Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri Médi, Vriânci e Desvio Pdrão Julho de 7 Vriáveis Aletóris Muits vezes o espço mostrl não é um conjunto de vlores numéricos. Por exemplo, se jogmos um moed vezes, o espço mostrl é S = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }, onde cd resultdo tem mesm probbilidde, e T indic coro, H indic cr. Sej S o espço mostrl e X um função que "peg" elementos deste espço (resultdos d experiênci) e os lev num subconjunto dos números reis. Est função X é chmd de vriável vel letóri ri. Atenção: usremos qui X (miúscul) pr denotr vriável vel letóri e x (minúscul) pr indicr um vlor específico d vriável vel,, isto é,, um número. n Vriáveis Aletóris S espço mostrl X 4 χ espço d vriável letóri Sej X um vriável letóri definid num espço mostrl S e sej ℵ o espço de X. Sej A um subconjunto de ℵ e S um subconjunto de S (espço mostrl).
Vriáveis Aletóris Vriável Aletóri Discret Já definimos probbilidde de um evento S S (espço mostrl), e gor gostrímos de estender est definição e flr d probbilidde de um evento A ℵ. O nosso objetivo gor é definir probbiliddes prtir de vlores possíveis d vriável letóri, sem referênci explícit os pontos do espço mostrl que derm origem queles vlores d vriável letóri. Como definir Pr (X A)? A mneir mis nturl de fzer isso é ssocir probbilidde do evento X A à probbilidde do evento S no espço mostrl S. 5 Not: freqüentemente iremos brevir vriável letóri por v.. Vriável letóri discret pode ssumir pens vlores num conjunto finito ou contável, por exemplo, número inteiros ou inteiros positivos. s Número de expectdores em um sessão de cinem, Resultdo do lnçmento de um ddo, Número de ligções recebids por um centrl de telemrketing num intervlo de tempo especificdo, número de ssltos num esquin. 6 Função de Probbilidde É um função que ssoci cd possível vlor de um vriável letóri discret su probbilidde de ocorrênci. A função de probbilidde deve stisfzer: ( X = x) = Pr( X = x) = Pr pr = Tmbém, probbilidde de qulquer subconjunto A de vlores d v.. é pens o somtório de f(x) pr os vlores d v.. contidos em A. 7 Vriável Aletóri Discret - Sej X um vriável letóri discret com espço ℵ = {X: x =,,,,4}. Sej 4 4! = Pr( X = x) =. = x x! Note que f(x) é um função de probbilidde, pois: i) f (x) pr ℵ, isto é, x =,,,, 4 Tmbém: ii) f( x) 4 = 4 ℵ x= x( x) 4 4! = = + + + +! 4! x= x! ( 4 x)! 4!!!( )!! 4! = + + = 8 4 = 4 4 = 4 ( 4 x)! 6 x =,,,,4 8
Vriável Aletóri Discret - Sej A = {,}. Então: Pr (X A) = f () + f () = Pr(X=) + Pr(X=)= 4 4 4! = + 4! 4 = 5!!!! 6 Veremos depois que este é um cso prticulr d função de probbilidde Binomil, com prâmetros n = 4 e p = /. Vriável Aletóri Discret - Um fábric produz fusíveis. A probbilidde de um fusível produzido ser defeituoso é %. Testse fusíveis encerrndo o teste ssim que o primeiro fusível defeituoso é encontrdo. Sej X o número de testes relizdos té encontrr o primeiro fusível defeituoso. Ache função de probbilidde de X. 9 Vriável Aletóri Discret - Solução O espço mostrl é constituído por seqüêncis como: D BD BBD BBBD BBBBD... Onde B indic que o fusível está perfeito, e D indic que o fusível tem defeito. Vriável Aletóri Discret - Logo, os vlores possíveis de X são:,,..., n,... (não há um vlor máximo). Ms, X = n se, e somente se, os (n-) primeiros fusíveis testdos estão OK e o n-ésimo tem defeito. Isto é, X = n corresponde à seqüênci: BBBBB...BD, que tem n- fusíveis OK e com defeito. Se o estdo de um fusível não fetr condição do próximo podemos supor que: f(n) = Pr(X = n) = (.9) n-.(.) pr n =,,...
n= Vriável Aletóri Discret - Note que f(n) > pr todo n e tmbém: { } n n f( n) = (. ).(. ) =. (. ) =. +. + (. ) +... =. 9 9 9 9 9. = n= n= Logo, f(n) = Pr(X = n) ssim definid é um função de probbilidde válid. Veremos mis trde que vriável X que surge neste exemplo é chmd de v.. Geométric. Vriável Aletóri Discret - Not: Neste exemplo empregmos série geométric pr demonstrr que o somtório ds probbiliddes pr todos os vlores de X er um. A série geométric é: k = + + + +... = desde que < k = Alterntivmente, se começrmos série em k=: k = + + +... = k= k= = = -= desde que < k 4 Vriável Aletóri Contínu nu Se um vriável puder ssumir qulquer vlor num intervlo rel, é um vriável letóri contínu. s Tempo de tendimento em um cix de bnco, Peso rel de um pcote de Kg de çúcr, Custo de construção de um fábric, Custo de lnçmento de um cmpnh publicitári, Altur dos homens brsileiros com iddes entre 8 e nos, Retorno diário de um ção, Proporção de eleitores fvor d reeleição do prefeito. 5 Vriável Aletóri Contínu nu Como já foi dito, vriáveis letóris contínus são quels que podem ssumir quisquer vlores dentro de um intervlo. Pr vriáveis letóris discrets, nós podímos tribuir um probbilidde um determindo vlor d vriável. Pr vriáveis letóris contínus situção é bem diferente. Como um vriável contínu pode ssumir qulquer vlor em um intervlo, n relidde el pode ssumir infinitos vlores. 6
Vriável Aletóri Contínu nu Portnto, não podemos flr d probbilidde de ocorrênci de um vlor em prticulr. Ao invés disso, devemos pensr n probbilidde de ocorrênci ssocid um intervlo. N discussão nterior sobre distribuições discrets de probbiliddes introduzimos o conceito de função de probbilidde (f(x)). No cso contínuo, nuo, utilizremos função densidde de probbilidde, tmbém m representd por f(x). Vriável Aletóri Contínu nu Nesse cso, função densidde de probbilidde fornece um vlor pr cd possível vlor (infinitos) d vriável X. No entnto, os vlores de f(x) não representm s probbiliddes ssocids x. Ao invés disso, áre (isto é, integrl!) sob função de densidde de probbilidde em um determindo intervlo fornece probbilidde de ocorrênci de um vlor dentro desse intervlo. 7 8 Função Densidde de Probbilidde É um função que stisfz: pr P dx = ( < X < b) = P( X b) = D definição de densidde, segue que, pr um v.. contínu, probbilidde de um único ponto é zero, isto é: P(X = ) = pr qulquer número. b dx Distribuições contínus nus de probbilidde - exemplo Considere seguinte função de densidde de probbilidde: f(x) = (x + )/4 pr x. Verifique se est é um função de densidde de probbilidde válid pr o intervlo considerdo. Clcule probbilidde de X f(x) /4 /4 (x + )/4 x 9
Distribuições contínus nus de probbilidde - exemplo Solução ) Pr que f(x) sej um função de densidde de probbilidde válid, devemos ter su áre = no domínio d função. Neste cso, devemos clculr áre sob função no intervlo de. A áre dess região é dd por: f () + f () Áre = ( ) = / 4 + / 4 = Logo, f(x) é um função de densidde de probbilidde válid, pois su integrl é no seu domínio de definição e f(x) é sempre mior ou igul zero. Distribuições contínus nus de probbilidde - exemplo Solução (b) A probbilidde pr um determindo intervlo de x é dd pel áre sob função de densidde de probbilidde nesse intervlo. P(X ) corresponde à áre sob função pr x f () + f () / 4 + / 4 Áre = ( ) = () =.65 Distribuições contínus nus de probbilidde - exemplo Sej X um vriável letóri contínu com espço ℵ = {x: < x < }. Sej f(x) = cx pr ℵ, onde c é um constnte determinr. Qul o vlor de c? Solução cx cx dx = c = = c = Logo c = é constnte necessári pr fzer de f(x) um densidde em ℵ, isto é, pr fzer com que densidde integre um no intervlo (,). Função de Distribuição Pr cd vlor x d vriável letóri, Função de Distribuição (ou Função de Distribuição Acumuld, ou Função de Distribuição Cumultiv) é probbilidde de estr nquele vlor, ou bixo dele, isto é: F(x ) = Pr( X x ) pr Note que, como F(x ) é um probbilidde, el está limitd o intervlo (,). Um ponto importnte qui é: definição de Função de Distribuição é mesm pr vriáveis veis contínus nus ou discrets. 4
Função de Distribuição Algums funções de distribuição são tbelds, por exemplo, d distribuição Norml (,). O Excel normlmente fornece opção de clculr função de probbilidde (ou densidde) ou função de distribuição cumuld, trvés de um rgumento lógico ns sus diverss funções esttíss por exemplo, vide o help d função dist.binom. Função de Distribuição Proprieddes d Função de Distribuição i) F (x) pois Pr (X x) ii) F(x) é um função não decrescente lim F(x) iii) = x + lim F(x) iv) = x 5 6 Função de Distribuição Proprieddes d Função de Distribuição v) Se X é um vriável letóri contínu, su função de distribuição é contínu. Se X é discret, F(x) é um função contínu à direit, isto é, função de distribuição present "pulos" (descontinuiddes) que só são "sentidos" qundo nos proximmos do ponto onde existe o "pulo" pel esquerd. Função de Distribuição - Sej X um vriável letóri com função de distribuição definid por: se x F( x) = x - e se x > O gráfico dest função de distribuição é mostrdo seguir. F( x) x 5 7 8
Função de Distribuição Considere um vriável discret com seguinte função de probbilidde: 4! = Pr( X = x) = pr x =,,,,4 x! ( 4 x)! A função de distribuição é: F( x) = Pr = x k = ( X x) x! ( 4 x)! = x k = 4! x! 4 = ( ) 4 x! x! ( 4 x)! pr x =,,,,4 4 x k = Função de Distribuição Assim: F () = /6 =.65 = Pr (X ) = Pr (X = ) F () = 5/6 =.5 = Pr (X ) = Pr (X = ) + Pr (X = ) F () = /6 =.6875 = Pr (X ) = Pr (X=) + Pr(X=) + Pr(X=) F () = 5/6 =.975 F (4) = Tmbém F(x) = se x < e F(x) = se x > 4 9 Relção entre densidde e função de distribuição Sej X um v.. contínu com densidde f(x) e função de distribuição cumuld F(x). Então: Ms: Pr( < X < b) = dx F( ) = Pr( X ) = F( b) = Pr( X b) = b b dx dx e Relção entre densidde e função de distribuição Então: b Pr( X b) = dx = F( b) F( ) Pelo teorem fundmentl do cálculo: df( x) = dx Logo, densidde é derivd d função de distribuição ão.
Espernç mtemá Definição (médi ou vlor esperdo) A médi (ou vlor esperdo ou primeiro momento) de um vriável letóri é definid como: μ = E ( X ) = x. f ( x) x. f dx se X é v.. contínu ( x) = x.pr( X = x) se X é v.. discret Espernç mtemá Sej X um vriável contínu com densidde: f(x) = cx pr < x < ) Ache constnte c que fz de f(x) um densidde. ) Encontre médi dest densidde. A médi de um vriável letóri é um medid de tendênci centrl d distribuição de probbilidde dest vriável letóri. 4 Espernç Mtemá Solução ) Pr que f(x) sej um densidde: dx = cx dx = c = = c = x ) A médi dest densidde é: x ( x ) 4 x dx = x dx = = 4 4 c Espernç mtemá Definição (Vriânci) A vriânci de um vriável letóri mede dispersão d distribuição de probbilidde, e é definid como: ( x μ ). dx se X contínu σ = VAR( X ) = E (( X μ) ) = ( x μ). = ( x μ).pr ( X = x) se X discret 5 6
Espernç mtemá Onde novmente f(x) represent densidde de probbilidde (se X contínu) ou função de probbilidde (se X é discret) e μ é médi d vriável letóri. A vriânci é o segundo momento em torno d médi, e corresponde o momento de inérci em Mecânic. D própri definição segue que vriânci é um quntidde sempre mior ou igul zero. Espernç mtemá Definição (desvio pdrão) O desvio pdrão de um vriável letóri é riz qudrd positiv d su vriânci, e denotdo por σ, isto é: σ = σ = VAR( X ) O desvio pdrão é expresso ns mesms uniddes que vriável letóri, e vriânci é dd ns uniddes d vriável letóri o qudrdo. 7 8 Espernç mtemá Se o desvio pdrão é pequeno existe pouc dispersão em torno d médi. Se ele é grnde, os vlores d vriável letóri estão muito dispersos em torno d médi. A médi e vriânci são csos prticulres dos momentos de um distribuição de probbilidde. 9 Espernç mtemá Os momentos de um distribuição servem pr crcterizr est distribuição, não pens no que se refere à su centrlidde e dispersão, ms tmbém com relção outrs crcteríss, como simetri ou ssimetri d densidde de probbilidde. A notção E(...) indic o vlor esperdo (ou espernç,, ou expectânci ), e pode ser estendid pr funções mis geris que X k ou (X - μ) k. 4
Espernç mtemá Definição (vlor esperdo de um função de um vriável vel letóri) Sej X um vriável letóri com densidde f(x) e sej u(x) um função qulquer tl que s integris ou somtórios mostrdos seguir existem. O vlor esperdo (ou espernç mtemá) de u(x) é: u( x). dx se X é v.. contínu E( u( X )) = u( x). = u( x).pr( X = x) se X é v.. discret Espernç mtemá Note que u(x) é tmbém m um v..! A definição nterior inclui, como csos prticulres, s definições de médi e vriânci. O próximo teorem é útil n mnipulção de combinções lineres de v.. (ou sus funções). 4 4 Espernç mtemá Teorem (Lineridde do vlor esperdo) Sejm e b constntes e u, v funções quisquer de X com vlores esperdos finitos. Então: E[.u(X) + b.v(x)] = E [u(x)] + b E [v(x)] Espernç mtemá A demonstrção deste fto segue diretmente d lineridde ds integris ou somtórios. Em prticulr, se é um constnte, E () =. Not: fórmul lterntiv pr o cálculo d vriânci O cálculo d vriânci trvés d definição é, às vezes, bstnte trblhoso. Por exemplo, no cso de um v.. discret, é necessário computr tods s diferençs x i - μ, elevá-ls o qudrdo e multiplicá-ls pel probbilidde de ocorrênci de cd x i. 4 Logo, seri interessnte encontrr um fórmul lterntiv (e mis fácil) pr o cálculo d vriânci, e isso pode ser feito empregndo-se lineridde do vlor esperdo. 44
Espernç mtemá Fórmul Alterntiv pr o Cálculo C d Vriânci σ = VAR(X) = E [(X - μ) ] = E [X.μ.X + μ ] Pel lineridde do vlor esperdo e notndo que μ é um constnte: Ms, por definição: μ dí E (μ ) = μ. σ = E (X ) - μ.e(x) + E (μ ) = E (X) e μ é um constnte, Espernç mtemá Logo: σ = E (X ) - μ + μ = E (X ) - μ σ = E (X ) - {E(X) E(X)} Est fórmul é válid pr qulquer vriável letóri X (contínu ou discret), desde que médi de X sej finit. 45 46 Espernç mtemá Proprieddes do vlor esperdo e d vriânci de funções lineres Sejm e b constntes, e X um vriável letóri qulquer. Então: ) E(.X + b) =.E(X) + b ) E() = ) VAR(.X+ b) =.VAR(X) 4) VAR() = Espernç mtemá O retorno mensl de certo investimento de risco pode ser modeldo pel vriável letóri R com função de probbilidde dd seguir: r -5 % % 5 % % 5 % Pr(R = r).4.5.5.5.5 Clcule o retorno esperdo (em %) do investimento e su vriânci e desvio pdrão. Solução A vriável R é discret, e su médi é (pel definição): 47 48
Espernç mtemá μ = (-5)(.4) + ().(.5) + (5).(.5) + ().(.5) + (5).(.5) =.5 A vriânci de R é: σ = (-5-.5).(.4) + (-.5).(.5)+ (5-.5).(.5) + (-.5).(.5) + (5 -.5).(.5) = 4.5 O desvio pdrão de R é: σ = σ = 6.44 (em porcentgem, que é unidde em que estão expressos os retornos) Espernç mtemá exemplo (pr cs) Sej X um vriável letóri contínu com densidde f(x) = c.x onde < x <. Ache constnte c que fz de f(x) um densidde. Encontre função de distribuição de X. Ache médi, vriânci e o desvio pdrão de X. Encontre um ponto m no intervlo (,) tl que Pr(X m) = Pr( X m) = 5%. Este ponto é medin d distribuição. 49 5 Espernç mtemá exemplo (pr cs) A rend de um pesso num populção é um vriável letóri contínu X com densidde f(x) = k/x onde x >. ) Ache constnte k que fz dest expressão um densidde. b) Encontre rend médi nest populção. c) Encontre rend medin nest populção, onde m, medin, é tl que Pr(X > m) = Pr(X m) =.5. 5