PLANEJAMENTO DE GRÁFICOS DE CONTROLE DE REGRESSÃO VIA SIMULAÇÃO

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1 PLANEJAMENTO DE GRÁFICOS DE CONTROLE DE REGRESSÃO VIA SIMULAÇÃO Ana Carolna Campana Nascmento 1, José Ivo Rbero Júnor 1, Mosés Nascmento 1 1. Professor da Unversdade Federal de Vçosa, Avenda Peter Henr Rolfs, s/n Campus Unverstáro 3657-, Vçosa MG Brasl. (ana.campana@ufv.br) Recebdo em: 4/5/1 Aprovado em: 15/6/1 Publcado em: 3/6/1 RESUMO O gráfco de controle de regressão é útl para montorar um processo onde este a atuação conjunta de varáves correlaconadas. Neste caso, o objetvo é controlar a relação entre elas. O relaconamento lnear entre as varáves é representado pela reta de regressão e em torno dela, são estabelecdos os lmtes de controle estmados a partr de dados hstórcos. Porém, se estr uma grande varabldade nos dados, o lmte será alargado e, portanto, rão conter todos ou quase todos os dados, dando uma falsa mpressão de que o processo está sob controle. Assm, o estabelecmento dos lmtes de controle por meo de dados smulados, que representem uma meta de nteresse baseada no coefcente de correlação entre as varáves em estudo, é bastante aproprado em vablzar o controle da relação entre estas varáves. PALAVRAS CHAVE: coefcente de correlação, smulação de dados, controle estatístco de processos PLANNING GRAPHICS CONTROL OF REGRESSION VIA SIMULATION ABSTRACT The graphc control of the regresson s useful to track a process where there s jont acton of varables correlated. In ths case, the objectve s to control the relatonshp between them. The lnear relatonshp between the varables s represented b the lne of regresson and around t, are establshed boundares of control estmated from hstorcal data. But f there s great varablt n the data, the lmt wll be etended and, therefore, wll contan all or nearl all the data, gvng a false mpresson that the process s under control. Thus, the establshment of the lmts of control through smulated data, representng a target of nterest based on the correlaton coeffcent between the varables under stud, s qute approprate to facltate the control of the relatonshp between these varables. KEYWORDS: correlaton coeffcent, smulaton data, statstcal control processes ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

2 1 INTRODUÇÃO O gráfco de controle fo orgnalmente proposto por W. A. SHEWHART 1 em 194 com a ntenção de elmnar varações anormas em um determnado processo produtvo. Portanto, para controlar a qualdade de um produto, são necessáras: a medção e a dentfcação de varações ocorrdas no processo de produção. Geralmente, os gráfcos de controle são utlzados para avalar o estado de controle estatístco de um processo, pos servem para dferencar se as varações que ocorrem são devdas a causas especas ou aleatóras (MONTGOMERY,1997). Estem város estudos sobre o controle de varáves em processos produtvos, mas na maora das vezes, são em relação ao controle de uma únca varável. Porém, em mutos casos, o processo sofre a nterferênca conjunta de mas de uma e então surge a necessdade de um controle smultâneo dessas varáves, que podem ser correlaconadas. Uma forma bastante efcente de representar relações entre varáves é através do gráfco de controle de regressão, apresentado ncalmente por DIPAOLA (1945), que descreve o controle smultâneo de duas varáves que possuem uma relação de causa e efeto nos processos produtvos. Ultmamente o gráfco de controle de regressão tem sdo utlzado na resolução de dversos problemas, como no trabalho de VILALLOBOS (3), que teve como objetvo fazer prevsões e montorar a qualdade do ar numa nterseção controlada por semáforo, através das varáves: atrasos meddos em segundos e a polução medda em concentrações de monódo de carbono (CO). JACOBI et al., () eemplfcaram o uso desta metodologa com dados coletados no setor de Engenhara de Saneamento e Meo Ambente. A lteratura apresenta três tpos possíves de lmtes de controle e todos são defndos bascamente em função da varação aleatóra ou resdual dos dados hstórcos. Segundo PEDRINI & TEN CATEN (11) a presença de valores etremos (outlers) nos dados hstórcos comprometem o desempenho de um gráfco de controle, vsto que, os mesmos nflaconam a varânca resdual (QME) alargando o lmte de controle e consequentemente reduzndo o poder do gráfco. Desta forma, para que se tenha um gráfco sensível à detecção de pontos fora dos lmtes, e consequentemente, do processo fora de controle estatístco, é necessáro que se retrem os pontos atípcos antes de se calcular o QME, para que o mesmo seja o mas aleatóro possível. Outra manera de contornar o problema é estabelecer os lmtes de controle a partr de uma meta de nteresse, que depende da necessdade e da correlação entre as varáves estudadas. Dante do eposto este trabalho tem por objetvo estabelecer uma estratéga prátca e rápda para o planejamento e mplantação dos gráfcos de controle de regressão por meo da correlação entre as varáves estudadas e smulação de dados. METODOLOGIA.1 MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES A base para a construção do gráfco de controle de regressão é dada pela teora de regressão lnear smples. A análse de regressão lnear consttu no estabelecmento de modelos que nterpretem a relação funconal entre varáves. O 1 Em memorando datado de 16 de mao de 194, o Dr. Shewhart propôs o seu gráfco de controle para análse de dados resultantes de nspeção, fazendo com que os procedmento baseado na detecção e correção de produtos defetuosos começassem a ser substtuídos por estudo e prevenção dos problemas relaconados à qualdade, de modo a mpedr que os produtos defetuosos fossem produzdos. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

3 modelo de regressão lnear smples é dado por = β + β1 + ε, em que β, o ntercepto, β 1, o coefcente angular, são constantes desconhecdas e ε é o componente do erro aleatóro. Assumem-se erros não correlaconados com méda zero e varânca desconhecda σ. A estmação de β e β 1 é feta através do método dos mínmos quadrados ordnáros, o qual consste em mnmzar a soma dos quadrados dos erros. Os estmadores obtdos por este método são dados por β : β 1: ^ _ ^ _ = β1 β ; ^ β 1 = n n. Em que _ e _ são as médas das varáves X e Y respectvamente. Assm o modelo ajustado, dá uma estmatva pontual da méda de Y para um partcular valor de X, é escrto da segunte forma = βˆ + ˆ. ŷ β1 A dferença entre o valor observado e o valor correspondente ajustado ŷ é o resíduo. Matematcamente ê = ŷ = 1, K,n. Para que o modelo ajustado seja valdado, é necessára a observação de alguns pressupostos, nos quas os resíduos são de etrema mportânca para a verfcação dos mesmos. Os quatro prncpas pressupostos são: normaldade, homocedastcdade, ndependênca e lneardade (MONTGOMERY & PECK, 198). Uma mportante aplcação do modelo de regressão é a prevsão de uma nova observação correspondente a um especfcado valor da varável ndependente. Se é o valor da varável ndependente de nteresse, então ŷ = βˆ ˆ + β1, é o ponto estmado para o novo valor resposta. A construção do ntervalo de prevsão para uma observação é feta da segunte manera. Note que ψ = ŷ, é normalmente dstrbuída com méda zero e varânca ( ) 1 V ( ψ) = V( ŷ ) = σ 1 + +, e, logo n S ( ) 1 ŷ N, σ 1 + +, n S Para cada estmatva partcular da posção da reta e para cada valor partcular, os lmtes do ntervalo de prevsão a 1 ( 1 α)% são dados por (DRAPER & SMITH, 1966): ( ) 1 ( ) 1 ŷ + tα /,n QME 1+ + ŷ t α /,n QME n S n S ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

4 Antes, porém, de começar a fazer prevsões, deve-se atentar para algumas advertêncas mportantes de DOWNING & CLARK () ctados por JACOBI (): Qualquer prevsão baseada em um modelo de regressão é uma prevsão condconal, pos a prevsão da varável dependente está sujeta ao valor da varável ndependente; a reta de regressão é estmada utlzando-se dados passados, que não poderá predzer dados futuros se a relação entre X e Y se modfcar; mutas prevsões de regressão que procuram prever valores de Y em stuações em que o valor de X está fora do ntervalo estudado, conhecdas como etrapolações, são muto menos confáves do que prevsões baseadas em valores da varável ndependente contdos no ntervalo de valores prevamente observados; o smples fato de estr uma forte assocação entre duas varáves não sgnfca que haja entre elas uma relação de causa e efeto.. GRÁFICO DE CONTROLE DE REGRESSÃO Conhecendo o processo e, portanto, as varáves X e Y correlaconadas que o nfluencam, pode-se então utlzar o gráfco de controle de regressão para fazer o montoramento do mesmo. O gráfco de controle de regressão, apresentado ncalmente por DIPAOLA (1945), é uma forma bastante efcente de representar relações entre varáves, pos o mesmo descreve o controle smultâneo das duas varáves correlaconadas. Este tpo de gráfco ege do gerente de produção que este saba relaconar as varáves que possuem uma relação de causa e efeto. O estabelecmento errado das varáves dependente e ndependente, certamente levará os gestores a tomarem decsões erradas, que poderão comprometer toda a establdade do processo (ALMEIDA, 3). Para se estabelecer o gráfco de controle de regressão, é necessáro, prmeramente, que se analsem os dados hstórcos em um dagrama de dspersão, com o objetvo de confrmar se este ou não a relação lnear entre as varáves, e anda, de verfcar a estênca de pontos que fogem ao comportamento geral dos dados. Neste tpo de gráfco, os outlers podem ndcar observações onde, por alguma razão, o relaconamento comum entre as duas varáves de nteresse não esta. A partr daí, os pontos que saem do padrão lnear mostrado pelo dagrama de dspersão devem ser nvestgados. Se esses pontos forem devdos a causas especas eles não deverão ser utlzados para estabelecer o gráfco de controle. Desse modo, o gráfco de controle de regressão, construído apenas com as observações que não fogem ao comportamento geral dos dados, deve ser usado como padrão do processo de forma que os novos dados sejam sobrepostos contra os lmtes calculados a pror. Quanto às lnhas dos lmtes de controle, estas são totalmente ou quase paralelas à reta de regressão e não ao eo horzontal, como é o caso do gráfco de controle convenconal e devem ser calculadas de acordo com um dos três métodos apresentados a segur: 1. Lmtes Smples ( k σ ): ŷ ± k QME ; ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

5 1 ( ). Lmtes de Predção: ŷ ± k QME ; n S 1 ( ) 3. Lmtes de Confança: ŷ ± k QME +, n S onde QME = n ( ŷ ) = 1 e n S ( ) n = 1 =. n = 1 Para tanto, necessta-se decdr qual o valor de k será utlzado, ou seja, quão perto dos lmtes (superor e nferor) se permte que o processo vare. Por eemplo, o uso de k= garante um lmte mas estreto, com maor rsco de alarmes falsos. O de k=3 garante lmtes mas largos, com menor probabldade de alarmes falsos. Esta decsão, além de estatístca deve ser gerencal, baseada na economa e na eperênca do processo em questão. Devdo ao fato da construção dos lmtes de controle ser baseada em dados hstórcos, uma grande varabldade nos dados pode fazer com que o lmte seja alargado, fazendo com que o mesmo englobe todos ou quase todos os dados, o que pode dar uma falsa mpressão de processo sob controle. Para contornar esse possível problema objetvou-se estabelecer uma estratéga prátca e rápda para o planejamento e mplantação dos gráfcos de controle de regressão por meo da correlação entre as varáves estudadas e smulação de dados..3 PROPOSTA A recomendação se basea na estmação dos lmtes de controle a partr de uma meta de nteresse, que va depender da necessdade e da correlação entre as característcas estudadas, ao nvés da utlzação de dados hstórcos. Com sso busca-se montorar o processo dentro de lmtes deas, sto é, lmtes baseados na correlação desejada e, portanto, na mamzação técnca da relação entre as varáves estudadas. Isso deve ser feto, de forma que, ao estmar a correlação entre as varáves X e Y sejam mpostas metas progressvas, sto é, constró-se o gráfco de controle baseado nos lmtes estmados em função de uma correlação, em valor absoluto, maor que aquela apresentada pelos dados. Para construção do gráfco de controle de regressão a partr da meta de nteresse, a qual se basea no coefcente de correlação, têm-se os seguntes passos: 1. plotar os dados hstórcos num dagrama de dspersão;. estmar o coefcente de correlação lnear (r), eclundo os pontos que fogem ao padrão dos dados; 3. smular os dados com o coefcente de correlação desejado, maor em valor absoluto, daquele estmado; 4. defnr e calcular os lmtes de controle a partr dos dados smulados; 5. coletar os dados e construr o gráfco de controle de regressão. Desta forma são estabelecdas três regões no gráfco de controle de regressão (fgura 1). A prmera se refere aos pontos sob controle. A segunda e a tercera, aos pontos fora de controle estatístco. No entanto, as regões e 3 podem ser consderadas como melhores ou pores que o controle, de acordo com a aplcação. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p n

6 FIGURA 1. Regões do gráfco de controle de regressão. A recomendação das estmatvas dos lmtes de controle baseadas num coefcente de correlação maor, em valor absoluto, daquele observado nos dados, permte uma grande flebldade para a mplantação do montoramento pelo gráfco de controle de regressão. Além de possbltar aumentos absolutos e progressvos da relação entre X e Y, ele estabelece o mámo possível dessa relação. Para eemplfcar o método proposto, foram smulados quatro conjuntos de 5 pares de dados (,). Em cada conjunto, as varáves foram smuladas de modo que os coefcentes de correlação entre elas fossem guas à: r 1 =, 9, r =,7, r 3 =, 5 e r 4 =, 3, no prmero, segundo, tercero e quarto conjuntos de dados, respectvamente. Em cada caso, foram estabelecdos os gráfcos de controle de regressão contendo os três tpos de lmte (smples, predção e confança), utlzando-se k=. De acordo com a dstrbução de t, estma-se um ntervalo com apromadamente 1(1,5)% dos dados contdos. Admtndo-se que a meta requerda esteja acma do que é observado no processo, foram consderados os seguntes casos: a. Dados com r =, 7 foram sobrepostos aos lmtes de controle estmados para r 1 =, 9 ; b. Dados com r 3 =, 5 foram sobrepostos aos lmtes de controle estmados para r =, 7. c. Dados com r 4 =, 3 foram sobrepostos aos lmtes de controle estmados para r 3 =, 5. Além dsso, compararam-se os três métodos estentes para a estmação dos lmtes de controle, quanto à sensbldade de detecção de pontos fora de controle. As smulações, estmatvas dos lmtes de controle e as construções dos gráfcos de controle de regressão, foram obtdas utlzando a lnguagem de programação do software lvre R. Os algortmos utlzados para smulação das varáves correlaconadas e para a construção do gráfco de controle de regressão com os três tpos de lmtes de controle podem ser encontrados em: ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

7 RESULTADOS E DISCUSSÃO Consderando os quatro conjuntos de 5 pares de dados, como sendo os dados hstórcos, construu-se os dagramas de dspersão apresentados nas fguras, 3, 4 e FIGURA. Dagrama de dspersão de Y em função de X para r 1 =, FIGURA 3. Dagrama de dspersão de Y em função de X para r =, FIGURA 4. Dagrama de dspersão de Y em função de X para r 3 =,5. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

8 FIGURA 5. Dagrama de dspersão de Y em função de X para r 4 =,3. Verfca-se nos quatro casos que não há pontos que fogem ao padrão dos dados e então, utlzando todos os dados smulados, foram estmados os lmtes de controle (fguras 6, 7, 8 e 9), com base nos três métodos descrtos: predção, confança e smples Lmtes de Controle Predção Confança Smples FIGURA 6. Estmatvas dos lmtes de controle de Y em função de X para r 1 =,9. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

9 Lmtes de Controle Predção Confança Smples FIGURA 7. Estmatvas dos lmtes de controle de Y em função de X para r =, Lmtes de Controle Predção Confança Smples FIGURA 8. Estmatvas dos lmtes de controle de Y em função de X para r 3 =, Lmtes de Controle Predção Confança Smples FIGURA 9. Estmatvas dos lmtes de controle de Y em função de X para r 4 =,3. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

10 As fguras 7, 8 e 9 mostram que o uso de dados hstórcos pode causar uma falsa mpressão de que o processo esteja sob controle estatístco, uma vez que se estr uma grande varabldade nos dados hstórcos, o lmte será alargado fazendo com que o mesmo englobe todos ou quase todos dados. Por esta razão, propõe-se o estabelecmento dos lmtes de controle a partr de uma meta de nteresse baseada na estmação do coefcente de correlação. Além dsso, observou-se que os lmtes de controle smples e baseados no ntervalo de predção têm estmatvas smlares. Há uma pequena dferença apenas para r 3 =,5, em que o de predção apresenta um ntervalo mas largo. No entanto, o mas mportante é que esses dos métodos de estmação proporconam lmtes que compreendem apromadamente 95% dos pares de dados (,). Como a smulação fo aleatóra, há um ndcatvo de que o processo está sob controle estatístco para a relação entre as varáves X e Y, no que se refere a todos os dados. Por outro lado, as estmatvas dos lmtes de controle baseados no ntervalo de confança, não proporconaram um ntervalo que compreendesse pelo menos 95% dos pares de dado, mas sm, para a méda Y. Portanto, pode-se conclur que esse método não é efcente em estmar um ntervalo adequado à varação aleatóra da relação entre as varáves estudadas. OLIN (1998) comparou os três métodos descrtos acma e concluu que os lmtes smples são os recomendados, pela facldade de compreensão, smplcdade e smlardade aos gráfcos de Shewhart. Com base nos resultados optou-se pela construção do gráfco de controle de regressão a partr dos lmtes de controle smples ou de predção. A partr daí, passase para a segunda fase da mplantação do gráfco de controle de regressão, que é a do montoramento propramente dta. A recomendação nessa fase é de mpor metas progressvas a partr do coefcente de correlação estmado entre as varáves X e Y. Se a estmatva for entre,3 e,5, constró-se o gráfco de controle baseado nos lmtes de controle estmados em função de r 3 =,5 e sobrepõe-se aos dados coletados (fgura 1) Lmtes de Controle Predção Smples FIGURA 1. Gráfco de controle de regressão construído para os dados de r 4 =,3. Se os dados apresentarem estmatvas da correlação entre,5 e,7, sobrepõe-se aos lmtes de controle estmados em função de r =,7 (fgura 11). ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

11 Lmtes de Controle Predção Smples FIGURA 11. Gráfco de controle de regressão construído para os dados de r 3 =,5. Se os dados apresentarem estmatvas da correlação entre,7 e,9, sobrepõe-se aos lmtes de controle estmados em função de r 1 =,9 (fgura 1) Lmtes de Controle Predção Smples FIGURA 1. Gráfco de controle de regressão construído para os dados de r =,7. Pode-se observar que o gráfco de controle de regressão teve um bom desempenho em acusar pontos que tendem a comprometer a relação de nteresse estabelecda para as varáves nos casos em que a correlação amostral fo apromadamente gual ou superor a r=,5. Nos casos em que o processo apresenta pouca correlação entre as varáves estudadas, como na fgura 1 (r,3), a utlzação deste método não é recomendada uma vez que se ege a necessdade de uma relação que possa ser controlada, o que não se confrmou para a menor correlação testada. Neste caso, o lmte nferor de controle compreendeu um grande ntervalo dos valores de X no gráfco de controle de regressão. No entanto, pode-se construr gráfcos de controle mas ou menos sensíves em detectar pontos fora de controle. Por eemplo, para os dados com r 3 =,5, ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

12 podera-se construr um gráfco menos ou mas sensível baseado nos lmtes de controle estmados a partr de r=,6 ou r=,8, respectvamente. Pode-se observar, a partr das fguras 11 e 1, que os lmtes de controle smulados a partr da meta de nteresse são mas estretos, o que permte vablzar a busca para o verdadero estado de controle do processo. Deve-se tentar levar os pontos que estão na regão fora de controle, no caso das regões e 3 (fgura 1), para a regão 1 (sob controle). Posterormente, buscar aumentos absolutos e progressvos da relação entre X e Y, que possbltem estabelecer o mámo possível dessa relação. CONCLUSÕES - A recomendação de estmar os lmtes de controle a partr de dados smulados em função de um coefcente de correlação defndo é adequada ao montoramento realzado pelo gráfco de controle de regressão. - As estmatvas dos lmtes de controle baseadas no lmte smples e no ntervalo de predção são adequadas. - No gráfco de controle de regressão, são geradas três regões: melhor, sob e por que o controle. - O método não é ndcado nos casos em que as varáves estudadas apresentam fraca correlação. REFERÊNCIAS ALMEIDA, S. S. Desenvolvmento de Gráfcos de Controle Aplcados ao Modelo Funconal de Regressão f. Tese (Doutorado em Engenhara de Produção) - UFSC, Floranópols. DIPAOLA, P. P. Use of correlaton n qualt control. Industral Qualt Control, v., n.1, p.1-14, DOWNING, D.; CLARK, J. Estatístca Aplcada: Um modo fácl de domnar os concetos báscos. ed. São Paulo: Sarava, p. DRAPER, N.R.; SMITH, H. Appled regresson analss. New York: John Wle, p. JACOBI, L. F.; SOUZA, A. M.; PEREIRA, J. E. S. Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos. Revsta Produção, v. 1, n. 1, p ,. MONTGOMERY, D. C.; PECK, E. A. Introducton to lnear regresson analss. New York: John Wle, p. MONTGOMERY, D.C. Introducton to statstcal qualt control. 3rd ed. New York: Jonh Wle, p. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p

13 OLIN, Bran D. Regresson control charts revsted: methodolog and case studes. In: Annual Fall Techncal Conference, 4º, New York, Proceedngs, New York, p. 1-17, PREDINI, D.C.; TEN CATEN, C.S. Método para aplcação de gráfcos de controle de regressão no montoramento de processos. Produção, v.1, p , 11. VILALLOBOS, L. D. C. Uso dos gráfcos de controle da regressão no processo de polução em uma nterseção snalzada. In: XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção, 1, Ouro Preto, 3. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Centífco Conhecer - Goâna, v.8, N.14; p