Funções Exponenciais e Logaritmicas Chiang, cap. 10. Matemática Aplicada à Economia LES 201. Aulas 19 e 20. Márcia A.F.

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1 Meáic Aplicd à Econoi LES Auls e Funções eponenciis e logríics Márci A.F. Dis de Mores Funções Eponenciis e Logriics Ching, cp. Funções eponenciis e logríics váris plicções e econoi : vriável de escolh é o epo Cálculo de juros plicções finnceirs ou eprésios ncários Ts Crescieno Populção Aprendizge Inflção Funções eponenciis Nurez ds funções eponenciis: são quels que vriável independene prece coo u epoene Ns funções polinoiis = Bse riável epoene fio Ns funções eponenciis: = Bse Fi epoene vriável E : = = + + Bse Fi - epoene vriável Funções eponenciis U função que e se fi e epoene vriável é chd de função eponencil = Pr > e Doínio d função: Conjuno dos núeros reis R Por que >? = = A função eponencil é invers d logri: o logrindo > Coporeno d Função Eponencil o cso: f() =, co > E: = - / - / - / li = li + = Coporeno d Função Eponencil o cso: f() =, co > Noe que: Inersecção co o eio : sepre pono (,) Não há inersecção co o eio (Não eise / f() = ) ( é ssinóic o eio ) Qundo cresce, cresce infiniene Qundo decresce, decresce infiniene Doínio = R Ige = R +

2 Coporeno d Função Eponencil o cso: f() =, co < < E: = ( ) ½ ¼ / - - li = li = + Coporeno d Função Eponencil o cso: f() =, co < < Noe que: Inersecção co o eio : sepre pono (,) Não há inersecção co o eio (Não eise / f() = ) ( é ssinóic o eio ) Qundo cresce, decresce infiniene Qundo decresce, cresce infiniene Doínio = R Ige = R + = = < < > Função decrescene Função crescene = = ce A curvur d função O vlor do prâero deerin curvur d função > = = = A curvur d função O vlor do prâero deerin curvur d função < < =, =, Proprieddes de Função Eponecil A função eponencil = ( >, ): Doínio é (, A ige é (, Gráfico pss pelo pono (,) É função conínu e (, É onoonicene crescene e se (, > É onoonocene decrescene e (, se < < É ssinóic o eio =,

3 For is gerl d função eponencil =. k + c Curv ssinóic à re = c ) >, >, k >, c > (, + c) c Aplicções funções eponenciis e econoi Juros siples e Juros coposos JUROS SIMPLES É o juros clculdo soene sore o onne inicilene invesido Se u quni P (principl) é epresd (ou invesid) juros siples, u de r% o no, quni S = S() devid (ou cuuld) pós nos será de: Principl S = P (+ r. Dívid ou Poupnç juros núero períodos S P Juros Siples Após º. no: S = P + rp Após º. no: S = (P + rp) + rp = P+rp Após º. no: S = (P+rp) + rp = P +rp... Após nos: S = P + rp S = P(+r) ( = + ) Juros coposos Juros coposos: qundo o juros oido pós o prieiro período é INCORPORADO o principl, e dí pr frene es so é coninuene reinvesid à es de juros nos períodos susequenes Se u quni P (principl) é epresd (ou invesid) juros coposos, u de r % o no, e os juros são cpilizdos nulene, quni S = S() devid (ou cuuld) pós nos será de: Juros coposos Após º. no: S() = P + rp = P(+r) Após º. no: S() = P( + r) + P(+r)r=[P(+r)][(+r)] S() =P(+r) Juros coposos - Eercício João deposiou R$. n poupnç, que lhe pgrá juros coposos de % o no, o sere incorpordos o principl o fi de cd no. Qul o onne cuuldo pós nos? Após º. no: S() = P(+r) + (P(+r) )r =... = [P(+r) ](+r) = P(+r) Após nos: S() = P(+r)

4 Bse e Funções eponenciis de se e (e =,...) são uio usds e econoi Função eponencil nurl e derivd conveniene: d d e = e = Ae r d d = Aer r = r Considere função: A se e +,,,,,, e = li f() = li + ( ) = f ( ) = + = Inerpreção econôic de e Meicene: e é o liie d epressão f ( ) = + Econoicene: resuldo d coposição de juros coposos Suponh que os juros sej coposos (ou cpilizdos) is de u vez o no. O inervlo de epo enre sucessivos cálculos de juros é chdo de: período de conversão ou período de cpilizção. Inerpreção econôic de e Econoicene: e é o resuldo d coposição de juros coposos - Monne (ou principl) plicdo: R$ - T juros r = % o no (R$ o no) - Juros coposo u vez o no, o finl do º. no o onne finl será R$ - Se os juros fore coposos coninuene o longo do no, o finl do º. no o onne ingirá R$,... Inerpreção econôic de e () = (principl inicil) (+r) () = ( + %) = ( + ) Se o juro for coposo por seesre ( ) = ( + %)( + %) = ( + ) Se o juro for coposo por riesre ( ) = ( + ) Se for coposo vezes o no ( ) = ( + ) Juros coposos coninuene = li ( ) = li + = e =,... Juros Coposos Coninuene lor do principl = A T juros = r r ( ) = A( + ) = li r ( ) = Ae Principl (S) T Juro Anos de juros Copsos coninuene % (=) e % (=) e A % (=) Ae A r Aer lor do ivo o finl doperíodo

5 lor do principl = A T juros = r Cso Discreo: Juros cpillizdo u vez por período S () = P (+ r ) ou ( ) = A( + i) A = ( + i) lor Presene (A) Cso conínuo: Juros cpilizdos coninuene ( ) = A( + = li A = e r ( ) r ) = Ae r lor Presene Quesão: quno preciso invesir hoje, u de juros fid r, pr oer cero onne e u d fuur? Dd fórul de juros coposos: S = P ( + i) n Isolndo P: S P = (+ i) n Eercícios ) Quno deve ser deposido hoje e u nco que pg juros de % o no, coposo enslene, de for se oer u onne cuuldo de R$. o finl de nos? Eercícios ) E // plic-se R$. co juros coposos de poupnç de % o no, coposição nul. Quno erá e //? Respos: R$, Eeplos Aplicções Funções Eponenciis Suponh que u populção enh hoje. hines e que hj u crescieno populcionl de % o no. Qul o núero de hines dqui nos? T Geoéric de Crescieno F = i ( + r) Isolndo r: F = (+ r) i ( + r) = r = F I F I

6 Evolução Produção Cn-de-Açúcr (ilhões ) Região / / / / / / NNE,,,,, CS,,,,,, Brsil,,,, r = r = F r =, I,,,,,,,,, (,*,) (,*, ) (,*) (,*, ) (,*,),,,,, Proprieddes dos epoenes: ) ) ) ( n ) (. ) n = ) n ) (. ) - n = = = Por definição: se, = + n. n =. Funções Logríics - Invers d Eponencil - Úil: rnsfor relções uliplicivs e diivs (+ fáceis de rlhr) - Muio usd e odelos econoéricos: - Qundo s váriáveis são epresss e log, os coeficienes ds vriáveis indic s elsiciddes d curv - Ou sej,coo o log vri edid que o log se ler Aplicção odelos econoéricos ) Trnsforções ds vriáveis pr se oer relção liner E: = Aplicndo-se logrio de os os ldos: log = log + log z = k +. v É liner ns vriáveis log e log Funções Logríics O significdo do logrío: qundo eos núeros, por eeplo, e, que pode ser relciondos enre si pel equção: =, definios: = log = O epoene é o logrío de n se O logrío é POTÊNCIA qul u se deve ser elevd pr se oer u núero específico Funções Logríics Generlizndo: = = log O log de n se é O log de n se é poênci qul se precis ser elevd pr que se oenh o vlor O logrío log é definido soene pr vlores posiivos de Núeros negivos ou zero não possue logríos

7 Funções Logríics log = log = log = log / = - log = log = log, = - log, = - Funções Logríics Resolver s equções e : )log = = = ) log = = = =, =/ c) log = = d) = enão = = Sises de Logríos is couns Bse : log = log Bse e: log e = ln ln e = ln e = ln e = ln = ln /e = - ln /e =- Generlizndo: ln e n = n Por definição: Bse > e e logrindo > ) log = ) log = Proprieddes dos Logrios (P) log ( uv ) = log u + log v ( u,v > ) OBS: log ( ± c) log ± log c (P) log (u/v) = log u log v (P) log u α = α log u (P) log M = log c M log Usndo s proprieddes conjunene: ln (. c ) = ln + ln c = ln + c ln c (udnçde se) Eeplos plicção ) ln (e. e ) = ) ln (A. e ) = c) log (/) = d) Adiindo que log =, e log =, clcule: d.) log d.) log d.) log (/) d.) log Eeplos plicção d.) Resolv equção eponencil: = d.) Resolv equção eponencil:. c =

8 Funções Logriics e seus gráficos = log Cso : >, -, - -, - -, Funções Logriics e seus gráficos = log Cso : < < - - Proprieddes de Função Logriic A função logríic = f() = log ( >, ): O gráfico d função logríic esá sepre à direi de Doínio é: R + A ige é : (, Inercep o eio O no pono (,) (, É onoonicene crescene e se > É onoonicene decrescene e (, se < Relção enre s funções Logríics e Eponenciis As funções logriics são INERSAS ds funções eponenciis Funções inverss: invere-se os ppéis ds vriáveis dependenes e independenes dependene independene = log = Invers : = log É ssinóic o eio Grficene: qul relção eisene enre s funções inverss e re =? Se pensros n re = coo espelho, o pono (u,v) é ige especulr do pono (v,u) = Eercícios ) O núero de hines de u cidde é igul e cresce de % o no. Dqui quno epo populção dorrá? Ddos: log =, e log (,) =, = log

9 Eercícios ) U ióvel vle hoje R$. e cd no sofre u desvlorizção de %. Dqui qunos nos seu vlor se reduzirá à ede? Eercícios )U digidor pós dis de eperiênci consegue digir p plvrs por inuo. Suponh que p = -e -,. ) Quns plvrs ele digiv por inuo qundo não inh eperiênci? ) Quns plvrs digirá por inuo pós dis de eperiênci? c) Quns plvrs conseguirá digir por inuo no áio? d) Esoce o gráfico de p e fç de. Eeplo plicção : T de Crescieno Ching pg Y Dd função =f(), su insnâne de crescieno é definid por: d d f função rginl r / '( ) = derivd de lnf() f ( ) função ol Pr chr de crescieno de u funço: ) Diferencir função e relção e depois dividir por ou ) Aplicr ln dos dois ldos e depois diferencir e relço Eeplo plicção: T de Crescieno Clcule de crescieno de r r = e ln = ln A+ rlne = ln A+ r d d = ln = + r d d v = r