Gráficos de controle multivariados: um estudo de caso no setor metalomecânico

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1 P&D em Engenhara de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p , 2012 Gráfcos de controle multvarados: um estudo de caso no setor metalomecânco Multvarate control charts: case study n the metallurgy mechancal sector Elsa Hennng 1 Andréa Crstna Konrath 2 Olga Mara Formgon Carvalho Walter 2 Robert Wayne Samohyl 2 RESUMO: Montorar smultaneamente múltplas característcas da qualdade de um processo depende de ferramentas estatístcas específcas para detectar, dentfcar e analsar as causas sgnfcatvas da varabldade que afetam seu comportamento. Gráfcos de controle multvarados representam técncas estatístcas que controlam smultaneamente váras característcas para ndcar a qualdade de um únco processo. O objetvo deste trabalho é montorar um processo de usnagem utlzando o gráfco de controle T 2 de Hotellng e comparar os resultados com os gráfcos de controle multvarados de soma cumulatva multvarada (MCUSUM) e méda móvel exponencalmente ponderada (MEWMA). O processo estudado tem três varáves, ou seja, são montoradas três cotas em uma mesma peça. O ambente R fo utlzado para construção dos gráfcos de controle, com auxílo dos pacotes qcc, MCUSUM e MEWMA. Os dos últmos pacotes tveram algumas funções adaptadas para atender às necessdades específcas desta pesqusa. Neste estudo, o desempenho é também avalado em termos da matrz de covarânca. Os gráfcos de controle são comparados usando a matrz de covarânca amostral e a partr de um estmador mas robusto, o estmador de dferenças sucessvas. A utlzação deste últmo torna a análse menos sensível à presença de outlers. Os resultados obtdos com a aplcação de gráfcos de controle multvarados mostram que eles são uma opção vável para o montoramento do processo de usnagem, melhorando a qualdade do processo, ndo além dos gráfcos de controle ndvduas. Palavras-chave: Gráfcos de Controle Multvarados; T 2 Hotellng; MCUSUM; MEWMA; matrz de covarânca. ABSTRACT: To smultaneously montor multple qualty characterstcs of a process depend on specfc statstcal tools to detect, dentfy and analyze the sgnfcant causes of varablty that affect ts behavor. Multvarate control charts represent a class of statstcal technques that smultaneously control several features to ndcate the qualty of a sngle manufacturng process. The am of ths paper s to present a method for montorng a machnng process usng the Hotellng T 2 control chart and to compare the results wth multvarate Cumulatve Sum (MCUSUM) and Exponentally Weghted Movng Average (MEWMA) control charts. The product beng studed s measured n three varables. The R language for statstcal computng and graphcs s used wth the help of the R packages qcc, MCUSUM and MEWMA. The last two packages were adapted to sut the specfc needs of ths research. In ths study the performance s evaluated n terms of the covarance matrx. Control charts are compared usng the sample covarance matrx from a robust estmator, the estmator as successve dfferences. The use of a robust estmator of the covarance matrx also makes the analyss less senstve to the presence of outlers. The results obtaned wth the applcaton of multvarate control charts show that they are a vable opton for montorng machnng processes and produce qualty mprovements beyond the smple ndvdual control chart. Keywords: Multvarate Control Charts; T 2 Hotellng; MCUSUM; MEWMA; Covarance Matrx. 1 Unversdade do Estado de Santa Catarna (UDESC) 2 Unversdade Federal de Santa Catarna (UFSC)

2 144 Hennng et al. P&D em Engenhara de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p , INTRODUÇÃO Em decorrênca da compettvdade do mercado e das exgêncas dos clentes, os esforços para melhora dos padrões de qualdade de processos ndustras tornam-se cada vez mas necessáros. Os gráfcos de controle são as ferramentas do Controle Estatístco do Processo (CEP) mas utlzadas para montorar as ocorrêncas de nstabldade do processo (MONTGOMERY, 2004). Estes gráfcos auxlam na redução da varabldade, permtndo a produção de produtos de acordo com necessdades específcas, como por exemplo, as especfcações de projeto. Quando se deseja montorar uma característca de um produto utlzam-se os gráfcos de controle unvarados. Para os casos onde é precso controlar váras característcas de um mesmo processo, é recomendável a aplcação de gráfcos de controle multvarados, ou seja, gráfcos que montorem todas essas característcas smultaneamente. Na lteratura naconal dversos artgos abrangem gráfcos de controle multvarados cada qual com suas própras especfcdades. Frsen (2011) faz uma revsão geral sobre os gráfcos de controle multvarados, em especal aos desafos de avalar métodos multvarados em vglânca epdemológca. Marcondes Flho, Foglatto e Olvera (2011) abordam gráfcos de controle multvarados para processos em bateladas, utlzando dados smulados. Alternatvas à aplcação dos gráfcos de Hotellng são propostos por Machado, Costa e Claro (2009) e Costa, Machado e Claro (2010) e o uso de componentes prncpas é explorado por e Machado e Costa (2008) e Hennng et al. (2011). No entanto, no Brasl, a aplcação de gráfcos de controle com metodologa para processos multvarados não é comum no montoramento de processos ndustras, em razão das dfculdades nerente às técncas multvaradas (HENNING et al., 2011). Assm sendo, este artgo vsa contrbur para a maor nserção de gráfcos multvarados em aplcações nos processos produtvos. O objetvo prncpal deste artgo é comparar o montoramento de um processo ndustral comparando o gráfco de controle T2 de Hotellng, um dos mas tradconas gráfcos de controle multvarados com os gráfcos de controle avançados MCUSUM e MEWMA multvarados. O estudo de caso deste artgo trata de uma empresa que ncou a mplantação do CEP no ano de 2011 em uma célula de usnagem montorando três (3) seções de uma peça. Incalmente fo feto um estudo com gráfcos unvarados e o multvarado T² Hotellng (MAIA et al., 2011), porém, optou-se por contnuar as nvestgações aplcando outros gráfcos multvarados. Pelo fato da peça ser um componente de outro produto, é necessáro dentfcar rapdamente algum desvo nas meddas. Assm, além do gráfco de T² Hotellng, decdu-se analsar também como fcara o processo com os gráfcos MCUSUM e MEWMA, que são mas sensíves a pequenas alterações na méda do processo. A partr desta ntrodução, este artgo está estruturado da segunte manera: na seção 2 é apresentada uma vsão de gráfcos de controles multvarados, nclundo o T2 de Hotellng, MCUSUM e MEWMA; na seção 3 são apresentados os aspectos metodológcos deste trabalho; na seção 4 dscutem-se os resultados das aplcações dos gráfcos de controle; e fnalmente, na seção 5 são expostas as consderações fnas, segudas das referêncas bblográfcas. 2. GRÁFICOS DE CONTROLE O CEP e em partcular as técncas de controle da qualdade, tas como gráfcos de controle, têm sdo cada vez mas mportantes pelo fato de desempenharem papel prmordal na ndústra moderna. O objetvo prncpal do Controle Estatístco da Qualdade é atngr uma garanta da qualdade para tornar-se cada vez mas o fator básco de decsão do consumdor em relação a produtos e servços (ALVES, 2003). Os processos devem ser permanentemente montorados, para detectar a presença de causas atrbuíves. Montorando as característcas de um processo, é possível conhecer e atuar nas causas de varabldade. Conhecendo as causas de varação do processo, é possível propor um plano de ação para elmnar as causas especas. O gráfco de controle é a prncpal ferramenta utlzada para montorar os processos e snalzar a presença de causas especas, permtndo sua detecção e a tomada de ações corretvas (COSTA, EPPRECHT e CARPINETTI, 2008). Um gráfco de controle é composto por uma lnha central, referente à méda dos valores amostras, e outras duas lnhas paralelas, chamadas de lmte superor de controle (LSC) e lmte nferor de controle (LIC). Um

3 Gráfcos de controle multvarados processo está sob controle estatístco quando a varação apresentada pelas amostras no gráfco é pequena, osclando em volta do lmte de controle central, sem exceder os lmtes de controle superor e nferor. Essa varação é decorrente de causas aleatóras, ntrínsecas ao processo (COSTA, EPPRECHT e CARPINETTI, 2008). Caso ocorram subgrupos que excedam os lmtes de controle, o processo está sob a ação de causas especas, e ações devem ser tomadas para a dentfcação e supressão das mesmas. A mplantação de gráfcos de controle em um processo se dá em duas fases. Na prmera fase é verfcado se, através das observações ncas apresentadas no gráfco, o processo está sob controle. Nesta fase também, é realzado um mnucoso estudo verfcando se o processo está sob controle estatístco por meo da análse de suas característcas a fm de verfcar se os dados são ndependentes e dentcamente dstrbuídos (VINING, 2009). Após a verfcação dos gráfcos de controle, busca-se a dentfcação de causas especas. Caso sejam dentfcadas causas especas no processo produtvo, busca-se a dentfcação dessas causas para poder elmná-las. Segundo Samohyl (2009), nunca devem ser utlzados os subgrupos que estavam sob a nfluênca comprovada de causas atrbuíves. Sem fazer parte do gráfco de controle, esses subgrupos devem permanecer regstrados juntamente com as ações tomadas para remoção das causas que tornaram o processo fora de controle estatístco. Após elmnar os subgrupos que tornam o processo fora de controle, os lmtes são recalculados, e é feto uma nova análse. Caso não exstam causas especas no processo, passase então para a fase II, onde é feto o montoramento do processo com os lmtes calculados na fase I. Na fase II, as nformações obtdas na fase I são utlzadas na construção dos gráfcos de controle que são usados para testar se o processo permanece sob controle quando as observações futuras são montoradas (VINING, 2009). O desempenho de um gráfco de controle é comumente meddo através de parâmetros relaconados com a dstrbução do tempo necessáro para o gráfco emtr um snal. O comprmento médo de corrda (Average Run Length - ARL) é um desses parâmetros, representando o número médo de amostras necessáro para que seja detectada uma mudança, ocorrda no processo (ALVES e SAMOHYL, 2004). Segundo Samohyl (2009), se o alarme for falso, então é chamado de ARL0; se verdadero, é chamado de ARL1. Para que os gráfcos de controle do tpo Shewhart sejam efetvos, segundo Montgomery (2004) e Costa, Epprecht e Carpnett (2008), são necessáras que duas suposções sejam prevamente analsadas e valdadas. A prmera é de que as observações da característca da qualdade de nteresse sejam ndependentes, não apresentando autocorrelação entre os dados. A segunda é de que as observações sejam normalmente dstrbuídas. 2.1.Gráfcos de controle multvarados Há mutas stuações nas quas é necessáro o montoramento smultâneo do controle de duas ou mas característcas da qualdade relaconadas, e montorar essas característcas ndependentemente pode ser enganoso (MONTGOMERY, 2004). Para estas stuações ferramentas específcas devem ser utlzadas para detectar, dentfcar e analsar as causas sgnfcatvas de varabldade de um processo. Os gráfcos de controle multvarados representam uma destas técncas estatístcas emergentes, utlzadas para controlar smultaneamente váras característcas correlaconadas que ndcam a qualdade de um únco processo produtvo (ALVES, HENNING e SAMOHYL, 2008). As característcas a serem montoradas pelos gráfcos de controle multvarados assumem uma dstrbução ' 1,..., normal multvarada p-dmensonal com vetor de médas, 2 p e a matrz de covarâncas, onde é a méda da -ésma característca. Estmar a matrz de covarâncas das p característcas é consderado um problema sgnfcatvo (MONTGOMERY, 2004; YÁÑEZ, GONZÁLEZ e VARGAS, 2010). Montgomery (2004) dspõe sobre crtéros para estmar a matrz de covarâncas de processos. Estmadores mas robustos são opções á matrz de covarânca amostral. Uma proposção consste em aplcar o estmador de dferenças sucessvas para calcular a matrz de covarânca. Esta matrz é mas robusta à presença de outlers que a matrz de covarânca amostral (YÁÑEZ, GONZÁLEZ e VARGAS, 2010).

4 146 Hennng et al. P&D em Engenhara de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p , Gráfco de controle T2 de Hotellng O procedmento mas famlar de montoramento e controle de um processo multvarado é o gráfco de controle T2 de Hotellng, para montoramento do vetor méda do processo. Ele é um análogo dreto do gráfco X de Shewhart unvarado (MONTGOMERY, 2004). Entre os gráfcos multvarados exstentes, o gráfco de controle multvarado T2 de Hotellng é o mas conhecdo na lteratura, e sua aplcabldade é mas recomendada para processos que apresentam váras característcas de qualdade. Tas característcas são fortemente correlaconadas e precsam ser montoradas conjuntamente. Além dsso, o gráfco de controle T2 de Hotellng apresenta mas sensbldade do que os gráfcos unvarados, permtndo ao operador detectar mas rapdamente os possíves problemas exstentes no processo e com sso corrg-los com mas agldade (HENNING et al., 2009). A estatístca do teste T2 se basea na Equação 1, T 2 n( X X )' S 1 ( X X ) (1) onde X corresponde ao vetor das méda, e S representa a matrz de covarâncas do processo. A aplcação do gráfco multvarado T² de Hotellng se dá também em duas etapas. Para a fase I, os lmtes são calculados utlzando a Equação 2, p( m 1)( n 1) LSC F, p, mnm p1 (2) mn m p 1 onde p é o número de varáves, m o número de amostras, n o tamanho da amostra, e F equvale a estatístca da dstrbução F de Snedecor com grau de lberdade do numerador gual a α (equvalente a taxa de alarmes falsos), e do denomnador gual a p, mn-m-p+1. Para a fase II da aplcação do gráfco multvarado, a equação do lmte de controle superor é dada por: p( m 1)( n 1) LSC F, p, mnm p1 (3) mn m p 1 O lmte nferor de controle (LIC) para as duas fases é gual a zero. Para a utlzação dos gráfcos de controle multvarados, também se faz necessáro a verfcação das suposções de normaldade e autocorrelação entre os dados, para que seja possível a utlzação do mesmo Gráfco de controle Multvarado de Soma Acumulada (MCUSUM) O modelo de gráfco de controle unvarado CUSUM (Soma Acumulada) fo desenvolvdo, para oferecer maor sensbldade a pequenos e moderados desvos na méda de um processo que passam despercebdos pelo gráfco de Shewhart (ALVES e SAMOHYL, 2004). Os procedmentos de controle estatístco multvarado baseados na flosofa CUSUM são dscrmnados em duas prncpas categoras: () procedmentos de controle que utlzam múltplos gráfcos de controle CUSUM unvarados (abrevados por MCU), desconsderando assm a correlação entre as varáves e () procedmentos de controle que utlzam um gráfco de controle CUSUM multvarado (abrevado por MCUSUM), sto é, utlzam a matrz de covarâncas das varáves para obter uma aproxmação do gráfco CUSUM em processos multvarados. Deste modo, a prmera delas consste em reduzr as observações multvaradas a um escalar enquanto a outra consste em elaborar um gráfco MCUSUM para analsar dretamente estas observações multvaradas (CROSIER, 1988). Este gráfco de controle fo desenvolvdo por Croser (1988) a partr de dos procedmentos de controle. O prmero procedmento baseado na raz quadrada da estatístca T2 de Hotellng denomnado de gráfco de controle CUSUM COT (CUSUM of T) consste em reduzr as observações multvaradas a escalares. O segundo procedmento denomnado MCUSUM (CUSUM de vetores) se consttu numa extensão multvarada do gráfco de controle CUSUM unvarado onde as quantdades escalares são substtuídas por vetores. Defne-se C como:

5 Gráfcos de controle multvarados ' 1 C [( S 1 x 0) ( S 1 x 0)] (4) Onde S são as somas acumuladas expressadas como: 0, se C k S k ( S 1 x )(1 ), se C k C (5) Onde S0 = 0 é o valor de referenca k > 0, relaconado à magntude de mudança. A estatístca de controle a ser plotada no gráfco de controle MCUSUM é dada por: Y S S (6) ' 1 O método snalza uma stuação fora de controle se Y > H onde h é o ntervalo de decsão (lmte de controle). De acordo com Croser (1988), de uma manera geral, este procedmento tem desempenho de ARL melhor do que o procedmento escalar. Conforme o autor, este tpo de gráfco de controle apresenta um desempenho ARL superor em relação ao gráfco T2 de Hotellng na detecção de deslocamentos no vetor de médas do processo Gráfco de controle Multvarado de Méda Móvel Exponencalmente Ponderada (MEWMA) O gráfco de controle estatístco multvarado MEWMA (Multvarate Exponentally Weghted Movng Average) é uma extensão lógca do controle EWMA unvarado (p = 1) (LOWRY et al., 1992). Assm para um caso multvarado (p > 1) o gráfco MEWMA o nteresse é o montoramento smultâneo de p varáves correlaconadas entre s. Neste caso, X, X, são vetores de dmensão p que representam as médas amostras tomadas do processo. Suponhamos que os vetores aleatóros X são ndependentes e estão dentcamente dstrbuídos segundo uma normal p-varante de vetor de méda e matrz de covarâncas, o processo estará sob controle se 0 e fora de controle se 0. A estatístca de controle para montorar o vetor de médas do processo va gráfco de controle estatístco multvarado (MEWMA), é obtda a partr da equação: Z rx (7) ( 1 r) Z 1 X onde é o vetor de observações amostras p-dmensonal referente a -ésma amostra untára, r é a matrz { r (0,1] dagonal que contém p constantes de ponderação Z e 1 é o vetor p-dmensonal dos escores referentes à amostra 1 Z tomando geralmente como partda 0 0. Quando r 1 o gráfco de controle MEWMA torna-se equvalente ao gráfco de controle T2 de Hotellng. A estatístca de controle utlzada para plotar o gráfco MEWMA é defnda como: onde a equação: T Z Z (8) ' 1 Z 1 Z é a nversa da matrz de covarâncas de Z r[1 (1 r) 2 r 2 ] Z. A matrz de covarânca de Z é expressa conforme Onde é a matrz de covarânca estmada ou conhecda. Para o procedmento do gráfco de controle MEWMA pode-se tomar a matrz de covarânca assntótca dada por (10) de forma análoga ao que ocorre no caso unvarado para observações ndvduas. (9)

6 148 Hennng et al. P&D em Engenhara de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p , 2012 l m r ( ) 2 r Z Z (10) 2 T h O processo é consderado sob controle se na Equação (8). O valor de h (lmte de controle) é escolhdo a partr do desempenho do ARL desejado para o gráfco de controle MEWMA. Este desempenho do ARL depende apenas do parâmetro de não centraldade dado pela dstânca de Mahalanobs quando as p característcas recebem o mesmo peso r. Dessa forma, este procedmento de controle também apresenta a característca de dreconaldade nvarante. Por esta razão, pode-se comparar o desempenho desse gráfco em relação a outros gráfcos multvarados (LOWRY et al., 1992). 3. ENQUADRAMENTO METODOLÓGICO Com relação à natureza de seus objetvos, esta pesqusa é classfcada como exploratóra. É assm consderada, pos anda não se conhece como o processo em estudo se comportará estatstcamente, quando analsado por meo do montoramento de gráfcos de controle multvarados MCUSUM e MEWMA. Possu abordagem quanttatva, ou seja, o montoramento do processo estudado será tratado por gráfcos de controle estatístcos. Já com relação aos procedmentos técncos, é consderada como estudo de caso (MIGUEL, 2007; YIN, 2010). Fnalmente, levando em consderação seus resultados, é uma pesqusa aplcada (GIL, 2010), pos com o conhecmento adqurdo é possível aplcá-lo para construr uma análse relevante, propondo soluções de ordem prátca. A coleta de dados é prmára (RICHARDSON et al., 2008) e é provenente do processo de usnagem do dâmetro nterno do clndro em aço apresentado na Fgura 1. Fgura 1 - Clndro de aço com as seções em estudo Fonte: Dados da Pesqusa (2012) O processo de usnagem é realzado para aumentar o dâmetro nterno e dmnur sua rugosdade. Esta peça possu três (3) seções para medção: topo, meo e saa, que tem como especfcação µ0 = 32,630 ± 0,010 mm. Os gráfcos de controle, bem como o montoramento dos dados, a análse das suposções de normaldade e autocorrelação foram realzados por meo do software R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2011) com auxílo dos pacotes qcc (SCRUCCA, 2004) MCUSUM (FERNANDEZ, 2011a), MEWMA (FERNANDEZ, 2011b) e QRM (PFAFF, 2012). 4. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 4.1. Fase de Análse (Fase I) A normaldade dos dados fo verfcada medante o gráfco de probabldade normal multvarada da Fgura 2.

7 Gráfcos de controle multvarados Fgura 2 - Gráfco de probabldade normal multvarada De acordo com a Fgura 2, vsualmente os dados seguem a dstrbução normal. A normaldade fo confrmada com o teste de hpóteses multvarado de Marda (MARDIA, 1985) por meo do pacote QRM do R (PFAFF, 2012). O teste retornou p-valor de assmetra = 0, e p-valor de curtose = 0, , assm H0 de normaldade dos dados é aceta. Medante observações dos padrões das funções de autocorrelação da Fgura 3 verfcou-se que nenhuma das característcas da peça avalada apresentavam autocorrelação. Fgura 3 - Gráfcos da função de autocorrelação das três seções do clndro As característcas encontradas permtem que se utlzem os dados em sua forma orgnal, sem necessdade de qualquer transformação para que seja possível a aplcação dos gráfcos de controle.

8 150 Hennng et al. P&D em Engenhara de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p , 2012 Após a verfcação das suposções de normaldade e autocorrelação calculou-se os lmtes de controle com os 20 prmeros subgrupos Fase de Montoramento (Fase II) Montoramento por T2 Hotellng Nesta análse foram consderadas as três varáves em estudo (Topo, Meo e Saa) com um número ncal de 20 subgrupos. O tamanho do subgrupo fo gual a 5 (cnco) e fo adotado o ARL0 de 200. Após verfcar a establdade do processo na fase I, passou-se então para a fase de montoramento (fase II), utlzando então, os dados das amostras durante o acompanhamento do processo. Foram utlzados, além dos 20 subgrupos ncas, mas 20 subgrupos coletados após a fxação dos lmtes de controle. A Fgura 4 apresenta o gráfco T2 de Hotellng, construído com a matrz de covarânca de dferenças sucessvas. O gráfco fo analsado também com a matrz de covarâncas amostral, na fase I. Como para este processo, não apresentou dferenças sgnfcatvas, ou seja, o comportamento do gráfco fcou smlar ao utlzar a matrz de covarâncas de dferenças sucessvas, optou-se pela segunda, mas robusta. Fgura 4 - Gráfco de controle T2 Hotellng (fase I e fase II) com matrz de covarânca de dferenças sucessvas No gráfco da Fgura 4 as amostras 29, 37 e 39 estão além do lmte de controle, ndcando que o processo possa estar fora de controle estatístco. Assm como na fase I, foram consderados 5 amostras por subgrupo. Os lmtes de controle foram LIC = 0 e LSC = 13,50518, para a fase I. Já, para a fase II foram LIC = 0 e LSC = 14, Montoramento por MCUSUM Para a construção do gráfco de controle MCUSUM a rotna de Fernandez (2011a), dsponblzada no Apêndce A, fo adaptada para que pudesse ser nformada a matrz de covarânca, o vetor de médas, o valor de referênca k e o lmte de controle h, que na rotna eram fxos. Além dsso, alguns detalhes de saída gráfca foram modfcados. Desta forma, medante as adaptações realzadas, o gráfco MCUSUM da Fgura 5 fo construído com h = 6,895 (ALVES, 2009), valor que mantém o ARL0 em 200 para p = 3.

9 Gráfcos de controle multvarados Fgura 5 - Gráfco de controle MCUSUM (fase I e fase II) com matrz de covarânca de dferenças sucessvas O gráfco da Fgura 5 snalzou que o processo estava fora de controle antes do gráfco de T2 de Hotellng, ou seja, nas amostras 27 e Montoramento por MEWMA Para a construção do gráfco de controle MEWMA da Fgura 6 a rotna de Fernandez (2011b), dsponblzada no Apêndce B, fo adaptada para que pudesse ser nformada a matrz de covarânca. Na Fgura 6 verfca-se que não há nenhum ponto além dos lmtes de controle, stuação que também se repete quando o gráfco é construído com a matrz de covarânca amostral. Fgura 6 - Gráfco de controle MEWMA (fase I e fase II) com matrz de covarânca de dferenças sucessvas

10 152 Hennng et al. P&D em Engenhara de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p , 2012 Este resultado, do MEWMA, não era esperado, uma vez que já se saba da exstênca de alterações no processo. De acordo com as análses realzadas pode-se verfcar que os gráfcos T2 de Hotellng e MCUSUM são os que mas captaram as nstabldades do processo, o que não fo percebdo pelo gráfco MEWMA. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Este trabalho teve como objetvo comparar smultaneamente o montoramento de 3 varáves de um processo de usnagem entre o gráfco de controle T2 Hotellng com os gráfcos de controle MCUSUM e MEWMA. Tanto o gráfco de controle T² Hotellng quanto O MCUSUM conseguram captar desvos do processo, mostrando-se efcentes na análse realzada. Porém, o gráfco MCUSUM snalzou antes que o T² Hotellng que o processo estava fora de controle. Já o gráfco de controle MEWMA não apresentou snas que o processo estava fora de controle estatístco. Assm recomenda-se que a empresa adote o gráfco MCUSUM para auxlar no montoramento do processo e execute mas análses com mas dados com o gráfco MEWMA para uma verfcação mas abrangente se este gráfco pode ser descartado na nclusão de análses futuras. Para complementar este trabalho e como contnudade desta pesqusa, pode-se avalar melhor seu desempenho, a partr da smulação de stuações fora de controle estatístco. Como em um gráfco multvarado não é possível verfcar dretamente o quanto cada varável é responsável pela alteração, técncas como a decomposção T2 de Hotellng ou análse dscrmnante, também podem ser recomendadas. REFERÊNCIAS ALVES, C. C. Gráfcos de Controle CUSUM: um enfoque dnâmco para a análse estatístca de processos f. Dssertação (Mestrado em Engenhara de Produção), Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção, Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols, O método da Equação Integral com Quadratura Gaussana para otmzar os parâmetros do gráfco de controle multvarado de somas acumuladas f. Tese (Doutorado em Engenhara de Produção), Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção, Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols, ALVES, C. C.; HENNING, E.; SAMOHYL, R. W. O desenvolvmento de gráfcos de controle MCUSUM e MEWMA em ambente R como um procedmento alternatvo para análse estatístca de processos multvarados. In: ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, 27., 2008, Ro de Janero. Anas... Ro de Janero, ALVES, C. C.; SAMOHYL, R. W. A utlzação dos gráfcos de controle CUSUM para o montoramento de processos ndustras. In: ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, 24., 2004, Floranópols. Anas... Floranópols, UFSC, COSTA, A. F. B.; EPPRECHT, E. K.; CARPINETTI, L. C. R. Controle estatístco de qualdade. 2.ed. São Paulo: Atlas, COSTA, A. F. B; MACHADO, M. A. G.; CLARO, F. A. E. Gráfco de controle MCMAX para o montoramento smultâneo do vetor de médas e da matrz de covarâncas. Gestão & Produção, v. 17, n. 1, p , CROSIER, R. B. Multvarate Generalzatons of Cumulatve Sum Qualty-control Schemes. Technometrcs, v. 30, n. 3, p , FERNANDEZ, E. S. MCUSUM: Multvarate Cumulatve Sum (MCUSUM) Control Chart. R package verson 1.0., 2011a. Dsponível em: <http://cran.r-project.org/package=mcusum>. Acesso em: 05 jun MEWMA: Multvarate Exponentally Weghted Movng Average (MEWMA) Control Chart. R package verson 1.0., 2011b. Dsponível em: <http://cran.r-project.org/package=mewma>. Acesso em: 05 jun FRISEN, M. On multvarate control charts. Produção, v. 21, n. 2, p , Apr./June GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesqusa. 5 ed. São Paulo: Atlas, HENNING, E.; ALVES, C. C.; KONRATH, A. C.; SAMOHYL, R. W. Uma proposta no R para o Gráfco de Controle T 2 de Hotellng. In: 54º. REUNIÃO DA REGIÃO BRASILEIRA DA SOCIEDADE INTERNACIONAL DE

11 Gráfcos de controle multvarados BIOMETRIA e 13º. SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, 2009, São Carlos. Anas... São Carlos, UFSCar, HENNING, E.; ARAUJO, N. G; ALVES, C. C.; ZVIRTES, L. Aplcação de gráfcos de controle multvarados baseados na projeção de dados va Análse de Componentes Prncpas. Revsta Eletrônca Produção em Foco, v. 1, p , LOWRY, A. C.; WOODALL, W. H.; CHAMP, C. W.; RIGDON, C. C. A Multvarate Exponentally Weghted Movng Average Control Chart. Technometrcs, v. 34, n. 1, p , Feb MACHADO, M. A. G.; COSTA, A. F. B. The use of prncpal components and unvarate charts to control multvarate processes. Pesqusa Operaconal, v. 28, n. 1, p , abr MACHADO, M. A. G.; COSTA, A. F. B.; CLARO, F. A. E. Montorng bvarate process. Pesqusa Operaconal, v. 29, n. 3, p , dez MAIA, M. T.; HENNING, E.; WALTER, O. M. F. C.; KONRATH, A. C.; Aplcação de gráfcos de controle para o montoramento do processo de retfcação do dâmetro nterno de um clndro de aço. In: I CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, 1., 2011, Ponta Grossa/PR. Anas... Ponta Grossa, MARCONDES FILHO, D; FOGLIATTO, F. S.; OLIVEIRA, L. P. L. Multvarate control charts for montorng nonlnear batch processes. Produção, v. 21, n. 1, p , mar MARDIA, K. V. Marda's Test of Multnormalty. In: KOTZ, S.; JOHNSON, N. L. Encyclopeda of Statstcal Scences, v. 5. New York: Wley, 1985, p MIGUEL, P. A. C. Estudo de caso na engenhara de produção: estruturação e recomendações para sua condução. Produção, v. 17, n. 1, p , jan./abr MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístco da qualdade. 4. ed. São Paulo: LTC, PFAFF, D. QRM: Provdes R-language code to examne Quanttatve Rsk Management concepts. R package verson 0.4-7, Dsponível em: <http://cran.r-project.org/package=qrm>. Acesso em: 05 jun R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A language and envronment for statstcal computng. R Foundaton for Statstcal Computng, Venna, Austra, Dsponível em: <http://www.r-project.org>. Acesso em: 20 set RICHARDSON, R. J. et al. Pesqusa Socal: métodos e técncas. 3. ed. São Paulo: Atlas, p. SAMOHYL, R. W. Controle Estatístco de Qualdade. São Paulo: Elsever Campus, SCRUCCA, L. Qcc: an R package for qualty control chartng and statstcal process control. R News, v. 4, n. 1, 11-17, June YÁÑEZ, S.; GONZÁLEZ, N.; VARGAS, J. A. Hotellng s T 2 control charts based on robust estmators. Dyna, v. 77, n. 163, p , July/Sept YIN, R. K. Estudo de Caso: Planejamento e Métodos. 4. ed. São Paulo: Bookman, VINING, G. Techncal Advce: Phase I and phase II control charts. Qualty Engneerng, v. 21, n. 4, p , Sept

12 154 Hennng et al. P&D em Engenhara de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p , 2012 APÊNDICE A - Rotna MCUSUM adaptada de Fernandez (2011a) mcusum2.1=functon(x,n,means=null,cova=null,k=0.5,h=5.5){ lbrary(mcusum) a <- dm(x) y <- matrx(0, a[1]/n, a[2]) f (s.null(means)){ means <- matrx(0, ncol = ncol(y), nrow = 1) df <- matrx(0, ncol = ncol(y), nrow = nrow(y)) s <- matrx(0, ncol = ncol(y), nrow = nrow(y)) c <- matrx(0, ncol = 1, nrow = nrow(y)) t2 <- matrx(0, ncol = 1, nrow = nrow(y)) z <- matrx(0, ncol = ncol(y), nrow = nrow(y)) for (j n 1:a[2]) { for ( n 1:(a[1]/n)) { y[, j] <- mean(x[( * n - (n - 1)):( * n), j]) for ( n 1:ncol(y)) { means[1, ] = mean(y[, ]) for ( n 1:nrow(y)) { for (j n 1:ncol(y)) { df[, j] <- y[, j] - means[, j] f (s.null(cova)){ cova <- covarance(x, n) c[1] <- sqrt(df[1, ] %*% solve((cova/n)) %*% df[1, ]) felse(c[1] > k, (s[1, ] = (s[1, ] + df[1, ]) * (1 - k/c[1])), (s[1, ] = matrx(0, ncol = ncol(y)))) for ( n 2:nrow(y)) { z[, ] <- (s[ - 1, ] + df[, ]) %*% solve((cova/n)) c[, ] = sqrt(z[, ] %*% (s[ - 1, ] + df[, ])) f (c[] > k) { s[, ] = (s[ - 1, ] + df[, ]) * (1 - k/c[]) else (s[, ] = matrx(0, ncol = ncol(y))) t2 = 0 for ( n 1:nrow(y)) { t2[] = sqrt(s[, ] %*% solve((cova/n)) %*% (s[, ])) Sample <- seq(1, ncol(t(t2))) Samplex <- cbnd(sample, t2) subs = subset(samplex, Samplex[, 2] > h) plot(t2, type = "b", lty = 1, ylm = c(0, (max(c(max(t2), h + 1)))), pch = 21, cex = 0.65, man = "MCUSUM", xlab = "Sample", ylab = "MCUSUM", col = felse(t2 > h, 2, 1),bg=felse(t2>h,2,1)) ablne(h = h,lty=2,col=4) text(h, h + 0.5, paste("ucl =", h)) outlst = lst("multvarate Cumulatve Sum (MCUSUM) Control Chart", `Upper Control Lmts(UCL)` = h, MCUSUM = t2, covarance = cova, `The followng(s) pont(s) fall outsde of the control lmts` = subs) return(outlst)

13 Gráfcos de controle multvarados APÊNDICE B - Rotna MEWMA adaptada de Fernandez (2011b) mewma2.1 <- functon(x, n, cova=null,lambda=0.1){ h4 <- matrx(c(8.6336, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ), nrow = 9) requre(mass) f (class(x)!= "matrx") (cat("x must be a matrx ")) a <- dm(x) x1 <- matrx(0, a[1]/n, a[2]) z <- matrx(0, a[1]/n, a[2]) y <- matrx(0, a[1]/n, a[2]) t2 <- matrx(0, a[1]/n, 1) t3 <- matrx(0, a[1]/n, 1) for (j n 1:a[2]) { for ( n 1:(a[1]/n)) { y[, j] <- mean(x[( * n - (n - 1)):( * n), j]) for ( n 1:(a[1]/n)) { for (j n 1:a[2]) { x1[, j] <- y[, j] - mean(y[, j]) felse( == 1, z[, j] <- lambda * x1[, j], z[, j] <- lambda * x1[, j] + (1 - lambda) * z[ - 1, j]) f (s.null(cova)){ cova <- covarance(x, n) for ( n 1:(a[1]/n)) { weghts <- cova * (lambda * (1 - ((1 - lambda)^(2 * )))/(2 - lambda)) nv <- gnv(weghts) za <- matrx(z[, ]) t2[, ] <- t(za) %*% nv %*% za rownames(h4) <- c(seq(0.1, 0.9, by = 0.1)) colnames(h4) <- c(1:9) m1 <- rownames(h4) m2 <- colnames(h4) l <- lambda * 10 ucl <- h4[m1[l], m2[a[2] - 1]] felse(max(t2) > ucl, s3 <- max(t2), s3 <- ucl) plot(t2, ylm = c(0, celng(s3)), type = "b",pch=21,col = felse(t2 > ucl, 2, 1),bg=felse(t2>ucl,2,1),xlab="Sample",ylab="MEWMA")

14 156 Hennng et al. P&D em Engenhara de Produção, Itajubá, v. 10, n. 2, p , 2012 s1 <- c(ucl, ucl) s2 <- c(0, 0) ablne(s1, s2,lty=2,col=4) text(5, s1-0.5, paste("ucl =", ucl)) cat("multvarate Exponentally Weghted Movng Average (MEWMA) Control Chart ") cat("upper Control Lmts(UCL)") prnt(ucl) k <- 1 for ( n 1:(a[1]/n)) { f (t2[] > ucl) { t3[k, 1] <- k <- k + 1 f (k > 1) { cat("the followng(s) pont(s) fall outsde of the control lmts") for ( n 1:(a[1]/n)) { f (t3[]!= 0) (prnt(t3[])) outlst = lst("multvarate Exponentally Weghted Movng Average (MEWMA) Control Chart", t2 = t2, covarance = cova) nvsble(outlst)

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