TRAJETÓRIA ÓTIMA DE ROBÔS MANIPULADORES AO INTERCEPTAR OBJETOS EM MOVIMENTO

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1 16º POSMEC Unversdade Federal de Uberlânda Faculdade de Engenhara Mecânca TRAJETÓRIA ÓTIMA DE ROBÔS MANIPULADORES AO INTERCEPTAR OBJETOS EM MOVIMENTO Rogéro Rodrgues dos Santos Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Uberlânda Av. João Naves de Ávla, 16 - Campus Santa Mônca - Bloco 1M - Uberlânda/MG rrsantos@mecanca.ufu.br Sezmára de Fátma Perera Saramago Faculdade de Matemátca, Unversdade Federal de Uberlânda saramago@ufu.br Valder Steffen Jr. Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Uberlânda vsteffen@mecanca.ufu.br Resumo: Robôs manpuladores são dspostvos programáves projetados para executar uma grande varedade de tarefas de forma repettva. Em ambentes ndustras, a dmnução de exgêncas dnâmcas assocadas à realzação de uma mesma tarefa, pode resultar em aumento de produtvdade e dmnução dos custos assocados à operação e manutenção do robô. Além dsso, a dmnução destas exgêncas pode vablzar a realzação de tarefas que exjam a capacdade máxma do sstema, aumentando assm a versatldade dos robôs para que possam se adequar a dversas stuações. Neste trabalho apresenta-se um estudo sobre a determnação da trajetóra ótma do robô para a nterceptação de objetos em movmento, realzado pela análse de índces de performance assocados a dnâmca do robô e ao movmento do objeto. Utlzam-se os concetos de controle ótmo e programação não lnear para a obtenção da solução. Propõe-se a mnmzação da potênca mecânca total do sstema e da dstânca entre o efetuador e o objeto a ser manpulado através da formulação de uma função objetvo multcrtéro, de forma que o nstante ótmo no qual acontece a nterceptação também é resultado do processo de otmzação. O resultado numérco apresentado lustra a vabldade da metodologa proposta. Palavras-chave: trajetóra de robôs manpuladores, controle ótmo multcrtéro, dnâmca de sstemas artculados. 1. INTRODUÇÃO O mas smples planejamento de trajetóra de um robô manpulador seral consste na determnação do movmento do efetuador (end-effector) a partr de um ponto ncal a um fnal. No contexto de aplcações ndustras, com o objetvo de estabelecer um controle mas precso sobre o movmento, é justfcada a realzação de um planejamento prévo (off-lne programmng) que nclu a análse de característcas cnemátcas e dnâmcas do sstema durante o movmento. Com o aumento do uso de manpuladores robótcos em dversos setores ndustras, tem também aumentado os requstos sobre sua capacdade. Um aspecto essencal para o uso efcente de sua capacdade envolve a consderação de seu comportamento dnâmco. Movmentos que exgem potencalmente torque elevado em suas juntas não devem ser mplementados, devdo à lmtação técnca dos atuadores normalmente dsponíves.

2 Além dsto, um fator mportante do ponto de vsta econômco, é a energa requerda para a realzação de determnada tarefa. Como a atvdade a ser desenvolvda será repetda por váras vezes, um estudo crteroso do movmento de forma a reduzr a energa necessára em cada cclo de operação pode resultar em uma grande economa de energa ao fnal de um longo período de operação. Uma análse que atenda a estes requstos tem sua complexdade aumentada quando o robô deve nterceptar um objeto em movmento. Neste caso há mas de uma posção possível para a nterceptação do objeto, pos devdo ao seu movmento, sua posção dentro do espaço de trabalho é varável ao longo do tempo. Assm, a melhor posção para nterceptação e o melhor nstante em que sto ocorre são ncógntas do problema. Este stuação pode ser encontrada em ambente ndustral, por exemplo, quando um objeto transportado por uma estera rolante deve ser manpulado pelo robô. Dante deste contexto, propõe-se a otmzação da potênca mecânca como forma de reduzr a exgênca mecânca e a energa requerda pelo sstema ao manpular um objeto em movmento. São defndos crtéros de desempenho para a nterceptação do objeto e para a mnmzação da potênca mecânca durante a determnação da trajetóra ótma. A presença do objeto móvel a ser manpulado sgnfca que a solução do problema de cnemátca nversa para a especfcação desta posção é varável ao longo do tempo, ou seja, há um conjunto de soluções para a cnemátca nversa durante um ntervalo de tempo. Determnar qual a melhor solução e o nstante de tempo ótmo em que sto ocorre são aspectos que aumentam a complexdade do problema a ser analsado. Esta proposta consste em uma extensão dos resultados apresentados em trabalhos anterores, onde fo estabelecda uma estratéga de controle ótmo a partr do movmento especfcado (Santos et al., 5) e analsado o uso do torque e potênca mecânca como objetvos a serem otmzados (Santos et al., 6) Consderando fxa a posção nos nstantes ncal e fnal do ntervalo de tempo, alguns autores dscutem o uso de técncas de controle ótmo para a mnmzação de índces de desempenho. No trabalho de Constantnescu and Croft () é proposto o planejamento da trajetóra através de uma formulação de controle ótmo do torque aplcado em cada junta de forma a mnmzar o tempo total do percurso. No trabalho proposto por von Stryk e Schlemmer (1994), faz-se uma dscussão sobre o uso da potênca mecânca e da energa separadamente, como índces de performance. O problema proposto é resolvdo através de técncas de controle ótmo do torque aplcado a cada junta. Os trabalhos ctados consderam estratégas dstntas para a otmzação de dferentes índces de performance. Entretanto, devdo a possbldade de especfcação do ângulo de junta a ser atngdo e do estabelecmento do valor máxmo da aceleração para um manpulador ndustral típco, propõese, no presente trabalho, a determnação da trajetóra ótma através de técncas de controle ótmo, onde o vetor de controle representa a velocdade, e o vetor de estado representa a posção correspondente. É proposto o uso de um índce relatvo à potênca mecânca total, e outro relatvo a proxmdade com o objeto a ser manpulado, como objetvos a serem mnmzados. Consdera-se a análse smultânea dos objetvos através de uma formulação de programação multcrtéro.. OBJETO A SER MANIPULADO Segundo a proposta estabelecda, deve-se determnar uma trajetóra que permta ao manpulador nterceptar um objeto em movmento. Supõe-se neste trabalho que a trajetóra do objeto é conhecda durante toda a operação do robô. Pode-se determnar a dstânca entre o efetuador e o objeto através do conceto clássco de dstânca. Quanto à posção do obstáculo, que vara em função do tempo t, esta é representada por um ponto cartesano (c x (t), c y (t), c z (t)). A dstânca deste ponto a um ponto de referênca (x (q,t), y (q,t), z (q,t)) do efetuador, também função do tempo t, de acordo com cada coordenada de junta q, pode ser obtda através da norma Eucldana

3 d( q, t) t = ( x ( q, t) cx ( t)) + ( y ( q, t) c y ( t)) + ( z ( q, t) cz ( )) (1) Como não há o conhecmento prévo do nstante de tempo ótmo t* e da posção ótma q* na qual o manpulador deverá atngr o objeto, estes valores são obtdos a partr da formulação de um problema de otmzação, no qual o índce de performance é dado por: f 1 (q,t) = mn d(q,t), t < t < t f () Na stuação deal tem-se f 1 (q*, t*) =, para alguma posção q* e nstante t* ótmos. Entretanto, como será consderado adconalmente o crtéro da potênca mecânca, além da usual realzação de aproxmações durante o processamento numérco, em geral tem-se f 1 (q*, t*) < ε. 3. MODELO DINÂMICO A dnâmca reúne as relações entre a cnemátca e a estátca. Para se mover um robô ao longo de uma trajetóra, os motores devem exercer forças ou torques nas juntas do mesmo. A dnâmca trata do cálculo destas forças e torques (conhecdos ndstntamente como forças generalzadas), no sentdo de fazer com que uma trajetóra planejada seja executada, de fato, pelo efetuador do robô. Exstem váras técncas para se modelar dnamcamente um robô ndustral. O conhecmento de seu modelo dnâmco é fundamental para a smulação computaconal do movmento do robô e para o projeto de seu controle (Fun et al., 1987). 3.1 Torque e potênca mecânca Város esquemas efcentes têm sdo propostos para modelar a dnâmca de sstemas mecâncos multcorpos (Rchard and Gosseln, 1993). O modelo dnâmco pode se obtdo explctamente através de cálculos algébrcos, ou numércamente através de cálculos teratvos. As técncas baseadas no método de Newton-Euler partem da dnâmca de todas as partes ndvduas do sstema. Elas consderam o aspecto nstantâneo ou nfntesmal do movmento, fazendo uso de quantdades vetoras como velocdade Cartesana e força. Alternatvamente, aquelas baseadas no método de Euler-Lagrange partem da análse da energa cnétca e potencal do sstema completo, consderando os estados do sstema durante um ntervalo de tempo fnto. Este enfoque trabalha com quantdades escalares, as energas. Independentemente do enfoque utlzado, no fnal do processo são determnadas as forças generalzadas, conforme descrto pela equação M ( q( t)) q& ( t) + c( q& ( t), q( t)) + g( q( t)) = u( t) & (3) onde q ( t), q& ( t) e q& ( t) são a posção, velocdade e aceleração de cada junta, respectvamente. M(q(t)) é a matrz de massa no espaço de junta e c ( q& ( t), q( t)) é o vetor de força de Corols e força centrífuga. O vetor g(q(t)) é o vetor das forces gravtaconas e u(t) é o vetor de forças generalzadas. Durante este trabalho, utlza-se o método de Newton-Euler Revsado para a obtenção da força generalzada assocada ao movmento do manpulador (Fun et al., 1987). A energa necessára para realzar o movmento é mportante, pos além da lmtação de suprmento, uma trajetóra que consome menos energa leva a uma redução dos custos de operação. Dante da relação exstente entre energa e força, pode-se estmar a energa mínma necessára através da força generalzada u (t) assocada a cada junta no nstante t. Neste trabalho consdera-se o uso da expressão: 3

4 f n u t = t = f 1 T ( t) q t ( ) dt & (4) para o cálculo da potênca mecânca. A potênca mecânca é uma expressão representatva por consderar smultaneamente o aspecto cnemátco e dnâmco da trajetóra (Saramago e Steffen, 1998). 4. PROGRAMAÇÃO MULTICRITÉRIO Uma das formas de trabalhar com stuações nas quas exstem múltplos crtéros a serem consderados, é utlzar um vetor de varáves de projeto x, que satsfaz todas as restrções e determnar um índce de performance escalar, calculado a partr das m componentes de um vetor de funções objetvo f(x), tornando-o tão pequeno quanto possível. Este objetvo pode ser atngdo através do problema de otmzação vetoral: mn x Ω { f(x) h(x)=, g(x) } (5) onde Ω R n representa o domíno da função objetvo (o espaço de projeto). Uma característca dos problemas de otmzação multcrtéro é que o otmzador em geral deve ldar com objetvos confltantes (Eschenauer et al., 199). Outros autores consderam a programação de compromsso, pos não há solução únca para o problema (Vanderplaats, 1999). 4.1 A formulação proposta A especfcação de um valor de referênca é de fundamental mportânca na especfcação de uma função objetvo multcrtéro. Para se consderar a dstânca do efetuador ao objeto e a potênca mecânca, smultaneamente, propõe-se a segunte função objetvo escalar: f1 f f 3 (q,t) = k + (1 k), k 1 (6) f f 1 onde f 1 e f são dadas pelas Equações () e (4), respectvamente. As constantes f 1 e f são valores de referênca. Durante o processo de otmzação, serão consderados dferentes fatores de ponderação. Na prmera fase, utlza-se o valor k=1, de forma a consderar somente a dstânca entre o efetuador e o objeto como objetvo a ser mnmzado, levando a uma confguração vável para a tarefa a ser executada. Esta solução é utlzada como aproxmação ncal durante a segunda fase, na qual é utlzado o valor k=.5 como forma de consderar o posconamento e a potênca mecânca, smultaneamente, no processo de otmzação. Pode ocorrer alteração no valor do tempo ótmo t* obtdo durante a segunda fase do processo em relação àquele obtdo ao térmno da prmera fase, pos este nstante de tempo também é uma varável de projeto. Adconalmente, para cada uma das n juntas, têm-se as restrções de especfcação ncal e fnal da trajetóra: q q ( t 1, = n ( t f ) pos,, = 1,..., n ) = pos, 1,...,. (7) =. (8) e as restrções de especfcação ncal e fnal de velocdade: 4

5 q& t ) = vel, 1,...,. (9) ( 1, = n ( t f ) = vel,, = 1,..., n q&. (1) nos nstantes de tempo ncal t e tempo fnal t f. Nos expermentos numércos, consderam-se as especfcações de velocdade ncal e fnal nulas, o que fscamente sgnfca que o robô nca o movmento a partr do repouso e o fnalza também em repouso. 5. CONTROLE ÓTIMO DE SISTEMAS DINÂMICOS Um sstema dnâmco dscreto é descrto através de um vetor de estado n-dmensonal x() em cada passo. A escolha de um vetor de controle m-dmensonal u() determna a transção do sstema para o estado x(+1) através da relação onde x(+1) = f[x(), u(), ], (11) x() = x. Dado o número de passos N, o problema de otmzação geral para este tpo de sstema consste em determnar a seqüênca de vetores de controle u(), =,..., N-1 que mnmzam um índce de performance da forma N 1 = J = φ [ x(n) ] + L[x(), u(), ], (13) sendo N, x e o funconal f, especfcados. No presente estudo, N é o número de subdvsões do ntervalo de tempo [t, t f ]. O vetor x representa a condção ncal, ou seja, o valor ncal de cada ângulo de junta q, e a expressão φ [x(n)] consste em um índce de performance avalado no nstante de tempo fnal. De acordo com a formulação proposta, este índce é defndo como a posção fnal a se posconar o objeto manpulado, juntamente com a especfcação de velocdade fnal nula. A atualzação do vetor de estado x é dada pela Equação (11), que determna a posção em coordenada de junta através da equação que determna a velocdade a partr da dferença fnta da posção em dferentes nstantes de tempo, ou seja x( + h) x( ) u ( ) = x( + h) = u( ) h + x( ) (14) h É medata a analoga entre a Equação (14) e a defnção de dervada de uma função, ao se consderar o vetor de controle u como dervada do vetor de estado x. Este enfoque concorda com o conceto de velocdade, obtdo a partr da dervada da função posção. Comparando a Equação (14) com a Equação (11), fazendo h=1, tem-se: (1) f[x(), u(), ] = u() + x(). (15) O funconal L[x(), u(), ] consste em uma ponderação entre a potênca mecânca, defnda pela Equação (4), e a dstânca do efetuador ao objeto a ser manpulado, descrta pela Equação (). Detalhes sobre a ponderação através de uma formulação multcrtéro são apresentados a segur. A formulação proposta consste em um problema de otmzação paramétrca com restrções de gualdade, sendo que para cada valor do vetor de controle u() são calculados os valores do vetor de estado x() com o objetvo de otmzar J. 5

6 Na lteratura há dferentes métodos propostos para a solução deste tpo de problema. O método Multple Shootng é uma ferramenta efcente na resolução de problemas de valores de contorno altamente não lneares (von Stryk and Schlemmer, 1994). Pode-se encontrar uma descrção detalhada do mesmo, por exemplo, em Stoer and Bulrsch, (1993). Este método oferece uma solução bastante precsa, entretanto algumas característcas que lmtam seu uso na resolução numérca de problemas de controle ótmo são: (a) o desenvolvmento algébrco das condções necessáras de otmaldade, ou seja, das equações dferencas adjuntas, (b) necessdade de estmação do comportamento do controle ótmo, e (c) o estabelecmento de uma aproxmação ncal aproprada para as varáves de estado e varáves adjuntas, para se ncar o processo teratvo. Pode-se também utlzar métodos do tpo Drect Collocaton, que tem por base uma aproxmação fnta das varáves de controle e estado, através de dscretzação. Para tanto, deve-se escolher uma aproxmação através de um controle contínuo, lnear por partes e contnuamente dferençável. A dscretzação resulta em um problema de otmzação não lnear sujeto a restrções não lneares. As propredades de convergênca do método e detalhes sobre sua mplementação são dscutdas por von Stryk and Bulrsch, (199). Alternatvamente, pode-se utlzar uma combnação de métodos dretos e ndretos, conforme proposto no trabalho de von Stryk and Schlemmer, (1994). No trabalho atual, os resultados apresentados são computados através de um método de otmzação não lnear clássco, que não exge a determnação de parâmetros tas como o tamanho do passo e calcula as dervadas parcas numercamente. O algortmo consste em uma mplementação do método das dreções váves modfcado (Vanderplaats, 1984), (Zoutendjk, 196), presente no software DOT (Vanderplaats, 1995). Os algortmos são mplementados em FORTRAN. 6. EXPERIMENTO NUMÉRICO A Tabela 1 apresenta os parâmetros de Denavt-Hartenberg para o manpulador Elbow (Denavt and Hartenberg, 1955). A massa de cada lnk é de 1 kg. É utlzado o momento de nérca de uma barra clíndrca para representar cada lnk no cálculo dos efetos dnâmcos, de forma que I x =, I y = I z = (1/1)mL, onde L =.9m ou L =.7m (L corresponde ao parâmetro a na Tabela 1). Tabela 1. Parâmetros de Denavt-Hartenberg para o manpulador Elbow. Lnk a (m) α (rad) d (m) θ (rad) θ 1.9 θ 3.7 θ 3 As posções ncal e fnal do manpulador são guas, sendo defndas por q 1 = -1. rad, q =.5 rad e q 3 = rad. O objeto a ser manpulado se move horzontalmente da posção Cartesana (1.5, 1, -.3) até a posção (-1, 1, -.3), e tem a geometra de um cubo com lados guas a. m. Devdo a referênca utlzada para a representação do manpulador, o solo está ao nível z=-.5 m. O ntervalo de tempo t [,9]s é subdvddo em N=5 passos gualmente espaçados. Com o uso dos parâmetros f 1 =.1m e k=1 (Equação 6) ao se realzar a prmera fase da otmzação obtêm-se uma trajetóra ncal que ntercepta o objeto, o que pode ser comprovado pelo valor da função objetvo, f 1 =.3m. Utlzando a trajetóra estabelecda nesta fase como aproxmação ncal para a segunda fase do processo de otmzação, com os parâmetros f =.1m, = 5.41x1 4 1 f Watts e k=.5, tem-se os valores ótmos apresentados na Tabela. 6

7 Tabela. Resultado ótmo em cada fase da otmzação. Prmera fase da otmzação Segunda fase da otmzação Dstânca ao objeto f 1 (m).3.53 Potênca mecânca f (Watts).5413x x1 4 Função objetvo f Ao se comparar os resultados obtdos nas dferentes fases da otmzação, pode-se constatar a efetva redução da potênca mecânca e a manutenção da dstânca do efetuador ao objeto em um valor próxmo ao estabelecdo ncalmente. A Fgura 1 apresenta o ajuste realzado pelo método no valor das coordenadas de junta para o estabelecmento da trajetóra ótma. São representados os movmentos especfcados pela trajetóra ncal (prmera fase da otmzação) e pela trajetóra ótma (segunda fase da otmzação). Poscao (rad) Poscao (rad) Poscao (rad) Tempo (s) 1 Posção Tempo (s) Incal Otmo 1 Tempo (s) Fgura 1. Coordenadas de junta durante as trajetóras (---) ncal e ( ) ótma. Pode-se verfcar na fgura o maor ajuste das coordenadas da segunda e tercera juntas, como tentatva de mnmzar a potênca mecânca durante o movmento. A Fgura exbe a dstânca entre o efetuador e o objeto ao longo das respectvas trajetóras. Deve-se destacar que a fgura nforma a dstânca no caso em que o objeto não é apreenddo pelo efetuador. Caso o efetuador agarre o objeto, consdera-se que a dstânca entre eles será nula a partr do nstante de encontro. 3.5 Incal Otmo Dstânca Dstanca (m) Tempo (s) Fgura. Dstânca do efetuador ao objeto durante as trajetóras (---) ncal e ( ) ótma. Observa-se um ajuste do tempo ótmo para um valor próxmo de 5 segundos na trajetóra ótma. Isto demonstra que o nstante no qual o objeto será manpulado pelo robô é um parâmetro que contrbu para a melhora do desempenho durante o movmento. 7

8 As dferentes posções do manpulador nos nstantes de tempo t=, t=1.6s, t=3.4s, t=5.3s, t=8.s e t=9.s são apresentadas na Fgura 3. a) b) c) d) e) f) Fgura 3. Posção do manpulador e do objeto em dferentes nstantes de tempo. De acordo com o movmento representado pela fgura, pode-se constatar vsualmente a nterseção entre o efetuador e o objeto em movmento. A trajetóra obtda é ótma para os fatores de ponderação especfcados no níco da análse. Podem-se alterar estes fatores de forma a prorzar a otmzação da potênca mecânca ou o encontro com o objeto. Usualmente, dferentes fatores de ponderação levam a dferentes soluções do problema de otmzação. 7. CONCLUSÃO Este estudo apresentou uma proposta para a determnação da trajetóra de um robô manpulador seral que tem como tarefa a nterceptação de um objeto em movmento, consderando além da nterceptação, a otmzação da potênca mecânca necessára para a realzação do movmento. Após uma breve ntrodução sobre dferentes trabalhos que utlzam a teora de controle ótmo para a determnação da trajetóra de robôs, fo especfcado um crtéro para a avalação da dstânca entre o efetuador e o objeto através do conceto de norma vetoral. A formulação proposta consdera a posção e o nstante de encontro como varáves a serem determnadas durante o processo de otmzação. A possbldade de ajuste destes fatores oferece maor lberdade para o algortmo na busca dos valores que resultam na trajetóra ótma. Em seguda, foram apresentados concetos relatvos ao cálculo da potênca mecânca. Com o ntuto de estabelecer um procedmento que seja aproprado para um manpulador com complexdade arbtrára, fo utlzado um método teratvo para a determnação do torque assocado ao movmento. Na seqüênca, apresentou-se a formulação de um problema de otmzação multcrtéro, o qual permte a consderação de város objetvos smultâneos. Esta formulação prevê o uso de fatores de ponderação, o que permte prorzar algum índce de performance, se o projetsta assm o desejar. 8

9 O problema de otmzação fo resolvdo através da técnca de controle ótmo, onde a velocdade de cada coordenada de junta representa a varável de projeto. O exemplo numérco lustra o uso da metodologa. A prmera fase da otmzação consderou o crtéro de nterceptação do obstáculo. Esta análse leva a um projeto vável. A segunda fase da otmzação utlza este resultado como nformação ncal para a determnação de uma trajetóra que otmze a potênca mecânca durante o movmento. O uso da potênca mecânca como índce de performance leva à otmzação da velocdade e do torque smultaneamente, consderando, portanto, aspectos cnemátcos e dnâmcos do movmento. Destaca-se que esta estratéga pode ser empregada em stuações mas complexas, nas quas seja necessára a especfcação da velocdade e orentação do manpulador durante o encontro com o objeto, por exemplo. Neste caso, pode-se utlzar a confguração ótma obtda como uma trajetóra de referênca para a realzação dos ajustes requerdos. Pequenos ajustes da trajetóra nas proxmdades da trajetóra ótma, em geral, não alteram de forma sgnfcatva o valor dos índces de performance estabelecdos. Fnalmente, destaca-se que, devdo à característca altamente não lnear das equações envolvdas na formulação proposta, qualquer alteração dos fatores de ponderação leva a dferentes confgurações ótmas. Este procedmento permte a determnação de dferentes confgurações, de acordo com a prordade dada a cada objetvo. 8. AGRADECIMENTOS O prmero autor é grato a CAPES pelo suporte fnancero através do qual este trabalho fo parcalmente fnancado. O tercero autor é grato ao CNPq pelo seu auxílo à pesqusa. 9. REFERÊNCIAS Constantnescu, D. and Croft, E. A.,, Smooth and Tme-Optmal Trajectory Plannng for Industral Manpulators along Specfed Paths. Journal of Robotc Systems, 17 (5), pp Denavt, J. and Hartenberg, R. S., 1955, A knematc notaton for lower-par mechansms based on matrces, ASME, Journal of Appled Mechansms, pp Eschenauer, H., Kosk, J., and Osyczka, A., 199, Multcrtera Desgn Optmzaton, Berln, Sprnger-Verlag. Fun, K. S., Gonzales, R. C. and Lee., C. S. G., 1987, Robotcs : control, sensng, vson, and ntellgence, New York, McGraw-Hll. Rchard, M. J. and Gosseln, C. M., 1993, A survey of smulaton programs for the analyss of mechancal systems, Math. Comput. Smul., 35(), pp Santos, R. R., Saramago, S. F. P. e Steffen, Jr., V., 5, Otmzação do Torque Aplcado pelos Atuadores de Robôs usando Técncas de Controle Ótmo. In: 15º. Smpóso do Programa de Pós-graduação em Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Uberlânda, Uberlânda-MG. Santos, R. R., Steffen, Jr., V. e Saramago, S. F. P., 6, Técncas de Controle Ótmo Multcrtéro Aplcadas à Otmzação de Aspectos Dnâmcos no Planejamento de Trajetóras de Robôs Manpuladores. In: VII Smpóso de Mecânca Computaconal, 6, Araxá-MG. Saramago, S. F. P. and Steffen Jr., V., 1998, Optmzaton of the Trajectory Plannng of Robot Manpulators Takng Into-Account The Dynamcs of the System, Mechansm and Machne Theory, Vol. 33, No. 7, pp Stoer, J. and Bulrsch, R., 1993, Introducton to Numercal Analyss. nd edton, Sprnger. Vanderplaats, G. N., 1984, An Effcent Feasble Drecton Algorthm for Desgn Synthess. AIAA Journal, Vol., No. 11. Vanderplaats, G. N., 1995, DOT - Desgn Optmzaton Tools Program, Vanderplaats Research & Development, Inc, Colorado Sprngs. 9

10 Vanderplaats, G. N., 1999, Numercal Optmzaton Technques for Engneerng Desgn. 3 rd edton, VR&D Inc. von Stryk, O. and Bulrsch, R., 199, Drect and Indrect Methods for trajectory optmzaton. In: Annals of Operatons Research. v. 37, pp von Stryk, O. and Schlemmer, M., 1994, Optmal Control of the Industral Robot Manutec r3. Computatonal Optmal Control, Internatonal Seres of Numercal Mathematcs 115, pp Zoutendjk, G., 196, Methods of Feasble Drectons. Elsever. OPTIMAL ROBOTIC MANIPULATOR PATH PLANNING WHILE INTERCEPTING MOVING OBJECTS Rogéro Rodrgues dos Santos School of Mechancal Engneerng, Federal Unversty of Uberlânda Av. João Naves de Ávla, 16 - Campus Santa Mônca - Bloco 1M - Uberlânda/MG rrsantos@mecanca.ufu.br Sezmára de Fátma Perera Saramago Faculty of Mathematcs, Federal Unversty of Uberlânda saramago@ufu.br Valder Steffen Jr. School of Mechancal Engneerng, Federal Unversty of Uberlânda vsteffen@mecanca.ufu.br Abstract: Robot manpulators are programmable devces desgned to execute a great varety of tasks n a repettve way. In ndustral envronment, whle productvty ncreases, cost reducton assocated wth robotc operaton and mantenance can sometmes be obtaned as a result of decreasng the values of dynamc quanttes wth respect to a specfc task. Furthermore, ths procedure allows the executon of varous tasks that requre maxmum system performance, ncreasng ts versatlty. In the present contrbuton, a study concernng the optmal path plannng whle nterceptng a movng object s presented, through the evaluaton of performance ndexes assocated wth both the robot dynamcs and the object movement. To obtan the soluton, the concepts of optmal control and nonlnear programmng are used. The mnmzaton of the total mechancal power and the dstance between the end-effector and the object are proposed through a multcrtera optmzaton formulaton, where the optmzaton process obtans the nterceptng optmal tme. The presented numercal result shows the vablty of the proposed methodology to analyze complex robotc systems. Keywords: robot path plannng, multcrtera optmal control, artculated system dynamcs. 1