APRIMORAMENTO DE FORMULAÇÃO DE IDENTIFICAÇÃO E SOLUÇÃO DO IMPACTO BIDIMENSIONAL ENTRE ESTRUTURA E ANTEPARO RÍGIDO

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1 IN ARIMORAMENTO DE FORMULAÇÃO DE IDENTIFICAÇÃO E OLUÇÃO DO IMACTO BIDIMENIONAL ENTRE ETRUTURA E ANTEARO RÍGIDO Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda Rsuo Est trabalho t coo objtvo prncpal o dsnvolvnto d ua forulação, va Método dos Elntos Fntos (MEF), para a dntfcação solução do pacto não lnar bdnsonal ntr struturas anlars rtculadas antparo rígdo fxo. O coportanto dnâco não lnar goétrco é fto por o d ua forulação posconal classfcada coo Lagrangana total co cnátca xata. Utlza-s o ntgrador tporal d Nwark odfcado, para dscrvr o coportanto dnâco, d fora a garantr a stabldad na análs do pacto. Dsnvolvu-s u algorto d dntfcação da ocorrênca do pacto, utlzando-s sgntos auxlars qu dfn ua rgão forada por pontos passívs d pacto. A solução do pacto é fta co u algorto d rtorno goétrco sgundo suprfíc curva co aproxação qualqur para o antparo rígdo, consdrando stuaçõs co s atrto. or f, são aprsntados xplos nuércos gras utlzando a técnca dsnvolvda, ond s fz u studo d convrgênca para dscrtzação goétrca tporal. alavras-chav Método dos Elntos Fnto. Não lnardad goétrca. Ipacto. Control d posçõs. IMROVEMENT OF FORMULATION OF IDENTIFICATION AND OLUTION OF THE BIDIMENIONAL IMACT BETWEEN TRUCTURE AND RIGID WALL Abstract Ths work has as an goal th dvlopnt of a forulaton, basd on th Fnt Elnt Mthod (FEM), for th dntfcaton and soluton of th bdnsonal nonlnar pact btwn rtculatd cyclcs structurs and fxd rgd wall. Th dynac gotrcally nonlnar bhavor s tratd wth a postonal forulaton classfd as total Lagrangan wth xact knatcs. Th t ntgrator of odfd Nwark s usd, to dscrb th dynac bhavor, to assur th stablty n th analyss of th pact. An algorth of dntfcaton of th occurrnc of th pact was dvlopd, usng auxlary sgnts that dfn a rgon ford for fasbl ponts of pact. Th soluton of th pact s ad wth an algorth of gotrc rturn as curv surfac wth any approach for th rgd wall, consdrng stuatons wth and wthout frcton. A coparson btwn th tchnqu adoptd and Lagrang ultplrs and pnalty s ad. Fnally, gnral nurcal xapls ar prsntd, whr a study of convrgnc was ad. Kywords: Fnt Elnt Mthod. Gotrc non lnarty. Ipact. oston control. INTRODUÇÃO O grand crscnto no dsnvolvnto d novos atras técncas d anufatura, juntant co a volução gnralzada nas aplcaçõs da ngnhara as quas s fzra ncssáras para suprr ncssdads coo, volução tcnológca, padronzação d novos atras Mstr Engnhara d Estruturas - EEC-U, rlnsk@sc.usp.br rofssor do Dpartanto d Engnhara d Estruturas da EEC-U, pava@sc.usp.br rofssor do Dpartanto d Engnhara d Estruturas da EEC-U, hbcoda@sc.usp.br Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

2 6 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda custo/tpo na confcção d struturas, lva a concpção d atras cansos cada vz as lvs vrsáts. Logo, o ntuto d conhcr as proprdads coportanto cânco dos atras das struturas é ssncal para crar crtéros d sgurança qu garanta a ntgrdad das sas, alé d garantr a sua qualdad. ortanto, o conhcnto d conctos qu nvolva não lnardad goétrca, físca, dnâca, pacto tc., é d grand portânca no dsnvolvnto cntfco tcnológco d frrantas d cálculo adquadas, tntando sular o as próxo possívl o coportanto ral do atral da strutura. gundo sta lnha d racocíno, st trabalho t por objtvo a plntação coputaconal, co o dsnvolvnto d ua forulação para problas dnâcos d pacto bdrconal ntr strutura antparo rígdo, tndo st u grau d aproxação goétrca qualqur, fta va Método dos Elntos Fntos (MEF). Fora consdrados dos tpos d coportanto não lnar, sndo a não lnardad goétrca, qu dscrv a nfluênca das udanças d confguração no coportanto da strutura através da dtrnação do qulíbro da sa, a não lnardad d contato, rsponsávl pla caractrzação da confguração dforada do contorno da strutura após u contato/pacto. O tratanto da não lnardad goétrca da strutura s dará plo códgo coputaconal do ET, basado nua forulação posconal (Método dos Elntos Fntos osconal MEF osconal), dsnvolvdo Coda () Coda & Grco () para problas státcos, nquanto os problas dnâcos trão basanto u algorto basado nua faíla d ntgradors tporas d Nwark, aplcado Grco & Coda (6). Fnalnt, a forulação d problas d pacto supractados s dará por u algorto d pacto dsnvolvdo, consstndo nua ntrfrênca drta nas posçõs d cada nó da strutura qu tnha sdo dntfcado coo pactado, cuja posção fnal é dfnda através do odlo splfcado d atrto d Coulob, sndo sts conctos ntgrants dos objtvos gras na plntação do códgo coputaconal. FORMULAÇÃO NÃO LINEAR GEOMÉTRICA DO MÉTODO DO ELEMENTO FINITO OICIONAL (MEF - OICIONAL) Aqu srá dscrto o dsnvolvnto da forulação não lnar goétrca para problas státcos dnâcos basado na dscrção d posçõs consdrando grands dslocantos rotaçõs struturas planas, dsnvolvda Coda (), Coda & Grco () Grco & Coda (6).. Método d solução A forulação do (MEF-osconal) para problas d pórtcos planos, utlza o rncípo da Mína Enrga otncal Total, t coo parâtros nodas, para u lnto co aproxação l goétrca qualqur, as posçõs gro θ, para cada nó l drção. l ara u probla strutural assocado co u ssta d rfrnca fxo, ostrado na Fgura, o funconal d nrga potncal total, pod sr scrto coo a coposção da nrga d dforação total U, a nrga potncal das forças consrvatvas (xtrnas) aplcadas a nrga cnétca K, coo sgu: Π U K () Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

3 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo... 6 A nrga d dforação total do corpo é consdrada araznada no volu ncal assuda coo sndo nula na confguração d rfrênca (ncal). A fora ntgral da nrga d dforação é scrta coo a ntgral da nrga d dforação spcífca u V (volu ncal), xprssa por: U u dv () V A nrga d dforação spcífca Lagrangana pod sr dtrnada utlzando qualqur conjugado tnsão-dforação. Nst trabalho, utlza-s a dforação d Grn sua tnsão conjugada d ola-krchhoff d ª spéc. F U U F y y y Fgura Enrga potncal total para u corpo duas confguraçõs dstntas. O tnsor d dforação d Grn é drvado do gradnt d dforação A, confor Ogdn (98), pod sr scrto coo: Ej ( Ak Akj δ j ) ( C j δ j ) () ond as varávs C j δ j são o tnsor d Cauchy-Grn à drta o dlta d Kronckr, rspctvant. A nrga d dforação quadrátca, por undad d volu ncal, fo adotada nst trabalho, sndo sta xprssa por: u EjC jkl E kl () A rlação ntr a dforação d Grn o tnsor d tnsão d ola-krchhoff d ª spéc * j, é usualnt conhcda coo l lástca d ant-vnant-krchhoff, sto é: u * j C jkl E j Cjkl O tnsor lástco C jkl E kl é dado por: Gν ( δ jδ kl ) G( δ kδ jl δ lδ jk ) ν * ( E ) ond, G ( ν ), é o ódulo d csalhanto, dfndo plo ódulo d oung cofcnt d osson ν. (5) (6) * E o Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

4 6 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda Consquntnt d ua l consttutva lástca lnar, Eq. (6), co ν, a nrga d dforação spcífca fca dtrnada por: ond ( E E ) GE GE * E u (7) A nrga potncal das forças xtrnas é scrta coo: F (8) rprsnta o conjunto d parâtros nodas (posçõs gros) qu o corpo pod xbr, sndo ndpndnts ntr s, posconados ond atua as forças nrga pod sr dfrnt d zro na confguração ncal. A nrga cnétca é dada por: K ρ dv (9) V Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9 F, na drção. Nota-s qu sta ond é a vlocdad ρ a dnsdad d assa no volu ncal. ubsttundo-s as Eq.(s) (), (8) (9) na Eq. () t-s: u dv F ρ dv () V V Escrvndo o funconal da nrga, Eq. (), tros d aproxação, para ua varávl adnsonal ξ, t-s: V ( ξ, ) dv F ρ ( ξ, ) ( ξ, ) dv u () V Mnzando-s o funconal d nrga rlação a ua posção gnérca k ndcando a drção l o nó, obt-s a condção d staconardad, sto é: u ( ξ, ) l l j j dv F l l k ρ k dv ond k V k V l k, co é a aclração. A Eq. () pod sr scrta ua fora splfcada: U g Fxt Fnr () k d fora qu as varávs U k, Fxt Fnr rprsnta o vtor d forças ntrnas, o vtor d forças xtrnas o vtor nrcal, rspctvant. A consrvação da nrga u ssta cânco é garantda s o acrésco dcrésco d nrga for guas na quação do balanço. No ntanto, pod havr algua dsspação d nrga total ao longo do tpo. U tro d nrga dsspatva Q, qu rprsnta prda dvdo ao aortcnto, é dado na sua fora dfrncal, rlação aos parâtros nodas globas, por: Q l j j l k dv λ ρ () k V A Eq. () rprsnta o vtor d forças rfrnts ao aortcnto F aor, ond λ é o cofcnt d aortcnto. ndo a atrz d assa para cada lnto dfnda por: M V ρ dv (5) l k j ()

5 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo... 6 Tê-s o vtor d forças nrcas o vtor d forças rfrnts ao aortcnto scrtos coo: Fnr M (6.a) Faort C a (6.b) ond C a rprsnta a atrz d aortcnto proporconal à assa. Consquntnt, o qulíbro dnâco, Eq. (), ou quação d balancanto, torna-s: U g k k Fxt M C a (7) ara dtrnar o vtor d forças ntrnas, prrant dtrna-s as drvadas prras da nrga d dforação spcífca, dadas por: Eαβ Eαβ E * αβ ( E jkc jke ) ( E jkc jke ) C l l αβe l αβ l k Eαβ k k k (8) Logo, o vtor d forças ntrnas fca dtrnado coo sndo: l Eαβ Fk (nt) C αβ E dv l V k (9) ortanto, fca dfnda a quação d qulíbro dnâco. Coo sta aprsnta dfrncação rlação as varávs, posção tpo t s faz ncssáro adotar u algorto d ntgração. Adotando-s o algorto d Nwark, ncssta-s, dvdo à forulação sr rfrnt a u ntrvalo d tpo Δ t, aprsntar duas confguraçõs nstants d tpo dfrnts. Logo, a Eq. (7) é, coo: scrta, d anra splfcada, para u nstant d tpo atual ( ) g U F a M C () Aplcando-s a aproxação d Nwark para u nstant atual d tpo, na dscrção posconal, t-s: Δt Δt β Δt γ t ( ) Δ β () γ () ond β γ são parâtros d ntgração d Nwark, dfn a varávl aclração no ntrvalo d tpo Δ t. Exprssando-s a aclração para o passo tpo atual a partr do rarranjo da Eq. (), chga-s: β Δt β Δt β Δt β () ubsttundo as Eq.(s) () () na Eq. () rsulta : U M γ Ca g( ) F MQ CaR γδtcaq Δ βδt β t () Co Q R rprsntando as varávs do passo d tpo passado, ostrando a contrbução dstas no qulíbro dnâco, dadas por: Q β Δt β Δt β (5) R Δt γ (6) ( ) Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

6 6 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda Assgurando a gualdad da Eq. (), stá fca dta qulíbro dnâco, d odo contráro g srá u vtor d rsíduos, sndo g ua função vtoral não-lnar. ara soluconar o ssta ( ) não-lnar o étodo d Nwton-Raphson é utlzado por o d ua xpansão da sér d Taylor, trucando a sa nos tros d ª ord, ou sja: g g g Δ (7) ( ) ( ) ( ) A partr do gradnt do vtor d rsíduos g( ) chga-s a atrz Hssana para probla dnâco, qu stá rlaconada co o nstant d tpo atual, logo rprsnta a últa confguração d qulíbro ( ), sndo dtrnada co a Eq. (). U M γ C a g( ) βδt (8) βδt Dtrna-s co a Eq. (7) as corrçõs das posçõs Δ, d fora a corrgr as posçõs nodas cada tração, co: Δ (9) ond assu os novos valors para as posçõs no procsso tratvo. E sguda corrg-s as aclraçõs. Q () β Δt ostrornt as vlocdads. R γ Δt () ara o ncrranto dos laços d traçõs, ou sja, qu os rsíduos d posçõs sja sufcntnt pqunos rlação a ua tolrânca, faz-s o uso d u crtéro d parada qu utlza o concto da nora Eucldana (nora vtoral)., ou sja: g ( ) TOL ou Δ TOL () Logo, obtndo a convrgênca plo crtéro d parada para u dtrnado passo d tpo passa-s para o passo subsqünt. ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO E RETORNO DO IMACTO (CONTROLE DE OIÇÕE) Coo o própro no sugr o odlo d dntfcação solução do pacto aprsntado nst trabalho, s dá pla ntrfrênca drta nas posçõs dos nós da strutura óvl (projétl) rfrnts ao pacto da sa contra u antparo rígdo (strutura alvo), sndo abas analsadas nu plano bdnsonal. Esta técnca tv nspração na forulação dsnvolvda por Grco (), ond s consdrada o qulíbro dnâco a ua condção d pntração nula (CN) ntr corpos pactados. Naqul trabalho, aplou-s o ssta d quaçõs ntroduzndo o cálculo do ultplcador d Lagrang qu s gualara, no lt, as forças ntrnas dsnvolvdas no corpo pactant na rgão do contato. Aqu, coo srá vsto nos dsnvolvntos, não s aplca o ultplcador d Lagrang, as s consdra a força d contato coo aqula calculada a partr da nrga d dforação no corpo. Consdrando-s u probla undrconal d pacto coo o aprsntado na Fgura, qu ostra ua strutura undnsonal co sua confguração nu crto tpo t a ua dstânca horzontal δ do antparo rígdo, após u ntrvalo d tpo Δ t ua outra confguração Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

7 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo... ( t Δt ) rprsntando a posção da strutura volando a CN. Logo s pod dfnr qu o pacto só rá acontcr quando δ. Consquntnt, a ntrfrênca na posção do nó pactant s dará pla posção nsta, lnando-s Δ. Isto provocará ua altração no qulíbro dnâco do corpo, já qu a udança d confguração odfca o vtor d forças ntrnas, grando o dsqulíbro do vtor d rsíduos, forçando ass a busca d ua nova confguração qulbrada, utlzando o ntgrador tporal d Nwark. Logo, a anulação d Δ s faz ncssára para rconsttur a CN, ou sja, rtornar o nó pactant nu ponto sobr a suprfíc da strutura alvo (antparo rígdo), chaado d ponto d rtorno, podndo st sr o própro ponto pactado. 65 t t t Fgura Confguração d strutura no pacto contra antparo rígdo.. Dtrnação da ocorrênca do pacto Nst trabalho fo dsnvolvdo u algorto spls d dntfcação d pacto, poré fcnt quando aplcado aos problas aqu studados. Nst utlza-s sgntos auxlars lnars, paratrzados pla varávl adnsonal ξ qu vara ntr -, para dtrnar ua rgão qu facltará a dntfcação do ponto pactant. Confor ostra a Fgura para três possívs trajtóras d pntração, u ponto dntro dsta rgão srá dnotado coo pactant quando: ( ) ( ) < da () dr A dntfcação do sgnto auxlar a sr usado é u dos problas da forulação. Est s faz na prra tração d tpo, após o prro ovnto, adotando-s aqul qu não sja solução para a nquação, Eq. (), dntro os quas, s houvr, o qu stja contdo no ntrvalo prscrto para ξ do sgnto auxlar. Est procdnto só é adotado para nós cujas trajtóras cruz co u ponto qualqur do antparo rígdo. U probla qu pod surgr na forulação proposta, ocorr no ncontro ntr o lnto do antparo rígdo o sgnto auxlar, coo vsto na Fgura. No ntanto, plo fato d s utlzar o algorto d ntgração tporal d Nwark odfcado, st dfclnt ocorrrá, dvdo a adoção d passos d tpo Δ t pqunos. Mas no algorto dsnvolvdo, para soluconar o so, guardou-s o valor calculado ntr as dfrnças d posçõs, do nó da strutura o nó do sgnto auxlar, da tração antror j para coparar co a atual j, dtrnando-s qu o pacto ocorr quando: Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

8 66 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda j j ( ) ( da ) < da () A A da da t t dr dr t da A AR AR dr AR antparo rígdo sgntos auxlars trajtóras d pacto Fgura Modlo d dntfcação do pacto co três trajtóras dstntas. da j t j da A AR Fgura ossívl probla na dntfcação do pacto. Dvdo as atuas dfculdads na dntfcação do sgnto auxlar a sr usado na dtrnação da ocorrênca do pacto, ua proposta splfcada fo dsnvolvda, ond s dnota os sgntos auxlars coo sgntos d coparação. Dfrntnt do caso antror não há ncssdad d dntfcar o sgnto (auxlar-coparação), as st é forncdo plo usuáro. Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

9 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo... Logo, o procdnto s torna as drto, adotando-s vtors dstâncas ( dx ; dx ) ( dy ; dy ) parallos aos xos coordnados, vstos na Fgura 5. O par d vtor dstânca a sr utlzado dpnd do sgnto d coparação qu é utlzado para cada lnto da strutura. ndo ass, o pacto é dto ocorrdo quando: dx dx (5) < 67 ou: dy dy (6) < Apsar d tr a dsvantag d forncr todos os sgntos d coparação para cada lnto da strutura, sta abordag t a vantag d tornar o tpo d procssanto nor. Ay dy ARx dx t dx Ax dy AR ARy antparo rígdo sgntos d coparação trajtóra d pacto Fgura 5 Modlo do procdnto altrnatvo para dntfcação do pacto.. Dtrnação da posção d rtorno ara s dtrnar nu plano bdnsonal o ponto d rtorno do nó consdrado pactant, dsnvolvu-s u algorto d rtorno co a possbldad da xstênca d atrto ntr strutura suprfíc d contato da strutura alvo, basando-s ua ntrprtação goétrca do odlo splfcado d atrto d Coulob. ara sto, s stablcu ua proporção goétrca ntr forças noras forças tangncas qu ocorr na rgão d contato, sndo as forças tangncas orgnadas plo atrto d contato. Logo o ponto supractado dpnd para sua dtrnação d u cofcnt d rtorno R, qu stablc u ntrvalo d posçõs possívs d rtorno ntr a posção s atrto a co atrto total, sndo st ntrvalo rprsntado pla varação do cofcnt d rtorno ntr. Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

10 68 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda ortanto, coo xplo lustratvo, u lnto d aproxação cúbca da strutura alvo, lbrando qu a forulação do étodo dos lntos fntos posconal trabalha co ua aproxação qualqur para o lnto, é ostrado na Fgura 6, ond todos os dados rqustados para o dsnvolvnto do algorto d rtorno são forncdos. v u f n v u - Fgura 6 Dados prtnnts à análs do ponto d rtorno. Nsta fgura os pontos rprsnta os nós da strutura óvl nua confguração antror nua confguração postror ao pacto, rspctvant. Os pontos,, são os nós da lnha do antparo rígdo, por f os pontos, n f rprsnta o ponto d pacto, o ponto d rtorno para ua suprfíc consdrada s atrto o ponto d rtorno dado plo valor do cofcnt d rtorno, rspctvant. A partr das funçõs d fora cúbcas, paratrzadas pla varávl adnsonal ξ varando ntr -, pod-s dtrnar o apanto dos pontos do lnto alvo por: (7) (8) Alé d s conhcr a dscrtzação do lnto alvo, a trajtóra (aproxada por ua rta) do ponto pactant é tabé conhcda, já qu stas corrspond à posção do nó da strutura na confguração passada atual rprsntadas na Fgura 6 plos pontos rspctvant. Consquntnt, a dtrnação do ponto d pacto é obtda faclnt a partr das quaçõs qu rg a trajtóra do nó do lnto óvl a suprfíc do antparo rígdo. A quação da rta é dada por: y ax b (9) ond, os cofcnts angular a lnar b da sa são: Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

11 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo... Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9 69 ( ) tan α a () a b () Dv sr obsrvado qu os sntdos adotados para os ângulos na Fgura 6 dnota o snal qu sts lva, ou sja, para o sntdo horáro o snal é ngatvo, d odo contráro é postvo. ubsttundo as Eq.(s) (7) (8) na Eq. (9), t-s: b a ) ( () Trabalhando a Eq. () chga-s na sgunt quação não lnar para s dtrnar o valor d ξ qu satsfaz o cruzanto da trajtóra rta co o antparo curvo: b D C B A g () ond: ; ; ; a D a C a B a A () Expandndo-s ξ a Eq. () por ua sér d Taylor até prra ord aplcando-s o étodo d Nwton-Raphson, o so procdnto adotado para dtrnação da confguração d qulíbro, dtrna-s a corrção para a varávl adnsonal ξ (Eq. (5)) dando por ncrrado o procsso ao s atngr ua dtrnada prcsão dfnda pla nora ucldana dsta corrção ou rsíduo. Dsta fora t-s: ( ) D C B A b D C B A g g ξ Δ (5) Consquntnt a dtrnação d ξ (rfrda ao ponto ), co a utlzação das Eq.(s) (7) (8) dtrna-s as coordnadas da posção do ponto. (6) (7) D poss do ponto d pacto, podos dtrnar as drçõs dos vtors u v, tangnt noral à suprfíc do lnto alvo, rspctvant. Logo o cofcnt angular da rta tangnt (drção d u ) ao lnto alvo no ponto é obtdo através da Eq. (8), ond os valors das prras drvadas das funçõs d fora cúbca dv sr dtrnados para ξ ξ. ( ) tan a RT ξ ξ χ ξ ξ ξ (8) Coo o cofcnt angular d ua rta ortogonal a outra é o nvrso do oposto dsta, tos o cofcnt angular da rta noral (drção d v ) a suprfíc do antparo rígdo, ou sja: ( ) tan a RN β (9) Dtrnado st, pod-s dtrnar o cofcnt lnar da rta n, coo:

12 7 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda b RN a (5) RN Após dtrnados sts dos cofcnts (lnar angular) procd-s a dtrnação das coordnadas do ponto d cruzanto n ntr a rta d rtorno s atrto co a sa drção do vtor v, a suprfíc curva do lnto alvo. Isto é fto dtrnando-s o novo valor da varávl adnsonal ξ obtda plo procsso d tração d Nwton-Raphson. n D poss do ntrvalo d posçõs sobr a suprfíc do corpo rígdo ndcando a varação d atrto nulo (ponto n ) atrto áxo (ponto ) sta-s pla varávl R (cofcnt d rtorno) u novo valor para ξ chaado d ξ f, qu aplcado nas funçõs d fora postrornt nas Eq.(s) (6) (7), dtrna as coordnadas do ponto d rtorno f para o valor rqurdo d atrto. Dv-s toar cudado para stuaçõs ond as Eq.(s) (), (8) (9) não são váldas, sndo stas nos casos qu, χ π β π, ond s dv fazr pqunos ajusts nas quaçõs para suprr sts vntuas casos. A Fgura 7 aprsnta sts três casos. O prro é dfndo quando a trajtóra do lnto óvl t abscssas constants, nst tros as Eq.(s) () () são substtuídas por: (5) g (5) v v u u caso caso v u caso Fgura 7 Casos spcas d dtrnação do ponto d rtorno. Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

13 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo... 7 Dfnndo ξ consquntnt pla Eq. (7) a coordnada. No caso para β π, tros apnas a substtução da varávl por n nas Eq.(s) (5) (5), ou sja, n dfnndo postrornt ξ n qu forncrá a coordnada n. O trcro caso dspnsa contáros plo otvo qu o cofcnt angular da rta tangnt ao ponto é dspnsávl no cálculo da posção d rtorno, sndo a Eq. (8) dsconsdrada. EEMLO NUMÉRICO Nst capítulo faz-s a utlzação do étodo abordado, rfrnt ao pacto ntr strutura antparo rígdo curvo.. Ipacto bdrconal d anl antparo rígdo fora d apulhta Est xplo trata do pacto d ua strutura rtculada anlar u antparo rígdo fora d apulhta. A strutura fo dscrtzada 6 lntos fntos, sndo sts aproxados por ua função cúbca o qu totalza nós 8 nós, para o caso s co atrto rspctvant, ond o ovnto da strutura t vlocdad constant na drção do antparo. Já o antparo rígdo fo dscrtzado 5 lntos, co a sa função aproxação da strutura alé d u lnto lnar qu copõ a bas da sa, nquanto xst 5 sgntos d coparação, coo pod sr vsto na Fgura 8. v6 9 s atrto 6 co atrto,7 Lgnda Estrutura Antparo rígdo gnto auxlar E* In,8 Ar, ρ,,8 Fgura 8 Dados d ntrada do probla. Utlzou-s ua dcrtzação tporal constant gual Δ t, para o caso d pacto s atrto Δ t, para o caso co atrto, sndo os cofcnts d atrto quvalnts R R,, rspctvant. Fora adotadas as constants d ntgração odfcadas d HU (,5; β, ) γ, no ntgrador tporal d Nwark. As rspostas obtdas são aprsntadas na Fgura 9 (a) (b) (s Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

14 7 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda atrto) Fgura (co atrto), sndo o ovnto sntdo a bas (a) da apulhta sntdo contráro (b), rspctvant (a) Fgura 9 Confguraçõs anlars para crtos passos d tpo (s atrto). (b) t Fgura Confguraçõs anlars para crtos passos d tpo (co atrto). Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

15 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo Ipacto bdrconal d anl antparo rígdo curvo Co ntuto d donstrar a rsposta da strutura quando sta sofr pacto co u cofcnt d atrto não nulo, st xplo ostra a trajtóra prcorrda por u dado nó () no dcorrr do tpo, tanto para u cofcnt quvalnt d atrto R coo para R,, coo vsto nas Fguras, rspctvant, sndo os dados do probla aprsntados na Fgura. vx, vy Lgnda Estrutura Antparo rígdo gnto auxlar 8 E* In,8 Ar, ρ, 85,8 Fgura Dados d ntrada do probla., t Fgura Confguraçõs anlars obtdas para o caso s atrto. Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

16 7 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda t Fgura Confguraçõs anlars obtdas para o caso co atrto. As confguraçõs ostradas nstas fguras donstra o grau d plcação qu o atrto causa na trajtóra, já qu para o caso s atrto o ângulo d rotação do nó analsado até a últa confguração, ngrto, é aproxadant nulo para u `tpo d t., nquanto o caso co atrto o ângulo é θ8.57º, co u tpo na sua confguração fnal ngrto d t5.. A strutura anlar t a sua dscrtzação gual ao do xplo antror, já o antparo conté lntos co aproxação cúbca sgntos auxlars lnars. Utlzou-s a sa dscrtzação tporal do xplo antror. No ntanto, dfrntnt do xplo antror, nst usou-s as constants d ntgração clásscas d Nwark (rgra do trapézo) γ. 5 β. 5, o qual s dá para ua aclração constant gual à éda ntr a aclração do passo antror atual. 5 CONCLUÕE Tndo coo foco o coportanto dnâco não lnar goétrco d struturas rtculadas anlars planas, sta dssrtação aborda prncpalnt problas d pacto bdrconal ntr ssas antparos rígdos. Basada no Método dos Elntos Fntos (MEF), a forulação posconal não lnar goétrca utlzada nst trabalho fo plntada por Coda (), para problas státcos, consdrando grands dslocantos rotaçõs, tndo sua forulação valdada por xplos dsnvolvdos por Coda & Grco () Grco () sndo sts abordados pla ltratura cntífca, alé d aprsntar rsultados xclnts coparados co soluçõs analítcas. Já a forulação não lnar goétrca dnâca é aprsntada Grco () Grco & Coda (6), a qual utlza o ntgrador tporal d Nwark para dscrvr o coportanto dnâco da strutura adotando a cnátca d Eulr/Brnoull. D odo contráro aqu s aprsnta ua forulação altrnatva basada na cnátca d Rssnr. Logo, coo supractado o objtvo prncpal dst trabalho fo dsnvolvr u algorto qu dntfqu o pacto, u algorto goétrco d rtorno, consdrando o atrto na suprfíc d contato, para problas dnâcos co pacto ntr struturas bdnsonas antparos rígdos co aproxação goétrca qualqur. Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

17 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo Os rsultados obtdos dos xplos nuércos ostrara a fcênca na convrgênca stabldad da forulação co a utlzação do algorto tporal d Nwark odfcado por Hu (997), ostrando sua proprdad d sr ncondconalnt stávl para qualqur ntrvalo d tpo utlzado. No ntanto rsultados obtdos aqu coparados co a ltratura ostrara a grand portânca na dscrtzação goétrca tporal na busca da convrgênca para a rsposta sprada, ou as prcsa. Outro fato portant d dscussão é a dfculdad d corrlaconar o atrto ral da suprfíc d contato utlzando-s odlos nuércos d atrto, já qu xst poucos dados xprntas quantfcando sta proprdad. Dv-s contar o xclnt coportanto gral do Método dos Elntos Fntos osconal (MEF-osconal) quparando rsultados co rlação a outras técncas plntadas. ortanto, dfn-s coo trabalhos futuros o dsnvolvnto d odlos d contatopacto do tpo str-scravo (control d posçõs) sua plntação softwar d análs dnâca não lnar goétrca d struturas trdnsonas copostas por lntos d barra gral casca. Alé dsto, studos tórcos qu vrfqu a quvalênca do étodo aprsntado aqu o étodo dos ultplcadors d Lagrang para a análs d contato-pacto lgaçõs dslzants no ntror d struturas, áqunas ou cansos. E s tratando da part prátca, valdar a técnca aplcaçõs d struturas d antnas d satélts, garras câncas bocâncas, balõs para xploração cntífca, absorvdors d nrga para struturas aronáutcas alé d consdrar pacto ntr duas ou as struturas. 6 AGRADECIMENTO Ao CNQ plo apoo fnancro, s o qual sta psqusa não podra tr sdo ralzada. 7 REFERÊNCIA ARMERO, F.; ETOCZ, E. Forulaton and analyss of consrvng algorths for frctonlss dynac contact/pact probls. Coputr Mthods n Appld Mchancs and Engnrng, v. 58, p. 69, jun., 998. BATHE, K. J. Fnt Elnt rocdur n ngnrng analyss. Englwood Clffs, N.J.: rntc- Hall, p. BATHE, K. J. Fnt lnt procdurs. Englwood Clffs, N.J.: rntc Hall, p. CODA H. B. Análs não lnar goétrca d sóldos struturas: ua forulação posconal basada no MEF. ão Carlos, ET-EEC-U,. Txto coplntar para concurso d profssor ttular, CODA H. B.; GRECO M. A spl FEM forulaton for larg dflcton D fra analyss basd on poston dscrpton. Coputr Mthods n Appld Mchancs and Engnrng, v. 9, p , ago.,. COIMBRA, A. L. Lçõs d cânca do contínuo. ão aulo: Edtora Edgard Bluchr, p. Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

18 76 Robnson Luz Mnsk, João Batsta d ava & Hubrto Brvs Coda GRECO, M. Análss d problas d contato/pacto struturas d coportanto não lnar plo Método dos Elntos Fntos.. 5 p. Ts (Doutorado Engnhara d Estruturas) - Escola d Engnhara d ão Carlos, Unvrsdad d ão aulo, ão Carlos,. GRECO M.; CODA H. B. ostonal FEM forulaton for flxbl ult-body dynac analyss. Journal of ound and Vbraton, v. 9, p. -7, ao, 6. HU, N. A soluton thod for dynac contact probls. Coputrs and tructurs: olds, Fluds, Multphyscs, v. 6, n.6, p. 5-6, jun., 997. LANDENBERGER, A.; EL-ZAFRAN, A. Boundary lnt analyss of lastc contact probls usng gap fnt lnts. Coputrs and tructurs: olds, Fluds, Multphyscs, v. 7, p , jun., 999. MACIEL, D. N.; CODA, H. B. ostonal dscrpton for nonlnar -D statc and dynac fra analyss by th Rssnr Knatcs. In: MIT CONFERENCE ON COMUTATIONAL FLUID AND OLID MECHANIC,., 5. rocdngs an Dgo: Elsvr, 5. p IBN: MATTIAON, K. Nurcal rsults fro larg dflcton ba and fra probls analysd by ans of llptc ntgrals. Intrnatonal journal for nurcal thods n ngnrng, v. 7, n., p. 5-5, jan., 98. MINKI, R. L. Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo rígdo. 8. Dssrtação (Mstrado Engnhara d Estruturas) Escola d Engnhara d Estruturas, Unvrsdad d ão aulo, ão Carlos, 8. ODEN, J. T.; MARTIN, J. A. C. Modls and coputatonal thods for dynac frcton phnona. Coputr Mthods n Appld Mchancs and Engnrng, v. 5, p. 57-6, st., 985. OGDEN, R. W. Non-lnar lastc dforatons. Nw ork: Edtora Horwood, Halstd rss, 98. 5p. Ells Horwood srs n athats and ts applcatons. REINER, E. On-dnsonal larg dsplacnt fnt-stran ba thory. tuds n appld athatcs, v. 5, p , jul., 97. RIK, E. Th applcaton of Nwton s thods to th probl of lastc stablty. Journal of appld chancs, v. 9, p. 6-66, st., 97. RIK, E. Incrntal approach to th soluton of snappng and bucklng probls. Intrnatonal journal of solds and structurs, v. 5, p , s., 979. IMO, J. C.; WRIGGER,.; CHWEIZERHOF, K. H. Fnt dforaton postbucklng analyss nvolvng nlastcty and contact constrants. Intrnatonal journal for nurcal thods n ngnrng, v., n. 5, p , ao, 986. Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9

19 Aproranto d forulação d dntfcação solução do pacto bdnsonal ntr strutura antparo LONE, A.K.; CROFT, T.N.; WILLIAM, A.J.; CRO, M. An altrnatv xd Eulran Lagrangan approach to hgh spd collson btwn sold structurs on paralll clustrs. Advancs n Engnrng oftwar, v. 8, n., p. -55, abr., 7. WRIGGER,.; VU, V. T.; TEIN, E. Fnt-lnt forulaton of larg dforaton pact contact probls wth frcton. Coputrs and tructurs: olds, Fluds, Multphyscs, v. 7, n., p. 9-, abr., 99. WRIGGER,.; IMO, J.C. A gnral procdur for th drct coputaton of turnng and bfurcaton ponts. Intrnatonal journal for nurcal thods n ngnrng, v., n., p , jan., 99. WRIGGER,.; KRTULOVIC-OARA, L.; KORELC, J. ooth C-ntrpolatons for two-dnsonal frctonal contact probls. Intrnatonal Journal for Nurcal Mthods n Engnrng, v. 5, n., p , ago.,. Cadrnos d Engnhara d Estruturas, ão Carlos, v., n. 9, p , 9