MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE ESTRUTURAS DELGADAS DE MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS INCLUINDO MATERIAIS PIEZELÉTRICOS por Liércio André Isoldi Tese para obenção do Tíulo de Douor em Engenharia Poro Alegre, julho de 008

2 ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE ESTRUTURAS DELGADAS DE MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS INCLUINDO MATERIAIS PIEZELÉTRICOS por Liércio André Isoldi Mesre em Engenharia Oceânica Tese submeida ao Corpo Docene do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, PROMEC, da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como pare dos requisios necessários para a obenção do Tíulo de Douor em Engenharia Área de Concenração: Mecânica dos Sólidos Orienador: Prof. Dr. Armando Miguel Awruch Aprovada Por: Prof. Dr. Alfredo Rocha de Faria (ITA-CTA/Dpo. Engenharia Mecânica) Prof. Dr. Jun Sérgio Ono Fonseca (UFRGS/Dpo. Engenharia Mecânica) Profa. Dra. Maria Angela Vaz dos Sanos (PUC-RS/Faculdade de Engenharia) Prof. Dr. Flávio José Lorini Coordenador do PROMEC Poro Alegre, 04 de julho de 008. ii

3 iii Dedico ese rabalho às minhas irmãs, Profa. Dra. Loraine André Isoldi e Profa. Dra. Rosilaine André Isoldi, eemplos profissionais que me moivaram e incenivaram aé aqui e que preendo coninuar seguindo.

4 AGRADECIMENTOS Ao Prof. Dr. Armando Miguel Awruch pela orienação dese rabalho e, além diso, pela amizade, confiança e incenivo. Ao CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico pelo supore financeiro. Ao Prof. Dr. Paulo Robero de Freias Teieira (FURG) e ao Prof. Dr. Inácio Benvegnu Morsch (UFRGS) pela ajuda que presaram ao longo desa pesquisa. Ao Sr. Paulo Kuer, por odo auílio durane eses úlimos anos. Ao amigo Marcos Hallal pela imporane ajuda presada. Aos amigos Jefferson e Parícia de Lima Cosa, pela amizade e pelo apoio incondicionais. Aos meus amigos de 4 paas Arnold, Laifah e Lilika, que à sua maneira, enre uma laida e oura, ornaram mais agradável esa longa eapa. E, finalmene, meu especial agradecimeno à minha mãe Heloisa, minhas irmãs Loraine e Rosilaine, minha ia Márcia, minha sobrinha (e afilhada) Luísa e minha namorada Raquel por odo apoio, incenivo, paciência e confiança. iv

5 RESUMO Sabe-se que maeriais composos laminados são, hoje em dia, geralmene usados nas indúsrias aeronáuica, aeroespacial, naval e ouras, principalmene por causa de suas araivas propriedades se comparadas aos maeriais isorópicos, como ala rigidez/peso, ala resisência, alo amorecimeno e boas propriedades relacionadas ao isolameno érmico e acúsico, enre ouras. Porém, o comporameno de esruuras feias de maeriais composos pode ser aperfeiçoado aravés da uilização de maeriais ineligenes. Denre os diferenes ipos comercialmene disponíveis de maeriais ineligenes, os maeriais piezeléricos são amplamene usados como sensores e auadores para o moniorameno e conrole de esruuras. O efeio piezelérico direo define que uma deformação mecânica aplicada ao maerial é converida em uma carga elérica. Por ouro lado, o efeio piezelérico inverso define que um poencial elérico aplicado ao maerial é converido em deformação mecânica. Eses efeios governam a ineração eleromecânica nos maeriais piezeléricos. O Méodo dos Elemenos Finios, uma ferramena amplamene reconhecida e poderosa para a análise de esruuras compleas, é capaz de realizar a inegração dos componenes ineligenes e das pares esruurais clássicas. Sendo assim, o comporameno esáico e dinâmico, linear e geomericamene não-linear, de esruuras composas laminadas delgadas com lâminas piezeléricas incorporadas é analisado nese rabalho usando o Méodo dos Elemenos Finios (MEF). Elemenos riangulares, chamados GPL-T9, com rês nós e seis graus de liberdade por nó (rês componenes de deslocameno e rês de roação) e um grau de liberdade por camada piezelérica (poencial elérico) são usados. Para a análise esáica não-linear as equações de equilíbrio são solucionadas usando o Méodo do Conrole de Deslocamenos Generalizados (MCDG) enquano a solução dinâmica é obida usando o Méodo de Newmark com Formulação Lagrangeana Aualizada (FLA). O sisema de equações é resolvido usando o Méodo dos Gradienes Conjugados (MGC) e nos casos não-lineares um esquema ieraivo-incremenal é empregado. Diversos eemplos numéricos são apresenados e comparados com resulados obidos por ouros auores com diferenes ipos de elemenos e diferenes formulações. A concordância enre eses resulados demonsra a validade e a eficácia dos modelos desenvolvidos. Palavras-chave: Análise esáica e dinâmica; análise geomericamene não-linear; composos laminados delgados; placas/cascas piezeléricas; maeriais ineligenes. v

6 ABSTRACT STATIC AND DYNAMIC ANALYSIS OF THIN LAMINATED COMPOSITE STRUCTURES WITH PIEZOELECTRIC MATERIALS I is well known ha laminae composie maerials are nowadays commonly used in he aeronauical, aerospace, naval and oher indusries mainly because heir aracive properies as compared o isoropic maerials, such as higher siffness/weigh, higher srengh, higher damping and good properies relaed o hermal or acousic isolaion, among ohers. However, he behavior of srucures made of composie maerials can be improved using smar maerials. Among several kinds of commercially available smar maerials, he piezoelecric maerials are widely used as sensors and acuaors for he monioring and conrol of srucures. The direc piezoelecric effec saes ha a mechanical srain applied o he maerial is convered o an elecric charge. On he oher hand, he converse piezoelecric effec saes ha an elecric poenial applied o he maerial is convered o mechanical srain. These effecs govern he elecromechanical ineracion in piezoelecric maerials. The finie elemen mehod, a widely acceped and powerful ool for analyzing comple srucures, is capable of dealing wih he inegraion of smar componens and classic srucural pars. So, linear and geomerically nonlinear saic and dynamic behavior of hin laminae composie srucures embedded wih piezoelecric layers are analyzed in his work using he Finie Elemen Mehod (FEM). Triangular elemens, called GPL-T9, wih hree nodes and si degrees of freedom per node (hree displacemen and hree roaion componens) and one degree of freedom per piezoelecric layer (elecrical poenial) are used. For saic analysis he nonlinear equilibrium equaions are solved using he Generalized Displacemen Conrol Mehod (GDCM) while he dynamic soluion is performed using he classical Newmark Mehod wih an Updaed Lagrangean Formulaion (ULF). The sysem of equaions is solved using he Gradien Cojugae Mehod (GCM) and in nonlinear cases an ieraive-incremenal scheme is employed. Several numerical eamples are presened and compared wih resuls obained by oher auhors wih differen kind of elemens and differen schemes. The agreemen among hese resuls demonsraes he validiy and effeciveness of he developed models. Keywords: Saic and dynamic analysis; geomerically nonlinear analysis; hin laminae composie; piezoelecric plae/shells; smar maerials. vi

7 ÍNDICE. INTRODUÇÃO... Pág.. MATERIAIS COMPOSTOS Inrodução Classificação dos maeriais composos Maeriais composos reforçados por fibras Maeriais composos reforçados por parículas Maeriais composos laminados Maeriais composos combinados Comporameno mecânico dos maeriais composos Maeriais composos laminados reforçados por fibras Comporameno mecânico de uma lâmina Macromecânica de uma lâmina Lâmina sob um esado plano de ensões Roação da relação ensão-deformação Teoria Clássica de Laminação Casos especiais de laminados Laminado monolâmina Laminado simérico Laminado cruzado simérico Laminado simérico angular Laminado ani-simérico MATERIAIS PIEZELÉTRICOS Inrodução Efeios piezeléricos Maeriais dieléricos e polarização Equações consiuivas piezeléricas...4 vii

8 3.4. Piezelericidade unidimensional Equações consiuivas eleromecânicas via ermodinâmica Piezelericidade linear Laminado piezelérico Esado plano de ensões em uma lâmina piezelérica FORMULAÇÃO INCREMENTAL LAGRANGEANA DO MOVIMENTO Inrodução Princípio dos deslocamenos viruais Equação incremenal do movimeno Maerial piezelérico FORMULAÇÃO ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Inrodução O elemeno finio riangular para placas e cascas delgadas Formulação lagrangeana aualizada do elemeno finio riangular para placas e cascas delgadas laminadas Equações de equilíbrio incremenais discreizadas pela écnica de elemenos finios Maerial piezelérico SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Inrodução Análise esáica Análise dinâmica Superposição Modal EXEMPLOS NUMÉRICOS Inrodução Eemplos esáicos Esudo da convergência da solução esáica linear em uma placa isorópica Análise linear e geomericamene não-linear de uma placa laminada engasada sob pressão uniforme...97 viii

9 7..3 Análise geomericamene não-linear de uma casca cilíndrica sob ação de carga concenrada Análise não-linear geomérica de uma casca cilíndrica laminada sob carga concenrada Análise não-linear geomérica de uma placa laminada sob carga uniforme Análise esáica de placa isorópica com enrijecedores siméricos, simplesmene apoiada, sob a ação de carga uniformemene disribuída Análise esáica linear de uma viga-caião de seção ransversal quadrada Análise esáica linear e geomericamene não-linear de uma viga-caião Eemplos dinâmicos Análise de uma viga engasada-livre sob carga uniformemene disribuída Análise geomericamene não-linear de uma placa quadrada laminada sob carga uniforme Análise não-linear geomérica de uma placa laminada sob carregameno uniformemene disribuído Analise geomericamene não-linear de uma casca esférica sob carga uniforme Análise dinâmica linear e não-linear geomérica de uma viga isorópica bi-engasada sob carga concenrada Análise geomérica não-linear de uma casca cilíndrica laminada sob pressão inerna Análise modal linear de uma placa laminada engasada Análise modal linear de uma casca cilíndrica isorópica Eemplos piezeléricos Análise esáica linear de uma placa isorópica com auadores e sensores incorporados Análise esáica linear de uma viga piezelérica de PVDF Análise esáica linear de uma viga engasada-livre com elemenos piezeléricos (siméricos) incorporados Análise esáica linear de uma viga engasada-livre com elemenos piezeléricos (nãosiméricos) incorporados Análise esáica linear de uma placa quadrada com elemenos piezeléricos incorporados...43 i

10 7.4.6 Análise esáica linear de uma viga engasada-livre doada de disposiivos piezeléricos siméricos Análise esáica geomericamene não-linear de uma viga engasada-livre com disposiivo piezelérico incorporado Eemplos dinâmicos piezeléricos Análise dinâmica linear e geomericamene não-linear de uma viga engasada-livre com elemenos com elemenos piezeléricos incorporados Análise dinâmica linear e geomericamene não-linear de uma placa quadrada engasada com disposiivo piezelérico acoplado Análise dinâmica geomericamene não-linear de uma placa quadrada apoiada com disposiivo piezelérico acoplado Esudo da influência do maerial piezelérico na análise modal linear de uma placa quadrada Análise modal linear de uma placa quadrada com elemenos piezeléricos incorporados CONCLUSÕES SUGESTÕES...59 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...60 ANEXO A DESCRIÇÃO LAGRANGEANA DO MOVIMENTO DE UM SÓLIDO PIEZELÉTRICO...67 A. Inrodução...67 A. Movimeno finio...67 A.3 Medidas de deformação...68 A.4 Medidas de campo elérico...69 A.5 Medidas de ensão...70 A.6 Medidas de deslocameno elérico...7 A.7 Equações incremenais...73

11 ANEXO B MATRIZ DE RIGIDEZ...75 B. Inrodução...75 B. Mariz de rigidez do elemeno na forma eplícia...75 ANEXO C MATRIZ DE MASSA...79 C. Inrodução...79 C. Mariz de massa consisene do elemeno...79 ANEXO D MÉTODO DOS GRADIENTES CONJUGADOS...9 D. Inrodução...9 D. Méodo dos Gradienes Conjugados (MGC)...93 i

12 LISTA DE SÍMBOLOS A Área do elemeno m A a Área do elemeno piezelérico usado como auador m A ij Elemenos da mariz [ A ] [ N m ] A s Área do elemeno piezelérico usado como sensor m + A Área, em + m [ A ] Mariz de rigidez eensional [ N m ] a B i a Parâmeros do méodo de Newmark 0 0 Veor densidade de fluo magnéico B ij Elemenos da mariz [ B ] [ N ] [ B ] Mariz de rigidez de acoplameno enre eensão e fleão [ N ] [ B b ] Mariz relação deformação-deslocameno de fleão [ B m ] Mariz relação deformação-deslocameno de membrana B φ Wb m Mariz de derivadas das funções de inerpolação eléricas [ m ] b i Variável auiliar [ m ] C Capaciância [ F ] C ij Elemenos da mariz de rigidez do maerial N m C Tensor de propriedades do maerial incremenal, em C ijrs [ C ] Configuração Mariz de rigidez do maerial complea N m C Mariz de rigidez referenciada ao sisema de coordenadas da lâmina N m c i Variável auiliar [ m ] [ c ] Mariz de amorecimeno de Rayleigh [ kg s ] [ c uu ] Mariz de amorecimeno [ kg s ] D Deslocameno elérico C m ii

13 + D i Veor deslocameno elérico C m D ij Elemenos da mariz [ D ] [ Nm ] D 3 Deslocameno elérico na direção 3 C m [ D ] Mariz de rigidez à fleão [ Nm ] [ D b] Mariz consiuiva incremenal de fleão no sisema local [ Nm ] [ D bm ] Mariz consiuiva incremenal de fleão-membrana no sisema local [ N ] [ D m ] Mariz consiuiva incremenal de membrana no sisema local [ N m ] [ D mb ] Mariz consiuiva incremenal de membrana-fleão no sisema local [ N ] { D } Veor deslocameno elérico C m [ d ] Mariz de consanes piezeléricas [ mv ] E Campo elérico [ V m ] E i + E i Módulo de Young N m Veor campo elérico [ V m ] E 3 Campo elérico na direção 3 [ V m ] { E } Veor campo elérico [ V m ] e eol [ e ] Consane piezelérica Tolerância de convergência em energia Mariz de consanes piezeléricas C m C m l e F i F 0 Mariz de acoplameno piezelérico no sisema de coordenadas local Variável auiliar C m Tensor gradiene de deformação [ mm ] { F } Veor força nodal equivalene, em [ N ] { b} F Veor força nodal equivalene devido às forças inernas de fleão [ N ] { m} F Veor força nodal equivalene devido às forças inernas de membrana [ N ] { u} F Veor de forças nodais devido às forças mecânicas inernas [ N ] iii

14 { F φ } Veor de forças nodais devido às forças eléricas inernas [ N ] + B f i + S f i G Componenes das forças eernas, por unidade de volume, em Componenes das forças de superfície, por unidade de área, em Funcional de Gibbs N m N m 3 J m G ij GSP Módulo de elasicidade ransversal cisalhane Parâmero geral de rigidez [ G G ] Mariz geomérica [ g ] Mariz de consanes piezeléricas N m H i H i H i Função de inerpolação de fleão Veor campo magnéico Função de inerpolação de fleão Am H yi Função de inerpolação de fleão H Θ Função de inerpolação de membrana u i Hv Θ i [ H ] Função de inerpolação de membrana Mariz complea das funções de inerpolação [ H m ] Mariz função de inerpolação de membrana { H b } Veor função de inerpolação de fleão h Espessura [ m ] h a Espessura da lâmina piezelérica usada como auador [ m ] h s Espessura da lâmina piezelérica usada como sensor [ m ] [ h ] Mariz de consanes piezeléricas [ I 3 ] Mariz idenidade i i j K Índice Número de ierações Índice Mariz de rigidez complea [ N m ] iv

15 [ K L ] Mariz de rigidez linear [ N m ] K NL Mariz de rigidez não-linear [ N m ] [ K b ] Mariz de rigidez de fleão [ N m ] [ K bm ] Mariz de rigidez de fleão-membrana [ N m ] [ K m ] Mariz de rigidez de membrana [ N m ] [ K mb ] Mariz de rigidez de membrana-fleão [ N m ] [ K uu ] Mariz de rigidez [ N m ] k k Ku φ L i l i K φu K φφ j Mariz de rigidez de acoplameno elásico-elérico [ NV ] Mariz de rigidez de acoplameno elérico-elásico [ NV ] Mariz de rigidez elérica [ CV ] Índice Número da lâmina Coordenadas de área Índice l Variável auiliar [ M ] Mariz de massa [ kg ] [ M uu ] Mariz de massa [ kg ] { M } Esforços de momeno [ N ] { M } Veor dos momenos de fleão [ Nm ] { MN } Veor acoplando os efeios de fleão e membrana [ N ] N Mariz de forças inernas de membrana [ N ] { N } Esforços normais [ N m ] { N } Veor de forças inernas de membrana [ N ] { NM } Veor acoplando os efeios de membrana e fleão [ N ] n Número oal de lâminas P Polarização Cm v

16 p Índice { p } Veor posição no sisema de coordenadas do laminado { p } Veor posição no sisema de coordenadas da lamina Q Carga elérica [ C ] Q ij Q ij [ Q ] Elemenos da mariz de rigidez reduzida Elemenos da mariz de rigidez reduzida ransformada Mariz de rigidez reduzida no sisema de coordenadas da lâmina N m N m N m Q q [ R ] Mariz de rigidez reduzida ransformada Índice Mariz auiliar N m { R } Veor de forças eernas nodais na direção [ N ] { R y } Veor de forças eernas nodais na direção y [ N ] { R z } Veor de forças eernas nodais na direção z [ N ] { R} + Veor força eerna, em + { R } b + { R } m + { R } u + { Rφ } + [ N ] Veor força nodal eerna de fleão [ N ] Veor força nodal eerna de membrana [ N ] Veor de forças mecânicas nodais eernas, em Veor de cargas eléricas nodais eernas, em + [ N ] + [ C ] + + r r i R R Trabalho realizado pelas cargas mecânicas eernas Trabalho oal realizado pelas cargas eernas Índice Variável auiliar + S ij Segundo ensor de ensão de Piola-Kirchhoff { S } Veor de ensões no sisema de coordenadas do laminado { S } Veor de ensões reduzido no sisema de coordenadas da lâmina N m N m N m vi

17 { S } Veor de ensões no sisema de coordenadas da lâmina N m s Mariz de fleibilidade no sisema de coordenadas da lâmina s Índice s Variável auiliar m N s ij Elemenos da mariz de fleibilidade do maerial m N [ s ] Mariz de fleibilidade reduzida no sisema de coordenadas da lâmina m N [ s ] Mariz de fleibilidade reduzida ransformada m N s ij Elemenos da mariz de fleibilidade reduzida ransformada [ T ] Mariz de ransformação enre os sisemas 0yz e 03 [ T r ] Mariz de roação enre os sisemas 0yz e 03 T gl Mariz de ransformação enre os sisemas global e local [ T Λ ] Mariz auiliar m N T γ Mariz de ransformação enre os sisemas de global e local Tempo f Tempo final [ s ] U Energia inerna [ J ] uol Tolerância de convergência em deslocameno u Deslocameno na direção [ m ] u i Grau de liberdade de ranslação na direção [ m ] u y Deslocameno na direção y [ m ] u yi Grau de liberdade de ranslação na direção y [ m ] { u bi} Veor de deslocamenos nodais de fleão [ m ] { u mi} Veor de deslocamenos nodais de membrana [ m ] + { u} + { u} Veor velocidade nodal, em Veor aceleração nodal, em + [ s ] + [ ms ] ms vii

18 u i Aceleração ms V Volume no empo w Deslocameno na direção z [ m ] 3 m w i Deslocamenos ransversais nodais [ m ] Direção longiudinal c Variável auiliar [ m ] y Direção ransversal y c Variável auiliar [ m ] { Z i } z Veor dos modos naurais de vibração Direção normal z c Variável auiliar [ m ] z mk Coa da superfície média da lâmina k [ m ] Direção principal longiudinal às fibras Direção principal ransversal às fibras 3 Direção principal normal às fibras α α R Parâmero do méodo de Newmark Consane de Rayleigh β R Consane de Rayleigh [ β ] Mariz de consanes dieléricas [ mf ] χ Suscepibilidade elérica Incremeno da variável enre duas configurações sucessivas Deslocameno elérico incremenal, em Di C m (l) E i Campo elérico incremenal linear [ V m ] (nl) E i Campo elérico incremenal não-linear [ V m ] { M b} Veor de momenos de fleão incremenais [ Nm ] Tensão incremenal na configuração c Sij Variável auiliar N m viii

19 Passo (incremeno) de empo [ s ] Deformação incremenal linear, em [ mm ] eij u i Incremenos de deslocamenos no plano neuro [ m ] w Incremeno de deslocameno ransversal [ m ] { e b } Veor de incremenos de deformação de fleão [ mm ] { u} Veor incremenal de deslocamenos nodais [ m ] { ub} Veor de deslocamenos incremenais de fleão [ m ] { e m } Veor de incremenos de deformação de membrana [ mm ] η Deformação incremenal não-linear, em [ mm ] ij { η } Veor de incremenos de deformação não-linear [ mm ] λ Incremeno de carga [ N ] δ ij Parâmero do méodo de Newmark δ + e Tensor de deformações correspondene aos deslocamenos viruais [ mm ] δ u i Componene do veor de deslocameno virual [ m ] δ ε + ij Variação do ensor de deformação de Green-Lagrange [ mm ] δφ i Variação do poencial elérico [ V ] ε i Deformações normais [ mm ] 0ε ij Tensor de deformação de Green-Lagrange [ mm ] { ε 0 } Deformações de membrana [ mm ] { ε } Veor de deformações reduzido no sisema de coordenadas da lâmina [ mm ] { e } Veor de deformações no sisema de coordenadas da lâmina [ mm ] φ Volagem, poencial elérico [ V ] φ a Poencial elérico no auador [ V ] φ s Poencial elérico no sensor [ V ] γ Ângulo enre os eios g e l [ rad ] γ ij Deformações cisalhanes [ mm ] i

20 { κ } Curvauras da superfície de referência [ m ] [ Λ ] Mariz dos cossenos direores λ Cosseno do ângulo formado enre os eios λ y Cosseno do ângulo formado enre os eios λ z Cosseno do ângulo formado enre os eios λ y Cosseno do ângulo formado enre os eios λ yy Cosseno do ângulo formado enre os eios λ yz Cosseno do ângulo formado enre os eios g e g e g e g y e g y e g y e l l y l z l l y l z λ z Cosseno do ângulo formado enre os eios g z e l λ y Cosseno do ângulo formado enre os eios g z e l y λ zz Cosseno do ângulo formado enre os eios g z e l z ν ij Coeficiene de Poisson Θ Temperaura [ K ] Θ i Θ yi Roações nodais em orno de Roações nodais em orno de y Θ zi Roação no plano da superfície média θ Ângulo de roação enre os eios e [ rad ] ρ ρ + ρ Massa específica Massa específica, na configuração Massa específica, na configuração + 3 kg /m 3 kg /m 3 kg /m 0 ρ Massa específica, na configuração 0 3 kg /m σ i τ ij + τ ij ς + ς i Tensões normais Tensões cisalhanes Componenes Caresianas do ensor de Cauchy Densidade de carga elérica Densidade de carga elérica, em + N/m N/m N/m C/m C/m

21 Ω Ω i Superfície Auovalores m ω i Freqüências naurais de vibração [ rad s ] ξ Permissividade [ Fm ] ξ 0 Permissividade do vácuo [ Fm ] [ ξ ] Mariz de permissividades [ Fm ] Ψ Ψ y Inclinação da normal à superfície média na direção Inclinação da normal à superfície média na direção y Enropia [ J K ] i

22 ÍNDICE DE FIGURAS Figura. Comporameno mecânico dos maeriais [Jones, 999]... 6 Figura. Lâminas reforçadas por fibras [Jones, 999]... 7 Figura.3 Direções principais das propriedades mecânicas em uma lâmina [Jones, 999]... 8 Figura.4 Tensões em um elemeno [Jones, 999]...0 Figura.5 Significado físico das relações deformação-ensão anisorópicas... Figura.6 Sisemas de coordenadas de uma lâmina...8 Figura.7 Geomeria da deformação da placa no plano z [Jones, 999]...4 Figura.8 Disribuição de deformações e ensões em um laminado [Jones, 999]...7 Figura.9 Forças (a) e momenos (b) em um elemeno diferencial de um laminado plano [Jones, 999]...8 Figura.0 Geomeria de um laminado com n lâminas [Jones, 999]...9 Figura. Significado físico dos ermos de rigidez nas forças e momenos resulanes...30 Figura. Laminado simérico com números ímpares (a) e pares (b) de lâminas...34 Pág. Figura 3. Esruura crisalina cenrossimérica (a) e não-cenrossimérica (b) [Cardoso, 005]...37 Figura 3. Maerial dielérico não-polarizado (a) e polarizado (b) [Tjipoprodjo, 005]...39 Figura 3.3 Cargas em um capacior plano carregado [Piefor, 00]...4 Figura 3.4 Placa/casca laminada com elemeno piezelérico embuido...50 Figura 3.5 Sisemas de coordenadas da lâmina e do laminado [Piefor, 00]...5 Figura 3.6 Maerial laminado piezelérico...53 Figura 4. Movimeno de um corpo em um sisema de coordenadas esacionárias...57 Figura 5. Graus de liberdade de membrana para o elemeno de placa/casca delgada [Teieira, 00]...67 Figura 5. Graus de liberdade de fleão para o elemeno de placa/casca delgada [Teieira, 00]...68 Figura 5.3 Esquema do elemeno GPL-T9 [Teieira, 00]...70 Figura 5.4 Sisemas de coordenadas globais, locais e das fibras...7 Figura 5.5 Deslocamenos de membrana do elemeno [Teieira, 00]...76 ii

23 Figura 5.6 Sisemas de coordenadas local e global de um elemeno riangular [Zienkiewicz e Taylor, 000]...79 Figura 6. Newmark - esquema de aceleração média consane...90 Figura 7. Placa quadrada isorópica...96 Figura 7. Placa quadrada laminada...98 Figura 7.3 Análise linear da placa laminada engasada...98 Figura 7.4 Análise não-linear da placa laminada engasada...99 Figura 7.5 Casca cilíndrica sujeia a uma carga concenrada cenral [Sze, Liu e Lo, 004]...99 Figura 7.6 Resposa esáica não-linear para a casca cilíndrica isorópica...00 Figura 7.7 Resposa esáica não-linear para a casca cilíndrica [90/0/90]...0 Figura 7.8 Resposa esáica não-linear para casca cilíndrica [0/90/0]...0 Figura 7.9 Resposa esáica não-linear para casca cilíndrica [90/0/90]...0 Figura 7.0 Resposa esáica não-linear para casca cilíndrica [45/-45]...03 Figura 7. Resposa esáica não-linear para a placa com laminação [45/-45]...04 Figura 7. Resposa esáica não-linear para a placa com laminação [0/90]...04 Figura 7.3 Placa isorópica com enrijecedores siméricos...05 Figura 7.4 Análise esáica de uma placa com enrijecedores siméricos...06 Figura 7.5 Viga-caião com seção ransversal quadrada...06 Figura 7.6 Configuração final da viga-caião na simulação...07 Figura 7.7 Configuração final da viga-caião na simulação...08 Figura 7.8 Configuração final da viga-caião na simulação Figura 7.9 Configuração final da viga-caião na simulação Figura 7.0 Configuração final da viga-caião na simulação Figura 7. Configuração final da viga-caião na simulação Figura 7. Configuração final da viga-caião na simulação 7... Figura 7.3 Configuração final da viga-caião na simulação 8... Figura 7.4 Viga-caião...3 Figura 7.5 Configuração inicial da viga-caião...4 Figura 7.6 Simulação (a): configuração final da análise linear Ansys...5 Figura 7.7 Simulação (a): configuração final da análise linear Presene esudo...5 iii

24 Figura 7.8 Simulação (a): configuração final da análise não-linear Ansys...6 Figura 7.9 Simulação (a): configuração final da análise não-linear Presene esudo...6 Figura 7.30 Simulação (b): configuração final da análise linear Ansys...7 Figura 7.3 Simulação (b): configuração final da análise linear Presene esudo...7 Figura 7.3 Simulação (b): configuração final da análise não-linear Ansys...8 Figura 7.33 Simulação (b): configuração final da análise não-linear Presene esudo...8 Figura 7.34 Simulação (c): configuração final da análise linear Ansys...9 Figura 7.35 Simulação (c): configuração final da análise linear Presene esudo...9 Figura 7.36 Simulação (c): configuração final da análise não-linear (0,0P) Ansys...0 Figura 7.37 Simulação (c): configuração final da análise não-linear (0,0P) Presene esudo...0 Figura 7.38 Simulação (c): configuração final da análise não-linear (0,70P) Presene esudo... Figura 7.39 Resposa dinâmica para a viga isorópica engasada-livre...3 Figura 7.40 Resposa ransiene não-linear para a placa laminada sob carga uniforme...4 Figura 7.4 Resposa ransiene para a placa com laminação [0/90] CC...5 Figura 7.4 Resposa ransiene para a placa com laminação [45/-45] CC...5 Figura 7.43 Resposa ransiene para a placa com laminação [0/90] CC...6 Figura 7.44 Resposa ransiene para a placa com laminação [45/-45] CC...6 Figura 7.45 Casca esférica laminada [To e Wang, 998]...7 Figura 7.46 Resposa não-linear geomérica para uma casca esférica laminada...8 Figura 7.47 Solução dinâmica linear para a viga isorópica bi-engasada...9 Figura 7.48 Solução dinâmica não-linear para a viga isorópica bi-engasada...9 Figura 7.49 Casca cilíndrica laminada sob pressão inerna [To e Wang, 999]...30 Figura 7.50 Resposa ransiene não-linear para casca cilíndrica [0/-45/90/45] s...3 Figura 7.5 Resposa ransiene não-linear para casca cilíndrica [0/90]...3 Figura 7.5 Modos de vibração para a placa laminada [0/0/0/0]...3 Figura 7.53 Modos de vibração para a placa laminada [45/-45/-45/45]...33 Figura 7.54 Modos de vibração para a placa laminada [0/-45/90/45]...33 Figura 7.55 Casca cilíndrica isorópica: (a) complea e (b) Figura 7.56 Placa isorópica reangular com sensores e auadores incorporados [Abreu, Ribeiro e Seffen, 004]...35 Figura 7.57 Disribuição dos deslocamenos ransversais na seção y = Ly...37 iv

25 Figura 7.58 Disribuição dos deslocamenos ransversais na seção = L...37 Figura 7.59 Viga piezelérica engasada-livre [Sze e Yao, 000]...38 Figura 7.60 Viga engasada-livre com elemenos piezeléricos siméricos acoplados [Albuquerque e Rade, 003]...40 Figura 7.6 Deslocamenos ransversais ao longo da esruura...4 Figura 7.6 Viga engasada-livre com elemenos piezeléricos não-siméricos acoplados [Albuquerque e Rade, 003]...4 Figura 7.63 Deslocamenos ransversais ao longo da esruura...4 Figura 7.64 Placa quadrada com elemenos piezeléricos incorporados...43 Figura 7.65 Deslocamenos ransversais ao longo da placa...44 Figura 7.66 Viga engasada-livre de alumínio com disposiivos piezelérico [Marincovic, Köppe e Gabber, 004]...44 Figura 7.67 Deslocamenos ransversais ao longo da viga...45 Figura 7.68 Viga engasada-livre com disposiivo piezelérico acoplado [Cardoso, 005]...46 Figura 7.69 Deslocamenos ransversais da viga sem maerial piezelérico...47 Figura 7.70 Deslocamenos ransversais da viga com maerial piezelérico...47 Figura 7.7 Viga engasada-livre com disposiivo piezelérico [Yi, Ling e Ying, 000]...48 Figura 7.7 Deslocamenos ransversais da viga engasada-livre...49 Figura 7.73 Volagem gerada no disposiivo piezelérico da viga engasada-livre...49 Figura 7.74 Deslocamenos ransversais da viga engasada-livre...50 Figura da placa quadrada com disposiivo piezelérico [Yi, Ling e Ying, 000]...5 Figura 7.76 Deslocamenos ransversais no cenro da placa engasada...5 Figura 7.77 Volagem gerada no disposiivo piezelérico da placa engasada...5 Figura 7.78 Placa quadrada com maerial piezelérico acoplado...53 Figura 7.79 Resposa dinâmica não-linear para a placa sem disposiivo piezelérico...54 Figura 7.80 Resposa dinâmica não-linear para a placa com disposiivo piezelérico de PVDF...54 Figura 7.8 Resposa dinâmica não-linear para a placa com disposiivo piezelérico de PZT Figura 7.8 Eapas de aplicação do maerial piezelérico na esruura...56 Figura 7.83 Influência do maerial piezelérico na análise modal da esruura...56 Figura 7.85 Análise modal da placa com elemenos piezeléricos incorporados...57 v

26 ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3. Noação reduzida...47 Pág. Tabela 7. Solução esáica linear conforme Timoshenko e Woinowsky-Krieger...96 Tabela 7. Deslocameno cenral para placa apoiada sob a ação de carga disribuída...97 Tabela 7.3 Deslocameno cenral para placa apoiada sob a ação de carga concenrada cenral...97 Tabela 7.4 Deslocameno cenral para placa engasada sob a ação de carga disribuída...97 Tabela 7.5 Deslocameno cenral para placa engasada sob a ação de carga concenrada cenral...97 Tabela 7.6 Deslocamenos ransversais, em ( m ), dos ponos A, B e C da viga programa Ansys... Tabela 7.7 Deslocamenos ransversais, em ( m ), dos ponos A, B e C da viga presene esudo... Tabela 7.8 Soliciações na viga-caião causadas pela carga P...3 Tabela 7.9 Deslocamenos ransversais, em ( m ), dos ponos e 4 da viga programa Ansys... Tabela 7.0 Deslocamenos ransversais, em ( m ), dos ponos e 4 da viga presene esudo... Tabela 7. Primeira freqüência naural para casca cilíndrica isorópica com vinculação CC...35 Tabela 7. Primeira freqüência naural para casca cilíndrica isorópica com vinculação CC...35 Tabela 7.3 Propriedades do sensor, do auador e da placa...36 Tabela 7.4 Posicionameno dos elemenos piezeléricos na placa Tabela 7.5 Defleão esáica da viga piezelérica ( 0 m)...39 Tabela 7.6 Volagem gerada nos sensores da viga piezelérica (V)...39 Tabela C. Ponos e pesos para inegração numérica...9 vi

27 . INTRODUÇÃO A crescene necessidade de esruuras com propriedades superiores impulsiona o desenvolvimeno de novos ipos de maeriais, denre os quais se desacam os maeriais composos laminados reforçados por fibras. Eses maeriais são formados por uma associação de lâminas adequadamene unidas, confeccionadas com fibras resisenes disposas segundo uma ou duas direções, envolvidas por uma mariz. Sua uilização nas indúsrias auomobilísica, aeronáuica e espacial eige que os mesmos enham deerminadas propriedades mecânicas como: alas relações rigidez/peso e resisência/peso; ala resisência à fadiga; alo amorecimeno; isolação érmica e acúsica; e resisência à corrosão. Esas eigências esruurais específicas são obidas, basicamene, aravés do ajuse da naureza dos maeriais consiuines, da espessura das lâminas, orienação das fibras e seqüência de laminação, o que faz com que ese seja um dos maeriais esruurais mais avançados aualmene [Lee, Reddy e Rosam-Abadi, 006; Marincovic, Köpper e Gabber, 004; Marques, 994] Uma das caracerísicas inerenes de sisemas naurais é que eses são capazes de reconhecer a caracerísica e a inensidade do esímulo eerno, e reagir apropriadamene com o objeivo de alcançar o melhor desempenho ou proeger sua inegridade. Para que sisemas arificiais eibam um comporameno similar é necessário que os mesmos sejam providos de maeriais ineligenes. Eses maeriais apresenam a capacidade de desenvolver uma mudança reversível em suas propriedades mecânicas devido à influência de um campo de emperaura, elérico ou magnéico; possibiliando assim que os maeriais ineligenes sejam empregados como sensores e auadores. [Marinkovic e Gabber, 004; Monner, 005]. Porano, o comporameno de esruuras consruídas de composos laminados pode ser melhorado aravés do acoplameno de maeriais ineligenes como lâminas adicionais ao laminado. Iso propicia a combinação enre as propriedades mecânicas superiores dos maeriais composos laminados com a habilidade de sensoriameno e auação dos maeriais ineligenes. Aplicações para esruuras laminadas piezeléricas podem ser enconradas, por eemplo, no moniorameno de esruuras, isolameno e conrole de vibrações, aplicações médicas, conrole de ruído e conrole de forma [Lee, Reddy e Rosam-Abadi, 006; Marincovic, Köpper e Gabber, 004; Moia e al., 004]. Denre os diferenes ipos de maeriais ineligenes comercialmene disponíveis, o ineresse em empregar os maeriais piezeléricos, como sensores e auadores, cresceu consideravelmene nos úlimos anos, sendo, aualmene, um dos maeriais ineligenes mais uilizados. [Lefèvre, Gabber e Köppe 003].

28 Os maeriais piezeléricos êm a propriedade de gerar carga elérica devido a uma deformação mecânica imposa ao maerial (efeio piezelérico direo), ou ainda, quando um campo elérico é aplicado a ese ipo de maerial, faz com que o mesmo sofra uma deformação mecânica (efeio piezelérico inverso). Eses efeios governam a ineração eleromecânica nos maeriais piezeléricos [Balamurugan e Narayanan, 00; Moia e al., 004]. O Méodo dos Elemenos Finios é uma ferramena amplamene reconhecida e poderosa para a análise de esruuras compleas, permiindo a inegração enre os componenes ineligenes e clássicos das esruuras aivas. Além disso, modelos eperimenais e proóipos são limiados a esruuras relaivamene simples. Enão, em aplicações práicas, a écnica dos elemenos finios proporciona versailidade na modelagem, na simulação e na análise de projeos de engenharia com maeriais e esruuras ineligenes [Xu e Koko, 004; Yao e Lu, 003]. Os objeivos principais da modelagem são freqüenemene oposos por um lado, o modelo deve ser desenvolvido para oferecer uma precisão saisfaória, mas por ouro lado, o esforço compuacional necessário não pode ser muio elevado. Como regra, a análise linear é numericamene menos eigene que a análise não-linear. Enreano, nos úlimos anos, os resulados numéricos de diferenes pesquisadores êm mosrado que as variáveis de ineresse podem ser significaivamene influenciadas com a consideração de grandes deslocamenos e grandes deformações da esruura. Com isso, diferenes formulações com elemenos finios de esruuras aivas delgadas, que consideram os efeios da não-linearidade geomérica e/ou da nãolinearidade maerial êm sido desenvolvidas [Marincovic, Köpper e Gabber, 005]. Denre os quais desacam-se: Gao e Shen, 00, que apresenaram um elemeno de placa com 4 nós para a análise geomérica não-linear de esruuras ineligenes piezeléricas adoando uma formulação Lagrangeana oal; Marincovic, Köpper e Gabber, 004, e Marincovic, Köpper e Gabber, 005, desenvolveram um elemeno de casca degenerado de 9 nós para análise linear e não-linear de esruuras laminadas piezeléricas delgadas, aravés de uma formulação Lagrangeana aualizada; e Yi, Ling e Ying, 000, que desenvolveram um elemeno sólido de 0 nós para a análise nãolinear de esruuras laminadas adapáveis usando uma formulação Lagrangeana aualizada. Enão, com base no eposo aneriormene, o objeivo dese rabalho foi realizar a análise numérica esáica e dinâmica, linear e geomericamene não-linear de esruuras laminadas delgadas com e sem a inclusão de maerial piezelérico. Para isso, foi adoado o elemeno finio GPL-T9, como em Zhang, Lu e Kuang, 998, e em Teieira, 00, que é um elemeno finio riangular conforme generalizado, que considera a roação no plano da superfície média do elemeno. A ese elemeno foi aplicada a Teoria Clássica de Laminação, de acordo com Chrisensen, 005, Jones, 999, e Mendonça, 005, de forma que

29 3 o laminado ineiro, que é consiuído de diversas camadas, possa ser analisado com uma única lâmina equivalene. Após, segundo Balamurugan e Narayanan, 00, e Gao e Shen, 00, foi inroduzido o conceio dos maeriais piezeléricos como lâminas adicionais ao laminado, que podem ser empregadas como sensores e auadores. Porano, foi desenvolvido um elemeno finio riangular laminado piezelérico com rês nós e seis graus de liberdade elásicos por nó (sendo rês componenes de deslocamenos e rês componenes de roação) e com duas lâminas piezeléricas, com um grau de liberdade elérico (poencial elérico) por lâmina piezelérica. Nas análises esáicas linear e não-linear geomérica, a solução das equações de equilíbrio obidas aravés do Méodo dos Elemenos Finios foi realizada, respecivamene, pelo Méodo dos Gradienes Conjugados (com pré-condicionameno diagonal) e pelo Méodo do Conrole de Deslocamenos Generalizados. Para a solução das equações de equilíbrio da análise dinâmica linear foram usados o Méodo de Newmark e Méodo da Superposição Modal; e para a análise dinâmica geomericamene não-linear foi adoado o Méodo de Newmark. Os diversos conceios que foram uilizados nesa pesquisa e os resulados alcançados esão eposos da seguine maneira: o Capíulo faz considerações sobre os maeriais composos; o Capíulo 3 raa dos maeriais piezeléricos; no Capíulo 4, a formulação incremenal Lagrangeana do movimeno é apresenada; no Capíulo 5, o Méodo dos Elemenos Finios é aplicado; no capíulo 6 é mosrado como foi feia a solução das equações de equilíbrio; no Capíulo 7, a validação da eoria desenvolvida foi realizada, aravés de diversas simulações numéricas; no Capíulo 8, as conclusões obidas nese rabalho foram apresenadas; e, finalmene, no Capíulo 9 recomendações para rabalhos fuuros são sugeridas. Consam ainda a lisa de referências bibliográficas consuladas, e alguns esclarecimenos julgados necessários em aneo.

30 4. MATERIAIS COMPOSTOS. Inrodução Um maerial composo é definido, basicamene, como a combinação de dois ou mais maeriais em uma escala macroscópica, formando enão um erceiro maerial [Jones, 999]. A vanagem dos maeriais composos é que, se bem projeados, podem eibir as melhores qualidades de seus componenes ou consiuines e ainda algumas qualidades que nenhum dos seus componenes possui [Jones, 999]. Denre as propriedades que podem ser obidas com um maerial composo, pode-se desacar: resisência esáica e à fadiga; rigidez; resisência à corrosão; resisência à abrasão; redução de peso; capacidade de rabalho a ala e baia emperaura; isolameno ou conduividade érmica, elérica e acúsica; dureza; e aparência eséica [Mendonça, 005]. Um maerial composo ípico é formado por inclusões suspensas em uma mariz. Essas inclusões (fibras ou parículas) conferem ao maerial composo suas caracerísicas mecânicas, enquano que as marizes são responsáveis em ransferir as soliciações mecânicas às inclusões e proegê-las do ambiene eerno [Bower, 000]. O caráer anisorópico dos maeriais composos é o faor primordial para a obenção das propriedades mecânicas requeridas pelo componene. A leveza junamene com as ecelenes caracerísicas mecânicas faz com que os maeriais composos sejam cada vez mais uilizados denro da engenharia [Pereira, 00].. Classificação dos maeriais composos De acordo com Jones, 999, os maeriais composos são classificados em quaro grupos: maeriais composos reforçados por fibras; maeriais composos reforçados por parículas ou maeriais composos pariculados; maeriais composos laminados; e maeriais composos combinados... Maeriais composos reforçados por fibras As fibras são caracerizadas, principalmene, por sua ala relação comprimeno-diâmero, podendo ser conínuas, longas, ou curas, na faia de 5 mm a 5 mm de comprimeno. Quano à sua disposição, elas podem ser unidirecionais, bidirecionais ou aleaoriamene orienadas. A resisência e a rigidez de um maerial, quando em forma de fibra, são algumas ordens de

31 5 magniude maiores que os valores obidos para o mesmo maerial em bloco. Ese paradoo é devido ao fao de que as fibras apresenam esruuras mais perfeias se comparadas ao maerial em bloco. Nas fibras, os crisais esão alinhados ao longo de seu eio. Além disso, eisem menos defeios inernos que em um maerial em bloco [Mendonça, 005; Jones, 999]... Maeriais composos reforçados por parículas A parícula não possui uma dimensão predominane como nas fibras e geralmene sua presença não é ão efeiva no incremeno da resisência da mariz. A presença de parículas muio rígidas em mariz frágil pode de fao reduzir sua resisência em função da concenração de ensões no maerial da mariz adjacene. Enreano o uso de parículas visa o incremeno de ouras propriedades, como: conduividade ou isolameno érmico e elérico; resisência a alas emperauras; redução de ario; resisência ao desgase superficial; aumeno da dureza superficial; e redução de cusos [Mendonça, 005]...3 Maeriais composos laminados Consisem em camadas de pelo menos dois diferenes maeriais que esão fiados conjunamene. A laminação é usada para combinar os melhores aspecos das camadas consiuines unindo os maeriais de forma a ober um maerial melhor, ou seja, com propriedades mecânicas melhores. Denre essas propriedades, desacam-se: a resisência mecânica; a rigidez; a redução de peso; a resisência à corrosão; e resisência ao desgase [Jones, 999]. Os laminados ano podem ser planos, em formas de placas, quano curvos, em forma de cascas. Os composos podem ainda ser conformados como corpos ridimensionais [Mendonça, 005]...4. Maeriais composos combinados São maeriais composos que eibem mais que uma das caracerísicas das classes aneriores: maeriais composos reforçados por fibras, reforçados por parículas ou laminados. Um eemplo clássico é o concreo armado, que possui caracerísicas dos maeriais composos pariculados (do concreo) e dos maeriais composos reforçados por fibras (da armação) [Jones, 999]. Nese rabalho os maeriais composos laminados reforçados por fibras foram uilizados, e por esa razão, serão aqui abordados.

32 6.3 Comporameno mecânico dos maeriais composos De acordo com Jones, 999, os maeriais composos possuem muias caracerísicas de comporameno mecânico que são diferenes das apresenadas pelos maeriais convencionais empregados na engenharia. Algumas dessas caracerísicas são simples modificações em seu comporameno mecânico; e ouras são oalmene novas eigindo novos procedimenos de análise analíica e eperimenal. A maioria dos maeriais usados na engenharia são homogêneos e isorópicos: um corpo homogêneo apresena propriedades uniformes em oda sua eensão, ou seja, as propriedades são independenes da posição no corpo; e um corpo isorópico possui as mesmas propriedades em qualquer direção para um deerminado pono do corpo, ou seja, suas propriedades são independenes da orienação (ver Fig..). Já os maeriais composos são comumene heerogêneos e não-isorópicos (ororópicos, ou, em uma definição mais geral, anisorópicos): um corpo heerogêneo apresena propriedades não uniformes ao longo do corpo, ou seja, as propriedades dependem da posição no corpo; um corpo ororópico possui propriedades que são diferenes em rês direções muuamene perpendiculares em um deerminado pono do corpo e, além disso, possuem dois ou rês planos de simeria muuamene perpendiculares, ou seja, suas propriedades dependem da orienação (ver Fig..); e um corpo anisorópico apresena propriedades que são diferenes em odas as direções em um dado pono do corpo, não eisindo nenhum plano de simeria, e suas propriedades dependem da orienação no pono analisado (ver Fig..). isorópico ororópico anisorópico Figura. Comporameno mecânico dos maeriais [Jones, 999].

33 7.4 Maeriais composos laminados reforçados por fibras De acordo com Marques, 994, eses maeriais consisem em uma associação de lâminas confeccionadas com fibras longas e resisenes, disposas paralelamene segundo uma ou duas direções, envolvidas por um maerial referido como mariz, conforme represenado na Fig uma direção duas direções Figura. Lâminas reforçadas por fibras [Jones, 999]. As lâminas que formam o maerial composo laminado podem ser planas no caso de placas ou curvadas no caso de cascas [Segmann e Lund, 00]. As placas e cascas de maeriais composos laminados reforçados por fibras possuem um comporameno mais compleo que o apresenado pelas consiuídas de maeriais convencionais (homogêneo e isorópico). Uma simples mudança na disposição das lâminas ou na orienação das fibras de um laminado pode afear enormemene a resposa da esruura, o que demonsra a imporância do desenvolvimeno de modelos que represenem adequadamene seu comporameno mecânico [Marques, 994]. Por razões funcionais ou de uso racional de maerial, freqüenemene placas e cascas consiuídas de maeriais composos laminados de espessura reduzida são uilizados em projeos de esruuras. Assim, o esudo do comporameno desas esruuras consiui um imporane apêndice da área de pesquisa sobre o comporameno de placas e cascas laminadas. Devido às diferenes possibilidades de uilização desas esruuras, os efeios dinâmicos e de naureza nãolinear geomérica são aspecos de imporância fundamenal a serem esudados e considerados em projeos [Marques, 994].

34 8.4. Comporameno mecânico de uma lâmina Como já foi dio, um laminado é consiuído por diversas lâminas, normalmene idênicas, variando suas orienações para melhor aender aos requisios de projeo ou de fabricação. As propriedades macroscópicas do laminado, como resisência e comporameno elásico, dependem, porano, das propriedades das lâminas individuais que o compõem, além da ordem e orienação desas camadas [Mendonça, 005]. A Fig..3 apresena os elemenos principais de uma lâmina. A direção das fibras define as rês direções principais de propriedades da lâmina, que são as direções omadas como referência nas definições das propriedades mecânicas, ensões, deformações e demais cálculos básicos. A direção principal é a direção longiudinal, indicada pelo eio. A direção principal, ransversal à fibra, é indicada pelo eio. E a direção principal 3, é a direção normal à lâmina, e indicada pelo eio 3. 3 Direção normal Fibras Direção longiudinal Direção ransversal Figura.3 Direções principais das propriedades mecânicas em uma lâmina [Jones, 999]. Como o conhecimeno do comporameno mecânico de uma lâmina é essencial para o enendimeno das esruuras laminadas reforçadas por fibras, foi adoado nese rabalho o enfoque macromecânico, que será apresenado a seguir.

35 9.4. Macromecânica de uma lâmina Mendonça, 005, afirma que o ermo comporameno macromecânico refere-se ao comporameno da lâmina apenas quando as propriedades mecânicas aparenes médias, em sua forma macroscópica, são consideradas. A resrição básica desa eoria é assumir um comporameno elásico-linear para os maeriais raados. Enreano, esa linearidade é geralmene superior à dos meais, e a eoria, como descria a seguir, é amplamene usada na engenharia. A relação ensão-deformação, baseada na lei de Hooke, para um maerial elásico-linear anisorópico é dada por [Jones, 999; Mendonça, 005]: σ C C C C C C ε σ C C C C C C ε σ 3 C3 C3 C33 C34 C35 C 36 ε 3 = τ3 C4 C4 C34 C44 C45 C46 γ3 τ 3 C5 C5 C35 C45 C55 C 56 γ 3 τ C C C C C C γ (.) ou, na forma compaca: { } { } S = C e (.) onde σ i e τ ij com i,j =,,3 são as ensões normais e cisalhanes (ver Fig..4), respecivamene; C ij com i,j =,,3,4,5,6 são os elemenos da mariz de rigidez do maerial C, sendo o sobrescrio a indicação do sisema de coordenadas usado, definido pelos eios 3; e ε i e γ ij com i,j =,,3 são as deformações normais e cisalhanes, respecivamene, definidas por: T u u y w uy w u u w u y e = (.3) { } y z z y z y sendo u, u y e w os deslocamenos nas direções, y e z (ou direções, e 3) e o sobrescrio T indicando a forma ransposa do veor.

36 0 A mariz Figura.4 Tensões em um elemeno [Jones, 999]. C possui vine e uma consanes independenes; além disso, ela é nãosingular, o que significa que pode ser inverida, resulando na relação deformação-ensão: { } e C { S } { } s { S } = e = (.5) ou ε s s s s s s σ ε s s s s s s σ ε 3 s3 s3 s33 s34 s35 s 36 σ 3 = γ 3 s4 s4 s34 s44 s45 s46 τ3 γ 3 s5 s5 s35 s45 s55 s 56 τ 3 γ s s s s s s τ (.4) onde = s C é a mariz de fleibilidade do maerial. Se eisem dois planos orogonais de simeria de propriedades no maerial, eisirá necessariamene simeria relaiva ao erceiro plano muuamene orogonal aos ouros dois. Um maerial com essas caracerísicas de ríplice simeria é dio ororópico. As direções principais de propriedades do maerial são paralelas às inersecções dos rês planos orogonais de simeria do mesmo, resulando em uma relação ensão-deformação com nove consanes independenes, dada por:

37 σ C C C ε σ C C C ε σ 3 C3 C3 C ε 3 =. (.6) τ C γ3 τ C 0 γ τ C66 γ Um maerial ororópico possui pelo menos um sisema de coordenadas em cada pono em que as ensões normais provocam apenas deformações normais e as ensões cisalhanes provocam apenas deformações cisalhanes na direção do carregameno. Essa caracerísica pode ser verificada na Eq. (.6). E a relação deformação-ensão para um maerial ororópico é dada por: ε s s s σ ε s s s σ ε 3 s3 s3 s σ 3 =. (.7) γ s τ3 γ s 0 τ γ s66 τ Se eise um número infinio de planos de simeria de propriedades no maerial, sua mariz de rigidez apresena apenas duas consanes independenes, caracerizando um maerial isorópico que possui uma relação ensão-deformação dada por: σ C C C ε σ C C C ε σ C 3 C C ε 3 = τ ( C C ) 0 0 γ3 τ ( C C ) 0 γ 3 τ ( C C ) γ (.8) e uma relação deformação-ensão definida como sendo:

38 ε s s s σ ε s s s σ ε s 3 s s σ 3 =. (.9) γ ( s s ) 0 0 τ3 γ ( s s ) 0 τ 3 γ s ( s ) τ Ouros ipos de maeriais considerando diferenes planos de simeria são apresenados por Jones, 999. Como é possível observar, as relações deformação-ensão indicam as resposas de deformação causadas por uma deerminada ensão aplicada ao maerial. Considerando um maerial anisorópico, acoplamenos significaivos ocorrem enre as ensões aplicadas e as deformações sofridas (ver Fig..5), em conrase com um maerial isorópico que possui um único acoplameno: o de eensão-eensão [Jones, 999]. eensão acoplameno eensão-eensão acoplameno cisalhameno-eensão ε s s s s s s σ ε s s s s s s σ ε 3 s3 s3 s33 s34 s35 s 36 σ 3 = γ 3 s4 s4 s34 s44 s45 s46 τ3 γ 3 s5 s5 s35 s45 s55 s 56 τ 3 γ s s s s s s τ cisalhameno acoplameno cisalhameno-cisalhameno Figura.5 Significado físico das relações deformação-ensão anisorópicas. Considerando agora um maerial ororópico, sua mariz de fleibilidade definida em ermos das consanes de engenharia é dada por [Mendonça, 005]:

39 3 ν ν E E E 3 ν ν E E E 3 ν3 ν E E E3 s = (.0) G G G onde: E, E e E 3 são os módulos de Young, ou módulos de elasicidade, nas direções principais, e 3, respecivamene; G, G 3 e G 3 são os módulos de elasicidade ransversal cisalhane, nos planos, 3 e 3, respecivamene; e νij = ε j εi são os seis valores de coeficienes de Poisson, obidos da relação enre a deformação na direção j quando um elemeno diferencial de volume é carregado apenas na direção i, iso é, com σi = σ e odas as ouras ensões nulas. Deve-se lembrar que, apesar de erem sido definidas doze consanes de engenharia para o maerial ororópico, a simeria da mariz de fleibilidade ( s ij nove consanes independenes, iso é: = s ) mosra que eisem apenas ji ν E ij i ν ji = i,j =,,3 e i j. (.) E j Como a mariz de fleibilidade e a mariz de rigidez são muuamene inversas, aravés da álgebra maricial, seus componenes esão relacionados como: C s s s s s s s s s s s C C s s s C s s s s s s s s s s C C s s s C = C = C = = = 3 = = 3 = 33 = s44 s55 s66 (.)

40 4 onde: s= s s s s s s s s s + s s s. (.3) A mariz de rigidez para um maerial ororópico em ermos das consanes de engenharia é obida aravés da inversão da Eq. (.0). Seus coeficienes não nulos são enão definidos como: C ν ν ν ν ν ν = C = C33 = EE 3 C EE 3 C EE C C C 44 = G3 C55 = G3 C66 = G ν + ν ν ν + ν ν ν + ν ν ν + ν ν = = C3 = = EE 3 C EE 3 C EE 3 C EE C (.4) C 3 ν + ν ν ν + ν ν = = EE EE C C onde: C ν ν ν ν ν ν ν ν ν =. (.6) EEE Lâmina sob um esado plano de ensões De acordo com Chrisensen, 005, Jones, 999, e Mendonça, 005, diz-se que um corpo esá sob um esado plano de ensões se cada pono esá sujeio a ensões apenas em um único plano. Considerando a lâmina apresenada na Fig..3, submeida a um esado plano de ensões, no plano, e considerando ambém a Fig..4, em-se que: σ 3 = 0, τ 3 = 0 e τ 3 = 0 (.6) e σ 0, σ 0 e τ 0 (.7)

41 5 nas relações ensão-deformação aneriormene definidas. O esado plano de ensões em uma lâmina não é meramene uma idealização da realidade, mas um objeivo práico de como se deve usar uma lâmina reforçada por fibras, pois a mesma não pode resisir a alas ensões em qualquer oura direção que não a direção das fibras. Para maeriais ororópicos, impondo as condições dadas pelas Eqs. (.6) e (.7) na Eq. (.7), as deformações fora do plano ficam definidas por: ε = s σ + s σ, γ 3 = 0 e γ 3 = 0 (.8) onde: s 3 ν ν = = e s3 E E3 E E3 ν ν = =. (.9) Além disso, sua relação deformação-ensão, Eq. (.7), reduz-se para: ε s s 0 σ ε s s 0 = σ γ 0 0 s τ 66 (.0) ou, na forma maricial: { } [ s ]{ S } ε = (.) sendo: ν ν s = s = = s = s =. (.) 66 E E E E G onde { S }, { } ε e [ ] s são, respecivamene, o veor de ensões, o veor de deformações e a mariz de fleibilidade reduzida da lâmina ororópica, para o esado plano de ensões referenciados aos eios principais. Essa relação pode ser inverida resulando na relação ensãodeformação reduzida:

42 6 σ Q Q 0 ε σ Q Q 0 = ε τ 0 0 Q γ 66 (.3) ou, na forma maricial: { S } [ Q ]{ ε } = (.4) onde [ Q ] é a mariz de rigidez reduzida, com seus coeficienes definidos por: Q Q s = Q = s s s s s s s = Q = 66 ss s s66 s (.5) ou, em ermos das consanes de engenharia: Q E = Q = ν ν ν ν ν E ν E Q = = Q = G 66 νν νν E. (.6) Pode-se observar que o comporameno de uma lâmina ororópica carregada em seu próprio plano, ou seja, sob um esado plano de ensões, é definido por apenas quaro consanes elásicas: E, E, ν e G, além da relação de reciprocidade dada por: ν E ν =. (.7) E Já as relações para o maerial isorópico podem ser obidas simplificando as relações apresenadas para o caso ororópico, como segue: E = E = E, ν = ν = ν e G = G. (.8)

43 7 Logo: s = s =, s E ν = e s ( s s ) E = =. (.9) G 66 E, os ermos da mariz de rigidez reduzida ficam: Q E ν E = Q =, Q = e ν ν Q 66 E = = G. (.30) ν ( + ).4.. Roação da relação ensão-deformação Aé aqui as ensões e as deformações foram definidas no sisema principal de coordenadas do maerial. Enreano, as direções principais do maerial normalmene não coincidem com o sisema de coordenadas que deve ser usado na solução do problema. Além disso, cada lâmina consiuine do laminado possui suas fibras orienadas em uma direção diferene das demais. Enão, para a análise do laminado são necessários dois sisemas de coordenadas: o 0yz e o 03. O sisema global 0yz é usado para definir os parâmeros do laminado, enquano que cada lâmina possui um sisema 03, com os eios orienados nas direções principais de ororopia maerial. Torna-se necessário enão uma relação enre as ensões e as deformações neses dois sisemas de coordenadas. Como a relação ensão-deformação no sisema de coordenadas 03 já foi definida aneriormene, um méodo de ransformação deve ser empregado, obendo assim a relação ensão-deformação no sisema de coordenadas global. Para ano, defini-se a mariz de ransformação [ T r ] como a mariz que eprime a roação de componenes do sisema 0yz para o sisema 03, deerminada pelo ângulo θ, conforme a Fig..6. Esa roação plana é represenada por [Jones, 999; Mendonça, 005]: [ T ] r cosθ senθ = senθ cosθ. (.3) Sendo que a roação é feia em orno do eio z, normal à lâmina, não havendo ransformação nessa direção.

44 8 y 0 θ z 3 Figura.6 Sisemas de coordenadas de uma lâmina. Por eemplo, considerando o veor posição de um pono qualquer na lâmina, definido por { } { } T p = p p nas direções 0yz, suas componenes y { p } { p } T p T são dadas por { p } [ T ] { r p } =. =, nas direções 03, Assim, as componenes de ensões planas se ransformam em uma roação em orno do eio z por: σ τ y cosθ senθ σ τ cosθ senθ τy σ = y senθ cosθ τ σ senθ cosθ (.3) ou [ ] [ ] T r r S = T S T (.33) onde os índices e referem-se aos sisemas de eios 0yz e 03, respecivamene, e T é a ransposa da mariz. Efeuando as operações indicadas nesa equação e eprimindo os ermos das marizes S S e ransformação plana das ensões: em colunas, denoadas por { S } e { S }, em-se a epressão da

45 9 σ cos θ sen θ senθ cosθ σ σ y = senθ cos θ senθcosθ σ τ senθ cosθ senθcosθ cos θ sen θ τ y (.34) ou { S } [ T] { S } = (.35) sendo [ T ] a mariz de ransformação enre os sisemas de coordenadas 0yz e 03, dada por: cos θ sen θ senθ cosθ T = sen θ cos θ senθcosθ. (.36) senθcosθ senθ cosθ cos θ sen θ [ ] na Eq. (.36). A mariz inversa de [ T ], iso é [ T ], é obida simplesmene usando θ em lugar de θ As deformações ransformam-se da mesma maneira que as ensões, desde que a deformação cisalhane γ seja usada em vez da deformação de engenharia γ. Enão: ε ε εy = [ T ] ε. (.37) γ γ y A Eq. (.37) pode ser modificada com o uso da mariz [ R ], definida por: 0 0 R = 0 0. (.38) 0 0 [ ] Pode-se enão fazer:

46 0 ε ε ε = [ R] ε. (.39) γ γ De forma similar, as deformações no sisema 0yz ficam: ε ε εy = [ R] εy. (.40) γ γ y y O uso da mariz [ R ] é apenas uma simples manipulação algébrica, pois enquano a ransformação ensorial só é feia com γ, a lei de Hooke usa a deformação de engenharia γ. Com isso, subsiuindo a Eq. (.39) na Eq. (.3), obém-se: σ ε σ = [ Q][ R] ε τ γ (.4) considerando a Eq. (.37), a Eq. (.4) orna-se: σ ε σ = [ Q][ R][ T] εy τ γ y (.4) e, aplicando a Eq. (.40), a Eq. (.4) fica definida como: σ ε σ = [ Q][ R][ T][ R] εy τ γ y (.43) após, uilizando na Eq (.43) a Eq. (.35), em-se:

47 σ ε y εy [ T] σ = [ Q][ R][ T][ R] τ γ y y σ ε y εy σ = [ T] [ Q][ R][ T][ R] τ γ y y (.44) Porém, comparando-se as definições de [ T ], [ T ], [ R ] e [ R], noa-se que: [ R][ T][ R] [ T] T = (.45) enão, a Eq. (.44) fica: σ ε ε Q Q Q 6 ε T σ y = [ T] [ Q][ T] εy = Q εy = Q Q Q6 εy τ γ γ Q Q Q γ y y y y ou { S } Q { ε } = (.46) que é a relação ensão-deformação reduzida, para o esado plano de ensões, no sisema de coordenadas global 0yz, onde: ( ) Q = Q cos θ + Q + Q sen θ cos θ + Q sen θ ( ) θ θ ( θ θ) Q = Q + Q 4Q sen cos + Q sen + cos 66 ( ) ( ) 4 4 θ ( ) θ θ θ 3 ( ) θ θ ( + ) Q = Q Q Q senθ cos θ + Q Q + Q sen θcosθ Q = Q sen + Q + Q sen cos + Q cos 66 Q = Q Q Q sen cos + Q Q Q senθcos ( ) θ θ ( θ θ) Q = Q + Q Q Q sen cos + Q sen + cos θ (.47) observando que a mariz de rigidez reduzida ransformada Q ij possui ermos em odas suas posições, ao conrário da mariz de rigidez reduzida Q ij que possui alguns ermos nulos; e que depende apenas das quaro componenes de [ Q ], que por sua vez dependem apenas das quaro consanes de engenharia E, E, ν e G. Para a ransformação de deformações, subsiuem-se as Eqs. (.39) e (.40) na Eq. (.37), considerando a Eq. (.45), da seguine maneira:

48 ε ε ε T ε = [ R][ T][ R] εy = [ T] εy. (.48) γ γ γ y y Já a relação deformação-ensão é obida aravés da inversão da Eq. (.46), como segue: ε σ T εy = [ T] [ Q] [ T] σy. (.49) γ τ y y Das Eqs. (.0) e (.3), a relação enre a mariz de fleibilidade reduzida e a mariz de rigidez reduzida é: [ s] [ Q] = (.50) de forma que a Eq. (.49) pode ser reescria como: ε σ σ T εy = [ T] [ s][ T] σ y = [ s] σ y γ τ τ y y y (.5) que é a relação deformação-ensão reduzida; sendo [ s ] a mariz de fleibilidade reduzida ransformada, definida nas direções y da lâmina, com componenes dadas por: ( ) s = s cos θ + s + s sen θcos θ + s sen θ ( ) ( ) s = s sen θ + cos θ + s + s s sen θcos θ = ( ) + ( ) 4 4 = θ + ( + ) θ θ + θ 3 = ( ) θ θ +( ) 3 3 s6 s s s66 senθ cos θ s s s66 sen θcosθ. (.5) s s sen s s sen cos s cos 66 s s s s sen cos s ( ) θ θ ( θ θ) s = s + s 4s s sen cos + s sen + cos s s senθcos θ

49 3.4.3 Teoria Clássica de Laminação Considerando Chrisensen, 005, Jones, 999, e Mendonça, 005, a Teoria Clássica de Laminação consise em um conjuno de hipóeses de ensões e deformações que definem o comporameno mecânico do laminado. Inicialmene, adoa-se para o laminado o conjuno de pressuposos que são comumene conhecidos como hipóeses de Kirchhoff nos esudos de placas, e hipóeses de Kirchhoff-Love nos esudos de cascas. Essas hipóeses gerais de placas e cascas isorópicas, junamene com ouras próprias para maeriais composos laminados, são: a) O laminado consise de lâminas perfeiamene coladas, iso é, sem deslizameno ou deslocameno relaivo. b) A camada de resina que é usada para unir as lâminas é infiniesimalmene fina e não deformável por cisalhameno, significando que os deslocamenos são conínuos aravés das lâminas. c) O laminado é considerado delgado, ou seja, é uma placa ou casca de parede relaivamene fina em relação a uma das dimensões da superfície. Normalmene isso é quanificado, de forma basane arbirária, considerando que o erro na resposa esará na faia de aé 5% em deslocamenos usando a eoria de placa delgada se a relação comprimeno/espessura for maior que 00. d) Como conseqüência dessa hipóese, pode-se usar a chamada hipóese das seções planas. Ela diz que uma linha originalmene rea e perpendicular à superfície que define a geomeria da esruura (a chamada superfície de referência) permanece rea e perpendicular a essa superfície quando o laminado for esendido e fleionado. Como conseqüência γ z = γ yz = 0, onde os eios 0yz esão como na Fig..7. e) Os segmenos normais à superfície de referência são considerados ineensíveis, iso é, êm comprimenos consanes. Isso significa que ε z = 0 em qualquer pono. As hipóeses c, d e e são as mesmas usadas na eoria de Kirchhoff para placas delgadas isorópicas homogêneas. Com essas hipóeses podem ser deduzidas as relações enre as componenes de deslocameno u, u y e w de um pono qualquer C, e as componenes 0 u e de um pono siuado sobre a superfície de referência, como indicado na Fig..7. A hipóese das seções reas implica que o deslocameno do pono genérico C do laminado, nas direções e y, é definido respecivamene por: 0 u y

50 4 0 ( ) = ( ) + ψ ( ) e u (,y,z) u 0 (,y) zψ (,y) u,y,z u,y z,y = + (.53) y y y onde: ψ e ψ y são as inclinações da normal à superfície média nas direções e y no pono (,y ) da superfície de referência, respecivamene.,u 0 z,w A D y,u y z Figura.7 Geomeria da deformação da placa no plano z [Jones, 999]. z c A B C D seção ransversal indeformada 0 u C D B A 0 w ψ ψ z ψ seção ransversal deformada c Para uma placa de maerial composo orna-se necessário que a análise leve em cona simulaneamene os efeios de fleão e de membrana. Isso se faz a parir das Eqs. (.53), onde 0 u e 0 u y são as parcelas de deslocameno de membrana, uniformes ao longo da espessura, enquano os ermos fleão. zψ e zψ y são os deslocamenos coplanares, variáveis com z, associados à Como superfícies planas e perpendiculares à superfície de referência, considerando a configuração indeformada, permanecem planas após a deformação e sofrem apenas uma roação, em-se que: ψ w = e ψ y w =. (.54) y Dessa forma as rês componenes de deslocameno se relacionam aos deslocamenos e roações na superfície de referência por:

51 ( ) w,y 0 u(,y,z) = u(,y) z ( ) w,y 0 uy(,y,z) = uy(,y) z y ( ) w(,y) w,y,z 5 (.55) (.56) = (.57) sendo que a Eq. (.57) é conseqüência da ineensividade do segmeno normal. Agora, considerando a hipóese de que as deformações e roações são relaivamene pequenas, as relações deformação-deslocameno são: ε ε u = (.58) u y y = (.59) y γ y u y = + u y (.60) εz = γ z = γ yz = 0 (.6) e, subsiuindo os deslocamenos das Eqs. (.55), (.56) e (.57) em (.58), (.59) e (.60) obém-se: γ y ε ε ( ) ( ) 0 = z u,y w,y ( ) ( ) u,y w,y 0 y y = z y y 0 ( ) u (,y) ( ) 0 u,y y w,y = + z y y ; (.6) ; (.63). (.64) Fisicamene, o primeiro ermo à direia da igualdade em cada componene de deformação em um significado próprio, diferene do segundo. Definem-se enão as deformações de membrana { ε 0 } como as deformações coplanares da superfície de referência. Esas deformações 0 0 se relacionam aos deslocamenos de membrana ( y ) u,u,w por:

52 6 0 ε 0 u 0 0 y = εy = 0 y γ y 0 0 u u y { ε } 0 u. (.65) + y Já o segundo ermo caraceriza ouro ipo de comporameno, a fleão da superfície de referência. Definem-se enão as curvauras da superfície de referência { κ } como: { κ} w κ w = κy =. (.66) y κ y w y Porano, a curvaura quanifica a fleão da superfície de referência e a deformação de membrana indica a eensão ou conração da superfície de referência. Considerando as Eqs. (.65) e (.66), as Eqs. (.6), (.63) e (.64) podem ser reescrias como: 0 ε ε κ 0 εy = εy + z κy 0 γ γ κ y y y ou { ε} { ε 0 } z{ κ} = +. (.67) Subsiuindo a equação da variação da deformação aravés da espessura de um laminado, Eq. (.67), na relação ensão-deformação de uma lâmina, Eq. (.46), as ensões em uma deerminada lâmina k podem ser epressas em ermos das deformações e curvauras da superfície média como: 0 σ Q Q Q 6 ε κ 0 σ y = Q Q Q6 εy + z κy 0 τ y Q k 6 Q6 Q 66 γ k y κ y (.68)

53 sendo que os valores de { ε 0 } e { κ } são consanes ao longo da espessura do laminado, ou seja, independenes do número k de ordem da lâmina. Enreano, cada lâmina k possui suas propriedades elásicas próprias represenadas por k 7 Q. Assim cada lâmina desenvolve ensões próprias diferenes das demais lâminas, conforme suas propriedades elásicas e a sua coa z. As deformações variam de forma conínua e linear ao longo de z. As ensões, por sua vez, podem er variação desconínua aravés das inerfaces enre as lâminas. Isso se deve à variação brusca das propriedades elásicas enre uma lâmina e oura. Denro de cada lâmina as ensões ainda variam linearmene, como ilusrado na Fig..8. z 3 4 Laminado Disribuição de deformações Disribuição de ensões Figura.8 Disribuição de deformações e ensões em um laminado [Jones, 999]. Os esforços no laminado são obidos pela inegração das ensões em cada lâmina aravés da espessura do laminado, como: N σ h N y = σ h y h ou { N} { } dz N τ y y M σ h M y = σ h y zdz M τ y y = S dz (.69) h h ou { M} { } = S zdz (.70) h onde { N } e { M } são os esforços normais e de momeno por unidade de comprimeno ao longo de uma aresa de um elemeno diferencial de placa, paralelos ao eio e y. As orienações posiivas das forças e momenos são represenadas na Fig..9(a) e.9(b), respecivamene, e h é a espessura oal do laminado.

54 8 y N y z N y N y N (a) y M y z M y M y M (b) Figura.9 Forças (a) e momenos (b) num elemeno diferencial de um laminado plano [Jones, 999]. A inegral ao longo da espessura nas definições de forças resulanes, Eqs. (.69) e (.70), pode ser subsiuída por um somaório de inegrais ao longo da espessura de cada lâmina: N σ dz (.7) n zk Ny = σ y k= zk N y τ y k M σ zdz (.7) n zk M y = σ y k= zk M y τ y k onde z k e zk são definidos de acordo com a geomeria do laminado, apresenada na Fig..0, e n é o número oal de lâminas. Considerando as relações ensão-deformação, Eq. (.68), as Eqs. (.7) e (.7) ornam-se: 0 N Q n Q Q 6 ε κ zk z 0 k Ny = Q Q Q6 εy dz+ κy zdz zk z k= k 0 N y Q6 Q6 Q 66 γ k y κ y (.73) 0 M Q n Q Q 6 ε κ zk z 0 k M y = Q Q Q6 ε y zdz+ κy zdz zk z k= k 0 M y Q6 Q6 Q 66 γ k y κ y (.74)

55 9 h z 0 z z Superfície média h k z zk h k zk zn zn n Lembrando que { ε 0 } e { κ } não são funções de z, enão realizando as inegrações e os somaórios, em-se que: Número da lâmina Figura.0 Geomeria de um laminado com n lâminas [Jones, 999]. 0 N A A A6 ε B B B6 κ 0 N y = A A A6 εy + B B B6 κy 0 N A A A γ B B B κ y y y 0 M B B B6 ε D D D6 κ 0 M y = B B B6 εy + D D D6 κy 0 M B B B γ D D D κ y y y (.75) (.76) onde: n ( ) ( ) A = Q z z (.77) ij ij k k k k= n B = ( Q ) ( z z ) (.78) ij ij k k k k= n 3 3 D = ( Q ) ( z z ). (.79) ij ij k k k 3 k= E, definindo h k como a espessura da lâmina k, pode-se demonsrar que as Eqs. (.77), (.78) e (.79) são equivalenes a:

56 30 n ( ) A = Q h (.80) ij ij k k k= n ( ) B = Q hz (.8) ij ij k k mk k= n 3 h k Dij = ( Qij) hz k k mk + k= (.8) onde i,j =,,6 e z mk é a coa da superfície média da lâmina k, que é a disância da sua superfície média aé a superfície de referência do laminado, definida por: z mk z + k zk =. (.83) As Eqs. (.75) e (.76) podem ainda ser descrias em noação compaca como: [ A] [ B] [ B] [ D] 0 0 N ε ε = = [ C] M κ κ (.84) sendo [ A ] a mariz de rigidez eensional, [ B ] a mariz de rigidez de acoplameno enre fleão e eensão e [ D ] a mariz de rigidez à fleão. As marizes [ A ], [ B ] e [ D ] são siméricas. Caso o laminado seja simérico em relação à superfície de referência, não eisirá acoplameno enre a eensão e a fleão, ou seja, [ B] = [ 0] para esa siuação. A mariz [ C ] é a mariz de rigidez complea do laminado (o significado físico de seus ermos esá apresenado na Fig..). acoplameno cisalhameno-eensão acoplameno fleão-eensão 0 N A A A6 B B B6 ε 0 N y A A A6 B B B6 ε y 0 Ny A6 A6 A66 B6 B6 B66 γ y = M B B B D D D 6 6 κ M y B B B D D D 6 6 κ y M B B B D D D κ y y acoplameno fleão-eensão acoplameno fleão-orção Figura. Significado físico dos ermos de rigidez nas forças e momenos resulanes.

57 3 As unidades, no Sisema Inernacional, envolvidas na Eq. (.84) são: { N } em N m ; { M } em N ; { ε 0 } em m m ; { κ } em m ; [ A ] em N m ; [ ] B em N ; e [ ] D em Nm. É imporane ressalar que, considerando Jones, 999, e Mendonça, 005, em razão das hipóeses de Kirchhoff, a Teoria Clássica de Laminação (TCL) apresena algumas limiações. Por definição, as ensões ransversais σ z, τ z e τ yz, ambém chamadas de ensões inerlaminares, são consideradas nulas na TCL. De fao essas ensões não são nulas, e assumem valores nas inerfaces das lâminas nos composos. Essas componenes de ensão são responsáveis por um dos modos de falha mais imporanes e freqüenes em laminados, a delaminação. Fisicamene, uma das causas dessas ensões consise na diferença abrupa de propriedades elásicas enre lâminas adjacenes. O efeio dessas ensões sobre laminados é, enão, muio mais imporane que sobre placas e cascas homogêneo-isorópicas. Nos composos, o módulo de elasicidade das resinas poliméricas em um valor muio inferior ao módulo da fibra e mesmo do laminado como um odo. Uma vez que é a resina que ransmie os esforços inernos, o efeio do cisalhameno no laminado é o efeio somado das conribuições de cada região inerlaminar ao longo da espessura. A TCL ambém supõe uma disribuição linear de deslocamenos coplanares ao longo da espessura, conrariamene aos resulados analíicos obidos por eorias mais sofisicadas. A TCL supõe ainda um esado plano de ensões nas relações consiuivas, o que impede um cálculo preciso das ensões inerlaminares. Conforme Fagundes, 00, denre as eorias de laminação eisenes, pode-se ciar a eoria de ala ordem de Reddy e as eorias zig-zag (de primeira ordem e de ala ordem) como eorias capazes de represenar eses efeios. Porém, Mahews e al., 003, afirma que ais limiações são imporanes em placas espessas, e que em placas delgadas a TCL pode ser uilizada de maneira saisfaória..4.4 Casos especiais de laminados Como viso aneriormene, a relação ensão-deformação em um laminado raduz-se por uma relação esforços-deformações dada pelas Eqs. (.80), (.8), (.8) e (.84). Uma grande parcela dos laminados consruídos possui algum ipo de regularidade na seqüência das lâminas, propriedades, espessuras e orienações. Para esses casos podem ser feias simplificações nas epressões das marizes de rigidez, como mosrado a seguir [Jones, 999; Mendonça, 005].

58 Laminado monolâmina De cera forma, o laminado mais simples é aquele que consise de apenas uma lâmina. Essa lâmina pode ser isorópica, ororópica ou ororópica oblíqua. No laminado de uma lâmina isorópica são válidas as igualdades apresenadas na Eq. (.8), sendo enão a mariz de rigidez da lâmina no sisema principal dada por: E ν E 0 ν ν ν E E Q = 0. (.85) ν ν 0 0 G [ ] Como o maerial é isorópico, a mariz de rigidez roacionada deve ser igual à mariz original, iso é, Q = [ Q]. Enão, a mariz de rigidez do laminado pode ser epressa como: [ C] a ν a ν a a ( ν ) a = d νd ν d d 0 ( ν ) d (.86) 3 onde: a = Eh ( ν ) e d Eh ( ν ) =, que são os valores da consane de rigidez eensional e fleural de uma placa isorópica. Já para o caso do laminado de uma lâmina ororópica, as fibras são orienadas na direção de. Como 0 θ =, a mariz de rigidez é Q = [ Q], e a rigidez do laminado é dada por:

59 33 Q h Q h Qh Qh Q66 h Qh Qh C =. (.87) 3 3 Qh Qh Q66h [ ] E, para o laminado de uma lâmina ororópica angular as fibras fazem um ângulo θ com o eio. Como conseqüência, a mariz de rigidez roacionada Q da lâmina é uma mariz cheia, definida pela Eq. (.47), ficando enão a rigidez do laminado da seguine forma: Qh Qh Q6h Qh Qh Q6h Q6h Q6h Q66h Qh Q Q h h 6 C = (.88) Qh Q h Q6h Q6h Q6h Q66h [ ].4.4. Laminado simérico Um laminado simérico é aquele em que as várias lâminas são empilhadas de al forma a garanir simeria de geomeria (espessuras e orienações) e de propriedades mecânicas em relação à superfície de referência. Uma conseqüência dessa simeria é a ausência de acoplameno membrana-fleão, que se raduz pela mariz [ B ] nula. Os dois ipos possíveis de laminados siméricos são: os laminados siméricos com número ímpar e os com número par de lâminas, mosrados na Fig...

60 34 y z 3 (a) 3 4 (b) superfície média Figura. Laminado simérico com números ímpar (a) e par (b) de lâminas. A simeria do laminado (a) significa que Q = Q, h = h3, o que implica zm = zm3 3 e z zm = 0. No laminado (b) em-se que m = zm4, zm zm3 Q = Q, 4 3 Q = Q, h = h4, h = h3, =. Em ambos os casos essas relações implicam em [ B] [ 0] = Laminado cruzado-simérico Traa-se de um caso paricular onde as lâminas ororópicas são empilhadas alernadamene com o eio principal orienado a 0 e 90 em relação a, de forma simérica em relação à superfície de referência. Uma vez que odas as lâminas êm o eio formando ângulos de 0 ou 90 com, as Eqs. (.47) mosram que Q6 = Q6 = 0. Como conseqüência, A6 = A6 = D6 = D6 = 0 no laminado. As marizes de rigidez [ A ] e [ D ] erão cada uma, apenas quaro ermos não nulos. Se odas as lâminas possuírem espessuras e propriedades idênicas, alernando-se em 0 e 90, êm-se o laminado cruzado simérico regular. Um laminado desse ipo em necessariamene um número ímpar de lâminas. Um laminado cruzado regular com um número par de lâminas não é simérico. É usual na lieraura a noação [ 0 /90º /0 ], por eemplo, para indicar as orienações das lâminas Laminado simérico angular Aqui se considera o laminado formado por lâminas ororópicas, cada uma com sua própria espessura e ângulo θ k, porém empilhados de forma a garanir a simeria. Essa simeria assegura a ausência do acoplameno eensão-fleão, [ B] = [ 0], mas maném o acoplameno enre os esforços normais e cisalhanes. Isso se raduz por A 6, A 6, D 6 e D 6 não-nulos. Uma classe especial de laminados siméricos é a dos laminados siméricos regulares, na qual odas as lâminas êm espessuras idênicas, e em orienações idênicas e alernadas, na forma [ θ / θ / θ] + +.

61 35 Para laminados siméricos angulares regulares, iso é, laminados de espessura oal h, com n lâminas idênicas de espessura [ θ / θ / θ] + +, a rigidez é dada por: h k, com n ímpar, com orienações alernadas do ipo h Qh Qh Q n h Qh Qh Q n h h Q6 Q6 Q66h n n C h 3n Q n 3 3 Q ( ) h Qh n 3 3 h 3 ( 3n Q ) 6 h ( 3n ) Q6 Q66 h n n [ ] = Q h Q h ( ) 6 3 h 3n Q6. (.89) Laminado ani-simérico Freqüenemene procura-se a simeria do laminado de forma a conseguir eliminar o acoplameno eensão-fleão. Em algumas aplicações se busca um laminado ani-simérico jusamene para garanir sua orção após a cura, previamene à uilização, como no caso de lâminas de venilador, por eemplo. Um laminado ani-simérico geralmene em as marizes de rigidez com apenas uma simplificação, que é a nulidade dos ermos A 6, A 6, D 6 e D 6. Para facilidade de fabricação e análise o laminado ani-simérico pode ser regular, iso é, er odas as lâminas idênicas, empilhadas em ângulos iguais + θ e θ alernadamene, com n par, formando um laminado do ipo [ θ / θ / θ / θ] + +. E, a rigidez desse ipo de laminado é:

62 36 Q6h Qh Qh n Q6h Q h Q h n 0 0 Q66h C = 3 3 Qh Qh. (.90) Qh Qh Q6h Q6h Q66 h n n [ ]

63 37 3. MATERIAIS PIEZELÉTRICOS 3. Inrodução A piezelericidade é definida como a ineração linear enre o esado mecânico e o esado elérico em crisais sem cenro de simeria. Em ouras palavras, a piezelericidade é a propriedade que ceros maeriais crisalinos apresenam de desenvolver elericidade quando submeidos à pressão; sendo enão denominados de maeriais piezeléricos [Chopra, 00; Gauschi, 00]. Uma esruura crisalina não-cenrossimérica é aquela em que o crisal possui um arranjo onde o íon que se siuava no cenro da esruura crisalina se desloca formando um novo arranjo, como pode ser observado na Fig. 3.. Ese novo arranjo esará em equilíbrio para deerminados valores de emperaura, campo elérico, campo magnéico e esforços mecânicos aplicados eernamene, sendo que pode ser desfeio ou alerado para valores acima dos olerados (coercividade). Esa assimeria pode ser naural ou uma propriedade de fabricação do maerial. Enão, por não ser cenrossimérica, a esruura apresena uma polarização esponânea ou remanescene, que lhe confere o caráer piezelérico [Cardoso, 005]. + (a) (b) Figura 3. Esruura crisalina cenrossimérica (a) e não-cenrossimérica (b) [Cardoso, 005]. Os maeriais piezeléricos podem ser empregados em diferenes áreas, como: insrumenações médicas, conrole de processos indusriais, aplicações eléricas domésicas, enre ouras. De uma maneira geral, as aplicações dos maeriais piezeléricos são divididas em quaro caegorias: geradores, sensores, auadores e ransduores [Tjipoprodjo, 005].

64 38 3. Efeios piezeléricos Eisem dois ipos de efeios piezeléricos: o direo e o inverso. O efeio piezelérico direo ocorre quando uma deformação mecânica do maerial piezelérico produz uma mudança proporcional na polarização elérica desse maerial, iso é, cargas eléricas surgem no maerial piezelérico quando ese é soliciado mecanicamene. Já no efeio piezelérico inverso uma ensão mecânica proporcional é induzida quando um campo elérico eerno aua no maerial piezelérico, ou seja, o maerial é deformado quando uma volagem é aplicada [Gauschi, 00]. Os efeios piezeléricos podem ser considerados como ransferências enre as energias elérica e mecânica do maerial. Esas ransferências somene podem ocorrer se o maerial é composo de parículas carregadas e se o mesmo for polarizável [Piefor, 00]. Essa reciprocidade enre as energias mecânica e elérica propicia aos maeriais piezeléricos uma grande aplicabilidade em diferenes áreas, como já foi ciado; desacando-se como auadores e sensores em esruuras ineligenes [Lima Jr., 999; Piefor, 00]. Para essa função, é possível desacar duas classes de maeriais piezeléricos: os cerâmicos e os polímeros. O melhor maerial piezocerâmico conhecido é o PZT Lead Zirconae Tianae (Tianao e Zirconao de Chumbo); possui uma deformação recuperável de 0,% e é amplamene empregado em auadores e sensores. Os piezopolímeros são comumene uilizados como sensores; sendo o PVDF Polyvinylidene Fluoride (Fluoreo de Polivinilideno) o mais usado [Piefor, 00]. 3.3 Maeriais dieléricos e polarização Chee, 000, afirma que quando um campo elérico é aplicado em um maerial, rês possíveis resposas podem aconecer, dependendo das propriedades eléricas dese maerial. A correne elérica pode fluir livremene devido à presença de parículas livres carregadas no maerial (elérons livres no caso de meais) que se movimenam facilmene sob a influência do campo elérico. Eses maeriais, que incluem a maioria dos meais, são chamados de conduores. Oura possibilidade é que a correne elérica flua somene em ceras condições, quando alguns elérons denro do maerial recebam energia suficiene para superar a energia de coesão local. Eses maeriais são conhecidos como semiconduores. E, finalmene, a siuação em que nenhuma correne elérica flua no maerial, pois não eisem parículas livres carregadas denro do maerial para conduzir a correne. Eses maeriais são os dieléricos, comumene conhecidos como isolanes. São esruuras composas por sensores e auadores conecados a um conrolador que analisa as resposas dos sensores e usando uma eoria de conrole, comanda os auadores de forma a aplicar deformações/deslocamenos que aleram a resposa do sisema [Chopra, 00].

65 39 Embora os maeriais dieléricos não conduzam correne elérica, eles podem ser polarizados sob a influência de um campo elérico eerno aplicado. Em seu inerior os dieléricos possuem cargas residuais que surgem pelo simples fao de que oda maéria consise de parículas subaômicas que são carregadas (próons e elérons). Alguns dieléricos são feios de moléculas polares nas quais, devido à geomeria, uma eremidade possui uma quanidade de cargas posiivas ligeiramene maior, enquano que a oura eremidade apresena uma quanidade levemene maior de cargas negaivas, embora a molécula em si seja neura. Tais moléculas possuem um momeno de dipolo e são ambém conhecidas como dipolos eléricos. Enreano, como as moléculas são orienadas de forma randômica no maerial (ver Fig 3.(a)), macroscopicamene o maerial ambém é neuro. Porém, quando um campo elérico eerno é aplicado, odas as moléculas polares irão se alinhar na direção do campo e o maerial é dio esar polarizado (ver Fig. 3.(b)). (a) Figura 3. Maerial dielérico não-polarizado (a) e polarizado (b) [Tjipoprodjo, 005]. (b) Para dieléricos formados por moléculas não-polares, não eisem momenos de dipolo inrínsecos. Mas a aplicação de um campo elérico eerno modifica a disribuição de cargas em cada molécula de al forma que momenos de dipolo são induzidos. Em ouras palavras, se as moléculas são polares ou não-polares, a presença de um campo elérico eerno irá polarizar o maerial aravés do alinhameno dos dipolos eléricos. De acordo com Piefor, 00, em uma análise unidimensional, a carga elérica que surge enre duas placas paralelas de maerial conduor, separadas por vácuo, esá relacionada com a volagem aplicada aravés da capaciância do sisema: C 0 Q = (3.) φ 0

66 40 sendo: C 0 a capaciância, Q a carga elérica e φ 0 a volagem aplicada. Subsiuindo o vácuo por um maerial dielérico e, ao mesmo empo, eliminando a fone elérica, uma volagem φ < φ0 é observada (eperimeno de Faraday, 837). A carga elérica oal nas placas permanece inalerada, o que implica em um aumeno da capaciância do sisema C = Q φ > C0 = Q φ0. A capaciância esá relacionada com a superfície das placas e com a disância enre elas por: Ω = (3.) d C 0 ξ 0 sendo: 0 9 ξ a permissividade do vácuo igual a ( π ) 36 0 F m, Ω a superfície das placas e d a disância enre elas. Similarmene, para um maerial dielérico ideal C = ξω d, o que conduz a uma relação enre as permissividades do dielérico e do vácuo com: r 0 0 ( ) ξ = ξξ = ξ + χ (3.3) onde: ξ é a permissividade absolua do dielérico, suscepibilidade elérica. ξ r a permissividade relaiva e χ a Para eplicar o eperimeno de Faraday deve-se considerar a hipóese de que a polarização em um maerial dielérico ideal é induzida somene pelo campo elérico aplicado. Enão, aplicando uma volagem φ 0 um campo elérico E é induzido e a carga que surge é: ± Q =± ςω (3.4) sendo: ς a densidade de carga na superfície. Quando o maerial dielérico é inserido, ele é polarizado pela ação do campo elerosáico. Dois ipos de cargas podem ser observados (ver Fig. 3.3): cargas livres Q e cargas de conorno Q.

67 4 Q Q E dielérico Figura 3.3 Cargas em um capacior plano carregado [Piefor, 00]. As cargas de conorno são compensadas localmene pelas cargas de polarização denro do dielérico, e por isso somene as cargas livres conribuem para a volagem como: φ Q Q Q C ξ C C = = =. (3.5) r 0 0 A carga oal é dada por: Q Q = Q + Q = + Q ξ r ξr. (3.6) Quando o maerial dielérico é polarizado, o alinhameno dos dipolos eléricos produz uma densidade de carga equivalene, que afea o campo elérico, e é dada por: ς ς = + ς ξ r ξr. (3.7) Enão, define-se que: D = ς (3.8) é o deslocameno elérico;

68 4 P = ς ξr (3.9) é a polarização; e φ Q ς ς E = = = = (3.0) d ξ C d ξξ ξ r 0 r 0 é o campo elérico, que conduz a: D = ξ E = ξ E + P (3.) 0 e ( ) P = ξ ξ E = ξχe. (3.) 0 0 Porano, analogamene ao que foi eplicado para o caso unidimensional e considerando Chee, 000, e Andrade, 006, para o caso ridimensional em-se que os veores polarização e deslocameno elérico são, respecivamene, definidos como: P = ξχe (3.3) i 0 ij j ( ) D = ξ E + P = ξ + χ E = ξ E. (3.4) i 0 j i 0 ij j ij j sendo i,j =,,3 as direções Caresianas,y,z respecivamene. 3.4 Equações consiuivas piezeléricas 3.4. Piezelericidade unidimensional Com base no eposo aneriormene, e de acordo com Cardoso, 005, a piezelericidade é um ipo específico de acoplameno eleromecânico observado em maeriais dieléricos (isolanes polarizáveis) que apresenam esruura crisalina não-cenrossimérica.

69 43 Segundo Piefor, 00, considerando um meio dielérico unidimensional, na ausência de ensões, o deslocameno elérico D (carga por unidade de área, epresso em Cm) esá relacionado ao campo elérico E (V m) e à polarização P ( Cm) pela Eq. (3.). Analogamene, um corpo elásico unidimensional colocado em um campo elérico nulo, a ensão S ( N m ) e a deformação ε ( m ) esão relacionadas por: S = Cε (3.5) onde: C ( N m) é a rigidez do maerial (módulo de Young). Para um maerial piezelérico as equações consiuivas esão acopladas. Uma deformação ε no maerial induz uma polarização eε aravés do efeio piezelérico direo. A polarização oal induzida é definida como: ( ) P = ξ ξ E+ eε. (3.6) 0 E, de maneira recíproca, um campo elérico E aplicado ende a alinhar os dipolos inernos, induzindo uma ensão ee no maerial aravés do efeio piezelérico inverso. Porano, as equações acopladas são: E S Cε ee = (3.7) ε D= eε + ξe. (3.8) Na Eq. (3.7), a consane piezelérica e relaciona a ensão S ao campo elérico E na ausência de deformação mecânica e E C refere-se à rigidez quando o campo elérico é consane. Já na Eq. (3.8), e relaciona a carga elérica por unidade de área D com a deformação ε em um campo elérico nulo (elerodos em curo-circuio); e é epresso em NV m ou permissividade em deformação consane. Cm; e ε ξ é a As Eqs. (3.7) e (3.8) são a base para a formulação das equações de auadores e sensores piezeléricos, respecivamene.

70 Equações consiuivas eleromecânicas via ermodinâmica Para maeriais que não são piezeléricos, o comporameno mecânico e o comporameno elérico são independenes um do ouro. Porém, para maeriais piezeléricos, os comporamenos mecânico e elérico esão acoplados, onde as variáveis mecânicas de ensão, { S }, e de deformação, { ε }, esão relacionadas enre si e ambém com as variáveis eléricas (campo elérico, { E }, e deslocameno elérico, { D } ). Esas equações consiuivas acopladas podem ser enendidas empiricamene como uma combinação linear dos efeios puramene mecânicos ou puramene eléricos com o efeio piezelérico [Chee, 000]. Sabe-se que cargas eléricas em maeriais polares podem ser induzidas, por eemplo, aravés de um campo elérico eerno, por ensão mecânica ou por aleração de emperaura. De forma similar, a deformação em maeriais piezeléricos pode ser induzida pela presença de um campo elérico, pela aplicação de ensão mecânica ou por variação de emperaura. Assim, o acoplameno de diferenes fenômenos deve ser represenado de forma coerene; podendo ser obido por meio de relações ermodinâmicas. Como resulado, são definidas equações de esado que relacionam parâmeros maeriais deerminados sob diferenes condições eperimenais [Cardoso, 005]. A ermodinâmica permie descrever o comporameno de sisemas com muios graus de liberdade (moléculas, parículas, ec.) após eses erem alcançado um esado de equilíbrio ermodinâmico. A imporância desa abordagem consise no fao de que embora o sisema conenha um número considerável de graus de liberdade em movimeno caóico, pode-se descrever o seu esado por meio de um número finio de parâmeros, que são geralmene chamados de variáveis de esado. Em geral, podem-se uilizar diferenes parâmeros para descrever o esado ermodinâmico de um deerminado sisema, mas apenas alguns são independenes. As relações funcionais enre as variáveis de esado são chamadas de equações de esado. Esas relações funcionais são imporanes, pois reduzem o número de variáveis que devem ser uilizadas para descrever ermodinamicamene um sisema. Eisem vários eemplos de ais relações, enre eles a lei dos gases ideais e a lei de Hooke [Cardoso, 005]. De acordo com Cardoso, 005, e Piefor, 00, é possível epressar a mudança de energia inerna du em um maerial dielérico elásico, submeido a variações nos campos de deformação ε, deslocameno elérico D, enropia e densidade de fluo magnéico B como: du = Sdε + EdD + Θd + HdB (3.9) ij ij i i i i

71 45 onde U é a energia inerna, S ij é o segundo ensor de ensão de Piola-Kirchhoff, ε ij o ensor de deformação de Green, E i o veor campo elérico, D i o veor deslocameno elérico, 0 Θ = Θ + θ a emperaura ( Θ 0 a emperaura de referência e θ Θ0, uma pequena variação de emperaura), a enropia, H i o veor campo magnéico e B i o veor densidade do fluo magnéico. A Eq. (3.9) apresena a equação ermodinâmica complea, abrangendo os efeios mecânicos, eléricos, érmicos e magnéicos. Enreano, como nese rabalho o foco é a piezelericidade, a influência érmica e a influência magnéica podem ser descaradas [Cardoso, 005; Chee, 000]. Com isso, a Eq. (3.9) orna-se: du = Sdε + EdD. (3.0) ij ij i i A energia inerna U ( ε,d) da Eq. (3.0) é um poencial ermodinâmico e é uma função das variáveis de esado deformação mecânica e deslocameno elérico. Ouros conjunos de variáveis de esado podem ser mais convenienes de acordo com a análise que se deseja desenvolver. Aravés da ransformação de Legendre (procedimeno aplicado quando se orna úil passar de um poencial ermodinâmico para ouro), a função de energia livre, conhecida como enalpia elérica ou funcional de Gibbs é definida por [Cardoso, 005; Chee, 000]: G = U ED. (3.) i i Diferenciando a Eq. (3.) e considerando a Eq. (3.0), é obida a epressão para a variação do funcional de Gibbs como: dg = Sdε DdE. (3.) ij ij i i Parindo da Eq. (3.), é possível definirmos a ensão mecânica e o deslocameno elérico como: ij ( ε ) S,E i ( ε ) D,E E G = ε ij ε G = Ei (3.3) (3.4)

72 46 onde as variáveis sobrescrias indicam que as mesmas são manidas consanes na derivada. Como a ensão e o deslocameno elérico são funções das variáveis de esado, suas derivadas oais podem ser epressas como [Cardoso, 005; Chee, 000; Piefor, 00]: E ds ( ε,e) S d S de ij ij ij = εkl + m εkl Em E D D dd ( ε,e) = dε + de i i i kl m εkl Em ε ε (3.5) (3.6) sendo esas as equações consiuivas piezeléricas acopladas eleromecanicamene; onde cada derivada parcial corresponde a uma relação consiuiva, como segue: S ij E m piezelericidade inversa; Di piezelericidade direa; ε kl Di E m S ε ij kl permissividade. elasicidade; Torna-se enão possível provar a equivalência enre o efeio piezelérico direo e o efeio piezelérico inverso. Da Eq. (3.6) define-se o efeio piezelérico direo por: e ijm E D m G = = ε E ε ij m ij (3.7) e o efeio piezelérico inverso, considerando a Eq. (3.5): e ε Sij G ijm = = E m ε ij E m. (3.8) Enão, comparando-se as Eqs. (3.7) e (3.8), pode-se dizer que: e D Sij. (3.9) Em m ijm = = ε ij Desa forma, baseado nas considerações ermodinâmicas apresenadas e em um comporameno linear, pode-se definir o funcional G como sendo:

73 47 E ε G = Cijklεε ij kl ekijekεij ξijee i j (3.30) C ijkl é o ensor de propriedades elásicas, e kij o ensor de propriedades piezeléricas, ξ ij o ensor de segunda ordem de propriedades dieléricas. Da Eq. (3.30), e com as Eqs. (3.3) e (3.4), as equações consiuivas piezeléricas, são definidas como: S = C ε e E (3.3) E ij ijkl kl kij k D = e ε + ξ E (3.3) ε k kij ij kl k Como em Andrade, 006, e Piefor, 00, com a finalidade de faciliar a visualização das equações consiuivas piezeléricas, empregou-se a noação reduzida que permie escrever os ensores em forma de veores ou marizes, ou seja, ransforma uma noação ensorial em uma noação maricial. A noação reduzida consise em subsiuir os índices ij e kl por p e q, onde i, j, k, l assumem valores, e 3, e os índices p e q assumem valores,, 3, 4, 5 e 6, de acordo com a Tab. 3.. Tabela 3. Noação reduzida ij ou kl p ou q ou ou 3 5 ou 6 Cabe desacar que para as ensões de cisalhameno τ ij e deformações de cisalhameno γ ij foram manidos seus índices originais. Com isso, as Eqs. (3.3) e (3.3) podem ser reescrias como:

74 48 σ C C C C C C ε e e e 3 σ C C C C C C ε e e e 3 E σ 3 C3 C3 C33 C34 C35 C 36 ε 3 e3 e3 e33 = E τ3 C4 C4 C34 C44 C45 C46 γ3 e4 e4 e34 E 3 τ 3 C5 C5 C35 C45 C55 C 56 γ 3 e5 e5 e 35 τ C6 C6 C36 C46 C56 C66 γ e6 e6 e36 ε ε D e e e e e e ξ ξ ξ 3 E 3 D e e e3 e4 e5 e ε 6 ξ ξ ξ = + 3 E γ 3 D 3 e3 e3 e33 e34 e35 e 36 ξ3 ξ3 ξ 33 E 3 γ 3 γ (3.33) (3.34) Piezelericidade linear Segundo Piefor, 00, uma imporane caracerísica dos maeriais piezeléricos em comparação com ouros maeriais ineligenes é seu comporameno linear denro de uma deerminada faia de auação. Na piezelericidade linear, as equações da elasicidade linear são acopladas às equações de carga da elerosáica aravés das consanes piezeléricas. Dessa forma, considerando as Eqs. (3.33) e (3.34), as equações consiuivas podem ser reescrias da seguine maneira: T { S } = E C { } e { E } e (3.35) { } { } e D = e + { E } e (3.36) ou ainda, alerando as variáveis independenes: { } = E s { S } + d T { E } e (3.37) { D } = d { S } + S { E } e, (3.38) { } = D s { S } + g T { D } e (3.39) { E } = g { S } + S { D } b (3.40)

75 49 e { S } = D C { } h T { D } e (3.4) { } { } e E = h + { D } e b (3.4) sendo: { S } o ensor ensão mecânica, { e } o ensor deformação mecânica, { E } o veor campo elérico, { D } o veor deslocameno elérico, [ C ] e [ s ] as marizes das consanes elásicas, [ ] e [ b ] as marizes de consanes dieléricas (com [ b] = [ ] ), [ d ], [ e ], [ g ] e [ ] h as marizes de consanes piezeléricas, os sobrescrios à esquerda D, E, S e ε indicam valores consanes em D, E, S e ε, respecivamene, e o sobrescrio à direia indica que o sisema de coordenadas de referência é o 3. Um elemeno d ij da mariz [ d ] represena o acoplameno enre o campo elérico na direção i e a deformação na direção j, ou seja, ε j = de ij i. As seguines relações enre as consanes elásicas, dieléricas e piezeléricas são verificadas (onde o sobrescrio à direia foi negligenciado para simplificar a represenação das equações): E E D D C s = C s (3.43) [ ] e e S S b = b = I 3 (3.44) D E T [ ] [ ] C = C + e h (3.45) D D T [ ] [ ] s = C d g (3.46) S e T [ d] [ e] = + (3.47) S T [ g] [ h] e b = b (3.48) [ ] = [ ] e d E C (3.49) S [ d] [ g] = (3.50) [ ] = [ ] g h D s (3.5) [ h] [ e] = e b. (3.5)

76 Laminado piezelérico De acordo com Piefor, 00, considera-se aqui uma esruura ipo placa/casca laminada com elemenos de maerial piezelérico, a ela embuidos, coberos por elerodos. As direções do campo elérico, do deslocameno elérico e de polarização são paralelas enre si e normais a eses elemenos piezeléricos, como mosra a Fig elemeno piezelérico 3 E P camada k D Figura 3.4 Placa/casca laminada com elemeno piezelérico embuido. Além das hipóeses da Teoria Clássica de Laminação (apresenadas no iem.4.3), é necessário considerar ambém que: a) O campo elérico e o deslocameno elérico são uniformes aravés da espessura, com direção normal ao plano médio (direção 3), ou seja: 0 { E} = 0 = ( E ) E 3 3 (3.53) 0 { D} = 0 = ( D ) D 3 3. (3.54) b) A piezelericidade é linear para cada camada piezelérica k, sendo os eios piezeléricos principais paralelos aos eios de ororopia esruural; e sendo a direção de polarização a direção 3. Assim, as equações consiuivas para a camada k são:

77 5 T { S } [ Q] { ε } { e } ( E3 ) = σ = Q Q 0 ε e ( E ) k ( D ) { e } { ε } ( ξ ) ( E ) 3 k 33 k 3 k k k σ Q Q 0 e ε 3 τ 0 0 Q γ e 3 3 k 66 k 36 = + ( D ) = { e e e } ε + ( ξ ) ( E ) ε 3 k k 33 k 3 k γ (3.55) (3.56) ] k onde [ Q é a mariz dos coeficienes elásicos da camada k (mariz de rigidez reduzida em relação aos eios das direções principais das propriedades mecânicas da lâmina) Esado plano de ensões em uma lâmina piezelérica Parindo de um pono de visa puramene mecânico para uma única lâmina, ou seja, considerando apenas a relação ensão-deformação, um ângulo de orienação θ k enre os eios maeriais da camada k e os eios esruurais y é definido (ver Fig. 3.5). Ese ângulo é posiivo no senido de para. y σ y τ y z 3 θ k σ Figura 3.5 Sisemas de coordenadas da lâmina e do laminado [Piefor, 00]. Aravés da mariz de ransformação [ T ] definida pela Eq. (.36) a relação enre a ensão e a deformação referenciadas aos eios maeriais (da lâmina k ) com a ensão e a deformação referenciadas aos eios esruurais y (do laminado) são definidas pelas Eqs. (.34) e (.37), respecivamene. Porano, é possível definir a mariz de rigidez Q k em ermos dos eios esruurais, como mosra a Eq. (.46). da lâmina

78 5 Com isso, inroduzem-se enão os ermos de acoplameno piezelérico. O campo elérico esá relacionado com a volagem, aravés da espessura da camada k, por: φ = = (3.57) h k ( E ) E 3 k k k onde: E k é o campo elérico, φ k a volagem (poencial elérico) e h k a espessura da camada k. Considerando as Eqs. (.35), (.37), (.39) e (.40) na equação consiuiva (Eq. (3.55)) para a camada piezelérica k referenciada aos eios maeriais, obém-se, em ermos dos eios globais y: { } [ ] { T } [ ] [ ] [ ] { ε } [ ] { } T S = T S = T Q T T e E. (3.58) k k k k k k k Levando em cona as Eqs. (.46) e (3.57), a Eq. (3.58) orna-se: φ (3.59) { S } = Q { ε } + [ T] { e } T k k k k hk Como apresenado aneriormene, as forças e momenos resulanes que auam sobre um laminado são obidos aravés da inegração da ensão em cada camada aravés da espessura do laminado, como definido pelas Eqs. (.69) e (.70), respecivamene. Enão, aplicando a Eq. (3.59) nas Eqs. (.7) e (.7): obém-se: zk [ I3 ] T φk T e dz (3.60) 0 np N A B ε = + [ ] [ ] { } k M B D κ zi h z k k k= 3 k sendo np o número de camadas piezeléricas, [ I 3 ] a mariz idenidade definida pela Eq. (3.4), z k a coordenada da camada k relaiva ao plano médio (ver Fig 3.6), [ A ], [ B ] e [ D ] as marizes de rigidez de membrana, acoplameno membrana-fleão e de fleão, com seus coeficienes definidos pelas Eqs. (.77), (.78) e (.79), respecivamene. Colocando odos os ermos consanes fora da inegral, o segundo ermo das Eq. (3.60) orna-se:

79 53 [ I ] [ ] [ I ] np np zk 3 T 3 [ ] { } [ ] [ ] { } T + dz T e φ k k = + T e φ k k zk k k k= h z I (3.6) k 3 k= zmk I3 sendo z mk a disância enre o plano médio da lâmina k e o plano médio do laminado (como mosra a Fig. 3.6), definida pela Eq. (.83). z camada k z k z mk z k- plano-médio Figura 3.6 Maerial laminado piezelérico. A oura equação consiuiva, Eq. (3.56), que define o deslocameno elérico da camada k, em ermos dos eios globais y do laminado, orna-se: T φk T ε φk D = { e } [ T] { ε } ξ = { e } [ T] [ I ] zi [ ] ξ h. (3.6) h 0 k k k k k k 3 3 k k κ k Inegrando a Eq. (3.6) em relação à espessura, obém-se: 0 ε κ zk zk z T k k Ddz k = { e } [ T] [ I3] z[ I3] dz ξ k k dz. (3.63) zk zk k zk φ h k Como foi considerado que o deslocameno elérico é uniforme aravés da espessura, pode-se uilizar um valor médio, dado por: ε φ D e T I z I. (3.64) 0 T k k = { } [ ] [ 3] mk[ 3] ξ k k k κ hk

80 54 Enão, de maneira compaca, as equações consiuivas inegradas sobre a espessura de uma esruura ipo placa/casca laminada piezelérica são definidas por: N A B e (3.65) [ ] [ ] [ ] 3 I 3 T e k I 0 np ε = 3 k M φ B D + κ k= zmk 3 e 36 k e T ε φk Dk = { e3 e3 e36} [ T] [ I3] zmk[ I3] ξ k k k. (3.66) κ h 0 k

81 55 4. FORMULAÇÃO INCREMENTAL LAGRANGEANA DO MOVIMENTO 4. Inrodução Em uma formulação linear admie-se que os deslocamenos e deformações sofridos pelo corpo sejam infiniesimais, que a relação consiuiva do maerial seja linear e que suas condições de conorno permaneçam inaleradas sob efeio das ações eernas aplicadas. Iso implica em se poder admiir que a mudança de geomeria da esruura seja desprezível para efeio da avaliação de sua rigidez, e como conseqüência na obenção dos deslocamenos, deformações e ensões. Porano, em ouras palavras, eise uma dependência linear enre a força eerna aplicada sobre o corpo em análise e os deslocamenos por ele sofridos [Marques, 994]. Há, porém, inúmeros casos em que uma análise não linear é indispensável, podendo ser ciadas rês fones principais de não-linearidade: não-linearidade maerial (ocorre quando o maerial possui uma relação consiuiva não-linear), não-linearidade geomérica (surge devido à modificação da geomeria do corpo causada por soliciações mecânicas ou de oura naureza) e não-linearidade nas condições de conorno (originada devido a mudanças nas condições de conorno durane o movimeno do corpo, como ocorre em problemas de conao) [Bahe, 996; Muñoz-Rojas e Duare Filho, 00]. Em uma formulação não-linear geomérica, que será considerada nese rabalho, a mudança da geomeria sofrida pelo corpo é de fundamenal imporância. Também se faz imporane disinguir o ipo ou grau de não-linearidade envolvido no problema que se deseja raar, o qual em geral se enquadra em uma das duas caegorias: grandes deslocamenos, grandes roações, mas pequenas deformações (os deslocamenos e as roações das fibras são grandes, mas a eensão das fibras e a variação do ângulo enre elas são pequenas); ou grandes deslocamenos, grandes roações e grandes deformações (a eensão das fibras e a variação do ângulo enre elas são grandes, e os deslocamenos e roações das fibras ambém são grandes) [Bahe, 996; Marques, 994]. Para a uilização de uma formulação geomericamene não-linear é necessário considerar o movimeno do corpo em relação a um sisema de eios de referência, com o objeivo de deerminar as configurações por ele assumidas para diferenes empos e cargas, desde uma configuração inicial 0 C correspondene ao empo = 0 aé uma configuração final f C, que se deseje ober, em um empo =. Nese procedimeno de discreização no empo, assume-se em f cada insane genérico que odas as variáveis do problema são conhecidas e são requeridos os valores desas variáveis referenes ao empo +. Assim, diferenes configurações vão sendo

82 56 obidas sucessivamene ( 0 C, C,, C, + C, f C). Ese ipo de descrição do movimeno de um corpo é conhecida na mecânica do conínuo como descrição Lagrangeana ou descrição maerial [Marques, 994]. De acordo com Bahe, 996, desacam-se dois ipos de formulação Lagrangeana: a Lagrangeana oal e a Lagrangeana aualizada. A diferença enre elas consise em que na descrição Lagrangeana oal odas as variáveis esáicas e cinemáicas são referidas à configuração inicial do corpo (no empo 0), enquano que na descrição Lagrangeana aualizada adoa-se como referência a úlima configuração calculada, ou seja, a configuração endo como referência a configuração. + é obida 4. Princípio dos deslocamenos viruais Conforme Soriano, 003, o princípio dos deslocamenos viruais define que provocando deslocamenos viruais em um sólido em equilíbrio sob a ação de forças eernas (de superfície e de volume), o rabalho virual eerno dessas forças é igual ao rabalho virual inerno das correspondenes ensões (que quando muliplicadas por elemeno infiniesimal de área, são numericamene iguais às forças inernas). A Fig. 4. mosra um corpo de forma genérica em um sisema esacionário de coordenadas Caresianas, eperimenando movimenos com deslocamenos finios. Podem-se observar rês diferenes configurações assumidas pelo corpo em movimeno, correspondenes à configuração inicial em = 0, e às configurações em e em +. Durane o movimeno ese corpo pode sofrer grandes deslocamenos, grandes roações e grandes deformações, referenciado a um sisema fio de coordenadas Caresianas, e 3. Cabe desacar que o insane de empo ao qual se refere cada variável é indicado por um sobrescrio à esquerda da mesma. Enão, por eemplo, represenam-se as coordenadas de um deerminado pono por, os deslocamenos por u, as áreas de superfície por A. Como a configuração do corpo no insane de empo i i + não é conhecida, as forças aplicadas, as ensões e as deformações devem ser referenciadas a uma configuração de equilíbrio conhecida. Por eemplo, as componenes da força de superfície no insane de empo +, referidas à configuração 0, são represenadas por + f S, onde o sobrescrio esquerdo indica o insane de 0 i empo em que a variável aua e o subscrio esquerdo indica a configuração com respeio à qual a mesma é medida. Uma eceção é feia quando a quanidade em consideração aua na mesma

83 57 configuração em que ela é medida; nese caso é indicado somene o sobrescrio. Como por eemplo, para o ensor de Cauchy, em-se + + τ = τ. ij + ij,, 0 + ( ) P,, P ( 0 0 0,, 3) P (,, 3) ( ) C A, V,, 0 +,, A equação básica a ser resolvida que epressa o equilíbrio do corpo na configuração correspondene ao empo ( A, V) [Bahe, 996; Marques, 994; Teieira, 00]: C C ( A, V) Figura 4. Movimeno de um corpo em um sisema de coordenadas esacionárias. +, usando o princípio dos deslocamenos viruais, é definida por τδ ij + eij dv = R + V (4.) onde: + τ ij são as componenes Caresianas do ensor de Cauchy; δ + eij é o ensor de deformações infiniesimais correspondene aos deslocamenos viruais, dado por: δ u δ u i j δ + eij = j i (4.) com δ ui represenando as componenes do veor de deslocameno virual na configuração + +, que são funções de ( j =,, 3) ; + i j indicando as coordenadas Caresianas do pono maerial no empo + ; + V é o volume no empo + ; e + R epressa o rabalho

84 58 realizado pelas cargas eernas auanes sobre o corpo quando ese é submeido aos deslocamenos viruais δ no empo +, e é definido por: ui (4.3) R= f δu dv + f δu da + + B + + S S + + i i i i V + A sendo: + f B i f i + ; + S as componenes das forças eernas aplicadas, por unidade de volume, no empo as componenes das forças de superfície aplicadas, por unidade de área, no empo + ; + A é a superfície, no empo +, na qual as forças são aplicadas; e δu S i = δ u i calculado na superfície + A. O fao de que a configuração referene ao empo + é inicialmene desconhecida, impõe a necessidade de reescrever a Eq. (4.) de maneira que as grandezas envolvidas sejam referenciadas a uma configuração conhecida, para que uma solução do problema não-linear possa ser obida. Como subsiuos do ensor de ensão de Cauchy e do ensor de deformações infiniesimais no princípio dos deslocamenos viruais, Eq. (4.), medidas apropriadas de ensão e de deformação devem ser empregadas. Conforme Marinkovic, Köpe e Gabber, 005, e Teieira, 00, uma medida de ensão amplamene empregada é o segundo ensor de ensão de Piola-Kirchhoff. Suas componenes Caresianas no insane referenciada à configuração 0, relacionam-se com as componenes Caresianas do ensor de Cauchy por: ρ S = ( i,j,k,l =,,3) (4.4) ρ ij i,k τ kl j,l onde: = ; (4.5) 0 0 i i,k k e 0 ρ e ρ são as massas específicas do maerial nas configurações 0 e, respecivamene. Essa relação enre as massas específicas do corpo nas configurações 0 e é dada por: ρ ρ 0 = de 0F (4.6)

85 59 onde: de F 0 é o deerminane do gradiene de deformação; e deformação, definido como: 0 F é o ensor gradiene de , 0, 0,3 0F , 0, 0, , 0 3, 0 3, = =. (4.7) As componenes do segundo ensor de ensão de Piola-Kirchhoff podem ser uilizadas em relação a ouras configurações. Porano, considerando que auem no insane referenciadas à configuração, usadas na formulação Lagrangeana aualizada. +, podem ser É imporane desacar que o segundo ensor de ensão de Piola-Kirchhoff é função apenas das deformações do maerial e não é afeado pelos movimenos de corpo rígido, sendo, porano, um ensor objeivo. Suas componenes são ensões oais que podem ser calculadas a parir de deformações correnes oais. O ensor de deformação usado com o segundo ensor de ensão de Piola-Kirchhoff é o ensor de deformação de Green-Lagrange, sendo suas componenes Caresianas no empo, referenciadas à configuração inicial, definidas como: ε = ( u + u + u u ) ( i,j,k =,,3). (4.8) 0 ij 0 i,j 0 j,i 0 k,i0 k,j Esa medida de deformação saisfaz as mesmas condições que a correspondene medida de ensão, ou seja, é um ensor simérico e é invariável aos movimenos de corpo rígido. Nese rabalho foi empregada a formulação Lagrangeana aualizada. Em função diso, a Eq. (4.) deve ser epressa da seguine forma [Bahe. 996]: ( ) + Sijδ + εij dv = + R i,j =,,3 V (4.9) onde: + Sij é o segundo ensor de ensão de Piola-Kirchhoff na descrição Lagrangeana aualizada, e é definido como:

86 60 S ρ = ( i,j,k,l =,,3 ), (4.0) ρ + + ij i,k τ + + kl + j,l sendo: ρ ρ + = de F + ; (4.) δ ε + ij é o ensor de deformação de Green-Lagrange correspondene aos deslocamenos viruais, na descrição Lagrangeana aualizada, e é dado por: δ εij = δ ( ui,j + u j,i + uk,i uk,j ) ( i,j,k =,,3) ; (4.) V é o volume no empo ; e + R epressa o rabalho virual eerno e é definido pela Eq. (4.3). O ensor gradiene de deformação na descrição Lagrangeana aualizada, usado na Eq. (4.), é definido por [Bahe, 996; Marinkovic, Köpe e Gabber, 005]: u u u u u u F = = u u u (4.3) com represenando o incremeno da variável de ineresse enre duas configurações sucessivas. Na análise dinâmica, deve-se incluir um ermo do lado esquerdo da Eq. (4.9) que represene as forças de inércia dado por: + ρ + u iδu + i dv + V (4.4) onde a aceleração é definida como:

87 6 ui u i =. (4.5) 4.3 Equação incremenal do movimeno A Eq. (4.9) deve enão ser desenvolvida com o objeivo de ober-se a equação incremenal do movimeno de um conínuo em uma forma aproimada [Bahe, 996; Teieira, 004; Zhang, Lu e Kuang, 998]. Para isso as ensões devem ser epressas da seguine maneira: S = τ + S (4.6) + ij ij ij onde: τ = S ; e S ij é a ensão incremenal referenciada à configuração. ij ij E as deformações devem ser definidas como: ij ij ij ij ij ij ( ) + ε = ε + ε = ε = e + η i,j =,,3 (4.7) sendo: ε ij = 0 ; e ij a deformação incremenal linear referenciada à configuração, dada por: e = ( u + u ) ( i,j =,,3) ; (4.8) ij i,j j,i e η a deformação incremenal não-linear referenciada à configuração, dada por: ij η = u u ( i,j=,,3). (4.9) ij k,i k,j Enão, subsiuindo as Eqs. (4.6) e (4.7) na Eq. (4.9), obém-se a equação do movimeno em ermos de decomposições incremenais, como segue: + ij ij ij ij ij ij V V V ( ) S δ ε dv + τδ η dv = R τ δ e dv i,j =,,3. (4.0) A equação do movimeno é enão linearizada considerando a relação consiuiva como sendo:

88 6 ij ijrs rs ( ) S = C e i,j,r,s =,,3 (4.) onde: C ijrs é o ensor de propriedades do maerial incremenal na configuração. Na Eq. (4.) foi considerada a aproimação δ εij = δ eij. Sendo assim, a equação do movimeno pode ser reescria como: + ijrs rs ij ij ij ij ij V V V ( ) C e δ e dv + τδ η dv = R τδ e dv i,j,r,s=,,3. (4.) 4.3. Maerial piezelérico Segundo Cardoso, 005 (ver Aneo A), Gao e Shen, 003, Marinkovic, Köpe e Gabber, 005, e Yi, Ling e Ying, 000, é possível epandir o princípio dos deslocamenos viruais para um conínuo piezelérico. Para isso, incluindo os ermos eléricos à Eq. (4.9), obém-se: ij ij i i V V ( ) S δ ε dv Dδ E dv = R i,j =,,3 (4.3) onde: + Di e + Ei são, respecivamene, o veor deslocameno elérico e o veor campo elérico, ambos na descrição Lagrangeana aualizada; + R o rabalho realizado pelas cargas eernas auanes sobre o corpo, definido por: ςδφ i i da + A R = R+ (4.4) sendo: + ς i a densidade de carga elérica na superfície em + e δφ i a variação do poencial elérico na configuração +. Com isso, a Eq. (4.3) deve ser desenvolvida de maneira a ober-se uma formulação incremenal do movimeno para o conínuo piezelérico em uma forma aproimada. As ensões e deformações são empregadas como definidas nas Eqs. (4.6) e (4.7). Já o deslocameno elérico fica deerminado por: D = D + D (4.5) + i i i

89 63 sendo: D i o deslocameno elérico no insane referenciado à configuração em e é o deslocameno elérico incremenal em relação à configuração. E, o campo elérico é definido como: ( l) ( nl) E = E + E = E = E + E (4.6) + i i i i i i D i onde: E = 0; i E i ( l) é o campo elérico incremenal linear referenciado à configuração e E i ( nl) é o campo elérico incremenal não-linear referenciado à configuração. Como nese rabalho é considerada a piezelericidade linear, o ermo E i ( nl) foi descarado, ficando a Eq. (4.6) como: φ = = = = (4.7) + ( l) Ei Ei Ei φ,i i Com isso, subsiuindo as Eqs. (4.6), (4.7), (4.5) e (4.7) na Eq. (4.3), obém-se a equação do movimeno de um conínuo piezelérico em ermos das decomposições incremenais, como: S δ ε dv Dδ E dv + τ δ η dv = ij ij i i ij ij V V V + i i ij ij V V ( ) R + Dδ E dv τ δ e dv i,j =,,3. (4.8) E, finalmene, considerando as Eqs. (4.), (3.9) e (3.30), as equações consiuivas incremenais para um conínuo piezelérico podem ser epressas como: ij ijrs rs ji i ( ) S = C e e E i,j,r,s=,,3 (4.9) i ij ij ij i ( ) D = e e + ξ E i,j =,,3 (4.30) e subsiuindo as Eqs. (4.9) e (4.30) na Eq. (4.8), a equação do movimeno é linearizada e assume a forma:

90 64 C e δ e dv e Eδ e dv V ijrs rs ij V ji i ij e eδ E dv ξ Eδ E dv + V ij ij i V ij i i τ δ η dv = R + Dδ E dv τ δ e dv + ij ij i i ij ij V V V ( = ) i,j,r,s,,3. (4.3)

91 65 5. FORMULAÇÃO ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 5. Inrodução O Méodo dos Elemenos Finios (MEF) é um procedimeno numérico para solução da maioria dos problemas enconrados nas análises de engenharia, pois, normalmene, eses problemas são muio compleos para serem resolvidos de maneira saisfaória aravés de méodos analíicos clássicos [Cook, Malkus e Plesha, 989; Segerlind, 984]. O méodo dos elemenos finios é baseado na divisão do domínio de inegração, conínuo, em um número finio de pequenas regiões denominadas elemenos finios, ransformando o meio conínuo em discreo 3. A essa divisão do domínio dá-se o nome de rede de elemenos finios. A malha desse reiculado pode ser aumenada ou diminuída variando o amanho dos elemenos finios. Os ponos de inersecção das linhas dessa rede são chamados de nós. O comporameno de cada elemeno é arbirado de forma aproimada, com a condição do conjuno ou malha de elemenos se comporar de forma semelhane ao conínuo original. No chamado modelo de deslocamenos do MEF, arbira-se o campo de deslocamenos nodais e, como conseqüência, a ineração de componenes de ensão enre elemenos adjacenes é subsiuída pela ineração de forças nodais enre elemenos. Dessa maneira, o equilíbrio infiniesimal que se considera no modelo maemáico de meio conínuo é subsiuído pelo equilíbrio de cada elemeno finio isoladamene, rocando-se as equações diferenciais de equilíbrio por equações algébricas de equilíbrio do elemeno como um odo. A parir desas equações algébricas escrias para cada elemeno, obém-se o sisema de equações de equilíbrio da malha de elemenos. Esse sisema global, após a inrodução das condições de vinculação ao meio eerior, permie a deerminação da solução em ermos dos deslocamenos nodais [Assan, 003; Soriano, 003]. 5. O elemeno finio riangular para placas e cascas delgadas De acordo com Teieira, 00, e Zhang, Lu e Kuang, 998, a análise de placas e cascas delgadas baseia-se na condição de que a espessura do corpo é pequena em relação às demais dimensões. Quando sujeias a ação de fleão, as seguines considerações são imporanes: o plano médio da placa não sofre deformações devido à ação de fleão; a componene de ensão normal ao plano médio da placa é nula; as parículas do maerial que originalmene perencem a Possui um número infinio de incógnias. 3 Possui um número finio de incógnias.

92 66 uma deerminada rea perpendicular à superfície média da placa, coninuam perencendo a esa rea, mesmo com a deformação da placa. As deformações cisalhanes são desprezadas e a referida rea maném-se perpendicular à superfície média da placa durane a deformação. Quando ese ipo de esruura esá sujeia a esforços que auam no plano médio da placa (esforços de membrana) e simulaneamene a esforços de fleão, pode-se considerar que as respecivas deformações são independenes [Bahe, 996]. Com base nesas considerações, os deslocamenos incremenais podem ser epressos como [Teieira, 00; Zhang, Lu e Kuang, 998]: z i i,i ( ) u = u wz i =, (5.) w z = w (5.) onde: i =, represenam as direções e y, respecivamene; ui e w são os incremenos dos deslocamenos no plano neuro; e z é o valor da coordenada na direção do eio normal ao plano médio da placa e referenciada a ese plano. Enão, subsiuindo os deslocamenos incremenais, Eqs. (5.) e (5.), nas deformações incremenais, Eqs. (4.8) e (4.9), respecivamene, em-se: z eij = ( ui,j + uj,i ) w,ijz ( i,j =,) (5.3) z ηij = ( uk,i uk,j + w,i w,j ) ( i,j,k =,) (5.4) Um elemeno riangular de membrana, com cada nó possuindo dois graus de liberdade de ranslação e um de roação, é mosrado na Fig. 5.. O veor de deslocamenos nodais de membrana, considerando a roação no plano da superfície média do elemeno (drilling), é dado por: e { u } { u u Θ } T ( i,,3) = = (5.5) mi i yi zi onde: u i e u yi são os graus de liberdade de ranslação e plano da superfície média do elemeno. Θ zi é o grau de liberdade de roação no

93 67 z y 3 Θ z3 u y3 u 3 Θ z u y u u u y Θ z Figura 5. Graus de liberdade de membrana para o elemeno de placa/casca delgada [Teieira, 00]. como: Os deslocamenos de membrana, em função de seus valores nodais, podem ser epressos u = u [ H ]{ u } e m m y (5.6) onde: { u e m} são os valores nodais dos deslocamenos de membrana, Eq. (5.5), para cada elemeno; e [ H m ] é a função de inerpolação de membrana, definida por: i uθ [ H ] = i ( i =,,3) mi L 0 H 0 Li H vθ i (5.7) sendo: H = uθ Li( bl m j bl j m) ( i j m) i (5.8) H = vθ Li( cmlj cl j m) ( i j m) i (5.9) bi = yj ym e ci m j = ( i,j,m,,3) = (5.0) com L i represenando as coordenadas de área; e i e y i as coordenadas nodais.

94 68 Já a Fig. 5. apresena um esquema dos graus de liberdade de fleão para um elemeno riangular de placa delgada. z y w 3 3 Θ y3 Θ 3 w Θ y Θ l l 3 Figura 5. Graus de liberdade de fleão para o elemeno de placa/casca delgada [Teieira, 00]. l 3 w Θ Θ y O veor de deslocamenos nodais de fleão pode ser escrio na forma: e { u } { w Θ Θ } T ( i,,3) = = (5.) bi i i yi onde: w i são os deslocamenos ransversais nodais; e dos eios e y, respecivamene. Θ i e Θ yi são as roações nodais em orno De acordo com Yuqiu e al., 995, o campo de deslocamenos ransversais é definido por: { }{ } e w= H u (5.) b b onde { H b } é a função de inerpolação de fleão, dada por: { H } { H H H } ( i,,3) = = (5.3) bi i i yi sendo: ( ) ( ) H = L F + r F + + r F (5.4) i i i j j m m

95 69 Hi = bmll i j bll j m i ( bj bm) Fi ( rb j j bm) F j ( rb m m bj) Fm H yi = cmll i j cll j m i ( cj cm ) Fi ( rc j j c m) F j ( rc m m cj) Fm (5.5) (5.6) e Fi = Li Li Li i i m i j j m ( ) (5.7) r = ( l l ) ( i,j,m=,,3) (5.8) l com: l = + y, i j = i j e yi j = yi y j. (5.9) i j i j i j O elemeno que será uilizado nese rabalho é o GPL-T9 que é um elemeno finio riangular conforme generalizado, que considera a roação no plano da superfície média do elemeno Θ z (drilling). A Fig. 5.3 mosra o elemeno GPL-T9, com rês nós e seis graus de liberdade por nó. Ese elemeno uiliza as condições de compaibilidade de pono em cada nó e as condições de compaibilidade de linha ao longo de cada lado do elemeno. A inrodução de além de eviar a singularidade da mariz de rigidez em elemenos coplanares, aumena a precisão numérica das variáveis de membrana. A mariz de rigidez oal do elemeno é obida pela superposição da mariz de membrana com a mariz de fleão [Teieira, 00]. O elemeno GPL-T9 foi primeiramene empregado por Zhang, Lu e Kuang, 998, e poseriormene por Teieira, 00, e mosrou-se como um elemeno que alia rapidez e precisão de solução. E por se raar de um elemeno finio riangular, apresena facilidade na discreização de esruuras de geomeria complea. Os incremenos de deformação linear dados pela Eq. (5.3), são separados em incremenos de deformação de membrana { e m } e incremenos de deformação de fleão { e b } cujos veores são dados, respecivamene, por: Θ z (curvauras),

96 70 e u, em = ey = uy,y γ u + u { } y,y y, (5.0) κ w, b = κy = w,yy. (5.) κ w { e } y,y y z Θ z3 3 w 3 u y3 Θ y3 u 3 Θ 3 Θz w u y Θy u Θ Θ z w Θ y u y Figura 5.3 Esquema do elemeno GPL-T9 [Teieira, 00]. u Θ Subsiuindo a Eq. (5.6) na Eq. (5.0), obém-se o veor de incremenos de deformação de membrana, em função dos deslocamenos de membrana nodais como segue: e { e } = e = [ B ]{ u } m y m m γ y e (5.) onde: [ B m ] é a mariz relação deformação-deslocameno de membrana, definida por: ( ) ( ) ( + ) ( + ) bi 0 bi bl m j bl j m B = 0 c c c L cl i,j,m=,,3 mi i i m j j m 4A c b cb bc L cb bc L i i i m i m j i j i j m ( ) (5.3)

97 7 sendo: A a área do elemeno; b e c como definidos na Eq. (5.0); e L suas coordenadas de área. O veor de incremenos de deformação de fleão (curvauras), em função dos deslocamenos nodais de fleão, é deerminado subsiuindo a Eq. (5.) na Eq. (5.), como segue: κ { e } = κ = [ B ]{ u } b y b b κ y e (5.4) sendo: [ B b ] a mariz relação deformação-deslocameno de fleão definida por: Hi, Hi, H yi, Bb = H i i,yy Hi,yy H yi,yy i =,,3 H H H i,y i,y yi,y ( ) (5.5) com: H i, H i e H yi de acordo com as Eqs. (5.4), (5.5) e (5.6), respecivamene. 5.3 Formulação Lagrangeana aualizada do elemeno finio riangular para placas e cascas delgadas laminadas A equação incremenal dos rabalhos viruais, em uma formulação Lagrangeana aualizada, definida pela Eq. (4.), pode ser represenada em uma forma compaca como: I+ I = I3 I4 (5.6) onde: T T δ{ m} [ m ]{ m} δ{ m} [ mb]{ b} I = C e δ e dv = ijrs rs ij V A A e D e da e D e da A + + T T { b} [ bm]{ m} + { b} [ b ]{ b} δ δ e D e da e D e da A (5.7)

98 sendo: [ D m ] a mariz consiuiva incremenal de membrana; [ Dmb] [ Dbm ] 7 = a mariz consiuiva incremenal de acoplameno membrana- fleão; e [ D b] a mariz consiuiva incremenal de fleão. Esas relações consiuivas, que são referenciadas ao sisema de coordenadas do elemeno (ou sisema de coordenadas locais), são definidas, respecivamene, por [Jones, 999; Segmann e Lund, 00]: T [ m ] γ [ ] D = T A T ; (5.8) T [ mb] [ bm ] γ [ ] γ D = D = T B T ; (5.9) T [ b ] γ [ ] γ D = T D T ; (5.30) γ com as marizes no sisema global de coordenadas [ A ], [ B ] e [ D ] definidas, respecivamene, pelas Eqs. (.77), (.78) e (.79); e T γ represenando a mariz de ransformação do sisema de coordenadas globais para o sisema de coordenadas locais, definida por: cos γ sen γ senγ cosγ ; (5.3) senγ cosγ senγ cosγ cos γ sen γ Tγ = sen γ cos γ senγ cosγ sendo: γ o ângulo formado enre o eio (sisema de coordenadas locais), como indica a Fig g (sisema de coordenadas globais) e o eio l g y l y l γ Figura 5.4 Sisemas de coordenadas globais, locais e das fibras. g

99 73 O ermo não-linear é definido como: T { } { } (5.3) I = τ δ η dv = δ η N η da ij ij V A onde: N são as forças inernas de membrana, dadas por: y N = [ Dm][ Bm]{ um} + [ Dmb][ Bb]{ ub} = Ny Nyy N N ; (5.33) e os incremenos de deformação não-linear são definidos por: w w,y { η} = = [ G ]{ u } e, G b (5.34) sendo [ G G ] a mariz geomérica do elemeno GPL-T9, descria como: H H H i, i, yi, G Gi = Hi,y Hi,y H yi,y. (5.35) Já o rabalho virual devido às forças eernas em + é dado por:. (5.36) I = R= f δu dv + f δu da + + B + + S S i i i i V + A E, finalmene, o rabalho virual devido às forças inernas no insane é definido como: I T T δ{ m} { } δ { b} { } = τ δ e dv = 4 V ij ij A e N da e NM da A + + A T T { m} { } + δ { b} { } δ e MN da e M da A (5.37)

100 onde: { N } é o veor força nodal correspondene as forças inernas de membrana; { NM } e { MN } são veores que acoplam os efeios de membrana e de fleão; e { M } é o veor dos momenos de fleão do elemeno. Eses veores são deerminados como segue: 74 { N} [ D ][ B ]{ u } { N N N } T m m m yy y = = (5.38) { NM} [ D ][ B ]{ u } { NM NM NM } T mb b b yy y = = (5.39) { MN} [ D ][ B ]{ u } { MN MN MN } T bm m m yy y = = (5.40) { M} [ D ][ B ]{ u } { M M M } T b b b yy y = = (5.4) 5.4 Equações de equilíbrio incremenais discreizadas pela écnica de elemenos finios Considerando Jeyachandrabose e Kirkhope, 985, e Teieira, 00, as equações incremenais de equilíbrio para um problema esáico (omiindo a mariz de rigidez não-linear para simplificar o equacionameno), discreizadas pela écnica de elemenos finios para o elemeno de placa/casca delgada laminada podem ser represenadas pelo sisema acoplado: [ ] [ ] [ ] [ ] + { Rm} { Fm} + { b} { b} Km Kmb { um} = Kbm Kb { ub} R F (5.4) onde: T [ ] [ ] [ ][ ] Km B m Dm Bm da A = (5.43) é a mariz de rigidez referene aos efeios de membrana (ver Aneo B); T [ ] [ ] [ ][ ] Kmb B m Dmb Bb da A = (5.44) é a mariz de rigidez acoplando os efeios de membrana e de fleão (ver Aneo B);

101 75 [ ] [ ] [ ] [ ][ ] T T bm mb b bm m A K = K = B D B da (5.45) é a mariz de rigidez acoplando os efeios de fleão e de membrana (ver Aneo B); T [ ] [ ] [ ][ ] Kb B b Db Bb da A = (5.46) é a mariz de rigidez referene aos efeios de fleão (ver Aneo B); + { m} [ m] + { R} + { Ry} R = H da (5.47) A T é o veor força nodal eerna, referene aos efeios de membrana, sendo { } de forças eernas nodais nas direções e y, respecivamene; R e { y } R os veores + T + { b} { b} { z} R = H R da (5.48) A é o veor força nodal eerna referene aos efeios de fleão, sendo { R z } o veor de forças eernas nodais na direção z; T T { Fm} = [ Bm] { N } da+ [ Bm] { NM} da (5.49) A A é o veor força nodal equivalene devido às forças inernas no insane de empo, correspondene aos efeios de membrana; T T { Fb} = [ Bb] { M } da+ [ Bb] { MN} da (5.50) A A é o veor força nodal equivalene devido às forças inernas no insane de empo, correspondene aos efeios de fleão. Para o cálculo de { N } e { MN }, Eqs. (5.38) e (5.40), respecivamene, são empregados os deslocamenos oais de membrana { m} u em um insane de empo (ver Fig. 5.5). Eses

102 76 deslocamenos são calculados pela diferença enre as coordenadas locais do elemeno nos insanes e 0, como segue [Bahe e Ho, 98]: { T u } { 0 0 u 0 u 3 u 3 m } = (5.5) onde o sobrescrio direio dos ermos do veor { u } T indicam o número do nó. m 3 u 3 3 u configuração em configuração em 0 u Figura 5.5 Deslocamenos de membrana do elemeno [Teieira, 00]. Enquano as forças inernas de membrana no insane são calculadas aravés dos deslocamenos oais de membrana, os momenos de fleão do elemeno são calculados por incremenos, iso é: + { M} { M} { M } = + (5.5) onde: { } b M são os momenos de fleão incremenais, definidos como: { M} [ D ][ B ]{ u } = (5.53) b b b

103 77 sendo: { } u o veor de deslocamenos incremenais de fleão na configuração. Desa b forma, a deerminação de { NM }, Eq. (5.39), é feia de maneira análoga a uilizada no cálculo de { M }. Enão, o sisema de equações a ser solucionado, considerando os efeios da nãolinearidade geomérica, fica da forma: { } + { } { } { } K u = R F (5.54) onde: [ ] K = K + K L NL (5.55) sendo: [ K L ] a mariz de rigidez linear formada pelas marizes [ K m ], [ K mb ], [ K bm ] e [ K b ] ; e K NL a mariz de rigidez não-linear definida como: T [ ] [ ] K = G N G da (5.56) NL G G A com as forças inernas de membrana definidas pela Eq. (5.33); e { u} { u} { u} { u } = 3 e { u} T i { ui uyi wi Θi Θyi Θzi} =. (5.57) Para a análise dinâmica, orna-se necessária a inclusão dos efeios das forças de inércia e de amorecimeno à Eq. (5.54), como segue: { } [ M]{ u} + [ c]{ u} + K { u} = { R} { F} (5.58) onde: [ M ] é a mariz de massa consisene, que foi calculada analiicamene como apresenado no Aneo C, definida por:

104 78 n T [ M] = h ρ [ H] [ H] da (5.59) k= k k A sendo: n o número oal de lâminas; h k a espessura da lâmina k; k; e [ H ] definido como: ρ k a massa específica da lâmina L 0 H i uθi i vθ i Hi Hi Hyi [ H] = 0 L H ( i=,,3) (5.60) com L i represenando as coordenadas de área; Hu Θ i e Hv Θ i definidos, respecivamene, pelas Eqs. (5.8) e (5.9); e H i, H i e H yi como indicados nas Eqs. (5.4), (5.5) e (5.6), respecivamene; [ c ] é a mariz de amorecimeno de Rayleigh, dada pela equação [Bahe, 996]: [ c] α [ M] β [ K] = + (5.6) R R sendo: α R e β R as consanes de Rayleigh, deerminadas a parir dos auovalores do sisema; K é a mariz de rigidez que inclui as marizes de rigidez linear e não-linear; { R} de forças eernas aplicadas no insane de empo + equivalenes no insane ; { + u } e { u} + é o veor + ; { F } é o veor de forças nodais são os veores nodais de aceleração e velocidade, respecivamene; e { u} é o veor de incremeno de deslocamenos nodais enre os insanes e +. As equações de equilíbrio incremenais apresenadas aneriormene esão referenciadas ao sisema de coordenadas local. É necessária uma ransformação de coordenadas para um sisema global, comum a odos os elemenos finios, para realizar a monagem desses elemenos pelo procedimeno padrão da écnica de elemenos finios. Desa forma, considerando a Fig. 5.6, é l l l necessário deerminar uma relação enre o sisema de coordenadas local (, y, z ) e o g g g sisema de coordenadas global (, y, z ).

105 79 g z l z l y k l j i g y Figura 5.6 Sisemas de coordenadas local e global de um elemeno riangular [Zienkiewicz e Taylor, 000]. g Conforme Zhang, Lu e Kuang, 998, e Zienkiewicz e Taylor, 000, os cossenos dos l l l g g g ângulos enre os eios (, y, z ) e os eios ( ) [ Λ ]:, y, z esão apresenados na mariz [ ] λ λ λ y z = y yy yz Λ λ λ λ λ λ λ z zy zz. (5.6) onde: λ represena o cosseno do ângulo formado enre o eio sucessivamene. Eses valores são calculados da seguine maneira: l e o eio g, e assim y y z z λ ; λ ; λ ; g g g g g g = y = z = l l l c yc zc λz = ; λzy = ; λzz = ; A A A (5.63) λ = λ λ λ λ ; λ = λ λ λ λ ; λ = λ λ λ λ ; y zy z y zz yy zz z z yz z y zy sendo:

106 80 g g g g g g ( ) ( ) ( ) l = + y y + z z ; g g g g g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) = y y z z z z y y ; c 3 3 g g g g g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) y = z z z z ; c 3 3 (5.64) g g g g g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) z = y y y y ; c 3 3 A= + y + z. c c c Porano, a mariz de ransformação global- local T gl é: [ TΛ ] [ 0] [ 0] [ ] [ Λ] [ ] [ 0] [ 0] [ T ] Tgl = 0 T 0 Λ e [ T ] Λ [ Λ] [ 0] [ 0] [ Λ] =. (5.65) Enão, conforme Teieira, 00, a relação enre os veores de deslocamenos nodais local e global, de um deerminado elemeno, é epressa como: l g { u } T gl { u } e =. (5.66) e A Eq. (5.65) ambém é válida para a ransformação de ouros veores que fazem pare das equações de equilíbrio, ais como os veores de força, de aceleração e de velocidade. A ransformação da mariz de rigidez e dos veores de cargas do sisema local para o sisema global de coordenadas, necessária para o processo de monagem dos elemenos finios, fica da seguine forma: K T g T K l T e gl e gl =, (5.67) T { R g F g } = T { l l gl R F } e. (5.68) e

107 8 Cabe desacar que para as análises esáica e dinâmica lineares as Eqs. (5.55) e (5.58), respecivamene, devem ser simplificadas. Para isso, considera-se que K NL e { } F são nulos Maerial piezelérico Considera-se aqui o elemeno riangular laminado para placas e cascas delgadas, apresenado aneriormene, porém incorporando a ese duas lâminas de maerial piezelérico. Esas camadas piezeléricas ornam-se enão as lâminas eernas superior e inferior do elemeno, que podem ser uilizadas como auador e sensor, respecivamene. ( u, u y, w, O elemeno finio piezelérico possui enão seis graus de liberdade elásicos por nó Θ, Θ y e Θ z) e um grau de liberdade elérico por camada piezelérica (φ ), ou seja, assume-se que o poencial elérico seja consane sobre o elemeno e que possua uma variação linear aravés da espessura da camada piezelérica [Balamurugan e Narayanan, 00; Narayanan e Balamurugan, 003]. Enão, como em Gao e Shen, 003, e considerando as Eqs. (3.5) e (4.7), o campo elérico incremenal é epresso por: φ E φ, 0 0 φ E = Ey = φ,y = = 0 = 0. (5.69) y E z φ,z φ φ φ z hp z { } Assim, o campo elérico no elemeno finio fica definido como: h φ. (5.70) ha { E} B { φ} s s = φ = 0 0 φa

108 8 sendo: B φ a mariz das derivadas das funções de inerpolação eléricas; h s e h a as espessuras das lâminas piezeléricas do sensor e do auador respecivamene; e eléricos no sensor e no auador, respecivamene. φ s e φ a os poenciais A lâmina piezelérica usada como sensor e a lâmina piezelérica uilizada como auador são consideradas como camadas adicionais ao laminado composo [Narayanan e Balamurugan, 003]. Desa forma, as equações incremenais de equilíbrio para um problema dinâmico, discreizadas pela écnica de elemenos finios, para o elemeno riangular de placa/casca delgada laminada piezelérica são definidas por [Lee e Saravanos, 000; Xu e Koko, 004]: [ uu] [ ] [ ] [ ] { } { φ } [ uu ] [ ] [ ] [ ] { } { φ } + + u u K uu K uφ { } { φ} M 0 c 0 u + + = Kφu K φφ + { Ru} { Fu} + { Rφ} { Fφ} (5.7) onde: [ M uu ] é a mariz de massa do elemeno, considerando as camadas piezeléricas, definida pela Eq. (5.59); [ c uu ] é a mariz de amorecimeno, dada pela Eq. (5.6); K uu a sua mariz de rigidez elásica, levando em consideração as lâminas piezeléricas, dada pela Eq. (5.55); T Kφu = Kuφ é a mariz de rigidez do acoplameno elásico-elérico do elemeno; K φφ + mariz de rigidez elérica; { R u } veores das Eqs. (5.47) e (5.48); { u} + mecânicas inernas; { Rφ } forças nodais equivalenes devido às forças eléricas inernas. sua é o veor de forças mecânicas nodais eernas, formado pelos F o veor de forças nodais equivalenes devido às forças é o veor de cargas eléricas nodais eernas; e { F φ } veor de Cabe desacar que, como em Yi, Ling e Ying, 000, a não-linearidade geomérica foi incluída à Eq. (5.7) de maneira análoga a empregada na Eq. (5.55), porém aqui as camadas piezeléricas devem er suas propriedades consideradas na deerminação da mariz de rigidez não-linear aravés da Eq. (5.56). De acordo com Balamurugan e Narayanan, 00, Marinkovic, Köppe e Gabber, 005, e Piefor, 00, a mariz de rigidez elérica é definida como sendo:

109 83 Asξ 33 s 0 T [ ξs ] [ 0] h s K B B dv φφ = V φ φ = [ 0] [ ξa ] (5.7) Aaξ 33a 0 ha onde: a mariz de consanes dieléricas, definida na Eq. (3.34), pode ser reescria como ξ ξ ξ ξ ξ = ξ ξ ξ = 0 ξ 0 ; (5.73) [ ] 3 ξ3 ξ3 ξ ξ 33 B φ como definido na Eq. (5.70); A a área do elemeno piezelérico; e os sobrescrios s e a referem-se às camadas empregadas como sensor e auador, respecivamene. Já a mariz de rigidez do acoplameno elásico-elérico do elemeno, ou simplesmene mariz de rigidez eleromecânica, é definida como: [ ] T T l Bm B e 0 m s uφ V l φ K = B dv + [ 0] [ 0] [ 0] e a T l [ 0] [ 0] e [ 0] Bb Bb [ 0] e a s z B dv V φ l T (5.74) sendo: [ B m ] a mariz deformação-deslocameno de membrana, dada pela Eq. (5.3); [ b ] B a mariz deformação-deslocameno de fleão, definida pela Eq. (5.5); B φ conforme a Eq. l (5.70); z a coordenada Caresiana normal ao elemeno; e e a mariz de acoplameno piezelérico no sisema local de coordenadas, que segundo Piefor, 00, é deerminada como: [ ] T l e = e T T γ (5.75) onde e é definido, considerando a Eq. (3.55), por

110 84 { 0} e = { 0} = ; (5.76) { e } e3 e3 e 36 [ T ] é a mariz de ransformação enre os sisemas principal de coordenadas do maerial e global, definida pela Eq. (.36); T γ a mariz de ransformação enre os sisemas de coordenadas global e local, dada pela Eq. (5.3); e os sobrescrios s e a novamene indicando as camadas relaivas ao sensor e ao auador. inernas, { F u} Para a deerminação do veor de forças nodais equivalenes devido às forças mecânicas, deve-se agora considerar os efeios das camadas piezeléricas. Para isso, as Eqs. (5.49) e (5.50) devem ser calculadas a parir da Eq. (3.64) [Marinkovic, Köppe e Gabber, 005; Yi, Ling e Ying, 000]. O veor de cargas eléricas nodais eernas, de acordo com Marinkovic, Köppe e Gabber, 004, é definido por: + s = A + qa + { Rφ} q da (5.77) onde q s e q a são as cargas eléricas no sensor e no auador, respecivamene. E, por fim, analogamene ao veor { F u}, o veor de forças nodais equivalenes devido às forças eléricas inernas, { F φ }, foi deerminado por [Marinkovic, Köppe e Gabber, 005; Yi, Ling e Ying, 000]: sendo: { D } e { } s a { φ} { D} { D} F B dv (5.78) a T s = V φ D o veor deslocameno elérico da camada piezelérica do sensor e do auador, respecivamene, definidos, considerando a Eq. (3.65), por:

111 85 0 D = D = 0. (5.79) 0 T ε φk { e3 e3 e36} [ T ] T [ I3] zmk[ I3] k k γ ξ k κ h k { } { } Cardoso, 005, como mosra o Aneo A, apresena uma medida objeiva para o deslocameno elérico em uma formulação Lagrangeana oal. Enão, com base niso, o deslocameno elérico, em uma formulação Lagrangeana aualizada, pode ser calculado da seguine maneira: { } + + D = de F F { D } (5.80) onde: + F é dado pela Eq. (4.3) e { } D é definido pela Eq. (5.79). A Eq. (5.7), desconsiderando os efeios de amorecimeno, pode ser reescria como: [ M ]{ + } { } { } { u + K u + K φ = + R } { F uu uu uφ u u} (5.8) e + { } + { φ} = { } { } K u K R F φu φφ φ φ (5.8) Isolando { φ } na Eq. (5.8) e subsiuindo na Eq. (5.8), obém-se: + [ M ]{ u } K K K K { u} + = uu uu uφ φφ φu { } { + } { } { + R } { u Fu Kuφ Kφφ Rφ Fφ}. (5.83) Quando a Eq. (5.8) é uilizada em um sensor, a carga elérica eerna aplicada é nula, sendo enão a volagem do sensor dada por:

112 { u s} { } K φ = { F } + K { u } s (5.84) φφ s φ φ s 86 onde o subscrio s indica a camada do sensor. + Para efeuar a análise esáica geomericamene não-linear o ermo [ Muu ]{ u} desconsiderado nas Eqs. (5.8) e (5.83). Já para a realização de análises lineares a mariz de rigidez não-linear, forças inernas mecânica e elérica, { F u} e { F φ } deve ser K NL, e as, respecivamene, devem ser desconsideradas. Porano, as Eqs. (5.8), (5.8), (5.83) e (5.84) podem ser reescrias da seguine forma [Balamurugan e Narayanan, 00; Narayanan e Balamurugan, 003]: [ M ]{ u} + [ K ]{ u} + K { φ} = { R } (5.85) uu uu uφ u { } + { φ} = { } K u K R φu φφ φ (5.86) [ ]{ } [ ] M u + K K K K { u} = { R } K K uu uu u u u u { R φ φφ φ φ φφ φ} (5.87) e { } K φ K { u } s = (5.88) φφ s φu s s

113 87 6. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 6. Inrodução As equações de equilíbrio obidas aravés do Méodo dos Elemenos Finios necessiam ser solucionadas. Do pono de visa maemáico esas equações de equilíbrio formam um sisema de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Os procedimenos padrão de resolução de sisemas de equações diferenciais não são adequados quando a ordem das marizes é grande, al como nos problemas práicos de elemenos finios. Sabe-se que esas equações diferenciais não são independenes enre si, assim como os movimenos dos nós do modelo. Da mesma maneira que o movimeno de um nó esá acoplado ao movimeno de ouros nós, as equações diferenciais que raduzem esses movimenos ambém esão [Alves Filho, 005]. Bahe, 996, afirma que a eficácia da análise depende em grande pare do procedimeno numérico adoado na solução das equações de equilíbrio. Enão, nese rabalho, na análise esáica linear foi usado o Méodo dos Gradienes Conjugados (MGC) com pré-condicionameno diagonal, na análise esáica não-linear foi adoado o Méodo do Conrole de Deslocamenos Generalizados (MCDG), na análise dinâmica linear o Méodo de Newmark e o Méodo da Superposição Modal, e na análise dinâmica nãolinear foi empregado o Méodo de Newmark. A seguir serão apresenados os algorimos para as análises esáica e dinâmica nãolineares. Também será feia uma breve descrição sobre o procedimeno de superposição modal. 6. Análise esáica A solução de problemas não-lineares é usualmene obida por uma combinação de esquemas incremenais e ieraivos. Um requisio para um méodo de solução não-linear é a habilidade de superar os problemas numéricos associados com cada ipo de comporameno. Um méodo que se mosra adequado para problemas não-lineares com múliplos ponos críicos é o méodo do conrole de deslocamenos generalizados (MCDG), proposo por Yang e Shieh, 990, e por ese moivo foi empregado nese rabalho. Porano, a solução da Eq. (5.54) aravés do MCDG foi baseada no seguine algorimo:

114 88 a) Deerminar um incremeno de carga inicial λ. b) Para a primeira ieração ( j = ) em qualquer passo de carga i: b) Formar a mariz de rigidez esruural i K 0. i i b) Resolver a equação de equilíbrio K { u } = { R} j j. b3) Para i = considerar o parâmero geral de rigidez (GSP) igual a. Para i usar T { u } { u} T i i { u } { u} GSP =, para deerminar GSP. b4) Para i usar i λ = λ GSP, para deerminar i λ. b5) Verificar se GSP é negaivo. Se sim, muliplicar de carregameno. i λ por para inverer a direção { u i } { 0} b6) Deerminar os deslocamenos usando { u i } λ i { u i } { u i j j j j} =. = +, sendo que c) Para as ierações seguines ( j ) : i c) Deerminar as forças em desequilíbrio { j } F ; c) Aualizar a mariz de rigidez i K j (opcional); c3) Calcular os deslocamenos { u i j} e { i i i u j}, resolvendo K j { uj} = { R } { } { } K u = F i i i j j j ; e

115 89 c4) Ober o incremeno de carga aravés de λ i j T i i { u } { uj} T i i { u } { uj} = ; c5) Calcular os deslocamenos { u i j} para a ieração correne com { u i } λ i { u i } { u i j j j j} = +. i d) Aualizar as forças no elemeno, o nível de carga ( j ) λ e a geomeria da esruura. { i F } e) Repeir os iens c e d aé que j λ i j { R} ainja uma precisão desejada. f) Se a carga oal não ecedeu a carga máima, reornar ao iem b para o próimo incremeno. Caso conrário parar o procedimeno. Analogamene, para o caso dos laminados piezeléricos, ese procedimeno de solução foi. empregado à Eq. (5.83), onde se deve considerar que { u} = { 0} 6.3 Análise dinâmica Considerando agora os efeios das forças de amorecimeno e de inércia, a Eq. (5.58) deve enão ser solucionada a cada passo de empo, usando um esquema de inegração numérica. Para isso, nese rabalho, foi uilizado o méodo de Newmark. Segundo Bahe, 996, a aualização da aceleração e da velocidade no méodo de Newmark é realizada da seguine forma: ( ) (6.) { + } { } { } { } { u = u + u + u + α + u} { u} ( ) { + u} = { u} + { u} + δ { + u} { u} (6.) onde, na análise linear δ e α δ + 4.

116 90 De acordo com Teieira, 00, dependendo do grau de não-linearidade do sisema considerado e da magniude do passo de empo, a linearização das equações de equilíbrio pode inroduzir sérios erros ou insabilidades na solução do problema. Para eviar eses problemas, a solução é realizada a cada passo de empo de forma ieraiva. Assim, as equações de equilíbrio incremenais na forma ieraiva são dadas por: ( ) ( ) ( ) { } { } { } [ ]{ } [ ]{ } ( ) ( ) + i i + + i + i + K u = R F M u c u i. (6.3) A seguir são apresenados os passos do algorimo empregado, que uiliza o méodo de Newmark na forma rapezoidal ( δ = e α = 4), endo assim um esquema de aceleração média consane, que é incondicionalmene esável (Fig. 6.). u + ( + ) u u + u + Figura 6. Newmark - esquema de aceleração média consane. Cálculos iniciais a) Formação da mariz de rigidez linear [ K L ], da mariz de massa [ M ] e da mariz de amorecimeno [ c ] ; inicialização de { 0 u }, { 0 u } e { 0 u }. b) Cálculo das consanes de inegração δ e α δ + 4 e dos parâmeros: δ δ a 0 = ; a = ; a = ; a3 = ; a4 = ; α α α α α δ α a 5 = ; a6 = a; 0 a7 = a; a8 = a; 3 a9 = ( δ) ; a0 = δ.

117 9 c) Formação da mariz de rigidez linear efeiva ˆK = [ K ] + a [ M] + a [ c] L L 0. Cálculos a cada passo de empo d) Inicialização dos veores { u }, { u } e { u } e do conador de ierações i = 0. e) Formação da mariz de rigidez não-linear Kˆ Kˆ = L + K NL do sisema. K NL e da mariz de rigidez oal f) Formação do veor de cargas efeivo ( ) { } + + { } { } [ ]( { } 3{ }) [ ] 4{ } { } ˆR = R + M a u + a u + c a u + a u = F. 5 g) Solução dos incremenos de deslocamenos nodais ( 0) + { } { ˆ} ˆ K u = R. h) Cálculo ieraivo de solução h) i = i + ; h) Cálculo da aproimação ( i ) para as acelerações, velocidades e deslocamenos: + ( i ) ( i ) { } { } { } { } u = a u a u a u ; ( i ) ( i ) { } { } { } { } u = a u a u a u ; 4 5 ( ) { } + i ( i ) u { u} u { } = + ; h3) Formação das marizes de rigidez: ˆK + ; + K ( i ) NL e + + ( i ) K L NL

118 9 h4) Cálculo da carga efeiva na ieração ( i ) : ( ) ( ) { } { } [ ] ( ) ( ) { } [ ]{ } { } ˆR = R + M u + c u F ; + i + + i + i + i h5) Solução da correção i dos incremenos de deslocamenos: ( ) { } { ˆ } ˆ ( ) ( ) K u = R + i i + i ; h6) Aualização dos incremenos dos deslocamenos: + ( ) + ( ) { } ( ) { } { } u k = u i + u i ; h7) Verificação da convergência: { } ( i) Se ocorrer convergência { u} u = e seguir os cálculos no passo i ; Se não ocorrer convergência volar para o passo h. i) Aualização das acelerações, velocidades e deslocamenos: { + u} = a { u } a { u} a { u } ; { + } { } { } { + u = u a u + a u 9 0 } ; + { u } { u } { u } = +. A verificação da convergência no processo ieraivo de solução foi baseada em dois criérios, o criério dos deslocamenos e o criério da energia inerna [Bahe e Cimeno, 980; Bahe, 996]. O criério dos deslocamenos é epresso da forma:

119 93 ( i ) { u } + { u} uol (6.4) onde: uol é a olerância de convergência em deslocameno, adoando como referência um valor + de 0,00. Como o denominador da Eq. (6.4) não é conhecido previamene, aproima-se { u} para o úlimo valor desa variável no processo ieraivo, ou seja, + ( i) { } u. Já o criério de convergência da energia inerna compara a energia incremenal de cada ieração, com o incremeno de energia inerna inicial. A convergência é alcançada quando: ( ) ( { } [ ]{ }) T ( ) { u } ({ } { } [ ]{ }) + R F M u T ( ) ( ) { } { } u R F M u i i i eol (6.5) onde: eol é a olerância de convergência em energia, cujo valor adoado foi de 0,00. O Méodo ieraivo dos Gradienes Conjugados (MGC) com um pré-condicionameno diagonal foi uilizado para a solução dos incremenos de deslocameno (ver Aneo D). Ese méodo eige uma capacidade de armazenameno bem menor do que a dos méodos direos de solução, caracerísica esa imporane para problemas de grande pore [Teieira, 00]. E, de maneira equivalene, a solução dinâmica não-linear para o laminado piezelérico foi realizada aplicando o procedimeno apresenado à Eq. (5.83) Superposição Modal Em vez de iniciar a inegração do sisema de equações com odas as equações simulaneamene, pode-se, anes, ransformar o sisema e apresená-lo de forma equivalene. Essa forma corresponde, na práica, ao desacoplameno do sisema de equações. Assim, o sisema pode ser resolvido raando de um sisema equivalene acoplado, em que é possível resolver vários problemas independenes uns dos ouros e superpor os resulados desses problemas independenes para ober a resposa de ineresse, daí o nome Superposição Modal [Alves Filho, 005]. Na solução por Superposição Modal, inicialmene, é necessário que seja realizada uma Análise Modal, ou seja, a deerminação dos modos naurais (auoveores) e das freqüências naurais (auovalores) de vibração da esruura. Para isso deve-se resolver a equação de equilíbrio dinâmico do sisema vibrando harmonicamene, dada por:

120 94 ([ ] Ω [ ]){ } K M Z = 0 (6.6) i i onde: [ K ] é a mariz de rigidez da esruura; [ M ] é a mariz de massa da esruura; Ω i são os auovalores; e { Z i } os modos naurais de vibração. As freqüências naurais não-amorecidas são dadas por: ω i = Ω. (6.7) i Após, deve-se deerminar a solução das equações de equilíbrio desacopladas, aravés de um procedimeno de inegração direa. E, finalmene, o resulado é obido aravés da superposição da resposa de cada um dos auoveores da esruura [Bahe, 996; Alves Filho, 005]. Para a análise modal foi uilizada a subroina DGVCSP conida na biblioeca IMSL (Inernaional Mah and Saisical Library) do Forran 90, e a solução das equações desacopladas foi efeuada aravés do Méodo de Newmark [Bahe, 996; IMSL, 997]. Cabe desacar que esse procedimeno foi empregado somene na solução dinâmica linear.

121 95 7. EXEMPLOS NUMÉRICOS 7. Inrodução Com o objeivo de validar as formulações desenvolvidas foram realizadas diversas simulações numéricas, em FORTRAN 90, aravés de eemplos enconrados nas referências bibliográficas. Inicialmene os comporamenos esáico linear, esáico não-linear geomérico, dinâmico linear e dinâmico não-linear geomérico de esruuras do ipo placa/casca delgada, consiuídas de maerial isorópico ou de maerial composo laminado, foram analisados. Após, foram realizadas simulações numéricas de esruuras delgadas doadas de disposiivos piezeléricos. Para isso, análises esáicas e dinâmicas, lineares e geomericamene não-lineares foram esudadas. Além disso, a análise modal linear desas esruuras, incluindo ou não maeriais piezeléricos, ambém foi desenvolvida. É imporane desacar que, para os eemplos dinâmicos lineares, as soluções obidas pelo méodo direo e por superposição modal apresenaram o mesmo resulado; e que o amorecimeno não foi considerado. 7. Eemplos esáicos 7.. Esudo da convergência da solução esáica linear em uma placa isorópica Ese eemplo eve como objeivo verificar como ocorre a convergência de resulados para a análise esáica linear de uma placa quadrada isorópica (Fig. 7.). Para isso, foram consideradas diferenes siuações de carregameno e de vinculação para esa esruura: (a) placa apoiada sob a ação de carga disribuída; (b) placa apoiada sob a ação de carga concenrada cenral; (c) placa engasada sob a ação de carga disribuída; (d) placa engasada sob a ação de carga concenrada cenral. Suas propriedades geoméricas são: comprimeno a =,00m e espessura 3 h 5,00 0 m =. E as propriedades de maerial são: E =,0 0 Pa ; 0 G = 8,08 0 Pa e ν = 0,30. As condições de conorno uilizadas nas simulações (a) e (b) foram: u = uy= w= Θy = Θz = 0,00 nas linhas AB e CD, e u = uy = w = Θ = Θz = 0,00 nas linhas

122 96 BC e AD ; e nas simulações (c) e (d) foram: u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 nas linhas AB, BC, CD, e AD. y D C A B a Figura 7. Placa quadrada isorópica. Timoshenko e Woinowsky-Krieger, 959, apresenam a solução para cada um dos casos 3 em esudo, como mosra a Tab. 7., sendo D Eh ( ν ) = ; q = 00,00Pa e P =,00 N. Tabela 7. Solução esáica linear conforme Timoshenko e Woinowsky-Krieger. Tipo de simulação Deslocameno máimo (a) (b) (c) (d) 0,00406qa D 4 4 wma = =,69 0 m 0,060Pa D 4 wma = = 4,83 0 m 0,006qa D 4 5 wma = = 5,4 0 m 0,00560Pa D 4 wma = =,33 0 m Com isso, nas Tabs. 7., 7.3, 7.4 e 7.5 são mosrados os resulados obidos para diferenes discreizações da esruura (geradas a parir de malhas regulares), mosrando a convergência do deslocameno cenral para as simulações (a), (b), (c) e (d), respecivamene.

123 97 Tabela 7. Deslocameno cenral para placa apoiada sob a ação de carga disribuída. Número de elemenos w ma (m) Erro relaivo (%) 8 9,09E-05-46, 3,48E-04 -,43 7,59E-04-5,9 8,64E-04 -,96 00,66E-04 -,78 Tabela 7.3 Deslocameno cenral para placa apoiada sob a ação de carga concenrada cenral. Número de elemenos w ma (m) Erro relaivo (%) 8 3,64E-04-4,64 3 4,44E-04-8,07 7 4,63E-04-4,4 8 4,7E-04 -, ,75E-04 -,66 Tabela 7.4 Deslocameno cenral para placa engasada sob a ação de carga disribuída. Número de elemenos w ma (m) Erro relaivo (%) 8,7E-05-58,59 3 4,49E-05-4,34 7 4,89E-05-6,68 8 5,06E-05-3, ,4E-05 -,9 Tabela 7.5 Deslocameno cenral para placa engasada sob a ação de carga concenrada cenral. Número de elemenos w ma (m) Erro relaivo (%) 8 8,67E-05-6,79 3,88E-04-9,3 7,0E-04-9,87 8,0E-04-5,58 00,4E-04-3, Análise linear e geomericamene não-linear de uma placa laminada engasada sob pressão uniforme Esudou-se aqui uma placa quadrada (ver Fig. 7.) com laminação simérica [0/90/90/0], engasada em seus quaro lados, soliciada por uma carga uniformemene disribuída q 3 = 3,80 0 Pa. Suas propriedades geoméricas são: comprimeno 3 a 304,80 0 m = e espessura 3 h,44 0 m =. E as propriedades de maerial são: 9 E,60 0 Pa = ; 9 E,63 0 Pa = ; = e ν = 0, G,5 0 Pa

124 98 Levando em cona a simeria da esruura, apenas 4 da placa foi modelado. As condições de conorno uilizadas foram: uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AB ; u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 nas linhas BC e CD ; e u = Θy = Θz = 0,00 na linha DA. y D C A B a Figura 7. Placa quadrada laminada. Inicialmene foi realizada a análise esáica linear, com malhas de 3 elemenos (gerada com uma malha regular 44) e de 00 elemenos (gerada com uma malha regular 00). Eses resulados são comparados, na Fig. 7.3, com os obidos por Liao e Reddy, 987, que uilizou 4 elemenos de casca de 9 nós. 4,00,00 Carga uniforme (kpa) 0,00 8,00 6,00 4,00,00 0,00 0,00,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 0,00,00 Deslocameno cenral (mm) Liao e Reddy Presene esudo (3 elemenos) Presene esudo (00 elemenos) Figura 7.3 Análise linear da placa laminada engasada.

125 99 Após, foi efeuada a análise esáica geomericamene não-linear com a malha de 00 elemenos, e o resulado obido é comparado aos apresenados por Liao e Reddy, 987, e aos de Marques, 994, que usou 4 elemenos heaédricos degenerados de cascas de 9 nós, como mosra a Fig O incremeno de carga inicial adoado foi D λ = 0,0. 4,00,00 Carga uniforme (kpa) 0,00 8,00 6,00 4,00,00 0,00 0,00 0,50,00,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 Deslocameno cenral (mm) Liao e Reddy Marques Presene esudo Figura 7.4 Análise não-linear da placa laminada engasada Análise geomericamene não-linear de uma casca cilíndrica sob ação de carga concenrada A Fig. 7.5 mosra uma casca cilíndrica em forma de elha sob a ação de uma carga concenrada em seu pono cenral. Suas eremidades longiudinais são apoiadas, enquano que suas eremidades curvas são compleamene livres. P A B j D b R C b z y Figura 7.5 Casca cilíndrica sujeia a uma carga concenrada cenral [Sze, Liu e Lo, 004].

126 00 Suas propriedades geoméricas são: raio R=,54 m; comprimeno b = 0,54m; espessura oal 3 h 6,35 0 m = ou 3 h,70 0 m; = e ângulo ϕ = 0,0 rad. A carga concenrada aplicada no cenro da casca (pono A) é P inicial empregado foi de = 3000,00N. E o incremeno de carga λ = 0,0. A casca foi analisada em duas diferenes configurações: (a) isorópica e (b) laminação [90/0/90]. As propriedades para o maerial isorópico são: E = 6 30,75 0 Pa; G 6 = 93,37 0 Pa; e 0,30. ν = Já para o maerial ororópico: 6 E = 3300,00 0 Pa; 6 E = 00,00 0 Pa; = e ν = 0,5. Devido à 6 G 660,00 0 Pa; simeria, apenas 4 do domínio foi modelado. Para h = 6,35mm a casca foi modelada com uma malha regular (55) de 50 elemenos riangulares, e para espessura h =,70mm a modelagem foi feia com uma malha regular (44) de 3 elemenos riangulares. As condições de conorno são: u = Θy = Θz = 0,00 na linha AB, u = uy = w = Θ = Θz = 0,00 na linha CD e u = Θ = Θ = 0,00 na linha AD. y z Os resulados foram comparados aos obidos por Sze, Liu e Lo, 004, que empregou uma malha de 66 elemenos S4R (sofware ABAQUS [ABAQUS user s Manual, 998]) para a casca com h = 6,35 mm e uma malha de 88 elemenos S4R para h =,70 mm. A relação enre a carga aplicada e o deslocameno ransversal cenral da casca, para as configurações (a) e (b) esão mosrados nas Figs. 7.6 e 7.7, respecivamene. 3000,00 500,00 000,00 Carga (N) 500,00 000,00 500,00 0,00-500,00 0,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 30,00 35,00 40,00 45,00 Deslocameno cenral (mm) Sze, Liu e Lo (6,35 mm) Sze, Liu e Lo (,70 mm) Presene esudo (6,35 mm) Presene esudo (,70 mm) Figura 7.6 Resposa esáica não-linear para a casca cilíndrica isorópica.

127 0 3000,00 500,00 000,00 Carga (N) 500,00 000,00 500,00 0,00-500,00 0,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 30,00 35,00 40,00 45,00 Deslocameno cenral (mm) Sze, Liu e Lo (6,35 mm) Sze, Liu e Lo (,70 mm) Presene esudo (6,35 mm) Presene esudo (,70 mm) Figura 7.7 Resposa esáica não-linear para a casca cilíndrica [90/0/90] Análise não-linear geomérica de uma casca cilíndrica laminada sob carga concenrada Um painel cilíndrico, como mosrado na Fig. 7.5, ambém submeido a uma carga ponual cenral foi esudado nese eemplo. Suas eremidades ransversais (curvas) esão livres, enquano que suas eremidades longiudinais esão, na primeira análise, simplesmene apoiadas e, na segunda análise, engasadas. Três diferenes esquemas de laminação foram empregados: (a) [0/90/0]; (b) [90/0/90] e (c) [45/-45]. As propriedades geoméricas da esruura são: raio R =,54m; comprimeno 3 b 54,00 0 m = ; espessura oal 3 h,60 0 m = ; e ângulo ϕ = 0,0rad. A carga concenrada aplicada no cenro da casca (pono A) é P = 6689,33N para a casca apoiada e P = 88964,43N para a casca engasada. As propriedades de maerial são: 9 E 3,99 0 Pa = ; 9 E,00 0 Pa = ; = e ν = 0,5. Foi adoado como 9 G 6,60 0 Pa incremeno de carga inicial 0,0. O painel cilíndrico foi discreizado com uma malha λ = regular (88) com 8 elemenos riangulares. As condições de conorno aplicadas foram: u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 (engasada) e u = uy= w= Θy = Θz = 0,00 (apoiada). Nas Figs. 7.8, 7.9 e 7.0 os resulados obidos foram comparados aos apresenados por Yeom e Lee, 989, que usou elemenos de cascas degenerados de 9 nós.

128 0 00,00 90,00 80,00 Carga concenrada (kn) 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 30,00 35,00 40,00 w (mm) Yeom e Lee (engasada) Yeom e Lee (apoiada) Presene esudo (engasada) Presene esudo (apoiada) Figura 7.8 Resposa esáica não-linear para casca cilíndrica [0/90/0]. 00,00 90,00 80,00 Carga concenrada (kn) 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00-0,00 0,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 30,00 35,00 40,00 w (mm) Yeom e Lee (engasada) Yeom e Lee (apoiada) Presene esudo (engasada) Presene esudo (apoiada) Figura 7.9 Resposa esáica não-linear para casca cilíndrica [90/0/90].

129 03 00,00 90,00 80,00 Carga concenrada (kn) 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 30,00 35,00 40,00 Deslocameno cenral (mm) Yeom e Lee (engasada) Yeom e Lee (apoiada) Presene esudo (engasada) Presene esudo (apoiada) Figura 7.0 Resposa esáica não-linear para casca cilíndrica [45/-45] Análise não-linear geomérica de uma placa laminada sob carga uniforme Considerou-se, nese eemplo, uma placa quadrada (ver Fig. 7.) consiuída por duas lâminas de maerial reforçado com fibras que é soliciada por uma carga uniformemene disribuída. Suas propriedades geoméricas são: comprimeno 3 a 438,00 0 m = e espessura 3 h 6,35 0 m. = E as propriedades elásicas são: 9 E 75,78 0 Pa = ; 9 E 7,03 0 Pa = ; = e ν = 0,5. Dois diferenes esquemas de laminação são esudados: 9 G 3,5 0 Pa (a) [45/-45] e (b) [0/90]. Considerando a sua simeria, apenas 4 da placa foi modelada com uma malha regular 00 com 00 elemenos riangulares. Três ipos de condições de conorno foram esudadas, sendo elas: CC, com uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AB, u = w= Θ = Θ = 0,00 na linha BC, uy = w= Θy = Θz = 0,00 na linha CD e z u = Θy = Θz = 0,00 na linha AD ; CC, com u = Θ = Θz = 0,00 na linha AB, u = w= Θ = Θ = 0,00 na linha BC, uy = w= Θy = Θz = 0,00 na linha CD e z uy = Θy = Θz = 0,00 na linha AD ; e CC3, com uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AB, uy = w= Θ = Θz = 0,00 na linha BC, u = w= Θy = Θz = 0,00 na linha CD e u = Θ = Θ = 0,00 na linha AD. Adoou-se um incremeno de carga inicial de D λ = 0,0. Na y z

130 04 Fig. 7. são apresenados os resulados da análise esáica não-linear para a placa com laminação [45/-45], comparados aos resulados obidos por Liao e Reddy, 987, que uilizou 4 elemenos de casca de 9 nós e por Marques, 994, que empregou 4 elemenos heaédricos degenerados de cascas de 9 nós. E, na Fig. 7., são mosrados os resulados para a placa com laminação [0/90] comparados aos resulados de Liao e Reddy, ,00 80,00 60,00 Carga disribuída (Pa) 40,00 0,00 00,00 80,00 60,00 40,00 0,00 0,00 0,00,00 4,00 6,00 8,00 0,00,00 Deslocameno cenral (mm) Liao e Reddy (CC) Marques (CC) Presene esudo (CC) Liao e Reddy (CC) Marques (CC) Presene esudo (CC) Figura 7. Resposa esáica não-linear para a placa com laminação [45/-45]. 00,00 80,00 60,00 Carga disribuída (Pa) 40,00 0,00 00,00 80,00 60,00 40,00 0,00 0,00 0,00,00 4,00 6,00 8,00 0,00,00 Deslocameno cenral (mm) Liao e Reddy (CC) Liao e Reddy (CC3) Presene esudo (CC) Presene esudo (CC3) Figura 7. Resposa esáica não-linear para a placa com laminação [0/90].

131 Análise esáica de placa isorópica com enrijecedores siméricos, simplesmene apoiada, sob a ação de carga uniformemene disribuída Uma placa isorópica enrijecida, simplesmene apoiada, é soliciada por uma carga uniformemene disribuída. A geomeria desa esruura esá represenada na Fig y D C e A B h h h a Figura 7.3 Placa isorópica com enrijecedores siméricos. Suas propriedades geoméricas são: comprimeno 3 a 06,00 0 m = ; espessura 3 h 5,35 0 m = e largura do enrijecedor 3 e 5,40 0 m =. E as propriedades de maerial empregadas são: E 9 = 06,84 0 Pa ; G 9 = 79,55 0 Pa e ν = 0,30. As condições de conorno uilizadas nesa simulação foram: uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AB, u = uy = w = Θ = Θz = 0,00 na linha BC, u = uy= w= Θy = Θz = 0,00 na linha CD e u = Θ = Θ = 0,00 na linha AD. Considerou-se a simeria esruural, sendo modelado somene y z 4 da placa com 300 elemenos riangulares gerados a parir de uma malha regular de Na Fig. 7.4 os resulados obidos por Liao e Reddy, 987, (que usou 4 elemenos de casca de 9 nós) para as análises linear e geomericamene não-linear da placa enrijecida são comparados aos gerados pelo presene esudo. Na análise não-linear, a solução foi comparada ambém com a apresenada por Marques, 994, obida com 4 elemenos heaédricos degenerados de cascas de 9 nós. disribuída. Na Fig. 7.4 em-se que: 4 4 P* = qa /Eh e w* = w/h, sendo q a carga uniformemene

132 06 P* 60,00 40,00 0,00 00,00 80,00 60,00 40,00 0,00 00,00 80,00 60,00 40,00 0,00 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80,00,0,40,60,80 Liao e Reddy (não-linear) Marques (não-linear) Presene esudo (não-linear) Liao e Reddy (linear) Presene esudo (linear) Figura 7.4 Análise esáica de uma placa com enrijecedores siméricos. w* 7..7 Análise esáica linear de uma viga-caião de seção ransversal quadrada Nesa simulação foi esudado o comporameno esáico linear de uma viga-caião engasada-livre, com seção ransversal quadrada, como mosra a Fig z L A B C y Figura 7.5 Viga-caião com seção ransversal quadrada. b

133 07 As caracerísicas de geomeria da viga são: comprimeno L =,00m; largura 3 b 00,00 0 m = ; e espessura 3 h 0,50 0 m =. E suas propriedades de maerial são: E 9 = 70,00 0 Pa ; G 9 = 6,9 0 Pa e 0,30 ν =. A esruura foi modelada com 640 elemenos finios riangulares, como mosra a Fig. 7.5, sendo uma de suas eremidades oalmene engasada ( u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 ). Diferenes soliciações foram imposas à esruura, e os resulados foram comparados aos obidos pelo programa Ansys (onde a viga foi discreizada com 640 elemenos riangulares do ipo SHELL63). Foi observada uma boa concordância enre os deslocamenos calculados nesa pesquisa e os obidos pelo programa Ansys. Sendo assim, a seguir serão apresenados somene os resulados produzidos pelo presene esudo. Na simulação foi aplicada uma carga concenrada no pono A (ver Fig. 7.5), na direção z, de inensidade Pz = 0,00N, e a configuração final da esruura esá apresenada na Fig Figura 7.6 Configuração final da viga-caião na simulação. M Nas simulações e 3 foram aplicados momenos em orno do eio de = 0,00Nm, nos ponos A e C (ver Fig. 7.5), respecivamene, e os resulados obidos foram apresenados nas Figs. 7.7 e 7.8.

134 08 Figura 7.7 Configuração final da viga-caião na simulação. Figura 7.8 Configuração final da viga-caião na simulação 3. Após, nas simulações 4 e 5, respecivamene, foram aplicados ao pono B (ver Fig. 7.5) da viga momenos em orno do eio de M configurações finais esão mosradas nas Figs. 7.9 e 7.0. =,00Nm e M = 0,00Nm e suas

135 09 Figura 7.9 Configuração final da viga-caião na simulação 4. Figura 7.0 Configuração final da viga-caião na simulação 5. E, na simulação 6, uma carga concenrada, na direção y, foi aplicada ao pono B (ver Fig. 7.5), com inensidade de represenados na Fig. 7.. Py 3 = 0,00 0 N, e os deslocamenos imposos à esruura esão

136 0 Figura 7. Configuração final da viga-caião na simulação 6. Foi ambém analisado o comporameno desa viga-caião considerando um maerial composo laminado [0/90/90/0]. A geomeria da esruura foi manida, e as propriedades de maerial são agora: 9 E 08,00 0 Pa = ; 9 E 0,30 0 Pa = ; = ; ν = 0,8. 9 G 7,7 0 Pa Duas simulações foram efeuadas. Na primeira, chamada de simulação 7, uma carga concenrada na direção de z, com inensidade Pz = 0,00N, foi aplicada ao pono A (ver Fig. 7.5) da esruura e sua configuração final é mosrada na Fig. 7.. E, na segunda simulação, chamada de simulação 8, um momeno em orno do eio, M =,00Nm, foi aplicado ao pono B (ver Fig. 7.5) e os resulados obidos esão represenados na Fig 7.3. Aqui ambém os resulados obidos foram comparados aos gerados pelo programa Ansys, onde foi adoada uma malha com 640 elemenos riangulares do ipo SHELL99, e uma boa concordância enre os resulados foi alcançada. As Tabs. 7.6 e 7.7 apresenam os resulados para os deslocamenos ransversais dos ponos A, B e C da viga, obidos, respecivamene, pelo programa Ansys e pelo presene esudo, para odas as simulações realizadas, comprovando a boa concordância ciada.

137 Figura 7. Configuração final da viga-caião na simulação 7. Figura 7.3 Configuração final da viga-caião na simulação 8. Tabela 7.6 Deslocamenos ransversais, em ( m ), dos ponos A, B e C da viga programa Ansys. Simulação Pono A Pono B Pono C Simulação 8, , , Simulação 5, , , Simulação 3 5, , ,8 0 6 Simulação 4 6,98 0 3,7 0 6, Simulação 5 69, , , Simulação 6 4, , , Simulação 7 35, , ,4 0 6 Simulação 8 34, , ,0 0 6

138 Tabela 7.7 Deslocamenos ransversais, em ( m ), dos ponos A, B e C da viga presene esudo. Simulação Pono A Pono B Pono C Simulação 7, , , Simulação, , , Simulação 3 9, , , Simulação 4 4,86 0 3,9 0 6, Simulação 5 48, , 0 6 8, Simulação 6 303, , ,7 0 3 Simulação 7 30, ,4 0 6,6 0 6 Simulação 8 30, , , Análise esáica linear e geomericamene não-linear de uma viga-caião Uma esruura do ipo viga-caião, como mosra a Fig. 7.4, foi esudada nese eemplo. As dimensões da viga são: comprimeno L =,00m; largura 3 b 0,00 0 m = ; alura 3 a 50,00 0 m = e comprimeno da placa rígida 3 Lpr 700,00 0 m =, sendo as duas longarinas igualmene espaçadas. A viga-caião é soliciada em uma de suas eremidades por uma força concenrada P 3 = 0,00 0 N, aplicada como mosra a Fig. 7.4, enquano sua oura eremidade é oalmene engasada ( u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 ). Variações nas espessuras do revesimeno e das longarinas e nas propriedades do maerial da viga-caião possibiliaram rês diferenes simulações. Na primeira, chamada de simulação (a), foi considerada a mesma espessura para o revesimeno e as longarinas 3 hr hl,68 0 m = = e a viga foi consruída de maerial isorópico com as seguines propriedades: E 9 = 0,00 0 Pa ; 9 G = 80,77 0 Pa e ν = 0,30. No segundo caso, chamado de simulação (b), o revesimeno da viga-caião possui espessura de 3 hr,68 0 m =, suas longarinas possuem espessura de 3 hl 3,36 0 m = e suas propriedades de maerial são as mesmas da simulação (a). E, finalmene, na simulação (c) foram empregadas as mesmas espessuras da simulação (b) e foi uilizado um maerial ororópico com as seguines propriedades médias: 9 E 60,80 0 Pa = ; 9 E 58,5 0 Pa = ; = e ν = 0,06, sendo ([0,90/±45] ) s a seqüência de 9 G 4,55 0 Pa laminação do revesimeno e ([0, 90/±45] 4 ) s o esquema de laminação das longarinas.

139 3 b a placa rígida P z y L L pr Figura 7.4 Viga-caião. A viga-caião empregada na simulação (c) pode ser represenaiva de um esabilizador horizonal de uma aeronave de pequeno ou médio pore. Foi realizada enão a ransferência da carga P para os nós indicados na Fig. 7.4, como indicado na Tab. 7.8, com a finalidade de represená-la adequadamene no modelo de elemenos finios. Tabela 7.8 Soliciações na viga-caião causadas pela carga P. Nó P ( ) y N Pz ( N ) M ( N m) -4,3 0,3 6,9 0 37,73-47,40 6 4, ,84 99,3 6 4, , ,90 6 5, ,3 0,3 6, ,73-47,40 6 4, ,84 99,3 6 4, , ,90 6 5,7 0 A esruura foi modelada com 400 elemenos riangulares, como mosra a configuração inicial da viga-caião na Fig. 7.5.

140 4 X (m) y (m) z (m) Figura 7.5 Configuração inicial da viga-caião. Os resulados obidos pelo presene esudo foram comparados aos gerados pelo sofware ANSYS, onde a modelagem da esruura foi feia nas simulações (a) e (b) empregando o elemeno SHELL63 e na simulação (c) uilizando o elemeno SHELL99. Foi adoada a mesma malha mosrada na Fig As Figs. 7.6 e 7.7 apresenam as configurações finais da simulação (a), considerando um comporameno linear da viga-caião, obidas, respecivamene, no sofware ANSYS e no programa em FORTRAN 90 desenvolvido nese rabalho. Já nas Figs. 7.8 e 7.9 os resulados para a simulação (a) obidos, respecivamene, no ANSYS e no presene esudo, em uma análise não-linear da esruura são apresenados.

141 5 X (m) y (m) z (m) Figura 7.6 Simulação (a): configuração final da análise linear Ansys. X (m) y (m) z (m) Figura 7.7 Simulação (a): configuração final da análise linear Presene esudo.

142 6 X (m) y (m) z (m) Figura 7.8 Simulação (a): configuração final da análise não-linear Ansys. X (m) y (m) z (m) Figura 7.9 Simulação (a): configuração final da análise não-linear Presene esudo.

143 7 Nas Figs e 7.3 esão mosradas as configurações finais da viga-caião, para a simulação (b), em uma análise linear, geradas no sofware ANSYS e nese rabalho, respecivamene. X (m) y (m) z (m) Figura 7.30 Simulação (b): configuração final da análise linear Ansys. X (m) y (m) z (m) Figura 7.3 Simulação (b): configuração final da análise linear Presene esudo.

144 8 As configurações finais da viga-caião para a simulação (b) em uma análise não-linear esão apresenadas nas Figs. 7.3 e 7.33, obidas no ANSYS e no presene esudo, respecivamene. X (m) y (m) z (m) Figura 7.3 Simulação (b): configuração final da análise não-linear Ansys. X (m) y (m) z (m) Figura 7.33 Simulação (b): configuração final da análise não-linear Presene esudo.

145 9 Os resulados obidos, no ANSYS e nese rabalho, respecivamene, para a simulação (c) com comporameno linear da esruura esão represenados nas Figs e 7.35 X (m) y (m) Figura 7.34 Simulação (c): configuração final da análise linear Ansys z (m) X (m) y (m) Figura 7.35 Simulação (c): configuração final da análise linear Presene esudo z (m)

146 0 Para a análise não-linear da simulação (c) os resulados obidos com o sofware ANSYS, conforme a Fig. 7.36, são referenes a 0% da carga P. Para valores de cargas superiores, não foi obida convergência na solução. E, na Fig. 7.37, esá apresenada a configuração final deerminada no presene esudo referene a 0% da carga P. X (m) y (m) Figura 7.36 Simulação (c): configuração final da análise não-linear ( 0,0P) Ansys. z (m) X (m) y (m) Figura 7.37 Simulação (c): configuração final da análise não-linear ( 0,0P) Presene esudo z (m)

147 É possível observar, nas Figs. 7.6 aé 7.37, uma boa concordância enre os resulados obidos nesa pesquisa em comparação aos gerados pelo programa Ansys para cada uma das simulações realizadas. Iso pode ser comprovado aravés das Tabs 7.9 e 7.0 onde são apresenados os deslocamenos ransversais, dos ponos e 4 da esruura (ver Fig. 7.4), obidos pelo programa Ansys e pelo presene esudo, respecivamene. Tabela 7.9 Deslocamenos ransversais, em ( m ), dos ponos e 4 da viga programa Ansys. Simulação Pono Pono 4 Simulação (a) Linear Simulação (a) Não-linear Simulação (b) Linear Simulação (b) Não-linear Simulação (c) Linear Simulação (c) Não-linear 8, ,68 0 3,6 0 3, , , , , , , , , Tabela 7.0 Deslocamenos ransversais, em ( m ), dos ponos e 4 da viga presene esudo. Simulação Pono Pono 4 Simulação (a) Linear Simulação (a) Não-linear Simulação (b) Linear Simulação (b) Não-linear Simulação (c) Linear Simulação (c) Não-linear 33, , , , , 0 3 5, , , , ,7 0 3, 0 3 3, E ainda, com a formulação desenvolvida nese rabalho, considerando um comporameno geomericamene não-linear na simulação (c), foi possível a obenção de resulados referenes a 70% da carga P, como mosra a Fig Para valores maiores de carga, não foi obida convergência na solução desa simulação. Cabe desacar que esa simulação eve um empo de processameno de aproimadamene 4 minuos.

148 X (m) y (m) Figura 7.38 Simulação (c): configuração final da análise não-linear ( 0,70P) Presene esudo z (m) esudo foi de O incremeno de carga inicial empregado nas simulações não-lineares para o presene λ = 0, Eemplos dinâmicos 7.3. Análise de uma viga engasada-livre sob carga uniformemene disribuída Nese eemplo foram realizadas as análises dinâmicas linear e geomérica não-linear de uma viga isorópica, engasada-livre, sob a ação de um carregameno uniformemene disribuído. Suas dimensões são: comprimeno 3 L 54,00 0 m =, largura 3 b 5,40 0 m = e espessura 3 h 5,40 0 m =. As propriedades de maerial são: 6 E = 8,74 0 Pa ; G 6 = 34,47 0 Pa, ν = 0,0 e 3 ρ = 0,69kg m. Além das condições de conorno de engase oal u = u = w = Θ = Θ = Θ = 0,00 em uma de suas eremidades, foram aplicadas ambém y y z condições de simeria nos conornos longiudinais da viga definidas por Θ = Θz = 0,00. A viga foi discreizada com 60 elemenos riangulares gerados a parir de uma malha regular de 40 (bl ). O passo de empo empregado foi 4,35 0 s =, aé um empo final de 3 f,5 0 s. = Como mosra a Fig. 7.39, os resulados foram comparados aos apresenados

149 3 por Reddy e Chandrashekhara, 985, que usou uma malha de elemenos quadráicos de 9 nós para a meade da largura da viga. 0,80 0,70 0,60 0,50 w/l 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00-0,0 0,00 0,00 0,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 /D Reddy e Chandrashekhara (linear) Reddy e Chandrashekhara (não-linear) Presene esudo (linear) Presene esudo (não-linear) Figura 7.39 Resposa dinâmica para a viga isorópica engasada-livre Análise geomericamene não-linear de uma placa quadrada laminada sob carga uniforme A placa do Eemplo 7..5 foi aqui analisada. Suas propriedades geoméricas e elásicas já foram definidas, com eceção de sua massa específica 3 ρ = 54,70kg m. O passo de empo empregado foi esruura é q 3,00 0 s =. A inensidade da carga uniformemene disribuída sobre a = 50,00Pa. Também aqui foram adoados dois esquemas de laminação: (a) [45/-45] e (b) [0/90]. Apenas 4 da placa foi modelado com uma malha regular 55 com 50 elemenos riangulares. As condições de conorno aplicadas foram (considerando o Eemplo 7..5): CC para o caso (b); e CC para o caso (a). Os resulados da análise ransiene não-linear são apresenados na Fig. 7.40, em comparação aos obidos por Liao e Reddy, 987, que uilizou 4 elemenos de casca de 9 nós.

150 4 9,00 8,00 Deslocameno cenral (mm) 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 -,00 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 Tempo (s) Liao e Reddy [0/90] Presene esudo [0/90] Liao e Reddy [45/-45] Presene esudo [45/-45] Figura 7.40 Resposa ransiene não-linear para a placa laminada sob carga uniforme Análise não-linear geomérica de uma placa laminada sob carregameno uniformemene disribuído Considerando a Fig. 7., uma placa quadrada laminada com duas camadas de mesma espessura e com esquemas de laminação (a) [0/90] e (b) [45/-45] foi usada nese eemplo. Suas propriedades geoméricas são: comprimeno a =,438me espessura oal 3 h 6,35 0 m =. A placa possui como propriedades de maerial: 9 E 74,35 0 Pa = ; 9 E 68,97 0 Pa = ; = ; ν = 0,5 e 9 G 34,49 0 Pa 3 ρ = 498,6kg m. Devido à sua simeria, apenas 4 da esruura foi modelado com uma malha regular (55) com 50 elemenos riangulares. A carga ransversal uniformemene disribuída foi de q 3,00 0 s =. = 490,50Pa e o passo de empo uilizado de Em uma primeira análise a placa foi considerada com dobradiças em seus quaro lados, com as seguines condições de conorno (CC): uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AB, u = w= Θ = Θ = 0,00 na linha BC, uy = w= Θy = Θz = 0,00 na linha CD e z u = Θ = Θ = 0,00 na linha AD. Os resulados obidos para o deslocameno ransversal do y z pono A, comparados aos apresenados por To e Wang, 999, que usou uma malha 44 de elemenos HLCTS (elemenos riangulares híbridos de casca laminada) com 8 graus de liberdade, são mosrados na Figs. 7.4 e 7.4.

151 5 7,00 6,00 Deslocameno cenral (mm) 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 -,00 0,00 0,00 0,00 30,00 40,00 50,00 Tempo (ms) To e Wang Presene esudo Figura 7.4 Resposa ransiene para a placa com laminação [0/90] CC. 7,00 6,00 Deslocameno cenral (mm) 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 -,00 0,00 0,00 0,00 30,00 40,00 50,00 Tempo (ms) To e Wang Presene esudo Figura 7.4 Resposa ransiene para a placa com laminação [45/-45] CC. Após, considerando agora seus quaro lados como simplesmene apoiados, ficando suas condições de conorno como (CC): uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AB, w= Θ = Θz = 0,00 na

152 6 linha BC, w= Θy = Θz = 0,00 na linha CD e u = Θy = Θz = 0,00 na linha AD. Os resulados obidos para o deslocameno ransversal do pono A, comparados com os apresenados por To e Wang, 999, são mosrados na Figs e Deslocameno cenral (mm) 3,00,00,00 0,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 -,00 0,00 0,00 0,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 Tempo (ms) To e Wang Presene esudo Figura 7.43 Resposa ransiene para a placa com laminação [0/90] CC. Deslocameno cenral (mm) 3,00,00,00 0,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 -,00 0,00 0,00 0,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 Tempo (ms) To e Wang Presene esudo Figura 7.44 Resposa ransiene para a placa com laminação [45/-45] CC.

153 Análise geomericamene não-linear de uma casca esférica sob carga uniforme A geomeria da casca esférica simplesmene apoiada é apresenada na Fig Suas propriedades geoméricas são: raio R = 0,00m; comprimeno do plano projeado 3 b 999,60 0 m = e espessura oal 3 h 0,00 0 m =. z q y Figura 7.45 Casca esférica laminada [To e Wang, 998]. A casca esférica possui duas camadas de mesma espessura com esquema de laminação [-45/45]. As propriedades do maerial são: 9 E 50,00 0 Pa = ; 9 E 0,00 0 Pa = ; = ; ν = 0,5 e 9 G 5,00 0 Pa 6 3 ρ = 00,00 0 kg /m. Considerando a simeria da esruura, apenas 4 da casca foi modelado com uma malha regular 55 de 50 elemenos riangulares. As condições de conorno empregadas no modelo de elemenos finios foram: uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AB, uy = w= Θ = Θz = 0,00 na linha BC, u = w= Θy = Θz = 0,00 na linha CD e u = Θy = Θz = 0,00 na linha AD. A pressão auane sobre a superfície eerna da casca foi q = 000,00Pa. E o passo de empo adoado na análise ransiene não-linear foi = 0,03s. Enão, a resposa dinâmica do pono cenral A, em comparação com o resulado obido por To e Wang, 998, que usou o elemeno HLCTS com uma malha 44, é mosrada na Fig Além disso, uma mariz de massa modificada (subsiuindo H i por L i e desconsiderando Hu θ i, Hv θ i, H i e H yi na Eq. (5.60)), apresenada por Teieira, 00, foi ambém usada. Com isso, resulados mais próimos aos obidos por To e Wang, 998, foram obidos, mas uma jusificaiva eórica não foi enconrada.

154 8 0,70 0,60 Deslocameno cenral (mm) 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00-0,0 0,00 0,5 0,50 0,75,00,5,50,75,00,5 Tempo (s) To and Wang Presene esudo (massa consisene) Presene esudo (massa modificada) Figura 7.46 Resposa não-linear geomérica para uma casca esférica laminada Análise dinâmica linear e não-linear geomérica de uma viga isorópica bi-engasada sob carga concenrada Uma viga isorópica engasada em suas duas eremidades é aqui analisada com o objeivo de comparar a formulação da mariz de massa consisene desenvolvida nese rabalho com a formulação da mariz de massa modificada apresenada por Teieira, 00 (ciada no Eemplo 7.3.4). As dimensões da viga são: comprimeno L = 0,508m; largura 3 b = 5,4 0 m e espessura 3 h 3,75 0 m =. As propriedades do maerial são: E 9 = 06,70 0 Pa ; G 9 = 03,35 0 Pa ; 0,00 ν = e 3 ρ = 74,8kg m. A esruura foi modelada com 9 elemenos formados a parir de uma malha regular 44 (bl ). Além das condições de conorno de engase oal ( u = u y = w = Θ = Θ y = Θ z = 0,00 ) nas eremidades da viga, foram aplicadas condições de simeria em seus conornos longiudinais ( Θ = Θz = 0,00 ). As análises linear e não- linear foram realizadas considerando uma carga concenrada P = 848,00N no cenro da viga e um passo de empo 6 50,00 0 s =. Os resulados obidos foram comparados aos apresenados por Teieira, 00, que usou ambém o elemeno GPL-T9, conforme as Figs e 7.48.

155 9 300,00 75,00 50,00 Deslocameno cenral (mm) 5,00 00,00 75,00 50,00 5,00 00,00 75,00 50,00 5,00 0,00 0,00,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 0,00 Tempo (ms) Teieira Presene esudo Figura 7.47 Solução dinâmica linear para a viga isorópica bi-engasada. 0,00 8,00 6,00 Deslocameno cenral (mm) 4,00,00 0,00 8,00 6,00 4,00,00 0,00 0,00 0,50,00,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Tempo (ms) Teieira Presene esudo Figura 7.48 Solução dinâmica não-linear para a viga isorópica bi-engasada.

156 Análise geomérica não-linear de uma casca cilíndrica laminada sob pressão inerna Para a casca cilíndrica laminada apresenada na Fig. 7.49, foram considerados dois esquemas de laminação: (a) uma laminação simérica com oio camadas [0/-45/90/45] s e (b) uma laminação [0/90]. Em ambos, camadas de mesma espessura são adoadas. As propriedades geoméricas da esruura são: raio R =,54m; comprimeno do arco 3 a 508,00 0 m = ; comprimeno 3 b 508,00 0 m = ; espessura oal 3 h,7 0 m = e ângulo ϕ = 0,0rad. Já as propriedades do maerial são: 9 E 37,90 0 Pa = ; 9 E 9,86 0 Pa = ; 9 G 5,4 0 Pa = ; ν = 0,30 e 3 ρ = 56,0kg m. z y A q Figura 7.49 Casca cilíndrica laminada sob pressão inerna [To e Wang, 999]. A esruura foi modelada com uma malha regular () com 88 elemenos finios riangulares, é engasada em odo seu conorno ( u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 ) e esá sujeia a uma pressão inerna q 3 0,05 0 s = 6895,00Pa. O passo de empo uilizado na solução foi =. Os resulados para o deslocameno ransversal do cenro da casca cilíndrica (pono A) são apresenados nas Figs e 7.5, em comparação com os obidos por Wu, Yang e Saigal, 987, que empregou elemenos quadrilaerais de casca de ala ordem e To e Wang, 999, que usou elemenos HLCTS.

157 3 3,00,50 Deslocameno cenral (mm),00,50,00 0,50 0,00-0,50 -,00 0,00 0,50,00,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 Tempo (ms) Wu, Yang and Saigal To and Wang Presene esudo Figura 7.50 Resposa ransiene não-linear para casca cilíndrica [0/-45/90/45] s.,60,40 Deslocameno cenral (mm),0,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,50,00,50,00,50 3,00 3,50 Tempo (ms) Wu, Yang and Saigal To and Wang Presene esudo Figura 7.5 Resposa ransiene não-linear para casca cilíndrica [0/90].

158 Análise modal linear de uma placa laminada engasada Uma placa quadrada laminada, formada por 4 camadas de mesma espessura, oalmene engasada em seu conorno é aqui esudada. Suas dimensões são: comprimeno a = 0,40m e espessura oal 3 h 4,00 0 m =. Já as propriedades do maerial são: 9 E 08,00 0 Pa = ; 9 E 0,30 0 Pa = ; G ν = e 9 = 7,7 0 Pa ; 0,8 3 ρ = 800,00kg m. Foram considerados rês esquemas de laminação: (a) [0/0/0/0]; (b) [45/-45/-45/45] e (c) [0/-45/90/45]. Com o objeivo de observar a convergência de resulados para os 0 primeiros modos de vibração, a esruura foi discreizada com 50, 00 e 450 elemenos riangulares formados, respecivamene, por malhas regulares de 55, 00 e 55. As condições de conorno adoadas foram u = u = w = Θ = Θ = Θ = 0,00. Eses resulados foram comparados aos obidos com o y y z sofware ANSYS onde foi empregado o elemeno SHELL99 com uma malha de 900 elemenos, como se pode observar nas Figs. 7.5, 7.53 e Frequência (Hz) 3000,00 700,00 400,00 00,00 800,00 500,00 00,00 900,00 600,00 300,00 0, Modos Ansys (900 elemenos) Presene esudo (00 elemenos) Presene esudo (50 elemenos) Presene esudo (450 elemenos) Figura 7.5 Modos de vibração para a placa laminada [0/0/0/0].

159 ,00 700,00 400,00 00,00 Frequência (Hz) 800,00 500,00 00,00 900,00 600,00 300,00 0, Modos Ansys (900 elemenos) Pesene esudo (00 elemenos) Presene esudo (50 elemenos) Presene esudo (450 elemenos) Figura 7.53 Modos de vibração para a placa laminada [45/-45/-45/45]. 3000,00 700,00 400,00 00,00 Frequência (Hz) 800,00 500,00 00,00 900,00 600,00 300,00 0, Modos Ansys (900 elemenos) Presene esudo (00 elemenos) Presene esudo (50 elemenos) Presene esudo (450 elemenos) Figura 7.54 Modos de vibração para a placa laminada [0/-45/90/45].

160 Análise modal linear de uma casca cilíndrica isorópica Uma casca cilíndrica isorópica foi esudada com a finalidade de verificar a convergência para sua primeira freqüência de vibração. Suas propriedades geoméricas são (ver Fig. 7.55(a)): comprimeno b = 4,00m, raio R =,00m e espessura 3 h 5,00 0 m =. Já as propriedades do maerial são: E 9 = 0,00 0 Pa ; z 9 G = 80,77 0 Pa ; ν = 0,30 e 3 ρ = 7850,00kg m. z D y R b A C y B (a) Figura 7.55 Casca cilíndrica isorópica: (a) complea e (b) 4. (b) Devido à simeria esruural, somene 4 da casca foi modelado. Considerando a Fig. 7.55(b), duas siuações de vinculação foram empregadas: CC: u = Θy = Θz = 0,00 na linha AB, u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 na linha BC, livre na linha CD e uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AD ; e CC: u = Θy = Θz = 0,00 na linha AB, uy = w= 0,00 na linha BC, livre na linha CD ; uy = Θ = Θz = 0,00 na linha AD e u = 0,00 nos ponos A, B, C e D. Inicialmene a análise modal da esruura foi feia no sofware ANSYS, aravés de uma malha de 5 (55) elemenos do ipo SHELL63. O resulado para a primeira freqüência de vibração foi de CC ω = 8,93rad spara a vinculação CC e de CC ω = 3,57rad spara a vinculação CC. Enão, nas Tabs. 7. e 7. são apresenados os resulados obidos, no presene esudo, mosrando a convergência para a primeira freqüência de vibração para as simulações com CC e CC, respecivamene.

161 35 Tabela 7. Primeira freqüência naural para casca cilíndrica isorópica com vinculação CC. Número de elemenos ω (rad s) Erro relaivo (%) 8,45 8,59 3 8,80-0,69 Tabela 7. Primeira freqüência naural para casca cilíndrica isorópica com vinculação CC. Número de elemenos ω (rad s) Erro relaivo (%) 8 5,84 6,73 3 3,3 -,5 7.4 Eemplos esáicos piezeléricos 7.4. Análise esáica linear de uma placa isorópica com auadores e sensores incorporados Nese eemplo foi esudada a influência de elemenos piezeléricos no comporameno esáico da esruura. Para isso, considerou-se uma placa isorópica reangular, simplesmene apoiada, com sensores e auadores piezeléricos simericamene incorporados em suas superfícies inferior e superior, respecivamene, como mosra a Fig D C A B Figura 7.56 Placa isorópica reangular com sensores e auadores incorporados [Abreu, Ribeiro e Seffen, 004]. As propriedades geoméricas e de maerial para a placa, bem como para os sensores e auadores, esão apresenadas na Tab. 7.3.

162 36 Tabela 7.3 Propriedades do sensor, do auador e da placa. Propriedade Sensor Auador Placa L (comprimeno, m ) 0,0 0,0 0,60 L y (largura, m ) 0,0 0,0 0,40 h (espessura, m ) 0, ,54 0 3, E (módulo de Young, Pa ) 9, , ,00 0 ν (coeficiene de Poisson) 0,30 0,30 0,9 ρ (massa específica, 3 kg m ) 780, , ,00 0 ξ (consane dielérica, F m),06 0, e (consane piezelérica, Cm) 0,046, C (capaciância, F ) 5, , E, na Tab. 7.4, esá indicada a localização dos elemenos piezeléricos incorporados à placa (ver Fig. 7.56). Tabela 7.4 Posicionameno dos elemenos piezeléricos na placa. Posição ( m ) Elemeno Elemeno Elemeno 3 0 0,5 0,5 0,35 y 0 0,05 0,5 0,5 Foi enão aplicada ao auador uma volagem de φ a =,00V e aos auadores e 3 volagens de φa = φa3 =,00V, sendo possível esudar a disribuição de deslocamenos gerada na placa. A esruura foi modelada com 9 elemenos riangulares formados a parir de uma malha regular 8 ( LL y). As condições de conorno empregadas foram: u = uy= w= Θy = Θz = 0,00 nas linhas AB e CD e u = uy = w = Θ = Θz = 0,00 nas linhas BC e DA. Os resulados são comparados aos obidos por Abreu, Ribeiro e Seffen, 004, que usou uma malha com 384 elemenos reangulares de placa com 4 nós. Além disso, esa referência apresena ambém resulados obidos com a solução analíica e com o sofware ANSYS (onde a esruura foi discreizada com 400 elemenos ridimensionais de 8 nós). Porano, em-se na Fig a disribuição dos deslocamenos ransversais em Ly w(,l y ). ao longo do eio, ou seja,

163 37 3,00E-07,50E-07 w(, Ly/) (m),00e-07,50e-07,00e-07 5,00E-08 0,00E+00 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 Posição (m) Abreu, Ribeiro e Seffen (MEF) Abreu, Ribeiro e Seffen (Analíica) Abreu, Ribeiro e Seffen (Ansys) Presene esudo Figura 7.57 Disribuição dos deslocamenos ransversais na seção y = Ly. E, na Fig. 7.58, é mosrada a disribuição dos deslocamenos ransversais em L ao longo do eio y, ou seja, w( L,y ). 6,00E-07 4,00E-07 w(l/, y) (m),00e-07 0,00E+00 -,00E-07-4,00E-07-6,00E-07 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 Posição y (m) Abreu, Ribeiro e Seffen (MEF) Abreu, Ribeiro e Seffen (Analíica) Abreu, Ribeiro e Seffen (Ansys) Presene esudo Figura 7.58 Disribuição dos deslocamenos ransversais na seção = L.

164 Análise esáica linear de uma viga piezelérica de PVDF A viga engasada-livre da Fig é composa por duas camadas idênicas de polímero piezelérico (PVDF), com polaridades oposas. Conseqüenemene irá sofrer uma fleão sob a ação de um campo elérico aplicado vericalmene. z y L h Figura 7.59 Viga piezelérica engasada-livre [Sze e Yao, 000]. b Suas propriedades geoméricas comprimeno L = 0,0m, largura 3 b 5,00 0 m = e espessura 3 h,00 0 m =. As propriedades de maerial são: 9 E =,00 0 Pa ; G 9 = 0,78 0 Pa, 0,9 ν =, e = 0,046C m e ξ = 06,0 0 Fm. Além das condições de conorno de engase oal u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 em uma de suas eremidades, foram aplicadas ambém condições de simeria nos conornos longiudinais definidas por Θ = Θz = 0,00. A esruura foi modelada com 0 elemenos riangulares formadas a parir de uma malha regular 5 (Lb). Inicialmene, a defleão sofrida pela viga piezelérica quando uma volagem de φ =,00V é aplicada foi esudada. Os resulados obidos foram comparados aos apresenados por: Lima Jr., 999, que usou 0 elemenos de viga Euler-Bernoulli em uma primeira simulação, 0 elemenos de viga de Timoshenko e, finalmene, uma malha de 0 elemenos do ipo rilinear de 8 nós; Piefor, 00, que uilizou 0 elemenos reangulares de casca; e Sze e Yao, 000, que empregou 0 elemenos piezeléricos de membrana com 4 nós. Sze e Yao, 000, apresenam ambém as soluções numérica e analíica obidas por Tzou, 993. Na Tab. 7.5 odos eses resulados são mosrados.

165 39 7 Tabela 7.5 Defleão esáica da viga piezelérica ( 0 m). Posição (mm) 0,00 0,00 40,00 60,00 80,00 00,00 Lima Jr. (Euler-Bernoulli) 0,0000 0,500 0,550,300,000 3,4500 Lima Jr. (Timoshenko) 0,0000 0,700 0,5700,3500,4000 3,7000 Lima Jr. (Trilinear) 0,0000 0,375 0,5490,350,500 3,3400 Piefor 0,0000 0,50 0,500,450,500 3,3000 Sze e Yao 0,0000 0,380 0,550,40,080 3,4500 Tzou (Numérica) 0,0000 0,40 0,5080,600,000 3,3000 Tzou (Analíica) 0,0000 0,380 0,550,40,080 3,4500 Presene esudo 0,0000 0,60 0,500,300,000 3,380 Após, uma carga eerna foi aplicada na eremidade livre da viga, provocando uma defleão de w,00 0 m =, e a ensão de saída gerada no sensor foi deerminada. Eses resulados foram comparados aos obidos por: Lima Jr., 999, Piefor, 00, e Sze e Yao, 000, e esão descrios na Tab Tabela 7.6 Volagem gerada nos sensores da viga piezelérica (V). Posição (mm) 0,00 aé 0,00 0,00 aé 40,00 40,00 aé 60,00 60,00 aé 80,00 80,00 aé 00,00 Lima Jr. (Euler-Bernoulli) 99,00 8,00 55,50 9,00 9,50 Lima Jr. (Timoshenko) 88,00 8,00 65,00 04,50 48,50 Lima Jr. (Trilinear) 3,00 3,00 59,00 94,50 3,75 Piefor 89,00 6,00 64,50 97,00 3,50 Sze e Yao 300,00 33,00 65,00 98,00 3,55 Presene esudo 93,4 8,30 63,00 97,80 3, Análise esáica linear de uma viga engasada-livre com elemenos piezeléricos (siméricos) incorporados Considera-se nese eemplo uma viga engasada-livre isorópica com dois elemenos piezeléricos acoplados de maneira simérica, como mosra a Fig

166 40 z L p L Figura 7.60 Viga engasada-livre com elemenos piezeléricos siméricos acoplados [Albuquerque e Rade, 003]. z b h ps h h pi y As propriedades geoméricas da esruura são: comprimeno da viga 3 L 500,00 0 m = ; largura da viga 3 b 36,60 0 m = ; espessura da viga 3 h 5,00 0 m = ; comprimeno do maerial piezelérico 3 Lp 50,00 0 m = ; espessura dos maeriais piezeléricos superior e inferior 3 hps hpi 0,50 0 m = =. As propriedades do maerial da viga são: E 9 = 0,00 0 Pa ; 9 G = 80,77 0 Pa ; e ν = 0,3. Já as propriedades do maerial piezelérico são: 9 Ep,00 0 Pa = ; Gp 9 = 0,77 0 Pa ; p 0,30 ν = ; d3,30 0 mv = ; e 9 ξ 33 0,06 0 F m =. Simulou-se enão a aplicação de volagens de φ ps = 5,00V ao elemeno piezelérico superior e de φ pi = 5,00V, com a finalidade de deerminar os deslocamenos ransversais sofridos pela esruura. Para isso, foram empregados 0 elemenos riangulares formados a parir de uma malha regular 0 (Lb). Além das condições de conorno de engase oal u = u = w = Θ = Θ = Θ = 0,00 em uma de suas eremidades, foram aplicadas ambém y y z condições de simeria nos conornos longiudinais definidas por Θ = Θz = 0,00. Desa forma, os resulados foram comparados aos obidos por Albuquerque e Rade, 003, que uilizou 0 elemenos de viga de Euler-Bernoulli, na Fig. 7.6.

167 4 0,00E+00 -,00E-09-4,00E-09 Deslocameno (m) -6,00E-09-8,00E-09 -,00E-08 -,0E-08 -,40E-08 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Posição ao longo da viga (m) Albuquerque e Rade Presene esudo Figura 7.6 Deslocamenos ransversais ao longo da esruura Análise esáica linear de uma viga engasada-livre com elemenos piezeléricos (não-siméricos) incorporados Considera-se nese eemplo uma viga engasada-livre isorópica com dois elemenos piezeléricos acoplados de forma não-simérica, como mosra a Fig z L z b ps L ps pi L pi Figura 7.6 Viga engasada-livre com elemenos piezeléricos não-siméricos acoplados [Albuquerque e Rade, 003]. b ps b pi h ps h h pi y As propriedades geoméricas da esruura são: comprimeno da viga 3 L 500,00 0 m = ; largura da viga 3 b 40,00 0 m = ; espessura da viga 3 h 5,00 0 m = ; comprimeno do maerial piezelérico 3 Lps Lpi 50,00 0 m = = ; posição do piezelérico superior

168 4 3 ps 00,00 0 m = ; posição do piezelérico inferior 3 pi 50,00 0 m = ; largura dos elemenos piezeléricos superior 3 bps 30,00 0 m = e inferior 3 bpi 0,00 0 m = ; espessura dos maeriais piezeléricos superior e inferior 3 hps hpi 0,50 0 m = =. As propriedades do maerial da viga são: E 9 = 0,00 0 Pa ; 9 G = 80,77 0 Pa ; e ν = 0,3. As propriedades do maerial piezelérico superior são: Eps 9 =,00 0 Pa ; 9 Gps 0,77 0 Pa = ; ν ps = 0,30 ; ps d,30 0 mv 3 = ; e ξ ps 9 33 = 0,06 0 F m. E, finalmene, as propriedades do maerial piezelérico inferior são: Epi 9 =,00 0 Pa ; 9 Gpi 0,38 0 Pa = ; ν pi = 0,30 ; pi d,50 0 mv 3 = ; e ξ ps 9 33 = 0,06 0 F m. Simulou-se enão a aplicação de volagens de φ ps = 0,00V ao elemeno piezelérico superior e de φ pi = 40,00V no elemeno piezelérico inferior, com a finalidade de deerminar os deslocamenos ransversais sofridos pela esruura. Para isso, foram empregados 800 elemenos riangulares formados a parir de uma malha regular 508 ( Lb). Além das condições de conorno de engase oal u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 em uma de suas eremidades, foram aplicadas ambém condições de simeria nos conornos longiudinais definidas por Θ = Θz = 0,00. Desa forma, os resulados foram comparados aos obidos por Albuquerque e Rade, 003, que uilizou 0 elemenos de viga de Euler-Bernoulli, na Fig ,00E-0 0,00E+00-5,00E-0 Deslocameno (m) -,00E-09 -,50E-09 -,00E-09 -,50E-09-3,00E-09-3,50E-09 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Posição ao longo da viga (m) Albuquerque e Rade Presene esudo Figura 7.63 Deslocamenos ransversais ao longo da esruura.

169 Análise esáica linear de uma placa quadrada com elemenos piezeléricos incorporados Uma placa quadrada isorópica, com um lado engasado e os ouros livres, possui elemenos piezeléricos siméricos, ambém quadrados, incorporados em suas superfícies superior e inferior, localizados no cenro da mesma, como mosra a Fig y D C a p A B a Figura 7.64 Placa quadrada com elemenos piezeléricos incorporados. As dimensões da placa são: comprimeno 3 a 360,00 0 m = e espessura 3 h 0,50 0 m =. As dimensões dos maeriais piezeléricos são: comprimeno 3 ap 7,00 0 m = ; e espessura 3 hp 0,0 0 m =. As propriedades de maerial para a placa são: E 9 = 0,00 0 Pa ; 9 G = 80,77 0 Pa e ν = 0,30. E as propriedades dos maeriais piezeléricos são: 9 Ep,00 0 Pa = ; Gp 9 = 0,77 0 Pa ; p 0,30 ν = ; d,30 0 mv 3 = ; e ξ 33 9 = 0,06 0 Fm. As condições de conorno uilizadas foram: u = u = w = Θ = Θ = Θ = 0,00 na linha AD e Θ = Θz = 0,00 nas linhas AB e CD. Foram y y z enão aplicadas volagens de φ =,00V ao elemeno piezelérico superior e de φ =,00V ao elemeno piezelérico inferior. A esruura foi discreizada com 00 elemenos riangulares obidos a parir de uma malha regular 00. Na Fig. 7.65, os resulados para os deslocamenos ransversais da esruura, foram comparados aos obidos por Albuquerque e Rade, 003, que usou 5 elemenos quadrilaerais de placa de Kirchhoff, e com os gerados pelo sofware ANSYS.

170 44 3,00E-08,00E-08,00E-08 Deslocameno (m) 0,00E+00 -,00E-08 -,00E-08-3,00E-08-4,00E-08-5,00E-08-6,00E-08 0,00 0,03 0,06 0,09 0, 0,5 0,8 0, 0,4 0,7 0,30 0,33 0,36 Posição ao longo da placa (m) Albuquerque e Rade (MEF) Albuquqerque e Rade (Ansys) Presene esudo Figura 7.65 Deslocamenos ransversais ao longo da placa Análise esáica linear de uma viga engasada-livre doada de disposiivos piezeléricos siméricos Nesa simulação numérica uma viga engasada-livre, de alumínio, possuindo dois disposiivos piezeléricos, de PZT, simericamene incorporados, como mosra a Fig. 7.66, foi esudada. p L p L h p z y h b Figura 7.66 Viga engasada-livre de alumínio com disposiivos piezeléricos [Marincovic, Köppe e Gabber, 004].

171 45 As dimensões da esruura são: comprimeno da viga 3 L 0,00 0 m = ; largura da viga 3 b 7,50 0 m = ; espessura da viga 3 h 0,50 0 m = ; comprimeno do maerial piezelérico 3 Lp 4,50 0 m = ; posição dos disposiivos piezeléricos superior e inferior 3 ps pi p 7,50 0 m = = = ; espessura dos maeriais piezeléricos superior e inferior 3 hps hpi hp 0,0 0 m = = =. As propriedades do maerial da viga são: E 9 = 70,30 0 Pa ; G 9 = 6,3 0 Pa ; e ν = 0,345. Já as propriedades do maerial piezelérico são: 9 Ep 66,67 0 Pa = ; Gp 9 = 5,64 0 Pa ; p 0,30 ν = ; d3 0,00 0 mv = ; e 9 ξ 33 8,56 0 Fm =. Foram consideradas condições de conorno de engase oal ( y Θ Θy Θz u = u = w = = = = 0,00 ) em uma de suas eremidades da viga, junamene com as condições de simeria nos conornos longiudinais definidas por Θ = Θz = 0,00. A esruura foi modelada com 968 elemenos riangulares, formados aravés de uma malha regular 44 ( Lb). Foram aplicadas volagnes de φ ps = 00,00V e de φ pi = 00,00V ao disposiivos piezeléricos superior e inferior, respecivamene, com a finalidade de deerminar os deslocamenos ransversais sofridos pela esruura. Eses resulados foram comparados aos obidos por Marincovic, Köppe e Gabber, 004, que uilizou 8 elemenos finios degenerados, ipo casca, com 9 nós, na Fig ,0 0,00-0,0 Deslocameno (mm) -0,0-0,30-0,40-0,50-0,60-0,70 0,00 0,00 0,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 00,00 0,00 Posição ao longo da viga (mm) Marincovic, Köppe e Gabber Presene esudo Figura 7.67 Deslocamenos ransversais ao longo da viga.

172 Análise esáica geomericamene não-linear de uma viga engasada-livre com disposiivo piezelérico incorporado Foi esudado nese eemplo o comporameno esáico não- linear de uma viga engasadalivre, de alumínio, com um disposiivo piezelérico acoplado, como mosra a Fig z L p L p P h p Figura 7.68 Viga engasada-livre com disposiivo piezelérico acoplado [Cardoso, 005]. z b h y Suas propriedades geoméricas são: comprimeno da viga 3 L 300,00 0 m = ; largura da viga 3 b 5,00 0 m = ; espessura da viga 3 h,00 0 m = ; comprimeno do maerial piezelérico 3 Lp 30,00 0 m = ; posição do disposiivo piezelérico 3 p 70,00 0 m = ; espessura do maerial piezelérico 3 hp,00 0 m =. As propriedades do alumínio são: E 9 = 70,00 0 Pa ; G 9 = 6,4 0 Pa ; e ν = 0,334. E, as propriedades do maerial piezelérico são: 9 Q,00 0 Pa = ; 9 Q,00 0 Pa = ; 9 Q 75,40 0 Pa = ; 9 Q66 3,00 0 Pa = ; e3 = 5,40C m; e3 = 5,40C m e 9 ξ 33 5,03 0 F m =. Uma carga concenrada de P = 00,00N foi aplicada na eremidade livre da viga. A esruura foi modelada com 0 elemenos riangulares, formados a parir de uma malha regular 30 ( Lb). Foram aplicadas condições de conorno de engase oal u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 na eremidade engasada da viga. Adoou-se um incremeno de carga inicial de D λ = 0,0. Inicialmene, o disposiivo piezelérico não foi considerado, e os deslocamenos ransversais sofridos pela eremidade livre da viga foram comparados aos obidos com os gerados pelo programa Ansys malha de 000 (000) elemenos SHELL63 como mosra a Fig

173 47,00 0,90 0,80 0,70 Nível de carga 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 Deslocameno (m) Ansys Presene esudo Figura 7.69 Deslocamenos ransversais da viga sem maerial piezelérico. Após, considerando o maerial piezelérico incorporado à esruura, os deslocamenos ransversais calculados foram comparados aos apresenados por Cardoso, 005, que usou uma malha de 470 elemenos finios de 8 nós (Serendipiy), como é possível observar na Fig ,00 0,90 0,80 0,70 Nível de carga 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 0,00 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, 0,4 0,6 Deslocameno (m) Cardoso Presene esudo (a) Presene esudo (b) Figura 7.70 Deslocamenos ransversais da viga com maerial piezelérico.

174 48 Na Fig as indicações (a) e (b) referem-se, respecivamene ao emprego das Eqs. (5.79) e (5.80). É possível observar que os resulados obidos com as diferenes formulações para o deslocameno elérico apresenaram uma diferença pouco significaiva para ese eemplo, provavelmene devido às pequenas roações sofridas pelo insero piezelérico. 7.5 Eemplos dinâmicos piezeléricos 7.5. Análise dinâmica linear e geomericamene não-linear de uma viga engasadalivre com elemeno piezelérico incorporado Nese eemplo, o comporameno dinâmico de uma viga engasada-livre com um disposiivo piezelérico acoplado (Fig. 7.7) foi esudado. p L p h p z y L h Figura 7.7 Viga engasada-livre com disposiivo piezelérico [Yi, Ling e Ying, 000]. b As propriedades geoméricas da esruura são: comprimeno da viga 3 L 300,00 0 m = ; largura da viga 3 b 5,00 0 m = ; espessura da viga 3 h,00 0 m = ; comprimeno do disposiivo piezelérico 3 Lp 60,00 0 m = ; posição do disposiivo piezelérico 3 p 60,00 0 m = ; e espessura do disposiivo piezelérico 3 hp,00 0 m =. As propriedades do maerial da viga são: 9 E = 97,00 0 Pa ; 9 G = 74,06 0 Pa ; ν = 0,33 ; e 3 ρ = 7900kg m. As propriedades do maerial piezelérico são: 9 Ep 67,00 0 Pa = ; Gp 9 = 5,9 0 Pa ; ν p = 0,33 ; e3 =,47C m ; 9 ξ 33 0,30 0 Fm = ; e 3 ρ = 7800,00kg m. Uma carga p concenrada P = 0,00N é aplicada na eremidade livre da viga. A esruura foi modelada com uma malha de 40 elemenos riangulares formados a parir de uma malha regular 0 (Lb). Além das condições de conorno de engase oal u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 em uma de suas eremidades, foram aplicadas ambém condições de simeria nos conornos longiudinais

175 49 definidas por Θ = Θz = 0,00. Adoou-se um passo de empo 3 3,00 0 s =. Com isso, as defleões sofridas pela viga e as volagens geradas no disposiivo piezelérico, respecivamene, em análises dinâmicas linear (L) e não-linear (NL), esão apresenadas nas Figs. 7.7 e 7.73, em comparação aos resulados obidos por Yi, Ling e Ying, 000, que uilizou 6 elemenos sólidos, com 0 nós por elemeno. 0,50 0,45 0,40 0,35 Defleão (m) 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 Tempo (s) Yi, Ling e Ying (L) Presene esudo (L) Yi, Ling e Ying (NL) Presene esudo (NL) Figura 7.7 Deslocamenos ransversais da viga engasada-livre. Volagem (V) 00,00 00,00 000,00 900,00 800,00 700,00 600,00 500,00 400,00 300,00 00,00 00,00 0,00-00,00 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 Tempo (s) Yi, Ling e Ying (L) Presene esudo (L) Yi, Ling e Ying (NL) Presene esudo (NL) Figura 7.73 Volagem gerada no disposiivo piezelérico da viga engasada-livre.

176 50 Nese eemplo foram ambém esadas as diferenes formulações para o deslocameno elérico apresenadas nas Eqs. (5.79) e (5.80). E os resulados obidos, indicados pelas leras (a) e (b), respecivamene, para o deslocameno ransversal da eremidade livre da viga esão apresenados na Fig , 0,0 0,08 Defleão (m) 0,06 0,04 0,0 0,00 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 Tempo (s) Presene esudo (a) Presene esudo (b) Figura 7.74 Deslocamenos ransversais da viga engasada-livre Análise dinâmica linear e geomericamene não-linear de uma placa quadrada engasada com disposiivo piezelérico acoplado Uma placa quadrada, engasada em odo conorno, com um disposiivo piezelérico acoplado em sua região cenral, eve seus comporamenos dinâmicos linear e não-linear geomérico analisados. Na Fig apenas 4 da esruura esá represenado. As propriedades geoméricas da esruura são: comprimeno 3 a 00,00 0 m = ; espessura 3 h,00 0 m = ; comprimeno do disposiivo piezelérico 3 ap 0,00 0 m = ; e espessura do disposiivo piezelérico 3 hp,00 0 m =. As propriedades do maerial da placa são: 9 E = 97,00 0 Pa ; 9 G = 74,06 0 Pa ; ν = 0,33 ; e 3 ρ = 7900kg m.

177 5 z C y D ap B h h p a A Figura da placa quadrada com disposiivo piezelérico acoplado [Yi, Ling e Ying, 000]. As propriedades do maerial piezelérico são: 9 Ep 67,00 0 Pa = ; Gp 9 = 5,9 0 Pa ; ν p = 0,33 ; e3 =,47C m ; 9 ξ 33 0,30 0 Fm = ; e 3 ρ = 7800,00kg m. A esruura esá p submeida a uma carga uniformemene disribuída q 3 = 0,00 0 Pa. Devido à simeria esruural, apenas 4 da esruura (como mosra a Fig. 7.75) foi modelado com 00 elemenos riangulares formados a parir de uma malha regular 00. As condições de conorno empregadas foram: u = Θy = Θz = 0,00 na linha AB ; u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00 nas linhas BC e CD ; e uy = Θ = Θz = 0,00 na linha DA. Foi uilizado um passo de empo 6 00,00 0 s =. Os resulados apresenados por Yi, Ling e Ying, 000, que discreizou 4 da esruura com 6 elemenos sólidos (com 0 nós por elemeno), são comparados aos obidos pelo presene esudo. Na Fig o deslocameno ransversal, do pono A, ao longo do empo é mosrado. Já a Fig apresena a volagem gerada no disposiivo piezelérico. Nas Figs e 7.77 as indicações (L) e (NL) indicam, respecivamene, análises dinâmicas linear e não-linear.

178 5 3,50 3,00 Deslocameno cenral (mm),50,00,50,00 0,50 0,00 0,00,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 0,00 Tempo (ms) Yi, Ling e Ying (L) Presene esudo (L) Yi, Ling e Ying (NL) Presene esudo (NL) Figura 7.76 Deslocamenos ransversais no cenro da placa engasada. 600,00 500,00 400,00 Volagem (V) 300,00 00,00 00,00 0,00-00,00 0,00,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 0,00 Tempo (ms) Yi, Ling e Ying (L) Presene esudo (L) Yi, Ling e Ying (NL) Presene esudo (NL) Figura 7.77 Volagem gerada no disposiivo piezelérico da placa engasada.

179 Análise dinâmica geomericamene não-linear de uma placa quadrada apoiada com disposiivo piezelérico acoplado Nesa simulação foi uilizada uma placa quadrada doada de um disposiivo piezelérico ambém quadrado, como mosra a Fig. 7.78, soliciada por uma carga uniformemene disribuída q = 47,84Pa. As propriedades geoméricas da placa são: comprimeno 3 a 438,00 0 m = e espessura 3 h 6,35 0 m = ; e do disposiivo piezelérico são: comprimeno 3 ap 304,75 0 m = e espessura 3 hp,00 0 m =. As propriedades de maerial da placa são: 9 E = 68,9 0 Pa ; 9 G = 7,56 0 Pa ; ν = 0,5 e ρ = 500,00kg m p 3. Dois ipos diferenes de maeriais piezeléricos foram usados nese eemplo: o PVDF e o PZT-5, sendo suas propriedades as seguines: E =,00 0 Pa ; PVDF 9 p G = 775,9 0 Pa ; PVDF 6 p PVDF ν p = 0,9 ; d =,00 0 mv; PVDF 3 PVDF ξ 33 06,0 0 F m = ; ρ = 800,00kg m ; e PVDF 3 p E = 49,00 0 Pa ; PZT5 9 p G = 8,85 0 Pa ; PZT5 9 p PZT5 ν p = 0,30 ; d =,00 0 mv; PZT5 3 PZT5 9 ξ 33 3,00 0 Fm = ; ρ = 7800,00kg m. PZT5 3 p y D C a p p y p A B a Figura 7.78 Placa quadrada com maerial piezelérico acoplado. A esruura foi discreizada aravés de 8 elemenos finios riangulares, gerados a parir de uma malha regular 88, e as condições de conorno uilizadas foram: u = uy= w= Θy = Θz = 0,00 nas linhas AB e CD, e u = uy = w = Θ = Θz = 0,00 nas linhas BC e AD. O passo de empo uilizado foi 3 5,00 0 s =. Inicialmene o disposiivo piezelérico não foi considerado, e os resulados obidos foram comparados aos apresenados por Gao e Shen, 003, que empregou uma malha de 64 (88) elemenos reangulares com 4 nós, como mosra a Fig

180 54 7,00 6,00 Deslocameno cenral (mm) 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 -,00 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 Tempo (s) Gao e Shen Presene esudo Fig Resposa dinâmica não-linear para a placa sem disposiivo piezelérico. Após, duas simulações considerando o disposiivo piezelérico foram realizadas. As Figs e 7.8 apresenam, respecivamene, os resulados obidos com os maeriais piezeléricos PVDF e PZT-5 em comparação com os apresenados por Gao e Shen, ,00 6,00 Deslocameno cenral (mm) 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 -,00 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 Tempo (s) Gao e Shen Presene esudo Fig Resposa dinâmica não-linear para a placa com disposiivo piezelérico de PVDF.

181 55 7,00 6,00 Deslocameno cenral (mm) 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 -,00 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 Tempo (s) Gao e Shen Presene esudo Fig. 7.8 Resposa dinâmica não-linear para a placa com disposiivo piezelérico de PZT Esudo da influência do maerial piezelérico na análise modal linear de uma placa quadrada Uma placa isorópica quadrada, como a da Fig. 7., com os quaro lados engasados, foi aqui esudada, com o objeivo de observar a influência do maerial piezelérico na análise modal da mesma. Inicialmene a análise modal foi realizada sem a eisência de nenhum maerial piezelérico incorporado à placa. Após, elemenos piezeléricos foram sendo incorporados à esruura, em suas superfícies superior e inferior, de maneira simérica. Sendo que para cada eapa de aplicação de maerial piezelérico uma nova análise modal foi realizada. Esas eapas de aplicação de maerial piezelérico podem ser observadas na Fig As propriedades geoméricas da esruura são: comprimeno da placa a =,00m; espessura da placa 3 h 0,50 0 m = ; e espessura da camada piezelérica 3 hp 0,50 0 m =. As propriedades de maerial para a placa são: E 9 = 0,00 0 Pa ; 9 G = 80,77 0 Pa ; ν = 0,30 ; e 3 ρ = 7800kg m. E, de acordo com Piefor, 00, as propriedades do maerial piezelérico são: Ep 9 = 65,00 0 Pa ; Gp 9 = 5,00 0 Pa ; p 0,30 ν = ; 3 ρ p = 7800kg m ; d 90,0 0 mv 3 = ; e ξ 33 9 = 3,004 0 Fm. As condições de conorno uilizadas foram as de engase oal, u = uy = w = Θ = Θy = Θz = 0,00, em odo o conorno da esruura.

182 56 Foi uilizada uma malha simérica com 00 elemenos riangulares obidos a parir de uma malha regular 00. Enão, na Fig. 7.8, esão apresenados os resulados obidos para os 0 primeiros modos de vibração da esruura. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) Figura 7.8 Eapas de aplicação do maerial piezelérico na esruura (a) 0% (b) 4% (c) % (d) 4% (e) 40% (f) 60% (g) 76% (h) 88% (i) 96% (j) 00%. Freqüência (rad/s) 0,00 00,00 80,00 60,00 40,00 0,00 00,00 80,00 60,00 40,00 0,00 0,00 0% 0% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 00% Porcenagem de maerial piezelérico Modo Modos e 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modos 7 e 8 Modos 9 e 0 Figura 7.83 Influência do maerial piezelérico na análise modal da esruura.