17/04/2019. Objetivos das Transformações. Transformações Geométricas 2D. Transformações em 2D. Objetivos das Transformações. Transformações Lineares

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1 Objets das Trasfrmações Trasfrmações Gemétrcas D GC Cmptaçã Gráfca rf. Dr. rer. at. Dael Darte bdala ssbltar a mdfcaçã da frma e psçã de bjets; De fat, trasfrmações afs estã etre as ferrametas matemátcas mas fdametas em cmptaçã gráfca; Um s clar de trasfrmações gemétrcas é smplfcar prcess de mdelagem gemétrca: ts mdels trdmesas sã altamete smétrcs. smetra pde ser eplrada cm aíl de trasfrmações para smplfcar prcess de mdelagem. dela-se ma parte e se prdz a ctra-parte smétrca smplesmete pr trasfrmações gemétrcas; Objets das Trasfrmações Um segd s de trasfrmações é ectrad em amações. ese em ma amaçã smples em qe m carr se mmeta pr ma psta crclar. O mdel carr e psta em s ã mda. peas a psçã d carr a lg d temp. Tal pde ser realzad pela smples traslaçã d carr; Um tercer, ã ób, s de trasfrmações gemétrcas refere-se a rederzaçã. pós m mdel D ter sd crad se faz ecessár qe tal seja traspst para ma sperfíce D. ara tal sã tlzadas trasfrmações de perspecta. Vewprt Uma jaela em ma tela, m qadr de m íde ma ersã em papel mpress. Trasfrmações em D O pla- pla d mdel, detad pr R R R refere-se a pla cartesa sal csstd de pts, :, de, R, é m pt pla- é pt de rgem,, - -, - α α, α, α R DEF: Uma trasfrmaçã em R é m mapeamet : R R qal cada pt R é mapead para m úc pt, também em R. Trasfrmações Leares DEF: eja ma trasfrmaçã. é ma trasfrmaçã lear se as das cdções a segr frem ateddas:. α R R, α α., R Eempls:. :, -,. :,,. :,,. :,, :, -, - Represetaçã atrcal de Trasfrmações Leares cmpsçã de dersas trasfrmações é cmm em aplcações de CG; cmptaçã de tas trasfrmações pde ser prblemátca e efcete; Felzmete, é pssíel epressar tas trasfrmações a Álgebra lear, trad sa cmptaçã mt mas efcete e.g. Usad sprte a múltplcaçã matrcal em hardware - GUs: Os es caôcs, e pdem ser epressads pels etres:, e- j, e- 5

2 Represetaçã atrcal de Trasfrmações Leares Qalqer etr, pde ser epress de maera úca cm ma cmbaçã lear de e j;, j eja ma trasfrmaçã lear. eja, e, j.etã, pr leardade, R,, j, j, 7 Represetaçã atrcal de Trasfrmações Leares eja a matrz. Etã, ed assm, é eqalete a. 8 Trasfrmaçã Iersa Csdere a matrz de trasfrmaçã a segr: O ers de, seja - pde ser cmptad cm: e a c b d d c b a det bc ad det E: 9 Eempl: Csdere a lsta de pts a segr: F {,,,,, -,,,, } Represetad a letra F ; plcad a trasfrmaçã lear btêm-se: Falmete, s pts trasfrmads sã: F {,,,,, -,,,, } Grafcamete... Trasfrmações Rígdas DEF: Trasfrmações rígdas de crp rígd. Nã defrmam s bjets. Âgls e paralelsm sã preserads: dstâcas etre pts; Âgls etre lhas. Três tps: Traslaçã; Rtaçã; Espelhamet.

3 Traslaçã DEF: trasfrmaçã T é dta ma traslaçã prd qe esta m etr R de md qe: T, cmpsçãde das traslações T e T, detada pr T T é eqalete a: T T T T T trasfrmaçã detdade, detada pr Ipde ser defda pr ma traslaçã qe ã mdfca a crdeada rgal: I T,, Traslaçã trasfrmaçã ersa, detada pr - é aqela qe cmpsta cm a trasfrmaçã rgal, prdz a trasfrmaçã detdade - I, I traslaçã é m cas partclar de ma classe mas geérca de trasfrmações gemétrcas chamadas de trasfrmações leares; Traslaçã Lear ' t ' t ' ' ' ' T t T t Em D ma traslaçã tradz-se smplesmete repscalmet, deslcamet de bjets s es e. Rtaçã de se dar a partr da rgem; de se dar a partr de m pt qalqer; Θ âgl de rtaçã r, r pt de rtaçã pt ptal r, r θ R sθ ' sθ ' sθ sθ ' R Âgls psts sã setd ers d relóg! 5 Rtaçã,, rsαθ θ α elas fórmlas de adçã de se e cse rcsα rcsαθ ' r cs α θ rcsα sα sθ sθ ' r s α θ rsα sα sθ 7 Eempl Rtacar trâgl {,,,,, } em π/ radas. csπ R sπ 8 sπ csπ..5..

4 Cmpsçã de Rtações mlar a cmpsçã de traslações; R R R R α α cs α s s csα cs sα cs csα s sα s csα cs sα sα csα cs sα s csα s sα cs csα Cmpsçã de Rtações Relembrad m pc de trgmetra... Trg Fórmlas de dçã s α sα cs s csα cs α csα cs sα cs cs csα s sα cs sα s csα cs α s csα cs sα s sα cs csα s α Cclsã: Rtaçõesscessas, cmpsçã de rtações se resmem a rtaçã da sma ds âgls! s α cs α 9 Refleã Em D, refleões sã cmptadas em relaçã a ma lha de referêca: Três pções: em relaçã a e-, e- e arbtrár., -,,, - Refleã Refleã em relaçã a e :, -, Refleã em relaçã a e :,, - Refleã em relaçã a ma lha arbtrára últpls passs: E: Rtacar a lha de rtaçã para ccdr cm s es ; plcar a refleã caôca em relaçã a e esclhd; Rtacar de lta -α para repscar a lha de refleã a se lgar rgal; {,,,,, } α 5 π clha... α 5 s cs tg Eempl: Refleã rbtrára ass : Rtacar a lha de refleã: R α α R α Rα R R

5 5 Eempl: Refleã rbtrára 5 Trasfrmações fs DEF: Uma trasfrmaçã é dta afm se ela pder ser epressa cm ma cmpsçã de ma traslaçã e ma trasfrmaçã lear: T, R Cm é ma pssbldade, fca clar qe tda trasfrmaçã lear é também afm. N etat, em tda trasfrmaçã afm é lear. Em partclar, se ã é lear, ps ã mapea. Escalamet Das pssbldades: amet dmçã Z, z t Cmptad em relaçã a cetr d bjet fatr de escalamet 7 Cas> amet z Cas << dmçã z t Também é pssíel escalar em apeas m e, em prções dsttas em cada e: Escalamet - Eempl 8 {,,,,,,, } Ecalamet Cetrad 9. Ectrar barcetr cetr de massa d bjet;. Trasladar bjet para a rgem, ;. Escalar bjet;. Trasladar de lta para cetr de massa; Escalamet Cetrad eempl

6 Escalamet Cetrad eempl {,,,,,,, } { -, -,, -, -,,, } Escalamet Cetrad eempl {, -,, -,,,, } chatamet shear s m m m m Trasfrmações D em OpeGL OpeGL matêm dersas matrzes qe ctrlam cm bjets d md sã desehads, de a câmera/pt de sta é pscad e de a magem é apresetada a tela. delvew matrz tlzada prmaramete para pscar bjets espaç D; Defd a crdeada z cm. a trasfrmaçã especfcada se restrgrá a atar apeas pla,,;