Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos. Capítulo V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)

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1 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo DISIPINA Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos apítulo V : Equações Difereciais Parciais (EDP) José uiz de Medeiros e Ofélia Q.F. Araújo Egeharia Química UFRJ jlm@eq.ufrj.br, ofelia@eq.ufrj.br el

2 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte As EDP- (Eq. Difereciais Parciais de Ordem ) surgem a aplicação de Pricípios de oservação (p.e., Massa, Eergia, Quatidade de Movimeto) o estudo de Feômeos de rasporte aturais, como rasferêcia de Massa, rasferêcia de alor, rasferêcia de Mometum, etc. A abordagem básica para costrução de EDP-, cosiste em: (i) Descrever matematicamete o Pricípio de oservação em questão, em coexão com a geometria do Domíio Físico (o R, R 3, etc) ode o feômeo ocorre; (ii) Itroduzir expressão feomeológica para o(s) Fluxo(s) de rasporte pertietes em termos das variáveis depedetes; (iii) Operar algebricamete o Pricípio de oservação com a feomeologia dos Fluxos, resultado EDPs as variáveis depedetes em termos das variáveis idepedetes.

3 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo t x r y z Ψ ( t,r ) Ω( Ψ ) ρ Γ Σ Φ Exemplo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte Defiições Básicas para EDPs de O() Variáveis e Domíios Ω Ω :Variável : Pr opriedade : Desidade de Ω ( Ω / V ) : Superfície Extera Fechada de Γ :Vetor : Fluxo de rasporte de Ω : Ω Eergia ρ :Variáveis Normal Uitário a Σ orietado Desidade Depedete Itera de Ψ emperatura ( K ), Φ Ω :Variável Fluxo érmico Idepedete empo Idepedetes Escalar ( kj ), Eergia ( kw / fução do tempo ( t ) e com Pr icípio m oordeadas ( kj ), / m 3 Espaciais de : Domíio Espacial (Vol. de otrole ) o R Ω para o exterior de Σ Número oservação, 3 de posição ( r ) para artesiaas gmols fução deψ ( t,r ) feômeo de " A" de ), ocetração de " A" ( gmol / m ocetração de " A" ( gmol / m trasporte Fluxo Difusivo de " A" ( gmol / s.m 3 3 ) ) ) 3

4 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte Defiições Básicas para EDPs de O() Operadores Vetoriais 4 (.) x (.) (.) y (.) z (.) (.) x x + (.) y y + (.) z z : Operador : Operador Gradiete em oordeadas artesiaas Divergêcia sobre ampo Vetorial (.) (.) (.) (.) x + (.) y + (.) z : Operador aplaceao sobre ampo Escalar (.)

5 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte 5 Defiições Básicas para EDPs de O() Domíio Físico Φ Γ Σ

6 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo d dt Γ. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte Pricípio de oservação Propriedade Escalar sem Geração Γ ρ Ω.d 3 Γ ( Φ Ω ).d Σ Admitido Γ ostate ρ Ω 3 t.d Γ ( Φ Ω ).d Σ eorema da Divergêcia (Gauss) para Γ Simplesmete oexa Σ Σ a b 6 Γ Φ Ω d 3 Γ ( Φ Ω ).d Σ Σ c

7 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte Pricípio de oservação sem Geração Após eor. de Gauss 7 Γ t ρ Ω 3.d Γ Φ Ω d 3 Γ Equivaletemete, temos : Γ ρ t Ω + Φ Ω d 3 Γ omo este resultado vale idepedetemete do tamaho e forma de Γ, o itegrado deve ser ulo por toda parte : Γ a b ρ Ω + t Φ Ω c

8 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte Pricípio de oservação sem Geração Após eor. de Gauss 8 Γ t ρ Ω 3.d Γ Φ Ω d 3 Γ Equivaletemete, temos : Γ ρ t Ω + Φ Ω d 3 Γ omo este resultado vale idepedetemete do tamaho e forma de Γ, o itegrado deve ser ulo por toda parte : Γ a b ρ Ω + t Φ Ω eva à EDP após etrada de Φ Ω e Operação da respectiva Divergêcia c

9 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte Pricípio de oservação sem Geração 9 ρ Ω + t Φ Ω Exemplo 5. : odução de alor em Sólidos Ω Eergia Itera ( kj ) Ψ emperatura ( K ) Φ K Ω K : Fluxo odutivo ( kw / m ρω P. ρ. t t ap. calorífica molar Desidade molar P ( kj / ρ ( gmol / m 3 ) via ei odutividade érmica ( kw / K.m ) cost. gmol.k ) cost. ) cost. de Fourier

10 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte Exemplo 5. : odução de alor em Sólidos + t ρ Ω Φ Ω ( ) +.. K t P ρ K t P.. ρ t α ) / ( s m érmica Difusividade K P ρ α + + z y x t α Equação da odução rasiete de alor 3

11 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte Pricípio de oservação sem Geração ρ Ω + t Φ Ω Exemplo 5. : otra-difusão Biária A+B de Massa Ω Número de Mols de " A" ( gmol ) Ψ ρ Φ D Ω Ω AB ρ t Ω A D : ocetração de " A" ( gmol / A : ocetração de " A" ( gmol / AB : Fluxo Difusivo de " A" ( gmol / Difusividade de " A" em " B" t A A ( m m 3 m ) 3 ) / s ) cost. s.m ) via ei de Fick da Difusão

12 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. Desevolvimeto de EDPs em Feômeos de rasporte + t ρ Ω Φ Ω ( ) + A AB A D t A AB A D t A AB A D t ) / ( " " " " s m B em A de D AB Difusividade + + z y x D t A A A AB A Equação da Difusão (otra-difusão) de Massa Exemplo 5. : otra-difusão Biária A+B de Massa 4

13 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem 3 Esquematizamos a lassificação de EDP- iear Geral em termos de Variável Depedete Ψ e Vetor de Variáveis Idepedetes x. Ψ ( x ) :Variável Depedete da EDP x x x M x :Vetor de Variáveis Idepedetes ( p.e. t,x, y,z )

14 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem 4 EDP- iear Geral em Variável Depedete Ψ e Variáveis Idepedetes x. i j A Ψ Ψ + ij ( x ) B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi

15 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem 5 EDP- iear Geral Não-Homogêea em Variável Depedete Ψ e Variáveis Idepedetes x. i j A Ψ Ψ + ij ( x ) B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi oeficietes ão depedem da Variável Depedete ψ Simetria A ij (x) A ji (x) os oeficietes de O(). Mesmo que ão exista poderá ser imposta.

16 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem 6 EDP- iear Geral Não-Homogêea em Variável Depedete Ψ e Variáveis Idepedetes x. i j A Ψ Ψ + ij ( x ) B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi Maior Ordem de Derivação da Var. Depedete

17 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem 7 EDP- iear Geral Não-Homogêea em Variável Depedete Ψ e Variáveis Idepedetes x. i j A Ψ Ψ + ij ( x ) B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi ermo de Não-Homogeeidade

18 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem 8 EDP- iear Geral Não-Homogêea em Variável Depedete Ψ e Variáveis Idepedetes x. i j A Ψ Ψ + ij ( x ) B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi Ψ D( x ) odo problema de EDP- pode ser visto como um problema de iversão de um Operador Fucioal levado Ψ em D(x) i j (.) (.) A + ij ( x ) B i( x ) + ( x )(.) x x x i j i i

19 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem 9 EDP- iear Geral Não-Homogêea em Variável Depedete Ψ e Variáveis Idepedetes x. i j A Ψ Ψ + ij ( x ) B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi A( x ) A A M A A A A M O A A A M { A A Simétrica B( x ) B B M B

20 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem EDP- iear Geral Não-Homogêea em Variável Depedete Ψ e Variáveis Idepedetes x. i j A Ψ Ψ + ij ( x ) B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi D( x ) A, B, Não aracter de depedem da Variável Depedete A( x ) det er mi a o tipo da EDP EDP Homogêea EDP iear

21 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem EDP- iear Geral Não-Homogêea em Variável Depedete Ψ e Variáveis Idepedetes x. i j A Ψ Ψ + ij ( x ) B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi aracter A( x ) A( x ) egativa defiida ( autovalores <, x Γ ) A( x ) de A( x ) para x det er mi a tipo positiva defiida ( autovalores >, x Γ ) positiva semidefiida ( autovalores, x Γ ) A( x ) egativa semidefiida ( autovalores, x Γ ) A( x ) idefiida ( autovalores >, <, em Γ ) o da EDP EDP EDP EDP EDP Elíptica EDP Elíptica Hiperbólica Parabólica Parabólica

22 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem Exemplo 5.3 : lassificar a EDP- da odução de alor em Estado Estacioário (E.E.) x + y + z orrespode à Eq. ( 3 ) com t Resolução ohecida como a Equação de aplace

23 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem 3 x + y + z Variável Depedete :, x Variáveis Idepedetes : y z ermo O( ) : A, ermo O() : B ermo O( ) :, Não Homogeeidade : D. EDP é iear Homogêea com oeficietes os ta tes.

24 4 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem z y x + + Elíptica EDP Defiida Positiva A é Autovalores ) ( arac. Eq. ipo : o lassificado 3 3 λ λ λ λ λ λ λ z y x : Idepedetes Variáveis, Depedete : Variável

25 5 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem Exemplo 5.4 : lassificar a EDP- da odução de alor em Estado rasiete Resolução + + z y x t α

26 6 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem z y x t : Idepedetes Variáveis, Depedete : Variável z y x t α os ta tes. com oeficietes Homogêea iear é EDP. D : Homogeeidade Não, O( ) : ermo B O() : ermo, A O( ) : ermo α α α

27 7 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem Parabólica EDP Semidefiida Positiva A é, Autovalores ) ( arac. Eq. ipo : o lassificado α λ λ λ λ α λ λ λ α λ α λ α λ z y x t : Idepedetes Variáveis, Depedete : Variável z y x t α

28 8 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem Exemplo 5.5 : lassificar a EDP- da Oda em 3 oordeadas Espaciais Resolução + + z y x a t Ψ Ψ Ψ Ψ ohecida como a Equação da Oda 3D

29 9 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem z y x t : Idepedetes Variáveis, Depedete : Variável Ψ os ta tes. com oeficietes Homogêea iear é EDP. D : Homogeeidade Não, O( ) : ermo B O() : ermo, a a a A O( ) : ermo z y x a t Ψ Ψ Ψ Ψ

30 3 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo. lassificação de EDPs ieares de Ordem Hiperbólica EDP Idefiida A é a, Autovalores ) a )( ( a a a arac. Eq. ipo : o lassificado λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ z y x a t Ψ Ψ Ψ Ψ z y x t : Idepedetes Variáveis, Depedete : Variável Ψ

31 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis 3 O Método de Separação de Variáveis MSV, ecotra aplicação em EDP- ieares e de oef. ostates, referetes a domíios fiitos, ou semi-ifiitos, sob certos tipos de codições de cotoro como as codições de cotoro lieares e homogêeas a variável depedete e sua derivada. Assim, podemos dizer que é ecessário que os seguites requisitos estejam atedidos para utilização do MSV: [] EDP- iear ou com oeficietes ostates [] odições de otoro ieares evolvedo a Variável Depedete e/ou suas Derivadas de Ordem as variáveis idepedetes.

32 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis 3 Desta forma, o MSV pode ser usado com EDP- Elíptica, Parabólica ou Hiperbólica, sejam elas Homogêeas ou ão. Em essêcia, o caso mais simples de EDP- de oeficietes ostates, o que restrige a aplicação do MSV é apeas a atureza das codições de cotoro e a topologia do domíio físico do problema. odições de otoro ieares (a variável depedete) e Homogêeas tedem a favorecer a utilização do MSV. O MSV utiliza os coceitos de Famílias de Fuções Ortogoais, Séries de Fourier e Problemas Sturm-iouville (PS).

33 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis O pricípio básico do MSV cosiste em escrever-se a solução da variável depedete como um produto de fuções, cada uma delas expressa em apeas uma das variáveis idepedetes. Por exemplo a EDP- geral abaixo : 33 i j A Ψ Ψ ij ( x ) + B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ) xix j i xi Aplicar a Separação de Variáveis, cosiste em escrever-se a fatoração seguite para a Solução da Variável Depedete : Ψ ( x ) X i( xi ) X( x )* X ( x )*...* X ( x i O problema passa a ser obter solução para cada uma das ovas variáveis depedetes separadas X k ( x k ). )

34 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis 34 A Separação é substituída a EDP-. Se é possível aplicar o MSV, o quadro resultate deverá levar a Problemas de otoro PV parcialmete ou totalmete desacoplados em cada uma das variáveis da Separação. Um PV totalmete desacoplado tem suas EDO- e odições de otoro devidamete isoladas da EDP- origial. Em PV parcialmete desacoplado, as codições de cotoro ão são, por exemplo, isoladas a variável idepedete respectiva. Para ser viável a aplicação MSV, só poderá haver um PV parcialmete desacoplado. odos os demais deverão ser totalmete desacoplados.

35 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis 35 Sedo possível aplicar o MSV, os PVs totalmete desacoplados ou terão solução direta ou serão PSs. A resolução MSV iicia-se por estes PVs totalmete desacoplados ou PSs; isto é, PVs com EDO- iear e Homogêea + odições de otoro ieares e Homogêeas. Ao resolver-se o PS para a i-ésima variável idepedete ( x i ), obtém-se uma Família Ortogoal de Fuções em x i. Isto defie o o termo geral da cotribuição de x i a composição da variável depedete através da Separação proposta : Ψ ( x ) X i( xi ) X( x )* X ( x )*...* X ( x i )

36 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis 36 Por último, ataca-se o PV gerado a Separação que ão é PS ou que se ecotra apeas parcialmete desacoplado; isto é, este PV dispõe de codições de cotoro ão homogêeas sem possibilidade de separar da EDP- origial. Neste estágio, a imposição das odições de otoro Não Homogêeas citadas acima, deverá dar origem a uma Série de Fourier em uma ou várias variáveis idepedetes costruída com as Fuções-Base que surgiram a resolução dos PSs ateriores totalmete separados. Obtém-se a solução da EDP- sob a forma de série ifiita ao calcular-se os coeficietes da Série de Fourier via ortogoalidade das fuções evolvidas os respectivos itervalos e pesos.

37 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis Observações sobre Mudaças de Variável Depedete : 37 [] Visado a itroduzir-se termos homogêeos as codições de cotoro i.e. de modo a permitir o posterior surgimeto de PSs tora-se às vezes ecessário itroduzir trasformações elemetares a Variável Depedete associadas às características geométricas do cotoro. Neste poto, é também comum a itrodução de adimesioalizações tato a Variável Depedete quato as Variáveis Idepedetes. Por exemplo, se a Variável Depedete deve atigir valor míimo Ψ MIN o poto Λ do cotoro e atigir valor máximo Ψ MAX em outra locação, é comum escrever-se : Θ Ψ Ψ Ψ MAX MIN Ψ MIN Assim a ova Variável Depedete Θ, terá.. Homogêea a locação Λ

38 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis Observações sobre Mudaças de Variável Depedete : 38 [] Nos casos em que a EDP- só evolve difereciação de Ordem (p.e., Equação de aplace), e há uma odição de otoro ão-homogêea com Fução iear (i.e. reta, plao, etc), p.e. : Ψ.. : x Σ Ψ a + b x,.. É comum o artifício de redefiir a variável Depedete com :... etc Ξ ( x ) Ψ ( x ) ( a + b x ) Ψ ( x ) Ξ ( x ) + ( a + b x ) Isto colocará o Problema como : Ξ.. x Σ Ξ,..... etc i.e. além da redução de tamaho, tem-se Homogeeidade em Σ

39 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis 39 Observações sobre o Pricípio da Superposição de Soluções (PSS) Devido à iearidade obrigatória, tato a EDP- quato as odições de otoro, é viável a utilização do Pricípio de Superposição de Soluções (PSS). O PSS tem uso para: [] ompor combiação liear de soluções que cumprem "pedaços" do termo de Não-Homogeeidade da EDP-, o caso em que as odições de otoro são Homogêeas. [] ompor combiação liear de soluções que cumprem "pedaços" da odição de otoro Não-Homogêea da EDP-, a qual, por si, ão dispõe de Não-Homogeeidade. [3] ompor combiação liear de soluções que cumprem "pedaços" das odições de otoro Não-Homogêeas e "pedaços" da Não-Homogeeidade da EDP-.

40 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis [] ombiação liear de soluções cumprido pedaços da Não-Homogeeidade da EDP- sob.. Homogêea. i j Ψ Ψ Aij ( x ) + B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ),.. x Σ Ψ x x x i j i i 4 Ψ D( x ),.. x Σ Ψ Quebra-se D( x ) em N cotribuições + simples D( x) N k D k ( x) Dado N EDP- ão-homogêeas, + simples, e.. homogêea Ξ k Dk ( x ),.. x Σ Ξ k Após resolvidos cada um destes PVs, recostitui-se a solução origial pelo PSS N Ψ ( x ) Ξ ( k k x )

41 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis [] ombiação liear de soluções cumprido pedaços das odições de otoro sob Homogeeidade da EDP-. i j Ψ Ψ Aij ( x ) + B i( x ) + ( x ) Ψ,.. x Σ Ψ x x x i j i i F( x ) 4 Ψ,.. x Σ Ψ F( x ) Quebra-se F( x ) em N cotribuições + simples Dado N EDP- homogêeas com.. + simples F( x) N k F k ( x) Ξ k,.. x Σ Ξ k F k ( x ) Após resolvidos cada um destes PVs, recostitui-se a solução origial pelo PSS N Ψ ( x ) Ξ ( k k x )

42 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3. EDP- Método de Separação de Variáveis [3] ombiação liear de soluções cumprido pedaços das odições de otoro e da Não-Homogeeidade da EDP-. i j Ψ Ψ Aij ( x ) + B i( x ) + ( x ) Ψ D( x ),.. x Σ Ψ x x x i j i i F( x ) 4 Ψ D( x ),.. x Σ Ψ F( x ) Quebrar F( x ) e D( x ) em N termos + simples: Dado N PVs + simples: F( x ) D( x ) N k N k F D k k ( x ) ( x ) Ξ k Dk ( x ),.. x Σ Ξ k F k ( x ) Após resolvidos cada um destes PVs, recostitui-se a solução origial pelo PSS N Ψ ( x ) Ξ ( k k x )

43 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- Exemplo 5.6 : Obter a Distribuição Estacioária de emperatura o Domíio D Abaixo com Equação de aplace 43 x + y..: x, y,.. : x, y,..3:..4 : y, x, y, x, A A A B > A y B A A x

44 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- Exemplo 5.6 : Obter a Distribuição Estacioária de emperatura o Domíio D Abaixo com Equação de aplace 44 + x y..: x, y,.. : x, y,..3:..4 : y, x, y, x, A A A B > A EDP- iear (oeficietes ost.) Homogêea e Elíptica y B A PV iear em vars idepedetes A x

45 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 45 # Mudaça de variável depedete p/ homogeeizar e A Θ( x, y ) A + (B A B A ). Θ( x, y ) 5a PV ora-se : + x y..: x, y,.. : x, y,..3:..4 : y, x, y, x, A A A B Θ Θ + x y..: x, y, Θ.. : x, y, Θ..3 : y, x, Θ..4 : y, x, Θ 5b

46 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 46 # Implemetado Separação de Variáveis Θ( x, y ) X( x ).Y( y ) 5c Derivadas da EDP : Θ x X ( ) Y., Θ y Θ Θ ( ) ( ) Substituição a EDP : + X.Y + X.Y x y X.Y ( ) Resulta : X X ( ) ( ) Y Y 5d

47 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 47 Eq. (5d) tem em seu lado esquerdo depedêcia em x. Ao mesmo tempo o seu lado direito depede apeas de y ; i.e. tem-se uma fução de x igual a uma de y. Ora, x e y são idepedetes, de modo que isto só pode ocorrer sedo ambas fuções iguais a uma costate (a determiar) λ. ( ) X X ( ) Y Y λ

48 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 48 Neste estágio, o PV- apreseta-se como : ( ) ( ) X Y λ X Y..: x, y, Θ X ( ).Y( y ).. : x, y, Θ X ( ).Y( y )..3 : y, x, Θ X ( x ).Y( )..4 : y, x, Θ X ( x ).Y( ) 6a 6b

49 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 49 #3 Desacoplado PVs Ordiários : PV(x) + PV(y) Devido à Homogeeidade de, e 3, e graças à forma separada em (6a), é possível desacoplar PV(x) e PV(y), sedo o primeiro totalmete defiido e o segudo parcialmete, pois 4 ão permite explicitar Y() : ( ) ( ) X Y λ X Y..: x, y, X( ).Y( y ).. : x, y, X( ).Y( y )..3 : y, x, X ( x ).Y( )..4 : y, x, X( x ).Y( ) X ( ) λ X.. : x,.. : Y ( ) x, λ Y..3 : y, X ( ) X( ) Y( )

50 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 5 #4 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) X ( ) λ X.. : x,.. : x, X ( ) X( ) X ( ).. : x,.. : λ.x x, X ( ) X( ) É PS r( x ), p( x ), q( x ) a, b a b, a b Dá Família { X ( x )} em [, ] sob p( x )

51 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 5 #4 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) X ( ).. : x,.. : λ.x x, X ( ) X( ) Solução : Eq. aracterística : Raízes : PS : p( x ), a, b X ( x ) exp( θ.x ) θ λ θ ± λ

52 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 5 #4 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) aso : λ > Raízes Reais Distitas Raízes : Solução EDO Hom. : Aplicado s : θ ± X H ( x ) exp( x λ ) + λ exp( + λ ) + exp( Só Sol. rivial : X H ( x ) exp( x λ ) λ )

53 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 53 #4 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) aso : λ Raíz Real Dupla Raízes : Solução EDO Hom. : Aplicado s : θ ± λ X H ( x ) x Só Sol. rivial : X H ( x )

54 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 54 #4 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) aso 3 : λ < Raizes omplexas ojugadas Raízes : Solução EDO Hom. : θ ± λ ± ( λ ) ± i λ X H ( x ) cos( x λ ) + se( x λ ) Aplicado s : cos( + λ ) +. se( λ ) Sol. Não rivial com se ( λ )

55 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 55 #4 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) aso 3 : λ < Raizes omplexas ojugadas Raízes : Solução EDO Hom. : θ ± λ ± ( λ ) ± i λ X H ( x ) cos( x λ ) + se( x λ ) Aplicado s : cos( + λ ) +. se( λ ) Sol. Não rivial com se( λ ), X ( x ) H se( x λ ) X ( x ) λ πx se( ) λ ± π (,,...) π (,,...)

56 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 56 #4 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) X ( ).. : x,.. : λ.x x, X ( ) X( ) PS : p( x ), a, b π λ (,,...) πx X ( x ) se( ) (,,...) { X ( x )} em [, ] sob p( x ) PV(x) Fializado. λ, X Obtidos.

57 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 57 #5 Resolvedo PVs Ordiários : PV(y) Y ( ) λ Y..3 : y, Y( ) PV(x) fializou com π πx λ, X ( x ) se( ) (,,...) ovém escrever PV(y) também idexado em (,,...) Y Y ( ) λ..3 : y, Y ( ) Y ( ) + λ Y..3 : y, Y ( ) (,,...)

58 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 58 #5 Resolvedo PVs Ordiários : PV(y) Y ( ) + λ Y..3 : y, Y ( ) (,,...) π λ (,,...) Não é PS Solução : Eq. aracterística : Raízes Reais : Y θ θ ( y ) + λ ± exp( θ.y ) λ θ π ± π y + πy Solução EDO Hom. : Y ( y) exp( ) exp( ) Aplicado 3 : Resulta : + Y πy πy y) exp( ) exp( ) (

59 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 59 #6 Resumo Resolução PVs Ordiários : λ X π ( x ) se( πx ) ( (,,...),,...), { X ( x )} em [, ] sob p( x ) πy πy Y ( x ) exp( ) exp( ) (,,...)

60 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 6 #7 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) : Θ( x, y ) X( x ).Y( y ) 5c Θ( x, y ) X ( x ).Y ( y ) πy πy Y ( x ) exp( ) exp( ) ( πx X ( x ) se( ) (,,...) { X ( x )} em [, ] sob p( x ),,...)

61 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 6 #7 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) : Θ( x, y ) exp( πy ) exp( πx { se( )} em [, ] sob p( x ) πy ).se πx

62 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 6 #7 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) : Θ( x, y ) exp( πy ) exp( πx { se( )} em [, ] sob p( x ) πy ).se πx hecado Aplicação de s do PV Origial... Resta Aplicar 4 Θ Θ + x y.. : x, y, Θ.. : x, y, Θ..3 : y, x, Θ..4 : y, x, Θ

63 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 63 #8 Aplicado.. Remaescete a Solução da EDP : Θ( x, y ) exp( πy ) exp( πy ).se πx { exp( π ) exp( π )}.se πx Esta é uma Série de Fourier para a Fução. Os oeficietes são obtidos com a Ortogoalidade das Fuções se(πx/) em [,] sob p(x)

64 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 64 #8 Aplicado.. Remaescete a Solução da EDP : { exp( π ) exp( π )} { exp( π ) exp( π )} se( πx.se ).dx se πx ( πx ).dx

65 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 65 #8 Aplicado.. Remaescete a Solução da EDP : πx πx se( ).dx cos( ) (cos( π ) ) (( ) π π π πx cos( ) πx πx se ( ).dx dx se( ) 4π ( ( ) π { exp( π ) exp( π )} ) ( ( ) ) { exp( π ) exp( π )} π )

66 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 66 #9 osolidado a Solução da EDP para (x,y) : Exemplo 5.6 A + ( B A ). Θ( x, y ) 7a Θ( x, y ) exp( πy ) exp( πy ).se πx 7b ( ( ) { exp( π ) exp( π )} π ) 7c

67 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 67 # Aproximates N,,5, A, B, m Ex. 5.6

68 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 68 # Aproximates N,,5, A, B, m Ex. 5.6

69 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 69 # Aproximates N,,5, A, B, m Ex. 5.6

70 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- Exemplo 5.7 : Obter a Distribuição Estacioária de emperatura o Domíio D Abaixo com Equação de aplace 7 x D + > y..: x, y,.. : x, y,..3 : y, x,..4 : y, x, > B > A A B D EDP- iear (oeficietes ost.) Homogêea e Elíptica y D B PV iear vars ideped. A x

71 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 7 # Pricípio da Superposição (PSS): A + B + + D A D B A A B B + D D

72 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 7 # Pricípio da Superposição (PSS): A + B + + D A D B A A B B ada um dos 4 ovos PVs com a mesma EDP- + s homogêeas suficietes p/ PS + D D

73 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 73 # Pricípio da Superposição (PSS): A + B + + D ( x, y ) ( A ) ( x, y ) + ( B ) ( x, y ) + ( ) ( x, y ) + ( D ) ( x, y ) D D A B B B D A A

74 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 74 # Resolução PV A : A x + y..: x, y,.. : x, y,..3 : y, x, A A A..4 : y, x,

75 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 75 # Resolução PV A : A x + y..: x, y,.. : x, y,..3 : y, x, A A A Θ Θ + x y..: x, y, Θ.. : x, y, Θ..3 : y, x, Θ..4 : y, x,..4 : y, x, Θ Viável usar a solução trabalhada o Ex. 5.6 do PV após a mudaça de variável depedete. Aqui deve-se trocar algus papéis a Eq. (7b) : [] : Substituir x y [] : Substituir x -x [3] : Substituir A

76 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 76 # Resolução PV A : A ( A ) ( x, y ) ( A ) exp( π ( x ) ) exp( π ( x ) ).se πy 8a ( A ). A ( ( ) { exp( π ) exp( π )} π ) 8b

77 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 77 #3 Resolução PV B : B x + y..: x, y, B B.. :..3 : x y, y,, x, B..4 : y, x,

78 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 78 #3 Resolução PV B : B x + y..: x, y, B B Θ Θ + x y..: x, y, Θ.. :..3 :..4 : x, y, y, x, y, x, B.. :..3 :..4 : x, y, Θ y, x, Θ y, x, Θ Viável usar a solução trabalhada o Ex. 5.6 do PV após a mudaça de variável depedete. Aqui deve-se trocar algus papéis a Eq. (7b) : [] : Substituir x y [] : Nada aqui [3] : Substituir B

79 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 79 #3 Resolução PV B : B ( B ) ( x, y ) ( B ) exp( πx ) exp( πx ).se πy 9a ( B ) B ( ( ) { exp( π ) exp( π )} π ) 9b

80 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 8 #4 Resolução PV : x + y.. : x, y,.. :..3 :..4 : x, y, y, x, y, x,

81 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 8 #4 Resolução PV : x + y.. : x, y, Θ Θ + x y..: x, y, Θ.. :..3 :..4 : x, y, y, x, y, x,.. :..3 :..4 : x, y, Θ y, x, Θ y, x, Θ Viável usar a solução trabalhada o Ex. 5.6 do PV após a mudaça de variável depedete. Aqui deve-se trocar algus papéis a Eq. (7b) : [] : Nada aqui. [] : Substituir y -y [3] : Substituir

82 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 8 #4 Resolução PV : ( ) ( x, y ) ( ) exp( π ( y ) ) exp( π ( y ) ).se πx a ( ) ( ( ) { exp( π ) exp( π )} π ) b

83 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 83 #5 Resolução PV D : D x + y..: x, y, D D.. :..3 : x y, y,, x,..4 : y, x, D

84 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 84 #5 Resolução PV D : D x +.. :..4 : y..: x, y, x..3 : y, x, y, y,, x, D D D..: x, y, Θ.. :..3 : y, x, Θ..4 : x y Θ Θ + x y, y, Θ, x, Θ Viável usar a solução trabalhada o Ex. 5.6 do PV após a mudaça de variável depedete. Aqui deve-se trocar algus papéis a Eq. (7b) : [] : Nada aqui. [] : Nada aqui. [3] : Substituir D

85 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 85 #5 Resolução PV D : D ( D ) ( x, y ) ( D ) exp( πy ) exp( πy ).se πx a ( D ) D ( ( ) { exp( π ) exp( π )} π ) b

86 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 86 #6 Aprox. N,,5, A, B 3, 6, D,mEx5.7

87 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 87 #6 Aprox. N,,5, A, B 3, 6, D,mEx5.7

88 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 88 #6 Aprox. N,,5, A, B 3, 6, D,mEx5.7

89 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 89 Exemplo 5.8 : Obter a Distribuição Estacioária de Pressão Hidrostática em Meio Poroso Ifiito em z o Dique abaixo. Água Dique de rocha porosa, ifiito em z H Rocha impermeável

90 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 9 Idetificado o Domíio Físico Γ e sua Superfície de otrole Σ Água Σ Σ Γ H Σ Rocha impermeável Σ

91 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo P P 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Modelagem Física : EDP de rasporte de Massa : ρ : desidade ampo pressão P de da Pr essão + ρg( H atmosférica ( água y ) o 5 líquido Hidrostática Pa ) ( kg a, g : / Parede gravidade m 3 ) Molhada P P ( 9.8 m / s ( x ) ) 9 y P P H x Referecial rocha impermeável

92 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- Escoameto Φ ρ # Modelagem Física : EDP de rasporte de Massa MP MP : fluxo de : desidade em Meio água de Poroso o água MP ( kg o ( E.M.P ) : / m MP ( kg.s ) / m 3 ) Eq. ρ t ei Φ da Difusão MP + Φ MP MP de Darcy K P em MP em E.M.P. 9 y x rocha impermeável

93 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Modelagem Física : EDP de rasporte de Massa 93 Eq. da Difusão em MP ρ t MP + Φ MP Regime Estacioário Φ MP P ( Eq. de aplace ) ei de Darcy Φ K P MP Dimesões idepedetes : x, y x P + y P

94 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 94 # Formulação Matemática do Problema P P + ρg( H y ) P P P P H y x Referecial rocha impermeável

95 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 95 # Formulação Matemática do Problema odições de otoro P P + ρg( H y ) P P Φ MP H P P y x Referecial rocha impermeável

96 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Formulação Matemática do Problema x P +.. :.. :..3 :..4 : x y x y y P, y,p, y,p P H, x,p P, x, Φ MP P + ρg( H y ) P P y 96 EDP- iear (oeficietes ost.) Homogêea e Elíptica PV iear vars idepedetes (x,y)

97 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #3 Versão Fial do PV após mudaça de Variável Depedete 97 Θ( x, y ) ( P( x, y ) P ) / ρg PV tora-se P( x, y ) P + ρgθ( x, y ) Θ Θ + x y.. : x, y, Θ H.. : x, y, Θ Θ..3 : y, x, y..4 : y H, x, Θ y

98 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 98 #4 Implemetado Separação de Variáveis Θ( x, y ) X( x ).Y( y ) a Derivadas da EDP : Θ x X ( ) Y., Θ y Θ Θ ( ) ( ) Substituição a EDP : + X.Y + X.Y x y X.Y ( ) Resulta : X X ( ) ( ) Y Y b

99 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 99 Sedo x e y idepedetes, fórmula (b) só pode ocorrer sedo ambas fuções iguais a uma costate (a determiar) λ. X X ( ) ( ) Y Y λ c Neste estágio, o PV- apreseta-se como : () () X Y λ X Y..: x, y, Θ H y X (). Y ( y) H y Θ( x, y ) X( x ).Y( y ).. : x, y, Θ X ( ). Y ( y)..3:..4 : y y Θ, x, y X ( x). Y () H, x, Θ X ( x). Y ( H ) ()

100 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #5 Desacoplado PVs Ordiários : PV(x) + PV(y) Devido à Homogeeidade de, 3 e 4, e graças à forma separada em (c), é possível desacoplar PV(x) e PV(y), sedo o segudo totalmete defiido e o primeiro parcialmete, pois ão permite explicitar X() : () () X Y λ X Y..: x, y, X (). Y ( y) H.. : x, y, X ( ). Y ( y)..3: y..4 : y, x, () X ( x). Y () H, x, X ( x). Y ( H ) y () Y λ Y ()..3: y, Y ()..4 : y H, Y ( H ) () X λ X.. : x, X ( )

101 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #6 Resolvedo PVs Ordiários : PV(y) () Y λ Y..3: y,..4 : y H, Y () () Y ( H ) () Y + λy..3: y..4 : y (), Y () H, Y ( H ) É PS r( y), p( y), q( y) a, b H a, a, b, b Dá Família { Y ( x)} em [, H ] sob p( y)

102 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #6 Resolvedo PVs Ordiários : PV(y) () Y + λy..3: y..4 : y, H, Y () () Y ( H ) Solução : Eq. aracterística : Raízes : aso : λ < Raízes Reais Distitas Y ( y) exp( θ. y) θ + λ θ ± λ ± Raízes : θ λ Solução EDO Hom. : ) exp( λ ) exp( ) Y H ( y y + y λ Aplicado s : exp( H λ ) + exp( H λ ) Só Sol. rivial : YH ( y)

103 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #6 Resolvedo PVs Ordiários : PV(y) aso : λ Raíz Real Dupla 3 Raízes : Solução EDO Hom. : θ ± λ Y H ( y). y + Aplicado s : H Só Sol. rivial : Y ( y) H

104 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #6 Resolvedo PVs Ordiários : PV(y) aso 3 : λ > Raizes omplexas ojugadas 4 Raízes : Solução EDO Hom. : θ ± Y H ( y) λ ± i λ cos( y λ ) + se( y λ ) Y () H ( y) λse( y λ ) + λ cos( y λ ) Y H Aplicado s : Sol. Não rivial com, ( y) cos( y λ ) Y ( y). + λ cos( H λ ) + se( H λ ) cos( H λ ) H λ ± ( λ ( ) π 4H ± ( ) πy ( ) πy cos( ) cos( ) H H ) π (,,...) (,,...)

105 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #6 Resolvedo PVs Ordiários : PV(y) 5 ( ) π λ 4H ( ) πy Y ( y) cos H { Y ( y)} em [, H ] sob ( (,,...),,...) p( y) PV(y) Fializado. λ, Y (y) Obtidos.

106 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #7 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) 6 () X λ X.. : x, X ( ) PV(y) fializou com ( ) π ( ) πy λ, Y ( ) cos ( y 4H H,,...) ovém escrever PV(x) também idexado em (,,...) X X () λ.. : x, X ( ) X () λ X.. : x, X ( ) (,,...)

107 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #7 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) 7 X () λ X.. : x, X ( ) (,,...) λ ( ) π ( 4H,,...) Não é PS Solução : Eq. aracterística : ( x) exp( θ. x) Raízes Reais : H X θ θ λ ± ( ) π λ θ ± ( ) πx H ( ) πx H Solução EDO Hom. : X ( x) exp( ) + exp( ) : Resulta : exp( ) + exp( ) exp( ) X ( ) π H ( x) ( ) π H ( ) π H ( ) πx ( ) π ( ) πx exp( ) exp( ).exp( ) H H H

108 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #8 Resumo Resolução PVs Ordiários : 8 ( ) π λ 4H ( ) πy Y ( y) cos H ( (,,...),,...), { Y ( y)} em [, H ] sob p( y) X ( ) πx ( ) π ( ) πx ( x) exp( ) exp( ).exp( ) (,,...) H H H

109 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #9 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) : Θ( x, y ) Θ( x, y ) X( x ).Y( y ) Y X X ( x ).Y ( y ) ( ) πy ( y) cos (,,...), { Y ( y)} em [, H ] sob p( y) H ( ) πx ( ) π ( ) πx ( x) exp( ) exp( ).exp( ) (,,...) H H H 9

110 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #9 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) : Θ( x, y ) ( ) πx exp( H ( ) π ) exp( H ( ) πx ).exp( H ( ) πy ).cos H ( ) πy cos em [, H ] sob p( y) H hecado s do PV Origial... Resta Aplicar Θ Θ + x y.. : x, y, Θ H.. : x, y, Θ Θ..3 : y, x, y..4 : y H, x, Θ y

111 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aplicado.. Remaescete a Solução da EDP : Θ( x, y) x, Θ H y ( ) πx exp( ) exp( H ( ) π ( ) πx ( ) πy ).exp( ).cos H H H H y ( ) π exp( H ( ) πy ).cos H Esta é uma Série de Fourier para a Fução H-y. Os oeficietes são obtidos com a Ortogoalidade das Fuções cos((-)πy/h) em [,H] sob p(y)

112 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aplicado.. Remaescete a Solução da EDP : H y ( ) π exp( H ( ) πy ).cos H H exp ( H ( ) πy y )cos( H ( ) π H H cos ).dy ( ) πy ( H ).dy

113 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo H H H 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- cos ( ) πy ( H ).dy ( ) πy H.cos.dy H ( ) πy y.cos.dy H H H ( ( ) πy + cos( H ( ) πy se ) π H H ( ) π ).dy H H H ( ) πy.y.se ( ) π H H ( ) πy se.dy H H H ( ) ( ) π 3

114 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 4 H H H cos ( ) πy ( H ).dy ( ) πy H.cos.dy H ( ) πy y.cos.dy H H H ( ( ) πy + cos( H ( ) πy se ) π H H ( ) ( ) π H ( ) ( ) π ).dy H + ( ) π H ( ) π H H ( ) ( ) π H ( ) πy cos H

115 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 5 8H ( ( ) π ( ) exp π H,,...)

116 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # osolidado a Solução da EDP para P(x,y) : Exemplo P( x, y ) P + ρgθ( x, y ) Θ( x, y) exp( ( ) πx ) exp( H ( ) π ( ) πx ( ) πy ).exp( ).cos H H H exp 8H ( ) π ( ) H π

117 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aproximates N3,5,,, m, Hm Ex

118 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aproximates N3,5,,, m, Hm Ex

119 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aproximates N3,5,,, m, Hm Ex

120 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aproximates N3,5,,, m, Hm Ex. 5.8

121 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- Exemplo 5.9 : Obter a Distribuição Espaço-emporal de ocetração de "A" em Meio de ultura Ifiito em (z, y) Meio de cultura ifiito em (z, y) de espessura a direção x revestido por película impermeável em x e em x. Em t, o meio ecotra-se com camadas de igual espessura e cocetrações respectivas A e. Película impermeável / Em t, A / Em t, A A x Película impermeável

122 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- Eq. t da Difusão A + Φ A ei Φ A de Fick D AB da Difusão ( D A AB cost.) Eq. da t A Difusão D AB A Em -D Eq. da t A Difusão D AB x A D / Em t, A / Em t, A A x Película impermeável

123 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- odições de otoro 3 Φ A Película impermeável / Em t, A / Em t, A A x Película impermeável

124 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Formulação Matemática do Problema : Eq. da Difusão -D 4 A A DAB t x, x > /.I.: t,a g( x ) A, x / A..: x, t, Φ A x A.. : x, t, Φ A x Problema de Valor Iicial (PVI) iear em vars idepedetes (t,x) EDP- iear (oeficietes ost.) Homogêea e Parabólica

125 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Implemetado Separação de Variáveis 5 A ( t,x ) ( t ).X( x ) 3a Derivadas da EDP : Substituição a EDP : x A X ( ). ( t ), t A A ( ) X( x ). t x A X( x ). ( ) ( ) DAB.X. Resulta : X X ( ) D AB ( ) 3b

126 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- Sedo t e x idepedetes, fórmula (3b) só pode ocorrer sedo ambas fuções iguais a uma costate (a determiar) λ. 6 X X ( ) D AB ( ) λ 3c X X ( ) D AB ( ) λ A ( )..: x, t, X ( ).( t ) x A ( ).. : x, t, X ( ).( t ) x, x > /.I.: t,a g( x ) A, x / Neste estágio, o PVI apreseta-se como :

127 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #3 Desacoplado PVs/PVIs Ordiários : PV(x) + PVI(t) Devido à Homogeeidade de, e graças à forma separada em (3c), é possível desacoplar PV(x) e PVI(t), sedo o primeiro totalmete defiido e o segudo parcialmete, pois I ão permite explicitar () : 7 X X ( ) D AB ( ) λ A ( )..: x, t, X ( ).( t ) x A ( ).. : x, t, X ( ).( t ) x, x > /.I.: t,a g( x ) A, x / X X ( ).. : x,.. : λ x, ( ) DAB. X X λ ( ) ( ) ( ) ( )

128 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #4 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) 8 X X ( ) λ.. : x,.. : x, X X ( ) ( ) ( ) ( ) X ( ) λx.. : x, X.. : x, X ( ) ( ) ( ) ( ) É PS r( x ), p( x ), q( x ) a, b a, a, b, b Dá Família { X ( x )} em [, ] sob p( x )

129 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- 9 #5 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) X ( ).. : λx.. : x, x, X X ( ) ( ) ( ) ( ) Solução : Eq. aracterística : Raízes : aso : λ > Raízes Reais Distitas X ( x ) exp( θ.x ) θ λ θ ± λ ± Raízes : θ λ Solução EDO Hom. : ( y ) exp( x λ ) + exp( x λ ) X H Aplicado s : λ exp( λ ) + λ exp( λ ) Só Sol. rivial : X ( x ) H

130 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #5 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) aso : λ Raíz Real Dupla 3 Raízes : Solução EDO Hom. : θ ± λ X H ( x ) +.x Aplicado s : Há Sol. ão rivial :, X H ( x ) Registrado Sol. ão rivial : λ X( x )

131 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #5 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) 3 aso 3 : λ < Raizes omplexas ojugadas Raízes : Solução EDO Hom. : θ ± X X H ( ) H λ ± i ( x ) ( x ) cos( x λ λ ) + λse( x se( x λ ) + λ ) λ cos( x λ ) Aplicado s : Sol. Não rivial com, X H ( y ) cos( x λse( se(. + λ ) + λ ) λ cos( λ π λ ± πx πx λ ) X ( x ) cos( ) cos( ) λ ) ± π (,,...) (,,...)

132 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #5 Resolvedo PVs Ordiários : PV(x) osolidado soluções ão-triviais do PV(x) : λ e λ < 3 λ, X( x ) π πx λ, X ( x ) cos (,,...) π λ (,,,...) πx X ( x ) cos (,,,...) { X ( x )} em [, ] sob p( x ) PV(x) Fializado. λ, X (x) Obtidos.

133 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #6 Resolvedo PVIs Ordiários : PVI(t) 33 ( ) DAB. λ PV(x) fializou com π λ (,,,...) πx X ( x ) cos (,,,...) { X ( x )} em [, ] sob p( x ) ovém escrever PVI(t) também idexado em (,,,...) D ( ) AB. ( ) λ D. λ. ( t ) AB exp( D AB. λ.t ) ( t ) exp( π D AB.t )

134 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #7 Resumo Resolução PVs/PVIs Ordiários : 34 λ X π ( x ) cos πx ( (,,,...),,,...), { X ( x )} em [, ] sob p( x ) π DAB.t ( t ) exp( ) (,,,...) ostate de Itegração a Determiar com a.i. ão-desacoplada

135 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #8 Recuperação da Separação da Solução da EDP : 35 A ( t,x ) ( t ).X( x ) A ( t,x ) X ( x ). ( t ) λ X π ( x ) cos πx ( (,,,...),,,...), { X ( x )} em [, ] sob p( x ) π DAB.t ( t ) exp( ) (,,,...)

136 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #8 Recuperação da Separação da Solução da EDP : 36 A ( t,x ) π D AB.t πx exp.cos hecado s do PVI... Resta Aplicar I A A DAB t x,.i.: t,a g( x ) A..: x, t, x A.. : x, t, x A, x > / x /

137 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #9 Aplicado.I. Remaescete a Solução da EDP : A π D AB.t πx ( t,x ) exp.cos t,a g( x ) 37 g( x ).cos πx Esta é uma Série de Fourier para a Fução g(x). Os oeficietes são obtidos com a Ortogoalidade das Fuções cos(πx/) em [,] sob p(x)

138 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #9 Aplicado.I. Remaescete a Solução da EDP : 38 g( x ) πx.cos +.cos πx g( x )..dx g( x )..dx (.dx ) πx g( x ).cos( ).dx cos πx ( ).dx ( ) /.dx A A / A.cos( πx ).dx ( )

139 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- #9 Aplicado.I. Remaescete a Solução da EDP : 39 πx g( x ).cos +.cos πx A A π π.se A ( ) π, ( >, par ) ( >, ímpar )

140 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # osolidado a Solução da EDP para A (t,x) : Exemplo A ( t,x ) π D AB.t πx exp.cos A A ( ) π, ( >, par ) ( >, ímpar )

141 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # osolidado a Solução da EDP para A (t,x) : Exemplo A ( t,x ) + A π D AB.t πx exp.cos A ( ) π, ( >, par ) ( >, ímpar )

142 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # osolidado a Solução da EDP para A (t,x) : Exemplo A ( t,x ) A + exp ( ) π D AB.t ( ) πx.cos A( ) ( ( ) π,,3,...)

143 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aproximates N3,5,,, m, Horizs Ex

144 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aproximates N3,5,,, m, Horizs Ex

145 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aproximates N3,5,,, m, Horizs Ex

146 J.. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4. Implemetação Método de Separação de Variáveis em EDP- # Aproximates N3,5,,, m, Horizs Ex