4.2 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO Equação; Curvaturas Principais; Teorema de Euler Conceitos sobre curvaturas

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1 4. GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO Equção; Curvturs Principis; Teorem de Euler Conceitos sobre curvturs Comprimento de um rco de elipse meridin Áres sobre o elipsóide Ltitude Geocêntric e Reduzid Exercícios Seções normis no elipsóide Seções normis recíprocs Ângulo formdo por dus seções normis recíprocs Seprção entre rcos de dus seções normis recíprocs 4..6 Linh geodésic Teorem de Clirut Curvtur d geodésic Diferenç de comprimento entre geodésic e seção norml Ângulo formdo entre geodésic e s seções normis recíprocs Aproximção esféric REFERÊNCIAS 9

2 1 4. GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO O elipsóide de revolução é figur gerd pel rotção de um elipse sobre um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide chtdo. Sej um sistem de coordends crtesins tridimensionis dextrógiro cuj origem coincide com o centro do elipsóide de revolução, conforme ilustr figur 4.1. Figur 4.1 Sistem de coordends crtesins tridimensionis ssocido o elipsóide de revolução Z r φ r φ Y X b Fzendo X = 0, obtém-se no plno YZ um elipse com semi-eixo mior e semi-eixomenor b (figur 4.). Figur 4. Elipse no plno YZ b Y

3 Fzendo Z = 0, obtém-se no plno XY um circunferênci com rio igul o semi-eixo mior (figur 4.3). Os plnos prlelos o plno XY tmbém serão circunferêncis cujos rios r φ (equção 4.1) irão vrir conforme ltitude. Figur 4.3 Circunferênci no plno XY Y X E fzendo Y = 0, obtém-se no plno XZ um elipse com semi-eixo mior e semieixo-menor b (figur 4.4). Figur 4.4 Elipse no plno XZ Z b X

4 Equção; Curvturs principis; Teorem de Euler Existe outro elipsóide que pode representr Terr, o elipsóide trixil ou escleno, que possui três eixos desiguis, o que implic n necessidde de três prâmetros pr defini-lo mtemticmente e um qurto prâmetro pr definir direção do semi-eixo mior. Um elipsóide trixil ou escleno (figur 4.5), com centro n origem do sistem crtesino considerdo, tem seguinte equção: x + y + c z + b = 1 (4.1) N equção (4.1) s vriáveis x, y e z podem ssumir os intervlos - x -c y c e - b z b; A condição d equção (4.1) é que os semi-eixos do elipsóide trixil ssumm seguinte ordem de grndez: b < c < (4.) Figur 4.5 Elipsóide trixil ou escleno Z b c Y X As seções determinds pelos plnos coordendos Z = 0, Y = 0 e X = 0 são elipses

5 4 dds pels equções: x + c y = 1 x + b z = 1 y c + b z = 1 (4.3) A seção produzid por um plno prlelo o plno Z = 0, por Z = d é dd pel equção (4.4) que represent um elipse: b x ( b d ) + c b y ( b d ) = 1 (4.4) De mneir nálog, s seções produzids por plnos prlelos os demis plnos coordendos tmbém são elipses. Fzendo n equção (4.1) = c, seção será um circunferênci pr todos os vlores de d que stisfçm à condição b < d < b e tem-se um elipsóide de revolução. Se > b, o elipsóide de revolução será chtdo e constitui superfície gerd pel rotção de um semi-elipse em torno do eixo Z, definid mtemticmente pel equção: x + y z + b = 1 (4.5) Um elipsóide de revolução, ou bixil, fic perfeitmente definido por meio de dois prâmetros, o semi-eixo mior e o semi-eixo menor b. Em, o elipsóide de revolução é trdicionlmente definido trvés dos prâmetros semi-eixo mior e chtmento f. Como o elipsóide de revolução é o modelo utilizdo pr representr form d Terr é necessário conhecer seus elementos geométricos e s relções existentes entre eles. D equção (4.5) deduz-se que tod seção produzid por um plno que psse pelo eixo Z será um elipse de semi-eixo mior e semi-eixo menor b, e qulquer relção válid pr um seção é válid pr s demis e pr o elipsóide de revolução. A seção produzid pelo plno X = 0 n superfície representd pel equção (4.5) é um elipse (figur 4.6) dd pel equção: y + b z = 1 (4.6)

6 5 Figur 4.6 Seção produzid pelo plno X = 0 no elipsóide de revolução Z P y P ( 0, y, z ) Q F f b O Ψ R B φ z Q π/ + φ Y C P Sendo, n figur 4.6: F = foco f = distânci focl = semi-eixo mior d elipse b = semi-eixo menor d elipse φ = ltitude elipsóidic Ψ = ltitude geocêntric mior: O chtmento f é rzão entre diferenç dos semi-eixos em módulo e o semi-eixo f b = (4.7) A primeir excentricidde o qudrdo e é dd por:

7 6 e = f f (4.8) e b = (4.9) A segund excentricidde e é fornecid por: e ' b b = (4.10) que se relcion com primeir excentricidde por: (1- e ) (1+ e ) = 1 (4.11) ou e ' e f f = = (4.1) 1 e (1 f ) e ' e = (4.13) ' 1+ e b 1 1 e e e ' ' = (1 e ) = = (4.14) f ' e e = (4.15) ' e + e Conceitos sobre curvturs Sej s distânci entre dois pontos A e B sobre um curv pln e ω o ângulo formdo pels normis que pssm por A e B (figur 4.7). Define-se curvtur (ρ) d linh pelo quociente:

8 7 ω ρ = (4.16) s Figur 4.7 Curvtur s A B ω Rio de curvtur d curv em um ponto (ou rio do círculo osculdor) é o inverso d curvtur, ou sej, 1 s = ρ ω (4.17) Chm-se rio de curvtur principl em um ponto A de um superfície, à seção produzid por um plno norml à mesm, tl que o rio de curvtur correspondente sej o máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis. Normlmente, em um superfície, existirão dus seções principis. Tods s demis, compreendids por plnos que pssm pel norml o ponto A terão rios de curvtur compreendidos entre mbos, conforme ilustr figur 4.8 (ASÍN, 1990, p. 167). Restringindo-se o elipsóide, têm-se dus seções principis, d elipse meridin, com curvtur máxim e produzid por um plno que contém norml no ponto A e é perpendiculr o plno do meridino, cuj curvtur é mínim. Os rios de curvtur correspondentes ests seções principis são M e N (equções 4.0 e 4.18 respectivmente) Figur 4.8 Plnos que pssm pel norml no ponto A

9 8 Norml superfície superfície N M Fonte: dptdo de ASÍN (1990, p.168) O rio de curvtur d seção primeiro verticl N ou grnde norml e pequen norml N são ddos por: N = (4.18) ( 1 e sen φ) 1/ N' = N(1 e ) (4.19) onde φ é ltitude geodésic de P. N figur 4.9, sej um ret que pss por um ponto P n superfície físic d Terr perpendiculr à superfície do elipsóide de revolução. Est ret é denomind norml de P. A distânci entre os pontos P e P é grnde norml N e distânci entre os pontos P e P é pequen norml N. Figur 4.9 Grnde norml N e pequen norml N

10 9 P Norml de P b Superfície físic P P P O rio de curvtur d seção meridin M é clculdo por: M (1 e ) = (4.0) 3/ (1 e sen φ) Conhecidos os rios de curvtur principis em um ponto define-se como curvtur médi expressão: R m NM 1 = 1 (4.1) E o rio médio de curvtur é ddo por: R M = NM (4.) Conhecendo-se o zimute A de um seção norml em um ponto do elipsóide, o rio de curvtur correspondente ess seção é proporciondo pelo Teorem de Euler, que fornece o rio de curvtur R de um seção genéric com zimute A:

11 10 1 R cos A sen A = + (4.3) M N A figur 4.10 ilustr o Teorem de Euler. Figur 4.10 Teorem de Euler A α N A O A O rio do prlelo r φ que contém um ponto ddo é fornecido pelo Teorem de Meusnier, cujo enuncido é (GEMAEL, 1987, não pgindo): O rio de curvtur de um seção oblíqu cujo plno contém um tngente à superfície n origem é igul o produto do rio d seção norml cujo plno contém mesm tngente pelo cosseno do ângulo formdo pels dus seções. r φ = N cosφ (4.4) 4.. Comprimento de um rco de elipse meridin O comprimento de um rco de elipse meridin (figur 4.11) é ddo por (GEMAEL, 1987, não pgindo):

12 11 s = (1 e )[ A( φ φ1)" sen1" B( senφ senφ1 ) + C( sen4φ sen4φ1 ) 4 D( sen6φ sen6φ ) E( sen8φ sen8φ ) F( sen(10φ sen10φ )]... 1 (4.5) E os vlores dos coeficientes A, B, C, D e E são ddos por: A = 1+ e + e + e + e + e +... (4.6) B = e + e + e + e + e +... (4.7) C = e + e + e + e +... (4.8) D = e + e + e +... (4.9) E = e + e (4.30) F = e (4.30 ) 13107

13 1 Figur 4.11 Arco de elipse meridin 1 Δφ Áres sobre o elipsóide pgindo): A áre sobre um zon elipsóidic (figur 4.1) é obtid por (GEMAEL, 1987, não com φ A = 4πb [ A' sen Δφ cosφm B' sen 3Δφ cos 3φ m + C' sen 5Δφ cos 5φ m...] (4.31) φ 1 φ φ φ = 1 Δ (4.3) φ + φ φ 1 m = (4.33) A ' = 1+ e + e + e + e + e +... (4.34) B ' = e + e + e + e + e +... (4.35) C ' = e + e + e + e +... (4.36) D ' = e + e + e +... (4.37)

14 E ' = e + e +... (4.38) Figur 4.1 Zon elipsóidic X A áre T do qudrilátero elipsóidico, compreendido entre dois prlelos e dois meridinos é fornecid por T = m m m b Δλ ( A' sen Δφ cosφ B' sen3δφ cos3φ + C' sen5δφ cos5φ +... ) (4.39) 4..4 Ltitude geocêntric e reduzid Sej o ponto P sobre superfície elipsóidic d figur 4.6. A norml o elipsóide que pss por P form com su projeção equtoril (Z=0) ltitude geodésic ou elipsóidic φ, cuj vrição é de -π/ φ π/, sendo considerd por convenção positiv no Hemisfério Norte e negtiv no Hemisfério Sul. A ltitude geocêntric ψ do ponto P é o ângulo formdo pelo rio vetor deste ponto com su projeção sobre o plno equtoril. A ltitude geocêntric present mesm vrição e convenção d ltitude geodésic. tg Ψ = (1 e ) tgφ (4.40) A figur 4.13 ilustr ltitude geodésic e geocêntric no elipsóide de revolução.

15 14 Figur 4.13 Representção d ltitude geodésic e geocêntric no elipsóide de revolução P N P ψ B φ C P S O elipsóide de revolução possui dus esfers principis, um com rio igul o semieixo menor e outr com rio igul o semi-eixo mior, mbs concêntrics, com centro no elipsóide (figur 4.14). Figur 4.14 Esfers principis do elipsóide de revolução Z A r A (0,y,z) z O μ y M Y

16 15 A superfície esféric de rio igul o semi-eixo mior é tngente o elipsóide o longo d linh equtoril. Est superfície é conhecid por esfer de Jcobi ou esfer reduzid. A cd ponto A situdo n superfície do elipsóide de revolução corresponde um ponto A n esfer reduzid, trvés do prolongmento d ordend de A. Ltitude reduzid (μ) é o ângulo formdo pelo rio vetor ( OA ' ) do ponto imgem sobre esfer reduzid e su projeção sobre o plno equtoril. Apresent mesm vrição e convenções ds ltitudes geodésics e geocêntrics. A relção entre ltitude reduzid e ltitude geodésic é dd por: ) 1/ = (4.41) tgμ ( 1 e tgφ Exercícios Pr um ponto de ltitude geodésic φ = 5 o geodésico SAD 69, clculr os itens seguir discrimindos. 5 4 S determind no sistem Pr o SAD 69 o elipsóide utilizdo é o de referênci de 1967 cujos prâmetros são: = ,00 m f = 1/98,5 1) Primeir excentricidde o qudrdo: e =... ) Semi-eixo menor: b =... 3) Rio de curvtur d seção primeiro verticl: N =... 4) Pequen norml: N =... 5) Rio de curvtur d seção meridin: M =... 6) Rio médio de curvtur: R m =...

17 16 7) Rio de curvtur de um seção cujo zimute é A = 30 o : R =... 8) Rio do prlelo que contém o ponto ddo: r φ =... 9) Segund excentricidde do elipsóide: e =... 10) Ltitude geocêntric: ψ =... 11) Ltitude reduzid : μ=... 1) Distânci do ponto o centro do elipsóide: y =... z =... R = Seções normis no elipsóide Por um ponto P sobre superfície do elipsóide de revolução é possível conduzir infinitos plnos que contém norml à superfície. Qulquer plno que contém norml e portnto sej perpendiculr o plno tngente o elipsóide nesse ponto é chmdo de plno norml. A curv resultnte d interseção de um plno norml com superfície elipsóidic chm-se seção norml. Em cd ponto existem dus seções normis principis que são mutumente perpendiculres e cujs curvturs nesse ponto são, um máxim e um mínim. Um ponto P sobre superfície de um elipsóide de revolução possui s seções normis principis chmds de seção norml meridin e seção norml primeiro verticl. A seção norml do primeiro verticl é gerd pelo plno Ω perpendiculr seção meridin no ponto P (figur 4.15). O rio de curvtur d seção meridin é representdo por M e o rio de curvtur d seção primeiro verticl é representdo por N.

18 17 Figur 4.15 Seção norml primeiro verticl Z P P φ π/ + φ Y X P Ω A figur 4.16 ilustr um curv resultnte d interseção do plno prlelo o plno xy, pssnte por P, oblíqu à seção do primeiro verticl, sendo que mbs s seções se interceptm segundo tngente o elipsóide. Figur 4.16 Rio vetor de um ponto no elipsóide de revolução Z t r = y P (0,y,z) O R φ z π/ + φ π/ - φ Y P X

19 18 O Teorem de Meusnier fornece o rio de curvtur de um seção oblíqu (equção 4.4). De cordo com os elementos já definidos e com figur 4.16 tem-se: cosφ r = y = N cosφ = (4.4) 1/ (1 e sen φ) z = N' senφ = N(1 e ) senφ (4.43) O rio vetor de P corresponde o segmento OP ' = R (figurs 4.6 e 4.16) distânci do centro do elipsóide um ponto P sobre su superfície. Este segmento present um vrição de b R. O rio vetor em função ds coordends retilínes do ponto P é ddo por: R + = y z (4.44) Seções normis recíprocs As normis reltivs dois pontos de um superfície esféric convergem no centro d esfer, sendo portnto co-plnres (figur 4.17). O mesmo não contece com dois pontos quisquer d superfície elipsoidl. Figur 4.17 Normis um superfície esféric Z B A O Y X

20 19 Sejm dois pontos P 1 e P sobre superfície de um elipsóide de revolução, com ltitudes φ 1 e φ tis que φ 1 < φ e s longitudes λ 1 e λ sejm diferentes, conforme figur Figur 4.18 Seções normis em dois pontos P 1 e P Z P P 1 N N 1 φ 1 φ Y n 1 X n As normis à superfície elipsóidic de cd ponto interceptm o eixo Z em dois pontos diferentes n 1 e n. Os segmentos de ret definidos por P 1 n 1 = N 1 e P n = N são s grndes normis (ou rios de curvtur d seção primeiro verticl) dos pontos P 1 e P. Observ-se n figur 4.18 que qunto mior ltitude do ponto, mior grnde norml. A seção norml resultnte d interseção do plno que contém norml em P 1 e o ponto P, com o elipsóide de revolução, é dit seção norml diret em relção P 1, ou seção norml recíproc em relção em relção P, indicd por um set no sentido de P. A seção norml resultnte d interseção do plno que contém norml em P e o ponto P 1, com o elipsóide de revolução, é chmd seção norml diret em relção P ou seção norml recíproc em relção P 1, indicd por um set no sentido de P 1. Pr identificr seção norml diret de um ponto P 1 pr um ponto P tom-se como referênci o ponto que estiver mis o Sul. A seção diret do ponto mis o Sul é curv mis o Sul (figur 4.19). As dus seções, diret e recíproc, são chmds seções normis recíprocs. Os plnos que definem s seções normis recíprocs não coincidem qundo s ltitudes e longitudes são diferentes.

21 0 Figur 4.19 Seções normis direts e recíprocs P 4 P 3 P 1 P5 P Existem lguns csos prticulres em que s normis se interceptm, ou sej, são coplnres: ) qundo os dois pontos P 1 e P possuem mesm ltitude, situndo-se portnto no mesmo prlelo (figur 4.0). Figur 4.0 Seções normis em dois pontos com mesm ltitude Z P 1 P N N 1 φ 1 φ Y X b) qundo os dois pontos P 1 e P possuem mesm longitude, situndo-se portnto no mesmo meridino (figur 4.1).

22 1 coincidentes. Portnto, pr ltitudes ou longitudes iguis, s seções normis recíprocs são Figur 4.1 Seções normis em dois pontos com mesm longitude Z P P 1 φ φ1 Y X Ângulo formdo por dus seções normis recíprocs Dois pontos P 1 e P com coordends elipsóidics diferentes sobre superfície de um elipsóide de revolução definem dus seções normis recíprocs. O ângulo formdo pels seções normis recíprocs é obtido pel equção: e' S SsenAs senφ θ '' = ( sena cos ) s φ (4.45) 4b 4b Onde: θ = ângulo entre dus seções normis recíprocs em segundos de rco; e = segund excentricidde; S = comprimento d linh geodésic; A s = Azimute d seção norml diret (contdo prtir do Norte do sentido horário); φ = ltitude geodésic ou elipsóidic; b = semi-eixo menor;

23 Como diferenç entre os ângulos θ 1 e θ formdos pels dus seções normis recíprocs em P 1 e P, respectivmente, é muito pequen (figur 4.), θ 1 e θ são considerdos iguis, o que não compromete precisão dos resultdos em cálculos geodésicos, como por exemplo, o trnsporte de coordends. O ângulo formdo por dus seções normis recíprocs pode tingir ordem de centésimos de segundo (0,01 ) em tringulções e poligonções clássics. Figur 4. Ângulo entre dus seções normis recíprocs P θ θ 1 P Seprção entre rcos de dus seções normis recíprocs Fzendo-se lgums simplificções, cheg-se à equção que fornece seprção máxim (l) entre dus seções normis recíprocs (GEMAEL, 1987, não pgindo): 3 e S cos φsenas l = (4.46) 16N Ns condições mis desfvoráveis pr φ = 0 e A s = π/4, o vlor máximo d seprção (l) entre dus seções normis recíprocs (considerndo-se o comprimento ds seções como igul o d linh geodésic), pr um comprimento de 40 km, não cheg 1 mm.

24 Linh geodésic A figur 4.3 ilustr três pontos P 1, P e P 3 sobre superfície do elipsóide de revolução. Se fosse possível instlr um teodolito no vértice P 1, fzendo o eixo verticl coincidir com norml o ponto P 1, o pontá-lo pr o ponto P o plno de visd coincidiri com o plno d seção norml diret de P 1 pr P. De P pr P 1 o plno de visd do teodolito interceptri superfície do elipsóide o longo do plno d seção norml diret de P pr P 1. A mesm nálise pode ser feit pr os outros vértices. Conclui-se que o triângulo P 1 -P -P 3 não é determindo de mneir unívoc devido à duplicidde de seções normis. Figur 4.3 Triângulo elipsóidico P 3 P 1 P Pr definir o triângulo elipsóidico P 1 -P -P 3 de mneir unívoc, os vértices P 1, P e P 3 devem ser unidos pelo melhor cminho. A curv que represent o menor cminho entre dois vértices geodésicos P 1 e P sobre o elipsóide de revolução, não é seção norml diret de P 1 nem su seção norml recíproc, ms sim um curv, em gerl revers, situd entre dus seções normis recíprocs, denomind de geodésic. Curv revers é um curv que não está contid em um plno. O menor cminho entre dois pontos no plno é um segmento de ret, n esfer, um rco de circunferênci máxim e no elipsóide de revolução, geodésic. Sobre superfície esféric geodésic é um rco de circunferênci máxim. Geodésic (figur 4.4) é linh jcente num superfície, tl que em todos os seus pontos o plno osculdor é norml à superfície, ou em todos os seus pontos norml principl coincide com norml à superfície.

25 4 Figur Geodésic Z A 1 P A 1 P 1 Y X O plno osculdor d geodésic é perpendiculr em qulquer ponto o plno tngente à superfície, conforme ilustr figur 4.5. Figur 4.5 Plno Osculdor Plno osculdor Plno norml Plno retificdor Fonte:< jftjft/imgenes/plno.gif>

26 Teorem de Clirut O enuncido do Teorem de Clirut é o seguinte: Em qulquer ponto de um linh geodésic trçd sobre um superfície de revolução o produto do rio r do prlelo desse ponto pelo seno do zimute A d geodésic é constnte. Ou sej: r sen A = constnte (4.47) O estudo do comportmento d geodésic sobre o elipsóide de revolução, fundmentl n solução do problem geodésico direto e inverso, bsei-se no Teorem de Clirut. Pr um ponto situdo no equdor, s ltitudes geodésic, geocêntric e/ou reduzids são nuls, pode-se então escrever: sen A q = constnte (4.48) Como o rio r é máximo no equdor, igul o semi-eixo mior, e considerndo-se o Teorem de Clirut tem-se que sen A q = min (4.49) Comprndo-se s equções (4.47) e (4.48) obtém-se: r sen A = sen A q = constnte (4.50) Substituindo n equção (4.50) o vlor de r fornecido pel equção (4.4) obtém-se equção do zimute equtoril A q d linh geodésic. O zimute equtoril de um linh geodésic é do mesmo qudrnte do zimute em um ponto qulquer d mesm, com ltitude vrindo de 0 té o prlelo limite: sena q N cosφsena = (4.51)

27 6 Tod geodésic dmite dois prlelos limites, simétricos e tngentes, determinndo zon elipsoidl em que está contid. Os pontos comuns à geodésic e os prlelos limites são os vértices d geodésic, onde ltitude é máxim ou mínim. A geodésic não se fech sobre si mesm, isto é, percorre espirs dentro d zon elipsóidic n qul está contid Curvtur d geodésic O rio de curvtur de um geodésic é fornecido pelo Teorem de Gudermn, cujo enuncido é: O rio de curvtur de um linh geodésic jcente n superfície de um elipsóide de revolução é, em todos os pontos, proporcionl o rio de curvtur d seção meridin. M ρ A = (4.5) 1 e sen A q Diferenç de comprimento entre geodésic e seção norml As seções normis não formm triângulos elipsóidicos únicos e pr solucionr problems geodésicos é necessário conhecer linh geodésic correspondente às seções normis. A diferenç de comprimento d seção norml reltiv dois pontos P 1 e P e o comprimento d linh geodésic é clculd trvés de um série, sendo suficiente seu primeiro termo: S e cos φsen A δ S = (4.53) 4 360N sendo: δ = comprimento d seção norml; S = comprimento d linh geodésic; A = zimute d linh geodésic entre P 1 e P ; Ns condições mis desfvoráveis (φ = 0 e A = 45 ) e sendo o comprimento S d geodésic m diferenç não tinge 0,1 mm.

28 Ângulo formdo entre geodésic e s seções normis recíprocs Dus seções normis recíprocs sobre superfície de um elipsóide de revolução formm entre si um ângulo θ. Se fosse possível instlr um teodolito sobre superfície do elipsóide s medids ngulres se referirim às seções normis. Ms, é necessário trnsformr s medids correspondentes às seções normis em medids correspondentes à linh geodésic. A figur (4.6) mostr dus seções normis recíprocs e correspondente linh geodésic. Figur 4.6- Seções normis recíprocs e linh geodésic correspondente As θ/3 θ/3 A 1 θ θ/3 θ/3 1 A linh geodésic S divide o ângulo θ entre dus seções normis recíprocs n rzão 1:, portnto o ângulo formdo pel geodésic e seção norml diret de P 1 pr P corresponde 1/3 do ângulo formdo pels seções normis recíprocs. O ângulo formdo pel geodésic e seção norml recíproc de P 1 pr P é /3 do ângulo formdo pels seções normis recíprocs. Como o ângulo entre dus seções normis recíprocs é ddo pel equção (4.45), pr obter o ângulo entre seção norml e linh geodésic fz-se: θ e' S SsenAssenφ '' = ( sena cos ) s φ (4.54) 3 4b 4b

29 8 A trnsformção do zimute de um seção norml diret (A s ) no zimute d correspondente geodésic (A 1 ) é dd pel equção bixo, considerndo-se o zimute contdo prtir do Norte, no sentido horário: θ A 1 = A s (4.55) Aproximção esféric O modelo esférico tmbém pode ser utilizdo pr representr superfície terrestre. Um esfer prticulr é esfer de dptção de Guss cujo rio (R m ) é igul o rio médio ser definido posteriormente. O Teorem de Guss (ASÍN, 1990, p.174) diz: Pr que um elemento de um superfície considerd perfeitmente flexível e indeformável poss ser plicdo sobre um elemento de outr superfície sem sofrer rompimento, nem dobrs é necessário e suficiente que nos centros dos elementos considerdos curvtur médi de mbs s superfícies sej mesm. N pssgem de elipsóide à esfer, s linhs geodésics pssm ser círculos máximos. Dentro de proximção dmissível pr determinds plicções é possível trnsformr um elemento d superfície do elipsóide em um elemento d esfer cujo rio R m será (MN) 1/. A esfer de dptção de Guss é dotd como superfície de referênci pel NBR Rede de Cdstrl Municipl Procedimento.

30 REFERÊNCIAS ABNT. NBR Execução de Levntmento Topográfico. ABNT Associção Brsileir de Norms Técnics, Rio de Jneiro p. ABNT. NBR Rede de Referênci Cdstrl Municipl Procedimento. ABNT Associção Brsileir de Norms Técnics, Rio de Jneiro p. ASÍN, F. M. Geodesi y Crtogrfí Mtemátic. Ed. Mdrid: Instituto Geogrfico Ncionl p. BOMFORD, G. Geodesy. 3th ed. Oxford: Oxford University Press p. COSTA, S.M.A. Integrção d Rede Geodésic Brsileir os Sistems de Referênci Terrestres. Curitib. 156 p. Tese (Doutordo em Ciêncis Geodésics). Curso de Pós- Grdução em Ciêncis Geodésics. Universidde Federl do Prná DGFI. Geodetic Reference System 1980 (GRS80). Disponível em : < > Acesso em set FAGGION, P.L. & FREITAS, S.R.C. Desníveis de Precisão em âmbito Regionl com Estção Totl FAGGION, P.L. Obtenção de Elementos de Clibrção e Certificção de Medidores Eletrônicos de Distânci em Cmpo e Lbortório. 130 p. Tese (Doutordo em Ciêncis Geodésics). Curso de Pós-Grdução em Ciêncis Geodésics. Universidde Federl do Prná GATTI, M.; STOPPINI, A. Approprite use of interntionl reference frmes in regionl GPS pplictions: guidelines nd exmples. Bolletino di Geodesi e Scienze Affini, n. 1, p. 1-18, 000. GEMAEL, C. Introdução à Físic. Curitib: Editor d UFPR, p. GEMAEL, C. Introdução à Geométric. Curitib. Universidde Federl do Prná. Curso de Pós-Grdução em Ciêncis Geodésics GEMAEL, C. Referenciis Crtesinos Utilizdos em. Curitib. Universidde Federl do Prná. Curso de Pós-Grdução em Ciêncis Geodésics GEODETIC SURVEY DIVISION. Geodesy. Disponível em: < Acesso em out. de 003. GRAFAREND, E.W.; AWANGE, J.L. Determintion of verticl deflections by GPS/LPS Mesurements. Zfv. v.8, 000. p IBGE. Fundção Instituto Brsileiro de Geogrfi e Esttístic. Geociêncis/ / Downlod. Disponível em: < >. Acesso em julho de 003.

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