Carlos Fabiano Rosa. Série de Taylor e Aplicações

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1 Carlos Fabiao Rosa Série de Taylor e Aplicações UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Floriaópolis - SC 2013

2 Carlos Fabiao Rosa Série de Taylor e Aplicações Curso de Matemática - Habilitação Liceciatura Departameto de Matemática Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas Uiversidade Federal de Sata Cataria Professor Orietador: Daiel Norberto Kozakevich Floriaópolis - SC 2013

3 Esta Moografia foi julgada adequada como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO o Curso de Matemática - Habilitação Liceciatura, e aprovada em sua forma fial pela Baca Examiadora desigada pela Portaria o 12/CCM/13. blablaprof o Nereu Estaislau Buriblabla Professor da disciplia Baca Examiadora: blabladaiel Norberto Kozakevichblabla Orietador blablasôia Elea Palomio Beablabla blablamárcio Rodolfo Feradesblabla

4 Sumário Agradecimetos p. 6 Itrodução p. 7 1 Série de Potêcias p Série de Potêcias p Covergêcia das Séries de Potêcias p Raio de Covergêcia p Fuções Dada Como Série de Potêcias p Difereciação e Itegração de Série de Potêcias p Série de Taylor p Expasão em Série de Taylor para Fuções de uma Variável p Fórmula de Taylor p Fórmula de Taylor com Resto de Lagrage p Fórmula de Taylor com resto da Itegral p Fórmula de Taylor com Resto de Cauchy p Expasão em Série de Taylor Para Fução de Duas Variáveis p Expasão em Série de Taylor de 2ª Ordem p Expasão em Série de Taylor de -ésima Ordem p Expasão em Série de Taylor para Fuções de Várias Variáveis p. 27

5 3 Aplicações p Aproximado Fuções por Série de Taylor p Aproximação para Fução de Duas Variáveis p Máximos e Míimos p Covergêcia de Métodos Iterativos p Covergêcia Quadrática do Método de Newto p Covergêcia Cúbica do Método de Halley p Equações Difereciais Ordiárias p Solução em série de Taylor ao redor de um poto ordiário p Soluções Aproximadas Para Equações Difereciais Ordiárias.... p. 50 Coclusão p. 55 Referêcias Bibliográficas p. 56

6 6 Agradecimetos Ao meu orietador, Daiel Norberto Kozakevich, pela liberdade e que escutou pacietemete as mihas cosiderações partilhado comigo suas ideias, cohecimeto e experiêcias. Aos meus pais, Frak e Zilda, que apoiaram de todas as maeiras possíveis e me coduziram a esta formação. Aos meus irmãos, Fábio, Deize, e Frakli, que me guiaram e sempre acreditaram que completaria essa jorada. Aos amigos, em especial Juliaa Tabalipa, Marcelo Gomes, Ivo Paulek Juior e Michely de Melo Pellizzaro que direta ou idiretamete ajudaram durate a graduação. À baca examiadora que humildemete aceitou meu covite.

7 7 Itrodução O desevolvimeto de fuções em séries de Taylor são ferrametas frequetemete utilizadas em áreas como Cálculo e Aálise Numérica. Expressar fuções como a soma de termos ifiitos é uma estratégia muito útil. Veremos este trabalho que utilizamos tal ferrameta para aproximar fuções ao redor um poto, bem como, ecotrar seus potos de máximos e míimos. Além disso, podemos aplicar os coceitos série de Taylor para estudar covergêcia de métodos iterativos e, aida, para buscar soluções de equações difereciais ordiárias. O trabalho divide-se em três capítulos: No primeiro capítulo, a discussão se dá em toro das séries de potêcias. Bem como estudar o comportameto de fuções represetadas como série de potêcias se faz ecessário estudar o raio de covergêcia para que tais represetações existam. Portato, com a fialidade de etrar o tema pricipal estes foram os tópicos abordados a primeira seção, assim como algus teoremas que são fudametais para o desevolvimeto em série de Taylor. A estrutura desse capítulo está baseada, pricipalmete, a referêcia [2]. No segudo capítulo, baseado as referêcias [3] e [7] iiciamos os coceitos de expasão em Taylor para fuções de uma ou mais variáveis. Este capitulo, dedica-se também a represetação de uma fução através da soma parcial da sua série de Taylor (poliômio de Taylor) acrescidos de um resto e do qual euciamos um resultado importate, a Fórmula de Taylor. Além disso, como cosequêcia vimos algus formas de restos que são ecotrados a fórmula de Taylor. O terceiro e último capítulo, está baseado em algumas aplicações, a Matemática, da expasão em série de Taylor: aproximação de fuções ao redor de um poto, máximos e míimos de fuções, covergêcia de métodos iterativos, resolução de equação diferecial ordiária liear ao redor de um poto ordiário [9] e soluções aproximadas de equações difereciais [10].

8 8 1 Série de Potêcias Algumas vezes se faz ecessário represetar fuções por séries, mais especificamete série de potêcias. Etretato, é preciso defiir série de potêcia, estudar as pricipais propriedades e, além disso, verificar que uma classe restrita de fuções são represetadas através da mesma. O objetivo desta seção é abrir camiho ao estudo pricipal deste trabalho, isto é, o estudo da Série de Taylor. A seção a seguir foi elaborada a partir da referêcia [2]. 1.1 Série de Potêcias Defiição Seja a, 0, uma sequêcia umérica dada e seja x 0 um úmero real dado. A série a (x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a (x x 0 ) +... deomia-se série de potêcias, com coeficietes a, em volta de x 0 (ou cetrada em x 0 ). Por exemplo, x! é uma série de potêcias cetrada x 0 = 0 e com coeficiete a = 1!. De certo modo, uma série de potêcias trata-se de uma série de poliômios com ifiitos termos. Veremos que fuções defiidas como séries de potêcias compartilham muitas propriedades semelhates a dos poliômios Covergêcia das Séries de Potêcias Para que valores de x a série de potêcias é covergete? A covergêcia é segura para x = x 0, com soma em a, e pode acotecer que seja o úico poto em que ela coverge. O

9 9 próximo teorema destaca um propriedade muito importate das séries de potêcias. Teorema Se + a x for covergete para x = x 1, com x 1 0, etão a série covergirá absolutamete para todo x o itervalo aberto ] x 1, x 1 [. Demostração. Sedo, por hipótese, + a x1 covergete, segue lim a x x + 1 = 0. Tomado-se ε = 1, existe um atural p tal que, para todo p, como a x 1 1 a x = a x1 x, resulta que, para todo x e todo atural p, a x x. Para x < x 1, a série geométrica + x + a x coverge absolutamete para todo x, com x x 1. Corolário Se + x 1 x 1 x 1 é covergete. Segue do critério da comparação que a (x x 0 ) for covergete x = x 1, com x 1 x 0, etão a série covergirá absolutamete para todo x (x 0 r,x 0 + r), ode r = x 1 x Raio de Covergêcia Objetivo pricipal desta seção é defiir raio de covergêcia de uma série de potêcias. Cotudo, ates, devemos discutir um teorema muito importate sobre covergêcia. Teorema Seja a série de potêcias I) ou II) ou + a x coverge apeas para x = 0; + a x coverge absolutamete para todo x real; + a x. Existem apeas três possibilidades:

10 10 III) ou existe R > 0 tal que a série + a x coverge absolutamete para todo x o iervalo ( R,R) e diverge para todo x, com x > R. Nos extremos R e R a série poderá covergir ou ão. Demostração. Seja A o cojuto de todos os x 0 para os quais a série coverge 1º caso. A = {0} Se a série covergisse para algum x 1 0, pelo teorema aterior, covergiria, também, para todo x ( x, x ), que cotradiz a hipótese de A = {0}. Logo, se A = {0} a série covergirá apeas para x = 0. 2ºcaso. A = (0,+) Para todo x real, existe, x 1 > 0 tal que como a série + a x 1 x < x 1. é covergete, pelo teorema aterior, a série covergirá absolutamete para todo x, com x < x 1. Portato a série covergirá absolutamete para todo x. 3ºcaso. A (0,+) e A {0} Se, para todo r > 0, existisse x 1 > r tal que + x 1 fosse covergete, pelo teorema aterior, a série covergirá absolutamete para todo x, que cotradiz com a hipótese A (0,+). Portato se, A (0,+), etão A será limitada superiormete; logo, admitirá supremo R: R = supa Como A {0} teremos, evidetemete, R > 0. Sedo R o supremo de A, para todo x com x < R, existe x 1 A. Resulta, ovamete do teorema aterior, que a série coverge absolutamete para todo x ( R,R). Agora supohamos que a série + a x covirja para x = x 1, com x 1 0 e divirja para x 2, se x 2 < x 1 etão pelo teorema aterior x 2 coverge, e isto é cotradição com a hipótese, logo + x 2 > x 1. Como R é o supremo de A, etão para x > R a série a x é divergete.

11 11 Observação Cosiderado que a série seja + a (x x 0 ), com uma simples mudaça de variável, por exemplo, x x 0 = y e aplicado o teorema acima etão existe, também, três possibilidades: I) ou a série coverge para x = x 0 ; II) ou série coverge para todo x; III) ou existe R > 0 tal que a série coverge para todo x (x 0 R,x 0 + R) e diverge para x x 0 > R. Nos extremos x 0 R e x 0 + R a série poderá covergir ou ão. Agora, podemos defiir o raio de covergêcia: Defiição Dada uma série de potêcias valor (fiito ou ifiito) dado por R = {sup x x 0 : + a (x x 0 ), seu raio de covergêcia é um + a (x x 0 ) coverge }. E aida deomiamos o itervalo (x 0 R,x 0 + R) de itervalo de covergêcia da série de potêcias. O exemplo a seguir os forecerá uma fórmula para o cálculo do raio de covergêcia da + série de potêcias da forma a (x x 0 ). Exemplo 1. Seja a série de potêcias + ode p é atural fixo. Mostre que o raio de covergêcia da série é desde que o limite exista, fiito ou ifiito. Solução. a (x x 0 ) e supoha que a 0 para todo p, R = lim + a a +1 Apliquemos o critério da razão para série de termos quaisquer. lim a +1 (x x 0 ) +1 + a (x x 0 ) = x x 0 lim a +1 + a Se o lim a +1 + a = 0, a série covergirá absolutamete para todo x. Neste caso o raio de covergêcia é +:

12 12 R = lim a + a +1 = + (Observe que lim a +1 + a = 0 lim a + a +1 = + Se lim a +1 + a = +, a série covergirá apeas para x = x 0 R = lim a = 0 + Se lim a +1 + a for fiito e diferete de zero, a série covergirá absolutamete para todo x tal que x x 0 lim a +1 + a < 1 ou seja, covergirá para todo x tal que e divergirá para x x 0 > R. O raio de covergêcia da série x x 0 < lim + a +1 a a +1 + a (x x 0 ) ode a 0 para p (p fixo), é dado pela fórmula R = lim desde que o limite exista fiito ou ifiito. + a a +1 = R; (1.1) 1.2 Fuções Dada Como Série de Potêcias Como já citado a itrodução deste capítulo, fuções podem ser represetadas por série de potêcias. Mas por que expressar fuções como uma soma de termos ifiitos? Na verdade, essa estratégia é muito útil. Nos próximos capítulos deste trabalho, quado adetrarmos em Série de Taylor (uma classe restrita de série de potêcias), tal codição os auxiliará em cálculo de itegrais que ão possuem primitivas, resoluções de equações difereciais e aproxi-

13 13 mar fuções por poliômios. Uma série de potêcia, se covergete para todo x ou para algum R > 0 tal que x x 0 < R, pode ser expressa como uma fução f e podemos escrever f (x) = + a (x x 0 ). A série é dita uma represetação da fução f o itervalo de covergêcia e é chamada de expasão em série de potêcias da fução f o poto x 0. E aida, podemos defiir o domíio de f como sedo o itervalo de covergêcia da série. Exemplo 2. Determie o domíio da fução f (x) = Solução: x : A série que represeta a fução f está cetrada o poto x 0 = 0, além disso, o domíio da fução são os valores o qual a série coverge, isto é, x < R, ode R é o raio de covergêcia. Logo, pela fórmula do raio de covergêcia R = lim a = lim + 1 = 1 Assim, para x < 1 a série coverge. a +1 Nos extremos x = 1 e x = 1, as séries e ( 1) divergem (pelo critério da razão de termos quaisquer [2]). Portato, o domíio da fução f é o itervalo ( 1,1) Difereciação e Itegração de Série de Potêcias Uma vez que a fução é represetada por uma série de potêcias ela compartilha teoremas semelhates aos das fuções poliomiais, como por exemplo, duas que veremos a seguir: difereciação e itegração. As demostrações dos teoremas estão dispostas em [4]. Teorema Se a série de potêcias etão a fução f é defiida por f (x) = + a (x x 0 ) tiver um raio de covergêcia R > 0, + a (x x 0 )

14 14 é difereciável (e portato cotíua) o itervalo (x 0 R,x 0 + R) e (i) (ii) f (x) = f (x)dx = c + + a (x x 0 ) 1 (1.2) x=1 + a (x x 0 ) Os raios de covergêcia da série de potêcias as Equações (i) e (ii) são ambos R. Exemplo 3. Calcular a itegral Solução: ( 1) x2 (2)! : Itegrado a solução coforme proposto o teorema acima temos: ( 1) x2 (2)! = c + ( 1) x 2+1 (2 + 1)!. (1.3) Aida, podemos verificar que R é igual para as duas fuções.

15 15 2 Série de Taylor Como vimos ateriormete podemos expressar uma fução em série de potêcias. Na verdade, o próximo objetivo é verificar que a expressão f (x) = + a (x x 0 ) pode ser reescrita tal que seu seu coeficiete a seja igual a f () (x 0 ).! 2.1 Expasão em Série de Taylor para Fuções de uma Variável Iicialmete vamos supor que a fução f tem derivadas de todas as ordes e que possa ser represetada como uma série de potêcias, com raio de covergêcia R. Assim, f (x) = + a (x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + para x x 0 < R. Primeiramete, aplicamos x = x 0 as f (x), f (x), f (x), até sua -ésima derivada f () (x) e assim obtemos: a 0 = f (x 0 ); a 1 = f (x 0 ) 1! e coforme segue o padrão otaremos que: ; a 2 = f (x 0 ) 2! a = f () (x 0 )! ; a 3 = f (x 0 ) ;... 3! Agora, vamos adotar por coveção que f (0) = f e podemos descrever o resultado acima da seguite forma:

16 16 Se f possuir uma expasão em séries de potêcias em toro do poto x 0, isto é, f (x) = + a (x x 0 ) x x 0 < R etão seu coeficietes são dados pela fórmula a = f () (x 0 ).! Em outras palavras se f tiver uma expasão em série de potêcias cetrada em x 0, etão ela deve ter a forma f (x) = + f () (x 0 ) (x x 0 ) (2.1)! A série da equação acima é chamada série de Taylor da fução f cetrada em x 0. No caso mais particular, para x 0 = 0, a série tem a forma f (x) = e recebe o ome de série de Maclauri. + f () (0) (x)! Etretato, propomos ateriormete que se f puder ser represetada como séries de potêcias em toro do poto x 0, etão f será igual a soma de sua série de Taylor. Agora, dada uma fução como garatir ela possa ser represetada por uma série de Taylor? Se f (x) é igual a soma de uma série, etão f (x) covergirá para o limite das somas parciais dessa série. E, digamos que T (x) é a soma parcial da série: T (x) = i=0 f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i (2.2) i! ode T (x) é um poliômio e deomiamos como poliômio de Taylor de grau cetrado em x 0. Em outras palavras + f (x) = lim T (x) = + f () (x 0 ) (x x 0 ).!

17 17 Assim, coforme tede ao ifiito a soma parcial dos termos do poliômio de Taylor é uma aproximação da f (x), isto é, f (x) T (x). Aida, podemos escrever R (x) = f (x) T (x), ode R (x) é o resto(ou erro de trucameto) da série de Taylor. E de maeira equivalete f (x) = T (x) + R (x). A seguir apresetaremos o teorema que expressa formalmete ossa aálise: Teorema Seja f uma fução com derivada de todas as ordes e f (x) = T (x) + R (x), ode T e poliômio de Taylor de grau cetrado em x 0 e lim R (x) = 0 + para todo x x 0 < R, etão f é igual a soma da sua série de Taylor o itervalo x x 0 < R. Demostração. O teorema acima sugere que se, de alguma maeira, pudermos mostrar que + f R (x) = 0 quado +, etão f (x) = (x 0 ) (x x 0 ), ou seja a fução f pode ser! represetada por uma série de Taylor. De fato, pois lim T (x) = lim [ f (x) R (x)] = f (x) lim R (x) = f (x) Fórmula de Taylor Vimos que f (x) = T (x) + R (x), ode R (x) é o resto da série de Taylor e T (x) é o poliômio de Taylor de ordem. E aida, se coseguimos mostrar que lim + R (x) = 0, etão a f pode ser represetada através de sua série de Taylor em toro de um poto x 0, ou seja, para x x 0 < R (R raio de covergêcia). A seguir, baseado a referêcia [6] e a [3], faremos aálise sobre a fução f quado possui apeas derivadas até ordem + 1.

18 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrage Teorema (Fórmula de Taylor com Resto de Lagrage). Se f : [a, b] R uma fução com derivadas cotíuas e f (+1) defiida em todo (a;b). Seja x 0 [a,b] etão existe ξ etre x 0 e x tal que f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (+1) (ξ ) ( + 1)! (x x 0) +1 (2.3) O Fórmula de Taylor com Resto de Lagrage, a verdade, pode ser visto como uma extesão do Teorema do Valor Médio[3]. Ou seja, se uma fução F cotíua em [a,b] e difereciável em (a,b), etão existe um c (a,b) com F F(b) F(a) (c) =. E sua demostração b a segue a mesma ideia, isto é, tomar uma fução em que seja válido o Teorema de Rolle. Demostração. Cosideremos a fução F(t) = f (x) f (t) k=1 f (k) (t) (x t) k λ(x t) +1,com t etre x 0 e x Assim devemos ecotrar um λ tal que F(x 0 ) = 0. E aida, temos que F(x) = 0, logo, F(x) = F(x 0 ) = 0. A fução F é cotíua e difereciável o itervalo [a,b], portato pelo Teorema de Rolle existe ξ etre x 0 e x tal que F (ξ ) = 0. Derivado a fução F(t) ecotramos: F (t) = f (t) F (t) = f (t) F (t) = f (t) + k=1 k=1 ( d dx ( ( ) f () (t) (x t) k + λ( + 1)(x t) f (k+1) (t) Etão, a soma da série telescópica é: ( k=1 ) (x t) k f (k) (t) k(x t) k 1 + λ( + 1)(x t) ) f (k+1) (t) (x t) k + f (k) (t) (x t)k 1 k=1 (k 1)! }{{} série telescópica f (k+1) (t) (x t) k + f (k) (t) (x t)k 1 (k 1)! ) +λ( + 1)(x t) = f (t) f (+1) (t) (x t)!

19 19 Logo, Portato para t = ξ temos: F (t) = f (+1) (t) (x t) + λ( + 1)(x t)! 0 = F (ξ ) = f (+1) (t) (x ξ ) + λ( + 1)(x ξ ) λ = f (+1) (ξ )! ( + 1)! Retorado a fução e substituido o valor λ F(t) = f (x) f (t) k=1 f (k) (t) E para t = x 0, etão F(x 0 ) = 0, por hipótese cocluímos que Para ξ etre x 0 e x. f (x) = f (x 0 ) + k=1 (x t) f (+1) (ξ ) (x t)+1 ( + 1)! f (k) (t) (x x 0 ) + f (+1) (ξ ) ( + 1)! (x x 0) +1 Observação: O Teorema de Taylor com Resto de Lagrage garate simplesmete que existe uma fução para o resto e que seu valor existe para algum úmero etre x e x 0. Porém, a prática, um dos problemas comus é determiar ξ etre x e x 0 para ecotrar o valor de f (+1) (ξ ) Fórmula de Taylor com resto da Itegral O resultado a seguir mostra que se f possui derivada até a ordem +1 e f (+1) for cotiua f () (x 0 ) um itervalo aberto, etão f pode ser reescrita como f (x) = (x x 0 ) + 1 x!! t) f (+1) (t)dt, ode t é um poto etre x 0 e x. + x 0 (x Teorema (Fórmula de Taylor com Resto da Itegral). Se f (+1) cotiua sobre um itervalo aberto I que cotém x 0, e para todo x pertecete a I, etão R (x) = 1! x x 0 (x t) f (+1) (t)dt (2.4) Demostração. Temos que f (x) = T (x) + R (x) e usaremos idução matemática para mostrar o resultado. Etão para = 1, R 1 = f (x) T 1 (x) = f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 )

20 x e pela hipótese devemos obter a itegral (x t) f (t)dt. Assim, usado o Teorema Fudameta do Cálculo e a técica de itegração por partes x 0 com: u = x t e dv = f (t)dt, assim du = dt e v = f (t). Etão x x (x t) f (t)dt x 0 = (x t) f (t)] x x 0 + f (t)dt x 0 = 0 (x x 0 ) f (x 0 ) + f (x) f (x 0 ) = f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = f (x) T 1 (x) = R 1 (x) 20 Portato, o teorema é válido para = 1. Agora, vamos supor que vale para = k e assim R k (x) = 1 x E queremos mostrar que vale para = k + 1, ou seja, R k+1 (x) = Novamete itegramos por partes com x 0 (x t) k f (k+1) (t)dt 1 x (x t) k+1 f (k+2) (t)dt (k + 1)! x 0 u = (x t) k+1 e dv = f (k+2) (t). Etão du = (k + 1)(x t) k e v = f k+1 (t), assim 1 (k + 1)! x x 0 (x t) k+1 f (k+2) (t)dt = 1 = (k + 1)! (x t)k+1 f (k+1) (t)] x x 0 + k + 1 (x t) k f (k+1) (t)dt (k + 1)! x 0 = 0 1 (k + 1)! (x x 0) k+1 f (k+1) (x 0 ) + 1 x (x t) k f (k+1) (t)dt x 0 = f (k+1) (x 0 ) (k + 1)! (x x 0) k+1 + R k (x) = f (x) T k (x) f (k+1) (x 0 ) (k + 1)! (x x 0) k+1 = f (x) T k+1 (x) = R k+1 (x) Logo, vale para = 1 e para = k + 1, etão por idução matemática o teorema é verdadeiro para todo. x

21 Fórmula de Taylor com Resto de Cauchy Nesta seção visado ampliar o estudo sobre as formas de expressar o resto a Fórmula de Taylor apresetamos a seguir mais um resultado que, também, se ecotra em algus livros acadêmicos. Teorema (Fórmula de Taylor com Resto de Cauchy). Se f : [a,b] R uma fução com derivadas cotíuas e f (+1) defiida em todo (a;b). Seja x 0 [a,b] etão existe η etre x 0 e x tal que f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (+1) (η) (x η) (x x 0 ) (2.5)! Demostração. A fução f, por hipótese, tem + 1 derivadas cotíuas o itervalo (a, b) que cotém x 0 e x. Portato, é válido o teorema com resto da itegral. Logo, R (x) = x (x t) f (+1) (t)dt x 0! para algum t etre x e x 0. Pelo Teorema do Valor Médio para itegrais [5], a hipótese assegura a existêcia de um η etre x e x 0, tal que 1 x x 0 x (x t) f (+1) (t)dt x 0! sedo assim, o resto pode ser represetado também por: como f (x) = T (x) + R (x), temos que f (x) = k=0 = f (+1) (η) (x η)! R (x) = f (+1) (η) (x η) (x x 0 ),! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (+1) (η) (x η) (x x 0 )! Observação: a mesma dificuldade de ecotrar o ξ para a Fórmula com Resto de Lagrage, também, acotece quado precisamos ecotrar o η para a Fórmula com Resto de Cauchy. Usualmete, o que se faz é procurar uma fução que limita a fução do resto e assim fazer uma estimativa do erro.

22 2.3 Expasão em Série de Taylor Para Fução de Duas Variáveis 22 O objetivo presete esta seção, baseado a referêcia [7], é elaborar uma aálise sobre como a série de Taylor pode represetar uma fução com duas variáveis. Basicamete, o raciocíio é fazer aalogia à fuções de apeas uma variável atedo-se ao fato que suas derivadas são parciais Expasão em Série de Taylor de 2ª Ordem Assim como uma fução f (x) pode ser aproximada através do poliômio de Taylor de seguda ordem, isto é, f (x) T 2 (x), procura-se uma expressão que aproxime a fução z(x,y) tal que z(x,y) T 2 (x,y). Iicialmete, seja z = z(x,y), fução com duas variáveis. E, digamos que x e y etão em fução de uma variável t, ou seja, x = x(t) e y = y(t). Assim, como z está em fução de x e y é correto dizer, também, que z está em fução de t, logo z = z(t) = f (x(t),y(t)). Além disso, z possui derivada (se existir), em relação a t. Para exteder para o ceário de duas variáveis devemos tomar x(t) = x 0 +t x e y = y+t y, ode x e y são costates. Portato, x (t) = x, y (t) = y, x (t) = 0, y (t) = 0. Etão pela regra da cadeia a primeira derivada em relação a t é: z (t) = f x (x(t),y(t))dx dt + f y (x(t),y(t))dy dt = f x (x(t),y(t))x (t) + f y (x(t),y(t))y (t) = f x (x(t),y(t))x (t) + f y (x(t),y(t))y (t) = f x (x(t),y(t)) x + f (x(t),y(t)) y (2.6) y

23 23 E a seguda derivada de z em relação a t: z (t) = d dt z (t) = d [ f dt x (x(t),y(t))x (t) + f ] y (x(t),y(t))y (t) = d [ ] f dt x (x(t),y(t))x (t) + d [ ] f dt y (x(t),y(t))y (t) [ 2 f = x 2 (x(t),y(t))[ x (t) ] 2 2 f + x y (x(t),y(t))[ x (t)y (t) ] ] [ 2 f + y x (x(t),y(t))[ y (t)x (t) ] + 2 f y 2 (x(t),y(t))[ y (t) ] ] 2 (2.7) e recordado que 2 f x y = 2 f, teorema das derivadas mistas [7], a expressão pode ser y x simplificada para: z (t) = 2 f x 2 (x(t),y(t))( x) f x y (x(t),y(t)) x y 2 f y 2 (x(t),y(t))( y)2 (2.8) Agora, se z = f (x,y) é uma fução de duas variáveis que é difereciável uma vizihaça próxima do poto (x 0,y 0 ), etão queremos ecotrar um poliômio T 2 que satisfaça f (x,y) T 2 (x,y) quado (x,y) estão suficietemete próximo de (x 0,y 0 ), ou seja, quado (x x 0 ) e (y y 0 ). E, assim devemos tomar: x = (x x 0 ) e y = (y y 0 ) Logo, É importate observar que z(t) = f (x(t),y(t)) = f (x 0 +t x,y +t y) f (x,y) = f (x 0 + (x x 0 ),y 0 + (y y 0 )) = z(1)

24 24 Pela Fórmula de Taylor temos que Etão, para t 0 = 0 z(t) = z(t 0 ) + z (t 0 )(t t 0 ) + 1 2! z (t 0 )(t t o ) 2 + R 2 (t) f (x,y) = z(1) z(0) + z (0)(1 0) z (0)(1 0) 2 = z(0) + z (0) + z (0) 2 (2.9) Portato, z(0) = f (x(0),y(0)) = f (x 0 + 0(x x 0 ),y 0 + 0(y y 0 )) = f (x 0,y 0 ) Da equação (2.6), E fialmete, da equação (2.7) z (0) = f x (x(0),y(0)) x + f y (x(0),y(0)) y = f x (x 0,y 0 ) x + f y (x 0,y 0 ) y z (0) = 2 f x 2 (x(0),y(0))( x) f x y (x(0),y(0)) x y + 2 f y 2 (x(0),y(0))( y)2 Substituido z(0), z (0), z (0) a aproximação da fórmula (2.9), e recordado que x = (x x 0 ) e y = y y 0, obtém-se:

25 25 f (x,y) f (x 0,y 0 ) + f x (x 0,y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) f 2 x 2 (x 0,y 0 )(x x 0 ) f x y (x 0,y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + 2 f y 2 (x 0,y 0 )(y y 0 ) 2 E coforme a fórmula de Taylor, também, escreve-se: Exemplo 4. Qual o poliômio de Taylor de seguda ordem cetrada o poto (1,1) para fução x 2 cos(y 3 )? Solução: Calculado as derivadas parciais de primeira e seguda ordem e utilizado a fórmula acima obtemos o resultado: x 2 cos(y 3 ) cos(1) 3se(1)(y 1) + 2(x 1)cos(1) 9 2 cos(1) 3se(1)(y 1) 2 6(x 1)se(1)(y 1) + (x 1) 2 cos(1) Expasão em Série de Taylor de -ésima Ordem Na seção aterior, a fução f (x,y) foi aproximado até a seguda ordem do poliômio de Taylor, isto é, f (x,y) T 2 (x,y). Agora, queremos expressar f (x,y) = T (x,y) + R (x,y), ode T (x,y) é a -ésima ordem do Poliômio de Taylor da fução f, e R (x,y) é dito o resto da -ésima ordem do poliômio. A ideia se coserva a mesma aplicada ateriormete, porém, pela fórmula de Taylor basta aproximar a fução z pela k-ésima derivada, ou seja, z(t) = k=0 z (k) (t) (t t 0 ) k + R (t) E aida, para t 0 = 0 f (x,y) = z(1) = z (k) (0) + R (t) k=0

26 26 Etão precisamos ecotrar a k-ésima derivada de z em relação a t e aplicar o poto t 0 = 0. Aida, o caso em que x = (x x 0 ) e, y = (y y 0 ) e z(t) = f (x 0 +t x,y 0 +t y), a fução f vai ter sempre derivada em relação x e y. Logo, z (k) (t) = k i=0 k f i! j! x i y j (x(t),y(t))(x x 0) i (y y o ) j k f Quado calculamos a k-ésima derivada todas as parciais mistas são permutações x x }{{} y y }{{} i vezes j vezes x e y, sedo assim, uma permutação repetida com i e j elemetos. Portato a quatidade de parciais mistas esse caso é k f i! j! x i (x(t),y(t)). Aida i + j = k j = k i, e assim y j z (k) (t) = k i=0 Etão a z (k) (t) aplicada o poto t 0 = 0 é igual a k f i!(k i)! x i y j (x(t),y(t))(x x 0) i (y y o ) k i (2.10) z (k) (0) = z (k) (0) = k i=0 k i=0 k f i!(k i)! x i y k i (x(0),y(0))(x x 0) i (y y o ) k i k f i!(k i)! x i y k i (x 0,y 0 )(x x 0 ) i (y y o ) k i (2.11) Substituido essa equação em f (x,y) = z(1) = z (k) (0) + R (t) k=0 obtemos uma expressão para a Fórmula de Taylor de -ésima ordem: f (x,y) = 1 k=0 k i=0 com resto R em fução das duas variáveis x e y. Etretato, quado lim + R (x,y) = 0 f (x,y) = k f i!(k i)! x i y k i (x 0,y 0 )(x x 0 ) i (y y o ) k i + R (x,y) (2.12) + 1 k=0 k i=0 k f i!(k i)! x i y k i (x 0,y 0 )(x x 0 ) i (y y o ) k i. (2.13) Além disso, coforme fora visto a seção uma fução de apeas uma variável pode

27 27 ser expressa através da fórmula de Taylor com resto de Lagrage. Aalogamete, coseguimos uma expressão que represete uma fução de duas variáveis. [5] Teorema Supoha que f (x,y) e todas suas derivadas parciais de ordem meor ou igual a + 1 sejam cotiuas em D = {(x,y)/a x b,c y d} e seja (x 0,y 0 ) D. Para cada (x 0,y 0 ) D, existem ξ 1 etre x e x 0 e ξ 2 etre y e y 0 tais que em que e Exemplo 5. R (x,y) = T (x,y) = 1 k= ( + 1)! i=0 k i=0 f (x,y) = T (x,y) + R (x,y) k f i!(k i)! x i y k i (x,y)(x x 0) i (y y 0 ) k i ( + 1)! +1 f i!( + 1 i)! x i y +1 i (ξ 1,ξ 2 )(x x 0 ) i (y y 0 ) +1 i. A represetação para = 2 é e f (x,y) = f (x 0,y 0 ) + f x (x 0,y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) R (x,y) = f 2 x 2 (x 0,y 0 )(x x 0 ) f x y (x 0,y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + 2 f y 2 (x 0,y 0 )(y y 0 ) 2 + R (x,y) 2 i=0 2! 3 f (3 i)! x i y 3 i (ξ 1,ξ 2 )(x x 0 ) i (y y 0 ) 3 i 2.4 Expasão em Série de Taylor para Fuções de Várias Variáveis Como pode-se imagiar, assim que o úmero de variáveis cresce a expressão que aproxima a fução pela série de Taylor também cresce. Se f : R m R uma fução com derivadas de todas as ordes uma vizihaça próxima ao poto (a 1,a 2,...,a m ) a série de Taylor que represeta f é dada por:

28 28 f (x 1,x 2,...,x m ) = = 1 k i 1 +i i m =k k f (x 1,x 2,...,x m ) i 1!i 2!...i m! x i 1 1 x i x i m m (x 1 a 1 ) i 1...(x m a m ) i m Aalogamete à fução com duas variável, dada uma fução z tal que z = z(x 1,x 2,...,x m ) e aida que x j está em fução de uma variável t, isto é, x j = x j (t) para todo j = 1,2,...,m. Da mesma maeira, pode-se dizer que z(t) = f (x 1 (t),x 2 (t),...,x m (t)). Aida, assume-se para um caso especial em que x j (t) = a 1 +t(x j a j ), para j = 1,2,...,m. Etão, aproximado o valor z(1) através da série de Taylor cetrada o poto t 0 = 0, obtémse que: Etão, z(1) = f (x 1 (1),x 2 (1),...,x m (1)) = f (x 1,x 2,...,x m ) Logo, da fórmula de Taylor temos que : z(t) = k=0 z (k) (t 0 ) (t t 0 ) k + R (t) Portato, z(1) = k=0 z(1) = z (k) (0) (1 0) k + R (t) z (k) (0) + R (t) k=0 z(1) = f (x 1,x 2,...,x m ) = (2.14) 1 = k=0 +R (x 1,x 2,...,x ) k i 1 +i i m =k k f (x 1,x 2,...,x m ) i 1!i 2!...i m! x i 1 1 x i x i m m (x 1 a 1 ) i 1...(x m a m ) i m É importate observar que z (k) (0) = k i i m =k k f (a 1,...,a m ) i 1!...i m! x i x i (x m 1 a 1 ) i 1...(x a 2 ) i m

29 29 ode a geeralização da derivada z (k) (t) é obtida a partir de uma aálise de combiações tal que é a quatidade das parciais mistas (permutações com repetição) para a fução i 1!...i m! z(t) = f (x 1 (t),...,x m (t)). Portato, a partir dos resultados acima para f : R m R uma fução vezes difereciável uma vizihaça próximo a um poto (a 1,a 2,...,a m ) pode ser represetada pela fórmula de Taylor da seguite forma: f (x 1,x 2,...,x m ) = (2.15) 1 = k=0 +R(x 1,x 2,...,x m ) k i 1 +i i m =k k f (x 1,x 2,...,x m ) i 1!i 2!...i m! x i 1 1 x i x i m m (x 1 a 1 ) i 1...(x m a m ) i m E aida quado tede ao ifiito e R (x 1,x 2,...,x m ) tede zero, etão temos uma represetação em série de Taylor para f e logo f (x 1,x 2,...,x m ) = (2.16) = + 1 k=0 k i 1 +i i m =k k f (x 1,x 2,...,x m ) i 1!i 2!...i m! x i 1 1 x i x i m m (x 1 a 1 ) i 1...(x m a m ) i m.

30 30 3 Aplicações Nesta seção apresetaremos algumas aplicações da série e da fórmula de Taylor. Etre elas, a mais fudametal e usada em Calculo Numérico é aproximação de fuções. Em seguida, covergêcia de métodos iterativos, estudo sobre os máximos e míimos e, soluções de equações difereciais ordiárias. 3.1 Aproximado Fuções por Série de Taylor Um exemplo clássico, mas que permite estudar com afiidade o comportameto da aproximação por série de Taylor, é o da fução expoecial f (x) = e x. É sabido pela fórmula de Taylor que f (k) (x 0 ) f (x) = T (x)+r (x), ou aida que f (x) T (x), ode T (x) = (x x 0 ) k. Avaliado as derivadas da fução f ao redor do poto x 0, temos que: f (0) = 1 f (x) = e x f (0) = 1 f (x) = e x f (0) = 1 f (x) = e x f (0) = 1. f () (x) = e x f () (0) = 1 k=0

31 31 E assim ecotramos os poliômios de Taylor: T 1 (x) = 1 + x T 2 (x) = 1 + x + x2 2! T 3 (x) = 1 + x + x2 2! + x3 3! T 4 (x) = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4!. T (x) = 1 + x + x2 2! + x3 x !! A figura abaixo mostra que ao aumetar o valor de, T (x) parece se aproximar da fução e x. Isto sugere que para suficietemete grade e x seja igual à soma de sua série de Taylor. (a) T 1 (x) (b) T 2 (x) (c) T 3 (x) (d) T 4 (x) Figura 3.1: Fução Expoecial e seus poliômios de Taylor De fato, quado for suficietemete grade a fução f será igual a soma de sua série de Taylor próximo ao poto x 0 = 0. Na verdade, a aproximação é boa quado aalisamos

32 32 um itervalo próximo ao poto em que a série está cetrada. Caso cotrário, se aalisamos o itercalo ( 2, 1) percebemos que o poliômio de Taylor ão se ajusta tão bem a fução f. Agora, pela fórmula de Taylor com resto de Lagrage escrevemos a fução e x como: para algum ξ etre 0 e x. Sedo assim, é válido que e x = ex x k k=0 + x +1 eξ ( + 1)! k=0 x! = eξ x +1 ( + 1)! Quado tede ao ifiito lim e ξ x +1 ( + 1)! = 0 De fato, para x > 0, temos que e ξ < e x pois ξ (0,x) e logo 0 <, e assim 0 < e ξ x +1 x+1 < ex ( + 1)! ( + 1) x +1 x +1 e o lim = 0 e logo pelo teorema do cofroto lim ( + 1)! eξ ( + 1)! = 0. Se x < 0, etão e ξ < e 0 = 1, pois ξ (x,0) e portato x +1 Assim lim ( + 1)! = 0, logo, lim 0 < e ξ x +1 ( + 1)! < x +1 ( + 1)! x +1 ( + 1)! aáloga ao limite aterior lim e ξ x +1 ( + 1)! = 0. = 0. Pelo teorema do cofroto e de maeira Coclusão, quado tede ao ifiito o lim e ξ x +1 = 0 para todo x real, e logo pelo ( + 1)! teorema (2.2.1) a fução e x é igual a a soma de sua série de Taylor. Isto é e x = x k k=0,para todo x. Exemplo 6. Ecotre a série de Taylor cetrada em x 0 = 0, para a fução f (x) = a x, com a > 0.

33 33 Solução: Para ecotrar a solução podemos usar um resultado de logaritmo que os diz que: Agora, e u = logo, a x = e xla u, covergete para todo u real. Assim, se u = xla, obtemos! a x = e xla = a x = (xla)! (la) Além disso, a covergêcia da série é válida para todo x real.! x Tabela de séries de Taylor cetrada em x 0 = 0 Diversas fuções elemetares, assim como e x, podem ser reescritas como soma de sua série de Taylor. Segue abaixo uma lista com as pricipais fuções em toro do poto 0 (série de MacLauri). f (x) e x 1 1 x six cosx ta 1 x l(x + 1) x! x Série de Taylor ( 1) x 2+1 (2 + 1)! x2 ( 1) (2)! ( 1) x2+1 ( 1) x R = R = R = R = R = 1 R = 1 (1 + x) k ( k )x R = 1 Além do mais, as fuções acima podem ser combiadas com outras gerado ovas séries de Taylor. Este é o caso que será observado o exemplo a seguir.

34 34 Exemplo 7. Estime o valor da itegral 1 0 xcos(x 3 )dx. Solução: ( 1) u2 É verdade que cosu = (2)! variável,isto é, chamar u = x 3. Portato,, para todo u. Assim, basta fazer uma mudaça de xcos(x 3 ) = x para todo x. Reescrevedo a itegral 1 0 ( 1) (x2 ) 3 (2)! = xcos(x 3 )dx = E como uma série de potêcia é itegrável, temos ( 1) x6+1 (2)!, 1 ( 1) x6+1 0 (2)! dx. Portato, 1 ( 1) x xcos(x 3 )dx = (2)! dx = ( 1) x 6+2 (6 + 2)[(2)!] 1 0 = ( 1) (6 + 2)[(2)!] 0 = ( 1) 1 (6 + 2)[(2)!] ( 1) 1 (6 + 2)[(2)!] = Aproximação para Fução de Duas Variáveis Esta seção dedica-se, a prática, como acotece a aproximação de uma fução com mais de uma variável através de seu poliômio de Taylor. É verdade pela fórmula de Taylor que f (x,y) = T (x,y) + R (x,y), e aida que f (x,y) T (x,y), para uma fução defiida f : R 2 R. Etretato, pelo teorema (2.3.1) se f possui + 1 derivadas parciais próxima à uma vizihaça de um poto (x 0,y 0 ), etão T (x,y) = 1 k=0 k i=0 k f i!(k i)! i k i (x 0,y 0 )(x x 0 ) i (y y 0 ) k i

35 35 e claramete, f (x,y) 1 k=0 k i=0 k f i!(k i)! x i y k i (x 0,y 0 )(x x 0 ) i (y y 0 ) k i. A maior dificuldade de estabelecer as aproximações é ecotrar as derivadas parciais da fução. Não é uma tarefa difícil mas requer muita ateção. Na prática usa-se os softwares matemáticos para obteção dos poliômios de Taylor. Porém, esta seção utilizamos pequeos valores para com ituito de compreeder a estrutura desta parte do trabalho acadêmico. Exemplo 8. Seja a fução f (x,y) = se(xy) e vamos aproximar através do poliômio de Taylor de grau 2 em toro do poto (1, π ). Logo, pela fórmula de Taylor: 3 f (x,y) T 2 (x,y) T 2 (x,y) = As derivadas parciais são: 2 1 k=0 k i=0 k f i!(k i)! x i y k i (1, π 3 )(x 1)i (y π 3 )k i = f (1, π 3 ) + f x (1, π f )(x 1) + 3 y (1, π 3 )(y π 3 ) f 2! x 2 (1, π 3 )(x 1)2 + 2 f x y (1, π 3 )(x 1)(y π 3 ) f 2! y 2 (1, π 3 )(y π 3 )2 f (x,y) = cos(xy)y x f (x,y) = cos(xy)x y 2 f (x,y) = se(xy)y2 x2 2 f (x,y) = se(xy)x2 y2 2 f (x,y) = se(xy)xy + cos(xy) x y f x (1, π 3 ) = π 6 f y (1, π 3 ) = f x 2 (1, π 3 ) = 3 2 f y 2 (1, π 3 ) = π2 2 f x y (1, π 3 ) = 1 2 π 3 6 e portato,

36 36 3 se(xy) T 2 (x,y) = 2 + π 6 (x 1) (y π 3 ) + π2 3 (x 1) ( )(x 1)(y π 3 3 ) 4 (y π 3 )2. Para ter uma dimesão de como o úmero de termos do poliômio cresce quado aumetos para terceira ordem, isto é, calculado T 3 (x,y), o resultado obtido é: se(xy) T 2 (x,y) π3 324 (x 1)3 + ( 3π π )(y π )(x 1)2 3 + ( 3 2 π 12 )(y π 3 )2 (x 1) 1 12 (y π 3 )3 Utilizado software Maple, abaixo elaboramos uma represetação gráfica de como o T 2 (x,y) e T 3 (x,y) se ajustam a fução se(xy) próximo ao poto (1, π 3 ): (a) T 2 (x,y) (b) T 3 (x,y) Assim, quato maior a ordem do poliômio de Taylor ao redor de um poto melhor é a aproximação. 3.2 Máximos e Míimos Em diversas situações, os potos mais iteressates de uma fução são os potos de máximos e míimos. Porém, quado a fução tem mais de uma variável, eles ão são tão simples de localizá-los. O estudo realizado esta seção, restrita a fução de duas variáveis, tem como objetivo ecotrar estes potos através do poliômio de Taylor. [3]

37 37 Defiição Uma fução de duas de variáveis tem um máximo local em (a,b) se f (x,y) f (a,b) quado (x,y) está próximo (a,b), o úmero f (a,b) é chamado de valor máximo local. Se f (x,y) f (a,b) quado (x,y) próximo (a,b), etão f tem um míimo local e f (a,b) é chamado de valor míimo local. Teorema Se uma fução f tem máximo ou míimo locais em (a,b) e as derivadas parciais de primeira ordem existem esse poto, etão f x (a,b) = 0 e f (a,b) = 0. y Defiição Uma fução f (x,y) tem um poto de sela em um poto crítico (a,b), se (x,y) próximo próximo (a,b) etão existem potos do domíio (x,y) ode f (x,y) < f (a,b) e potos do domíio ode f (x,y) > f (a,b). Observação: Um poto (a, b) é chamado de poto crítico se as derivadas parciais esse poto são ulas ou se uma destas ão existem. [3] Matriz Hessiaa, Fórmula de Taylor, Máximos e Míimos A seguir veremos que é possível avaliar os potos de máximo e míimo fazedo um estudo sobre a matriz hessiaa da fução f. Ode a matriz hessiaa de uma fução f (x,y) é defiida da seguite forma: H(x,y) = 2 f x 2 (x,y) 2 f x y (x,y) 2 f x y (x,y) 2 f y 2 (x,y) Agora, seja f (a,b) um valor de máximo ou míimo local, etão f (x,y) f (a,b) f x f (a,b)(x a) + (a,b)(y b) y [ 2 f x 2 (a,b)(x a) f x y (x a)(y b) + 2 ] f (a,b)(y b)2 y2 Como f (a,b) é um valor de máximo ou míimo pelo teorema f x (a,b) = 0 = f y (a,b). Portato, f (x,y) f (a,b) 1 [ 2 f 2 x 2 (a,b)(x a) f x y (x a)(y b) + 2 ] f (a,b)(y b)2 y2 A equação acima revela que o sial de f (x,y) f (a,b) depede dos valores das derivadas parciais de seguda ordem. Além disso, rescrevedo a equação a forma matricial ota-se a

38 38 preseça da matriz hessiaa da fução f aplicada o poto (a,b): 2 f f (x,y) f (a,b) 1 [ ] x a y b x 2 (a,b) 2 f x y (a,b) [ x a 2 2 f x y (a,b) 2 f y 2 (a,b) y b ] [ x a ] Aida, podemos dizer que f (x,y) f (a,b) = v T H(a,b)v, ode v = trasposto. y b e v T seu Da Álgebra Liear se H(a,b) semi-defiida positiva, isto é, v T H(a,b)v 0 etão f (a,b) é um valor de míimo local. E f (a,b) será máximo local se H(a,b) for semi-defiida egativa, isto é, v T H(x,y)v 0. Além disso, f (a,b) será um poto de sela se existir um v tal que v T H(a,b)v < 0 e outro v tal que v T H(a,b)v > 0, isto é, H(x,y) é a matriz idefiida. Também, chamamos H(a,b) de defiida positiva se v T H(a,b)v > 0, e se v T H(a,b)v < 0, H(a,b) é dita defiida egativa. Recorredo, aida, a Álgebra Liear podemos avaliar a atureza do poto crítico através dos autovalores da hessiaa. Sejam λ 1, λ 2 os autovalores da hessiaa H(a,b), etão: 1. se os autovalores de H(a,b) são positivos, etão a hessiaa é defiida positiva e portato a fução possui um poto de míimo local. 2. se todos os autovalores de H(a,b) são egativos, etão a hessiaa é defiida egativa e portato possui um poto de máximo local. 3. se os autovalores de H(a,b) tem siais diferetes, etão a hessiaa é idefiida e portato possui um poto de sela. Etretato, o caso, para fuções defiidas em R 2 é mais cofortável avaliar a atureza do poto através do determiate da matriz hessiaa. Assim, vamos euciar um teorema que relacioa os potos de máximos e míimos via determiate. Teorema Supoha que as segudas derivadas de f sejam cotíuas em uma bola aberta cetrada em (a,b),e supoha que (a,b) seja poto crítico de f. Seja D = 2 f 2 [ x 2 (a,b) f 2 ] 2 y 2 (a,b) f x y (a,b)

39 39 D > 0 e 2 f (a,b) > 0, etão f (x,y) tem um míimo local em (a,b); x2 D > 0 e 2 f (a,b) < 0, etão f (x,y) tem um máximo local em (a,b). x2 D < 0, etão f (a,b) ão é em míimo em máximo local(é chamado poto de sela); isto é, Observação: Podemos justificar o teorema acima ecotrado os autovalores da hessiaa, e obtemos, det(h λi) = 0 λ 1 + λ 2 = 2 f x 2 (a,b) + 2 y 2 (a,b) λ 1 λ 2 = D Bem, se o determiate D é egativo os autovalores tem siais trocados e portato (a,b) é poto de sela em f. Logo, se D maior zero etão os autovalores tem mesmo sial, e também verifica-se que 2 f x 2 (a,b) e 2 f y 2 (a,b) têm mesmo sial. Assim, se 2 f x 2 > 0 etão λ 1,λ 2 > 0 e portato (a,b) é um poto de míimo local. Caso cotrário, se 2 f x 2 < 0 etão λ 1,λ 2 < 0 e portato (a,b) é um máximo local. Exemplo 9. Cosidere a fução f (x,y) = x 3 y 2 12x + 6y + 5, determie os potos ode ocorrem máximo e míimo. Solução: Primeiro é ecessário ecotrar os potos críticos de f, ou seja, ode as derivadas parciais de primeira ordem ão existem ou são iguais a 0.

40 40 f x (x,y) = 3x2 12 = 0 x = + 2 f (x,y) = 6 2y = 0 y = 3 x Os potos são ( 2,3) (2,3). Agora, calculado as derivas parciais de seguda ordem o determiate da matriz Hessiaa é: Para o poto (2,3) : H(x,y) = ( 6x ) = 12x H(2,3) = 12.2 = 24 < 0, portato o (2,3) ão tem máximo em míimo local, logo f (2,3) é um poto de sela. Para o poto ( 2,3) : H( 2,3) = 12.( 2) = 24 > 0 e f f ( 2,3) = 12 < 0. Logo, H( 2,3) > 0 e ( 2,3) < 0, x x etão f (2,3) é um máximo local. Exemplo 10. Agora, para fução f (x, y) = xse(y), temos: f (x,y) = se(y) y = kπ k iteiro x f (x,y) = xcos(y) = 0 x = 0 pois, cos(kπ) 0 y Logo o úico poto crítico é (0,kπ). As derivadas parciais são: Assim 2 f x 2 (x,y) = 0 f (x,y) = xcos(y) y2 2 f (x,y) = cos(y) x y

41 41 ( 0 cos(y) H(x,y) = cos(y) xse(y) ) = 0[ xse(y)] [cos(y)] 2 Portato H(0,kπ) = [cos(kπ)] 2 < 0, sedo assim, (0,kπ) ão é máximo e em míimo. Etão, f (0,kπ) é um poto de sela, para todo k iteiro. A seguir, temos o gráfico da fução f (x,y) próximo ao poto de sela (0,π). Assim pra determiada região da superfície (0, π) é poto de máximo, cotrapartida, pra determiada outra região é poto de míimo local. O gráfico foi produzido através do software Maple. Figura 3.2: Gráfico da fução xse(y) 3.3 Covergêcia de Métodos Iterativos Ecotrar raízes de uma fução em sempre é um processo simples. Etretato, a disciplia de Métodos Numérico em Cálculo são itroduzidos métodos que os auxiliam para tal objetivo. O método de Newto (ou Newto-Raphso) é um dos métodos mais cohecidos e eficietes para a solução de um problema raiz, isto é, f (x) = 0. Este método pode ser itroduzido de diversas maeiras. O mais comum é cosiderar a técica de modo gráfico. Outra possibilidade é usado a aproximação liear do poliômio de Taylor, ou aida, se desejar uma covergêcia mais rápida aproxima-se pelo poliômio quadrático de Taylor(seguda ordem) o qual deomiamos esse trabalho de Método de Halley.

42 Quato a covergêcia, se {x } x +1 α uma sequêcia que covirja para α e lim x α κ = λ, etão {x } coverge para α com ordem κ Covergêcia Quadrática do Método de Newto O Algoritmo do método de Newto é x +1 = x f (x ) f (x ) se f (x ) 0 existir, 0 De acordo com o teorema de Taylor, se f tem derivadas até a seguda ordem em um itervalo I e pode ser represetada pela expasão em toro de um poto próximo da raiz de f (x). E supohamos que α seja a raiz, etão pela fórmula de Taylor com resto de Lagrage, temos que para algum ξ que está etre x e α: como α é raiz etão f (α) = 0 e portato f (α) = f (x ) + f (x )(α x ) + f (ξ ) (α x ) 2 2 e assim 0 = f (x ) + f (x )(α x ) + f (ξ ) (α x ) 2 2 f (ξ )(α x ) 2 2 f (x ) = f (x ) f (x ) + (α x ) Relembrado que o método de Newto é: x +1 = x f (x ) f (x ) x +1 x = f (x ) f (x ) logo, substituido esse resultado a equação aterior obtemos: f (ξ )(α x ) 2 2 f (x ) = (x x +1 ) + (α x ) α x +1 = f (ξ )(α x ) 2 2 f (x )

43 43 além do mais, digamos que o erro seja E = α x e assim, E +1 = f (ξ ) 2 f (x ) E2 E +1 = f (ξ ) 2 f (x ) E 2 E+1 = f (ξ ) 2 f (x ) E 2 A covergêcia depede muito da escolha do x 0 iicial que deve ser próximo a raiz. Caso covirja como vimos ela é dita covergêcia quadrática Covergêcia Cúbica do Método de Halley Segudo a referêcia [8] o Método de Halley, similar ao de Newto, é um método para verificação de raiz. É um algoritmo para resolver a equação ão liear f (x) = 0 e cosiste em uma sequecia de iterações a partir de um poto iicial x 0 da seguite forma : x +1 = x desde que possua derivada até a terceira ordem. 2 f (x ) f (x ) 2[ f (x )] 2 f (x ) f (x ) Agora vamos supor que f seja cotíua e possua derivada de terceira ordem uma vizihaça próximo a α, tal que, f (α) = 0. E aida, se x está essa vizihaça, etão a partir do teorema de Taylor com resto de Lagrage podemos escrever: 0 = f (α) = f (x ) + f (x )(α x ) f (x )(α x ) f (ξ )(α x ) 3 (1) 0 = f (α) = f (x ) + f (x )(α x ) f (η)(α x ) 2 (2) para algum ξ e η existete etre α e x

44 44 E logo Etão multiplique (1) por 2 f (x ) e (2) por f (x )(α x ) e subtraia (2) de (1): 0 = 2 f (x ) f (x ) + 2[ f (x )] 2 (α x ) + f (x )(α x ) 2 + f (x ) f (ξ )(α x ) 3 f (x ) f (x ) f (x ) f (x )(α x ) 2 3 f (x ) f (η)(α x ) = 2 f (x ) f (x ) + 2[ f (x )] 2 f (x ) f (x )(α x ) ( f (x ) f (ξ ) + f (x ) f ) (η) (α x ) ( 2 f 2 f (x ) f (ξ ) 3 f (x ) f ) (η) (x ) f (x ) 6 = (2[ f (x )] 2 f (x ) f (x ))(α x ) α x = 2 f (x ) f (x ) 2[ f (x )] 2 f (x ) f (x ) 2 f (x ) f (ξ ) 3 f (x ) f (η) 12[ f (x )] 2 6 f (x ) f (α x ) 3 (x ) 2 f (x ) f (x ) Mas pelo método de Halley x +1 x = 2[ f (x )] 2 f (x ) f (x ) logo, α x +1 = 2 f (x ) f (ξ ) 3 f (x ) f (η) 12[ f (x )] 2 6 f (x ) f (α x ) 3 (x ) Tomado o erro E = α x, assim E +1 = 2 f (x ) f (ξ ) 3 f (x ) f (η) 12[ f (x )] 2 6 f (x ) f (x ) E 3 Portato, em outras palavras, a medida que aumeta a covergêcia do método etre um termo e seu aterior é cúbica. Claro, a covergêcia do método depede muito do x 0 iicial. Sedo assim, mais uma vez coseguimos estudar a covergêcia usado a fórmula de Taylor. 3.4 Equações Difereciais Ordiárias Ecotrar solução de uma equação diferecial ordiária liear em sempre é possível mediate a maipulação de fuções elemetares. O objetivo dessa seção é verificar que tais soluções são possíveis utilizado séries de Taylor. Isto é, admite-se que a equação diferecial ordiária

45 45 liear possui uma solução da forma y(x) = y () (x 0 ) (x x 0 ),! para um raio de covergêcia x x 0 < R. Mais especificamete, o objetivo é ecotrar solução em série de Taylor para uma equação diferecial de seguda ordem liear com coeficietes variáveis da forma A(x)y +B(x)y +C(x)y = 0, tal que, y = y(x). Esta equação é muito comum em determiados campos das físicas, por exemplo, a eletrostática. A maior dificuldade usado este método como solução é a recorrêcia de sucessivas derivadas implícitas Solução em série de Taylor ao redor de um poto ordiário Para o desevolvimeto desta seção é ecessário defiir poto ordiário e euciar um teorema sobre a existêcia de uma solução em série de Taylor para equação diferecial já citada. Esta seção foi elaborada a partir de [9] Defiição Seja A(x)y + B(x)y +C(x)y = 0, com y = y(x) e A, B e C poliômios sem fatores comus. Dizemos que x 0 é um poto ordiário da equação se A(x 0 ) 0, e um poto sigular se A(x 0 ) = 0. Teorema (Existêcia de soluções em série de Taylor). Se x = x 0 é um poto ordiário da equação diferecial y + P 1 (x)y + P 2 (x)y = 0 etão existe solução em série de Taylor ao redor do poto x = x 0 y(x) = y () (x 0 ) (x x 0 )! Observação: Segudo a referêcia a solução coverge para x x 0 < R, ode R é a distâcia de x 0 ao poto sigular mais próximo, e dizemos que a solução de y(x) é uma solução ao redor do poto ordiário x 0. Exemplo 11. Equação de Legedre: Esta equação ocorre pricipalmete em problemas com simetria esférica, por exemplo, em eletrostática. Tem a seguite forma: (1 x 2 )y 2xy + p(p + 1)y = 0,para p R (3.1)

46 46 O poto x 0 = 0 é um poto ordiário. Etão, procuramos uma solução em série de Taylor a x, ode a = y() (0).! tal que y(x) = Para x = 0 e sabedo que a 0 = y(0) e a 2 = y (0), temos 2! Derivado implicitamete a equação (3.1) em relação a x e aplicado o poto x = 0, obtémse : y (0) = p(p + 1)y(0) a 2 = p(p + 1)a 0 2! (1 x 2 )y 4xy + (p(p 1) 2)y = 0 y (0) = (p(p + 1) 2)y (0) (p + 2)(p 1) a 3 = a 1 3! Calculado a derivada de seguda ordem da equação (3.1) em relação a x: (1 x 2 )y (4) 6xy (3) + (p(p + 1) 6)y (2) = 0 y (4) (0) = (p + 3)(p 2)y (2) (0) (p + 3)(p + 1)p(p 2) a 4 = a 0 4! Derivado a equação acima ovamete em relação a x: que (1 x 2 )y (5) 8xy (4) + (p(p + 1) 12)y (3) = 0 y (5) (0) = (p + 4)(p 3)y (3) (0) (p + 4)(p + 2)(p 1)(p 3) a 5 = a 1 5! E assim cotiuamos recursivamete observado que existe uma padrão as derivadas tal y (+2) (0) = (p + + 1)(p )y () (0)

47 47 Em seguida substituido os valores dos coeficietes a y(x) = a x : y(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a x +... = p(p + 1) a 0 + a 1 x a 0 x 2 (p + 2)(p 1) a 1 x 3 2! 3! + (p + 3)(p + 2)p(p 1) a 0 x 4 (p + 4)(p + 2)(p 1)(p 3) + a 1 x ! 5! Todos os coeficietes foram determiados termos de a 0 e a 1. Assim, y(x) = a 0 [ 1 + a 1 [ x Logo, y(x) = a 0 y 1 (x) + a 1 y ( x), tal que p(p + 1) x 2 (p + 3)(p + 2)p(p 1) + 2! 4! (p + 2)(p 1) x 3 + 3! ] x 4... (p + 4)(p + 2)(p 1)(p 3) x ! ] p(p + 1) y 1 (x) = 1 x 2 (p + 3)(p + 2)p(p 1) + x ! 4! (p + 2)(p 1) y 2 (x) = x x 3 (p + 4)(p + 2)(p 1)(p 3) + x ! 5! As soluções y 1 (x) e y 2 (x) são liearmete idepedetes. Além disso, y 1 (x) ou y 2 (x) é uma solução para equação de Legedre. Isto é, se tomar respectivamete a 0 = 1 e a 1 = 0 ou a 0 = 0 e a 1 = 1 forma-se uma base para as soluções. Observação: No estudo de equações difereciais,a idepedêcia liear de y 1 (x) e y 2 (x) pode ser verificada através do calculo Wroskiao, ou seja, y 1 y 2 W(y 1,y 2 ) = y 1 y 0 2 e esse caso para x = 0 o Wroskiao W(y 1,y 2 ) 0. O próximo exemplo mostra que é possível ecotrar soluções com formas mais fechadas.

48 48 Exemplo 12. Ecotrar a solução geral da equação diferecial (2 + 4x 2x 2 )y 12(x 1)y 12y = 0 (3.2) Soluçao: Dado x = 1 é um poto ordiário. Etão, buscamos uma solução tal que y(x) = 1), para a = y() (1).! Além disso, simplificamos a equação dividido por 2, assim: a (x (1 + 2x x 2 )y + (6 6x)y 6y = 0 (3.3) Se x = 1 a equação (3.3), obtém-se: y (1) = 3y(1) a 2 = 3 2 a 0 temos: Agora derivado a equação (3.3) implicitamete em relação a x e aplicado o poto x = 1, (1 2x x 2 )y (3) + (8 8x)y 12y = 0 y (3) (1) = 6y (1) a 3 = a 1 Calculado a seguda derivada da equação (3.3): (1 2x x 2 )y (4) + (10 10x)y (3) 12y = 0 y (4) (1) = 10y (1) = 30y(1) a 4 = 5 4 a 0