UTILIZAÇÃO DA TEORIA DA RESPOSTA AO ITEM NA PRODUÇÃO DE INDICADORES SÓCIO-ECONÔMICOS

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1 versão mressa ISSN / versão onlne ISSN UTILIZAÇÃO DA TEORIA DA RESPOSTA AO ITEM NA PRODUÇÃO DE INDICADORES SÓCIO-ECONÔMICOS Tuf Machado Soares Deartamento de Estatístca Centro de Avalação Educaconal (CAEd) Unversdade Federal de Juz de Fora (UFJF) Juz de Fora MG tuf@estatstca.ufjf.br Recebdo em 03/004; aceto em 0/005 Receved March 004; acceted January 005 Resumo No Brasl a Teora da Resosta ao Item (TRI) tem sdo emregada rncalmente na rodução de índces de rofcênca ara alunos que resondem a testes de avalação educaconal em larga escala. No entanto, seus dferentes modelos ermtem construr ndcadores com as mas varadas fnaldades, e este é o caso dos ndcadores de condção sóco-econômca. Este estudo aresenta e comara algumas técncas emregadas ara a rodução de ndcadores da condção sóco-econômca, tendo como base modelos da teora da resosta ao tem. Como estudo de caso utlza-se a rodução de índces do adrão de vda das famílas dos alunos que artcaram do SIMAVE/PROEB (00) Programa de Avalação Educaconal do Estado de Mnas Geras. Adconalmente, o trabalho fornece sugestões ara a contnudade da rodução de ndcadores sóco-econômcos dentro do âmbto do SIMAVE. Palavras-chave: teora da resosta ao tem; modelo ara resostas graduadas; ndcadores da condção sóco-econômca. Abstract In Brasl, the Item Resonse Theory (IRT) has been used on the roducton of the ul s rofcence n large scale assessment. However, ts dfferent knds of models may be used to buld others ndces as s the case of soco-economc status ndex. Ths study resents and comares some technques based on IRT that can lead to these ndces. As a case study, the soco-economc ndex of the ul s famly, who have artcated of the SIMAVE-00 assessment rogram of the Mnas Geras State, s roduced. In addton, t s gven some suggestons and gudelnes for future soco-economc status ndex that wll be roduced n SIMAVE. Keywords: tem resonse theory; multdmensonal model; soco-economc status. Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

2 . Introdução Prncalmente nas áreas de cêncas socas, cêncas humanas e cêncas da saúde, é comum o nteresse em avalar determnados constructos teórcos, que se caracterzam or serem varáves latentes (não dretamente observadas) como or exemlo, a habldade cogntva de um aluno em língua ortuguesa, a satsfação no trabalho, a ansedade, a deressão, a condção sóco-econômca. Tas constructos, em geral, são abstrações teórcas defndas dentro de uma rede de relações roduzdas a artr de város outros constructos (cf. Sector, 99). Por não serem dretamente meddos, a escala de valores segundo a qual esses constructos são avalados é roduzda a artr de nstrumentos (testes, questonáros, etc) que se consttuem de tens (questões do teste ou erguntas esecífcas, devdamente estruturadas de acordo com um modelo que será emregado) que, no entender dos esecalstas que os elaboram, se assocam dretamente ao constructo (ou constructos) de nteresse. Assm, as varáves roduzdas a artr das questões aresentadas no nstrumento são varáves ndcadores do constructo que se deseja medr. Exstem dferentes técncas ara se obter uma medda do constructo e, grosso modo, odem ser dvddas segundo as chamadas técncas clásscas, onde o modelo ara a construção da escala é dretamente baseado no resultado obtdo no nstrumento como um todo, e técncas onde modelos esecífcos são construídos ara cada tem do nstrumento e a construção da escala consdera todos esses modelos ndvduas. Nesse últmo caso, odem ser classfcadas as técncas baseadas na teora da resosta ao tem (TRI) que, orgnalmente, foram emregadas na rodução de escalas de rofcênca em testes de avalação educaconal. Dentre as vantagens que a TRI aresenta sobre as técncas clásscas estão: A TRI ermte uma melhor análse de cada tem que consttu o nstrumento de avalação (ou medda), consderando suas característcas estatístcas esecífcas na rodução das escalas, como as que medem a caacdade de dscrmnar os ndvíduos e as dfculdades dos tens; faclta, também, a nterretação da escala roduzda e ermte conhecer, dretamente, quas tens estão roduzndo a nformação gerada ao longo do contnnum de valores, segundo o qual a escala é construída, tcamente o conjunto dos números reas; além dsso, a TRI ermte a comarabldade dos resultados roduzdos ara gruos de ndvíduos dferentes, mesmo quando nstrumentos (arcalmente) dferentes são alcados; fnalmente, A TRI ermte um tratamento natural de casos com dados faltantes. Os crtéros habtuas exgem que todos os tens sejam reenchdos ou, então, que alguma técnca de reenchmento de dados ausentes seja emregada. No caso da TRI, na estmação da varável latente quando exstem dados faltantes emregam-se aenas os tens resonddos. No Brasl, o crtéro mas utlzado com a fnaldade de medr a condção sóco-econômca é o crtéro de classfcação econômca Brasl, roosto ela ANEP Assocação Naconal de Emresas de Pesqusa, baseado em um estudo realzado em 996 numa amostra de 0000 domcílos urbanos em cdades com mas de 0000 habtantes. Esse crtéro tem a fnaldade rncal de referencar as emresas de esqusa e onão ara medr a caacdade de comra dos consumdores. A escala roduzda se basea numa ontuação bruta onderada a artr de uma sére de questões que avalam a osse de determnados bens de conforto doméstco, como número de aarelhos de rádo, geladeras, etc, além da escolardade do chefe da famíla. Para se chegar aos esos da ontuação, são realzados estudos como o menconado e, desses estudos, modelos de regressão clásscos são construídos tendo como varável deendente a renda famlar. No resente estudo, devdo às característcas esecífcas da oulação consttuída elas famílas dos alunos que artcam do SIMAVE (rural, urbana de grandes e médos muncíos, e, anda, urbana de 84 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

3 equenos muncíos) otou-se ela rodução de uma escala, e conseqüentemente uma classfcação, róra. O objetvo desse trabalho é, ncalmente, aresentar algumas técncas ara rodução de ndcadores da condção sóco-econômca do ndvíduo (adrão de vda) baseadas em modelos da Teora da Resosta ao Item. Esses estudos foram desenvolvdos a artr da exerênca do autor com os dados do SIMAVE/PROEB (Sstema Mnero de Avalação Educaconal/Programa de Avalação da Educação Básca Rede estadual e arte da rede muncal) com esse to de metodologa. Adconalmente, este estudo tem, também, o objetvo de aoar uma decsão sobre qual sera a melhor metodologa, com o menor número de varáves ossível, que roduzra uma medda adequada às fnaldades do SIMAVE/ PROEB da condção sóco-econômca dos alunos que artcam das avalações educaconas que erodcamente vem sendo realzadas. A ntrodução do menor número ossível de varáves reserva esaço nos questonáros ara outras questões relevantes. Embora natural, o que não quer dzer trval, no contexto da TRI, não é, anda, comum no Brasl a utlzação desse to de ferramenta na rodução de ndcadores da condção sócoeconômca. Soares & Mambrn (003) aresentam um trabalho onde comaram o efeto roduzdo sobre a nota dos alunos no vestbular da UFMG do escore roduzdo elo crtéro Brasl e o escore roduzdo or um esecífco modelo da TRI. Em outros estudos, que emregam modelos multnível (cf. Bryk & Raudenbush, 99) em esqusas educaconas, escores sóco-econômcos foram construídos com a fnaldade de observar a nfluênca dessa varável sobre a rofcênca do aluno. Esecfcamente, o emrego de modelos da TRI arece ser o caso do estudo de Fletcher (998), onde o autor, rovavelmente, utlza o modelo de dos arâmetros. Além desse, exste o trabalho de Soares (003). Nas seções, 3, e 4 serão revstos concetos báscos sobre as rncas estatístcas e modelos utlzados na construção dos índces. Preferu-se enfatzar o que não tem sdo muto abordado na lteratura braslera evtando, or outro lado, reetr o que já fo sufcentemente bem aresentado. Assm, rocurou-se aresentar deduções e justfcatvas das estatístcas e dos rocessos construtvos dos modelos que, em geral, não são bem dscutdos. Na seção aresentam-se as rncas estatístcas chamadas de clásscas ara testes scométrcos que são mortantes ara análses relmnares, mesmo quando se emregam modelos da Teora da Resosta ao Item. Na seção 3 ntroduz-se à teora da resosta ao tem, enfocando os modelos que são emregados neste estudo e, na seção, 4 aborda-se a questão da dmensonaldade do nstrumento alcado. Na seção 5 aresentam-se os rocessos construtvos de três índces, a artr de varações metodológcas, fazendo-se uma análse comaratva dos três dferentes índces roduzdos.. Métodos Clásscos ara Dscrmnação dos Itens e Análse da Dmensonaldade. Correlação onto bsseral Consdere o caso de testes consttuídos or tens bnáros ou dcotômcos, sto é, tens ara os quas se admte duas resostas ossíves. A correlação bsseral e a correlação onto bsseral são meddas estatístcas que medem a correlação do resultado de um tem em artcular do teste com o resultado do teste (sto é, o escore bruto total), sendo, ortanto, uma medda da caacdade de dscrmnação do tem em relação ao resultado do teste. A correlação onto bsseral é a correlação de Pearson e uma exressão que consdera, exlctamente, os arâmetros da dstrbução ode ser obtda. Para tanto, admta que S reresente o escore Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

4 bruto obtdo no teste. Admta que Y reresente o resultado da resosta atrbuída a um tem, uma varável dcotômca (no caso de testes educaconas, or exemlo, atrbu-se o valor Y = 0, se a resosta for errada, e Y =, ara uma resosta correta; e, no caso de um tem que avala a condção sóco-econômca Y = reresenta a osse de um bem, or exemlo). O índce de correlação de Pearson é defndo or: ρ SY ESY ( ) ESEY ( ) ( ) = σ σ Uma estmatva natural obtda sobre o resultado do teste é a segunte: Y S ρ ρ b S S = σ S q onde S é o escore médo no teste ara os que acertaram o tem e S é o escore médo no teste ara todos. é a roorção dos que acertaram o tem no teste, σ S é o desvo adrão dos escores obtdos nos testes elos resondentes e, a estmatva ρ ara a correlação de Pearson é o que freqüentemente se denomna na lteratura de correlação onto bsseral. b. Correlação bsseral Seja Z uma varável aleatóra (não observada), assocada ao constructo latente do resondente, tal que Z ~ N(0,). Admta anda que o escore bruto do resondente no teste se assoca lnearmente a essa varável da segunte forma: S = AZ + B+ ε, onde E( ε ) = 0 e, E( ε Z ) = 0. Note-se que E( S ) = A E( Z ) + B e, então a correlação de Pearson ara S e Z é dada or: ρ SZ E(AZ + BZ) E(S)E(Z) A A = = σz = σ σ σ σ Z S S Sejam dos conjuntos de ossíves resondentes, os que acertam o tem e os que erram o tem. Assm, E( S Y = 0 ) = A E( Z Y = 0 ) + B e, E(S Y = ) = AE(Z Y = ) + B, tal que: S E( S Y = 0 ) E( S Y = ) A = E( Z Y = 0 ) E( Z Y = ) () É fácl obter estmatvas ara os termos no numerador da equação (), basta tomar a méda dos escores em todo o teste dos que acertam e dos que erram o tem. O mesmo não ocorre em relação ao denomnador or se tratarem de varáves latentes. Admte-se, então, que os resondentes que acertam o tem são os que aresentam valores ara Z suerores à, onde z z é tal que ZP e z π dz =. Logo, defnndo h( z ) z e, tem-se que: π h( z ) E( Z Y = ) = e, q h( z ) E( Z Y = 0 ) = q 86 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

5 Assm, de (): A = E( S Y = 0 ) E( S Y = ) h( z ) h( z ) q e uma estmatva ara a correlação de Pearson é dada, então, or: ρ bs ρ SZ S q S = h( z ) h( z ) q σ S onde S q é o escore bruto médo ara os que erram o tem, S é o escore bruto médo ara os que acertam o tem, h( z ) é o valor da função de densdade normal adrão em z, é a roorção dos que acertaram o tem no teste e, σ S é o desvo adrão dos escores brutos obtdos no teste. Fnalmente, ode-se mostrar que: ρ bs q = ρb. () h( z ).3 Correlação olsseral e onto olsseral Os concetos de correlação onto bsseral e bsseral odem ser estenddos ara o caso de tens oltômcos, os quas aresentam mas de duas categoras ordenadas de resostas (T 0,T,...,T m ),T K+ T K. A correlação onto olsseral ( ρ ) ol é defnda, smlesmente, como sendo a correlação de Pearson entre o escore bruto do teste ( S ) e o escore do tem, meddo segundo uma escala ordenada de nteros cujas dferenças entre dos valores sucessvos seja semre a mesma (or exemlo, (0,,,..., m)). A correlação olsseral é defnda com base na relação () da segunte forma: onde escores. k + ρ = ρ ol ol m k= 0 σ h( z )(T T ) k+ k+ é a roorção dos que alcançaram o escore k e σ é o desvo adrão dos k (3).4 Correlação tetracórca Esse índce mede a correlação entre os resultados dos tens de um teste. Suonha que Z ~ N(0,) seja uma varável (e, assocada a habldade latente) relaconada à resosta correta ou não atrbuída ao tem e Z ~ N(0,) reresente a varável (gualmente assocada a habldade latente do ndvíduo) também assocada à resosta correta ou não ao tem. Seja a roorção dos que acertam o tem e dos que acertam o tem. Admta que, os que Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

6 acertam o tem são os que aresentam valores ara os que aresentam habldade Z z, onde: Z z, e, os que acertam o tem são u u e e = du e, = π π du zp z Se Z e, Z são normalmente conjuntamente dstrbuídas com coefcente de correlação ρ então a dstrbução conjunta das duas varáves é dada or: Z z ),Z(z, ; ρ = π ρ e (z + z ρ z z ) ( ρ ) (4) Então, a robabldade de acerto de ambos os tens é dada or: ( u + u ρ uu) ( ρ ) = du π ρ z z (5) e du Como a relação é uma função mlícta de ρ, uma solução ara a equação acma tem que ser encontrada a artr de aroxmações numércas. Um método ara obter-se uma aroxmação é o de Dvg (979), que está dsonível no software TESTFACT (cf. Wlson et al., 998). 3. Teora da Resosta ao Item 3. Introdução Conforme dversos autores (ver, or exemlo Baker, 993), a teora a resosta ao tem surgu com os trabalhos oneros de Lord (95) e Rasch (960). Esses autores foram os rmeros a roor modelos estatístcos aramétrcos ara tens de testes, que assocavam a robabldade de uma dada resosta (ncalmente, certa ou errada) a uma varável latente (não observada) nterretada como sendo a rofcênca ou habldade dos resondentes dentro de um contexto de testes ara avalação educaconal ou avalação scométrca. Incalmente, fo utlzada a dstrbução normal acumulada na esecfcação do modelo. Brnbaun (968) sugeru utlzar a função logístca os, elo fato de ser uma função exlícta dos arâmetros dos tens e da rofcênca, é matematcamente mas convenentemente. Desde então, essa teora tem tdo notável avanço teórco, sendo que novos modelos têm sdo ncororados, o que tem trazdo grande versatldade a suas alcações. É o caso dos modelos oltômcos, que ncororam váras categoras das resostas (além das dcotômcas: certo ou errado), os modelos multdmensonas, que ermtem roduzr escalas ara mas de uma varável latente assocada, or exemlo, quando se admte à déa de dferentes habldades ara o desenvolvmento cogntvo do aluno e, anda, os modelos que ncororam comortamento dferencado entre os tens em gruos dferentes conhecdos como modelos ara gruos múltlos. 88 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

7 3. Modelo logístco de dos arâmetros (undmensonal) Admta que Y seja uma varável aleatóra dcotômca assumndo os valores 0, ou,. No caso esecífco de um teste educaconal o valor 0 está assocado a uma resosta errada e, o valor a uma resosta certa or arte do aluno. O modelo de dos arâmetros exressa, então, a relação entre a varável latente θ e a resosta dada ao tem da segunte forma: Da( θ b) e P( Y = ; θ, a, b) = (6) D a( θ b) + e onde o índce reresenta o tem; a é denomnado arâmetro de dscrmnação do tem; b é denomnado de arâmetro de dfculdade do tem. D é um fator de escala, constante, e normalmente gual a,7, usado ara aroxmar a curva logístca da dstrbução normal. Esse fator de escala faz com que ara um dado θ a robabldade PY ( = ; θ ) seja aroxmadamente a mesma nos dos tos de modelos e, conseqüentemente, ermte que os valores de θ dos ndvíduos sejam estmados com valores muto róxmos em ambos os casos. Como se ode notar, o arâmetro b reresenta o onto na escala da varável latente θ, ara o qual há 50% de chance de escolha da resosta reresentada or Y = elo ndvíduo. É fácl observar que se (6) for dervada em relação à θ, a função resultante atnge seu máxmo em θ = b com um valor gual a 0,45 a. Portanto, quanto maor for o valor do arâmetro a, mas sensível torna-se o modelo a varações na habldade em torno de seu onto de dfculdade. Por sso, ele é conhecdo como arâmetro de dscrmnação do tem. Na Fgura, aresenta-se a denomnada curva característca de um tem, sto é, a reresentação dos valores sob forma de gráfco de um modelo em função de θ, enfatzando as roredades de seus arâmetros: Podem ser consderadas como varáves ndcadoras da condção sóco-econômca, a osse de determnados bens como or exemlo eletrodoméstcos, automóvel, etc. Assm, Y reresentará a osse ou não de um certo to de bem, e o modelo (6) será emregado ara Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

8 assocar o nível sóco-econômco (reresentado ela varável latente θ) com a robabldade de o ndvíduo ossur o bem. O modelo abaxo corresonde ao tem Q9 (Se a famíla do aluno ossu ou não aarelho de vídeo cassete) utlzado na construção do escore sócoeconômco do SIMAVE-00. O arâmetro de dscrmnação estmado ara esse tem fo a =.9, e o arâmetro de dfculdade fo b = 0.8. No resente caso o índce de dfculdade ode ser nterretado como o onto da escala corresondente ao nível sóco-econômco ara o qual a robabldade de uma famíla ossur um aarelho de vídeo cassete é de 0.5. Note-se que esse tem aresenta boa dscrmnação e, conseqüentemente, bom nível de nformação, ara os valores da condção sóco-econômca em torno de Modelo logístco ara resostas graduadas O modelo de resostas graduadas é uma generalzação do modelo de dos arâmetros ara o caso de mas de duas categoras ordenadas de resostas. Para sua formulação admta, ncalmente, que o ndvíduo ossa alcançar aos seguntes níves, tendo em vsta as suas resostas atrbuídas ao tem, η = η, η,, η. Admta, anda, que tendo alcançado o nível η, ele 0 m tenha também alcançado os níves η j ara j. Assm, consdere a classe de eventos N = {( η 0 ), ( η 0, η ),..., ( η 0, η,..., η )} onde N = ( η0, η,..., η ) é o evento que reresenta m o fato de o ndvíduo ter alcançado o nível η e, N é o corresondente evento comlementar. A resosta dada ao nstrumento será classfcada segundo a escala ordnal K = 0,,..., m onde K =, reresenta que o ndvíduo alcançou o nível η e não alcançou os níves η j, j. Assm, ( = ; θ ) = ( ; θ) P K P N N + (7) 90 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

9 Note-se ncalmente, que: tal que, or recorrênca: ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) P N ; P N ; P( N N ; θ ) = P( N N ; θ ) = P N ; P N ; P( N ; θ ) = P( N j N j ; θ) P( N 0; θ) = P( N j N j ; θ) j= j= Admtndo que P ( N 0 ; θ ) =. O Termo P( Nj Nj ; θ ) é conhecdo como função de rocessamento, rocessng functon (cf. Samejma, 996). De (7): ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) P K = ; = P N N + ; = P N + N ; P N ; = = P( N + N ; θ ) P( N ; θ) = P( N j N j ; θ) P( N + N ; θ) j= + θ = 0 e, conseqüente- Para um fechamento da exressão (9), defne-se que P( Nm Nm ; ) mente, P( N + ; θ ) = 0. Por outro lado or (8) e (9): m ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) P K= θ = P N P N θ + N θ P N θ = (8) (9) = P( N ; θ) P( N + N ; θ) P( Nj Nj ; θ ) = P( N ; θ) P( N ) (0) + ; θ j= Samejma (997), estabelece 4 condções ara se defnr adequadamente um modelo P( N ; θ ), entre elas a de que exsta solução únca ara o estmador de máxma verossmlhança de θ (ver Samejma, 997). De fato, essas condções são satsfetas quando se admte que: ( ) P N ;θ ( θ + ) ( θ + ) e Da b c = + e Da b c ou seja, a robabldade de se alcançar elo menos o nível η é reresentado or um modelo de dos arâmetros, onde a dfculdade corresondente ao tem é modulada elo arâmetro, característco do nível. E, ortanto: C P = θ = + e Da θ b + c + e Da θ b + c + ( K ; ) ( ) ( ) onde C 0 = e, b, = b C é a dfculdade de se alcançar elo menos o nível no tem. O segunte exemlo lustra uma alcação de modelos ara resostas graduadas. Novamente, utlzando-se os dados do Smave-00, o modelo abaxo fo o encontrado ara a questão que Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005 9

10 erguntava sobre o número de televsores que a famíla do aluno ossuía (as ossbldades de resostas foram as seguntes: nenhum, televsor, ou mas). Para esse to de tem, a robabldade de escolha de cada resosta ode ser modelada através modelos de resostas graduadas. E o segunte modelo fo obtdo (a = 0.767, b = , C 0 =, C =.535, C = -.535), a robabldade de cada resosta está reresentada no gráfco abaxo: Note-se que a robabldade de não ter televsor é mas elevada nas famílas de escores sócoeconômcos mas baxos, decando com o aumento da condção sóco-econômca. A robabldade de a famíla ter aenas um televsor é mas elevada nas famílas com escores medanos e a robabldade de se ter dos ou mas televsores é característco de famílas mas abastardas. É mortante observar que: a a ( θ b + c ) = s s( b t) s( c t) ( s 0) s θ + o que, naturalmente, conduz a um roblema de dentfcabldade dos arâmetros se não forem C + + Cm admtdas restrções adconas. Assm, admte-se que = cte (0.0, tcamente) m o que resolve o roblema de dentfcabldade nesses casos. Por últmo, deve-se notar que o modelo de resostas graduadas se reduz ao modelo de dos arâmetros quando m =. 9 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

11 3.4 Estmação dos escores de habldades (θ) a artr do método de máxma verossmlhança (maxmum lkelhood) Admta-se que um tem, tenha m categoras de resostas. Seja P ( K ;θ ) o modelo que reresenta a robabldade de escolha do K-ésma categora (K = 0,,..., m ) admta, anda, que os arâmetros desse modelo sejam conhecdos e se deseja estmar o valor de θ ara um dado adrão de (escolha ou resosta) Г(I) = (K, K,..., K I ) de um ndvíduo em I tens dferentes que consttuem o teste aresentado a ele. Consderando que as resostas atrbuídas aos dferentes tens são ndeendentes quando condconadas a habldade θ, roredade conhecda como ndeendênca local dos tens, a função de verossmlhança ara esse adrão de escolhas é dada or: I ( θ ; Γ ) = P ( K ; θ ) () = e, or convenênca matemátca dada as característcas dos modelos utlzados, o seu logartmo Neerano é reresentado or: ( θ Γ ) I = L ; = log P( K;θ ) () Uma estmatva ara θ é obtda então maxmzando () ou, equvalentemente, (). Por sso, o termo verossmlhança máxma. Consderando a condção necessára ara a obtenção L ( θ ; Γ ) da solução ótma, = 0, tem-se: θ I P'(K ; θ ) = 0 (3) = P(K ; θ ) A solução de (3) não ode ser obtda analtcamente ara os modelos consderados, or sso deve ser resolvda através de rocedmentos numércos teratvos. O método mas usado na TRI é o conhecdo método de Newton-Rahson (cf. Mnoux, 986). A equação de teração desse rocedmento é dada or: ( θ; Γ ) L( θ; Γ ) θ θ ˆ( ) ˆ L θ Γ = θ( Γ ) t+ t t t (4) e, a solução ara (3) é obtda a artr do momento que crtéro de convergênca seja alcançado, como or exemlo: ˆ θ ˆ t (.) θt(.) δ (δ equeno). Obvamente, ara se emregar L(.) L(.) o método é necessáro se obter as fórmulas ara o Gradente e Hessano em ( θ ) θ cada to de modelo dferente. No caso dos modelos da TRI aqu emregados, a obtenção de fórmulas exlíctas não reresenta maores roblemas e odem ser obtdas analtcamente (ver, or exemlo, Baker, 993; Andrade et al., 00). Sabe-se que no caso dos modelos de resostas graduadas a solução exste e é únca (ver, or exemlo, Samejma, 997). Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

12 3.5 Função de nformação do tem e nformação do teste Muto embora sua orgem tenha sdo um ouco dstnta, a defnção da função de nformação de um tem roosta or Brnbaum (968), derva dretamente da função de nformação de Fscher e, ortanto, consdere: L(.) I P" ( ) ( K ; θ) P' ( K ; θ) I θ = E( ) = E{ + } θ = P( K ; θ ) P ( K ; θ ) (5) onde P ' reresenta a dervada com reseto à habldade θ. Assm, elo fato de a dstrbução dos valores das resostas ser dscreta o valor da nformação no teste é dado or: ( ) ( j θ ) ( ) ( θ) ( ) ( θ) I m m P ' K j; θ P " K j; θ I P ' K j; θ I( θ ) = P ( K j; θ ) = P" ( K j; θ) (6) = j= P K ; P K j; = j= P K j; e essa é a função de nformação eserada de um determnado teste. Note-se que a ndeendênca das resostas atrbuídas aos tens é essencal ara obtenção da exressão na forma acma. Para um tem esecífco, a nformação é dada or: ( θ ) ( θ ) m P' K j; I ( θ ) = P" ( K j; j= P K j; θ ) Partcularmente, no caso de modelos dcotômcos (m = ), tem-se que P( 0; θ ) = P( ; θ ) e então: P' ( ; θ) P' ( ; θ) I( θ ) = P"; ( θ) + + P"; ( θ) = P( ; θ) P( ; θ) P' ( ; θ ) ( θ ) ( ( θ )) P ; P ; que é a exressão roosta or Brnbaum ara a nformação de um tem dcotômco. Fórmulas exlíctas ara os dversos modelos odem ser encontradas em Baker (99) mas também odem ser obtdas faclmente ara modelos de dos arâmetros e modelos de resostas graduadas. (7) (8) 3.6 Estmação dos arâmetros do modelo Neste trabalho fo utlzado o método da Máxma Verossmlhança Margnal (ou margnalzada) ara a estmação dos arâmetros dos modelos (cf. Bock & Leberman, 970). Admta que P( K ; θ, P ) seja o modelo de robabldade corresondente a escolha de K no -ésmo tem (K=,..., m ). A déa orgnal de Bock & Leberman (970), fo a de consderar, ncalmente uma dstrbução g ( θ, η ) ara as rofcêncas θ, onde η são os herarâmetros da dstrbução (conhecdos ou arbtrados nesse to de modelo), e resolver o roblema de estmar os arâmetros consderando a méda segundo essa dstrbução sobre o esaço de arâmetros ncdentas θ. Isto é, esses autores roõem resolver, ncalmente, o roblema de encontrar P que maxmze a verossmlhança margnal: 94 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

13 N M ( P ; Γ ( I )) = P ( K( j); θ, P ) g( θη, ) dθ (9) Θ j= I( j) ou, equvalentemente, como as resostas dos examnandos são ndeendentes: N LM ( P ; Γ ( I) ) = log P ( K( j); θ, P ) g( θη, ) dθ j= Θ I( j) (0) Encontrados os arâmetros, os arâmetros ˆ θ, j =,..., N, oderam ser faclmente PˆM estmados numa etaa osteror. A otmzação da exressão acma aresenta a dfculdade nerente à avalação da ntegral e, or sso, é aroxmado or um roblema onde a ntegral é dscretzada nos chamados ontos de quadratura. Isto é, consderando os ares ( θq, Aq = g( θq; η) θq) com Q ontos fntos ( grande o sufcente ara se alcançar uma boa aroxmação), o roblema aroxmado consste em encontrar j PˆM que maxmze: N Q L ( P M, Q ; Γ ( I) ) = log P ( K( j); θ, P q ) Aq () j= q= I( j) A condção necessára ara se obter a solução ótma é dada or: Defnndo, N Q log P ( K( j); θq, P) Aq = P j= q= I( j) N Q Q = P( K( j); θq, P) Aq. Aq P( K( j); θq, P) = 0 () j= q= I( j) q= P I( j) N I( j) q ( ; P ): = ( ( ), ) Q j= q= I( j) r K u K j K ( ( ); θ, P ) P K j A q q P ( K( j); θq, P ) Aq onde u( K ( j), K ) = se K ( j ) = K e u( K ( j), K) = 0 se K ( j) K, ode-se (cf. Backer, 99) mostrar que () ode ser colocada na segunte forma: m Q r ( K; P ) P ( K; θ, P ) P( K; θ, P ) = 0 =,..., I q q q q= K= P Se as rofcêncas fossem conhecdas, r ( K; P ) reresentara a freqüênca observada de q rofcêncas no ntervalo q. Aqu, como as rofcêncas são desconhecdas, esse termo ode ser nterretado como a freqüênca eserada de rofcênca no ntervalo q, condconada aos arâmetros do modelo P. Bock & Atkn (98) roõe um rocedmento teratvo onde: ) Admte-se um valor Pˆ t rovsóro ara os arâmetros. ) Calcula-se ( ; ˆ t r K P ), K =,..., m, =,..., I. q (3) Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

14 ) Resolve-se (8), calculando P ˆ t+ ara r ( K; P ˆ t ) do asso ). q v) Se P ˆt+ Pˆt, o algortmo alcançou convergênca e a solução deve ter sdo alcançada. Caso contráro, deve-se retornar ao asso ). A justfcatva ara o emrego do algortmo acma e, conseqüentemente, justfcatvas ara uma rovável convergênca do algortmo advém de sua nterretação dentro das condções geras ara o conhecdo algortmo EM, conforme estudado em Demster, Lard & Rubn (977). Note-se que a estmatva obtda deende crucalmente da função g ( θ, η ) que se admte ara as rofcêncas. No BILOG-MG há, grosso modo, três ossbldades: fxa (normal), fxa (com valores de quadratura fornecdos elo usuáro), e, emírca, com valores de quadratura re-estmados a cada asso do algortmo acma. 4. Análse da Dmensonaldade 4. Modelo de análse fatoral ara varáves dcotômcas Tanto o método de análse da dmensonaldade assocada a um conjunto de varáves dcotômcas que consste na nseção dos autovalores da chamada matrz de correlação tetracórca quanto o método da análse fatoral lena (cf. Bock & Atkn, 98; Bock, Gbbons & Murak, 988; Murak & Engelhard, 985) foram roostos a artr de uma adatação do modelo tradconal de análse fatoral que consdera a estrutura de dmensões assocadas a varáves contínuas. Novamente, como no caso de algumas estatístcas clásscas a defnção de uma varável artfcal é a chave ara a construção do método. Assm, defnndo uma varável X, tal que σ X =, e E(X ) = 0, e o relaconamento dessa varável com a varável dcotômca Y que reresenta a resosta atrbuída ao tem (assumndo os valores 0 ou ) é tal que: se X γ, então Y = e, se X < γ, então Y = 0. O modelo de análse fatoral é então defndo a artr da varável X da segunte forma: X λ λ λ d θ e X λ λ λ d θ e X = = + = Λ θ Xn λn λn... λnd θd en Os valores λ j são conhecdos como as cargas assocadas ao fator θ j e à varável X, sendo uma medda do grau de assocação entre o fator e a varável. Reresenta-se o vetor de dmensões latentes assocadas or θ e, or hótese, admte-se que E(θ e) = 0 e, E(θ θ j ) = 0 ara j, e, anda, que e ~ N(0, Ψ), com Ψ dagonal. Dessa forma, sob essas hóteses é fácl mostrar que a correlação de X é dada or: Σ = Λ Θ Λ + Ψ, onde Θ é a matrz de covarânca de θ. Em artcular, se o modelo é undmensonal, então as lnhas de Λ Θ Λ serão todas lnearmente deendentes entre s e assm, ortanto, os seus autovalores serão todos zeros exceto um deles. Na rátca, a undmensonaldade deve ser entendda como a redomnânca de uma únca dmensão sobre as demas e se aceta como a dmensão assocada às varáves um certo número de autovalores cujos valores sejam razoavelmente maores que os dos demas. Embora, esse crtéro seja subjetvo. t + e 96 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

15 4. Método de análse fatoral de nformação lena Com o ntuto de evtar a subjetvdade nerente ao uso da nseção dos autovalores da matrz de correlação tetracórca como método ara detecção da dmensonaldade. Bock & Atkn (98), Bock, Gbbons & Murak (988), rouseram o método da análse fatoral de nformação lena. Consdere, novamente, o modelo de análse fatoral aresentado na seção anteror. Dessa forma então, P(Y = ) = P(X γ ) = d P( λj θ j + e γ ) = j= com Ψ dagonal, tem-se então que: P( e γ λ θ ). Lembrando que or hótese e ~ N(0, Ψ), j j j= d P ( Y = ) = z e dz (4) π Z d σ e d onde Z : =γ λj θj e, σ é a varânca de e d e. Da estrutura do modelo é fácl j= verfcar que σ = e d λ j= j, e rearametrzando (9) da segunte forma: j b = γ λ, a j, σ = σ (5) e tem-se um modelo multdmensonal que utlza a curva de ogvas normal (função de dstrbução de uma normal adronzada): P (Y = ; θ ) = d b + aj θj j= e -z e dz (6) π onde b é nterretado como a dfculdade geral do tem, e os valores a j como os arâmetros de dscrmnação esecífcos a cada dmensão. O método ara estmação dos arâmetros desse modelo ode ser, mutato mutands, o mesmo método de máxma verossmlhança margnal (cf. Bock & Atkn, 98) emregado nos modelos mas comuns e anterormente aresentado. Nota-se que as equações (5) fornecem uma forma dreta ara se obter as cargas do modelo de análse fatoral, basta que se nverta as relações. Para a estmação dos arâmetros do modelo (6) emregando-se o método menconado ode-se utlzar o software testfact (cf. Wlson, Wood & Gbbons, 998). Para uma decsão quanto ao número de dmensões os autores sugerem um teste ara as razões entre os valores da verossmlhança de dos modelos annhados. Isto é, comara-se estatstcamente a dferença entre os logartmos do valor da função de verossmlhança ara de dos modelos, tendo um deles uma dmensão a mas que o anteror. Sob condções aroradas, e sob a hótese nula de que a dmensão correta é a do modelo com menor dmensão, essa dferença aresenta, deendendo do tamanho da amostra, uma dstrbução aroxmadamente qu-quadrado com graus de Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

16 lberdade gual à dferença entre o número de arâmetros dos dos modelos. Infelzmente, o resultado desse teste é altamente deendente do tamanho da amostra emregada e recsa ser usado com bastante cudado. Habtualmente, recomenda-se que váras amostras, de tamanhos dferentes, sejam testadas antes de uma decsão fnal. Adconalmente, a esse to de análse recomenda-se testar também a razão entre os autovalores da matrz de correlações estmada. 5. Índces ara o Padrão de Vda 5. Introdução Aos alunos da 4 a e 8 a sére do ensno fundamental e da 3 a sére do ensno médo das escolas estaduas (e, também, algumas muncas) do estado de Mnas Geras, que artcaram do SIMAVE-00, fo aresentado um questonáro com aroxmadamente 60 questões com fnaldades varadas, rncalmente a de buscar exlcações ara os resultados alcançados no teste elos alunos. Parte dessas questões é destnada à avalação da condção sócoeconômca famlar do aluno. Uma medda dessa condção é de grande mortânca nos trabalhos que buscam construr modelos que exlcam os resultados alcançados no teste como os estudos que utlzam modelos multnível, ermtndo controlar ela condção sócoeconômca, or exemlo, a nfluênca que outras varáves exercem sobre o rendmento dos alunos. Esecfcamente, no caso do SIMAVE-00 as seguntes questões, 0 ao todo, foram aresentadas aos alunos com a fnaldade de se construr um índce desse to: Tabela Questões ndcadoras da condção sóco-econômca. QUESTÃO Q06 Q07 Q08 Q09 Q0 Q Q Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q0 Q Q Q3 Q4 Q3-Q35 Você trabalha? (A-SIM, B-NÃO) DESCRIÇÃO Onde você mora exste água encanada? (A-SIM, B-NÃO) Onde você mora exste eletrcdade? (A-SIM, B-NÃO) A rua em que você mora tem calçamento ou asfalto? (A-SIM, B-NÃO) A rua em que você mora tem coleta de lxo? (A-SIM, B-NÃO) A casa em que você mora tem coznha? (A-SIM, B-NÃO) A casa em que você mora tem banhero? (A-Um B-Dos C-Três ou mas D-NÃO) A casa em que você mora tem sala?? (A-Um B-Dos C-Três ou mas D-NÃO) A casa em que você mora tem quarto?? (A-Um B-Dos C-Três D-Quatro ou mas E-NÃO) A casa em que você mora tem televsão a cores?? (A-Um B-Dos ou mas C-NÃO) A casa em que você mora tem geladera?? (A-Um B-Dos ou mas C-NÃO) A casa em que você mora tem máquna de lavar roua? (A-Sm B-Não) A casa em que você mora tem aarelho de som?? (A-Um B-Dos ou mas C-NÃO) A casa em que você mora tem aarelho de vdeocassete?? (A-Um B-Dos ou mas C-NÃO) A casa em que você mora tem freezer? (A-SIM, B-NÃO) A casa em que você mora tem telefone? (A-SIM, B-NÃO) A casa em que você mora tem telefone celular? (A-SIM, B-NÃO) A casa em que você mora tem comutador? (A-SIM, B-NÃO) A casa em que você mora tem automóvel?? (A-Um B-Dos ou mas C-NÃO) Instrução do a ou resonsável? (- Não sabe ler - Sabe ler mas não comletou a 4 a sére 3- Comletou a 4 a sére 4- Comletou a 8 a sére 5- Comletou o ensno médo 6- Comletou um curso sueror) 98 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

17 Note-se que as questões de q3 à q35 referem-se à escolardade do a ou resonsável. De fato, a varável resultante dessas questões ode ser uma boa roxy ara a condção sócoeconômca da famíla e ortanto será utlzada, também, na rodução dos índces. No resente estudo, como ode ser observado ela forma como as questões foram construídas, há varáves com escala de medda categórca que essencalmente admtem resostas dcotômcas (tem/não-tem asfalto, trabalha/não-trabalha, etc), outras com escala ntervalar orém com valores nteros (número de geladeras, televsores, e etc), o que se caracterza or varáves tícas de contagem, e outras com escala ordnal de medda (as que medem a escolardade do a). O modelo de dos arâmetros, aresentado na seção 3., ermte que se construa um índce quando as varáves são todas dcotômcas. Já o modelo de resostas graduadas ermte que se emregue uma escala ordnal de meddas, não necessaramente com o mesmo número de categoras, odendo, anda, consderar tens dcotômcos. A déa central do trabalho é a de construr e comarar ndcadores da condção sóco-econômca usando esses dos tos de modelos. 5. Índces obtdos a artr da dcotomzação dreta dos tens Nesta seção, então, o rmero to de índce analsado será roduzdo a artr da utlzação do modelo de dos arâmetros, ara tens dcotômcos e uma únca dmensão latente. Portando, o rmero asso, nesse caso, será o de tornar dcotômcas todas as varáves orgnas. Assm, as varáves que já não são bnáras terão suas resostas transformadas de tal forma que as novas varáves roduzdas admtem aenas resostas dcotômcas é o caso, or exemlo, da varável q6 (que reresenta o Número de Geladeras da famíla) que é transformada ara uma nova varável q6d (que é ndcadora de se a famíla ossu ou não esse bem). Assm rocedendo, chega-se ao um conjunto de 0 varáves (reresentadas or Q06d a Q3d, conforme a questão da qual ela tenha se orgnado) que foram utlzadas na rodução do índce_. O rmero asso na análse é o da avalação da correlação bsseral, ara verfcar se uma determnada varável aresenta correlação sgnfcatva com o escore bruto roduzdo elo conjunto das varáves. Esse asso é crucal ara a escolha de tens que de fato aresentam consstênca nterna e se assocam bem ao escore que será roduzdo. Normalmente, aceta-se valores ara a correlação bsseral sueror a 0.3. Os resultados encontrados ara a correlação bsseral, ndcam que todas as varáves ndcadas na Tabela aresentam correlação bsseral sueror a 0,3 exceto a varável q06d, que aresentou um valor de 0,04. Na Tabela é aresentado o ercentual de osses or arte das famílas dos alunos e o valor estmado ara a correlação bsseral. Esses resultados ermtem conclur que a varável q06d (se o aluno trabalha ou não) não aresenta uma boa correlação com o escore bruto roduzdo elo conjunto das varáves, ortanto, não aresenta boa dscrmnação ara o índce que se deseja roduzr. Essa varável é, então, excluída de qualquer análse osteror. Se forem observados os valores das roorções de osses, verfca-se que a maora das varáves aresenta uma roorção elevada, o que ode traduzr-se num índce com baxa nformação devda a ausênca de tens com níves de dfculdade de acesso ao bem mas elevados. As varáves Qd a Q4d, artcularmente, aresentam uma roorção de osses muto elevada, de tal forma, que rovavelmente não trarão nformação ara o índce que será roduzdo. Assm, oderam, a crtéro do analsta serem elmnadas. No entanto, como um objetvo do trabalho é o de comarar os dferentes índces, otou-se or mantê-las e excluí-las somente em função de característcas estatístcas que ossam ser ndesejáves na construção do índce. Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

18 QUESTÃO Tabela Valores ara a correlação bsseral. Proorção de Posses Correlação Bsseral Correlação Ponto Bsseral Q06d 0,9 0,04 0,03 Q07d 0,9 0,64 0,35 Q08d 0,96 0,73 0,33 Q09d 0,7 0,7 0,54 Q0d 0,85 0,7 0,47 Qd 0,99 0,30 0,08 Qd 0,98 0,99 0,36 Q3d 0,97 0,60 0,3 Q4d,00 0,75 0,4 Q5d 0,90 0,86 0,50 Q6d 0,9 0,94 0,54 Q7d 0,8 0,73 0,5 Q8d 0,85 0,7 0,47 Q9d 0,40 0,74 0,58 Q0d 0, 0,6 0,44 Qd 0,6 0,79 0,6 Qd 0,37 0,68 0,53 Q3d 0,6 0,70 0,46 Q4d 0,44 0,59 0,47 Q3d 0,89 0,54 0,33 Como já abordado na seção 4, uma etaa mortante na construção de um índce desse to é a nvestgação das dmensões avaladas elas questões que serão utlzadas na construção. Como no resente caso as varáves são dcotômcas, ode-se realzar a análse das dmensões assocadas a essas varáves a artr das ferramentas dsoníves no software testfact. O modelo utlzado ressuõe que exsta uma únca dmensão latente. Nesse caso, é mortante testar se de fato exste aenas uma dmensão que seja reonderante, ou, no jargão da scometra, um únco fator domnante. Se exste um únco fator que seja domnante, ode-se roduzr o índce dretamente a artr do conjunto de varáves consderando o modelo (6) e utlzando-se do róro software testfact, ou anda do software Blogmg, que aresenta maor versatldade, tendo em vsta que oferece oções de métodos dferentes ara a estmação dos arâmetros dos modelos e ara a estmação dos escores roduzdos ara o índce. No caso de exstr mas de uma dmensão latente, dos camnhos odem ser segudos, sendo que o rmero consste em remover varáves que estejam mas fortemente assocadas às outras dmensões além daquela que reresenta, no caso, o índce que se deseja roduzr. Esse rocedmento, rovavelmente, tem o nconvenente de erder nformações assocadas a essas varáves, orém tem a vrtude de ao se reduzr o roblema ao caso undmensonal aresentar rocedmentos mas estáves ara a estmação dos modelos e dos escores. 00 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

19 Para se decdr sobre o número de dmensões ode-se valer das estatístcas aresentadas na seção 4. No resente estudo, além da nseção dos autovalores da matrz de correlações tetracórcas, fo utlzado o método stewse, dsonível no testfact, que comara a sgnfcânca da dferença obtda ara as estatístcas G calculadas entre dos modelos annhados, tendo um deles uma dmensão a mas que o anteror. Como comentado na seção 4, essa dferença aresenta, aroxmadamente sob condções aroradas, artcularmente deendente do tamanho da amostra, uma dstrbução qu-quadrado com graus de lberdade gual à dferença entre o número de arâmetros dos dos modelos. Deve-se tomar o cudado, já que se va basear sua decsão no resultado de uma teste de sgnfcânca, ara se utlzar um tamanho de amostra que seja no mínmo sufcente ara estmar satsfatoramente os arâmetros do modelo mas, também, não tão grande que se torne demasadamente sensível às equenas dferenças observadas e conduza a nterretações equvocadas com base na sgnfcânca estmada. Estudos que avalam o tamanho da amostra mas convenente são raros e ouco conclusvos. Em geral, esse tamanho da amostra deenderá do número de arâmetros a ser estmado no modelo, do número de resondentes ara cada tem e, das característcas esecífcas de cada modelo e dos métodos de estmação emregados. Recomenda-se testar város tamanhos de amostras e usar o bom senso e a exerênca ara uma decsão fnal quanto ao número de dmensões. No resente estudo, fo utlzada uma amostra de 000 casos ara conduzr essa esecífca análse, o que se mostrou bastante convenente. Além dsso, como sugerdo or um dos revsores deste artgo, testou-se a establdade da razão entre os autovalores e o maor autovalor em 5 amostras dferentes. Os sete rmeros autovalores da matrz de correlações tetracórcas, e a resectva razão entre o autovalor e o maor autovalor, são aresentados abaxo ara 5 amostras dferentes: Tabela 3 Autovalores da matrz de correlação (7 maores valores). DIMENSÃO AUTOVALOR 8,34,45,60,08 0,84 0,80 0,7 RAZÃO: λ λ 0,9 0,9 0,3 0,0 0,09 0,08 0,9 / max AUTOVALOR 7,97,40,84 0,90 0,8 0,7 0,70 RAZÃO: λ / λ 0,30 0,3 0, 0,0 0,09 0,09 0,30 max AUTOVALOR 7,97,35,39,,03 0,99 0,85 RAZÃO: λ / λ 0,9 0,7 0,5 0,3 0, 0,0 0,9 max AUTOVALOR 7,55,30,8,08,04 0,86 0,80 RAZÃO: λ / λ 0,30 0,4 0,4 0,4 0, 0,0 0,30 max AUTOVALOR 8,4,55,59,05,00 0,77 0,73 RAZÃO: λ / λ 0,30 0,9 0,3 0, 0,09 0,08 0,30 max Todas as análses subseqüentes de dmensonaldade foram baseadas na amostra corresondente ao rmero conjunto de autovalores. O resultado das sgnfcâncas ara as dferenças observadas das estatístcas G entre os modelos estmados elo método de máxma verossmlhança margnal, com dmensões sucessvas a artr de uma dmensão, fo o segunte: Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005 0

20 N o de Fatores Tabela 4 Análse da dmensonaldade. Varânca Assocada Dm. Dm. Dm. 3 Dm. 4 Dm. 5 Dferença de G df. Sg. 4, ,68 0, ,04 8 0, ,3 0,67 5, ,47 7 0,5 4 38,0,3 6,4,93-6,36 6 0,48 5 4,07 0,76 4, 3,98,6 5,7 5 0,439 Sendo que o ercentual de varânca exlcada ara os 5 fatores é, resectvamente, 4,0%,,0%, 4,%, 4,0% e,6%. A matrz de cargas obtda ara uma extração, sem e com rotação elo método Varmax, dos dos rmeros fatores fo a segunte: QUESTÃO Tabela 5 Cargas das dmensões antes e aós serem rotaconadas. Parâmetros dos modelos roduzdos (Índce_b). Dmensão Dmensão Dmensão aós rotação Dmensão aós rotação Parâmetro de Dscrmnação (a) Parâmetro de Dfculdade (b) Q07d 0,407 0,33 0,3 0,687 * * Q08d 0,603 0,468 0,7 0,76 * * Q09d 0,54 0, 0,337 0,64 * * Q0d 0,56 0,94 0,59 0,70 * * Qd 0,43 0,560-0,9 0,445 * * Qd 0,83 0,3 0,66 0,576,3 (0,030) -,803 (0,037) Q3d 0,456 0,066 0,389 0,80 0,476 (0,00) -4,657 (0,65) Q4d 0,596 0,60 0,38 0,666 * * Q5d 0,79 0,058 0,574 0,445,4 (0,08) -,803 (0,08) Q6d 0,830-0,009 0,64 0,445,857 (0,036) -,56 (0,03) Q7d 0,689-0,0 0,53 0,34 0,895 (0,03) -,8 (0,05) Q8d 0,67-0,088 0,574 0,0 0,849 (0,03) -,676 (0,09) Q9d 0,686-0,373 0,73 0,,9 (0,08) 0,8 (0,007) Q0d 0,56-0,333 0,683-0,055 0,76 (0,0),37 (0,06) Qd 0,764-0,4 0,688 0,336,8 (0,07) -0,368 (0,008) Qd 0,587-0,59 0,637 0,4 0,887 (0,0) 0,580 (0,00) Q3d 0,66-0,477 0,87 0,0,5 (0,0),34 (0,03) Q4d 0,458-0,548 0,676-0,55 0,744 (0,00) 0,39 (0,00) Q3d 0,473 0,03 0,376 0,63 0,550 (0,0) -,567 (0,046) 0 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

21 Aós análse desses resultados, decdu-se que exstem dos fatores domnantes. Note-se que a conclusão, nesse caso, deende de um certo grau de subjetvdade. Interretou-se anda que o rmero fator (ou dmensão) reresenta o escore sóco-econômco desejado. O segundo fator (fortemente assocado às varáves q07d, q08d, q09d, q0d, qd, qd e q4d) ode ser nterretado como uma medda do grau de dsonbldade de servços úblcos, mas ode também ser uma caracterzação de uma oulação rural, ou anda, fruto aenas de uma deendênca local devda a algumas dessas varáves, os a ele se assocam varáves com altos níves de ercentuas de acesso or arte das famílas dos alunos. Assm, um índce sóco-econômco fo dretamente construído a artr da obtenção dos escores estmados elo software testfact consderando-se um modelo com duas dmensões (Índce_a). Outro rocedmento ossível é o de elmnar-se varáves com maores cargas assocadas à segunda dmensão, e menores cargas assocadas à rmera dmensão, até que aenas uma dmensão seja domnante. Começou-se or exclur a varável qd, segundo-se das varáves q4d, q07d, q0d, q09d e, fnalmente, q08d ara se alcançar a undmensonaldade conforme o mesmo crtéro adotado anterormente. Isto é, encontrou-se um valor fnal ara a dferença entre as estatístcas G, dos modelos com e uma dmensão, gual 5, (não sgnfcatva, =0,73) com roorções de varânca exlcada em cada dmensão guas a 48% e 5%. O modelo com uma dmensão retém, nesse caso, cerca de 55% da varânca exlcada e o escore fo dretamente roduzdo também elo testfact aenas com as 3 varáves restantes (Índce_b). Os arâmetros ara os modelos encontrados foram aresentados na Tabela Índces obtdos a artr da dcotomzação de todas as oções Na construção do Índce_ rocura-se exlorar mas ntensamente a nformação contda nas múltlas alternatvas de resostas de cada tem, roduzndo não aenas uma varável dcotomzada a artr de cada questão, mas tantas varáves bnáras quanto for ossível dada à quantdade de alternatvas. Por exemlo, a questão q5 (em sua casa tem TV a cores?) aresenta três alternatvas de resostas ((A) SIM, TV (B) SIM, TV ou mas e (C) Não), nesse caso varáves dcotômcas foram cradas (q5d, a casa tem ou não TV) como no caso dos índces obtdos como na seção anteror e, (q5d_, se tem TV ou mas). O objetvo é o de verfcar se uma maor nformação é obtda com o emrego da varável q5d_ do que com a varável q5d na construção do índce. Ao todo, foram roduzdas 34 varáves a artr das mesmas questões anterores. Naturalmente, não se deve manter duas dessas varáves bnáras assm construídas e orgnadas a artr do mesmo tem na análse que conduz à construção dos modelos, tendo em vsta que elas estão comletamente correlaconadas e, ortanto, roduzrão falsas dmensões assocadas. É o que se ode entender como uma deendênca local entre as questões, que não é devda à exstênca de um fator (ou dmensão) esecfco. A questão então é a de decdr sobre qual dessas varáves deverá ser mantda ara a rodução do índce. Um crtéro ode ser o de se manter aquela de maor carga no fator rncal obtdo a artr da análse fatoral, esse fo o crtéro emregado neste trabalho. Fnalmente, rocedendo a análse da dmensonaldade assocada de forma análoga ao rocedmento adotado na construção dos índces descrtos na seção 5., chegou-se ao segunte conjunto de 4 varáves que foram utlzadas na rodução do Índce_. Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de

22 Tabela 6 Varáves utlzadas na construção do Índce_. QUESTÃO Percentual de Posses Qd_ 0,35 Q3d_3 0,033 Q4d_ 0,95 Q5d_ 0,333 Q6d 0,93 Q7d 0,796 Q8d 0,873 Q9d 0,45 Q0d 0,37 Qd 0,60 Qd 0,356 Q3d 0,6 Q4d 0,458 Descrção A casa em que mora tem dos banheros ou mas A casa em que mora tem três salas ou mas A casa em que mora tem dos quartos ou mas A casa em que mora tem duas televsões a cores ou mas A casa em que mora tem (ou não) geladera A casa em que você mora tem (ou não) máquna de lavar roua A casa em que você mora tem (ou não) aarelho de som A casa em que você mora tem (ou não) aarelho de vdeocassete A casa em que você mora tem (ou não) freezer A casa em que você mora tem (ou não) telefone A casa em que você mora tem (ou não) telefone celular A casa em que você mora tem (ou não) comutador A casa em que você mora tem (ou não) automóvel Parâmetro de Dscrmnação (a) Parâmetro de Dfculdade (b) 0,859 (0,0),066 (0,03) 0,585 (0,09) 4,067 (0,08) 0,349 (0,0) -4,89 (0,35),75 (0,05) 0,599 (0,009),593 (0,08) -,63 (0,04) 0,849 (0,0) -,34 (0,05) 0,89 (0,03) -,70 (0,00),343 (0,07) 0,6 (0,007) 0,767 (0,0),34 (0,05),35 (0,06) -0,367 (0,008) 0,860 (0,0) 0,589 (0,00),5 (0,00),37 (0,03) 0,764 (0,00) 0,34 (0,00) Q33d 0,396 O a comletou o º grau 0,68 (0,00) 0,59 (0,0) Em relação às varáves emregadas na construção do índce_, as que aqu são usadas na construção do índce aresentam maor varação no ercentual de osses alcançado elas famílas. Os arâmetros obtdos ara os modelos dos tens estão aresentados na Tabela Índce obtdo a artr de modelos ara resostas graduadas Fnalmente, foram utlzados os modelos de resostas graduadas na construção do índce_3. Para a calbração dos modelos fo utlzado o software Parscale (cf. Murak & Bock, 995). Incalmente roduzu-se uma análse da roorção de osses e da correlação olsseral de cada varável, valores que estão aresentados na Tabela 0 (no anexo), com a resectva 04 Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de 005

23 descrção das questões. Dos índces foram construídos utlzando o modelo ara resostas graduadas. Assm, no índce_3a foram consderadas 6 varáves (as varáves Q07, Q08 e Q, foram excluídas or aresentarem baxo valor ara a correlação olsseral). Eventualmente, aenas uma categora de um tem ode vr a ser elmnada. E, no índce_3b, foram consderadas 4 varáves, com base na análse de dmensonaldade anterormente roduzda, tendo sdo excluídas, anda, as questões Q09 e Q0. Uma tentatva de roduzr um índce nclundo todas as varáves não fo bem sucedda, os não se alcançou uma boa convergênca no método de estmação dos arâmetros dos modelos. Provavelmente, devdo à nadequação do modelo orgnada ela exstênca de uma ou mas dmensões adconas. Os arâmetros dos modelos, estmados ara os dos índces, são aresentados na Tabela (no anexo). Para se decdr sobre qual desses dos índces deve ser emregado no caso de se otar or modelos de resostas graduadas fez-se, ncalmente, uma analse da correlação de Pearson ara os dos índces encontrando-se o valor de ara essa correlação. Além dsso, fo calculada a méda dos desvos absolutos entre os dos escores, encontrando-se o valor 0.. A dstrbução dos escores, segundo alguns ercents, fo também obtda e seus valores foram os seguntes: Tabela 7 Valores ercents ara os índces. 5% 0% 5% 50% 75% 90% 95% Índce_3a Índce_3b Fnalmente, fo analsada a curva de nformação eserada ara os dos índces, construída a artr dos modelos de resostas graduadas. Um rograma esecífco fo construído usando rotnas do software matlab, e as curvas de nformação estão aresentadas na Fgura 4. Pesqusa Oeraconal, v.5, n.,.83-, Janero a Abrl de