Questão 01. Determine os valores reais de x que satisfazem a inequação: log 1. Questão 02 Encontre as soluções reais da equação: Resolução: log 1

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1 Questão 0 etermine os vlores reis e que stisfzem inequção: 4 log log 9 4 log 9 log * 0 0 conição e eistênci: 0 ou Fzeno log e log, temos: Portnto: 0 ou log 0 ou log ou 9 omo, poemos concluir que 9 é o único intervlo comptível. S 9 Questão 0 Encontre s soluções reis equção: Fzeno 4 4, temos:..

2 Substituino 4 4 n equção cim, temos: ou Fzeno verificção os vlores cim n equção originl, consttmos que 7 S, escrev o lugr geométrico o número compleo z que tene à equção rg zz rg zz rg zz kπ, 7 e são soluções. em que z é rel, z e z são compleos conjugos com prte imginári não nul e k é um número inteiro. Obs: Questão 0 rg z é o rgumento o número compleo z. z Utilizno s propriees rg zw. rg z rg w e rg rg z rg w, equção é equivlente qulquer um s w z z zzzz forms rg kπ ou rg kπ pr z z, z z e z z. zzzz z z O rgumento e um compleo é kπ, quno ele é um número rel, portnto: zz zz zz zz, ou sej, Im 0 z z z z zzz z zz Efetuno ivisão os compleos, vem Im 0 z z omo o enominor é rel, bst zerrmos gor prte imginári o numeros Tomno z ; z c i, z c i, z yi, temos: Im yici yici yi 0 esenvolveno-se epressão e tomno-se prte imginári o prouto cim, vem: y cy y cy y y cy c y y 0 í, temos: I y 0 II c y c 0 y c c y c c y c z e I, obtemos como solução o eio rel o qul eve ser removio o ponto em que z z (conforme *) e II, obtemos como solução um circunferênci e centro,0 e rio c, qul evem ser removios os pontos em que z z e z z (conforme *), que stisfzem ess equção. O esboço bio represent solução obti. z z Sej n um inteiro positivo cuj representção eciml é... m 0 e f função que troc posição os ígitos i e f Por eemplo:, e form que i Questão 04 k k 0 k k 0

3 f f 04 4 f 0 f 0 etermine o menor número mior que 99 que stisfç à equção esenvolveno equção. 9 9 f 9 f f 99f f f f f omo é positivo, tmbém é. ssim buscmos s soluções e: f Não poe hver solução, ,pois; se: bc então f 0 c b. E neste cso, f. Tmbém não poe hver solução, , porque: 0b f 0b E neste cso, f b b f b E est epressão não ssume vlor 9 se e b são inferiores 0. Verifiquemos solução, b e f b f 0b0b 99b Pr 99b 9, primeir solução é e b 0. Logo o número procuro é 0. Questão 05 Um tetrero regulr, com rests e comprimento igul, é corto por plnos prlelos entre si e um s bses, iviino-o em sólios e volumes iguis. etermine ltur e c um estes sólios em função e. V Sej e os plnos e corte, conforme figur. Os sólios formos são: um tetrero regulr VPRQ e ltur. um tronco e pirâmie PRQSUT e ltur z. um tronco e pirâmie SUTB e ltur y. R P S Q z w y h ltur h e tetrero regulr e rest é igul. Seno V o volume o tetrero VB, o volume o tetrero VPRQ é V. ssim: V h V h 5 9 B

4 8 5 4 O tetrero VSTU é semelhnte o tetrero VB e tem volume V (Som e VPRQ e PRQSUT). ssim: y V h V y h 5 y y 4 ltur z o tronco PQRSUT é por: 8 z y 4 4 Finlmente, ltur w é por: wh y 8 w 7 4 Questão 0 Pelo ponto P e coorens, 0 trçm-se s tngentes t e s à prábol y. ret t intercept prábol em e ret s intercept prábol em B. Pelos pontos e B trçm-se prlels às tngentes encontrno prábol em outros pontos e, respectivmente. lcule o vlor rzão B/. Se y y y, então, y é. y, ou in, ret t é tngente à prábol em, y. Isso quer izer que o coeficiente ngulr ret tngente à prábol em um ponto y y. om isso, o coeficiente ngulr e t é igul y. í, consierno os pontos P y 0 e, y, ou in, y. Se o ponto pertence à prábol, então y. Resolveno o sistem com ests equções, conclui-se que e y ou e, e, pel simetri,, B. isso, B. y. Levno-se em cont figur seguinte, N figur, t ' é prlel t e, por isso, o coeficiente ngulr e y t t t ' é igul o e t, cujo vlor é y, ou sej,. Levno em y consierção os pontos B e,. Ms, como pertence à prábol, y. Resolveno o sistem com ests equções, e y ou e y. Já que é istinto e B,,,. isso,, então B. Pel simetri, é certo que. ssim, se B e. P B s s 4

5 Questão 07 Num triângulo B isósceles, com ângulos iguis em B e, o seu incentro I se encontr no ponto méio o segmento e ret que une o seu ortocentro H seu bricentro G. O segmento e ret G é menor que o segmento e ret H. Os comprimentos os segmentos e ret HI e IG são iguis. etermine o perímetro e áre esse triângulo em função e. Sejm: H : ortocentro I : incentro G : bricentro O : circuncentro R O O : rio circunferênci circunscrit r IM : rio circunferênci inscrit M é o ponto méio e B. Sbe-se que GH OG (ret e Euler). omo GH GI IH, temos OG. ssim OI OG GI OI R rr 4 R R r Pel relção e Euler: O bricentro ivie mein M n rzão :. ssim: G GM O OG GI IM R r Rr Substituino em : R 4 R 4 Substituino em : 4 r r O G I H M B ltur M é por: 5 M GM r M No triângulo OM : O R= 4 7 r M No triângulo M : 5 5 b b = 5 b 5 5 M ess mneir áre S e o perímetro p o triângulo B são: S BM 5 S 4 5 p b 5 5 p 5 5 Questão 08 e qunts mneirs poemos ecompor um eneágono conveo em triângulos trçno sus igonis, e form que esss igonis não se cortem. onsierno um qurilátero conveo B, há ecomposições istints. Um els é obti trnçno igonl e outro é obti trnçno igonl B. onsierno um pentágono conveo BE e tomno como referênci o lo B, há hipóteses. Se um os triângulos for o triângulo BE, então há ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr o qurilátero BE. Se um os triângulos for o triângulo B, então há pens um possível ecomposição. Se um os triângulos for o triângulo B, então há ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr o qurilátero E. ssim, o too, há 5 ecomposições istints pr o pentágono. 5

6 onsierno um heágono conveo BEF e tomno como referênci o lo B, há 4 hipóteses. Se um os triângulos for o triângulo BF, então há 5 ecomposições istints, pois há 5 ecomposições istints pr o pentágono BEF. Se um os triângulos for o triângulo BE, ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr o qurilátero BE. Se um os triângulos for o triângulo B, ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr o qurilátero EF. Se um os triângulos for o triângulo B, 5 ecomposições istints, pois há 5 ecomposições istints pr o pentágono EF. ssim, o too, há 4 ecomposições istints pr o heágono. onsierno um heptágono conveo BEFG e tomno o lo B como referênci, há 5 hipóteses. Se um os triângulos for o triângulo BG, então há 4 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições istints pr o heágono FEB. Se um os triângulos for o triângulo BF, 5 ecomposições istints, pois há 5 ecomposições istints pr o pentágono BEF. Se um os triângulos for o triângulo BE, 4 ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr o qurilátero GFE e ecomposições istints pr o qurilátero BE. Se um os triângulos for o triângulo B, 5 ecomposições istints, pois há 5 ecomposições istints pr o pentágono GFE. Se um os triângulos for o triângulo B, 4 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições pr o heágono EFG. ssim, o too, há 4 ecomposições istints pr o heptágono. onsierno um octógono conveo BEFGH e tomno como referênci o lo B, há hipóteses. Se um os triângulos for o triângulo BH, então há 4 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições pr o heptágono BHGFE. Se um os triângulos for o triângulo BG, 4 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições pr o heágono BGFE. Se um os triângulos for o triângulo BF, 5 0 ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr o qurilátero FGH e 5 ecomposições istints pr o pentágono BFE. Se um os triângulos for o triângulo BE, 5 0 ecomposições istints, pois há 5 ecomposições istints pr o pentágono EFGH e ecomposições istints pr o qurilátero BE. Se um os triângulos for o triângulo B, 4 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições istints pr o heágono EFGH. Se um os triângulos for o triângulo B, 4 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições istints pr o heptágono EFGH. ssim, o too, há ecomposições istints pr o octógono. onsierno um eneágono conveo BEFGHI e tomno como referênci o lo B, há 7 hipóteses. Se um os triângulos for o triângulo BI, então há ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr o octógono BIHGFE. Se um os triângulos for o triângulo BH, 4 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições istints pr o heptágono BHGFE. Se um os triângulos for o triângulo BG, 4 8ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr qurilátero IHG e 4 ecomposições istints pr o heágono BGFE. Se um os triângulos for o triângulo BF, 55 5ecomposições istints, pois há 5 ecomposições istints pr o pentágono IHGF e 5 pr o pentágono BFE. Se um os triângulos for o triângulo BE, 4 8 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições istints pr o heágono IHGFE e ecomposições istints pr o qurilátero BE. Se um os triângulos for o triângulo B, 4 ecomposições istints, pois há 4 ecomposições istints pr o heptágono IHGFE. Se um os triângulos for o triângulo B, ecomposições istints, pois há ecomposições istints pr o octógono IHGFE. ssim, o too, há 49 ecomposições istints pr o eneágono. Questão 09 Sejm S b c e P b c. lcule o eterminnte bio unicmente em função e S e P. ( bc) b ( c ( c) b ( c b ( ( bc) b ( c ( b c) b c ( b c) b c ( c) b ( c ( c) b ( c ( c) c b ( b ( b ( Epnino o eterminnte b ( c) ( bc) bc bc b( c( c) bc( P P P S c( S ( S ) P P ( S c) ( S ( S ) c b SP SP SP S ( bc) S ( bcbc) S bc P P P P c b SP SP SP SP SP SP P P P P P b c c b SP SP SP P SP SP SP SP SP P SP SP b c b c b c SP SP SP SP SP SP P PP P P P P b c c c b b SP SP SP SP SP SP c SP b SP SP bc P P SP b c bc bc P Observção: Nest solução foi mitio que, b, c, são não nulos. so um eles, ou mis, sej nulo o cálculo segue e moo nálogo.

7 Questão Os coeficientes 0,..., 04 o polinômio P ( ) são tis que i 0,, pr 0 i 04. ) Quis são s possíveis rízes inteirs e P ( )? Quntos polinômios form cim têm us rízes inteirs istints? ) e coro com pesquis e rízes rcionis, se houver um riz rcionl el é ivisor e. 0 ssim s únics cnits são 0,,. i) não poe ser riz porque i 0, logo P() ii) poe ser riz. omo eemplo tomemos P ( ) iii) 0 poe ser riz. omo eemplo tomemos o mesmo polinômio cim. ssim, s únics rízes inteirs possíveis são 0 e. Note que: i) ssumir us rízes istints e inteirs é, necessrimente, ter rízes 0 e. ii) 0 só é riz se 0 0. iii) Pr que sej riz, segue: P( ) Que poe ser resumi: som os coeficientes s potêncis pres é igul à som os coeficientes s potêncis ímpres e. omo já eiste um coeficiente em 05, evemos escolher n coeficientes e potêncis pres e n coeficientes e potêncis ímpres. quntie e polinômios será: S S 007 n n n Que já é um epressão pr quntie pei. 04 Pr provr que S, procee-se: S n 007 n n, sej nk S k 0 00 k k 00 Porque equivle, entre ois conjuntos isjuntos, c um com 007 elementos, clculr e qunts mneirs poe-se selecionr k e um e 00 k e outro. Isto equivle selecionr 00 entre mbos. 04 ssim, polinômios 00 7

8 Mtemátic Bruno Frg Fusto Lfyette Miol Ney Slvino olborores line lkmin, rolin hveiro, José iogo, Moisés Humberto, Pulo orno igitção e igrmção niel lves Érik Rezene João Pulo Vlivin Pinheiro esenhist Vinícius Ribeiro Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro ssistente Eitoril Vlivin Pinheiro Supervisão Eitoril José iogo Rorigo Bernelli Mrcelo Mores opyright Olimpo04 Resolução oment s provs o IME poerá ser obti iretmente no OLIMPO Pré-Vestibulr, ou pelo telefone () s escolhs que você fez ness prov, ssim como outrs escolhs n vi, epenem e conhecimentos, competêncis, conhecimentos e hbilies específicos. Estej prepro. 8