KASAL, RAPHAEL BARATA. Simulação de Supercondutores pelo Modelo do Estado Crítico [Rio de Janeiro] 2006

Transcrição

1

2 KS, RPE RT Simulção de Supeondutoes pelo Modelo do Estdo Cítio [Rio de neio] 6 IX, 44 p. 9,7 m (COPPE/UFR, M.S., Engenhi Eléti, 6) Dissetção Univesidde Fedel do Rio de neio, COPPE. Supeondutividde. Sistems Elétios de Potêni I. COPPE/UFR II. Título (séie) ii

3 À memói de meu vô, pel su postu otimist de sempe bus o onheimento. iii

4 GRDECIMENTOS Deus, o veddeio uto dest e de tods s obs que pens onodmos em ptiip. o meu pi e à minh mãe que, ientes do mo e dos esfoços dedidos à ição dos filhos, depositm onfinç lembndo sempe d possibilidde de i lém e de fe melho. eles o meu gdeimento espeil. os meus oientdoes ntonio Clos Feei e Rubens de ndde unio, pelo ssunto d tese, pelo ompnhmento e pels vlioss obsevções e oientções nos momentos mis ítios do desenvolvimento deste tblho. os engenheios Álvo osé Fonse endes, Silvio Mus oso Slgdo e Ronldo Monteio ouenço, meus supeioes dento d EETRORÁS, que me dem opotunidde de onlui os estudos e finli tese. o pesquisdo M.. Qin, do Instituto p Mteiis Eletônios e Supeondutoes, d Univesidde de Wollongong, n ustáli, pel tenção em esponde os meus e-mils, judndo ompeende lguns detlhes qunto à implementção do modelo. o pofesso Enst elmut ndt, do Instituto de Físi d Univesidde de Stuttgt, n lemnh, pel bo vontde em esponde s minhs pegunts e pels sugestões. iv

5 Resumo d Dissetção pesentd à COPPE/UFR omo pte dos equisitos neessáios p obtenção do gu de Meste em Ciênis (M. S.) SIMUÇÃO DE SUPERCONDUTORES PEO MODEO DO ESTDO CRÍTICO Rphel t Ksl Feveeio/6 Oientdoes: ntonio Clos Feei Rubens de ndde unio Pogm: Engenhi Eléti Este tblho tem o objetivo de implement e simul numeimente o ompotmento de supeondutoes do tipo-ii pelo modelo do estdo ítio. O modelo pte ds epessões nlítis do eletomgnetismo lássio p eseve equção integl d deivd tempol d densidde de oente no inteio do supeonduto, em função d geometi do sistem e ds onfiguções do mpo plido. Em seguid, utilindo-se o Método dos Momentos, eseve-se equção integl nlíti n su fomulção mtiil. densidde de oente em d instnte de tempo é obtid po um eg de integção simples (Método de Eule). Fom luldos os pefis d densidde de oente e s uvs de mgnetição p supeondutoes om o fomto de um b infinit e de um ilindo finito, e foç de levitção ente um imã pemnente e um supeonduto, mbos om geometi finit e ilíndi. Os esultdos ds simulções fom onfontdos om suesso qundo ompdos om os ddos d litetu. v

6 bstt of Dissettion pesented to COPPE/UFR s ptil fulfillment of the equiements fo the degee of Mste of Siene (M. S.) SIMUTION OF SUPERCONDUCTORS TROUG TE CRITIC STTE MODE Rphel t Ksl Febu/6 dvisos: ntonio Clos Feei Rubens de ndde unio Deptment: Eletil Engineeing This wok hs the objetive to implement nd simulte numeill the behvio of tpe-ii supeondutos though the itil stte model. The model stts fom the nltil epessions of the lssil eletomgneti theo to wite the integl eqution of the time deivtive of the uent densit inside the supeonduto, depending fom the geomet of the sstem nd the onfigutions of the pplied field. Then, using the Method of Moments, the nltil integl eqution ws witten in its mtiil fomultion. The uent densit in eh time step is obtined b simple integtion ule (Method of Eule). It ws lulted the uent densit pofiles, the mgnetition uves nd the levittion foe between pemnent mgnet nd supeonduto, with finite lindil geomet. The esults of the simultions wee suessfull omped with those found in the litetue. vi

7 ÍNDICE INTRODUÇÃO.... MOTIVÇÃO.... OETIVO....3 ESTRUTUR DO TEXTO...3 PRINCÍPIOS D TEORI FENOMENOÓGIC DOS SUPERCONDUTORES MODEO DE ONDON Pl Infinit Supeonduto Cilindo Infinito Supeonduto MODEOS DO ESTDO CRÍTICO Modelo de en Modelo de Kim Modelo de ndeson-kim FENOMENOOGI D EVITÇÃO MGNÉTIC SUPERCONDUTOR CRCTERÍSTICS DE UM SUPERCONDUTOR PR EVITÇÃO COMPORTMENTO D FORÇ VERTIC COMPORTMENTO D FORÇ ORIZONT PICÇÕES D EVITÇÃO MGNÉTIC SUPERCONDUTOR EM MNCIS MGNÉTICOS mendo Cinétio de Enegi (Flwheel) IMPEMENTÇÃO DO MODEO DE NDERSON-KIM PR SIMUÇÃO DE SUPERCONDUTORES CSO : RR INFINIT SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO MGNÉTICO OMOGÊNEO Desição nlíti Inlusão do Modelo de ndeson-kim lgoitmo p Implementção Numéi Integção Numéi no Tempo CSO : CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO MGNÉTICO OMOGÊNEO Desição nlíti Inlusão do Modelo de ndeson-kim lgoitmo p Implementção Numéi... 6 vii

8 4..4. Integção Numéi no Tempo CSO 3: CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM ÍMÃ PERMNENTE CIÍNDRICO Desição nlíti Inlusão do Modelo de Kim-ndeson lgoitmo p Implementção Numéi Integção Numéi no Tempo RESUTDOS DS SIMUÇÕES CSO : RR INFINIT SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO MGNÉTICO OMOGÊNEO CSO : CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO MGNÉTICO OMOGÊNEO CSO 3: CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM ÍMÃ PERMNENTE CIÍNDRICO COMENTÁRIOS E CONCUSÕES... IIOGRFI... PÊNDICE...4 EQUÇÕES DE ONDON...4 PÊNDICE...6 SOUÇÃO NÍTIC PEO MODEO DE ONDON PR O PROEM D PC INFINIT SUPERCONDUTOR...6 PÊNDICE C...4 SOUÇÃO NÍTIC PEO MODEO DE ONDON PR O PROEM DO CINDRO INFINITO SUPERCONDUTOR...4 PÊNDICE D... ISTGEM DO PROGRM PR O CSO D RR INFINIT SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO OMOGÊNEO COM VRIÇÃO SENOID NO TEMPO... PÊNDICE E...8 ISTGEM DO PROGRM PR O CSO DO CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO OMOGÊNEO COM VRIÇÃO SENOID NO TEMPO...8 PÊNDICE F...37 viii

9 ISTGEM DO PROGRM PR O CSO DO CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM ÍMÃ PERMNENTE DE GEOMETRI CIÍNDRIC...37 i

10 INTRODUÇÃO Desde su desobet epeimentl no iníio do séulo pssdo, os supeondutoes têm sido empegdos em divesos setoes, potenilindo tenologis e bindo novs possibiliddes p lgums áes de impotnte impto p soiedde. Dente s pinipis, destm-se indústi eletôni, os setoes de tnspote e de enegi e mediin. Como eemplos de lgums plições de supeondutoes no seto de enegi, podemos it tnsfomdoes, limitdoes de oente, bos, motoes elétios e menmento de enegi mgnéti em bobins supeondutos (Supeonduting Mgneti Eneg Stoge SMES). P mioi ds plições menionds im, que utilim supeondutoes do tipo-ii, o modelo fenomenológio mis dequdo p su epesentção é o modelo do estdo ítio. Neste tblho, foi implementdo um lgoitmo, bsedo no modelo do estdo ítio, p de simul, numeimente, evolução tempol d densidde de oente íti dento de um supeonduto do tipo-ii. pti desse esultdo, obteve-se uv de mgnetição do mteil. O modelo foi vliddo p supeondutoes om o fomto de um b de ompimento idelmente infinito, e p supeondutoes om geometi ilíndi e ltu finit, n pesenç de mpos mgnétios etenos homogêneos e vintes no tempo. Visndo utilição do modelo p simulção de supeondutoes n pesenç de mpos mgnétios não-homogêneos, foi obtid uv d foç de levitção vetil ente um imã pemnente e um supeonduto, mbos de geometi ilíndi e finit, em função d ltu do imã. ompção ente os ddos de simulção e os ddos d litetu evideniou s possibiliddes de plição do modelo p o pojeto de equipmentos que envolvem tenologi em supeondutoes omo, po eemplo, mnis supeondutoes em mendoes inétios de enegi (flwheel).

11 . MOTIVÇÃO motivção dest dissetção onsiste n ompeensão ds ténis de simulção numéi de supeondutoes do tipo-ii, utilindo um modelo do estdo ítio que leve em ont o elmento po tivção témi dos tubos de fluo dento do supeonduto (flu eep). Esse fenômeno de ste de fluóides (tubos de fluo) no inteio do supeonduto é teido po pesent um ntue temodinmi, de deimento eponenil, o que ton su ooêni independente ds gndes elétis e mgnétis plids o mteil. P plições em que o ompotmento dinmio do supeonduto não é elevnte, o flu eep pode se desonsidedo devido su elevd onstnte de tempo. No entnto, p plições em que supeondutoes são empegdos em sistems que podem se submetidos esfoços e vições dinmis omo vibções menis e tnsitóios eletomgnétios, um modelo que epesente o flu eep ton simulção mis omptível om elidde, pimondo o pojeto desses equipmentos om tenologi supeonduto. lguns eemplos de equipmentos, ujo modelo implementdo pode uili no desenvolvimento, são: mendoes inétios de enegi utilindo volntes de inéi (flwheel), eletomgnetos supeondutoes (SMES) e limitdoes de oente supeondutoes.. OETIVO O pimeio objetivo deste tblho é implement o modelo do estdo ítio p simulção numéi, do ompotmento dinmio ds gndes elétis e mgnétis dento de supeondutoes de lts tempetus, e vlid o modelo tvés d obtenção ds uvs de mgnetição, onfontds om os ddos enontdos n litetu. O segundo objetivo onsiste n plição do modelo p o álulo d foç de levitção ente um supeonduto ilíndio e finito e um imã pemnente de mesm geometi.

12 .3 ESTRUTUR DO TEXTO O tblho seá pesentdo po meio d seguinte estutu: 6 pítulos p o opo tetul e 6 pêndies. No pítulo, são pesentds fundmentção e motivção do tblho, bem omo inseção do mesmo no onteto d engenhi eléti, mostndo-se elção ente supeondutividde e sus plições no seto de enegi. Os objetivos d tese são esumidmente desitos e estutu do teto é identifid. No pítulo, enontm-se os fundmentos ds pinipis teois fenomenológis que ttm d supeondutividde. P fins de ompção e visndo um fom objetiv e didáti de pesent s teois, são nlisds situções físis po d um ds modelgens. No pítulo 3 são pesentds s pinipis teístis que os supeondutoes peism te p seem pliáveis n levitção mgnéti supeonduto, e os pinipis usos d levitção po meio de supeondutoes. O pítulo 4 ontém desição do lgoitmo om implementção do modelo do estdo ítio, sendo plido p simul s seguintes situções: b infinit supeonduto n pesenç de um mpo mgnétio homogêneo om vição onstnte (mp) e vição senoidl no tempo; ilindo finito n pesenç de mpo homogêneo om vição senoidl no tempo, e ilindo finito supeonduto n pesenç de um imã pemnente om mesm geometi. No pítulo 5 são mostdos os esultdos obtidos pelo modelo p d um ds situções menionds no pítulo 3. Usou-se omo ompção om os ddos enontdos n litetu, os pefis ds densiddes de oente, s uvs de mgnetição e uv de histeese d foç de levitção ente o supeonduto e o ímã pemnente. No pítulo 6 enontm-se s onlusões do tblho e s obsevções mis elevntes qunto à implementção do lgoitmo. 3

13 O pêndie ontém dedução ds equções de ondon p mpos que vim lentmente no tempo. Os pêndies e C pesentm s deduções do modelo de ondon plido o so d Pl Infinit supeonduto em mpo homogêneo e o so do Cilindo Infinito supeonduto em mpo homogêneo, espetivmente. O pêndie D ontém listgem do pogm esito em Mtlb om implementção do modelo do estdo ítio p um supeonduto em fomto de um Infinit. O pêndie E t listgem do pogm em Mtlb p o so do Cilindo Finito supeonduto em mpo homogêneo. O pêndie F pesent listgem do pogm p o so do Cilindo Finito supeonduto n pesenç de um ímã pemnente ilíndio. 4

14 PRINCÍPIOS D TEORI FENOMENOÓGIC DOS SUPERCONDUTORES tnsição p um estdo de esistividde nul e dimgnetismo pefeito, bio de um detemind tempetu e mpo mgnétio ítios, tei eletomgnetimente os supeondutoes. Este estdo de elusão do fluo mgnétio do inteio dos supeondutoes é hmdo de estdo Meissne. O sugimento de oentes pesistentes bio d tempetu de tnsição (T ), mesmo n pesenç de mpos mgnétios onstntes, em um md d supefíie do supeonduto, blind o inteio do supeonduto do mpo mgnétio eteno. Os supeondutoes são lssifidos em tipo- I e tipo-ii. No supeonduto do tipo-i, est oente de blindgem ument de intensidde om o umento do mpo té que tinj o mpo ítio ( ) e o supeonduto volte o estdo noml. Em supeondutoes do tipo-ii, est oente ument de intensidde té um detemindo mpo ( ) pti do qul o fluo mgnétio penet no supeonduto n fom de linhs de fluo quntids (estdo misto) que se odenm e integem om estutu istlin do mteil té um detemindo mpo ítio ( ) no qul o supeonduto volt o seu estdo noml. Os modelos fenomenológios busm epesent o ompotmento tnto de supeondutoes do tipo-i qunto do tipo-ii, vlendo-se de pequens dptções ns epessões do eletomgnetismo lássio, bseds nos ddos epeimentis obtidos ou, dito de out fom, n fenomenologi d supeondutividde. Este pítulo pesentá os pinipis modelos fenomenológios desenvolvidos, obedeendo um odem onológi de sugimento. Visndo um fom de pesentção páti e didáti, seão nlisds situções físis po d um dos modelos, omeçndo pelo Modelo de ondon, pssndo em seguid p os modelos do estdo ítio (en, Kim e ndeson-kim)... MODEO DE ONDON O modelo de ondon é um fom simples de substitui lei de Ohm, que é um equção onstitutiv p ondutoes, po um elção ente s oentes de blindgem e o potenil veto mgnétio. O modelo de ondon foi o pimeio modelo eletomgnétio 5

15 desenvolvido p os supeondutoes, poém modelos mis ompleos se eduem ele no so de supeondutoes do tipo-ii no estdo Meissne e lguns supeondutoes do tipo-i. No so de supeondutoes do tipo-ii no estdo misto, s elções envolvendo s oentes de blindgem não são linees e o ttmento mis simples é feito tvés do modelo de estdo ítio. Contudo, o modelo de ondon fonee um limitnte supeio p elusão de fluo mgnétio e, onseqüentemente, p o dimgnetismo destes mteiis. Como o dimgnetismo é o esponsável pel levitção mgnéti de supeondutoes n pesenç de mpos mgnétios inomogêneos, os esultdos obtidos om esse modelo são úteis p o lulo d foç máim de levitção mgnéti em mnis mgnétios supeondutoes. O modelo de ondon, p mpos que vim lentmente no tempo (bio de k), pode se esumido ns equções de ondon: S (.) S t E (.) onde s é densidde de oente no supeonduto, é pemebilidde mgnéti no váuo, é pofundidde de penetção de ondon, é densidde de fluo mgnétio e E o mpo elétio. Um demonstção p obtenção ds equções (.) e (.) se enont no pêndie. Considendo-se que o mpo mgnétio pode se obtido do potenil veto po, pimei equção de ondon (.) pode se eesit omo: S (.3) ou sej, um elção ente supeoente e o potenil vetoil. Deivndo-se equção (.3) no tempo e substituindo E d dt, obtém-se tmbém (.). 6

16 ( S Utilindo-se ei de mpèe eluindo s oentes de deslomento ), pode-se eeseve equção (.3) omo: (.4) no libe de Utilindo go identidde vetoil ( ) Coulomb ( ), heg-se seguinte equção difeenil: (.5) Ess equção deseve de fom gel o fenômeno d supeondutividde nos supeondutoes no estdo Meissne. Su plição não se estinge pens modelgem de supeondutoes do tipo-i, ms pode se tmbém utilid em supeondutoes do tipo-ii em mpos infeioes. segui, seão nlisds dus situções físis po meio d equção (.5).... Pl Infinit Supeonduto O pimeio so nlisdo é um situção lássi de um pl supeonduto infinit, bstnte disutid n litetu didáti [] (Figu.). Um mpo mgnétio homogêneo poduido po um fonte eten é plido plelmente às supefíies d pl, uj espessu é. Conside-se n nálise, que o meio eteno é o váuo e que o mteil supeonduto é isotópio. Dest fom, s supeoentes só podem flui n dieção. s oentes plids à bobin peoem os plnos infinitos, plelos à dieção e são sepdos pel distni D. etensão de D é muito supeio de, p que os efeitos de bod possm se despedos. densidde de oente plid n bobin deve possui um detemindo vlo p que indução mgnéti n egião eten à pl sej igul. 7

17 Figu.: Pl infinit supeonduto imes em um mpo mgnétio homogêneo. difeenil: plindo equção (.5) o so estuddo, obtemos seguinte equção (.6) solução pode se obtid bitndo-se, iniilmente, vloes p o potenil veto ns fonteis ente o supeonduto e o meio eteno. Em seguid, deve-se igul epessão d densidde de fluo que, po hipótese, é onheid. ssim, p o inteio d pl (- ) pode-se heg seguinte epessão p densidde de fluo: ( ) se h osh (.7) tomndo-se o otionl do potenil veto mgnétio. No pêndie se enont o desenvolvimento om todos os pssos p obtenção d solução deste poblem. 8

18 N figu., são pesentdos os esultdos obtidos p densidde de fluo mgnétio dento do supeonduto, pel plição d epessão (.7) e pel implementção do modelo de ondon tvés do Método dos Elementos Finitos (MEF). Detlhes sobe implementção do modelo de ondon utilindo o MEF se enontm n efeêni []. Os ddos de simulção fom:,5 mm, 3, mm e, T. pofundidde de penetção depende fotemente d tempetu [], vindo de um vlo (d odem de m) em bis tempetus té o infinito n tempetu íti. Esse vlo de foi esolhido p que se pudesse visuli s oentes de blindgem. Indução mgnéti (T) nlítio MEF Váuo Supeonduto Váuo (m) Figu.: Indução mgnéti () num pl supeonduto infinit imes num mpo homogêneo onstnte, obtid pelo MEF e pel epessão (.7). Pode-se obsev pel figu., que há divegêni nos esultdos obtidos ente o modelo nlítio e numéio n fontei supeonduto-váuo. Ess difeenç pode se justifid pel quntidde limitd do númeo de nós ness egião. Possivelmente, no limite em que quntidde de nós tende um vlo infinito, esses esultdos n fontei ião onvegi.... Cilindo Infinito Supeonduto O segundo so estuddo onsiste em um ilindo infinito supeonduto, que tmbém se enont imeso em um mpo mgnétio homogêneo plelo à supefíie e é 9

19 poduido po um fonte eten. O ilindo possui dimeto d5, mm. D mesm fom que p o so nteio, onsidemos que o meio eteno é o váuo e que o mteil supeonduto é isotópio. densidde de fluo plid é onstnte e igul. Ess situção é ilustd pel figu.3, juntmente om os vetoes unitáios ns oodends tesins e ilíndis. Figu.3: Cilindo infinito supeonduto imeso num mpo mgnétio homogêneo onstnte. Devido à simeti do poblem, é dequd utilição de um sistem de oodends ilíndis p solução d equção (.5). Então, tem-se pens omponente do potenil veto om dependêni unimente n oodend. Neste so, equção (.5) edu-se : ( ) ( ) ( ) ( ) (.8) P um solução oet de (.8) é neessáio estipul omo ondição de ontono que efeêni do potenil veto mgnétio se enont no ento d seção tnsvesl do

20 ilindo. Como solução do poblem envolve funções de essel (K), que vão p o infinito qundo viável se nul, onside-se que ess efeêni se enont num io de, m do ento do ilindo. Com o uílio de um pogm de mnipulção simbóli, obteve-se seguinte epessão p o potenil veto mgnétio no inteio do supeonduto ( < d/): int ( ) I K (.9) onde s onstntes e são etenss ombinções linees de funções de essel modifids de odens, e. Todos os pssos efeentes à obtenção dess solução se enontm no pêndie C. densidde de fluo mgnétio é obtid tomndo-se o otionl de (.9), om o uílio do mesmo pogm. epessão finl envolve um gnde númeo de temos de funções de essel (I e K) de odem, e. figu.4 pesent os esultdos obtidos p densidde de fluo mgnétio tvés d pevisão nlíti (.9) e tvés do MEF. Os ddos de simulção fom: 3, mm e, T... Modelo nlítio MEF Indução mgnéti (T) Supeonduto Váuo (m) Figu.4: Indução mgnéti () num ilindo infinito supeonduto imeso num mpo homogêneo onstnte,.obtid pelo MEF e pel epessão (.9).

21 .. MODEOS DO ESTDO CRÍTICO Os supeondutoes do tipo-ii pesentm um mioestutu e um mgnetição bem difeente dquels enontds nos supeondutoes do tipo-i. Enqunto que os últimos são gelmente fbidos om um únio mteil, os pimeios são, em su mioi, fomdos po ligs e ompostos. lém disso, o efeito Meissne, nulção do mpo mgnétio dento do supeonduto, é mis elevnte n desição do ompotmento mgnétio dos supeondutoes do tipo-i do que do tipo-ii. Os supeondutoes do tipo-ii sustentm o estdo Meissne té mpos ítios de vloes etemmente bios. lém desse vlo, hmdo de mpo ítio ( ), o mpo eteno omeç penet no mteil sob fom de um ede de filmentos ou tubos de fluos (fluóides). O dimeto desses tubos é meno do que pofundidde de penetção de ondon ( ). Esse poesso de entd de mpo evolui té um outo vlo de mpo ítio, onheido omo mpo ítio ( ), qundo todo o mteil fi peenhido po tubos de fluo e vi p o estdo noml. Ente os mpos e, o supeonduto se enont num estdo onheido omo estdo misto. O hmdo estdo ítio ooe qundo um supeonduto do tipo-ii, que se enont no estdo misto, pesent não-homogeneiddes em su estutu, o que possibilit o pisionmento (flu pinning) de tubos de fluo que penetm no mteil. Esse pisionmento de fluo onfee popieddes mgnétis impotntes o mteil, omo histeese, e é um ds ões que ton os supeondutoes do tipo-ii mis indidos p plições tenológis. P vloes im de o mteil se enont no estdo noml. Os modelos do estdo ítio busm epesent o ompotmento de supeondutoes do tipo-ii, tvés d onstução de egs que envolvm os vloes ítios ds gndes elétis e mgnétis epesenttivs e mensuáveis destes mteiis. C. P. en ([3]) foi um dos pimeios popo este tipo de bodgem, o sugei que s uvs de mgnetição dos supeondutoes pudessem se obtids po um modelo epesentdo po oentes ítis mosópis. Todos os modelos fenomenológios posteioes que se bsem ness pemiss (Kim e ndeson-kim), fim onheidos omo modelos do estdo ítio.

22 ... Modelo de en O modelo poposto po C. P. en (.964) pou epodui uv de mgnetição dos supeondutoes do tipo-ii ssoindo o mpo mgnétio que penet no mteil, um densidde de oente íti. De odo om o modelo, ess oente peoe o mteil supeonduto, pssndo ente os fluóides, e su mplitude é onsided onstnte. N medid em que mplitude do mpo plido () ument, um egião mio do supeonduto é peoid pel densidde, no sentido de nul o mpo eteno e, onseqüentemente, o mpo no inteio do supeonduto ( i ) ument. mnei omo i vi om é estbeleid pel ei de mpèe ( ) e depende d geometi do mteil. Qundo o mpo plido heg um detemindo vlo limite, epesentdo po *, o supeonduto é peoido integlmente pel densidde de oente íti. O mpo * é hmdo de mpo de penetção omplet e seu vlo é bem im de e bio de. Ns póims dus seções, seá pesentd plição do modelo de en p obtenção teói d uv de mgnetição de supeondutoes do tipo-ii, om dus geometis difeentes: pl infinit e ilindo infinito.... Mgnetição de um Pl Infinit Supeonduto pelo Modelo de en figu.5 pesent geometi do mteil, o sistem de oodends (tesino) e oientção do mpo eteno plido. 3

23 Figu.5. Pl infinit supeonduto. Oientção do sistem de oodends e do mpo plido. figu.6 most distibuição d densidde de supeoente e do mpo inteno, no plno -, p lguns vloes de mpo plido. Figu.6. Distibuições d densidde de supeoente e do mpo inteno p os seguintes vloes de mpo plido: ) * / ; b) * e ) *. 4

24 P o sistem de oodends esolhido, elção ente densidde de oente íti e o mpo mgnétio dento do supeonduto é dd pel ei de mpèe (p mpos om lent vição no tempo): i (.) Pel geometi do mteil e oientção do mpo plido, podemos eseve: ( ) ( ) (.) nlisndo os gáfios d figu.6, podemos dedui seguinte epessão p o mpo mgnétio no inteio do supeonduto: ( ) ( ) * i onde ( ) ( ) ( ) D D D D D D (.) pofundidde de penetção depende do mpo eteno plido e d densidde de oente íti supotd pelo mteil. Consideemos situção pesentd n figu.7 e o minho de integção indido. Figu.7. Cminho de integção p pofundidde de penetção, segundo o modelo de en. plindo ei de mpèe, n su fomulção integl, no minho im obtemos: S d S d 5

25 D D D d D (.3) P que o supeonduto se enonte no estdo ítio etenmente deve se igul : D, o mpo plido C D * (.4) densidde de fluo médi lol que pee dento do supeonduto qundo este é mgnetido po um mpo eteno, e mgnetição M oespondente, podem se lulds po meio ds seguintes definições: V idv (.5) dv V ( M ) (.6) plindo epessão (.5) p pl infinit temos: i) P * ( D/) D D d D ddd D D ( ) ddd ( ) d ( ) D i D * D * D D 8 D D 8 D 8 D D 8 D D (.7) D 6

26 D Como e *, então * D e. Podemos, potnto, eseve:. Est elção pemite que se obtenh um epessão p * D densidde de fluo em função do mpo plido e do mpo de penetção omplet. (.8) * mgnetição é obtid plindo-se epessão (.6). M * M * (.9) * ii) P * * D ( ) d ( ) d D * * D * (.) * M (.) Um ve que uv de mgnetição dos supeondutoes pesent histeese, devemos supo que pemneç dento do supeonduto um densidde de fluo emnesente ( ), mesmo pós etid do mpo mgnétio eteno. Consideemos situção ilustd n figu.8. Nel enontmos o supeonduto sendo sujeito dois vloes de mpo eteno difeentes. 7

27 Figu.8. Densidde de fluo emnesente p pl infinit. N etp de mgnetição, o mpo plido vle, e densidde de oente íti penet té um distni igul no inteio do mteil. Vmos supo tmbém que é meno do que o mpo *. Confome visto nteiomente, densidde de fluo que penet no supeonduto é igul : (.) * D Se etimos o mpo eteno, fendo, obteemos o gáfio d figu.8b. Um ds hipóteses do modelo de en é que pós etid do mpo, distibuição d densidde de oente íti no supeonduto é tl que, dento d egião delimitd po, s oentes se dividem em dus egiões om mesm pofundidde de penetção ( ) e sinis opostos. Um fom de se lul densidde de fluo emnesente é pli definição (.5) n figu.8b. P isso, teímos que eeseve epessão p o mpo inteno, 8

28 em função de e. Um mnei ltentiv e mis páti de se obte o mesmo esultdo se bsei n epessão (.7). Se onsidemos que est epessão se efee à ontibuição positiv d densidde de oente íti, epesentd pel áe n figu.8, podemos lul o fluo emnesente somndo s ontibuições positivs, mds n figu.8b pels áes indids pel let. Fendo isso, teemos: 4 D 4 D (.3) D * Se, depois de temos nuldo o mpo eteno, plimos um mpo de vlo /, teímos seguinte situção, ilustd n figu.9. Figu.9. nálise de um situção espeífi de mgnetição, segundo o modelo de en. Nests iunstnis, somndo s ontibuições identifids pel let C, teímos um densidde de fluo no inteio do supeonduto igul : 9

29 6 D 4 D 6 D (.4) 8D 6 * 8 Com o que já foi eplido sobe mgnetição e o fluo emnesente, podemos dedui, pti ds epessões (.8) e (.3), que um lço ompleto d uv de mgnetição, deve se esito onfome epessão que se segue: ( ) ±, * (.5) * 4 * N epessão (.5) o vlo é o módulo máimo que o mpo eteno pode ssumi e é o vlo tul do mpo. O sinl de mis é usdo qundo se vi de té e o sinl de menos é usdo no ilo de volt.... Mgnetição de um Cilindo Infinito Supeonduto pelo Modelo de en figu. pesent geometi e o sistem de oodends p o so em que o supeonduto é um ilindo infinito. Figu.: Cilindo infinito supeonduto. Oientção do sistem de oodends e do mpo plido.

30 Como o sistem de oodends é o ilíndio, ei de mpèe fi esit d seguinte fom: ( ) i (.6) Pel situção físi mostd n figu., temos que. ogo: ( ) ( ) (.7) Como s oodends no eio não pesentm vloes negtivos, o ompotmento do mpo dento do supeonduto e distibuição ds supeoentes, p um mpo plido etenmente, deve se onfome indi figu.. Figu.. Compotmento do mpo inteno e distibuição d densidde de oente íti, em supeonduto em fom de ilindo infinito.

31 Po inspeção dos gáfios d figu., podemos dedui seguinte epessão p o mpo mgnétio inteno o supeonduto: i ( ) ( ) * onde ( ) ( ) R R R (.8) Podemos obsev tmbém, ompndo os gáfios d figu. om os gáfios d figu.6, que pofundidde de penetção possui mesm elção om e pesentd pel epessão (.3). Isto pode se veifido, esolvendo-se integl de um peuso semelhnte àquele indido n figu.7. Qundo ooe penetção omplet do mpo ( R), tem-se: * R (.9) densidde de fluo dento do supeonduto pode se luld plindo-se definição (.5) à geometi do mteil, junto om epessão (.8): i) P * ( R): π R πr i R ( ) ddd π [ ( ) ( *)] πr d 3 (.3) R 3R Se usmos os esultdos de (.3) e (.9) n epessão (.3), obtemos: 3 (.3) * 3 * ii) P * * P este so temos: ( ) R R d * d R

32 solução é mostd bio: R * (.3) 3 3 P o álulo d densidde de fluo emnesente, poedeemos de mnei semelhnte àquel dotd p o so d pl infinit. Consideemos os gáfios d figu.. Figu.. Densidde de fluo emnesente p o ilindo infinito. Eles nos mostm o mpo inteno e distibuição d densidde de oente íti, no inteio do supeonduto, pós te sido plido e em seguid etido um mpo de intensidde. evndo em ont epessão (.3) e somndo-se pens s ontibuições efeentes à áe D temos, p *: 3

33 3 4 4 R R 3 (.33) R R * 4 * 3 D mesm fom, se pós etid do mpo, plimos um mpo de vlo /, teemos s distibuições de mpo e densidde de oente mostds n figu.3. Figu.3. Cmpo inteno e densidde de oente íti p um so ptiul de mgnetição. densidde de fluo que fi no supeonduto é luld utilindo-se epessão (.3) e somndo s ontibuições indids pel let E: 4

34 R R R R 3 3 * 3 9 * R R (.34) O ilo ompleto d uv de histeese, p um supeonduto de geometi ilíndi, pode se desito pel epessão bio: ( ) ( ) ± ± 3 3 * 4 3 * *, * (.35)..3. Modelo de Kim Como foi mostdo, no modelo de en densidde de oente é onsided onstnte ( ), vindo pens pofundidde de penetção onfome um vição no mpo eteno plido. O modelo do estdo ítio fomuldo po Y.. Kim, C. F. empsted e. R. Stnd ([4]), utili um poimção invesmente popoionl p elção ente densidde de oente que flui no supeonduto e densidde de fluo mgnétio no inteio do mesmo Mgnetição de um Cilindo Infinito Supeonduto pelo Modelo de en geometi e uv epeimentl do supeonduto utilid nos epeimentos de Kim p vlidção de seu modelo se enontm n figu.4. 5

35 Figu.4. ) Supeonduto do Tipo II om geometi tubul. b) Cuv oespondente.(refeêni [4]) Obsev-se tmbém n figu im, que o io do tubo é epesentdo pel viável e espessu, po w. viável p o mpo eteno plido é e intensidde de mpo mgnétio medido n pte de dento do tubo é epesentd pel viável. O sistem de oodends utilido p obtenção ds epessões é o ilíndio. Consideou-se ind, que o ompimento do tubo é muito mio que o seu dimeto, de fom que os efeitos de bod possm se despedos e o tubo se ompote omo um tubo infinito. geometi tubul foi esolhid po popoion um lto gu de peisão n obtenção ds medições. Detlhes sobe os poedimentos epeimentis dotdos po Kim e seus olbodoes podem se enontdos n efeêni [4]. uv pesentd n figu.4b most o ompotmento mgnétio do supeonduto no estdo ítio. s uniddes nos eios estão no sistem CGS. Pode-se veifi influêni d tempetu pel ompção ente s uvs obtids n tempetu de 3,3 K (uv ) e 4, K (uv ). et de inlinção igul 45º epesent o limite témio em que o mteil se enont no estdo noml. Ests uvs só podem se obtids p vições lents no vlo do mpo mgnétio eteno, de tl fom que e pemneçm póimos de seus vloes de equilíbio. ssume-se tmbém que o mpo é plido pós o mteil supeonduto te sido esfido bio de su tempetu íti (Zeo Field Cooling ZFC). Se umentmos lentmente o vlo do mpo plido 6

36 pti d oigem, o mpo medido no inteio do tubo pemnee eo té que tinj o mpo de penetção plen d most, que é indido n figu pel viável s. Neste ponto, tod pede do tubo se enont peenhid po um ede de vóties de fluo mgnétio. im deste vlo, s supeoentes não onseguem nul mis o mpo eteno, e o mpo inteno omeç ese junto. Chmemos este teho d uv de mgnetição de blindgem, um ve que s oentes nest fse tendem inibi entd de mpo no supeonduto. No teho de blindgem temos que: > >. Se omeçmos diminui o vlo de pssmos p o teho de pisionmento, já que s supeoentes nest fse fluem no sentido de mnte os fluóides n pte de dento do tubo. Qundo o mpo eteno se nul, os fluóides ontinum peenhendo tod pede do tubo, em um distibuição peiódi espil, omo um ede de vóties, e s supeoentes ssoids estes vóties onseguem impedi que um mpo de intensidde s tvesse pede do tubo p o ldo de fo. O mpo só se ton eo qundo plimos um mpo eteno no sentido oposto, de vlo - s. Est fse é hmd de desmgnetição, e o speto d uv ness egião deve se entendido omo um omposição de dois efeitos: o efeito desmgnetinte imposto pel penetção do mpo eteno no sentido oposto, e o efeito do mpo poduido pels supeoentes em blind entd deste mpo negtivo, o que fotlee o mpo poduido pelos fluóides pisiondos. ntes de ptimos p s onsideções do modelo de Kim e sus epessões p uv de mgnetição, onvém intoduimos lguns oneitos e definições que seão úteis dunte o desenvolvimento: i) mgnetição totl poduid pels supeoentes induids ns pedes do tubo é dd pel epessão: M (.36) ii) Define-se M omo sendo o módulo d mgnetição do supeonduto dunte fse de blindgem, qundo se ument o mpo eteno pti de eo. Ness etp, o vlo de é meno que o vlo de, omo podemos onstt pelo gáfio d figu.4b. 7

37 iii) M é o módulo d mgnetição do supeonduto dunte fse de pisionmento. Nest etp, que epesent um edução do mpo eteno té eo, o vlo de é supeio o de. iv) O mpo médio ente o mpo eteno plido e o mpo inteno pode se luldo pel epessão: * ( ) (.37) plindo epessão (.36) n epessão (.37) temos: M * ( M ) (.38) Se usmos no lug d epessão (.36) s definições de M - e M enontds em ii) e iii), teemos: M ± * ± (.39) Como eistem dois tipos de mgnetição (M e M - ), foi definid um mgnetição médi p o supeonduto, qul está ssoid um densidde de oente médi (*): M ( M M ) w os( θ ) (.4) onde w é espessu d pede do tubo e θ é o ngulo ente oigem do sistem de oodends e pede inten do tubo (figu.4). Qundo o ompimento do tubo fo bem mio que o seu dimeto, θ se ton ptimente nulo, e o ilindo pode se onsidedo omo infinito. O ompotmento usulmente obsevdo p elção ente densidde de oente e densidde de fluo, sugee seguinte séie de epnsão: α 3 3 (.4) onde é densidde de fluo íti im d qul o efeito Meissne não eiste mis. onstnte α é um medid epeimentl d most, e que epime pidde de ondução de oente d mesm. Est onstnte é fotemente dependente d mioestutu 8

38 físi do mteil. Se os oefiientes, 3,..., foem sufiientemente pequenos, podemos edui elção im p um simples equção line: α (.4) Podemos veifi pel elção im ( α ), que o pmeto α equivle à foç de oent eeid sobe o tubo de fluo em função do mpo penetdo e d oente que flui no supeonduto. Est onseqüêni do modelo é omptível om estutu de edes de fluóides, pesente em supeondutoes no estdo misto. Consideemos um únio tubo de fluo que penetou n most, que está submetid um mpo eteno onstnte de vlo. o tubo de fluo ssoiemos um densidde de fluo. situção está ilustd n figu.5. Figu.5. Influêni d foç de oent no modelo de Kim, p deteminção d densidde de oente íti. Obsevmos que tnsveslmente o tubo de fluo, flui um densidde de oente, que tem o objetivo de blind o supeonduto qunto à entd de novos tubos. O sentido dest densidde de oente é tl que o mpo poduido po el tende se opo o de (que é ). densidde de oente de blindgem e o fluo que penetou no mteil gem um foç de oent, po unidde de volume, igul : F. Devido impefeições do mteil (po eemplo: istos, fonteis ente os gãos), há um foç de eção FR (foç de pinning ou pisionmento), ontái F que tende impedi o 9

39 movimento dos fluóides no sentido de F. Podemos ssoi est foç de eção um mpo elétio E R n mesm dieção de, poém om sentido ontáio. O efeito deste mpo ontáio equivle um esistêni eléti que limit densidde de oente íti e ge lo po efeito oule. No limite em que se ton igul, foç de oent ( α )se ton igul à foç de pisionmento máim ( α ). im de, ooe o deslomento do fluóide. N vedde, eiste ind um dependêni d densidde de oente om o tempo que, pes de se veifid epeimentlmente, não é levd em ont no modelo de Kim. No modelo de Kim eiste pens dependêni om densidde de mpo inteno lol (). Desonsidemos tmbém ooêni de sltos de fluo (flu jump), que podem ontee em supeondutoes de bis tempetus ítis, nos quis s edes de fluóides estão mis fimemente pess. Como os supeondutoes que iemos tblh são de lts tempetus ítis (TS), s edes de vóties estão menos fimes e o fenômeno mis impotnte se onsidedo é o flu eep, que seá boddo pelo modelo de ndeson-kim. Mostemos os pssos p dedução d uv de mgnetição do supeonduto. De odo om o modelo de Kim, qundo o supeonduto se enont no estdo ítio, tod egião mosópi d most é peoid po um densidde de oente íti, uj elção om o mpo lol é dd pel epessão (.4). Ess elção unívo ente densidde de oente e densidde de fluo, nos pemite deseve o ilo de mgnetição po meio ds dus epessões bio: b m ( m) () b (.43) onde b h s viáveis m, b e h epesentm mgnetição, densidde de fluo e intensidde de mpo lol, em um ponto qulque dento ds pedes do tubo ou em um ponto qulque do espço, espetivmente. 3

40 Consideemos um supeonduto ilíndio, onfome most figu.6. ltu do ilindo é muito mio do que o seu dimeto, de modo que os efeitos de bod podem se despedos. Figu.6. Supeonduto om geometi ilíndi. lolição do sistem de oodends e dieção ds viáveis vetoiis indids n figu.6 pemitem que se esevm s seguintes elções: ; h b( ) ; [ b( ) ] ; m m( ) b (.44) Se plimos s equções de (.43) p um most om ess geometi, teemos: m m m m m ( m ) m (.45) Se onsidemos simeti d geometi do mteil juntmente om s elções (.44), temos que: ( ) m [ b ( )] (.46) Em, mgnetição deve se nul, um ve que este é o ponto n fontei ente o supeonduto e o meio eteno, onde o vlo do mpo é igul. Com isso, o desenvolvimento segue: 3

41 m m ( ) ( ) dm [ b( ) ] d m( ) [ b( ) ] d (.47) Utilindo o esultdo im om pimei epessão de (.43), temos: b ( ) [ ( )] [ ( )] m b d (.48) Um mnei mis onveniente de se tt mgnetição pode se obtid d seguinte fom: ( ) [ m( ) ] ( ) b m b( ) m ( ) b( ) (.5) Igulndo s epessões (.46) e (.5): [ b( ) ] ( ) b b ( b) b b ( ) ( ) [ m( )] b ( b) ( ) [ m( )] b ( b) (.5) Os sinis de m e são negtivos p um esimento de e positivos p um deésimo de. P um geometi tubul, omo quel mostd n figu.4, temos que intensidde de mpo totl que penetou pede do tubo, é dd pel epessão: b( w) (.5) mgnetição poduid pels oentes que fluem n pede do tubo é igul ; 3

42 ( ) w m M (.53) Substituindo s epessões (.5) e (.53) em (.5), temos que mgnetição do tubo supeonduto omo um todo ( ) w, deve se obtid po meio d seguinte epessão: ( ) ( ) ( ) ( ) * * M M M d d d w (.54) plindo go o modelo line de Kim p elção ente e (.4) n epessão (.54), obtemos: ( ) ( ) * * * * M M M M d d w α * * * * M M M M w α * M M w α ( ) * * M w α (.55) onde ( ) é obtido pels epessões (.36) e (.37), eliminndo-se. equção (.55) seve p most que s onstntes α e ( * * M ) podem se obtids de medids epeimentis de e *. Pssemos go p obtenção ds epessões p uv de mgnetição segundo o modelo. Desenvolvendo epessão (.54) em temos de e : 33

43 ( ) ( ) d d w α ( ) ( ) d w α w α Se definimos:, e w α (.56) Teemos: o (.57) P s uvs do º qudnte d figu.4b, podemos mnipul epessão (.57) d seguinte fom: o ± (.58) epessão (.58) é equção d hipébole. Se (blindgem), então o sinl de deve se negtivo. Se (pisionmento), o sinl de é positivo. > > > > uv de desmgnetição d egião do º qudnte d figu.4b ( ), pode se epesentd po um iunfeêni tvés d epessão: < < (.59) epessão p mgnetição em função do mpo plido (M()) pode se obtid pti ds epessões (.58) e (.59) p os espetivos intevlos: i) P ou : > > > > 34

44 ± ± ± ( ) ± M ± M (.6) ii) P : < < M M (.6) s epessões (.58), (.59), (.6) e (.6) são s epessões do modelo de Kim p mgnetição de um supeonduto no estdo ítio. figu.7 most s uvs teóis pevists po esss epessões, e elção line ente e. 35

45 Figu.7. Cuvs de mgnetição do modelo de Kim, p um supeonduto no estdo ítio. (Refeêni [4]) Podemos obsev que, de odo om figu.7, eistem dois eios de simeti n uv : o eio de dobmento, uj oientção está 45º do eio ds bsisss (eio ) e o eio de efleão, om oientção 35º do eio. Consideemos o ponto d uv de mgnetição n fse de blindgem em que o mpo eteno tinge o vlo do mpo de penetção plen, isto é e. Pel definição (.36):. ssim, ptindo de (.6), teemos que: s M s s s s s s 36

46 s s Pel simeti de dobmento, podemos fim que: s s (.6) pes de não onside o efeito temodinmio de ste dos tubos de fluo (flu eep) o modelo de Kim ofeee um bo poimção p s uvs de mgnetição dos supeondutoes do tipo-ii, podendo se plido p epesentção de plições supeondutos ujo áte dinmio e tnsitóio não peisem se onsidedos...4. Modelo de ndeson-kim difeenç bási ente este modelo e o modelo de Kim está n lei que deseve o ompotmento d densidde de oente no supeonduto. Enqunto que o modelo de Kim se bsei em um elção line ente e densidde de fluo mgnétio (.4), o modelo de ndeson-kim elion densidde de oente om o mpo elétio. Confome mostdo n efeêni [5], pte-se de um dependêni logítmi d densidde de oente p enegi de tivção: ( ) U U ln (.63) sendo U o vlo ítio p enegi de tivção. Relionndo epessão (.63) om ei de henius [3]: ( ) T k U E e E (.64) onde k é onstnte de oltmnn e E é o mpo elétio ítio, temos que: ( ) kt U e E E ln ( ) kt U e E E ln ( ) kt U E E (.65) 37

47 Definindo o pmeto: U n (.66) kt Obtemos lei do modelo que elion o mpo elétio à densidde de oente dento do supeonduto: E n n (.67) ( ) E O pmeto n pode epesent um onduto ôhmio (n ) té o limite em que foç de pisionmento é máim (n ). densidde de oente íti pode se onsided onstnte ou pesent lgum dependêni om o mpo mgnétio lol, omo elção (.4) do modelo de Kim. No pítulo 4, seá pesentd implementção deste modelo p os seguintes sos: b infinit supeonduto n pesenç de um mpo mgnétio homogêneo, ilindo finito supeonduto em mpo mgnétio homogêneo e ilindo finito supeonduto n pesenç de um mpo não-homogêneo poduido po um ímã pemnente. 38

48 3 FENOMENOOGI D EVITÇÃO MGNÉTIC SUPERCONDUTOR Como o popósito deste tblho é epodui e implement um modelo teóio de epesentção de supeondutoes p utilição no pojeto de mnis mgnétios supeondutoes, seão pesentds neste pítulo s teístis desejds que um supeonduto deve pesent p podui levitção, s plições d levitção e demis oneitos ineentes à levitção supeonduto e que seão utilidos o longo do tblho. 3.. CRCTERÍSTICS DE UM SUPERCONDUTOR PR EVITÇÃO Confome meniondo no pítulo, os supeondutoes do tipo-i são queles em que o Efeito Meissne ooe de fom plen, que die, penetção de fluo ooe pens póimo d supefíie, de odo om o vlo d pofundidde de penetção de ondon ( ), enqunto que nos supeondutoes do tipo-ii, eiste penetção peiódi do mpo sob fom dos tubos de fluo. Po este motivo, podei se espe que os supeondutoes do tipo-i fossem os mis indidos p levitção mgnéti. Entetnto, omo se pode onstt n tbel 3., o mpo ítio dos supeondutoes do tipo-i é muito bio, de tl fom que eles só onseguem evit penetção de mpos pequenos. lém disso, tempetu íti destes supeondutoes é muito bi, neessitndo seem esfidos om hélio líquido, o que ton su plição industil inviável do ponto-de-vist eonômio. Po outo ldo, veifi-se que tnto tempetu íti qunto o mpo ítio dos supeondutoes de lts tempetus (TS) são bem supeioes os do tipo-i. 39

49 Tbel 3.: Tempetu Cíti e Cmpo Cítio de lguns Mteiis Supeondutoes. Tipo de Supeonduto Mteil Tempetu Cíti - T Cmpo Cítio - (K) (/m) lumínio (l),,79 4 Tipo-I Cádmio (Cd),5, 4 Gálio (G),,4 4 Mo 3 -Re 6,7 5 ( ) Tipo-II Ti -Nb 9 ~8 6 ( ) Nb 3 Sn 8 ~,6 7 ( ) TS Y Cu 3 O 7 93 Tl C Cu 3 O 5 > 8 7 ( ) > 7 ( ) Como os supeondutoes de lts tempetus são sos etemos de supeondutoes do tipo-ii, levitção não se dá po ont do Efeito Meissne. P que um TS poss se útil p levitção é neessáio que o mteil ontenh um eto gu de impues ou flhs, de tl fom que os vóties que penetm fiquem pisiondos nest egião e, om isso, difiultem tnto entd de novos tubos de fluo qunto movimentção dos tubos viinhos. Est teísti de limit entd de fluo é hmd de pisionmento de fluo (flu pinning), e el onfee um áte tnto de epulsão qunto de estbilidde p levitção. Como os vóties não podem mis ent, o ímã é epelido e, omo eles onentm pte do fluo do ímã, há um esistêni um deslomento hoiontl do mesmo. figu 3. pesent um ilustção do que foi eplido. Figu 3.: Repesentção dos tubos de fluo dento de um TS om um ímã pemnente levitndo sobe o mesmo. s sets epesentm s densiddes de fluo efeentes o ímã pemnente e os tubos de fluo que penetm no mteil. N figu tmbém estão identifidos os plnos 4

50 -b e o eio. O plno -b é o plno de ondução, onde s popieddes supeondutos se mnifestm om mis intensidde, isto é, po onde s oentes de blindgem e s supeoentes fluem de mnei pefeenil. O eio é dieção segundo qul os tubos de fluo devem est oientdos. lém de seguiem um oientção bem definid, s fonteis ente os gãos devem se s menoes possíveis. eplição está no ompimento de oeêni ξ ([]) dos TS. P que s oentes de tnspote iulem pelo mteil sem pesent esistêni, o espçmento ente os gãos tem que se d odem de ξ. Como os TS são sos etemos de supeondutoes do tipo-ii, o seu ompimento de oeêni é bstnte pequeno, eigindo que os gãos sejm bem oneos. elção deste fto om levitção é que se pode ssoi à oente de tnspote, um oente de blindgem (i b ), o edo dos vóties, que se opõe o movimento dos mesmos. Se os gãos são oesos, oente íti é elevd. Se é lto, s oentes de blindgem tmbém seão elevds e, onseqüentemente, mgnetição e foç de levitção ssoids o onjunto dos vóties ontidos em d gão têm vlo lto. Est situção está ilustd n figu 3.. Figu 3.: Impotni do espçmento ente os gãos p levitção N figu, s sets p bio são s densiddes de fluo do ímã que penetm no supeonduto sob fom de vóties; s sets n hoiontl indim s oentes de tnspote, e s sets que se fehm em si oespondem às oentes de blindgem (i b ) ssoids à densidde de oente íti ( ). 4

51 Conluindo, p seem úteis à levitção, os supeondutoes de lts tempetus peism te um eto gu de impue ou flh, e pesent gãos bem oientdos e oneos. 3.. COMPORTMENTO D FORÇ VERTIC densidde de fluo sobe supefíie do supeonduto ument se o ímã pemnente fo empudo p mis peto do pimeio. Em onseqüêni, foç de levitção epulsiv tmbém ument. Se o ímã fo fstdo p su posição iniil, podei se espe que foç epulsiv eduisse té o seu vlo iniil. No entnto, devido o pisionmento dos vóties, eiste, om poimção do ímã, um umento d foç de tção ente o ímã e os vóties no mteil, de tl fom que foç de epulsão se ton meno do que iniil. uv que most intensidde d foç de epulsão vetil, em função d distni de fstmento ente o ímã pemnente e o supeonduto, está mostd n figu 3.3. Figu 3.3: Foç de epulsão vetil ente um ímã pemnente e um TS, em função d ltu de levitção (Refeêni [3]). linh pontilhd indi o ponto de equilíbio ente foç de levitção e o peso do ímã. Se o ímã fo empudo p mis peto do supeonduto, ptindo do ponto p o ponto C, foç de epulsão ument po ont efeito dimgnétio ds oentes de blindgem. Qundo foç eten é etid, o novo ponto de equilíbio é mis póimo do supeonduto devido à histeese do mteil, osiond pelo pisionmento de fluóides. 4

52 3.3. COMPORTMENTO D FORÇ ORIZONT ssim omo foç vetil, s foçs hoiontis eeids sobe o ímã pemnente, segundo o plno -b, sofem um esistêni po ont dos tubos de fluo que tendem mnte o ímã em um posição estável. D mesm fom que no so vetil, s foçs longitudinis pesentm um ompotmento om histeese. figu 3.4 pesent dus uvs etíds d efeêni [7]: um onsidendo que o TS foi esfido mpo eo (ZFC Zeo Field Cooling) e out om esfimento n pesenç de mpo (FC Field Cooling). Figu 3.4: Cuvs de histeese p s foçs hoiontis eeids sobe um ímã pemnente em função do deslomento ltel (ZFC e FC) (Refeêni [7]). s uvs mostm que qundo o TS é esfido n usêni de mpo (ZFC), ele se ton instável p deslomentos lteis. igide hoiontl é negtiv F ( K < ), e se o ímã fo deslodo, po eemplo, p dieit, foç tmbém seá p dieit, e ele pedeá estbilidde. Se o supeonduto é esfido n pesenç de mpo (FC), ele é estável PICÇÕES D EVITÇÃO MGNÉTIC SUPERCONDUTOR EM MNCIS MGNÉTICOS Um ds plições tenológis mis desenvolvids tulmente, envolvendo levitção mgnéti, é onstução de mnis mgnétios supeondutoes. ssim omo p os mnis eletomgnétios, um gnde vntgem de se utili um mnl 43

53 supeonduto no lug dos mnis menios ou hidodinmios onvenionis, é eliminção do tito menio ente os olmentos. Isto pemite lnç veloiddes de otção bem mioes e diminui s peds do sistem. lém disso, p o so espeífio dos mnis supeondutoes, popiedde do pisionmento de fluo onfee um áte de estbilidde que, nos demis mnis mgnétios, é obtido po meio de iuitos eletomgnétios, o que elev o seu onsumo. Em ontptid, os mnis que utilim supeondutoes têm um gsto om efigeção que os outos não têm. figu 3.5 most um esquem básio de um mnl utilindo supeondutoes de lts tempetus. Figu 3.5: Esquem básio de um mnl mgnétio supeonduto, utilindo TS. Devido às foçs de epulsão eeids pels pstilhs supeondutos, o oto levit no meio do minho ente els podendo, entetnto, gi em tono do seu pópio eio. O tito que suge, fi po ont d eodinmi e ds oentes psits geds po vição de fluo. O tito eodinmio pode se dstimente eduido, se o sistem fo montdo dento de um m de váuo. Confome dito im, penetção de fluo vis fonee o oto, estbilidde p gi sem pende p nenhum ds dieções: p im, p bio, p os ldos, p fente e p tás. Ess popiedde é onheid omo igide mgnéti do mnl. O mnl d figu 3.5 é do tipo empuo (thust being), pois foç de levitção está plid plel o eio de otção. Outs onfiguções de mnis do tipo empuo são pesentds n figu

54 Figu 3.6: Configuções ltentivs de mnis supeondutoes do tipo empuo (thust being) (Refeêni [7]). O que há de omum nests onfiguções é que els são híbids, utilindo tnto ímãs pemnentes qunto supeondutoes, p gnti levitção. N onfigução do meio, po eemplo, levitção se dá pel epulsão ente os dois ímãs. O supeonduto é inseido no meio dos dois p estbili epulsão ente os dois. onfigução de mnl que seá nlisd pelo modelo de ndeson-kim, pesentdo no pítulo, é onfigução d dieit (um ímã sobe um supeonduto). Um outo tipo de mnl é o dil (jounl being), onde foç de levitção é plid num dieção pependiul o eio de otção. figu 3.7 pesent um ilustção om este tipo. Figu 3.7: Esquem de um mnl supeonduto do tipo dil. Dente os dois tipos, o de empuo é o mis indido qundo se neessit de um foç de levitção elevd. pessão mgnéti (P m ) sobe supefíie de um ímã depende ds densiddes de fluo tngenil ( t ) e noml ( n ) n supefíie. epessão d pessão mgnéti está mostd bio: P m ( ) t n (3.) 45

55 Qunto mio fo pessão sobe supefíie de bio do ímã, em elção à supefíie de im, mio seá foç de levitção. Como nos mnis do tipo dil há um vição d densidde de fluo sobe supefíie do ímã, à medid que o oto gi, não eiste um difeenç gnde de pessão omo ooe no so do mnl de eso. Um pmeto bstnte utilido p omp divesos tipos de mnis é o oefiiente de fição (COF oeffiient of fition). O COF tibui um vlo p o tito mgnétio que eiste ente s densiddes de fluo. Ele é luldo pel seguinte epessão: πrγ COF onde, R γ df dt ( ) gr D é o io de gio do oto; f é feqüêni de otção; t é o tempo; g é eleção d gvidde, e R D é o io médio, onde foç de tito mgnétio tu. (3.) P mnis om olmentos menios, o COF é d odem de -3. P mnis eletomgnétios, o vlo de COF se enont em tono de -4. P os mnis om supeondutoes, o vlo de COF heg -7. Mesmo qundo se omput enegi gst om o esfimento do supeonduto, os mnis supeondutoes se pesentm om menos peds mendo Cinétio de Enegi (Flwheel) dásti edução do tito lnçd om o uso dos mnis supeondutoes, tonou-se o pinipl fto p um nov ond de pesquiss dieionds à onstução dos hmdos mendoes inétios de enegi. Estes equipmentos são bteis que menm enegi sob fom de enegi inéti otionl, podendo devolvê-l, po eemplo, sob fom de enegi eléti. epessão d enegi que pode se mend neste equipmento, é dd pel epessão: 46

56 E ot. C ω I (3.3) onde, I é o momento de inéi d mss ginte e ω é veloidde ngul d mss. Pel epessão, peebe-se que enegi mend é dietmente popoionl o momento de inéi e dietmente popoionl o quddo d veloidde ngul. Po este motivo, ostum-se opt pelo umento d veloidde ngul qundo se bus um menmento mio de enegi. P plições em sistems de potêni, veloidde de otção fi em tono de 4. pm. N figu 3.8 se enont o esquem de um mendo inétio de enegi, om, o eio de otção n posição vetil. Figu 3.8: Esquem básio de um sistem flwheel. O sistem é omposto ds seguintes ptes: um m de váuo, p elimin s peds po tito eodinmio; o volnte de inéi, que vis ument o momento de inéi do sistem; um moto elétio, usdo tnto p enteg enegi o eio, fendo o mesmo gi, qunto p eti enegi mend no movimento; o mnl que, no so, utili supeondutoes de lts tempetus p fe o volnte levit, e o ímã pemnente, sobe o qul se pói o eio do volnte. lgums plições deste pelho em sistems de potêni são: injeção instntne de potêni tiv n ede, p sustent pios n demnd, e ompensção etiv em bs, visndo o ontole de tensão. Esses sistems tmbém podem se usdos 47

57 em onjunto om usins eólis, p ument o gu de onfibilidde no foneimento de enegi. 48

58 4 IMPEMENTÇÃO DO MODEO DE NDERSON-KIM PR SIMUÇÃO DE SUPERCONDUTORES Neste pítulo, seão pesentds s eplições efeentes às implementções do modelo de ndeson-kim p o álulo d densidde de oente no inteio de supeondutoes. Com obtenção deste esultdo, fom lulds s uvs de mgnetição dos mteiis e foç de levitção em função d ltu, no so de um supeonduto n pesenç de um ímã. Os sos boddos são os seguintes: b infinit supeonduto n pesenç de um mpo mgnétio homogêneo om vições line e senoidl no tempo, ilindo finito supeonduto em um mpo mgnétio homogêneo om vição senoidl no tempo, e ilindo finito supeonduto n pesenç de um ímã pemnente finito e ilíndio om eg de poimção (e fstmento) senoidl. metodologi utilid em todos esses sos é onstituíd de quto pssos: no pimeio, pli-se equção de iot-svt, n su fomulção p o potenil veto mgnétio [8], p desição do mpo poduido pels oentes no inteio do supeonduto e tmbém, no so d levitção mgnéti, p o mpo mgnétio gedo pelo ímã pemnente; no segundo psso, f-se uso d equção (.67) do modelo de Kim- ndeson p se obte equção integl [9] p deivd tempol d densidde de oente no supeonduto; no teeio psso, eseve-se equção integl do psso nteio em su fomulção numéi tvés do Método dos Momentos ([]); no quto psso, integ-se numeimente epessão obtid no teeio psso, ssumindo vlo iniil nulo p densidde de oente. 4.. CSO : RR INFINIT SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO MGNÉTICO OMOGÊNEO 4... Desição nlíti figu 4. pesent situção físi, om geometi do supeonduto, dieção do mpo eteno plido e o sistem de oodends utilido. 49

59 Figu 4.: infinit supeonduto, n pesenç de um mpo mgnétio homogêneo om vição no tempo. N figu im, o veto loli um ponto em qulque lug do espço, tendo omo efeêni oigem do sistem de oodends. O veto loli um ponto dento do supeonduto. plindo definição do potenil veto ( ), oientção d densidde de fluo plid ( ) e geometi do sistem pesentdo n figu 4., O potenil veto plido pelo mpo mgnétio eteno pode se esito d seguinte fom: ( t) () t, (4.) O potenil veto em qulque egião do espço, poduido pels oentes no inteio do supeonduto (seção etngul d figu 4.) omo eção o mpo eteno, pode se luldo pel ei de iot-svt, n su fomulção p o potenil veto, em oodends tesins: b ( ) (, t) t d d d, (4.) 4π R b, onde: ( ) ( ) ( ) R R (4.3) Inseindo (4.3) em (4.): 5

60 b ( ) (, t), t d d d b 4π ( ) ( ) ( ) Integndo epessão nteio em elção viável obtém-se: b ( t) d d Qb (, ) ( t), b onde:, (4.4) ( ) ( ) ( ), ln Q b (4.5) π O potenil veto globl, envolvendo ontibuição do mpo eteno e ds supeoentes pode se esito onfome bio: (, t) (, t) (, t) b (, t) d d Qb (, ) (, t) () t (4.6) b Considendo simeti d seção etngul d figu 4., temos que: ( ) (, ) (, ) (, ),. O kenel de integção (4.5) pode se esito somente p o pimeio qudnte se fiemos: Q sim (, ) Qb (, ) Qb (, ) Qb (, ) Qb (, ) opeção, obtemos: Q sim. Com ess ( ) ( ) ( ), ln ln ( ) ( ) π ln π π ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ), ln π [ ]( ) ( ) [( ) ( ) ]( ) ( ) [ ] [ ] Q sim (4.7) 4 π Com este esultdo, podemos eeseve equção (4.6) d seguinte fom: Kenel é o núleo essenil de um lgoitmo. No so d integl em questão, o kenel é pte que se efee unimente à geometi do sistem, sendo independente d viável tempo. 5

61 b (, t) d d Qsim (, ) (, t) () t (4.8) Deivndo no tempo temos: t (, t) b ( ) (, t) d ( t) d d Qsim, (4.9) t dt Utilindo definição do potenil veto p eseve ei d Indução de Fd n fom ( ( ) (, t) E t, ), e plindo n equção (4.8), obtém-se: t b ( ) ( ) (, t) d ( t), t d d Qsim, E (4.) t dt Invetendo equção (4.), obtemos: t (, t) b d ( t) ( ) ( ) d d Qsim, E, t (4.) dt 4... Inlusão do Modelo de ndeson-kim plindo-se equção do Modelo de ndeson-kim (.67) n equção (4.), obtém-se seguinte equção integl: t n (, t) b ( ) (, t) d [ ( )] () t d d Qsim, E sign, t (4.) dt Devido à ompleidde d solução nlíti dest integl, utili-se o Método dos Momentos p tnspo equção (4.) p um fomulção numéi. Os pssos utilidos neste poedimento se enontm n póim seção lgoitmo p Implementção Numéi implementção numéi deste modelo se bseou n metodologi dotd pel efeêni [5]. pimei povidêni se tom é utili uniddes eduids, nomlids po lguns pmetos do sistem. P o so d Infinit, fom esolhidos os seguintes pmetos de efeêni: 5

62 E (4.3) Dest fom, tods s gndes lulds po meio deste lgoitmo estão sendo efeenids os vloes destes quto pmetos. nomlição ds uniddes efeenids um bse é impotnte p este tipo de lgoitmo poque os vloes p densidde de oente íti ( ) eis, no SI, são muito ltos, vindo ente 8 e /m. Se os álulos fossem feitos no SI, seim neessáios mis pssos de integção (dt) p que densidde de oente no supeonduto, que iniilmente é nul, hegsse. Pssemos go p o mpemento d seção etngul d b infinit. figu 4. most egião mped efeente o º qudnte. Figu 4.: Indição d egião mped no supeonduto (º qudnte). Utiliemos, po eemplo, 8 pontos (N 8) p diseti seção n dieção. P este lgoitmo, seá dotdo que elção ente o númeo de pontos n dieção (N ) e o númeo de pontos n dieção (N ) sej igul : b N N (4.4) Consideemos, seguindo o eemplo, que b, em uniddes eduids efeenids, sej igul b,5. Com isso, teemos N 4 e gde de mpemento teá um totl de N N N 3 pontos. N figu 4.3., enont-se um visulição p este eemplo de mpemento. 53

63 Figu 4.3: Gde p o mpemento d seção de evolução Infinit. lógi de disposição dos pontos n mlh p onstituição de um gde eqüidistnte é plid po meio ds epessões: i) P dieção ind ind,, K, N ind N (4.5) Confome se pode obsev n figu 4.3, o espçmento d, em função do ompimento d seção n dieção e do númeo de pontos utilidos n mesm dieção p onstução d mlh, é ddo po : d (4.6) N ii) P dieção ind ind,, K, N ind b N (4.7) Est elção equivle um opeção de deivção d epessão p ind em elção ind. Este poedimento de deivção p obtenção de d tmbém podei se usdo se eg de montgem de ind fosse difeente de um espçmento eqüidistnte. 54

64 b d (4.8) N Pssndo equção integl nlíti (4.) p su fomulção numéi, pelo Método dos Momentos [], temos: N () t () t t i j Q sim ij E j n sign [ () t ] j j d () t dd dt Substituindo o somtóio po um multiplição de mties: () t () t t ( N) n N d [ () ] () t ( ) Qsim E sign t N NN ( ) ( N) dd (4.9) ( ) dt Os elementos Q simij são obtidos plindo-se epessão (4.7), juntmente om s egs de fomção d mlh definids po (4.5) e (4.7), obedeendo seguinte onvenção: i j i j i,, K, N j,, K, N (4.) P se evit divegêni nos elementos d digonl pinipl de Q sim(nn), utiliou-se s eomendções indids no pêndie d efeêni []. oientção onsiste em som, qundo i j, os temos ( ) i j o fto: d d d d d d ep ln 3 tn tn d d d d ε i (4.) 55

65 Outo fto que teve que se inseido p gnti estbilidde numéi dos álulos foi um peso multiplindo d um dos elementos d mti Q sim(nn). P o so d Infinit, o peso é definido pel epessão: peso N dd (4.) Sem este fto, os inementos efeentes à deivd d densidde de oente (4.9) se tonm etemmente pequenos e não levm um integção numéi ápid e estável de Integção Numéi no Tempo O vlo d densidde de oente, em um ponto d mlh, p um detemindo instnte de tempo t, é luldo po meio de um eg de integção diet simples: ( t) (4.3) t ( N) ( t) ( N) dt ( t dt) ( N) onde dt é o intevlo de tempo. O vlo iniil p o mpo mgnétio e p densidde de oente é nulo. fómul p dt utilid neste lgoitmo, e que endeu os melhoes esultdos qunto à veloidde e à estbilidde de poessmento, é epess po: dt (N ) { min[ ( t) ] } i (4.4) 4 4 b (4.5) ( N nw). (4.6) ( t) ( N) E ( t) ( N) n E( t) ( N) ( N) ( t) ( t) ( N) E (4.7) ( t) ( t) ( t) ( N) n ( N) ( N) 56

66 Um ve luld densidde de oente no supeonduto, uv de mgnetição pode se obtid tvés do álulo do momento de dipolo mgnétio, po unidde de ompimento, poduido pel oente em d ponto d mlh: b () 4 d d (, t) m t Considendo que o mpo mgnétio plido possui pens omponente : b (, t) m ( t) 4 d d (4.8) No pítulo 5 seão pesentdos os esultdos dess implementção p mpos mgnétios om vição line e senoidl no tempo. Fom obtids densidde de oente e uv de mgnetição, em função d intensidde do mpo plido, d elção b/ d seção etngul d b, e do pmeto n do supeonduto. listgem do pogm, desenvolvido em Mtlb, om implementção omputionl deste lgoitmo, se enont no pêndie D. 4.. CSO : CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO MGNÉTICO OMOGÊNEO 4... Desição nlíti situção físi desse so está epesentd n figu 4.4, po meio de um sistem de oodends ilíndis. 57

67 Figu 4.4: Cilindo finito supeonduto, n pesenç de um mpo mgnétio homogêneo om vição no tempo. Com bse n simeti do sistem, podemos onlui que o potenil veto plido só pode possui omponente, vindo tnto em qunto em. Com ests onsideções e plindo definição do potenil veto, heg-se seguinte epessão p o potenil veto plido etenmente: ( t) () t, (4.9) P o potenil poduido no inteio do supeonduto temos que pli ei de iot-svt, em função do potenil veto, p situção desit n figu 4.4. Em oodends ilíndis, o veto R, que epess difeenç vetoil ente o veto e o veto, pode se esito onfome bio: [ os( )] [ sin( )] ( ) R (4.3) Sbendo que R R, temos que o potenil veto devido às supeoentes pode se esito omo: 58

68 b π d os ( ) ( ) t d d ( ) ( ) ( t) (4.3) π os,, b Repesentndo todos os álulos no º qudnte, temos seguinte epessão: b (, t) d d Qil (, ) (, t) (4.3) onde o kenel de integção Q il (, ) é igul : Q il (, ) f (,, ) f (,, ) ( ) ( ) η π os f (,, η) d (4.33) π os integl (4.33) pode se luld numeimente onfome indido n efeêni []. dotndo-se s seguintes substituições: p ( u i ) πu i sin ( πu i ) ( u ) π π os ( πu ) i ( i ) u i M i,, K, M i (4.34) função p ( ) é um função peso inluíd p d ont dos temos infinitos do u i integndo peiódio. Com isso, podemos poim (4.33) pel epessão: f (, η) M os[ ( u )] i p ( ui ) i π os[ ( u )] η, (4.35) M i O potenil veto totl poduido pelo mpo eteno plido e pels supeoentes é obtido somndo-se s epessões (4.9) e (4.3): b (, t) d d Qil (, ) (, t) () t (4.36) Deivndo (4.36) no tempo, plindo ei de Fd p o potenil e invetendo o esultdo, à semelhnç do que foi feito n seção 4.., temos que: 59

69 (, t) b d d Q (, ) E(, t) t d il (4.37) dt ( t) 4... Inlusão do Modelo de ndeson-kim inseção do modelo de ndeson-kim (.67) n equção (4.37) lev à seguinte equção integl: t n (, t) b ( ) (, t) d [ ( )] () t d d Qil, E sign, t (4.38) dt lgoitmo p Implementção Numéi ssim omo no so d Infinit, seão dotdos os seguintes pmetos de efeêni p o sistem de uniddes eduids: E (4.39) egião mped do º qudnte d seção do ilindo e eg de montgem d mlh de pontos eqüidistntes são semelhntes àquels mostds ns figus 4. e 4.3 d seção Dess fom, tibuindo N p o númeo de pontos n dieção e N p os pontos n dieção, onstução d gde obedee às seguintes epessões: i) P dieção ind ind ind,, K, N N (4.4) d (4.4) N ii) P dieção ind ind,, K, N ind b N (4.4) 6

70 b d (4.43) N Pssndo equção integl nlíti (4.38) p su fomulção numéi, pelo Método dos Momentos, temos: N () t () t t i j Q il ij E j n sign [ () t ] j j d dt () t dd Substituindo o somtóio po um multiplição de mties: () t () t t ( N) Q il ( NN ) E ( N) n sign [ () t ] ( N) ( N) d dt () t dd (4.44) Os elementos Q ilij são obtidos plindo-se epessão (4.35) e, juntmente om s egs de fomção d mlh definids po (4.4) e (4.4), obedeendo seguinte onvenção: i j i j i,, K, N j,, K, N (4.45) P se evit divegêni nos elementos d digonl pinipl de Q il(nn), somouse, qundo i j, os temos ( i j ) o fto: d d d d d d ep ln 3 tn tn d d d d ε i (4.46) álulos foi: O peso que toue os melhoes esultdos qunto à estbilidde e à veloidde dos 6

71 peso N d d (4.47) Integção Numéi no Tempo integção numéi no tempo p obtenção d densidde de oente segue s mesms fómuls pesentds n seção O pmeto, ssim omo no so d Infinit, ontinu sendo igul : 4 4 b (4.48) ( N nw) D mesm fom que no so, uv de mgnetição é obtid tvés do momento de dipolo mgnétio poduido pel oente em d ponto d mlh: b () π d d (, t) m t Considendo que o mpo mgnétio plido possui pens omponente : b (, t) m ( t) π d d (4.49) Os esultdos obtidos p esse so se enontm no pítulo 5. listgem do pogm, desenvolvido em Mtlb, om implementção omputionl deste lgoitmo, se enont no pêndie E CSO 3: CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM ÍMÃ PERMNENTE CIÍNDRICO Desição nlíti figu 4.5 pesent situção físi e os sistems de oodends utilidos onfome oientção enontd n efeêni []. 6

72 Figu 4.5: Cilindo finito supeonduto, n pesenç de um ímã pemnente ilíndio. P desição do mpo mgnétio poduido pelo imã pemnente, seá onsidedo que o mesmo suge devido um densidde supefiil de oente ( K ( ) ) limitd à supefíie eten do imã pemnente, de io pm. O pimeio psso p epesentção do mpo gedo pelo ímã onsiste em dedui elção ente K ( ) e densidde de fluo esidul do ímã ( es ), plindo-se ei de iot-svt p um ilindo infinito onfome ilustdo n figu

73 Figu 4.6: Cilindo infinito peoido po um densidde supefiil de oente K ( ). P o sistem de oodends ilíndis, temos que: K ( ) K (4.5) R es pm (4.5) plindo-se ei de iot-svt, heg-se : es S es K 4π R es R es ds es π 4π ( ) pm K pm 3 dd (4.5) Desenvolvendo-se integl (4.5) e igulndo- à densidde de fluo esidul es es, obtém-se seguinte elção: K es (4.53) 64

74 Podemos go eseve o potenil veto poduido pelo ímã em função d densidde de fluo esidul do mesmo. Pel ei de iot-svt p o potenil veto, plid à situção mostd n figu 4.5, temos que: pm () pm () K (4.54) ds pm S pm 4π R pm onde, em oodends ilíndis: [ pm os( pm )] [ pm sen( pm )] ( pm ) R pm pm (4.55) plindo (4.54) em (4.55) e esolvendo integl esultnte, heg-se : os( pm ) ( ) ( ) π es pm d pm d pm t pm 4π os pm ( t pm ) pm pm os( pm ) ( t pm ) os( ) π es pm () pm os( pm ) ln d π pm pm pm (4.56) integl d epessão (4.56) não tem solução nlíti. P su poimção numéi, dotmos, eemplo do que foi feito p o ilindo finito em mpo homogêneo, s seguintes definições: pm pm pm pm p pm pm ( u i ) πu i sin( πu i ) ( u ) π π os( πu ) i ( i ) u i M i,, K, M i (4.57) pm Substituindo (4.57) em (4.56): M espm () os pm( ui ) π M ( tpm) pm pm os[ pm( ui )] ( tpm) os[ ( u )] [ ] ln p pm( ui ) pm pm pm i i (4.58) 65

75 Como geometi do supeonduto é mesm que do so, o potenil veto poduido pels supeoentes ( ( t), ) é ddo pel epessão (4.3). Como, neste so, o mpo plido n supefíie infeio do supeonduto é difeente do plido n supefíie supeio, os álulos devem se feitos p o º e º qudntes d seção de evolução do ilindo. ssim sendo, temos: b (, t) d d Qilpm (, ) (, t) (4.59) onde o kenel de integção Q il (, ) é igul : Q ilpm π d os ( ) ( ), π os ( ) ( ) (4.6) integl (4.6) pode se poimd utilindo-se s mesms epessões enontds em (4.34) e (4.35). P obtemos o potenil veto totl poduido pelo onjunto ímã pemnente supeonduto, peismos onside, em pimeio lug, que o sistem de oodens de efeêni, ou sej, quele que fi em epouso, é o que se enont no ímã pemnente (figu 4.5). Dest fom, tem-se um movimento de poimção ou fstmento do imã em elção o supeonduto, de odo om um vição senoidl estbeleid po: mov ( t) sen ( wt) (4.6) onde é distni máim de fstmento ente o imã e o supeonduto, é distni mínim e w e feqüêni de osilção. Somndo-se s epessões (4.59) e (4.58), e onsidendo vição senoidl do fstmento ente o ímã e o supeonduto (4.6), podemos eseve o potenil veto totl envolvendo o ímã e s supeoentes, onfome segui: b (, t) d d Qilpm (, ) (, t) pm (, t) (4.6) Deivndo (4.6) no tempo, plindo ei de Fd p o potenil e invetendo o esultdo temos que: 66

76 (, t) b d d Qilpm (, ) E(, t) t (, t) pm (4.63) t Inlusão do Modelo de Kim-ndeson inseção do modelo de Kim-ndeson (.67) n equção (4.63) lev seguinte equção integl: t n (, t) b ( ) (, t) pm [ ( )] (, t) d d Qilpm, E sign, t (4.64) t lgoitmo p Implementção Numéi P esse so, dotou-se os seguintes pmetos de efeêni p o sistem de uniddes eduids: E es ;. es (4.65) figu 4.7 indi áe mped dento do supeonduto, que equivle o º e º qudntes d seção de evolução do ilindo. Figu 4.7: Indição d egião mped no supeonduto (º e º qudntes). Se utilimos p mlh 6 pontos (N 6) n dieção, e dotmos que elção ente o númeo de pontos n dieção (N ) e s dimensões do mteil é dd po: 67

77 b N N (4.66) Se dotmos b,5, teemos um gde om N N N 36 pontos, onfome ilustdo n figu 4.8. Figu 4.8: Gde p o mpemento d seção de evolução Cilindo Finito n pesenç de um Ímã Pemnente. s epessões p lógi de onstução d mlh eqüidistnte são: i) P dieção ind ind ind,, K, N N (4.67) d (4.68) N 68

78 ii) P dieção ind b ind N ind,, K, N (4.69) b d (4.7) N Pssndo equção integl nlíti (4.64) p su fomulção numéi, pelo Método dos Momentos, temos: N () t () t t i Q j ilpm ij E j n sign [ () t ] j pm (, t) t dd Substituindo o somtóio po um multiplição de mties: () t () t t ( N) E ( t) n ( N) pm, Qilpm sign[ () t N ] ( NN ) ( ) t dd (4.7) Os elementos Q ilpmij são obtidos plindo-se poimção numéi d epessão (4.59), juntmente om s egs de fomção d mlh definids po (4.67) e (4.69), obedeendo seguinte onvenção: i j i j i,, K, N j,, K, N (4.7) P se evit divegêni nos elementos d digonl pinipl de Q ilpm(nn), utiliou-se o mesmo fto ε do so nteio (4.46).O peso, que gnte estbilidde e veloidde nos álulos, p este so foi: peso N dd (4.73) 69

79 Integção Numéi no Tempo integção d densidde de oente no tempo, deve se feit plindo-se epessão (4.7) n epessão (4.3). Com isso, se obtém: ( t dt) n [ ] d d ( t dt ( ) [ ( t dt) ( N) ] dt pm(, t dt) pm(, t dt) ( N) ( t) ( N) Qilpm ) ( NN E ) sign N (4.74) Os vloes iniiis de tods s gndes são nulos. fómul p o psso de integção é mesm utilid p os dois sos nteioes. O pmeto, entetnto, p este so, vle: 4 b (4.75) ( nn w) foç de levitção plid sobe o supeonduto é luld plindo-se epessão de oent: F () t [ (, t) pm (, t) ] dv (4.76) V Sbendo que o potenil veto devido o ímã e densidde de oente eistem somente n dieção, e que foç de levitção está n dieção, onsideemos pens omponente d densidde de fluo poduid pelo ímã n dieção. Então: F F b π () t d d d [ (, t) pm ( t) ], π [ t ] (4.77) b () t d d (, t) pm ( ), onde omponente dil d densidde de fluo ged pelo ímã é dd po: pm (, t) (, t) pm (4.78) sendo ( t) pm, ddo po (4.58). Utilindo integis elíptis de pimei (K) e segund (E) odens, podemos eseve pm (, t) onfome epessão que se segue: 7

80 k pm i i es pm ( ) ( ), t ki K( ki ) E( k ) i π i ki (4.79) 4 ( ) ( ), it pm pm pm i, (4.8) Os esultdos obtidos om s simulções se enontm n seção 5.3. O pêndie F ontém listgem do pogm desenvolvido em Mtlb. 7

81 5 RESUTDOS DS SIMUÇÕES Neste pítulo, seão pesentdos os esultdos obtidos om implementção e simulção omputionl do modelo. P o so d Infinit, fom obtids s uvs de mgnetição e os pefis d densidde de oente dento do supeonduto, om plição de um mpo mgnétio homogêneo e senoidl. Fom feits simulções tnto p onstnte e p dependente de onfome o modelo de Kim. P o so do Cilindo Finito, fom obtids s uvs de mgnetição e os pefis d densidde de oente no supeonduto, plindo-se um mpo eteno homogêneo e senoidl. s simulções fom feits p onstnte e om () ddo pelo modelo de Kim. Foi nlisd ind, utilindo () ddo po Kim, influêni d feqüêni do sinl de entd n uv de mgnetição. P o so do ilindo supeonduto n pesenç de um ímã pemnente ilíndio, foi obtid foç de levitção vetil ente o ímã e o supeonduto e os pefis de densidde de oente. P este último so, simulou-se pens om onstnte. Foi feit um nálise d influêni d feqüêni (veloidde) de poimção (fstmento) ente o ímã e o supeonduto. Tods s simulções fom feits om utilição do plitivo Mtlb. 5.. CSO : RR INFINIT SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO MGNÉTICO OMOGÊNEO figu 5. pesent s uvs de mgnetição obtids p um b infinit de b seção qudd ( ), om plição de um mpo mgnétio eteno pependiul de vição senoidl no tempo: t) sen( wt) (. Fom utilidos quto vloes difeentes p elção ente e o mpo de penetção omplet * : / *,.5, e.5. P Infinit, o mpo de penetção omplet, pevisto pelo Modelo de en, é detemindo pel epessão enontd n efeêni [5]: * b tn b π b ln b (5.) 7

82 feqüêni utilid p o sinl plido, em uniddes eduids, foi: w ( ) E (5.) O intevlo esolhido p onstução dos gáfios foi: wt,...,.6 π. gde p disetição do pimeio qudnte d seção d b possui N pontos. ) b) Figu 5.: Cuvs de mgnetição p um b infinit supeonduto om elção b/, submetid um mpo senoidl om mplitudes o / *.5,,.5 e, e feqüêni w. inhs pontilhds: n 5; inhs tejds: n ; inhs heis: n 5. ) Resultdos d simulção. b) Resultdos d efeêni []. 73

83 Os esultdos mostdos n figu 5. são oeentes om queles enontdos n efeêni [], indindo que o modelo foi implementdo om suesso. Confome se obsev n figu, no eio ds bsisss se enont o mpo mgnétio plido e no eio ds odends, o momento de dipolo mgnétio povodo pels supeoentes. P est últim gnde, foi esolhido um plotgem do seu vlo simétio, p ton os gáfios fmilies uvs de mgnetição de mteiis feomgnétios. onvesão ds uniddes eduids p vloes no SI pode se feit onheendo-se os vloes do pmetos e p o supeonduto, e multiplindo-se po 4 os esultdos p o momento de dipolo e po os vloes do mpo plido. Po eemplo, se onsidemos um supeonduto om espessu 4 mm e densidde de oente íti 7 /m (YCO), o fto de onvesão p os vloes do momento de dipolo fi igul ,6.m, e o fto de onvesão p o mpo plido fi sendo 4 8 /m. Esses ftoes de onvesão podem se plidos p quisque ds uvs de mgnetição pesentds neste tblho. N figu 5., se enontm lguns pefis d densidde de oente no inteio do supeonduto qundo: b/, / *, w, n 5 e N. 74

84 ) b) ) d) e) Figu 5.: Pefis de densidde de oente no inteio de um b infinit supeonduto om elção b/ e n 5, submetid um mpo senoidl om feqüêni w. Vloes de mpos plidos: ) /( ).39, b) /( ).796, ) /( ).549 e d) /( ) e) Evolução ds uvs de em função de, p e >. 75

85 No eio que está n vetil, se enont o vlo d densidde de oente, em uniddes eduids, no inteio do supeonduto. P sbemos o seu vlo no SI, bst multiplimos pel densidde de oente íti ( ) do mteil. s outs dus dieções oespondem às dimensões geométis ( e ) d seção etngul d b infinit. Podemos obsev, pel seqüêni dos gáfios, que penetção do mpo e, onseqüentemente, d densidde de supeoentes, omeç n bod eten d seção, de fo p dento, té stução (figu 5.) om um entução ns ests, devido o gdiente ns linhs de fluo. N stução, oente máim está um pouo bio de, devido à esolh do pmeto n igul 5. P vloes esentes de n, densidde de oente máim no mteil se poim de.obsev-se tmbém que, enqunto metde d seção é peoid om um densidde de oente positiv, out metde é peoid po oente negtiv, efletindo simetição do kenel Q sim(nn). No último pefil (figu 5.d), veifi-se histeese, om invesão no sentido d oente, p blind o mpo eteno que foi ltedo, de fo p dento. Simulou-se tmbém, o ompotmento ds gndes no supeonduto, onsidendo um dependêni invesmente popoionl ente densidde de oente íti do supeonduto e densidde de fluo mgnétio lol ged pels supeoentes. No lug de onstnte ns epessões (4.9) e (4.7), utilimos: ( ) (5.3) β * (5.4) densidde de fluo poduid pels supeoentes pode se luld plindo definição ( ) n epessão p o potenil veto totl gedo pelo mpo eteno e pelo supeonduto (4.8). (, t) ( ) (, t) (, t) (5.5) 76

86 Desenvolvendo o otionl em oodends tesins, e eliminndo os temos onfome simeti do poblem e dieção do mpo plido, temos que: b b (, t) d d Q ( ) ( t) d d Q ( ) ( t) () t,,,, Q (NN ) Q (NN ) (5.6) onde os elementos ds mties e são dds pels seguintes epessões: Q Q ( ) ( ) 4 4 Qsim, 4 [ ( ) ( ) ( ) 3 ( )], π [( ) ( ) ]( [ ) ( ) ]( [ ) ( ) ]( ) ( ) (5.7) [ ] Q ( ) ( ) ( ) sim,, π [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) (5.8) [ ] montgem ds mties e, p todos os pontos d egião de mpemento indid n figu 4.3, utili s mesms egs de substituições dds po (4.). ssim omo n onstução d mti, os elementos d digonl ds mties Q ( NN ) e Q (NN ) divegem. P onton esse poblem, deve se somdo os temos ( ) Q (NN ) Q (NN ) Q sim(nn o fto ε definido pel epessão (4.). N figu 5.3, enontm-se s uvs de mgnetição obtids om simulção dest dependêni line ente e, onsidendo β. elção ente ltu e b lgu d seção d b é ( ), o sinl do mpo eteno é senoidl, om mplitudes / *.5,,.5 e. feqüêni do sinl plido é w e o intevlo de tempo utilido p onstução dos gáfios foi:,...,.6 π. mlh usd nests simulções pesent N pontos. O pmeto ( N nw) p se evit tnto instbilidde qunto osilções numéis. ) 4 b, neste so, teve que se diminuído 77

87 ) b) Figu 5.3: Cuvs de mgnetição p um b infinit supeonduto om elção b/, β e n 5, submetid um mpo senoidl om mplitudes o / *.5,,.5 e, e feqüêni w. (dependêni invesmente popoionl ente e - Modelo de Kim). ) Resultdos d simulção. b) Resultdos d efeêni []. 78

88 Estes esultdos estão oeentes om os gáfios ds uvs pontilhds, enontdos n efeêni []. implementção d dependêni ente e, de odo om o modelo de Kim, fonee uvs de mgnetição mis póims ds uvs eis. Compndo-se os gáfios d figu 5. om os d figu 5.3, obsev-se que o módulo do vlo máimo d mgnetição diminui qundo se onside o modelo de Kim. N figu 5.4, se enontm lguns pefis d densidde de oente no inteio do supeonduto qundo: b/, / *, w, n 5, β e N. 79

89 ) b) ) d) e) Figu 5.4: Pefis de densidde de oente no inteio de um b infinit supeonduto om elção b/, β e n 5, submetid um mpo senoidl om feqüêni w. Vloes de mpos plidos: ) /( ).39, b) /( ).7, ) /( ).388 e d) /( ).578. e) Evolução ds uvs de em função de, p e >. (dependêni invesmente popoionl ente e - Modelo de Kim) 8

90 Compndo estes pefis om queles pesentdos n figu 5., obsev-se um ligei inlinção n supefíie d densidde de oente, devido implementção do modelo de Kim. Qunto mio o vlo do pmeto n, mis entud seá ess inlinção. 5.. CSO : CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM CMPO MGNÉTICO OMOGÊNEO Os esultdos p uv de mgnetição em função do pmeto n, se enontm n figu 5.5. Os ddos de simulção fom: elção ente ltu do ilindo e o io b ; mpo mgnétio eteno pependiul om vição senoidl no tempo: t) sen(wt) ; feqüêni do sinl w E ( ). Fom utilidos tês ( vloes difeentes p elção ente e o mpo de penetção omplet * : / *.5, e.5. P o Cilindo Finito, o mpo de penetção omplet, pevisto pelo Modelo de en, é detemindo pel epessão enontd n efeêni [5]: * bln (5.9) b b O intevlo de tempo esolhido p onstução dos gáfios foi:,...,.6 π. gde p disetição do pimeio qudnte d seção do ilindo possui N pontos. 8

91 ) b) Figu 5.5: Cuvs de mgnetição p um ilindo finito supeonduto om elção b/, submetido um mpo senoidl om mplitudes o / *.5, e.5, e feqüêni w. inhs pontilhds: n 5; inhs tejds: n ; inhs heis: n 5. ) Resultdos d simulção. b) Resultdos d efeêni []. Os esultdos mostdos n figu 5.5 são oeentes om queles enontdos n efeêni []. Compndo-se esss uvs om quels obtids p o so d b 8

92 infinit (figu 5.), peebe-se que os lços de histeese têm um mplitude, no eio ds bsisss, mio no so do ilindo finito do que no so d b infinit. Isso signifi que é neessáio um mpo eteno mio p stu um ilindo finito do que um b idelmente infinit. Esse esultdo já e de se espe um ve que, plindo-se s epessões (5.) e (5.9) p o mpo de penetção omplet * om mesm elção b/ temos, p b infinit *.76, e p o ilindo finito, *.884. N figu 5.6, se enontm lguns pefis d densidde de oente no inteio do supeonduto qundo: b/, / *, w, n 5 e N. 83

93 ) b) ) d) e) Figu 5.6: Pefis de densidde de oente no inteio de um ilindo finito supeonduto om elção b/ e n 5, submetido um mpo senoidl om feqüêni w. Vloes de mpos plidos: ) /( ).69, b) /( ).349, ) /( ).658 e d) /( ).47. e) Evolução ds uvs de em função de, p. 84

94 Compndo-se os pefis d figu 5.6 om queles obtidos p b infinit e onstnte (figu 5.), obsev-se um invesão no sinl ds oentes. Isso se deve o fto d difeenç de sinis ente os poteniis vetoes plidos, devido à esolh do sistem de oodends. De fto, pel epessão (4.) do so d b infinit, veifimos que o potenil veto poduido pelo mpo eteno está om sinl negtivo n dieção, e, n epessão (4.9) do so do ilindo finito, o potenil veto devido o mpo eteno está om o sinl positivo n dieção. nlisndo-se ind os pefis, obsevm-se vloes negtivos n dieção, os quis não deveim de eisti, um ve que no sistem de oodends ilíndis pens vloes positivos de são pemitidos. Isto ooeu pel neessidde do plitivo, no momento d onstução dos gáfios, de ssoi vloes difeentes n dieção, p difeentes vloes de, em tod seção do supeonduto, e não poque fom usdos vloes negtivos de nos álulos. Confome foi mostdo n seção 4., os álulos de fom feitos somente p egião em que > e >. D mesm fom que no so d b infinit, simulou-se o ompotmento do supeonduto utilindo um dependêni invesmente popoionl ente densidde de oente íti e densidde de fluo mgnétio lol, onfome epessão (5.3). plindo definição do potenil veto n epessão (4.36), obtemos seguinte epessão p densidde de fluo lol poduido pels supeoentes: (, t) ( ) (, t) (, t) (5.) Desenvolvendo o otionl em oodends ilíndis, e eliminndo os temos onfome simeti do poblem e dieção do mpo plido, temos que: b b (, t) d d Q ( ) ( t) d d Q ( ) ( t) () t,,,, (5.) onde os elementos ds mties Q (NN ) e Q (NN ) são dds pels seguintes epessões: 85

95 Q π Q ( ) ( ) π il, os ( )( ), π [ os ( ) ( ) ] π os ( )( ) ( ) ( ) [ os ] 3 d 3 d (5.) Q π ( ) [ Q ( )] π il, os( ) [ os( ) ( ) ], 3 π [ os( ) ( ) ] os( ) [ os( ) ( ) ] d 3 [ os( ) ( ) ] π d (5.3) P esolve numeimente s integis ds epessões (5.) e (5.3), dotou-se o mesmo poedimento indido ns seções 4.. e 4.3. O fto ε definido pel epessão ) (NN ) (4.46) deve se somdo ( nos elementos d digonl ds mties Q e Q (NN ) p evit osilções numéis. N figu 5.7, enontm-se s uvs de mgnetição obtids om simulção d dependêni invesmente popoionl ente e, onsidendo β. elção ente b ltu e lgu d seção d b é ( ), o sinl do mpo eteno é senoidl, om mplitudes / *,.5, e.5. feqüêni do sinl plido é w e o intevlo de tempo utilido p onstução dos gáfios foi:,...,.6 π. mlh usd nests simulções pesent N pontos. Tmbém neste so, à semelhnç do so d b infinit, o pmeto teve que se diminuído p osilções numéis. 4 b, p se evit ( N nw) 86

96 ) b) Figu 5.7: Cuvs de mgnetição p um ilindo finito supeonduto om elção b/, β e n 5, submetido um mpo senoidl om mplitudes o / *.5,,.5 e, e feqüêni w. (dependêni invesmente popoionl ente e - Modelo de Kim). ) Resultdos d simulção. b) Resultdos d efeêni []. 87

97 Os esultdos d figu 5.7 indim que simulção está bem póim dos gáfios ds uvs pontilhds, enontdos n efeêni []. Obsev-se, ontudo, que ns uvs obtids pel simulção (figu 5.7) há um entução mio ns ests dests uvs, qundo ompds om s uvs pontilhds d efeêni [] (figu 5.7b). Isto se deve, povvelmente, o vlo do pmeto β utilido n simulção (β ). Vloes menoes p β podem diminui esss entução ns ests d uv. Compndo-se os gáfios d figu 5.7 om os d figu 5.3, obsev-se que s uvs de mgnetição p o ilindo finito têm um histeese mio do que s uvs de mgnetição obtids p b infinit, indindo influêni que geometi d most tem p mgnetição. N figu 5.8, se enontm lguns pefis d densidde de oente no inteio do supeonduto qundo: b/, / *, w, n 5, β e N. 88

98 ) b) ) d) e) Figu 5.8: Pefis d densidde de oente no inteio do ilindo finito supeonduto om elção b/, β e n 5, submetido um mpo senoidl om feqüêni w. Vloes de mpos plidos: ) /( ).55, b) /( ).6, ) /( ).588 e d) /( ) e) Evolução ds uvs de em função de, p. (dependêni invesmente popoionl ente e - Modelo de Kim). 89

99 Com os esultdos obtidos p b infinit e p o ilindo finito, veifi-se que implementção omputionl do modelo de ndeson-kim foi elid om suesso. segui, seão pesentdos lguns estudos sobe influêni de lguns pmetos de simulção no ompotmento d uv de mgnetição do supeonduto. Em todos esses estudos, seá onsided dependêni invesmente popoionl ente densidde de oente íti e densidde de fluo lol (modelo de Kim). O pimeio estudo onsiste n influêni d feqüêni d senóide do mpo mgnétio plido n uv de mgnetição do supeonduto. Consideemos um supeonduto om geometi ilíndi, om elção b/, n 9 (i-) e β, submetido um mpo mgnétio eteno senoidl om mplitude o / *. mlh esolhid tem N. figu 5.9 pesent s uvs de mgnetição p feqüênis difeentes no sinl do mpo plido. 9

100 Figu 5.9: Cuvs de mgnetição p um ilindo finito supeonduto om elção b/, β e n 9 (i-), submetido um mpo senoidl om mplitude o / *. inhs tço-ponto: w., inhs pontilhds: w e inhs tejds: w (dependêni invesmente popoionl ente e - Modelo de Kim). Os gáfios d figu 5.9 mostm que, qunto mio feqüêni, mio histeese d uv de mgnetição. eplição p esse fto está n dinmi d entd e etid de mpo no inteio do supeonduto. P um feqüêni mio, não há tempo de ooe o ste de fluóides (flu eep) no mteil. Qundo feqüêni do mpo eteno é meno, à medid que o mpo ese, há o elmento ds linhs e mgnetição é meno. O segundo estudo elido é nálise d influêni do pmeto β d epessão (5.4), do modelo de Kim, n uv de mgnetição. Simulou-se um supeonduto om geometi ilíndi, om elção b/ e n 9 (i-), submetido um mpo mgnétio eteno senoidl om mplitude o / * e feqüêni w. mlh 9

101 esolhid tem N. figu 5. pesent s uvs de mgnetição p vloes difeentes do pmeto β. Figu 5.: Cuvs de mgnetição p um ilindo finito supeonduto om elção b/ e n 9 (i- ), submetido um mpo senoidl om mplitude o / * e feqüêni w. inhs pontilhds: β, inhs tejds: β e inhs heis: β 3 (dependêni invesmente popoionl ente e - Modelo de Kim). Pel figu 5. onsttmos que qunto meno o vlo do pmeto β, mio é o lço de histeese d uv de mgnetição. Isso pode se eplido pel elção que este pmeto tem om foç de pisionmento dos tubos de fluo. Confome visto n seção..3 sobe o modelo de Kim, epessão (.4) nos most que o pmeto α está ssoido à foç de pisionmento dos fluóides. Compndo-se s epessões (.4) e (5.4), veifi-se que β oesponde, poimdmente, o inveso de α. Potnto, uv de mgnetição p um β meno tem um histeese mio pois pesent um foç de pisionmento mis intens. 9

102 5.3. CSO 3: CIINDRO FINITO SUPERCONDUTOR N PRESENÇ DE UM ÍMÃ PERMNENTE CIÍNDRICO O pimeio esultdo obtido p esse so, foi o álulo d foç de levitção vetil ente o ímã pemnente e o supeonduto, em função d elção ente ltu e o io do supeonduto (b/). Os ddos de simulção, em uniddes eduids, fom: io do ímã pemnente pm.5 ; ltu do ímã pemnente t pm.5 e pmeto do supeonduto n 3. O ímã se poim do supeonduto de odo om seguinte epessão: ( t)..9.9sin(. t ). O intevlo de tempo n simulção foi de té π. s elções b/ utilids fom:.5,.,.,.4,.6,.8 e. gde utilid p diseti seção de evolução do supeonduto possui N 4 pontos. Os esultdos se enontm n figu

103 ) b) Figu 5.: Foç de levitção vetil em função d ltu, ente um ímã pemnente ilíndio e um ilindo finito supeonduto, om n 3 e eg de poimção ( t)..9.9sin(. t ).Relções b/ utilids:.5,.,.,.4,.6,.8 e. (b/.5 se efee à uv mis inten e b/ à uv mis eten). ) Resultdos d simulção. b) Resultdos d efeêni []. N figu 5., uv de meno mplitude se efee o supeonduto de meno ltu (b/.5). À medid que ess elção ument, foç de levitção tmbém fi 94

104 mio. Est infomção é útil p o pojeto de equipmentos em que se lmej foç de levitção máim. P se obte foç de levitção no SI, bst multipli os vloes do eio ds odends pelo fto. es, utilindo os vloes de es, e ( 4π 7 /m) no sistem de uniddes intenionl. Se utilimos, po eemplo, um ímã pemnente (Nd-Fe-) om um densidde de fluo esidul igul es,4 T, e um supeonduto de io 4 mm, podemos lul o fto de onvesão d foç de levitção, p o SI, omo sendo. es Pode-se veifi que o poduto deste fto om os vloes do eio ds odends do gáfio d figu 5., esult em um foç de levitção bi (d odem de mn). ão p esse vlo bio de F está n esolh ds uniddes eduids p esse so. De fto, se plimos s nomlições indids em (4.65) p o eemplo meniondo nteiomente ( 4 mm e es,4 T), teemos um densidde de oente íti igul vlo etemmente bio p. es..7 6 /m, que é um Compndo-se s uvs d figu 5. om queles pesentdos n efeêni [], onstt-se tmbém que há um et disepni ente os dois esultdos. s difeençs onsistem n mplitude ds uvs d figu 5., que está meno qundo ompd om efeêni [], e n entud flt de simeti enontd ns uvs d figu 5., p egião em que o ímã se enont fstdo do supeonduto (/... ). s possíveis eplições p ess disepni são: i) númeo de pontos utilido p mpe seção do supeonduto: n simulção pesentd, N 4 e N, pel epessão (4.66) e edondndo p im, vle 4. mlh esultnte possui pens N N N 64 pontos. Este mpemento pode não se sufiiente p epesent om fidelidde evolução d densidde de oente no inteio do supeonduto. Est obsevção podeá se melho veifid nos pefis de oente d figus 5. e 5.3. ii) vlo do peso, devido o tmnho d mlh: o peso, que é o fto epesentdo pel epessão (4.73) é de etem impotni, não só p o so do ilindo 95

105 finito n pesenç do ímã pemnente, omo tmbém p os dois sos nteioes. O peso é impotnte poque gnte stução d oente no lgoitmo, e poque pemite epesent su oet evolução no tempo e no espço, dento do supeonduto. Se obsevmos epessão (4.74), po eemplo, podemos veifi que o peso detemin influêni d deivd tempol d densidde de oente. Se o peso fo tl que t sej pequeno, densidde de oente não vi stu, e o vlo de vi ontinu se tulido mesmo que o ímã pemnente tenh tingido distni mínim ente o supeonduto. Se este inemento de, que não devei eisti, fo bem pequeno qundo ompdo o vlo do potenil veto do ímã que se poim, o vlo de vi pens epodui o simétio (pois o dento do supeonduto está sempe om sinl de fom se opo o mpo eteno) do potenil veto plido pelo ímã. Ests obsevções podeão se melho onsttds nos pefis ds figus 5. e 5.3. iii) tipo de gde utilid no mpemento: onfome pesentdo n seção 4.3, o mpemento d seção do supeonduto foi feito tvés de um gde om pontos eqüidistntes ente si, tnto p dieção qunto p dieção. P dos dois sos nteioes, o d b infinit em mpo homogêneo e o do ilindo finito em mpo homogêneo, est gde de onstução simples pemitiu obtenção de bons esultdos. No entnto, p o poblem do so 3, ess gde pode te sido insufiiente, um ve que s geometis envolvids, tnto do ímã qunto do supeonduto são finits, possuem ests e gdientes de mpo, e o mpo eteno plido é não-homogêneo. Um sugestão p montgem de um gde om pontos não eqüidistntes ente si se enont n efeêni []. segui, seão pesentdos os pefis d densidde de oente no inteio do supeonduto, qundo elção b/ é igul.. Os demis ddos de simulção são os mesmos dqueles utilidos p obtenção ds uvs d figu

106 ) b) ) d) e) Figu 5.: Pefis d densidde de oente no inteio de um supeonduto ilíndio om n 3 e b/., qundo submetido o mpo mgnétio poduido po um ímã pemnente ilíndio que se poim tvés d eg de poimção ( t)..9.9sin(. t ). Distnis ente o ímã e o supeonduto: ) /.9; b) /.77; ) /.75; d) /.38. e) Evolução ds uvs de em função de, p. (poimção ente o ímã e o supeonduto) 97

107 ) b) ) d) e) Figu 5.3: Pefis d densidde de oente no inteio de um supeonduto ilíndio om n 3 e b/., qundo submetido o mpo mgnétio poduido po um ímã pemnente ilíndio que se poim tvés d eg de poimção ( t)..9.9sin(. t ). Distnis ente o ímã e o supeonduto: ) /.; b) /.; ) /.35; d) /.79. e) Evolução ds uvs de em função de, p. (fstmento ente o ímã e o supeonduto) 98