UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERA DE AMPINA GRANDE ENTRO DE ENGENHARIA EÉTRIA E INFORMÁTIA UNIDADE AADÊMIA DE ENGENHARIA EÉTRIA PROGRAMA DE EDUAÇÃO TUTORIA PET Modelagem e Simulação de ircuios Eléricos Aluna: Bolsisa do Grupo PET-Elérica Orienador: Washingon. A. Neves Tuor: Edmar andeia Gurjão AMPINA GRANDE PB NOVEMBRO DE 7

2 Sumário MODEAGEM DOS OMPONENTES EEMENTARES 1. Inrodução...3. Méodos de Inegração Numérica Modelos Resisores Induores apaciores...5 SIMUAÇÃO DE IRUITOS EÉTRIOS INEARES 1. Inrodução...8. ircuio R Solução Analíica...9. Solução Numérica Roina no Maab Resulados ircuio R Solução Analíica Solução Numérica Roina no Maab Resulados ircuio R em paralelo Solução Analíica Solução Numérica Roina no Maab Resulados onclusões...3 REFERÊNIAS BIBIOGRÁFIAS...31

3 MODEAGEM DOS OMPONENTES EEMENTARES 1. Inrodução O esudo sobre Transiórios Eleromagnéicos em Sisemas de Poência se baseia em conceios básicos de circuios com parâmeros concenrados e em noções de propagação de ondas eleromagnéicas em circuios com parâmeros disribuídos. No cálculo de ransiórios eleromagnéicos e na simulação digial de circuios eléricos lineares, faz-se necessário converer as equações diferenciais que relacionam ensão e correne nos elemenos do circuio por relações algébricas. Nese maerial fornecemos um resumo sobre a modelagem dos componenes elemenares (resisor, induor e capacior) em circuios equivalenes discreos de Noron e Thévenin. Neses modelos, as fones represenam as informações da hisória do sisema.. Méodos de Inegração Numérica Os méodos de inegração numérica são de grande uilidade quando inegrais são difíceis ou aé mesmo impossíveis de serem resolvidas analiicamene. Eses méodos podem ser visos como uma aproximação da inegral por uma soma finia de ermos. Para o caso em esudo, consideremos a inegração de uma função f(τ) no empo. Primeiramene é necessário uma discreização no empo em inervalos regulares. Em seguida, uilizam-se os méodos de Euler Regressivo e Trapezoidal para enconrarmos a área abaixo de f(τ). A inerpreação gráfica e as fórmulas dessas inegrais são esquemaizadas a seguir. Figura 1.a Figura 1.b Figura 1. Inerpreação gráfica da inegração numérica da função f(τ) em um passo de discreização. 1.a) Méodo de inegração Euler Regressivo. 1.b) Méodo de inegração Trapezoidal. f ( τ ) dτ = f ( ) Equação 1.a f ( τ ) dτ = ) Equação 1.b [ f f ( ] Equação 1.a) Euler Regressivo. Equação 1.b) Trapezoidal. 3

4 3. Modelos A parir das fórmulas descrias acima, nós realizamos a modelagem de resisores, induores e capaciores. Eses modelos consisem em circuios equivalenes de Thévenin e de Noron, os quais são esquemaizados na figura abaixo. Figura. ircuios Equivalenes de Thévenin (à esquerda) e de Noron (à direia) Resisores onsidere um resisor linear e invariane com o empo, mosrado na figura 3, cuja equação caracerísica é dada por: v = Ri. Figura 3. Resisor linear e invariane no empo. A relação ensão/correne no resisor já é uma equação algébrica. Dese modo, o circuio equivalene discreo do resisor é ele próprio. 3.. Induores onsidere um induor linear e invariane com o empo, mosrado na figura 4, cuja equação di caracerísica é dada por: v = d. 4

5 Figura 4. Induor linear invariane no empo. A parir dos méodos de inegração numérica, nós podemos aproximar a ensão e a correne no induor por uma equação algébrica e enão deerminar um modelo discreo para o induor em um passo de empo. A seguir nós emos o desenvolvimeno da inegração numérica, uilizando primeiramene o méodo de Euler Regressivo e em seguida o Méodo Trapezoidal. Euler regressivo v v [ i ( )] ( τ ) dτ = di v = i = i i ( ) ou i = v i ( ) Trapezoidal v ( τ ) dτ = di [ v v ( ) ] = [ i i ( )] v = i v ( ) i ( ) i = v i ( ) v ( ) ou Observando as equações de diferença obidas acima, nós podemos concluir que o circuio depende do momeno presene e de momenos passados. Assim, nosso modelo deverá coner informações da hisória do induor. Os parâmeros associados às correnes ou às ensões auais podem ser modelados como resisores em série ou em paralelo. Já os parâmeros associados à hisória do circuio podem ser modelados como fones de ensão ou de correne ficícias. O modelo do circuio equivalene (Thévenin ou Noron) será escolhido de acordo com a equação uilizada. Após a análise das equações, nós obemos os resulados que esão exposos na abela abaixo. 5

6 Euler Regressivo Trapezoidal v ircuio de Thévenin ircuio de Noron V eq R eq I eq G eq i ( ) i ( ) ( ) i ( ) v ( ) i ( ) Tabela 1. Fones de ensão e de correne e resisores equivalenes apaciores onsidere um capacior linear e invariane com o empo, mosrado na figura 5, cuja equação dv caracerísica é dada por: i = d. Figura 5. apacior linear e invariane no empo. Realizando o mesmo procedimeno que foi uilizado na modelagem do induor, nós poderemos enconrar os modelos equivalenes de Thévenin e Noron para o capacior. A seguir, emos o desenvolvimeno da inegração numérica pelos méodos de Euler Regressivo e Trapezoidal. Euler regressivo i v [ v ( )] ( τ ) dτ = dv i = v = i v ( ) ou i = v( ) v( ) Trapezoidal i ( τ ) dτ = dv [ i i ( ) ] = [ v v ( )] v = i v ( ) i ( ) ou i = v v ( ) i ( ) Observando as equações de diferença acima, nós obemos os resulados que esão exposos na 6

7 abela a seguir. Euler Regressivo Trapezoidal v ircuio de Thévenin ircuio de Noron V eq R eq I eq G eq v ( ) v ( ) ( ) i ( ) v ( ) i ( ) Tabela. Fones de ensão e de correne e resisores equivalenes. 7

8 SIMUAÇÃO DE IRUITOS EÉTRIOS INEARES 1. Inrodução Para iniciarmos o esudo de ransiórios eleromagnéicos nós realizamos a simulação de circuios eléricos simples, cuja solução analíica é conhecida. om os conceios básicos da eoria de circuios eléricos, com o uso dos conhecimenos de méodos numéricos e dos resulados mosrados no ópico anerior, nós programamos roinas básicas no Maab para solucionarmos rês circuios: R, R e R paralelo. Os objeivos dese experimeno são: relaar a eficiência da modelagem dos componenes, demonsrar as qualidades da ferramena Maab na análise de circuios eléricos e inegrar os conceios da eoria de circuios eléricos e os méodos numéricos em uma aplicação da Engenharia Elérica.. ircuio R Os circuios R e R são ambém conhecidos como circuios de primeira ordem, pois suas ensões e correnes são definidas por equações diferenciais de primeira ordem. Para podermos compreender esa classificação, analisemos o circuio R da figura abaixo. Figura 6. apacior ligado a um circuio equivalene de Thévenin (à esquerda) e de Noron (à direia). Escolhemos o circuio equivalene de Noron do circuio ligado ao capacior para a análise por facilidade maemáica. Assim, aplicando a ei das orrenes de Kirchhoff no nó principal do circuio nós obemos a seguine equação: dv d v R = I S dv d v R = I S A solução desa equação represena a resposa de um circuio R a um degrau, ou seja, a resposa do circuio a uma variação brusca de correne ou de ensão. As soluções analíicas das resposas naural e a um degrau de um circuio R são abordadas na próxima seção. om o uso de um dos modelos para capaciores mosrados acima, nós podemos ransformar esa equação diferencial de primeira ordem em uma equação de diferenças. Assim, a parir de uma roina numérica nós poderemos deerminar a resposa ransiória do circuio R e realizar a simulação do circuio. O objeivo desa simulação é verificar a validade dos modelos obidos aneriormene e comparar os dois méodos de inegração uilizados. Para iso, nós implemenamos as duas soluções numéricas e a solução analíica. Os resulados e a roina serão explanados a seguir. O circuio R em esudo esá represenado na figura 7. 8

9 Figura 7. ircuio R: capacior ligado a um circuio equivalene de Thévenin..1. Solução Analíica Vamos deduzir a resposa naural de um circuio R a parir da análise do circuio abaixo. Primeiramene, supomos que a chave ficou na posição a por um longo empo, de forma que o circuio ainja o regime esacionário e que o capacior eseja compleamene carregado (v =V). Figura 8. ircuio R. No insane = a chave é deslocada da posição a para a b. Esa malha (figura 9) é o circuio que devemos analisar para obermos a resposa naural do circuio. Assim, aplicando a ei das orrenes de Kirchhoff na junção superior enre R e emos: dv d v R = Esa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O desenvolvimeno maemáico e a solução seguem abaixo. dv d v v dv 1 dx 1 = = d = dy R v R x R v V R = Ve v 1 ln = V R Figura 9. ircuio da figura 8 com chave na posição b. A resposa a um degrau é obida a parir da análise do circuio da figura 8 com a chave na 9

10 posição a. A equação diferencial ordinária já foi obida na seção anerior. Abaixo esá o desenvolvimeno maemáico e a solução de al equação. dv d v v I S 1 dx 1 = dv = S R R x RI R v RI S 1 ln = v = I S R V RI R S ( v RI ) = dy V S R ( V I R) e S A parir da relação ensão/correne para o capacior, nós podemos deerminar ambém a expressão para a correne nos dois casos (resposa naural e resposa a um degrau). Os resulados são mosrados na abela abaixo. Resposa narural Resposa a um degrau v Tensão no capacior orrene no capacior R v = Ve V R i = e R R = I S R ( V I S R) e V R i = I S e R Tabela 3. Resposa naural e resposa a um degrau para circuios R... Solução Numérica Para obermos a solução numérica precisamos subsiuir o capacior pelo seu modelo discreo equivalene e em seguida, a parir da manipulação do circuio, deerminar um circuio equivalene e suas equações. A parir de uma ransformação de fone no circuio da figura 7 nós obemos o primeiro circuio abaixo (equivalene de Noron ligado ao capacior). Subsiuindo o capacior pelo seu modelo discreo equivalene e simplificando o circuio (associação em paralelo de resisores) nós obemos o circuio final. Figura 1. Simplificação do circuio com o modelo discreo para o capacior. Observando o circuio nós escrevemos as seguines equações: 1

11 R eq 1 1 = R // R Geq = R R [ I I ( ) ] Req v = * i v = I ( ) R A equação para deerminar I (-) vai depender do méodo de inegração escolhido na modelagem do capacior. As condições iniciais são deerminadas pela análise do circuio. omo sabemos, não é possível a exisência de variações bruscas de ensão enre os erminais de um capacior, assim: v () = V i () = ( V v ()) ( V V ) R = R.3. Roina no Maab A seguir, esá a seqüência de comandos uilizada para implemenar as soluções numéricas e a solução analíica do circuio R em esudo. %Dados R=5; =1e-6; V=1; vc=; %onsane de empo do circuio e passo de discreização al=r*; d=al/1; %álculo do circuio equivalene de Noron (Euler) Rc=d/; Geq=1/R1/Rc; I=V/R; %ondições iniciais vce(1)=vc; vc(1)=vc; ice(1)=(v-vc)/r; ic(1)=(v-vc)/r; Ice(1)=-vce(1)/Rc; Ic(1)=-vc(1)/Rc-ic(1); %Méodo de Euler Regressivo for n=:1 vce(n)=(i-ice(n-1))/geq; ice(n)=vce(n)/rcice(n-1); Ice(n)=-vce(n)/Rc; end %álculo do circuio equivalene de Noron (Trapezoidal) Rc=d/(*); Geq=1/R1/Rc; %Méodo rapezoidal for n=:1 vc(n)=(i-ic(n-1))/geq; ic(n)=vc(n)/rcic(n-1); Ic(n)=-*vc(n)/Rc-Ic(n-1); end 11

12 %Méodo analíico =linspace(,1*al,1); ic=(i-vc/r)*exp(-/al); vc=i*r(vc-i*r)*exp(-/al); %Gráficos n=[1:1]; %As rês soluções figure(1), plo(n,ice*1^3,'r',n,ic*1^3,'b',/d,ic*1,'m') ile('orrene no apacior (ma)') legend('euler', 'Trapezoidal', 'Solução Analíica Ic'),pause figure(), plo(n,vce,'r',n,vc,'b',/d,vc,'m') ile('tensão no apacior (V)') legend('euler', 'Trapezoidal', 'Solução Analíica vc'),pause %As soluções numéricas figure(3), plo(n,ice*1^3,'r*-',n,vce,'r'),hold on, pause plo(n,ic*1^3,'b*-',n,vc,'b') ile('soluções Numéricas') legend('euler (ma)', 'Euler (V)', 'Trapezoidal (ma)', 'Trapezoidal (V)'),pause%Euler e solução analíica figure(4), plo(n,ice*1^3,'r*-',n,vce,'r',/d,ic*1,'b*-',/d,vc,'b') ile('méodo de Euler Regressivo X Solução Analíica') legend('euler (ma)', 'Euler (V)', 'Solução Analíica (ma)',... 'Solução Analíica (V)') %Trapezoidal e solução analíica figure(5), plo(n,ic*1^3,'r*-',n,vc,'r',/d,ic*1,'b*-',/d,vc,'b') ile('méodo de Trapezoidal X Solução Analíica') legend('trapezoidal (ma)', 'Trapezoidal (V)', 'Solução Analíica (ma)',... 'Solução Analíica (V)').4. Resulados A seguir, as curvas obidas na simulação para a ensão e a correne no capacior. O passo de discreização é de 5 microssegundos, sendo esa a escala de empo nos gráficos (1unid. 5 µs). 1

13 Gráfico 1. orrene versus Tempo. Unidade de empo: 5 microssegundos. Gráfico. Tensão versus Tempo. Unidade de empo: 5 microssegundos. 13

14 Os próximos gráficos comparam as soluções numéricas enre si, e as soluções numéricas com a analíica. Gráfico 3. omparação das soluções numéricas. Gráfico 4. omparação do Méodo de Euler com a Solução Analíica. 14

15 Gráfico 5. omparação do Méodo Trapezoidal com a Solução Analíica. Observando os gráficos obidos, concluímos que os méodos Euler Regressivo e Trapezoidal e o passo de discreização adoado (um décimo da consane de empo do circuio) foram suficienes para obermos uma solução numérica saisfaória. Nós podemos consaar ambém que a curva obida pelo méodo Euler Regressivo se ajusa melhor à curva da solução analíica nos primeiros passos de discreização, enquano que o méodo Trapezoidal converge mais rapidamene para a solução. A parir deses resulados, nós concluímos que o uso dos dois méodos de forma adequada oimizaria a solução numérica. Ese procedimeno será uilizado na análise do ircuio R. 3. ircuio R omo foi dio, o circuio R é conhecido como circuio de primeira ordem porque suas ensões e correnes são descrias por equações diferenciais de primeira ordem. Primeiramene, analisemos o circuio abaixo. Figura 11. Induor ligado a um circuio equivalene de Thévenin (à esquerda) e de Noron (à direia). 15

16 Por facilidade maemáica, escolhemos o circuio equivalene de Thévenin ligado ao induor para análise. Aplicando a ei das Tensões de Kirchhoff, nós obemos: di Ri = V d di R i d S = omo podemos perceber as equações diferenciais envolvidas na análise de circuios R e R são semelhanes (observe a equação obida na seção ). Assim, será realizada uma abordagem geral para deerminar as resposas deses circuios. De acordo com as equações visas, a equação diferencial que descreve qualquer um dos quaro circuios (equivalenes de Thévenin e de Noron ligados a capaciores e induores) é dada por: dx x = K onde x( ) é a grandeza desconhecida. d τ omo as fones do circuio são fones cc, o valor final de x deve ser uma consane que saisfaça a equação acima e o valor de dx/d será nulo. Assim, emos que: x f = Kτ. Agora, uilizando o méodo de separação de variáveis, nós obemos a solução para a equação geral. dx x = K d τ x( ) x( ) du u x dx d f = 1 = τ ( x Kτ ) dx ( x x f ) τ d d x( ) = x = f τ V S [ x( ) x ] f e dx x x ( ) τ f 1 = d τ A solução geral para as resposas dos circuios R e R escria em forma verbal é: O circuio que esudaremos esá especificado na figura 1. Figura 1. ircuio R: equivalene de Thévenin ligado a induor. 16

17 3.1. Solução Analíica Uilizaremos a abordagem geral para deerminarmos as resposas naural e a um degrau do circuio R. Primeiramene, nós deerminaremos a equação para a correne no induor, e em seguida, a parir da equação caracerísica para o induor, nós oberemos a equação para a ensão. Nese caso, a variável desconhecida será a correne no induor e enão precisamos deerminar o valor inicial e o valor final, bem como o insane da comuação da chave e a consane de empo. Para nosso esudo, consideraremos que o insane de comuação é =s. O esado inicial é dado por il()=il e o valor da consane de empo para circuios R é dada por: τ =. Quando o R induor compora-se como um curo-circuio, e assim, calculamos o esado final para o caso da resposa naural e da resposa a um degrau. resposa naural : il resposa a um derau : f =. il f = V R. om esas informações nós obemos as soluções exposas na abela 4. Resposa naural Tensão no induor ( R ) v = RI e orrene no induor ( R ) i = I e Resposa a um degrau ( R ) ( V RI ) e v = V V ( R R S S S ( R ) i ) = I e Tabela 4. Resposa naural e resposa a um degrau para circuios R. 3.. Solução Numérica O procedimeno para obermos a solução numérica é o mesmo uilizado na simulação do circuio R. Primeiramene subsiuímos o induor por seu modelo discreo equivalene, em seguida realizamos algumas simplificações no circuio e enão, a parir de uma análise, obemos as equações para a correne e ensão no induor. O procedimeno de análise esá demonsrado passo a passo na figura a seguir. Figura 13. Simplificação do circuio com modelo discreo para o induor. 17

18 Observando o circuio nós escrevemos as seguines equações: R eq 1 1 = R // R Geq = R R [ I I ( ) ] Req v = * v i = I ( ) R A equação para deerminar I (-) vai depender do méodo de inegração escolhido na modelagem do induor. Agora, analisemos as condições iniciais do circuio. Nós sabemos que não é possível a exisência de variações bruscas de correne nos erminais de um induor e, porano, a correne inicial é a correne armazenada no induor. i ( ) = il = V Ril v () = V Ri () omo já foi ciado na seção anerior, a roina de simulação do circuio R irá uilizar os dois méodos na solução. O méodo de Euler Regressivo será uilizado apenas nos primeiros inervalos de empo, enquano que o modelo Trapezoidal será uilizado no resane da simulação. Para verificarmos a eficiência do uso dos dois méodos, nós iremos simular rês siuações: apenas o Trapezoidal, rês e quinze inervalos iniciais com o Euler Regressivo Roina no Maab A seqüência de comandos uilizados no Maab esá exposa a seguir. %Dados R=5; =5e-3; V=5; il=; %onsane de empo e passo de discreização al=/r; faor=1; d=al/faor; %ircuio Equivalene de Noron (Euler) Rl=/d; Geq=1/R1/Rl; I=V/R; %ondições iniciais il(1)=il; vl(1)=v-r*il(1); Il(1)=il(1); %Méodo de Euler Regressivo for n=:3 vl(n)=(i-il(n-1))/geq; il(n)=vl(n)/rlil(n-1); Il(n)=il(n); end %ircuio Equivalene de Noron (Trapezoidal) Rl=*/d; Geq=1/R1/Rl; I=V/R; 18

19 %Méodo Trapezoidal for n=3:1*faor vl(n)=(i-il(n-1))/geq; il(n)=vl(n)/rl Il(n-1); Il(n)=(/Rl)*vl(n)Il(n-1); end %Solução analíica =linspace(,1*al,1); ila=i(il-i)*exp(-/al); vla=(v-il*r)*exp(-/al); %Gráficos n=[1:1*faor]; figure(1),plo(n-1,il*1^3,'b'), hold on plo(/d,ila*1^3,'r') ile('ircuio R orrene no Induor (ma)') legend('solução Numérica', 'Solução Analíica'), pause figure(),plo(n-1,vl,'b'), hold on plo(/d,vla,'r') ile('ircuio R Tensão no Induor (V)') legend('solução Numérica', 'Solução Analíica'); 3.4. Resulados Os gráficos a seguir comparam as soluções numéricas obidas na simulação com a solução analíica do circuio. 19

20 Gráfico 6. orrene versus Tempo. Solução Trapezoidal. Gráfico 7. Tensão versus Tempo. Solução Trapezoidal.

21 Gráfico 8. orrene versus Tempo. Quinze inervalos iniciais com o Euler. Gráfico 9. Tensão versus Tempo. Quinze inervalos iniciais com o Euler. 1

22 omo podemos observar nos gráficos acima, a solução obida uilizando o méodo de Euler Regressivo reduziu os erros nos inervalos iniciais. No enano, as divergências enre as soluções aumenaram nos inervalos seguines. Para melhorarmos esa simulação nós realizamos uma pequena modificação na roina. Nós reduzimos o número de inervalos que uilizam o Méodo de Euler Regressivo e assim, nós aperfeiçoamos a solução. Os erros iniciais foram menores e a solução numérica convergiu rapidamene para a solução analíica, assim como na solução com o Méodo Trapezoidal. Nesa simulação, nós uilizamos o Méodo de Euler Regressivo nos rês passos iniciais e o Trapezoidal nos demais. Os gráficos 1 e 11 comparam as soluções. Gráfico 1. orrene versus Tempo. Três inervalos iniciais com o Euler.

23 Gráfico 11. Tensão versus Tempo. Três inervalos iniciais com o Euler. 4. ircuio R Paralelo Em um circuio paralelo R é preferível que se deermine primeiramene a ensão, pois esa é a mesma para odos os componenes do circuio. Poseriormene é possível ober as correnes nos ramos aravés do uso da lei de Ohm para o ramo resisivo e aravés de soluções análogas para os ramos induivo e capaciivo. É imporane relembrar da exisência de rês ipos de resposas ransiórias obidas a parir de um circuio R, esas são: a resposa subamorecida, a reposa superamorecida e a resposa criicamene amorecida. A solução de um circuio R em paralelo a um degrau é obida por uma abordagem direa a parir da reposa naural e pode ser escria da seguine forma: i = I f v = V f { função da mesma forma que a resposa naural} { função da mesma forma que a resposa naural} Para ese experimeno nós iremos simular rês siuações, de al forma que possamos verificar as resposas subamorecida, superamorecida e criicamene amorecida. O modelo de circuio uilizado e os parâmeros dos componenes seguem na figura 14. 3

24 Figura 14. ircuio R em paralelo, parâmeros: R=4, 5, 65Ω; =5uH; =5nF Solução Analíica Para obermos a resposa a um degrau do circuio paralelo R em esudo, iremos primeiramene deduzir a resposa naural e a parir da abordagem direa deerminar a solução desejada. Assim, analisemos o circuio da figura 14 (com a chave fechada). Somando odas as correnes que saem do nó superior, nós obemos a seguine equação diferencial para a ensão: v R 1 dv vdτ I = d Para eliminar a inegral realizamos a diferenciação em relação ao empo de oda a equação. Em seguida, normalizamos o coeficiene da derivada de segunda ordem. omo podemos observar, nos deparamos com uma equação diferencial ordinária de segundo grau, o que jusifica a denominação de circuios de segunda ordem para circuios R. d d v 1 dv d 1 dv v d v vdτ I = R d d R d d d v 1 dv v = d R d [ ] = O méodo de solução para equações dese ipo é o méodo da equação caracerísica. Primeiro, supomos que a solução é uma exponencial. Assim, subsiuímos a solução na equação e obemos a expressão: v = Ae S subsiuindo As e S As R e S S Ae = Ae S s s R 1 = Esa expressão só será saisfaória para odos os valores de se A for nulo ou enão se o ermo enre parêneses for nulo, já que a exponencial nunca é nula. ogo emos que: s s R 1 = Esa equação é denominada equação caracerísica, daí o nome do méodo. omo podemos observar, eremos duas soluções para a equação, uma para s=s 1 e oura para s=s. Já é sabido que 4

25 para equações diferenciais ordinárias lineares a combinação linear de duas soluções ambém é uma solução. Enão, a forma mais geral é dada por: v = A e S1 1 A abela abaixo mosra os parâmeros da resposa naural dos circuios R em paralelo. A e S PARÂMETRO Parâmeros da Resposa Naural dos ircuios R em Paralelo NOME VAOR NA RESPOSTA NATURA s 1,s α ω o Raízes da equação caracerísica Freqüência de Neper Freqüência angular de ressonância s s = 1 α α ω = α α ω α = ϖ = 1 R 1 Tabela 5. Parâmeros da resposa naural: circuios R paralelo. omo podemos ver, as raízes s 1 e s dependem apenas dos valores de α e ω. Se ω < α as raízes são dois números reais e disinos, e dizemos que a resposa é superamorecida. Se ω = α as raízes são reais e iguais, e a resposa é dia criicamene amorecida. Se ω > α as raízes são complexas e conjugadas, nese caso a resposa é subamorecida. A forma geral das resposas superamorecida, criicamene amorecida e subamorecida são esquemaizadas na abela a seguir. Forma Geral da Resposa Naural ircuio R em paralelo S1 S Resposa Superamorecida v = A e A e Resposa riicamene amorecida Resposa Subamorecida α α 1 cosϖ d Be senϖ d onde : 1 v = B e ϖ = ω α v( ) α α = D1e De Tabela 6. Rresposa naural: circuios R paralelo. As consanes das expressões são deerminadas a parir das condições iniciais do circuio. Aravés da abordagem direa e dos parâmeros do circuio em esudo, nós obemos as soluções analíicas que serão usadas na simulação. Esas expressões são mosradas na abela abaixo. d 5

26 Soluções Analíicas 8 v( ) = 16 e e V 8 Superamorecida ( ) i = ( 4 3e 8e )ma 4 v( ) = ( 96e ) V riicamene amorecida Subamorecida 4 4 i = ( 4 96e 4e )ma 3 ( 4e sen(4 )) v( ) = V 3 3 i = ( 4 4e cos(4 ) 3e sen(4 )ma Tabela 7. Soluções Analíicas: circuio em esudo. 4.. Solução Numérica Para a realização da simulação do circuio em esudo, nós uilizamos os modelos equivalenes de Noron para induores e capaciores, obidos a parir da inegração rapezoidal. Em seguida, nós manipulamos o circuio discreo equivalene para faciliar a implemenação da solução numérica. O circuio discreo e o circuio final enconram-se logo abaixo. Figura 15. ircuio discreo equivalene ao circuio em esudo e circuio final, após manipulações. Analisando o circuio final, nós podemos deerminar a equação para a ensão e as condições iniciais. A equação para a resisência equivalene oal do circuio e a equação para o cálculo da ensão no nó principal do circuio esão abaixo Req = R // R // R Geq = R R R ( I I ( ) I ( ) ) Req v = * onsiderando as caracerísicas dos induores e capaciores e uilizando as eis de Kirchhoff, nós obemos as expressões para as condições iniciais. v = = i ( ) v i () i v() = I i R v = I R i ( ) () () i 4.3. Roina no Maab A seguir, esá exposa a seqüência de comandos uilizada no Maab para implemenar a simulação do circuio R em paralelo. 6

27 %Dados R=4; =5e-3; =5e-9; I=4e-3; vc=; il=; %Passo de discreização d=e-6; %Modelagem Rl=*/d; Rc=d/(*); Geq=1/Rl1/Rc1/R; %ondições Iniciais v(1)=vc; il(1)=il; ic(1)=i-v(1)/r-il(1); Il(1)=v(1)/Rlil(1); Ic(1)=-v(1)/Rc-ic(1); %Solução Numérica for n=:1 v(n)=(i-ic(n-1)-il(n-1))/geq; il(n)=v(n)/rlil(n-1); ic(n)=v(n)/rcic(n-1); Il(n)=*v(n)/RlIl(n-1); Ic(n)=-*v(n)/Rc-Ic(n-1); end %Gráficos n=[1:1]; figure(1), plo(n-1,v),hold on ile('solução Numérica') figure(), plo(n-1,il),hold on ile('solução Numérica') om os valores de enrada uilizados acima nós obemos a resposa subamorecida do circuio. Para obermos as demais soluções, basa subsiuir o valor de enrada do resisor (R) para 5Ω e 65Ω, e em seguida repeir a roina Resulados Os gráficos a seguir mosram as soluções numéricas das resposas subamorecida, superamorecida e criicamene amorecida para o circuio R em paralelo em esudo. O gráfico 1 represena a ensão de nó do circuio e o gráfico 13 represena a correne no ramo induivo. 7

28 Gráfico 1 Tensão versus Tempo (a ensão de nó do circuio). Unidades de ensão e de empo: Vol (V); microssegundos (µs). Gráfico 13 orrene versus Tempo (correne no induor). Unidades de correne e de empo: miliampères (ma); microssegundos (µs). 8

29 Apesar de verificarmos que as curvas obidas numericamene correspondem ao esperado, é preciso realizar uma comparação gráfica enre as soluções analíicas e numéricas, de al forma que possamos concluir com precisão a validade do méodo. Eses gráficos seguem abaixo. Gráfico 14 omparação do méodo numérico com a solução analíica. 9

30 Gráfico 15 omparação do méodo numérico com a solução analíica. 5. onclusões Pelos resulados obidos, nós podemos confirmar a eficiência desa écnica de solução apresenada por Hermann V. Dommel e, porano, verificar a imporância do uso dese méodo de análise no esudo em ransiórios eleromagnéicos. É imporane ambém que alunos ineressados no cálculo de ransiórios eleromagnéicos compreendam a necessidade do conhecimeno sobre os méodos numéricos. Desa forma, será possível enender o funcionameno de simuladores e assim, faciliar seu uso. Por fim, nós concluímos que as simulações foram saisfaórias e que os objeivos principais foram aingidos. 3

31 REFERÊNIAS BIBIOGRÁFIAS ARAÚJO, Anonio E. A. de; NEVES, Washingon.. A. álculo de Transiórios Eleromagnéicos em Sisemas de Energia. Belo Horizone: UFMG, 4. DOMME, H. W. Digial ompuer Soluion of Elecromagneic Transiens in Single- and Muli-Phase Neworks. IEEE Transacions on Power Apparaus and Sysems, Vol. PAS-88, pp , Abril, NISSON, James W.; RIEDE, Susan A. ircuios Eléricos. 5. ed. Rio de Janeiro: T Ediora, PIAGE, awrence T.; ROHRER, Ronald A.; VISWESWARIAH, handramouli. awrence T. Pillage: Elecronic circui and sysem simulaion mehods. Nova Iorque: McGraw-Hill, ZANETTA JÚNIOR, uiz era. Transiórios Eleromagnéicos em Sisemas de Poência. São Paulo: Ediora da Universidade de São Paulo, 3. 31