SEQUÊNCIA DE FIBONACCI: HISTÓRIA, PROPRIEDADES E RELAÇÕES COM A RAZÃO ÁUREA 1

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1 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p ISSN SEQUÊNCIA DE FIBONACCI: HISTÓRIA PROPRIEDADES E RELAÇÕES COM A RAZÃO ÁUREA FIBONACCI SEQUENCE: HISTORY PROPERTIES AND CONNECTIONS WITH THE GOLDEN PROPORTION Lívi D Cás Peei e Mcio Violte Feei 3 RESUMO Apeset-se este tblho um estudo elciodo à cohecid sequêci de Fibocci O efoque picipl está ivestigção ds picipis popieddes dess sequêci e su elção com o Númeo de Ouo (ou Rzão Áue) Fz-se tmbém uso de costuções geométics p obteção do Retâgulo Áueo e d divisão Áue de um segmeto Demost-se ssim elção itísec que há ete o limite d sequêci fomd pel zão ete os úmeos de Fibocci com o vlo d Rzão Áue Este estudo eglob pois questões impottes d Aálise Mtemátic e lgus esultdos d Geometi Euclidi Plvs-chve: sequêci de Fibocci Númeo de Ouo divisão Áue ABSTRACT This wok pesets study elted to the well-kow Fibocci sequece The mi focus is o the esech of the essetil popeties of tht sequece d o its coectio with the Golde Numbe (o Golde Popotio) The use of geometic costuctios is lso employed to obti both the Divie Rectgle d Divie sectio of segmet It shows thus the itisic coectio tht occus betwee the limit of the sequece detemied by the umbes of Fibocci d the vlue of the Divie popotio So this study compises impott issues of Mthemticl Alysis d some esults of the Euclide Geomety Keywods: Fibocci sequece Golde umbe Golde divisio Tblho Fil de Gdução - TFG Acdêmic do Cuso de Mtemátic - UNIFRA 3 Oietdo - UNIFRA

2 68 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p INTRODUÇÃO O mtemático itlio Leodo Piso (ou Leodo de Pis) (70-50) sceu em Pis (Toscâi) Adquiiu o cohecimeto mtemático islâmico vijdo pelo Mediteâeo e qudo egessou su te tl utilizou os cohecimetos dquiidos em sus viges p esceve tblhos dete os quis se destcm tês gdes obs: Libe Abbci (0) Ptic Geomete (0) e Libe Qudtoum (5) O Libe Abbci (Livo do Ábco) efee-se o estudo do cálculo itmético e é cosidedo o melho ttdo sobe Aitmétic e Álgeb d époc Nele estão cotids egs p o cálculo segudo os ovos umeis ido-ábicos ssim como poblems elciodos o cálculo de lucos covesão de moeds mesução poblems sobe movimeto e o poblem do Resto Chiês P esolução de lgus desses poblems ecotdos o livo são utilizds equções qudátics bem como justi ctivs geométics de fómuls qudátics O livo peset id lgus métodos p som séies Dete os poblems cotidos o Libe Abbci destc-se o cohecido poblem dos coelhos que se efee o úmeo de csis em um populção de coelhos pós doze meses cosidedo-se que: ) No pimeio mês tem-se pes um csl; ) Csis epoduzem-se somete pós o segudo mês de vid; 3) Não há poblems geéticos o cuzmeto cossguíeo; 4) Todos os meses cd csl fétil dá à luz um ovo csl; 5) Os coelhos uc moem Tl poblem questio: Qutos pes de coelhos podem se gedos de um p de coelhos em um o? Ao x como mês um o iício do pocesso tem-se o iício do pimeio mês um úico csl jovem Já o segudo mês esse csl seá dulto Cosidedo-se que um p dulto poduz um ovo p cd mês o iício do teceio mês existião dois pes de coelhos sedo um p dulto e outo ecém-scido No iício do quto mês o p dulto poduziá mis um p equto que o outo p completá um mês de vid e id ão está pto epoduzi Assim existião tês pes de coelhos sedo um p dulto um p com um mês de idde e mis um p ecém-scido No iício do quito mês existião dois pes dultos sedo que cd um já epoduziu um ovo p e mis um p que completou um mês de vid Logo existião cico pes

3 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p No iício do sexto mês existião tês pes dultos sedo que cd um já poduziu um ovo p e mis dois pes que completm um mês de vid Logo existião oito pes Seguido-se o mesmo ciocíio p os outos meses obtém-se fmos Sequêci de Fibocci cujos pimeios temos são: Um álise ápid most que cd temo d sequêci cim é ddo ecusivmete pel expessão + = - + > () em que = = e é o úmeo de meses Cofome Boye (974) tl sequêci ecebe o ome Fibocci devido o pelido ddo Leodo po Bldsse Bocompgi seu edito de tblhos o século XIX o qul sigi c lho de Boccio A popost deste tblho é fze um estudo ds popieddes d Sequêci de Fibocci bem como peset lgums de sus plicções Além disso fz-se lgums cosideções sobe o Númeo de Ouo o Retâgulo Áueo e Divisão Áue coceitos que têm um elção itísec com sequêci () N póxim seção pesetm-se lgus esultdos sobe Sequêci de Fibocci Optou-se po elcioá-los fom de lems e teoems N seção seguite estud-se o Númeo de Ouo buscdo compeede su elção com sequêci () Ns dus últims seções demostm-se pocessos geométicos costutivos p obteção do Retâgulo Áueo e d Divisão Áue de um segmeto qulque PROPRIEDADES DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI A segui pesetm-se lgus esultdos e/ou popieddes elciodos com Sequêci de Fibocci os quis seão ddos fom de lems ou teoems Sliet-se que lgus desses esultdos fzem pte de um sequêci de tividdes poposts po Stos e Bichii (00) Começ-se com um popiedde efeete à som dos pimeios úmeos d Sequêci de Fibocci:

4 70 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p Teoem : A som S > dos pimeios úmeos d Sequêci de Fibocci é dd po S = + - Demostção: Tem-se que = 3 - = = = + - = Ao som e simpli c temo temo tods esss igulddes obtém-se S = = + - = + - Exemplo: Qul som dos doze pimeios úmeos de Fibocci? Sedo = etão S = + - = 4 - = = 376 Potto som dos doze pimeios temos é 376 A póxim popiedde efee-se à som dos quddos dos pimeios úmeos de Fibocci: Teoem : A som S ² dos quddos dos pimeios úmeos de Fibocci é dd po S ² = + Demostção: Po se = = tem-se que ( ) = e p k > k k+ - k- k = k ( k+ - k- ) = ( k ) () já que pel idetidde () k k k Fzedo-se k = 3 iguldde () obtém-se que

5 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p ( ) = ( ) = 3 - ( 3 ) = ( - ) = ( ) = Ao som membo membo tods s igulddes e simpli c expessão esultte tem-se S 3 Exemplo: Qul som dos quddos dos sete pimeios úmeos d Sequêci de Fibocci? Pelo Teoem 7 j ² + ² + ² + 3² + 5² + 8² + 3² = 7 8 = 3 = 73 Nesse cso pode-se clcul dietmete: = 73 Out popiedde d sequêci esslt que quisque dos úmeos cosecutivos de Fibocci são pimos ete si Teoem 3: Quisque dois úmeos de Fibocci cosecutivos são pimos ete si isto é mdc ( + ) = p todo iteio > Demostção: A idei d demostção é utiliz o lgoitmo de Euclides p detemi o mdc ( + ) = = Obsev-se que

6 7 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p Potto mdc ( + ) = = Obsevção: Os úmeos de Fibocci 3 = 5 = 5 7 = 3 = 89 são todos pimos No etto ão é vedde que é pimo p todo ídice pimo > Bst utiliz po exemplo = 9 Pecebe-se que 9 = 48 = 37 3 O NÚMERO DE OURO A segui most-se-á coexão d Sequêci de Fibocci com o Númeo de Ouo (tmbém chmdo Rzão Áue) Cosidee-se sequêci > em que os s são os temos d Sequêci de Fibocci El epeset tx de cescimeto do úmeo de coelhos ete o ( + )-ésimo e o -ésimo mês Tl sequêci é dd po: ou sej Po meio do gá co bixo em que o eixo hoizotl idic o ídice e o eixo veticl idic os espectivos vloes de pode-se pecebe que sequêci tede um vlo ete 5 e Figu Gá co d sequêci Teoem 4: Tem-se que ( ) > é dd ecusivmete po e Demostção: A pti d sequêci teio dd po lembdo

7 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p que + = - + segue-se que o que pov que Po meio d elção teio ot-se que o limite d sequêci ( ) cso exist é solução d equção ² - - = 0 que tem um úic iz positiv De fto do Teoem teio sbe-se que logo ou sej em que Segue-se pois que Como > 0 p todo coclui-se que 5 = Not-se que é o cohecido Númeo de Ouo comumete epesetdo pel let geg Phi ( ) O pocedimeto teio o etto é memete foml O que foi mostdo é que se sequêci é covegete etão seu limite é lim lim

8 74 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p P justi c pssgem o limite expessão deve-se most que de fto é um sequêci covegete Iicilmete obsev-se que > 3 Cosideem-se go s subsequêcis ( ) e ( - ) de ( ) ou sej s subsequêcis de ídices pes e ímpes espectivmete Most-se-á po idução que ( ) é decescete e ( - ) é cescete Com efeito tem-se que: (i) (ii) Supõe-se válido p = k isto é k k Como fução f x x x 0 é cescete tem-se que Isso most que ( ) é decescete De modo álogo demost-se que ( - ) é cescete É impotte obsev que ( ) é limitd ifeiomete po e ( - ) é limitd supeiomete po De codo com Lim (976) mbs são covegetes Além disso como stisfzem mesm elção de ecoêci coclui-se que seus limites são iguis e cosequetemete tod sequêci covege p esse mesmo limite que é o vlo ecotdo teiomete

9 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p Coside-se go seguite sequêci de fções: (3) Coclui-se fcilmete que tl sequêci é extmete sequêci 3 Com efeito sequêci (3) é dd ecusivmete po q e q q Po outo ldo sbe-se do lem teio que = e Com q O limite q d sequêci q pode se fcilmete clculdo Com efeito lembdo que é covegete e lim 0 obtém-se que É impotte esslt que o limite q ecotdo cim é extmete o iveso do Númeo de Ouo O RETÂNGULO ÁUREO Diz-se que um etâgulo ABCD qulque é áueo qudo ele peset seguite popiedde: se dele eti-se o quddo ABFE o etâgulo CDEF estte seá semelhte o etâgulo oigil

10 76 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p ou sej b b (4) A costução de um Retâgulo Áueo pode se feit pti dos seguites pssos: ) Costói-se um quddo ABFE de ldo e divide-se um dos ldos desse quddo o meio O poto que itecept bse do quddo seá chmdo de poto M ) Em seguid tç-se digol que lig o poto M o seu vétice oposto ou sej o poto F 3) Com o compsso xdo o poto M tç-se o co de compimeto MF té que ele ecote o pologmeto d bse O poto de itesecção do co com o pologmeto d bse seá o poto D

11 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p ) A pti do poto D tç-se um segmeto de et pepedicul à bse do quddo Depois polog-se o ldo supeio té que este ecote o segmeto de et O etâgulo é extmete o Retâgulo Áueo o qul foi costuído pti de seu ldo meo AE = EF = como most gu segui P compov que o etâgulo ABCD é de fto áueo bst obsev que MF = MD = b Aplicdo o Teoem de Pitágos o tiâgulo MEF obtém-se b ou sej b² + b = ² o qul equivle à elção (4) O Retâgulo Áueo está itimmete ligdo com chmd Divisão Áue de um segmeto ou Divisão em Médi e Extem Rzão que seá pesetd seção seguite

12 78 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p DIVISÃO ÁUREA Diz-se que um poto C de um segmeto de et AB divide este segmeto em médi e extem zão se Ess elção é idêtic elção (4) qudo coside-se AC = e CB = b Del coclui-se que b² + b = ² (6) O úmeo m é cohecido como Rzão Áue Ao dividi os membos d b equção (6) po b² tem-se m² = m + (5) A equção do segudo gu é mesm obtid p o limite d sequêci estudd seção Potto m 5 Um fom de se dividi um segmeto em médi e extem zão ocoe pti dos seguites pssos: ) Utilizdo o compsso pode-se obte o poto médio M do segmeto AB ) Em seguid tç-se um et pepedicul o segmeto AB pssdo pelo poto B 3) Com o compsso xdo o poto B tç-se um co de compimeto MB té que este cuze et pepedicul o segmeto AB Obtém-se ssim um segmeto BD medido extmete metde do seguimeto AB

13 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p ) Uido o poto D o poto A costói-se o tiâgulo ABD 5) Com o compsso xdo o poto D tç-se um co de compimeto DB té que ele cuze hipoteus AD do tiâgulo obtedo o poto E 6) Filmete com o compsso xdo o poto A tç-se um co de compimeto EA té que este ecote o segmeto AB Cheg-se desse modo o poto C que divide o segmeto AB em médi e extem zão

14 80 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p Com efeito se AC = e CB = b etão d costução teio segue-se que Assim pelo Teoem de Pitágos AB = + b AE = e ED = BD = b ou sej ( b b b) ( ) ( ) b( b) que é equivlete à expessão (6) CONCLUSÃO O pesete tblho mostou um iteesste coexão ete Sequêci de Fibocci Rzão Áue de um segmeto e o Númeo de Ouo Pôde-se po meio deste estudo bod coceitos impottes d Aálise Mtemátic piciplmete demostção de lgums ds popieddes dos úmeos de Fibocci Outo poto impotte efee-se o uso d Geometi Euclidi tto costução de um Retâgulo Áueo e d Divisão Áue de um segmeto quto justi ctiv desss costuções Obvimete este estudo ão se ece com este tblho pois muits outs sequêcis uméics têm elções com os úmeos de Fibocci e com o úmeo de ouo e podem sevi de bse p tblhos futuos Um exemplo desss sequêcis e que ão foi ttdo qui é quel cujo temo gel é ddo pel som estudd po Feei Bisogi e Bisogi (007) D mesm fom ecotm-se exemplos de muits gus geométics que possuem iteesstes popieddes elciods à Rzão Áue e que há séculos vem sedo motivo de estudos p muitos mtemáticos REFERÊNCIAS ALENCAR FILHO Edgd de Teoi Elemet dos Númeos São Pulo: Nobel 98

15 Disc Scieti Séie: Ciêcis Ntuis e Tecológics S Mi v 9 p BOYER Cl B Histói d Mtemátic São Pulo: Edgd Blüche 974 FERREIRA Mcio Violte; BISOGNIN Elei; BISOGNIN Vilde Mtemátic o Esio Supeio: um expeiêci usdo metodologi d esolução de poblems I: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO DA MATEMÁTICA 007 Ais Cos: ULBRA 007 LIMA Elo Lges Cuso de Aálise Rio de Jeio: Pojeto Euclides IMPA 976 SANTOS Âgel Roch; BIANCHINI Wldeci Apededo Cálculo com Mple Rio de Jeio: LTC 00