz, bmete, pmtv geomét, tfomçõe do epço e opeçõe boole Além dee do método tdo há dveo outo peetdo em [] Nete tblho utlzmo uv e upefíe B-Sple úb e peód p model um objeto gáfo Vle elt que dd um upefíe B-Sple lgu egmeto det upefíe podem e defomdo, ltedo poção de um poto qulque dee egmeto tvé do moue P o é eeáo detetmo expltmete o poto obe upefíe que etá edo ldo pelo uo do moue, p e mpuldo Com ete popóto emo um modelo p deteção do egmeto eleodo, e depo umo do modelo p lul o pâmeto do poto eleodo upefíe Tblho emelhte deevolvdo p mpulção de uv B-Sple podem e eotdo em [, ] Cuv e Supefíe B-Sple A uv Sple ão um vção d uv de Beze A uv de Beze pouem um poblem gve p e tblhd modelgem geomét, ete ele: O gu d uv depede do úmeo de poto de otole, potto e o úmeo de poto de otole fo gde o uto geção d uv eá lto; flt de otole lol d uv, lteção em um do poto fet tod uv T poblem ão otodo om o uo d uv ple N uv ple o poto de otole pouem efeto lol Há dveo tpo de uv e upefíe Sple, vmo o oet B- ple úb e peód Um peto teete em elção à uv e à upefíe B-Sple é

2 popedde d vâ fm Ito é: e T é um tfomção fm do epço, B,,B poto de otole e P(t epetv uv B-Sple, etão T ( P( t PT ( t, ode PT ( t é uv de B-Sple od o poto T(B,,T(B Tl popedde, m omo lgum out, ão peetd em [4] Et é um teít extemmete útl, vto que to pemte que hj otuçõe geomét om uv B-Sple em um tem de ooded m oveete e depo tfomá-lo o tem deejdo E popedde e etede tmbém o o d upefíe B-Sple N uv, o polígoo que pou omo véte o poto de otole de um egmeto det uv é deomdo de polígoo de otole N upefíe o poto de otole podem e odedo omo véte de um óldo ovexo O objeto Gáfo B-Sple ão obtdo tvé de um elção ete o poto de otole e um Fução Be A fução Be B-Sple, N ( t, tmbém ohed omo fução teít, de odem e gu -, é dd po:, e x t x N ( t, o otáo e p > temo que: ( t x N ( t ( x t N ( t N ( t x x x x O vloe de x ão ohedo omo ó Ete ó etão ogzdo em um veto X deomdo de veto de ó Um popedde elevte é que x x e [ x, x é um tevlo do domío Qudo e otó um uv qulque bed e fuçõe o úmeo de ó depede do úmeo de poto de otole d uv e d odem d fução be Po o p um uv om poto de otole o veto de ó de um tevlo beto (deodedo o ó do extemo d uv e de um fução be de odem, tem + elemeto X [ x, x,, x ] Qudo o elemeto dete veto têm omo popedde que ó oeutvo tem dtâ otte deom-e Sple omo ufome, ou peód, o otáo, ão ufome Tblhemo om B-Sple úb e peód, ou ej, quel que odem d fução be é gul quto, e potto o de gu, edo que p d be domío [ x, x 4 N 4 ( t, há quto tevlo do Cuv B-Sple Re-pmetzd A fuçõe be tepold lemete, om o poto de otole B defem uv B-Sple f(t de gu - Det fom d fução be é od um poto de otole Potto teemo quto poto de otole que fetão omete um poção lmtd d uv o tevlo do domío[ x, x 4 Tedo fuçõe be defd e bedo d eedde de quto poto de otole p e ge um eção de um uv B-Sple de odem quto podemo def fução pmét que detem uv ged pelo poto de otole omo: 4 ( ( f t B N t om f(t de gu - em d tevlo do domío x t x Em elção B-Sple úb teemo quto poto de otole p d eção d uv Cd um dete quto poto de otole tem u tefeê poded pel fuçõe be Um efoque páto, que pemte elz o álulo d ooded do poto d uv, é epeetção mtl d be Chmemo Ñ (t mtz que epeet fuçõe be eltv o poto do egmeto d uv detemd pelo poto de otole Tl mtz é obtd d egute fom: Ñ ( t t t (! om t O elemeto de ão teo obtdo pel fómul de Cohe e Reefeld peetd em [4] No o do B-ple úbo, ou ej, uv em que odem d fução é 4, temo que: Det fom p obte poto de um uv B- Sple f(t temo que: f ( t Ñ B 4 6

3 om t e edo B o veto do poto de otole Abxo (Fgu um exemplo de um eção de um uv B-Sple Cúb e peód Fgu : Supefíe B-ple Cúb e Peód Fgu : Segmeto de uv B-ple Supefíe B-Sple P o o d geção de um upefíe B-Sple Peód o poeo é álogo A fuçõe que detemm o poto d upefíe depedem de do pâmeto (, e depedem de du fuçõe be Ñ 4 ( e Ñ 4 ( p eem ged A obteção det be é mem td p o o d uv Gç ete fto uge out dfeeç mpotte qutdde de poto de otole udo p detem um egmeto de um egmeto de um Supefíe B-Sple Ago ão eeáo dezee (4 x 4 poto de otole e ão pe quto, omo e p uv A fução que ge um egmeto de um upefíe B- Sple Cúb e Peód é: ode m Q(, P, j j 4 4, j N ( N ( P, é mtz de poto de otole Um Supefíe B-Sple Peód pou mem popedde de um uv B-Sple Potto upefíe etá otd o óldo ovexo gedo pelo poto de otole, o poto de otole têm tefeê lol, et A ooded do poto de um upefíe B-Sple tmbém podem e obtd tvé de um multplção mtl dd pel equção: 4 4 T Q (, N ( P ( N ( Abxo (Fgu um exemplo de um de um upefíe B-Sple Cúb e Peód Detemção de um Poto Sobe Supefíe Um otbução elevte peetd ete tblho e efee o fto de eohee e ddo um poto qulque, ete petee ou ão upefíe P ete popóto podemo ode tmbém o poto que ão etejm extmete obe upefíe, m muto póxmo el, omo fzedo pte det Pmemete pemo detem à qul óldo ovexo P petee A pt dí podemo detem em qul pth P upotmete etá Obvmete e P ão petee ehum óldo ovexo dete objeto ele ão petee à upefíe Um outo tete, m oftdo, p detem e P petee ou ão upefíe é vef e ele etá otdo Cx Oetd Evolvete do Pth Et x é o plelepípedo de meo volume que otém tl pth Potto é fál de vef e um poto etá otdo o plelepípedo ou ão Se o poto etve otdo x, etão o egmeto de upefíe é um ddto ote o poto eleodo Apó detem o Pth, ou egmeto de upefíe, que povelmete otém o poto, podemo omput o pâmeto do poto P obe o egmeto de upefíe detemdo P ee poeo, bodmo do método: o pmeo bedo o método tetvo de Newto e o egudo método de ptção bedo em beção Cx oetd evolvete Um x evolvete dptd um egmeto de upefíe S pode e detemd, pt d upefíe do egmeto, em tê etp: detemção do efeel álulo d dmeõe defção d x

4 N detemção do efeel defmo o exo pp e, e e e que defem oetção d x, um plelepípedo que evolve upefíe N etp de álulo de dmeõe, omputmo dmeõe e d x pojetdo o egmeto de upefíe S obe d exo ppl Ete plelepípedo, po otução, é o de meo volume que otém ete egmeto d upefíe Flmete, tedo o exo, e dmeõe, e defção d x, fxmo o véte e etóde d x A Fgu mot um egmeto de upefíe evolvdo po um x oetd e, e e e, o qu defem um ovo efeel ( x, y, z om ogem o etóde Cálulo d dmeõe: Se ( x, y, z ão ooded de P o ovo efeel, etão dmeõe do plelepípedo ão, b e ; ode:, b b mx x, e b mx y e b mx z e b e ; edo: m x logmete m y ; e po ultmo m z Defção d x: A x oetd evolvete é o plelepípedo que otém upefíe, ou ej: ( x, y, z / b Sej (, S (, um pmetzção d upefíe em etudo, e tmbém { I / l b} e { J / d} ptçõe do tevlo I = [, b] e J = [, d], epetvmete O ojuto mgem S ( d mlh S (, j é fomd po = l x poto P {P, P,P } S ( P upefíe Se e ( x, y, z, etão mtz de ovâ COV AT A é obtdo egudo mtz: x x y y z z ; A x x y y z z ode (x, y, z ( x, y, z é z Deteção do Poto Supefíe Fgu : Cx oetd evolvedo um egmeto de upefíe S:I J x y b o etóde de P Detemção do efeel: A mtz mét COV detem uto-vetoe otoom Já bedo que um poto petee à upefíe, ou é odedo omo pte del, vto que etá muto póxmo, é eeáo deob o pâmeto que o gem Ou ej, e P = (x, y, z é de fto um poto extmete obe upefíe S(,, etão extem pâmeto p e p tl que P S ( p, p Pelo fto de que P pode ão et extmete obe upefíe S é eeáo fze um poxmção pojetdo o poto P obe upefíe S O pâmeto p e p eão detemdo po meo de teçõe, vldo em d um del à dtâ ete o poto P e o poto S(,, ode S (, e poxm de P O vloe de e ão obtdo em d teção, vto que devem oveg p o pâmeto p e p, ode à dtâ de P à S(p, p é mím Tet-e d teção e à dtâ ete o poto P e o poto S(, é meo que um vlo de toleâ Ete fto ooe qudo P fo pepedul Supefíe S o poto S(, No mometo em que ete fto ooe p e p umem o vloe de e epetvmete P obte-e pepeduldde peetmo do método O pmeo é bedo o Método Itetvo de Newto, ode pemo obte o zeo de um fução de du váve A pme vável é o poduto teo ete o veto d devd pl d fução S em elção à o poto S(, om o veto (P - S(,, logmete egud é o poduto teo ete o veto d devd pl d

5 fução S o poto S(, em elção à om o memo veto O egudo Método ote em dvd o domío em quto qudte e deob qul dele pouá melho pojeção do poto P Et dvão em qudte é fet uevmete té eot pâmeto que ejm zoáve p epeet P upefíe S O Modelo de tete de Petê de um Poto um Supefíe V Método Itetvo de Newto é um ltetv, poém ete método em empe ovege o eolh do pâmeto ão ej dequd O Modelo de tete de Petê de um Poto um Supefíe V Subdvão Quteá é um método que empe á oveg, o teh ovegê, po é bedo o pípo d beção (ptção bá em o de egmeto de et Como p o o d upefíe o domío é um egmeto de um plo etão é elzd um ptção quteá em pe u o método tetvo de Newto Tete de petê de um poto um upefíe v método tetvo de Newto P que P ej pepedul o plo tgete S(, o veto (P - S(, deve e pepedul o vetoe d devd p d fução em elção e multemete Vle lemb que qudo do vetoe ão pepedule etão o poduto teo ete ele vle zeo [5] Sej S(, d,( P S (, e S(, d,( P S (,, buemo eot um zeo p fução d(d, d P o utlzemo o método tetvo de Newto Como ete é um método uméo emo detem o pâmeto, de fom que d e d ej meo que um toleâ dd Sbedo que dd um fução f(x om pe um vável el pode e obte um poxmção do zeo det fução utlzdo o Método Itetvo de Newto [6] P to: x x f ( x f ( x pó detem um vlo p x em d teção vef e f(x <, o to oo podemo dze que x é o zeo de f Em oo o queemo be o zeo d fução d(d, d Et é um fução de du váve, dfeete d peetd m, poém fómul é emelhte: d d d(, d d d(, A d teção tet-e o pâmeto e d fuçõe d e d e vef e d (, e d (, multemete Qudo o ooe dz-e que S(, é pojeção de P upefíe S O método de Newto eve p h pojeção do poto P obe upefíe S Ateomete tommo omo hpótee que P e um poto odedo omo pte d upefíe, ou ej, bem póxmo Ddo um poto P qulque pó eohee u pojeção obe upefíe pelo método de Newto, deve-e lul dtâ ete P e S(, e vef e et dtâ é meo que um toleâ dd Co Io oo podemo fm que P petee à upefíe Tete de petê de um poto um upefíe v ubdvão Quteá Alogmete o poeo de eohemeto e o poto petee à upefíe v o Método Itetvo de Newto ete oo poeo tmbém pemo detem o vlo do pâmeto p e p tl que S(, ej pojeção do poto P obe p p upefíe Utlzemo, emelhte Newto, um Método tetvo p detem pojeção de P em S P = tem-e que = ( m + mx / e = ( m + mx / Nete mometo lul-e o veto u oml e utáo à S(, ode u = N / N edo S(, S(, N e pojeção de P obe et detemd po u Et pojeção é dd po PR P S(,, u u Se dtâ de P à PR fo meo do que um toleâ etão e podem e odedo o pâmeto d pojeção de P o plo tgete upefíe S o poto S(, Et pojeção, omo motd Fgu 4, é dd po: Poj P ( P S(, PR

6 PR Fgu 4: Pojeção de um veto obe um plo Ete plo tgete é obtdo pelo vetoe S(, S(, v e v ode v e v ão tgete upefíe S o poto S(, O poblem l é deob o pâmeto p e p tl que S( p, p ej melho pojeção do poto P upefíe S O pmeo pâmeto e om = eem odedo ão: m mx m mx e Co ete p ão ej tftóo ubdvdemo o domío em quto qudte tedo omo ogem (, Devemo deob em qul qudte podemo obte melho pojeção do poto P Sedo, tto upefíe S, omo o plo, mge dete domío tdo, podemo dvd-lo tmbém em quto qudte, bedo mem dvão fet o domío Am, o egu que pojeção de P o Plo etá o memo qudte que upefíe S, po o pâmeto d pojeção de P o plo eão o pâmeto dotdo p obte pojeção de P em S A ooded de um poto A ( x, y, z do plo ão obtdo eolvedo o egute tem le: A P v b v u III IIII II IIV O de e de b detemm o qudte do domío em que pojeção do poto A e lolz: Se > e b > => A I Se < e b > => A II Se < e b < => A III Se > e b < => A IV Ode I, II, III e IV ão o qudte do plo, em too de P, tl omo mot egu fgu 5: Fgu 5: Dvão do domío em qudte P Poj P A quetão umé qu é: h pâmeto ode e b Equto et odção ão fo tfet, poedemo m: A I => e A II => A III => A IV => e e e Qudo e b etão emet-e omete o pâmeto Alogmete p > e b < emet-e omete Qudo < e b < multemete p e p umem o vloe de e epetvmete e etão podemo dze que pojeção de P upefíe S é S( p, p O últmo tete p fm e P petee ou ão à upefíe S é vef e P - S(, < Nete o ode-e P um poto d upefíe S Reultdo Nete tblho etmo pozdo deteção do poto upefíe No o d mpulção é eeáo lev em odeção outo peto que ão fom d levtdo Po o ete pode e um tem de um outo tblho De fto, o teee qu é detet o pâmeto que gem o poto P eleodo upefíe S A fgu 6 mot o pth de um poto d upefíe: Fgu 6: Supefíe B-Sple om um poto eleodo (vemelho e eu epetvo Pth (vede

7 4 Coluão Nete tblho fom boddo peto mtemáto e omputo elodo à modelgem geomét Optmo o tblh om modelgem geomét utlz uv e upefíe B-Sple Cúb e Peód Et opção ooeu pelo fto dete objeto e um ple e pou um lgotmo (de Boo obuto e mple p omput o eu poto A popedde de defomção lol tmbém fo extemmete elevte eolh dete objeto E gç ete últmo fto ete é um objeto que pou gde pdde de e mpuldo Motmo ete tblho que o modelo mtl p geção de uv e upefíe B-Sple é o melho, po pou um uto omputol zovelmete bxo e em u mplemetção pemo omete efetu um poduto de mtze Ete modelo mtl é poível gç à teít que uv e upefíe B-Sple o poto de otole tem efeto lol A dtbução do poto de otole detem fom do objeto N modelgem ete poto ão poodo, medte mpulçõe det de um pth, ddo m um fom omplex ete objeto Apeetmo pobldde de modf um upefíe B-Sple em et eemete delodo o poto de otole Pode-e eleo om o moue um poto d upefíe e movê-lo P ete popóto peetmo do modelo que detemm e o poto eleodo petee à upefíe e, lém do, o peteç, detem o pâmeto que o ge Am bemo qu ão o poto de otole que detemm o egmeto d upefíe e pode-e mpul omete ete egmeto O método de Modelgem e Mpulção de objeto peetdo ete tblho vm à pdde de mpulmo objeto oeto do mudo el, depedete d omplexdde de u fom 5 Agdemeto Gotímo de gdee o Lbotóo de Cê Mtemát d Uvedde Etdul do Note Flumee que foeeu todo o upote téo p que tl tblho pudee e elzdo Agdeemo tmbém o CNPq que foee um bol o luo Ledo Moe Vlle Cuz 6 Refeê [] VELHO, L; GOMES, J Fudmeto d Computção Gáf, [] RIVERA, LA; CARVALHO, PC; VELHO, L Itetve Mpulto of Multeoluto Cuve, I Poeedg of d Compute Gph d Imgg IASTED, 999 [] RIVERA, LA; CARVALHO, PC; VELHO, L Modelgem e Mpulção de Objeto de Geomet Complex, Tehl Repot MCC6/99, 999 [4] ROGERS, D; ADAMS, A, Mthemtl Elemet fo Compute Gph, 998 [5] LIMA, E L, Álgeb Le, 98 [6] RUGGIERO, M G; LOPES, V Cálulo Numéo, Apeto teóo e omputo, 996