F R m a. Dinâmica dos Sólidos. 1. Introdução:

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1 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre EE nâc do óldo: forulção. nâc do óldo e ovento gerl. JEIVS EIS eenvolver no luno u vão fctível d ecânc, crndo no eo u "ntução" corret do fenôeno ecânco. JEIVS ESPECÍFICS Etbelecer o conceto báco obre nâc do Sóldo. Etbelecer le dnâc que rege o ovento de u óldo (ovento de trnlção, de rotção e torno de eo fo, ovento plno e ovento gerl). Preprr o luno pr entender o dpotvo ecânco coun à vd do Engenhero. Fornecer ferrent o etudnte pr o entendento de dcpln epecífc do curo. CEÚ PÁIC nâc do óldo eore do Centro de - C eore do oento ngulr eore de Stener ou do eo prlelo. nâc do óldo e trnlção nâc do óldo e ovento de rotção nâc do óldo e ovento plno nâc do óldo e ovento genérco. trz de nérc; oento de nérc e produto de nérc. nâc do óldo: forulção trcl pr o oento ngulr. ILIFI ác EE, F. P.; JHS JUI, E.. ecânc vetorl pr engenhero: cneátc e dnâc 5ª ed. v. São Pulo: kron, HIELE,. C. nâc: ecânc pr Engenhr. 8.ed. o de Jnero Prentce Hll rl, 4. KIE,L..;EI,J.L. ecânc: dnâc. o de Jnero: LC,4. FÇ, L..F.;SUU,.Z. ecânc erl.edgr lucher, 5. EE, J. ecânc do ter. São Pulo: Poner hoon Lernng, KISKI, P.C. ecânc gerl pr engenhero. Edgr lucher,. SES,F.;YU H.. Fíc. vol.1, ecânc. ddon Wele, 8. nâc do Sóldo,Unp, Verão, 9. nâc do Sóldo 1. Introdução: dnâc do óldo conte do etudo do ovento do óldo, deconderndo o efeto de deforçõe do eo. U corpo que não ofre deforçõe, ndependente de u forç plcd, pou propredde que ânc entre ququer do ponto pertencente ele pernece contnte.. Efeto d forç: efeto d forç dependerão do ftore: ponto de plcção d forç; 1 ntendde; dreção e entdo. undo o etudo refere-e u ponto terl, não há nfluênc do ponto de plcção. Pr u óldo, troc do ponto de plcção crretrá lterçõe no efeto obre o corpo.. nâc: ecolh do te de referênc pr o etudo e ecolhdo de for que o te ej nercl, ou ej, que tfz Le de ewton do ovento..1. nâc do ponto terl. egund Le de ewton utlzd é: n F et.. nâc do óldo. efno u ponto epecl ocdo o corpo, não necerente pertencente ele, denondo centro de do óldo, C. Centro de do óldo, C: Pertence lnh de etr de rbução de do óldo. undo há de u lnh de etr, o C é ntereção de lnh. Pr corpo de denõe deprezíve, o centro de concde co o centro de grvdde do corpo C. efno coo centro de de u te de n prtícul de loclzd e relção u te de coordend e (,, z ):

2 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre c c n 1 n 1 n 1 c z n Pr corpo eteno: corpo corpo d d c 1 corpo corpo d d c z c n 1 n z 1 corpo corpo zd efnndo o ponto de orge do te nercl de I e P poção d d de u corpo óldo, defno coo vetor de poção: r P I I ;; E gerl: r ˆ ˆj z kˆ c c c c d For d Superfíce rângulo urto de círculo ecírcul o urto de elpe e elpe Fgur 4r 4 h 4r 4r b h r 4 r 4b b 4 b 4b Se prábol 4 8 h 5 h prábol h 4 5 h rco de prábol h 1 h Cneátc do centro de : Velocdde do centro de : dr d c c ˆ d c ˆ dz v c ˆ c vc j k drc v ˆ ˆ ˆ c vc v v c j v c z k c celerção do centro de : dv dv dv c dv c ˆ c z ˆ c ˆ c c j k dvc ˆ ˆ ˆ c c c j c z k c Curv gerl n 1 n Setor crculr ren urto de rco Se rco r n 1 h h 4n n 1 r r r r r rco ren r

3 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre Cálculo do centro de : 1. Encontre o centróde ou centro de C de u ro crculr de ro e. For Fgur V Hefér o Seelpóde de revolução Prboló de de revolução Cone 8 8 h h 4 h h 1 h 1 h d r d d rd d d r d corpo 1 c c en d c end c en d c co c co co c. otre que coordend do centróde do eeplo nteror é nul.. (pg. 6 Lvro Unp) plc e for de e corô n fgur bo é pln, hoogêne e pou ro 1 e. Pede-e, deternr eu centro de. Prâde Eeplo: h 1 4 bh rtndo e coordend polre: r co r en Coo fgur é unfore, u dendde de d erá: d 1 1 d rdr d

4 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre corpo d d corpo c c d d d d c d 1 c c ren rdrd c en d r dr 1 1 r c co co co 1 1 c c 1 etr c.: r en 6. (Krge 5.) Loclze o centróde d fgur benonl: 4 4. (pg. 8 Lvro Unp) Encontre coordend do centro de pr peç do eeplo nteror pr ro e. (; -1.6). 5. (Krge 5.1) Loclze o centróde d fgur undenonl:.: r r en 7. (Krge 5.) otre que, pr fgur pln hoogên trngulr, eu centróde (centro de C) é ddo por: Fç: d d Ue eelhnç de trângulo:

5 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre h b h h d h c c bh b h h h 1 h h b b c c b d h1 d b c bh bh b c d b b c b b b b b b c b b b 6 6 b c b b ). 8. Loclze o centro de d fgur. (.J. Cp. 8.1

6 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre eor d dnâc do óldo do.htl teor gerl d dnâc do óldo pó-e e do teore: eore do centro de. reultnte d forç plcd o óldo, e que ão de orge etern o eo, é gul o produto d do óldo pel celerção do centro de. et Forç de orge etern: Forç plcd e u eleento de d do óldo, por outro corpo que não o própro óldo. Su o é dd por: et et c Forç de orge ntern: ão quel plcd nu eleento de d o óldo, por outro eleento de do eo óldo: pelo prncícpo de ção e reção, forç ntern prece o pre. o de tod forç ntern é nul: df nt. c df efnçõe: cneátc do pólo ecolh de u pólo, pode er fet e qulquer ponto do epço, ncluve pode er u ponto do óldo e etudo. Crcterzndo: 1. te de eo I(,,z) repreent u te de referênc nercl.. ponto P(,,z) é u ponto do óldo onde e encontr o eleento de d.. ponto ( o, o,z o) é u ponto qulquer, que erá dotdo coo pólo. z, ˆk I Vetor poção de P(,,z): r P I Vetor velocdde de P(,,z): P d vp P I Vetor celerção de P(,,z): P dv Vetor poção de ( o, o,z o): r I Vetor velocdde de ( o, o,z o):, ĵ r P d v I ( o, o,z o) r P, î P (,,z) Vetor celerção de ( o, o,z o): dv berve que: P I I P r r P ervndo: P dr P dr d P d vp v P Chndo de velocdde reltv no ponto P e relção o pólo : d vrel vp v P oento lner: p v d p v ól C Le de ewton: Pode er ecrt por: oento polr: dp df d df dp d dv dv d F U forç, plcd no ponto P(,,z), te u oento polr e relção o polo (,, z ) ddo por: P F epre cpcdde d forç F, de produzr rotção no óldo e que é plcd, e torno de u eo que p pelo pólo, e qu te dreção do própro oento polr, no entdo defndo pel regr d ão dret: ão e P e o dedo e curv no entdo d rotção.,î z, ˆk P F, ĵ 6

7 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre oento ngulr: Sej dp o oento lner do eleento de d, que ocup o ponto P(,,z), que e deloc co velocdde v. oento ngulr dee eleento de d, e relção o pólo é ddo por: dh P dp o de todo o oento ngulre fornece o totl ddo por: H dh P dp Prov do eore do oento ngulr: H P dp dh d P d dv d v P d P v v dh dv v v d v P d v v dv v dv v d v dh v v dv P d dh v v dv P dh v dv dh v v d dh v vc dh v vc dh v vc eore do oento ngulr. conder-e que nu certo ntnte, u óldo co te eu centro de C delocndo-e co velocdde v e eu oento ngulr H e relção o C pólo, pou dervd e relção o tepo dh, enqunto que o pólo preent velocdde v ; o oento reultnte d forç plcd nee óldo é ddo por: dh v v C nâc do ovento de trnlção ovento de trnlção é crcterzdo coo quele e que ret defnd por do ponto do óldo não ud de dreção durnte o ovento. odo o ponto preent velocdde e celerçõe gu. C: eore do Centro de. et : eore do oento ngulr. Conderndo defnção de oento ngulr do óldo: c H P v d Coo todo o eleento de d do óldo preent e velocdde: H P d v Pel defnção de Centro de : P d C rc Subttundo, tereo: H C v dotndo-e coo pólo, o centro de C: C H C C v H vlor do oento ngulr e relção o pólo no Centro de C é contnte e gul zero. o, eore do oento ngulr, co pólo no C Centro de, te-e: C C dhc C nâc do ovento plno ovento plno é quele o óldo e etudo te ovento retrto u únco plno, denondo plno de ovento, retrngndo portnto óldo plno. Cneátc do ovento plno: Sej ê o vetor ortogonl o plno de ovento. Lebro que o vetor velocdde ngulr e celerção ngulr ão ddo por, repectvente: eˆ eˆ Sendo P e ponto do óldo, velocdde de P pode er obtd prtr d velocdde de por: v v P P 7

8 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre celerção do ponto P e tero d celerção do ponto erá dd por: P P P eore do oento ngulr plcdo o ovento plno: : eore do oento ngulr, ege u ecolh proprd do pólo. Sej o pólo fo, pertencente o óldo e gul o C: = C. (C: Centro de ). : Se condde co : dh dh Condere defnção de oento ngulr e o pólo : H P dvp H P d v P H P v d P P d Pel defnção de Centro de C: P d C P H P dv P P d C H C v P P d Se é fo: v plcndo regr: b c c b b c Pr: P b c P P P P P P P Coo: P P P e P P (vetore perpendculre!) H C P d H P d oento de Inérc: enono de oento de nérc I : I P d oento de nérc epre fcente nérc de rotção do óldo, qundo celerdo e ovento de rotção e torno do eo ortogonl o plno do ovento que p pelo pólo. oento de Inérc de u eleento de de u óldo, é epreo pelo produto entre 8 do eleento, e o qudrdo d ânc entre o ponto P, que conté o eleento de d e o pólo. Logo: H P d H I ondo-e dervd e relção o tepo: d d di d H I I P cte d di d H I d H I d H I o de rção Sendo I o oento de nérc de u óldo de, e relção o eo que p pelo pólo. ro de grção k, do óldo e relção ee eo é ddo por: k I nc do ovento plno: euo: C: eore do centro de : et C : eore do oento ngulr: I Sendo: I P d Pólo pertencente o óldo; Pólo fo (v = ) Pólo = C.

9 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre oento de nérc de fgur: Cálculo de oento de nérc. undo u corpo rígdo não pode er repreentdo por puntfore, podeo ecrever relção ntegrl: I corpo r d ependendo de coo etá rbuíd, podeo defnr dendde: endde Síbolo efnção Undde Lner Superfcl Voluétrc L V kg kg kg 9 eore do eo prlelo (eore de Stener) I I d P C Pr o co undenonl, podeo defnr: d d dl dl I r dl corpo Pr corpo b e trdenon, vej tbel egur. bel - efnçõe de oento, oento de nérc e centro de. Centro de (,,, z ) ( oento oento de Inérc I I Io, Iz ) Corpo denon (Fgur Pln) d d d Lân d Corpo trdenon z Sóldo dv dv dv dv z dv dv z z Fgur Pln z Corpo rdenon d ( z ) dv d ( z ) dv ( ) d ( ) dv

10 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre Eeplo 1 rr delgd unfore, eo ortogonl o eu coprento. fgur otr u brr ou vr delgd unfore de e coprento L. eterne eu oento de nérc e relção u eo pndo pelo ponto, u ânc rbtrár h de u de u etredde. Solução: Ecolhendo u eleento de de u eção ret d brr co coprento d tudo u ânc do ponto., e dendde lner é unfore: d d d d L L I r d Lh h corpo Lh I d I d L L I L Lh h 1 I L Lh h h o Se o eo pr pel etredde equerd: h = : 1 I L o Se o eo pr pel etredde dret: h = L: 1 I L o Se o eo pr pelo centro: h=l/: 1 I L 1 Eeplo Clndro cço ou oco grndo e torno de eu eo. fgur otr u clndro oco e unfore co coprento L, ro nterno 1 e eterno e. Clcule o oento de nérc e relção o eo de etr do clndro. Solução: d dv d r L dr I corpo r d I r r Ldr 1 I L r dr 1 L I Eeplo Efer hoogêne de ro e eo pndo pelo centro. efer bo poder er u bol de blhr. eterne eu oento de nérc. Solução: r d dv d r d I corpo r d d d Pr u dco: 1 di r d 1 di d di d I d I I V I 15 4 I 5 1

11 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre Eercíco 1. (eer Johnton pg ) U Vn ft/ con o freo, pedndo rotção d rod e pár pó percorrer ft. eterne forç norl e de trto e cd rod. do: g =. ft/². Solução: celerção d Vn: v v v ft C.5 F et W W W g g n F 1 W 5 4 W 1 W W 5 W g W.65 W W W.65 W.5 W F F.45 W k.699.5w F F.454 W k w.65w Frente Frente.5 W.5W r r.175 W.45W F F F.1 r W r.454w F F F.7 Frente W Frente. (Unp.1 pg. ) U dco de = 5 kg, ror =.15, pó-e e u uperfíce horzontl rugo, co coefcente de trto =.4. U forç F, plcd à ltur h, fz co que o dco trnlde podo n uperfíce horzontl, co celerção = /². Pede-e: () ntendde d forç F; (b) ltur h. eore do Centro de : C: F Ft P F P F g F g F F : C F F F h FFt h h h.5 C F t P F F h h 11

12 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre. (Unp pg. 4) fgur otr u veículo co kg e trção trer, do qul reoveu-e u pr de rod. Indgndo co brncder, eu otort prte do repouo e nté o veículo ovendo-e por u período de tepo gnfctvo, confore lutrdo. denõe ão d 1= 1. ; d =.4 e h = 1.6. Pede-e: (b) á celerção. () celerção do centro de ; (b) forç de trto. 1 Forç gente: C: eore do centro de : ft ft P P 1 : eore do oento ngulr: pólo: C. d.4 8 F h F 1.6 Ft t Ft t peo te oento nulo po te lnh de ção pndo pelo pólo. : F Ft t 5 8 Ft 1.6 Ft (Unp pg. 5.) fgur lutr u bloco de grnto de = 8 kg, de ltur H = 4, lrgur L =, que encontr-e podo e u uperfíce horzontl, co coefcente de trto =.. U forç F horzontl, co lnh de ção, nte h = do olo, con o bloco fzendoo delzr, e tobr. Pr condção de á celerção, pede-e: () forç F; C: eore do centro de : F ft F ft 8 P P 8 81 : eore do oento ngulr: pólo: C. L 1 1 H F F t t h F F t t H F F h F F h peo te oento nulo po te lnh de ção pndo pelo pólo. trto é cnétco: F F. 8 t t 4 F 4 8 : F 1 F Ft F t undo forç F chegr o áo, o bloco fc n nênc de tobr; o grnto pó-e e u ret, e det for pode-e grntr que norl te u lnh de ção pndo pel e., = ;

13 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre F 4 8 F 5. (Unp pg. 8.4) fgur otr u cnhão que deloc-e e ovento reto e unfore, trnportndo u crg de = 5 kg, que e pó n crrocer. coefcente de trto entre crg e crrocer é =.. denõe ndcd, ão: d =. e h =.6. u certo ntnte, o cnhão fre ntendo decelerção unfore, ne condçõe, pede-e: () decelerção do cnhão que produz ecorregento d crg; (b) decelerção do cnhão que produz tobento d crg Ft Ft.6 F F 15 t. 5 Coo forç de trto á pertd é nferor o vlor clculdo, há u pobldde fíc; ou ej, o bloco nunc tobrá (eer Johnton 5 Ed. Pg. 549) plc C de 8. kg etá utentd pel brr rtculd E e F e pelo fo H. eprezndo-e E e F, deternr eente pó o corte de H: () celerção do centro 1 de d plc; (b) forç e cd brr. t Equçõe de ovento: celerção do centro de : C: eore do centro de : ft ft 5 P P 5 51 : eore do oento ngulr: pólo: C. d 5.. F h F.6 Ft t Ft t peo te oento nulo po te lnh de ção pndo pelo pólo., n nênc de tobr, =. F 5..6 t Ft F Pco 9.81 t c c g co c g co c c Forç n brr E e F: F P en n F F Pen E F FE en 5 FE co 1 F en 5 F co 1 F F

14 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre 15 F 86.6 F 15 F 86.6 F E E F 8.4 F E 1 F F F.181 F F.181F E 9.4 F F P en.819 F 9.4 E F E FE FE E F F.181 F F 8.6 C F E F 6. (Hbbeler. C. E pg. 417) U cote de 5 kg etá nu uperfíce horzontl de coefcente de trto cnétco k =.. eterne u celerção e u forç P é plcd obre o cote coo otrdo. gr de corpo lvre: Equçõe de ovento: F.5 F k k 14 Equçõe de ovento: F 6. 5 C C C F 49.5 C C C C C C 5 C 1 C (Hbbeler. C. E pg. 415) crro otrdo n fgur de g = kg pou centro de no ponto. eterne celerção e o pneu trero etão epre delzndo, enqunto o dntero etão lvre pr grr. coefcente de trto de frcção entre o pneu e rodov vle k =.5. C (Hbbeler. C. E pg. 416) otocclet pou 15 kg e centro de e 1 e o otocclt pou de 75 kg e centro de e. eterne o íno coefcente de trto etátco entre o pneu e o pvento de for que o otocclt fç u wheel, ou ej, levnte o pneu d frente do chão. ul celerção neceár pr fzer o? epreze d rod e u que rod d frente etá lvre pr rolr. gr do corpo lvre: Equçõe de ovento:

15 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre F F F F 179 gr de corpo lvre. vg e ove co ovento curvlíneo, dede que todo o eu ponto ovee e trjetór crculr, cd u tendo o eo ro de.5. centro de te o eo ovento (devdo trnlção do óldo). ote que coponente tngencl d celerção tu n dreção pr bo e pr equerd, devdo o entdo de rotção horáro d celerção ngulr. Coo coponente norl d celerção é epre drgd pr o centro de curvtur: 18 r 6.5 gr de corpo lvre: 15 Coefcente de trto íno:.91 F (Hbbeler. C. E pg. 418) U vg de 1 kg é uportd por du hte de deprezíve. eterne forç deenvolvd e cd hte no ntnte e que = e = 6 rd/. Equçõe de ovento: F 981co 118 n n F 981 en 1 t t t co.4 co.4 F n n 981en Ft 4.95 t t t (eer Johnton 5 Ed Pg. 551) U pol pendo 5.4 e ro de grção. etá und do bloco coo lutrdo. Supondo-e que não et trto no eo, deternr celerção ngulr d pol e celerção de cd clndro

16 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre Sentdo do ovento: Pr nter pol e equlíbro: P P 7.1 pol grrá no entdo nthoráro rd rd (Krge 6/1 pg. 4) pckup de peo lb obe ft celerndo co celerção contnte do repouo té u velocdde /h u pt co 1 % de nclnção. Clcule forç norl obre cd pr de rod e forç de trto obre rod trer. coefcente de trto entre o pneu e pt pou vlor uportável té Cneátc do ovento: r r F P P P g F P P P g Equçõe de ovento: oento de nérc d pol: P I k I k g 5.4 I. I.4 kg 9.81 I I Solução: undo do pneu neglgencável qundo coprd co d cnhonete: v v v ft 44 ft v h gr de corpo lvre: 1 rctg 5.6 1

17 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre lb P F F en g ft. F 484 F 84lb F 1 I lb lb trto terá de er: Pr uportr u forç de F 84 lb o coefcente de d pt uport trção. F 84. Logo uperfíce fgur dete eeplo otr u brr hoogêne, que pou = kg, coprento,, e etá lgd, trvé de u fo, u curor que pode delzr lvreente o longo de hte horzontl f e tbé po-e e u uperfíce horzontl l. eterne celerção do curor, pr que o fo fque lnhdo co brr. Pr o cálculo do oento polr reo precr do ângulo ddo pel nclnção d brr co horzontl, que é obtdo coo: en =,48 o que no lev = 7,74.,5 n eore do centro de : F =.45 =1 e : co7,74 =,8 = equção (1) e : P + en7,74 = +,96 = equção () Undo o eore do oento polr, co relção o ponto do centro de. Coo forç peo e forç de trção, b tê u lnh de ção pndo pelo centro de, o reult e u oento polr nulo. ; oento de : = brço =.(b ) e oento de =.(b ) =, o que no lev =, que ubttundo n equção (), teo; +,96 = o que no lev = 1,5 Subttundo-e n equção (1), no dá; =,9 1. Sbendo-e que o coefcente de trto etátco entre o pneu e o pvento é,8 deterne, pr o crro otrdo n fgur, á celerção poível nu etrd horzontl, no co: () trção n qutro rod, (b) trção n rod dnter, (c) trção n rod trer. Sol. ondo o centro de coo ponto de referênc; e lebrndo que ft = µ e. e ft = µ e.. -) Clculndo celerção á, ( á ) pt trção n qutro rod. F et = P f t + f t = g j + j + j + f t + f t = ( g + + ) j + (f t + f t ) = nlndo epreão c e plcndo guldde vetorl obteo du equçõe, u pr e outr pr j. pr pr j f t + f t = g + + = μ e ( + ) = (1) + = g () Fzendo ubttução d equção () n equção (1), obteo μ e (g) = = μ e g =,8 9,8 = 7,85. = 7,85 Logo; = 7,85 Clculndo reçõe no poo: e. Pr o ovento de trnlção et = ft.,6 ft.,6. 1,1 +. 1,6 =, logo μ e.,6 μ e.,6. 1,1 +. 1,6 =,48.,48. 1,1. + 1,6. =, logo 1,58. 1,1. = =,79. () Subttundo () e (), ve: + = g,79. + = g 1,79. = g =,585. g =,85. P = (,79). (,585). g =,415. P b-) Cálculo pr trção n rod dnter. nênc do ovento, deconder-e trto n rod trer: bt elnr forç de trto n rod trer, no equçõe pr o co 44. F et = P f t = g j + j + j + f t = ( g + + ) j + (f t ) = 17

18 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre nlndo epreão c e plcndo guldde vetorl obteo du equçõe, u pr e outr pr j. pr pr j f t = g + + = = μ e (1) + = g () Clculndo reçõe no poo: e. Pr o ovento de trnlção et = ft.,6. 1,1 +. 1,6 =, logo μ e.,6. 1,1 +. 1,6 =,48. 1,1. + 1,6. =, logo = 1,1. () Subttundo () e (), ve:1,1. + = g =,498. g 1,79. = g =,498. P = (1, 1). (,498). g =,55. P Fzendo ubttução d equção (1); obteo = μ e =,55. P. μ e = (,55). (,8) g =, veículo d fgur pode trfegr utlzndo vár confgurçõe de eo otrze. denõe ndcd ão: d 1 =.5; d = 1.5 e h =.9. veículo de = 14 kg pó-e e u uperfíce horzontl co coefcente de trto =.8. Pede-e deternr á celerção do veículo n egunte hpótee: () trção n qutro rod; (b) trção n rod trer; (c) trção n rod dnter. () trção n qutro rod; gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: F F F F P F h F h d1 d P 14 g (b) trção n rod trer; F F F P F h d1 d 8 14 h d d F (c) trção n rod dnter. F F F P F h d1 d 18

19 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre 14 h d d fgur otr u utoóvel de 75 kg, que deloc-e co velocdde contnte v = 5 /, pr dret, podo nu uperfíce horzontl co coefcente de trto etátco e =.8 e coefcente de trto cnétco c =.65. denõe ndcd ão d 1 = d = 1. e h =.7. u certo ntnte, o freo ão condo. Pede-e: () reçõe nor n rod, pr decelerção de 5.5 /²; (b) o íno epço de frenge; (c) o epço de frenge co rod trve. Solução: gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: F F F F F 75 F P 75 F h F h d1 d F.7 F F F F 415 F F F (b) íno epço de frenge egrá á decelerção, egndo, portnto, o trto áo:.8 F F E E F F F F P 75 F h F h d d 1 F.7 F F F.8 E E.7 F F E v vf v (c) undo rod trvre, há o delzento obre o po. trto é cnétco: F F F C C ` (.18 pg. 45 Unp) fgur lutr u pequeno cofre de = 1 kg, ltur H =.7, lrgur L =.5, podo e uperfíce horzontl co coefcente de trto =.. cofre é condo pel forç

20 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre F = 75, co lnh de ção horzontl, nte h do po. Pede-e. () celerção do ráro; (b) o ntervlo de vlore d ltur h, que não produz tobento. cnhão. eternr celerção á pertd d cnhão e prec-e nter n poção ndcd gr do corpo lvre: F gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: F F F F F P H H H L L F h F F F F 1 1 P g 1 F H H H L L F h F F h.5 F.5 F h h h h h.5 h.5.19 h.54 h U plc de 6-ft é colocd nu cnhão co u etredde pod contr u bloco preo o chão e o outro encotdo u vertcl do F F F P F P L 6 co78 co78 L.64 ft en78.94 ft.978 F L/ P 78 F 78 F

21 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre F F F P P P.94 F.64 g.94 ft (eer Johnton 16.7) U ráro de kg, etá ontdo obre rodízo que perte que ele e ov lvreente ( = ) no chão. Se u forç de 1 é plcdo coo otrdo, deternr: () celerção do ráro, (b) o ntervlo de vlore de h pr o qul o gbnete não v derrubr. gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: F F 1 5 F P 1.9 h h. 1.9 h. 1.9 h. 1.9 h h h h.9.6 h 1.5 P h h.. h (eer Johnton 16.11) eleento de uporte otrdo é udo pr trnportr u lt clíndrc de u elevção pr outr. Sbendo-e que μ =.5 entre lt e o uporte, deternr: () gntude d celerção pr c u pr o qul lt rá delzr obre o uporte; (b) enor proporção h/d pr o qul derrubrá lt nte del delzr. 1

22 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: F co F co t co F en P en P en g en co gen g en co g co en g co en co.5 en.741 h d F F d h d.5 h h 4 d. (eer Johnton 16.1) U te de trnporte é equpdo co pné vertc, e u hte de de,5 kg e é preentdo entre do pné, coo otrdo. Sbendo que celerção do te é 1.5 /² pr equerd, deternr: () forç eercd obre hte e C, (b) reção. gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: C Equçõe de ovento: F co C co C C F en P C.45 5 C P C l l C b en7 en7 l co7 d C b C.997 C C C eolvendo o te: d C

23 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre.7869 rctg rctg (Unp - pg. 4) fgur lutr u copo de =. kg podo obre u e, do crro returnte de u tre, que prte do repouo co celerção contnte. coefcente de trto entre o copo e e é =.5. Pedee: () á celerção que não produz delzento do copo; (b) á celerção que não produz o tobento do copo; (c) ânc, entre lnh de ção d reção norl d e obre o copo e, ;lnh de ção d forç peo, qundo celerção do tre for = /. Equçõe de ovento: F F. F P P.1 g.4 4 F d brr hoogêne C, de = 1 kg, nclnd e relção o horzonte do ângulo = 4, preent denõe d 1 =,4, d =,7, etá conectd do curore de peo deprezíve que delz o longo de hte horzont f. coefcente de trto entre o curor, e hte gu é μ =,4. conjunto decrto é condo por forç F = 9, plcd no ponto. ão há trto entre o curor e hte f; celerção d grvdde locl é g = 1 /. reção norl d hte f no curor, epre e, é prodente: () F F g t g (b) gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: F F F P P.1 g 4 4 F 1 F (c) gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: F F F 9 1 F P 1 1 d1d L L co 4 F en4 L L F d en4 d co F

24 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre 8. veículo lutrdo, pou = 14 kg, deloc-e pr dret co velocdde v = /, e pt ret e horzontl, endo que o coefcente de trto entre o po e o pneu ão: coefcente de trto etátco μ et =,8; coefcente de trto cnétco μ cn =,5. freo ão condo co o ntuto de prr o veículo o rápdo poível, entretnto, o operdor con pen o freo d rod dnter. dotr g = 1 /. celerção do veículo epre e /, é prodente: 6. (Unp - pg. 5) fgur lutr brr de 5 kg que é lgd du hte b-rtculd C e, de deprezve. Conderndo o ntnte e que é bndond e repouo, n poção ndcd, pede-e: () celerção d brr; (b) o eforco n hte rtculd. 4 5,5 Equçõe de ovento: F F 14 F P F fgur, lutr u bloco de grnto pouco epeo, de = 9 kg, ltur H =,8, lrgur L =,6, pod e uperfíce horzontl co coefcente de trto μ =,1. bloco é condo pel forç F = 65, co lnh de ção horzontl, nte h =,55 do po. dotr g = 1 /. celerção do bloco, epre e /, é prodente: co en gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: F 5 C co co F P 5 en en C.5.5 C co co en = = P=5 bervndo fgur, podeo dzer que: 5 co5.11 Pco

25 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre ˆ ˆ ˆ ˆ j j rctg 6.4 rctg = 8 /² (Unp - pg. 48) fgur lutr u prlelepípedo retngulr de denõe b e c; endo b = 1. e c =. prlelepípedo pó-e e u uperfíce rugo, nclnd de = 45 e relção à horzontl, e delz-e o longo d e co ovento de trnlção, ntendo celerção C = 4.4 /². Pede-e: () o cofcente de trto entre o prlelep pedo e uperfíce nclnd; (b) ânc que defne lnh de ção d reção norl. P en Pco 4.4 g en45 g co g en45 g co g en g co F t.8 8. U tronco de der de 6 lbf de peo: ( /9.81 = 7. kg) 5 é uportd por do cbo e ud coo ríete. tronco é lberdo do repouo ( = ) e lberdo confore otrdo. eterne celerção ngulr do tronco e tenõe no fo rrdo e e e. gr do corpo lvre: Equçõe de ovento: C: Pen F P F 4.4 C t F P Pco F F P co t t : Ft c Ft Pen F 4.4 t 1 1pol ft 1 1n 1pol 1".54 1ft 1'.48 1 lb( ) 4.54kg 1 lb( forç) lb( forç) g. ft P lug g. 1lug 1lb ft kg kg P g P n n r r

26 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre Pco n C: P en P co n g en g en r rd : F, en en gco n co co lbf lbf 9. U crro eporte de = 15 kg pou pen trção trer. eterne o tepo que lev pr ele prr, qundo con o freo 8 k/h. coefcente de trto etátco entre o pneu e uperfíce vle =.. F C: P : F, F v v v t t 8.6 t t brr vertcl te u de.15 kg co centro de eo cnho entre etredde. brr é elevd prtr do repouo e = por eo d lgçõe co hte prlel de neglgencável, pr de hte ger u oento contnte de vlor = 5 k., plcdo à lgção nferor e C. eternr celerção ngulr d lgçõe e função do ângulo e encontrr forç n hte d lgção no ntnte e que =.

27 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre bervr que, plcndo o eore do oento ngulr pr hte C, co pólo e C: : F C t 1.5 t t.k t 1.5 plcndo o eore do Centro de, C, pr brr: P co n P en n g co r n P en r co n P en r co n P en r co co co d co 7 d d d co d d co d d co d en en en co 6 6 rd Pen r n n g en r n en n n plcndo o eore do oento ngulr e relção o polo = pr brr: : F co 1.8 n co t en co 1.8 n co t en n.6. n t

28 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre n Juntndo equçõe: n n n n n n n (Lvro Unp pg. 5) - fgur lutr brr de = 5 kg, que é lgd du hte b-rtculd C e de peo deprezíve. Conderndo o ntnte e que é bndond e repouo, n poção ndcd, pede-e: () celerção d brr; (b) o eforço n hte rtculd. P P C Pn.4 P P co t P en.. plcndo o eore do Centro de, C, pr brr: C.5 n n P en Pco Coo: P g 51 5 C n. rctg co en C n 15 5 C n n r n epouo: =. fgur, oberve que: tˆ en ˆ co ˆj nˆ co ˆ en ˆj Coo: 8 tˆ 8 en ˆ co ˆj 8 en6.87 co 6.87 j ˆ ˆ j plcndo o eore do oento ngulr e relção o polo = pr brr: : ĵ F co.5 co.5 C C C ˆt ˆ C ˆn î. port te peo W = lb e centro de grvdde e. deternr o quão longe port e ove no tepo t prtndo do repouo, e u hoe epurr-lo e C co u forç 8 ˆ 8

29 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre horzontl F. lé do, encontrr reçõe vertc no rolo e. gr de corpo lvre: v 9 do: W = lb, c = 5 ft; d = 1 ft; e = 6 ft; t = ; F = lb; b = ft; g =. ft/. F te F t F t W C: F g W ft 4.8. : F, e e F c b 6 6 F = 15 lb; = 95 lb; d t d d 9.66 ft. eplhder de e = kg que deloc-e pr dret co velocdde 1 /, trnportndo crg co C = 5 kg, qundo o freo ão condo gerndo decelerção gul 4.5 /². coefcente de trto entre crg e pltfor é =.6. o ntnte do conento do freo, pede-e: () celerção d crg; (b) reção d rod n eplhder. F F F F Pe Pc 4.5 FF F t F F t F te 5 FF F 9 t F F t F te 5 C: e F F F t t te :.8 1. P c F, F F.95 F.95 te Ft Ft.8 1. P c F F F.95 te Ft Ft forç de trto tundo entre pltfor e o uporte d eplhder, co não hj ecorregento, vrrá de. C: Ft c.6 5 F t Coo eplhder te u celerção de 4.5 /, c. = = 5; forç de trto é etátc, po 5 < e c, ne celerção, não delzrá

30 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre obre o uporte d eplhder. : F t = 5 (pr equerd). reção à forç de trto é plcd obre pltfor...logo etá plcd pr dret. Pr deternro ânc entre lnh de ção d forç orl obre c e lnh de ção d forç peo obre c,, utlzo o, teore do oento ngulr: : F,.6 Ft c.6 Ft Pc Ft e F F.95 Ft Ft o C, veo que: F F 9 F Ft F t F te Subttundo, tereo: FF te FF F.95 t F t F Ft e F.95 Ft e eplhder de e = kg que deloc-e pr dret co velocdde 1 /, trnportndo crg co C = 5 kg, qundo o freo ão condo gerndo decelerção gul 4.5 /². coefcente de trto entre crg e pltfor é =.6. o ntnte do conento do freo, pede-e: () celerção d crg; (b) reção d rod n eplhder. 5. Clndro óldo hoogeneo 4 de ltur e 5 de dâetro, ão uportdo por u corre trnportdor pln que e ove horzontlente. Se velocdde d cnt é dd por: 1..9 v t t SI onde t é o tepo e egundo eddo prtr do ntnte e que o uento coeç, clculr o vlor de t pr o qul o clndro coeç tobr. Prelh no cnto evtr que o clndro de ecorregr.

31 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre C: Ft P dv P : F, h d Ft h d d h dv P dv g d d 1..9 t h g d 1.8t g h d 5 t g t h Pr que celerção d rção v hte delgd unfore nter orentção otrd n fgur? eglgencr o trto e do pequeno rolo e e. l en l co tg cotg cotg g cotg g g 7. (Lvro Unp pg. 5.8) eplhder de e = kg que deloc-e pr dret co velocdde 1 /, trnportndo crg co C = 5 kg, qundo 1 o freo ão condo gerndo decelerção gul 4.5 /². coefcente de trto entre crg e pltfor é c =.4. o ntnte do conento do freo, pede-e: () celerção d crg; (b) reção d rod n eplhder gr de corpo lvre: Crg: c = 5 kg; coefcente de trto: c c P c P c.6 C: P P : F, l l en co Forç que tu n crg C P c c F C F C Epecfcçõe Peo d crg C orl Entre crg C e pltfor. Lnh de ção d lnh de ção do peo d crg Forç de trto entre crg C e pltfor

32 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre C: Fet c FC c Pc F C 5 c Pc c g 51 5 c c c :, F.4 5 c c 5 4. F.6 c c c.6 c Eplhder: = -4.5 /. e = kg; coefcente de trto µ ( deternr!!) =.4 Fc = ; C = 5 c.6 Forç que tu n eplhder e P e F F F F F C c C: Epecfcçõe Peo d eplhder e. orl n rod trer. orl n rod dnter. Forç de trto n rod trer Forç de trto n rod dnter. eção à Forç de trto trocd entre crg C e pltfor eção à forç orl Entre crg C e pltfor. Lnh de ção d lnh de ção do peo d crg F e F F Fc Pe C et P e 1.5 C.95 F F F C.4 : F,, F F.95 F.95 c c Fc.55 c.4.95 F F

33 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre crrnho de kg etá ujeto à u forç horzontl de ntendde P = 9. eterne celerção d brr C de 15 kg e tenão n cord ontndo o te: Vleu, crnh? rdeu? não quer er engenhero? gor tente fzer o eercíco lre que envolve eplhder do trblho que ão precdo!! 1. o crrnho: C: Fet c P P brr C: C: Fet C C co6 C en6 P C 15 C co6 co6 C C en C en : F lc lc C en co C lc lc co6 en en6 co C co 6 C en6 15 L L L L en en en C co co 6 6 co C eolvendo o te lner: C.5 C C.4.5 C

34 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre C 6. C U hte de C unfore de 4 kg etá lgdo u gol de por u cbo de 5. eprezndo do colr e d edul, deternr () enor celerção contnte pr que o cbo e hte vão etr e lnh ret, (b) tenão correpondente no cbo. 4. U plc retngulr unfore te u de 5 kg e é ntdo e poção por trê cord, coo otrdo. Sbendo que =, deternr, eente pó cord CF er cortd, () celerção d plc, (b) tenão n cord e E. 4 C: Fet co C en PC en en co67.8 C en : F lc lc C en co C lc lc C en en C co co C 1 co co en en en tn P t P n C: F et n E Pn P E g co g en E 5 co g en : F 4 E co E en 4 co en t n

35 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre 19.9 E 6E E 69.9 E E E 5co P n P t E E g en plc retngulr de 18 kg, po-e e trlho nclndo e relção o horzonte de θ = 5 trvé de do uporte e ; nte-e e repouo, n poção ndcd, co o uílo do fo C. denõe ndcd ão: d/ =.9, h =.6. coefcente de trto cnétco entre cd uporte e hte é μ c =.17. dotr g = 9.8 /. o ntnte e que e cort o fo C: () coponente norl d reção e, e, é prodente: n t C: F et n Pn P F F Pn P g co g en g en g co g en g co g en g co g en co : 9.8 en5.17 co F d d Ft h F t h d d h h d d h h d h d h g co co U veículo de = 55 kg, e denõe d 1 =.7, d =.8 e h =.8, prte do repouo levntndo o eo dntero de tl for, que rod dnter perde contto co o olo e det for pernece. dotr g = 1 /. 5

36 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre () ul é o íno coefcente de trto? (b) ul celerção do centro de? C: F : et 1 P F 1 1 P 1 1 g g g 8.75 F t F h d h d h d 1 d 1 h g co co U jto de trnporte co u velocdde de k/h no pouo e reduz u velocdde 6 k/h devdo tução do reverore de epuo de jto, cuj forç pulor negtv vle e u ânc de 45 o longo d pt co decelerção contnte. totl d eronve é de 14 g co o centro de e. Clculr recção de ob rod do nrz pr o f do ntervlo de trvge e nte de plcção de frenge ecânc. o nferor velocdde, forç erodnâc d eronve ão pequeno e pode er neglgencd...57k 6 v v d 6 v v C: Fet : P g F

37 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre g k 44. U jto utlz qutro turbn de propulão que o pulon do repouo 1 /, percorrendo u ânc de 5. eterne forç de pulão n turbn e norl e. totl d eronve é 15 g (1g= kg=1 kg). epreze forç de retênc do r e do trto. g k : (9 5) F k b.: Conderr turbn n outr...!!! v v d v1 v C: F et P eplhder otrdo pe 5 lbf e é ud pr levntr u engrddo de peo 5 lbf o cnhão etá e ovendo pr equerd u velocdde de 1 ft/, qundo o freo ão plcdo e tod qutro rod. Sbendo-e que o coefcente de trto etátco entre c e o elevdor de forqulh é de., deternr enor ânc e que o veículo percorre té prr, e c não delz e e o veículo v pr frente.

38 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre P c c e C n c: F et F c t c c P c c F t g. ft Pe 5 lbf Pc 5 lbf Pe Pe e g e g Pc Pc c g c g c e C: Fet P Pc F g e g c g c e c e g 5 5 g 475 g : Vo clculr e relção o ponto po não teo forç de trto ne nor do ponto. Logo, toreo coo pólo o ponto : =. F P 4P4 t c e c Pc e 4P4c F ft.884 P g c c c c g g g Coo:.89. crg não delzrá... UV v v d d 1 d d 17. ft 46. o ntnte otrdo, hte poue velocdde ngulr = 5 rd/ no entdo nthoráro enqunto brr de 5 kg etá ujet à forç de 1 horzontl otrd. eterne tenão n hte e celerção ngulr d brr. Ue g = 9.81 /. C: F et n P n t F F g F 8

39 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre rd : F k : F 1. V.9.5 H.4 V H 1..4 V 4 1. V 1.41 k U utoóvel trnport o reboque de 9kg ndcdo n fgur. undo u velocdde é 6 k/h, ele é fredo unforeente té prr, percorrendo u ânc de. eprezndo o trto n rod do reboque, deterne forç que tu no gncho de ence. v v v d 6 v C: Fet H V P H V H H 4 V 88.9

40 nâc do Sóldo Prof. Cláudo S. Srtor ot de ul 1 1 etre 4