Eletromagnetismo I Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss

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1 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu A e de Gu: P copeedeo e de Gu, peco etede o gfcdo de fluo elétco. A e de Gu etá cetld o que cho hpotetcete de upefíce gu. Et upefíce pode e fod co fo que queo, poé é dequd quel que peet ded et que o poble e peet. Po eeplo, u cg potul pou lh de foç dtbuíd efecete; etão upefíce gu dequd é u eféc. Fluo: efo coo fluo de u eto té de u upefíce de áe A o poduto: Ψ. A Acoθ Ou ej, e peg copoete plel do eto o eto ol à upefíce A e ultplc-e pel áe A. P defo o fluo de u cpo elétco, codeo u áe A que epeet u upefíce gu, edo ted pel lh de cpo elétco. efo po: ψ Ou d E d ε E ε (P o epço le. Fgu Fluo té de u upefíce Gu. O cículo tegção epeet que tegl dee e fet obe upefíce gu fechd. A e de Gu elco o fluo do cpo elétco po u upefíce fechd co u dtbução de cg que etão eold po e upefíce: q E. da ε Note que cg q é o de tod cg, pot e egt, teoe à upefíce gu. A e de Gu pete po u potte teoe obe codutoe oldo: e u eceo de cg é colocdo e u coduto oldo, cg á e oe teete obe upefíce do coduto, ehu cg á e ecot o teo do copo de u coduto. Teoe d egêc (Teoe Gu: ej F F (,, F (,, F (,, ej u upefíce cotd u egão B, qul ded pc de F, F e F ão cotíu e u egão ltd po B. e é u eto ol eteo à, etão: F d ou F d Fd Fd Aplcdo o Teoe de Gu: d d oo, d e de Gu: ψ d E p u dtbução oluétc de cg: d Obee que: d d d Eeplo - po elétco de u cg putfoe: Ige u upefíce eféc que eglobe u cg potul q. Etão: q q E d E. ε E ε ε

2 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu Fgu upefíce Gu eféc p clcul o cpo elétco de u cg putfoe. Fgu upefíce Gu clídc eoledo o fo co dedde de cg le.λ. Eeplo - po de u coduto plo fto de dedde de cg upefcl : E d ε E E ε ε Fgu upefíce Gu clídc p o cálculo do cpo de u plo cegdo. Ecolhedo u upefíce gu clídc, cg q etá upefíce do coduto: Note que o cpo elétco pou etdo degete. Etão, plcdo e de Gu: q E d E A ( E.( A. ε E ε Eeplo - po elétco de u fo fto de dedde de cg le. Nee co, upefíce gu dequd é u cldo de o qulque: Eeplo - Efe coduto de o R cegd co cg elétc upefíce: No eu teo o cpo é ulo; p > R podeo g que upefíce eféc gu eglob u cg elétc putfoe : Fgu upefíce Gu eféc eoledo u cc eféc de o R, e < R E ε e R Eeplo - tbução eféc de o R de cg elétc co dedde oluétc : eeo g du upefíce gu, de o > R e < R:

3 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu q e < R EdA. E. / ε E ε ε q R e > R EdA. ε E. ε E ε R Fgu upefíce Gu eféc eoledo u dtbução oluétc de cg de o > R ( e < R (b: (b Plo cegdo. (c Plo cegdo de u ldo. Fgu 7 upefíce Gu p dfeete tuçõe: ( Fo.

4 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu (d pcto de plc plel co dedde gu e dfeete plc. e d d ψ θ θ [ co ] [ ] ψ θ ψ [ co ( co ][ ] ψ µ 7,µ 8 8 (b upefíce fechd defd po c e ± c. ψ d d d d T T T T Eeplo (e. Ht pg. d u cg potul de µ, locld oge, detee o fluo elétco totl que p té: ( d poção de u efe ltd de c ltd po < θ < / e < < /. (b upefíce fechd defd po c e ± c. (c do plo c. olução: ψ Ou d E d ( d poção de u efe ltd de c ltd po < θ < / e < < /. ψ ε d eθdθd d dd d T dd d ( T dd d dd d dd

5 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu eθ co eθe coθ co e â co eθ eθe ( eθ co e eθ Obee d fgu que: θ eθ Etão: ubttudo, teeo: d d d d dd d d d d d d ( hdo: tgθ d ec d θ θ d [ ] ec θdθ θ d ( tg ec θdθ ( tg θ d ec θdθ ec θ d dθ ecθ d coθdθ d eθ tgθ oo: eθ tg θ d.... d.... T T.. d.. d d R d dd T T Obee d fgu que: coθ R dt d d dt R ( dd

6 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu R d d d T T ( hdo de T T u du d du d R dt du ( u R dt u du u d T T u d d u T T T T d T T. d T. T... d... T T. d. T T d T T d T T O fluo tp feo é clculdo de e álog, foecedo o eultdo: d T T ψ d d d d T T T T ψ d ψ d ψ d (c do plo c. ψ d µ Pel et do poble: ψ d ψ d µ Ou: ψ d dd ψ d dd ψ d Eeplo 7 (e. Ht pg. ( lcule e cooded etgule o poto P (, -, podudo po: ( u cg potul A e (-,, -. (b u lh de cg ufoe de B / o eo. (c u dedde upefcl de cg de µ/ o plo -. dd olução:

7 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu 7, -. R ( u cg potul A e (-, A R P A P P R P P A µ ( (b u lh de cg ufoe de B / o eo. ( â µ (c u dedde upefcl de cg de µ/ o plo -. N µ Z µ Z ( Eeplo 8 (e. Ht pg. d dedde de fluo elétco, / o epço le: ( detee E o poto P(, θ, 9. (b detee cg totl deto d efe. (c detee o fluo elétco totl que de efe. olução: ( E ε E. ε E E, ( (b Ψ d. Ψ e d d. eθ dθd (c Ψ. d Ψ. eθ dθd Ψ. Ψ 9.9 Eeplo 9 (e. Ht pg. θ θ lcule o fluo elétco totl dedo u upefíce cúbc fod po e plo,, ±, e dtbução de cg é: ( du cg potu, u de, µ e (,-, e out de 7 µ e (-,, -; (b u lh de cg ufoe de µ/ e -, ; (c u upefíce de cg ufoe de,µ/ o plo. olução: 7

8 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu 8 ( Ψ d (b, 7 Ψ,µ 7 µ µ 7 Ψ,µ Ψ d A teeção do cubo de ldo co o plo dá u etâgulo, de deõe: d/ / / - O copeto d lh que etá deto do cubo pou u cg de: Ψ d d Ψ µ Ψ,µ (c u upefíce de cg ufoe de,µ/ o plo. d d 9 d 9 9 d 9 d A g te o cubo eá: d l,µ µ Ψ,µ Eeplo (e. Ht pg. 9 U cg potul de,µ etá locld e, e du dedde upefc de cg ufoe etão locld coo e egue: u de / e c e out de -, / e,8 c. lcule e: (, c. (b, c. (c, c. (d ue dedde upefcl de cg ufoe dee e etbelecd e c p cu e, c? olução: (, c 8

9 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu 9, µ (, 79 µ (b, c ( ( (, µ, (,, 88, 888,88 977, µ (c, c. (, µ (,, (,8 ( ( (,8µ µ,µ µ,79 (,,, (d ue dedde upefcl de cg ufoe dee e etbelecd e c p cu e, c? (, (, (,, (,8 ( (, (,,µ, µ 8, 9µ, 7 µ 8,( Eeplo (e. Ht pg. No epço le, 8 p (. ( etee o fluo elétco totl que te upefíce etgul, < <, < < deção ; (b etee E e P(, -, ; (c etee u lo podo p cg totl cotd e u efe ceetl locld e P(, -, e tedo u olue de -. olução: ( Fluo elétco totl que te upefíce etgul, < <, < < deção ; d dd Ψ d d dd Ψ dd dd Ψ d d Ψ Ψ 8 9 Ψ 8 Ψ,p (b etee E e P(, -, ; 8 E ε ε 8( ( p E ε 8,8 8,8 8,8 ( N ( N E,, 9, ( (c etee u lo podo p cg totl cotd e u efe ceetl locld e P(, -, e tedo u olue de -. 9

10 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu d 8 p ( ( 8 ( ( ( p 8 p 8 p 8( 8 ( 8( 8 ( ( ( ( (,7 Eeplo (e.7 Ht pg. P cd u do egute te, detee u lo uéco p d o poto epecfcdo: e ( ( ( ( P A (,, -. (b ( e e e e P B (,, -. (c e θco co co θ θe ( P B (,; θ,. olução: e ( ( ( ( P A (,, -. E cooded cte: e ( ( ( (,, - ( (,, - ( e e e (b ( e P B (,, -. ( ( ( e e ( e e e ( e ( ( e e e co e ( (,, - eº ( ( co co e (,, - eº ( ( ( co e (,, - 9. ( (c eθco co co θ θe ( e P B (,; θ,. ( eθ θ ( eθ θ eθ ( eθ coθco ( eθco eθ θ ( e eθ eθ eθco co ( eθ θ ( e eθ eθco co coθ eθ co eθ co co θ co eθco eθ eθ e θ co coθcoco eθ e θ co ( co θe θ coco eθ

11 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu ( ( e θ co co θcoe θcoco co e ( e eθ e θ co ( e θ coe θcoco e ( co ( eθ e θ co coe θcoe θcoco e e eθ e θ co ( eθ eθ co (c e θe coθe θ co (. e co ( eθ θ (.7 eθ θ eθ ( eθ coθe, 8 ( ( eθe eθ θ ( co Eeplo (e.8 Ht pg. eθ etee epeão p dedde oluétc de cg ocd co cd cpo eθ egu: eθe e ( eθ θ ( (. ( co (b e co e eθ ( eθe e coθ (c e θe co co θe θ ( eθ olução: ( e eθ eθe ecoθ e ( (. eθ eθ E cooded cte: e θe e( co θ e θ e eθ eθ eθ e θe e( e θ e eθ eθ eθ e θe e e θe e eθ eθ eθ ( Eeplo (e.9 Ht pg. do o cpo: e,co ( (,, - ( ( clcule bo o ldo do teoe d degêc p egão ltd po: (b e co e (.,,, e. olução: ( Ψ d d

12 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu A egão fod é copot po quto upefíce, T, T e p, coo luto bo, d jutete co o etoe p cd upefíce: upefíce ltel : NT upefíce pl ltel p : d d d d p p ( ( ; ( Np Np N d d dd N upefíce feo e upeo ( T, T : d T d T dd NT upefíce fechd : d ( T dt dd

13 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu A: d d d d d T T p d e dd (, co ( oo: d e d d d d e d d co [ ] [ ] d co co d ( [ ] ( ( [ ] d d e d d (, co ( T T oo: T d d e d d (, co ( T T oo: p T d d e dd p p (, co ( oo: p p d, co dd d, co d d d, co ( [ ] d, co ( [ ] d, p p d [ ][ ] d d d d d T T p d d Itegl de olue: Ψ d ( e,co (

14 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu ( e (,co e, e, e, e e, e ( ( co, d e d dd, d d d e d, d [ ] [ co ], d [ ] co ( ( co (, d [ ][ ][ ] d

15 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu Eecíco pítulo - Ht. U lt de ptu de etl é colocd e u e de áoe, u tp é etd, e b pte ão decegd coectdo- à te. U fo olte de álo é coldo o ceto d tp e tê oed, de, e ceto ão cold o fo de fo que ão e toque. A oed de ceto é plcd u cg de e oed de e ceto peece decegd. A otge é decd té lt de fo que oed fque upe e loge d pede, etdo tp pe. O ldo de fo d lt é tepoete coectdo de oo te. O dpoto é cuddoete deotdo co lu e feet olte. ( ue cg ão ecotd e cd u d cco peç etálc? (b e foe plcd à oed de ceto u cg de, à de l ceto u cg de - e à de ceto u cg de - l, qul e dtbução fl de cg?. U cg potul de etá locld oge. uto lh de cg ufoe etão locld o plo O coo e egue: 8 / e - l e -, -/ e -e -. ( etee e P(, -, ; (b uto fluo elétco te o plo - e e que deção? (c uto fluo elétco de upefíce d efe de de o cetd e (, -,?. A upefíce clídc 8 c coté u dedde upefcl de cg /. e ( ul qutdde de cg totl peete? (b uto fluo elétco de upefíce 8 c, l c < < c, < f < 9? olução: d 9 e dd d 9 e d 9 ( e d e 9 e e , 9, (b álculo do fluo: d R, dd, d,, 9 e d, 9 e,8, e,, e d

16 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu, ( e e 9,8 9, 8 p. A upefíce clídc l, e c poue dedde upefc de cg ufoe de, - 8 e /, epectete, ( uto fluo elétco p té d upefíce fechd c, < < l? (b etee e P(l c, c, c.. ej: ( lcule teg de upefíce p dete cg totl cotd o plelepípedo etâgulo <.: <. < <, < <. olução: Obedo fgu: d ( ( ( dd dd ( dd ( dd dd dd d d 8 d d ( u lh de cg ufoe de / cd etão locld e l., ± l. etee o fluo elétco totl dedo upefíce d efe de o, e el etá cetd e: ( A(. l. ; B(,,. 7. U dedde oluétc de cg etá locld o epço le co: / p < < l e e O e qulque out pte, ( etee cg totl cotd upefíce eféc l. (b Udo le de Gu, clcule o lo de, upefíce l. olução: ( A cg totl eá dd po: d eθdddθ. 9 e d eθdθ d. 9 e 9, 9, 9, (b Udo le de Gu: ψ d eθdθd 8,,7 ( [ ] coθ [ ]

17 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu 7,7,7 8. u lh de cg ufoe de / etão locld o epço le e, e l. ( Obteh epeão p e cooded cte e P(, O, ; (b Eboce eu e -< <. 9. U dedde oluétc de cg ufoe de 8 / etá peete egão 8 < <. ej p < < 8. ( etee cg totl deto d upefíce eféc ; (b etee, e ; (c e ão há cg p >, detee, e. olução: ( A cg totl eá dd po: d eθdddθ ψ 8 8. eθdddθ d d eθdθ ( coθ. 8.8, ,7,7 7 7,7, 7 p (b, e d eθdθd,,,, 8 9,. ej 8 / egão ode, - < < e e qulque out pte. etee e P(,,, ode >.. E cooded clídc, ej p < l, e (/ p l < < l, e p >,. etee e tod pte. olução: E cooded clídc: ( ( e( ( e( ( e( d ( e( co e ( co( ( [ co( e( ] 9 [ ( co( e( ] [ ( co( e( ]. U dedde oluétc de cg ão - ufoe de / etá tud deto de u upefíce eféc de l e e qulque out pte, ( etee, e tod pte; (b ul dedde upefcl de cg dee et peete upefíce de odo que? (c. Eboce eu p < < co b dtbuçõe peete. 7

18 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu 8. Tê upefíce eféc e. e poue dedde upefc de cg de /, -/ e,. Repectete. ( etee e, e : (b etee, de odo que e 7. olução: ( e de Gu: d ï oo ão há cg teete à e upefíce:. ï Ecolhedo u upefíce Gu de o > 9 9 ( ï Ecolhedo u upefíce Gu de o > d 9, (b Ecolhedo u upefíce de o > 7, teeo eoldo tê cg: d A A A 9 9. e / p < < l e ão há out cg peete: ( detee, p < l : (b detee p > l : (c ue dedde le de cg e d o eo eultdo que o do te b? u dedde oluétc de cg etão locld coo e egue: p < l e p > e / p l < <. ( lcule cg totl egão < < ; < <, ode l < < ; (b Ue le de Gu p dete e ; (c lcule e,8;. e.. olução: µ { < < µ < > ( g p: < < < < < < d. µddd µ d d d.. ( µ 8 9 ( µ (b e de Gu p dete e ; d dd 9 ( µ 8 9 ( ( 8 µ 8

19 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu 9 9 ( ( 8 µ 9 µ ( ( (c lculo de: e,88. - ( 8 Po ão há cg te u upefíce Gu clídc de o,8. A dtbução de cg é ul p <. e. (c Ete cg totl cotd deto do cubo udo Eq. 8. olução: e.. dd d 9 ( ( µ 8 9 ((8 ( 8 µ 9 ((8 ( µ ubttudo: (8 µ, ( ( (.88 µ. d dedde de fluo elétco (/ ue le de Gu p clcul cg totl cotd o olue <,, < ; (b Ue Eq. 8 p dete u lo podo p cg c. lcule ded e P(, /, /; (c Mote que o eultdo do te e b ão equlete o lte ö. ( Fluo totl o cubo de upefíce de upefíce,,,, e epecfcd po: : d d dd :. : d d dd :. : d d dd :. Eceedo tegl fechd obe upefíce o de tod fce: d d d d d d d 7. U cubo é defdo po l <,, <.. e (/ : ( plque le de Gu p dete o Fluo totl dedo upefíce fechd do cubo. (b clcule cubo. o ceto do 9

20 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu oo: d.. cpo etol egão bo: Feo o poduto ecle: ( ( (.. dd dd..... d d d.. d d.., luto ee.. dd. 8 d d.. d d.... d dd d (. (.. (. (.. (. (. (. (. d.(. (.. (.78 (. d. (. (..(.78 (.. d.(. (.. (.78 (. (.78 (. (.78 (. d.87. d.78 (b ( ( (.,.,..... (.,.,.. 8 (c ej u cpo etol ddo po G.lcule bo o ldo d Eq. 8 p ete cpo G o olue defdo po e,, e, e e.. lcule ded pc o ceto do olue. 9. U upefíce eféc de o etá cetd e P(, l, o epço le. ej /. Ue o eultdo d eção. p et o fluo elétco líqudo que de upefíce eféc.

21 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu ( clcule d c P; (b clcule fção à det d Eq. p l.. e l. olução: Efe: o cetd e P(,, : lcule degêc de o poto epecfcdo e ( [ ( ] e P(-,, ; (b e P(, -, ; (c eθe coθe co e P(,, -. olução: θ ( N cooded cte: po etol: Fluo que de eção: Ψ d R 9 (.9. 9 ( ( ( (,, (,, (,, (,, 8.9. U cubo de olue pou u fce plel à upefíce do te de cooded cte e etá cetdo c P(, -,. do o cpo /

22 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu Ilutção do eto u cubo -,,. (b N cooded clídc: ( ( ( ( ( ( (,, ( 9 (,, (,, 7.7 (c N cooded eféc: ( ( θ eθ eθ θ eθ eθe coθe co θ eθe coθe co ( (eθe ( co (( coθe eθ eθ θ eθ ( eθe ( coθeθ e ( e eθ θ eθ eθe e ( eθ eθ coθ coθ eθ e eθ θ eθe e ( e θ co θ eθ e eθ,, e e( ( e( ( e co e e( e (,, (,, (,, (. ej 8 e co. /. ( etee d. (b etee dedde oluétc de cg c P(,, 8 ; -,; (c ut cg et locld deto d egão defd po < <,8; < f < 7 e, < <, l? ( U cg potul etá tud oge. Mote que d po tod pte, eceto oge. (b ubttu cg potul po u dedde oluétc de cg ufoe p. Relcoe e de odo que cg totl ej e. etee d po tod pte. olução: ( ( eθ eθ θ θ eθ θ eθ ( eθ eθ

23 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu (b edde de cg ufoe: e < d e > e < e > e < e > θ eθ θ eθ e > > e ( e > e > e > ( ( eθ. eto d cc clídc < <. dedde de fluo elétco é dd po: /. ul e dedde ( oluétc de cg e? (b ul é dedde de fluo elétco e? (c uto fluo elétco de upefíce fechd: < <, < f <, -, < <,? (d ut cg etá cotd deto do olue < <, < f <, -, < <,?. eto d cc eféc < <. dedde de fluo elétco é dd po ( /. ( ul é dedde oluétc de cg e? (b ul é dedde de fluo elétco e -? (c uto fluo elétco de efe de -? (d ut cg etá cotd deto d efe -? olução: ( edde e : ( ( ( (( ( (( eθ eθ θ eθ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7, (( ( (b edde do fluo elétco: : ( ( ( ( ( (c Fluo elétco que de efe: Ψ d ( ( ( ( ( (d g cotd efe?

24 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu d ( ( ( ( ( ( ( eθddθd ( ( d ( ( d [ ( ] [ ( ( ] ( eθ co. do o cpo /, detee: ( dedde oluétc de cg. (b cg totl cotd egão < ; (c o lo de upefíce. (d o fluo elétco totl que de upefíce. 7. ej / p <,8 e (, / p >.8. ( etee, p. ; (b etee p.. (c ue dedde upefcl de cg dee e colocd e.8 p que p >,8? olução: ( álculo de, p. : ( ( (.. ( (.. (b álculo de, p. :. (. (, ( (. ( (. / (c edde upefcl e,8 p que p >,8? d d d.8 eθddθd eθdθd.8 d d

25 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu µ 8. A dedde de fluo elétco é dd po /, p < e p >. k ( etee k de odo que ej cotíu e ; (b etee e eboce, coo u fução de. 9. E u egão do epço le que clu o olue: <,, <, [ ]. ( lcule tegl de olue do teoe d degêc p o olue defdo po: <,, < ; (b lcule tegl de upefíce p upefíce fechd coepodete. olução: ( Itegl de olue: d [ ] ( ( ( 8 d d 8 ddd d 8 d d d d 8 8 d 8 d d 9 d d (b Itegl de upefíce p upefíce fechd coepodete. Eceedo tegl obe upefíce fechd o de to fce: d d d d d d d d oo: [ ], luto ee cpo etol egão bo: Feo o poduto ecle: efdo tp do cubo: dd d d : : dd d d : : dd d d : : (

26 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu ( ( d dd dd dd d d d d dd dd d 9 9 dd d d 9 d 9 d 9 d. e: e co d clcule bo o ldo do teoe d degêc p egão < <, <f < d, < <.. d dedde de fluo: co θ θ (/, ue do étodo dfeete p dete cg deto d egão: < <, < θ < d, < f < d. olução: eteção po : ( ( eθ θ θ eθ θ coθ eθ ( co θeθ eθ θ eθ ( co θe θ e θ θ ( eθeθ coθ coθ eθ ( e θ co θctg θ ( e θ co θ ctg θ álculo d cg: d ( eθ co θctgθ d ( eθ co θctgθ eθddθd ( eθ eθ coθ coθ dθ dd eθeθdθ co θ coθdθ eθeθdθ co θ coθdθ eθeθdθ co θ coθdθ

27 Eletogeto I Pof.. láudo. to - APÍTUO III - e de Gu 7 e θ eθ eθ. 99. e: (/, detee o fluo elétco totl dedo upefíce do cubo,,,; 7