lim d dt lim d dt s r r Unidades: Radiano: Grau: Grado:100 gr 90

Transcrição

1 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. Introdução: E algua tuaçõe e fíca, não há a pobldade de etudar o ovento coo e a partícula foe u ponto ateral. Ctao o ovento de u CD/DVD, o ovento de ua erra elétrca ou de ua roda ggante. Cada u dele envolve u corpo que gra e torno de u exo que peranece etaconáro e relação a algu tea de referênca nercal. A rotação ocorre e toda a ecala, dede o ovento de elétron e torno de átoo até o ovento de galáxa ntera. Deenvolvereo étodo epeca que anala o ovento de corpo que gra. o undo real, a força que atua no corpo pode anda deforá-lo, etcando-o, torcendo ou coprndo-o. Deprezareo ea deforaçõe, upondo que o corpo antenha ua fora defnda e utável, cujo odelo denonao de corpo rígdo. Velocdade angular e aceleração angular Degnao por exo fxo aquele que peranece e repouo e relação a algu referencal nercal e que não uda de dreção. Undade: adano por egundo: rad/. Velocdade angular ntantânea: l t 0 t d dt Aceleração angular: Aceleração angular éda: t t t Undade: adano por egundo ao quadrado: rad/². Aceleração angular ntantânea: l t 0 t d dt Ângulo θ: r r Undade: adano: Grau: Grado:00 gr 90 rad 80 Velocdade angular: Velocdade angular éda: t t t Obervaçõe: o MCU: f T f: Freqüênca. Undade: Hertz (Hz) Hz = / ou rp=(/60)hz T: período. r Exeplo A fgura otra o volante de u carro que etá endo tetado. A poção angular dea roda é: rad t O dâetro do volante é gual a 0.6. Ache: (a) o ângulo θ, e radano e e grau, no ntante t =.0 e t = 5.0. (b) Ache a dtânca percorrda por ua partícula na perfera do volante nee ntervalo de tepo.

2 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. (c) Calcule a velocdade angular éda, e rad/ e e rev/n (rp) entre t =.0 e t = 5.0. (d) Ache a velocdade angular ntantânea para t =.0. Solução: (a) t 6rad rad t 5 50rad r (b) (c) tt 5 rad rad rev n d (d) 6 t dt 6 54rad Exeplo Calcule a aceleração angular do ntantânea e a aceleração angular éda entre o ntante t =.0 e t = 5.0 do exeplo anteror: Solução: rad t d d d d dt dt dt dt t rad tt 50 4 rad 4 5 otação co aceleração angular contante: 0 t 00 t t 0 0 Exeplo otação co velocdade angular contante. Ua roda de bccleta etá endo tetada e ua ofcna de reparo. A velocdade angular da roda é 4.00 rad/ no ntante t = 0 e ua aceleração angular é contante e gual a.0 rad/. U rao OP da roda concde co o exo Ox no ntante t = 0. (a) Qual a velocdade angular da roda no ntante t =.00? (b) Qual é o ângulo forado pelo rao OP e o exo +Ox nee ntante?

3 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. crcunferênca de rao 0.8. Vao upor que o braço do lançador poa er tratado coo u corpo rígdo, logo, r é contante. Deterne o coponente vertcal e o coponente horzontal da aceleração no ntante e que a velocdade angular é 0 rad/. Solução: (a) 0 t rad (b) 00 t t rad Aceleração tangencal, centrípeta e reultante Solução: at r at at 40 acp r acp acp 80 a a a a cp T a 89 Exeplo 5 Projeto de ua hélce. Você fo olctado para projetar a hélce de u avão que deve grar a 400 rp. A velocdade do avão deve er de 75.0 / (70 k/h), e a velocdade da extredade da lâna da hélce não pode uperar 70 /. (Io é cerca de 0.8 veze a velocdade do o no ar. Se a extredade da lâna e delocae co a velocdade do o, ela podera produzr ua enore quantdade de ruído. Mantendo a velocdade enor que a velocdade do o obté-e u nível de ruído acetável.) (a) Qual é o rao áxo que a hélce pode ter? (b) Co ee rao, qual é a aceleração da extredade da hélce? Aceleração tangencal: a T r Aceleração centrípeta ou noral: v acp acp r r Aceleração reultante: a a a cp T Exeplo 4 Movento de u dco. O lançador de u dco gra co aceleração angular = 50 rad/², fazendo o dco e over ao longo de ua Solução: 400 f 400rp f Hz 60 f 40Hz

4 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. f rad (a) Velocdade tangencal de u ponto P na extredade da hélce:: v r P Velocdade do avão e relação ao ar: v A. Velocdade total: v v v v v r r A P A v v A r 5 r.0 (b) A velocdade angular da hélce é contante: a r a 5.0 cp cp a cp Força que a hélce exerce: F 4 F acp 6.50 kg A hélce ão fabrcada de atera leve e duro, coo lga de aluíno. Exeplo 6 Engrenage de ua bccleta. Coo relaconar a velocdade angulare da dua roda dentada de ua bccleta co o núero de dente de cada roda? r r r r A velocdade angular de cada roda dentada é nveraente proporconal ao núero de dente. E ua bccleta co vára archa, você obté a velocdade angular a elevada da roda traera pedalando co ua taxa quando a razão / é áxa; o gnfca que você deve uar a roda dentada dantera co aor rao (aor valor de ) e a roda traera co enor rao (enor valor de ). Energa do ovento de rotação U corpo grando conttu-e de aa e ovento. Podeo ecrever a energa dee ovento e tero da velocdade angular do corpo: A energa cnétca total do corpo é a oa da energa cnétca de toda a partícula do corpo: K v K r K r Moento de Inérca Defno coo oento de nérca, o produto pela aa co o quadrado de ua dtânca ao exo de rotação. A palavra oento dá a déa de que I depende da anera coo que a aa do corpo é dtrbuída no epaço. I r Undade: kg.. K I Exeplo aocado a oento de nérca: 4 Solução: v v r r r r A condção de que o epaçaento entre o dente é o eo na dua roda dentada é dado por:

5 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. Exeplo 7 Moento de nérca e relação a dferente exo de rotação. U engenhero etá projetando ua parte de ua certa áquna que conte e trê conectore peado lgado por uporte leve,. O conectore pode er conderado coo partícula peada conectada por hate co aa deprezíve. (a) Qual é o oento de nérca dee corpo e relação a u exo perpendcular ao plano do deenho paando no ponto A? (b) Qual é o oento de nérca dee e torno de u exo que concde co a hate BC? (c) Se o corpo gra e torno de u exo perpendcular ao plano do deenho e paa por A, co velocdade angular = 4.0 rad/, qual é a ua energa cnétca? Moento de nérca de fgura: 5 Teorea do exo paralelo Solução: (a) A partícula no ponto A etá obre o exo. Sua dtânca r é 0. A: I r I I kg (b) A partícula e B e e C etão obre o exo. Para ela, r = 0. A: I r I I 0.048kg (c) K I K K 0.46 J Obervação: O oento de nérca de u corpo depende da localzação e da orentação do exo. I I M d P CM

6 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. Exeplo 9 Deenrolando u cabo. U cabo leve, flexível e não deforável, é enrolado vára veze e torno da perfera de u tabor, u clndro óldo co u dâetro de 0.0 e aa gual a 50 kg, que pode grar e torno de u exo etaconáro horzontal antdo por anca e atrto. A extredade lvre do cabo é puxada por ua força contante de ódulo gual a 9.0 delocando-e ua dtânca de.0. Ele e deenrola e delzar fazendo o clndro grar. Se o clndro ncalente etá e repouo, calcule ua velocdade angular e a velocdade ecalar fnal do cabo. Exeplo 0 Deenrolando u cabo II. E ua experênca de laboratóro para tetar a conervação da energa ecânca de rotação, enrolao u cabo leve e flexível e torno de u clndro acço de aa M e rao. O clndro gra co atrto deprezível e torno do exo horzontal etaconáro. 6 Solução: Exte atrto entre o cabo e o clndro: é o que faz o clndro grar a que puxao o cabo. Poré, coo o cabo não delza, não exte nenhua velocdade relatva de delzaento entre o cabo e o clndro, e nenhua energa ecânca é perdda e vrtude do atrto. A varação de energa cnétca do clndro é gual ao trabalho W = F realzado pela força F = 9.0 que atua e u delocaento =.0 ; portanto, W = 9. = 8J. De acordo co a tabela de oento de nérca: I M I I kg Coo o clndro etá ncalente e repouo, pelo teorea trabalho-energa: W K K W I I0 Coo o corpo etá e repouo: 0 0 W 8 I rad v r v v. Aarrao a extredade lvre do cabo a u objeto de aa e lbertao o objeto e velocdade ncal a ua dtânca h aca do olo. À edda que o objeto ca, o cabo e deenrola e delzar ne e etcar, fazendo o clndro grar. Calcule a velocdade do objeto que ca e a velocdade angular do clndro no ntante que o objeto atnge o olo. Solução: Incalente, o tea não pou nenhua energa cnétca (K = 0). Conderao a energa potencal gual a zero quando o objeto etá no nível do olo. Logo, U =.g.h e U =0. (Podeo gnorar a energa potencal gravtaconal do clndro, vto que ua altura não vara). A, o atrto não realza trabalho, logo: W U K U K F 0 O cabo não realza trabalho total, porque e ua extredade a força e o delocaento etão no eo entdo, e na outra extredade a força pou entdo contráro ao do delocaento. Logo, o trabalho total do cabo é gual a zero. Iedataente ante de o objeto coldr co o olo, tanto o objeto quanto o clndro poue energa cnétca. A energa cnétca total K nee ntante é: K v I I M clndro v A velocdade da aa que ca deve er gual à velocdade tangencal de u corpo na perfera do clndro. Uando ea relaçõe e gualando a energa total ncal co a energa total fnal, tereo:

7 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. U K U K v 0 g h v M g h M v gh v M Velocdade angular fnal: Oberve que: v M v 0 M v g h Veja que v não depende do rao do clndro! Exeplo Uo do teorea do exo paralelo. Ua da parte de ua artculação ecânca pou aa gual a.6 kg. Medo eu oento de nérca e relação a u exo tuado a ua dtânca de 0.5 do eu centro de aa e encontrao o valor I P = 0. kg.. Qual o oento de nérca e relação a u exo que paa pelo eu centro de aa I c? Solução: I I M d P c c I I M d P I c Ic 0.05 kg Cálculo de oento de nérca. Quando u corpo rígdo não pode er repreentado por aa puntfore, podeo ecrever a relação ntegral: I corpo r d Dependendo de coo a aa etá dtrbuída, podeo defnr a dendade: Dendade Síbolo Defnção Undade Lnear Superfcal Voluétrca M L M A M V kg kg kg Para o cao undenonal, podeo defnr: d d dl dl I r dl corpo 7

8 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. Para corpo b e trdenona, veja a tabela a egur. Tabela - Defnçõe de Moento, Moento de nérca e centro de aa. Centro de Maa ( x, y ) x, y, z ) ( Moento Moento de Inérca I x I y I o, I z Corpo Bdenona (Fgura Plana) x y x da da y da Lâna da Corpo trdenona x y z Sóldo x dv dv y dv dv z dv dv M y x M xy z M x y M xz y Fgura Plana M yz x Corpo Trdenona y da ( y z ) dv x da ( x z ) dv ( x y ) da ( ) y x dv dtânca x do ponto O. A, e a dendade lnear é unfore: d M M d dx dx L L I r d Lh h corpo Lh M M I x dx I x dx L L M x I L xlh xh I M L Lh h h o Se o exo paar pela extredade equerda: h = 0: I M L o Se o exo paar pela extredade dreta: h = L: I M L o Se o exo paar pelo centro: h=l/: I M L Exeplo Clndro acço ou oco grando e torno de eu exo. A fgura otra u clndro oco e unfore co coprento L, rao nterno e externo e aa M. Calcule o oento de nérca e relação ao exo de etra do clndro. 8 Exeplo Barra delgada unfore, exo ortogonal ao eu coprento. A fgura otra ua barra ou vara delgada unfore de aa M e coprento L. Deterne eu oento de nérca e relação a u exo paando pelo ponto O, a ua dtânca arbtrára h de ua de ua extredade. Solução: Ecolhendo u eleento de aa de ua eção reta da barra co coprento dx tuado a ua Solução: d dv d r L dr I corpo r d

9 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor. I r r Ldr I L r dr L I Exeplo 4 Efera hoogênea de rao e exo paando pelo centro. A efera abaxo podera er ua bola de blhar. Deterne eu oento de nérca. M M V 4 M I 5 I 8 M 5 4 I M Solução: r x d dv d r dx I corpo r d d x dx Para u dco: di r d di x x dx di x dx I x dx I 5 Exeplo 5 Movento de u CD/DVD. E u copact dc ou dgtal vdeo dc, a nforaçõe ão gravada dgtalente e ua ére de pt ( buraco ) e flat (regõe de área plana) obre a uperfíce do dco, repreentando ua ére de bnáro 0 ou, que erão ldo pelo copact dc player e convertdo e onda onora. O pt e a flat area ão detetado por u tea de u laer e lente. O coprento de u certo núero de zero e un gravado é o eo ao longo de todo o dco, próxa a borda ou próxo ao eu centro. Para que o coprento da regão gravada de 0 e epre pae pelo tea de letura lente e laer no eo período, a velocdade lnear da uperfíce do dco na regão de letura deve er contante. E u aparelho de CD típco, a velocdade de letura é da orde de. /. Encontre a velocdade angular do dco quando a nforação etá endo lda do nteror (frt track) e r = e no exteror (fnal track) r = 58. Solução:

10 Fíca Capítulo 6 otação de corpo rígdo Prof. Dr. Cláudo. Sérgo Sartor.. rad 56.5 v.0 r. rad e.4 e f f 8.99Hz f.4 fe fe.565hz f ( rp) f ( Hz) 60 f f e 59.4rp.9rp 0