DIOGO CERVELIN. Orientador: Roberto Dalledone Machado, D. Eng.

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1 DIOGO CERVEIN MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS GENERAIZADO: DESENVOVIMENTO E APICAÇÃO EM ANÁISE NÃO- INEAR UTIIZANDO EEMENTO DE PÓRTICO ESPACIA DE ATA ORDEM Curiiba 14

2 DIOGO CERVEIN MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS GENERAIZADO: DESENVOVIMENTO E APICAÇÃO EM ANÁISE NÃO- INEAR UTIIZANDO EEMENTO DE PÓRTICO ESPACIA DE ATA ORDEM Disseração aprovada como requisio parcial para obenção do grau de Mesre em Engenaria, Curso de Pós-Graduação em Engenaria Mecânica, Escola Poliécnica, Ponifícia Universidade Caólica do Paraná. Orienador: Robero Dalledone Macado, D. Eng. Curiiba 14

3 Dados da Caalogação na Publicação Ponifícia Universidade Caólica do Paraná Sisema Inegrado de Biblioecas SIBI/PUCPR Biblioeca Cenral Cervelin, Diogo C419m Méodo dos elemenos finios generalizado : desenvolvimeno e aplicação 14 em análise não-linear uilizando elemeno de pórico espacial de ala ordem ; orienador, Robero Dalledone Macado f. : il. ; 3 cm Disseração (mesrado) Ponifícia Universidade Caólica do Paraná, Curiiba, 14 Bibliografia: f Engenaria mecânica.. Méodo dos elemenos finios. 3. Polinômios. I. Macado, Robero Dalledone. II. Ponifícia Universidade Caólica do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenaria Mecânica. III. Tíulo. CDD. ed. 6.1

4 DEDICATÓRIA Dedico ese rabalo aos meus familiares e à mina esposa.

5 AGRADECIMENTOS À Deus, à Nossa Senora do Perpéuo Socorro e à um espírio amigo, pela luz divina. Aos meus familiares, pelo amor e apoio nos momenos de desanimo e dificuldade. À mina esposa Maria Eugênia, pelo amor, carino e paciência durane esa imporane e difícil eapa. Ao professor Robero Dalledone Macado, pela amizade e orienação. Ao professor Sang, pelas sugesões e ensinamenos que me ajudaram no desenvolvimeno dese rabalo. Aos meus amigos, pela amizade. À PUCPR, pela oporunidade de desenvolver o meu rabalo de mesrado.

6 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO OBJETIVO GERA OBJETIVO ESPECÍFICO REVISÃO BIBIOGRÁFICA ORGANIZAÇÃO DO TRABAHO REVISÃO TEÓRICA MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS MECÂNICA DO CONTÍNUO PRINCÍPIO DOS TRABAHOS VIRTUAIS FORMUAÇÃO DE EEMENTO DE VIGA DE EUER BERNOUI REAÇÃO DEFORMAÇÃO DESOCAMENTO EEMENTO DE PÓRTICO MATRIZES DE DEFORMAÇÃO DESOCAMENTO ANÁISE NÃO-INEAR TENSÕES PRINCIPAIS PASTICIDADE MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS GENERAIZADO MÉTODO DA PARTIÇÃO DA UNIDADE FUNÇÕES DE ENRIQUECIMENTO MONTAGEM DAS FUNÇÕES DE ENRIQUECIMENTO APICAÇÕES REAÇÃO CONSTITUTIVA ANÁISE NÃO-INEAR DE BARRA SOB TRAÇÃO... 8

7 4.3 ANÁISE INEAR DE VIGA ANÁISE NÃO-INEAR DE VIGA ANÁISE SEETIVA ANÁISE NÃO-INEAR DE VIGA BI APOIADA SOB MOMENTO CONCENTRADO AVAIAÇÃO DO EFEITO DO MEFG NO CÁCUO DE TENSÕES CONCUSÃO REFERENCIAS... 99

8 ISTA DE FIGURAS Figura 1: Subdivisão do Domínio: a) Caso Real; b) Discreização do espaço de elemenos finios represenação das condições de conorno Figura : Represenação de corpo rígido Figura 3: Referencial agrangeano Toal Figura 4: Referencial agrangeano Aualizado Figura 5: Típico de uma Viga de Euler-Bernoulli Figura 6: Elemeno de pórico ridimensional Figura 7: Classificação das Análises Figura 8: Superfície de escoameno após carregameno no maerial que apresena encruameno isorópico Figura 9: Superfície de escoameno no espaço de ensões Figura 1: Projeções das superfícies de escoameno de Tresca e Von Mises: a) Plano-π; b) Plano σ1-σ3 σ-σ Figura 11: Ilusração do processo de ieração de Newon-Rapson em uma solução genérica de um sisema de um único grau de liberdade... 6 Figura 1: Efeio Snap-Troug Figura 13: Efeio Snap-Back Figura 14: Coberura {Ω i } do domínio Ω Figura 15: Subdomínio e funções PU para uma mala de elemeno unidimensionais do MEFG Figura 16: Configuração da parição da unidade do MEF convencional ( i MEF), função de enriquecimeno (γ I ) e função enriquecida ( i MEFG) para o nó inicial (ξ = -1) na direção do Eixo X Figura 17: Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γi) e função enriquecida ( i MEFG) para o nó inermediário (ξ = ) na direção do Eixo X Figura 18: Configuração da parição da unidade do MEF convencional ( i MEF), função de enriquecimeno (γ I ) e função enriquecida ( i MEFG) para o nó final (ξ=1) na direção do Eixo X

9 Figura 19: Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γ I ) e função enriquecida ( i MEFG) para o nó inicial (ξ = -1) na direção dos Eixos X e X Figura : Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γi) e função enriquecida ( i MEFG) para o nó inermediário (ξ = ) na direção dos Eixos X e X Figura 1: Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γ I ) e função enriquecida ( i MEFG) para o nó final (ξ=1) na direção dos Eixos X e X Figura : Funções enriquecidas para os graus de liberdade, para barra e viga, de deslocamenos nas rês direções Figura 3: Graus de iberdade Nodais acrescidos de 1 (um) nível de enriquecimeno Figura 4: Graus de iberdade Nodais acrescidos de (dois) nível de enriquecimeno Figura 5: Casos analisados em condição linear e não-linear; a) Tração em viga engasada; b) Flexão em viga bi apoiada Figura 6: Diagrama Tensão x Deformação Figura 7: Deslocameno axial x og NG para barra sob ração em análise não-linear Figura 8: Deslocameno verical x og NG para viga sob flexão em análise linear Figura 9: Deslocameno verical na viga biapoada em análise linear considerando 1 passos de carga, para 45 graus de liberdade Figura 3: Deslocameno verical x og NG para viga sob flexão em análise não-linear Figura 31: Deslocameno verical na viga biapoada em análise não-linear considerando 1 passos de carga, para 45 graus de liberdade Figura 3: Seleividade de um subdomínio para enriquecimeno Figura 33: Erro absoluo de deslocamenos em relação ao número de graus de liberdade para análise linear para 1 passo de carga Figura 34: Erro absoluo de deslocamenos em relação ao número de graus de liberdade para análise linear para 1 passos de carga

10 Figura 35: Erro absoluo de deslocamenos em relação ao número de graus de liberdade para análise linear para 1 passos de carga Figura 36: Erro absoluo de deslocamenos em relação ao número de graus de liberdade para análise não-linear para 1 passos de carga Figura 37: Erro absoluo de deslocamenos em relação ao número de graus de liberdade para análise não-linear para 1 passos de carga Figura 38: Erro absoluo de deslocamenos em relação ao número de graus de liberdade para análise não-linear para 1 passos de carga Figura 39: Modelo de duo analisado Figura 4: Deslocameno verical no duo em função do carregameno de momeno concenrado Figura 41: Tensão de Von Mises ao longo da viga biapoiada Figura 4: Tensão de Von Mises ao longo do elemeno considerando níveis de enriquecimeno

11 ISTA DE TABEAS Tabela 1: Classificação de Análises Não-ineares Tabela : Forças aplicadas nas análises de ração e flexão, linear e não-linear Tabela 3: Valores para Diagrama Tensão x Deformação Tabela 4: Erro relaivo do deslocameno axial com o valor analíico em função do número de elemenos Tabela 5: Erro relaivo do deslocameno verical com o valor analíico em função do número de elemenos no caos de análise linear de viga Tabela 6: Deslocameno verical na viga biapoada, para úlimo passo de carga, em análise linear considerando 1 passos de carga, para 45 graus de liberdade Tabela 7: Erro relaivo do deslocameno verical com o valor analíico em função do número de elemenos no caso de análise não-linear de viga Tabela 8: Deslocameno verical na viga biapoada, para úlimo passo de carga, em análise não-linear considerando 1 passos de carga, para 45 graus de liberdade Tabela 9: Tensão de Von Mises

12 ISTA DE SIGAS MEF Méodo dos Elemenos Finios MEFG Méodo dos Elemenos Finios Generalizado MPU Méodo da Parição da Unidade PU Parição da Unidade

13 ISTA DE SÍMBOOS a Veor de aceleração de campo A Área a ij Graus de liberdade nodal b Veor de forças de campo auanes no elemeno b ij Graus de liberdade de campo β j Faor muliplicador da função de enriquecimeno associado ao nível de enriquecimeno j B - Mariz linear de deformação-deslocameno no empo B 1 N - Mariz não-linear de deformação-deslocameno no empo N B - Mariz não-linear de deformação-deslocameno no empo N B 3 - Mariz não-linear de deformação-deslocameno no empo C Mariz de coeficiene de amorecimeno C EP Componenes da Mariz Consiuiva Elasoplásica D Mariz de relação consiuiva do maerial ε Veor de deformação global εi Veor de deformação nodal Deformação na direção x 1 no eixo cenroidal - Deformação incremenal linear axial no eixo cenroidal no empo zero da configuração de referência - Deformação incremenal não-linear axial no eixo cenroidal no empo zero da configuração de referência

14 E Módulo de Young E Módulo Tangene ; Superfície de Escoameno F Veor de forças globais Fi Veor de forças nodais F eq - Força axial equivalene F AS Força incremenal da mola de solo longiudinal no empo F BS Força incremenal de compressão da mola de solo de base no empo F US Força incremenal de compressão da mola de solo de levanameno no empo F RS Força incremenal de compressão da mola de solo laeral direia no empo + B f i - Componene das forças exernas aplicadas por unidade de volume analisadas no empo + + S f i - Componenes das forças de ração exernas aplicadas por unidade de área analisadas no empo + H Mariz das funções de forma de elemenos finios H Mariz das funções de forma de elemenos finios generalizado I 1, I, I 3 Invarianes do Tensor de Tensões de Caucy J 1, J, J 3 Invarianes do Tensor Deviaório de Tensões j Nível de enriquecimeno K Mariz de rigidez de corpo rígido Consane de rigidez da mola de solo longiudinal no empo Consane de rigidez da mola de solo de base no empo Consane de rigidez da mola de solo de levanameno no empo

15 Consane de rigidez da mola de solo laeral esquerda no empo Consane de rigidez da mola de solo laeral direia no empo Deformação incremenal da mola de solo longiudinal no empo Deformação incremenal da mola de solo de base no empo Deformação incremenal da mola de solo de levanameno no empo Deformação incremenal da mola de solo laeral esquerda no empo - Deformação incremenal da mola de solo laeral direia no empo Operador inear M Mariz de massa do corpo Momeno equivalene em relação à direção x Momeno equivalene em relação à direção x 3 N Veor de funções inerpoladoras de elemenos finios σ Veor de ensões de Caucy σ esc Tensão de Escoameno σ m Tensão Média σ(n) Tensão Normal de superfície à direção n - Tempo Tensão de Cisalameno à direção n Componenes do Tensor de Tensões de Caucy no empo ρ Densidade ρ - Densidade no empo ρ Densidade na configuração inicial Sij Tensor Deviaório de Tensões

16 Componenes do segundo ensor de ensões de Piolla-Kircoff no empo + com referência à configuração inicial - Componenes do ensor de deformações de Green-agrange no empo + com referência à configuração inicial (n) Forças de Tração de Superfície na direção n n i, n j Veor uniário na direção i e j Veor de aceleração global do corpo rígido Veor de velocidade global do corpo rígido Veor de deslocameno global do corpo rígido Ui Veor de deslocameno nodal do corpo rígido ν Coeficiene de Poisson u, v, w - Componenes de deslocamenos do eixo cenroidal no empo em relação à configuração de referência u, v, w - Componenes de deslocameno e u MEF Deslocameno nodal de elemenos finios e u ENRIQ - Deslocameno nodal de enriquecimeno e u - Deslocameno nodal aproximado pelas funções de enriquecimeno - Roação incremenal em orno do eixo x no empo em relação à configuração de referência - Roação incremenal em orno do eixo x 3 no empo em relação à configuração de referência Curvaura incremenal não-linear em orno do eixo x 3 Curvaura incremenal não-linear em orno do eixo x Curvaura incremenal linear em orno do eixo x 3

17 Curvaura incremenal linear em orno do eixo x Curvaura incremenal em orno do eixo x no empo em relação à configuração de referência. Curvaura incremenal em orno do eixo x 3 no empo em relação à configuração de referência. Ω - Domínio φ i Funções Parição da Unidade {Ω i } Subcoberura do domínio Ω relacionada às funções parição da unidade γ j Funções de enriquecimeno x 1, x, x 3 - Coordenadas caresianas locais,, - Coordenadas caresianas globais - Coordenada naural axial δw in Energia Poencial Inerna δw ex Energia Poencial Exerna

18 RESUMO Cervelin, D. Méodo dos Elemenos Finios Generalizado: Desenvolvimeno e Aplicação em Análise Não-inear Uilizando Elemeno de Pórico Espacial de Ala Ordem. Disseração (Mesrado) Escola Poliécnica, Programa de Pós- Graduação em Engenaria Mecânica, Ponifícia Universidade Caólica do Paraná, Curiiba, 14. O Méodo dos Elemenos Finios é uilizado em diversas aplicações da engenaria, mais usualmene aplicado no esudo de problemas com elevados gradienes de ensão, rincas, analises de vibração, enre ouros, buscando maior confiabilidade no projeo de esruuras. Devido ao elevado grau de complexidade de alguns problemas, o empo compuacional demandado pode ser consideravelmene alo. Na busca pela obenção de resulados de picos de ensões ou deslocamenos, pode-se enriquecer o campo de deslocamenos do MEF. Um deses procedimenos é camado MEFG Méodo dos Elemenos Finios Generalizado. O principal objeivo dese rabalo é desenvolver uma formulação de enriquecimeno de um elemeno de elevada ordem polinomial, de viga, que seja capaz de aprimorar os resulados numéricos da aproximação convencional. Alguns exemplos são modelados para mosrar a performance do MEFG e os resulados são comparados com sofware comercial e com soluções analíicas. São esados ambém diferenes níveis de enriquecimeno bem como a seleividade de elemenos a serem enriquecidos. O MEFG é desenvolvido para um elemeno de viga de Euler-Bernoulli 3D com funções polinomiais de elevada ordem. Os resulados enconrados mosram que o méodo é mais eficiene na obenção de resulados de ensões ao invés de deslocamenos. Além disso, melores resulados com a uilização do MEFG foram obidos em análises com considerações de não-linearidade maerial. Palavras-Cave: Funções de Enriquecimeno, MEFG, Elevada Ordem Polinomial, Viga de Euler-Bernoulli, Parição da Unidade.

19 ABSTRACT Cervelin, D. Generalized Finie Elemen Meod: Developmen and Applicaion in Non-inear Analysis Using a Hig Order Space Frame Elemen. Disseração (Mesrado) Escola Poliécnica, Programa de Pós-Graduação em Engenaria Mecânica, Ponifícia Universidade Caólica do Paraná, Curiiba, 14. Te Finie Elemen Meod is used in several engineering problems and more usually applied for e sudy of problems wi ig sress gradiens, cracks, vibraion analysis and so on, looking for more reliabiliy in design of srucures. Due e complexiy of some problems, e compuaional ime demanded can be very ig. In order o obyain e peak of sress or displacemens, i sould enric e FEM displacemen field. One of ese procedures is called GFEM - Generalized Finie Elemen Meod. Te main objecive of is work is o develop a formulaion a is able o enric a ig polynomial order beam elemen in order o improve e numerical resuls of e convenional approac. Some examples are modeled o sow e performance of GFEM and e resuls are compared wi commercial sofware and analyical soluions. Also are esed differen enricmen levels as well as only some elemens are enriced insead of all elemen. Te GFEM is developed for 3D Euler-Bernoulli beam elemen wi ig order of polynomial funcions. Resuls sows a e proposed meod is more efficien an FEM wen ensions resuls are obained insead of displacemen resuls. Furermore, beer resuls using GFEM was obained on analysis wi maerial non-lineariy consideraions. Keywords: Enriced Funcions, GFEM, Hig Order Polynomial Funcions, Euler- Bernoulli Beam, Pariion of Uniy.

20 19 1. INTRODUÇÃO Consanemene máquinas, peças, esruuras meálicas, edificações, veículos, ferramenas, enre ouros, esão sujeios a carregamenos e esforços das mais diversas naurezas. Os projeos, sejam eles de qualquer disciplina, elérica, mecânica ou civil, endem a ser cada vez mais oimizados e com foco na redução de cuso de fabricação e/ou produção, manufaura. Com a evolução do mercado e da dificuldade das empresas em buscar o desenvolvimeno próprio devido elevados cusos operacionais e baixo reorno financeiro pelas vendas, os novos invesimenos desejados pelas indúsrias endem a ser caracerizados por baixo cuso de invesimeno inicial, conciliado com rapidez de execução do projeo com confiabilidade e qualidade. Iso faz dos projeos mais oimizados e próximos dos limies dimensionais e de faores de segurança admiidos. Tudo iso faz com que a excelência na execução do projeo seja alcançada de forma a se eviar problemas fuuros, após posa em marca de ais equipamenos, máquinas, ferramenas, ec. As consanes mudanças climáicas pelas quais o planea esá aravessando, devido principalmene pelo consane e gradual aumeno do crescimeno global, orna as esruuras mais exigidas sofrendo esforços de vibração, dilaação érmica, enre ouros. Da mesma forma como a medicina evolui no desenvolvimeno de vacinas, remédios, pesquisas na cura de deerminadas doenças ou da mesma forma como o direio busca a regulamenação e aualização das normas legais dos países, a engenaria precisa buscar o desenvolvimeno de ferramenas e processos que oimizem a indúsria seja isso da maneira que for conveniene e necessária. Enenda-se meloria conínua em processos operacionais, busca pela excelência na execução de projeos, processos de manufaura, denre ouros. Umas das principais ferramenas uilizadas por engeneiros são as camadas ferramenas compuacionais, sofwares capazes de execuar cálculos e análises complexas em um curo espaço de empo que levariam muio empo, ou aé mesmo seriam impossíveis e inviáveis, de serem realizados à mão. A pesquisa e desenvolvimeno deses é de exrema imporância, ornando-as rápidas, fáceis de se manipular e eficazes, com ala eficiência e confiabilidade.

21 O Méodo dos Elemenos Finios é muio usado na indúsria para execução de projeos e oimizações dos mesmos. Análises de fadiga e fraura, análises esáicas com linearidade e não-linearidade geomérica e de maerial e análises dinâmicas são algumas das aplicações dese méodo. Diversos são os sofwares comerciais disponíveis no mercado os quais uilizam a Teoria do Méodo dos Elemenos Finios, como por exemplo: Algor, Ansys, Caia, Solid Works, Solid Edge, Pro-E, Hyper Mes, ec. Apesar de ser um méodo consagrado e eficiene, em algumas siuações pode-se enconrar algumas limiações na uilização deses sofwares. Problemas da mecânica da fraura, mecânica do dano, problemas com considerações de concenração de ensão, enre ouros, demandam elevado esforço compuacional em função das paricularidades de cada problema, como é o caso da mecânica da farura por exemplo, onde a obenção do efeio da singularidade na pona de rincas requer malas de elemenos finios exremamene refinadas. Em diversos casos na uilização do MEF faz-se necessário uma correa e precisa criação da mala de elemenos finios devido ao grau de complexidade do problema ornando a simulação onerosa e ambém reduzindo a eficiência do méodo, em ouras palavras, a mala de elemenos finios deve ser ão refinada quano necessária de forma a se alcançar o menor erro da solução. Ouro faor impacane é o fao de que a cada refino de mala um novo conjuno de marizes de rigidez deve ser recriado e recalculado, aumeno assim ainda mais a demanda de empo de processameno. Tendo iso em visa, desenvolveu-se (Melenk e Babuska (1996), Babuska e. al (), enre ouros) o Méodo da Parição da Unidade e em seguida o Méodo dos Elemenos Finios Generalizado os quais ornaram possível a inclusão na formulação do MEF funções de efeios conecidos de forma a capurar comporamenos deerminados, ais como singularidades, oscilações de valores no empo, enre ouros. Ese méodo permiiu o enriquecimeno no campo de variáveis com caracerísicas de refinameno ierárquico, reduzindo a demanda compuacional e aumenando a eficiência nas simulações, principalmene em siuações com elevado grau de complexidade. Sendo assim, ese rabalo propõe o esudo e desenvolvimeno de uma formulação adapada aravés do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado que seja capaz de avaliar os efeios causados em vigas por forças esáicas, as

22 1 quais podem levar o maerial ao regime plásico. Uma das aplicações da formulação será na análise de duos, pois sabe-se que esas esruuras são submeidas a esforços exremos e consanes. Nos próximos capíulos serão realizadas revisões bibliográficas e eóricas a respeio dese ema. 1.1 MOTIVAÇÃO A principal moivação dese rabalo é a possibilidade de adapação do méodo dos elemenos finios convencional, um méodo consagrado, aravés da écnica de enriquecimeno das funções de forma com o uso do Méodo da Parição da Unidade para a solução de equações diferenciais em problemas da mecânica. Ese méodo é ambém conecido como Méodo dos Elemenos Finios Generalizado. Algumas das principais vanagens em orno da implemenação do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado são: Possibilidade de considerar o comporameno prévio de uma deerminada solução no espaço de aproximação de elemenos finios aravés da inclusão de funções de enriquecimeno na formulação de elemenos finios; Obenção de efeios ou comporamenos localizados; A abilidade de consruir um espaço de elemenos finios com qualquer que seja a sua regularidade e/ou comporameno; A não necessidade de criação de uma complexa mala de elemenos finios para resolução de problemas com elevado grau de complexidade, pelo fao da possibilidade de implemenação de diferenes níveis de enriquecimeno no modelo, écnica esa à ser revisada nas seções seguines; O fao de ese méodo possuir caracerísicas ierárquicas; De acordo com alguns rabalos presenes na lieraura, como por exemplo, Babuska e. al (), Osborn e. al (), enre ouros, percebe-se que o MEFG pode proporcionar bons resulados e resolução de deerminados

23 problemas que o méodo clássico de elemenos finios fala ou é exremamene demandado e com baixa eficiência, ais como problemas da mecânica da fraura problemas da dinâmica das esruuras, enre ouros. Esa boa eficiência do méodo se dá basicamene pelo fao de que é possível a inclusão de informações analíicas do problema denro do espaço de elemenos finios. Diversas são as aplicações do MEFG presenes na lieraura como, por exemplo: Análise dinâmica com forças variáveis no empo, análise de vibração, mecânica do dano, mecânica da fraura, enre ouros. Não foram enconrados ainda esudos que mosrem a implemenação dese méodo em análises esáicas com considerações de não-linearidade geomérica e maerial uilizando elemeno com funções de ordem elevada.

24 3 1. OBJETIVO GERA Ese rabalo em como objeivo principal o desenvolvimeno e implemenação do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado em um código compuacional para a obenção de efeios localizados em esruuras sujeias a carregamenos diversos em análises com considerações de não-linearidade maerial. O elemeno implemenado esá baseado nos rabalos de Mejía (3), Souza (5) e Sang (9), e admie a ocorrência de efeios não lineares produzidos pela plasificação do maerial. O programa base foi desenvolvido em linguagem FORTRAN a parir do código adapado por Sang (9), designado por APC3D_Mulilinear. 1.3 OBJETIVO ESPECÍFICO Os objeivos específicos dese rabalo são: Adapar o código compuacional APC3D_Mulilinear implemenando a Teoria do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado; Avaliar o efeio das funções de enriquecimeno em análises com considerações de linearidade e não-linearidade maerial; Modelagem de duo avaliando o comporameno de deslocamenos e ensões locais;

25 4 1.4 REVISÃO BIBIOGRÁFICA O Méodo dos Elemenos Finios é um méodo muio uilizado em análises compuacionais e projeos diversos. Os resulados obidos por ese méodo são em geral precisos e confiáveis. Pesquisas esão sendo desenvolvidas e alguns méodos mais eficienes esão sendo descoberos, denre eles esá o Méodo dos Elemenos Finios Generalizado. O presene esudo se baseia no rabalo desenvolvido por Sang (9). Ese uilizou o programa escrio em linguagem FORTRAN, sob o nome de APC3D_Mulilinear, para realizar análises do efeio de concenração de ensões em duos corroídos aravés de elemeno de pórico uniaxial ridimensional. Foram considerados efeios de não-linearidade física na formulação do elemeno. Baseado nesa referência, o presene rabalo propõe a adapação do programa aravés do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado. O Méodo dos Elemenos Finios Generalizado foi inroduzido inicialmene por Babuska e. al () e é baseado no Méodo da Parição da Unidade, o qual foi apresenado na lieraura pelo mesmo auor. Melenk e Babuska (1996) apresenaram a fundamenação maemáica básica do MPU analisando e definindo os méodos de escola das parições da unidade para enriquecimeno do espaço de elemenos finios. Mosrou-se neses rabalos a eficácia dese novo méodo quando desenvolvido para problemas aplacianos, problemas da elasicidade e problemas de Helmolz. No rabalo de Babuska, Banerjee e Osborn () foram apresenadas diversas formulações para o Méodo dos Elemenos Finios Generalizado (MEFG) e suas consequências na solução de problemas de equações diferenciais. Uma noção quaniaiva de robusez do méodo é apresenada e discuida além de concluírem que funções polinomiais são muio eficienes na implemenação do campo de enriquecimeno. Por sua vez, Barros, Proença e Barcellos () propuseram um esimador de erros uilizado no procedimeno de solução de equações diferenciais de Newon-Rapson, com aplicação em problemas não-lineares de vigas de concreo armado abrangendo a formulação do MEFG. Os resulados mosraram a eficiência do méodo enriquecido sendo ponuado como principal

26 5 vanagem a simplicidade com que o refinameno p não-omogêneo pode ser realizado, sem a necessidade de imposição de condições de conorno para as funções de aproximação. Barros () analisou algumas formulações de méodos sem mala, denre eles o méodo das nuvens. Além disso analisou o MEFG e apresenou as vanagens de cada méodo. Os méodos foram aplicados em análises onde esruuras cegam ao regime de comporameno não-linear físico no esudo da Mecânica do Dano Conínuo. Consaou-se uma grande flexibilidade no uso do MEFG pelo fao da independência da mala e pelo fao da possibilidade de refino do sisema apenas no subdomínio desejado. Ainda, noou-se uma vanagem expressiva no uso de funções de aproximação ipo rigonomérica em relação às funções polinomiais. Torres (3) realizou análises ridimensionais de modelos sólidos considerando efeios não-lineares, empregando o Méodo dos Elemenos Finios Generalizado. Baseado nas análises realizadas, conclui que o MEFG possui óima capacidade de aproximação dos resulados em subdomínios ou locais de ineresse, não só em picos de resulados mas ambém na capura de gradienes de deformação e ensão na região de ineresse. Cessa e Belyscko (3) apresenam um méodo enriquecido no qual a inerface enre a parcela de enriquecimeno e a parcela de elemenos finios convencional pode se mover arbirariamene por enre a mala sem a necessidade de criação de nova mala de elemenos finios. O enriquecimeno é implemenado pelo Méodo dos Elemenos Finios Esendido modelando desconinuidades no gradiene de velocidades na região de inerface aravés de parição da unidade local. Sanana (4), em uma análise de propagação de rincas no conexo da mecânica da fraura linear elásica, esudou o emprego dos méodos sem mala, os quais dispensam o uso da discreização aravés de elemenos sendo esa realizada aravés do emprego de nós disribuídos sobre o domínio, bem como esudou o MEFG. Em seu rabalo, avalia as diferenças enre o MEF convencional, o Méodo de Galerkin Sem Elemenos (MGSE) e o MEFG em formulação uni e bidimensional. Consaou que o MEF capura de forma muio imprecisa os efeios localizados. Para conseguir bons resulados o refino da mala deve ser alo, o que demanda muio empo compuacional. O MGSE

27 6 capura com mais eficiência os resulados locais, se comparado com o MEF radicional, porém sua aproximação demanda maior esforço compuacional, pelo fao das funções de forma serem obidas aravés da solução de um sisema de equações em cada pono do domínio, ao conrário do MEF convencional, o qual obém as funções de forma apenas nos nós do elemeno. Pode ser uma formulação vanajosa para análises ridimensionais onde a geomeria e recriação de malas pode se ornar onerosa. Consaou ambém que com o MEFG a capura dos efeios locais é muio precisa com a écnica de enriquecimeno das funções pelo fao de se escoler funções de enriquecimeno que represenam o resulado esperado. O MEFG é baseado no conecimeno a priori da naureza da solução, ou seja, as funções de enriquecimeno represenam o conecimeno prévio do comporameno da esruura sujeia a deerminado carregameno. Concluiu-se em uma comparação enre os méodos que as soluções numéricas com o MEFG resulam no melor cuso-benefício para o problema de propagação de rincas. Souza (5) esudou o comporameno de duos enerrados aravés de um modelo de viga. Algumas aplicações dese rabalo serão reproduzidas no presene esudo aravés do méodo de elemenos finios generalizado para efeio de validação do modelo proposo. O esudo de Mangini (6) raz o Méodo dos Elemenos Finios Generalizado aplicado na análise de esruuras em casca de revolução. Funções de enriquecimeno polinomiais, exponenciais e rigonoméricas foram proposas para o enriquecimeno do MEF convencional e observou-se que o méodo proposo possui uma axa de convergência dos resulados significanemene maior que o méodo convencional. O MEFG ambém pode ser aplicado no esudo da Mecânica da Fraura, como é o caso do rabalo de Duare e Kim (8). O esudo aplica a écnica de enriquecimeno em problemas com múliplas rincas no domínio e demonsra que a precisão do méodo pode ser conrolada usando um número fixo de graus de liberdade e de funções de enriquecimeno. Arnd (9) esudou o Méodo dos Elemenos Finios Generalizado aplicado em análise de vibração livre de esruuras reiculadas. Funções aproximadoras, ambém camadas de funções de enriquecimeno, foram proposas para elemenos de barra e de viga de Euler-Bernoulli. Os diferenes

28 7 ipos e composição de funções foram analisadas para cada caso avaliando os erros relaivos em relação às análises via MEF convencional. Pode-se concluir nese rabalo ambém que o refino p gerou resulados mais precisos que o refino. Ouro resulado imporane é que o MEFG permie enconrar resulados precisos e com eficiência os quais não são possíveis de se ober via MEF convencional, em siuações específicas. Torii (1) aplicou o MEFG em análise dinâmica de barras, reliças, vigas, póricos, equação da onda bidimensional e esado plano de ensões. Análises modal e ransiene foram realizadas. Os resulados foram comparados com o MEF convencional polinomial. Observou-se que, em geral, o MEFG foi mais eficiene em problemas que envolvem os modos mais elevados de vibração, os quais são de exrema imporância em problemas relaivos à propagação de ondas no domínio, indicando assim o poencial do méodo dos elemenos finios generalizado. Muias análises requerem um grau de precisão al que o méodo dos elemenos finios convencional não consegue alcançar ou, quando alcança, demanda um esforço compuacional muio grande aravés do alo refino da mala de elemenos finios. Em algumas siuações iso pode se ornar inconveniene em função do empo disponível para as análises, em função das ferramenas ou equipamenos disponíveis, ec. Problemas que levam em consideração a não-linearidade física ou geomérica, problemas da mecânica da fraura, problemas de vibração, problemas emporais, enre ouros, requerem al esforço compuacional muias vezes não disponível. A écnica de enriquecimeno (MEFG) vem conribuir nesas siuações reduzindo o esforço compuacional bem como aumenando a eficiência nas análises com um considerável gano na precisão dos resulados. Além disso, siuações e comporamenos específicos ao problema podem ser simulados com mais eficiência aravés do MEFG. Os rabalos enconrados na lieraura aplicam a écnica em elemenos de barra, viga, pórico, enre ouros, bem como em siuações de linearidade e nãolinearidade física do modelo. O presene rabalo propõe o emprego dese méodo em um elemeno de pórico uniaxial ridimensional de elevada ordem. Serão proposas algumas funções rigonoméricas para o enriquecimeno das funções inerpoladoras do méodo dos elemenos finios e aplicadas em análises

29 8 linear e não-linear. A seguir será feia uma breve revisão eórica para servir de base ao rabalo. 1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABAHO O presene rabalo esá divido basicamene em 4 capíulos principais sendo em sequência: Revisão Teórica, Méodo dos Elemenos Finios Generalizado, Aplicações e Conclusões. O capíulo apresena uma revisão eórica a qual formará uma base de esudo e referência para o desenvolvimeno do Méodo dos Elemenos Finios Generelizado. Nesa seção serão raados assunos como a essência do Méodo dos Elemenos Finios e da Mecânica do Conínuo. Será apresenado ambém o elemeno finio que será uilizado no desenvolvimeno do rabalo, bem como suas caracerísicas e formulações. Uma breve revisão dos conceios de plasicidade e méodos de inegração numérica será realizada. O capíulo 3 raará a respeio do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado endo em visa a sua eoria básica, derivada do Méodo da Parição da Unidade, seu méodo de adapação ao MEF convencional e das écnicas de implemenação. Além disso serão proposas funções de enriquecimeno para implemenação de código compuacional desenvolvido na plaaforma FORTRAN. Por sua vez, o capíulo 4 é desinado às aplicações do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado. Será avaliado o modelo implemenado com o uso de elemeno de viga de Euler-Bernoulli com formulação enriquecida e aplicada na análise de vigas com seção ransversal circular sob carregameno axial e ransversal, avaliando efeios de linearidade e não-linearidade maerial. Uma análise de validação do modelo proposo com referência em um caso avaliado por Souza (5) será efeuada. Além disso será discuido a seleividade do enriquecimeno do domínio, ou seja, as diferenças enre enriquecimeno de odo o domínio ou de apenas pare do domínio nos resulados de deslocameno. As soluções serão enão discuidas. Por fim será avaliado o efeio do enriquecimeno na análise de ensões ao longo de um elemeno, comparando os resulados com o MEF convencional.

30 9 Os resulados e conclusões dese rabalo serão discuidos no capíulo 5, bem como proposições para rabalos fuuros serão feias. A seguir dá-se início à revisão eórica do presene rabalo.

31 3. REVISÃO TEÓRICA Esa seção se desina à uma revisão eórica de alguns emas que são imporanes para o esudo do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado, formando assim uma base eórica para a implemenação da formulação. A revisão eórica iniciará raando o Méodo dos Elemenos Finios..1 MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS O Méodo dos Elemenos Finios (MEF) consise em uma écnica aproximaiva para solução de problemas das mais variadas formas. Esa écnica é amplamene aplicada, via análise compuacional, em casos onde uma solução analíica não pode ser obida, sendo enão a solução por aproximação a mais indicada. Traa-se de um procedimeno numérico para analisar esruuras e meios conínuos, sendo formulado aravés de equações diferenciais e sujeio a condições de conorno, sendo enão muio uilizado em Problemas de Valor de Conorno. A écnica consise em subdividir, ou represenar, o problema real em um domínio finio, subdivido em n pares. Cada subdivisão é camada de elemeno. Quano maior o número de elemenos (i.e. mais subdivisões no domínio) melor será a solução enconrada. Ese procedimeno será demonsrado nas seções a seguir. A Figura 1 exemplifica como é realizada esa subdivisão. Na Figura 1.a) é represenado uma siuação real, no caso um forno roaivo uilizado na indúsria cimeneira e a Figura 1.b) represena a subdivisão do domínio de elemenos finios represenando o caso real analisado.

32 31 Figura 1: Subdivisão do Domínio: a) Caso Real; b) Discreização do espaço de elemenos finios represenação das condições de conorno. Os passos básicos em uma análise via Méodo dos Elemenos Finios, usando o méodo por deslocamenos, são: 1. Subdividir a esruura como um odo em pequenos elemenos inerconecados esruuralmene por ponos, denominados nós;. Idenificar as condições de conorno do sisema, impondo-as ao esudo de forma que correspondam à correa resposa do sisema, em ermos de deslocameno; 3. Incorporar ao sisema as relações consiuivas relacionadas à análise; 4. Formular as equações de equilíbrio correspondenes e resolvê-las; 5. Com os deslocamenos conecidos e as relações consiuivas prédefinidas, calcular a disribuição inerna de ensões dos elemenos; 6. Inerprear os resulados enconrados e compará-los com o resulado esperado do caso real. A Equação de Equilíbrio do Movimeno que descreve o Méodo dos Elemenos Finios, em função do empo, para um caso genérico, é dado por:

33 3 (1) Em que M é a massa oal do sisema, C represena o amorecimeno do sisema dinâmico, é a aceleração oal, é a velocidade e U é o deslocameno oal do sisema, em consequência das forças globais aplicadas F. Desconsiderando os efeios inerciais e dinâmicos, em-se para a análise esáica a seguine Equação de Equilíbrio simplificada: ; () Um elemeno finio ípico e, conforme mosrado na Figura 1.1 para o esado plano de ensões, é definido pelos nós i, j, m, ec. conecados por linas enre si. Sejam os deslocamenos u em qualquer pono denro do elemeno aproximados por:,, ; (.1) Figura 1.1: Domínio no esado plano de ensões dividido em elemenos finios.

34 33 Em que os componenes de N são funções prescrias, conecidas como funções de forma ou de inerpolação, e u e represenam a lisa de deslocamenos nodais para um elemeno paricular. No caso do esado plano de ensões, os deslocamenos orizonal e verical correspondenes a um nó i podem ser escrios como:, (.), De al forma que, reescrevendo a equação (.1): (3) E subsiuindo-a na equação (), em-se: (4) Onde K é a mariz de rigidez do sisema, U é o veor de deslocamenos global do sisema, ui é o veor de deslocamenos nodais, F é o veor de forças globais, Fi é o veor de forças nodais e N é a mariz das funções inerpoladoras. As condições de conorno essenciais são incorporadas em F de forma que os deslocamenos possam ser enão calculados da seguine maneira: (5) Com os deslocamenos conecidos em odos os ponos denro do elemeno, as deformações ε podem ser obidas da seguine maneira: (6) Em que é um operador linear. Usando a equação (3), a equação (6) pode ser aproximada como:

35 34 (6.1) Sendo, ; (6.) A parir das deformações deerminadas ε e com as relações consiuivas D previamene conecidas, pode-se enão ober as ensões auanes no elemeno. Em geral, o maerial denro do conorno do elemeno pode esar sujeio a deformações iniciais sejam elas de naureza quaisquer. Tais deformações são camadas de ε, sendo enão as ensões causadas pela diferença enre a deformação aual e inicial. Em adição a iso, pode-se assumir que o corpo em análise eseja sob efeios de ensões iniciais residuais σ e que devem ser incorporadas na definição geral. ogo, assumindo um comporameno linear elásico qualquer, a relação linear enre ensões e deformações é escria na forma: (7) Uma boa inerpreação do Méodo dos Elemenos Finios é dada pela Equação (3), a qual relaciona o deslocameno global de um deerminado domínio com os deslocamenos nodais aravés das camadas Funções Inerpoladoras ou Funções de Forma N. Esas funções polinomiais inerpolam valores nodais subsequenes aravés de um sisema de equações para obenção dos resulados globais. Desa maneira, enende-se que malas refinadas possuem mais funções de forma inerpolando valores nodais mais próximos enre si, obendo assim resulados mais precisos do que malas menos refinadas, ou seja, com menos elemenos e por consequência menor número de nós.

36 35. MECÂNICA DO CONTÍNUO Esa seção fará uma rápida revisão a respeio da Mecânica do Conínuo levanando os principais conceios a serem considerados como referência no presene rabalo. De acordo com UBINER (6), a mecânica do conínuo é conecida como sendo o esudo das forças e movimenos. Um deerminado corpo rígido, sujeio a forças exernas, pode deslocar-se no empo ou enão sofrer deformações elásicas e plásicas. O comporameno do corpo é descrio pelas equações variacionais, sejam elas, Princípio do Trabalo Virual ou Princípio da Energia Poencial Toal Esacionária. Esas formulações buscam o equilíbrio global do sólido por meio da energia inerna do corpo e das forças e reações exernas imposas ao sólido, podendo ser analisadas em siuações de linearidade oal e não linearidade física e/ou geomérica. O esudo das análises não-lineares será discuido nas seções seguines. Dado um corpo rígido no domínio Ω, de volume dv, superfície ds, forças exernas F Ω e condições de conorno R Ω, conforme Figura : Figura : Represenação de corpo rígido.

37 36 É definido, pela equação denominada Equação do Movimeno de Euler, ou Balanço de Momeno inear ou Equação de Força Global: (8) Onde ρ é a densidade (massa por unidade de volume), b é o veor de forças de campo (com dimensão de força por unidade de massa) e a é o veor de aceleração de campo. As forças exernas são represenadas pela componene (n) denominada Forças de Superfície. Ese componene não é definido como sendo um componene de campo pois não depende apenas da localização, mas ambém depende de uma orienação da superfície do corpo/elemeno como definido pelo valor local (Direção) de n. A dependência das forças com as direções n pode ser explicada pelo Teraedro de Caucy. Esas forças podem ser ainda separadas em Tensão Normal e de Cisalameno, respecivamene: (9) (1) A Equação (8) represena o equilíbrio de um corpo rígido submeido a uma variedade de carregamenos e resrições..3 PRINCÍPIO DOS TRABAHOS VIRTUAIS Uma das formas de se deerminar a esabilidade de um corpo é mensurando a energia oal do mesmo. Um dos princípios uilizados em análise via Elemenos Finios é o Princípio da Energia Poencial Toal. Quando a variação da Energia Poencial Inerna se iguala à variação da Energia Poencial Exerna, em-se enão um corpo em esado de equilíbrio elásico, iso é, odo corpo em equilíbrio não possui variação em sua energia oal:

38 37 (11) Sendo δw in e δw ex a variação da energia poencial inerna e exerna, respecivamene. A parir do momeno em que um desbalanceameno de energias ocorre, o sisema enra em desiquilíbrio e o fenômeno de não linearidade física e/ou geomérica deve ser levada em consideração. Nese momeno, um problema de valor de conorno só poderá ser solucionado aravés de processos ieraivos e considerações de não-linearidade física e geomérica na formulação do elemeno finio. Um problema de elemenos finios pode ser baseado na formulação agrangeana ou Euleriana. A formulação Euleriana é muio empregada em problemas relaivos à ransferência de calor, dinâmica dos fluídos, enre ouros, pois nese caso a mala de discreização se maném fixa e esacionária em relação à um pono referencial, enquano o problema se desloca em relação a ese mesmo pono. Para problemas de valor de conorno da mecânica dos sólidos, a formulação mais empregada é a agrangeana. Esa se caraceriza pelo fao da mala de discreização se mover em conjuno com o corpo em relação a um pono referencial, o que resula em melores resulados quando se reproduz análises não-lineares. Segundo Bae (1996), em uma análise nãolinear podem-se adoar duas formas de referenciais agrangeanos, sendo eles: Referencial agrangeano Toal (T): Os deslocamenos são medidos em relação à configuração inicial deformada no empo (zero), conforme Figura 3; Referencial agrangeano Aualizado (A): Todas as variáveis esáicas e cinemáicas são medidas em relação à úlima configuração de equilíbrio obida no processo incremenal, ou seja, em relação a um referencial que é aualizado a cada incremeno de carga, conforme ilusrado na Figura 4:

39 38 Figura 3: Referencial agrangeano Toal. Noa-se que no Referencial agrangeano Toal a referência se desloca com o sisema ao aver incremeno de empo e carregameno sem que aja geração de novo sisema referência, sendo os deslocamenos medidos em relação a configuração deformada inicial. No caso de Referencial agrangeano Aualizado, conforme ilusrado na Figura 4, a referência é aualizada a cada incremeno de carga e empo sendo que os deslocamenos são medidos em relação às novas referências.

40 39 Figura 4: Referencial agrangeano Aualizado. Nese rabalo será adoada uma noação para a formulação do problema o qual segue a seguine regra no que se refere aos índices das variáveis: Índice superior esquerdo Denoa a configuração na qual ocorre a variável; Índice inferior esquerdo Denoa a configuração de referência na qual ocorre a variável; Índice inferior direio Denoa os componenes do veor ou do ensor de segunda ordem; Índice inferior direio seguido de vírgula Denoa em relação a qual variável ocorre a diferenciação. Sendo assim, para a deerminação da energia oal de um corpo pode ser uilizado o Princípio dos Trabalos Viruais, em ermos de deslocamenos, na formulação agrangeana Toal, o qual é dado por:

41 4 (1) Onde o lado esquerdo da expressão é represenado pelo rabalo virual inerno, em ermos do Segundo Tensor de Tensões de Piola-Kircoff ( S ) no empo + referido à configuração inicial e do Tensor de Deformações de Green-agrange ( ). O lado direio da expressão é represenado pelo rabalo virual exerno ( + R). O Segundo Tensor de Tensões de Piola-Kircoff e de Deformações de Green-agrange no empo são definidos, respecivamene, como:, (13),,,,, (14) No qual é o Tensor de Tensões de Caucy e ρ é a densidade aparene do maerial uilizado. O rabalo virual exerno + R é descrio por: (15) Onde: + B f i Componene das forças exernas aplicadas por unidade de volume analisadas no empo + ; + S f i Componenes das forças exernas aplicadas por unidade de área analisadas no empos + ; + S f Superfície no empos + na qual as forças exernas de ração são aplicadas; S δu i - δu i avaliado na superfície + S f.

42 41 As ensões e deformações incremenais, respecivamene, são calculadas como: (16) (17) Tomando como premissa os componenes de ensão e deformação para um elemeno viga-duo, considerações de ineração solo-esruura, quando aplicável, e as relações consiuivas do maerial, a equação do rabalo virual incremenal para um elemeno solo-duo, segundo Mejía (3) e reescrio por Sang (9), é posa como: Sendo que a primeira parcela do lado esquerdo em conjuno com a segunda parcela do lado direio calcula a mariz incremenal que descreve o comporameno não-linear geomérico da esruura para grandes deslocamenos e pequenas deformações. A segunda parcela do lado esquerdo calcula a mariz de rigidez no empo com a mariz consiuiva variável, sendo calculado nese ermo a não-linearidade física. Os rês ermos resanes do lado esquerdo e os rês úlimos ermos do lado direio represenam o rabalo virual das molas de solo. O primeiro ermo do lado direio é o rabalo virual exerno originado pelas cargas aplicadas. (18)

43 4.4 FORMUAÇÃO DE EEMENTO DE VIGA DE EUER BERNOUI Ese capíulo apresena uma formulação do modelo de viga de Euler- Bernoulli aplicada à análise de duos. Em ermos práicos, dois ipos de modelos são uilizados para modelagem de duos: modelos que usam elemeno de casca/sólido ou modelos unidimensionais de elemeno de viga. Os elemenos de casca/sólido apresenam capacidade em analisar o caso de duos carregados, considerando a flambagem local, causas frequenes para rupura de duo. Para duos com defeios quaisquer, o modelo geomérico é, por naureza, ridimensional. Os elemenos ridimensionais são ideais para análise de efeios locais, ais como flambagem local, plasificação na região de corrosão, ou ineração de diversas colônias de defeios. Porém, mesmo modelando um duo num reco de comprimeno limiado, os elemenos de casca ou sólido requerem maior esforço compuacional, por que são elemenos de elevado número de graus de liberdade. No caso de análise de duos com longo comprimeno e que apresenam ramificações, a mala de elemenos de casca/sólido não é indicada. Neses casos, o elemeno de viga é recomendado apesar da sua simplicidade. Uma das limiações é a exclusão do efeio de flambagem local. Além disso, a ovalização na seção ransversal e fraura local não são inclusos. Assim, algumas ipóeses são consideradas para que a formulação do modelo de viga seja possível. As equações de equilíbrio são deerminadas aravés do princípio de rabalos viruais. A descrição cinemáica do modelo inclui efeios de não linearidade geomérica, devido à possibilidade de desenvolvimeno de grandes deslocamenos e pequenas deformações. Tal descrição é baseada na Formulação agrangeana Toal. O efeio de não linearidade física ambém é incorporado no modelo considerando que o duo eria comporameno elasoplásico mulilinear, com caracerísicas de maerial isorópico. Considerando um duo carregado com cargas exernas e a pressão inerna, o modelo permie calcular rês ipos de ensões: longiudinal, radial e angencial. A ensão radial é a menor denre odas. A ensão longiudinal é calculada aravés da lei consiuiva do maerial. Em cada incremeno, a

44 43 deformação é calculada aravés das equações deduzidas pela descrição cinemáica, na seção ransversal de cada pono de inegração de Gauss. Devido a não linearidade física e geomérica do modelo, a variação da ensão longiudinal é calculada para cada passo de incremeno. A ensão angencial é calculada pela equação de amé com o incremeno de pressão em cada passo. No desenvolvimeno do modelo maemáico é considerada a ipóese fundamenal de que a viga é formulada segundo eorema de Viga Euler-Bernoulli. A viga é caracerizada pelo supore de cargas ransversais que produzem efeios de flexão no corpo. Esas forças de flexão produzem esforços de ração e compressão nas faces superior e inferior da viga, dependendo da direção das forças aplicadas. A seção da viga é subdividida em duas pares pela lina neura, a qual coincide com o eixo cenroidal da mesma onde nese pono as ensões são nulas. A Figura 5 ilusra esquemaicamene o comporameno de uma viga Euler-Bernoulli sob carregameno. Figura 5: Típico de uma Viga de Euler-Bernoulli Algumas ipóeses são adoadas para a formulação de um elemeno com base na Teoria da Viga de Euler-Bernoulli, como segue: 1. A exisência da lina neura onde a viga não sofre ração nem compressão na flexão pura;

45 44. A seção ransversal que era originalmene perpendicular ao eixo longiudinal permanece plana e perpendicular ao eixo longiudinal após a deformação; 3. Hipóese de viga esbela; 4. No duo submeido à pressão inerna, exisem as ensões angenciais e radiais. A ensão máxima segundo a solução de amé para cilindros de parede fina é a angencial. Em função desa conclusão, no modelo em esudo, a ensão radial é desprezada, devido ao seu valor relaivamene menor comparado com ouras ensões; 5. Admie-se um comporameno elaso-plásico do maerial com endurecimeno isorópico. A expansão de superfície de escoameno é dada de acordo com criério de Von Mises..5 REAÇÃO DEFORMAÇÃO DESOCAMENTO Os deslocamenos do eixo cenroidal, em coordenadas globais, são obidos a parir dos deslocamenos incremenais, como segue: (19) () (1) Os componenes de deslocameno, para qualquer pono P(x 1,x,x 3 ) do corpo na seção ransversal dese, com referência no empo, podem ser descrias de acordo com as expressões: () (3)

46 45 (4) Os quais, e são os deslocamenos do eixo cenroidal no empo de referência. Os deslocamenos oais acumulados no sisema de coordenada global é enão descrio como: (5) (6) (7) O ensor de deformações empregado é o Tensor de Deformações de Green-agrange, definido conforme Equação 14, onde os ermos na forma expandida são escrios conforme:, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, (8) Expandindo a Equação 14 e considerando que só exise a deformação longiudinal enão se em:,,,,,,,,, (9) Subsiuindo as Equações de (8) na Equação 9, pode-se expressar os componenes de deformação longiudinal como segue:

47 46, (3) para: Desprezando os ermos x x 3, x ² e x 3 ², a equação acima é simplificada, (31) Da expressão acima podemos reirar as parcelas de deformação, curvaura e roação incremenal linear (Represenado pela lera no cano superior direo) em ermos das coordenadas locais: Deformação incremenal: (3) Curvaura incremenal em X 3 : (33) Curvaura incremenal em X : (34) Roação incremenal em orno do eixo X 3 : (35) Roação incremenal em orno do eixo X : (36) A subsiuição do conjuno de equações (3) à (36) na equação (31), resula em:

48 47 (37) Pode-se enão decompor a equação (37) em duas parcelas, sendo parcela linear e não-linear, respecivamene: (38) Tal que: (39) (4) Sendo a parcela de deformação não-linear inicial represenada por: ; ; (41) Fazendo: (4) (43) (44) E subsiuindo-as na equação (38), em-se por fim: (45)

49 48.6 EEMENTO DE PÓRTICO Para o esudo de duos será uilizado um elemeno de pórico ridimensional, uniaxial, com seção ransversal circular vazada. Ese elemeno foi desenvolvido por Meija e Roel (5) e aplicado por Souza (5) e Sang (9). O elemeno possui funções de forma de ordem elevada, com comprimeno, conforme Figura 6. O elemeno possui 3 nós e 6 graus de liberdade por nó, sendo eses: deslocamenos nas direções X1, X e X3 e roação em orno dos eixos X1, X e X3. O elemeno prevê a possibilidade de plasificação da seção ransversal em uma análise não linear física. Figura 6: Elemeno de pórico ridimensional. Conforme descrio por Bae (1996), de acordo com a formulação isoparamérica de deslocamenos, as funções inerpoladoras para o elemeno de

50 49 pórico ridimensional de 3 nós, considerando as coordenadas locais, são definidas como: Deslocameno Axial (Eixo X 1 ): 1 (46) 7 1 (47) 13 (48) Deslocameno Transversal (Eixos X e X 3 ): (49) 4 1 (5) (51) 4 Roação - Flexão (Eixos X e X 3 ): (5) (53) (54) 8

51 5 Roação - Torção (Eixos X 1 ): 4 (55) 1 1 (56) 16 (57) Na qual ξ represena a coordenada local do elemeno, o índice superior esquerdo (Zero) remee à configuração inicial do elemeno e é o comprimeno do mesmo. Ese elemeno é apropriado para a análise de duos sujeios a pressões inernas ou exernas. Enreano, desconsideram-se as deformações devidas a esforços de orção, pois análises com pequenas deformações da seção ransversal não são objeo de esudo. Sendo assim, pode-se expressar na forma maricial os deslocamenos incremenais, da seguine forma: e u H q w v u (58) q q q w w w v v v u u u q w v u Y Y Y Z Z Z (59) Nas expressões aneriores u represena os deslocamenos axiais, v represena os deslocamenos no Eixo X, θ Z represena roações ransversais no Eixo X 3, w represena os deslocamenos no Eixo X 3, θ Y as roações ransversais no Eixo X e q represena as roações no Eixo X 1. Desprezando-se o efeio de orção no eixo do elemeno por esa er paricipação desprezível na

52 51 plasificação do maerial, bem como admiindo-se que não aja empenameno da seção do elemeno, a equação (59) pode ser reescria da seguine maneira: e u H w v u (6) No qual a mariz das funções de inerpolação pode ser escria como: H (61).7 MATRIZES DE DEFORMAÇÃO DESOCAMENTO Pode-se ober a deformação axial linear o e as roações e curvauras lineares z e y aravés da formulação descria na sessão anerior e descrevelas como sendo: 17 " " " 11 9 " 9 5 " 5 3 " 3 18 " " 14 1 " 1 8 " 8 6 " 6 " 13 ' 13 7 ' 7 1 ' 1 z y y z z z y z w w w v v v u u u (6) Em que e represenam as derivadas primeira e segunda, respecivamene, das funções inerpoladoras em relação à coordenada local ξ. A forma maricial acima ambém pode ser represenada da seguine maneira: e y z u B (63)

53 5 Na qual B se resume à: " 17 " 15 " 11 " 9 " 5 " 3 " 18 " 14 " 1 " 8 " 6 " ' 13 ' 7 ' 1 B (64) Conforme descrio por Bae (1996), a deformação axial incremenal nãolinear pode ser descria da seguine maneira: e N T N T e N u B B u (65) No qual: ' 17 ' 15 ' 11 ' 9 ' 5 ' 3 ' 18 ' 14 ' 1 ' 8 ' 6 ' ' 13 ' 7 ' 1 1 B N (66) A parir disso pode-se escrever a parcela da variação da deformação axial incremenal não-linear: e N T N T e N u B B u (67) A curvaura incremenal não-linear N z é escria como sendo: e N T T e z N z u B B u (68) No qual:

54 ' 13 ' 7 ' 1 " 18 " 14 " 1 " 8 " 6 " B N (69) De forma análoga, a curvaura incremenal não-linear N y é obida aravés da seguine equação: e N T T e y N y u B B u 3 (7) Em que: ' 13 ' 7 ' 1 " 17 " 15 " 11 " 9 " 5 " 3 3 B N (71).8 ANÁISE NÃO-INEAR Frequenemene análises com considerações de não-linearidade maerial são realizadas. É imporane a idenificação do ipo de problema analisado de forma a empregar as correas considerações e méodos de cálculo. A Tabela 1 mosra uma classificação clara dos ipos de análises não-lineares considerando separadamene efeios de não-linearidade maerial e efeios de não-linearidade cinemáica.

55 54 Tabela 1: Classificação de Análises Não-ineares. Fone: Adapado de Bae (1996). TIPO DE ANÁISE DESCRIÇÃO FOMUAÇÃO TÍPICA MEDIÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO Deformações e Não-inearidade Maerial Apenas Deslocamenos Infiniesimais; A relação Tensão x Deformação é não- Não-inearidade Maerial Tensões e deformações de engenaria linear Grandes Deslocamenos / Grandes Roações / Pequenas Deformações Grandes deslocamenos e roações das fibras, mas mudanças de ângulo e alongamenos enre fibras são pequenas; A relação Tensão x Deformação pode ser linear ou não-linear agrangeana Toal (T) agrangeana Aualizada (A) Segundo Tensor de Tensões de Piola- Kircoff Tensor de Deformações de Green-agrange Tensor de Tensões de Caucy Tensor de Deformações de Almansi Grandes Deslocamenos / Grandes Roações / Grandes Deformações Alongamenos e ângulo de roação enre fibras podem ser grandes. Grandes deslocamenos e roações nas fibras ambém podem ocorrer; A relação Tensão x Deformação pode ser linear ou nãolinear agrangeana Toal (T) agrangeana Aualizada (A) Segundo Tensor de Tensões de Piola- Kircoff Tensor de Deformações de Green-agrange Tensor de Tensões de Caucy Deformações ogaríimicas A Figura 7 apresena um esboço de alguns ipos de problemas que são enconrados, conforme lisados na Tabela 1.

56 55 a) inear Elásica (Deslocameno Infiniesimal). b) Não-inearidade Maerial Apenas (Deslocamenos infiniesimais Não-linearidade na relação Tensão x Deformação). c) Grandes Deslocamenos e Roações com pequenas Deformações. Comporameno de linearidade ou não-linearidade maerial. Figura 7: Classificação das Análises. Tendo em visa a grande diversidade de problemas na engenaria, devese ficar aeno ao modelo a ser adoado para que empo compuacional não seja desperdiçado, bem como não se perca a confiabilidade da solução.

57 56 Na sequência são apresenados alguns ouros conceios a respeio de análises com considerações de não-linearidade maerial..8.1 TENSÕES PRINCIPAIS É possível a deerminação de direções na qual as ensões cisalanes se anulem, ornando as ensões normais máximas. Os valores de ensões normais máximas são ineressanes quando análises visam um resulado muio específico, ou seja, um resulado em uma deerminada direção. Esas ensões são camadas de Tensões Principais. As ensões principais ambém são uilizadas nos criérios de escoameno uilizados em análises não lineares. Os principais invarianes de ensão são definidos como: (7) (73) (74) Tensão Média ou Tensão Hidrosáica: (75) Em que σ 1, σ e σ 3 represenam a primeira, segunda e erceira ensão principal, respecivamene. A Tensão Deviaória ou Tensor Deviaório de Tensões s ij é definido como: (76) Em que δ ij represena o Dela de Kronecker. Sendo os principais invarianes do ensor deviaório: (77)

58 57 (78) (79) As ensões deviaórias principais podem ser relacionadas com as ensões principais aravés das seguines expressões: (8) (81) (8).8. PASTICIDADE Nos problemas de engenaria é comum a premissa da condição de elasicidade para projeo de máquinas e esruuras, iso pois não é de se esperar que uma máquina, viga, duo, ec., plasifique quando esiver exercendo sua função, seja ela qual for. No enano, em algumas siuações é necessário a verificação do projeo levando a esruura à condição de plasicidade de forma a verificar aé que pono a esruura pode ser submeida a ais esforços. Para iso é preciso conecer alguns conceios básicos. Um dos principais ponos a ser levado em consideração ao realizar uma análise com presença de efeios de não-linearidade é o ipo de maerial que será esudado. Algumas classificações para al são definidas, como segue: Maerial Anisorópico: Possui 1 coeficienes e as propriedades são oalmene diferenes em odas as direções;

59 58 Maerial Ororópico: Possui 9 coeficienes e as propriedades são diferenes nas 3 direções, porém iguais enre si em cada direção; Maerial Transversalmene Isorópico: Possui 5 coeficienes e é isorópico por lâminas, ou seja, as propriedades são iguais nas 3 direções porém diferene enre as lâminas; Maerial Isorópico: Possui coeficienes e as propriedades são iguais em odas as direções. Ese esudo leva em consideração o uso de maeriais com comporameno isorópico. Eses maeriais, quando em escoameno plásico, êm sua superfície de escoameno sendo expandida sem disorção e ranslação, como mosra a Figura 8: Figura 8: Superfície de escoameno após carregameno no maerial que apresena encruameno isorópico. Ou seja, conforme descrio por ubliner (6), dada uma função coninua f(σ,t,ε) al que exisa uma região no espaço de ensões no qual (dados valores para T e ε) f(σ,t,ε)<, enão esa região consiui a elasicidade do problema, sendo que f(σ,t,ε)= consiui a superfície de plasicidade do sisema, conforme mosrado na Figura 9:

60 59 Figura 9: Superfície de escoameno no espaço de ensões. A plasificação do maerial é comandada principalmene pelas ensões deviaóricas, sendo que para ornar possível a deerminação da superfície de expansão de escoameno para um maerial com endurecimeno isorópico é necessário o cálculo de ais ensões aravés de criérios de escoameno. É adoado nese rabalo o Criério de Von Mises como criério de escoameno. Conforme descrio em ubliner (6), a condição de escoameno deerminada por ese criério no empo + é dada por: (83) Em que é a ensão de escoameno no empo + e é o ensor de ensões deviaórias no empo +. Ouro modo de represenar o criério de Von Mises é aravés das ensões principais. A superfície de escoameno pode enão ser escria como: ; (84)

61 6 Onde J é o segundo invariane do ensor deviaório de ensões S ij e k(ξ) é a Tensão de Escoameno Cisalane. Desa forma, pode-se represenar a superfície de escoameno como sendo: (85) Ou, (86) De forma gráfica, o criério de Von Mises é definido como mosra a Figura 1: Figura 1: Projeções das superfícies de escoameno de Tresca e Von Mises: a) Plano-π; b) Plano σ1-σ3 σ-σ3. Fone: ubliner (6). No qual k represena a Máxima Tensão de Escoameno Cisalane..8.3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Em análises com presença de efeios de não-linearidade física e geomérica á a necessidade de se realizar deerminados procedimenos de

62 61 inegração numérica aravés de méodos incremenais ieraivos de forma a se alcançar os limies da curva Tensão x Deformação. Um dos méodos mais empregados para ese ipo de solução é o Méodo de Newon-Rapson. Como já discuido, a equação básica a ser resolvida em analises nãolineares, no empo +, é: (87) Esa é a equação de equilíbrio do elemeno finio a ser resolvida, onde são as cargas nodais aplicadas e equivalene às ensões no elemeno. Uma vez que o veor de forças nodais é o veor de forças nodais depende não-linearmene dos deslocamenos nodais, é necessário a ieração da solução da equação de equilíbrio do elemeno. Assume-se que o processo de ieração de Newon- Rapson é independene das deformações e é resolvido da seguine maneira, para i=1,,3,... (88) (89) (9) Com, ; (91) Em que são os incremenos de deslocamenos e é a mariz de rigidez angene. Esas equações são obidas pela linearização da resposa do sisema de elemenos finios nas condições do empo + e ieração (i-1). Em cada ieração é calculado um novo veor de carga no qual um incremeno de deformação é aplicado, sendo o processo conínuo aé o momeno em que os

63 6 incremenos de carga e deformações sejam suficienemene pequeno. Ese processo é demonsrado pela Figura 11. Figura 11: Ilusração do processo de ieração de Newon-Rapson em uma solução genérica de um sisema de um único grau de liberdade. Uma caracerísica dese processo é que a cada incremeno de carga uma nova mariz de rigidez angene é calculada. ogo enende-se que quano maior o número de passos de carga, mais preciso ende a ser o resulado enconrado. O processo ieraivo é finalizado quando um deerminado criério de convergência é alcançado. Alguns problemas em análises não-lineares podem ser enconrados e bons méodos ieraivos devem ser capazes de superar eses ponos. Exemplos de casos ípicos sãos os camados Snap-Troug e Snap-Back, problema de salo dinâmico sob conrole de carga e sob conrole de deslocameno respecivamene, conforme Figuras 1 e 13.

64 63 Figura 1: Efeio Snap-Troug. Figura 13: Efeio Snap-Back. Algumas desvanagens são enconradas nese méodo, mas a principal é o fao da necessidade de armazenameno da mariz de rigidez calculada em cada ieração, o que demanda mais empo compuacional.

65 64 3. MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS GENERAIZADO Aé o momeno foi realizada uma breve revisão eórica a respeio do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado, plasicidade, mecânica do conínuo, méodo de Newon-Rapson para inegração numérica e efeios de nãolinearidade maerial. Nesa seção será discuido o Méodo dos Elemenos Finios Generalizado em uma revisão eórica e em seguida em uma proposição de implemenação do méodo. O Méodo dos Elemenos Finios Generalizado (MEFG) é baseado no Méodo da Parição da Unidade, proposo por Melenk e Babuska (1996). É um méodo de Galerkin que em por objeivo o enriquecimeno do elemeno finio aravés da consrução de um subespaço de funções aproximadoras de solução pré-esabelecida. Ese subespaço em por objeivo melorar os resulados locais e globais, quando comparado com o MEF convencional. Busca-se a aplicação do MEFG em problemas onde resulados locais são difíceis de serem capurados aravés do MEF. A seguir serão apresenados os conceios básicos desa écnica e algumas aplicações desa eoria. 3.1 MÉTODO DA PARTIÇÃO DA UNIDADE O Méodo da Parição da Unidade (MPU) pode ser enendido como uma generalização do Méodo dos Elemenos Finios convencional usado para gerar um campo de aproximação com propriedades e comporamenos de conformidade e regularidade qualquer, como definido por Melenk e Babuska, (1996). O Méodo é definido como apresenado a seguir (Melenk e Babuska, 1996). A Parição da Unidade é definida como: Seja Ω R n um conjuno abero, {Ωi} uma coberura abera de Ω saisfazendo uma condição de sobreposição em cada pono: Ω Ω (9)

66 65 A Figura 14 (Duare, Babuska e Oden, ) represena as subcoberuras Ω i de forma que Ω [{Ω i }], ressalando que o conceio de coberura ambém é aplicado nos méodos sem mala. Figura 14: Coberura {Ωi} do domínio Ω. Fone: Duare, Babuska e Oden (). O parâmero M conrola o número de subcoberuras que podem se sobrepor em um mesmo pono denro do domínio Ω. Seja {φi} uma parição da unidade ipsciziana subordinada à coberura {Ωi} saisfazendo as seguines condições: fecameno i sup (93) i i Esa equação mosra que as funções ipscizianas devem ser não nulas apenas denro da subcoberura às quais esão vinculadas. i em (94) i 1 Esa represenação indica que a soma das funções φ i perencenes à PU deve resular na unidade. Esa é a caracerísica fundamenal do méodo da parição da unidade.

67 66 ; C i n C ce. R (95) C g i n ; C g ce. (96) R diam i As equações 95 e 96, respecivamene, mosram que as funções que compõem a PU (Funções φ i ) devem ser limiadas, bem como possuir derivadas limiadas. ogo {φi} é camada de Parição da Unidade PU(M,C,Cg) subordinada à coberura {Ωi}, sendo seus subdomínios camados de subcoberuras. A parição da unidade possui grau m N se{φi} C m (R n ). Diversas são as formas de se ober as funções φ i, pois quaisquer funções que, quando somadas, resulem na unidade no domínio e sejam conformes às condições proposas nas equações (95) e (96), saisfazem os pré-requisios para formar uma parição da unidade. Uma forma simples de represenar esas funções é uilizar as funções de forma convencionais do MEF. Com a definição da Parição da Unidade, é enão possível apresenar a definição do espaço de aproximação do MPU (Melenk e Babuska, 1996). Podese ober um conjuno de funções S i H 1 (Ω i Ω) sobre cada subdomínio Ω i Ω de al forma que os deslocamenos u possam ser bem aproximados nese subdomínio, enão o espaço global S uilizado para aproximar u em Ω é obido da seguine forma: S i j j 1 i S i i S i si S i H (97) i Ou seja, a solução aproximada para deslocamenos em qualquer pono x do domínio é dada por: x s S x j u s a (98) i j i i i i ij

68 67 No qual a ij são os graus de liberdade de campo. Demonsra-se ainda (Melenk e Babuska, 1996) que, se em cada subdomínio Ω i Ω, u pode ser aproximado por j s i S i al que: u s j i ² 1 i) 1 ( (99) j ( u s ) ( i) i ² 1 (1) Enão, a solução aproximada u descria na Equação (98) saisfaz: 1/ u u M ² 1 ( ) sc i (11) i ( u u ) G M ( ) ( ² s i C 1 i diam i i C 1/ ) (1) Conforme Arnd (9), o exposo acima: Esabelece que o espaço global S erda as propriedades de aproximação dos espaços locais S i, ou seja, u pode ser aproximado em Ω pelas funções de S ão bem quano pode ser aproximado em Ω i pelo espaço local Si. Verifica-se enão que o MPU permie a consrução de um subespaço de aproximação de forma desejada sem prejudicar o espaço e propriedades inicial, erdando as propriedades de aproximação local com garania de conformidade. De forma práica, no MEFG a coberura {Ω i } represena a mala de elemenos finios, sendo que as subcoberuras Ω i represenam subdomínios de Ω formados pela união de elemenos que comparilam o mesmo nó sobre ais subcoberuras, como mosra a Figura 15.

69 68 Figura 15: Subdomínio e funções PU para uma mala de elemeno unidimensionais do MEFG. Fone: Adapado de Arnd (9). Sendo que as funções φi podem ser as próprias funções inerpoladoras do MEF convencional. Na próxima sessão serão apresenadas as funções de enriquecimeno proposas no presene rabalo. 3. FUNÇÕES DE ENRIQUECIMENTO As funções de enriquecimeno do MEFG devem ser escolidas de forma a represenar um comporameno desejado da solução. Os casos analisados nese rabalo êm por objeivo a validação da implemenação do méodo empregado (MEFG). ogo foram selecionadas funções que represenem um comporameno de amplificação de deslocamenos e ensões no domínio do elemeno mesre. Funções rigonoméricas ou exponenciais podem ser adoadas pois possuem coninuidade C. Ainda, diferenes funções podem ser adoadas para diferenes comporamenos desejados da solução, desde que um mesmo pacoe de funções seja implemenado em conjuno para odos o domínio Ω do elemeno, a cada nível de enriquecimeno. Em ouras palavras, a cada refino realizado na formulação enriquecida, o mesmo número de funções deve ser aplicado no enriquecimeno para odo o domínio, manendo assim um equilíbrio no número de graus de liberdade do sisema. O MEFG pode escrio na forma de um méodo enriquecido da seguine forma, no domínio Ω e (-1;1) de um elemeno mesre:

70 69 e ENRIQ e MEF e u u u (13) e ENRIQ e MEF e u u u (14) e i n j j j j j i e ENRIQ n j b a u l 1,,..., ; ( (15) Na qual φ i são as parições da unidade do MEF convencional, γ 1j são as funções de enriquecimeno adoadas para enriquecimeno dos deslocamenos axiais, γ j são as funções de enriquecimeno adoadas para enriquecimeno dos deslocamenos ransversais, n e é o número de níveis de enriquecimeno e a 1j e b 1j são os graus de liberdade de campo associados a cada nível de enriquecimeno. Para o enriquecimeno dos graus de liberdade de ranslação axial do elemeno na direção X1, foram adoadas as seguines funções, associadas às PU 1, 7 e 13, respecivamene: ; 1 cos 1 1 cos 1 1 cos 1 j j j j j j j j sen sen sen (16) Nas Figuras 16 a 18, as funções i (MEF) represenam as funções nodais de inerpolação do MEF para deslocameno axial. As funções γ i represenam as funções de enriquecimeno relacionadas aos seus respecivos graus de liberdade conforme descrias na Equação (16), sendo i (MEFG) a função enriquecida resulane do processo de enriquecimeno do MEFG, como descrio na Equação (13).

71 7 Figura 16: Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γi) e função enriquecida (i MEFG) para o nó inicial (ξ = -1) na direção do Eixo X1. Figura 17: Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γi) e função enriquecida (i MEFG) para o nó inermediário (ξ = ) na direção do Eixo X1.

72 71 Figura 18: Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γi) e função enriquecida (i MEFG) para o nó final (ξ=1) na direção do Eixo X1. Noa-se que as funções enriquecidas possuem valor nulo em odos os nós. Tal condição é pré-requisio para o correo enriquecimeno da parição da unidade pois as funções imposas não podem afear os valores nodais e as condições de conorno do problema. Para o enriquecimeno dos graus de liberdade de deslocameno do elemeno nas direções X e X3, foram adoadas as seguines funções, adapadas dos rabalos de Arnd (9) e Torii (1), associadas às PU e 3, 8 e 9, 14 e 15, respecivamene: ; 1 1 cos 1 cos 1 1 cos j j j j j (17)

73 7 Novamene abaixo são mosradas as funções inerpoladoras do MEF convencional, as funções de enriquecimeno e as funções aproximadoras resulanes são mosras nas Figuras 19 a 1. Figura 19: Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γi) e função enriquecida (i MEFG) para o nó inicial (ξ = -1) na direção dos Eixos X e X3. Figura : Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γi) e função enriquecida (i MEFG) para o nó inermediário (ξ = ) na direção dos Eixos X e X3.

74 73 Figura 1: Configuração da parição da unidade do MEF convencional (i MEF), função de enriquecimeno (γi) e função enriquecida (i MEFG) para o nó final (ξ=1) na direção dos Eixos X e X3. A Figura apresena as funções aproximadas, conforme descrio na Equação (15), para deslocamenos nas rês direções e 1 nível de enriquecimeno, aplicados aos graus de liberdade de barra e viga. Figura : Funções enriquecidas para os graus de liberdade, para barra e viga, de deslocamenos nas rês direções.

75 74 Esas funções serão uilizadas na composição do esudo de enriquecimeno do modelo de Viga de Euler-Bernoulli para esudo de duos. Não serão enriquecidos os graus de liberdade de roação. 3.3 MONTAGEM DAS FUNÇÕES DE ENRIQUECIMENTO Um elemeno finio qualquer pode receber funções de enriquecimeno anas quano forem necessárias. Esas funções esarão associadas a graus de liberdade de campo no elemeno, ou seja, não esarão associadas direamene a um nó mas sim a uma região do elemeno. No presene rabalo, o elemeno finio é composo por 3 graus de liberdade de ranslação axial e 3 graus de liberdade de roação por nó, oalizando 18 graus de liberdade nodais por elemeno. Para cada nível de enriquecimeno, ese rabalo adoará 9 funções de aproximação por elemeno, aumenando o número oal de graus de liberdade global de 18 para 7, conforme mosra esquemaicamene a Figura 3. Figura 3: Graus de iberdade Nodais acrescidos de 1 (um) nível de enriquecimeno.

76 75 Imporane noar que o grau de liberdade de enriquecimeno é associado ao campo do elemeno e não ao nó. Ou seja, a cada nível de enriquecimeno são acrescenadas 9 funções de enriquecimeno associadas aos graus de liberdade de campo, porém, são esquemaicamene posicionadas conforme indicado na Figura 3 e nas equações 18 e 19. Para cada acréscimo do nível de enriquecimeno um novo conjuno de nove funções deve ser aplicado, nas mesmas posições (nas marizes) e forma que o nível anerior. Para um erceiro nível de enriquecimeno, mais um conjuno de nove funções deverão ser acrescidas, manendo oda a esruura anerior sem aleração, e assim sucessivamene aé o nível desejado. Figura 4: Graus de iberdade Nodais acrescidos de (dois) nível de enriquecimeno. Conforme descrio pela equação (13), as parcelas referenes aos graus de liberdade enriquecidos devem ser acrescidas às parcelas referene aos graus

77 76 de liberdade nodais. Deve-se presar aenção no momeno da monagem da mariz de funções inerpoladoras de forma que a mariz de rigidez global não perca suas caracerísicas. O posicionameno das parcelas na mariz segue a seguine regra, na forma maricial: e e e e e e H e e e (18) No qual as parcelas indicadas com o índice superior direio e represenam os graus de liberdade enriquecidos. As funções associadas a cada nível de enriquecimeno são adicionadas poseriormene a cada grupo de graus de liberdade por nó, ou seja, a cada seis funções inerpoladoras nodais são adicionadas 3 funções de enriquecimeno associadas aos graus de liberdade de campo do elemeno. Para cada incremeno do nível de enriquecimeno, um novo conjuno de funções deve ser adicionado da mesma forma, manendo o formao e funções aneriores sem aleração : : 6 : : n e e n e e n e e n H (19) Onde n represena o nível de enriquecimeno desejado para o problema. O próximo capíulo apresena e discue as aplicações do MEFG em análises de barra e viga buscando resulados de deslocamenos e ensões ao longo do elemeno. Em algumas siuações será levada em consideração a nãolinearidade maerial.

78 77 4. APICAÇÕES A lieraura possui diversos rabalos volados ao esudo do Méodo dos Elemenos Finios Generalizado com aplicação no esudo de elemenos com funções lineares de inerpolação e em análises com linearidade maerial e comporameno dinâmico como, por exemplo: Arnd (9) e Torii (1). Os esudos enconrados esão volados para problemas da mecânica da fraura (Duare e Kim 8), vibração livre ou problemas de não-linearidade física com variação no empo. O presene rabalo esuda o MEFG aplicado a elemeno de pórico com funções inerpoladoras de elevado grau, para esudo de duos, em análises lineares e não-lineares. Sendo assim, algumas aplicações foram efeuadas para efeio de validação e comprovação da eficiência do méodo. Primeiramene foram realizados esudos de ração (inear e Não-inear). Na sequência, foi aplicado o méodo em vigas de Euler-Bernoulli engasada e bi apoiada sob flexão (inear e Não- inear), respecivamene, com seção circular vazada para odos os casos. Todas as análises foram realizadas no plano D. Em odas as aplicações a mesma geomeria do duo foi considerada, al que o diâmero exerno do duo é 1mm, diâmero inerno é 9mm e comprimeno igual a 1mm. O Coeficiene de Poisson uilizado é igual a,5. Os dados do maerial esão descrios na sessão seguine. A diferença enre as análises esá na magniude da carga aplicada, como mosrado na Tabela. Tabela : Forças aplicadas nas análises de ração e flexão, linear e não-linear. Nas análises de barra sob ração serão aplicadas forças axiais de 1kN e 9kN para efeios de linearidade e não-linearidade maerial, respecivamene. No caso de vigas sob flexão serão aplicadas forças de 1kN e 1kN para efeios