Palavras-chaves: Gráficos de controle, ambiente R, análise estatística multivariada

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1 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 O DESENVOLVIMENTO DE GRÁFICOS DE CONTROLE MCUSUM E MEWMA EM AMBIENTE R COMO UM PROCEDIMENTO ALTERNATIVO PARA ANÁLISE ESTATÍSTICA DE PROCESSOS MULTIVARIADOS Custodo da Cunha Alves (UNIVILLE) ccalves@unvlle.edu.br Elsa Hennng (UFSC/UDESC) dma2eh@jonvlle.udesc.br Robert Wayne Samohyl (UFSC) samohyl@deps.ufsc.br Montorar smultaneamente duas ou mas característcas da qualdade de um processo depende de ferramentas estatístcas cada vez mas específcas para detectar, dentfcar e analsar as causas sgnfcatvas de varabldade que afetam o comportamento deste de manera mprevsível. Os gráfcos de controle multvarados representam uma destas técncas estatístcas emergentes utlzadas com sucesso para controlar smultaneamente váras característcas correlaconadas que ndcam a qualdade de um únco processo produtvo. A utlzação destes gráfcos tem sdo ncrementada notadamente nos últmos anos em razão dos números recursos da nformatzação hoje exstentes para atender a complexdade dos atuas processos ndustras. Este artgo apresenta duas rotnas desenvolvdas no pacote computaconal GNU R como alternatvas para a aplcação dos gráfcos MCUSUM e MEWMA. Procurou-se, no desenvolvmento destas, facltar a entrada de nformações, a construção de gráfcos claros e retornar o máxmo de nformações necessáras no objeto de saída. As rotnas foram aplcadas em dados da lteratura da área. Embora as rotnas desenvolvdas possam anda ser melhoradas, pode-se conclur o que o ambente R é uma alternatva mportante para o controle estatístco de processo multvarado. Como prncpal vantagem está o fato de ser um software lvre, de códgo aberto, permtndo o desenvolvmento de programas e otmzação das rotnas desenvolvdas. Palavras-chaves: Gráfcos de controle, ambente R, análse estatístca multvarada

2 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de Introdução A nternet, nstrumento de globalzação do conhecmento, vem de encontro a grande necessdade atual de se democratzar a nformação cujo papel de extrema mportânca é dreconado a uma socedade tecnologcamente desenvolvda. Conhecer algumas ferramentas computaconas lvres que possam auxlar usuáros a resolver seus problemas em dversas áreas tem sdo facltado cada vez mas pelo acesso a rede mundal. Portanto, é natural a procura pelo desenvolvmento de aplcações que auxlem usuáros a terem acesso rápdo a nformações claras, precsas e objetvas. No Brasl, a utlzação de gráfcos de controle com metodologa para processos multvarados não tem sdo comum no montoramento de processos ndustras em razão das dfculdades nerentes às técncas multvaradas. Felzmente, com o avanço da tecnologa nas últmas décadas, programas computaconas (comercas e lvres) têm possbltado um maor desenvolvmento e mplantação de métodos de controle estatístco multvarados na ndústra como ferramenta de controle da qualdade. A aplcação de pacotes computaconas à análse estatístca multvarada de processos tas como MINITAB, STATISTICA, etc., vem se fazendo cada vez mas presentes, cuja demanda tem sua orgem tanto no âmbto da pesqusa nas unversdades quanto no montoramento de processos em ambentes ndustras. Como característca comum está o fato de todos serem pacotes comercas, mplcando no pagamento de lcenças para acompanhar as váras versões lançadas num curto espaço de tempo. Isto pode representar um custo alto tanto para as unversdades quanto para as ndústras, prncpalmente as de pequeno e médo porte. O R (Ihaka & Gentleman, 1996) é uma lnguagem e um ambente para computação estatístca. Como é um projeto GNU, baseado no conceto de software lvre, pode ser usado sem custos de lcença. Ele permte, de acordo com os autores, uma grande varedade de análses estatístcas como, por exemplo, análse exploratóra de dados, testes estatístcos, regressão lnear e não lnear análse de séres temporas, entre dversas outras. Como ponto forte está a facldade com que gráfcos bem delneados e de alta qualdade para mpressão podem ser produzdos. Além dsso, de acordo com Beasley (2004), exstem númeras funções para manpulação, mportação e exportação de dados, sendo mult-plataforma, contendo versões para Wndows, MacOS, GNU/Lnux e Unx. É possível carregar dados externos das mas dversas formas, nclundo de planlhas eletrôncas, como o Mcrosoft Excel e Open-Offce, banco de dados e até de outros pacotes como MINITAB e SPSS, por exemplo. O termo ambente pretende caracterzar o R como um sstema totalmente planejado e coerente ao nvés de uma aglomeração de ferramentas muto específcas e nflexíves, permtndo aos usuáros acrescentar funconaldade adconal por defnção de novas funções (BEASLEY, 2004). O R pode ser baxado dretamente da Internet em portal específco: Para complementar, coloca-se que, exstem mas de 700 pacotes que estendem o R, nclundo um específco para gráfcos de controle para processos unvarados. Dversas funconaldades são então acrescdas, ndo desde a mplementação de métodos específcos de análse estatístca, até pacotes para a cração de nterfaces gráfcas. Estes pacotes estão dsponíves lvremente em um repostóro central, o CRAN (Comprehensve R Archve Network). Além de usufrur tas pacotes é possível crar novos utlzando a própra lnguagem R ou outra lnguagem de programação externa como C, ou FORTRAN, por exemplo (HENNING, ALVES & VIEIRA, 2007). 2

3 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 O potencal horzonte de uso dos gráfcos de controle multvarados no país e a necessdade de dssemná-los de forma mas ntensa, tanto no âmbto acadêmco como empresaral, fo a motvação da proposta de utlzar o ambente R como recurso computaconal alternatvo para tornar mas acessível ao usuáro estas ferramentas. Assm, o objetvo prncpal deste trabalho é apresentar o desenvolvmento de rotnas no R para dos dos prncpas gráfcos de controle multvarados que são o MCUSUM e MEWMA. A proposta é dsponblzar um procedmento alternatvo e adequado ao usuáro para a análse estatístca de processos multvarados. Além dsso, destaca-se a mportânca da escolha de um recurso computaconal lvre para complementar algumas funções anda não dsponíves nos prncpas pacotes estatístcos comercas, como por exemplo, o desenvolvmento do gráfco MCUSUM. Este artgo apresenta ncalmente uma breve fundamentação sobre gráfcos de controle estatístco de processos multvarados, focalzando os gráfcos com memóra, MEWMA e MCUSUM. Em seguda está a mplementação no R destes gráfcos e um exemplo de aplcação dos mesmos. 2. Gráfcos de Controle Estatístco de Processos Multvarados O tradconal método de controle estatístco de processos onde apenas uma característca da qualdade (ou varável) é montorada, a partr da utlzação de alguns gráfcos de controle unvarados, é anda o mas conhecdo e amplamente aplcado no setor ndustral (Montgomery, 2004). De acordo com o autor, sto é devdo a smplcdade e facldade de operaconalzação. No entanto, são mutas as stuações no cenáro ndustral onde, num mesmo processo, é necessáro o controle smultâneo de duas ou mas característcas da qualdade. Embora a aplcação de gráfcos de controle unvarados a cada varável ndvdual seja uma solução possível, segundo Montgomery (2004), esta pode levar a conclusões errôneas se não forem consderadas a probabldade conjunta de erro tpo I e a estrutura de correlação entre as varáves consderadas. Neste caso, não exste uma melhor varável e sm, é mprescndível trabalhar conjuntamente com todas as varáves sgnfcatvas do processo. O rápdo crescmento em tecnologas de nformação nas últmas décadas tem possbltado um maor desenvolvmento e mplantação de métodos de controle estatístco multvarados na ndústra como ferramenta de controle da qualdade. Dentre estes métodos, destacam-se os três prncpas gráfcos de controle: o gráfco T 2 de Hotellng, descrto por Montgomery (2004), o MCUSUM desenvolvdo por Croser (1988) e o gráfco MEWMA, por Lowry et al (1992). Os gráfcos MCUSUM e MEWMA têm como prncpal característca serem sensíves a pequenas e moderadas mudanças no vetor de médas do processo. Os gráfcos de controle multvarados são desenvolvdos a partr de medções do resultado do processo para múltplas varáves. Estas medções são apresentadas, geralmente, para subgrupos de tens coletados denomnados na lteratutura de subgrupos raconas (Montgomery, 2004). No entanto, em ndústras de processos (químcas, petroquímcas, de mneração e outras) podemos consderar um tem como sendo uma porção de materal coletado nstantaneamente de determnada corrente ou de um lote homogêneo de algum produto. Nesse caso, que é o que será tratado neste artgo, tem-se geralmente subgrupos de tamanho 1 devdo às restrções de amostragem, que, comumente são chamados de observações ndvduas (MONTGOMERY, 2004). O desenvolvmento destes gráfcos de controle é separado em duas fases. A prmera fase (fase I) consste em obter-se uma amostra representatva dos dados com o objetvo de determnar os lmtes de controle, sendo em geral um estudo retrospectvo dos dados. A 3

4 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 segunda fase (fase II) tem o ntuto de montoramento do processo e utlza os lmtes especfcados na etapa anteror (MASON & YOUNG, 2002). Para a fase I consdere o caso em que p característcas correlaconadas exstem, são meddas smultaneamente e estão necessaramente sob controle estatístco. Assume-se que estas característcas seguem uma dstrbução normal multvarada p-dmensonal com vetor de médas µ í = ( µ 1, µ 2,..., µ p ) e matrz de covarâncas, onde µ é a méda da -ésma característca e a matrz de covarâncas das p característcas (MONTGOMERY, 2004). Um problema sgnfcatvo, no caso das observações ndvduas é a estmação da matrz de covarâncas do processo. Sullvan e Woodall (1996) apud Montgomery (2004) apresentam crtéros para estmar a matrz de covarâncas de processos. Esses autores propõem alguns procedmentos para obtenção de S (estmadores) que tornam o deslocamento abrupto (mudança súbta) no processo e deslocamento gradatvo (tendênca ou mudança gradatva) no vetor de médas do processo. Nesse artgo utlza-se a matrz de covarâncas amostral defnda por: S m 1 1 ' ( x+ 1 x) ( x 1 x ). (1) 2( m 1) pxp = + = 1 onde S representa a estmatva para a matrz de covarânca do processo. Este estmador usa a dferença entre os sucessvos pares de observações. O desempenho de um gráfco de controle é comumente meddo através de parâmetros relaconados com a dstrbução do tempo necessáro para o gráfco emtr um snal. O comprmento médo de corrda (ARL Average Run Length), é um desses parâmetros. O ARL δ representa o número de amostras necessáro para que seja detectada uma mudança, após a mesma ter ocorrdo no processo, enquanto que o ARL 0, o número de amostras para que seja emtdo um alarme falso, uma vez que o processo esteja sob controle (ALVES & SAMOHYL, 2004). 3. Gráfcos de Controle Multvarados com Memóra O gráfco de controle multvarado mas conhecdo e, atualmente utlzado para montorar o vetor de médas de um processo, é anda o tradconal gráfco T 2 de Hotellng. Neste gráfco cada conjunto de dados ou cada valor é nserdo no gráfco ndvdualmente e a sua relação com outros pontos é determnada apenas pelo gráfco (BERSIMIS, PSARAKIS E PANARETOS, 2007). Apesar de extremamente efcaz, não é a únca ferramenta dsponível para a análse estatístca multvarada de processos ndustras. Em alguns casos, outros tpos de gráfcos de controle multvarados podem complementar ou substtur com vantagens o gráfco T 2 de Hotellng, podendo permtr em função do caso em análse, a obtenção de uma solução mas precsa, a um custo e prazos menores que os requerdos pelas metodologas tradconas. É o caso dos gráfcos de controle multvarados com memóra MCUSUM e MEWMA. Estes acumulam a nformação mas recente com nformações anterores e, com sso, detectam pequenas e moderadas mudanças dos parâmetros de um processo multvarado com um número médo de amostras até o snal (ARL δ ) bem menor do que faram os gráfcos T 2 de Hotellng. Segundo Hawkns & Olwell (1998), no gráfco T 2 de Hotellng nenhuma estatístca que envolva todos os dados anterores é utlzada, ou seja, apenas a nformação do últmo ponto demarcado no gráfco é consderada, o que torna nsensível para detectar pequenas e moderadas mudanças no vetor de médas de um processo. 4

5 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de Gráfco Multvarado de Méda Móvel Exponencalmente Ponderada (MEWMA) A prmera referênca sobre gráfco de controle estatístco multvarado MEWMA (Multvarate Exponentally Weghted Movng Average), se deve a Lowry et al. (1992) que defnem o MEWMA como uma extensão lógca do controle EWMA unvarado (p=1). Para o caso multvarado (p>1) o gráfco MEWMA o nteresse é o montoramento smultâneo de p varáves correlaconadas entre s. Neste caso, X 1, X 2,... são vetores de dmensão p que representam as médas amostras tomadas do processo. Suponhamos que os vetores aleatóros X são ndependentes e estão dentcamente dstrbuídos segundo uma normal p-varante de vetor de méda µ e matrz de covarâncas, O processo estará sob controle se µ = µ o e fora de controle se µ µ. o A estatístca de controle para montorar o vetor de médas do processo va gráfco de controle estatístco multvarado (MEWMA), é obtda a partr da equação: Z rx + 1 r) Z (2) = ( 1 onde X é o vetor de observações amostras p-dmensonal referente a -ésma amostra untára, r é a matrz dagonal que contém p constantes de ponderação { r (0,1]} e Z 1 é o vetor p-dmensonal dos escores referentes à amostra 1 tomando geralmente como partda Z o = µ o. Quando r =1 o gráfco de controle MEWMA torna-se equvalente ao gráfco de controle T 2 de Hotellng. A estatístca de controle utlzada para plotar o gráfco MEWMA é defnda como: T = Z Z (3) 2 ' 1 Z 1 onde Z é a nversa da matrz de covarâncas de Z. A matrz de covarânca de expressa segundo a equação (4). r[1 (1 r) = r Z 2 2 ] Σ Onde Σ é a matrz de covarânca estmada ou conhecda. z é Para o procedmento do gráfco de controle MEWMA pode-se tomar a matrz de covarânca assntótca dada por (5) de forma análoga ao que ocorre no caso unvarado para observações ndvduas. r Z = lm Z = ( ) 2 r (5) 2 O processo é consderado sob controle se T < h na equação (3). O valor de h (lmte de controle) é escolhdo a partr do desempenho do ARL desejado para o gráfco de controle MEWMA. Este desempenho do ARL depende apenas do parâmetro de não centraldade dado pela dstânca de Mahalanobs quando as p característcas recebem o mesmo peso r. Dessa forma, este procedmento de controle também apresenta a característca de dreconaldade nvarante. Por esta razão, pode-se comparar o desempenho desse gráfco em relação a outros gráfcos multvarados (LOWRY et al., 1992). (4) 5

6 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de Gráfco Multvarado de Soma Acumulada (MCUSUM) O modelo de gráfco de controle unvarado CUSUM (Soma Acumulada) fo desenvolvdo, de acordo com Alves & Samohyl (2003, 2004), para oferecer maor sensbldade a pequenos e moderados desvos na méda de um processo que passam despercebdos pelo gráfco de Shewhart. Os procedmentos de controle estatístco multvarado baseados na flosofa CUSUM são dscrmnados em duas prncpas categoras: ) procedmentos de controle que utlzam múltplos gráfcos de controle CUSUM unvarados (abrevados por MCU), desconsderando assm a correlação entre as varáves; ) procedmentos de controle que utlzam um gráfco de controle CUSUM multvarado (abrevado por MCUSUM), sto é, utlzam a matrz de covarâncas das varáves para obter uma aproxmação do gráfco CUSUM em processos multvarados. O gráfco de controle CUSUM multvarado fo proposto por Croser (1988) a partr de dos procedmentos de controle. O prmero procedmento baseado na raz quadrada da estatístca T 2 de Hotellng denomnado de gráfco de controle CUSUM COT (CUSUM of T) consste em reduzr as observações multvaradas a escalares. O segundo procedmento denomnado MCUSUM (CUSUM de vetores) que analsa dretamente as observações multvardas e se consttu numa extensão multvarada do gráfco de controle CUSUM unvarado onde as quantdades escalares são substtuídas por vetores. Defne-se C como: 1 C = [( S 1 + x µ o )' Σ ( S 1 + x µ o )] (6) onde S são as somas acumuladas expressadas como: 0, se S = k ( S 1 + x )(1 ), C C k se C > k com S = 0 e valor de referênca k > 0, relaconado a magntude de mudança. o A estatístca de controle a ser plotada no gráfco de controle MCUSUM é dada por: (7) Y 1 = S' Σ S (8) O método snalza uma stuação fora de controle se Y > H onde H é o ntervalo de decsão (lmte de controle). Croser (1988) demonstra que, de uma manera geral, este procedmento tem desempenho de ARL melhor do que o procedmento escalar. Além dsso, anda de acordo com o autor,este tpo de gráfco de controle apresenta um desempenho ARL superor em relação ao gráfco T 2 de Hotellng na detecção de deslocamentos no vetor de médas do processo. 6. Rotnas desenvolvdas As rotnas foram desenvolvdas na versão do R para Wndows, utlzando a lnguagem própra do R, sem a necessdade de nstalação de nenhum pacote adconal. Para ambas consderou-se a possbldade tanto de entrada da matrz de covarâncas e vetor de médas, como de estmação da matrz de covarâncas e cálculo das médas. Estas foram testadas com dados da lteratura da área. Como premssa básca, supõe-se que os dados utlzados nestes exemplos seguem uma dstrbução normal multvarada com vetor de médas µ e matrz de covarâncas. Neste artgo, os programas são aplcados aos dados de Croser (1988). Eles foram utlzados pelo autor em gráfcos de soma cumulatva multvarados. Estes mesmos 6

7 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 dados também estão presentes no trabalho de Lowry, et al. (1992) para o gráfco MEWMA. Conforme tabela 1, esses dados foram extraídos aleatoramente de uma dstrbução normal bvarada com varânca untára e coefcente de correlação gual a 0,5. A méda do processo é (0,0) para as cnco prmeras observações e (1,2) para as posterores. Os resultados, estatístcas calculadas e gráfcos plotados, são dêntcos aos apresentados na lteratura. No desenvolvmento da rotna do MEWMA, fo utlzada a equação (4) para calcular, e o peso r fo denotado por λ (lambda), por ser esta ser a nomenclatura usada por Montgomery (2004), que em geral é adotada em cursos de graduação e pós-graduação. Na equação (2) optou-se por reduzr dos dados o valor da méda e consderar 0 (zero) como valor ncal. A rotna mewma1 é apresentada na fgura 1. Os argumentos de entrada correspondem ao conjunto de dados, a matrz de covarânca, o vetor de médas alvo, os valores de lambda e de h. O programa fo desenvolvdo de tal forma que se a matrz de covarâncas e as médas não forem fornecdas, estas são computados. Do mesmo modo, o default consdera o valor de λ=0,1 e o valor de h=8,66, consderando p=2 (duas varáves) e um ARL de 200. Ele retorna um objeto com a estatístca MEWMA, o lmte superor de controle, a matrz de covarânca, o vetor das médas, o valor de λ e os pontos acma do lmte. O gráfco produzdo snalza em cor vermelha os pontos além do lmte superor de controle. x1-1,19 0,12-1,69 0,30 0,89 0,82-0,30 0,63 1,56 x2 0,59 0,90 0,40 0,46-0,75 0,98 2,28 1,75 1,58 Fonte: Croser (1988) Tabela 1: Dados do exemplo de aplcação O programa é fácl de executar. Na tela de trabalho do R, em arquvo, clca-se em Interpretar códgo fonte R, seleconando o arquvo fonte para nterpretação (fgura 2). Os arquvos foram chamados de mewma1.r e mcusum1.r. Após o carregamento dos dados para então executar a rotna, basta dgtar na área de trabalho os seguntes comandos: mewma(dados,vetor das médas,matrz de covarânca, lambda,h). mewma1=functon(x,meda=null,s=null,lambda=0.1,h=8.66){ x=as.matrx(x) f (s.null(s)) {m=nrow(x) v=matrx(c(0),nrow=(nrow(x)-1),ncol=ncol(x)) for ( n 1:(m-1)){v[,]=x[+1,]-x[,]} vt=t(v) vv=vt%*%v s=matrx(c(0),ncol=ncol(x),nrow=ncol(x)) for ( n 1:ncol(s)) {s[,]=(1/(2*(m-1)))*(vv[,])}} f (s.null(meda)){ meda=matrx(c(0),ncol=1,nrow=ncol(x)) for ( n 1:ncol(x)) meda[,1]=mean(x[,])} mx=matrx(c(0),ncol=ncol(x),nrow=nrow(x)) for( n 1:ncol(x)){ mx[,]=(x[,]-meda[,1])} z=matrx(c(0),ncol=ncol(mx),nrow=(nrow(mx)+1)) for( n 1:nrow(mx)){ z[+1,]=lambda*mx[,]+(1-lambda)*z[,]} z=z[-1,] w=0 z 7

8 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 s=matrx(c(0),ncol=2,nrow=2) tz=t(z) t2=0 for ( n 1:nrow(mx)){ w[]=(lambda/(2-lambda))*(1-(1-lambda)^(2*)) s=solve(w[]*s) t2[]=(tz[,]%*%s)%*%z[,]} pontos.fora=subset(t2,t2>h) amostra=1:length(t2) plot(amostra,t2,type='b',col=felse(t2>h,2,1), pch=felse(t2>h,23,19),bg='red',ylm=c(0,max(1.1*h,1.1*max(t2))), man='gráfco de Controle MEWMA',ylab='MEWMA', xlab='amostra',axes=false) axs(1,1:length(t2))axs(2)box() ablne(h=h,lwd=2,col=2) text(2,h+1,paste("ls =",h)) grd() structure(lst(ymewma=t2,cov=s,medas=meda,ls=h,lambda=lambda, pontos.fora=length(pontos.fora), valores=pontos.fora))} Fgura 1: Rotna desenvolvda para o gráfco MEWMA Fgura 2: Tela do R para carregar a rotna do gráfco Mewma Na fgura 3 estão os argumentos de entrada do exemplo de aplcação. As entradas correspondem apenas aos dados, a matrz com os valores alvo para as médas (meda), e a matrz de covarânca (chamada de s). Neste caso o λ assume o valor de 0,1 e h=8,66. Caso fosse desejado o valor de λ=0,2, por exemplo, bastara dgtar o comando da segunte forma: mewma(dados,s,lambda=0,2). Na mesma fgura está o objeto de retorno com os resultados. Na fgura 4 pode ser vsualzado o gráfco de controle MEWMA, onde se pode observar em quas amostras as varáves estão fora de controle estatístco. Pelas fguras 3 e 4, observa-se que as amostras 9 e 10 foram snalzadas como fora de controle estatístco pelo método MEWMA. 8

9 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 A rotna mcusum é apresentada na fgura 5. Os argumentos de entrada correspondem ao conjunto de dados, a matrz de covarânca, o vetor de médas, os valores de k e de h. Smlar ao anteror, o programa fo desenvolvdo de tal forma que se a matrz de covarâncas e o vetor de médas não forem fornecdos, são calculados. Do mesmo modo, o default consdera o valor de k=0,5 e o valor de h=5,5 (consderando p=2 e um ARL de 200). O retorno é um objeto contendo a estatístca de controle resultante da fórmula 8, as médas, a matrz de covarânca, o lmte superor de controle e pontos acma do lmte. O gráfco produzdo snalza em cor vermelha as amostras com valores acma do lmte de controle. O exemplo de aplcação é o mesmo. A execução é smlar a do programa anteror. Após o carregamento dos dados, basta dgtar na área de trabalho a segunte nstrução: mcusum(dados,vetor das médas,matrz de covarânca, k,h). Fgura 3: Tela do R execução da rotna mewma1 e resultados numércos 9

10 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 Fgura 4: Tela do R - Gráfco Memwa gerado pela rotna mcusum1=functon(x,meda=null,mc=null,k=0.5,h=5.5){ x=as.matrx(x) f (s.null(mc)) { m=nrow(x) v=matrx(c(0),nrow=(nrow(x)-1),ncol=ncol(x)) for ( n 1:(m-1)) {v[,]=x[+1,]-x[,]} vt=t(v) vv=vt%*%v mc=matrx(c(0),ncol=ncol(x),nrow=ncol(x)) for ( n 1:ncol(mc)){mc[,]=(1/(2*(m-1)))*(vv[,])}} f (s.null(meda)){ meda=matrx(c(0),ncol=1,nrow=ncol(x)) for ( n 1:ncol(x)){meda[,1]=mean(x[,])}} s=matrx(c(0),ncol=ncol(x),nrow=nrow(x)) st=matrx(c(0),ncol=ncol(x),nrow=nrow(x)) c=matrx(c(0),ncol=1,nrow=nrow(x)) p=matrx(c(0),ncol=1,nrow=nrow(x)) vmc=matrx(c(0),ncol=ncol(x),nrow=nrow(x)) for ( n 1:ncol(x)){x[,]=x[,]-meda[,1]} s[1,]=s[1,]+x[1,] st[1,]=s[1,]%*% solve(mc) ts=t(s) c[1]=sqrt(st[1,]%*% ts[,1]) p[1]=1-k/c[1] f (c[1]>k){vmc[1,]=(vmc[1,]+x[1,])*p[1]} else (vmc[1,]=matrx(c(0),ncol=ncol(x))) for ( n 2:nrow(x)){ s[,]=vmc[-1,]+x[,] 10

11 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 st[,]=s[,]%*%solve(mc) ts=t(s) c[]=sqrt(st[,]%*%ts[,]) p[]=1-k/c[] f (c[]>k){vmc[,]=(vmc[-1,]+x[,])*p[]} else (vmc[,]=matrx(c(0),ncol=ncol(x)))} vmc1=vmc %*% solve(mc) tc=t(vmc) t2=0 for ( n 1:nrow(x)){t2[]=sqrt(vmc1[,]%*%tc[,])} pontos.fora=subset(t2,t2>h) amostra=seq(1,nrow(x)) plot(amostra,t2,type='b',col=felse(t2>h,2,1), pch=felse(t2>h,23,19),bg='red',ylm=c(0,max(1.1*h,1.1*max(t2))), man='gráfco de Controle MCUSUM',xlab='Amostra',axes=FALSE) axs(1,1:nrow(x)) axs(2) box() ablne(h=h,lwd=2,col=2) text(2,h+1,paste("ls =",h)) grd() structure(lst(estatistica.mcusum=t2,matrz.cov=mc,h=h,k=k pontos.fora=length(pontos.fora),valores=pontos.fora))} Fgura 5: Rotna desenvolvda para o gráfco MCUSUM Nas fguras 6 e 7 podem ser vsualzadas as saídas. Na fgura 6 estão os resultados numércos e na fgura 6 o gráfco de controle MCUSUM, onde se pode observar as amostras em que as varáves estão fora de controle estatístco. Os gráfcos plotados podem ser salvos em város formatos para posteror utlzacão (fgura 7). Fgura 6: Execução da rotna mcusum1 11

12 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 Fgura 7: Gráfco MCUSUM gerado pela rotna desenvolvda Através da análse das fguras 6 e 7, observa-se que a amostra 10 fo snalzada pelo gráfco como fora de controle estatístco pela metodologa utlzada. É nteressante notar que o gráfco MEWMA (fgura 4), detecta a mudança antes do gráfco MCUSUM (fgura 7), embora a comparação de procedmentos não seja o objetvo deste artgo. Os resultados numércos são dêntcos aos apresentados por Croser (1988) para o MCUSUM e aos de Lowry, et al (1992) para o gráfco MEWMA. Foram comparados vsualmente os gráfcos e resultados numércos com os dos pacotes MINITAB e STATISTICA para a metodologa MEWMA, e estes conferem com os produzdos pelos pacotes comercas. Para o MCUSUM, não fo possível fazer uma comparação. O MINITAB anda não faz este gráfco e o STATISTICA utlza outra formulação para gráfcos de soma cumulatva multvarados. 7. Conclusões e consderacões fnas Neste artgo apresentou-se o desenvolvmento e mplementação de uma rotna computaconal para os gráfcos MEWMA e MCUSUM no pacote GNU R. Embora as rotnas desenvolvdas possam anda ser melhoradas, pode-se conclur o que o ambente R é uma alternatva mportante para o controle estatístco de processos multvarados. Ressalta-se que o R é um ambente para computação estatístca completo, com uma enorme varedade de funções. Um dos prncpas pontos postvos é o fator de ser um software lvre e de códgo aberto. No Brasl, é possível avançar nesta área pouco explorada tanto na lteratura como, prncpalmente, no cotdano dos processos ndustras. Empresas pequenas, por exemplo, que não tem acesso fácl aos recursos computaconas comercas, podem utlzar o R como uma versátl e poderosa ferramenta para auxlar no controle estatístco multvardo da qualdade. Do ponto de vsta operaconal há anda um longo trabalho a ser desenvolvdo. Algumas sugestões abrangem a extensão destas rotnas para análses com subgrupos raconas, desenvolvmentos de rotnas para outros gráfcos de controle multvarados e nclur nternamente o ARL para possbltar o cálculo dos lmtes de controle e magntude da 12

13 A ntegração de cadeas produtvas com a abordagem da manufatura sustentável. Ro de Janero, RJ, Brasl, 13 a 16 de outubro de 2008 mudança desejada. Além dsso, dsponblzar as rotnas na forma de um pacote. As rotnas aqu apresentadas estão dsponíves em: e podem ser modfcadas de acordo com a necessdade do usuáro. Referêncas ALVES, C.C. Gráfcos de controle CUSUM: um enfoque dnâmco para a análse estatístca de processos. Dssertação de Mestrado em Engenhara de Produção, UFSC, Floranópols, ALVES, C.C. & SAMOHYL, R.W. A utlzação dos gráfcos de controle CUSUM para o montoramento de processos ndustras. XXIV Encontro Naconal de Engenhara de Produção - Floranópols, SC, Brasl, BEASLEY, C. R. Boestatístca usando R. Unversdade Federal do Pará Dsponível em: Acessado em 01/09/2005. BERSIMIS, S.; PSARAKIS, S. & PANARETOS, J. Multvarate Statstcal Process Control Charts: An Overvew. Qualty and Relablty Engneerng Internatonal,. 23: , CROSIER, R.B. Multvarate Generalzatons of Cumulatve Sum Qualty Control Schemes. Technometrcs, 30(3), , HAWKINS, D.M. & OLWELL, D.H. Cumulatve Sum Charts and Chartng for Qualty Improvement. Engneerng and Physcal Scence, Sprnger, HENNING, E.; ALVES, C. C. & VIEIRA,V. O ambente R como uma proposta de renovação para aprendzagem e montoramento de processos em Controle Estatístco de Qualdade. XIV SIMPEP- Smpóso de Engenhara de Produção, IHAKA, R. & GENTLEMAN, R. R: A Language for Data Analyss and Graphcs. Journal of Computaconal and Graphcal Statstcs 5 (3): pag LOWRY, A.C.; WOODALL, W.H.; CHAMP, C.W. & RIGDON, C.C. A Multvarate Exponentally Weghted Movng Average Control Chart. Technometrcs, 34(1), 46-53, MASON, R.L, & YOUNG, J.C. Multvarate Statstcal Process Control wth Industral Applcatons. ASA/SIAM: Phladelpha, PA, MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístco da Qualdade. LTC Edtora, 4ª edção,