ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS: considerações sobre o estabelecimento de restrições para os multiplicadores ótimos

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1 Unversdade Federal de Santa Catarna rograma de ós-graduação em Engenhara de rodução ANÁLSE ENVOLTÓRA DE DADOS: consderações sobre o estabelecmento de restrções ara os multlcadores ótmos Margt Teresnha Beckenkam Dssertação aresentada ao rograma de ós-graduação em Engenhara de rodução da Unversdade Federal de Santa Catarna como requsto arcal ara obtenção do título de Mestre em Engenhara de rodução Floranóols 22

2 Unversdade Federal de Santa Catarna rograma de ós-graduação em Engenhara de rodução ANÁLSE ENVOLTÓRA DE DADOS: consderações sobre a estabelecmento de restrções ara os multlcadores ótmos Margt Teresnha Beckenkam Floranóols 22

3 ANÁLSE ENVOLTÓRA DE DADOS: consderações sobre o estabelecmento de restrções ara os multlcadores ótmos Margt Teresnha Beckenkam Esta dssertação fo julgada e arovada ara a obtenção do título de Mestre em Engenhara de rodução no rograma de ós-graduação em Engenhara de rodução da Unversdade Federal de Santa Catarna Floranóols, 18 de abrl de 22 rof. Rcardo Mranda Barca, hd. Coordenador do Curso Banca Examnadora: rof. Jar dos Santos Laa, hd. Orentador rof. Gregóro Jean Varvaks Rados, hd. rof. Álvaro Gullermo Rojas Lezana, Dr. rof. José Angelo Bellon, Dr.

4 ... Aos meus as V

5 AGRADECMENTOS Ao rof. Jar dos Santos Laa, ela orentação no desenvolvmento desse trabalho. Aos membros da Banca Examnadora, elo temo que dedcaram à letura dessa esqusa e elos comentáros. Aos meus colegas e amgos Gretel, Guarac e Marcelo elo amzade e aoo nesta jornada. À todos que, dreta ou ndretamente, contrbuíram ara a realzação desse trabalho. V

6 SUMÁRO AGRADECMENTOS... V SUMÁRO... V LSTA DE FGURAS... V LSTA DE TABELAS... V LSTA DE SÍMBOLOS... X RESUMO... X ABSTRACT... XV 1 NTRODUÇÃO Tema Objetvo Estrutura do Trabalho ANÁLSE ENVOLTÓRA DE DADOS rodutvdade e Efcênca Técnca O Modelo Semnal de Charnes, Cooer & Rhodes ( 1978 ) Os multlcadores ótmos O Modelo CCR Básco O Modelo BCC Básco O Modelo CCR-DT de Dyson & Thanassouls ( 1988 ) O Modelo CCR-WB de Wong & Beasley ( 199 ) O Modelo CCR-ACS de Al, Cook & Seford ( 1991 ) O BANCO DE DADOS DE REFERÊNCA A Alcação do Modelo CCR Básco A Alcação do Modelo BCC Semnal A Alcação do Modelo BCC Básco MODELOS DEA COM LMTAÇÕES NOS MULTLCADORES Alcação do Modelo DEA-DT de Dyson & Thanassouls Alcação do Modelo DEA-ACS de Al, Cook & Seford Alcação do Modelo DEA-WB de Wong & Beasley CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Conclusões Recomendações...76 REFERÊNCAS BBLOGRÁFCAS...77 ANEXO...8 V

7 LSTA DE FGURAS Fgura 2.1 O conceto de rodutvdade de Knght...6 Fgura 2.2 O Modelo DEA Semnal... 8 Fgura 2.3 O Modelo CCR Semnal, orentado ara amlação da rodução...1 Fgura 2.4 O Modelo CCR Semnal, orentado ara contração do consumo Fgura 2.5 O Modelo CCR Básco...14 Fgura 2.6 O Modelo CCR Básco orentado ara contração do consumo...15 Fgura 2.7 O Modelo CCR Básco orentado ara exansão da rodução...15 Fgura 2.8 Fase da Solução Comutaconal do Modelo CCR Básco...17 Fgura 2.9 Fase da Solução Comutaconal do Modelo CCR Básco...17 Fgura 2.1 O Modelo BCC Básco orentado ara a contração do consumo...19 Fgura 2.11 O Modelo BCC Básco orentado ara exansão da rodução...19 Fgura 2.12 O Modelo CCR Básco smlfcado: um únco nsumo...21 Fgura 2.13 O Modelo CCR-DT de Dyson & Thanassouls...21 Fgura 2.14 Forma dos Multlcadores e Forma do Enveloamento do Modelo CCR-DT...23 Fgura 2.15 O Modelo CCR-WB de Wong & Beasley...24 Fgura 2.16 O Modelo CCR-WB de Wong & Beasley com lmtes nos multlcadores somente ara o lano de oeração [ X,Y ]...25 Fgura 2.17 A Forma dos Multlcadores e a Forma do Enveloamento do Modelo CCR-WB de Wong & Beasley orentado ara exansão da rodução, com lmtes nos multlcadores somente ara o lano de oeração [ X,Y ]...26 Fgura 2.18 O Modelo CCR-WB com lmtes dos multlcadores assocados as quantdades médas dos rodutos gerados...27 Fgura 2.19 A Forma dos Multlcadores e a Forma do Enveloamento do Modelo CCR-WB com lmtes dos multlcadores assocados às quantdades médas dos rodutos gerados...28 Fgura 2.2 O Modelo CCR-ACS de Al, Cook & Seford com relação forte de taxas de troca de rodutos Fgura 2.21 O Modelo CCR-ACS de Al, Cook & Seford com relação fraca de taxas de troca de rodutos...29 V

8 Fgura 2.22 A Forma dos Multlcadores e a Forma do Enveloamento do Modelo CCR-ACS, com orentação ara exansão da rodução e com relações ordnas fortes ara taxas de troca...31 Fgura 2.23 A Forma dos Multlcadores e a Forma do Enveloamento do Modelo CCR-ACS Modfcado, orentado ara exansão da rodução e com relações ordnas fortes ara taxas de troca...31 Fgura 2.24 A Forma dos Multlcadores e a Forma do Enveloamento do Modelo CCR-ACS, com orentação ara exansão da rodução e com relações ordnas fracas ara as taxas de troca...32 Fgura 2.25 A Forma dos Multlcadores e a Forma do Enveloamento do Modelo CCR-ACS Modfcado, com orentação ara exansão da rodução e com relação ordnal fracas ara taxas de troca...32 Fgura 3.1 orte das 33 nsttuções de Ensno Sueror do Banco de Referênca...36 Fgura 3.2 Modelo BCC Básco Frontera de rodução Emírca...45 Fgura 4.1 Forma do Enveloamento do Modelo BCC-DT...49 Fgura 4.2 Modelo DEA de Dyson & Thanassouls: Frontera de rodução Emírca...54 Fgura 4.3 Forma do Enveloamento do Modelo BCC-ACS...57 Fgura 4.4 Modelo DEA de Al, Cook & Seford: Frontera de rodução Emírca Fgura 4.5 Forma do Enveloamento do Modelo BCC-WB...65 Fgura 4.6 Modelo DEA de Wong & Beasley: Frontera de rodução Emírca...7 V

9 LSTA DE TABELAS Tabela 3.1 Banco de Dados de Referênca...35 Tabela 3.2 Modelo CCR Básco: Medda de nefcênca e Multlcadores Ótmos...38 Tabela 3.3 Modelo BCC Semnal: Medda de nefcênca, ndcador de Retorno de Escala; Multlcadores Ótmos e Excessos de rodutos...4 Tabela 3.4 Modelo BCC Básco: Medda de nefcênca, ndcador de Retorno de Escala; Multlcadores Ótmos e Excessos de rodutos...42 Tabela 3.5 Modelo BCC Básco: DMUs de Referênca; Consumos Mínmos e Taxas de Troca entre rodutos Tabela 3.6 Modelo BCC Básco: lanos de Oeração Observados e Metas Efcentes...44 Tabela 4.1 Modelo de Dyson & Thanassouls: Medda de nefcênca, ndcador de Retorno de Escala; Multlcadores Ótmos e Excessos de rodutos...51 Tabela 4.2 Modelo de Dyson & Thanassouls: DMUs de Referênca; Consumos Mínmos e Taxas de Troca entre rodutos...52 Tabela 4.3 Modelo Dyson & Thanassouls : lanos de Oeração observados e Metas Efcentes...53 Tabela 4.4 Modelo Al, Cook & Seford: Medda de nefcênca, ndcador de Retorno de Escala; Multlcadores Ótmos e Excessos de rodutos Tabela 4.5 Modelo de Al, Cook & Seford: DMUs de Referênca; Consumos Mínmos e Taxas de Troca entre rodutos...6 Tabela 4.6 Modelo Al, Cook & Seford: lanos de Oeração Observados e Metas Efcentes...61 Tabela 4.7 Modelo BCC-Básco cálculo ara lmtes do Modelo BCC-WB...64 Tabela 4.8 Modelo Wong & Beasley: Meddas de nefcênca, ndcador de Retorno de Escala, Multlcadores Ótmos e Excessos de rodutos...66 Tabela 4.9 Modelo de Wong & Beasley: DMUs de Referênca, Consumos Mínmos e Taxas de Troca entre rodutos...67 Tabela 4.1 Modelo Wong & Beasley: lanos de Oeração Observados e Metas Efcentes...68 Tabela 4.11 roorções dos rodutos nos lmtes mostos no Modelo Wong & Beasley Tabela 4.12 Síntese das característcas das Fronteras de rodução Emírcas construídas com o Modelo BCC Básco e os Modelos de Dyson & Thanassouls, Al Cook & Seford e Wong & Beasley...73 X

10 LSTA DE SÍMBOLOS Símbolos tálcos B - ndcador de efcênca técnca da DMUº no modelo básco orentado ara exansão de rodução C o - ndcador de efcênca técnca da DMUº no modelo básco orentado ara redução de consumo E - ndcador de efcênca técnca da DMUº no modelo básco orentado ara redução de consumo F - ndcador de efcênca técnca da DMUº no modelo básco orentado ara exansão de rodução h - ndcador de efcênca técnca da DMUº no modelo semnal orentado ara redução de consumo Η - ndcador de efcênca técnca da DMUº no modelo semnal orentado ara exansão de rodução - número de nsumos relevantes l - lmte nferor do valor que um multlcador do roduto ode assumr L - lmte sueror do valor que um multlcador do roduto ode assumr l - lmte nferor do valor que um multlcador do nsumo ode assumr L - lmte sueror do valor que um multlcador nsumo ode assumr n - folga nsumo n - folga roduto N - número de lanos de oeração observados - número de rodutos relevantes R - rodutvdade r - folga nsumo r - folga roduto X

11 s - vetor de folgas na geração de rodutos s - vetor de excessos no consumo de nsumos xn- quantdade consumda do nsumo ela DMU n X - vetor que exressa as quantdades consumdas x dos nsumos [ X, Y ] - lano de oeração yn - quantdade gerada do roduto ela DMU n Y - vetor que exressa as quantdades geradas y dos rodutos w - folga nsumo zn- ntensdade alcada ao lano de oeração ( X, Y ) n n X

12 Símbolos gregos ε - número não arqumedano ostvo λ - ndcador de efcênca técnca da DMUº no modelo semnal orentado ara exansão de rodução λ - exansão (equroorconal) máxma ossível do vetor de rodutos mantendo-se constante o vetor de nsumos observados X. Y, θ - ndcador de efcênca técnca da DMUº no modelo semnal orentado ara redução de consumo θ - contração (equroorconal) máxma ossível do vetor de nsumos mantendo-se constante o vetor de resultados observados - multlcador do roduto na comosção do roduto vrtual F multlcador da varável FORMADOS A multlcador da varável ARTGOS Q multlcador da varável QGRAD ν R multlcador da varável ROFESSORES Y. X, ν multlcador do nsumo na comosção do nsumo vrtual X

13 ANÁLSE ENVOLTÓRA DE DADOS: consderações sobre o estabelecmento de restrções ara os multlcadores ótmos RESUMO Em lanos de oeração efcentes, as taxas de substtução entre nsumos e as taxas de troca entre rodutos são comatíves com as característcas culturas, socas e geográfcas dos contextos rodutvos nos quas foram tomadas as decsões de executar os lanos de oeração observados. Os modelos DEA tradconas não consderam tas característcas e odem levar a avalações ncorretas e ao estabelecmento de metas nváves. Esta dssertação aborda esse roblema e aresenta três modelos DEA que mõem restrções elementares a essas taxas. A lteratura aresenta duas formas ara lmtar os multlcadores DEA assocados a tas taxas: uma mõe restrções dretamente sobre os multlcadores enquanto que a outra mõe lmtes ndretamente. Da rmera forma são abordados os Modelos DEA de Dyson & Thanassouls e o Modelo de Al, Cook & Seford; da segunda, o Modelo de Wong & Beasley. Esses três modelos foram lustrados com uma alcação a um mesmo bando de dados, tendo como referênca comaratva os resultados do Modelo BCC Básco. Esse exemlo confrma que se deve ter muto cudado ao classfcar um lano de oeração observado como efcente, artcularmente quando as taxas de substtução e de troca determnadas elos Modelos DEA não são comatíves com as característcas culturas, socas e geográfcas do contexto rodutvo assocado à tomada de decsão e reforça a necessdade de lmtes serem mostos aos multlcadores dos Modelos DEA. alavras-chave: Análse Envoltóra de Dados; Lmtes dos Multlcadores; Avalação de Desemenho. X

14 DATA ENVELOMENT ANALYSS: consderatons on the establshment of restrctons to the otmal multlers ABSTRACT n effcent oeraton lans, the rates of nut substtuton and of outut exchange are comatble wth the cultural, socal and geograhcal characterstcs of the roductve contexts n whch decsons were taken to execute the observed oeraton lans. The tradtonal DEA Models do not consder such characterstcs and may lead to ncorrect evaluatons and to the establshment of unfeasble goals. Ths dssertaton deals wth ths roblem and resents three DEA Models that mose basc restrctons to these rates. The lterature resents two ways to lmt the DEA multlers assocated to such rates: one moses restrctons drectly over the multlers whle the other does t ndrectly. Dyson & Thanassouls and Al, Cook & Seford are models of the frst tye of restrctons, Wong & Beasley s model of the second tye. These three Models are dscuted and llustrated wth an alcaton, to the same Data Base, that emloy the BCC Basc Model results for comaratve reference. The results renforce that secal care should be taken when classfyng an oeraton lan consdered as effcent and to used t as a reference n establshng alternatve goals for neffcent organzaton, artcularly, when the substtuton and exchanges rates determned by the DEA Models are ncomatble wth the cultural, socal, and geograhcal characterstcs of the roductve context assocated wth the decson makng. Ths renforces the need for lmtatons to be mosed on DEA Model multlers. Keywords: Data Enveloment Analyss; Restrcton of multlers; Evaluaton of erformance. XV

15 Caítulo 1 ntrodução Tema 1 NTRODUÇÃO Neste lmar do século XX, a gestão úblca está centrada na resonsabldade socal das organzações, na transarênca democrátca da alcação dos recursos úblcos e na efcênca econômca das atvdades governamentas. Organzações socas, como hostas e escolas, oeram em contextos rodutvos que são cultural, socal e geografcamente dferentes. Esse fato faz com que lanos de oeração rodutvamente efcentes 1 ara algumas dessas organzações aresentem-se como nefcentes ou até mesmo como nváves ara outras, quer or restrções de ordem oeraconal, quer or dferenças nos valores relatvos que os gestores atrbuem aos nsumos e aos rodutos. Grandes esforços têm sdo dedcados ao estudo de formas de mensurar e fazer análses da efcênca de emresas rvadas e de nsttuções úblcas. Desde a década de cnqüenta, a artr dos trabalhos de Koomans ( 1951 ), Farrel ( 1957 ) e Debreu ( 1951 ), técncas não-aramétrcas vêm sendo utlzadas ara avalar se um lano de oeração é efcente. Mas fo a artr da década de setenta que houve grande rogresso na alcação dessas técncas, vsto que, sob o rsma gerencal, os seus resultados revelaram-se mas exressvos que aqueles obtdos através da abordagem aramétrca tradconal. Análse Envoltóra de Dados DEA 2 é uma técnca não-aramétrca que emrega rogramação matemátca ara construr fronteras de rodução de undades rodutvas DMUs 3 que emregam rocessos tecnológcos semelhantes ara transformar múltlos nsumos em múltlos rodutos. Tas fronteras são 1 lanos de oeração são relações que assocam quantdades de nsumos a quantdades de rodutos. Um lano de oeração é vável quando as quantdades de rodutos odem ser geradas com as quantdades de nsumos. O conjunto de todos os lanos de oeração váves é chamado de tecnologa rodutva. ara facldade de exosção e smlfcação do texto, o adjetvo rodutva não será aosto ao substantvo tecnologa ; assm, nesta dssertação, o termo tecnologa semre terá o sgnfcado de tecnologa rodutva. O conceto de efcênca está dscutdo detalhadamente no Caítulo. 2 De Data Enveloment Analyss, como emregado na lteratura nternaconal. 3 De Decson Makng Unt, como usado na lteratura nternaconal. 1

16 Caítulo 1 ntrodução 2 emregadas ara avalar a efcênca relatva dos lanos de oeração executados elas DMUs e servem, também, como referênca ara o estabelecmento de metas efcentes ara cada undade rodutva. DEA fo desenvolvda ara avalar a efcênca de organzações cujas atvdades não vsam lucros ou ara as quas não exstem reços ré-fxados ara todos os nsumos e/ou todos os rodutos. A nexstênca de tas reços dfculta a dentfcação das taxas de substtução entre nsumos e das taxas de troca entre rodutos assocadas às decsões tomadas de executar os lanos de oeração observados. Todava, tas multlcadores 4 exstem e foram consderados elos tomadores de decsão quando otaram or executar os lanos de oeração observados. orém, é de eserar que as taxas de substtução e as taxas de troca não sejam, necessaramente, as mesmas ara todas as DMUs. Essa ossbldade de dferencação dos multlcadores é levada em conta ela DEA, uma vez que essa técnca dentfca os multlcadores mas adequados ara caracterzar, como efcentes, os lanos de oeração observados. orém, tal ossbldade não deve ermtr uma escolha totalmente lvre, os os multlcadores devem ser comatíves com as característcas culturas, socas e geográfcas dos contextos rodutvos nos quas foram tomadas as decsões de executar os lanos de oeração observados. ortanto, é necessáro ermtr o estabelecmento de alguma forma de controle na dentfcação dos multlcadores assocados a cada lano observado. A lteratura aresenta duas formas ara lmtar os multlcadores: uma mõe restrções dretamente sobre os multlcadores enquanto que a outra mõe lmtes, ndretamente, estabelecendo restrções à artcação de cada roduto ou de cada 4 O termo multlcadores será emregado ara desgnar ndstntamente as taxas de substtução entre nsumos e as taxas de troca entre rodutos, tendo-se semre em mente que, na realdade, a roorção entre tas multlcadores é que corresonde à roorção entre os nversos das taxas de substtução de nsumos e das taxas de troca entre rodutos. 2

17 Caítulo 1 ntrodução 3 nsumo no lano de oeração a ser executado Objetvo Não tendo sdo encontrado na lteratura braslera um trabalho que dscuta e lustre dferentes modos de estabelecer tas lmtes 6, elaborou-se esta dssertação que descreve os três modos mas elementares que têm sdo emregados ara tal fm, lustrando-os com uma avalação da efcênca de unversdades federas brasleras. A dssertação descreve e alca ao banco de dados de Bellon ( 2 ) os modelos elementares desenvolvdos or: Dyson & Thanassouls ( 1988 ), que consdera um únco nsumo e que estabelece lmtes ara as taxas de troca entre rodutos, tendo em vsta a necessdade de ser consumda uma quantdade mínma do nsumo ara cada undade de roduto gerado; Wong & Beasley ( 199 ), que estabelece lmtes ara a roorção entre o valor vrtual ndvdual de cada roduto ( nsumo ) e o valor vrtual global da rodução ( consumo ); e, Al, Cook & Seford ( 1991 ), que estabelece ordenamentos ara as taxas de substtução dos nsumos e as taxas de trocas entre os rodutos. 1.3 Estrutura do trabalho Esta ntrodução e mas quatro Caítulos comõem este documento. O Caítulo 1 aresenta a ntrodução com o tema, os resectvos objetvos e a estruturação do 5 Os multlcadores odem ser nterretados como reços vrtuas assocados aos nsumos e rodutos. Assm, a rodução tera um valor vrtual global que corresondera à soma dos valores vrtuas ndvduas de todos os rodutos, sto é, à soma das quantdades geradas dos rodutos multlcadas elos resectvos reços vrtuas relatvos. Lmtes são colocados na roorção entre o valor vrtual ndvdual de cada roduto e o valor vrtual global da rodução. Mutats mutands, lmtes são também fxados ara as roorções entre o valor vrtual ndvdual de cada nsumo e o valor vrtual global do consumo. 6 Lns & Angulo Meza ( 2. ) descreve dversos modos de estabelecer tas lmtes. Todava, nesse lvro, a dscussão é focalzada no estabelecmento de metas efcentes e não na adequação dos multlcadores aos contextos rodutvos. 3

18 Caítulo 1 ntrodução 4 resente estudo. O segundo Caítulo, além de descrever os modelos de Dyson & Thanassouls, de Wong & Beasley e de Al, Cook & Seford, também aresenta os três modelos DEA tradconas, a saber: o CCR Semnal e o CCR Básco, desenvolvdos or Charnes, Cooer & Rhodes ( 1978, 1979 ) e o BCC Básco, desenvolvdo or Banker, Charnes & Cooer ( 1984 ). O Caítulo 3 trata do banco de dados de Bellon ( 2 ) e aresenta os resultados da alcação dos três modelos tradconas a esse banco. No Caítulo 4, os resultados da alcação àquele banco de dados nos modelos de Dyson & Thanassouls ( 1988 ), de Wong Beasley ( 199 ) e de Al, Cook & Seford (1991 ) são analsados e comarados com os resultados do modelo BCC Básco. O últmo Caítulo aresenta conclusões e recomendações. 4

19 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 5 2 ANÁLSE ENVOLTÓRA DE DADOS Faz-se breve revsão dessa técnca dando-se esecal destaque ao estabelecmento de restrções ara os multlcadores assocados às taxas de substtução e às taxas de troca que caracterzam lanos de oeração efcentes. ncalmente aresenta-se o conceto de rodutvdade de Knght com vstas a ntroduzr a noção de tas multlcadores. Descreve-se, a segur, o modelo CCR Semnal, desenvolvdo or Charnes, Cooer & Rhodes ( 1978 ), que avala a efcênca técnca de um lano de oeração executado, na hótese da tecnologa exbr retornos de escala constantes e descarte lvre de nsumos e de rodutos. Nesse modelo, a efcênca técnca do lano de oeração executado é avalada comarando a sua rodutvdade com a rodutvdade dos demas lanos da tecnologa. A únca restrção mosta sobre os multlcadores é deles não serem negatvos. Exstem váras extensões do modelo CCR Semnal. Mutas delas tratam do estabelecmento de restrções ara os multlcadores. Duas são báscas. Uma, de Charnes, Cooer & Rhodes ( 1979 ), que corresonde ao modelo CCR Básco e lmta os multlcadores a valores ostvos. A outra, de Banker, Charnes & Cooer ( 1984 ), que corresonde ao modelo BCC Básco e mõe restrções ara os multlcadores de modo à tecnologa exbr retornos de escala varáves. Há três extensões que retratam modos elementares de estabelecer restrções ara os multlcadores. São os modelos de Dyson & Thanassouls - DT, de Wong & Beasley - WB e de Al, Cook & Seford - ACS, já menconados na ntrodução e que são o objeto desta dssertação. Este Caítulo trata desses modelos DEA. A lteratura recente é rca em documentos sobre Análse Envoltóra de Dados. Seford ( 1994 ) e o ste aresentam extensas bblografas sobre essa técnca. Sobre a teora e suas alcações, merecem referênca esecal Fare, Grosskof & Knox Lovell ( 1994 ), Fred, Lovell & Schmdt, edt, ( 1993 ) e Charnes, Cooer, Lewn & Seford, edt, ( 1993 ). Sobre o estabelecmento de lmtes ara os multlcadores, destaca-se edraja-chaarro, Salnas-Jmenez & Smth ( 1997 ).

20 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados rodutvdade e Efcênca Técnca Quando um únco nsumo é usado ara gerar um únco roduto, a rodutvdade do lano de oeração observado [ x ; y ] é comutada ela razão R = y x, onde x é a quantdade consumda do nsumo e y é a quantdade gerada do roduto. Todava, a quase totaldade das organzações 7 usa város nsumos ara gerar város rodutos. Nesse contexto, a rodutvdade R costuma ser avalada comutando a razão entre as quantdades dos rodutos gerados agregadas em um únco roduto vrtual e as quantdades dos nsumos consumdos agregadas em um únco nsumo vrtual. Nesse caso, uma das formas mas tradconas de comutar a rodutvdade R é emregando o conceto de Knght ( aud Fred, Lovell, Schmdt, edt., 1993, ág. 4 ) descrto na Fgura 2.1, na qual os multlcadores >, ara =1,...,, e ν >, ara =1,...,, refletem, resectvamente, as utldades dos rodutos gerados e dos nsumos consumdos, e as varáves y e x exressam as resectvas quantdades dos rodutos gerados e dos nsumos consumdos. R = 1 = = 1 ν x y y quantdade gerada do roduto y > x quantdade consumda do nsumo x > > utldade do roduto na comosção do roduto vrtual ν > utldade do nsumo na comosção do nsumo vrtual Fgura 2.1 O Conceto de rodutvdade de Knght ara o cálculo da rodutvdade R, Knght roõe que os reços de mercado sejam emregados ara reresentar as utldades relatvas entre os rodutos e os nsumos relevantes ara a DMU que executou o lano de oeração. Todava, em 7 Emresa com fnaldade lucratva ou nsttução sem fnaldade lucratva.

21 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 7 grande número de casos, não exstem reços de mercado de todos os rodutos e nsumos relevantes, não sendo ossível, em conseqüênca, segur a roosta de Knght ara calcular a rodutvdade R, nem mesmo ara verfcar se a rodutvdade da organzação ode ser aumentada. Uma das abordagens mas recentes ara contornar essa dfculdade é emregar Análse Envoltóra de Dados. Essa técnca dentfca taxas de substtução de nsumos e taxas de troca entre rodutos que caracterzam lanos de oeração efcentes, ermtndo verfcar se a DMU está oerando nefcentemente, bem como ossbltando dentfcar lanos de oeração efcentes que sejam alternatvas rodutvas ara ela. Consdere o lano de oeração [ X,Y ] executado ela DMU o, onde o vetor X exressa as quantdades consumdas Y exressa as quantdades geradas x dos nsumos relevantes e o vetor y dos rodutos relevantes 8. Dz-se que esse lano é efcente tecncamente, segundo o conceto de Koomans ( 1951 ), quando a organzação: () não uder aumentar a geração de qualquer roduto, sem dmnur a geração de outro roduto ou aumentar o consumo de elo menos um nsumo, () nem uder dmnur o consumo de qualquer nsumo, sem aumentar o consumo de outro nsumo ou dmnur a geração de elo menos um roduto. sto é, quando não exstr lano de oeração vável [ X, Y ] 9 [ ou Y Y X,Y ], tal que X. Na rátca é muto dfícl verfcar se um lano de oeração é efcente segundo a conceção de Koomans. ara contornar essa dfculdade, Farrell ( 1957) relaxou o conceto de efcênca de Koomans consderando que: X O lano de oeração [ X,Y ] é efcente na rodução, quando a DMU não tver condções técncas de aumentar equroorconalmente as 8 ara facltar a exosção e smlfcar o texto, o adjetvo relevante não mas será aosto aos substantvos nsumo e roduto ; assm, a artr desta ágna, o termo nsumo ( roduto ) semre terá o sgnfcado de nsumo relevante ( roduto relevante ). 9 Um lano de oeração genérco [ X, Y ] é um ar de vetores, no qual o vetor X = { x } relacona as quantdades x ( =1,2,..., ) dos nsumos consumdos e o vetor Y = { y } relacona as quantdades y ( =1,2,..., ) dos rodutos gerados.

22 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 8 quantdades geradas dos rodutos e contnuar consumndo as mesmas quantdades de nsumos vável [ X, Y ] tal que X = X. sto é, quando não exstr lano de oeração X e Y = k. Y, com k >1. O lano de oeração [ X,Y ] é efcente no consumo, quando a DMU não tver condções técncas de reduzr equroorconalmente as quantdades consumdas dos nsumos e contnuar gerando as mesmas quantdades de rodutos que X = k. Y. sto é, quando não exstr lano de oeração vável [ X e Y = Y, com < k<1. X, Y ] tal 2.2 O Modelo Semnal de Charnes, Cooer e Rhodes ( 1978 ) Esses autores, com a fnaldade de avalar a efcáca do rogram Follow Through, rograma do governo amercano ara melhorar o desemenho escolar de cranças de classes socas menos favorecdas, desenvolveram o Modelo DEA Semnal, cuja formulação matemátca encontra-se na Fgura 2.2. Ω = max, ν = 1 = 1 y ν x sujeto a = 1 = 1 ν x y n n 1; n = 1,..., N ν ; = 1,..., ; = 1,..., Fgura 2.2 O Modelo DEA Semnal Tal modelo avala a efcênca técnca do lano de oeração observado [ X,Y ] em uma tecnologa lnear or artes que exbe retornos constantes à escala e descarte lvre de nsumos e rodutos, construída a artr dos lanos observados

23 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 9 [ X n, Y n ], n = 1, 2,.., N 1. Essa efcênca é avalada escolhendo-se multlcadores e ν que maxmzem a rodutvdade desse lano ( comutada como a razão do roduto vrtual y com o nsumo vrtual ν x ) 11 comaratvamente às N rodutvdades dos lanos de oeração observados ( calculadas como a razão entre o roduto e o nsumo vrtuas assocados a cada um dos N lanos de oeração observados 12 ), quando comutadas com os mesmos multlcadores e ν. É exgdo que tas razões sejam menores ou guas a 1 de modo a assegurar a determnação do roblema de maxmzação descrto na Fgura 2.2. O Modelo DEA Semnal é um roblema de rogramação matemátca fraconal que ode ser transformado em dos roblemas alternatvos de rogramação lnear dferentes (Charnes e Cooer, 1962). Um deles, como descrto na Fgura 2.3, mnmza o nsumo vrtual ν x, mantendo constante o roduto vrtual y ; o outro, como exosto na Fgura 2.4, maxmza o roduto vrtual y, mantendo constante o nsumo vrtual ν x. Nesses dos roblemas, as varáves duas z n, ara n = 1, 2,..., N, que caracterzam a Forma do Enveloamento, odem ser nterretadas como sendo as ntensdades a serem alcadas aos lanos de oeração observados [ X n, Y n ] na construção de lanos de oeração váves [ X, Y ], defndos como combnações lneares dos N lanos de oeração observados e que formam a tecnologa lnear or artes construída ara avalar a efcênca do lano [ X,Y ]. 1 Fare, Grosskof & Knox Lovell ( 1994 ) descrevem detalhadamente como essa tecnologa ode ser construída. Uma tecnologa exbe retornos de escala constantes quando também for vável qualquer exansão ou redução equroorconal de todo lano de oeração vável. Uma tecnologa exbe descarte lvre de nsumos e rodutos quando, ara todo lano vável [ X,Y ], também for vável qualquer lano [ X, Y ] tal que X X e Y Y. 11 ara smlfcar o texto, os lmtes da somatóra serão omtdos semre que não causar nterretação dúba.

24 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 1 FORMA DOS MULTLCADORES FORMA DO ENVELOAMENTO Η = mn ν x λ = max λ sujeto a sujeto a y = 1 λ y y nzn, = 1,..., ν xn yn, n = 1,..., N xn zn x, = 1,...,, = 1,..., λ R, ν, = 1,..., z n, n = 1,..., N Fgura 2.3 O Modelo CCR Semnal, orentado ara amlação da rodução FORMA DOS MULTLCADORES FORMA DO ENVELOAMENTO h = max y θ = mn θ sujeto a sujeto a ν x = 1 y n zn y, = 1,..., ν xn yn, n = 1,..., N θ x x z n n, = 1,...,, = 1,..., θ R; ν, = 1,..., z n, n = 1,..., N Fgura 2.4 O Modelo CCR Semnal, orentado ara contração do consumo 12 [ X,Y DEA Semnal. ] nclu-se nos N lanos de oeração observados, ara facldade oeraconal do Modelo

25 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 11 Os ndcadores de nefcênca θ e λ são admensonas e, ortanto, ndeendem das undades de meddas dos nsumos e rodutos. O valor ótmo θ reflete a maor contração 13 ossível do consumo observada Y. Quando θ = 1, não exste contração do consumo X caaz de gerar a rodução X caaz de gerar Y ; ortanto, o lano [ X,Y ] é efcente segundo Farrell. Quando θ < 1, então o lano [ X,Y ] é nefcente e o escalar θ é um ndcador dessa nefcênca, os o consumo ode ser contraído de X ara geradas dos rodutos, sto é, mantendo-se a rodução gual a análoga, o valor ótmo gerável com o consumo observado rodução observada [ θ. X sem reduzr as quantdades Y. De manera λ reflete a maor amlação 14 ossível da rodução X. Quando Y sem aumentar o consumo observado X,Y ] é efcente segundo Farrell. Quando nefcente e o escalar ser amlada de Y λ =1, não é ossível amlar a X ; ortanto o lano λ >1, então o lano [ X,Y ] é λ é um ndcador dessa nefcênca, os a rodução ode Y ara λ Y sem a necessdade de aumentar as quantdades consumdas dos nsumos, sto é, mantendo-se o consumo gual a X. Assm, tanto θ como λ são ndcadores de efcênca Farrell e, consequentemente, os modelos DEA Semnal e CCR Semnal avalam se o lano de oeração observado [ consegunte, a meta [ X, Y ] = [ θ X,Y ] é efcente segundo o conceto de Farrell. or X,Y ] é uma meta efcente ( Farrell ) que ode ser estabelecda ara a DMU, quando se deseja contrar o consumo, e [ X, Y ] = [ X, λ Y ] uma meta efcente quando se deseja amlar a rodução. orém, é ossível que um lano de oeração, avalado como efcente or esses modelos, tenha anda folga reduzível de algum nsumo ou excesso gerável de algum roduto 15, fato que caracterzara nefcênca segundo Koomans. 13 Contração sgnfca redução equroorconal. 14 Amlação sgnfca exansão equroorconal. 15 De alguns, mas não de todos.

26 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados Os Multlcadores Ótmos Os multlcadores e ν ótmos calculados elo Modelo CCR Semnal orentado ara contração do consumo determnam ara o lano [ X,Y ] seu ndcador de efcênca técnca emírca h = θ, que exressa a razão entre a rodutvdade do lano [ X lanos de oeração observados [,Y ] e a máxma rodutvdade observada nos N X n, Y n ], quando todas as rodutvdades são meddas com os mesmos e ν. Como tas multlcadores são escolhdos de modo a maxmzar a rodutvdade relatva de [ X,Y ], então e ν refletem as taxas de troca entre rodutos e taxas de substtução entre nsumos mas favoráves ara a DMUº. Ademas, ara outros multlcadores, a rodutvdade relatva de [ X,Y ] não aumenta comaratvamente à rodutvdade máxma observada nos N lanos de oeração observados, quando comutadas com tas multlcadores, quasquer que sejam eles ( desde que não-negatvos ). ortanto, os multlcadores ótmos justfcar a decsão da DMU e ν refletem as utldades relatvas mas aroradas ara ter emregado X ara gerar Y. Racocíno semelhante alca-se, mutats mutands, ao Modelo CCR Semnal orentado ara amlação da rodução. Essa flexbldade na escolha dos multlcadores e ν é uma das rncas característcas da Análse Envoltóra de Dados. Todava, no modelo CCR Semnal, essa flexbldade é excessva, vsto que ela ode levar à escolha de multlcadores economcamente não condzentes com a realdade, vsto que eles refletem taxas de troca e taxas de substtução. or exemlo, = ( ou ν = ) ndca que o roduto ( nsumo ) não tem utldade ara a DMUº, os a rodutvdade de todo lano de oeração vável fca nalterada qualquer que seja a quantdade desse roduto ( nsumo ). or consegunte, esse roduto ( nsumo ) não sera relevante ara essa DMUº, contrarando a hótese de, no Modelo CCR Semnal, todos os rodutos ( nsumos ) serem relevantes.

27 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 13 Há duas restrções báscas tradconalmente mostas ao Modelo CCR Semnal. A rmera exge que todos os multlcadores sejam ostvos, vsto que todos os rodutos e nsumos consderados na Análse Envoltóra de Dados devem ser relevantes ara a DMU. Nessa dreção, Charnes, Cooer & Rhodes ( 1979 ) elaboraram o Modelo CCR Básco. A segunda restrção estabelece lmtes ara os multlcadores de modo à tecnologa exbr retornos de escala varáves 16. Com essa fnaldade, Banker, Charnes & Cooer ( 1984 ) rouseram o Modelo BCC Básco. A valdação dos resultados da alcação da Análse Envoltóra de Dados deende da adequação dos multlcadores ao contexto ambental da DMUº. Nesse sentdo, ode ser necessáro lmtar anda mas a flexbldade dos multlcadores e ν a serem calculados elos modelos DEA. Dos são os enfoques mas freqüentemente encontrados na lteratura. O rmero mõe restrções dretamente em cada multlcador, atrbundo lmtes nferor multlcador ν e lmtes nferor l e sueror l e sueror L ara o multlcador L ara o ; também odem ser atrbuídos, nesse enfoque, lmtes nferor e sueror ara a razão entre dos multlcadores de nsumos ou entre dos multlcadores de rodutos. As rncas dfculdades desse rmero enfoque resdem na defnção de tas lmtes e na ossbldade de os lmtes estabelecdos tornarem nvável a busca de uma solução do modelo DEA construído. Dos Modelos são elementares nesse enfoque: o de Dyson & Thanassouls (1988 ) e de Al, Cook & Seford (1991). No segundo enfoque são mostas restrções à artcação do roduto ( do nsumo ) na rodução gerada ( no consumo realzado ). A forma mas elementar ara estabelecer os lmtes reconzados nesse enfoque encontra-se no modelo de Wong & Beasley ( 199 ). O estabelecmento desses lmtes também é a rncal dfculdade desse segundo enfoque. De um modo geral, os lmtes dos multlcadores ótmos são estulados va um rocesso de consenso de esecalstas. Todava, tendo em vsta esse rocesso ser muto caro, costuma-se emregar, nas etaas ncas e exloratóras de estudos DEA, os resultados emírcos da alcação dos Modelos CCR e BCC Báscos. 16 Uma tecnologa exbe retornos varáves quando nem toda amlação ou contração de um lano de oeraconal vável for necessaramente vável ( Fare, Grosskof & Knox Lovell, 1994 ).

28 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados O Modelo CCR Básco Charnes, Cooer & Rhodes ( 1979 ) modfcaram o Modelo CCR Semnal mondo as restrções ν ε, ε, ε> não-arqumedano, ara assegurar que todas as taxas de substtução e todas as taxas de troca sejam ostvas, como retratado no Modelo CCR Básco transcrto na Fgura 2.5 e nas assocadas Fguras 2.6 e 2.7, que aresentam, resectvamente, os Modelos CCR Báscos voltados ara contração do consumo e ara amlação da rodução. Reflexos desse conjunto de restrções são as varáves s, ara = 1,2,...,, e s, ara = 1, 2,...,, que aarecerem nas Formas do Enveloamento e que exlctam, resectvamente, folgas de consumo ( quantdades de nsumos dsoníves, mas não consumdas ) e excessos de rodução ( quantdades de rodutos geráves, mas não geradas ). Ω = max, ν = 1 = 1 y ν x sujeto a = 1 = 1 ν x y n n 1; n = 1,..., N ν ε; = 1,..., ε; = 1,..., ε >, não arqumedano Fgura 2.5 O Modelo CCR Básco

29 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 15 FORMA DOS MULTLCADORES FORMA DO ENVELOAMENTO C = max y = mn θ E - ε ( s s ) sujeto a sujeto a ν x = 1 y n zn s = y, = 1,..., ν xn yn, n = 1,..., N θ x x z s n n =, = 1,..., ε, = 1,..., θ R; ν ε, = 1,..., z n, n = 1,..., N ε >, não arqumedano s, = 1,..., s, = 1,..., ; ε >, não arqumedano Fgura 2.6 O Modelo CCR Básco orentado ara contração do consumo FORMA DO MULTLCADORES FORMA DO ENVELOAMENTO B = mn ν x = max λ F ε ( s s ) sujeto a sujeto a y = 1 λ y ynzn s =, = 1,..., ν xn yn, n = 1,..., N xn zn s = xo, = 1,..., ε, = 1,..., λ R; ν ε, = 1,..., z n, n = 1,..., N ε >, não arqumedano s, = 1,..., s, = 1,..., ; ε >, não arqumedano Fgura 2.7 O Modelo CCR Básco orentado ara exansão da rodução

30 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 16 As restrções ν ε, ε e suas varáves duas s e s garantem que o lano [ X,Y ] é efcente somente quando C = E =1 ou quando B = F =1. A rmera condção ( C = E =1 ) ocorre somente quando, no Modelo CCR Básco orentado ara contração do consumo, θ = 1, s = ara = 1,2,...,, e s = ara =1,2,...,, condções que asseguram o lano [ X,Y ] ser efcente segundo Koomans. Do mesmo modo, a segunda condção ( B = F =1 ) ocorre somente quando, no Modelo CCR Básco orentado ara exansão da rodução, λ = 1, s = ara = 1,2,...,, e asseguram o lano [ X,Y s = ara =1,2,...,, condções que ] ser efcente segundo Koomans. Assm, em ambos os casos, os multlcadores ótmos calculados elo Modelo CCR Básco são característcas de lanos efcentes segundo Koomans. or consegunte, [ X, = [ θ X s, Y Y ] s ] é uma meta efcente ( Koomans ) que ode ser estabelecda ara a DMU quando se deseja dmnur o consumo, e, [ X, [ X s, rodução 17. λ Y Y ] = s ] é uma meta efcente quando se deseja aumentar a O fato de ε> ser um número não-arqumedano traz dfculdades do onto de vsta comutaconal: a fxação de um valor ara ele. or um lado, a magntude de ε é varável, os deende das undades das meddas dos nsumos e dos rodutos; or outro, ε deve ser sufcentemente equeno ara que revaleça a orentação da avalação desejada, sto é, que a contração do consumo, refletda em mnmzar θ ou, alternatvamente, que a exansão da rodução, refletda em maxmzar λ, revaleça frente ao crescmento das folgas e dos excessos, refletda em maxmzar ε [ s s ] 18. ara contornar essa dfculdade, os Modelos CCR Báscos costumam ser resolvdos em duas fases: romovendo, na rmera, o maor deslocamento equroorconal na dreção da frontera de efcênca, mnmzando θ ou maxmzando λ, conforme a orentação desejada, como roosto no roblema da Fgura 2.8 ; 17 s - * = { s - * } e s * = { s * } corresondem aos vetores de folgas dos nsumos e excessos de rodução ótmos. 18 Al & Seford ( 1993 ) aborda com muta roredade esse roblema.

31 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 17 REDUÇÃO DO CONSUMO EXANSÃO DA RODUÇÃO θ = mn θ λ = max λ sujeto a sujeto a yn zn s = y, = 1,..., λ y ynzn s =, = 1,..., θ x xnzn s =, = 1,..., xn zn s = xo, = 1,..., θ R; λ R; z n, n = 1,..., N z n, n = 1,..., N s, = 1,..., s, = 1,..., ; s, = 1,..., s, = 1,..., ; Fgura 2.8 Fase da Solução Comutaconal do Modelo CCR Básco REDUÇÃO DO CONSUMO EXANSÃO DA RODUÇÃO E = max ( s ) s F = max sujeto a sujeto a ( s s ) yn zn s = y, = 1,..., λ y ynzn s =, = 1,..., θ x xnzn s =, = 1,..., xn zn s = xo, =1,..., z n, n = 1,..., N z n, n = 1,..., N s, = 1,..., s, = 1,..., ; s, = 1,..., s, = 1,..., ; Fgura 2.9 Fase da Solução Comutaconal do Modelo CCR Básco

32 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 18 romovendo, a segur, um deslocamento não-equroorconal na dreção da frontera de efcênca, maxmzando [ roblema da Fgura 2.9. s s ], como roosto no 2.5 O Modelo BCC Básco Banker, Charnes & Cooer ( 1984 ) modfcaram o Modelo CCR Básco ara ermtr à tecnologa exbr retornos varáves a mudanças na escala de oeração, como retratado nas Fguras 2.1 e A restrção adconal da tecnologa ser n convexa ( z = 1 ) mosta na Forma do Enveloamento do Modelo BCC Básco reflete-se na varável dual assocada M que caracterza a roredade da frontera de efcênca ser localmente crescente ( M*>1 ), constante ( M*= ) ou decrescente ( M*<1 ) na vznhança da solução efcente [ X, Y ] = n z [ X n, Y n ]. Salvo a restrção de convexdade da tecnologa, os Modelos CCR e BCC são guas. As nterretações dos multlcadores ν ε, ε, folgas s, = 1,..., ; e excessos s, = 1,..., ; do Modelo CCR Básco valem também ara o Modelo BCC Básco. Como a tecnologa do Modelo BCC é mas restrta que a do Modelo CCR, o valor ótmo θ do Modelo BCC é maor ou gual ao valor ótmo θ do Modelo CCR, quando há orentação ara contração do consumo; or sua vez, o valor ótmo λ do Modelo BCC é menor ou gual ao valor ótmo λ do Modelo CCR quando há orentação ara amlação da rodução. Ademas, os valores ótmos são guas somente quando a restrção de convexdade é noerante. Tas fatos são emregados ara testar se a tecnologa exbe retornos de escala varáves ou constantes na vznhança do lano efcente [ X, Y ] = z n[ X n, Y n ], osto que, quando os valores ótmos são guas, a restrção de convexdade é nócua, exstndo, ortanto, ndícos da tecnologa exbr retornos constantes; quando dferentes, da tecnologa exbr retornos varáves. A alcação smultânea dos Modelos CCR e BCC Báscos, além de ermtr dentfcar o to de retornos a mudanças de escala que a tecnologa exbe, também ossblta decomor a nefcênca técnca em duas comonentes: a nefcênca de

33 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 19 FORMA DOS MULTLCADORES FORMA DO ENVELOAMENTO C = max y M E = mn θ - ε ( s s ) sujeto a sujeto a ν x = 1 y n zn s = y, = 1,..., ν xn yn M, n = 1,..., N θ x x z s n n =, = 1,..., ε, = 1,..., z n = 1 z n, n = 1,..., N N n= 1 ν ε, = 1,..., θ R; ε >, não arqumedano s, = 1,..., s, = 1,..., ; ε >, não arqumedano Fgura 2.1 O Modelo BCC Básco orentado ara contração do consumo FORMA DO MULTLCADORES FORMA DO ENVELOAMENTO B = mn ν x M F = max λ ε ( s s ) sujeto a sujeto a y = 1 λ y ynzn s =, = 1,..., ν xn y n M, n = 1,..., N x nzn s = xo, = 1,..., ε, 1,..., ν ε, 1,..., N = z = 1 z, n = 1,..., N n= 1 = λ R; ε >, não arqumedano s, = 1,..., n n s, = 1,..., ; ε >, não arqumedano Fgura 2.11 O Modelo BCC Básco orentado ara exansão da rodução

34 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 2 escala e a nefcênca de gestão, como descrto detalhadamente or Banker, Charnes & Cooer ( 1984 ). 2.6 O Modelo CCR-DT de Dyson & Thanassouls ( 1988 ) Esse modelo fo alcado ara avalar a efcênca de deartamentos de muncíos ngleses ( DMUs ) em sua tarefa de arrecadar mostos ( rodutos ). Trata-se de um Modelo CCR Básco smlfcado, como descrto na Fgura 2.12, que emrega um únco nsumo ( recursos orçamentáros ) na geração de rodutos, sto é, trata-se de um modelo que smula a alcação de recursos orçamentáros no custeo da arrecadação dos város mostos muncas. Seja x a quanta de recursos orçamentáros emregada elo deartamento muncal ( DMU ) na arrecadação dos mostos Y = { y }. Seja x o a quanta de recursos orçamentáros gasta na arrecadação da quanta y do mosto, = 1, 2,...,. Então, x = x o. Observe-se que o roblema de otmzação da Fgura 2.12 é equvalente ao Modelo CCR-DT de Dyson & Thanassouls descrto na Fgura 2.13, quando = /ν, ara ν >. or consegunte: () quando o lano [ Ω = 1 e y = x, e, () quando nefcente, X,Y ] é efcente, então Ω < 1 e y < x. orém, nos dos casos, os multlcadores, = 1,..., semre são característcos de lanos de oeração efcentes. Observe, na Fgura 2.13, que. y e x tem a mesma undade de medda ( recursos orçamentáros ) os Ω = Ω é um número admensonal. Então o multlcador, = 1,..., ode ser nterretado como a quanta de recursos orçamentáros ( nsumo ) consumdo ara gerar uma undade monetára do mosto (roduto ).

35 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 21 Ω = max, ν ν x y = ( ) ν x y sujeto a ν x n y n = ( ν ) x n y n 1; n = 1,..., N ε; = 1,..., ν ε; ε >, não arqumedano Fgura 2.12 O Modelo CCR Básco smlfcado: um únco nsumo Ω = max x y sujeto a x n y n 1; n = 1,..., N ε, = 1,..., ε >, não arqumedano Fgura 2.13 O Modelo CCR-DT de Dyson & Thanassouls

36 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 22 Consdere as equações y = x e y < x. Tendo em vsta a defnção de x o, ode-se dzer que nos lanos efcentes, x o=. y corresonde à quanta de recursos orçamentáros gasta ela DMUº ara arrecadar, com efcênca, as yundades monetáras do mosto, vsto que, = 1,..., são multlcadores característcos de lanos de oeração efcentes. or outro lado, em lanos de oeração nefcentes, x o =. y ode ser nterretado como a quantdade mínma de recursos que a DMUº odera ter gasto, vsto que, = 1,..., são multlcadores característcos de uma meta efcente, formada como combnação lnear de lanos de oeração efcentes, que ode ser tomada como referênca ara a DMUº. Desse modo, como o lano [ X,Y ] é nefcente, então a DMUº tera gasto mas que o mínmo necessáro e, consequentemente, x > y. or consegunte, a DMUº gastou a quanta [ x y ] = [ 1 Ω ]. x a mas daquela necessára ara gerar Y efcentemente. Em resumo, no caso de um únco nsumo, o multlcador ótmo ode ser nterretado como sendo a quantdade do nsumo gasta na geração efcente de uma undade do roduto, nterretação 19 essa que ermte justfcar a quantfcação de lmtes ara os multlcadores dos rodutos. Baseados nesse fato, Dyson & Thanassouls estabelecem restrções ara os multlcadores dos rodutos, como descrto na Fgura Nesse Modelo CCR-DT, os lmtes nferor l e sueror L do multlcador corresondem às quantdades de nsumo mínma e máxma admssíves na geração de cada undade do roduto. 19 Essa nterretação não é válda quando há mas de um nsumo.

37 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 23 FORMA DOS MULTLCADORES FORMA DO ENVELOAMENTO B = mn ν x = max λ F ε ( s s ) sujeto a sujeto a y = 1 λ y y n n r s =, = 1,..., ν xn y n, n = 1,..., N x n zn l n L r s = x,. ν l, = 1,..., λ R; z, n = 1,..., N ν L, = 1,..., s, = 1,..., ν ε, = 1,..., s, ε, 1,..., n = r n = 1,..., ε >, não arqumedano ε >, não arqumedano Fgura 2.14 Forma dos Multlcadores e Forma do Enveloamento do Modelo CCR-DT 2.7 O Modelo CCR-WB de Wong & Beasley ( 199 ) As utldades ndvduas dos rodutos relatvamente à utldade da rodução do lano de oeração [ X,Y ], bem como as utldades ndvduas dos nsumos relatvamente à utldade do consumo desse lano, odem ser emregadas ara estabelecer lmtes ara os multlcadores e ν. Nessa dreção, esses autores roõem o Modelo CCR-WB descrto na Fgura 2.15, no qual: as utldades relatvas dos rodutos n e a utldade relatva dos nsumos x n no lano de oeração [ X n, Y n ] são meddas elas razões y n tytn e ν x n ν t x tn, resectvamente; lmtes nferor n l e sueror n L são fxados ara cada roduto de modo que: < l y y L, n = 1,..., N ; = 1,...,. n n t tn n lmtes nferor n l e sueror n L são fxados ara cada nsumo de modo que: < n l xn νt xtn ν n L, n = 1,..., N ; = 1,...,.

38 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 24 Ω = max sujeto a, ν = 1 = 1 y ν x = 1 = 1 ν x y n n 1; n = 1,..., N ν ε; 1,..., ε > l n = ; ε;, não arqumedano yn y t tn L n 1,..., = ;, n 1,..., N =, = 1,..., l n ν xn νt x tn L n, n 1,..., N =, = 1,..., Fgura 2.15 O Modelo CCR-WB de Wong & Beasley Duas são as rncas dfculdades no emrego desse modelo. A rmera dz reseto ao estabelecmento de um conjunto consstente ara os lmtes n l, n L, n l e n L. A segunda é de ordem comutaconal, haja vsta que 2N ( ) restrções são acrescentadas ao modelo CCR Básco quando o banco de dados for muto grande. Com vstas a contornar tas dfculdades costuma-se adotar uma das três alternatvas: alcar lmtes ara as utldades relatvas de alguns rodutos e de alguns nsumos somente no lano [ restrções adconas reduz-se a ( X,Y ]; nesse caso, o número máxmo de ); alcar lmtes ara alguns rodutos e alguns nsumos em todos os lanos observados; nesse caso, o número máxmo de restrções adconas é reduzdo a 2N ara cada nsumo ou roduto cuja utldade relatva fo lmtada;

39 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 25 alcar lmtes ara as quantdades médas geradas e consumdas consderando todos os lanos observados; nesse caso, o número máxmo de restrções adconas reduz-se a ( ). O Modelo CCR de Wong & Beasley com lmtes estabelecdos somente ara o lano de oeração [ X,Y ] e as corresondentes Formas dos Multlcadores e do Enveloamento, orentadas ara contração do consumo, estão descrtas nas Fguras 2.16 e or sua vez, as Fguras 2.18 e 2.19 transcrevem esse modelo quando os lmtes dos multlcadores são estabelecdos ara as médas dos rodutos gerados y = y N. As demas formulações do Modelo CCR de Wong & Beasley n são desenvolvdas de modo semelhante. sujeto a Ω = max y ν x, ν = 1 = 1 = 1 y ν x 1; n = 1,..., N ν ε; n = 1 n = 1,..., ε; = 1,..., ε >, não arqumedano l y t yt L, = 1,..., l ν x νt xt L, = 1,..., Fgura 2.16 O Modelo CCR-WB com lmtes nos multlcadores somente ara o lano de oeração [ X,Y ]

40 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 26 MODELO CCR-WB ORENTADO ARA EXANSÃO DA RODUÇÃO FORMA DOS MULTLCADORES B = mn ν x sujeto a y = 1 ν x n yn, n = 1,..., N l y y = l. y [ l 1]. y, = 1,...,. t t t t t y, = 1,..., l L. t yt = [1 L ]. y L. t yt t. t t t t t ν x νx = [ l 1]. ν x l. ν x, = 1,..., ν x, = 1,..., L νt xt = [ 1 L]. νx L νtx t t ε, = 1,..., ν ε, = 1,..., ε >, não arqumedano FORMA DO ENVELOAMENTO F = max λ ε ( s s ) sujeto a λ y ynzn [ l 1]. yr [1 L ]. y. n s =, = 1,..., x nzn [ l 1]. x. r [1 L]. x. n s = x = 1,..., λ R; z, n = 1,..., N n s, r, n, = 1,..., s, r, n, = 1,..., ε >, não arqumedano Fgura 2.17 A Forma dos Multlcadores e a Forma do Enveloamento do Modelo CCR-WB orentado ara exansão da rodução, com lmtes nos multlcadores somente ara o lano de oeração [ X,Y ]

41 Caítulo 2 Análse Envoltóra de Dados 27 sujeto a Ω = max y ν x, ν = 1 = 1 = 1 y ν x 1; n = 1,..., N ν ε; n = 1 1,..., ε > l l n, não arqumedano t = ε; t = 1,..., y y L, ara y = y e = 1,..., ν x νt xt L, ara x = xn e n = 1,..., Fgura 2.18 O modelo CCR-WB com lmtes dos multlcadores assocados às quantdades médas dos rodutos gerados 2.8 O Modelo CCR-ACS de Al, Cook & Seford ( 1991 ) Golany (1988) descreveu crcunstâncas e formas de serem usadas lmtações de relações ordnas ara taxas de substtução de nsumo e/ou taxas de troca ara rodutos. Al, Cook & Seford (1991) detectaram ncoerêncas matemátcas no modelo de Golany e rouseram aerfeçoamentos sob a forma de dos modelos: um consderando relações ordnas fortes, segundo as quas duas taxas de substtução (ou de trocas ) não oderam assumr valores guas; e outra consderando relações ordnas fracas, segundo as quas duas taxas de substtução (ou de troca ) oderam assumr valores guas. A Fgura 2.2 aresenta o Modelo CCR de Al, Cook & Seford com relação forte ara as taxas de troca dos últmos b rodutos, uma vez que as restrções > 1 ara = ( b 1),...,( 1) exressam o ordenamento b 1> b 2>... > 1> ε >. De modo dêntco, a Fgura 2.21 transcreve o Modelo CCR-ACS com relação fraca, vsto que as restrções 1 exressam o ordenamento b 1 b ε >. Modelos CCR de Al, Cook &