UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA EM PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA EM PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ANTONIO CARLOS DAMASCENO DOS SANTOS UM RESGATE ÀS FRAÇÕES CONTÍNUAS FORTALEZA 4

2 ANTONIO CARLOS DAMASCENO DOS SANTOS UM RESGATE ÀS FRAÇÕES CONTÍNUAS Dissertção de Mestrdo resetd o Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic em Rede Nciol do Dertmeto de Mtemátic, d Uiversidde Federl do Cerá, como reuisito rcil r obteção do titulo de Mestre em Mtemátic. Áre de Cocetrção: Esio de Mtemátic. Orietdor: Prof. Dr. José Otho Dts Loes FORTALEZA 4

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5 4 AGRADECIMENTOS Primeirmete os meus is, Frcisco Abel e Ridelmr Dmsceo, or tod estrutur fmilir e elos ricíios de geerosidde, hoestidde e digidde ue form bse r formção do meu cráter. Aos jos d gurd ue ssrm el mih vid e r o ricil deles ue se chm A Mri ue esteve resete ão só esse desfio, ms em todos os degrus rofissiois ue tive ue efretr em mih vid. Obrigdo. Aos colegs de curso, ois com certez sem os estudos em gruo e eorme geerosidde de cd um em ssr o cohecimeto duirido, seri imossível o êxito s cdeirs. Aos rofessores ue tiverm sbedori ecessári r eteder idividulidde de cd luo e ssim miistrr uls de ótimo ível. E UFC e CAPES, rimeir el estrutur físic e or ter cedido os grdes rofessores do seu udro e CAPES elo oio ficeiro, ois sem esse oio ão seri ossível comhr o curso.

6 5 RESUMO Um Resgte As Frções Cotíus tem seu iício com um bordgem históric, mostrdo uilo ue se sbe hoje sobre esse ssuto é fruto de estudos de vários mtemáticos elo mudo. Além d históri, o texto é dividido em mis cico cítulos e um êdice, ue mostrm trvés de teorems e exemlos vtgem, idiscutível, d roximção de úmeros reis trvés de úmeros rciois, usdo o disositivo ds frções cotíus. Plvrs chves: Frções Cotíus. Números Reis. Números Rciois. Aroximção.

7 6 ABSTRACT The Rescue A Cotiuous Frctios got their strt with historicl roch, showig wht is ow tody bout this issue is the result of studies by vrious mthemticl world. Besides the story, the text is divided ito five chters d edix, showig through theorems d exmles dvtge, idisutble, the roximtio of rel umbers by rtiol umbers, usig the device of cotiued frctios. Keywords: Cotiued Frctios. Rel Numbers. Rtiol Numbers. Aroches.

8 7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 8 FRAÇÕES CONTÍNUAS: ASPECTOS HISTÓRICOS FRAÇÕES CONTÍNUAS.. 3. Formção de frções cotius: desevolvimeto de um úmero rel em frções cotíus Algoritmos de Euclides FRAÇÕES REDUZIDAS Determição d -ésim reduzids Tbel r cálculo de reduzids Quocietes comletos Prorieddes ds reduzids FRAÇÕES CONTÍNUAS INFINITAS Distâci etre fiito e ifiito Reresetção de úmeros irrciois or frções cotíus Uivocidde dos reis Irrciolidde udrátic APROXIMAÇÃO DE NÚMEROS REAIS As reduzids são bos roximções CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS APÊNDICE: DEMONSTRAÇÕES DE FÓRMULA E LEMAS... 57

9 8 INTRODUÇÃO Já dizi o célebre mtemático russo Nioli N. Luzi s vtges do sistem deciml ão são mtemátics, ms sim zoológics. Se em vez de termos dez dedos s mãos tivéssemos oito, humidde utilizri um sistem de bse oito (Nioli N. Luzi,883-95). O estudo ds frções cotíus ão é borddo os livros didáticos ou elo meos grde miori dos livros de esio fudmetl e esio médio ão trzem esse ssuto. Esse trblho tem cráter bibliográfico e seu ricil objetivo é servir de fote de esuis, tto r rofessores de esio fudmetl e médio ue ueirm icremetr sus uls, uto r luos mis curiosos ue ão se cotetm somete com o ue é visto em sl de ul e setem dificuldde udo se derm com uestões sobre esse ssuto. Em gerl, o trblho reset o logo de seis cítulos e um êdice, lém do cotexto histórico, reresetção de úmeros rciois e irrciois em frções cotíus, mostrdo s riciis rorieddes, teorems e trzedo vários exemlos ue servem r mostrr vtgem do uso desse tio de frções s roximções de úmeros reis.

10 9 FRAÇÕES CONTÍNUAS: ASPECTOS HISTÓRICOS Os livros didáticos deixrm de ldo o uso ds frções cotíus r reresetções de úmeros reis substituido ess reresetção el deciml or recer mis obvi. As frções cotíus form objeto de trblho de reomdos mtemáticos etre os séculos XVII e XIX, como Euller (77-783) ue em 737, o livro De Frctioibus Cotiuis, resetou seguite exressão r o úmero e em frções cotíus. e = 4... ou de form brevid: [;,,,,4,,...] E bem tes disso, o século V já existi registros de desevolvimetos de frções cotíus de úmeros. Por exemlo, Arybht (476 d.c.), mtemático hidu, teri usdo um método semelhte r ecotrr s soluções iteirs de euções com um ou mis icógits. As fmoss euções dioftis ue recebem esse ome em homegem o mtemático grego Diofto de Alexdri (5.C.), cotudo Arybht ão resolveu de um form gerl, rticulrmete usou frções cotíus somete em exemlos esecíficos. Quem geerlizou o rocesso r resolver euções dioftis com o uso de um rocesso semelhte o desevolvimeto de um frção cotíu de um úmero foi o mtemático, tmbém hidu, Bháscr. O rimeiro uso cohecido desse tio de frção é ddo or Rfel Bombelli (56-57), ue o livro Álgebr, ch um bo roximção r rízes udrátics, do tio 3, usdo esse tio de frção:

11 Que é um licção do resultdo bixo, ² b b b b b... O cietist itlio Ctldi (548-66) tmbém obteve um bo roximção r o úmero 8 : 8 = Um dos fuddores d Royl Society o mtemático iglês Willim Broucer (6-684), resetou um desevolvimeto do úmero [;3,,,,5,,7...] como frções cotíus. = 4 = Ou id;

12 = o ue ode ser cosiderdo imortte r s roximções do úmero. Voltdo Euler, ele teri crido um método r ecotrr s frções cotíus de rízes de um eução udrátic com coeficietes iteiros, rovdo ue uluer irrciolidde udrátic é exress form de frção cotíu ifiit, tmbém em seu trblho De Frctiolous Cotiious. Mis frete, em 766, J.H. Lmbert geerlizou o trblho de Euler sobre o úmero e, e id mostrou ue: e e x = x x 6 x x 4... x Vários outros mtemáticos derm su cotribuição r esse cmo de estudos, como Krl Friedrich Guss ( ), Krl Jcobi (84-85), Augusti Cuchy ( ), Chrles Hermite (8-9), Thoms Stieltjes ( ), OsrPerro e etc... Hoje teori ds frções cotíus está resete em vris áres, como s egehris e comutção sedo objeto de esuis id loge de termir.

13 3 FRAÇÕES CONTÍNUAS D relção de cojutos N Z Q R C, mis comlicd é ssgem dos rciois r os reis. Sbemos ue, { } { } { } { } NOTA: é o cojutos dos úmeros ue ão odem ser exresso el divisão de dois úmeros iteiros. Prtido d firmção ue os rciois são desos os reis, isto é, os úmeros reis odem ser rbitrrimete roximdos or rciois, ou em um ligugem um ouco mis forml temos, R,, Q com < Por exemlo, o úmero = 3, < < < < < < < Preosição: R, > iteiro, existe iteiro com < <.

14 3 Prov: Sej = Z, < < + < < NOTA: é o mior úmero iteiro meor ou igul Com isso, temos ue, < e + =, Logo: ou Isso mostr ue uluer úmero rel tem ifiits roximções rciois, de fto, ois odemos ter roximções rciois com o deomidor ue uisermos, com o erro meor ou igul metde do iverso do deomidor. Ms isso ão é o melhor ossível. Por exemlo, Aruimedes sbi ue = 3, , o erro 7 d roximção de é, 7 =,... < 7 7 O holdês Adrie Atoiszoo, em 585, ecotrou um roximção id melhor r o úmero ue é. 355 = 3, o erro dess roximção é: =,6...< 3 3

15 3. Formção de frções cotius: desevolvimeto de um úmero rel em frções cotius 4 A reresetção de um úmero rel or frções cotíus semre forece roximções surreedetemete bos e veremos ue ão só são muitos bos como id são s melhores roximções. Coceitos Básicos: teremos dois csos. Sej um úmero rel e = Z, ou sej, é rte iteir de, º cso: Se rmos. º cso: Se temos, ; A rtir dí, fremos semre mesm cois. Pr ; e um iteiro ositivo. Se, rmos Seão, ; Dí segue:

16 5 3 3 = [ ],...,,, ; 3 Em gerl. Se r lgum N, temos,...,, ; Q Agor se Z, N temos,..., ;

17 Vmos usr esse rocesso r resolver lgus exemlos ráticos, ou sej, seguiremos os dois ssos de form lterd bixo. 6 Psso : Destc-se rte iteir do úmero, ou sej, rereset-se este último sob form de um som, em ue um ds rcels é um úmero iteiro e outr é o resto, iferior à uidde. Psso : A segud rcel é reresetd sob form de um frção de umerdor e deomidor igul o iverso do resto. A este deomidor, lic-se de ovo o rimeiro sso, e ssim sucessivmete. Exemlo: Usdo o lgoritmo cim r o úmero Se utilizrmos té segud rcel, ou sej sej 3 = 7 7 Teremos roximção de Aruimedes e se usr té uit rcel, ou = Teremos roximção de Adrie Atoiszoo. Existem reresetções or frções cotíus ue são muito mis simles ue reresetção deciml, vej o exemlo seguir.

18 7 Exemlo: Reresete rzão áure em form de frção cotíu. A rzão áure é igul 5 =,68..., esse úmero é riz d eução x² - x =. Fzedo o desevolvimeto temos 5 = 5 5 = 5 5 Assim fic fácil ver ue = [;,,...], e observe ue esse resultdo reseit eução x² - x = ois se isolmos o x eução temos x = +. x Exemlo: Desevolver em frções cotíus. = Verificdo ue, cocluímos ue, rtir deste mometo tudo irá reetir-se, isto é, 3, Dí teremos ue,

19 8 4 É bom ressltr ue udo reresetmos sob form fiit icluido o úmero irrciol, odemos utilizr o sil de iguldde. Ms udo o rocesso de desevolvimeto se rologr idefiidmete, escreveremos [;,,,,...]. Em geometri tmbém é ossível desevolver um grdez um frção cotíu, vej o exemlo bixo. Exemlo: Determir rzão etre bse e um dos ldos de um triâgulo isósceles, com âgulo oosto à bse de 8º. Solução: Os âgulos do triâgulo ABC medem, resectivmete, 8º, 36º, 36º. Mruemos bse o comrimeto BM = x e BC = y. Dí temos: y x BC BM BM MC BM MC BM BM MC AC MC Agor fzedo CN = z e CA = w temos,

20 9 w z CA CN CN NA CN NA CN CN NA MA = NA E os âgulos do triâgulo MAC medem, resectivmete 8º, 36º, 36º, isso tor o triâgulo MAC semelhte com o triâgulo iicil. N rimeir rte determimos rzão y x etre bse e o ldo do triâgulo ABC e segud rte temos rzão w z etre bse e o ldo do triâgulo MAC. Nos dois csos temos rzão etre bse e o ldo de triâgulos semelhtes e um vez ue, ós o rimeiro sso voltmos à situção iicil e ós o segudo voltmos o rimeiro, o rocesso uc termirá. Etão odemos escrever, x y [;,,...] 3. Algoritmos de Euclides Utilizdo o rocesso de Euclides r o clculo do máximo divisor comum etre dois úmeros turis, teremos um reresetção, ue será fiit, de úmeros rciois or frções cotíus. Sejm e úmeros turis com, odemos escrever,

21 =, r. r = r, r, r r, r r3 r r, r r, r 3 r Dí segue ue, ) ) r r r r Reetido esse rocesso váris vezes teremos, 3 Ou id, [ ;,, 3,... ] Exemlo: desevolver lgoritmo de Euclides. 6 9 e em frções cotíus utilizdo o 7 6 ) 6 = 7 x , 3, , 6 6

22 6 = [;3,,6] b) 9 = 6 x ,, 7, = [;,7,4] 7 4 Obs: Números rciois euivletes ossuem mesm reresetção em frções cotíus, vej o desevolvimeto bixo: 6x3 7x = [;3,,6], ois, 83 = 8 x , 3,, Agor, se o rocesso de Euclides reetir-se ifiitmete, teremos reresetção de um úmero irrciol. A recíroc desse resultdo é verddeir, e etão temos o seguite teorem, Teorem: Quluer úmero rciol ode ser reresetdo sob form de um frção cotíu fiit e uluer frção cotíu fiit rereset um úmero rciol.

23 Dí odemos tirr um coclusão sobre o desevolvimeto de um úmero rel or frções cotíus. Se for um úmero rciol, ele oderá ser escrito form de frção cotíu fiit e esse cso, oderímos desevolver o rocesso iverso. Por exemlo, 9 9 = Isso sigific dizer ue e [;,7,4] são dus forms diferetes de 6 reresetr o mesmo úmero. Ms se for um úmero irrciol ão oderímos licr o rocesso iverso r chegr em um iguldde.

24 3 4 FRAÇÕES REDUZIDAS Se o desevolvimeto de um frção cotíu, em lgum mometo, rássemos o rocesso e descrtássemos rte osterior desse desevolvimeto, o úmero ue esse modo obterímos receberi o ome de reduzid e seri reresetd or, ode: = 3 = ;,,,... ] [ 3 Em rticulr, reduzid de ordem zero, isto é = será O rático é ue o coceito de reduzid serve tto r s frções cotíus fiits uto s ifiits. E o cso ds frções fiits, existe um reduzid ue coicide com rório úmero. Vejmos o exemlo bixo, [;] 3 [;,7] [;,7,4] 9 6

25 4 Já o cso em ue frção cotíu é ifiit, s sucessões de reduzids tor-se tmbém ifiit. Ms ão os imede de reresetr lgums reduzids desse tio de frção. s reduzids bixo, Por exemlo frção [;,,,,,...] = 5 teremos [;] [;,] 3 4. Determição d -ésim reduzid Vmos gor deduzir um fórmul de recorrêci r determir - ésim reduzid sem recisr efetur logos cálculos, isto é, sem recisr escrevê-l form = ue fizemos té gor., r deois fzer todo o rocesso iverso 3 Sejm,

26 5 ) b) c) O item c) ode id ser escrit d seguite form, Podemos usr ess iguldde r escrevemos um regr gerl., com =,3,4... A demostrção dess recorrêci será feit or idução. Primeiro vmos escrever o umerdor e o deomidor como dus euções. () Já vimos ue esss euções vlem r = o item c) e gor demostrremos ue se esss euções vlem r lgum =, cotiurão vledo r = +. Primeirmete lisremos s exressões,

27 6 3 3 Desss dus exressões odemos cocluir ue r ssr de r recismos substituir or. Fzedo ess substituição s euções () teremos, e. _ Note ue os úmeros,, e ão serão lterdos, ois sus exressões ão icluem. Desrezdo o ftor comum e usdo hiótese ue

28 7 com = Teremos ue, e E ssim está demostrdo ue esss euções são válids r =,3,4,...s. Dí oderemos escrever o seguite corolário. Corolário: Os umerdores cotíu simles stisfzem e os deomidores de um frção,,,3,... Com s codições iiciis e Esse corolário, os lev o um ovo etedimeto de reduzid, ois té o exto mometo idei de reduzid er de um úmero cocreto, ode form como estivesse reresetdo ão er imortte. 6 úmero? 7 Ms gor resod ergut: Qul reduzid de segud ordem do As resosts r ess ergut odim ser váris. Por exemlo ; 4 9 8,5 ; ; e ssim or dite. Tods els reresetm o mesmo úmero, só ue 4 8 escrits de forms distits. A rtir desse corolário, orém, oção de reduzid mud, ois est ão será só um úmero cocreto, ms tmbém um form cocret de reresetr um úmero. Isto é, de gor em dite, frção reduzid de

29 8 segud ordem, ou sej, 6 9 r o úmero é, ois o umerdor e o 7 4 deomidor de cd reduzid ssrão estr iteirmete defiidos. 4. Tbel r cálculo de reduzids Ess tbel fcilit o cálculo ds reduzids. Os vlores de i ficm rimeir lih, os de i segud lih e o de i terceir. como segue bixo. De iicio vmos reecher rimeir lih e s dus rimeirs colus Dí em dite, seguiremos os dois ssos bixo r comletr o reechimeto dess tbel. Psso : A colu ue cotém e é multilicd or. Psso : A colu obtid ós o sso é somd colu terior. Ess seüêci jud clculr o vlor de um frção cotíu fiit, isto é, últim colu obtém-se o resultdo. Esse rocesso é muito mis rático do ue clculr diretmete usdo divisões sucessivs, Exemlo: Preech tbel corresodete frção [;3,4,,,5].

30 Note ue o seu reechimeto é bem mis simles ue o método de divisões sucessivs bixo, = Exemlo: Preech tbel corresodete frção[;,7,4] Sem o uso d tbel terímos,

31 3 4.3 Quocietes comletos Muits vezes iterromermos o rocesso de desevolvimeto de um úmero um frção cotíu. Vej o exemlo, Ou id Os úmeros 7 7 e ue recem o desevolvimeto cim, são 7 6 chmdos de uocietes comletos, ode tmbém é usd seguite otção ;3 7 6 ;3,,6, um trço verticl. Ou sej, o uociete comleto é serdo dos elemetos teriores or 4.4 Prorieddes ds reduzids ª Proriedde: Difereç etre dus reduzids djcetes.

32 3 Demostrção: Agor fzedo D e usdo fto ue, _ e temos ue, e () () Substituido () e () em D temos, D = = = = (3) Observe ue exressão etre rêteses de (3) é mesm ue D, o etto, com todos os idicies dimiuídos de um uidde. Assim cocluirmos ue, D D Usdo esse resultdo, váris vezes, odemos chegr té o ídice zero, observe, 3... D D D D D Bst gor clculr o vlor de D,. D

33 3 Dí segue ue, D Cocluido ue, ª Proriedde: Cd reduzid com úmero de ordem imr é mior ue s frções djcetes, isto é, imeditmete terior e imeditmete osterior e cd reduzid de úmero de ordem r é meor ue s djcetes. Demostrção: Utilizdo fórmul r e, com ertecedo os turis temos, ) ) Exemlo: Verifiue ue 3 3 e Pr fzer verificção bst fzer utilizção diret d fórmul,, r e 3 vej,

34 33 e ª Proriedde: Em relção o úmero de ordem, difereç etre dus frções djcetes é decrescete em vlor bsoluto. Demostrção: Podemos utilizr diretmete fórmul r verificção, vej, Como, temos ue, 4ª Proriedde: O vlor exto de um frção cotíu fiit situ-se etre os vlores de uisuer dus reduzids djcetes. Pr demostrção dess roriedde fremos álise d figur bixo. Os úmeros,, 3, 4..., ão reresetm o vlor ds frções, ms o seu úmero de ordem. No extremo esuerdo, situ-se frção º, isto é, rte iteir d frção cotíu. Pr ssr à frção º, temos de os deslocr r direit. Pr ssr d frção º à frção º, é ecessário dr um sso o setido iverso, r esuerd, ms esse sso é mis curto ue o terior, e ssim sucessivmete. Os ssos à direit vão-se lterdo com os ssos à esuerd, sedo cd sso mis curto ue o terior. Com isso 4ª roriedde se verific.

35 34 5ª Proriedde: O erro bsoluto cometido o substituir o úmero el reduzid é meor ue isto é, Prov: Usdo 4ª roriedde e fórmul obteremos seguite desiguldde: Agor substituido o úmero elo úmero iferior frção, obteremos, o ue só reforç desiguldde em cus. 6ª Proriedde: Tods s reduzids são irredutíveis. Demostrção: Admitmos ue sej redutível frção, isso sigific ue o seu umerdor e o seu deomidor resetm um ftor comum de um, ou sej, diferete Ode e são turis. Agor utilizdo fórmul D teremos, ( ) ( ) O ue é um bsurdo, ois o rimeiro membro d iguldde é divisível or, ms o segudo ão é.

36 35 5 FRAÇÕES CONTÍNUAS INFINITAS 5. Distâci etre o fiito e o ifiito. Aesr ds ossíveis semelhçs existetes etre o fiito e o ifiito, verdde existe um eorme vzio etre eles. O sigificdo de um frção deciml fiit é fcilmete verificd. Por exemlo, dizim é igul, ms ul é o sigificdo do úmero Outr ergut ue odemos fzer, é ul o sigificdo d som ifiit Ms udo o úmero de rcels é fiito, som fic fácil de determir, or exemlo:. Esses exemlos mostrm um ouco d distâci ue existe etre o fiito e o ifiito e fim de trsor ess distâci usremos o xiom de Ctor ue tmbém é cohecido or ricíios dos seguimetos ecixdos. Axiom de Ctor: Se um ret for dd um sucessão ifiit de segmetos ue obedeç s seguites codições: ) cd segmeto está cotido o terior; ) o comrimeto dos segmetos tede r zero, etão existe um e só um oto ue ertece todos os segmetos. Vmos fzer um lise mis detlhd desse xiom usdo figur bixo. Observe ue cd sso do rocesso são deixdos de for lgus otos. Por exemlo, o oto A ertece o rimeiro segmeto, ms ão ertece o segudo. O oto B ertece o rimeiro e o segudo segmeto, ms ão ertece o terceiro e ssim sucessivmete. Assim existem otos ue frão rte dos rimeiros segmetos, ms ficrão de for do segmeto.

37 36 Exemlo: Cosidere o eixo umérico os segmetos bixo [ ], [ ], [ ], [ ],..., [ ],... Assim fic fácil ver ue o oto é o úico ue ertece todos os segmetos. Exemlo: Alisdo sucessão de segmetos bixo, fic fácil ver ue o úico oto ertecete todos os segmetos é o oto zero. [ ], [ ], [ ],..., [ ],... Com esses exemlos odemos escrever ifiitos otos ue erteçm o segmeto [ ], ms mesmo ssim deixrímos esços vzios ois sbemos ue os rciois ão reechem tod ret. Assim os otos ue reecherim esses esços vzios serim desigdos de úmeros irrciois e dí covecioou-se ue todo úmero irrciol seri reresetdo or um sucessão ifiit de segmetos ecixdos ue ão odem ser escritos sob form d rzão etre úmeros turis. Ates de reresetr úmeros irrciois em form de frção cotíu, vmos eteder o coceito de vlor umérico de um frção cotíu ifiit. Observe ue s frções reduzids de frções cotíus ifiits são úmeros rciois, e esses úmeros defiem um sucessão de segmetos ecixdos, [ ],[ ], [ ],...,[ ],... (*) E como os deomidores

38 37 São estritmete crescetes, temos ue, ( ) Ou sej, difereç etre frções reduzids djcetes tede r zero. Agor de cordo com o xiom de Ctor, existe um úico úmero rel ue ertece todos os segmetos de (*). Vmos cosiderr, or defiição, ue este úmero é o vlor d frção cotíu ifiit. 5. Reresetção de úmeros irrciois or frções cotíus Sedo um úmero irrciol será ue seu vlor umérico corresode o mesmo vlor umérico d frção cotíu ifiit [ ] obtid rtir de? Pr resoder ess ergut, exmiemos o rocesso de desevolvimeto de em um frção cotíu., sedo Obtedo ue. Dí segue ue, Dode,, Cocluido ue,

39 38 Ou melhor id, Isso mostr ue está cotido etre uisuer dus frções reduzids djcetes. Dí, cocluímos ue o vlor de é o mesmo vlor d frção cotíu ifiit [ ], ois existe um úico vlor ue ertece todos os segmetos de (*) d seção Uivocidde dos reis Como os úmeros rciois desevolvem-se em frções cotíus fiits, e os úmeros irrciois em frções cotíus ifiits, odemos firmr ue uluer úmero rel ode ser desevolvido em um frção cotíu. Ms id recismos demostrr ue reresetção de um úmero rel or um frção cotíu é defiid uivocmete, isto é, de form úic. Pr isso, bst fzer demostrção do teorem bixo, Teorem: Dus frções cotíus [ ] e[ ] (fiits ou ifiits) são iguis etre si, se e só se, º Tiverem o mesmo úmero de elemetos, º Os elemetos corresodetes de um e outr coicidirem, isto é,,,... OBSERVAÇÃO: Terem o mesmo úmero de elemetos deve ser etedid do seguite modo: ou mbs s frções são fiits e têm o mesmo úmero de elemetos, ou são ifiits. Demostrção. Reresetemos or o vlor ds dus frções cotíus iguis,

40 39 [ ] = [ ]. O elemeto (ssim como ) é igul, e, or coseguite, é defiido elo vlor de. Logo Subtri-se de [ ] = [ ]. Cosiderdo grdez ivers [ ] = [ ]. O elemeto (ssim como ) é igul e, or coseguite, defiese uivocmete rtir do vlor de. Logo,, E ssim sucessivmete. Reetido este rciocíio, odemos demostrr ue,, etc. Pr termirmos demostrção, bst verificr se em frções cotíus de vlores iguis, odemos ter úmeros de elemetos diferetes. Verificção: Suohmos ue rimeir frção cotíu é fiit e tem s elemetos, euto segud é fiit e tem t elemetos, sedo t > s, ou é ifiit. Dí, teremos ue, Ou

41 4 E, ortto, O ue é imossível. Cocluido ue t = s. 5.4 Irrciolidde udrátic Defiição: Irrciolidde udrátic é uluer úmero irrciol ue costitu um riz de um eução udrátic de coeficietes iteiros. Exemlo: O úmero é um rciolidde udrátic? Pr resoder ess uestão fremos uso do seguite lem, LEMA: Se, com rciois e um úmero ão udrdo erfeito, for um riz d eução, Com coeficietes iteiros, tmbém será um riz dest eução. Dí, segue ue r determir eução udrátic ue ger est irrciolidde, devemos tomr e como rízes de um mesm eução. Logo, est eução tem seguite form: ( )( ) Ou id Exemlo: O úmero é um irrciolidde udrátic? Pr resoder ess uestão fremos uso do lem seguite, LEMA: Se exressão com rciois e úmeros ão udrdos erfeitos, ode são rdicis ão semelhtes, reresetr um riz de um eução lgébric com coeficietes iteiros, o úmero

42 4 eução., sej ul for combição de siis, tmbém será riz dess NOTA: Os rdicis udráticos dizem-se semelhtes udo cotece iguldde, com rciol. Desse lem segue ue, r determir irrciolidde udrátic (ou ão), do úmero, devemos chr eução com coeficietes iteiros ue teh como rízes,,,. Logo, est eução tem seguite form, ( )( )( )( ) Ou id, Teorem. O vlor de uluer frção cotíu ifiit eriódic é um irrciolidde udrátic. NOTA: Um frção cotiu diz-se eriódic se os seus elemetos formm um sucessão eriódic. Por exemlo, [ ]; [ ]; [ ]. Demostrção: Sej [ ] um frção cotíu ifiit eriódic simles cujo eríodo tem comrimeto. Sedo ssim,. [ ] com [ ] Usdo fórmul, ode demostrção será feit o êdice deste texto, temos,

43 4 Dí, segue ue, Isto é, stisfz eução udrátic: ( ) Os siis ds rízes dess eução são diferetes, sedo ositiv. NOTA: Se frção for eriódic mist, [ ], Com eríodo igul à [ ], é ecessário desdobrr rimeiro, d direit r esuerd, o iicio d frção, té o elemeto, iclusive, e deois utilizr demostrção resetd. Exemlo: Verifiue se frção cotíu [ ] é um irrciolidde udrátic. Sbemos ue, [ ] Fremos o desdobrmeto dess iguldde utilizdo dois ssos lterdmete: ) Iverter mbos os membros; ) Subtrir cd membro d iguldde rte iteir. Seguido os ssos temos,

44 43 Com isso o segudo membro d iguldde é o rório, ou sej, Dí odemos escrever seguite eução udrátic r, Com. Exemlo: Verifiue se [ ] é um irrciolidde udrátic. Nesse cso o eríodo é costituído de dois lgrismos, e teremos ue usr os dois ssos do exemlo terior mis de um vez.

45 44 Novmete o segudo membro d iguldde é igul à, ou sej, Dí, odemos escrever eução udrátic bixo, Com, Teorem: Quluer irrciolidde udrátic se exrime trvés de um frção cotíu eriódic. Demostrção: Sej um irrciolidde udrátic. Vmos desevolver em um frção cotíu, detedo-os cd sso, rtir do segudo: [ ] [ ] [ ] Nests igulddes, são uocietes comletos. Usremos o fto ue udo um uociete comleto se reete, isto é,, frção cotíu é eriódic. Em rimeiro lugr, demostrremos ue todo uociete icomleto stisfz um eução udrátic de coeficietes iteiros: () Em segudo lugr, demostrremos ue os coeficietes d eução () são limitdos em módulo. ()

46 45 Observe ue os limites e ão deedem de (deedem es de ). Um vez ue são úmeros iteiros, cd um deles só ode tomr um cojuto fiito de vlores dmissíveis. Logo, r um ddo o úmero de diferetes euções do tio () ossíveis e, or coseguite, o úmero de diferetes rízes dests euções, é fiito. Assim, é evidete ue sucessão de uocietes comletos reetição é ievitável, tl como se retede demostrr. Demostrremos rimeiro () e deois (). A irrciolidde udrátic stisfz um cert eução udrátic com coeficietes iteiros (i) Vmos tmbém usr fórmul bixo, (ii) Substitu-se em (i) el exressão (ii), e deois de lgus cálculos: ( ) ( )( ) ( ) Ou Ode ( ) (iii) ; ;

47 Rest demostrr ue os coeficietes (iii) têm vlor bsoluto limitdo. De cordo com o resultdo bixo, 46 Ode elo ue ( ). Substitu-se est exressão de rimeir ds fórmuls (iii): ( ) ( ) ( ) elo ue A exressão etre rêteses, de cordo com fórmul (i), é igul zero, ( ) Visto ue, teremos Tomemos id em cosiderção ue ( e sucessão é crescete). Logo, o retirrmos, isto é, o substituirmos o seu vlor or, es reforçmos desiguldde:

48 47 Atigimos ssim o osso objetivo: obtivemos um limite de, ão deedete de. Em vez de reetir este rciocíio r o cso de, otemos ue se obtém rti de or meio d substituição de or, isto é,. Um vez ue o limite ecotrdo ão deede de, tmbém se lic. Quto é melhor utilizr um método idireto. Clculemos o discrimite d eução (), licdo s fórmuls (iii). Deois de lgus cálculos obtemos: ( ) ( ), Agor, usdo fórmul D temos ( ) Logo, (3) Est fórmul exrime um fto turl: os uocietes ue fzem rte do desevolvimeto d irrciolidde udrátic em um frção cotíu são irrcioliddes udrátics do mesmo tio ue. Este tio é defiido elo discrimite. Todos eles têm form Sedo um vlor costte. Podemos gor cocluir d eução (3) ue Um vez ue todos os termos do segudo membro são limitdos, obtemos ue é, ortro,, é limitdo.

49 Agor odemos cocluir ue s irrcioliddes udrátics e só els exrimem-se trvés de frções cotíus eriódics. 48

50 49 6 APROXIMAÇÃO DE NÚMEROS REAIS 6. As reduzids são bos roximções N seção. foi dito ue, s frções cotíus os forece roximções surreedetemete bos de úmero reis e id firm ue tis roximções são s melhores ossíveis. Nesse cítulo, veremos ue s frções reduzids são s mis vtjoss ão só em relção às frções de deomidores iferiores ou iguis, ms tmbém em relção às frções de deomidores sueriores mis róximos. Sedo ssim, só obteremos vtgem mior udo tigirmos o vlor do deomidor d reduzid seguite. Teorem. Pr todo, com temos Além disso, se desiguldde cim é estrit. Demostrção. Como o mdc( ), temos ue se etão e r lgum iteiro e este cso o resultdo é clro. Assim, odemos suor ue de modo ue Já ue. Assim, está for do itervlo de extremos e e ortto { }

51 5 O ue imlic Além disso, iguldde só ode ocorrer se, dode e, ois em um frção cotíu fiit, o último coeficiete é semre mior ue. Nesse cso, se, teremos O ue imlic Isso mostr ue s reduzids, e só els, têm um erro bsoluto reduzido iferior o de tods s outrs frções de deomidor meor, e ssim, tmbém, um coeficiete de vtgem suerior. NOTAS NOTA : Eted or roximção vtjos, udo ão for ossível elevr extidão sem umetr o deomidor. NOTA : Erro reduzido é igul à metde do uociete etre o erro bsoluto rel e o máximo erro ossível, ou sej ( ) NOTA 3: Coeficiete de vtgem idic uts vezes o erro bsoluto rel é meor ue o máximo erro ossível, e odemos desigá-l como,, ode

52 5 7 CONCLUSÃO Pr cocluir vejmos gor lgus exemlos ue reforçm idéi ue s frções cotius são ótims roximções. Exemlo: Usdo, e ; mostre ue frção, esr de ão ser reduzid e de, é tão vtjos como reduzid. Solução: Bst desevolver o módulo. ( ) ; Logo temos ue. Exemlo: Verifiue o ue foi feito o exemlo terior com frção. Solução: Sbemos ue, Dí tirmos sus reduzids, Agor fzedo

53 5 Temos Vmos gor clculr o coeficiete de vtgem r s frções e usdo fórmul. ) Pr frção temos ) Pr frção temos 3) O ue mostr ue mesmo sem ser reduzid, frção é tão vtjos uto frção. Ms, rimeir frção têm o deomidor bem mior ue o d segud frção, reforçdo idéi ue só róxim reduzid seri relmete mis vtjos. Exemlo: Fç roximção do úmero diferetes deomidores, deste té o deomidor. or meio de frções de

54 53 terior. Exemlo: Clcule o coeficiete de vtgem de cd frção do exemlo ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) Vej ue frção é de loge mis vtjos, mesmo udo comrd com frções com deomidores miores róximos, reforçdo mis

55 um vez grde ferrmet ue são s reduzids roximção de úmeros irrciois. 54

56 55 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS Vimos esse trblho ue odemos obter ótims roximções de úmeros irrciois com úmeros rciois usdo o disositivo ds frções cotíus, mesmo sbedo ue o cso dos irrciois s frções cotíus são ifiits, temos oção de iterromer o desevolvimeto d frção r chr um reduzid e ess será um ótim roximção. A exclusão desse tem dos livros didáticos, meu ver, é um erro, ois o estudo ds frções cotíus judri, e muito, o estudo dos úmeros rciois e ricilmete o etedimeto dos irrciois, ue são motivos de vários uestiometos tto o esio fudmetl como o médio.

57 56 REFERÊNCIAS ANDRADE, E.X.L. e BRACCIALI, C.F. Frções cotíus: rorieddes e licções. Editor Plêide, 5. BESKIN, N.M. Frções cotíus: iicição à mtemátic. Editor Mir Moscovo, 987. Trdução de Pedro Lim. NIVER, I. Números rciois e irrciois. SBM, 984. POMMER, W.M. Frções cotíus o esio médio? São Pulo: FEUSP, 9. P. 3-4; -. SANTOS, J.P. de O. Itrodução à teori dos úmeros. Rio de Jeiro: Imr, 998. P

58 57 APÊNDICE A DEMOSTRAÇÕES DE FÓRMULA E LEMAS ) Demostrção d fórmul. Sbedo ue, e se substituirmos or teremos ( ) ( ) ( ) ( ) Dí, segue ue ) Prov do lem: Se, com rciois e um úmero ão udrdo erfeito, for um riz d eução, Com coeficietes iteiros, tmbém será um riz dest eução. Prov. É ddo ue ( ) ( ) ( ) () Precismos demostrr ue ( ) ( ) ( ) () Desevolvedo os rêteses iguldde (), teremos ue os termos d form ( ) ue se obtêm são divididos em dois gruos: º é um úmero r ( ) Todos estes termos são rciois. Reresetemos su form º é um úmero ímr. Todos estes termos são d form Reresetemos su som or Com isso, iguldde () tom seguite form: (3)

59 58 Fç um trsformção álog iguldde (). Est últim iguldde obtém-se de () substituido or Ess substituição ão se reflete os termos ue costituem otêcis res de ms lter o sil dos ue costituem otêcis ímres. Logo iguldde () ode ser escrit ssim: (4) A iguldde (3) só se verific r Isso se verific ois, r iguldde (3) sigific ue é um úmero rciol. Logo, elo cotrário, teremos iguldde Cocluido ue, se iguldde (4) será verddeir. 3) Prov do lem: Se exressão com rciois e úmeros ão udrdos erfeitos, ode são rdicis ão semelhtes, reresetr um riz de um eução lgébric com coeficietes iteiros, o úmero, sej ul for combição de siis, tmbém será riz dess eução. ue, Se ( ) etão or hiótese temos ( ) ( ) ( ) ( ) Precismos demostrr ue ( ) () Desevolvedo os rêteses d iguldde (), obteremos temos ue terão seguite form

60 59 ( ) ( ) Ode A é um coeficiete, e são exoetes iteiros ão etivos. Esse termos serão divididos em utro gruos º º 3º 4º Com isso iguldde () tomrá form, ( ) Os termos do º e º gruos ão sofrem lterção se substituirmos or, ms os termos do 3º e 4º gruos ficrão com o sil cotrário. Logo, se ( ) Etão teremos ( ) Fzedo s diferetes combições de siis um rciocíio álogo, obteremos os seguites resultdos, ou sej Se ( ) Etão ( )

61 6 ( ) ( ) Como ( ), só ocorre se, temos ue todos os resttes vlores ( ) são iguis zero.