Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DE MATRIZES

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1 INTRODUÇÃO... NOÇÃO DE MTRIZ... MTRIZES ESPECIIS... IGULDDE... DIÇÃO... PROPRIEDDES D DIÇÃO... MTRIZ OPOST... SUTRÇÃO DE MTRIZES... PRODUTO DE UM NÚMERO POR MTRIZ... PROPRIEDDES DO PRODUTO DE UM NÚMERO POR MTRIZ. PRODUTO DE MTRIZES... PROPRIEDDES D MULTIPLICÇÃO DE MTRIZES... MTRIZ TRNSPOST... PROPRIEDDES D TRNSPOSIÇÃO DE MTRIZ... MTRIZ SIMÉTRIC... MTRIZ NTI-SIMÉTRIC... MTRIZ INVERS... RESPOSTS... REFERÊNCI ILIOGRÁFIC... No finl s séris xríios pom prr sugsõs ivis omplmnrs. Ess sugsõs rfrm-s xríios o livro Mmái Mnol Piv fornio plo FNDE oo plo IFMG Cmpus Ouro Pro urn o riênio -. Toos os xríios sugrios ns posil s rfrm o volum. MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

2 INTRODUÇÃO Tls omo s são nomins mrizs. Vmos, gor, formlizr um sruur lgéri pr s mrizs, ou sj, finirmos propris oprçõs nvolvno mrizs. Em um osrvório morológio, um inis foi inumio rgisrr, hor m hor, mprur um rgião ns primirs hors o i urn os primiros is um mês. O rsulo o rlho sá n l ixo: i j N l, lmno linh i olun j é mprur n hor i o i j. No simplii ss l. S quisrmos, por xmplo, sr qul foi mprur às hors o i, s olhrmos inrsção nr linh olun. N l im, fzno iso, nonrmos ºC. NOÇÃO DE MTRIZ Dos ois númros m n nuris não nulos, hm-s mriz m por n (ini-s m x n) o l M form por númros ris isriuíos m m linhs n oluns., é um mriz x é um mriz x é um mriz x é um mriz x é um mriz x. CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

3 Em um mriz qulqur M, lmno é inio por. O íni i ini linh o íni j ini olun às quis o lmno prn. Exism us onvnçõs qu são rlvns: M m m m n n n mn N rprsnção mrizs sus rmos, smpr srá inio linh m sgui olun, ns orm. Num mriz m linhs n oluns, s linhs são numrs im pr ixo é m s oluns são numrs squr pr iri é n. ssim, mos s sguins noçõs pr mrizs m linhs n oluns:: Um mriz M m linhs n oluns po sr rprsn por: M m x n MTRIZES ESPECIIS Exism mrizs qu, por prsnr rrísis spiis grn uili por ss rrísis, rm noms spiis. São ls: M m M m m m ou m m n n n mn n n n mn Mriz linh Mriz olun Mriz nul Mriz qur Mriz ini Mriz igonl Vmos flr um sno sus propris. ou MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

4 MTRIZ LINH É o mriz o ipo x n, ou sj, qu possui um úni linh. MTRIZ QUDRD É o mriz o ipo Mn x n, ou sj, qul on o númro linhs é igul o númro oluns. é um mriz x Um mriz n linhs n oluns é hm mriz qur orm n. MTRIZ COLUN É o mriz o ipo m x, ou sj, qu possui um úni olun. M n n n n n n n nn é um mriz x MTRIZ NUL É o mriz qu possui TODOS os rmos iguis zro. Exism ois grupos lmnos s mrizs qurs qu são rlvns: igonl prinipl igonl sunári. igonl prinipl é form por oos os lmnos qu êm os ínis iguis, ou sj: i j,,,, nn Chm-s igonl sunári um mriz qur orm n o onjuno os lmnos qu êm som os ínis igul n +, ou sj: i j n,,,, n, n, n, n, são mrizs nuls CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

5 MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES igonl prinipl é {,, } igonl sunári é {-,, } igonl prinipl é {-, -,, } igonl sunári é {-,,, } MTRIZ IDENTIDDE É o mriz qur on oos os rmos igonl prinipl são iguis (um) oos os mis vlm (zro), Mrizs omo s mém são hms mriz uni. I I I I n

6 MTRIZ QUDRD É o mriz on os rmos qu não prnm à igonl prinipl são iguis zro. C D E No qu mriz ini é um so priulr mriz igonl. IGULDDE Dus m x n mrizs n m x são iguis s = pr oo i {,,,... m} oo j {,,,... n}, iso signifi izr qu pr us mrizs srm iguis ls vm sr o msmo ipo lém os rmos orrsponns srm iguis. Pois =, =, = =. Pois. D form gnéri, mos qu s não: n m x m x n, i j CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

7 x y Drminr x y moo qu xy x y x y Rsolução: Dvmos r, simulnmn, x y xy. x y x y. ) Inir xpliimn os rmos mriz l form qu i j. x Monno um sism om primir rir quçõs, mos: x x x y Dí nonrmos x = y = ) Consru mriz, si j, si j x l qu ) Consru mriz, si j, si j x l qu MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

8 ) Clul,, pr qu. ) Quns mrizs ifrns us linhs rês oluns pomos formr om rês lgrismos igul rês lgrismos iguis? ) Quis vlors x y ornm x y vrir igul x y? xy ) Qul o quni mrizs qurs orm rês ifrns pomos formr uilizno rês lgrismos, rês lgrismos rês lgrismos? ) Form os s mrizs qurs orm on ois sus lmnos são iguis os ouros ois são iguis. CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

9 ) Drmin x, y z form qu s nh x x y x x z. Ds, lulr +. Rsolução: Como são msm orm ( x ) não ls pom sr soms, ssim, mos qu: TIVIDDES COMPLEMENTRES Pág. Exríios Pág. Exríios DIÇÃO Ds us mrizs m x n m x n mriz C m x n oo i j. hm-s som + l qu pr Em ours plvrs, pomos izr qu pr somr us mrizs msm orm vmos somr sus rmos orrsponns. mriz som srá msm orm qu mrizs. PROPRIEDDES D DIÇÃO P - ição mrizs é ssoiiv, iso é: C C MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

10 Dmonsrção: D fo, pomos nor qu fzno mos C x y Y Y C Como x y. não, onsqunmn, C C. Dmonsrção: n miino qu + N =, mos logo N =. n Es mriz N = é hm mriz nul já foi i n págin s posil. P To mriz mi lmno simério, iso é: P - ição mrizs é omuiv, iso é: ' ' N m x n Dmonsrção: Fzno mos qu ssim Y x Y. y P - ição mrizs mi lmno nuro, iso é:, (Lê-s: Exis l qu mis é igul mriz nul qulqur qu sj ) Dmonsrção: ' miino qu + = N, mos. ' ssim, siméri um mriz pr ição é mriz o msmo ipo qu, on lmno é simério iivo o su orrsponn m. N N m x n (Lê-s: Exis N l qu mis N é igul qulqur qu sj orm m por n) MTRIZ OPOST D um mriz m x n hm-s opos (rprsnmos por ) à mriz l qu + = N. CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

11 MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES K K SUTRÇÃO DE MTRIZES Ds us mrizs n m x n m x hm-s ifrnç mriz oi prir som om mriz siméri, ou sj: Ds s mrizs, fç. Rsolução:

12 CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO ) Ds s mrizs, fç: ) + ) ) Ds, C, lul: ) + + C ) + C ) C ) + C

13 ) C ) Sj C x som s mrizs, lulr som + +. ) Clulr som mrizs qu i j x. C x x s is ) Drminr,,, moo qu s nh. MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

14 ) Drminr x y moo qu s nh y x y x y x y x ) Ds s mrizs C mriz l qu + = C.,, rminr CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

15 ) Rsolvr qução mriil = C, sno qu C., ) Or l qu. TIVIDDES COMPLEMENTRES Pág. Exríios,, Pág. Exríio PRODUTO DE UM NÚMERO POR MTRIZ Dos um mriz n m x um númro rl, hm-s prouo por, mriz l qu, i j. m x n Em ours plvrs, muliplir um mriz por um númro rl é muliplir rmo por. MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

16 CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO PROPRIEDDES DO PRODUTO DE UM NÚMERO POR MTRIZ Sno mrizs o ipo m x n númros ris, mos s sguins propris: P - P - P - P - ) Dmonsr P im. ) Dmonsr P im. ) Dmonsr P im. ) Dmonsr P im.

17 ) Ds s mrizs, lul: ) sno, C, rmin m so: ) ) C ) ) ) C MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

18 CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO ) ) C ) Ds, sur s mrizs Y no sism: Y Y

19 MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES ) Drminr s mrizs Y qu sisfzm o sism Y Y sno s. ) Sno, or Y prir o sism Y Y.

20 PRODUTO DE MTRIZES Com s nos os prsnos, uiliz o spço ixo pr lulr os vlors qu vm sr prsnos m élul s l. ) Um orror ols vlors, lulno o primônio quirio ns quro primirs hors um i por ois sus lins, invsiors mprs Min Minrção, monou s sguins ls: Tl ln oso Hor Tl U$, N l são rprsns s qunis çõs quiris por invsior m hor prir o iníio o prgão, ou sj, ln quiriu çõs mprs Min Minrção às hors. N l são os prços, m ólrs, ção n hor ini. O Corror prn prnhr l sguir sno o invsimno um os lins o finl s quro hors. ln U$ oso CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

21 Ds us mrizs n xp mriz m xp ik m xn, hm-s prouo C l qu: pr oo i k ik i ou n j k i,,, m jk in nk k,,,p Ex.: Vmos fur o prouo s mrizs ixo: Rsolução: Em prinípio vmos vrifir s o prouo é possívl, m so firmivo, vmos rminr o ipo mriz prouo.. D finição im, pomos irr lgums onlusõs:. Só é possívl muliplir us mrizs quno o númro oluns primir for igul o númro linhs sgun.. Sno C =, mriz prouo C rá msm quni linhs qu mriz msm quni oluns qu mriz.. Pr nonrr o rmo ik mriz prouo, vmos omr os n rmos linh i mriz. Em sgui ommos os n rmos olun k mriz. Em sgui muliplimos os rmos orrsponns, por fim, sommos os prouos oios. Es som srá o rmo ik. Osrv o igrm qu ilusr primir sgun onlusõs ss n págin nrior. O prouo é possívl mriz rsulo srá o ipo x, ou sj: C gor vmos lulr rmo sguino os pssos onlusão olun o lo:. gor vmos monr mriz C om os vlors nonros: C MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

22 ) ) C ) Ds s mrizs E, C, D, rmin, quno xisir, os sguins prouos., ) CD CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

23 ) D ) Sno I mriz ini orm (pág. ),, nonr mriz prouo I. ) E ) Drminr mriz l qu. f) E TIVIDDES COMPLEMENTRES Pág. Exríios, Pág. Exríio MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

24 PROPRIEDDES D MULTIPLICÇÃO DE MTRIZES P muliplição mrizs mi propri ssoiiv, ou sj, s s mrizs m x n, n x p Cp x r Dmonsrção: Ds C k p xr m xn fzno C i mx r E mos: C C, D F C jk n xp jk m xp r f j n x,, C C C Dmonsrção: Fzno D jk n j n j C ik mx p n j jk jk n j jk jk, mos: jk i p k j n j p k n f jk j k jk p k j k C n n j C Logo, jk p k k jk k C C Enão C P muliplição mrizs é isriuiv à iri m rlção à ição, ou sj, s s mrizs m x n, m x n Cn x p C C. P muliplição mrizs é isriuiv à squr m rlção à ição, ou sj, s s mrizs m x n, m x n Cn x p monsrção é nálog à P. CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

25 P - Ds s mrizs m x n, n x p pomos firmr qu : k k k monsrção: não srá olo qui pois é lmnr vio o fo rr propris os somórios. Três siuçõs são imporns s osrvr primir osrvção imporn é qu muliplição mrizs NÃO É COMUTTIV, ou sj, não nssrimn. Há sos m qu ms não xis. Um xmplo é qu é o ipo m x n, é o ipo n x p m p. Osrv o igrm ixo: xis Quno são o msmo ipo qurs, não êm o msmo ipo ms não nssrimn são iguis. Vj s xmplo Sno qu:, mos. Exism siuçõs m qu são possívis ms s mrizs prouo são ipos ifrns. Iso on, por xmplo, quno é o ipo m x n é o ipo n x m. Osrv o igrm sguir: Quno são is qu não izmos qu s mrizs omum. No qu um onição nssári (ms não sufiin) pr qu omum é qu sjm ms qurs msm orm. MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

26 Vj xmplos mrizs qu omum: omu om ) Sno, qul s mrizs ixo omu om. ) ) C omu om ) D ) E omu om Por fim é imporn lmrr qu xis um propri os númros qu não é vli pr mrizs. Sno x y númros ris, smos qu: x y x ou y Com mrizs iso não oorr nssrimn. Vj o xmplo sguir. ) Drminr x y form qu s mrizs omum. x y Nnhum s us mrizs é nul porém o prouo o é. CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

27 ) Or os s mrizs qu omum om. ) ) Clulr, m so, s mrizs qu omum om. ) ) MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

28 ) Clulr os s mrizs, qurs º orm is qu =. ) Clulr os s mrizs, qurs º orm is qu = I. CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

29 MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES ) Clulr os s mrizs, qurs º orm is qu =. MTRIZ TRNSPOST D um mriz n m x, hmmos rnspos rprsnmos por, mriz m n x ji '. Em ours plvrs, é um mriz ujs linhs, ornmn, s oluns. Vj nos xmplos ixo: f f C C D D E E

30 PROPRIEDDES D TRNSPOSIÇÃO DE MTRIZ P rnspos rnspos é própri mriz. P rnspos som om é som rnspos om rnspos. ) Ds s mrizs f g h lém o númro rl k, vrifiqu vli s propris rnsposição mrizs. ) P Sno k um númro rl, rnspos é igul k vzs rnspos. k k k ) P rnsposs o prouo us mrizs é igul o prouos s rnsposs m orm invri. s monsrçõs fim rgo o luno n qusão sguir. CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

31 MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES ) k k ) MTRIZ SIMÉTRIC É hm mriz siméri o mriz qur l qu. Ds finição, orr qu s m m x é siméri não: m j i ji...,,,,,, f, j i g i h f g f MTRIZ NTI-SIMÉTRIC É hm mriz NTIsiméri o mriz qur l qu. Ds finição, orr qu s m m x é siméri não: m j i ji...,,,,,, f, j i g i h f g f

32 CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO ) Drminr mriz, sonhi, m so: ) ) ) ) ) Drminr x, y z pr qu mriz z y x M sj siméri ) Drminr x, y z pr qu mriz z y z x N sj ni-siméri. ) Provr qu s são mrizs siméris orm n não + mém é siméri.

33 MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES MTRIZ INVERS S é um mriz qur orm n xis um úni mriz - l qu I n não é hm invrsívl, - é su invrs. Pl finição im, po-s onluir qu - mém v sr qur orm n pois - omu om. Ex.: () mriz é invrsívl.pois: Ex.: () Mriz é invrsívl pois Ex.: () Qul invrs mriz? Rsolução: Fzno, mos: I ssim, pois, mém,

34 CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO Ex.: () Qul invrs mriz? Rsolução: I impossívl impossívl ns so, izmos qu mriz é singulr, ou sj, não mi invrs. Ex.: () Qul invrs mriz? Rsolução: Fzno i h g f, mos: i h g f i h g i h g i h g f f f Dí mos qu: f f f f i h g i h g i h g i h g ssim,. No: Como viso ns úlimo xmplo, é sn rlhoso rminr invrs um mriz orm mior qu. Mis frn, nrno, vrmos um form mnos rlhos fzr iso.

35 ) Drminr invrs mriz ixo: ) ) C ) ) C MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

36 CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO ) Drminr invrs mriz ixo: ) E ) F G

37 ) Rsolvr qução. ) ) Rsolv s us quçõs mriiis sguir: ) os sn sn os os sn ) Consir ) K K. Drmin: MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

38 ) K K ) Supono invrívis msm orm os s mrizs nvolvis, isol mriz m so ixo: ) ) C ) K ) CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

39 MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES RESPOSTS ) ) ) ) =, =, =, = ) x = y = ),,,, ) ) ) x =, y =, z = = ) ) ) ) ) C ) C ) C ) C ) C ) C ) ) ) x = - y = ) Rsolução: Fzno z y x, mos sguin xprssão mriil: z y x z y x

40 ) (on.) x y z x x y y ) Fzno rmos i j. ssim, mos qu os são o ipo ) ) z z não onluímos qu ) Sno m x n é, rmo. Muliplino rmo por, mos is rmos srão o ipo. ssim,. ) Os rmos ) ) são. Como s prouo é, pomos onluir qu é própri mriz. ) ) ) ) ) ) Fzno C = + mos qu, C Os lmnos C i j são o ipo ) CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

41 ) ) ) Rsolução Somno rmo rmo s quçõs o sism, mos: Y Y ) Surino rmo rmo s quçõs o sism, mos: Y Y Y Y Dsnvolvno nonrmos snvolvno nonrmos Y Y Y ) U$ ln oso ) ) ) ) ) ) Não é possívl pois o númro oluns é ifrn o númro linhs. ) f) ) Rsolução: Iniilmn vmos rminr o ipo mriz. ) Y Logo vmos qu mriz vrá r linhs olun pomos x srvr. y MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

42 ) (on.) ) ) Susiuino n xprssão propos, mos, não : x x y y x y x y x y x y Ds form, mriz prour é E x. y ) ) ) ) mos: ) Rsolução: Fzno om om om,,,,, mos não: ) Rsolução: Pr qu xis um mriz qu omu om, v, nssrimn, sr qur orm, ssim, pomos izr qu, s form, mos qu: í mos não igul: não, Consirno gor us possiilis, mos: ) (on.) () () mos () () mos Monno gor mriz rspos, CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO

43 ) (on.) ) (on.) om, ) Dmonsrçõs ) ) ssim, mos us soluçõs: on om ou,,, ou ou ou ou ) ) ) ) ) ) x =, y = z = - ou ) x =, y = - z = - ) ji ji ji, i, j,,,... n MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES

44 CÁSSIO VIDIGL IFMG CMPUS OURO PRETO ) ) ) ) C ) D ) ) E ) F ) G ) Rsolução: Fzno ) (on.) vmos qu qução é Nono qu é um mriz invrsívl, pomos srvr ssim, logo, ) ) sn os ) ) ) ) ) ) ) ) C )

45 REFERÊNCI ILIOGRÁFIC DNTE, Luiz Roro; Mmái, Volum únio. São Pulo, i,. IEZZI, Glson ouros; Mmái, Volum únio. São Pulo, ul,. IEZZI, Glson ouros; Funmnos Mmái Elmnr, Volum. São Pulo, ul, ª ição,. PIV, Mnol; Mmái; Volum. São Pulo, Morn,. PIV, Mnol; Mmái;. Volum. São Pulo, Morn,. VÍDEOS Conio Mrizs Som Mrizs Muliplição mrizs hp://viigl.ouropro.ifmg.u.r/viomrizs-onios/ hp://viigl.ouropro.ifmg.u.r/viosom--mrizs/ hp://viigl.ouropro.ifmg.u.r/viomulipli-mrizs/ MTEMÁTIC III ESTUDO DE MTRIZES