José Miguel Urbno Análise Infinitesiml II Nots de curso Deprtmento de Mtemátic d Universidde de Coimbr Coimbr, 2005
Conteúdo Primitivs 3 2 O integrl de Riemnn 8 2. Proprieddes do integrl de Riemnn.............. 5 2.2 Condições suficientes de integrbilidde............ 9 2.3 O Teorem Fundmentl do Cálculo.............. 22 2.4 Os teorems clássicos do Cálculo Integrl........... 24 2.5 O logritmo e exponencil................... 27 2.6 Integrção numéric....................... 28 3 Aplicções do cálculo integrl 33 3. Áre de figurs plns...................... 33 3.2 Volume de sólidos de revolução................. 33 3.3 Comprimento de curvs..................... 34 4 Integris impróprios 35 4. Intervlo de integrção ilimitdo................ 35 4.2 Função integrnd ilimitd................... 37 4.3 Critérios de comprção..................... 38 5 Séries Numérics 42 5. Séries convergentes e séries divergentes............. 42 5.2 Convergênci bsolut e convergênci condicionl....... 46 5.3 Critérios de convergênci.................... 49 5.4 Comuttividde.......................... 52 6 Sucessões de funções 55 6. Convergênci simples e convergênci uniforme......... 55 6.2 Proprieddes d convergênci uniforme............. 57 7 Séries de funções 6 7. Séries de potêncis........................ 63 7.2 Séries de Fourier......................... 7 2
Primitivs A primitivção é o processo inverso d derivção. Definição. Sej I R um intervlo e f : I R um função. Um primitiv de f em I é um função derivável F : I R tl que F = f. Pr designr F usm-se os símbolos P f ou f ou f(x) dx ; no último destes símbolos, prtícul dx não tem nenhum significdo prticulr, servindo pens pr indicr qul vriável independente em cus no processo. Exemplo. Como (sin x) = cos x, tem-se cos x dx = sin x. Observção. Chm-se enfticmente tenção pr o fcto de só se considerr primitiv de um função definid num intervlo. Só este cso é verddeirmente relevnte e o que se gnh em termos de fcilidde n exposição super clrmente o que se perde em termos de generlidde. Qundo não for explicitmente indicdo o intervlo em cus, consider-se que se trt do mior intervlo em que função está definid. Colocm-se, de imedito, três questões:. Um função definid num intervlo tem necessrimente primitiv? 2. Qundo existe, primitiv é únic? 3. Como se determin primitiv de um função num intervlo? ou nti-derivd ou integrl indefinido 3
A respost à primeir questão é obvimente negtiv. O teorem de Drboux firm que se um função for derivável num intervlo [, b], su derivd stisfz necessrimente condição do vlor intermédio (mesmo sendo descontínu). Assim, um função que não stisfç est condição num intervlo não pode, nesse intervlo, ser derivd de nenhum função e portnto não tem primitiv. Exemplo.2 A função f : [, ] R definid por 0 se x [, 0] f(x) = se x (0, ] não tem primitiv em [, ], pois não verific nesse intervlo condição do vlor intermédio. A segund questão tem tmbém respost negtiv. Bst observr que se F for um primitiv de f num ddo intervlo então F + C, com C um qulquer constnte, tmbém é um primitiv de f nesse intervlo pois (F + C) = F + C = f + 0 = f. Ms não há outrs primitivs pr lém dests, como explicit o próximo resultdo. Proposição. Sejm F e F 2 dus primitivs de f num intervlo I. Então F F 2 é constnte em I. Demonstrção: A função F F 2 é contínu em I e (F F 2 ) = F F 2 = f f = 0. Por um dos corolários do teorem de Lgrnge, F F 2 é constnte em I. Por este motivo, de gor em dinte, pssmos escrever f = F + C, 4
onde F é um qulquer primitiv de f e C é um constnte rbitrári. Indicmos ssim fmíli de tods s primitivs de f no intervlo em cus. Pssemos gor à questão d determinção d primitiv de um dd função. Um primeir not diz respeito à impossibilidde de determinr primitiv nlguns csos, mesmo qundo se sbe que primitiv existe. Veremos dinte que tod função contínu num intervlo I tem primitiv nesse intervlo. Por exemplo, s funções sin x x ; e x2 ; sin(x 2 ) ; ln x são contínus em intervlos propridos, tendo portnto primitiv nesses intervlos. Sucede que s primitivs não podem ser determinds! Isto signific que se demonstr não ser possível exprimir primitiv usndo um número finito de operções usuis envolvendo s funções elementres. O cálculo de primitivs bsei-se num conjunto de regrs, s chmds regrs de primitivção. As mis simples são s que resultm d identificção imedit de um função como um derivd são s regrs de primitivção imedit, que se obtêm por inversão de um tbel de derivds. Trtndo-se primitivção do processo inverso d derivção, é nturl que se obtenhm regrs de primitivção prtir ds regrs de derivção. Regr d decomposição: é consequênci d regr d derivd d som e d regr d derivd do produto por um constnte; sejm F e G primitivs de f e g, respectivmente; como (αf + βg) = αf + βg = αf + βg tem-se (αf + βg) = αf + βg + C, ou sej, (αf + βg) = α f + β g + C 5
Exemplo.3 (2x 2 + 5 sinh x ) dx = 2 x3 3 + 5 cosh x + C. Regr d integrção por prtes: é consequênci d regr d derivd do produto; sej F primitiv de f; como (F g) = F g + F g = f g + F g tem-se (f g + F g ) = F g + C e, pel regr d decomposição, (f g) = F g (F g ) + C, ou sej, ( (f g) = ) [( f g ) ] f g + C A designção d regr é clr: primitiv-se primeiro um dos fctores, portnto um prte (n notção cim f), determinndo-se depois outr primitiv ( [( f ) g ] ), que deverá ser mis simples de clculr do que primitiv inicil. Em gerl, começ-se primitivr pelo fctor que menos se simplific por derivção, ms há excepções est regr (ver exemplo.5). Exemplo.4 x cos x dx = (sin x)x sin x dx = x sin x + cos x + C. Exemplo.5 x ln x dx = x2 x 2 2 ln x 2 x2 x2 dx = ln x x 2 4 + C. 6
Exemplo.6 ln x dx =. ln x dx = x ln x x dx = x ln x x + C. x Regr d integrção por substituição: é consequênci d regr d derivd d função compost; sej G primitiv de g e f um função invertível; como (G f) = ( G f ) f = (g f) f tem-se [(g f) f ] = G f = ( ) g f e portnto ( [(g g = f) f ]) f que se pode escrever, de form mis sugestiv, como [ g(x) dx = ] g[f(t)] f (t) dt t=f (x) trt-se, n prátic, de efectur um substituição de vriável, x = f(t), que trnsform primitiv noutr primitiv mis simples de clculr. A substituição dequd depende nturlmente d expressão que define g e existem tbels que listm os principis csos. Exemplo.7 Pr um função do tipo d indicd seguir, tbel sugere substituição x = ln t t = e x ; ssim, [ ] e x [ cosh x dx = 2t t + t dt t t=e x = ] 2t t 2 + : dt t=e x = [ ln(t 2 + ) + C ] t=e x = ln(e 2x + ) + C. 7
2 O integrl de Riemnn If I hve seen further, it is by stnding on the shoulders of gints. Isc Newton, num crt pr Robert Hooke, 676. Apesr de s sus origens remontrem à ntiguidde e, em prticulr, os trblhos de Arquimedes, foi no século XVII que se desenvolveu de form sistemátic o Cálculo Integrl, com descobert por Newton e Leibniz d relção de reciprocidde entre integrção e diferencição pedr ngulr d Análise Infinitesiml. O estbelecimento de um rigoros teori d integrção só foi, no entnto, possível depois de dequdmente fundmentd nálise rel, em que se destcrm Cuchy e Riemnn. Definição 2. Sej [, b] um intervlo limitdo e fechdo. Um prtição de [, b] é um subconjunto finito de [, b] que contém e b. Convencionmos escrever sempre os elementos de um prtição de um intervlo [, b], P = {t 0, t,..., t n }, por ordem crescente. Assim, n notção cim, = t 0 < t <... < t n = b. Observe-se que um prtição com n + pontos divide (ou prticion) o intervlo [, b] em n subintervlos d form [t i, t i ], com i =, 2,..., n. Exemplo 2. {, 2, π, 5} é um prtição do intervlo [, 5]. Já {0, 4 3, 3} não é um prtição de [0, 6], pois não contém 6. Dd um função f : [, b] R limitd, definem-se m = inf f(x) e M = sup f(x) x [,b] x [,b] e, nlogmente, dd um prtição P = {t 0, t,..., t n } de [, b], m i = inf f(x) e M i = sup f(x). x [t i,t i ] x [t i,t i ] 8
Definição 2.2 A som inferior de f reltivmente à prtição P é o número rel n s (f; P ) = m i (t i t i ) ; i= som superior de f reltivmente à prtição P é o número rel S (f; P ) = n M i (t i t i ). i= É evidente que, qulquer que sej prtição P de [, b], m(b ) s (f; P ) S (f; P ) M(b ). () Observção 2. No cso em que f é não negtiv em [, b], os números reis s (f; P ) e S (f; P ) são vlores proximdos, respectivmente por defeito e por excesso, pr medid d áre d região limitd pelo gráfico de f, pelo eixo ds bcisss e pels rects verticis x = e x = b. Ambos correspondem à som ds medids ds áres de rectângulos: no primeiro cso, inscritos n região, no segundo cso, circunscritos. Definição 2.3 Dds dus prtições, P e Q, de um intervlo [, b], diz-se que Q é mis fin do que P (ou que Q refin P ) se Q P. Exemplo 2.2 {, 2, 3, π, 5} é mis fin do que {, 2, π, 5}. O resultdo seguinte firm que, qundo se refin um prtição, som inferior de um função f não diminui e som superior não ument. Teorem 2. Sej f : [, b] R limitd e Q P dus prtições de [, b]. Então s (f; Q) s (f; P ) e S (f; Q) S (f; P ). 9
Demonstrção: Provmos pens o resultdo reltivo à som superior (o outro cso é inteirmente nálogo). Suponhmos que Q = P {r} = {t 0, t,..., t n } {r}, ou sej, que Q refin P por créscimo de um só ponto r. Nturlmente, r (t j, t j ), pr lgum j n. Definindo M = sup f(x) e M = sup f(x) x [t j,r] x [r,t j ] e recordndo que M j = sup f(x), x [t j,t j ] é evidente que M j M e M j M. Assim S (f; P ) S (f; Q) = M j (t j t j ) M (r t j ) M (t j r) = M j (t j r + r t j ) M (r t j ) M (t j r) = (M j M )(r t j ) + (M j M )(t j r) 0. No cso gerl, em que Q se obtém de P crescentndo-lhe k pontos, repete-se este rciocínio k vezes. Corolário 2. Sej f : [, b] R limitd e P e Q dus quisquer prtições de [, b]. Então s (f; Q) S (f; P ). Demonstrção: De fcto, P Q refin simultnemente P e Q. Assim, result do Teorem 2. e de () que s (f; Q) s (f; P Q) S (f; P Q) S (f; P ). 0
Result ds desigulddes () que o conjunto formdo por tods s soms inferiores de f ou sej, pels soms inferiores de f reltivs tods s prtições de [, b] é limitdo (e o mesmo vle pr s soms superiores). Fz portnto sentido seguinte Definição 2.4 O integrl inferior de f em [, b] é o número rel f(x) dx = sup P s (f; P ) ; o integrl superior de f em [, b] é o número rel f(x) dx = inf P S (f; P ), sendo o supremo e o ínfimo tomdos reltivmente tods s prtições de [, b]. Recordemos um resultdo reltivo ínfimos e supremos cuj demonstrção é deixd como exercício (muito instrutivo). Lem 2. Sejm A e B dois subconjuntos limitdos de R tis que Então: (i) sup A inf B. A, b B, b. (ii) sup A = inf B se, e só se, ɛ > 0, A, b B : b < ɛ. Um outro corolário do Teorem 2. é o Corolário 2.2 Sej f : [, b] R limitd, com m f(x) M, x [, b]. Então m(b ) f(x) dx f(x) dx M(b ).
Demonstrção: A primeir e últim desigulddes resultm trivilmente de (). A outr segue-se do Corolário 2. e do Lem 2.-(i). Definição 2.5 Um função limitd f : [, b] R é integrável (à Riemnn) em [, b] se f(x) dx = f(x) dx. O vlor comum é o integrl (de Riemnn) de f em [, b], que se denot por f(x) dx. Observção 2.2 Geometricmente, e no cso em que f é não negtiv em [, b], existênci do integrl signific que região limitd pelo gráfico de f, pelo eixo ds bcisss e pels rects verticis x = e x = b é mensurável (isto é, pode medir-se) e o vlor do integrl é, por definição, medid d áre dess região. Observção 2.3 Dd um prtição P, chm-se mplitude d prtição, e represent-se por P, o mior dos comprimentos dos subintervlos de P. Um prtição pontilhd P é um prtição pr qul form escolhidos rbitrrimente n pontos ξ i [t i, t i ]. Um lterntiv à definição de integrl presentd consiste em considerr soms de Riemnn pr f em [, b] (f; P ) = n f(ξ i )(t i t i ) i= e tomr o limite I dests soms qundo mplitude d prtição tende pr zero. Mostr-se que f é integrável se, e só se, esse limite existe e, nesse cso, tem-se I = f(x) dx. O limite é tomdo no seguinte sentido: ɛ > 0, δ > 0 : (f; P ) I < ɛ, P : P < δ. 2
Exemplo 2.3 Sej f : [, b] R tl que f(x) = c, pr todo o x [, b], ou sej, f é constnte em [, b]. Esper-se, como é óbvio, que est função sej integrável e que o seu integrl sej áre de um rectângulo de comprimento b e lrgur c, ou sej c(b ). Sej P um qulquer prtição de [, b]. Como f é constnte igul c, tem-se m i = M i = c, i =, 2,..., n. Assim s (f; P ) = n n m i (t i t i ) = c (t i t i ) = c(b ) i= i= e, nlogmente, S (f; P ) = c(b ). Logo, os conjuntos ds soms inferiores e ds soms superiores só têm o elemento c(b ), pelo que o integrl inferior e o integrl superior são mbos iguis c(b ). Portnto, f é integrável e f(x) dx = c(b ). Exemplo 2.4 A função de Dirichlet ϕ : [, b] R tl que se x Q ϕ(x) = 0 se x R \ Q não é integrável. De fcto, dd um qulquer prtição Q de [, b], tem-se m i = 0 e M i = (i =, 2,..., n), já que, em qulquer dos subintervlos, existem números rcionis e números irrcionis. Assim S (ϕ; Q) = n M i (t i t i ) = i= e, nlogmente, s (ϕ; Q) = 0. Logo, 0 = ϕ(x) dx n (t i t i ) = b i= ϕ(x) dx = b. O teorem seguinte fornece condições necessáris e suficientes de integrbilidde. Teorem 2.2 Sej f : [, b] R limitd. São equivlentes: 3
(i) f é integrável em [, b]. (ii) ɛ > 0, existem prtições P e Q de [, b], tis que S (f; Q) s (f; P ) < ɛ. (iii) ɛ > 0, existe um prtição R de [, b], tl que S (f; R) s (f; R) < ɛ. Demonstrção: O conjunto ds soms inferiores e o conjunto ds soms superiores stisfzem, em virtude do Corolário 2., hipótese do Lem 2.. Assim s implicções (i) (ii) e (iii) (i) são consequêncis imedits do Lem 2.-(ii). Pr provr que (ii) (iii), fixemos ɛ > 0. Existem prtições P e Q de [, b], tis que S (f; Q) s (f; P ) < ɛ. Sej R = P Q, um prtição que refin simultnemente P e Q. Pelo Teorem 2., s (f; P ) s (f; R) S (f; R) S (f; Q), pelo que S (f; R) s (f; R) S (f; Q) s (f; P ) < ɛ. Exemplo 2.5 Vmos usr o resultdo nterior pr mostrr que, modificndo o vlor de um função constnte num ponto, função permnece integrável e o seu integrl não se lter. Sej f : [, b] R tl que c se x [, b] \ {x 0 } f(x) =, c se x = x 0 onde x 0 [, b] e, sem perd de generlidde, c > c. Dd um qulquer prtição P de [, b], sej [t j, t j ] o subintervlo que contém x 0. Tem-se m i = c, pr todo o i =, 2,..., n; e M i = c pr i j, M j = c. Assim S (f; P ) s (f; P ) = (c c)(t j t j ). 4
Ddo ɛ > 0, escolhemos um prtição P tl que t j t j < ɛ c c. Então S (f; P ) s (f; P ) = (c c)(t j t j ) < (c ɛ c) c c = ɛ e, pelo Teorem 2.2, f é integrável. Mis, como tods s soms inferiores são iguis c(b ), tem-se f(x) dx = f(x) dx = c(b ). 2. Proprieddes do integrl de Riemnn A demonstrção do seguinte resultdo pode ser encontrd em [4, págs. 308 e 37]. Teorem 2.3 Sej < c < b. Um função f : [, b] R limitd é integrável no intervlo [, b] se, e só se, s sus restrições os intervlos [, c] e [c, b] são integráveis. Nesse cso, tem-se f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. (2) De gor em dinte, convencion-se que f(x) dx = 0 e b f(x) dx = f(x) dx, pssndo (2) fzer sentido pr quisquer vlores reis de, b e c desde que f sej integrável no mior dos intervlos em cus. Exemplo 2.6 Um função ξ : [, b] R chm-se um função em escd se existirem um prtição = t 0 < t <... < t n = b de [, b] e números reis c,..., c n, tis que ξ(x) = c i, x (t i, t i ) ; i =, 2,..., n. 5
Usndo (2) e o Exemplo 2.5, conclui-se que um função em escd é integrável e que ξ(x) dx = n c i (t i t i ). i= Observe-se que o vlor do integrl não depende dos vlores de ξ nos extremos dos subintervlos d prtição. Teorem 2.4 Sejm f, g : [, b] R funções integráveis. Então:. se f(x) g(x), x [, b] então f(x) dx g(x) dx ; 2. f é integrável e f(x) dx f(x) dx ; 3. som f + g é integrável e [f(x) + g(x)] dx = 4. o produto fg é integrável; se c R, cf(x) dx = c f(x) dx + g(x) dx ; (3) f(x) dx ; (4) 5. se 0 < k g(x), x [, b] então o quociente f/g é integrável. Demonstrção:. O resultdo é trivil, bstndo observr que, pr qulquer prtição P, se tem s(f; P ) s(g; P ) e S(f; P ) S(g; P ). 2. Pr mostrr que f é integrável us-se o Teorem 2.2 e o fcto (cuj demonstrção é deixd como exercício) de, pr um função g : X R limitd, se ter sup g(x) inf g(x) = sup x X x X x,y X 6 g(x) g(y). (5)
Ddo ɛ > 0, como f é integrável, existe um prtição P = {t 0, t,..., t n } de [, b] tl que S(f; P ) s(f; P ) < ɛ. Então ( ) n S( f ; P ) s( f ; P ) = sup f(x) inf f(x) (t i t i ) i= x [t i,t i ] x [t i,t i ] n = sup f(x) f(y) (t i t i ) = i= x,y [t i,t i ] n sup i= x,y [t i,t i ] ( n i= sup x [t i,t i ] f(x) f(y) = S(f; P ) s(f; P ) < ɛ, (t i t i ) f(x) inf f(x) x [t i,t i ] ) (t i t i ) onde segund e penúltim igulddes resultm de (5) e desiguldde b b,, b R é de verificção imedit. Logo, f é integrável. A desiguldde entre o módulo do integrl e o integrl do módulo é consequênci imedit de e d propriedde. f(x) f(x) f(x), x [, b] 3. Sej P = {t 0, t,..., t n } um prtição de [, b] e m i = inf f(x) ; x [t i,t i ] m i = inf g(x) ; m i = inf (f + g)(x). x [t i,t i ] x [t i,t i ] Tem-se m i + m i m i já que, pr f e g limitds, inf(f + g) inf f + inf g ( demonstrção deste fcto é deixd como exercício). Assim, qulquer que sej prtição P, s(f; P ) + s(g; P ) s(f + g; P ) Se considerrmos dus prtições P e Q, temos (f + g)(x) dx. s(f; P ) + s(g; Q) s(f; P Q) + s(g; P Q) s(f + g; P Q) 7 (f + g)(x) dx.
Logo, f(x) dx + g(x) dx = sup P = sup P,Q s(f; P ) + sup s(g; Q) Q ] [ s(f; P ) + s(g; Q) (f + g)(x) dx De modo nálogo se demonstr terceir ds desigulddes seguintes (sendo segund trivil): f + g (f + g) (f + g) f+ Como f e g são integráveis, ests desigulddes reduzem-se igulddes, obtendo-se o pretendido. Omitimos demonstrção ds proprieddes 4. e 5. (ver [4]). Observção 2.4 As proprieddes (3) e (4) trduzem lineridde do integrl de Riemnn como operdor definido no espço vectoril ds funções integráveis em [, b], com vlores em R. Corolário 2.3 Sej f : [, b] R integrável. Então:. se f(x) 0, x [, b], 2. se f(x) k, x [, b], f(x) dx 0 ; f(x) dx k(b ). g 8
Observção 2.5 Um função não-negtiv pode ter integrl igul zero sem ser identicmente nul. Um exemplo é ddo pel função f : [0, 4] R, definid por 0 se x [0, 4] \ {π} f(x) = 2 se x = π. No entnto, se f : [, b] R for não-negtiv e integrável em [, b] e se for contínu num ponto c [, b] tl que f(c) > 0, então necessrimente f(x) dx > 0. 2.2 Condições suficientes de integrbilidde A noção de continuidde pr um função f : X R é um noção locl: se pr cd ponto x X existir um vizinhnç V x tl que restrição de f V x X é contínu, então f é contínu em X. Introduz-se, de seguid, um noção de continuidde globl, que não decorre directmente do comportmento de f n vizinhnç de cd ponto. Definição 2.6 Sej X R. Um função f : X R diz-se uniformemente contínu em X se ɛ > 0, δ > 0 : x, y X x y < δ } f(x) f(y) < ɛ. Nest definição, x e y desempenhm ppéis inteirmente simétricos. Fixdo ɛ, escolh de δ só depende de ɛ, o contrário do que sucede n definição de função contínu num ponto em que, pr cd ɛ, escolh de δ depende de ɛ e do ponto em cus. Exemplo 2.7 A função f : [ 2, 2] \ {0} R definid por se x [ 2, 0) f(x) = se x (0, 2] não é uniformemente contínu em [ 2, 2] \ {0}, pesr de ser obvimente contínu. De fcto, fixdo ɛ =, é possível, qulquer que sej δ > 0, 9
encontrr pontos x, y em [ 2, 2] \ {0}, por exemplo { x = mx 2, δ } { } δ y = min 4 4, 2, tis que x y = min { δ 2, 4} < δ e f(x) f(y) = = 2 > = ɛ. A demonstrção do resultdo seguinte pode ser consultd em [4, pág. 244]. Teorem 2.5 Um função contínu num conjunto limitdo e fechdo X é uniformemente contínu em X. A função do exemplo nterior flh condição de estr definid num conjunto fechdo. Apresentmos, gor, dus condições suficientes de integrbilidde pr um função f : [, b] R, sber, continuidde e monotoni. Teorem 2.6 Um função contínu f : [, b] R é integrável em [, b]. Demonstrção: Como [, b] é limitdo e fechdo, f é uniformemente ɛ contínu em [, b] (pelo Teorem 2.5). Fixemos ɛ > 0. Como b > 0, pel continuidde uniforme de f, } x, y X δ > 0 : f(x) f(y) < ɛ x y < δ b. Escolhemos um prtição P de [, b] tl que t i t i < δ, i {, 2,..., n}. Então, S(f; P ) s(f; P ) = = < = n (M i m i )(t i t i ) i= n [f(x i ) f(y i )] (t i t i ) ; x i, y i [t i, t i ] i= ɛ n (t i t i ) b i= ɛ (b ) = ɛ b 20
e integrbilidde de f segue-se do Teorem 2.2. A segund iguldde cim result do teorem de Weirstrß, já que f é contínu em cd intervlo fechdo e limitdo [t i, t i ]. A desiguldde é consequênci d continuidde uniforme, já que, pr x i, y i [t i, t i ], se tem necessrimente x i y i < δ, em virtude do modo como foi escolhid d prtição. Teorem 2.7 Um função monóton f : [, b] R é integrável em [, b]. Demonstrção: Suponhmos, sem perd de generlidde, que f é nãocrescente. Fixemos ɛ > 0. Observndo que f() f(b) > 0 (excepto no cso trivil em que f é constnte), escolhemos um prtição P de [, b] tl que Então, t i t i < ɛ f() f(b), i {, 2,..., n}. S(f; P ) s(f; P ) = = < = n (M i m i )(t i t i ) i= n [f(t i ) f(t i )] (t i t i ) i= ɛ n [f(t i ) f(t i )] f() f(b) i= ɛ [f() f(b)] = ɛ f() f(b) e integrbilidde de f segue-se do Teorem 2.2. Finlmente, enuncimos, sem demonstrção, um outr condição suficiente de integrbilidde, que mostr que um função limitd não-integrável tem necessrimente um infinidde não-numerável de descontinuiddes. Teorem 2.8 Se o conjunto ds descontinuiddes de um função limitd f : [, b] R for numerável então f é integrável em [, b]. 2
2.3 O Teorem Fundmentl do Cálculo A pedr ngulr do Cálculo Infinitesiml é relção de reciprocidde entre os conceitos de derivd e integrl estbelecid pelo seguinte teorem, justmente peliddo de fundmentl. Teorem 2.9 (Teorem Fundmentl do Cálculo) Sej f : [, b] R contínu. A função definid em [, b] por é um primitiv de f em [, b]. G(x) = x f(t) dt Demonstrção: Mostremos que G +(x 0 ) = f(x 0 ), pr todo o x 0 [, b). De modo nálogo se provri que G (x 0 ) = f(x 0 ), pr todo o x 0 (, b]. Sej então x 0 [, b). Ddo ɛ > 0, como f é contínu em x 0, δ > 0 : t (x 0 δ, x 0 + δ) [, b] f(t) f(x 0 ) < ɛ. Sej 0 < h < δ tl que x 0 + h [, b]. Então, G(x 0 + h) G(x 0 ) f(x 0 ) h = x0 +h h f(t) dt hf(x 0 ) x 0 = x0 +h h [f(t) f(x 0 )] dt h x 0 x0 +h x 0 f(t) f(x 0 ) dt h h ɛ = ɛ porque, pr t [x 0, x 0 + h], se tem t x 0 h < δ. Dqui result que G(x 0 + h) G(x 0 ) lim = f(x 0 ), h 0 + h ou sej, que G +(x 0 ) = f(x 0 ). 22
Exemplo 2.8 ( x 2 sin t dt) = sin(x 2 )(x 2 ) = 2x sin(x 2 ), 0 plicndo o teorem d derivd d função compost e o Teorem Fundmentl do Cálculo. ] b De gor em dinte, será utilizd notção F = F (b) F (). Corolário 2.4 (Fórmul de Brrow 2 ) Sej f : [, b] R contínu e F um qulquer primitiv de f em [, b]. Então, ] b f(x) dx = F = F (b) F (). Demonstrção: Como dus primitivs de um mesm função num intervlo diferem por um constnte (Proposição.), result do Teorem Fundmentl do Cálculo que F (x) x f(t) dt = C, x [, b]. Pondo x =, vem imeditmente C = F (). A fórmul de Brrow result gor de escolher x = b nest identidde. O teorem mostr que tod função contínu num intervlo tem primitiv nesse intervlo e justific notção f e designção de integrl indefinido, utilizds nteriormente pr primitiv de um função. Exemplo 2.9 0 x 2 dx = x3 ] 3 = 0 3 ; π 0 ] π cos x dx = sin x = 0. 0 2 Isc Brrow (630-677), professor de Isc Newton. 23
2.4 Os teorems clássicos do Cálculo Integrl Apresentmos, de seguid, lguns resultdos que são consequênci, mis ou menos imedit, do Teorem Fundmentl do Cálculo. Teorem 2.0 (mudnç de vriável) Sej f : [, b] R contínu e g : [c, d] R de clsse C tl que g ([c, d]) [, b]. Então, g(d) g(c) f(x) dx = d c f [g(t)] g (t) dt. Demonstrção: Como f é contínu em [, b], possui um primitiv F. A fórmul de Brrow dá-nos g(d) g(c) f(x) dx = F ] g(d) g(c) = F [g(d)] F [g(c)]. (6) Por outro ldo, pelo teorem d derivd d função compost, (F g) (t) = f [g(t)] g (t) em [c, d] e portnto, usndo outr vez fórmul de Brrow, d c ] d f [g(t)] g (t) dt = F g c = (F g)(d) (F g)(c) = F [g(d)] F [g(c)]. (7) Comprndo (6) com (7), obtemos o resultdo. Teorem 2. (integrção por prtes) Sejm f, g : [, b] R funções de clsse C. Então, ] b f(x)g (x) dx = fg f (x)g(x) dx. Demonstrção: Como, pelo teorem d derivd do produto, (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x), o resultdo é consequênci imedit d plicção d fórmul de Brrow. 24
Definição 2.7 A médi de um função contínu f : [, b] R é o número rel f(x) dx = b f(x) dx. Teorem 2.2 (fórmul do vlor médio) Se f : [, b] R é contínu então su médi é tingid em (, b), i.e., existe c (, b) tl que f(x) dx = f(c). Demonstrção: Sej F um primitiv de f em [, b]. Como F está ns condições do teorem do vlor médio de Lgrnge, existe c (, b) tl que F (b) F () = F (c). Assim, b f(x) dx = b f(x) dx = F (b) F () b = F (c) = f(c). O resultdo tem um interpretção geométric muito simples pr funções não-negtivs: medid d áre d região limitd pelo gráfico d função, pelo eixo ds bcisss e pels rects verticis x = e x = b é igul à de um rectângulo de comprimento igul b e lrgur igul o vlor d função nlgum ponto c (, b). Lem 2.2 Sej ϕ : [0, ] R de clsse C n. Então, pr todo o n =, 2,..., ϕ() = n i=0 ϕ (i) (0) i! ( t) n + ϕ (n) (t) dt. 0 (n )! Demonstrção: A prov é por indução. O cso n = result imeditmente do Teorem Fundmentl do Cálculo: ϕ() = ϕ(0) + 25 0 ϕ (t) dt.
Suponhmos que o resultdo é válido pr k e provemos que tmbém é válido pr k. Or, plicndo primeiro o teorem d integrção por prtes e depois hipótese de indução, obtemos 0 ( t) k (k )! ϕ (k) (t) dt = ( t)k (k )! = ϕ(k ) (0) (k )! k = ϕ() i=0 ] ϕ (k ) (t) + 0 k 2 + ϕ() ϕ (i) (0) i!, i=0 0 ( t) k 2 (k 2)! ϕ (i) (0) i! ϕ (k ) (t) dt tendo em cont, n primeir iguldde, que ( ( t) k (k )! O resultdo está demonstrdo. ) (k )( t)k 2 = (k )(k 2)! ( t)k 2 = (k 2)! A seguinte fórmul de Tylor present um resto n form integrl que é útil, em muits circunstâncis, pr obtenção de bos estimtivs de erro qundo se proxim um função usndo o seu polinómio de Tylor. Teorem 2.3 (fórmul de Tylor com resto integrl) função de clsse C n no intervlo [, + h]. Então, f( + h) = n i=0 f (i) () i!. Sej f um [ h i ( t) n ] + f (n) ( + th) dt h n. 0 (n )! Demonstrção: Definindo, no intervlo [0, ], função ϕ(t) = f( + th), tem-se ϕ (i) (0) = f (i) () h i. O resultdo é consequênci imedit do Lem 2.2. 26
2.5 O logritmo e exponencil Usndo o cálculo integrl, é possível definir o logritmo de form lterntiv. Definição 2.8 Chm-se logritmo à função ln : R + R x ln x = Result imeditmente d definição que ln x < 0 pr 0 < x <, ln = 0 e ln x > 0 pr x >. x dt t É ind evidente que o logritmo é um função infinitmente derivável, logo de clsse C. Como (ln x) = /x > 0, é um função monóton crescente e como (ln x) = /x 2 < 0, é côncv (tem concvidde voltd pr bixo). Teorem 2.4 Pr quisquer x, y R +, tem-se ln(xy) = ln x + ln y.. Demonstrção: Tem-se ln(xy) = xy dt t = x dt xy t + dt xy x t = ln x + dt x t. Efectundo mudnç de vriável t = xs, obtemos e o resultdo. xy x dt t = y x xs ds = y ds s = ln y Corolário 2.5 Pr quisquer r Q e x R +, tem-se ln(x r ) = r ln x. Demonstrção: Result imeditmente do Teorem 2.4 que, pr todo n N, se tem ln(x n ) = n ln x. A extensão do resultdo r Z é consequênci de 0 = ln = ln(x n x n ) = ln(x n ) + ln(x n ) = n ln x + ln(x n ) que dá ln(x n ) = n ln x. No cso gerl r = p/q, tem-se ( p ln x = ln (x p ) = ln (x p/q ) q) = q ln (x p/q) donde ln(x r ) = ln ( x p/q) = p q ln x = r ln x. 27
Corolário 2.6 A função logritmo é bijectiv. Demonstrção: A injectividde é consequênci d monotoni. A função é contínu, logo o seu contrdomínio é um intervlo. Como, qundo n +, ln(2 n ) = n ln 2 + ; ln(2 n ) = n ln 2 esse intervlo é (, + ). Sendo bijectiv, função logritmo é invertível. A su invers chm-se função exponencil exp : R R + x exp x : y = exp x x = ln y e s sus proprieddes poderim gor deduzir-se prtir ds proprieddes demonstrds pr o logritmo. 2.6 Integrção numéric O cálculo do vlor de um integrl trvés d fórmul de Brrow exige determinção de um primitiv d função integrnd. Qundo tl não é possível, por exemplo porque primitiv não é um função elementr (ver secção ), ssume prticulr importânci o cálculo de um vlor proximdo pr o integrl, trvés dos chmdos métodos numéricos. Neste contexto, é tmbém muito relevnte obtenção de estimtivs pr o erro cometido com proximção. O que está essencilmente em cus nos métodos numéricos pr o cálculo de integris é proximr o processo de nturez infinitesiml do cálculo do integrl por um processo discreto som de um número finito de prcels em que intervêm os vlores d função num número finito de pontos. Consideremos um intervlo [, b] e um su prtição {t 0, t,..., t n } uniforme, i.e., um prtição em que os subintervlos têm todos o mesmo comprimento: t i = + ih, i = 0,,..., n ; h = b n. 28
Um primeir possibilidde, que surge nturlmente prtir d definição do integrl de Riemnn, é proximr função usndo funções em escd. Geometricmente, trt-se de proximr áre sob o gráfico d função pel som ds áres de rectângulos. São exemplos s proximções que usm os vlores d função no extremo inferior ou esquerdo (left) dos subintervlos f(x) dx h n i= ou no extremo superior ou direito (right) [ ] f(t i ) = h f(t 0 ) +... + f(t n ) =: L n f(x) dx h n i= [ ] f(t i ) = h f(t ) +... + f(t n ) =: R n pr contrdomínio ds funções em escd (ou, geometricmente, pr os comprimentos dos rectângulos). Outr possibilidde é proximr função trvés de funções seccionlmente lineres que coincidm com f nos extremos de cd subintervlo. Geometricmente, trt-se de proximr áre sob o gráfico d função pel som ds áres de trpézios, limitdos superiormente pelo segmento de rect que une os pontos (t i, f(t i )) e (t i, f(t i )), i =,..., n. Obtém-se, deste modo, regr do trpézio: f(x) dx h = h 2 n f(t i ) + f(t i ) 2 i= [ ] f(t 0 ) + 2f(t ) +... + 2f(t n ) + f(t n ) =: T n. Trt-se, como se observ fcilmente, d médi ritmétic ds proximções nteriores: T n = 2 (L n + R n ). Outr proximção possível consiste em usr trpézios limitdos superiormente pel tngente o gráfico de f no ponto médio de cd subintervlo t i = t i + t i 2. É elementr verificr que s áres destes trpézios coincidem com s áres dos rectângulos de comprimento f(t i ). Obtemos ssim regr do ponto 29
médio (ou d tngente): f(x) dx h n i= [ ] f(t i ) = h f(t ) +... + f(t n ) =: M n. O teorem seguinte present um estimtiv pr o erro E M = f(x) dx M n que se comete o proximr o vlor do integrl usndo regr do ponto médio. Teorem 2.5 Sej f : [, b] R um função de clsse C 2 tl que f (x) K, x [, b]. Então E M K(b )3 24n 2. Demonstrção: No subintervlo [t i, t i ], tngente o gráfico de f no seu ponto médio é rect de equção y = φ(x), com φ(x) = f(t i ) + f (t i )(x t i ), que não é senão o polinómio de Tylor de ordem de f no ponto t i. Considerndo fórmul de Tylor com resto de Lgrnge f(x) = φ(x) + f (c) 2 (x t i) 2, em que c está entre x e t i, obtemos seguinte estimtiv: ti [ ] ti f(x) φ(x) dx f (c) 2 (x t i) 2 dx t i t i K 2 = K 2 ti t i (x t i ) 2 dx (x t i ) 3 3 ] ti t i 30
= K 2 [ (h/2) 3 3 ] ( h/2)3 3 = Kh3 24. Assim, o erro totl é mjordo por E M nkh3 24 = K(b )3 24n 2. Um estimtiv do erro pr regr do trpézio, com mesm hipótese cerc d mjorção uniforme d segund derivd de f, é dd por E T K(b )3 2n 2. Exemplo 2.0 O cálculo proximdo de ln 2 = 2 x dx, com n = 5 (ou sej, h = /5), dá 2 x dx ( 5, +, 3 +, 5 +, 7 + ), 9 0, 69908, usndo regr do ponto médio e 2 x dx ( + 2 0, 2 + 2, 4 + 2, 6 + 2, 8 + ) 2 0, 695635, usndo regr do trpézio. Refir-se que o erro cometido é mior no cso d regr do trpézio. Finlmente, presentmos regr de Simpson, que corresponde proximr função usndo prábols que coincidem com f nos extremos de cd pr de subintervlos, ou sej, nos pontos (t i, f(t i )), (t i, f(t i )) e (t i+, f(t i+ )), i =, 3,..., n, com n pr: f(x) dx h 3 [ f(t 0 ) + 4f(t ) + 2f(t 2 )+ 3
] +...+4f(t n 3 )+2f(t n 2 )+4f(t n )+f(t n ) =: S n. O pdrão dos coeficientes é o seguinte: ( ), 4, 2,..., 4, 2 } {{ }, 4,. n 2 2 pres (4, 2) Refir-se que S 2n = 3 T n + 2 3 M n, ou sej, s proximções pel regr de Simpson são médis pesds ds proximções pels regrs do ponto médio e do trpézio. A estimtiv pr o erro, supondo que f (4) (x) K, x [, b], é dd por E S K(b )5 80n 4. 32
3 Aplicções do cálculo integrl 3. Áre de figurs plns O cálculo d medid d áre de um figur pln, limitd superiormente pelo gráfico de um função contínu e não-negtiv, serviu de motivção pr definição de integrl. Em gerl, medid d áre d figur pln limitd pelos gráficos de dus funções contínus f, g : [, b] R e pels rects verticis x = e x = b é dd por A = f(x) g(x) dx 3.2 Volume de sólidos de revolução Consideremos o sólido obtido por rotção em torno do eixo OX de um figur pln limitd inferiormente pelo eixo OX, superiormente pelo gráfico de um função contínu e não-negtiv f e lterlmente pels rects verticis x = e x = b. Pr clculr o seu volume comecemos por considerr um prtição de [, b] e por escolher um ponto ξ i em cd subintervlo [t i, t i ]. O volume do sólido obtido por rotção em torno do eixo OX d figur formd pelos n rectângulos de lrgur t i t i e comprimento f(ξ i ), pr i =,..., n, é ddo por n π [f(ξ i )] 2 (t i t i ), i= já que estmos em presenç de n cones com rio d bse igul f(ξ i ) e ltur t i t i. Or expressão nterior não é senão um som de Riemnn pr função πf 2 (ver Observção 2.3), pelo que o volume pretendido é ddo pel fórmul V = π [f(x)] 2 dx 33
Exemplo 3. Um esfer de rio R pode obter-se por rotção em torno do eixo OX do semi-círculo centrdo n origem e com rio R, que é gráfico d função f : [ R, R] R tl que f(x) = R 2 x 2. Aplicndo fórmul cim, obtemos o volume de um esfer de rio R: R V = π R 3.3 Comprimento de curvs [ ] ] 2 R R 2 x 2 dx = π [R 2 x x3 = 4 3 R 3 πr3. Consideremos curv definid pel porção do gráfico de um função de clsse C, f : [, b] R, compreendid entre os pontos (, f()) e (b, f(b)). Dd um prtição de [, b], o comprimento d linh quebrd formd pelos n segmentos de rect que unem os n + pontos (t i, f(t i )), i = 0,..., n, é ddo por n (t i t i ) 2 + i= [ f(t i ) f(t i )] 2. (8) Como função f é de clsse C, em cd subintervlo [t i, t i ] existe um ponto ξ i tl que f(t i ) f(t i ) t i t i = f (ξ i ), como consequênci do Teorem de Lgrnge. Substituindo em (8), obtemos n (t i t i ) 2 + i= [ f (ξ i )] 2(ti t i ) 2 = n + [f (ξ i )] 2 (t i t i ), que é um som de Riemnn pr função + [f ] 2. Assim, o comprimento pretendido é ddo pel fórmul C = i= + [f (x)] 2 dx 34
4 Integris impróprios A definição do integrl de Riemnn só fz sentido pr funções definids num intervlo limitdo [, b] e que sejm limitds. De fcto, se o intervlo for ilimitdo, qulquer prtição contém, pelo menos, um subintervlo ilimitdo e, portnto, de comprimento infinito, o que invibiliz definição ds soms de Drboux. O mesmo contece no cso de função não ser limitd pois nesse cso, hverá pelo menos um subintervlo onde o ínfimo ou o supremo d função não existem. Os integris que envolvem intervlos de integrção ilimitdos ou funções ilimitds dizem-se, por isso, impróprios e o seu significdo deverá ser torndo preciso estendendo definição de integrl. 4. Intervlo de integrção ilimitdo Definição 4. Sej f : [, + ) R um função integrável em cd intervlo limitdo [, X], pr X >. O integrl impróprio diz-se convergente se existir escrevendo-se, nesse cso, + X lim f(x) dx, X + f(x) dx = X lim f(x) dx. X + Cso o limite não exist, o integrl impróprio diz-se divergente. X lim X + x α dx = lim X α = X + α + f(x) dx Exemplo 4. Sej f : [, + ) R tl que f(x) =. Se α, tem-se xα α se α > + se α <. Por seu ldo, X lim X + x dx = lim ln X = +. X + 35
+ Assim, o integrl impróprio dx é divergente pr α e convergente pr α >, xα com + x α dx = α. Exemplo 4.2 + dx + x2 = lim 0 X + = lim X + X 0 + x 2 dx ( rctn X rctn 0 ) = π 2. Pr um integrl impróprio do tipo f(x) dx definição é nálog. No cso em que f : (, + ) R, escolhe-se um ponto rbitrário c R (gerlmente c = 0) e fz-se + f(x) dx = c f(x) dx + + c f(x) dx. O integrl diz-se convergente se mbos os integris no segundo membro forem convergentes. Refir-se enfticmente que est definição não é equivlente tomr-se X lim f(x) dx, X + X que, qundo existe, se chm vlor principl de Cuchy do integrl impróprio. É evidente que se o integrl for convergente o vlor principl de Cuchy coincide com o vlor do integrl. A existênci do vlor principl de Cuchy é, no entnto, mis gerl como mostr o exemplo seguinte. Exemplo 4.3 O integrl impróprio + xdx é divergente já que, por exemplo, Porém, existe X lim x dx = X + 0 vp + x dx = X 2 lim X + 2 = +. X lim x dx = 0. X + X 36
4.2 Função integrnd ilimitd Definição 4.2 Sej f : (, b] R um função ilimitd ms integrável em qulquer intervlo do tipo [ + ɛ, b], pr 0 < ɛ < b. O integrl impróprio escrevendo-se, nesse cso, f(x) dx diz-se convergente se existir lim f(x) dx, ɛ 0 + +ɛ f(x) dx = lim f(x) dx. ɛ 0 + +ɛ Cso o limite não exist, o integrl impróprio diz-se divergente. Exemplo 4.4 Sej f : (0, ] R tl que f(x) =. Se α, tem-se xα + se α > Por seu ldo, lim ɛ 0 + ɛ ɛ α dx = lim xα ɛ 0 + α = lim ɛ 0 + Assim, o integrl impróprio pr α <, com ɛ x 0 0 α se α < dx = lim ln ɛ) = +. ɛ 0 +( dx é divergente pr α e convergente xα x α dx = α.. O cso de um função ilimitd f : [, b) R trt-se de form nálog e o cso de f : (, b) R reduz-se os nteriores, escolhendo c (, b) e pondo f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. 37
4.3 Critérios de comprção Pr determinr nturez de um integrl impróprio, isto é, decidir se o integrl é convergente ou divergente, nem sempre é prático utilizr definição. Assumem, por isso, prticulr relevânci lguns critérios que permitem obter conclusões cerc d nturez de certos integris impróprios por comprção com outros cuj nturez é conhecid (como os dos Exemplos 4. e 4.4). Restringir-nos-emos o cso de integris impróprios em que o intervlo de integrção é ilimitdo ms existem resultdos nálogos pr o cso de integris impróprios de funções ilimitds. Teorem 4. ( o critério de comprção) Sejm f, g : [, + ) R funções integráveis em [, X], pr todo o X >, e não-negtivs. Se existir um constnte k > 0, tl que f(x) k g(x), x [, + ) e o integrl impróprio + g(x) dx for convergente então o integrl impróprio + f(x) dx tmbém é convergente. Demonstrção: As funções φ(x) = X f(x) dx e ϕ(x) = X g(x) dx são não-decrescentes em [, + ] já que s sus derivds f e g, respectivmente, são não-negtivs. Como φ(x) = X f(x) dx X k g(x) dx = k ϕ(x) e ϕ é limitd (porque o integrl impróprio + g(x) dx é convergente), concluímos que φ(x) tmbém é limitd. Logo, existe lim X + φ(x) e o integrl impróprio + f(x) dx é convergente. 38
Teorem 4.2 (2 o critério de comprção) Sejm f, g : [, + ) R funções integráveis em [, X], pr todo o X >, com f não-negtiv e g positiv. Se então lim x + f(x) g(x) = λ,. se λ R +, os integris impróprios + f(x) dx e + g(x) dx são d mesm nturez; 2. se λ = 0, convergênci de + g(x) dx implic convergênci de + f(x) dx; 3. se λ = +, convergênci de + f(x) dx implic convergênci de + g(x) dx. Demonstrção: Considermos pens o cso. demonstrm de form nálog. Sej 0 < ɛ < λ. Pel definição de limite, A > : x > A = f(x) g(x) λ < ɛ. Obtemos então s dus desigulddes f(x) < (λ + ɛ) g(x) e g(x) < λ ɛ f(x) já que os restntes se válids em [A, + ), com λ + ɛ e λ ɛ constntes positivs. Pelo Teorem 4., os integris impróprios + A f(x) dx e + A g(x) dx são d mesm nturez. Como + f(x) dx = A f(x) dx + + A f(x) dx e o mesmo sucede com g, o resultdo está demonstrdo. 39
Exemplo 4.5 O integrl impróprio + dx é convergente já que 5x 4 +3x+π lim X + e o integrl impróprio + 5x 4 +3x+π x 4 = lim X + x 4 5x 4 + 3x + π = 5 x 4 dx é convergente (ver Exemplo 4.). Exemplo 4.6 O integrl impróprio + e x2 dx é convergente já que lim X + e x2 e o integrl impróprio + = lim x 2 X + Exemplo 4.7 O integrl impróprio + lim X + ln x x x 2 e x2 = lim X + 2x 2x e x2 = 0 x 2 dx é convergente (ver Exemplo 4.). = lim X + x ln x = ln x dx é divergente já que lim X + x = +. De fcto, usndo 3. no Teorem 4.2, convergênci deste integrl implicri do integrl + x dx que sbemos ser divergente (ver Exemplo 4.). Definição 4.3 Sej f : [, + ) R. O integrl impróprio + f(x) dx diz-se bsolutmente convergente se for convergente o integrl impróprio + f(x) dx. Teorem 4.3 (3 o critério de comprção) Sej f : [, + ) R um função integrável em [, X], pr todo o X >. Se o integrl impróprio + f(x) dx for bsolutmente convergente então é convergente e verificse relção + + f(x) dx f(x) dx. (9) Demonstrção: A integrbilidde de f em qulquer intervlo [, X], com X >, é grntid pelo Teorem 2.4 2., do qul result ind desiguldde X X f(x) dx f(x) dx. (0) 40
Ds desigulddes 0 f(x) + f(x) 2 f(x) e d convergênci de + f(x) dx result, pelo Teorem 4., convergênci de + ( ) f(x) + f(x) dx. A convergênci de + f(x) dx segue-se d iguldde f(x) = f(x) + f(x) f(x). Pr obter (9) bst tomr lim x + em (0). dx é bsolutmente conver- Exemplo 4.8 O integrl impróprio + sin x x 2 gente já que + dx é convergente pois sin x x 2 sin x x 2 x 2 e o integrl + x 2 dx é convergente (ver Exemplo 4.). 4
5 Séries Numérics A noção de som infinit de números reis é o objecto deste cpítulo. A tribuição de um significdo mtemático preciso um expressão do tipo + 2 + 3 +... + n +..., com um infinidde de prcels, fz uso do conceito de limite, ubíquo em Análise Infinitesiml. 5. Séries convergentes e séries divergentes Sej ( n ) n N um sucessão de números reis. A série numéric de termo gerl n é som infinit + n= n. Definição 5. A sucessão ssocid 3 à série numéric + n= n é sucessão de termo gerl s n = n i = + 2 +... + n. i= Definição 5.2 A série numéric + n= n diz-se convergente se su sucessão ssocid (s n ) for convergente. Nesse cso, chm-se som d série o limite d sucessão ssocid e escreve-se + n= n = lim s n. Se su sucessão ssocid for divergente, série diz-se divergente. Nesse cso, não fz sentido flr em som. Observção 5. A vrição do índice mudo n n expressão que define série não tem necessrimente de ocorrer em N, ou sej, de +. Por vezes, é conveniente considerr séries do tipo + n=0 n, ou mesmo + n=p n, com p um inteiro. 3 ou sucessão ds soms prciis ou sucessão ds reduzids 42
Exemplo 5. Sej R. À série numéric + n= n = + 2 + 3 +... chm-se série geométric de rzão. A su sucessão ssocid é s n = n i = i= A série é convergente (e su som é n se n se =. ) se < e divergente se. Exemplo 5.2 A série numéric, dit série telescópic, tem como sucessão ssocid s n = = = n i(i + ) n ( i i= i= ( 2 ) + = n +. i + ) ( 2 3 + n= n(n + ) A série é portnto convergente (e su som é ). ) ( +... + n ) ( + n n ) n + A determinção d som de um série numéric, qundo convergente, exige normlmente o recurso séries de funções, que serão estudds mis dinte. Os csos em que é possível obter som usndo pens definição esgotm-se prticmente nos exemplos nteriores e sus vrintes. O principl objectivo de or em dinte vi ser o d determinção d nturez de um dd série numéric, isto é, o de decidir se série é convergente ou 43
divergente. Neste contexto, ssume um crácter irrelevnte indicção express dos índices n escrit do somtório e pssremos usr simplesmente notção n pr nos referirmos um série numéric. O próximo resultdo é um condição necessári de convergênci. Teorem 5. Se n é um série convergente então lim n = 0. Demonstrção: Sej (s n ) sucessão ssocid à série e s = lim s n som d série. Define-se um nov sucessão (t n ), com 0 se n = t n = s n se n 2. É evidente que lim t n = lim s n = s e que s n t n = n. Assim lim n = lim(s n t n ) = lim s n lim t n = s s = 0. Portnto, se o termo gerl de um série numéric não tender pr zero conclui-se imeditmente que série é divergente. No entnto, o recíproco do teorem nterior é flso. O exemplo clássico é ddo pelo Exemplo 5.3 A série hrmónic + n= n, cujo termo gerl tende pr zero, é divergente. De fcto, subsucessão (s 2 n) n N d su sucessão ssocid é divergente: s 2 n = + ( 2 + 3 + ) ( + 4 5 + 6 + 7 + ) +... 8 ( + 2 n + +... + ) 2 } {{ n } > + 2 + 2 4 + 4 8 +... + 2n 2 n = + n 2 +. 2 n prcels 44
A sucessão ssocid um série n de termos não-negtivos n 0 é obvimente não-decrescente pois s n+ s n = n+ 0, n. Assim, série converge se, e só se, (s n ) for limitd. E diverge se, e só se, lim s n = +. Neste cso, escrevemos n = +. Exemplo 5.4 A série de termos positivos + n= n α, com α >, é convergente pois su sucessão ssocid é limitd: 0 s n c, n N. N verdde, ddo n N, sej k N tl que n 2 k. Então, s n s 2 k ( = + 2 α + ) ( 3 α + 4 α + 5 α + 6 α + ( + + 2 2 α + 4 4 α +... + 2k = k i=0 ( 2 2 α ) i + i=0 (2 k ) α ) i = ( 2 2 α 7 α ) +... ) (2 k ) α +... + (2 k ) } {{ α } 2 α c, 2 k prcels visto que rzão d série geométric é 0 < 2 α < porque α >. Apresentmos de seguid um critério de comprção pr séries de termos não-negtivos. 45
Teorem 5.2 Sejm n e b n séries de termos não-negtivos tis que, pr um constnte c > 0 e um certo n 0 N, n c b n, n > n 0. () Então se b n convergir, n tmbém converge. Demonstrção: Sem perd de generlidde, podemos supor que () é válid pr todo o n N. Sendo (s n ) e (t n ) s sucessões ssocids, respectivmente, n e b n, tem-se imeditmente s n c t n, n N. Sendo b n convergente, (t n ) é limitd: M > 0 : 0 t n M, n N. Logo, (s n ) tmbém é limitd: 0 s n c M, n N. Segue-se que n é convergente. Exemplo 5.5 A série de termos positivos + n= com α <, é divergente. N verdde, n α, n n α, n N e conclusão result do critério de comprção e d divergênci d série hrmónic. 5.2 Convergênci bsolut e convergênci condicionl Definição 5.3 Um série n diz-se bsolutmente convergente se série dos módulos n for convergente. 46
Exemplo 5.6 Tod série convergente de termos não-negtivos é bsolutmente convergente. Exemplo 5.7 A série geométric é bsolutmente convergente. + n= ( ) n 2 Exemplo 5.8 A série + n= ( ) n+ não é bsolutmente convergente já que su série dos módulos é série hrmónic n que é divergente. n Definição 5.4 Um série convergente que não sej bsolutmente convergente diz-se condicionlmente convergente. Teorem 5.3 (Critério de Leibniz) Sej ( n ) um sucessão não-crescente com lim n = 0. Então série + n= ( ) n+ n é convergente. Demonstrção: A sucessão ssocid à série é s n = 2 + 3 +... + ( ) n+ n. A subsucessão (s 2n ) dos termos de ordem pr é não-decrescente já que s 2n+2 s 2n = 2n+2 + 2n+ 0 ; subsucessão (s 2n ) dos termos de ordem ímpr é não-crescente já que s 2n+ s 2n = 2n+ 2n 0. Por outro ldo, s 2n s 2n = 2n 0 (2) 47
e portnto tem-se s 2 s 4... s 2n... s 2n... s 3 s. Assim, mbs s subsucessões são limitds inferiormente por s 2 e superiormente por s. Como tmbém são monótons, são convergentes. Result então de (2) que lim s 2n lim s 2n = lim (s 2n s 2n ) = lim 2n = 0 e portnto lim s 2n = lim s 2n donde (s n ) é convergente. Exemplo 5.9 A série do Exemplo 5.8 é condicionlmente convergente. A série + n= ( ( ) n+ ln + ) n é condicionlmente convergente. Porquê? Mostremos gor que tod série bsolutmente convergente é convergente. Dd um sucessão ( n ), definimos dus novs sucessões: n se n 0 p n = mx{ n, 0} = 0 se n 0 designd por prte positiv de n ; e 0 se n 0 q n = mx{ n, 0} = n se n 0 designd por prte negtiv de n. São de verificção imedit s seguintes proprieddes ds prtes positiv e negtiv: p n, q n 0 ; p n + q n = n ; p n q n = n. Teorem 5.4 Tod série bsolutmente convergente é convergente. 48
Demonstrção: Sej n convergente. Como p n, q n n, segue-se do Teorem 5.2 que p n e q n são convergentes. convergente série n = (p n q n ) = p n q n. Assim, tmbém é Observção 5.2 O resultdo pode interpretr-se do seguinte modo: dd um série convergente de termos não-negtivos, nenhum troc de sinis dos termos d série lter su nturez. Corolário 5. Se n for condicionlmente convergente então p n = qn = +. Demonstrção: Se convergir um ds séries, por exemplo p n, ter-se-á qn = (p n n ) = p n n e outr tmbém converge. Ms então n = (p n + q n ) = p n + q n é convergente, o que é bsurdo. 5.3 Critérios de convergênci Teorem 5.5 Sej b n um série bsolutmente convergente, com b n 0, n. Se sucessão ( n / b n ) n for limitd (em prticulr, se for convergente) então série n é bsolutmente convergente. Demonstrção: Se ( n bn for limitd, existe c > 0 tl que )n n b n c n c b n, n. O resultdo segue-se do Teorem 5.2. Exemplo 5.0 A série n 3 n 3 +4n 2 +π é bsolutmente convergente e lim n 3 +4n 2 +π n 3 = lim é bsolutmente convergente; de fcto, n 3 n 3 + 4n 2 + π =. 49
Corolário 5.2 (Critério de d Alembert) Sej n 0, n. Se existir um constnte 0 < c < e um ordem n 0 N tis que n+ c, n > n 0 (em prticulr, se lim n+ n Demonstrção: Temos, pr todo o n > n 0, n < ) então n é bsolutmente convergente. n+ n c = cn+ c n n+ c n+ n c n, pelo que sucessão de termos não-negtivos ( n / c n ) n é não-crescente prtir de um cert ordem, logo limitd. Como c n é um série geométric (bsolutmente) convergente, seguese do teorem que n é convergente. Observção 5.3 N generlidde dos csos práticos, plicção do critério de d Alembert consiste no cálculo de lim n+ n = L. Se L <, série n é bsolutmente convergente. Se L >, série é divergente pois o seu termos gerl não tende pr zero já que, prtir de um cert ordem, se tem n+ > n. Se L =, o critério é inclusivo como mostrm os exemplos ds séries n 2 e n. Exemplo 5. A série n! n n lim (n+)! (n+) (n+) n! n n é bsolutmente convergente: ( ) n n = lim = n + e <. 50
Teorem 5.6 (Critério de Cuchy) Se existir um constnte 0 < c < e um ordem n 0 N tis que n n c, n > n 0 (em prticulr, se lim n n < ) então n é bsolutmente convergente. Demonstrção: Temos, pr todo o n > n 0, n n c n c n. Como c n é um série geométric (bsolutmente) convergente, segue-se do Teorem 5.2 que n é convergente. Observção 5.4 N generlidde dos csos práticos, plicção do critério de Cuchy consiste no cálculo de lim n n = L. Se L <, série n é bsolutmente convergente. Se L >, série é divergente pois o seu termos gerl não tende pr zero já que, prtir de um cert ordem, se tem n >. Se L =, o critério é inclusivo como mostrm os exemplos ds séries n 2 e n. Exemplo 5.2 A série ( ) ln n n n é bsolutmente convergente: (ln ) n n lim n = lim ln n n n = 0 <. O resultdo seguinte, cuj demonstrção pode ser consultd em [4, pág. 43], relcion os dois limites referidos nteriormente. Teorem 5.7 Sej n 0, n. Se lim n+ n = L então lim n n = L. 5
5.4 Comuttividde Pr soms finits de números reis é válid propriedde comuttiv. No cso ds séries, nem sempre convergênci e som d série são independentes d ordem ds prcels. Definição 5.5 Um série n diz-se comuttivmente convergente se, dd qulquer bijecção ϕ : N N, série ϕ(n) for convergente e ϕ(n) = n. Exemplo 5.3 A série + n= ( ) n+ n é (condicionlmente) convergente. Sej s su som; então s = 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 + 2 +... s 2 = 0 + 2 + 0 4 + 0 + 6 + 0 8 + 0 + 0 + 0 2 +..., multiplicndo por /2 e crescentndo prcels nuls. Somndo gor termo termo s dus séries nteriores, obtém-se 3s 2 = + 3 2 + 5 + 7 4 + 9 + 6 +... que é um série com os mesmos termos d série inicil, tomdos por um ordem diferente. Est reordenção conduziu um som diferente d inicil logo série não é comuttivmente convergente. Os dois próximos resultdos mostrm que s séries comuttivmente convergentes são s séries bsolutmente convergentes. Teorem 5.8 Tod série bsolutmente convergente é comuttivmente convergente. 52