LISTA DE CONTEÚDOS. 1. Trigonometria no triângulo retângulo e quaisquer. 2. Circunferência Trigonométrica. 3. Unidades de medidas de arcos e ângulos.

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1 LISTA DE CONTEÚDOS 1. Trigonometria no triângulo retângulo e quaisquer. 2. Circunferência Trigonométrica 3. Unidades de medidas de arcos e ângulos. 4. Funções Trigonométricas 5. Matrizes 6. Determinantes 7. Sistemas Lineares 8. Análise Combinatória 9. Probabilidade

2 EXERCÍCIOS REVISÃO PARA O EXAME FINAL MATEMÁTICA 2º ENSINO MÉDIO Trigonometria no triângulo retângulo e quaisquer. 1. Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DÂB, DB E e BC E são retos. Se AD= 6 cm, AC = 11 cm, EC = 4 cm e DB = 10 cm, a medida de EB, em cm, é: a) 4,5 b) 8 c) 7 d) 5 2. Márcia está no ponto A, que representa o aeroporto da cidade, e pretende ir até o ponto C, onde fica sua residência. Sabendo que a representação dessas vias forma uma quadrado ABCD, responda: a) Quantos metros Márcia terá de percorrer para chegar até sua casa, se para isso ela deve passar pelo ponto B? 3. Determine o perímetro e a área do triângulo retângulo abaixo. 4. Se um avião levantar voo formando um ângulo de 30º com a linha do horizonte, numa trajetória aproximadamente retilínea, que altitude terá atingido quando tiver percorrido 1200m?

3 5. Calcule a área e o perímetro do trapézio isósceles 6. (ENEM) Na figura, os vértices do quadrado ABCD estão sobre uma circunferência de centro O. Se o lado desse quadrado mede 3 cm, o raio da circunferência, em centímetro, é dado por: a) 3 3 b) 3 2 c) e) Uma pessoa representada pelos pontos A e A na figura abaixo, observa um prédio de altura x a uma distância y, sob um ângulo de 60º. Ao afastar-se 20 metros do primeiro ponto, percebeu que o ângulo formado media 30º. a) A que distância esta pessoa estava do prédio quando o observou com o ângulo de 30º? b) Qual é a altura do prédio? 8. Dois postes, um de 20 m e outro de 12 m, devem ser sustentados, respectivamente, por cabos de aço de comprimentos x e y, conforme ilustra a figura a seguir. Quantos metros de cabo de aço devem ser usados para esse fim? a) Quantos metros de cabo de aço devem ser usados para esse fim? b) Determine o perímetro e a área do triângulo retângulo maior.

4 9. Em uma pequena cidade, a igreja fica distante da escola 100m, e a escola fica distante da praça 150 m, como está representado na figura abaixo. Qual é a distância aproximada que separa a igreja da praça? (Use 7 = 2,64.). Fig Certa cidade tem três pontos turísticos que atraem todos os visitantes: o Mercado Municipal, o Jardim Botânico e a Praça de Eventos, conforme o esquema abaixo: fig. 2 a) Qual é a distâcia entre o Mercado Municipal e a Praça de Eventos? b) Qual é a distância entre o Jardim Botânico e a Praça de Eventos? Fig.1 Fig Determine os valores de x e y mostrados no trapézio retângulo para calcular a área e o perímetro desse quadrilátero. 12. (PM-SP) Uma pessoa situada a 340 m do Obelisco do Parque Ibirapuera, em São Paulo, verifica que o ângulo A mede 11º. A altura aproximada desse monumento, em metros, é: (sen 11º = 0,19 ; cos 11º =0,98 e tg 11º = 0,19) a) 66 b) 58 c) 60 d) 72 e) Dois lados de um triângulo medem 8m e 10m e formam um ângulo de 60º. O terceiro lado desse triângulo mede: a) 2 21 b) 2 31 c) 2 41 d) 2 51 e) 2 61

5 14. Determine a altura de uma montanha em que não é possível alcançar o topo, representada no modelo matemático por h ( utilize 3 = 1,7) 15. (UEPA) A figura a seguir mostra o corte lateral de um terreno onde será construída uma rampa reta AC, que servirá de acesso de veículos à casa, que se encontra na parte mais alta do terreno. A distância de A e B é de 6m, B a C é de 10m e o menor ângulo formado entre AB e BC é de 120º. Então, o valor do comprimento da rampa deve ser de: a) 12m b) 12,5m c) 13m d) 13,5m e) 14m Circunferência Trigonométrica Unidades de medidas de arcos e ângulos. 16. Sabendo que sen x = 2, calcule o valor da expressão y = sec2 x 1 2 tg Se cos x = 2 2, para 3π 2 y = secx+tgx cos x+cotg x < x < 2π, determine o valor numérico da expressão: 18. Sabendo que cossec x = sen 2 x 9.tg 2 x. e x é do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão 19. Sabendo que tag x = 12 5, π < x < 3π 2, então: a) sen x = b) cos x = Sabendo que cotg x = 3 4 e π < x < 3π 2 c) cos x = , calcule M = 4 2.senx cos 2 x d) sen x = Verificar as seguintes igualdades trigonométricas: a) tgx+cotg x cossec x.sec x = 1 b) sec x. cotg2 x. sen x = cotg x

6 Funções Trigonométricas 22. (FGV-SP) O PIB (Produto Interno Bruto) de um país, em bilhões de dólares, é dado por: P(x)= x + 40.sen πx, onde, x = 0 corresponde ao ano de 1998; x = 1 8 corresponde ao ano de 1999; e x = 2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante. Qual o PIB do ano de 2018? 23. (UEPA) A altura das ondas em determinado trecho de um oceano varia de acordo com a expressão H(t) = sen(2t), onde t (em segundo) é o tempo e H (em metro), a altura dessas ondas. A altura máxima (crista da onda) atingida por essas ondas é de: a) 9m b) 3m c) 5m d) 6m e) 8 m 24. (Uncisal-AL) A quantidade de peixes, em tonelada, em uma determinada região da costa brasileira varia de acordo com a função periódica P(t) = sen πt,onde t é o tempo em meses. Se t=1 representa o mês de janeiro de 2005, a quantidade de peixes, em tonelada, em outubro desse mesmo ano foi de: a) 970 b) 900 c) 780 d) 540 e) (UFSM-RS) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = sen πt 2, com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimos desse produto são: a) 320 e 200 b) 200 e 120 c) 200 e 80 d) 320 e 80 e) 120 e (Cefet-PE) Em uma certa região do nosso planeta, a temperatura média semanal T (em ºC) é expressa em função do tempo t (em semanas) por meio da função:ºcº T(t)=20+6.sen [2π ( t 12, )]. Nessas condições, calcule a maior temperatura média semanal 28 dessa região. 27. (PUC-SP) A imagem da função f: R R defina por f(x) = 2-3.cos x é o intervalo: a) [-1;2] b) [-1;0] c) [3;5] d) [2;3] e) [-1;5] 28. (UFPE) Admita que a pressão arterial P(t) de uma pessoa no instante t, medido em segundo, seja dada por: P(t) = cos (2π.t), t 0. Considerando esses dados, analise a veracidade das seguintes informações: I. O valor máximo da pressão arterial da pessoa é 114. II. O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é 78. III. A pressão arterial da pessoa se repete a cada segundo, ou seja, P(t+1)=P(t), para todo t 0. IV. Quando t = 1/3 de segundo, temos P (1/3) =

7 29. (UFPR) Suponha que, durante um certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela função F (t) = 21 4.cos πt 12, sendo t o tempo em horas medido a partir das 6h00 da manhã. Qual a variação de temperatura num período de 24 horas? A que horas do dia a temperatura atingirá 23 ºC? Matrizes / Determinantes / Sistemas Lineares 30. Encontre a transposta da matriz A = (a ij ) 2x2, tal que: a ij = sen (i π 3 ) + cos (j π 6 ). x y z 31. (UEL-PR) Uma matriz quadrada A = [ 2 0 3],se diz antissimétrica se A t = - A. Nessas condições, se a matriz A a seguir é uma matriz antissimétrica, então x + y + z é igual a: a) 3 b) 1 c) 0 d) -1 e) (Udesc-SC) Sejam A = [ ] e B = [14 5 ] duas matrizes e I a matriz identidade de 17 7 ordem 2. Encontre a matriz X tal que A.X + I = B 33. Dadas as matrizes abaixo, calcule o valor de x de modo que det A = det B. A = ( x 1 1 x ) e B = ( x 1 2 ) Dada a matriz A = ( 4 2 1), calcule o determinante da matriz inversa de A, sem obter a inversa de A. 35. (Unipa-MG) A soma de dois valores de x que satisfazem a igualdade é: 1 1 x = 16 x 0 x a) 10 b) 6 c) 2 d) 0 e) Calcule a área do quadrilátero ABCD, após representa-lo no plano cartesiano, sabendo que as coordenadas dos seus vértices são: A (3,0), B (0,4), C (4,2) e D (6,3). 36. (FGV-SP) Verifique, utilizando o Teorema de Laplace, se o sistema abaixo é SPD ou 2x + 3y z + t = 1 x + 4z + 2t = 7 SPI, justificando sua resposta. { x 2y t = 3 3x 2z + t = 2

8 37. Encontre os valores de x, y e z na equação matricial, usando o método de Cramer: x 0 [ ]. [ y] = [ 1] z 8 3x y = (FGV-SP) Se o sistema linear { for resolvido pela regra de Cramer, o valor 5x + 2y = 4 de x será dado por uma fração irredutível cujo a soma dos termos vale: a) 17 b) 22 c) 18 d) 13 e) Se (a, b, c) é a solução do sistema: 2x y + z = 3 { x + y + z = 6 x y + 2z = 3 Calcule a soma dos valores de a + b + c. 40. (Fuvest-SP) João entrou em uma lanchonete e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens. x y + 2z = Expresse matricialmente o sistema linear homogêneo{ 2x 2y + 4z = 0 3x y + 2z = 0 se ele é determinado ou indeterminado. x 2y + 5z = Resolva por escalonamento o sistema linear: { 3y + 2z = 1 4z = 8 e verifique Análise Combinatória / Probabilidade 43. Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar uma diretoria? 44. As placas de automóveis são compostas de 3 letras distintas, das 26 do alfabeto, e 4 algarismos. Quantas placas podem ser confeccionadas iniciando-se pela letra F e tendo o número 8 como último algarismo? 45. Para formar as sequências numéricas que compõem os prefixos das linhas telefônicas de uma cidade, a companhia responsável pela telefonia usa os algarismos do sistema decimal, sendo que os prefixos nunca começam com os algarismos 0, 1, 2, 7, 8 e 9. Sabendo que todas as sequências são compostas de 4 algarismos distintos determine quantos prefixos a companhia telefônica pode disponibilizar? 46. Considere todos os anagramas da palavra EXAME a) Quantos terminam por AME? b) Quantos têm as letras AME juntas nessa ordem?

9 c) Quantos têm as letras AME juntas em qualquer ordem? 47. Determine quantos são os anagramas da palavra FATORAÇÃO. 48. (UEA-AM) Um determinado artesanato terá uma faixa colorida composta de três listas de cores distintas, uma lista abaixo da outra. As cores utilizadas serão azul, vermelho, branco e laranja. O número de maneiras distintas em que essas listas coloridas podem ser dispostas de forma que as cores azul e vermelha fiquem sempre juntas é: a) 2 b) 4 c) 6 d)10 e) Colocando em ordem os números resultantes das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 que posição ocupará o número 35241? a) 55º b) 70º c) 56º d) 69º e) 72º 50. Em um programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 7 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas será (ão) necessário (s) aproximadamente: a) 1 ano b) 2 anos c) 5 anos d) 11 anos e) 14 anos 51. (ENEM) Uma empresa multinacional selecionou 14 jovens para participar de uma dinâmica de grupo para contratar estagiários. Sabendo-se que neste grupo há 8 homens e 6 mulheres, de quantas maneiras esses jovens podem ser organizados em grupos de 7 pessoas, respeitando a proporção entre gêneros do grupo inicial? a) 20 b) 250 c) 1400 d) 5040 e) (Unicamp-SP) O grêmio estudantil do colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? a) b) c) d) (FGV-SP) Um hospital dispõe de três médicos e de quatro enfermeiras para formar uma comissão de Ética (CE) e uma comissão de Controle de Infecções Hospitalares (CCIH). Cada comissão deve ser composta de um médico e duas enfermeiras e ninguém pode pertencer às duas comissões. Juntas, uma CE e uma CCIH constituem uma formação. O número de formações distintas que podem ser constituídas é: a) 324 b) 144 c) 36 d) 18 e) A fração (n+1)!+n! n!, é igual a: a) n b) n + 1 c) n + 2 d) n+1 n e) n+2 n 55. Em uma urna há cinco bolas: uma verde, uma amarela, uma preta, uma branca e uma rosa. Dela retiram-se duas bolas. a) Escreva o espaço amostral desse experimento e o seu número de elementos. b) Calcule a probabilidade de ser retirada ao acaso pelo menos uma bola verde.

10 c) Calcule a probabilidade de não ser retirada nenhuma bola preta. 56. Escolhendo-se ao acaso um número entre 15 e 80 (incluindo esses valores), determine a probabilidade de que ele seja: a) múltiplo de 6. b) divisível por 2 ou por Uma urna contém quinze bolas, com o mesmo tamanho e formato, numeradas de 1 a 15. Retirando-se cinco dessas bolas, determine a probabilidade de ocorrer o evento descrito em cada caso a seguir: a) Retirar apenas bolas com números pares. b) Retirar apenas bolas ímpares. 58. Um ônibus de excursão com 20 brasileiros e 6 estrangeiros é parado pela Polícia Federal de Foz do Iguaçu para vistoria da bagagem. O funcionário escolhe, ao acaso, três passageiros para terem as malas revistadas. Qual é a probabilidade de que todos sejam estrangeiros? 59. Para apresentar um trabalho, um professor sorteará ao acaso um aluno, entre os 30 da turma. O sorteio será feito de acordo com o número da chamada. Qual é a probabilidade de o número do aluno sorteado ser: a) múltiplo de 7 ou de 5? b) quadrado perfeito ou divisor de 36? 60. Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Serão sorteadas 2 bolas dessa urna. Determine a probabilidade dos eventos descritos a seguir. a) Sortear 1 bola vermelha e, em seguida, 1 bola branca, sem reposição. b) As duas bolas sorteadas, sem reposição, serem brancas. c) Sortear 1 bola vermelha e, em seguida, 1 branca, com reposição. d) As duas bolas sorteadas, com reposição, serem vermelhas.

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